专题提升(十五)巧用旋转进行证明与计算
【经典母题】
已知等边三角形ABC(如图Z15－1)．
(1)以点A为旋转中心，将△ABC按逆时针方向旋转30°，作出旋转后的图形；
(2)经第(1)题旋转所得的图形与△ABC之间有没有互相垂直的边？证明你的
判断．
图Z15－1 经典母题答图
解：(1)如答图所示；
(2)AD⊥BC，DE⊥AC，AB⊥AE.证明略．
【思想方法】旋转前、后的图形全等，所以借此可以在较复杂的图形中发
现等量(或全等)关系，或通过旋转(割补)图形，把分散的已知量聚合起来，便于打通解题思路，找到解题突破口．
【中考变形】
1．如图Z15－2，已知△ABC和△DCE均是等边三角形，点B，C，E在同一条直线上，AE与BD交于点O，AE与CD交于点G，AC与BD交于点F，连结OC，FG，则下列结论：①AE＝BD；②AG＝BF；③FG∥BE；④∠BOC ＝∠EOC，其中正确结论的个数是(D)
图Z15－2
A．1个B．2个
C．3个D．4个
2．如图Z15－3，P是等腰直角三角形ABC外一点，把BP绕点B顺时针旋转90°到BP′，已知∠AP′B＝135°，P′A∶P′C＝1∶3，则P′A∶PB＝(B)
A．1∶ 2 B．1∶2
C.3∶2 D．1∶ 3
图Z15－3 中考变形2答图【解析】如答图，连结AP，PP′，∵BP绕点B顺时针旋转90°到BP′，∴BP＝BP′，∠ABP＋∠ABP′＝90°.∵△ABC是等腰直角三角形，∴AB＝BC，
在△ABP和△CBP′中，∠CBP′＋∠ABP′＝90°，∴∠ABP＝∠CBP′．
BP＝BP′，
∠ABP＝∠CBP′，
AB＝CB，
∴△ABP≌△CBP′(SAS)，∴AP＝P′C.∵P′A∶P′C＝1∶3，∴AP＝3P′A.
∵△PBP′是等腰直角三角形，∴∠BP′P＝45°，PP′＝2PB.∵∠AP′B ＝135°，∴∠AP′P＝135°－45°＝90°，∴△APP′是直角三角形．设P′A ＝x，则AP＝3x，根据勾股定理，得PP′＝AP2－P′A2＝（3x）2－x2＝22x，∴P′B＝PB＝2x，∴P′A∶PB＝x∶2x＝1∶2.
3．[2017·徐州]如图Z15－4，已知AC⊥BC，垂足为C，AC＝4，BC＝33，将线段AC绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AD，连结DC，DB.
(1)线段DC＝__4__；
(2)求线段DB的长度．
图Z15－4 中考变形3答图
解：(1)∵AC＝AD，∠CAD＝60°，
∴△ACD是等边三角形，∴DC＝AC＝4；
(2)如答图，作DE⊥BC于点E.
∵△ACD是等边三角形，
∴∠ACD＝60°，又∵AC⊥BC，
∴∠DCE＝∠ACB－∠ACD＝90°－60°＝30°，
在Rt△CDE中，DE＝1
2DC＝2，CE＝DC·cos30°＝4×
3
2＝23，
∴BE＝BC－CE＝33－23＝ 3.
在Rt△BDE中，BD＝DE2＋BE2＝22＋（3）2＝7.
4．如图Z15－5①，在△ABC中，AE⊥BC于点E，AE＝BE，D是AE上的一点，且DE＝CE，连结BD，CD.
(1)判断BD与AC的位置关系和数量关系，并给出证明；
(2)如图②，若将△DCE绕点E旋转一定的角度后，BD与AC的位置关系和
数量关系是否发生变化？为什么？
(3)如图③，将(2)中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变，求
BD与AC夹角的度数．
图Z15－5
解：(1)BD与AC的位置关系是BD⊥AC，数量关系是
BD＝AC.证明：
如答图①，延长BD交AC于点F.
∵AE⊥BC于点E，
∴∠BED＝∠AEC＝90°.
∵AE＝BE，DE＝CE，
∴△DBE≌△CAE(SAS)，
∴BD＝AC，∠DBE＝∠CAE，∠BDE＝∠ACE.
∵∠BDE＝∠ADF，∴∠ADF＝∠ACE.
中考变形4答图①
∵∠ACE ＋∠CAE ＝90°，∴∠ADF ＋∠CAE ＝90°，∴BD ⊥AC ；
(2)否．证明：如答图②，AC 与BD 交于点F ，
∵∠AEB ＝∠DEC ＝90°，
∴∠AEB ＋∠AED ＝∠DEC ＋∠AED ，
即∠BED ＝∠AEC.
∵AE ＝BE ，DE ＝CE ，
∴△BED ≌△AEC(SAS )，
∴BD ＝AC ，∠BDE ＝∠ACE ，∠DBE ＝∠CAE.
∵∠BFC ＝∠ACD ＋∠CDE ＋∠BDE ＝∠ACD ＋∠CDE ＋∠ACE ＝90°，∴BD ⊥AC ；
(3)如答图③，AC 与BD 交于点F.
∵△ABE 和△DEC 是等边三角形，
∴AE ＝BE ，DE ＝EC ，∠EDC ＝∠DCE ＝60°，
∠BEA ＝∠DEC ＝60°，
∴∠BEA ＋∠AED ＝∠DEC ＋∠AED ，
∴∠BED ＝∠AEC ，
在△BED 和△AEC 中，
BE ＝AE ，∠BED ＝∠AEC ，DE ＝CE ，
∴△BED ≌△AEC(SAS )，∴∠BDE ＝∠ACE ，
∴∠DFC ＝180°－(∠BDE ＋∠EDC ＋∠DCF)＝60°，
∴BD 与AC 的夹角度数为60°或120°.
5．阅读下面的材料：
小伟遇到这样一个问题：如图Z15－6①，在正三角形ABC 内有一点P ，且PA ＝3，PB ＝4，PC ＝5，求∠APB 的度数．小伟是这样思考的：如图②，利用旋转和全等的知识构造△
AP ′C ，连结PP ′，得到两个特殊的三角形，从而
将问题解决．
(1)请你回答：图①中∠APB ＝__150°__；中考变形4答图②
中考变形4答图③
参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：
(2)如图③，在正方形ABCD 内有一点P ，且PA ＝22，PB ＝1，PD ＝17，求∠APB 的度数和正方形的边长．
图Z15－6
解：(1)如答图①，把△APB 绕点A 逆时针旋转60°得△AP ′C ，
由旋转的性质，得P ′A ＝P A ＝3，P ′C ＝PB ＝4，∠PAP ′＝60°，
∴△APP ′是等边三角形，
∴PP ′＝P A ＝3，∠AP ′P ＝60°，
∵PP ′2＋P ′C 2＝32＋42＝25，PC 2＝52＝25，
∴PP ′2＋P ′C 2＝PC 2，∴∠PP ′C ＝90°，
∴∠AP ′C ＝∠AP ′P ＋∠PP ′C ＝60°＋90°＝150°，
∴∠APB ＝∠AP ′C ＝150°；
(2)如答图②，把△APB 绕点A 逆时针旋转90°得到△AP ′D ，
由旋转的性质，得P ′A ＝P A ＝22，P ′D ＝PB ＝1，
∠PAP ′＝90°，
∴△APP ′是等腰直角三角形，
∴PP ′＝2PA ＝2×22＝4，
∠AP ′P ＝45°，
∵PP ′2＋P ′D 2＝42＋12＝17，PD 2＝(17)2＝17，
∴PP ′2＋P ′D 2＝PD 2，∴∠PP ′D ＝90°，
∴∠AP ′D ＝∠AP ′P ＋∠PP ′D ＝45°＋90°＝135°，
∴∠APB ＝∠AP ′D ＝135°.
中考变形5答图①中考变形5答图②
∵∠APB＋∠APP′＝135°＋45°＝180°，∴P′，P，B三点共线．
过点A作AE⊥PP′于点E，则AE＝PE＝1
2PP′＝2，
∴BE＝PE＋PB＝2＋1＝3，
在Rt△ABE中，AB＝AE2＋BE2＝22＋32＝13.
【中考预测】
(1)如图Z15－7①，在正方形ABCD中，△AEF的顶点E，F分别在BC，CD
边上，高线AG与正方形的边长相等，求∠EAF的度数；
(2)如图②，在Rt△ABD中，∠BAD＝90°，AB＝AD，M，N是BD边上的任
意两点，且∠MAN＝45°，将△ABM绕点A逆时针旋转90°至△ADH位置，连结NH，试判断MN2，ND2，DH2之间的数量关系，并说明理由；
(3)在图①中，若EG＝4，GF＝6，求正方形ABCD的边长．
图Z15－7
解：(1)在正方形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，
∵AG⊥EF，∴△ABE和△AGE是直角三角形．
在Rt△ABE和Rt△AGE中，
AB＝AG，
AE＝AE，
∴△ABE≌△AGE(HL)，∴∠BAE＝∠GAE.
同理，∠GAF＝∠DAF.
∴∠EAF＝∠EAG＋∠FAG＝1
2
∠BAD＝45°；
(2)MN2＝ND2＋DH2.
由旋转可知，∠BAM＝∠DAH，∵∠BAM＋∠DAN＝45°，
∴∠HAN＝∠DAH＋∠DAN＝45°.∴∠HAN＝∠MAN.
在△AMN与△AHN中，AM＝AH，
∠MAN＝∠HAN，AN＝AN，
∴△AMN≌△AHN(SAS)，∴MN＝HN.
∵∠BAD＝90°，AB＝AD，∴∠B＝∠ADB＝45°，∴∠HDN＝∠HDA＋∠ADB＝90°，
∴NH2＝ND2＋DH2，∴MN2＝ND2＋DH2；
(3)由(1)知，BE＝EG＝4，DF＝FG＝6.
设正方形ABCD的边长为x，则CE＝x－4，CF＝x－6.∵CE2＋CF2＝EF2，∴(x－4)2＋(x－6)2＝102，
解得x1＝12，x2＝－2(不合题意，舍去)．
∴正方形ABCD的边长为12.
与旋转有关的计算与证明 （体悟思想规律方法） 1、已知,如图:正方形ABCD中,E和F分别为BC、CD上的点， 且∠EAF=45°。求证:BE+CF=EF 2、已知,点E为正方形ABCD内一点,且AE=1,BE=2,CE=3.求∠AEB的度数 3、如图，P是正方形ABCD的边AB上一点（不与A,B重合），连接PD 将PD绕P顺时针旋转90°，得到PE，连接BE，求∠CBE的度数
4、如图，在边长为3的正方形ABCD中，点E是BC边上的点，BE=1，∠AEP=90°，且EP交正方形外角的平分线CP于点P，交边CD于点F，（1）求证：AE=EP；（2）在AB边上是否存在点M，使得四边形DMEP是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由 5、在Rt△ABD中，∠BAD=90°，AB=AD，点M，N是BD边上的任意两点，且∠MAN=45°，将△ABM绕点A逆时针旋转90°至△ADH位置，连接NH，试判断MN，ND，DH之间的数量关系，并说明理由； 6、(B)如图，在边长为62的正方形ABCD中，E是AB边上一点， G是AD延长线上一点，BE＝DG，连接EG，CF⊥EG于点H，交AD于点F，连接CE、BH。若BH＝8，求FG的长。
7、(A)如图，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC、BD的交点，点E在CD上，且DE=2CE，过点C作CF⊥BE，垂足为F，连接OF，求OF的长。 8、正方形ABCD的顶点A在直线MN上，点O是对角线AC、BD 的交点，过点O作OE⊥MN于点E，过点B作BF⊥MN于点F．（1）如图1，当O、B两点均在直线MN上方时，求证：AF+BF=2OE （2）当正方形ABCD绕点A顺时针旋转至图2、图3的位置时，线段AF、BF、OE之间又有怎样的关系？请直接写出你的猜想，并选择一种情况给予证明．
题型（九）折叠、旋转问题 1.（2017贵州安顺第7题）如图，矩形纸片ABCD中，AD=4cm，把纸片沿直线AC折叠，点B落在E处，AE交DC于点O，若AO=5cm，则AB的长为（） A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm 【答案】C． 2.（2017湖南张家界第14题）如图，在正方形ABCD中，AD=BC绕点B逆时针旋转30°得到线段BP，连接AP并延长交CD于点E，连接PC，则三角形PCE的面积为． 【答案】9 3.（2016·湖北荆门·3分）两个全等的三角尺重叠放在△ACB的位置，将其中一个三角尺绕着点C按逆时针方向旋转至△DCE的位置，使点A恰好落在边DE上，AB与CE相交于点F．已知∠ACB=∠DCE=90°，∠B=30°，AB=8cm， 则CF= 2cm． 4.（2017甘肃兰州第14题）如图，在正方形ABCD和正方形DEFG中，点G在CD上，2 DE=，将正方形DEFG 绕点D顺时针旋转60°，得到正方形''' +=( ) CE CG CE，则'' DE F G，此时点' G在AC上，连接'
1 【答案】AA 5.（2017浙江嘉兴第16题）一副含30?和45?角的三角板ABC 和DEF 叠合在一起，边BC 与EF 重合，12BC EF cm ==（如图1） ，点G 为边BC ()EF 的中点，边FD 与AB 相交于点H ，此时线段BH 的长是 ．现将三角板DEF 绕点G 按顺时针方向旋转（如图2），在CGF ∠从0?到60?的变化过程中，点H 相应移动的路径长共为 ．（结果保留根号） 【答案】12．1－18． 6.(2017辽宁沈阳第16题)如图，在矩形ABCD 中，53AB BC ==，,将矩形ABCD 绕点B 按顺时针方向旋转得到矩形GBEF ，点A 落在矩形ABCD 的边CD 上，连接CE ，则CE 的长是 . . 7.（2015年重庆A4分）如图，矩形ABCD 中，10AB AD ==，连接BD ， ∠DBC 的角平分线BE 交DC 于点E ，现把△BCE 绕点B 逆时针旋转，记旋转后的△BCE 为''BC E ?，当射线'BC 和射线'BE 都与线段AD 相交时，设交点分别F ，G ，若△BFD 为等腰三角形，则线段DG 长为 ▲ .
巧用旋转解题 温州市实验中学 周利明 传统几何中，有许多旋转的例子，尤其是正方形和等腰三角形中。因此旋转的方法是几何学习中必备的技巧，本文将介绍旋转方法的几种典型用法，与广大读者共同学习、交流。 1．利用旋转求角度的大小 例1：在等腰直角△ABC 中, ∠ACB=90°,AC=BC, P 是△ABC 内一点,满足PA=6、PB=2、PC=1求∠BPC 的度数. 分析：本题借助常规方法的入手是比较困难的，虽然三条线段的 长度是已知的，但是这三条线段不是三角形的三条边长，因此 要得到角度的大小是不太容易的，因此我们可以借助 旋转来分析问题，因为AC=BC ，这就给我们利用旋转 创造了条件，因此可以考虑将APC ?绕点C 逆时针旋转0 90， 得C P B '?,连接P P '，通过三角形的边与角的关系分别求得P CP '∠和PB P '∠，就可得到 BPC ∠的大小。 解：由已知AC=BC ，将APC ?绕点C 逆时针旋转0 90，得C P B '?,连接P P '； 由旋转可知：ACP CB P ∠='∠，P C CP '=，AP BP '=； ∴0 90=∠=∠+'∠ACB PCB CB P ， ∴CP P '?是等腰直角三角形 ， ∴0 45='∠='∠P P C P CP 且2= 'P P ， 在PB P '?中，∵2222222 26PB PP AP BP ''+=+====， ∴PB P '?是直角三角形，且0 90='∠PB P ， ∴0 1359045=+='∠+'∠=∠PB P P CP BPC ． 例2：如图所示,正方形ABCD 的边长为1，P 、Q 分别为边AB 、AD 上的点,APQ ?的周长为2，求PCQ ∠的大小． 分析：本题在已知三角形的周长和正方形的边长的条件下求角度的大小是比较困难的，因为正方形的边长BC=DC,所以可以考虑将PBC ?绕点C 顺时针旋转90°，易证E 、D 、Q 三 P A B C P ’
旋转 一．选择题（共10 小题） 1．如图，方格纸上有2 条线段，请你再画1 条线段，使图中的3 条线段组成一个轴对称图形，最多能画（）条线段． A．1 B．2 C．3 D．4 2．如图，若将直角坐标系中“鱼“形图案的每个“顶点”的纵坐标保持不变，横坐标都乘以﹣1，得到一组新的点，再依次连接这些点，所得图案与原图案的关系为（） A．重合 B．关于x 轴对称 C．关于y 轴对称 D．宽度不变，高度变为原来的一半 3．第24 届冬季奥林匹克运动会，将于2022 年02 月04 日～2022 年02 月20 日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行．在会徽的图案设计中，设计者常常利用对称性进行设计，下列四个图案是历届会徽图案上的一部份图形，其中不是轴对称图形的是（） A． B． C． D．
4．如图，在网格图中选择一个格子涂阴影，使得整个图形是以虚线为对称轴的轴对称图形，则把阴影凃在图中标有数字（）的格子内． A．1 B．2 C．3 D．4 5．下列车标，可看作图案的某一部分经过平移所形成的是（） A． B． C． D． 6．下列图形中可由其中的部分图形经过平移得到的是（） A． B． C． D． 7．如图所示的各组图形中，表示平移关系的是（） A．B． C． D．
8．在下列四个图案中，能用平移变换来分析其形成过程的图案是（）A． B． C． D． 9．下列运动形式属于旋转的是（） A．在空中上升的氢气球B．飞驰的火车 C．时钟上钟摆的摆动D．运动员掷出的标枪 10．如图，正方形OABC 绕着点O 逆时针旋转40°得到正方形ODEF，连接AF，则∠OFA 的度数是（） A．20°B．25°C．30°D．35° 二．填空题（共10 小题） 11．如图，在棋盘中建立直角坐标系xOy，三颗棋子A，O，B 的位置分别是（0，1），（0，0）和（1，﹣1）．如果在其它格点位置添加一颗棋子C，使A，O，B，C 四颗棋子成为一个轴对称图形，请写出所有满足条件的棋子C 的位置的坐标：．
一、旋转真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图1，△ABC是边长为4cm的等边三角形，边AB在射线OM上，且OA=6cm，点D 从O点出发，沿OM的方向以1cm/s的速度运动，当D不与点A重合时，将△ACD绕点C 逆时针方向旋转60°得到△BCE，连结DE． （1）求证：△CDE是等边三角形； （2）如图2，当6＜t＜10时，△BDE的周长是否存在最小值？若存在，求出△BDE的最小周长；若不存在，请说明理由； （3）如图3，当点D在射线OM上运动时，是否存在以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）见解析（2）见解析（3）存在 【解析】 试题分析：（1）由旋转的性质得到∠DCE=60°，DC=EC，即可得到结论； （2）当6＜t＜10时，由旋转的性质得到BE=AD，于是得到 C△DBE=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE，根据等边三角形的性质得到DE=CD，由垂线段最短得到当CD⊥AB时，△BDE的周长最小，于是得到结论； （3）存在，①当点D于点B重合时，D，B，E不能构成三角形，②当0≤t＜6时，由旋转的性质得到∠ABE=60°，∠BDE＜60°，求得∠BED=90°，根据等边三角形的性质得到 ∠DEB=60°，求得∠CEB=30°，求得OD=OA-DA=6-4=2，于是得到t=2÷1=2s；③当6＜t＜10s 时，此时不存在；④当t＞10s时，由旋转的性质得到∠DBE=60°，求得∠BDE＞60°，于是得到t=14÷1=14s. 试题解析：（1）证明：∵将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE， ∴∠DCE=60°，DC=EC， ∴△CDE是等边三角形； （2）存在，当6＜t＜10时， 由旋转的性质得，BE=AD， ∴C△DBE=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE， 由（1）知，△CDE是等边三角形， ∴DE=CD， ∴C△DBE=CD+4， 由垂线段最短可知，当CD⊥AB时，△BDE的周长最小， 此时，CD3cm， ∴△BDE的最小周长=CD3； （3）存在，①∵当点D与点B重合时，D，B，E不能构成三角形，
解题技巧专题：巧用旋转进行计算或证明 ——体会旋转中常见解题技巧 ◆类型一利用旋转结合等腰(边)三角形、垂直、平行的性质求角度 1．(2016·合肥校级模拟)如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度，得到△ADE，若∠CAE＝65°，∠E＝70°，且AD⊥BC于点F，则∠BAC的度数为() A．60°B．85°C．75°D．90° 第1题图第2题图第3题图2．(2016·株洲中考)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝50°，将此三角形绕点C 沿顺时针方向旋转后得到△A′B′C.若点B′恰好落在线段AB上，AC、A′B′交于点O，则∠COA′的度数是() A．50°B．60°C．70°D．80° 3．如图，△ABC为钝角三角形，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转120°得到△AB′C′，连接BB′，若AC′∥BB′，则∠CAB′的度数为________． 4．如图，P是正三角形ABC内的一点，且P A＝5，PB＝12，PC＝13，若将△P AC绕点A逆时针旋转后，得到△P′AB，求点P与点P′之间的距离及∠APB的度数． ◆类型二利用旋转结合特殊三角形判定、性质或勾股定理求长度或证明 5．如图，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，将△ABC绕点A逆时针旋转75°，得到△AB′C′，过点B′作B′D⊥CA，交CA的延长线于点D，若AC＝6，则AD的长为() A．2 B．3 C．2 3 D．3 2
6．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，将△ABC绕点C逆时针旋转60°，得到△MNC，连接BM，那么BM的长是________． 7．(2016·娄底中考)如图，将等腰△ABC绕顶点B逆时针方向旋转α度到△A1BC1的位置，AB与A1C1相交于点D，AC与A1C1，BC1分别交于点E，F. (1)求证：△BCF≌△BA1D； (2)当∠C＝α度时，判定四边形A1BCE的形状，并说明理由． ◆类型三利用旋转计算面积 8．如图，边长为1的两个正方形互相重合，按住其中一个不动，将另一个绕顶点A顺时针旋转，则这两个正方形重叠部分的面积是() A.2－1 B.2＋1 C. 2 D. 3 第8题图第9题图 9．如图，在等边△ABC内有一点D，AD＝5，BD＝6，CD＝4，将△ABD绕A点逆时针旋转，使AB与AC重合，点D旋转至点E，则△DCE的面积为________．【方法3】 参考答案与解析
一、旋转 真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图1，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：y =ax 2+bx +c 与x 轴相交于A ，B 两点，顶点为D （0，4），AB =42，设点F （m ，0）是x 轴的正半轴上一点，将抛物线C 绕点F 旋转180°，得到新的抛物线C ′． （1）求抛物线C 的函数表达式； （2）若抛物线C ′与抛物线C 在y 轴的右侧有两个不同的公共点，求m 的取值范围． （3）如图2，P 是第一象限内抛物线C 上一点，它到两坐标轴的距离相等，点P 在抛物线C ′上的对应点P ′，设M 是C 上的动点，N 是C ′上的动点，试探究四边形PMP ′N 能否成为正方形？若能，求出m 的值；若不能，请说明理由． 【答案】（1）2 142 y x =-+；（2）2＜m ＜23）m =6或m 173． 【解析】 试题分析：（1）由题意抛物线的顶点C （0，4），A （2，0），设抛物线的解析式为 24y ax =+，把A （220）代入可得a =1 2 - ，由此即可解决问题； （2）由题意抛物线C ′的顶点坐标为（2m ，﹣4），设抛物线C ′的解析式为 ()2142y x m =--，由()22142 14 2y x y x m ?=-+????=--??，消去y 得到222280x mx m -+-=，由题 意，抛物线C ′与抛物线C 在y 轴的右侧有两个不同的公共点，则有() 222(4280 20280m m m ?-->?? >??->?? ， 解不等式组即可解决问题； （3）情形1，四边形PMP ′N 能成为正方形．作PE ⊥x 轴于E ，MH ⊥x 轴于H ．由题意易知P （2，2），当△PFM 是等腰直角三角形时，四边形PMP ′N 是正方形，推出PF =FM ，∠PFM =90°，易证△PFE ≌△FMH ，可得PE =FH =2，EF =HM =2﹣m ，可得M （m +2，m ﹣2），理由待定系数法即可解决问题；情形2，如图，四边形PMP ′N 是正方形，同法可得
专题提升(十五)巧用旋转进行证明与计算 【经典母题】 已知等边三角形ABC(如图Z15－1)． (1)以点A为旋转中心，将△ABC按逆时针方向旋转30°，作出旋转后的图形； (2)经第(1)题旋转所得的图形与△ABC之间有没有互相垂直的边？证明你的 判断． 图Z15－1 经典母题答图 解：(1)如答图所示； (2)AD⊥BC，DE⊥AC，AB⊥AE.证明略． 【思想方法】旋转前、后的图形全等，所以借此可以在较复杂的图形中发 现等量(或全等)关系，或通过旋转(割补)图形，把分散的已知量聚合起来，便于打通解题思路，找到解题突破口． 【中考变形】 1．如图Z15－2，已知△ABC和△DCE均是等边三角形，点B，C，E在同一条直线上，AE与BD交于点O，AE与CD交于点G，AC与BD交于点F，连结OC，FG，则下列结论：①AE＝BD；②AG＝BF；③FG∥BE；④∠BOC ＝∠EOC，其中正确结论的个数是(D) 图Z15－2 A．1个B．2个 C．3个D．4个 2．如图Z15－3，P是等腰直角三角形ABC外一点，把BP绕点B顺时针旋转90°到BP′，已知∠AP′B＝135°，P′A∶P′C＝1∶3，则P′A∶PB＝(B)
A．1∶ 2 B．1∶2 C.3∶2 D．1∶ 3 图Z15－3 中考变形2答图【解析】如答图，连结AP，PP′，∵BP绕点B顺时针旋转90°到BP′，∴BP＝BP′，∠ABP＋∠ABP′＝90°.∵△ABC是等腰直角三角形，∴AB＝BC， 在△ABP和△CBP′中，∠CBP′＋∠ABP′＝90°，∴∠ABP＝∠CBP′． BP＝BP′， ∠ABP＝∠CBP′， AB＝CB， ∴△ABP≌△CBP′(SAS)，∴AP＝P′C.∵P′A∶P′C＝1∶3，∴AP＝3P′A. ∵△PBP′是等腰直角三角形，∴∠BP′P＝45°，PP′＝2PB.∵∠AP′B ＝135°，∴∠AP′P＝135°－45°＝90°，∴△APP′是直角三角形．设P′A ＝x，则AP＝3x，根据勾股定理，得PP′＝AP2－P′A2＝（3x）2－x2＝22x，∴P′B＝PB＝2x，∴P′A∶PB＝x∶2x＝1∶2. 3．[2017·徐州]如图Z15－4，已知AC⊥BC，垂足为C，AC＝4，BC＝33，将线段AC绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AD，连结DC，DB. (1)线段DC＝__4__； (2)求线段DB的长度． 图Z15－4 中考变形3答图 解：(1)∵AC＝AD，∠CAD＝60°， ∴△ACD是等边三角形，∴DC＝AC＝4；
几何旋转综合题练习 1、如图，已知 ABC 是等边三角形. （1）如图（1），点E 在线段 A B 上，点 D 在射线 C B 上，且 ED=EC.将 BCE 绕点 C 顺时针旋转60° 至 ACF , 连接 E F.猜想线段 A B,DB,AF 之间的数量关系; （2）点 E 在线段 BA 的延长线上，其它条件与（1）中一致，请在图（2）的基础上将图形补充完整， 并猜想线段 AB,DB,AF 之间的数量关系; （3）请选择（1）或（2）中的一个猜想进行证明. 第 1 题图(1) 第 1 题图(2) 2、如图 1 △，△ ACB △、△ AED 都为等腰直角三角形，∠ AED ＝∠ ACB ＝90°，点 D 在 AB 上，连CE ，M 、N 分 别为
BD、CE 的中点 (1)求证：MN⊥CE (2)如图2将△AED 绕A点逆时针旋转30°，求证：CE＝2MN
3、在等腰R t△ABC和等腰R△t△A1B 1 C1中,斜边B1C1中点O也是BC的中点。 (1)如图1，则AA1与C C1的数量关系是；位置关系是。 (2)如图2，△将△ A1B1C1 绕点O顺时针旋转一定角度，上述结论是否仍然成立，请证明你的结论。 (3)如图3，在（2）的基础上，直线AA1、CC1交于点P，设AB=4，则PB长的最小值是。 A A A P B B A O 图1 1 C C B B 1 O 图2C A 1C B A 图3 1 C 1 O C 1 B 4、已知，正方形A BCD的边长为4，点E是对角线B D延长线上一点，AE＝BD．△将△ABE绕点A顺时针旋转α度 （0°＜α＜360°）得△到△AB′E′，点B、E的对应点分别为B′、E′ (1) (1) (2)如图1，当α＝30°时，求证：B′C＝DE 连接B′E、DE′，当B′E＝DE′时，请用图2求α的值 如图3，点P为AB的中点，点Q为线段B′E′上任意一点，试探究，在此旋转过程中，线段PQ长度的1 1 1
小专题(七) 旋转中的计算与证明 类型1 基于“半角”的旋转 在很多题目中都有这样的题设条件：一个大角中有一个共顶点的小角,小角正好是大角的一半(如例1)．当面对这样的信息时,往往可以考虑使用旋转变换,并且旋转后,多半还有一对轴对称的全等三角形出现,此时,很多问题即可迎刃而解了．总结此类问题解题的思路即是：半角信息——带形旋转——轴对称的全等三角形． 【例1】如图,已知四边形ABCD是正方形,对角线AC,BD相交于O.设E,F分别是AB上不同的两个点,且∠EOF＝45°,请你用等式表示线段AE,BF和EF之间的数量关系,并证明． 【思路点拨】将△OFB绕点O顺时针旋转90°,得△OHA.连接HE,利用条件可证△EOH≌△EOF,从而得EH＝EF.然后在Rt△AEH中,利用勾股定理得EH2＝AH2＋AE2,进而得出结论． 1．已知在△ABC中,AB＝AC,D,E是BC边上的点,将△ABD绕点A旋转,得到△ACD′,连接D′E. (1)如图1,当∠BAC＝120°时,∠DAE＝60°时,求证：DE＝D′E；
(2)如图2,当DE＝D′E时,∠DAE与∠BAC有怎样的数量关系？请写出,并说明理由． (3)如图3,在(2)的结论下,当∠BAC＝90°,BD与DE满足怎样的数量关系时,△D′EC是等腰直角三角形？(直接写出结论,不必说明理由) 类型2 基于“等边三角形”的旋转 方法归纳：将等边三角形内的一个小三角形,旋转60度,从而使小三角形的一边与原等边三角形的边重合,连接小三角形的钝角顶点,得三角形．通过旋转将不相关的线段转化到同一个三角形中,将分散的已知条件集中起来,使问题得以解决． 【例2】如图,点P为等边△ABC内一点,且PA＝2,PB＝1,PC＝3,求∠APB的度数． 【思路点拨】将△APC绕点A顺时针旋转60°,得△ADB.连接DA,DP,DB,得AD＝AP,DB＝PC＝3,∠DAP＝60°.从而可证△ADP为等边三角形,所以DP＝AP＝2,∠DPA＝60°.在△DPB中,利用勾股定理逆定理可得∠DBP＝90°,∠DPB＝60°.从而可得∠APB＝120°. 2．如图所示,点P是等边△ABC内一点,PB＝2,PC＝1,∠BPC＝150°,求PA的长．
［教材母题】 已知等边三角形，8C（如图Z15 — 1）. （1）以点A为旋转中心，将△A8C按逆时针方向旋转30。，作出旋转后的图形；（2）经第（1）题旋转所得的图形与之间有没有互相垂直的边？证明你的判断. 【思想方法】旋转前、后的图形全等，所以借此可以在较复杂的图形中发现等量（或全等）关系，或通过旋转（割补）图形，把分散的已知量聚合起来，便于打通解题思路，疏通解题突破口. 【中考变形】 1.如图Z15-2,已知△A8C和ZXDCE均是等边三角形，点8, C, E在同一条直线上，AE 与B。交于 点。，AE与CD交于点G, AC与BD交于点 F,连结OC, FG,则下列结论：?AE= BD； ?AG=BF； ?FG//BE； @ZBOC = ZEOC,其中正确结论的个数是（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 A
2.如图Z15-3, P是等腰直角ZkABC外一点，把8P绕点8顺时针旋转90。到BP',已知 ZAP1 8=135°, P‘ A ： P' C=1： 3,贝l)P f A ： PB= ( B. 1 ： 2 D. 1 : 3.如图Z15-4, △ACD和都是等腰直角三角形，ZACD=ZBCE=9Q°f虹交DC于点F, BD分别交CE, AE于点G, H.试猜想线段AE和BD的位置及数量关系，并说明理由.
4.如图Z15-5,在RtA4BC中，ZACB=90°t匕8=30。，将△A8C绕点C按顺时针方向旋转。度后，得到点D刚好落在A8边上.（1）求"的值；（2）若F是DE的中点，判断四边形ACFD 的形状，并说明理由. 5.[2015-南充]如图Z15-6,点P是正方形ABC。内一点，点P到点4, 8和D 的距离分别为1, 2皿，何，AADP 沿点A旋转至△ ABP\连结PP,并延长AP与8C相交于点Q.
旋转的证明与计算 模块一：旋转应用之等边旋转 类型二：正方形中的旋转 例题1.正方形ABCD 内一点到三顶点距离分别是1，2，3，则正方形的面积等于 考点：旋转的性质；正方形的性质 分析：把△PAB 绕A 点逆时针旋转90°得△EAD ，把△CPB 绕C 点顺时针旋转90°得△CFD ，连PE ，PF ，则∠1=∠2，∠3=∠4，得到∠2+∠4=90°，∠EDF=180°，即E ，D ，F 共线，且ED=PB=2，DF=PB=2，△APE ，△CPF 均为等腰直角三角形，所以2 11121=??=?APE S ；2 93321=??=?CPF S ，再在△PEF 中，PE=2，PF=23，EF=4，利用勾股定理的逆定理得到△PEF 为直角三角形，∠PEF=90°，则22422 121=??=??=?EF EP S PEF 最后利用S 正方形 A B C D =S 五边形A P C F E =S △P E F +S △A P E +S △C P F ，即可得到答案．
跟踪训练： 2，PC=4，则∠APC的大小是多1、如图点P是等边三角形ABC内部一点，且PA=2，PB=3 少度？ 考点：旋转的性质；勾股定理的逆定理 分析：由于△ABC为等边三角形，所以将△ABP绕A点逆时针旋转 60°得△ACP′，根据旋转的性质得到AB与AC重合，∠PAP′=60°， 2 AP′=AP=2，P′C=PB=3 ，则△APP′是等边三角形，得到PP′=2；在△PPC中，利用勾股定理的逆定理可得到∠PP′C=90°，同时得到∠P′CP=30°，因此∠P′PC=60°，即可得APC=∠APP′+∠P′PC． 2、把两块边长为4的等边三角板ABC和DEF先如图1放置，使三角板DEF的顶点D与三角板ABC的AC边的中点重合，DF经过点B，射线DE与射线AB相交于点M，接着把三角形板ABC 固定不动，将三角形板DEF由图11-1所示的位置绕点D按逆时针方向旋转，设旋转角为α．其中0°＜α＜90°，射线DF与线段BC相交于点N（如图2示）． （1）当0°＜α＜60°时，求AM?CN的值； （2）当0°＜α＜60°时，设AM=x，两块三角形板重叠部分的面积为y，求y与x的函数解析式并求定义域； （3）当BM=2时，求两块三角形板重叠部分的面积．
3C． 3 D．1 【中考专研】图形的旋转专题提高训练 1、如图，直角梯形ABCD中，∠BCD＝90°，AD∥BC，BC＝CD，E为梯形内一点，且∠BEC＝90°，将△BEC绕C点旋转90°使BC与DC重合，得到△DCF，连EF交CD于M．已知BC＝5， CF＝3，则DM:MC的值为（） A.5:3 B.3:5 C.4:3 D.3:4 A D E M F B 第一题 C 2、如图，已知Rt△ABC≌Rt△DEC，∠E＝30°，D为AB的中点，AC＝1，若△DEC绕 点D顺时针旋转，使ED、CD分别与Rt△ABC的直角边BC相交于M、N，则当△DMN 为等边三角形时，AM的值为（） A．3B．233 3、将直角边长为5cm的等腰直角ΔABC绕点A逆时针旋转15°后,得到ΔAB’C’,则图中阴 影部分的面积是cm2 4、在矩形ABCD中，AD2A B，E是AD的中点，一块三角板的直角顶点与点E重合， 将三角板绕点E按顺时针方向旋转．当三角板的两直角边与AB，BC分别交于点M，N时，观察或测量BM与CN的长度，你能得到什么结论？并证明你的结论． A E D M B F N C （4题图） 5、在矩形ABCD中，AB=2，AD=3．
（1）在边CD上找一点E，使EB平分∠AEC，并加以说明；（3分） ． （2）若P为BC边上一点，且BP=2CP，连接EP并延长交AB的延长线于F． ①求证：点B平分线段AF；（3分） ②△P AE能否由△PFB绕P点按顺时针方向旋转而得到，若能，加以证明，并求出旋转度 数；若不能，请说明理由．（4分） 6、含30°角的直角三角板ABC（∠B=30°）绕直角顶点C沿逆时针方向旋转角α（∠α<90），再沿∠A的对边翻折得到△A'B'C，AB与B'C交于点M，A'B'与BC交于点N，A'B'与AB相交于点E． （1）求证：△A CM≌△A'CN． （2）当∠α=30时，找出ME与MB'的数量关系，并加以说明． A B' M C E N B A' 7、如图①，已知在△ABC中，AB=AC，P△是ABC内部任意一点，将AP绕A顺时针旋 转至AQ，使∠QAP=∠BAC，连接BQ、CP，
人教版九年级数学上册第二十三章旋转巧用旋转进行计算与证明专题练习题 1．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，将Rt△ABC绕点C按逆时针方向旋转48°得到Rt△A′B′C，点A在边B′C上，则∠B′的大小为( ) A．42°B．48°C．52°D．58° 2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转至△A′B′C，使得点A′恰好落在AB上，则旋转角度为( ) A．30°B．60°C．90°D．150° 3．如图，在△ABC中，∠CAB＝70°，将△ABC绕点A逆时针旋转到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB，则∠BAB′的度数是( ) A．70°B．35°C．40°D．50° 4．如图，在正方形ABCD内有一点P，PA＝1，PD＝2，PC＝3，求∠APD的度数． 5．(2016·荆门)如图，两个全等的三角尺重叠放在△ACB的位置，将其中一个三角尺绕着点C按逆时针方向旋转至△DCE的位置，使点A恰好落在边DE上，AB与CE相交于点F.已知∠ACB＝∠DCE＝90°，∠B＝30°，AB＝8 cm，则CF＝__________cm. 6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝2，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置，连接C′B，则C′B＝____________． 7．如图，正方形ABCD的边长为2，点E，F分别在边AD，CD上，若∠EBF＝45°，则△EDF的周长等于______．
8．如图，边长为2的正三角形ABO的边OB在x轴上，将△ABO绕原点O逆时针旋转30°得到三角形OA 1B 1， 则点A 1 的坐标为() A．(3，1) B．(3，－1)C．(1，－3) D．(2，－1) 9．如图，在△ABO中，AB⊥OB，AB＝3，OB＝1，把△ABO绕点O旋转120°后，得到△A 1B 1 O，则点A 1 的坐标为____________． 10．如图，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2.将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后得到△EDC，此时点D在AB边上，斜边DE交AC边于点F，则n的大小和图中阴影部分的面积分别为() A．30，2 B．60，2C．60， 3 2 D．60, 3 11．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°，得到正方形AB′C′D′，则图中阴影部分的面积为___________． 12．如图，在直角三角形ABC中，四边形DECF是正方形，观察图①和图②，请回答下列问题： (1)请简述由图①变换成图②的形成过程； (2)若AD＝3，BD＝4，求△ADE与△BDF的面积和． 13．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC上一点，且AD＝BD.将△ABD绕点A逆时针旋转得到△
人教版九年级上册数学《与旋转有关的计算和证明》专题提升练习 题型一：计算角的度数 1. 如图,将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°,得到△A′B′C,连接AA′,若∠1=25°,则∠BAA′的度数是( ) A.55° B.60° C.65° D.70° 2.如图,在正方形网格中,格点△ABC绕某点顺时针旋转角α(0°<α<180°)得到格点△A1B1C1,点A与点A1,点B与点B1,点C与点C1是对应点,则α=. 3. 一副三角板如图放置,将三角板ADE绕点A逆时针旋转α(0°<α<90°),使得三角板ADE的一边所在的直线与BC垂直,则α的度数为. 4.如图,点P是等边三角形ABC内一点,且PA=3,PB=4,PC=5,若将△APB绕着点B 逆时针旋转后得到△CQB,则∠APB的度数为.
5. 如图,将等边△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△DEC,∠ACD的平分线CF交DE于点F,连接AE,AF. (1)求∠CEA的度数; (2)求证:AF⊥CE 题型二：计算线段的长度及图形面积 1.如图,在△ABC中,∠ACB=45°,BC=,AC=,将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′,其中点B′与点B是对应点,且点C、B′、C′在同一条直线上;则B′C的长为( ) A. B.2 C. D.2
2. 如图,直线a,b垂直相交于点O,曲线C关于点O成中心对称,点A的对称点是点A′,AB⊥a于点B,A′D⊥b于点D.若OB=3,OD=2,则阴影部分的面积之和为 . 3.如图,将Rt△ABC的斜边AB绕点A顺时针旋转α(0°<α<90°)得到AE,直角边AC绕点A逆时针旋转β(0°<β<90°)得到AF,连接EF.若AB=3,AC=2,且α+β=∠B,则EF=. 4.如图,将Rt△ABC绕着顶点A逆时针旋转使得点C落在AB上的C′处,点B落在B′处,连接BB′,如果AC=4,AB=5,那么BB′=. 5. 如图,△ABC是等腰直角三角形,BC是斜边,P为△ABC内一点,将△ABP绕点A逆时针旋转后与△ACP′重合,若AP=1,那么线段PP′的长等于.
特殊图形旋转的计算与证明 一．选择题（共4小题） 1．如图，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°，得到△AB1C1，若点B1在线段BC的延长线上，则∠BB1C1的大小为（） A．70°B．80°C．84°D．86° 2．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45度后得到正方形AB′C′D′，边B′C′与DC交于点O，则四边形AB′OD的周长是（） A．2√2 B．3 C．√2D．1+√2 3．如图，把△ABC绕B点逆时针方旋转26°得到△A′BC′，若A′C′正好经过A点，则∠BAC=（） A．52°B．64°C．77°D．82°
4．某学生想把放置在水平桌面上的一块三角板ABC（∠ACB=90°，∠A=30°），绕点C按顺时针方向旋转θ角，转到△A′B′C的位置，其中A′，B′分别是A，B的对应点，B在A′B′上（如图所示），则θ角的度数为（） A．30°B．45°C．60°D．90° 二．填空题（共2小题） 5．如图，P是正三角形ABC内的一点，且PA=6，PB=8，PC=10，若将△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P′AB，则∠APB=°，△ABC的面积=． 6．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，将AB边绕点A逆时针旋转90°得到线段AD，将AC边绕点C顺时针旋转90°后得到线段CE，AE与BD交于点F，若DF=√2，EF=2√2，则BC边的长为．
三．解答题（共7小题） 7．将两块全等的含30°角的直角三角板按图1的方式放置，已知∠BAC=∠B1A1C=30°，AB=2BC． （1）固定三角板A1B1C，然后将三角板ABC绕点C顺时针方向旋转至图2的位置，AB与A1C、A1B1分别交于点D、E，AC与A1B1交于点F． ①填空：当旋转角等于20°时，∠BCB1=度； ②当旋转角等于多少度时，AB与A1B1垂直？请说明理由． （2）将图2中的三角板ABC绕点C顺时针方向旋转至图3的位置，使AB∥CB1，AB与A1C交于点D，试说明A1D=CD． 8．P为正方形ABCD内一点，且AP=2，将△APB绕点A按逆时针方向旋转60°得到△AP′B′， （1）作出旋转后的图形；（2）试求△APP′的周长和面积． 9．如图，点P是正方形ABCD内的一点，把△ABP绕点B顺时针方向旋转，使点A与点C重合，点P的对应点是Q，若PA=3，PB=2√2，PC=5，求∠BQC的度数．
旋转专题 1、图形的旋转 （1）在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向旋转一个角度，这样的图形运动称为旋转， 这个定点称为旋转中心，转动的角度称为旋转角． （2）性质：①在图形旋转过程中，图形上每一个点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同角度； ②注意每一对对应点与旋转中心的连线所成的角度都叫旋转角，旋转角都相等； ③对应点到旋转中心的距离相等． 2、图形的中心对称 （1）把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么这两个图形关于 这个点对称或中心对称，该点叫做对称中心． （2）①关于中心对称的两个图形是全等形； ②关于中心对称的两个图形,对称点连线都经过对称中心,并且被对称中心平分； ③关于中心对称的两个图形,对应线段平行（或者在同一直线上）且相等. 1、三垂直全等模型 三垂直全等构造方法：从等腰直角三角形的两个锐角顶点出发向过直角顶点的直线作垂线。 C B E D C A B 2、手拉手全等模型 C C C A B D E A B B A 方法技巧提炼 高频核心考点
E D B A E D B A E D C B A A B C D E D C B A 3、等线段、共端点 (1) 中点旋转(旋转180°) (2) 等腰直角三角形(旋转90°) A'D C B A F' D' F E D C A (3) 等边三角形旋转(旋转60°) (4) 正方形旋转(旋转90°) ② ①F E D C B A P F E D C B A G F E D C B A 例1、如图,设P 是等边△ABC 内的一点,PA=3,PB=4,PC=5,则∠APB 的度数是________。 类型一 旋60°，造等边 精题精讲精练
中考数学专题分类复习：旋转变换 旋转变换通常结合全等三角形探索角的数量关系，线段与线段之间的位置关系与数量关系，经常作为作为中等偏难一点的题型出现． 旋转的性质有：①旋转角是对应点与旋转中心所连线段的夹角是旋转角；②旋转前后的图形全等；③对应点到旋转中心的距离相等． 如图，△ABC绕点O逆时针方向旋转∠AOA′到△A′B′C′的位置，则①旋转角是∠AOA′＝∠BOB′＝∠COC′； ②△ABC≌△A′B′C′；③OA＝OA′，OB＝OB′，OC＝OC′． 1.注意旋转的三要素：旋转中心，旋转方向，旋转角； 2.抓住旋转只是改变图形的位置，不改变图形的形状和大小，即旋转前后的图形全等； 3.能够用旋转解题的图形的基本特征是有公共端点且相等的两条线段，这个公共端点往往会是旋转中心． 例1.如图，将Rt△ABC（其中∠B＝35°，∠C＝90°）绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得点C，A，B1在同一条直线上，那么旋转角等于( ) A. 55° B. 70° C. 125° D. 155° 【答案】C 例2.如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转
的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：（1）PM＝PN恒成立；（2）OM＋ON 的值不变；（3）四边形PMON的面积不变；（4）MN的长不变，其中正确的个数为（） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【精细解读】因为角平分线上的点到角的两边的距离相等，所以存在着隐性的有公共端点的相等线段的特征，故可考虑过点P作∠AOB的两边的垂线，再结合旋转的性质求解． 如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F． 例3.如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，点P为△ABC内一点. （1）连接PB，PC，将△BCP沿射线CA方向平移，得到△DAE，点B，C，P的对应点分别为点D、 A、E，连接CE. ①依题意，请在图2中补全图形； ②如果BP⊥CE，BP＝3，AB＝6，求CE的长． （2）如图3，以点A为旋转中心，将△ABP顺时针旋转60°得到△AMN，连接P A、PB、PC，当AC＝3，AB ＝6时，根据此图求P A＋PB＋PC的最小值．
几何的计算与证明3-手拉手模型（旋转全等） 1. 如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点E是AC上一点，连接BE． （1）如图1，若AB=4，BE=5，求AE的长； （2）如图2，点D是线段BE延长线上一点，过点A作AF⊥BD于点F，连接CD、CF，当AF=DF时，求证：DC=BC． 2. 在△ABC中，∠B=45°，∠C=30°，点D是BC上一点，连接AD，过点A作AG⊥AD，在AG上取点F，连接DF．延长DA至E，使AE=AF，连接EG，DG，且GE=DF． （1）若AB=2，求BC的长； （2）如图1，当点G在AC上时，求证：BD=CG．
3. 如图，在正方形ABCD 中，点F是BC延长线上一点，过点B作BE⊥DF于点E，交CD于点G，连接CE． （1）若正方形ABCD边长为3，DF=4，求CG的长； （2）求证：EF+EG=CE． 4. 已知：在平行四边形ABCD中，∠BAD=45°，AB=BD，E为BC上一点，连接AE交BD于F，过点D作DG⊥AE于G，延长DG交BC于H． （1）如图1，若点E与点C重合，且AF=，求AD的长； （2）如图2，连接FH，求证：∠AFB=∠HFB；
5. 已知，平行四边形ABCD 中，连接AC ，AC=AB ，过点B 作BE ⊥AC ，垂足为E ，延长BE 与CD 相交于点F 。 （1）如图1，若AE=3，CE=2，求线段AD 的长； （2）如图2，若∠BAC=450，过点F 作FG ⊥AD 于点G ，连接AF 、EG ，求证：EG AC 2= ． ` 6. 在等腰直角△ABC 中，AC=BC ，∠ACB=900，CF ⊥AB 交AB 于点F ，点D 在AC 上，连接BD ，交CF 于点G ，过点C 作BD 的垂线交BC 于点H ，交AB 于点E 。 （1）如图1，∠ABD=∠CBD ，CG=1，求AB ； （2）如图2，连接AH 、FH ，∠AHF=900 ，求证：AH BH 2= ．
中考数学压轴题专题初中数学旋转的经典综合题及详细答案 一、旋转 1．操作与证明：如图1，把一个含45°角的直角三角板ECF和一个正方形ABCD摆放在一 起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点 C 重合，点 E、 F 分别在正方形的边 CB、 CD 上，连接AF．取 AF中点 M， EF的中点 N，连接 MD、 MN． （1）连接 AE，求证：△ AEF是等腰三角形； 猜想与发现： （2）在（ 1）的条件下，请判断 MD 、MN 的数量关系和位置关系，得出结论．结 论 1： DM、 MN 的数量关系是； 结论 2： DM、 MN 的位置关系是； 拓展与探究： （3）如图 2，将图 1 中的直角三角板 ECF绕点 C 顺时针旋转 180°，其他条件不变，则 （2）中的两个结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由． 【答案】（ 1）证明参见解析；（2）相等，垂直；（3）成立，理由参见解析. 【解析】 试题分析：（ 1）根据正方形的性质以及等腰直角三角形的知识证明出CE=CF，继而证明出 △ABE≌△ ADF，得到 AE=AF，从而证明出△ AEF是等腰三角形；（2） DM 、 MN 的数量关 系是相等，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半和三角形中位线定理即可得出结论.位置 关系是垂直，利用三角形外角性质和等腰三角形两个底角相等性质，及全等三角形对应角 相等即可得出结论；（3）成立，连接AE，交 MD 于点 G，标记出各个角，首先证明出 MN ∥ AE， MN= AE，利用三角形全等证出 AE=AF，而 DM= AF，从而得到 DM ， MN 数量相等 的结论，再利用三角形外角性质和三角形全等，等腰三角形性质以及角角之间的数量关 系得到∠ DMN=∠ DGE=90°．从而得到DM 、 MN 的位置关系是垂直.试题解析：（ 1）∵四边形 ABCD是正方形，∴ AB=AD=BC=CD，∠ B=∠ ADF=90°，∵ △ CEF 是等腰直角三角形，∠ C=90°，∴CE=CF，∴BC﹣ CE=CD﹣ CF，即 BE=DF， ∴△ ABE≌ △ ADF，∴ AE=AF，∴ △ AEF是等腰三角形；（2） DM 、 MN 的数量关系是相等， DM 、 MN 的位置关系是垂直；∵在 Rt△ ADF 中 DM 是斜边 AF 的中线，∴ AF=2DM，∵ MN 是△ AEF的中位线，∴ AE=2MN，∵AE=AF，∴ DM=MN ；∵∠ DMF=∠ DAF+∠ADM ， AM=MD ，∵ ∠ FMN=∠ FAE，∠ DAF=∠ BAE，∴ ∠ADM= ∠ DAF=∠ BAE，