(优选)离散数学图论版
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离散数学测验题--图论部分(优选.)
离散数学图论单元测验题一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)1、在图G ＝<V ,E >中，结点总度数与边数的关系是( )(A) deg(v i )=2∣E ∣ (B) deg(v i )=∣E ∣ (C)∑∈=V v E v 2)deg( (D) ∑∈=Vv E v )deg(2、设D 是n 个结点的无向简单完全图，则图D 的边数为( )(A) n (n －1) (B) n (n +1) (C) n (n －1)/2 (D) n (n +1)/23、 设G ＝<V ,E >为无向简单图，∣V ∣=n ，∆(G )为G 的最大度数，则有(A) ∆(G )<n (B)∆(G )≤n (C) ∆(G )>n (D) ∆(G )≥n4、图G 与G '的结点和边分别存在一一对应关系，是G ≌G '(同构)的( )(A) 充分条件 (B) 必要条件 (C)充分必要条件 (D)既非充分也非必要条件5、设},,,{d c b a V =，则与V 能构成强连通图的边集合是( )(A) },,,,,,,,,{><><><><><=c d b c d b a b d a E(B) },,,,,,,,,{><><><><><=c d d b c b a b d a E(C) },,,,,,,,,{><><><><><=c d a d c b a b c a E6、有向图的邻接矩阵中，行元素之和是对应结点的( )，列元素之和是对应结点的() (A)度数 (B) 出度 (C)最大度数 (D) 入度7、设图G 的邻接矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡0101010010000011100000100则G 的边数为( )．A ．5B ．6C ．3D ．48、设m E n V E V G ==>=<,,,为连通平面图且有r 个面，则r ＝( )(A) m －n +2 (B) n －m －2 (C) n +m -2 (D) m +n +29、在5个结点的二元完全树中，若有4条边，则有 ( )片树叶。
离散数学 图论-树
中序遍历（次序：左－根－右) 前序遍历（次序：根－左－右) 后序遍历（次序：左－右－根) b 中序遍历: c b e d g f a I k h j 前序遍历: a b c d e f g h i k j 后序遍历: c e g f d b k i j h a
例：给定二叉树，写出三种访问 结点的序列
是否为根树
(a) (no)
(b) (no)
(c) (yes)
从树根到T的任意顶点v的通 路(路径)长度称为v的层数。 v5的层数为 层。
层数最大顶点的层数称为树 高．将平凡树也称为根树。 右图中树高为（ ）。
v1
v2 v3
v4 v8v5Fra bibliotekv6v7 v10
v9
在根树中，由于各有向边的方向是一 致的，所以画根树时可以省去各边上的所 有箭头，并将树根画在最上方．
等长码：0-000；1-001；2-010；3-011；4-100； 5-101；6-110；7-111. 总权值: W2=3*100=300
4、二叉树的周游（遍历）
二叉树的周游：对于一棵二叉树的每一个结点都访问一次且 仅一次的操作 1）做一条绕行整个二叉树的行走路线（不能穿过树枝） 2）按行走路线经过结点的位臵（左边、下边、右边） 得到周游的方法有三种： 中序遍历（路线经过结点下边时访问结点） 访问的次序：左子树－根－右子树 前序遍历（路线经过结点左边时访问结点） 访问的次序：根－左子树－右子树 后序遍历（路线经过结点右边时访问结点） 访问的次序：左子树－右子树－根
2、根树中顶点的关系
定义：设T为一棵非平凡的根树， v2 ∀vi,vj∈V(T),若vi可达vj,则称vi为 vj的祖先,vj为vi的后代； v4 v5 若vi邻接到vj(即<vi,vj>∈E(T)，称 vi为vj的父亲,而vj为vi的儿子 v8 若vj,vk的父亲相同，则称vj与vk是兄 弟
《离散数学图论》课件
最短路径问题
实现方法：使用 队列数据结构， 将起始节点入队， 然后依次处理队 列中的每个节点， 直到找到目标节
点或队列为空
Dijkstra算法和Prim算法
Dijkstra算法：用于 求解单源最短路径问 题，通过不断更新最 短路径来寻找最短路 径。
Prim算法：用于求解 最小生成树问题，通过 不断寻找最小权重的边 来构建最小生成树。
图的矩阵表示
邻接矩阵的定义和性质
定义：邻接矩阵是一个n*n的矩阵，其 中n是图的顶点数，矩阵中的元素表示 图中顶点之间的连接关系。
性质：邻接矩阵中的元素只有0和1， 其中0表示两个顶点之间没有边相连， 1表示两个顶点之间有一条边相连。
应用：邻接矩阵可以用于表示图的连通 性、路径长度等信息，是图论中常用的 表示方法之一。
图像处理：优化图像分割， 提高图像质量
物流配送：优化配送路径， 降低配送成本
社交网络：优化社交网络 结构，提高用户活跃度
感谢您的观看
汇报人：PPT
数学：用于图论、组合数 学、代数拓扑等领域
物理学：用于量子力学、 统计力学等领域
生物学：用于蛋白质结构、 基因调控等领域
社会科学：用于社会网络 分析、经济模型等领域
图的基本概念
图的定义和表示方法
图的定义：由节点和边组成的数学结构，节点表示对象，边表示对象之间的关系
节点表示方法：用点或圆圈表示 边表示方法：用线或弧线表示 图的表示方法：可以用邻接矩阵、邻接表、关联矩阵等方式表示
顶点和边的基本概念
顶点：图中的基本元素，表示一个对象或事件 边：连接两个顶点的线，表示两个对象或事件之间的关系 度：一个顶点的度是指与其相连的边的数量 路径：从一个顶点到另一个顶点的边的序列 连通图：图中任意两个顶点之间都存在路径 强连通图：图中任意两个顶点之间都存在双向路径
实现方法：使用 队列数据结构， 将起始节点入队， 然后依次处理队 列中的每个节点， 直到找到目标节
点或队列为空
Dijkstra算法和Prim算法
Dijkstra算法：用于 求解单源最短路径问 题，通过不断更新最 短路径来寻找最短路 径。
Prim算法：用于求解 最小生成树问题，通过 不断寻找最小权重的边 来构建最小生成树。
图的矩阵表示
邻接矩阵的定义和性质
定义：邻接矩阵是一个n*n的矩阵，其 中n是图的顶点数，矩阵中的元素表示 图中顶点之间的连接关系。
性质：邻接矩阵中的元素只有0和1， 其中0表示两个顶点之间没有边相连， 1表示两个顶点之间有一条边相连。
应用：邻接矩阵可以用于表示图的连通 性、路径长度等信息，是图论中常用的 表示方法之一。
图像处理：优化图像分割， 提高图像质量
物流配送：优化配送路径， 降低配送成本
社交网络：优化社交网络 结构，提高用户活跃度
感谢您的观看
汇报人：PPT
数学：用于图论、组合数 学、代数拓扑等领域
物理学：用于量子力学、 统计力学等领域
生物学：用于蛋白质结构、 基因调控等领域
社会科学：用于社会网络 分析、经济模型等领域
图的基本概念
图的定义和表示方法
图的定义：由节点和边组成的数学结构，节点表示对象，边表示对象之间的关系
节点表示方法：用点或圆圈表示 边表示方法：用线或弧线表示 图的表示方法：可以用邻接矩阵、邻接表、关联矩阵等方式表示
顶点和边的基本概念
顶点：图中的基本元素，表示一个对象或事件 边：连接两个顶点的线，表示两个对象或事件之间的关系 度：一个顶点的度是指与其相连的边的数量 路径：从一个顶点到另一个顶点的边的序列 连通图：图中任意两个顶点之间都存在路径 强连通图：图中任意两个顶点之间都存在双向路径
离散数学-图论-哈密顿图及其应用
离散数学-图论-哈密顿图及其应⽤哈密顿图⼀、定义概念1.哈密顿通路设G=<V,E>为⼀图（⽆向图或有向图）.G中经过每个顶点⼀次且仅⼀次的通路称作哈密顿通路2.哈密顿回路G中经过每个顶点⼀次且仅⼀次的回路（通路基础上+回到起始点）称作哈密顿回路3.哈密顿图若G中存在哈密顿回路，则称它是哈密顿图4.定义详解：（1）存在哈密顿通路（回路）的图⼀定是连通图；（2）哈密顿通路是初级通路，哈密顿回路是初级回路；（3）若G中存在哈密顿回路，则它⼀定存在哈密顿通路，反之不真（看课本的话，是必要条件，⽽不是充分条件，故不可反推！）（4）只有哈密顿通路，⽆哈密顿回路的图不叫哈密顿图；即，哈密顿图是回路⼆、判定定理注意：⽬前还没有找到哈密顿图的简单的充要条件（1）设⽆向图G=<V,E>为哈密顿图，V1是V的任意真⼦集，则（注：n阶xx图指的是n个顶点，不要迷！）p(G-V1)<=|V1|其中，p(G-V1)为G中删除V1后的所得图的连通分⽀数⽬，|V1|为V1集合中包含的顶点个数。
【哈密顿图存在的必要条件】推论：有割点的图⼀定不是哈密顿图设v是图中的割点，则p(G-v)>=2,由上述定理知G不是哈密顿图（2）设G是n(n>=3)阶⽆向简单图，若对于G中的每⼀对不相邻的顶点u,v,均有d(u)+d(v)>=n-1则G中存在哈密顿通路。
⼜若d(u)+d(v)>=n则G中存在哈密顿回路，即G为哈密顿图。
【哈密顿图存在的充分条件，不是必要条件】其中d(u),d(v)分别代表顶点u,v的度数。
推论：设G是n(n>=3)阶⽆向简单图，若G的最⼩度>=n/2,则G是哈密顿图。
由推论知，对于完全图Kn,当n>=3时，是哈密顿图，完全⼆部图Kr,s当r==s>=2时是哈密顿图。
（3）在n(n>=2)阶有向图D=<V,E>中，如果略去所有有向边的⽅向，所得⽆向图中含⽣成⼦图Kn,则D中存在哈密顿通路。
离散数学图论
图的同构
对于两个图G和G,如果它们的顶点之间存在一一对应关系，而 且这种关系保持了两顶点间的邻接关系（在有向图中，还保 持了边的方向）和边的重数，则这两个图是同构的。
同构的图除了点和边的名称不同外，实际上代表同样的组织结 构。 由于图形的顶点位置和连线长度都可任意选择，同一个图可能 画出不同的形状来，因而引出图同构的概念。 如下面两个图同构:
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Zhengjin,Central South University
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8.3 图的矩阵表示
定义 1 设 G=<V,E> 是无向图，且无平行边，其中 V={v1,v2,…,vn}, 定义一个nn的矩阵A,其中各元素aij为：
1 如果<vi,vj>E aij=
0 如果<vi,vj>E
称这样的矩阵为图 G 的邻接矩阵。（即若两点间有边相连，则对应 的为1，无边相连，则对应的为0）
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连通图
定义3 设G=<V,E>，且vi,vjV.如果存在从vi到vj的路径，则 称从vi可达vj. (因vi 可看作长度为 0的路径，即从vi可达vi, 即任何顶点都是自己可达)。
定义4 在无向图中，如果任何两个顶点都可达，则称之为连通图。 如果G的子图是连通图，称之为连通子图。 一个无向图如果不是连通图，就是由若干个连通子图构成。 定义5 在有向图G中，如果在任两个顶点中，存在从一个顶点到 另一个顶点的路径，则称图 G为单向连通的。如果在 G中，任 何两个顶点都互相可达，则称G为强连通的。如果它的基础图 （底图）是连通的，则称之为弱连通的。 显然，强连通的，也是单向连通的，也是弱连通的。
离散数学图论
例：把下面的m叉树改写为二叉树。
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第七章 图论
信 息 科 学 与 工 程 学 院
练习：把下面的有序树改写为二叉树。
。 。 。。 。 。。 。 。 。 知识点提示：
。 。。
。 。 。
。
课下自学
此方法可推广至有序森林到二叉树的转换。 此方法具有可逆性。
15
第七章 图论
信 息 科 学 与 工 程 学 院
给定一棵2叉树T，设它有t片树叶。设v为T的一个分枝点， 则v至少有一个儿子，最多有两个儿子。若v有两个儿 子，在由v引出的两条边上，左边的标上0，右边的标 上1；若v有一个儿子，在由v引出的边上可标上0，也
可标上1。设vi为T的任一片树叶，从树根到vi的通路
上各边的标号组成的0，1串组成的符号串放在vi处，t 片树叶处的t个符号串组成的集合为一个二元前缀码。
定义7-8.5
在根树中， 科 一个结点的通路长度为从树根到此结点的通路中的边 学 数。 与 分枝点的通路长度称为内部通路长度。 树叶的通路长度称为外部通路长度。
工 程 学 院
。 。 。 。。 A 。 。 。。
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第七章 图论
信 息 科
定理7-8.2
若完全二叉树有n个分枝点，且内部通路长度总和为L，外 部通路长度总和为E，则 E=L+2n。 证明：
学 与 工 程 学 院
对分枝点数目n进行归纳证明。
。
当n=1时，如右图所示，
L=0， E=2，
。
。
显然， E=L+2n成立。
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第七章 图论
信 息 科 学
定理7-8.2 若完全二叉树有n个分枝点，且内部通路长度总 和为L，外部通路长度总和为E，则 E=L+2n。 证明：
《离散数学》图论 (上)
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无向图与有向图
v2
e1
e2
e3
v3
e4
v1
e5 (e1)={( v42, v24 )}
v4
(e2)={( v32, v23 )} (e3)={( v3, v4 )}
(e4)=({ v43, v34 )}
(e5)=({ v4,}v4 )
13
无向图与有向图
A B C
D E F
14
无向图与有向图
第八章 图论
第八章 图论
§8.1 基本概念
§8.1.1 无向图、有向图和握手定理 §8.1.2 图的同构与子图 §8.1.3 道路、回路与连通性 §8.1.4 图的矩阵表示
§8.2 欧拉图 §8.3 哈密尔顿图 §8.4 平面图 §8.5 顶点支配、独立与覆盖
2
无向图与有向图
3
无向图与有向图
一个无向图（undirected graph, 或graph） G 指一个三元组 (V, E, )，其中
vV
vV
24
特殊的图
假设 G=(V, E, ) 为无向图，若 G 中所有 顶点都是孤立顶点，则称 G 为零图（null graph）或离散图（discrete graph）；若 |V|=n，|E|=0，则称 G 为 n 阶零图 所有顶点的度数均相等的无向图称为正 则图（regular graph），所有顶点的度数 均为 k 的正则图称为k度正则图，也记作 k-正则图 注：零图是零度正则图
19
握手定理
定理（图论基本定理/握手定理）
假设 G=(V, E, ) 为无向图，则deg(v) 2 E ， vV
即所有顶点度数之和等于边数的两倍。
推论
在任何无向图中，奇数度的顶点数必是偶 数。
无向图与有向图
v2
e1
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e3
v3
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v1
e5 (e1)={( v42, v24 )}
v4
(e2)={( v32, v23 )} (e3)={( v3, v4 )}
(e4)=({ v43, v34 )}
(e5)=({ v4,}v4 )
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无向图与有向图
A B C
D E F
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无向图与有向图
第八章 图论
第八章 图论
§8.1 基本概念
§8.1.1 无向图、有向图和握手定理 §8.1.2 图的同构与子图 §8.1.3 道路、回路与连通性 §8.1.4 图的矩阵表示
§8.2 欧拉图 §8.3 哈密尔顿图 §8.4 平面图 §8.5 顶点支配、独立与覆盖
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无向图与有向图
3
无向图与有向图
一个无向图（undirected graph, 或graph） G 指一个三元组 (V, E, )，其中
vV
vV
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特殊的图
假设 G=(V, E, ) 为无向图，若 G 中所有 顶点都是孤立顶点，则称 G 为零图（null graph）或离散图（discrete graph）；若 |V|=n，|E|=0，则称 G 为 n 阶零图 所有顶点的度数均相等的无向图称为正 则图（regular graph），所有顶点的度数 均为 k 的正则图称为k度正则图，也记作 k-正则图 注：零图是零度正则图
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握手定理
定理（图论基本定理/握手定理）
假设 G=(V, E, ) 为无向图，则deg(v) 2 E ， vV
即所有顶点度数之和等于边数的两倍。
推论
在任何无向图中，奇数度的顶点数必是偶 数。
离散数学——图论
2021/10/10
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哥尼斯堡七桥问题
❖ 把四块陆地用点来表示，桥用点与点连线表 示。
2021/10/10
12
❖ 欧拉将问题转化为：任何一点出发，是否存在通过 每条边一次且仅一次又回到出发点的路？欧拉的结 论是不存在这样的路。显然，问题的结果并不重要， 最为重要的是欧拉解决这个问题的中间步骤，即抽 象为图的形式来分析这个问题 。
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2
图论的发展
❖ 图论的产生和发展经历了二百多年的历史， 从1736年到19世纪中叶是图论发展的第一阶 段。
❖ 第二阶段大体是从19世纪中叶到1936年，主 要研究一些游戏问题：迷宫问题、博弈问题、 棋盘上马的行走线路问题。
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3
❖ 一些图论中的著名问题如四色问题(1852年)和哈密 尔顿环游世界问题(1856年)也大量出现。同时出现 了以图为工具去解决其它领域中一些问题的成果。
❖ P（G）表示连通分支的个数。连通图的连通 分支只有一个。
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练习题---图的连通性问题
❖ 1.若图G是不连通的，则补图是连通的。 ❖ 提示：直接证法。
根据图的不连通，假设至少有两个连通分 支；任取G中两点，证明这两点是可达的。
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❖ 2.设G是有n个结点的简单图，且 |E|>(n-1)(n-2)/2，则G是连通图。
❖ 例子
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29
多重图与带权图
❖ 定义多重图：包含多重边的图。 ❖ 定义简单图：不包含多重边的图。 ❖ 定义有权图：具有有权边的图。 ❖ 定义无权图：无有权边的图。
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《离散数学之图论》课件
二分图
二分图是指一个图中的所有顶点可 以被分成两个不相交的集合，即两 个集合内的点之间没有边。
树
树是一种特殊的无向图，他是一个 无环连通图。
图的表示
1
邻接矩阵
邻接矩阵是表示图的最直观的一种方法，它将图中的每个点与其他点之间的连接 关系用一个矩阵来表示。
2
邻接表
邻接表是图中比较常见的一种数据结构，用于存储有向图或无向图中顶点的邻接 关系。
Kruskal算法是一种贪心算
2 自反闭包
3 反对称闭包
在一个有向图中，如果由顶 点i到顶点j有路径，由顶点j 到顶点k有路径，则从i到k也 有路径。这种情况称为传递 闭包。
在一个有向图中，如果自己 只能到自己，则称之为自反 闭包。
在一个有向图中，如果存在 有向边从i到j，同时存在一 个从j到i的反向边，则称之 为反对称闭包。
3
关联矩阵
关联矩阵是一个图矩阵，它将图中的所有点和边都表示为元素，可以将和特定边 相关的点和总结点联系起来。
图的遍历
1 深度优先遍历
深度优先遍历是从图中的起始点开始，递归地访问所有可达的顶点。它通常用堆栈来实 现。
2 广度优先遍历
广度优先遍历是从图中的起始点开始访问每一层可达的顶点。它通常用队列来实现。
最短路径
Dijkstra算法
Dijkstra算法是一种用来求图中单个源点到其他所有点 的最短路径的平均算法。
Floyd算法
Floyd算法是一种用于发现非负权重图中所有点对之间 的最短路径的算法。
最小生成树
1
Prim算法
Prim算法用于寻找加权无向连通图的最小生
Kruskal算法
2
成树，该树包含了关键点并且保证了所有点 都连通。
离散数学教学图论【共58张PPT】
一 、图的基本概念
• 邻接和关联 • 无向图和有向图 • 零图和平凡图 • 简单图 • 完全图（无向完全图和有向完全图） • 有环图
一 、图的基本概念
• 有限图和无限图 设图G为< V，E，Ψ>
（l）当V和E为有限集时，称G为有限图，否则称G为无限图。 （2）当ΨG为单射时，称G为单图；当ΨG为非单射时，称G为重图，又称满足
二、生成树
1、生成树定义：
若无向图的一个生成子图T是树，则称T 为G的生 成树，T中的边称为树枝，E（G）-E（T）称为树T 的补，其中的每一边称为树T 的弦。
在任何图中，结点v的度（degree）d(v)是v所关联边的数目。
第三节 生成树、最短路径和关键路径 由结点a和它所有的后代导的子图，称为T的子树.
∴ T连通且具有m=n-1的图
{e5,e4,e8} ， {e7，e6，e5，e2，e4} 第四节 欧拉图和哈密顿图
第四节 特殊图（欧拉图和哈密顿图等）
第五节 树、二叉树和哈夫曼树
离散数学教学图论
（优选 欧拉图和哈密顿图
(3)2=>3 ∴W(T)≤W(T1) ∴W(ei+1)≥W(f) 二. 哈密顿图的由来—周游世界问题：
第二节 图的矩阵表示 第四节 欧拉图和哈密顿图
证明：若G中一个边割集和一生成 树无公共边，则表示该边割集所分离的结点不在生成树中，这导致与生成树的定义矛盾。 哈密顿图的由来—周游世界问题： c)对新图向下旋转45度。 ei之后将取f而不是ei+1
为该顶点的度,列之和一定为2. • 有向图的关联矩阵 ----- 以节点数为行,边数为列.节点与边无关系,为0,有关系,则起点为1,
终点为-1;列之和一定为0,每行绝对值之和等于该节点的度数;其 中1的个数为该节点的出度,-1的个数为对应节点的入度;所有元 素的和为0,1的个数等于-1的个数,都等于边数m.
离散数学-图论
若 H 是 G 的分图，则 H 首先必须是 G 的连通子图，并且 G 的任何其他子图（含 G），若它真包含 H，则它不是连通的。
若图 G 是连通图，则 G 只有一个分图。
27
用第二章“关系”的概念解释分图的概念如下：
设有图 G = (V, E)，其中 V 有 n 个结点。在 V 上定义一个二
元关系 ，当且仅当从 vi 到 vj 有路连接时，vi vj。 图 G 中结点之间的连接关系 是 V 上的一个等价关系。
要求的 V 到 V 的双射函数 h。
因为这两个图中边与结点的关联关系不相同。
例如，在 G 中度为 3 的 4 个结点构成一个长为 4 的环，而在
G 中度为 3 的 4 个结点没有构成长为 4 的环。
23
五、子图与分图
利用子集的概念可定义图 G 的子图。 定义8-7 设有图 G1 = (V1, E1) 和图 G2 = (V2, E2)， (1) 若 V2 V1，E2 E1，则称 G2 是 G1 的子图，或称 G1 包含 G2，记作 G2 G1； (2) 若 G2 G1 但 G2 G1（即 V2 V1 或 E2 E1），则称 G2 是 G1 的真子图，记作 G2 G1； (3) 若 V2 = V1，E2 E1，则称 G2 是 G1 的生成子图。 显然，任一图 G 都是自己的子图。
8
例2 (a), (b) 分别给出了例 1 中图 G 的图解方法5
(a)
矩阵表示法
v1 v2 v3 v4 v5 (b)
用矩阵的方法也可以表示一个图。在 8.2 节中我们再专门讨论。
9
二、完全图与补图
v1
(n, m) 图
具有 n 个结点和 m 条边的图称为 (n, m) 图。
例1 设 V = {v1, v2, v3, v4, v5}，
若图 G 是连通图，则 G 只有一个分图。
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用第二章“关系”的概念解释分图的概念如下：
设有图 G = (V, E)，其中 V 有 n 个结点。在 V 上定义一个二
元关系 ，当且仅当从 vi 到 vj 有路连接时，vi vj。 图 G 中结点之间的连接关系 是 V 上的一个等价关系。
要求的 V 到 V 的双射函数 h。
因为这两个图中边与结点的关联关系不相同。
例如，在 G 中度为 3 的 4 个结点构成一个长为 4 的环，而在
G 中度为 3 的 4 个结点没有构成长为 4 的环。
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五、子图与分图
利用子集的概念可定义图 G 的子图。 定义8-7 设有图 G1 = (V1, E1) 和图 G2 = (V2, E2)， (1) 若 V2 V1，E2 E1，则称 G2 是 G1 的子图，或称 G1 包含 G2，记作 G2 G1； (2) 若 G2 G1 但 G2 G1（即 V2 V1 或 E2 E1），则称 G2 是 G1 的真子图，记作 G2 G1； (3) 若 V2 = V1，E2 E1，则称 G2 是 G1 的生成子图。 显然，任一图 G 都是自己的子图。
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例2 (a), (b) 分别给出了例 1 中图 G 的图解方法5
(a)
矩阵表示法
v1 v2 v3 v4 v5 (b)
用矩阵的方法也可以表示一个图。在 8.2 节中我们再专门讨论。
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二、完全图与补图
v1
(n, m) 图
具有 n 个结点和 m 条边的图称为 (n, m) 图。
例1 设 V = {v1, v2, v3, v4, v5}，
离散数学图论
1
2
3
(3)为(1)的生成子图，(2)为(1)的真子图。
补图
定义7 设图G=<V, E> ,若G是n阶无向图，则G的补图为： KnG。即为n阶完全无向图与G的差。若G是n阶有向图， 则G的补图为：n阶有向完全图与G的差。
（这一节介绍了图的一些基本概念，如图的定义，图 中顶点的度，图的所有顶点的度为边的2倍，且一个 图中有偶数个奇顶点，简单图等的定义，图的运算， 子图，补图的一些概念。要掌握这些简单的定义）
e3
d e2
d 1 1 1 0 0
c
e
0
0
0
0
0
有向图的矩阵表示
与无向图相对应，有向图也有类似的矩阵表示。 如右图：
称e关联于顶点a和b；称a和b是邻接的。 若边e对应的是无序偶{a,b},则称e为无向边。同样
称a,b是端点，称e关联于顶点a和b；称a和b是邻接 的。 每一条边都是有向边的图，称为有向图。每条边都 是无向边的图，称为无向图。
图中不与任何顶点邻接的点称为 孤立点。全都是孤 立点的图称为零图。关联于一个顶点的边称为自回路， 也称为自圈。
哥尼斯堡七桥问题
城的四个陆地部分分别表以A，B（大岛），C，D（小岛)， 将陆地设想为图的顶点，把桥画成相应的边，
A
B
D
C
则问题等价于在图中从某一顶点出发找一条回径，通过它的每条 边一次且仅一次，并回到原顶点。
（你能否看出，此问题无解，即这样的走法不存在呢？）
主要内容
1.图的基本概念 2.路径与回路 3.图的矩阵表示 4.几种特殊的图 5.无向树, 有向树
定义5 在有向图G中，如果在任两个顶点中，存在从一个顶点到 另一个顶点的路径，则称图G为单向连通的。如果在G中，任 何两个顶点都互相可达，则称G为强连通的。如果它的基础图 （底图）是连通的，则称之为弱连通的。
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(3)G1与G2的差,定义为图G3＝〈V3,E3〉,记为G3=G1-G2。 其中E3=E1-E2,V3=(V1-V2)∪{E3中边所关联的顶点}。 (4)G1与G2的环和,定义为图G3＝〈V3,E3〉,
G3=(G1∪G2)-(G1∩G2),记为G3=G1 G2。
除以上4种运算外,还有以下两种操作:
E={e1,e2}={(v1,v2),(ห้องสมุดไป่ตู้2,v3)};
f(v1)=5,f(v2)=8,f(v3)=11;
g(e1)=4.6,g(e2)=7.5
8.1.2 结点的次数
定义8.1―4在有向图中,对于任何结点v,以v为始点的 边的条数称为结点v的引出次数(或出度),记为deg+(v); 以v为终点的边的条数称为结点v的引入次数(或入度), 记为deg-(v);结点v的引出次数和引入次数之和称为 结点v的次数(或度数),记作deg(v)。在无向图中,结点 v的次数是与结点v相关联的边的条数,也记为deg(v)。
i 1
i 1
定理8.1―2在图中,次数为奇数的结点必为偶数个。
证 设次数为偶数的结点有n1个,记为(i=1,2,…,n1)。 次数为奇数的结点有n2个,记为(i=1,2,…,n2)。
由上一定理得
n
n1
n2
2m deg(i ) deg(Ei ) deg(Oi )
i 1
i 1
i 1
因为次数为偶数的各结点次数之和为偶数。所以
孤立结点的次数为零。
定理8.1―1 设G是一个(n,m)图,它的结点集合为
V={v1,v2,…,vn},则 n
deg(i ) 2m
i 1
证 因为每一条边提供两个次数,而所有各结点次数
之和为m条边所提供,所以上式成立。
在有向图中,上式也可写成:
n
n
deg (i ) deg (i ) 2m
图 8.1―7
8.1.4 图的运算
图的常见运算有并、交、差、环和等,现分别定义于下:
定义8.1―7设图G1=〈V1,E1〉和图G2=〈V2,E2〉
(1)G1与G2的并,定义为图G3＝〈V3,E3〉, 其中V3=V1∪V2,E3=E1∪E2,记为G3=G1∪G2。
(2)G1与G2的交,定义为图G3＝〈V3,E3〉, 其中V3=V1∩V2,E3=E1∩E2,记为G3=G1∩G2。
有向图和无向图也可互相转化。例如,把无向图中每一条 边都看作两条方向不同的有向边,这时无向图就成为有向 图。又如,把有向图中每条有向边都看作无向边,就得到无 向图。这个无向图习惯上叫做该有向图的底图。 在图中,不与任何结点邻接的结点称为弧立结点；全由孤 立结点构成的图称为零图。关联于同一结点的一条边称为 自回路；自回路的方向不定。自回路的有无不使有关图论 的各个定理发生重大变化,所以有许多场合都略去自回 路。
在有向图中,两结点间(包括结点自身间)若同始点和同 终点的边多于一条,则这几条边称为平行边。在无向图 中,两结点间(包括结点自身间)若多于一条边,则称这
几条边为平行边。两结点a、b间互相平行的边的条数 称为边［a,b］的重数。仅有一条时重数为1,无边时重
数为0。 定义8.1―2含有平行边的图称为多重图。 非多重图称为线图。无自回路的线图称为简单图。
第8章 图论
（优选）离散数学图论版
图 8.1-1
定义中的结点偶对可以是有序的,也可以是无序的。若
边e所对应的偶对〈a,b〉是有序的,则称e是有向边。有 向边简称弧,a叫弧e的始点,b叫弧e的终点,统称为e的端 点。称e是关联于结点a和b的,结点a和结点b是邻接的。 若边e所对应的偶对(a,b)是无序的,则称e是无向边。无
仅有的边。
图 8.1―6
两图同构的必要条件:(1)结点数相等;(2)边数相等;(3)度 数相同的结点数相等。
但这不是充分条件。例如下图中(a)、(b)两图虽然满足以 上3条件,但不同构。(a)中的x应与(b)中的y对应,因为次 数都是3。但(a)中的x与两个次数为1的点u,v邻接,而(b) 中的y仅与一个次数为1的点w邻接。
前一项次数为偶数;若n2为奇数,则第二项为奇数,两项 之和将为奇数,但这与上式矛盾。故n2必为偶数。证毕。
定义8.1―5各结点的次数均相同的图称为正则图,各
结点的次数均为k时称为k―正则图。 下图所示的称为彼得森(Petersen)图,是3―正则图。
图 8.1―5
8.1.3 图的同构
定义8.1.6设G=〈V,E〉和G′=〈V′,E′〉是两个图, 若存在从V到V′的双射函数Φ,使对任意a、b∈V, ［a,b]∈E当且仅当［Φ(a),Φ(b)］∈E′,并且 ［a,b］和［Φ(a),Φ(b)］有相同的重数,则称G和G′
向边简称棱,除无始点和终点的术语外,其它术语与有向 边相同。 每一条边都是有向边的图称为有向图, 第三章中的关系 图都是有向图的例子。每一条边都是无向边的图称为无 向图；如果在图中一些边是有向边,而另一些边是无向 边,则称这个图是混合图。我们仅讨论有向图和无向图,
且V(G)和E(G)限于有限集合。
约定用〈a,b〉表示有向边,(a,b)表示无向边,既表示有向 边又表示无向边时用［a,b］。
是同构的。 上述定义说明,两个图的各结点之间,如果存在一一对 应关系,而且这种对应关系保持了结点间的邻接关系 (在有向图时还保持边的方向)和边的重数,则这两个图 是同构的,两个同构的图除了顶点和边的名称不同外实 际上代表同样的组合结构。
例2 (a)、(b)两图是同构的。因为可作映射:g(1)=v3, g(2)=v1,g(3)=v4,g(4)=v2。在这映射下,边〈1,3〉, 〈1,2〉,〈2,4〉和〈3,4〉分别映射到〈v3,v4〉,〈 v3,v1〉,〈v1,v2〉和〈v4,v2〉,而后面这些边又是(b)中
在图8.1―3中,(a)、(b)是多重图,(c)是线图,(d)是简
单图,关系图都是线图。
图 8.1―3
定义 8.1―3 赋权图G是一个三重组〈V,E,g〉或四重 组〈V,E,f,g〉,其中V是结点集合, E是边的集合,f 是定义在V上的函数,g是定义在E上的函数。
右图给出一个赋权图。
V={v1,v2,v3};
(1) 删去图G的一条边e; (2)删去图G的一个结点v。它的实际意 义是删去结点v和与v关联的所有边。
G3=(G1∪G2)-(G1∩G2),记为G3=G1 G2。
除以上4种运算外,还有以下两种操作:
E={e1,e2}={(v1,v2),(ห้องสมุดไป่ตู้2,v3)};
f(v1)=5,f(v2)=8,f(v3)=11;
g(e1)=4.6,g(e2)=7.5
8.1.2 结点的次数
定义8.1―4在有向图中,对于任何结点v,以v为始点的 边的条数称为结点v的引出次数(或出度),记为deg+(v); 以v为终点的边的条数称为结点v的引入次数(或入度), 记为deg-(v);结点v的引出次数和引入次数之和称为 结点v的次数(或度数),记作deg(v)。在无向图中,结点 v的次数是与结点v相关联的边的条数,也记为deg(v)。
i 1
i 1
定理8.1―2在图中,次数为奇数的结点必为偶数个。
证 设次数为偶数的结点有n1个,记为(i=1,2,…,n1)。 次数为奇数的结点有n2个,记为(i=1,2,…,n2)。
由上一定理得
n
n1
n2
2m deg(i ) deg(Ei ) deg(Oi )
i 1
i 1
i 1
因为次数为偶数的各结点次数之和为偶数。所以
孤立结点的次数为零。
定理8.1―1 设G是一个(n,m)图,它的结点集合为
V={v1,v2,…,vn},则 n
deg(i ) 2m
i 1
证 因为每一条边提供两个次数,而所有各结点次数
之和为m条边所提供,所以上式成立。
在有向图中,上式也可写成:
n
n
deg (i ) deg (i ) 2m
图 8.1―7
8.1.4 图的运算
图的常见运算有并、交、差、环和等,现分别定义于下:
定义8.1―7设图G1=〈V1,E1〉和图G2=〈V2,E2〉
(1)G1与G2的并,定义为图G3＝〈V3,E3〉, 其中V3=V1∪V2,E3=E1∪E2,记为G3=G1∪G2。
(2)G1与G2的交,定义为图G3＝〈V3,E3〉, 其中V3=V1∩V2,E3=E1∩E2,记为G3=G1∩G2。
有向图和无向图也可互相转化。例如,把无向图中每一条 边都看作两条方向不同的有向边,这时无向图就成为有向 图。又如,把有向图中每条有向边都看作无向边,就得到无 向图。这个无向图习惯上叫做该有向图的底图。 在图中,不与任何结点邻接的结点称为弧立结点；全由孤 立结点构成的图称为零图。关联于同一结点的一条边称为 自回路；自回路的方向不定。自回路的有无不使有关图论 的各个定理发生重大变化,所以有许多场合都略去自回 路。
在有向图中,两结点间(包括结点自身间)若同始点和同 终点的边多于一条,则这几条边称为平行边。在无向图 中,两结点间(包括结点自身间)若多于一条边,则称这
几条边为平行边。两结点a、b间互相平行的边的条数 称为边［a,b］的重数。仅有一条时重数为1,无边时重
数为0。 定义8.1―2含有平行边的图称为多重图。 非多重图称为线图。无自回路的线图称为简单图。
第8章 图论
（优选）离散数学图论版
图 8.1-1
定义中的结点偶对可以是有序的,也可以是无序的。若
边e所对应的偶对〈a,b〉是有序的,则称e是有向边。有 向边简称弧,a叫弧e的始点,b叫弧e的终点,统称为e的端 点。称e是关联于结点a和b的,结点a和结点b是邻接的。 若边e所对应的偶对(a,b)是无序的,则称e是无向边。无
仅有的边。
图 8.1―6
两图同构的必要条件:(1)结点数相等;(2)边数相等;(3)度 数相同的结点数相等。
但这不是充分条件。例如下图中(a)、(b)两图虽然满足以 上3条件,但不同构。(a)中的x应与(b)中的y对应,因为次 数都是3。但(a)中的x与两个次数为1的点u,v邻接,而(b) 中的y仅与一个次数为1的点w邻接。
前一项次数为偶数;若n2为奇数,则第二项为奇数,两项 之和将为奇数,但这与上式矛盾。故n2必为偶数。证毕。
定义8.1―5各结点的次数均相同的图称为正则图,各
结点的次数均为k时称为k―正则图。 下图所示的称为彼得森(Petersen)图,是3―正则图。
图 8.1―5
8.1.3 图的同构
定义8.1.6设G=〈V,E〉和G′=〈V′,E′〉是两个图, 若存在从V到V′的双射函数Φ,使对任意a、b∈V, ［a,b]∈E当且仅当［Φ(a),Φ(b)］∈E′,并且 ［a,b］和［Φ(a),Φ(b)］有相同的重数,则称G和G′
向边简称棱,除无始点和终点的术语外,其它术语与有向 边相同。 每一条边都是有向边的图称为有向图, 第三章中的关系 图都是有向图的例子。每一条边都是无向边的图称为无 向图；如果在图中一些边是有向边,而另一些边是无向 边,则称这个图是混合图。我们仅讨论有向图和无向图,
且V(G)和E(G)限于有限集合。
约定用〈a,b〉表示有向边,(a,b)表示无向边,既表示有向 边又表示无向边时用［a,b］。
是同构的。 上述定义说明,两个图的各结点之间,如果存在一一对 应关系,而且这种对应关系保持了结点间的邻接关系 (在有向图时还保持边的方向)和边的重数,则这两个图 是同构的,两个同构的图除了顶点和边的名称不同外实 际上代表同样的组合结构。
例2 (a)、(b)两图是同构的。因为可作映射:g(1)=v3, g(2)=v1,g(3)=v4,g(4)=v2。在这映射下,边〈1,3〉, 〈1,2〉,〈2,4〉和〈3,4〉分别映射到〈v3,v4〉,〈 v3,v1〉,〈v1,v2〉和〈v4,v2〉,而后面这些边又是(b)中
在图8.1―3中,(a)、(b)是多重图,(c)是线图,(d)是简
单图,关系图都是线图。
图 8.1―3
定义 8.1―3 赋权图G是一个三重组〈V,E,g〉或四重 组〈V,E,f,g〉,其中V是结点集合, E是边的集合,f 是定义在V上的函数,g是定义在E上的函数。
右图给出一个赋权图。
V={v1,v2,v3};
(1) 删去图G的一条边e; (2)删去图G的一个结点v。它的实际意 义是删去结点v和与v关联的所有边。