第1节 导数的概念及运算法则 - 学生版

第一节 导数的概念及运算 定积分考试要求1．了解导数概念的实际背景.2.理解导数的几何意义.3.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.4.能求简单的复合函数(仅限于形如f (ax ＋b )的复合函数)的导数．5．了解定积分的实际背景；了解定积分的基本思想，定积分的概念，微积分基本定理的含义．[知识排查·微点淘金]知识点1 导数的概念一般地，函数y ＝f (x )在x ＝x 0处导数的定义，称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率lim x →0_f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx＝lim x →0 ΔyΔx 为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝lim x →0Δy Δx ＝lim x →0_f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx． [微思考]f ′(x )与f ′(x 0)有什么．提示：f ′(x )是一个函数，f ′(x 0)是函数f ′(x )在x 0处的函数值(常数)，所以[f ′(x 0)]′＝0. 知识点2 导数的几何意义函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是：在曲线y ＝f (x )上点P (x 0，y 0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)·(x －x 0)．[微思考]直线与曲线只有一个公共点，则该直线一定与曲线相切吗？为什么？提示：不一定．因为直线与曲线的公共点个数不是切线的本质特征，直线与曲线只有一个公共点，不能说明直线就是曲线的切线，反之，直线是曲线的切线，也不能说明直线与曲线有一个公共点，但切点一定是直线与曲线的公共点．[微提醒]1．“过”与“在”：曲线y ＝f (x )“在点P (x 0，y 0)处的切线”与“过点P (x 0，y 0)的切线”的区别：前者P (x 0，y 0)为切点，而后者P (x 0，y 0)不一定为切点．2．“切点”与“公共点”：曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点．知识点3 求导公式及运算法则 (1)基本初等函数的导数公式 ①c ′＝0；②(x α)′＝αx α－1(α∈Q 且α≠0)； ③(sin x )′＝cos_x ； ④(cos x )′＝－sin_x ； ⑤(a x )′＝a x ·ln_a ； ⑥(e x )′＝e x ； ⑦(log a x )′＝1x ln a； ⑧(ln x )′＝1x ．(2)导数的运算法则 ①[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； ②[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； ③⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′＝f ′（x ）·g （x ）－g ′（x ）·f （x ）g （x ）(g (x )≠0)． (3)复合函数的求导法则复合函数y ＝f (g (x ))对自变量的导数等于已知函数对中间变量的导数与中间变量对自变量的导数的乘积．设y ＝f (u )，u ＝g (x )，则y ′x ＝f ′(u )·g ′(x )．知识点4 定积分(1)定积分的概念、几何意义及性质 ①定积分的相关概念在⎠⎛ab f (x )d x 中，a ，b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式．②定积分的几何意义y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积f (x )＜0 表示由直线x ＝a ，x ＝b ，y ＝0及曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积的相反数f (x )在[a ，b ] 上有正有负表示位于x 轴上方的曲边梯形的面积减去位于x 轴下方的曲边梯形的面积③定积分的三个性质a.⎠⎛a b kf (x )d x ＝k ⎠⎛ab f (x )d x (k 为常数)；b.⎠⎛a b [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝⎠⎛a b f 1(x )d x ±⎠⎛ab f 2(x )d x ；c.⎠⎛a b f (x )d x ＝⎠⎛a b f (x )d x ＋⎠⎛ab f (x )d x (其中a ＜c ＜b )．(2)微积分基本定理一般地，如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )，那么⎠⎛ab f (x )d x ＝F (b )－F (a )，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式 .通常记作⎠⎛ab f (x )d x ＝F (x )|b a ＝F (b )－F (a )．如果F ′(x )＝f (x )，那么称F (x )是f (x )的一个原函数． 常用结论函数f (x )在闭区间[－a ，a ]上连续，则有1．若f (x )为偶函数，则⎠⎛－a a f (x )d x ＝2⎠⎛0a f (x )d x ；2．若f (x )为奇函数，则⎠⎛－aa f (x )d x ＝0.[小试牛刀·自我诊断]1．思考辨析(在括号内打“ √”或“×”)(1)f ′(x 0)是函数y ＝f (x )在x ＝x 0附近的平均变化率．(×) (2)求f ′(x 0)时，可先求f (x 0)，再求f ′(x 0)．(×) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．(√) (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．(×)(5)曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线与过点P (x 0，y 0)的切线相同．(×) (6)设函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上连续，则⎠⎛a b f (x )d x ＝⎠⎛ab f (t )d t .(√)2．(链接教材选修2－2 P 50A 组T 5)定积分⎠⎛－11|x |d x ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案：A3．(链接教材选修2－2 P 3例题)在高台跳水运动中，t s 时运动员相对于水面的高度(单位：m)是h (t )＝－4.9t 2＋6.5t ＋10，则运动员的速度v ＝________m/s ，加速度a ＝________m/s 2.答案：－9.8t ＋6.5 －9.84．(不会用方程法解导数求值)已知f (x )＝x 2＋3xf ′(2)，则f (2)＝________．解析：因为f ′(x )＝2x ＋3f ′(2)，令x ＝2，得f ′(2)＝－2，所以f (x )＝x 2－6x ，所以f (2)＝－8.答案：－85．(混淆在点P 处的切线和过P 点的切线)已知曲线y ＝a e x ＋x ln x 在点(1，a e)处的切线方程为y ＝2x ＋b ，则a 的值为________；b 的值为________．解析：y ′＝a e x ＋ln x ＋1 ∴⎩⎪⎨⎪⎧a e ＋1＝2，a e ＝2＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1e，b ＝－1. 答案：1e－1一、基础探究点——导数的运算(题组练透)1．已知f (x )＝cos 2x ＋e 2x ，则f ′(x )＝( ) A ．－2sin 2x ＋2e 2x B ．sin 2x ＋e 2x C ．2sin 2x ＋2e 2x D ．－sin 2x ＋e 2x解析：选A 由题意f ′(x )＝－sin 2x ·2＋e 2x ·2＝－2sin 2x ＋2e 2x ，故选A. 2．已知f (x )＝x (2021＋ln x )，若f ′(x 0)＝2022，则x 0＝( ) A ．e 2 B ．1 C ．ln 2D ．e解析：选B 因为f (x )＝x (2021＋ln x )， 所以f ′(x )＝2021＋ln x ＋1＝2022＋ln x . 又f ′(x 0)＝2022，所以2022＋ln x 0＝2022，所以x 0＝1.故选B.3．(2020·全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝e x x ＋a，若f ′(1)＝e4，则a ＝________．解析：由f ′(x )＝e x （x ＋a ）－e x （x ＋a ）2，可得f ′(1)＝e a （1＋a ）2＝e 4，即a （1＋a ）2＝14，解得a ＝1.答案：14．若f (x )＝x 3＋2x －x 2ln x －1x 2，则f ′(x )＝________．解析：由已知f (x )＝x －ln x ＋2x －1x 2，∴f ′(x )＝1－1x －2x 2＋2x 3.答案：1－1x －2x 2＋2x31.求函数导数的总原则：先化简解析式，再求导.2.常见形式及具体求导方法连乘形式 先展开化为多项式形式，再求导三角形式 先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导 分式形式 先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导 根式形式 先化为分数指数幂的形式，再求导 对数形式 先化为和、差形式，再求导复合函数 先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元二、应用探究点——导数的几何意义(多向思维)[典例剖析]思维点1 求曲线的切线方程[例1] (2021·全国甲卷)[一题多解]曲线y ＝2x －1x ＋2在点(－1，－3)处的切线方程为______．解析：解法一：y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x ＋2′＝2（x ＋2）－（2x －1）（x ＋2）2＝5（x ＋2）2，所以y ′|x ＝－1＝5（－1＋2）2＝5，所以切线方程为y ＋3＝5(x ＋1)，即5x －y ＋2＝0.解法二：本题可以先将函数转化为y ＝2（x ＋2）－5x ＋2＝2－5x ＋2，再求导数．答案：5x －y ＋2＝0解决这类问题的方法都是根据曲线在点(x 0，y 0)处的切线的斜率k ＝f ′(x 0)，直接求解或结合已知所给的平行或垂直等条件得出关于斜率的等式来求解．解决这类问题的关键是抓住切线的斜率．思维点2 求切点坐标[例2] 若曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线平行于直线2x －y ＋1＝0，则点P 的坐标是________．解析：设切点P 的坐标为(x 0，y 0)，因为y ′＝ln x ＋1， 所以切线的斜率k ＝ln x 0＋1，由题意知k ＝2，得x 0＝e ，代入曲线方程得y 0＝e. 故点P 的坐标是(e ，e)． 答案：(e ，e) [拓展变式][变条件]若本例变为：曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线与直线x ＋y ＋1＝0垂直，则该切线的方程为________．解析：设切点P 的坐标为(x 0，y 0)， 因为y ′＝ln x ＋1，由题意得ln x 0＋1＝1， 所以ln x 0＝0，x 0＝1，即点P (1，0)， 所以切线方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0. 答案：x －y －1＝0已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数，再让导数等于切线的斜率，从而求出切点的横坐标，将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标．思维点3 由曲线的切线(斜率)求参数值(范围)[例3] (1)直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 相切于点A (1，3)，则2a ＋b 的值等于( ) A ．2 B ．－1 C ．1D ．－2解析：依题意知，y ′＝3x 2＋a ，则⎩⎪⎨⎪⎧13＋a ＋b ＝3，3×12＋a ＝k ，k ＋1＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3，k ＝2，所以2a ＋b ＝1.故选C.答案：C(2)若点P 是函数y ＝e x －e －x －3x ⎝⎛⎭⎫－12≤x ≤12图象上任意一点，且在点P 处切线的倾斜角为α，则α的最小值是________．解析：由导数的几何意义，知k ＝y ′＝e x ＋e －x －3≥2 e x ·e －x －3＝－1，当且仅当x ＝0时等号成立．即tan α≥－1，α∈[0，π)．又－12≤x ≤12，tan α＝k ＜0，所以α的最小值是3π4.答案：3π4解与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数；①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上．思维点4 两曲线的公切线问题[例4] 设x 1为曲线y ＝－1x (x <0)与y ＝ln x 的公切线的一个切点横坐标，且x 1<0，则满足m ≥x 1的最小整数m 的值为________．解析：y ＝－1x (x <0)的导数为y ′＝1x 2，y ＝ln x 的导数为y ′＝1x ，设与y ＝ln x 相切的切点的横坐标为n ， 由切线方程y ＝1n x ＋ln n －1，以及y ＝x x 21－2x 1，可得1n ＝1x 21，ln n －1＝－2x 1，消去n ，可得2－x 1＝2ln(－x 1)－1，设t ＝－x 1(t >0)，可得2t＝2ln t －1，设f (t )＝2ln t －1－2t ，可得f (2)＝2ln 2－2<0，f (3)＝2ln 3－53>0，且f (t )在(2，3)递增，可得2t ＝2ln t －1的根介于(2，3)之间，即有x 1∈(－3，－2)，m ≥x 1恒成立，可得m ≥－2，即m 的最小值为－2. 答案：－2解决两曲线的公切线问题的两种方法(1)利用其中一曲线在某点处的切线与另一曲线相切，列出关系式求解；(2)设公切线l 在y ＝f (x )上的切点P 1(x 1，f (x 1))，在y ＝g (x )上的切点P 2(x 2，g (x 2))，则f ′(x 1)＝g ′(x 2)＝f （x 1）－g （x 2）x 1－x 2.[学会用活]1．(2020·全国卷Ⅰ)曲线y ＝ln x ＋x ＋1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为________．解析：设切点坐标为(x 0，ln x 0＋x 0＋1)．由题意得y ′＝1x ＋1，则该切线的斜率k ＝1x 0＋1＝2，解得x 0＝1，所以切点坐标为(1，2)，所以该切线的方程为y －2＝2(x －1)，即y ＝2x .答案：2x －y ＝02．(2021·贵阳模拟)设函数f (x )＝x 3＋(a －1)·x 2＋ax ，若f (x )为奇函数，且函数y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线与直线x ＋y ＝0垂直，则切点P (x 0，f (x 0))的坐标为________．解析：∵f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax ， ∴f ′(x )＝3x 2＋2(a －1)x ＋a .又f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )恒成立，即－x 3＋(a －1)x 2－ax ＝－x 3－(a －1)x 2－ax 恒成立，∴a ＝1，f ′(x )＝3x 2＋1，3x 20＋1＝1，x 0＝0，f (x 0)＝0， ∴切点P (x 0，f (x 0))的坐标为(0，0)． 答案：(0，0)3．已知直线y ＝kx －2与曲线y ＝x ln x 在x ＝e 处的切线平行，则实数k 的值为________． 解析：由y ＝x ln x ，得y ′＝ln x ＋1，所以当x ＝e 时，y ′＝ln e ＋1＝2，所以曲线y ＝x ln x 在x ＝e 处的切线的斜率为2.又该切线与直线y ＝kx －2平行，所以k ＝2.答案：24．(2021·内蒙古包头一模)若曲线f (x )＝a ln x (a ∈R )与曲线g (x )＝x 在公共点处有共同的切线，则实数a 的值为________．解析：函数f (x )＝a ln x 的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a x ，g ′(x )＝12x ，设曲线f (x )＝a ln x与曲线g (x )＝x 的公共点为(x 0，y 0)，由于在公共点处有共同的切线，∴a x 0＝12x 0，解得x 0＝4a 2，a ＞0. 由f (x 0)＝g (x 0)，可得a ln x 0＝x 0.联立⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝4a 2，a ln x 0＝x 0，解得a ＝e2.答案：e 2三、应用探究点——定积分(多向思维)[典例剖析]思维点1 定积分的计算[例5] 计算：(1)⎠⎛0π(sin x －cos x )d x ＝________．(2)若f (x )＝3＋2x －x 2，则⎠⎛13f (x )d x 为______．(3)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，1x ，x ∈（1，e](e 为自然对数的底数)，则⎠⎛0e f (x )d x 的值为________．解析：(1)⎠⎛0π(sin x －cos x )d x ＝⎠⎛0πsin x d x －⎠⎛0πcos x d x ＝2.(2)由y ＝3＋2x －x 2＝4－（x －1）2，得(x －1)2＋y 2＝4(y ≥0)，表示以(1，0)为圆心，2为半径的圆在x 轴及其上方的部分，所以⎠⎛133＋2x －x 2d x 是圆面积的14.所以⎠⎛133＋2x －x 2d x ＝14·π·22＝π.(3)因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，1x ，x ∈（1，e]，因为⎝⎛⎭⎫13x 3′＝x 2， (ln x )′＝1x ，所以⎠⎛0e f (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛1e 1xd x ＝13＋1＝43.答案：(1)2 (2)π (3)43应用微积分基本定理计算定积分的步骤1．把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差． 2．把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分． 3．分别用求导公式找到一个相应的原函数． 4．利用微积分基本定理求出各个定积分的值． 5．计算原始定积分的值．思维点2 利用定积分求平面图形的面积[例6] [一题多解]由抛物线y 2＝2x 与直线y ＝x －4围成的平面图形的面积为________． 解析：如图所示，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，y ＝x －4，解得两交点的坐标分别为(2，－2)，(8，4)． 解法一：选取横坐标x 为积分变量，则图中阴影部分的面积S 可看作两部分面积之和，即S ＝2⎠⎛022x d x ＋⎠⎛28(2x －x ＋4)d x ＝23(2x )32⎪⎪⎪20＋⎣⎡⎦⎤13（2x ）32－12x 2＋4x ⎪⎪⎪82＝163＋⎝⎛⎭⎫643－263＝543＝18. 解法二：选取纵坐标y 为积分变量，则图中阴影部分的面积为S ＝⎠⎛－24⎝⎛⎭⎫y ＋4－12y 2d y ＝⎝⎛⎭⎫12y 2＋4y －16y 3⎪⎪⎪4－2＝18. 答案：18 [拓展变式]1．[变条件]若本例变为：由曲线y ＝2x 2，直线y ＝－4x －2，直线x ＝1围成的封闭图形的面积为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x 2，y ＝－4x －2，解得x ＝－1，依题意可得，所求的封闭图形的面积为⎠⎛－11(2x 2＋4x ＋2)d x ＝⎝⎛⎭⎫23x 3＋2x 2＋2x |1－1＝⎝⎛⎭⎫23×13＋2×12＋2×1－⎣⎡⎦⎤23×（－1）3＋2×（－1）2＋2×（－1）＝163. 答案：1632．[变条件，变结论]若本例变为：设a ＞0，若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则a ＝________．解析：封闭图形如图所示，则⎠⎛0ax d x ＝23x 32⎪⎪⎪a0＝23a 32－0＝a 2，解得a ＝49. 答案：49利用定积分求平面图形面积的步骤(1)根据题意画出图形．(2)借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限． (3)把平面图形的面积表示成若干个定积分的和或差． (4)计算定积分得出答案．[学会用活]5.⎠⎛1e 1x d x ＋⎠⎛－224－x 2d x ＝________．解析：⎠⎛1e 1x d x ＝ln x |e 1＝1－0＝1，因为⎠⎛－224－x 2d x 表示的是圆x 2＋y 2＝4在x 轴及其上方的面积，故⎠⎛－224－x 2d x ＝12π·22＝2π，故答案为2π＋1.答案：2π＋16．(2021·江西宜春重点高中月考)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4，－4≤x ＜0，4cos x ，0≤x ≤π2的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为________．解析：由题意可得围成的封闭图形的面积 S ＝⎠⎛－4(x ＋4)d x ＋∫π204cos x d x＝⎝⎛⎭⎫12x 2＋4x |0－4＋4sin x |π20 ＝0－(8－16)＋4sin π2－0＝12.答案：12限时规范训练 基础夯实练1．定积分⎠⎛01(2x ＋e x )d x 的值为( )A ．e ＋2B ．e ＋1C ．eD ．e －1解析：选C ⎠⎛01(2x ＋e x )d x ＝(x 2＋e x )|10＝(1＋e)－(0＋e 0)＝e ，故选C.2．(2021·晋南高中联考)函数f (x )＝ln 2x －1x 的图象在点⎝⎛⎭⎫12，f ⎝⎛⎭⎫12处的切线方程为( ) A ．y ＝6x －5 B ．y ＝8x －6 C ．y ＝4x －4D ．y ＝10x －7解析：选A f ⎝⎛⎭⎫12＝ln 1－2＝－2，因为f ′(x )＝1x ＋1x 2，所以f ′⎝⎛⎭⎫12＝6，所以切线方程为y －(－2)＝6⎝⎛⎭⎫x －12，即y ＝6x －5，故选A. 3．已知函数f (x )＝(x 2＋m )e x (m ∈R )的图象在x ＝1处的切线的斜率等于e ，且g (x )＝f （x ）x，则g ′(－1)＝( )A.4e B ．－4eC.e 4D ．－e 4解析：选A 由题意得f ′(x )＝2x e x ＋(x 2＋m )e x ＝(x 2＋2x ＋m )e x ，f ′(1)＝(3＋m )e ，由题意得(3＋m )e ＝e ，所以m ＝－2，所以f (x )＝(x 2－2)e x .解法一：所以g (x )＝f （x ）x ＝⎝⎛⎭⎫x －2x e x ，g ′(x )＝⎝⎛⎭⎫1＋2x 2e x ＋⎝⎛⎭⎫x －2x e x ，所以g ′(－1)＝4e . 解法二：f ′(x )＝(x 2＋2x －2)e x ，f (－1)＝－1e ，所以f ′(－1)＝－3e ，又g ′(x )＝xf ′（x ）－f （x ）x 2，所以g ′(－1)＝4e.4．(2021·贵阳市四校联考)直线l 过抛物线E ：y 2＝4x 的焦点且与x 轴垂直，则直线l 与E 所围成的图形的面积等于( )A ．2B ．43C.83D ．163解析：选C 由题意，得直线l 的方程为x ＝1，将y 2＝4x 化为y ＝±2x ，由定积分的几何意义，得所求图形的面积为S ＝2⎠⎛012x d x ＝4⎠⎛01x 12d x ＝4×⎝⎛⎭⎫23x 32|10＝83×1＝83，故选C. 5．如果f ′(x )是二次函数，且f ′(x )的图象开口向上，顶点坐标为(1，3)，那么曲线y ＝f (x )上任一点的切线的倾斜角α的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0，π3 B ．⎣⎡⎭⎫π3，π2 C.⎝⎛⎦⎤π2，2π3D ．⎣⎡⎭⎫π3，π解析：选B 根据题意，得f ′(x )≥3，则曲线y ＝f (x )上任一点的切线的斜率k ＝tan α≥ 3. 结合正切函数的图象可得α∈⎣⎡⎭⎫π3，π2.故选B.6．已知直线y ＝2x ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 相切于点(1，3)，则a ＝________，b ＝________．解析：因为(x 3＋ax ＋b )′＝3x 2＋a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧3×12＋a ＝2，13＋a ·1＋b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3.答案：－1 37．若f (x )＝13x 3－12f ′(1)·x 2＋x ＋12，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程是________．解析：因为f (x )＝13x 3－12f ′(1)x 2＋x ＋12，所以f ′(x )＝x 2－f ′(1)x ＋1，所以f ′(1)＝1－f ′(1)＋1，所以f ′(1)＝1，所以f (1)＝13－12＋1＋12＝43，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程是y －43＝x－1，即3x －3y ＋1＝0.答案：3x －3y ＋1＝08．已知函数f (x )＝x 3－4x 2＋5x －4. (1)求曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)求经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程． 解：(1)∵f ′(x )＝3x 2－8x ＋5，∴f ′(2)＝1， 又f (2)＝－2，∴曲线在点(2，f (2))处的切线方程为y ＋2＝x －2， 即x －y －4＝0.(2)设曲线与经过点A (2，－2)的切线相切于点P (x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)，∵f ′(x 0)＝3x 20－8x 0＋5，∴切线方程为y －(－2)＝(3x 20－8x 0＋5)·(x －2)， 又切线过点P (x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)， ∴x 30－4x 20＋5x 0－2＝(3x 20－8x 0＋5)(x 0－2)， 整理得(x 0－2)2(x 0－1)＝0，解得x 0＝2或1，∴经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程为x －y －4＝0或y ＋2＝0. 9．(2021·淮南模拟)已知函数f (x )＝x 2－ln x . (1)求函数f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)在函数f (x )＝x 2－ln x 的图象上是否存在两点，使以这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在区间⎣⎡⎦⎤12，1上？若存在，求出这两点的坐标，若不存在，请说明理由．解：(1)由题意可得f (1)＝1，且f ′(x )＝2x －1x，f ′(1)＝2－1＝1，则所求切线方程为y －1＝1·(x －1)，即y ＝x .(2)假设存在两点满足题意，且设切点坐标为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 则x 1，x 2∈⎣⎡⎦⎤12，1，不妨设x 1＜x 2，结合题意和(1)中求得的导函数解析式可得⎝⎛⎭⎫2x 1－1x 1⎝⎛⎭⎫2x 2－1x 2＝－1， 又函数f ′(x )＝2x －1x 在区间⎣⎡⎦⎤12，1上单调递增，函数的值域为[－1，1]， 故－1≤2x 1－1x 1＜2x 2－1x 2≤1，据此有⎩⎨⎧2x 1－1x 1＝－1，2x 2－1x 2＝1，解得x 1＝12，x 2＝1⎝⎛⎭⎫x 1＝－1，x 2＝－12舍去， 故存在两点⎝⎛⎭⎫12，ln 2＋14，(1，1)满足题意． 综合提升练10．已知直线y ＝1m 是曲线y ＝x e x 的一条切线，则实数m 的值为( )A ．－1eB ．－e C.1eD ．e解析：选B 设切点坐标为⎝⎛⎭⎫n ，1m ，对y ＝x e x 求导，得y ′＝(x e x )′＝e x ＋x e x ，若直线y ＝1m 是曲线y ＝x e x 的一条切线，则有y ′|x ＝n ＝e n ＋n e n ＝0，解得n ＝－1，此时有1m ＝n e n ＝－1e ，∴m ＝－e.故选B.11．(2021·新高考卷Ⅰ)若过点(a ，b )可以作曲线y ＝e x 的两条切线，则( ) A ．e b ＜a B ．e a ＜b C ．0＜a ＜e bD ．0＜b ＜e a解析：选D 解法一：设切点(x 0，y 0)，y 0＞0，则切线方程为y －b ＝e x 0(x －a )，由⎩⎪⎨⎪⎧y 0－b ＝e x 0（x 0－a ）y 0＝e x 0得e x 0(1－x 0＋a )＝b ，则由题意知关于x 0的方程e x 0(1－x 0＋a )＝b 有两个不同的解．设f (x )＝e x (1－x ＋a )，则f ′(x )＝e x (1－x ＋a )－e x ＝－e x (x －a )，由f ′(x )＝0得x ＝a ，所以当x ＜a 时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增，当x ＞a 时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减，所以f (x )max ＝f (a )＝e a (1－a ＋a )＝e a ，当x ＜a 时，a －x ＞0, 所以f (x )＞0，当x →－∞时，f (x )→0，当x →＋∞时，f (x )→－∞，作出函数f (x )＝e x (1－x ＋a )的大致图象如图所示，因为f (x )的图象与直线y ＝b 有两个交点，所以0＜b ＜e a ，故选D.解法二：过点(a ，b )可以作曲线y ＝e x 的两条切线，则点(a ，b )在曲线y ＝e x 的下方且在x 轴的上方，得0＜b ＜e a ，故选D.12．(2020·全国卷Ⅲ)若直线l 与曲线y ＝x 和圆x 2＋y 2＝15都相切，则l 的方程为( )A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝2x ＋12C ．y ＝12x ＋1D ．y ＝12x ＋12解析：选D 易知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b ，则|b |k 2＋1＝55①，设直线l 与曲线y ＝x 的切点坐标为(x 0，x 0)(x 0＞0)，则y ′|x ＝x 0＝12x 0－12＝k ②，x 0＝kx 0＋b ③，由②③可得b ＝12x 0，将b ＝12x 0，k ＝12x 0－12代入①得x 0＝1或x 0＝－15(舍去)，所以k ＝b ＝12，故直线l 的方程为y ＝12x ＋12.13．(2021·开封市模拟考试)已知函数f (x )＝mx 3＋6mx －2e x ，若曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线与直线4x ＋y －2＝0平行，则m ＝________．解析：f ′(x )＝3mx 2＋6m －2e x ，则f ′(0)＝6m －2＝－4， 解得m ＝－13.答案：－1314．(2021·江西五校联考)已知函数f (x )＝x ＋a2x ，若曲线y ＝f (x )存在两条过(1，0)点的切线，则a 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝1－a 2x 2，设切点坐标为⎝⎛⎭⎫x 0，x 0＋a 2x 0，则切线方程为y －x 0－a 2x 0＝⎝⎛⎭⎫1－a 2x 20(x －x 0)，又切线过点(1，0)，所以－x 0－a 2x 0＝⎝⎛⎭⎫1－a 2x 20(1－x 0)，整理得2x 20＋2ax 0－a ＝0，又曲线y ＝f (x )存在两条过(1，0)点的切线，故方程有两个不等实根，即满足Δ＝4a 2－8(－a )＞0，解得a ＞0或a ＜－2.答案：(－∞，－2)∪(0，＋∞)15．(2021·河北六校联考)已知函数f (x )＝x ln x －12mx 2(m ∈R )，g (x )＝－x ＋1e x －2e x ＋e －1e .(1)若函数f (x )的图象在(1，f (1))处的切线与直线x －y ＋1＝0平行，求m ； (2)证明：在(1)的条件下，对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，f (x 1)＞g (x 2)成立． 解：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝ln x ＋1－mx ，f ′(1)＝1－m ，因为f (x )的图象在(1，f (1))处的切线与直线x －y ＋1＝0平行，所以1－m ＝1，即m ＝0. (2)证明：在(1)的条件下，f (x )＝x ln x ，f ′(x )＝ln x ＋1， 当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1e 时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减， 当x ∈⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增，所以f (x )＝x ln x 在x ＝1e 时取得最小值f ⎝⎛⎭⎫1e ＝－1e ，所以f (x 1)≥－1e . g (x )＝－x ＋1e x －2e x ＋e －1e ，则g ′(x )＝x e x －2e ，令h (x )＝g ′(x )＝x e x －2e，x ＞0，则h ′(x )＝1－xe x ，所以当x ∈(0，1)时，h ′(x )＞0，h (x )单调递增，当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )＜0，h (x )单调递减．所以当x ＞0时，g ′(x )≤g ′(1)＝h (1)＝－1e，因为g ′(x )≤－1e ＜0，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递减，所以g (x 2)＜g (0)＝－1e.所以对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，f (x 1)＞g (x 2)．创新应用练16．已知函数f(x)＝ax3＋3x2－6ax－11，g(x)＝3x2＋6x＋12和直线m：y＝kx＋9，且f′(－1)＝0.(1)求a的值；(2)是否存在k，使直线m既是曲线y＝f(x)的切线，又是曲线y＝g(x)的切线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．解：(1)由已知得f′(x)＝3ax2＋6x－6a，因为f′(－1)＝0，所以3a－6－6a＝0，所以a＝－2.(2)存在．由已知得，直线m恒过定点(0，9)，若直线m是曲线y＝g(x)的切线，则设切点为(x0，3x20＋6x0＋12)．因为g′(x0)＝6x0＋6，所以切线方程为y－(3x20＋6x0＋12)＝(6x0＋6)(x－x0)，将(0，9)代入切线方程，解得x0＝±1.当x0＝－1时，切线方程为y＝9；当x0＝1时，切线方程为y＝12x＋9.由(1)知f(x)＝－2x3＋3x2＋12x－11，①由f′(x)＝0得－6x2＋6x＋12＝0，解得x＝－1或x＝2.在x＝－1处，y＝f(x)的切线方程为y＝－18；在x＝2处，y＝f(x)的切线方程为y＝9，所以y＝f(x)与y＝g(x)的公切线是y＝9.②由f′(x)＝12得－6x2＋6x＋12＝12，解得x＝0或x＝1.在x＝0处，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－11；在x＝1处，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－10，所以y＝f(x)与y＝g(x)的公切线不是y＝12x＋9.综上所述，y＝f(x)与y＝g(x)的公切线是y＝9，此时k＝0.。

第三章导数及其应用第一节导数的概念及运算、定积分[考纲要求]1．了解导数概念的实际背景．2．通过函数图象直观理解导数的几何意义．3．能根据导数定义求函数y＝c(c为常数)，y＝x，y＝1x，y＝x2，y＝x3，y＝x的导数．4．能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．5．了解复合函数求导法则，能求简单复合函数(仅限于形如y＝f(ax＋b)的复合函数)的导数．6．了解定积分的概念，了解微积分基本定理的含义．突破点一导数的运算[基本知识]1．导数的概念称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率li mΔx→0ΔyΔx＝li mΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝li mΔx→0ΔyΔx＝li mΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx.称函数f′(x)＝li mΔx→0f(x＋Δx)－f(x)Δx为f(x)的导函数．2．基本初等函数的导数公式f (x )＝sin x f ′(x )＝cos_x f (x )＝e x f ′(x )＝e x f (x )＝ln x f ′(x )＝1x 基本初等函数 导函数 f (x )＝x α(α∈Q *) f ′(x )＝αx α－1 f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin_x f (x )＝a x (a >0，a ≠1) f ′(x )＝a x ln_a f (x )＝log a x (a >0，a ≠1)f ′(x )＝1x ln a3.导数运算法则(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；(3)⎣⎡⎦⎤f xg x ′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)． 4．复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．[基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1)f ′(x 0)与(f (x 0))′的计算结果相同．( ) (2)求f ′(x 0)时，可先求f (x 0)再求f ′(x 0)．( ) (3)f ′(x 0)是导函数f ′(x )在x ＝x 0处的函数值．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ 二、填空题1．函数y ＝x cos x －sin x 的导数为________． 答案：－x sin x2．已知f (x )＝13－8x ＋2x 2，f ′(x 0)＝4，则x 0＝________. 解析：∵f ′(x )＝－8＋4x ， ∴f ′(x 0)＝－8＋4x 0＝4，解得x 0＝3. 答案：33．已知函数f (x )＝f ′⎝⎛⎭⎫π4cos x ＋sin x ，则f ⎝⎛⎭⎫π4的值为________． 解析：∵f ′(x )＝－f ′⎝⎛⎭⎫π4sin x ＋cos x ，∴f ′⎝⎛⎭⎫π4＝－f ′⎝⎛⎭⎫π4×22＋22， 得f ′⎝⎛⎭⎫π4＝2－1. ∴f (x )＝(2－1)cos x ＋sin x . ∴f ⎝⎛⎭⎫π4＝1. 答案：1[典例感悟]1．已知函数f (x )＝xe x ，则其导函数f ′(x )＝( )A.1＋xe xB.1－x e xC ．1＋xD ．1－x解析：选B 函数f (x )＝xe x ，则其导函数f ′(x )＝e x －x e x e 2x ＝1－x ex ，故选B.2．(2019·枣庄三中质检)已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，则f ′(1)＝( )A ．－eB ．1C ．－1D ．e解析：选C 由题可得f ′(x )＝2f ′(1)＋1x ，则f ′(1)＝2f ′(1)＋1，解得f ′(1)＝－1，所以选C.3．函数f (x )＝x sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2，则其导函数f ′(x )＝________.解析：∵f (x )＝x sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝12x sin(4x ＋π) ＝－12x sin 4x ，∴f ′(x )＝－12sin 4x －12x ·4cos 4x＝－12sin 4x －2x cos 4x .答案：－12sin 4x －2x cos 4x[方法技巧]导数运算的常见形式及其求解方法1．设f (x )＝x (2 019＋ln x )，若f ′(x 0)＝2 020，则x 0等于( ) A ．e 2 B ．1 C ．ln 2D ．e解析：选B f ′(x )＝2 019＋ln x ＋1＝2 020＋ln x ，由f ′(x 0)＝2 020，得2 020＋ln x 0＝2 020，则ln x 0＝0，解得x 0＝1.2．(2019·长沙长郡中学一模)等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)，则f ′(0)＝( )A ．26B ．29C ．212D ．215解析： 选C f ′(x )＝(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)＋x [(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)]′，所以f ′(0)＝a 1a 2a 3…a 8＝(a 1a 8)4＝(2×4)4＝212.故选C.突破点二 导数的几何意义[基本知识]函数f (x )在点x 0处 的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点P (x 0，y 0)处的切线的斜率．相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．特别地，如果曲线y ＝f (x )在点(x 0，y 0)处的切线垂直于x 轴，则此时导数f ′(x 0)不存在，由切线定义可知，切线方程为x ＝x 0.[基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点．( ) (2)求曲线过点P 的切线时P 点一定是切点．( ) 答案：(1)√ (2)× 二、填空题1．已知函数f (x )＝ax ln x ＋b (a ，b ∈R)，若f (x )的图象在x ＝1处的切线方程为2x －y ＝0，则a ＋b ＝________.解析：由题意，得f ′(x )＝a ln x ＋a ，所以f ′(1)＝a ，因为函数f (x )的图象在x ＝1处的切线方程为2x －y ＝0，所以a ＝2，又f (1)＝b ，则2×1－b ＝0，所以b ＝2，故a ＋b ＝4.答案：42．曲线y ＝log 2x 在点(1,0)处的切线与坐标轴所围成三角形的面积等于________． 解析：∵y ′＝1x ln 2，∴切线的斜率k ＝1ln 2，∴切线方程为y ＝1ln 2(x －1)，∴所求三角形的面积S ＝12×1×1ln 2＝12ln 2＝12log 2e.答案：12log 2e3．设函数f (x )＝g ⎝⎛⎭⎫x 2＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为9x ＋y －1＝0，则曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为________．解析：由已知得g ′(1)＝－9，g (1)＝－8， 又f ′(x )＝12g ′⎝⎛⎭⎫x 2＋2x ， ∴f ′(2)＝12g ′(1)＋4＝－92＋4＝－12，f (2)＝g (1)＋4＝－4，∴所求切线方程为y ＋4＝－12(x －2)，即x ＋2y ＋6＝0.答案：x ＋2y ＋6＝0[全析考法]考法一 求切线方程“过点A 的曲线的切线方程”与“在点A 处的曲线的切线方程”是不相同的，后者A 必为切点，前者未必是切点．曲线在某点处的切线，若有，则只有一条；曲线过某点的切线往往不止一条．切线与曲线的公共点不一定只有一个．[例1] 已知函数f (x )＝x 3－4x 2＋5x －4. (1)求曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)求经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程． [解] (1)∵f ′(x )＝3x 2－8x ＋5， ∴f ′(2)＝1，又f (2)＝－2，∴曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y －(－2)＝x －2，即x －y －4＝0.(2)设切点坐标为(x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)，∵f ′(x 0)＝3x 20－8x 0＋5，∴切线方程为y －(－2)＝(3x 20－8x 0＋5)(x －2)，又切线过点(x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)， ∴x 30－4x 20＋5x 0－2＝(3x 20－8x 0＋5)(x 0－2)，整理得(x 0－2)2(x 0－1)＝0， 解得x 0＝2或x 0＝1，∴经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程为x －y －4＝0或y ＋2＝0. [方法技巧]求切线方程问题的2种类型及方法(1)求“在”曲线y ＝f (x )上一点P (x 0，y 0)处的切线方程：点P (x 0，y 0)为切点，切线斜率为k ＝f ′(x 0)，有唯一的一条切线，对应的切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．(2)求“过”曲线y ＝f (x )上一点P (x 0，y 0)的切线方程：切线经过点P ，点P 可能是切点，也可能不是切点，这样的直线可能有多条．解决问题的关键是设切点，利用“待定切点法”，即：①设切点A (x 1，y 1)，则以A 为切点的切线方程为y －y 1＝f ′(x 1)(x －x 1)；②根据题意知点P (x 0，y 0)在切线上，点A (x 1，y 1)在曲线y ＝f (x )上，得到方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 1＝f (x 1)，y 0－y 1＝f ′(x 1)(x 0－x 1)，求出切点A (x 1，y 1)，代入方程y －y 1＝f ′(x 1)(x －x 1)，化简即得所求的切线方程．考法二求切点坐标[例2](2019·柳州一模)已知函数f(x)＝e2x－1，直线l过点(0，－e)且与曲线y＝f(x)相切，则切点的横坐标为()A．1B．－1C．2 D．e－1[解析]设切点为(x0，e2x0－1)，∵f′(x)＝2e2x－1，∴2e2x0－1＝e2x0－1＋ex0，化简得2x0－1＝e2－2x0.令y＝2x－1－e2－2x，则y′＝2＋2e2－2x>0.∵x＝1时，y＝0，∴x0＝1.故选A.[答案] A[方法技巧]求切点坐标的思路已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数，再让导数等于切线的斜率，从而求出切点的横坐标，将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标．考法三 求参数值或范围[例3] (1)已知函数f (x )＝a ln x ＋bx 2的图象在点P (1，1)处的切线与直线x －y ＋1＝0垂直，则a 的值为( )A ．－1B ．1C ．3D ．－3(2)(2019·乐山调研)已知曲线f (x )＝e 2x －2e x ＋ax －1存在两条斜率为3的切线，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫3，72 B ．(3，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫－∞，72 D ．(0,3)[解析] (1)由已知可得P (1,1)在函数f (x )的图象上， 所以f (1)＝1，即a ln 1＋b ×12＝1，解得b ＝1， 所以f (x )＝a ln x ＋x 2， 故f ′(x )＝ax ＋2x .则函数f (x )的图象在点P (1,1)处的切线的斜率k ＝f ′(1)＝a ＋2， 因为切线与直线x －y ＋1＝0垂直， 所以a ＋2＝－1，即a ＝－3. (2)由题得f ′(x )＝2e 2x －2e x ＋a ，则方程2e 2x －2e x ＋a ＝3有两个不同的正解， 令t ＝e x (t >0)，且g (t )＝2t 2－2t ＋a －3，则由图像可知，有g(0)>0且Δ>0，即a－3>0且4－8(a－3)>0，解得3<a<72.故选A.[答案](1)D(2)A[方法技巧]利用导数的几何意义求参数的基本方法利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组)，进而求出参数的值或取值范围．[提醒](1)注意曲线上横坐标的取值范围；(2)谨记切点既在切线上又在曲线上．[集训冲关]1.[考法一](2018·全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax，若f(x)为奇函数，则曲线y ＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为()A．y＝－2x B．y＝－xC．y＝2x D．y＝x解析：选D∵f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax，∴f′(x)＝3x2＋2(a－1)x＋a.又∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)恒成立，即－x3＋(a－1)x2－ax＝－x3－(a－1)x2－ax恒成立，∴a＝1，∴f′(x)＝3x2＋1，∴f′(0)＝1，∴曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为y＝x.2.[考法二]曲线f(x)＝x3－x＋3在点P处的切线平行于直线y＝2x－1，则P点的坐标为()A．(1,3) B．(－1,3)C．(1,3)和(－1,3) D．(1，－3)解析：选C f′(x)＝3x2－1，令f′(x)＝2，则3x2－1＝2，解得x＝1或x＝－1，∴P(1,3)或(－1,3)，经检验，点(1,3)，(－1,3)均不在直线y＝2x－1上，故选C.3.[考法三]设曲线f(x)＝－e x－x(e为自然对数的底数)上任意一点的切线为l1，总存在曲线g(x)＝3ax＋2cos x上某点处切线l2，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围为()A ．[－1,2]B ．[3，＋∞)C.⎣⎡⎦⎤－23，13D.⎣⎡⎦⎤－13，23 解析：选D f ′(x )＝－e x －1，∵e x ＋1>1，∴1e x ＋1∈(0,1)．又g ′(x )＝3a －2sin x ， ∵－2sin x ∈[－2,2]，∴3a －2sin x ∈[－2＋3a,2＋3a ]，要使曲线f (x )上任意一点的切线l 1，总存在曲线g (x )上一点处的切线l 2，使得l 1⊥l 2，则⎩⎪⎨⎪⎧－2＋3a ≤0，2＋3a ≥1，解得－13≤a ≤23.故选D.4.[考法三](2018·全国卷Ⅲ)曲线y ＝(ax ＋1)e x 在点(0,1)处的切线的斜率为－2，则a ＝________.解析：∵y ′＝(ax ＋a ＋1)e x ，∴当x ＝0时，y ′＝a ＋1， ∴a ＋1＝－2，解得a ＝－3. 答案：－3突破点三 定积分的计算及应用[基本知识]1．定积分的定义一般地，如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…<x n ＝b ，将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，作和式∑i ＝1nf (ξi )Δx ＝∑i ＝1nb －an f (ξi )，当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作⎠⎛ab f(x)d x.2．定积分的相关概念在⎠⎛ab f(x)d x 中，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x 叫做积分变量，f(x)d x 叫做被积式．3．定积分的性质(1)⎠⎛a b kf(x)d x ＝k ⎠⎛ab f(x)d x(k 为常数)；(2)⎠⎛a b [f 1(x)±f 2(x)]d x ＝⎠⎛a b f 1(x)d x±⎠⎛ab f 2(x)d x ；(3)⎠⎛ab f(x)d x ＝⎠⎛ac f(x)dx ＋⎠⎛cb f(x)dx (其中a<c<b)．4．微积分基本定理如果f(x)是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x)＝f(x)，那么⎠⎛ab f(x)d x ＝F(b)－F(a)．其中F(x)叫做f(x)的一个原函数．为了方便，我们常常把F(b)－F(a)记为F(x)b a，即⎠⎛ab f(x)dx ＝F(x)b a＝F(b)－F(a)．5．定积分与曲边梯形面积的关系6.做变速运动的物体在时间[a ，b]上所经过的路程s ，等于其速度函数v ＝v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a ，b]上的定积分，即s ＝⎠⎛ab v (t )d t .具体步骤为：（1）找出速度函数v ＝v (t )，作出图形． （2）观察v ＝v (t )的图形是否满足v (t )≥0.（3）若v (t )≥0，则相应的时间段[a ，b ]上的路程为s ＝⎠⎛ab v (t )d t ；若v (t )<0，则相应的时间段[a ，b]上的路程为s ＝⎪⎪⎪⎪⎠⎛ab v (t )d t ＝－⎠⎛ab v (t )d t .[基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)定积分⎠⎛ab f (x )d x 的几何意义是介于x 轴、曲线y ＝f (x )及直线x ＝a ，x ＝b 之间的曲边梯形的面积，其值为正．( )(2)一物体在变力F (x )作用下，沿与F (x )相同方向从x ＝a 移到x ＝b 时力F (x )所做的功是⎠⎛ab F (x )d x .( )答案：(1)× (2)√ 二、填空题1．⎠⎜⎛0π2 (－2sin x )dx ＝________.解析：由定积分的概念及微积分基本定理，得⎠⎜⎛0π2(－2sin x )d x ＝2co s x ⎪⎪⎪π20＝－2.答案：－22.⎠⎛1e ⎝⎛⎭⎫x ＋1x d x ＝________. 解析：⎠⎛1e ⎝⎛⎭⎫x ＋1x dx ＝⎝⎛⎭⎫x 22＋ln x |e 1＝e 22＋1－12＝e 2＋12.答案：e 2＋123．定积分⎠⎛0416－x 2d x ＝________.解析：令y ＝16－x 2，则x 2＋y 2＝16(y ≥0)，所以点(x ，y)的轨迹为半圆，⎠⎛0416－x 2dx 表示以原点为圆心、4为半径的圆面积的14，所以⎠⎛0416－x 2dx ＝14×π×42＝4π.答案：4π4．(2019·运城中学月考)曲线f(x)＝sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤0，54π与x 轴围成的图形的面积为________．解析：对于f(x)＝sin x ，当x ∈[0，π]时，f(x)≥0，当x ∈⎝⎛⎦⎤π，54π时，f(x)<0， 则所求面积S ＝⎠⎛0πsin x d x ＋⎠⎛π5π4(－sin x )d x ＝－cos x |π0＋cos x ⎪⎪⎪5π4π＝2＋⎝⎛⎭⎫－22＋1＝3－22. 答案：3－225．汽车以v ＝3t ＋2(单位：m/s)作变速直线运动时，在第1 s 至第2 s 间的1 s 内经过的路程是________m.解析：s ＝∫21(3t ＋2)d t ＝⎝⎛⎭⎫32t 2＋2t |21 ＝32×4＋4－⎝⎛⎭⎫32＋2＝10－72＝132(m)． 答案：132[全析考法]考法一利用微积分基本定理求定积分[例1] (1)(2019·广德中学期中)⎠⎛01(e x ＋2x )d x 等于( )A ．1B ．eC ．e －1D ．e ＋1(2)(2019·河南师大附中月考)若⎠⎜⎛0π2sin 2x 2d x ＝( )A ．0 B.π4－12 C.π4－14D.π2－1 (3)(2019·宜春中学一模)计算⎠⎛-43|x ＋2|d x ＝________.[解析] (1)⎠⎛01(e x ＋2x )d x ＝(e x ＋x 2)|10＝(e ＋1)－(1＋0)＝e.故选B.(2) ⎠⎜⎛0π2sin 2x 2d x ＝⎠⎜⎛0π2⎝⎛⎭⎫12－12cos x d x ＝⎝⎛⎭⎫12x －12sin x ⎪⎪⎪⎪π2＝π4－12.故选B. (3) ⎠⎛-43|x ＋2|d x ＝－⎠⎛－4－2(x ＋2)d x ＋⎠⎛-23 (x ＋2)d x ＝－⎝⎛⎭⎫12x 2＋2x |－2－4＋⎝⎛⎭⎫12x 2＋2x |3－2＝292. [答案] (1)B (2)B (3)292[方法技巧]利用微积分基本定理求定积分，其关键是求出被积函数的原函数． 考法二利用定积分的几何意义求定积分[例2](2019·银川一中月考)若⎠⎛m－2－x2－2x d x＝π2，则m等于()A．－1 B．0C．1 D．2[解析]由定积分的几何意义可知，原题即为求函数y＝－x2－2x与x轴在区间[－2，m]上围成图形面积的大小，而函数y＝－x2－2x的图象是以(－1,0)为圆心，以1为半径在x轴上方的半圆，它的面积为12×π×12＝π2，即为题目所求面积，而m为函数y＝－x2－2x与x轴的另一个交点的横坐标，由图形(图略)可得m＝0.[答案] B[方法技巧]利用定积分几何意义求定积分的策略当被积函数的原函数不易求，而被积函数的图象与直线x＝a，x＝b，y＝0所围成的曲边梯形形状规则，面积易求时，利用定积分的几何意义求定积分．考法三利用定积分求平面图形的面积[例3] (2019·襄阳四中期中)由曲线y ＝1－1－x 2，y ＝－x 2＋2x 所围成图形的面积为________．[解析] 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1－1－x 2，y ＝－x 2＋2x 得交点为(0,0)，(1,1)，如图，∴S ＝⎠⎛01(－x 2＋2x )d x －⎠⎛01(1－1－x 2)d x ，⎠⎛01(－x 2＋2x )d x ＝⎝⎛⎭⎫－13x 3＋x 2|10＝23. ⎠⎛01(1－1－x 2)d x ＝x |10－⎠⎛011－x 2d x＝1－⎠⎛011－x 2d x ，而⎠⎛011－x 2d x 表示单位圆x 2＋y 2＝1在第一象限内的部分的面积，∴⎠⎛011－x 2d x ＝π4，∴S ＝23－1＋π4＝π4－13.[答案]π4－13[方法技巧]利用定积分求平面图形面积的步骤(1)根据题意画出图形；(2)借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限； (3)把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和； (4)计算定积分，写出答案．考法四 定积分在物理中的应用[例4] (2019·武汉调研)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋251＋t (t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( )A ．1＋25ln 5B ．8＋25ln 113C ．4＋25ln 5D ．4＋50ln 2[解析] 由v (t )＝7－3t ＋251＋t＝0，可得t ＝4( t ＝－83舍去 )，因此汽车从刹车到停止一共行驶了4 s ，此期间行驶的距离为⎠⎛04v (t )d t ＝⎠⎛04⎝⎛⎭⎫7－3t ＋251＋t d t ＝[ 7t －32t 2＋25ln(1＋t ) ]| 40＝4＋25ln 5.[答案] C [方法技巧]定积分在物理中的2个应用(1)求物体做变速直线运动的路程，如果变速直线运动物体的速度为v ＝v (t )，那么从时刻t ＝a 到t ＝b 所经过的路程s ＝∫ba v (t )d t .(2)变力做功，一物体在变力F (x )的作用下，沿着与F (x )相同方向从x ＝a 移动到x ＝b 时，力F (x )所做的功是W ＝∫ba F (x )d x .[集训冲关]1.[考法一]⎠⎛24(x 2＋x 3－30)d x ＝( )A ．56B ．28 C.563D ．14解析：选C ⎠⎛24(x 2＋x 3－30)d x ＝⎝⎛⎭⎫13x 3＋14x 4－30x |42＝13×(43－23)＋14×(44－24)－30×(4－2)＝563.故选C. 2.[考法三]由曲线y ＝x 2和曲线y ＝x 围成的一个叶形图如图所示，则图中阴影部分的面积为( )A.13B.310C.14D.15解析：选A 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x 2，y ＝x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，所以阴影部分的面积为⎠⎛01(x －x 2)d x ＝13.故选A.3.[考法二]⎠⎛02(4－x 2＋x )d x 的值等于________．解析：⎠⎛02(4－x 2＋x )d x ＝⎠⎛024－x 2d x ＋⎠⎛02x d x ，其中⎠⎛024－x 2d x 表示半径为2的圆的面积的14，⎠⎛024－x 2d x ＝14π×22＝π，⎠⎛02x d x ＝12x 2|20＝2，因此原式等于π＋2. 答案：π＋24.[考法四]一物体在力F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧5，0≤x ≤2，3x ＋4，x ＞2(单位：N)的作用下沿与力F 相同的方向，从x ＝0处运动到x ＝4(单位：m)处，则力F (x )做的功为________J.解析：由题意知，力F (x )所做的功为W ＝⎠⎛04F (x )d x ＝⎠⎛025d x ＋⎠⎛24(3x ＋4)d x ＝5x 20＋⎝⎛⎭⎫32x 2＋4x | 42 ＝5×2＋⎣⎡⎦⎤32×42＋4×4－⎝⎛⎭⎫32×22＋4×2＝36(J)． 答案：36[课时跟踪检测][A 级 保分题——准做快做达标]1．曲线y ＝e x －ln x 在点(1，e)处的切线方程为( ) A ．(1－e)x －y ＋1＝0 B ．(1－e)x －y －1＝0 C ．(e －1)x －y ＋1＝0D ．(e －1)x －y －1＝0解析：选C 由于y ′＝e －1x ，所以y ′|x ＝1＝e －1，故曲线y ＝e x －ln x 在点(1，e)处的切线方程为y －e ＝(e －1)(x －1)，即(e －1)x －y ＋1＝0.2．(2019·南阳期末)若f (x )在R 上可导，f (x )＝x 2＋2f ′(2)x ＋3，则⎠⎛03f(x)d x ＝( )A ．16B ．54C ．－24D ．－18解析：选D 由已知得f ′(x)＝2x ＋2f ′(2)，令x ＝2，得f ′(2)＝4＋2f ′(2)，解得f ′(2)＝－4，所以f(x)＝x 2－8x ＋3，所以⎠⎛03f(x)dx ＝⎠⎛03(x 2－8x ＋3)d x ＝⎝⎛⎭⎫13x 3－4x 2＋3x |30＝－18.故选D .3．(2019·珠海期末)曲线y ＝x 3－2x ＋4在点(1,3)处的切线的倾斜角为( ) A ．30° B ．45° C ．60°D ．120°解析：选B 由题意知点(1,3)在曲线y ＝x 3－2x ＋4上．∵y ＝x 3－2x ＋4，∴y ′＝3x 2－2，根据导数的几何意义，可知曲线y ＝x 3－2x ＋4在点(1,3)处的切线的斜率k ＝y ′|x ＝1＝1，∴曲线y ＝x 3－2x ＋4在点(1,3)处的切线的倾斜角为45°.故选B .4．(2019·青岛模拟)已知f 1(x)＝sin x ＋cos x ，f n ＋1(x)是f n (x)的导函数，即f 2(x)＝f 1′(x)，f 3(x)＝f 2′(x)，…，f n ＋1(x)＝f n ′(x)，n ∈N *，则f 2 018(x )＝( )A ．－sin x －cos xB ．sin x －cos xC ．－sin x ＋cos xD ．sin x ＋cos x解析：选C ∵f 1(x )＝sin x ＋cos x ，∴f 2(x )＝f 1′(x )＝cos x －sin x ，f 3(x )＝f 2′(x )＝－sin x －cos x ，f 4(x )＝f 3′(x )＝－cos x ＋sin x ，f 5(x )＝f 4′(x )＝sin x ＋cos x ，…，∴f n (x )的解析式以4为周期重复出现，∵2 018＝4×504＋2，∴f 2 018(x )＝f 2(x )＝－sin x ＋cos x ，故选C.5．(2019·山东省实验中学一模)设函数f (x )＝x 3＋ax 2，若曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程为x ＋y ＝0，则点P 的坐标为( )A ．(0,0)B ．(1，－1)C ．(－1,1)D ．(1，－1)或(－1,1)解析：选Df ′(x )＝3x 2＋2ax ，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧3x 20＋2ax 0＝－1，x 0＋f (x 0)＝0，f (x 0)＝x 3＋ax 20，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，x 0＝1，f (x 0)＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，x 0＝－1，f (x 0)＝1，故选D.6．(2019·湖北黄石二中一模)若直线y ＝kx ＋2是函数f (x )＝x 3－x 2－3x －1图象的一条切线，则k ＝( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2解析：选C 直线y ＝kx ＋2过(0,2)，f ′(x )＝3x 2－2x －3，设切点为(x 0，y 0)，故切线方程为y －y 0＝(3x 20－2x 0－3)(x －x 0)，将(0,2)代入切线方程并结合y 0＝x 30－x 20－3x 0－1，解得x 0＝－1，y 0＝0，代入y ＝kx ＋2，解得k ＝2.7．(2019·银川一中月考)设函数f (x )＝3sin θ3x 3＋cos θ2x 2＋4x －1，θ∈⎣⎡⎦⎤0，5π6，则导数f ′(－1)的取值范围是( )A ．[3,4＋3]B ．[3,6]C ．[4－3，6]D ．[4－3，4＋3]解析：选B 求导得f ′(x )＝3x 2sin θ＋x cos θ＋4，将x ＝－1代入导函数，得 f ′(－1)＝3sin θ－cos θ＋4＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ－π6＋4，由θ∈⎣⎡⎦⎤0，5π6，可得θ－π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，2π3， ∴sin ⎝⎛⎭⎫θ－π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1，∴2sin ⎝⎛⎭⎫θ－π6＋4∈[3,6]．故选B. 8．(2019·巴蜀中学模拟)已知曲线y ＝2xx －1在点P (2,4)处的切线与直线l 平行且距离为25，则直线l 的方程为( )A ．2x ＋y ＋2＝0B ．2x ＋y ＋2＝0或2x ＋y －18＝0C ．2x －y －18＝0D ．2x －y ＋2＝0或2x －y －18＝0解析：选B y ′＝2(x －1)－2x (x －1)2＝－2(x －1)2，y ′|x ＝2＝－2(2－1)2＝－2，因此k l ＝－2，设直线l 方程为y ＝－2x ＋b ，即2x ＋y －b ＝0，由题意得|2×2＋4－b |5＝25，解得b ＝18或b ＝－2，所以直线l 的方程为2x ＋y －18＝0或2x ＋y ＋2＝0.故选B.9．(2019·成都双流区模拟)过曲线y ＝x 2－2x ＋3上一点P 作曲线的切线，若切点P 的横坐标的取值范围是⎣⎡⎦⎤1，32，则切线的倾斜角的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤0，π2 B.⎣⎡⎦⎤0，π4 C ．[0，π)D.⎣⎡⎭⎫3π4，π 解析：选B 因为y ′＝2x －2,1≤x ≤32，所以0≤2x －2≤1.设切线的倾斜角为α，则0≤tan α≤1.因为0≤α≤π，所以0≤α≤π4，故选B.10．(2019·广东七校联考)函数f (x )＝x cos x 的导函数f ′(x )在区间[－π，π]上的图象大致是( )解析：选A 法一：由题意，得f ′(x )＝cos x ＋x (－sin x )＝cos x －x sin x ，f ′(－x )＝f ′(x )，所以f ′(x )为偶函数．又f ′(0)＝1，所以排除C 、D ；令g (x )＝f ′(x )＝cos x －x sin x ，则g ′(x )＝－x cos x －2sin x ，易知g ′(0)＝0，且当x ∈⎝⎛⎦⎤0，π2时，g ′(x )<0，f ′(x )单调递减，当x ∈⎝⎛⎦⎤－π2，0时，g ′(x )>0，f ′(x )单调递增，所以f ′(x )在x ＝0处取得极大值，排除选项B.故选A.法二：由题意，得f ′(x )＝cos x ＋x (－sin x )＝cos x －x sin x ，又f ′(0)＝1，所以排除C ，D ；当x ∈⎝⎛⎦⎤0，π2时，y ＝cos x 单调递减，对于y ＝x sin x ，y ′＝x cos x ＋sin x >0，则y ＝ x sin x 单调递增，则f ′(x )＝cos x －x sin x 在⎝⎛⎦⎤0，π2上单调递减．故选A. 11．(2019·天津耀华中学一模)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x <0，cos x ，0≤x ≤π2，则f (x )与x 轴围成封闭图形的面积为________．解析：S ＝⎠⎛-10(x ＋1)d x ＋⎠⎜⎛0π2cos x d x ＝⎝⎛⎭⎫12x 2＋x |0－1＋sin x ⎪⎪⎪⎪π20＝12＋1＝32.答案：3212．(2018·全国卷Ⅱ)曲线y ＝2ln x 在点(1,0)处的切线方程为______________． 解析：因为y ′＝2x ，y ′|x ＝1＝2，所以切线方程为y －0＝2(x －1)，即y ＝2x －2. 答案：y ＝2x －213．(2019·石家庄二中月考)已知函数f (x )＝1x ，g (x )＝x 2.若直线l 与曲线f (x )，g (x )都相切，则直线l 的斜率为________．解析：因为f (x )＝1x ，所以f ′(x )＝－1x 2，设曲线f (x )与l 切于点⎝⎛⎭⎫x 1，1x 1，则切线斜率k ＝－1x 21，故切线方程为y －1x 1＝－1x 21(x －x 1)，即y ＝－1x 21x ＋2x 1.与g (x )＝x 2联立，得x 2＋1x 21x －2x 1＝0.因为直线l 与曲线g (x )相切，所以⎝⎛⎭⎫1x 212－4⎝⎛⎭⎫－2x 1＝0，解得x 1＝－12，故斜率k ＝－1x 21＝－4.答案：－414．(2019·淄博六中期末)曲线y ＝ln(2x －1)上的点到直线2x －y ＋3＝0的最短距离为________．解析：设曲线上过点P (x 0，y 0)的切线平行于直线2x －y ＋3＝0，即斜率是2，则 y ′|x ＝x 0＝22x 0－1＝2，解得x 0＝1，所以y 0＝0，即点P (1,0)．又点P 到直线2x －y ＋3＝0的距离为|2－0＋3|22＋(－1)2＝5，所以曲线y ＝ln(2x －1)上的点到直线2x －y ＋3＝0的最短距离是 5. 答案： 515．(2019·孝感高中期中)已知函数f (x )＝x 3－x . (1)求曲线y ＝f (x )在点M (1,0)处的切线方程；(2)如果过点(1，b )可作曲线y ＝f (x )的三条切线，求实数b 的取值范围． 解：(1)f ′(x )＝3x 2－1，∴f ′(1)＝2.故切线方程为y －0＝2(x －1)，即2x －y －2＝0.(2)设切点为(x 0，x 30－x 0)，则切线方程为y －(x 30－x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)． 又切线过点(1，b )，所以(3x 20－1)(1－x 0)＋x 30－x 0＝b ， 即2x 30－3x 20＋b ＋1＝0.由题意，上述关于x 0的方程有三个不同的实数解． 记g (x )＝2x 3－3x 2＋b ＋1，则g (x )有三个不同的零点，而g ′(x )＝6x (x －1)，令g ′(x )＝0得x ＝0或x ＝1，则结合图像可知g (0)g (1)<0即可，可得b ∈(－1,0)．16．设函数f (x )＝ax －bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积是否为定值，若是，求此定值；若不是，说明理由．解：(1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3，当x ＝2时，y ＝12.又f ′(x )＝a ＋bx 2，所以⎩⎨⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x .(2)是定值，理由如下：设P (x 0，y 0)为曲线y ＝f (x )上任一点，由f ′(x )＝1＋3x 2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)， 即y －⎝⎛⎭⎫x 0－3x 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)． 令x ＝0，得y ＝－6x 0，得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝⎛⎭⎫0，－6x 0. 令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积S ＝12⎪⎪⎪⎪－6x 0·|2x 0|＝6. 故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，且此定值为6.[B 级 难度题——适情自主选做]1.(2019·山西八校联考)如图，矩形OABC 中曲线的方程分别是y ＝sin x ，y ＝cos x ．A ( π2，0 )，C (0,1)，在矩形OABC 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为( )A.4(3－1)πB.4(2－1)πC ．4(3－1)πD ．4(2－1)π解析：选B 由题可知图中阴影部分的面积S ＝2⎠⎜⎛0π4 (cos x －sin x )d x ＝2(sin x ＋ cosx ) ⎪⎪⎪⎪π4＝2(2－1)，易知矩形OABC 的面积为π2，所以在矩形OABC 内随机取一点，此点取自阴影部分的概率为4(2－1)π，故选B.2．(2019·蚌埠质检)已知函数f (x )＝x ⎝⎛⎭⎫a －1e x ，曲线y ＝f (x )上存在两个不同点，使得曲线在这两点处的切线都与y 轴垂直，则实数a 的取值范围是( )A ．(－e 2，＋∞)B ．(－e 2,0) C.⎝⎛⎭⎫－1e 2，＋∞D.⎝⎛⎭⎫－1e 2，0 解析：选D ∵曲线y ＝f (x )上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与y 轴垂直，∴f ′(x )＝a ＋(x －1)e －x ＝0有两个不同的解，即a ＝(1－x )e －x 有两个不同的解．设y ＝(1－x )e －x ，则y ′＝(x －2)e －x ，∴当x <2时，y ′<0，当x >2时，y ′>0，则y ＝(1－x )e －x 在(－∞，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，∴x ＝2时，函数y 取得极小值－e －2.又∵当x >2时总有y ＝(1－x )e －x <0且f (0)＝1>0，∴可得实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－1e 2，0.故选D. 3．(2019·山东名校调研)已知曲线y ＝e x＋a与y ＝x 2恰好存在两条公切线，则实数a 的取值范围是( )A ．[2ln 2－2，＋∞)B ．(2ln 2，＋∞)C ．(－∞，2ln 2－2]D ．(－∞，2ln 2－2)解析：选D 由题意可设直线y ＝kx ＋b (k >0)为它们的公切线，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，y ＝x2可得x 2－kx －b ＝0，由Δ＝0，得k 2＋4b ＝0 ①.由y ＝e x ＋a 求导可得y ＝e x ＋a ，令e x ＋a ＝k ，可得x ＝ln k －a ，∴切点坐标为(ln k －a ，k ln k －ak ＋b )，代入y ＝e x ＋a 可得k ＝k ln k －ak ＋b ②.联立①②可得k 2＋4k ＋4ak －4k ln k ＝0，化简得4＋4a ＝4ln k －k .令g (k )＝4ln k －k ，则g ′(k )＝4k －1，令g ′(k )＝0，得k ＝4，令g ′(k )>0，得0<k <4，令g ′(k )<0，得k >4.∴g (k )在(0,4)内单调递增，在(4，＋∞)内单调递减，∴g (k )max ＝g (4)＝4ln 4－4，且k →0时，g (k )→－∞，k→＋∞时，g(k)→－∞.∵有两条公切线，∴方程4＋4a＝4ln k－k有两解，∴4＋4a<4ln 4－4，∴a<2ln 2－2.故选D.。

第一节 导数的概念与运算一、 思维导图二、知识模块【知识点1】导数的定义 1． 导数的概念设函数()y f x =在0x x =附近有定义，如果0x ∆→时，y ∆与x ∆的比yx∆∆（也叫函数的平均变化率）有极限，即yx∆∆无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0'()f x 或0'x x y =.即0'()f x =0000000()()()()lim lim lim x x x x f x x f x f x f x yx x x x ∆→∆→→+∆--∆===∆∆-.2. 导数的物理意义：瞬时速度设0t =时刻一车从某点出发，在t 时刻车走了一定的距离().S S t =在01~t t 时刻，车走了10()()S t S t -，这一段时间里车的平均速度为1010()()S t S t t t --，当1t 与0t 很接近时，该平均速度近似于0t 时刻的瞬时速度.若令10t t →，则可以认为101010()()lim t t S t S t t t →-=-，即0'()S t 就是0t 时刻的瞬时速度.3. 思路提示：利用导数的定义，经过合理的添项、拆项与调配系数，凑成导数的极限定义的等价形式.例1: 设0'()f x 存在，求下列各式极限.⑴()()0003limx f x x f x x∆→+∆-∆；⑵()()000lim h f x h f x h →--例2: 若()()0002lim13x f x x f x x∆→+∆-=∆，则0'()f x 等于（）A.23 B.32C.3D. 2 例3: 设()f x 在0x 处可导，则()()0003limx f x x f x x x∆→+∆--∆∆等于（ ）A. 02'()f xB. 0'()f xC. 03'()f xD.04'()f x 例4: 若()y f x =既是周期函数，又是偶函数，则其导函数'()y f x =（ ） A.既是周期函数，又是偶函数B.既是周期函数，又是奇函数C.不是周期函数，但是偶函数D.不是周期函数，但是奇函数例5: 已知函数2,0(),0x x y f x x x ⎧≥==⎨<⎩，那么0'x y =的值为（）A.0B.1C.1或0D.不存在例6: 已知22lim 21x x ax b x →∞⎛⎫--=⎪+⎝⎭，其中,a b R ∈，则a b -的值为（） A.6- B.2- C.2 D.6例7: 已知,,m N a b R *∈∈，若()01limmx x ab x→++=，则ab 等于（）A. m -B. mC. 1-D. 1 例8:1x →等于（）A.12 B.0 C.12- D.不存在 例9: 已知(3)4,'(3)1f f ==，则343()lim3x x f x x →-=-____ 例10: 已知定义在R 上的函数(),()f x g x ，若01()1(),lim (),2x f x xg x g x →=+=-则()f x 在0x =处的导数'(0)f =___例11: 如图157-，函数()f x 的图象是折线段ABC ，其中,,A B C 的坐标分别为()0,4，()2,0，()6,4，则()()0f f =___；()()011lim x f x f x∆→+∆-=∆___ 例12: 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1312,a S ==则2lim nn S n →+∞=____例13: 211lim34x x x x →-=+-___例14: 已知函数23,0(),0x x f x a x +≠⎧=⎨=⎩，在点0x =处连续，则2221lim n an a n n →∞+=+_____ 例15: 设2,1(),1x x f x ax b x ⎧≤=⎨+>⎩，试求,a b 的值，使()f x 在1x =处可导.【知识点2】求函数的导数1. 导数的运算的法则（和、差、积、商）设()u u x =，()v v x =均可导，则⑴()'''u v u v ±=±；⑵()'''uv u v uv =+；⑶2''()'(0)uu v uv v v v-=≠ 2. 基本导数表⑴'0(C C =为常数）；⑵1()'()nn x nx n Q -=∈；⑶()'ln x x a a a =；⑷()'x x e e =；⑸1(log )'ln a x x a =；⑹1(ln )'x x=；⑺(sin )'cos x x =；⑻(cos )'sin x x =-； 3. 思路提示：对于简单函数的求导，关键是合理转化函数关系式为可以直接应用公式的基本函数的形式，以免求导过程中出现指数或系数的失误.例1: 求下列函数的导数⑴5y x =；⑵41y x=；⑶y =10x y =；⑸2log y x =；⑹sin y x = 例2:()()sin ln cos ln y x x x =+⎡⎤⎣⎦，则'y 等于（）A. ()2cos ln xB. 12cos ln x ⎛⎫⎪⎝⎭C. ()2sin ln xD. ()sin ln x例3:()2f L ='()f L 为（） A.例4:设函数1()sin 2sin 2f x x x =+，导函数为'()f x ，则下列关于导函数'()f x 的说法正确的是（）A.仅有最小值的奇函数B.既有最大值，又有最小值的偶函数C.仅有最大值的偶函数D.非奇非偶函数例5: 记,22x x x xe e e e shx chx ---+==，则()'shx =（） A. shx - B. shx C. chx D.chx -例6:二次函数2()f x ax bx c =++导函数为'()f x ，已知'(0)0f >，且对任意实数x ，有()0f x ≥，则(1)(0)f f 的最小值为___ 例7:已知函数()'()cos sin 4f x f x x π=+，则()4f π的值为_____【知识点3】复合函数求导 1. 复合函数的导数复合函数[()]y f g x =的导数与函数()y f u =，()y f u =的导数之间具有关系'''x u x y y u =⋅，该关系用语言表述就是“y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积”，也就是先把()g x 当做一个整体，把[()]y f g x =对()g x 求导，再把()g x 对x 求导，这二者的乘积就是复合函数[()]y f g x =对x 的导数 例1:求下列函数的导数. ⑴32x y e+=；⑵()2log 21y x =+；⑶sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭；⑷11y x=-例2: 函数cos 2y x =+的导数为（ ）A.2sin 2x -2sin 2x +C.2sin 2x -2sin 2x例3:函数()()sin sin +cos cos y x x =的导数是（ ） A. ()()'cos cos sin sin sin cos y x x x x =-B. ()()'cos cos sin sin sin cos y x x x x =+C. ()()'sin cos cos sin y x x =+D. 'cos 2y x =例4:函数()()sin ln cos ln y x x =+的导数为（ ） A.cos ln sin ln x x x + B. cos ln sin ln x xx-C.cosln sin ln x x +D. cosln sin ln x x - 例5:求函数()sin cos xy x =的导数例6:求函数y =的导数【知识点4】导数的几何意义1. 导数的几何意义：函数在定点处的切线斜率函数()y f x =在0x 处的导数0'()f x ，表示曲线()y f x =在点()00,()P x f x 处的切线PT 的斜率，即0tan '()f x α=，如图3-1所示，过点P 的切线方程为000'()()y y f x x x -=-.同样可以定义曲线()y f x =在0x 的法线为过点()00,()P x f x 与曲线()y f x =在0x x =的切线垂直的直线.过点P 的法线方程为00001()('()0).'()y y x x f x f x -=--≠例1：设函数()f x 是R 上以5为周期的可导偶函数，则曲线()y f x =在5x =处的切线斜率为（）A.15- B.0 C.15D.5 例2:下列各函数在点0x =处没有切线的是（）A.3sin y x x =+B.2cos y x x =-C.1y =D.cos y x =例3:若0y =是曲线3y x bx c =++的一条切线，则3232b c ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（）A.1-B.0C.1D.2例4:已知曲线23ln 4x y x =-的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为（） A.3 B.2 C.1 D.12例5：若在曲线sin (0)y x x π=<<上取一点M ，使过M点的切线与直线2y x =平行，则点M 坐标为（）A.(,32πB.(,32π±±C.1(,)62πD.(,62π例6：如果一直线过原点且与曲线11y x =+相切于点P ，那么切点P 的坐标为（） A.1(,2)2- B.12(,)23- C.(2,1)-- D.1(2,)3例7：已知函数3()f x x x =-.（I ）求曲线()y f x =在点(,())M t f t 处的切线方程；（II ）设0a >，如果过点(,)a b 可作曲线()y f x =的三条切线，证明：()a b f a -<<例8：曲线在点处的切线方程为__________. 例9：曲线在点处的切线方程_________. 例10：曲线在点处的切线的斜率为A. B. C. D. 例11：曲线在点处的切线斜率为____________.例12：已知点在曲线上，为曲线在点处的切线的倾斜角，则的取值范围是 A. B. C. D.例13：若曲线存在垂直于轴的切线，则实数的取值范围是_____________. 例14：设直线是曲线的一条切线，则实数的值为_____________.例15：已知曲线21y x =-在0x x =点处的切线与曲线31y x =-在0x x =点处的切线互相平行，则0x 的值为___________________. 例16：已知函数2()ln (0)f x x ax x a =-->（I ）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线斜率为2-，求a 的值以及切线方程； （II ）若()f x 是单调函数，求a 的取值范围。

一、导数的概念1、定义如果函数y ＝f (x )的自变量x 在x 0处有增量Δx ，那么函数y 相应地有增量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)，比值Δy Δx 就叫函数y ＝f (x )从x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率，即Δy Δx ＝f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx .如果当Δx →0时，Δy Δx有极限，我们就说函数y ＝f (x )在点x 0处可导，并把这个极限叫做f (x )在点x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝Δy Δx ＝f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx. 2、导函数当x 变化时，f ′(x )便是x 的一个函数，我们称它为f (x )的导函数(简称导数)．y ＝f (x )的导函数有时也记作y ′，即f ′(x )＝y ′＝f （x ＋Δx ）－f （x ）Δx . 3、用定义求函数y ＝f (x )在点x 0处导数的方法（1）求函数的增量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)；（2）求平均变化率Δy Δx ＝f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx； （3）取极限，得导数f ′(x 0)＝Δy Δx . 二、导数的几何意义函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义，就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率．也就是说，曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率是f ′(x 0)．相应的切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．三、基本初等函数的导数公式1、c ′＝0 (c 为常数)， (x α)′＝αx α－1 (α∈Q *)．2、(sin x )′＝cos x ， (cos x )′＝－sin x.3、(ln x )′＝1x ， (log a x )′＝1x ln a． 4、(e x )′＝e x ， (a x )′＝a x ln a.四、导数运算法则1、[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x ).2、f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；当g (x )＝c (c 为常数)时，即[cf (x )]′＝cf ′(x ).3、⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′＝f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）[g （x ）]2 (g (x )≠0)． 五、复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y ′u ·u ′x ．即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．。

《导数的概念教案》word版第一章：导数的概念1.1 导入利用实际例子引入变化率的概念，如物体运动的速度、温度变化等。

引导学生思考如何描述函数在某一点的“变化率”。

1.2 导数的定义介绍导数的定义：函数在某一点的导数是其在该点的切线斜率。

解释导数的几何意义：函数图像在某一点的切线斜率。

强调导数表示函数在某一点的瞬时变化率。

1.3 导数的计算介绍导数的计算方法：极限法、导数的基本公式、导数的运算法则。

强调导数计算中需要注意的问题，如函数的连续性、可导性等。

1.4 导数的应用介绍导数在实际问题中的应用，如最优化问题、物理运动问题等。

引导学生思考如何利用导数解决实际问题。

第二章：导数的性质与法则2.1 导数的性质介绍导数的性质，如单调性、连续性、可导性等。

通过实例引导学生理解导数性质的应用。

2.2 导数的运算法则介绍导数的运算法则，如四则运算法则、复合函数运算法则等。

利用导数的运算法则进行函数求导。

2.3 导数的应用利用导数研究函数的单调性、极值、拐点等。

引导学生思考如何利用导数解决实际问题。

第三章：函数的单调性与极值3.1 函数的单调性介绍函数单调性的概念，如何判断函数的单调性。

利用导数判断函数的单调性。

3.2 函数的极值介绍函数极值的概念，如何求解函数的极值。

利用导数求解函数的极值。

3.3 函数的拐点介绍函数拐点的概念，如何求解函数的拐点。

利用导数求解函数的拐点。

第四章：导数在实际问题中的应用4.1 运动物体的瞬时速度与加速度利用导数求解运动物体的瞬时速度与加速度。

解释瞬时速度与加速度的概念及物理意义。

4.2 函数的最值问题利用导数求解函数的最值问题。

解释最值问题的实际意义，如成本最小化、收益最大化等。

4.3 曲线的切线与法线利用导数求解曲线的切线与法线。

解释切线与法线的概念及几何意义。

第五章：高阶导数与隐函数求导5.1 高阶导数介绍高阶导数的概念，如何求解高阶导数。

强调高阶导数在实际问题中的应用，如加速度与瞬时加速度的关系。

第1讲导数的概念及其意义、导数的运算1.了解导数的概念，掌握基本初等函数的导数.2.通过函数图象，理解导数的几何意义.3.能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(形如f (ax ＋b ))的导数.1.导数的概念(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数记作□1f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0.f ′(x 0)＝lim Δx →0Δy Δx ＝□2lim Δx →0f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx .(2)函数y ＝f (x )的导函数f ′(x )＝lim Δx →0f （x ＋Δx ）－f （x ）Δx称为函数y ＝f (x )的导函数.f ′(x0)表示函数f (x )在x ＝x 0处的导数值；但(f (x 0))′是函数值f (x 0)的导数，且(f (x 0))′＝0.2.导数的几何意义函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数的几何意义就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的□3斜率，相应的切线方程为□4y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0).曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点.3.基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f (x )＝c (c 为常数)f ′(x )＝0f (x )＝x α(α∈R ，且α≠0)f ′(x )＝□5αx α－1f (x )＝sin x f ′(x )＝□6cos x f (x )＝cos x f ′(x )＝□7－sin x f (x )＝e xf ′(x )＝e xf (x )＝a x (a >0，且a ≠1)f ′(x )＝□8a x ln af(x)＝ln x f′(x)＝1 xf(x)＝log a x(a>0，且a≠1)f′(x)＝□91 x ln a4.导数的运算法则若f′(x)，g′(x)存在，则有(1)[f(x)±g(x)]′＝□10f′(x)±g′(x)；(2)[f(x)·g(x)]′＝□11f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；(3)[f（x）g（x）]′＝□12f′（x）g（x）－f（x）g′（x）[g（x）]2(g(x)≠0).5.复合函数的导数复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝□13y′u·u′x.常用结论1.函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正、负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”.2.奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率.()(2)若f(x)＝sin(－x)，则f′(x)＝cos x.()(3)求f′(x0)时，可先求f(x0)，再求f′(x0).()(4)曲线y＝f(x)在某点处的切线与曲线y＝f(x)过某点的切线意义是相同的.()答案：(1)×(2)×(3)×(4)×2.回源教材(1)(多选)下列导数运算正确的是()A.(3x)′＝3x ln3B.(x2ln x)′＝2x ln x＋xC.(cos xx )′＝x sin x －cos x x 2D.(sin x cos x )′＝cos 2x 解析：ABD(cos xx )′＝－x sin x －cos x x2，故C 错误，其余都正确.(2)已知函数f (x )＝x (2022＋ln x )，若f ′(x 0)＝2023，则x 0等于()A.e 2B.1C.ln 2D.e解析：Bf ′(x )＝2022＋ln x ＋1＝2023＋ln x ，f ′(x 0)＝2023＋ln x 0＝2023，得x 0＝1.(3)已知曲线y ＝x e x 在点(1，e)处的切线与曲线y ＝a ln x ＋2在点(1，2)处的切线平行，则a ＝.解析：由y ＝x e x ，得y ′＝(x ＋1)e x ，由y ＝a ln x ＋2，得y ′＝ax ，故2e ＝a .答案：2e导数的运算1.(多选)下列求导运算正确的是()A.[(3x ＋5)3]′＝9(3x ＋5)2B.(x 3ln x )′＝3x 2ln x ＋x 2C.(2sin xx 2)′＝2x cos x ＋4sin x x 3D.(2x ＋cos x )′＝2x ln 2－sin x 解析：ABD对于A ，[(3x ＋5)3]′＝3(3x ＋5)2(3x ＋5)′＝9(3x ＋5)2，故A 正确；对于B ，(x 3ln x )′＝(x 3)′ln x ＋x 3(ln x )′＝3x 2ln x ＋x 2，故B 正确；对于C ，(2sin x x 2)′＝（2sin x ）′x 2－2sin x （x 2）′x 4＝2x cos x －4sin x x 3，故C 错误；对于D ，(2x ＋cos x )′＝(2x )′＋(cos x )′＝2x ln 2－sin x ，故D 正确.2.(多选)(2024·济南质检)下列求导运算正确的是()A.(1ln x )′＝－1x ln 2xB.(x 2e x )′＝2x ＋e xC.[cos(2x －π3＝－sin(2x －π3)D.(x －1x )′＝1＋1x 2解析：AD (1ln x )′＝－1ln 2x·(ln x )′＝－1x ln 2x，故A 正确；(x 2e x )′＝(x 2＋2x )e x ，故B 错误；[cos(2x －π3)]′＝－2sin(2x －π3)，故C 错误；(x －1x )′＝1＋1x2，故D 正确.3.(2024·河北省部分学校模拟)已知函数f (x )＝e 2x ＋f ′(1)x 2，则f ′(1)＝()A.－2e 2B.2e 2C.e 2D.－e 2解析：A 由f (x )＝e 2x ＋f ′(1)x 2，得f ′(x )＝2e 2x ＋2f ′(1)x ，令x ＝1，得f ′(1)＝2e 2＋2f ′(1)，则f ′(1)＝－2e 2.4.已知函数f (x )＝sin x ＋4x ，则lim Δx →0f （π＋2Δx ）－f （π）Δx＝.解析：∵f ′(x )＝cos x ＋4，∴f ′(π)＝3，∴lim Δx →0f （π＋2Δx ）－f （π）Δx＝2lim Δx →0f （π＋2Δx ）－f （π）2Δx＝2f ′(π)＝6.答案：6反思感悟1.求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导.2.抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解.3.复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.导数的几何意义求切线方程例1(1)(2023·全国甲卷)曲线y ＝e x x ＋1在点(1，e2)处的切线方程为()A.y ＝e4xB.y ＝e2xC.y ＝e 4x ＋e 4D.y ＝e 2x ＋3e 4解析：C y ′＝e x （x ＋1）－e x （x ＋1）2＝x e x （x ＋1）2，y ′|x ＝1＝e4，所以曲线y ＝e x x ＋1在点(1，e 2)处的切线方程为y －e 2＝e 4(x －1)，整理得y ＝e 4x ＋e4.故选C.(2)(2022·新高考Ⅱ卷)曲线y ＝ln|x |过坐标原点的两条切线的方程为，.解析：当x >0时，y ＝ln x ，设切点为(x 0，y 0)，x 0>0，则由y ′＝1x ，得切线斜率k ＝1x 0.又切线的斜率为y 0x 0，所以1x 0＝y0x 0，解得y 0＝1，代入y ＝ln x ，得x 0＝e.所以k ＝1e ，所以切线方程为y ＝1e x .同理可求得当x <0时的切线方程为y ＝－1e x .综上，两条切线方程分别为y ＝1e x ，y ＝－1ex .答案：y ＝1e x y ＝－1ex求切点坐标或参数的值(范围)例2(1)(2024·榆林模拟)已知函数f (x )＝a ln x ＋x 2的图象在x ＝1处的切线方程为3x －y ＋b ＝0，则a ＋b ＝()A.－2B.－1C.0D.1解析：B因为f (x )＝a ln x ＋x 2，所以f ′(x )＝ax＋2x .又f(x)的图象在x＝1处的切线方程为3x－y＋b＝0，所以f′(1)＝a＋2＝3，解得a＝1，则f(x)＝ln x＋x2，所以f(1)＝1，将点(1，1)代入切线方程得3－1＋b＝0，解得b＝－2，故a＋b＝－1.故选B.(2)在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝ln x上，且该曲线在点A处的切线经过点(－e，－1)，则点A的坐标是.解析：设A(m，n)，则曲线y＝ln x在点A处的切线方程为y－n＝1m(x－m).又切线过点(－e，－1)，所以有n＋1＝1m(m＋e).再由n＝ln m，解得m＝e，n＝1.故点A的坐标为(e，1).答案：(e，1)由切线条数求参数例3(2024·杭州第一次质量检测)若过点(a，b)可以作曲线y＝x－1x(x>0)的两条切线，则()A.b>a>0B.a>b>a－1aC.0<a－1a <b<a D.a－1a<b<0<a解析：B设切点为(x0，y0)，则x0>0，由题知y′＝1＋1x2(x>0)，设切线的斜率为k，则k＝1＋1x20＝y0－bx0－a＝x0－1x0－bx0－a，化简得(a－b)x20－2x0＋a＝0，①则Δ＝4－4a(a－b).∵过点(a，b)可以作曲线y＝x－1x(x>0)的两条切线，∴方程①有两个不同的正解，，∴a>b>a－1 a.其中，a>0，b与a－1a的符号不能确定，故选B.反思感悟1.求曲线的切线方程要分清“在点处”与“过点处”的切线方程的不同.求过某点的切线方程，要先设出切点坐标，再依据条件建立方程(组)求解，求出切点坐标是解题的关键.2.处理与切线有关的参数问题，通常利用曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程(组)并解出参数：(1)切点处的导数是切线的斜率；(2)切点在切线上，故满足切线方程；(3)切点在曲线上，故满足曲线方程.训练1(1)曲线f(x)＝x2＋x－2e x在(0，f(0))处的切线方程为()A.y＝3x－2B.y＝3x＋2C.y＝－3x－2D.y＝－3x＋2解析：A由题知f′(x)＝（2x＋1）e x－（x2＋x－2）e x（e x）2＝－x2＋x＋3e x，所以f′(0)＝3，f(0)＝－2，所以曲线f(x)在(0，f(0))处的切线方程为y－(－2)＝3(x－0)，即y＝3x－2.(2)(2024·泸州模拟)已知曲线y＝a cos xx在点(π，－aπ)处的切线方程为y＝2π2x＋b，则a的值是()A.4πB.－2C.－4πD.2解析：D令y＝f(x)＝a cos xx，则f′(x)＝－a（x sin x＋cos x）x2，曲线在点(π，－aπ)处的切线的斜率为f′(π)＝aπ2＝2π2，解得a＝2.(3)(2024·南通模拟)已知过点A(a，0)作曲线y＝(1－x)e x的切线有且仅有1条，则a＝()A.－3B.3C.－3或1D.3或1解析：C设切点为(x0，(1－x0)e x0)，由已知得y′＝－x e x，则切线斜率k＝－x0e x0，切线方程为y－(1－x0)e x0＝－x0e x0 (x－x0)，直线过点A(a，0)，则－(1－x0)e x0＝－x0e x0·(a－x0)，化简得x20－(a＋1)x0＋1＝0，切线有且仅有1条，即Δ＝(a＋1)2－4＝0，化简得a2＋2a－3＝0，即(a＋3)(a －1)＝0，解得a＝－3或1.两曲线的公切线例4(2024·扬州模拟)若直线l是曲线y＝ln x的切线，也是曲线y＝e x－2的切线，则直线l的方程为.解析：设y＝kx＋b与y＝e x－2和y＝ln x的切点分别为(x1，e x1－2)，(x2，ln x2)，由导数的几何意义可得k＝e x1－2＝1 x2，曲线y＝e x－2在点(x1，e x1－2)处的切线方程为y－e x1－2＝e x1－2(x－x1)，即y＝e x1－2x＋(1－x1)e x1－2，曲线y＝ln x在点(x2，ln x2)处的切线方程为y－ln x2＝1x2(x－x2)，即y＝1x2x＋ln x2－1，x1－2＝1x2，1－x1）e x1－2＝ln x2－1，解得x2＝1或x2＝e，所以k＝1或1 e .代入得y＝x－1或y＝1 e x.答案：y＝x－1或y＝1 ex反思感悟公切线问题的解法公切线问题，应根据两个函数在切点处的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组求解.或者分别求出两函数的切线，利用两切线重合列方程组求解.训练2已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)＝x2－m，h(x)＝6ln x－4x，设两曲线y＝f(x)与y＝h(x)在公共点处的切线相同，则m等于()A.－3B.1C.3D.5解析：D依题意，设曲线y＝f(x)与y＝h(x)在公共点(x0，y0)处的切线相同.∵f(x)＝x2－m，h(x)＝6ln x－4x，∴f′(x)＝2x，h′(x)＝6x－4，（x0）＝h（x0），′（x0）＝h′（x0），20－m＝6ln x0－4x0，x0＝6x0－4，∵x0>0，∴x0＝1，m＝5.限时规范训练(十七)A级基础落实练1.(多选)下列求导运算正确的是()A.(x＋1x)′＝1＋1x2B.(log2x)′＝1x ln2C.(5x)′＝5x log5xD.(x2cos x)′＝2x cos x－x2sin x解析：BD A中，(x＋1x)′＝1－1x2，C中，(5x)′＝5x ln5，其余正确.2.(2024·皖豫名校第二次联考)已知函数f(x)＝ax3－x＋b，若f′(x)为f(x)的导函数，f ′(1)＝2，且f (1)＝5，则b ＝()A.5 B.4C.3 D.2解析：A 因为f ′(x )＝3ax 2－1，所以a －1＝2，－1＋b ＝5，解得a ＝1，b ＝5.故选A.3.(2024·宜春月考)曲线y ＝f (x )在点P (1，f (1))处的切线如图所示，则f (1)＋f ′(1)＝()A.0B.12C.32D.－12解析：A 因为切线过点(2，0)和(0，－1)，所以f ′(1)＝0＋12－0＝12，所以切线方程为y ＝12x －1，令x ＝1，则y ＝－12，所以f (1)＝－12，所以f (1)＋f ′(1)＝－12＋12＝0.故选A.4.(2024·佛山禅城区第二次调研)曲线f (x )＝x e 2x －1在点P (12，f (12))处的切线方程为()A.6x －4y －1＝0B.6x －4y －5＝0C.4x －2y －1＝0D.4x －2y －3＝0解析：C 因为f (x )＝x e 2x －1，所以f ′(x )＝e 2x －1＋2x e 2x －1＝(2x ＋1)e 2x －1.设切线的斜率为k，则k＝f′(12)＝2，又f(12)＝12，故所求切线方程为y＝2(x－12)＋12，化简得4x－2y－1＝0.故选C.5.(2024·山西部分学校联考)若函数f(x)＝e x＋ln x＋a的图象在点(1，f(1))处的切线方程为y＝kx－1，则a＝()A.1B.0C.－1D.e解析：B因为f′(x)＝e x＋1x，所以f′(1)＝e＋1，设切线的斜率为k，故k＝e＋1.又f(1)＝e＋a＝k－1＝e，所以a＝0.故选B.6.曲线f(x)＝x3－x＋3在点P处的切线平行于直线y＝2x－1，则点P的坐标为()A.(1，3)B.(－1，3)C.(－1，3)或(1，1)D.(－1，3)或(1，3)解析：D设切点P(x0，y0)，由f′(x)＝3x2－1，可得切线的斜率k＝f′(x0)＝3x20－1，所以3x20－1＝2，解得x0＝±1，当x0＝1时，可得f(1)＝3，此时P(1，3)；当x0＝－1时，可得f(－1)＝3，此时P(－1，3).7.若f(x)＝ln x与g(x)＝x2＋ax两个函数的图象有一条与直线y＝x平行的公共切线，则a等于()A.1B.2C.3D.3或－1解析：D设在函数f(x)＝ln x上的切点为(x1，y1)，∴k＝1x1＝1，解得x1＝1，故切点为(1，0)，可求出切线方程为y＝x－1，此切线和g(x)＝x2＋ax也相切，故x2＋ax＝x－1，化简得x2＋(a－1)x＋1＝0，只需满足Δ＝(a －1)2－4＝0，解得a ＝－1或3.8.已知曲线y ＝a e x ＋x ln x 在点(1，a e)处的切线方程为y ＝2x ＋b ，则()A.a ＝e ，b ＝－1B.a ＝e ，b ＝1C.a ＝e －1，b ＝1D.a ＝e －1，b ＝－1解析：D 因为y ′＝a e x ＋ln x ＋1，所以k ＝y ′|x ＝1＝a e ＋1，所以曲线在点(1，a e)处的切线方程为y －a e ＝(a e ＋1)(x －1)，即y ＝(a e ＋1)x －1.e ＋1＝2，＝－1，＝e －1，＝－1.9.已知函数f (x )＝1ax －1＋e x cos x ，若f ′(0)＝－1，则a ＝.解析：∵f ′(x )＝－（ax －1）′（ax －1）2＋e x cos x －e xsin x ＝－a （ax －1）2＋e x cos x －e x sin x ，∴f ′(0)＝－a ＋1＝－1，则a ＝2.答案：210.(2024·西安长安区模拟)函数f (x )＝e x －e －x ＋ax 2的导函数为f ′(x )，若f ′(x )是偶函数，则实数a ＝，此时，曲线y ＝f (x )在原点处的切线方程为.解析：由题知f ′(x )＝e x ＋e －x ＋2ax ，因为f ′(x )是偶函数，所以f ′(－x )＝f ′(x )在x ∈R 上恒成立，则e －x ＋e x －2ax ＝e x ＋e －x ＋2ax 在x ∈R 上恒成立，故a ＝0.因为f (0)＝0，f ′(0)＝2，所以曲线y ＝f (x )在原点处的切线方程为y －0＝2(x －0)，即y ＝2x .答案：0y ＝2x11.(2024·南通期末)已知函数f (x )＝x 3－2x 2＋2x ，则曲线y ＝f (x )经过点A (1，1)的切线方程是.解析：设切点为(t ，t 3－2t 2＋2t )，由题知f ′(x )＝3x 2－4x ＋2，所以切线的斜率k ＝3t 2－4t ＋2，所以切线方程为y －(t 3－2t 2＋2t )＝(3t 2－4t ＋2)(x －t ).因为切线过点A (1，1)，所以1－(t 3－2t 2＋2t )＝(3t 2－4t ＋2)(1－t )，即(t －1)2(2t －1)＝0，解得t＝12或t＝1，所以斜率k＝34或k＝1，又切线过点A(1，1)，得切线方程为3x－4y＋1＝0或x－y＝0.答案：3x－4y＋1＝0或x－y＝012.(2024·南京模拟)直线y＝ax＋b是曲线y＝x＋1的切线，则a＋b的最小值为.解析：设直线y＝ax＋b与曲线y＝x＋1相切于点(x0，x0＋1)(x0≥0)，当x0＝0时，曲线y＝x＋1无切线，故x0>0，由y＝x＋1得y′|x＝x0＝12x0，所以切线方程为y－(x0＋1)＝12x0(x－x0)，即y＝12x0x＋x02＋1，＝12x0，＝x02＋1，所以a＋b＝12x0＋x02＋1≥212x0·x02＋1＝2，当且仅当x0＝1时，等号成立，所以(a＋b)min＝2.答案：2B级能力提升练13.(2024·青岛模拟)已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)＝－2x2＋m，g(x)＝－3ln x－x，若以上两函数的图象有公共点，且在公共点处切线相同，则m的值为()A.2B.5C.1D.0解析：C根据题意，设两曲线y＝f(x)与y＝g(x)的公共点为(a，b)，其中a>0，由f(x)＝－2x2＋m，可得f′(x)＝－4x，则切线的斜率为k＝f′(a)＝－4a，由g(x)＝－3ln x－x，可得g ′(x )＝－3x－1，则切线的斜率为k ＝g ′(a )＝－3a－1，因为两函数的图象有公共点，且在公共点处切线相同，所以－4a ＝－3a －1，解得a ＝1或a ＝－34(舍去)，又由g (1)＝－1，即公共点的坐标为(1，－1)，将点(1，－1)代入f (x )＝－2x 2＋m ，可得m ＝1.14.(多选)(2024·烟台调研)若函数y ＝f (x )的图象上存在两点，使得函数图象在这两点处的切线互相垂直，则称函数y ＝f (x )具有“T 性质”.则下列函数中具有“T 性质”的是()A.y ＝x e xB.y ＝cos x ＋1C.y ＝1x 3D.y ＝ln 2·log 2x解析：AB由题意可知，若函数y ＝f (x )具有“T 性质”，则存在两点，使得函数在这两点处导数的乘积为－1.对于A ，(xe x )′＝1－x ex ，存在x 1<1，x 2>1时满足条件；对于B ，(cos x ＋1)′＝－sin x ，当x 1＝π2，x 2＝－π2时符合条件；对于C ，(1x 3)′＝－3x 4<0恒成立，负数乘以负数不可能得到－1，不满足条件；对于D ，(ln 2·log 2x )′＝ln 2·1x ln 2＝1x>0恒成立，正数乘以正数不可能得到－1，不满足条件.15.若直线y ＝kx ＋b 是曲线y ＝ln x ＋2的切线，也是曲线y ＝ln(x ＋1)的切线，则b ＝.解析：y ＝ln x ＋2的切线为y ＝1x 1·x ＋ln x 1＋1(设切点横坐标为x 1)，y ＝ln(x＋1)的切线为y＝1x2＋1x＋ln(x2＋1)－x2x2＋1(设切点横坐标为x2)，＝1x2＋1，x1＋1＝ln（x2＋1）－x2x2＋1，解得x1＝12，x2＝－12，∴b＝ln x1＋1＝1－ln2.答案：1－ln216.曲线y＝－1x(x<0)与曲线y＝ln x的公切线的条数为条.解析：设(x1，y1)是公切线和曲线y＝－1x的切点，则切线斜率k1＝1 x21，切线方程为y＋1x1＝1x21(x－x1)，整理得y＝1x21·x－2x1.设(x2，y2)是公切线和曲线y＝ln x的切点，则切线斜率k2＝1 x2，切线方程为y－ln x2＝1x2(x－x2)，整理得y＝1x2·x＋ln x2－1.令1x21＝1x2，－2x1＝ln x2－1，消去x2得－2x1＝ln x21－1.设t＝－x1>0，即2ln t－2t－1＝0，只需探究此方程解的个数.易知函数f(x)＝2ln x－2x－1在(0，＋∞)上单调递增，>0，f(1)＝－3<0，f(e)＝1－2e于是f(x)＝0有唯一解，于是两曲线的公切线的条数为1.答案：1。