不等式3(基本不等式应用与证明)
- 格式：doc
- 大小：157.00 KB
- 文档页数：6
大成培训教案（不等式3基本不等式证明与应用）
基本不等式
学习要求
1.理解算术平均数与几何平均数的定义及它们的关系.
2.探究并了解基本不等式的证明过程, 会用多种方法证明基本不等式.
3.理解基本不等式的意义, 并掌握基本不等式中取等号的条件是: 当且仅当这两个数相等.
１． 算术平均数： 几何平均数
２． 设a ≥0,b ≥0则
2
a b
+的关系为
【精典范例】
例1．.设a 、b 为正数, 求证明：
2
a b
+³
点评：１．不等式证明的方法：(1)作差比较法(2)分析法(3)综合法
２．本题对a ≥0,b ≥０时仍成立，且题中等号当且仅当a=b 时成立．
３．把不等式
2
a b
+³ (a ≥0,b ≥0)称为基本不等式
4.由本题可知，两正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，当两数相等时两者相等
5.基本不等式的几何解释：半径不小于半弦． 例2. 利用基本不等式证明下列不等式： (1) 已知a>0,求证 a+1
2a
³ (2).已知a, b, c ∈R , 求证: a 2+b 2+c 2≥ab+bc+ac .
(3).已知x , y , z 是互不相等的正数, 且x+y+z=1 , 求证: (
111
1)(1)(1)8x y z
--->
点评：1..基本不等式的变形公式：
2.学会多次运用和创造条件运用基本不等式证题，尤其是不等式两边均为三项，可将一边变成六项，分成三组．对每一组用基本不等式．３．注意严格不等式的证明方法．
思维点拔：
1.上面两例在于：(1)揭示基本不等式的内容与证法．(2)举例说明利用基本不等式证题的方法技巧，以让学生初步领会不等式证明的基本方法．
２．基本不等式的推广：n 个(n>1)非负数的几何平均数不大于它们的算术平均数．即若a i ≥0(i=1,2,…,n),则
追踪训练
１．设Ｐ为正数，求下列各组数的算术平均数与几何平均数． （１）２与８ （２）３与１２ （３）Ｐ与９Ｐ （４）２与２2p
２．已知a>1求证a+1
1
a -≥3 ３．已知a+b+c=1,求证a 2+
b 2+
c 2≥13
３． 已知a , b , c 不全相等的三个正数, 且abc=1 , 求证: c b a c
b a ++>++1
11．
第2课时
学习要求
1. 理解最值定理的使用条件：一正二定三相等．
2. 运用基本不等式求解函数最值问题．
１． 最值定理：若x 、y 都是正数， (1)如果积xy 是定值P , 那么当且仅当x=y 时, 和x+y 有最小值 ．.
(2)如果和x+y 是定值S , 那么当且仅当x=y 时, 积xy 有最大值 ．
２．最值定理中隐含三个条件： ． 【精典范例】
例1．(1).已知函数y=x+
162x +(x>－2), 求此函数的最小值. (2)已知x<45, 求y=4x －1+1
45
x -的最大值;
(3)已知x>0 , y>0 , 且5x+7y=20 , 求xy 的最大值;(4)已知x , y ∈R + 且x+2y=1 , 求
11
x y
+的最小值.
例2.（１）求2
(x ∈R)的最小值. . （２）已知x , y ∈R + 且x+４y=1，求
11x y
+ 的最小值．
思维点拔：
１．利用基本不等式求最值问题时，一定要交代等号何时成立，只有等号成立了，才能求最值，否则要用其它方法了．而在证明不等式时，不必要交代等号何时成立．
２．例2是常见典型错误，它违背了最值定理使用前提：“一正二定三相等”中的后两条。
追踪训练一
1. 求函数y=4x 2
+2
9
x
的最小值； 已知x<0 , 求y=
2
1x x
+的最大值；
2. 已知x , y ∈R +
, 且x 1+
y
9
=1 , 求x+y 的最小值;已知x>-2 , 求y=23
2
x x -++的最大值；
3. 已知x>1 ,0<y<1 求log y x+log x y 的取值范围；
【选修延伸】
利用函数单调性求函数最值. 例3:求函数
)4(2
16
≥++
=x x x y 的最小值.
思维点拔：
利用基本不等式求解时,等号不能成立,故改用函数单调性求解.
追踪训练二
求函数x x
y 22
sin sin 4
+=
的最小值.
第3课时
学习要求 1.初步学会不等式证明的三种常用方法：比较法，综合法，分析法。
2.了解不等式证明的另三种方法：反证法，换元法，放缩法. 【精典范例】
例１．（１）已知,,a b R +Î且a b ¹，求证：3322a b a b ab +>+
（2）已知
1,1a b <<，求证：
11a b
ab
+<+
追踪训练一
１． 已知,,,a b m R +Î
且a b <，求证：
a m a
b m b
+>+．
２．已知,,,a b c R Î且1a b c ++=，求证：13
ab bc ca ++
例２.（１）已知,,(0,1),a b c Î求证：(1),(1),(1)a b b c c a ---不能都大于
4
1．
（２）已知2
2221,1a
b x y +=+=，求证：1ax by +
（３）求证：
111a b a b a b
a
b
+?
++++
追踪训练二
1．求证：2221111223n
++++<
学习要求
1．会用基本不等式解决简单的最大（小）值的实际问题。
2.通过对实际问题的研究，体会数学建模的思想。
3．开拓视野，认识数学的科学价值和人文价值．
【精典范例】
例１．用长为4a的铁丝围成一个矩形, 怎样才能使所围矩形的面积最大.(用基本不等式求解)．
例２．某工厂建造一个无盖的长方体贮水池, 其容积为4800m3, 深度为3m , 如果池底每1m2的造价为150元, 池壁每1m2的造价为120元, 怎样设计水池能使总造价最低? 最低总造价为多少元?
例３．某商场预计全年分批购入每台价值为2000元的电视机共3600台, 每批都购入x台(x为正整数), 且每批需付运费400元, 储存购入的电视机全年所付保管费用与每批购入电视机的总价值(不含运费)成正比, 若每批购入400台, 则全年需用去运费和保管费43600元, 现在全年只有24000元资金可用于支付这笔费用, 能否恰好当地安排每批进货的数量, 使资金够用, 写出你的结论, 并说明理由.
选修延伸：
先建目标函数，再用基本不等式求最值，这是一种很常见题型，加以理解和掌握．
追踪训练
１．建造一个容积为8m3, 深为2m的长方体无盖水池, 如果池底的造价为每平方米120元, 池壁的造价为每平方米80元, 求这个水池的最低造价.
２．巨幅壁画画面与地面垂直, 且最高点离地面14米, 最低点离地面2米, 若从离地面1.5米处观赏此画, 问离墙多远时, 视角最大?
1．进一步会用基本不等式解决简单的最大（小）值的实际问题。
2.通过对实际问题的研究，进一步体会数学建模的思想。
.设x>0时, y=3－3x －
x
1
的最大值为______________ 【精典范例】
例１．过点(1 , 2)的直线l 与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点, 当△AOB 的面积最小时, 求直线l 的方程
例２．如图(见书P 93) , 一份印刷品的排版面积(矩形)为A , 它的两边都留有宽为a 的空白, 顶部和底部都留有宽为b 的空白, 如何选择纸张的尺寸, 才能使纸的用量最小?
练习1 过第一象限内点P(a , b)的直线l 与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点, 当PA PB
×取最小值时, 求
直线l 的方程.
2汽车行驶中, 由于惯性作用, 刹车后还要向前滑行一段距离才能停住, 我们把这段距离叫做“刹车距离”, 在某公路上, “刹车距离”S (米)与汽车车速v (米/秒)之间有经验公式: S=
2403v +v 8
5
, 为保证安全行驶, 要求在这条公路上行驶着的两车之间保持的“安全距离”为“刹车距离”再加25米, 现假设行驶在这条公路上的汽车在平均车身长5米, 每辆车均以相同的速度v 行驶, 并且每两辆之间的间隔均是“安全距离”.
(1)试写出经过观测点A 的每辆车之间的时间间隔T 与速度v 函数关系式; (2)问v 为多少时, 经过观测点A 的车流量(即单位时间通过的汽车数量)最大?。
