3不等式的性质证明和基本不等式

1

基本不等式

【知识框架】

1、基本不等式原始形式

（1）若Rba,，则abba222

（2）若Rba,，则222baab

2、基本不等式一般形式（均值不等式）

若*,Rba，则abba2

3、基本不等式的两个重要变形

（1）若*,Rba，则abba2

（2）若*,Rba，则22baab

总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值；

当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值；

特别说明：以上不等式中，当且仅当ba时取“=”

4、求最值的条件：“一正，二定，三相等”

5、常用结论

（1）若0x，则12xx (当且仅当1x时取“=”）

（2）若0x，则12xx (当且仅当1x时取“=”）

（3）若0ab，则2abba (当且仅当ba时取“=”）

（4）若Rba,，则2)2(222babaab

（5）若*,Rba，则2211122babaabba

特别说明：以上不等式中，当且仅当ba时取“=”

6、柯西不等式

（1）若,,,abcdR，则22222()()()abcdacbd

2 （2）若123123,,,,,aaabbbR，则有：

22222221231123112233()()()aaabbbababab

（3）设1212,,,,,,nnaaabb与b是两组实数，则有

22212(naaa)22212)nbbb(21122()nnababab

【题型归纳】

题型一：利用基本不等式证明不等式

题目1、设ba,均为正数，证明不等式:ab≥ba112

题目2、已知cba,,为两两不相等的实数，求证：cabcabcba222

题目3、已知1abc，求证：22213abc

题目4、已知,,abcR，且1abc，求证：abccba8)1)(1)(1(

不等式的基本性质、解不等式

【基础知识】

一、不等式的概念及基本性质

注意：①不等式的基本性质，没有减法和除法。如果遇到减法和除法，可以转化乘加法

和乘法，如：求ab的范围可以转化成求()ab的范围，求ab的范围可以转化成求1ab的范围。

②方程和不等式的两边不能随便乘除，必须先研究这个数的性质，再乘除。

三、分式不等式和高次不等式

1、分式不等式的解法

把分式不等式通过移项、通分、因式分解等化成()0()fxgx的形式→化成不等式组()0()()0gxfxgx→解不等式组得解集。

温馨提示：解分式不等式一定要考虑定义域。

2、高次整式不等式的解法（序轴标根法）

先把高次不等式分解因式化成123()()()()0nxaxaxaxa的形式（x的系数必须为正）→标记方程的实根（注意空心和实心之分）→穿针引线，从右往左，从上往下穿（奇穿偶不穿）→写出不等式的解集。

实际上，序轴标根法适用于所有的整式不等式，根据它可以很快地写出整式不等式的解集。

四、绝对值不等式

1、解绝对值不等式

方法一：公式法 解只含有一个绝对值形如()axbc的不等式，一般直接用公式xaxaxa或 xaaxa，注意集合的关系和集合的运算，集合的运算主要利用数轴。

方法二：零点讨论法 解含有两个绝对值形如()xaxbc的不等式，常用零点讨论法和数形结合法。注意小分类求交大综合求并。

方法三：平方法 如果绝对值的不等式的两边都是非负数，如：3x，可以用平方法。

2、绝对值三角不等式ababab

绝对值三角不等式的运用主要体现在直接利用绝对值三角不等式证明不等式和求函数的最值。

【例题精讲】

例1 已知不等式 的解集为 ，求 、 的值。

解：方法一：

显然 ，由 ，得 ，变形得 ，所以

方法二： 与 是方程 的两根，

高一同步系列

第3讲 不等式的性质和基本不等式

[玩前必备]

1．不等式的基本性质

性质 性质内容 特别提醒

对称性 a>b⇔b

传递性 a>b，b>c⇒a>c ⇒

可加性 a>b⇔a＋c>b＋c

⇔

可乘性 a>bc>0⇒ac>bc

注意c的符号 a>bc<0⇒ac

同向可加性

a>bc>d⇒a＋c>b＋d ⇒

同向同正可乘性 a>b>0c>d>0⇒ac>bd ⇒

可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N＋，n>1)

a，b同为正数 可开方性 a>b>0⇒na>nb(n∈N＋，n>1)

2．两个实数比较大小的方法

(1)作差法 a－b>0⇔a>ba－b＝0⇔a＝ba－b<0⇔a

(2)作商法 ab>1⇔a>bab＝1⇔a＝bab<1⇔a0)

3．基本(均值)不等式ab≤a＋b2

(1)基本(均值)不等式成立的条件：a>0，b>0.

(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．

4．几个重要的不等式

(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．(2)ba＋ab≥2(a，b同号)． 高一同步系列

(3)ab≤a＋b22(a，b∈R)．(4)a2＋b22≥a＋b22(a，b∈R)．

5．算术平均数与几何平均数

设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为a＋b2，几何平均数为ab，基本(均值)不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．

6．利用基本(均值)不等式求最值问题

已知x>0，y>0，则：

(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2p.(简记：积定和最小)

(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是p24.(简记：和定积最大)

1 基本不等式

一、基础知识

基本不等式：在不等式的应用中，有一些很基本而十分重要的不等式，如平均值不等式和三角不等式等，我们将其统称为基本不等式．

平均值不等式：两个正数的算术平均值大于等于它们的几何平均值，即对于任意的正数a、b，有2abab，且等号当且仅当ab时成立.

证明：对于正数a、b，要证明定理所述之平均值不等式，只要证明

2abab，

即

20abab.

由

22ababab.

上式显然成立，且只有当ab时，原不等式两边才相等.

常用不等式：对于任意的正数a、b，有22abab，且等号当且仅当ab时成立.

三角不等式：对于任意的实数a、b，有abab，且等号当且仅当0ab时成立.

证明：为证明abab，只需证明

22abab，

即222222aabbaabb，也即22abab，这是显然的，且等号当且仅当a、b同号，即0ab时成立.

二、拓展知识

基本不等式：如果a，b，cR，那么3333abcabc（当且仅当abc时取“”）

证明：33333223333abcabcabcabababc

223abcababccababc 2 22223abcaabbacbccab

222abcabcabbcac

22212abcabacbc

a，b，cR，222102abcabacbc

从而3333abcabc

推论：如果a，b，cR，那么33abcabc（当且仅当abc时取“”）

基本不等式：1212nnaaaaaan，*nN，iaR，1in.

证明可用数学归纳法，二项式定理证明，这里证明省略；

柯西不等式：222222211221212nnnnabababaaabbb

,1,2,,iiabRin，等号当且仅当120naaa或iibka时成立（k为常数，1,2,,in）

证明：构造二次函数

2221122nnfxaxbaxbaxb

2222222121122122nnnnaaaxabababxbbb