第三节 基本不等式及其应用

第三节 基本不等式及其应用 考试要求

1．了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．

[知识排查·微点淘金]

知识点1 基本不等式

不等式

成立的条件

等号成立的条件

两个不等式的关系

重要不等式a2＋b2≥2ab a，b∈R a＝b 在不等式a2＋b2≥2ab中，若a＞0，b＞0，分别以a，b代替a，b可得a＋b≥2ab，即ab≤a＋b2 基本不等式ab≤a＋b2 a＞0，b＞0 a＝b

设a＞0，b＞0，则a，b的算术平均数为a＋b2，几何平均数为ab，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．

知识点2 利用基本不等式求最值

已知x＞0，y＞0，则

(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值2p(简记：积定和最小)．

(2)如果x＋y的和是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值p24(简记：和定积最大)．

[微思考]

1．若两个正数的和为定值，则这两个正数的积一定有最大值吗？

提示：不一定．若这两个正数能相等，则这两个数的积一定有最大值；若这两个正数不相等，则这两个正数的积无最大值．

2．函数y＝x＋1x的最小值是2吗？

提示：不是．因为函数y＝x＋1x的定义域是{x|x≠0}，当x<0时，y<0，所以函数y＝x＋1x无最小值．

常用结论

1．基本不等式的两种常用变形形式 (1)ab≤a＋b22(a，b∈R，当且仅当a＝b时取等号)．

(2)a＋b≥2ab(a＞0，b＞0，当且仅当a＝b时取等号)．

2．几个重要的结论

(1)a2＋b22 ≥a＋b22(a，b∈R)．

(2)ba＋ab≥2(ab＞0)．

(3)21a＋1b≤ab≤a＋b2≤ a2＋b22(a＞0，b＞0)．

(4)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(a，b，c∈R)．

[小试牛刀·自我诊断]

1．思考辨析(在括号内打“ √”或“×”)

(1)两个不等式a2＋b2≥2ab与a＋b2≥ab成立的条件是相同的．(×)

(2)(a＋b)2≥4ab.(√)

(3)“x>0且y>0”是“xy＋yx≥2”的充要条件．(×)

(4)函数y＝sin x＋4sin x，x∈0，π2的最小值为4.(×)

2．(链接教材必修5 P99例1(2))设x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值为( )

A．80 B．77

C．81 D．82

解析：选C 因为x>0，y>0，所以x＋y2≥xy，即xy≤x＋y22＝81，当且仅当x＝y＝9时，(xy)max＝81.

3．(链接教材必修5 P100A组T2)若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是 m2.

解析：设矩形的一边为x m，则另一边为12×(20－2x)＝(10－x)m，

所以y＝x(10－x)≤x＋（10－x）22＝25，

当且仅当x＝10－x，即x＝5时，ymax＝25.

答案：25 4．(忽视变量的范围)函数f(x)＝2x＋3x＋1(x<0)的最大值为

．

解析：∵x<0，

∴f(x)＝－（－2x）＋3（－x）＋1≤－26＋1.

当且仅当－2x＝3－x且x<0，即x＝－62时等号成立．

答案：1－26

5．(忽视基本不等式等号成立的条件)当x≥2时，x＋4x＋2的最小值为

．

解析：设x＋2＝t，则x＋4x＋2＝t＋4t－2.又由x≥2得t≥4，而函数y＝t＋4t－2在[2，＋∞)上是增函数，因此当t＝4时，t＋4t－2即x＋4x＋2取得最小值，最小值为4＋44－2＝3.

答案：3

一、综合探究点——利用基本不等式求最值(多向思维)

[典例剖析]

思维点1 通过配凑法求最值

[例1] (1)若0

A．1 B．12

C．14 D．18

解析：∵0

∴y＝x1－4x2＝ x2（1－4x2）

＝12 4x2（1－4x2）≤12×4x2＋1－4x22＝14，

当且仅当4x2＝1－4x2，

即x＝24时取等号，

则y＝x1－4x2的最大值为14. 答案：C

(2)已知函数f(x)＝－x2x＋1(x<－1)，则(

)

A．f(x)有最小值4

B．f(x)有最小值－4

C．f(x)有最大值4

D．f(x)有最大值－4

解析：f(x)＝－x2x＋1＝－x2＋1－1x＋1

＝－x－1＋1x＋1＝－x＋1＋1x＋1－2

＝－(x＋1)＋1－（x＋1）＋2.

因为x<－1，所以x＋1<0，－(x＋1)>0，

所以f(x)≥21＋2＝4，

当且仅当－(x＋1)＝1－（x＋1），

即x＝－2时，等号成立．故f(x)有最小值4.

答案：A

(3)已知x>54，则f(x)＝4x－2＋14x－5的最小值为 ．

解析：∵x>54，∴4x－5>0，∴f(x)＝4x－2＋14x－5＝4x－5＋14x－5＋3≥21＋3＝5.

当且仅当4x－5＝14x－5，即x＝32时取等号．

答案：5

通过配凑法利用基本不等式求最值的实质及关键点

配凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法．配凑法的实质是代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键．

思维点2 常数代换法求最值 [例2] 已知a>0，b>0，a＋b＝1，则1a＋1b的最小值为

．

解析：因为a＋b＝1，

所以1a＋1b＝1a＋1b(a＋b)＝2＋ba＋ab≥2＋2ba·ab＝2＋2＝4.当且仅当a＝b＝12时，取等号．

答案：4

常数代换法求解最值的基本步骤

(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)；

(2)把确定的定值(常数)变形为1；

(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式；

(4)利用基本不等式求解最值．

思维点3 消元法求最值

[例3] [一题多解]已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为 ．

解析：解法一(换元消元法)：由已知得x＋3y＝9－xy，

因为x>0，y>0，所以x＋3y≥23xy，

所以3xy≤x＋3y22，当且仅当x＝3y，即x＝3，y＝1时取等号，即(x＋3y)2＋12(x＋3y)－108≥0.

令x＋3y＝t，则t>0且t2＋12t－108≥0，

得t≥6，即x＋3y的最小值为6.

解法二(代入消元法)：

由x＋3y＋xy＝9，得x＝9－3y1＋y，

所以x＋3y＝9－3y1＋y＋3y＝9－3y＋3y（1＋y）1＋y

＝9＋3y21＋y＝3（1＋y）2－6（1＋y）＋121＋y ＝3(1＋y)＋121＋y－6≥2 3（1＋y）·121＋y－6

＝12－6＝6.

当且仅当3(1＋y)＝121＋y，即y＝1时取等号．

即x＋3y的最小值为6.

答案：6

消元法利用基本不等式求最值的策略

当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常是考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”，最后利用基本不等式求最值．

[学会用活]

1．(2021·泉州检测)已知0

A．13 B．12

C．34 D．23

解析：选B 因为0

2．若直线2mx－ny－2＝0(m>0，n>0)过点(1，－2)，则1m＋2n的最小值为( )

A．2 B．6

C．12 D．3＋22

解析：选D 因为直线2mx－ny－2＝0(m>0，n>0)过点(1，－2)，所以2m＋2n－2＝0，即m＋n＝1，所以1m＋2n＝1m＋2n(m＋n)＝3＋nm＋2mn≥3＋22，当且仅当“nm＝2mn，即n＝2m”时取等号，所以1m＋2n的最小值为3＋22，故选D．

3．若正数x，y满足x2＋6xy－1＝0，则x＋2y的最小值是( )

A．223 B．23

C．33 D．233 解析：选A 因为正数x，y满足x2＋6xy－1＝0，所以y＝1－x26x.由x>0，y>0，即x>0，1－x26x>0，解得0

所以x＋2y＝x＋1－x23x＝2x3＋13x≥2 2x3·13x

＝223，当且仅当2x3＝13x，即x＝22，y＝212时取等号．

故x＋2y的最小值为223.

二、应用探究点——基本不等式的实际应用(思维拓展)

[典例剖析]

[例4] 要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是 (单位：元)．

解析：设该长方体容器的长为x m，则宽为4x m．又设该容器的造价为y元，则y＝20×4＋2x＋4x·10，即y＝80＋20x＋4x(x＞0)．因为x＋4x≥2 x·4x＝4(当且仅当x＝4x，即x＝2时取“＝”)，所以ymin＝80＋20×4＝160(元)．

答案：160

[拓展变式]

1．[变条件]若本例中容器底面长不小于2.5 m，则该容器的最低总造价是 元．

解析：由例题的解答可知：总造价S＝20x＋4x＋80(x≥2.5)，因为S′＝201－4x2＝20·x2－4x2＞0，

所以S＝20x＋4x＋80在[2，＋∞)上单调递增，

所以当x＝2.5 m时，Smin＝20×2.5＋42.5＋80＝162(元)．

答案：162

2．[变条件]若本例中容器底面长不大于1.5 m，则该容器的最低总造价是 元(精确到十分位)．

解析：由例题的解答可知：