第三节 基本不等式

基本不等式全部公式

1.三角不等式：对于任意实数a和b，有，a+b，≤，a，+，b

2. Cauchy-Schwarz 不等式：对于任意实数 a1, a2,...,an 和 b1,

b2,...,bn，有

(a1b1 + a2b2 + ... + anbn)² ≤ (a₁² + a₂² + ... + an²)(b₁² +

b₂² + ... + bn²)

3. 二次平均不等式：对于任意非负实数 x1, x2,...,xn，有

√((x₁² + x₂² + ... + xn²)/n) ≥ ((x₁ + x₂ + ... + xn)/n)

4. 广义平均不等式：对于任意非负实数 x1, x2,...,xn 和实数 p

≠ 0，有

(x₁ᵖ + x₂ᵖ + ... + xnᵖ)/n ≥ ((x₁ + x₂ + ... + xn)/n)ᵖ

5. AM-GM 不等式：对于任意非负实数 x₁, x₂,...,xn，有

(x₁x₂...xn)^(1/n) ≤ (x₁ + x₂ + ... + xn)/n

6. Jensen 不等式：设 f 是凸函数，则对于非负实数 x₁, x₂,...,xn

和非负实数权重 w₁, w₂,...,wn，有

f(w₁x₁ + w₂x₂ + ... + wnxn) ≥ w₁f(x₁) + w₂f(x₂) + ... +

wnfn(xn)

7. Hessemberg 不等式：对于非负实数 x₁, x₂,...,xn，有

(x₁ + t)ⁿ ≤ x₁ⁿ + nx₁ⁿ⁻¹t + n(n-1)x₁ⁿ⁻²t²/2 + ... + tⁿ

8. Bernoulli 不等式：对于实数 x ≥ -1 和正整数 n，有 (1+x)ⁿ ≥ 1 + nx

9. Muirhead 不等式：对于非负实数 a₁, a₂,...,an 和 b₁,

b₂,...,bn 满足 a₁ + a₂ + ... + an = b₁ + b₂ + ... + bn，有

1 第六章 第三节 基本不等式

一、选择题

1．已知向量a＝(x－1,2)，b＝(4，y)，若a⊥b，则9x＋3y的最小值为 ( )

A．22 B．4

C．12 D．6

解析：由a⊥b得a·b＝0，即(x－1,2)·(4，y)＝0.

∴2x＋y＝2.

则9x＋3y＝32x＋3y≥232x·3y＝232x＋y＝29＝6.

当且仅当32x＝3y即x＝12，y＝1时取得等号．

答案：D

2．(2011·重庆高考)已知a>0，b>0，a＋b＝2，则y＝1a＋4b的最小值是 ( )

A.72 B．4

C.92 D．5

解析：依题意得1a＋4b＝12(1a＋4b)(a＋b)＝12[5＋(ba＋4ab)]≥12(5＋2ba×4ab)＝92，当且仅当 a＋b＝2ba＝4aba>0，b>0，即a＝23，b＝43时取等号，即1a＋4b的最小值是92.

答案：C

3．函数y＝log2x＋logx(2x)的值域是 ( )

A．(－∞，－1] B．[3，＋∞)

C．[－1,3] D．(－∞，－1]∪[3，＋∞)

解析：y＝log2x＋logx(2x)＝1＋(log2x＋logx2)．

如果x>1，则log2x＋logx2≥2，

如果0

∴函数的值域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．

答案：D

4．(2012·温州模拟)已知x>0，y>0，z>0，x－y＋2z＝0，则xzy2的 ( )

2 A．最小值为8 B．最大值为8

C．最小值为18 D．最大值为18

解析：xzy2＝xzx＋2z2＝xzx2＋4xz＋4z2＝1xz＋4zx＋4≤18.

当且仅当xz＝4zx，x＝2z时取等号．

基本不等式的所有公式及常用解法

1.加减法不等式公式：

若a>b，则a+/-c>b+/-c，其中c为任意实数。

2.乘法不等式公式：

若a>b且c>0，则a*c>b*c；

若a>b且c<0，则a*c

3.幂次不等式公式：

对任意非零实数a和b

若a>b且n>0且n为正整数，则a^n>b^n；

若a>b且0

4.倒数不等式公式：

若a>b>0，则1/a<1/b。

5.奇偶性不等式公式：

若a>0且n为正整数，则a^n>0。

若a<0且n为奇数整数，则a^n<0。

常用的解基本不等式的方法有：

1.用数轴法解：

将不等式绘制在数轴上，根据不等式的性质找出符合条件的x的取值范围。 2.用代数方法解：

针对不等式上的加减法、乘法、幂次或倒数等，利用基本不等式公式进行运算，化简不等式，最终得到x的取值范围。

3.用平方差、立方差或更高次差法解：

对于特定形式的不等式，如二次函数不等式（即含有二次项的不等式），可使用平方差公式将其转化为不等式的标准形式；同样，对于三次函数不等式（即含有三次项的不等式），可使用立方差公式将其转化为不等式的标准形式。通常，对高次不等式的解法需要更高级的数学知识，此处不再详细介绍。

4.用函数图像解：

对于一些特定函数，如一次函数、二次函数等，可通过绘制函数图像来判断不等式的解集。

5.用不等式链解：

若能将一个不等式化为多个简单的不等式，即不等式的解集满足一系列条件，可通过每个条件对应的不等式求解解集。

以上是基本不等式的一些公式和常用解法。对于不同的不等式，我们需要根据具体情况选择合适的解法。希望以上内容对您有所帮助。

基本不等式

1.基本不等式：2baab.（一正、二定、三相等）

（1）基本不等式成立的条件：0,0ba.

（2）等号成立的条件：当且仅当ba时取等号.

2.算术平均数与几何平均数

设,0,0ba则ba,的算术平均数为,2ba几何平均数为,ab基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数大于或等于它的几何平均数.

3.几个重要的不等式

（1）),(222Rbaabba；（2）)0,0(2baabba；

（3）),(4)(2Rbabaab；（4）222)()(2baba（Rba,）

4.利用基本不等式求最值问题

已知,0,0yx则

（1）如果积xy是定值,p那么当且仅当yx时，yx有最小值是.2p

（2）如果和yx是定值,s那么当且仅当yx时，xy有最大值是.4s2

注：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正（各项均为正），二定（积或和为定值），三相等（等号能否取得）”，若忽略了某个条件，就会出现错误.解答题用基本不等式求最值一定要说明何时取等号，不说明会扣分。如果多次用基本不等式求最值，必须保持每次取“”的一致性.

5.注意：正负要判断，等号要考虑

例（1）已知,45x函数54124xxy的最大值为_________答案：1.

（2）函数4522xxy的最小值是_________答案：.25

6.“1”的代换问题：

例（3）设,32,0,0baba则11ab最小值是 答案：3223.

（4）已知P是ABC的边BC上的任一点，且满足,,,RyxACyABxAP则xyyx4的最小值是 .答案：9.

7.“yx”与“xy”的互相转化

例（5）若正实数yx,满足,62yxxy则xy的最小值是_________答案：18.

（6）设yx,为实数，若,1422xyyx则yx2的最大值是_________答案：.5102