2021年高考数学一轮复习 6.4基本不等式课时作业 理 湘教版

课时规范练3 等式性质与不等式性质基础巩固练1.若a,b,c∈R,a>b,则下列不等式恒成立的是 ( )A.1a <1bB.a2<b2C.ac2+1>bc2+1D.a|c|>b|c|2.已知x=-a2-2a+3,y=4-3a,则( )A.x<yB.x=yC.x>yD.x与y的大小无法判断3.已知1≤a≤2,-1≤b≤4,则a-2b的取值范围是( )A.[-7,4]B.[-6,9]C.[6,9]D.[-2,8]4.(江西赣州模拟)“x>y”的一个充分条件可以是( )A.2x-y>1eB.x2>y2C.xy>1 D.xt2>yt25.已知a-b∈[0,1],a+b∈[2,4],则4a-2b的取值范围是( )A.[1,5]B.[2,7]C.[1,6]D.[0,9]6.(多选题)(河北唐山检测)已知a>b>0>c,则下列不等式正确的是( )A.1a <1cB.a3c<b3cC.1a2>1b2D.lg a-cb-c>07.已知m,n∈R,设a=(m2+1)(n2+4),b=(mn+2)2,则a b.(填<,≤,≥,>中的一种)9.已知2<x<4,-3<y<-1,则xx-2y的取值范围是.综合提升练10.已知x>y>1>z>0,a=1+xzz ,b=1+xyx,c=1+yzy,则必有( )A.a>c>bB.b>c且a>cC.b>c>aD.a>b且a>c11.(辽宁模拟)已知实数x,y满足2x+y=1,若|2y-1|-2|x|<3,则实数x的取值范围是( ) A.(-1,2) B.(-1,0)C.0,14D.14,212.已知某个三角形的两条高的长度分别为10和20,则它的第三条高的长度的取值范围是( ) A.103,5B.5,203C.203,20D.前三个答案都不对13.(多选题)已知a,b,c,d 均为实数,下列不等关系推导不一定成立的是( )A.若a>b,c<d,则a+c>b+dB.若a>b,c>d,则ac>bdC.若a>b>0,c>d>0,则√ad>√bcD.若bc-ad>0,c a−db>0,则ab<014.已知a,b ∈R 且满足{1≤a +b ≤3,-1≤a -b ≤1,则4a+2b 的取值范围是( )A.[0,12]B.[4,10]C.[2,10]D.[2,8]创新 应用练15.设a=log 0.20.3,b=log 20.3,则a+b 与ab 的大小关系是 .课时规范练3 等式性质与不等式性质1.C 解析对于A,取a=1,b=-1,满足a>b,但1a>1b ,故A 错误;对于B,取a=1,b=-1,满足a>b,但a 2=b 2,故B 错误;对于D,取c=0,则a|c|=b|c|,故D 错误;对于C,因为c 2+1≥1>0,则1c 2+1>0,又a>b,所以ac 2+1>bc 2+1,故C 正确.故选C.2.A 解析因为x=-a 2-2a+3,y=4-3a,所以x-y=-a 2+a-1=-a-122-34<0,故x<y,故选A.3.A 解析因为-1≤b≤4,所以-8≤-2b≤2,由1≤a≤2,得-7≤a -2b≤4,故选A.4.D 解析对选项A,当x=0,y=1时,2x-y =12>1e ,但此时x<y,故A 错误;对选项B,由x 2>y 2,则x 2-y 2>0⇒(x+y)(x-y)>0,则{x +y >0,x -y >0或{x +y <0,x -y <0,故B错误;对选项C,x y >1⇒x y -1>0⇒x -yy >0⇒y(x-y)>0,则{y >0,x -y >0或{y <0,x -y <0,故C 错误;对选项D,由-n)b,所以{m +n =4,m -n =2,解得{m =3,n =1,所以4a-2b=3(a-b)+(a+b),又a-b ∈[0,1],a+b ∈[2,4],所以3(a-b)∈[0,3],4a-2b ∈[2,7],故选B.6.BD 解析由题意,a>b>0>c,∴1a>0>1c ,故A 错误;a 3>b 3,a 3c<b 3c,故B 正确;a 2>b 2,当a>b>1时,1a 2<1b2,故C 错误;a-c>0,b-c>0,a b>1,a -cb -c>1,∴lga -cb -c>0,故D 正确,故选BD.7.≥ 解析由于a-b=(m 2+1)(n 2+4)-(mn+2)2=4m 2+n 2-4mn=(2m-n)2≥0,故a≥b. 9.14,23解析xx -2y=11-2y x,∵-3<y<-1,∴2<-2y<6,又2<x<4,∴14<1x<12, ∴12<-2yx<3,∴32<1-2yx<4,∴14<x x -2y <23. 10.D 解析因为x>y>1>z>0,所以1x<1y<1z ,x-y>0,x-z>0,y-z>0,所以a=x+1z,b=y+1x,c=z+1y,a-b=x+1z-y-1x =(x-y)+x -z xz>0,所以a>b,a-c=x+1z-z-1y =(x-z)+y -z yz>0,所以a>c,c-b=z+1y-y-1x=(z-y)+x -y yx符号不能确定,所以b,c 的大小不能确定,所以a>b 且a>c,故选D.11.A 解析因为2x+y=1,不等式|2y-1|-2|x|<3可化为|4x-1|-2|x|<3,当x<0时,不等式可化为1-4x-2(-x)<3,即1-2x<3,解得-1<x<0;当0≤x ≤14时,不等式可化为1-4x-2x<3,可得0≤x ≤14;当x>14时,不等式可化4x-1-2x<3,解得14<x<2.综上可得,-1<x<2,即实数x 的取值范围是(-1,2).12.C 解析设三角形的三边长分别为2a,a,b,对应的高分别为10,20,h,根据等面积法可得b=20a ℎ,又因为a<b<3a,所以a<20a ℎ<3a,解得203<h<20,故选C.13.ABD 解析对于A,若a=2,b=1,c=-2,d=-1,则a+c=b+d=0,所以A 符合题意;对于B,若a=2,b=1,c=-1,d=-2,则ac=bd=-2,所以B 符合题意;对于C,因为c>d>0,所以c cd>d cd>0,即1d>1c>0,因为a>b>0,所以a d>b c>0,所以√ad >√b c>0,所以C 不符合题意;对于D,若a=1,c=2,b=2,d=1,满足bc-ad>0,c a−d b>0,而此时ab=2>0,所以D 符合题意.故选ABD.14.C 解析设4a+2b=A(a+b)+B(a-b),可得{A +B =4,A -B =2,解得{A =3,B =1,所以4a+2b=3(a+b)+(a-b),因为{1≤a +b ≤3,-1≤a -b ≤1,所以{3≤3(a +b )≤9,-1≤a -b ≤1,所以2≤4a+2b≤10.15.a+b>ab 解析因为a=log 0.20.3>0,b=log 20.3<0,所以ab<0,a+b ab=1b+1a=log 0.32+log 0.30.2=log 0.30.4<log 0.30.3=1⇒a+b ab<1,而ab<0,所以a+b>ab.。

课时规范练6 一元二次方程、不等式基础 巩固练1.(山东日照模拟)设集合M={x |x 2<14},N={∩N=( )A.0,12 B.-12,1C.-1,12D.-12,02.函数f(x)=√4-x x -1的定义域为( )A.(-∞,1)∪[4,+∞)B.(-∞,1]∪(4,+∞)C.(1,4]D.[1,4]3.(福建泉州模拟)“关于x 的不等式x 2-2ax+a>0的解集为R”的一个必要而不充分条件是( ) A.0<a<1 B.0<a<13C.0≤a≤1D.a<0或a>134.关于x 的不等式3x+a x -1≤1的解集为-52,1,则实数a 的值为( )A.-6B.-72C.32D.45.(多选题)已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为(-∞,-3)∪(4,+∞),则下列结论正确的有( )A.a>0B.不等式bx+c>0的解集为(-∞,-6)C.a+b+c>0D.不等式cx2-bx+a<0的解集为-∞,-14∪13,+∞6.(多选题)不等式m>0)的解集不可能是( )A.(-∞,-1)∪(2,+∞)B.(-∞,1)∪(2,+∞)C.13,3 2D.⌀8.不等式x-1(x-2)2≥2的解集是.9.已知f(x)=x2-x+1,当x∈[-1,2]时,不等式f(x)>2的取值范围为.综合提升练10.已知函数y=x2+bx+3的值域是[0,+∞),若关于),则实数c的值为( )A.8B.9C.16D.2511.(多选题)若关于+3)的取值可以是( )A.-132B.-12C.12D.13212.若不等式x-1x+m+m<0的解集为{x|的值为.创新应用练13.若两个正实数x,y满足4有解,则实数m取值范围是( )A.(-1,2)B.(-∞,-2)∪(1,+∞)C.(-2,1)D.(-∞,-1)∪(2,+∞)14.已知一元二次不等式ax2+bx+c>0(a,b,c∈R)的解集为(-1,3),则b-c+1a 的最大值为.课时规范练6 一元二次方程、不等式1.A 解析由题意得,M=-12,12,N=[0,1],所以M∩N=0,12,故选A.2.C 解析依题意得4-xx -1≥0,得{(x -4)(x -1)≤0,x -1≠0,解得1<x≤4,所以函数定义域为(1,4],故选C.3.C 解析依题意(-2a)2-4a=4a(a-1)<0,解得0<a<1,选择的必要而不充分条件的范围,应该大于0<a<1包含的范围,显然只有C 项满足,故选C.4.D 解析由3x+a x -1≤1⇒2x+a+1x -1≤0⇒(2x+a+1)(x-1)≤0且x≠1,由题意得,-a+12=-52,解得a=4,故选D.5.AD 解析依题意知a>0,且-3,4是ax 2+bx+c=0的两根,故A 正确;则{-3+4=-ba,-3×4=c a ,故{b =-a ,c =-12a ,所以bx+c>0,即-ax-12a>0,所以x<-12,即不等式bx+c>0的解集为{x|x<-12},故B 错误;因为关于x 的不等式ax 2+bx+c>0的解集为{x|x<-3或x>4},故x=1时,ax 2+bx+c<0,即a+b+c<0,故C 错误;由以上分析可知不等式cx 2-bx+a<0,即-12ax 2+ax+a<0,因为a>0,故12x 2-x-1>0,所以x<-14或x>13,故不等式cx 2-bx+a<0的解集为-∞,-14∪13,+∞,D 正确,故选AD.6.BCD 解析对不等式m>0),其对应方程mx 2-ax-1=0的两根分别为x 1,x 2,则x 1x 2=-1m <0,若x 1<x 2,则x 1<0<x 2,故不等式解集的形式定为(-∞,x 1)∪(x 2,+∞),根据上述讨论,只有A 满足,故选BCD. 8.32,2∪(2,3] 解析原不等式可化为(x -1)-2(x -2)2(x -2)2=(-2x+3)(x -3)(x -2)2≥0,有(-2x+3)(x-3)≥0且x-2≠0,解得32≤x≤3且x≠2,故解集为32,2∪(2,3]. 9.-∞,-54解析由题意可得x 2-对任意的<x 2-3x+1对任意的x ∈[-1,2]恒成立.令g(x)=x 2-3x+1,g(x)=x-322-54,in =g32=-54,所以m<-54,故实数m的取值范围为-∞,-54.10.C 解析因为函数y=x 2+bx+3的值域是[0,+∞),所以b 2-12=0,即b 2=12,又因为不等式-8)=3-c,所以8=√b 2-4(3-c ),即8=√12-4(3-c ),所以c=16.11.BD 解析不等式<0可化为()<0,当m>3时,不等式的解集为3<≤7;当m=3时,不等式的解集为⌀,不合题意;当m<3时,不等式的解集为m<<0,故选BD.12.-3 解析原不等式可化为(m+1)x+m 2-1x+m<0⇔[(m+1))<0,由已知,可得m+1<0,且3和4是方程[(m+1))=0的两个实根,即3和4是方程(m+1)-1)x+m(m 2-1)=0的两个实根,所以{ 3+4=-2m 2+m -1m+1,3×4=m (m 2-1)m+1,m +1<0,解得m=-3.13.D 解析若4x+y=2xy,则4y+1x=2,所以x+y4=12x+y 44y+1x=124x y+y 4x+2≥122√4x y ·y 4x +2=2,当且仅当4x y =y4x,即有解,只需要m 2-m>2,解得m>2或m<-1,故选D.14.-2 解析因为ax 2+bx+c>0的解集为(-1,3),故-1,3为方程ax 2+bx+c=0的两个根,且a<0,{-1+3=-ba,(-1)×3=c a ⇒{b =-2a ,c =-3a ,∴b-c+1a =a+1a =--a-1a ≤-2当且仅当a=1a,a<0,即a=-1时,等号成立,故b-c+1a的最大值为-2.。

2012届高考（理科）数学一轮复习课时作业：6.4 基本不等式一、选择题1．在下列各函数中，最小值等于2的函数是( )A ．y ＝x ＋1xB ．y ＝cos x ＋1cos x (0<x <π2)C ．y ＝x 2＋3x 2＋2D ．y ＝e x ＋4e x －2解析：选项A 中，x >0时，y ≥2，x <0时，y ≤－2；选项B 中，cos x ≠1，故最小值不等于2；选项C 中，x 2＋3x 2＋2＝x 2＋2＋1x 2＋2＝x 2＋2＋1x 2＋2， 当x ＝0时，y min ＝322.答案：D2．已知x >0，y >0，lg2x ＋lg8y ＝lg2，则1x ＋13y 的最小值是( )A ．2B ．2 2C ．4D ．2 3解析：由lg2x ＋lg8y ＝lg2，得lg2x ＋3y ＝lg2，∴x ＋3y ＝1，1x ＋13y ＝(1x ＋13y )(x ＋3y )＝2＋x3y ＋3yx ≥4.答案：C3．已知m ＝a ＋1a －2(a >2)，n ＝(12)x 2－2(x <0)，则m 、n 之间的大小关系是( )A ．m >nB ．m <nC ．m ＝nD ．m ≤n 解析：∵m ＝(a －2)＋1a －2＋2 ≥2(a －2)1a －2＋2＝4，n ＝22－x 2<22＝4.∴m >n .答案：A4．(2010年全国Ⅰ)已知函数f (x )＝|lg x |.若0<a <b ，且f (a )＝f (b )，则a ＋2b 的取值范围是()A ．(22，＋∞)B ．[22，＋∞)C ．(3，＋∞)D ．[3，＋∞)解析：函数f (x )＝lg|x |的图象如图所示．由图知0<a <1，b >1.∵f (a )＝|lg a |＝－lg a ＝lg 1a＝f (b ) ＝|lg b |＝lg b ，∴b ＝1a .∴a ＋2b ＝a ＋2a. 令g (a )＝a ＋2a(0<a <1)，g (a )在(0,1)上为减函数， ∴g (a )＝a ＋2a>g (1)＝1＋2＝3. 答案：C5．要设计一个矩形，现只知道它的对角线长度为10，则在所有满足条件的设计中，面积最大的一个矩形的面积为( )A ．50B ．25 3C ．50 3D ．100解析：设矩形的长和宽分别为x 、y ，则x 2＋y 2＝100.于是S ＝xy ≤x 2＋y 22＝50，当且仅当x ＝y 时等号成立． 答案：A6．已知正项等比数列{a n }满足：a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n 使得a m a n ＝4a 1，则1m＋4n的最小值为( ) A.32B.53C.256 D ．不存在解析：设正项等比数列{a n }的公比为q ，由a 7＝a 6＋2a 5，得q 2－q －2＝0，解得q ＝2. 由a m a n ＝4a 1，得2m ＋n －2＝24，即m ＋n ＝6.故1m ＋4n ＝16(m ＋n )(1m ＋4n )＝56＋16(4m n ＋n m )≥56＋46＝32，当且仅当n ＝2m 时等号成立． 答案：A二、填空题7．[2011·浙江卷] 设x ，y 为实数，若4x 2＋y 2＋xy ＝1，则2x ＋y 的最大值是________．解析： ∵4x 2＋y 2＋xy ＝1，∴(2x ＋y )2－3xy ＝1，即(2x ＋y )2－32·2xy ＝1， ∴(2x ＋y )2－32·⎝⎛⎭⎫2x ＋y 22≤1，解之得(2x ＋y )2≤85，即2x ＋y ≤2105. 答案：21058．(2010年山东高考)若对任意x >0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是________． 解析：当x >0时，x x 2＋3x ＋1＝1x ＋1x ＋3≤12＋3＝15，∴a ≥15. 答案：[15，＋∞) 9．设OA →＝(1，－2)，OB →＝(a ，－1)，OC →＝(－b,0)，a >0，b >0，O 为坐标原点，若A 、B 、C 三点共线，则1a ＋2b的最小值是________． 解析：AB →＝OB →－OA →＝(a －1,1)，AC →＝OC →－OA →＝(－b －1,2)，∵AB →与AC →共线，∴2(a －1)＋b ＋1＝0，即2a ＋b ＝1.∵a >0，b >0，∴1a ＋2b ＝(1a ＋2b )(2a ＋b )＝4＋b a ＋4a b≥4＋4＝8， 当且仅当b a ＝4a b，即b ＝2a 时等号成立． 答案：8三、解答题 10． (1)求函数y ＝x (a －2x )(x >0，a 为大于2x 的常数)的最大值；(2)设x >－1，求函数y ＝(x ＋5)(x ＋2)x ＋1的最值． 解：(1)∵x >0，a >2x ， ∴y ＝x (a －2x )＝12×2x (a －2x ) ≤12×[2x ＋(a －2x )2]2＝a 28当且仅当x ＝a 4时取等号，故函数的最大值为a 28. (2)∵x >－1，∴x ＋1>0.设x ＋1＝z >0，则x ＝z －1。

2021版高考数学一轮复习第六章不等式第3讲算术平均数与几何平均数课时作业理1．下列命题正确的是( )A ．函数y ＝x ＋1x的最小值为2B ．函数y ＝x 2＋3x 2＋2的最小值为2C ．函数y ＝2－3x －4x (x ＞0)的最小值为2－4 3D ．函数y ＝2－3x －4x(x ＞0)的最大值为2－4 3 2．若函数f (x )＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取得最小值，则a ＝( ) A ．1＋ 2 B ．1＋ 3 C ．3 D ．43．设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当z xy取得最小值时，x ＋2y －z 的最大值为( )A ．0 B.98 C ．2 D.944．若log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是( )A ．6＋2 3B ．7＋2 3C ．6＋4 3D ．7＋4 35．(2020年湖南)若实数a ，b 满足1a ＋2b＝ab ，则ab 的最小值为( )A. 2 B ．2 C ．2 2 D ．46．(2020年陕西)设f (x )＝ln x,0＜a ＜b ，若p ＝f (ab )，q ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，r ＝12[f (a )＋f (b )]，则下列关系式正确的是( )A ．q ＝r ＜pB ．q ＝r ＞pC ．p ＝r ＜qD ．p ＝r ＞q7．已知正数x ，y 满足x ＋2y －xy ＝0，则x ＋2y 的最小值为( )A ．8B ．4C ．2D ．08．(2021年河南郑州第二次质量推测)已知正数x ，y 满足x 2＋2xy －3＝0，则2x ＋y 的最小值是__________．9．(1)设x ＞－1，则函数y ＝x ＋5x ＋2x ＋1的最小值为________．(2)已知x ＜54，则f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为________；10．(1)(2021年湖北七市联考)已知a >0，b >0，且2a ＋b ＝1，若不等式2a ＋1b≥m 恒成立，则m 的最大值等于( )A ．10B ．9C ．8D ．7(2)已知x >0，y >0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________． 第3讲 算术平均数与几何平均数1．D 解析：y ＝x ＋1x的定义域为{x |x ≠0}，当x ＞0时，有最小值2，当x ＜0时，有最大值－2.故A 项不正确；y ＝x 2＋3x 2＋2＝x 2＋2＋1x 2＋2≥2，∵x 2＋2≥2，∴取不到“＝”．故B 项不正确；∵当x ＞0时，3x ＋4x ≥2·3x ·4x＝4 3，当且仅当3x ＝4x ，即x ＝2 33时取“＝”．∴y ＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋4x 有最大值2－4 3.故C 项不正确，D 项正确．2．C 解析：∵x ＞2，∴f (x )＝x ＋1x －2＝(x －2)＋1x －2＋2≥2 x －2·1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2，即x ＝3时取等号． 3．C 解析：z ＝x 2－3xy ＋4y 2， z xy ＝x 2－3xy ＋4y 2xy ≥2x ·2y －3xy xy ＝xy xy＝1.当且仅当x ＝2y 时，zxy取最小值，现在z ＝2y 2.x ＋2y －z ＝4y －2y 2＝－2(y 2－2y )＝－2(y －1)2＋2，最大值为2.故选C. 4．D 解析：由题意知，ab >0，且3a ＋4b >0，因此a >0，b >0.又log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，因此3a ＋4b ＝ab .因此4a ＋3b ＝1.因此a ＋b ＝(a ＋b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋3b ＝7＋4b a ＋3a b ≥7＋2 4b a ·3a b ＝7＋4 3.当且仅当4b a ＝3ab ，即a ＝4＋2 3，b ＝3＋2 3时，等号成立．故选D.5．C 解析：∵1a ＋2b ＝ab ，∴a ＞0，b ＞0.∵ab ＝1a ＋2b ≥21a ·2b＝22ab，∴ab ≥2 2(当且仅当b ＝2a 时取等号)，∴ab 的最小值为2 2.故选C.6．C 解析：p ＝f (ab )＝ln ab ＝12ln(ab )，q ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2＝ln a ＋b 2，r ＝12[f (a )＋f (b )]＝12ln(ab )． 因为a ＋b 2＞ab ，由f (x )＝ln x 在区间(0，＋∞)内是增函数，可知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2＞f (ab )，因此q ＞p ＝r .故选C.7．A 解析：方法一，由x ＋2y －xy ＝0，得2x ＋1y＝1，且x >0，y >0.∴x ＋2y ＝(x ＋2y )·⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋1y＝4y x＋xy＋4≥4＋4＝8(当且仅当x ＝4，y ＝2等号成立)．方法二，由x ＋2y ＝xy ＝12x ·2y ≤12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2y 22＝()x ＋2y 28，∴x ＋2y ≥8(当且仅当x ＝2y 时取等号)．8．3 解析：由x 2＋2xy －3＝0，得y ＝3－x 22x ＝32x －12x .则2x ＋y ＝2x ＋32x －12x ＝3x 2＋32x ≥2 3x 2·32x＝3，当且仅当x ＝1时，等号成立．因此(2x ＋y )min ＝3.9．(1)9 (2)1解析：(1)因为x ＞－1，因此x ＋1＞0，因此y ＝x ＋5x ＋2x ＋1＝x 2＋7x ＋10x ＋1＝x ＋12＋5x ＋1＋4x ＋1＝(x ＋1)＋4x ＋1＋5≥2x ＋1·4x ＋1＋5＝9.当且仅当x ＋1＝4x ＋1，即x ＝1时等号成立．故函数y ＝x ＋5x ＋2x ＋1的最小值为9.(2)因为x ＜54，因此5－4x ＞0.则f (x )＝4x －2＋14x －5＝－⎝⎛⎭⎪⎫5－4x ＋15－4x ＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，等号成立．故f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为1.10．(1)B (2)6解析：2a ＋1b ＝22a ＋b a ＋2a ＋b b ＝4＋2b a ＋2a b＋1＝5＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ≥5＋2×2 b a ·a b＝9.当且仅当a ＝b ＝13时取等号．∵2a ＋1b ≥m ，∴m ≤9，即m 的最大值等于9.故选B.(2)由已知，得x ＝9－3y1＋y.方法一，(消元法) ∵x >0，y >0，∴0<y <3.∴x ＋3y ＝9－3y 1＋y ＋3y ＝121＋y ＋(3y ＋3)－6≥2 121＋y ·3y ＋3－6＝6.当且仅当121＋y＝3y ＋3，即y ＝1，x ＝3时，取等号，故(x ＋3y )min ＝6.方法二，∵x >0，y >0，9－(x ＋3y )＝xy ＝13x ·(3y )≤13·⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3y 22，当且仅当x ＝3y 时等号成立．设x ＋3y ＝t >0，则t 2＋12t －108≥0. ∴(t －6)(t ＋18)≥0. 又t >0，∴t ≥6.故当x ＝3，y ＝1时，(x ＋3y )min ＝6.。

2021版高考数学一轮复习第六章不等式第2讲一元二次不等式及其解法课时作业理202107122751．(2021年湖北模拟)若关于x 的不等式ax －b >0的解集是(－∞，1)，则关于x 的不等式(ax ＋b )(x －3)>0的解集是( )A ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)B ．(－1,3)C ．(1,3)D ．(－∞，1)∪(3，＋∞)2．假如kx 2＋2kx －(k ＋2)<0恒成立，那么实数k 的取值范畴是( ) A ．－1≤k ≤0 B ．－1≤k <0 C ．－1<k ≤0 D ．－1<k <03．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≤0，－x ＋2，x ＞0，则不等式f (x )≥x 2的解集是( )A ．[－1,1]B ．[－2,2]C ．[－2,1]D ．[－1,2]4．(2021年江西九江一模)若关于x 的不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1,4)内有解，则实数a 的取值范畴是( )A ．(－∞，－2)B ．(－2，＋∞)C ．(－6，＋∞) D．(－∞，－6)5．已知不等式x 2－2x －3＜0的解集为A ，不等式x 2＋x －6＜0的解集为B ，不等式x 2＋ax ＋b ＜0的解集是A ∩B ，则a ＋b ＝( )A ．－3B ．1C ．－1D ．36．已知f (x )是定义域为R 的偶函数，当x ≤0时，f (x )＝x 2＋2x ，则不等式f (x ＋2)<3的解集是_________．7．已知a ∈Z ，关于x 的一元二次不等式x 2－6x ＋a ≤0的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的a 的值之和是________．8．不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，2，关于系数a ，b ，c ，有如下结论：①a <0；②b ＞0；③c ＞0；④a ＋b ＋c ＞0；⑤a －b ＋c ＞0.其中正确的结论的序号是________．9．(2021年北京朝阳统一考试)已知函数f (x )＝x 2－2ax －1＋a ，a ∈R .(1)若a ＝2，试求函数y ＝f xx(x >0)的最小值； (2)关于任意的x ∈[0,2]，不等式f (x )≤a 成立，试求a 的取值范畴．10．设f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，若f (1)＝72，问是否存在a ，b ，c ∈R ，使得不等式x 2＋12≤f (x )≤2x 2＋2x ＋32对一切实数x 都成立？证明你的结论．第2讲 一元二次不等式及其解法1．B 解析：由题意关于x 的不等式ax －b >0的解集是(－∞，1)，可得ba＝1，且a <0.则(ax ＋b )(x －3)>0可变形为(x －3)⎝⎛⎭⎪⎫x ＋b a <0，即得(x －3)(x ＋1)<0.因此－1<x <3.因此不等式的解集是(－1,3)．故选B.2．C 解析：当k ＝0时，原不等式等价于－2＜0，明显恒成立，∴k ＝0符合题意．当k ≠0时，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧k <0，2k 2－4k ·[－k ＋2]＜0.解得－1<k <0.∴－1＜k ≤0. 3．A 解析：依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x ＋2≥x2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，－x ＋2≥x2⇒－1≤x ≤0或0＜x ≤1⇒－1≤x ≤1.4．A 解析：不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1,4)内有解等价于a <(x 2－4x －2)max .令g (x )＝x 2－4x －2，x ∈(1,4)，∴g (x )<g (4)＝－2.∴a <－2.5．A 解析：由题意，得A ＝{x |－1＜x ＜3}，B ＝{x |－3＜x ＜2}．A ∩B ＝{x |－1＜x ＜2}，由根与系数的关系可知，a ＝－1，b ＝－2.∴a ＋b ＝－3.6．{x |－5<x <1} 解析：设x ≥0，因为f (x )是定义域为R 的偶函数，因此f (x )＝f (－x )＝x 2－2x .又f (x ＋2)＝f (|x ＋2|)，因此f (x ＋2)<3⇔f (|x ＋2|)＝(|x ＋2|)2－2|x ＋2|<3.因此(|x ＋2|－3)(|x ＋2|＋1)<0.因此0≤|x ＋2|<3，解得－5<x <1.因此原不等式的解集为{x |－5<x <1}．7．21 解析：设f (x )＝x 2－6x ＋a ，其图象是开口向上，对称轴是x ＝3的抛物线，图象如图D115.图D115关于x 的一元二次不等式x 2－6x ＋a ≤0的解集中有且仅有3个整数，则⎩⎪⎨⎪⎧f 2≤0，f1＞0即⎩⎪⎨⎪⎧f 2＝4－12＋a ≤0，f 1＝1－6＋a ＞0，解得5<a ≤8.又a ∈Z ，因此a ＝6,7,8，则所有符合条件的a 的值之和是6＋7＋8＝21.8．①②③④ 解析：∵不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，2，∴a <0；－13，2是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，－13＋2＝－b a>0，∴b >0；f (0)＝c >0，f (1)＝a ＋b ＋c >0，f (－1)＝a －b ＋c <0.故正确结论的序号为①②③④.9．解：(1)依题意，得y ＝f x x ＝x 2－4x ＋1x ＝x ＋1x－4.因为x >0，因此x ＋1x≥2，当且仅当x ＝1x，即x ＝1时，等号成立，因此y ≥－2.因此当x ＝1时，y ＝f xx 的最小值为－2. (2)因为f (x )－a ＝x 2－2ax －1，因此要使得“∀x ∈[0,2]，不等式f (x )≤a 成立”只要“x 2－2ax －1≤0在[0,2]上恒成立”．不妨设g (x )＝x 2－2ax －1，则只要g (x )≤0在[0,2]上恒成赶忙可．因此⎩⎪⎨⎪⎧g 0≤0，g 2≤0.即⎩⎪⎨⎪⎧0－0－1≤0，4－4a －1≤0.解得a ≥34.故a 的取值范畴为⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞.10．解：由f (1)＝72，得a ＋b ＋c ＝72.令x 2＋12＝2x 2＋2x ＋32⇒x ＝－1.由f (x )≤2x 2＋2x ＋32推得f (－1)≤32.由f (x )≥x 2＋12推得f (－1)≥32.∴f (－1)＝32.∴a －b ＋c ＝32.故a ＋c ＝52，且b ＝1.∴f (x )＝ax 2＋x ＋52－a .依题意ax 2＋x ＋52－a ≥x 2＋12对一切x ∈R 都成立，∴a ≠1，且Δ＝1－4(a －1)(2－a )≤0.由a －1>0，得a ＝32.∴f (x )＝32x 2＋x ＋1.证明如下： ∵32x 2＋x ＋1－2x 2－2x －32 ＝－12x 2－x －12＝－12(x ＋1)2≤0.∴32x 2＋x ＋1≤2x 2＋2x ＋32对x ∈R 都成立． ∴存在实数a ＝32，b ＝1，c ＝1，使得不等式x 2＋12≤f (x )≤2x 2＋2x ＋32对一切x ∈R 都成立．。

课后课时作业[A 组·基础达标练]1．[2016·孝感调研]“a >b >0”是“ab <a 2＋b 22”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 a >b >0⇒a 2＋b 2>2ab 充分性成立，ab <a 2＋b 22⇒a ≠b ，a ，b ∈R ，故不必要，故选A.2．[2016·广州综合测试一]已知x >－1，则函数y ＝x ＋1x ＋1的最小值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．2答案 C解析 由于x >－1，则x ＋1>0，所以y ＝x ＋1x ＋1＝(x ＋1)＋1x ＋1－1≥2(x ＋1)·1x ＋1－1＝1，当且仅当x ＋1＝1x ＋1，由于x >－1，即当x ＝0时，上式取等号，故选C.3．[2015·黄浦二模]已知a ，b ∈R ，且ab ≠0，则下列结论恒成立的是( )A ．a ＋b ≥2abB.a b ＋ba ≥2 C.⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b ＋b a ≥2 D ．a 2＋b 2>2ab答案 C解析 当a ，b 都为负数时，A 不成立，当a ，b 一正一负时，B不成立；当a ＝b 时，D 不成立，因此只有C 正确．4．[2015·绵阳一诊]若正数a ，b 满足1a ＋1b ＝1，则1a －1＋9b －1的最小值为( )A ．1B ．6C ．9D ．16答案 B解析 解法一：因为1a ＋1b ＝1，所以a ＋b ＝ab ⇒(a －1)·(b －1)＝1，所以1a －1＋9b －1≥21a －1·9b －1＝2×3＝6.(当且仅当a ＝43，b ＝4时取“＝”)解法二：因为1a ＋1b ＝1，所以a ＋b ＝ab ，所以1a －1＋9b －1＝b －1＋9a －9ab －a －b ＋1＝b ＋9a －10＝(b ＋9a )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b －10＝b a ＋9ab ＋1＋9－10≥2b a ·9a b ＝6(当且仅当a ＝43，b ＝4时取“＝”)．解法三：因为1a ＋1b ＝1，所以a －1＝1b －1，所以1a －1＋9b －1＝(b －1)＋9b －1≥29＝2×3＝6(当且仅当b ＝4时取“＝”)．5．若x >4，则函数y ＝x ＋1x －4( )A ．有最大值－6B ．有最小值6C ．有最大值2D ．没有最小值答案 B解析 ∵x >4，∴y ＝x ＋1x －4＝(x －4)＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x －4＋4≥2(x －4)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x －4＋4＝6，当且仅当x －4＝1x －4，此时x ＝5，故选B.6．若正数x 、y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( ) A.245 B.285 C ．5 D ．6答案 C解析 由x ＋3y ＝5xy ，得3x ＋1y ＝5(x >0，y >0)，则3x ＋4y ＝15(3x ＋4y )⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋1y＝15⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋12y x ＋3x y≥15⎝⎛⎭⎪⎫13＋212y x ·3x y ＝15(13＋12)＝5. 当且仅当12y x ＝3xy ， 即x ＝2y 时，等号成立，此时由⎩⎨⎧x ＝2y x ＋3y ＝5xy ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝12.故选C.7．[2016·洛阳月考]设正实数a ，b 满足a ＋b ＝2，则1a ＋a 8b 的最小值为________．答案 1解析 依题意得1a ＋a 8b ＝a ＋b 2a ＋a 8b ＝12＋b 2a ＋a 8b ≥12＋2b 2a ×a8b＝1，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧b 2a ＝a 8ba ＋b ＝2即a ＝2b ＝43时取等号，因此1a ＋a8b 的最小值是1.8．[2015·南昌模拟]已知x >0，y >0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________．答案 6解析 9＝x ＋3y ＋xy ＝x ＋3y ＋13·(x ·3y )≤x ＋3y ＋13·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋3y 22，所以(x ＋3y )2＋12(x ＋3y )－108≥0. 所以x ＋3y ≥6或x ＋3y ≤－18(舍去)． 当且仅当x ＝3y ＝3时取“＝”．9．已知直线ax －2by ＝2(a >0，b >0)过圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0的圆心，ab 的最大值为________．答案 14解析 圆的标准方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝4， 所以圆心为(2，－1)， 因为直线过圆心，所以2a ＋2b ＝2，即a ＋b ＝1.所以ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a ＋b 22＝14，当且仅当a ＝b ＝12时取等号， 所以ab 的最大值为14.10．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y (单位：万元)与机器运转时间x (单位：年)的关系为y ＝－x 2＋18x －25(x ∈N *)，则当每台机器运转________年时，年平均利润最大，最大值是________万元．答案 5 8解析 每台机器运转x 年的年平均利润为yx ＝18－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋25x ，而x >0，故yx ≤18－225＝8，当且仅当x ＝5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元．[B 组·能力提升练]1．[2015·青岛一模]在实数集R 中定义一种运算“*”，对任意a ，b ∈R ，a *b 为唯一确定的实数，且具有性质：(1)对任意a ∈R ，a *0＝a ；(2)对任意a ，b ∈R ，a *b ＝ab ＋(a *0)＋(b *0)． 则函数f (x )＝(e x )*1e x 的最小值为( ) A ．2 B ．3 C ．6 D ．8答案 B解析 依题意可得f (x )＝(e x )*1e x ＝e x ·1e x ＋e x ＋1e x ＝e x＋1e x ＋1≥2e x ·1e x ＋1＝3，当且仅当x ＝0时“＝”成立，所以函数f (x )＝(e x)*1e x 的最小值为3，选B.2．[2015·唐山二模]若实数a ，b ，c 满足a 2＋b 2＋c 2＝8，则a ＋b＋c 的最大值为( )A ．9B ．2 3C ．3 2D ．2 6答案 D解析 (a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac ＋2bc ＝8＋2ab ＋2ac ＋2bc .∵a 2＋b 2≥2ab ，a 2＋c 2≥2ac ，b 2＋c 2≥2bc ，∴8＋2ab ＋2ac ＋2bc ≤2(a 2＋b 2＋c 2)＋8＝24，当且仅当a ＝b ＝c ＝263时取等号，∴a ＋b ＋c ≤2 6.3．已知a >b >0，ab ＝1，则a 2＋b 2a －b 的最小值为________．答案 2 2解析 ∵a >b >0，∴a －b >0， ∴a 2＋b 2a －b ＝(a －b )2＋2ab a －b ＝a －b ＋2a －b≥2(a －b )·2a －b＝2 2.当且仅当a －b ＝2a －b，即a ＝b ＋2时等号成立．4．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋11x ＋1(a ∈R )，若对于任意的x ∈N *，f (x )≥3恒成立，则a 的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－83，＋∞解析 对任意x ∈N *，f (x )≥3，即x 2＋ax ＋11x ＋1≥3恒成立，即a ≥－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋8x ＋3. 设g (x )＝x ＋8x ，x ∈N *，g (x )在(0,22]上单调递减，在(22，＋∞)上单调递增，且g (2)＝6，g (3)＝173.∵g (2)>g (3)，∴g (x )min ＝173. ∴－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋8x ＋3≤－83，∴a ≥－83. 故a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－83，＋∞.5．某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1800元，面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元．(1)求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？(2)某提供面粉的公司规定：当一次购买面粉不少于210吨时，其价格可享受9折优惠，问该厂是否考虑利用此优惠条件？请说明理由．解 (1)设该厂应每隔x 天购买一次面粉，其购买量为6x 吨，由题意可知，面粉的保管等其他费用为3[6x ＋6(x －1)＋6(x －2)＋…＋6×1]＝9x (x ＋1)，设平均每天所支付的总费用为y 1元， 则y 1＝[9x (x ＋1)＋900]x ＋1800×6 ＝900x ＋9x ＋10809≥2900x ·9x ＋10809＝10989，当且仅当9x ＝900x ，即x ＝10时取等号．即该厂应每隔10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少．(2)∵不少于210吨，每天用面粉6吨， ∴至少每隔35天购买一次面粉．设该厂利用此优惠条件后，每隔x (x ≥35)天购买一次面粉，平均每天支付的总费用为y 2元则y 2＝1x [9x (x ＋1)＋900]＋6×1800×0.9 ＝900x ＋9x ＋9729(x ≥35)．令f (x )＝x ＋100x (x ≥35)，x 2>x 1≥35， 则f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋100x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋100x 2＝(x 2－x 1)(100－x 1x 2)x 1x 2. ∵x 2>x 1≥35，∴x 2－x 1>0，x 1x 2>0,100－x 1x 2<0， ∴f (x 1)－f (x 2)<0，f (x 1)<f (x 2)，即f (x )＝x ＋100x ，当x ≥35时为单调递增函数， ∴当x ＝35时，f (x )有最小值， 此时(y 2)min ＝704887<10989.∴该厂应接受此优惠条件．。

课时规范练4 基本不等式基础巩固练1.(贵州黔西检测)函数y=x+4x-1在区间(0,+∞)内的最小值是( ) A.-2 B.1C.2D.32.若a>0,b>0,a+b=2,则a+bab的最小值为( )A.√22B.√2C.1D.23.已知a>0,b>0,a+4b=2,则ab的最大值为( )A.14B.12C.1D.24.已知a,b∈R,且a-3b=4,则2a+18b的最小值为( ) A.2 B.4 C.8 D.165.(湖北宜昌模拟)若正数x,y满足x+2y=2,则yx +1y的最小值为( )A.√2+1B.2√2+1C.2D.526.已知四棱台ABCD-A1B1C1D1的上、下底面为矩形,AB=2A1B1,高为3,且该棱台的体积为63,则该棱台上底面A1B1C1D1的周长的最小值是( )A.15B.14C.13D.127.某商品计划提价两次,有甲、乙两种方案,甲方案是第一次提价p%,第二%,其中p>q>0,假设甲、乙次提价q%;乙方案是第一次和第二次都提价p+q2两种方案提价后商品的价格分别为M,N,则( )A.M>NB.M<NC.M=ND.以上说法均不正确8.已知θ∈(0,π),则1-cos2θ的最小值为.2sin2θ9.已知a>0,b>0,且ab=a-b+3,则a+b的最小值为.10.(河北石家庄模拟)若a>0,b>0,c>0,且(a+b)(a+c)=4-2√3,则2a+b+c的最小值为.综合提升练11.最早发现勾股定理的人应是我国西周时期的数学家商高,根据记载,商高曾经和周公讨论过这个定理的有关问题.如果一个直角三角形的斜边长等于2√2,则当这个直角三角形周长取最大值时,其面积为( )A.√2B.1C.2D.612.已知正实数a,b满足lg a+lg b=lg(a+2b),则4a+2b的最小值是( )A.5B.9C.13D.1813.(多选题)已知a>0,b>0,a+b=2ab-32,则( )A.a>34B.a+b≥3C.ab≥94D.1a+1b≥4314.已知x,y为正实数,则yx +4xx+y的最小值为.创新应用练15.若a>0,b>0,则ba2+4b+a2的最小值为( )A.√2B.2C.2√2D.416.设x>-1,y>0且x+2y=1,则1x+1+1y的最小值为.课时规范练4 基本不等式1.D 解析因为x ∈(0,+∞),所以y=x+4x-1≥2√x ·4x-1=3,当且仅当x=4x,即x=2时,等号成立,所以y=x+4x-1在区间(0,+∞)上的最小值是3,故选D.2.D 解析由已知可得a+b ab=2ab,因为a>0,b>0,由基本不等式知√ab ≤a+b 2=1,当且仅当a=b=1时,等号成立,所以0<ab≤1,所以1ab≥1,所以a+b ab=2ab≥2,故a+b ab的最小值为2.3.A 解析因为a>0,b>0,a+4b=2,由基本不等式可得2=a+4b≥2√4ab =4√ab ,可得ab ≤14,当且仅当a=4b,即a=1,b=14时,等号成立,所以ab 的最大值为14,故选A.4.C 解析2a +18b≥2√2a ·18b =2√2a -3b =8,当且仅当2a =18b 即a=3,b=-1时等号成立,故选C. 5.A 解析由x+2y=2,得x+2y 2=1,所以y x+1y=y x+x+2y 2y=yx+x2y +1≥2√yx ·x2y +1=√2+1,当且仅当{x 2=2y 2,x +2y =2,即x=2√2-2,y=2-√2时,等号成立,所以yx +1y的最小值为√2+1,故选A.6.D 解析设棱台的上底面矩形边长分别为a,b,则下底面矩形边长分别为2a,2b,则棱台的体积为V=13×3×(ab+√ab ·4ab +4ab)=63,∴ab=9,∴棱台的上底面的周长为2(a+b)≥4√ab =12,当且仅当a=b=3时,等号成立,即上底面的周长最小值为12,故选D.7.B 解析设商品提价前的价格为1,按照甲方案,M=(1+p)(1+q),按照乙方案,N=1+p+q22=[(p+1)+(q+1)]24≥4(p+1)(q+1)4=M,因为p≠q,所以取不到等号,所以M<N,故选B.8.√2-1 解析θ∈(0,π),0<sinθ≤1,12sin2θ-cos2θ=12sin2θ+sin2θ-1≥2√12sin2θ·sin2θ-1=√2-1,当且仅当12sin2θ=sin2θ,即sinθ=2-14时,等号成立,所以12sin2θ-cos2θ的最小值为√2-1.9.2√2解析由ab=a-b+3,得b=a+3a+1=1+2a+1,则a+b=a+1+2a+1≥2√2,当且仅当a=√2-1,b=√2+1时,等号成立,故a+b的最小值为2√2.10.2√3-2 解析由a>0,b>0,c>0及(a+b)(a+c)=4-2√3,可得4-2√3=(a+b)(a+c)≤a+c+a+b22,当且仅当b=c时,等号成立,所以(2a+b+c)2≥4(√3-1)2,即2a+b+c≥2(√3-1),所以2a+b+c的最小值为2√3-2.11.C 解析设斜边c=2√2,直角边分别为a,b,则a2+b2=8,因为2ab≤a2+b2,所以a2+b2+2ab≤2(a2+b2),即(a+b)2≤16,当且仅当a=b=2时,等号成立,此时a+b取最大值,则这个直角三角形周长取最大值,此时面积为12×2×2=2,故选C.12.D 解析由题意,正实数a,b 满足lga+lgb=lg(a+2b),则ab=a+2b,所以2a+1b =1,故4a+2b=(4a+2b)2a+1b=10+4b a+4a b≥10+2√4b a·4ab=18,当且仅当4b a=4a b,结合2a+1b=1,即a=b=3时,等号成立,即4a+2b 的最小值是18,故选D.13.BCD 解析对于A,取a=34,b=92,满足a+b=2ab-32,但不满足a>34,A 错误;对于B,因为a+b=2ab-32,所以2ab=a+b+32≤(a+b )22,即[(a+b)-3][(a+b)+1]≥0,所以a+b≥3,当且仅当a=b=32时,等号成立,B 正确;对于C,a+b=2ab-32≥2√ab ,令√ab =t(t>0),所以4t 2-4t-3≥0,即(2t+1)(2t-3)≥0,所以t ≥32,即√ab ≥32,所以ab ≥94,当且仅当a=b=32时,等号成立,C 正确;对于D,1a+1b=a+b ab=2ab -32ab=2-32ab,令ab=m,由C 选项可知,m ≥94,而函数y=2-32m在区间94,+∞上单调递增,所以2-32m≥43,当且仅当m=94,即a=b=32时,等号成立,所以1a+1b≥43,即D 正确,故选BCD. 14.3 解析yx +4x x+y=y+x -x x+4x x+y=y+x x+4x x+y-1≥2√y+x x·4x x+y-1=3,当且仅当y+x x=4x x+y,即y=x 时,等号成立.15.C 解析因为a>0,b>0,所以b a2+4b+a 2≥2√b a2·4b+a 2=4a+a2≥2√2,当且仅当2a=b=4√2,即a=2√2,b=4√2时,等号成立,所以b a2+4b+a2的最小值为2√2,故选C.16.3+2√22解析因为x>-1,y>0,所以x+1>0,2yx+1>0,x+1y >0,因为x+2y=1,所以x+1+2y=2,所以1x+1+1y=121x+1+1y(x+1+2y)=123+2y x+1+x+1y≥12(3+2√2),当且仅当2y x+1=x+1y,即x=2√2-3,y=2-√2时取得最小值.。

课时跟踪检测(三十八) 基本不等式第Ⅰ组：全员必做题1．下列不等式一定成立的是( ) A ．lg(x 2＋14)＞lg x (x ＞0)B ．sin x ＋1sin x≥2(x ≠k π，k ∈Z ) C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R ) D.1x 2＋1＞1(x ∈R ) 2．(2014·宁波模拟)若a >0，b >0，且a ＋2b －2＝0，则ab 的最大值为( ) A.12 B ．1 C ．2D ．43．若a ，b 均为大于1的正数，且ab ＝100，则lg a ·lg b 的最大值是( ) A ．0 B ．1 C ．2D.524．函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值是( )A ．23＋2B ．23－2C ．2 3D ．25．设a >0，b >0，且不等式1a ＋1b ＋ka ＋b ≥0恒成立，则实数k 的最小值等于( )A ．0B ．4C ．－4D ．－26．(2013·临沂二模)已知x >0，y >0，x ，a ，b ，y 成等差数列，x ，c ，d ，y 成等比数列，则a ＋b2cd的最小值是________．7．某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2与仓库到车站的距离成正比，如果在距车站10公里处建仓库，这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________公里处．8.创新题规定记号“⊗”表示一种运算，即a ⊗b ＝ab ＋a ＋b (a ，b 为正实数)．若1⊗k ＝3，则k 的值为________，此时函数f (x )＝k ⊗xx的最小值为________．9．正数x ，y 满足1x ＋9y＝1.(1)求xy 的最小值； (2)求x ＋2y 的最小值．10．为了响应国家号召，某地决定分批建设保障性住房供给社会．首批计划用100万元购得一块土地，该土地可以建造每层1 000平方米的楼房，楼房的每平方米建筑费用与建筑高度有关，楼房每升高一层，整层楼每平方米建筑费用提高20元．已知建筑第5层楼房时，每平方米建筑费用为800元．(1)若建筑第x 层楼时，该楼房综合费用为y 万元(综合费用是建筑费用与购地费用之和)，写出y ＝f (x )的表达式；(2)为了使该楼房每平方米的平均综合费用最低，应把楼层建成几层？此时平均综合费用为每平方米多少元？第Ⅱ组：重点选做题1．(2013·台州一模)设x ，y 均为正实数，且32＋x ＋32＋y ＝1，则xy 的最小值为( )A ．4B ．4 3C ．9D ．162．(2013·北京海淀模拟)已知f (x )＝32x－(k ＋1)3x＋2，当x ∈R 时，f (x )恒为正值，则k 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－∞，22－1)C ．(－1,22－1)D ．(－22－1,22－1)答 案第Ⅰ组：全员必做题1．选C 取x ＝12，则lg ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋14＝lg x ，故排除A ；取x ＝32π，则sin x ＝－1，故排除B ；取x ＝0，则1x ＋1＝1，故排除D. 2．选A ∵a >0，b >0，a ＋2b ＝2，∴a ＋2b ＝2≥22ab ，即ab ≤12.当且仅当a ＝1，b＝12时等号成立． 3．选B ∵a >1，b >1.∴lg a >0，lg b >0. lg a ·lg b ≤a ＋lg b24＝ab24＝1.当且仅当a ＝b ＝10时取等号． 4．选A ∵x >1，∴x －1>0.∴y ＝x 2＋2x －1＝x 2－2x ＋2x ＋2x －1＝x 2－2x ＋1＋x －＋3x －1＝x －2＋x －＋3x －1＝x －1＋3x －1＋2≥2 x －⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －1＋2＝23＋2. 当且仅当x －1＝3x －1， 即x ＝1＋3时，取等号． 5．选C 由1a ＋1b ＋ka ＋b≥0得k ≥－a ＋b 2ab，而a ＋b 2ab＝b a ＋a b＋2≥4(a ＝b 时取等号)，所以－a ＋b2ab≤－4，因此要使k ≥－a ＋b2ab恒成立，应有k ≥－4，即实数k 的最小值等于－4.6．解析：∵x ，a ，b ，y 成等差数列， ∴a ＋b ＝x ＋y .∵x ，c ，d ，y 成等比数列，∴cd ＝xy ，则a ＋b 2cd＝x ＋y 2xy＝y x ＋x y ＋2≥4(x >0，y >0)，当且仅当y x ＝x y时，取等号．答案：47．解析：设x 为仓库与车站距离，由已知y 1＝20x；y 2＝0.8x 费用之和y ＝y 1＋y 2＝0.8x＋20x≥20.8x ·20x ＝8，当且仅当0.8x ＝20x，即x ＝5时“＝”成立．答案：58．解析：1⊗k ＝k ＋1＋k ＝3，即k ＋k －2＝0， ∴k ＝1或k ＝－2(舍)，∴k ＝1.f (x )＝1⊗x x ＝x ＋x ＋1x＝1＋x ＋1x≥1＋2＝3， 当且仅当x ＝1x即x ＝1时等号成立．答案：1 39．解：(1)由1＝1x ＋9y≥21x ·9y 得xy ≥36，当且仅当1x ＝9y，即y ＝9x ＝18时取等号，故xy 的最小值为36.(2)由题意可得x ＋2y ＝(x ＋2y )·1x ＋9y ＝19＋2y x ＋9xy≥19＋22y x ·9xy＝19＋62，当且仅当2y x ＝9x y，即9x 2＝2y 2时取等号，故x ＋2y 的最小值为19＋6 2.10．解：(1)由题意知建筑第1层楼房每平方米建筑费用为720元， 建筑第1层楼房建筑费用为720×1 000＝720 000(元)＝72 (万元)， 楼房每升高一层，整层楼建筑费用提高20×1 000＝20 000(元)＝2(万元)， 建筑第x 层楼房的建筑费用为72＋(x －1)×2＝2x ＋70(万元)， 建筑第x 层楼时，该楼房综合费用为y ＝f (x )＝72x ＋x x －2×2＋100＝x 2＋71x ＋100，综上可知y ＝f (x )＝x 2＋71x ＋100(x ≥1，x ∈Z )． (2)设该楼房每平方米的平均综合费用为g (x )，则g (x )＝f x1 000x＝10f xx＝x 2＋71x ＋x＝10x ＋1 000x＋710≥210x ·1 000x＋710＝910.当且仅当10x ＝1 000x，即x ＝10时等号成立．综上可知应把楼层建成10层，此时平均综合费用最低，为每平方米910元．第Ⅱ组：重点选做题1．选D 由32＋x ＋32＋y ＝1可化为xy ＝8＋x ＋y ，∵x ，y 均为正实数，∴xy ＝8＋x ＋y ≥8＋2xy (当且仅当x ＝y 时等号成立)，即xy －2xy －8≥0，解得xy ≥4，即xy ≥16，故xy 的最小值为16.2．选B 由f (x )>0得32x－(k ＋1)3x＋2>0， 则k ＋1<3x ＋23x ，而3x＋23x ≥2 2.⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当3x ＝23x ，即x ＝log 32时，等号成立，∴k ＋1<22，k <22－1.。

一、选择题1。

设a＞0，b＞0.若错误!是3a与3b的等比中项,则错误!＋错误!的最小值为( ）A.8 B．4 C．1 D.错误!解析:由题意有(3）2＝3a·3b⇒a＋b＝1,又a＞0,b＞0，∴1a＋错误!＝（错误!＋错误!)(a＋b）＝1＋错误!＋错误!＋1≥2＋2错误!＝4,∴错误!＋错误!的最小值为4.答案：B2。

若函数f（x）＝x＋错误!(x＞2)在x＝a处取最小值，则a＝( ) A。

1＋ 2 B．1＋错误!C。

3 D．4解析:当x＞2时，x－2＞0，f（x）＝（x－2)＋错误!＋2≥2错误!＋2＝4，当且仅当x－2＝错误!(x＞2)，即x＝3时取等号，即当f（x)取得最小值时，x＝3,即a＝3，选C。

答案:C3。

设x，y∈R，a＞1,b＞1.若a x＝b y＝3，a＋b＝2错误!，则错误!＋错误!的最大值为( ）A。

2 B.错误!C．1 D.错误!解析:由a x＝b y＝3，得x＝log a3，y＝log b3,∴错误!＋错误!＝log3（ab）≤log3(错误!)2＝1，故选C.答案：C4.当x＞2时，不等式x＋错误!≥a恒成立,则实数a的( ）A.最小值是8 B．最小值是6C。

最大值是8 D．最大值是6解析：x＋错误!＝(x－2)＋错误!＋2≥4＋2＝6,又x＋错误!≥a恒成立,故a≤6，所以a的最大值为6.答案：D5.已知x＞0，y＞0，且错误!＋错误!＝1，若x＋2y＞m2＋2m恒成立，则实数m的取值范围是( )A.m≥4，或m≤－2 B．m≥2，或m≤－4C。

－2＜m＜4 D．－4＜m＜2解析：∵x＞0，y＞0，且错误!＋错误!＝1，∴x＋2y＝（x＋2y)(错误!＋错误!）＝4＋错误!＋错误!≥4＋2错误!＝8，当且仅当错误!＝错误!，即4y2＝x2，x＝2y时取等号,又错误!＋错误!＝1，此时x＝4，y＝2.∴（x＋2y)min＝8,要使x＋2y＞m2＋2m恒成立，只需（x＋2y)min ＞m2＋2m成立，即8＞m2＋2m，解得－4＜m＜2.答案：D6。

第03讲 基本不等式一、 考情分析1. 掌握均值不等式ab ≤a ＋b2(a ，b ≥0)和基本不等式的性质； 2.结合具体实例，能用均值不等式解决简单的最大值或最小值问题.3.会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系；4.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义．能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集；5.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系．二、 知识梳理1.不等式的性质(1)对称性：a ＞b ⇔b ＜a ； (2)传递性：a ＞b ，b ＞c ⇒a ＞c ；(3)可加性：a ＞b ⇔a ＋c ＞b ＋c ；a ＞b ，c ＞d ⇒a ＋c ＞b ＋d ；(4)可乘性：a ＞b ，c ＞0⇒ac ＞bc ；a ＞b ，c ＜0⇒ac ＜bc ；a ＞b ＞0，c ＞d ＞0⇒ac ＞bd ； (5)可乘方：a ＞b ＞0⇒a n ＞b n (n ∈N ，n ≥1)；(6)可开方：a ＞b ＞0n ∈N ，n ≥2).2.均值不等式：ab ≤a ＋b2(1)均值不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号.(3)其中a ＋b2称为正数a ，b a ，b 的几何平均数. 3.两个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号. (2)ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号.4.利用均值不等式求最值已知x≥0，y≥0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y 有最小值是2p(简记：积定和最小).(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是s24(简记：和定积最大).5.一元二次不等式只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式不等式叫作一元二次不等式.6.三个“二次”间的关系判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0Δ＝0Δ＜0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根有两相异实根x1，x2(x1＜x2)有两相等实根x1＝x2＝－b2a没有实数根ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集{x|x＞x2或x＜x1}⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x≠－b2aRax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集{x|x1＜x＜x2}∅∅7.(x－a)(x－b)>0或(x－a)(x－b)<0型不等式的解集不等式解集a<b a＝b a>b(x－a)·(x－b)>0{x|x<a或x>b} {x|x≠a}{x|x<b或x>a}(x－a)·(x－b)<0{x|a<x<b}∅{x|b<x<a} 8.分式不等式与整式不等式(1)f(x)g(x)>0(<0)⇔f(x)·g(x)>0(<0).(2)f(x)g(x)≥0(≤0)⇔f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.[方法技巧]1.有关分数的性质。

第2讲基本不等式组基础关1．设非零实数a，b,则“a2＋b2≥2ab”是“错误!＋错误!≥2”成立的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案B解析因为a，b∈R时，都有a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，即a2＋b2≥2ab,而错误!＋错误!≥2成立的条件是ab＞0,所以“a2＋b2≥2ab”是“错误!＋错误!≥2"成立的必要不充分条件．2．已知a>0，b〉0，a，b的等比中项是1，且m＝b＋错误!，n＝a＋错误!，则m＋n的最小值是（)A．3 B．4C．5 D．6答案B解析由题意知ab＝1，∴m＝b＋1a＝2b,n＝a＋错误!＝2a，∴m＋n＝2（a＋b)≥4错误!＝4，当且仅当a＝b＝1时取等号，故m ＋n的最小值为4.3．已知p＝a＋错误!,q＝错误!x2－2,其中a＞2，x∈R，则p，q的大小关系是(）A．p≥q B．p＞qC．p＜q D．p≤q答案A解析由a＞2，故p＝a＋错误!＝（a－2)＋错误!＋2≥2＋2＝4，当且仅当a＝3时取等号．因为x2－2≥－2,所以q ＝错误!x2－2≤错误!－2＝4，当且仅当x＝0时取等号，所以p≥q.故选A。

4．(2019·郑州外国语学校月考）若a＞b＞1,P＝错误!,Q＝错误!（lg a＋lg b),R＝lg 错误!，则()A．R＜P＜Q B．Q＜P＜RC．P＜Q＜R D．P＜R＜Q答案C解析因为a＞b＞1，所以lg a＞0，lg b＞0,且lg a≠lg b，所以错误!＜错误!（lg a＋lg b)，由错误!＜错误!，得lg错误!＜lg 错误!.所以错误!（lg a＋lg b)＜lg 错误!，综上知P＜Q＜R.5．若正数x，y满足4x2＋9y2＋3xy＝30,则xy的最大值是（）A.错误!B．错误!C．2 D．错误!答案C解析由x>0，y〉0，得4x2＋9y2＋3xy≥2·(2x)·(3y）＋3xy(当且仅当2x＝3y时等号成立)，∴12xy＋3xy≤30,即xy≤2，∴xy的最大值为2.6．《几何原本》第二卷的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理,很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明,也称之为无字证明．现有如图所示的图形，点F在半圆O上,点C在半径OB上，且OF⊥AB,设AC＝a，BC＝b,则该图形可以完成的无字证明为(）A.错误!≥错误!（a＞0，b＞0）B．a2＋b2≥2ab(a＞0，b＞0)C.错误!≤错误!(a＞0，b＞0）D。