第四章李雅普诺夫稳定性理论

始条件的大小无关)。
非线性系统：只能在小范围一致稳定，由状
态空间出发的轨迹都收敛 xe 或其附近。
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当 与 t 0 无关 大范围一致渐近稳定。 必要条件：在整个状态空间中只有一个平 衡状态 xe
4. 不稳定性：不管 ， 有多小，只要s ( ) 内由 x0 出发的轨迹超出 s( )以外，则称此 平衡状态是不稳定的。
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研究的目的和意义:稳定性是自动控制系统 正常工作的必要条件，是一个重要特征。 要求：在受到外界扰动后，虽然其原平衡 状态被打破，但在扰动消失后，仍然能恢 复到原来的平衡状态，或者趋于另一平衡 状态继续工作。 稳定性：系统在受到小的外界扰动后，系 统状态方程解的收敛性，而与输入作用无 关。
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5.V(x)不定: v(x) >0或V(x)<0 则 V(x) 是不定的。
如： V ( x) x1x2
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（三）二次型 V(x)赛尔维斯特(Sylvester)判据 p12 p1n x1 p11 T V ( x) x Px x1 , xn pn1 pn 2 pnn xn P 阵为实对称阵。 1． V ( x) 正定的充分必要条件是矩阵 P 的所有主子行列 式为正，即：
2
p21 p22 p2n 0 pn1 pn 2 pnn
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例 判断下列二次型函数的正定性。
V ( x) 10x12 4x22 x32 2x1 x2 2x2 x3 4x1 x3
10 1 2 x1 x3 1 4 1 x2 2 1 1 x3 10 1 2 1 4 1 0 2 1 1
a1 x12 a2 x22 an xn2 对称阵。
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（二）标量函数 V(x)的符号、性质 1. V ( x) 为正定是指：对所有在域 中非零的 X ，有 V ( x) 0 ，且在 X 0 处有 V (0) 0 。 例 V ( x) x12 x22 , x ( x1 , x2 )T ，V ( x) 是正定的，只 有 X 0 ，才有 V ( x) 0 。
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3. V ( x) 为负定： V (0) 0 外， 除 所有非零 x 都使V ( x) 0 。 例 V ( x) ( x12 x22 3x32 xn2 ) 或 ： V ( x ) 是正 定，则 V ( x) 是负定的。
4. V ( x) 负半定(若 V ( x ) 是半正定，则 V ( x) 负半 定)V ( x) 0 ，且 V (0) 0 。
T
不能确定非线性系统在平衡状态xe2处稳定性。
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4.4 李雅普诺夫第二法(直接法)
4.4.1 预备知识
（一）二次型定义及其表达式 f ( x, y) ax2 2bxy cy 2 每项次数都是二次的。 矩阵表示：
p11 p21 V ( x1 , x2 xn ) x1 , x2 xn pn1 xT Px p12 p1n x1 p22 p2 n x2 pn 2 pnn xn
g ( x) 0
则是李雅普诺夫意义下的稳定。
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例4-2：已知非线性系统的状态方程为：
x1 x1 x1 x2 x2 x2 x1 x2
试分析系统在平衡状态处的稳定性。
解： 令
x1 0 x2 0
f1 x1 x1 x2 f 2 x2 x1 x2
2. V ( x) 半正定：对所有非零 X ，有 V ( x) 0 ，且 V (0)＝0 。 例 V ( x)＝( x1＋x2 )2 x32 ，x ( x1，x2，x3 )T ， x 0 以外 在 存在不为零的向量 x ， V ( x)＝0 ， x ( , ,0)T ， 使 如： 0。
时变： 与 t 0 有关
0
则称 xe 是李雅普诺夫意义下稳定的。 定常系统： 与t 0无关，xe 是一致稳定的。 注意： －向量范数(表示空间距离) 欧几里得范数。
2
x0 xe [(x10 x1e ) ( xn0 xne ) ]
1 2 2
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2.渐近稳定 1）xe是李雅普诺夫意义下的稳定 2）lim x(t; x0 , t0 ) xe 0 t
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4.2 李雅普诺夫稳定性的定义
1.李雅普诺夫意义下的稳定
如果对每个实数 0 都对应存在另一 个实数 ( , t0 ) 0 满足
x0 xe ( , t0 )
的任意初始态 x0 出发的运动轨迹
x(t; x0 , t0 ) ，在t 都满足：
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x(t; x 0,t 0) x e , t t
2）渐近稳定的充要条件：
3）不稳定的充要条件：Re( i ) 0
2. 非线性系统的稳定性分析 假定非线性系统在平衡状态附近可展 开成台劳级数，可用线性化系统的特征值 判据判断非线性系统的平衡状态处的稳定 性。 设非线性系统状态方程： x f (x) f (x) --非线性函数 在平衡状态 xe 附近存在各阶偏导数， 于是：
与t0无关 一致渐近稳定
3.大范围内渐近稳定性
对 x0 s( )
t

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都有 lim x(t; x0 , t0 ) xe 0
初始条件扩展到整个空间，且是渐近稳定性。
s( ) ,
x xe大范围稳定
线性系统(严格)：如果它是渐近稳定的，必
是有大范围渐近稳定性(线性系统稳定性与初
其中： P 为是对称阵。
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例
V ( x1 , x2 ) 10 x12 4 x2 2 2 x1 x2 ＝10 x12＋x1 x2＋x2 x1＋4 x2 2 ＝ x1 10 1 x1 x2 1 4 x2
二 次型的 标准 型，只 含有平 方项的 二次 型，如：
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线性系统的平衡状态不稳定 表征系统不稳定。 非线性系统的平衡状态不稳定 只说明轨迹离 开了S(），这说明平衡状态是不稳定的。然而 却不能说明轨迹将趋于无穷远处，这是因为轨 迹还可能趋于在S(）外的某个极限环,若存在 极限环，则系统仍是李雅普诺夫意义下的稳定。
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图4.1 （a）稳定平衡状态及一条典型轨迹 （b）渐近稳定平衡状态及一条典型轨迹 （c）不稳定平衡状态及一条典型轨迹
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上式为向量函数的雅可比矩阵。
f f1
令
f2 fn
T
x x1 x2 xn
T
x x f ( xe )
x x xe
f A T x
x xe
则线性化系统方程为： x
Ax
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结论： 1) 若 Re(i ) 0 i 1,2,, n ，则非线性系 统在xe 处是渐近稳定的，与 g (x) 无关。 2) 若 Re(i ) 0, Re( j ) 0 , i j 1,, n 则非线性系统不稳定。 3) 若Re(i ) 0 ，稳定性与g (x) 有关，
3.平衡状态：
xe f ( xe , t ) 0
a.线性系统 A非奇异： A奇异：
xe 系统的平衡状态
x Ax
xR 有无穷多个 xe
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b.非线性系统
x f ( xe , t ) 0 可能有多个 xe
例4-1:
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4.3 李雅普诺夫第一法（间接法） 利用状态方程解的特性来判断系统稳定性。 1. 线性定常系统稳定性的特征值判据
x Ax x(0) x0 t 0
1）李雅普诺夫意义下的稳定的充要条件：
Re(i ) 0
Re( i ) 0
i 1,2, n i 1,2, n
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x1 x1 x2 x1 x2 x
3 2
令
x1 0
xe 1 0

x2 0
0 xe2 1

0 xe3 1
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0
4. 孤立的平衡状态：在某一平衡状态的充分 小的邻域内不存在别的平衡状态。 对于孤立的平衡状态，总可以经过适当的 坐标变换，把它变换到状态空间的原点。
经典控制理论稳定性判别方法：代数判据， 奈魁斯特判据，对数判据，根轨迹判据 非线性系统：相平面法(适用于一，二阶非线 性系统)
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1892年，俄国学者李雅普诺夫提出的稳 定性定理采用了状态向量来描述，适用 于单变量，线性，非线性，定常，时变， 多变量等系统。 应用：自适应控制，最优控制，非线性 控制等。
xe1 0
0
T
T
xe 2 1 1
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f1 f1 1 x2 , x1 x1 x2 f 2 f 2 x2 , 1 x1 x1 x2
xe1 0 0
T
f1 x A 1 f 2 x1
f1 x2 f 2 x2 x 0, x
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主要内容： 李氏第一法（间接法）：求解特征方程 的特征值 李氏第二法（直接法）：利用经验和技 巧来构造李氏函数
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4.1 稳定性基本概念
1.自治系统：输入为0的系统 x =Ax+Bu(u=0)
2.初态 x =f(x,t)的解为 x(t; x0 , t0 )
x(t0 , x0 , t0 ) x0 初态
第四章 李雅普诺夫稳定性理论 4.1 稳定性基本概念
4.2 李雅普诺夫稳定性的定义
4.3 李雅普诺夫第一法 4.4 李雅普诺夫第二法 4.5 线性定常系统渐近稳定性判别法 4.6构造李雅普诺夫函数的一些方法
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教学要求： 1.正确理解稳定性基本概念和李雅普诺夫意义稳 定性概念。 2.熟练掌握李氏第一法,李氏第二法。 3.掌握线性系统渐近稳定性分析和离散系统渐近 稳定性分析方法。 重点内容： •李雅普诺夫第一、第二法的主要定义与定理， 李雅普诺夫函数的构造。 •线性定常系统与非线性系统稳定性定理与判别 •李雅普诺夫方程，渐近稳定性的分析与判别。