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第4章 测试卷一、选择题(每题3分，共30分)1．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为( )A ．x (a －b )＝ax －bxB ．x 2－1＋y 2＝(x －1)(x ＋1)＋y 2C ．x 2－1＝(x ＋1)(x －1)D ．x 2＋1＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2．下列四个多项式，能因式分解的是( )A ．a －1B ．a 2＋1C ．x 2－4yD ．x 2－6x ＋93．下列因式分解中，正确的是( )A ．x 2－4y 2＝(x －4y )(x ＋4y )B ．ax ＋ay ＋a ＝a (x ＋y )C ．x 2＋2x －1＝(x －1)2D.14x 2＋2x ＋4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋22 4．因式分解x 3－2x 2＋x 正确的是( )A ．(x －1)2B ．x (x －1)2C ．x (x 2－2x ＋1)D ．x (x ＋1)25．多项式①16x 2－x ；②(x －1)2－4(x －1)；③(x ＋1)2－4x (x ＋1)＋4x 2；④－4x 2－1＋4x ，分解因式后，结果中含有相同因式的是( )A ．①和②B ．③和④C ．①和④D ．②和③6．若多项式x 2＋mx －28可因式分解为(x －4)(x ＋7)，则m 的值为( )A ．－3B ．11C ．－11D ．37．已知a ＋b ＝2，则a 2－b 2＋4b 的值是( )A ．2B ．3C ．4D ．68．已知三角形ABC 的三边长为a ，b ，c ，且满足a 2＋b 2＋c 2＝ab ＋ac ＋bc ，则三角形ABC 的形状是( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形9．不论x ，y 为什么实数，代数式x 2＋y 2＋2x －4y ＋7的值( )A ．总不小于2B ．总不小于7C ．可为任何实数D ．可能为负数10．如图，阴影部分是边长为a 的大正方形中剪去一个边长为b 的小正方形后所得到的图形，将阴影部分通过割、拼，形成新的图形，给出下列3种割拼方法，其中能够验证平方差公式的是( )A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③二、填空题(每题3分，共24分)11．因式分解：a 3－ab 2＝______________．12．一个正方形的面积为x 2＋4x ＋4(x ＞0)，则它的边长为________．13．若m －n ＝－2，则m 2＋n 22－mn 的值是________．14.两名同学将同一个二次三项式分解因式，甲因看错了一次项系数而分解成(x ＋1)(x ＋9)；乙因看错了常数项而分解成(x －2)(x －4)，则将原多项式因式分解后的正确结果应该是________．15．如果x 2＋kx ＋64是一个整式的平方，那么常数k 的值是________．16．已知P ＝3xy －8x ＋1，Q ＝x －2xy －2，当x ≠0时，3P －2Q ＝7恒成立，则y＝________．17．如图是两邻边长分别为a ，b 的长方形，它的周长为14，面积为10，则a 2b ＋ab 2的值为________．18．如果对于大于1的整数w，存在两个正整数x，y，使得w＝x2－y2，那么这个数w叫做智慧数．把所有的智慧数按从小到大排列，那么第2 016个智慧数是________．三、解答题(20题4分，19，21，22，23题每题8分，24题10分，共46分) 19．分解因式：(1)a2b－abc； (2)3a(x－y)＋9(y－x)；(3)(2a－b)2＋8ab； (4)(m2－m)2＋12(m2－m)＋116.20.计算：(1)29×20.18＋72×20.18＋13×20.18－14×20.18；(2)1002－992＋982－972＋…＋42－32＋22－12. 21．先因式分解，再求值：(1)4a2(x＋7)－3(x＋7)，其中a＝－5，x＝3；(2)(2x－3y)2－(2x＋3y)2，其中x＝16，y＝18.22．已知a2＋b2＋2a－4b＋5＝0，求2a2＋4b－3的值．23．已知a，b是一个等腰三角形的两边长，且满足a2＋b2－4a－6b＋13＝0，求这个等腰三角形的周长．24．阅读下列材料，然后解答问题：分解因式：x3＋3x2－4.解答：把x＝1代入多项式x3＋3x2－4，发现此多项式的值为0，由此确定多项式x3＋3x2－4中有因式(x－1)，于是可设x3＋3x2－4＝(x－1)(x2＋mx＋n)，分别求出m，n的值，再代入x3＋3x2－4＝(x－1)(x2＋mx＋n)，就容易分解多项式x3＋3x2－4.这种分解因式的方法叫“试根法”．(1)求上述式子中m，n的值；(2)请你用“试根法”分解因式：x3＋x2－16x－16.答案一、1．C 2．D 3．D 4．B 5．D 6．D7．C 点拨：a 2－b 2＋4b ＝(a ＋b )(a －b )＋4b ＝2(a －b )＋4b ＝2a ＋2b ＝2(a ＋b )＝4.8．D 9．A10．D 点拨：图①中，左阴影S ＝a 2－b 2，右阴影S ＝(a ＋b )(a －b )，故能验证．图②中，左阴影S ＝a 2－b 2，右阴影S ＝12(2b ＋2a )(a －b )＝(a ＋b )(a －b )，故能验证．图③中，左阴影S ＝a 2－b 2，右阴影S ＝(a ＋b )(a －b )，故能验证．二、11．a (a ＋b )(a －b )12．x ＋213．2 点拨：m 2＋n 22－mn ＝m 2＋n 2－2mn 2＝（m －n ）22＝（－2）22＝2.14．(x －3)215．±1616．2 点拨：∵P ＝3xy －8x ＋1，Q ＝x －2xy －2，∴3P －2Q ＝3(3xy －8x ＋1)－2(x －2xy －2)＝7.∴9xy －24x ＋3－2x ＋4xy ＋4＝7.∴13xy －26x ＝0，即13x (y －2)＝0.∵x ≠0，∴y －2＝0.∴y ＝2.17．70 点拨：由题意知，ab ＝10，a ＋b ＝142＝7，故a 2b ＋ab 2＝ab (a ＋b )＝10×7＝70.18．2 691 点拨：由计算可得智慧数按从小到大排列依次为3，5，7，8，9，11，12，13，15，16，17，19，20，…，∴以3个数为一组，从第2组开始每组第一个数都是4的倍数，∴2 016÷3＝672，∴第2 016个智慧数是第672组的最后一个数，∴4×672＋3＝2 691.三、19．解：(1)原式＝ab (a －c )．(2)原式＝(x －y )(3a －9)＝3(x －y )(a －3)．(3)原式＝4a 2－4ab ＋b 2＋8ab ＝4a 2＋4ab ＋b 2＝(2a ＋b )2.(4)原式＝(m 2－m )2＋2·(m 2－m )·14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝(m 2－m ＋14)2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫m －1222 ＝(m －12)4. 20．解：(1)原式＝(29＋72＋13－14)×20.18＝100×20.18＝2 018；(2)原式＝(100＋99)(100－99)＋(98＋97)(98－97)＋…＋(2＋1)(2－1) ＝100＋99＋98＋… ＋3＋2＋1＝101×50＝5 050.21．解：(1)原式＝(x ＋7)(4a 2－3)．当a ＝－5，x ＝3时，(x ＋7)(4a 2－3)＝(3＋7)×[4×(－5)2－3]＝970.(2)原式＝[(2x －3y )＋(2x ＋3y )]·[(2x －3y )－(2x ＋3y )]＝－24xy .当x ＝16，y ＝18时，－24xy ＝－24×16×18＝－12. 22．解：∵a 2＋b 2＋2a －4b ＋5＝0，∴(a 2＋2a ＋1)＋(b 2－4b ＋4)＝0，即(a ＋1)2＋(b －2)2＝0.∴a ＋1＝0且b －2＝0.∴a ＝－1，b ＝2.∴2a 2＋4b －3＝2×(－1)2＋4×2－3＝7.23．解：a 2＋b 2－4a －6b ＋13＝(a －2)2＋(b －3)2＝0，故a ＝2，b ＝3.当腰长为2时，则底边长为3，周长＝2＋2＋3＝7；当腰长为3时，则底边长为2，周长＝3＋3＋2＝8.所以这个等腰三角形的周长为7或8.24．解：(1)原式＝(x －1)(x 2＋mx ＋n )＝x 3＋mx 2＋nx －x 2－mx －n ＝x 3＋(m －1)x 2＋(n －m )x －n ，根据题意得⎩⎨⎧m －1＝3，n －m ＝0，－n ＝－4，解得⎩⎨⎧m ＝4，n ＝4. (2)把x ＝－1代入，发现多项式的值为0，∴多项式x 3＋x 2－16x －16中有因式(x ＋1)，于是可设x 3＋x 2－16x －16＝(x ＋1)(x 2＋m x ＋n )，可化为x 3＋mx 2＋nx ＋x 2＋mx ＋n ＝x 3＋(m ＋1)x 2＋(m ＋n )x ＋n ，可得⎩⎨⎧m ＋1＝1，m ＋n ＝－16，n ＝－16，解得⎩⎨⎧n ＝－16，m ＝0，∴x 3＋x 2－16x －16＝(x ＋1)(x 2－16)＝(x ＋1)(x ＋4)(x －4)．。
浙教版初中数学七年级下册第四单元《因式分解》单元测试卷（较易）（含答案解析）考试范围：第四单元； 考试时间：120分钟；总分：120分，第I卷（选择题）一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 要使式子−7ab−14abx+49aby=−7ab成立，则“”内应填的式子是( )A. −1+2x+7yB. −1−2x+7yC. 1−2x−7yD. 1+2x−7y2. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是( )A. a(x−y)=ax−ayB. x3−x=x(x+1)(x−1)C. (x+1)(x+3)=x2+4x+3D. x2+2x+1=x(x+2)+13. 如果多项式x2−mx−35分解因式为(x−5)(x+7)，那么m的值为( )A. −2B. 2C. 12D. −124. 对于 ①x−3xy=x(1−3y)， ②(x+3)(x−1)=x2+2x−3，从左到右的变形中表述正确的是( )A. 都是因式分解B. 都是整式的乘法C. ①是乘法运算， ②是因式分解D. ①是因式分解， ②是整式的乘法5. 将多项式a2b−2b利用提公因式法分解因式，则提取的公因式为( )A. a2bB. abC. aD. b6. 多项式(2a+1)x2+3x，其中a为整数.下列说法正确的是( )A. 若公因式为3x，则a=1B. 若公因式为5x，则a=2C. 若公因式为3x，则a=3k+1(k为整数)D. 若公因式为5x，则a=5k+1(k为整数)7. 多项式a2−4a因式分解的结果是( )A. a(a−4)B. (a+2)(a−2)C. a(a+2)(a−2)D. (a−2)2−48. 已知ab=2，a−b=−3，则a2b3−a3b2的值为( )A. −12B. 12C. −6D. 69. 分解因式4+a2−4a正确的是( )A. (2−a)2B. 4(1−a)+a2C. (2−a)(2+a)D. (2+a)210. 小明在抄分解因式的题目时，不小心漏抄了x的指数，他只知道该数为不大于5的正整数，并且能利用平方差公式分解因式，他抄在作业本上的式子是x口−4y2(“▫”表示漏抄的指数)，则这个指数可能的结果共有( )A. 1种B. 2种C. 3种D. 4种11. 已知x2−16=(x−a)(x+a)，那么a等于( )A. 4B. 2C. 16D. ±412. 下面分解因式中正确的是( )A. 4a2−4a+1=4a(a−1)+1B. a2−4b2=(a−2b)2C. 4a2−12a+9=(2a−3)2D. 2ab−a2−b2=−(a+b)2第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）13. 若多项式2x2+ax可因式分解为2x(x−2)，则a的值为．14. 若多项式x2+mx+n可因式分解为(x−2)(x+3)，则m−n的值为．15. 填空：多项式4x−2y应提取的公因式是．16. 分解因式：a2−2ab+b2−4=______．三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。
第四章因式分解单元检测卷满分120分姓名：__________ 班级：__________一、选择题（共10题；每小题3分,共30分）1.代数式15ax 2﹣15a 与10x 2+20x+10的公因式是（ ）A. 5（x+1）B. 5a （x+1）C. 5a （x ﹣1）D. 5（x ﹣1） 2.下列因式分解完全正确的是（ ）A. ﹣2a 2+4a=﹣2a （a+2） B. ﹣4x 2﹣y 2=﹣（2x+y ）2C. a 2﹣8ab+16b 2=（a+4b ）2D. 2x 2+xy ﹣y 2=（2x ﹣y ）（x+y ） 3.下列各式从左边到右边的变形是因式分解的是（ ）A. (a ＋1)(a －1)＝a 2－1 B. a 2－6a ＋9＝(a －3)2C. x 2＋2x ＋1＝x(x ＋2)＋1 D. -18x 4y 3=-6x 2y 2•3x 2y4.下列各式能用完全平方公式进行分解因式的是（ ）A. x 2+1 B. x 2+2x ﹣1 C. x 2+x+1 D. x 2+4x+45.小强是一位密码编译爱好者,在他的密码手册中,有这样一条信息：a －b,x －y,x ＋y,a ＋b,x 2－y 2,a2－b 2分别对应下列六个字：华、爱、我、中、游、美,现将(x 2－y 2)a 2－(x 2－y 2)b 2因式分解,结果呈现的密码信息可能是( )A ．我爱美B ．中华游C ．爱我中华D ．美我中华 6.若x 2＋12mx ＋k 是完全平方式,则k 的值是( )A ．m 2B.14m 2C.116m 2D.13m 27.已知a 为实数,且a ³+a ²-a+2=0,则（a+1）2008+（a+1）2009+（a+1）2010的值是（ ）A. -3B. 3C. -1D. 1 8.已知x 2－x －1＝0,则代数式x 3－2x +1的值为（ ）A ﹒－1B ﹒1C ﹒－ 2D ﹒2 9.如图,边长为a 、b 的长方形的周长为14,面积为10, 则多项式a 3b +2a 2b 2+ab 3的值为（ ） A ﹒490 B ﹒245 C ﹒140 D ﹒196010.已知:a ＝2017x +2015,b ＝2017x +2016,c ＝2017x +2017,则代数式a 2+b 2+c 2－ab －ac －bc 的值为（ ） A ﹒0 B ﹒1 C ﹒2 D ﹒3 二、填空题（共8题；共24分）11.若x+y+z=2,x2﹣（y+z）2=8时,x﹣y﹣z=________．12.计算：（﹣2）100+（﹣2）99=________13.分解因式：18b（a﹣b）2﹣12（a﹣b）3=________．14.如果x﹣3是多项式2x2﹣11x+m的一个因式,则m的值________15.多项式﹣5mx3+25mx2﹣10mx各项的公因式是________．16.因式分解：xy3﹣x3y=________．17. 观察下列等式：32－12＝8×1；52－32＝8×2；72－52＝8×3；…,请用含正整数n的等式表示你所发现的规律：_ __．18．已知a＝12＋32＋52＋…＋252,b＝22＋42＋62＋…＋242,则a－b的值为________三、解答题（共5题；共66分）19.因式分解：（1）x（x﹣y）﹣y（y﹣x）；（2）a2x2y﹣axy2．20.我们知道,多项式a2+6a+9可以写成（a+3）2的形式,这就是将多项式a2+6a+9因式分解,当一个多项式（如a2+6a+8）不能写成两数和（成差）的平方形式时,我们可以尝试用下面的办法来分解因式．a2+6a+8=a2+6a+9﹣1=（a+3）2﹣1=[（a+3）+1][（a+3）﹣1]=（a+4）（a+2）请仿照上面的做法,将下列各式分解因式：（1）x2﹣6x﹣27 （2）x2﹣2xy﹣3y2．21.已知：a,b,c为△ABC的三边长,且2a2＋2b2＋2c2＝2ab＋2ac＋2bc,试判断△ABC的形状,并证明你的结论．22.当a 为何值时,多项式x 2+7xy+ay 2﹣5x+43y ﹣24可以分解为两个一次因式的乘积．23.完成下列解答：（1） 已知15,8==+mn n m 求22n mn m +-的值 （2）已知012=-+a a 求2016223++a a 的值 （3）已知71=+aa ,求a a 1-的值参考答案一、选择题A DB DC CD D A D 二、填空题11. 4 12. 299 13. 6（a ﹣b ）2（3﹣2a+2b ） 14. 15 15. 5mx 16. xy （x+y ）（x ﹣y ） 17. (2n ＋1)2－(2n －1)2＝8n 18. 325 三、解答题19.解：（1）x （x ﹣y ）﹣y （y ﹣x ） =x （x ﹣y ）+y （x ﹣y ） =（x+y ）（x ﹣y ）；（2）a 2x 2y ﹣axy 2=axy （ax ﹣y ）20.解：（1）原式=x 2﹣6x+9﹣36=（x ﹣3）2﹣36=（x ﹣3+6）（x ﹣3﹣6）=（x+3）（x ﹣9）； （2）原式=x 2﹣2xy+y 2﹣4y 2=（x ﹣y ）2﹣4y 2=（x ﹣y+2y ）（x ﹣y ﹣2y ）=（x+y ）（x ﹣3y ）． 21.答案：等边三角形解析：因为a ,b ,c 为△ABC 的三边长,所以2a 2＋2b 2＋2c 2＝2ab ＋2ac ＋2bc022*******=+-++-++-c bc b c ac a b ab a ,所以()()()0222=-+-+-c b c a b a ,所以b a =且c a =且c b =,所以三角形为等边三角形。
2023年浙教版数学七年级下册《因式分解》单元练习卷一、选择题1.下列式子从左到右变形是因式分解的是()A.a2+4a﹣21=a(a+4)﹣21B.a2+4a﹣21=(a﹣3)(a+7)C.(a﹣3)(a+7)=a2+4a﹣21D.a2+4a﹣21=(a+2)2﹣252.把多项式(m+1)(m-1)+(m-1)分解因式，一个因式是(m-1)，则另一个因式是( )A.m+1B.2mC.2D.m+23.观察下面算962×95+962×5的解题过程，其中最简单的方法是( )A.962×95+962×5=962×(95+5)=962×100=96200B.962×95+962×5=962×5×(19+1)=962×(5×20)=96200C.962×95+962×5=5×(962×19+962)=5×(18278+962)=96200D.962×95+962×5=91390+4810=962004.把10a2(x+y)2﹣5a(x+y)3因式分解时，应提取的公因式是()A.5aB.(x+y)2C.5(x+y)2D.5a(x+y)25.若实数a，b满足a＋b＝5，a2b＋ab2＝－10，则ab的值是( )A.－2B.2C.－50D.506.把多项式4a2﹣1因式分解，结果正确的是()A.(4a+1)(4a﹣1)B.(2a+1)(2a﹣1)C.(2a﹣1)2D.(2a+1)27.把代数式ax2﹣4ax+4a因式分解，下列结果中正确的是( )A.a(x﹣2)2B.a(x+2)2C.a(x﹣4)2D.a(x+2)(x﹣2)8.△ABC的三边长分别a，b，c，且a＋2ab＝c＋2bc，则△ABC是()A.等边三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形9.计算(﹣2)2025+22024等于()A.22025B.﹣22025C.﹣22024D.2202410.多项式77x2﹣13x﹣30可因式分解成(7x＋a)(bx＋c)，其中a、b、c均为整数，求a＋b＋c的值为()A.0B.10C.12D.2211.已知x=3y+5，且x2﹣7xy+9y2=24，则x2y﹣3xy2的值为( )A.0B.1C.5D.1212.已知a=2025x+2024，b=2025x+2025，c=2025x+2026，那么a2+b2+c2—ab－bc －ca的值等于( )A.0B.1C.2D.3二、填空题13.若x2﹣ax﹣1可以分解为(x﹣2)(x+b)，则a________ ，b=________．14.﹣xy2(x+y)3+x(x+y)2的公因式是；15.已知a=2，x+2y=3，则3ax+6ay=.16.已知ab=2，a－2b=－3，则a3b－4a2b2＋4ab3的值为________.17.将x n+3－x n+1因式分解，结果是18.在日常生活中如取款、上网等都需要密码.有一种用“因式分解”法产生的密码,方便记忆.原理是：如对于多项式x4-y4,因式分解的结果是(x-y)(x+y)(x2+y2),若取x=9,y=9时,则各个因式的值是:(x-y)=0，(x+y)=18,(x2+y2)=162,于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码.对于多项式x3-xy2,取x=27,y=3时，用上述方法产生的密码是：(写出一个即可).三、解答题19.因式分解：2x2﹣8x20.因式分解：2x3(a-1)+8x(1-a).21.因式分解：3x3+6x2y﹣3xy2.22.因式分解：x n＋4－169x n＋2 (n是自然数)；23.已知x2+x=6，将下式先化简，再求值:x(x2+2)-x(x+1)2+3x2-7的值.24.给出三个多项式：2a2＋3ab＋b2，3a2＋3ab，a2＋ab，请你任选两个进行加(或减)法运算，再将结果分解因式.25.仔细阅读下面例题，解答问题：例题，已知二次三项式x 2－4x ＋m 有一个因式是(x ＋3)，求另一个因式以及m 的值.解：设另一个因式为(x ＋n)，得x 2－4x ＋m=(x ＋3)(x ＋n)，则x 2－4x ＋m=x 2＋(n ＋3)x ＋3n.∴⎩⎨⎧n ＋3＝－4，m ＝3n ， 解得n=－7，m=－21，∴另一个因式为(x －7)，m 的值为－21.问题：仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式3x 2＋5x －m 有一个因式是(3x －1)，求另一个因式以及m 的值.26.先阅读下列材料，再解答下列问题：材料：因式分解：(x ＋y)2＋2(x ＋y)＋1.解：将“x ＋y”看成整体，令x ＋y=A ，则原式=A 2＋2A ＋1=(A ＋1)2.再将“A”还原，得原式=(x ＋y ＋1)2.上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题：(1)因式分解：1＋2(x -y)＋(x -y)2=_______________；(2)因式分解：(a ＋b)(a ＋b -4)＋4；(3)求证：若n 为正整数，则式子(n ＋1)(n ＋2)(n 2＋3n)＋1的值一定是某一个整数的平方.答案1.B.2.D3.A4.D5.A6.B7.A8.B9.C10.C11.C12.D13.答案为：3 2；12.14.答案为：x(x+y)2；15.答案为：1816.答案为：1817.答案为：x n-1(x+1)(x-1)；18.答案为：273024或27243019.解：原式=2x2﹣8x=2x(x﹣4)；20.解：原式=2x(a-1)(x-2)(x+2).21.解：原式=﹣3x(x﹣y)2.22.解：原式=x n＋2(x＋13)(x－13).23.解：原式=-1.24.解：本题答案不唯一；选择加法运算有以下三种情况：(2a2＋3ab＋b2)＋(3a2＋3ab)＝5a2＋6ab＋b2＝(a＋b)(5a＋b)；(2a2＋3ab＋b2)＋(a2＋ab)＝3a2＋4ab＋b2＝(a＋b)(3a＋b)；(3a2＋3ab)＋(a2＋ab)＝4a2＋4ab＝4a(a＋b).选择减法运算有六种情况，选三种供参考：(2a 2＋3ab ＋b 2)－(3a 2＋3ab)＝b 2－a 2＝(b ＋a)(b －a)； (2a 2＋3ab ＋b 2)－(a 2＋ab)＝a 2＋2ab ＋b 2＝(a ＋b)2；(3a 2＋3ab)－(a 2＋ab)＝2a 2＋2ab ＝2a(a ＋b).25.解：设另一个因式为(x ＋n)，则3x 2＋5x －m=(3x －1)(x ＋n).则3x 2＋5x －m=3x 2＋(3n －1)x －n.∴⎩⎨⎧3n －1＝5，－n ＝－m ，解得n=2，m=2，∴另一个因式为(x ＋2)，m 的值为2.26.解：(1)(x -y ＋1)2；(2)令A=a ＋b ，则原式变为A(A -4)＋4=A 2-4A ＋4=(A -2)2，故(a ＋b)(a ＋b -4)＋4=(a ＋b -2)2.(3)证明：(n ＋1)(n ＋2)(n 2＋3n)＋1=(n 2＋3n)[(n ＋1)(n ＋2)]＋1 =(n 2＋3n)(n 2＋3n ＋2)＋1=(n 2＋3n)2＋2(n 2＋3n)＋1=(n 2＋3n ＋1)2.∵n 为正整数，∴n 2＋3n ＋1也为正整数，∴式子(n ＋1)(n ＋2)(n 2＋3n)＋1的值一定是某一个整数的平方.。
浙教新版七年级下学期《第4章因式分解》单元测试卷一．选择题（共20小题）1．多项式77x2﹣13x﹣30可因式分解成（7x+a）（bx+c），其中a、b、c均为整数，求a+b+c之值为何？（）A．0B．10C．12D．222．将3x（a﹣b）﹣9y（b﹣a）因式分解，应提的公因式是（）A．3x﹣9y B．3x+9y C．a﹣b D．3（a﹣b）3．多项式ax2﹣4ax﹣12a因式分解正确的是（）A．a（x﹣6）（x+2）B．a（x﹣3）（x+4）C．a（x2﹣4x﹣12）D．a（x+6）（x﹣2）4．a、b、c是三角形的三条边长，则代数式a2﹣2ab+b2﹣c2的值（）A．大于零B．小于零C．等于零D．与零的大小无关5．如果257+513能被n整除，则n的值可能是（）A．20B．30C．35D．406．下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（）A．a2+（﹣b）2B．5m2﹣20mn C．﹣x2﹣y2D．﹣x2+97．已知a＝2002x+2003，b＝2002x+2004，c＝2002x+2005，则多项式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值为（）A．0B．1C．2D．38．分解因式（2x+3）2﹣x2的结果是（）A．3（x2+4x+3）B．3（x2+2x+3）C．（3x+3）（x+3）D．3（x+1）（x+3）9．计算（﹣2）100+（﹣2）99的结果是（）A．2B．﹣2C．﹣299D．29910．已知多项式2x2+bx+c分解因式为2（x﹣3）（x+1），则b、c的值为（）A．b＝3，c＝﹣1B．b＝﹣6，c＝2C．b＝﹣6，c＝﹣4D．b＝﹣4，c ＝﹣611．下列各式中，不能用完全平方公式分解的个数为（）①x2﹣10x+25；②4a2+4a﹣1；③x2﹣2x﹣1；④；⑤．A．1个B．2个C．3个D．4个12．多项式15m3n2+5m2n﹣20m2n3的公因式是（）A．5mn B．5m2n2C．5m2n D．5mn213．若x2﹣4x+3与x2+2x﹣3的公因式为x﹣c，则c之值为何？（）A．﹣3B．﹣1C．1D．314．如果多项式x2+px+12可以分解成两个一次因式的积，那么整数p的值可取多少个（）A．4B．5C．6D．815．将下列多项式因式分解，结果中不含有因式a+1的是（）A．a2﹣1B．a2+aC．a2+a﹣2D．（a+2）2﹣2（a+2）+116．下列因式分解正确的是（）A．a4b﹣6a3b+9a2b＝a2b（a2﹣6a+9）B．x2﹣x+＝（x﹣）2C．x2﹣2x+4＝（x﹣2）2D．4x2﹣y2＝（4x+y）（4x﹣y）17．把多项式4x2y﹣4xy2﹣x3分解因式的结果是（）A．4xy（x﹣y）﹣x3B．﹣x（x﹣2y）2C．x（4xy﹣4y2﹣x2）D．﹣x（﹣4xy+4y2+x2）18．多项式mx2﹣m与多项式x2﹣2x+1的公因式是（）A．x﹣1B．x+1C．x2﹣1D．（x﹣1）2 19．下列二次三项式在实数范围内不能因式分解的是（）A．6x2+x﹣15B．3y2+7y+3C．x2﹣2x﹣4D．2y2﹣4y+5 20．如图，长方形的长、宽分别为a、b，且a比b大5，面积为10，则a2b﹣ab2的值为（）A．60B．50C．25D．15二．填空题（共10小题）21．设a＝192×918，b＝8882﹣302，c＝10532﹣7472，则数a，b，c按从小到大的顺序排列，结果是＜＜．22．如果1+a+a2+a3＝0，代数式a+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8＝．23．分解因式：a4﹣4a3+4a2﹣9＝．24．若x2+x+m＝（x﹣3）（x+n）对x恒成立，则n＝．25．已知a+b＝2，则a2﹣b2+4b的值为．26．若x2+2（3﹣m）x+25可以用完全平方式来分解因式，则m的值为．27．甲、乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为（x+2）（x+4）；乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9），则a+b＝．28．阅读下列文字与例题将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．例如：（1）am+an+bm+bn＝（am+bm）+（an+bn）＝m（a+b）+n（a+b）＝（a+b）（m+n）（2）x2﹣y2﹣2y﹣1＝x2﹣（y2+2y+1）＝x2﹣（y+1）2＝（x+y+1）（x﹣y﹣1）试用上述方法分解因式a2+2ab+ac+bc+b2＝．29．分解因式：a4﹣16a2＝．30．在实数范围内因式分解：2x2﹣3x﹣4＝．三．解答题（共20小题）31．设a1＝32﹣12，a2＝52﹣32，…，a n＝（2n+1）2﹣（2n﹣1）2（n为大于0的自然数）．（1）探究a n是否为8的倍数，并用文字语言表述你所获得的结论；（2）若一个数的算术平方根是一个自然数，则称这个数是“完全平方数”．试找出a1，a2，…，a n，…这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数，并指出当n满足什么条件时，a n为完全平方数（不必说明理由）．32．当a为何值时，多项式x2+7xy+ay2﹣5x+43y﹣24可以分解为两个一次因式的乘积．33．阅读下列解题过程：已知a，b，c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，试判断△ABC的形状．解：∵a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，①∴c2（a2﹣b2）＝（a2+b2）（a2﹣b2），②∴c2＝a2+b2，③∴△ABC为直角三角形．问：（1）上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号；（2）该步正确的写法应是；（3）本题正确的结论应是．34．能被3整除的整数具有一些特殊的性质：（1）定义一种能够被3整除的三位数的“F”运算：把的每一个数位上的数字都立方，再相加，得到一个新数．例如＝213时，则：21336（23+13+33＝36）243（33+63＝243）．数字111经过三次“F”运算得，经过四次“F”运算得，经过五次“F”运算得，经过2016次“F”运算得．（2）对于一个整数，如果它的各个数位上的数字和可以被3整除，那么这个数就一定能够被3整除，例如，一个四位数，千位上的数字是a，百位上的数字是b，十位上的数字为c，个为上的数字为d，如果a+b+c+d可以被3整除，那么这个四位数就可以被3整除．你会证明这个结论吗？写出你的论证过程（以这个四位数为例即可）．35．阅读并解决问题．对于形如x2+2ax+a2这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成（x+a）2的形式．但对于二次三项式x2+2ax﹣3a2，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式x2+2ax﹣3a2中先加上一项a2，使它与x2+2ax的和成为一个完全平方式，再减去a2，整个式子的值不变，于是有：x2+2ax﹣3a2＝（x2+2ax+a2）﹣a2﹣3a2＝（x+a）2﹣（2a）2＝（x+3a）（x﹣a）．像这样，先添﹣适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．（1）利用“配方法”分解因式：a2﹣6a+8．（2）若a+b＝5，ab＝6，求：①a2+b2；②a4+b4的值．（3）已知x是实数，试比较x2﹣4x+5与﹣x2+4x﹣4的大小，说明理由．36．分解因式：3x2﹣11xy+6y2﹣xz﹣4yz﹣2z2．37．把下列各式分解因式：（1）（a2+a+1）（a2﹣6a+1）+12a2；（2）（2a+5）（a2﹣9）（2a﹣7）﹣91；（3）；（4）（x4﹣4x2+1）（x4+3x2+1）+10x4；（5）2x3﹣x2z﹣4x2y+2xyz+2xy2﹣y2z．38．先阅读下列材料，再解答下列问题：材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1．解：将“x+y”看成整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2再将“A”还原，得：原式＝（x+y+1）2．上述解题候总用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题：（1）因式分解：1+2（x﹣y）+（x﹣y）2＝．（2）因式分解：（a+b）（a+b﹣4）+4（3）证明：若n为正整数，则式子（n+1）（n+2）（n2+3n）+1的值一定是某一个整数的平方．39．观察并验证下列等式：13+23＝（1+2）2＝9，13+23+33＝（1+2+3）2＝36，13+23+33+43＝（1+2+3+4）2＝100，（1）续写等式：13+23+33+43+53＝；（写出最后结果）（2）我们已经知道1+2+3+…+n＝n（n+1），根据上述等式中所体现的规律，猜想结论：13+23+33+…+（n﹣1）3+n3＝；（结果用因式乘积表示）（3）利用（2）中得到的结论计算：①33+63+93+…+573+603②13+33+53+…+（2n﹣1）3（4）试对（2）中得到的结论进行证明．40．发现任意五个连续整数的平方和是5的倍数．验证（1）（﹣1）2+02+12+22+32的结果是5的几倍？（2）设五个连续整数的中间一个为n，写出它们的平方和，并说明是5的倍数．延伸任意三个连续整数的平方和被3除的余数是几呢？请写出理由．41．已知A＝a+2，B＝a2﹣a+5，C＝a2+5a﹣19，其中a＞2．（1）求证：B﹣A＞0，并指出A与B的大小关系；（2）指出A与C哪个大？说明理由．42．两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成2（x﹣1）（x﹣9），另一位同学因看错了常数项而分解成2（x﹣2）（x﹣4），请将原多项式分解因式．43．简便计算：①1.992+1.99×0.01②20132+2013﹣20142．44．分解因式：（1）2x2﹣7x+3（2）（x2+2x）2﹣7（x2+2x）﹣8（3）x2+2x﹣15﹣ax﹣5a．45．给出三个多项式：①2x2+4x﹣4；②2x2+12x+4；③2x2﹣4x请你把其中任意两个多项式进行加法运算（写出所有可能的结果），并把每个结果因式分解．46．阅读与思考：整式乘法与因式分解是方向相反的变形由（x+p）（x+q）＝x2+（p+q）x+pq得，x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）；利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式，例如：将式子x2+3x+2分解因式．分析：这个式子的常数项2＝1×2，一次项系数3＝1+2，所以x2+3x+2＝x2+（1+2）x+1×2．解：x2+3x+2＝（x+1）（x+2）请仿照上面的方法，解答下列问题（1）分解因式：x2+7x﹣18＝启发应用（2）利用因式分解法解方程：x2﹣6x+8＝0；（3）填空：若x2+px﹣8可分解为两个一次因式的积，则整数p的所有可能值是．47．因式分解：（1）2x（a﹣b）+3y（b﹣a）（2）x（x2﹣xy）﹣（4x2﹣4xy）48．分解因式：（1）2x2y﹣8xy+8y；（2）a2（x﹣y）﹣9b2（x﹣y）；（3）9（3m+2n）2﹣4（m﹣2n）2；（4）（y2﹣1）2+6（1﹣y2）+9．49．将下列各式因式分解：（1）x2﹣9（2）﹣3ma2+12ma﹣9m（3）4x2﹣3y（4x﹣3y）（4）（a+2b）2+2（a+2b﹣1）+3．50．仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．解：设另一个因式为（x+n），得x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n）则x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n∴．解得：n＝﹣7，m＝﹣21∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21问题：仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（2x﹣5），求另一个因式以及k的值．浙教新版七年级下学期《第4章因式分解》单元测试卷参考答案与试题解析一．选择题（共20小题）1．多项式77x2﹣13x﹣30可因式分解成（7x+a）（bx+c），其中a、b、c均为整数，求a+b+c之值为何？（）A．0B．10C．12D．22【分析】首先利用十字交乘法将77x2﹣13x﹣30因式分解，继而求得a，b，c的值．【解答】解：利用十字交乘法将77x2﹣13x﹣30因式分解，可得：77x2﹣13x﹣30＝（7x﹣5）（11x+6）．∴a＝﹣5，b＝11，c＝6，则a+b+c＝（﹣5）+11+6＝12．故选：C．【点评】此题考查了十字相乘法分解因式的知识．注意ax2+bx+c（a≠0）型的式子的因式分解：这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1，a2的积a1•a2，把常数项c分解成两个因数c1，c2的积c1•c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b，那么可以直接写成结果：ax2+bx+c＝（a1x+c1）（a2x+c2）．2．将3x（a﹣b）﹣9y（b﹣a）因式分解，应提的公因式是（）A．3x﹣9y B．3x+9y C．a﹣b D．3（a﹣b）【分析】原式变形后，找出公因式即可．【解答】解：将3x（a﹣b）﹣9y（b﹣a）＝3x（a﹣b）+9y（a﹣b）因式分解，应提的公因式是3（a﹣b）．故选：D．【点评】此题考查了因式分解﹣提取公因式法，熟练掌握分解因式的方法是解本题的关键．3．多项式ax2﹣4ax﹣12a因式分解正确的是（）A．a（x﹣6）（x+2）B．a（x﹣3）（x+4）C．a（x2﹣4x﹣12）D．a（x+6）（x﹣2）【分析】首先提取公因式a，进而利用十字相乘法分解因式得出即可．【解答】解：ax2﹣4ax﹣12a＝a（x2﹣4x﹣12）＝a（x﹣6）（x+2）．故选：A．【点评】此题主要考查了提取公因式法以及十字相乘法分解因式，正确利用十字相乘法分解因式是解题关键．4．a、b、c是三角形的三条边长，则代数式a2﹣2ab+b2﹣c2的值（）A．大于零B．小于零C．等于零D．与零的大小无关【分析】根据三角形中任意两边之和大于第三边．把代数式a2﹣2ab+b2﹣c2分解因式就可以进行判断．【解答】解：a2﹣2ab+b2﹣c2＝（a﹣b）2﹣c2＝（a+c﹣b）[a﹣（b+c）]．∵a，b，c是三角形的三边．∴a+c﹣b＞0，a﹣（b+c）＜0．∴a2﹣2ab+b2﹣c2＜0．故选：B．【点评】此题考查了利用完全平方公式配方，利用平方差公式因式分解，三角形的三边关系，利用完全平方公式配方整理成两个因式乘积的形式是解题的关键．5．如果257+513能被n整除，则n的值可能是（）A．20B．30C．35D．40【分析】先把把257转化成514，再提取公因式513，最后把513化成512×5，即可求出答案．【解答】解：257+513＝514+513＝513×（5+1）＝513×6＝512×30，则n的值可能是30；故选：B．【点评】此题考查了因式分解的应用，解题的关键是把257转化成514，再提取公因式进行因式分解即可．6．下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（）A．a2+（﹣b）2B．5m2﹣20mn C．﹣x2﹣y2D．﹣x2+9【分析】能用平方差公式分解因式的式子特点是：两项平方项，符号相反．【解答】解：A、a2+（﹣b）2符号相同，不能用平方差公式分解因式，故A选项错误；B、5m2﹣20mn两项不都是平方项，不能用平方差公式分解因式，故B选项错误；C、﹣x2﹣y2符号相同，不能用平方差公式分解因式，故C选项错误；D、﹣x2+9＝﹣x2+32，两项符号相反，能用平方差公式分解因式，故D选项正确．故选：D．【点评】本题考查用平方差公式分解因式的式子特点，两平方项的符号相反．7．已知a＝2002x+2003，b＝2002x+2004，c＝2002x+2005，则多项式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值为（）A．0B．1C．2D．3【分析】先求出（a﹣b）、（b﹣c）、（a﹣c）的值，再把所给式子整理为含（a﹣b）2，（b﹣c）2和（a﹣c）2的形式，代入求值即可．【解答】解：∵a＝2002x+2003，b＝2002x+2004，c＝2002x+2005，∴a﹣b＝﹣1，b﹣c＝﹣1，a﹣c＝﹣2，∴a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca＝（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ca），＝[（a2﹣2ab+b2）+（b2﹣2bc+c2）+（a2﹣2ac+c2）]，＝[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2]，＝×（1+1+4），＝3．故选：D．【点评】本题主要考查公式法分解因式，达到简化计算的目的，对多项式扩大2倍是利用完全平方公式的关键．8．分解因式（2x+3）2﹣x2的结果是（）A．3（x2+4x+3）B．3（x2+2x+3）C．（3x+3）（x+3）D．3（x+1）（x+3）【分析】直接利用平方差公式分解因式，进而得出答案．【解答】解：（2x+3）2﹣x2＝（2x+3﹣x）（2x+3+x）＝（x+3）（3x+3）＝3（x+3）（x+1）．故选：D．【点评】此题主要考查了公式法分解因式，熟练应用平方差公式是解题关键．9．计算（﹣2）100+（﹣2）99的结果是（）A．2B．﹣2C．﹣299D．299【分析】根据提公因式法，可得负数的奇数次幂，根据负数的奇数次幂是负数，可得答案．【解答】解：原式＝（﹣2）99[（﹣2）+1]＝﹣（﹣2）99＝299，故选：D．【点评】本题考查了因式分解，提公因式法是解题关键，注意负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数．10．已知多项式2x2+bx+c分解因式为2（x﹣3）（x+1），则b、c的值为（）A．b＝3，c＝﹣1B．b＝﹣6，c＝2C．b＝﹣6，c＝﹣4D．b＝﹣4，c ＝﹣6【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积，可得答案．【解答】解：由多项式2x2+bx+c分解因式为2（x﹣3）（x+1），得2x2+bx+c＝2（x﹣3）（x+1）＝2x2﹣4x﹣6．b＝﹣4，c＝﹣6，故选：D．【点评】本题考查了因式分解的意义，利用了因式分解的意义．11．下列各式中，不能用完全平方公式分解的个数为（）①x2﹣10x+25；②4a2+4a﹣1；③x2﹣2x﹣1；④；⑤．A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】分别利用完全平方公式分解因式得出即可．【解答】解：①x2﹣10x+25＝（x﹣5）2，不符合题意；②4a2+4a﹣1不能用完全平方公式分解；③x2﹣2x﹣1不能用完全平方公式分解；④＝﹣（m2﹣m+）＝﹣（m﹣）2，不符合题意；⑤不能用完全平方公式分解．故选：C．【点评】此题主要考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式的形式是解题关键．12．多项式15m3n2+5m2n﹣20m2n3的公因式是（）A．5mn B．5m2n2C．5m2n D．5mn2【分析】找公因式的要点是：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；（2）字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取次数最低的．【解答】解：多项式15m3n2+5m2n﹣20m2n3中，各项系数的最大公约数是5，各项都含有的相同字母是m、n，字母m的指数最低是2，字母n的指数最低是1，所以它的公因式是5m2n．故选：C．【点评】本题考查了公因式的确定，熟练掌握找公因式有三大要点是求解的关键．13．若x2﹣4x+3与x2+2x﹣3的公因式为x﹣c，则c之值为何？（）A．﹣3B．﹣1C．1D．3【分析】首先将原式分解因式，进而得出其公因式即可．【解答】解：∵x2﹣4x+3＝（x﹣1）（x﹣3）与x2+2x﹣3＝（x﹣1）（x+3），∴公因式为x﹣c＝x﹣1，故c＝1．故选：C．【点评】此题主要考查了分解因式的应用，正确分解因式是解题关键．14．如果多项式x2+px+12可以分解成两个一次因式的积，那么整数p的值可取多少个（）A．4B．5C．6D．8【分析】先把12分成2个因数的积的形式，共有6总情况，所以对应的p值也有6种情况．【解答】解：设12可分成m•n，则p＝m+n（m，n同号），∵m＝±1，±2，±3，n＝±12，±6，±4，∴p＝±13，±8，±7，共6个值．故选：C．【点评】主要考查了分解因式的定义，要熟知二次三项式的一般形式与分解因式之间的关系：x2+（m+n）x+mn＝（x+m）（x+n），即常数项与一次项系数之间的等量关系．15．将下列多项式因式分解，结果中不含有因式a+1的是（）A．a2﹣1B．a2+aC．a2+a﹣2D．（a+2）2﹣2（a+2）+1【分析】先把各个多项式分解因式，即可得出结果．【解答】解：∵a2﹣1＝（a+1）（a﹣1），a2+a＝a（a+1），a2+a﹣2＝（a+2）（a﹣1），（a+2）2﹣2（a+2）+1＝（a+2﹣1）2＝（a+1）2，∴结果中不含有因式a+1的是选项C；故选：C．【点评】本题考查了因式分解的意义与方法；熟练掌握因式分解的方法是解决问题的关键．16．下列因式分解正确的是（）A．a4b﹣6a3b+9a2b＝a2b（a2﹣6a+9）B．x2﹣x+＝（x﹣）2C．x2﹣2x+4＝（x﹣2）2D．4x2﹣y2＝（4x+y）（4x﹣y）【分析】原式各项分解得到结果，即可做出判断．【解答】解：A、原式＝a2b（a2﹣6a+9）＝a2b（a﹣3）2，错误；B、原式＝（x﹣）2，正确；C、原式不能分解，错误；D、原式＝（2x+y）（2x﹣y），错误，故选：B．【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，以及提公因式法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．17．把多项式4x2y﹣4xy2﹣x3分解因式的结果是（）A．4xy（x﹣y）﹣x3B．﹣x（x﹣2y）2C．x（4xy﹣4y2﹣x2）D．﹣x（﹣4xy+4y2+x2）【分析】先提公因式﹣x，再运用完全平方公式进行分解即可得到答案．【解答】解：4x2y﹣4xy2﹣x3＝﹣x（x2﹣4xy+4y2）＝﹣x（x﹣2y）2，故选：B．【点评】本题考查的是因式分解的知识，掌握提公因式法和公式法进行因式分解是解题的关键．18．多项式mx2﹣m与多项式x2﹣2x+1的公因式是（）A．x﹣1B．x+1C．x2﹣1D．（x﹣1）2【分析】分别将多项式mx2﹣m与多项式x2﹣2x+1进行因式分解，再寻找它们的公因式．【解答】解：mx2﹣m＝m（x﹣1）（x+1），x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，多项式mx2﹣m与多项式x2﹣2x+1的公因式是（x﹣1）．故选：A．【点评】本题主要考查公因式的确定，先利用提公因式法和公式法分解因式，然后再确定公共因式．19．下列二次三项式在实数范围内不能因式分解的是（）A．6x2+x﹣15B．3y2+7y+3C．x2﹣2x﹣4D．2y2﹣4y+5【分析】利用一元二次方程根的判别式判断即可．【解答】解：6x2+x﹣15＝0△＝1+4×6×15＝361＞0，A在实数范围内能因式分解；3y2+7y+3＝0△＝49﹣4×3×3＝13＞0，B在实数范围内能因式分解；x2﹣2x﹣4＝0△＝4+4×1×4＝20＞0，C在实数范围内能因式分解；2y2﹣4y+5＝0△＝16y2﹣4×2×5y2＝﹣24y2＜0，D在实数范围内不能因式分解；故选：D．【点评】本题考查的是二次三项式的因式分解，掌握一元二次方程的解法是解题的关键．20．如图，长方形的长、宽分别为a、b，且a比b大5，面积为10，则a2b﹣ab2的值为（）A．60B．50C．25D．15【分析】直接利用提取公因式法分解因式，进而得出把已知代入即可．【解答】解：由题意可得：a﹣b＝5，ab＝10，则a2b﹣ab2＝ab（a﹣b）＝50．故选：B．【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确分解因式是解题关键．二．填空题（共10小题）21．设a＝192×918，b＝8882﹣302，c＝10532﹣7472，则数a，b，c按从小到大的顺序排列，结果是a＜c＜b．【分析】运用平方差公式进行变形，把其中一个因数化为918，再比较另一个因数，另一个因数大的这个数就大．【解答】解：a＝192×918＝361×918，b＝8882﹣302＝（888﹣30）×（888+30）＝858×918，c＝10532﹣7472＝（1053+747）×（1053﹣747）＝1800×306＝600×918，所以a＜c＜b．故答案为：a＜c＜b．【点评】本题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是运用平方差公式进行化简得出一个因数为918．22．如果1+a+a2+a3＝0，代数式a+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8＝0．【分析】4项为一组，分成2组，再进一步分解因式求得答案即可．【解答】解：∵1+a+a2+a3＝0，∴a+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8，＝a（1+a+a2+a3）+a5（1+a+a2+a3），＝0+0，＝0．故答案是：0．【点评】此题考查利用因式分解法求代数式的值，注意合理分组解决问题．23．分解因式：a4﹣4a3+4a2﹣9＝（a﹣3）（a+1）（a2﹣2a+3）．【分析】本题有a的四次项、a的三次项，a的二次项，有常数项，所以首要考虑的就是三一分组，前三项提取公因式后可以利用完全平方公式分解因式，然后还可以与第四项继续利用平方差公式分解因式．【解答】解：a4﹣4a3+4a2﹣9，＝（a4﹣4a3+4a2）﹣9，＝a2（a﹣2）2﹣32，＝（a2﹣2a﹣3）（a2﹣2a+3），＝（a﹣3）（a+1）（a2﹣2a+3）．【点评】本题考查了分组分解法，十字相乘法分解因式，难点是采用两两分组还是三一分组，要考虑分组后还能进行下一步分解，利用平方差公式分解后还要继续利用十字相乘法分解因式，注意分解因式要彻底．24．若x2+x+m＝（x﹣3）（x+n）对x恒成立，则n＝4．【分析】利用多项式乘法去括号，得出关于n的关系式进而求出n的值．【解答】解：∵x2+x+m＝（x﹣3）（x+n），∴x2+x+m＝x2+（n﹣3）x﹣3n，故n﹣3＝1，解得：n＝4．故答案为：4．【点评】此题主要考查了多项式乘以多项式，正确去括号得出是解题关键．25．已知a+b＝2，则a2﹣b2+4b的值为4．【分析】把所给式子整理为含（a+b）的式子的形式，再代入求值即可．【解答】解：∵a+b＝2，∴a2﹣b2+4b，＝（a+b）（a﹣b）+4b，＝2（a﹣b）+4b，＝2a+2b，＝2（a+b），＝2×2，＝4．故答案为：4．【点评】本题考查了利用平方差公式分解因式，利用平方差公式和提公因式法整理出a+b的形式是求解本题的关键，同时还隐含了整体代入的数学思想．26．若x2+2（3﹣m）x+25可以用完全平方式来分解因式，则m的值为﹣2或8．【分析】利用完全平方公式的特征判断即可求出m的值．【解答】解：∵x2+2（3﹣m）x+25可以用完全平方式来分解因式，∴2（3﹣m）＝±10解得：m＝﹣2或8．故答案为：﹣2或8．【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．27．甲、乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为（x+2）（x+4）；乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9），则a+b＝15．【分析】由题意分析a，b是相互独立的，互不影响的，在因式分解中，b决定因式的常数项，a决定因式含x的一次项系数；利用多项式相乘的法则展开，再根据对应项系数相等即可求出ab的值．【解答】解：分解因式x2+ax+b，甲看错了b，但a是正确的，他分解结果为（x+2）（x+4）＝x2+6x+8，∴a＝6，同理：乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9）＝x2+10x+9，∴b＝9，因此a+b＝15．故答案为：15．【点评】此题考查因式分解与多项式相乘是互逆运算，利用对应项系数相等是求解的关键．28．阅读下列文字与例题将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．例如：（1）am+an+bm+bn＝（am+bm）+（an+bn）＝m（a+b）+n（a+b）＝（a+b）（m+n）（2）x2﹣y2﹣2y﹣1＝x2﹣（y2+2y+1）＝x2﹣（y+1）2＝（x+y+1）（x﹣y﹣1）试用上述方法分解因式a2+2ab+ac+bc+b2＝（a+b）（a+b+c）．【分析】首先进行合理分组，然后运用提公因式法和公式法进行因式分解．【解答】解：原式＝（a2+2ab+b2）+（ac+bc）＝（a+b）2+c（a+b）＝（a+b）（a+b+c）．故答案为（a+b）（a+b+c）．【点评】此题考查了因式分解法，要能够熟练运用分组分解法、提公因式法和完全平方公式．29．分解因式：a4﹣16a2＝a2（a+4）（a﹣4）．【分析】先提取公因式a2，再对余下的多项式利用平方差公式继续因式分解．【解答】解：a4﹣16a2，＝a2（a2﹣16），＝a2（a+4）（a﹣4）．故答案为：a2（a+4）（a﹣4）．【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，注意提取公因式后还可以利用平方差公式继续分解因式，因式分解一定要彻底．30．在实数范围内因式分解：2x2﹣3x﹣4＝2（x﹣）（x﹣）．【分析】令原式为0求出x的值，即可确定出因式分解的结果．【解答】解：令2x2﹣3x﹣4＝0，这里a＝2，b＝﹣3，c＝﹣4，∵△＝16+8＝41，∴x＝，则2x2﹣3x﹣4＝2（x﹣）（x﹣），故答案为：2（x﹣）（x﹣）．【点评】此题考查了实数范围内分解因式，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．三．解答题（共20小题）31．设a1＝32﹣12，a2＝52﹣32，…，a n＝（2n+1）2﹣（2n﹣1）2（n为大于0的自然数）．（1）探究a n是否为8的倍数，并用文字语言表述你所获得的结论；（2）若一个数的算术平方根是一个自然数，则称这个数是“完全平方数”．试找出a1，a2，…，a n，…这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数，并指出当n满足什么条件时，a n为完全平方数（不必说明理由）．【分析】（1）利用平方差公式，将（2n+1）2﹣（2n﹣1）2化简，可得结论；（2）理解完全平方数的概念，通过计算找出规律．【解答】解：（1）∵a n＝（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝4n2+4n+1﹣4n2+4n﹣1＝8n，（3分）又n为非零的自然数，∴a n是8的倍数．（4分）这个结论用文字语言表述为：两个连续奇数的平方差是8的倍数（5分）说明：第一步用完全平方公式展开各（1），正确化简（1分）．（2）这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数为16，64，144，256．（7分）n为一个完全平方数的2倍时，a n为完全平方数（8分）说明：找完全平方数时，错一个扣（1），错2个及以上扣（2分）．【点评】本题考查了公式法分解因式，属于结论开放性题目，通过一系列的式子，找出一般规律，考查了同学们的探究发现的能力．32．当a为何值时，多项式x2+7xy+ay2﹣5x+43y﹣24可以分解为两个一次因式的乘积．【分析】设原式可分解为（x+ky+c）（x+ly+d），展开后得出x2+（k+l）xy+kly2+（c+d）x+（cl+dk）y+cd，推出cd＝﹣24，c+d＝﹣5，cl+dk＝43，k+l＝7，a ＝kl，求出即可．【解答】解：多项式的第一项是x2，因此原式可分解为：（x+ky+c）（x+ly+d），∵（x+ky+c）（x+ly+d）＝x2+（k+l）xy+kly2+（c+d）x+（cl+dk）y+cd，∴cd＝﹣24，c+d＝﹣5，∴c＝3，d＝﹣8，∵cl+dk＝43，∴3l﹣8k＝43，∵k+l＝7，∴k＝﹣2，l＝9，∴a＝kl＝﹣18，．即当a＝﹣18时，多项式x2+7xy+ay2﹣5x+43y﹣24可以分解为两个一次因式的乘积．【点评】本题考查了因式分解的意义的应用，解此题的关键是根据题意得出cd ＝﹣24，c+d＝﹣5，cl+dk＝43，k+l＝7，a＝kl，题目比较好，但是一道比较容易出错的题目．33．阅读下列解题过程：已知a，b，c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，试判断△ABC的形状．解：∵a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，①∴c2（a2﹣b2）＝（a2+b2）（a2﹣b2），②∴c2＝a2+b2，③∴△ABC为直角三角形．问：（1）上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号③；（2）该步正确的写法应是当a2﹣b2＝0时，a＝b；当a2﹣b2≠0时，a2+b2＝c2；（3）本题正确的结论应是△ABC为直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形．【分析】（1）上述解题过程，从第三步出现错误，错误原因为在等式两边除以a2﹣b2，没有考虑a2﹣b2是否为0；（2）正确的做法为：将等式右边的移项到方程左边，然后提取公因式将方程左边分解因式，根据两数相乘积为0，两因式中至少有一个数为0转化为两个等式；（3）根据等腰三角形的判定，以及勾股定理的逆定理得出三角形为直角三角形或等腰三角形．【解答】解：（1）上述解题过程，从第③步开始出现错误；（2）正确的写法为：c2（a2﹣b2）＝（a2+b2）（a2﹣b2），移项得：c2（a2﹣b2）﹣（a2+b2）（a2﹣b2）＝0，因式分解得：（a2﹣b2）[c2﹣（a2+b2）]＝0，则当a2﹣b2＝0时，a＝b；当a2﹣b2≠0时，a2+b2＝c2；（3）△ABC是直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形．故答案为：（1）③；（2）当a2﹣b2＝0时，a＝b；当a2﹣b2≠0时，a2+b2＝c2；（3）△ABC是直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形．【点评】此题考查了因式分解的应用，勾股定理的逆定理，以及等腰三角形的判定，找出阅读材料中解题过程中的错误是解本题的关键．34．能被3整除的整数具有一些特殊的性质：（1）定义一种能够被3整除的三位数的“F”运算：把的每一个数位上的数字都立方，再相加，得到一个新数．例如＝213时，则：21336（23+13+33＝36）243（33+63＝243）．数字111经过三次“F”运算得351，经过四次“F”运算得153，经过五次“F”运算得153，经过2016次“F”运算得153．（2）对于一个整数，如果它的各个数位上的数字和可以被3整除，那么这个数就一定能够被3整除，例如，一个四位数，千位上的数字是a，百位上的数字是b，十位上的数字为c，个为上的数字为d，如果a+b+c+d可以被3整除，那么这个四位数就可以被3整除．你会证明这个结论吗？写出你的论证过程（以这个四位数为例即可）．【分析】（1）根据“F运算”的定义得到111经过三次“F运算”的结果，经过四次“F运算”的结果，经过五次“F运算”的结果，经过2016次“F运算”的结果即可；（2）首先根据题意可设a+b+c+d＝3e，则此四位数1000a+100b+10c+d可表示为999a+99b+9c+a+b+c+d，即3（333a+33b+3c）+3e，所以可得这个四位数就可以被3整除．【解答】（1）解：1113（13+13+13＝3）27（33＝27）351（23+73＝351）153（33+53+13＝153）153（13+53+33＝153）153（33+53+13＝153）．故数字111经过三次“F”运算得351，经过四次“F”运算得153，经过五次“F”运算得153，经过2016次“F”运算得153．（2）证明：设a+b+c+d＝3e（e为整数），这个四位数可以写为：1000a+100b+10c+d，∴1000a+100b+10c+d＝999a+99b+9c+a+b+c+d＝3（333a+33b+3c）+3e，∴＝333a+33b+3c+e，∵333a+33b+3c+e是整数，∴1000a+100b+10c+d可以被3整除．故答案为：351，153，153，153．【点评】本题考查了规律型：数字的变化类：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法．同时考查了数的整除性问题．注意四位数的表示方法与整体思想的应用．35．阅读并解决问题．对于形如x2+2ax+a2这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成（x+a）2的形式．但对于二次三项式x2+2ax﹣3a2，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式x2+2ax﹣3a2中先加上一项a2，使它与x2+2ax的和成为一个完全平方式，再减去a2，整个式子的值不变，于是有：x2+2ax﹣3a2＝（x2+2ax+a2）﹣a2﹣3a2＝（x+a）2﹣（2a）2＝（x+3a）（x﹣a）．像这样，先添﹣适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．（1）利用“配方法”分解因式：a2﹣6a+8．（2）若a+b＝5，ab＝6，求：①a2+b2；②a4+b4的值．（3）已知x是实数，试比较x2﹣4x+5与﹣x2+4x﹣4的大小，说明理由．【分析】（1）加1再减1，可以组成完全平方式；（2）①加2ab再减2ab可以组成完全平方式；②在①得基础上，加2a2b2再减2a2b2，可以组成完全平方式；（3）把所给的代数式进行配方，然后比较即可．【解答】解：（1）a2﹣6a+8，＝a2﹣6a+9﹣1，＝（a﹣3）2﹣1，＝（a﹣3﹣1）（a﹣3+1），＝（a﹣2）（a﹣4）；（2）a2+b2，＝（a+b）2﹣2ab，＝52﹣2×6，＝13；（2分）a4+b4＝（a2+b2）2﹣2a2b2，＝132﹣2×62，＝97；（2分）（3）∵x2﹣4x+5，＝x2﹣4x+4+1，＝（x﹣2）2+1≥1＞0（2分）﹣x2+4x﹣4，＝﹣（x2﹣4x+4），＝﹣（x﹣2）2≤0（2分）∴x2﹣4x+5＞﹣x2+4x﹣4．（1分）（若用”作差法”相应给分）【点评】本题考查十字相乘法分解因式，三道题都是围绕配方法作答，配方法是数学习题里经常出现的方法，应熟练掌握，（1）实质上是十字相乘法分解因式．36．分解因式：3x2﹣11xy+6y2﹣xz﹣4yz﹣2z2．【分析】多项式项数较多，不可能分组后有公因式或者分组后能用公式，考虑十字相乘法．由于3x2﹣xz﹣2z2、3x2﹣11xy+6y2、6y2﹣4yz﹣2z2能因式分解，先把它们分组分解，再和6y2、﹣2z2、3x2十字相乘．【解答】解：原式＝（3x2﹣xz﹣2z2）﹣（11xy+4yz）+6y2＝（3x+2z）（x﹣z）﹣y（11x+4z）+6y2＝（3x+2z﹣2y）（x﹣z﹣3y）【点评】本题考查了因式分解的分组法和十字相乘法．观察题目特点，灵活运用十字相乘法是关键．37．把下列各式分解因式：（1）（a2+a+1）（a2﹣6a+1）+12a2；（2）（2a+5）（a2﹣9）（2a﹣7）﹣91；（3）；（4）（x4﹣4x2+1）（x4+3x2+1）+10x4；（5）2x3﹣x2z﹣4x2y+2xyz+2xy2﹣y2z．【分析】（1）令a2+1＝b，先把式子整理，可知是将一个三项式进行因式分解，考虑运用十字相乘法，再将b＝a2+1回代，继续分解即可；（2）先将a2﹣9分解为（a﹣3）（a+3），把（a﹣3）与（2a+5）结合，（a+3）与（2a﹣7）结合，整理之后，运用十字相乘法分解；（3）设x+y＝a，xy＝b，代入原式，先把式子整理，可知是将一个四项式进行因式分解，考虑运用分组分解法．此时b2+2b+1可组成完全平方公式，可把此三项分为一组，再运用平方差公式分解；（4）令x4+1＝a，先把式子整理，可知是将一个三项式进行因式分解，考虑运用十字相乘法，再将a＝x4+1回代，继续分解即可；（5）可将一二项作为第一组，三四项作为第二组，五六项作为第三组，提取公因式2x﹣z以后，将余下的多项式运用完全平方公式继续分解．【解答】解：（1）令a2+1＝b，则原式＝（b+a）（b﹣6a）+12a2＝b2﹣5ab﹣6a2+12a2＝b2﹣5ab+6a2＝（b﹣2a）（b﹣3a）＝（a2+1﹣2a）（a2+1﹣3a）＝（a﹣1）2（a2﹣3a+1）；（2）原式＝[（2a+5）（a﹣3）][（a+3）（2a﹣7）]﹣91＝（2a2﹣a﹣15）（2a2﹣a﹣21）﹣91＝（2a2﹣a）2﹣36（2a2﹣a）+224＝（2a2﹣a﹣28）（2a2﹣a﹣8）＝（a﹣4）（2a+7）（2a2﹣a﹣8）；（3）设x+y＝a，xy＝b，则原式＝b（b+1）+（b+3）﹣2（a+）﹣（a﹣1）2＝（b2+2b+1）﹣a2＝（b+1+a）（b+1﹣a）＝（xy+1+x+y）（xy+1﹣x﹣y）；（4）令x4+1＝a，则原式＝（a﹣4x2）（a+3x2）+10x4＝a2﹣x2a﹣2x4＝（a﹣2x2）（a+x2）＝（x4+1﹣2x2）（x4+1+x2）＝（x+1）2（x﹣1）2（x2+x+1）（x2﹣x+1）；（5）原式＝（2x3﹣x2z）+（﹣4x2y+2xyz）+（2xy2﹣y2z）＝x2（2x﹣z）﹣2xy（2x﹣z）+y2（2x﹣z）＝（2x﹣z）（x2﹣2xy+y2）＝（2x﹣z）（x﹣y）2．【点评】本题考查了平方差公式，完全平方公式，十字相乘法，分组分解法分解因式．如果题目给出的不是一个多项式的形式，需要先把式子整理，再分解因式．本题属于竞赛题型，有一定难度．38．先阅读下列材料，再解答下列问题：材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1．解：将“x+y”看成整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2再将“A”还原，得：原式＝（x+y+1）2．上述解题候总用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题：（1）因式分解：1+2（x﹣y）+（x﹣y）2＝（x﹣y+1）2．。
七年级数学下册第四章因式分解单元测试卷（时间90分钟，总分120分）第Ⅰ卷（选择题）一．选择题（共10小题，3*10=30）1．下列各式中，不能分解因式的是( )A ．4x 2＋2xy ＋14y 2B ．4x 2－2xy ＋14y 2C ．4x 2－14y 2D ．－4x 2－14y 2 2．若x 2＋12mx ＋k 是完全平方式，则k 的值是( ) A ．m 2 B.14m 2 C.116m 2 D.13m 2 3．下列从左到右的变形属于因式分解的是( )A ．(x ＋1)(x －1)＝x 2－1B ．m 2－2m －3＝m(m －2)－3C ．2x 2＋1＝x(2x ＋1x) D ．x 2－5x ＋6＝(x －2)(x －3) 4．把多项式x 2＋ax ＋b 分解因式，得(x ＋2)(x －3)，则a ，b 的值分别是( )A ．a ＝1，b ＝6B ．a ＝－1，b ＝－6C ．a ＝－1，b ＝6D ．a ＝1，b ＝－65．将下列多项式因式分解，结果中不含有因式a ＋1的是( )A ．a 2－1B ．a 2＋aC ．a 2＋a －2D ．(a ＋2)2－2(a ＋2)＋16．小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：a －b ，x －y ，x ＋y ，a ＋b ，x 2－y 2，a 2－b 2分别对应下列六个字：华、爱、我、中、游、美，现将(x 2－y 2)a 2－(x 2－y 2)b 2因式分解，结果呈现的密码信息可能是( )A ．我爱美B ．中华游C ．爱我中华D ．美我中华7．下列各式分解因式错误的是( )A ．(x －y)2－x ＋y ＋14＝(x －y －12)2 B ．4(m －n)2－12m(m －n)＋9m 2＝(m ＋2n)2C ．(a ＋b)2－4(a ＋b)(a －c)＋4(a －c)2＝(b ＋2c －a)2D ．16x 4－8x 2(y －z)＋(y －z)2＝(4x 2－y －z)28．已知a 2＋b 2＋2a －4b ＋5＝0，则( )A ．a ＝1，b ＝2B ．a ＝－1，b ＝2C ．a ＝1，b ＝－2D ．a ＝－1，b ＝－29．如果257＋513能被n 整除，则n 的值可能是( )A ．20B ．30C ．35D ．4010．要在二次三项式x 2＋( )x －6的括号中填上一个整数，使它能按公式x 2＋(a ＋b)x ＋ab ＝(x ＋a)(x ＋b)分解因式，那么这些数只能是( )A ．1，－1B ．5，－5C ．1，－1，5，－5D ．以上答案都不对第Ⅱ卷（非选择题）二．填空题（共6小题，3*8=24）11．多项式a(a －b －c)＋b(c －a ＋b)＋c(b ＋c －a)提出公因式a －b －c 后，另外一个因式为________．12．已知m ＋n ＝4，mn ＝5，则多项式m 3n 2＋m 2n 3的值是________．13．分解因式：x 2＋2x(x －3)－9＝________；－3x 2＋2x －13＝________． 14．若a －b ＝1，则代数式a 2－b 2－2b 的值为________．15．若x 2－4y 2＝－32，x ＋2y ＝4，则y x ＝________．16．如图，现有边长为a 的正方形1个，边长为b 的正方形3个，边长为a ，b(a>b)的长方形4个，把它们拼成一个大长方形，请利用这个拼图中图形的面积关系分解因式：a 2＋4ab ＋3b 2＝________．17．观察下列等式：32－12＝8×1；52－32＝8×2；72－52＝8×3；…，请用含正整数n 的等式表示你所发现的规律：________．18．已知a ＝12＋32＋52＋…＋252，b ＝22＋42＋62＋…＋242，则a －b 的值为________．三．解答题（共7小题，66分）19．(18分)分解因式：(1)m3＋6m2＋9m; (2)a2b－10ab＋25b；(3)4x2－(y－2)2; (4)9x2－8y(3x－2y)；(5)m2－n2＋(2m－2n); (6)(x2－5)2＋8(5－x2)＋16.20．(6分)已知a＋b＝3，ab＝2，求代数式a3b＋2a2b2＋ab3的值．21．(8分)已知x2＋y2＋6x＋4y＝－13，求y x的值．22.(8分)已知a，b，c是三角形ABC的三边的长，且满足a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0，试判断此三角形三边的大小关系．23．(8分)已知P＝2x2＋4y＋13，Q＝x2－y2＋6x－1，比较代数式P，Q的大小．24．(8分) 如图，将边长为1，2，3，…，2019，2020的正方形叠放在一起，请计算图中阴影部分的面积．25．(10分)如图，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小长方形，且m>n.(以上长度单位：cm)(1)观察图形，可以发现代数式2m2＋5mn＋2n2可以因式分解为_______________；(2)若每块小长方形的面积为10 cm2，四个正方形的面积和为58 cm2，试求图中所有裁剪线(虚线部分)长之和.参考答案1-5 DCDBC 6-10 CDBBC11. a －b －c12. 10013. 3(x ＋1)(x －3)，－13(3x －1)2 14. 115. 1916. (a ＋3b)(a ＋b)17. (2n ＋1)2－(2n －1)2＝8n18. 32519. 解：(1)原式＝m(m ＋3)2(2)原式＝b(a －5)2(3)原式＝(2x ＋y －2)(2x －y ＋2)(4)原式＝(3x －4y)2(5)原式＝(m －n)(m ＋n ＋2)(6)原式＝(x ＋3)2(x －3)220. 解：a 3b ＋2a 2b 2＋ab 3＝ab(a ＋b)2，将a ＋b ＝3，ab ＝2代入得ab(a ＋b)2＝2×32＝1821. 解：由已知得(x 2＋6x ＋9)＋(y 2＋4y ＋4)＝0，(x ＋3)2＋(y ＋2)2＝0，∴x ＝－3，y ＝－2，∴y x ＝(－2)－3＝－1822. 解：(a 2－2ab ＋b 2)＋(b 2－2bc ＋c 2)＝0，(a －b)2＋(b －c)2＝0，∴a －b ＝0且b －c ＝0，∴a ＝b 且b ＝c ，∴a ＝b ＝c23. 解：P －Q ＝(2x 2＋4y ＋13)－(x 2－y 2＋6x －1)＝x 2－6x ＋y 2＋4y ＋14＝x 2－6x ＋9＋y 2＋4y ＋4＋1＝(x －3)2＋(y ＋2)2＋1.∵(x －3)2≥0，(y －2)2≥0，∴P －Q ＝(x －3)2＋(y ＋2)2＋1≥1，∴P>Q24. 解：S 阴影＝22－12＋42－32＋...＋20202－20192＝(2＋1)(2－1)＋(4＋3)(4－3)＋ (2020)2019)(2020－2019)＝1＋2＋3＋4＋…＋2019＋2020＝12(1＋2020)×2020＝2041210 25. 解：（1）(m ＋2n)(2m ＋n)(2)依题意得，2m 2＋2n 2＝58，mn ＝10，∴m 2＋n 2＝29，∵(m ＋n)2＝m 2＋2mn ＋n 2，∴(m ＋n)2＝29＋20＝49，∵m ＋n>0，∴m ＋n ＝7，裁剪线长为2(2m ＋n)＋2(m ＋2n)＝6m ＋6n＝42，∴图中所有裁剪线(虚线部分)长之和为42 cm。
第4章因式分解．第Ⅰ卷(选择题共30分)一、选择题(本题有10小题，每小题3分，共30分)1．下列等式从左到右的变形是因式分解的是( )A．6a3b＝3a2·2abB．(x＋2)(x－2)＝x2－4C．2x2＋4x－3＝2x(x＋2)－3D．ax－ay＝a(x－y)2．下列各多项式中，能用公式法分解因式的是( )A．a2－b2＋2ab B．a2＋b2＋abC．4a2＋12a＋9 D．25n2＋15n＋93．计算101×1022－101×982的结果是( )A．404 B．808C．40400 D．808004．下列因式分解正确的是( )A．2x2－2＝2(x＋1)(x－1)B．x2＋2x－1＝(x－1)2C．x2＋1＝(x＋1)2D．x2－x＋2＝x(x－1)＋25．把多项式m2(a－2)＋m(2－a)分解因式，结果正确的是( )A．m(a－2)(m＋1) B．m(a－2)(m－1)C．m(2－a)(m－1) D．m(2－a)(m＋1)6．把x2＋3x＋c分解因式得x2＋3x＋c＝(x＋1)(x＋2)，则c的值为( )A．2 B．3C．－2 D．－37．若多项式x2＋mx＋9能用完全平方公式分解因式，则m的值为( )A．3 B．±3C．±6 D．68．小明在抄分解因式的题目时，不小心漏抄了二项式x2－□y2(“□”表示漏抄的式子)中y2前的式子，且该二项式能分解因式，那么他漏抄在作业本上的式子不可能是下列中的( )A．x B．4C．－4 D．99．下列关于2300＋(－2)301的计算结果正确的是( )A．2300＋(－2)301＝(－2)300＋(－2)301＝(－2)601B．2300＋(－2)301＝2300－2301＝2－1C．2300＋(－2)301＝2300－2301＝2300－2×2300＝－2300D．2300＋(－2)301＝2300＋2301＝260110．如果x2＋x－1＝0，那么代数式x3＋2x2－7的值为( )A．6 B．8C．－6 D．－8第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)二、填空题(本题有6小题，每小题4分，共24分)11．分解因式：x 2＋6x ＝________．12．分解因式：3x 2－18x ＋27＝____________.13．填空：x 2－x ＋____________＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122； 14x 4＋() ＋49y 2＝()2.14．一个长方形的面积是(x 2－9)平方米，其长为(x ＋3)米，用含有x 的整式表示它的宽为________米．15．若多项式x 2－mx ＋n(m ，n 是常数)分解因式后，其中一个因式是x －3，则3m －n 的值为________．16．利用1个a ×a 的正方形，1个b ×b 的正方形和2个a ×b 的长方形可拼成一个正方形(如图1所示)，从而可得到的因式分解的公式为__________________________．图1三、解答题(本题有8小题，共66分) 17．(8分)分解因式：(1)a 2－6a ＋9； (2)9a 2＋12ab ＋4b 2；(3)(y ＋2x)2－(x ＋2y)2；(4)(x ＋y)2＋2(x ＋y)＋1.18．(6分)用简便方法计算：1.42×16－2.22×4.19．(6分)已知a －2b ＝12，ab ＝2，求－a 4b 2＋4a 3b 3－4a 2b 4的值．20．(8分)分解因式x 2＋ax ＋b 时，甲看错a 的值，分解的结果是(x ＋6)(x －1)，乙看错b 的值，分解的结果是(x －2)(x ＋1)，求a ＋b 的值．21．(8分)如图2，在边长为a 厘米的正方形的四个角各剪去一个边长为b 厘米的小正方形．(1)用代数式表示剩余部分的面积；(2)当a ＝8.68，b ＝0.66时，求剩余部分的面积．图222．(10分)已知x3＋y3＝(x＋y)(x2－xy＋y2)称为立方和公式，x3－y3＝(x－y)(x2＋xy ＋y2)称为立方差公式，据此，试将下列各式分解因式：(1)a3＋8；(2)27a3－1.23．(10分)由多项式的乘法：(x＋a)(x＋b)＝x2＋(a＋b)x＋ab，将该式从右到左使用，即可得到用“十字相乘法”进行因式分解的公式：x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)．实例分解因式：x2＋5x＋6＝x2＋(2＋3)x＋2×3＝(x＋2)(x＋3)．(1)尝试分解因式：x2＋6x＋8＝(x＋________)(x＋________)；(2)应用请用上述方法解方程：x2－3x－4＝0.24．(10分)设a1＝32－12，a2＝52－32，…，a n＝(2n＋1)2－(2n－1)2 (n为大于0的自然数)．(1) 探究a n是不是8的倍数，并用文字语言表述你所获得的结论；(2) 若一个数的算术平方根是一个自然数，则称这个数是“完全平方数”．试找出a1，a2，…，a n，…这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数，并指出当n满足什么条件时，a n是完全平方数(不必说明理由)．详解详析1．D 2.C 3.D 4.A 5.B 6.A 7．C 8.C 9.C 10.C 11．x (x ＋6) 12.3(x －3)213.14 ±23x 2y 12x 2±23y14．(x －3)15．[答案] 9[解析] 设另一个因式为x ＋a ，则(x ＋a )(x －3)＝x 2＋(－3＋a )x －3a ， ∴－m ＝－3＋a ，n ＝－3a ， ∴m ＝3－a ，∴3m －n ＝3(3－a )－(－3a )＝9－3a ＋3a ＝9. 故答案为9.16．a 2＋2ab ＋b 2＝(a ＋b )217．解：(1)a 2－6a ＋9＝(a －3)2.(2)9a 2＋12ab ＋4b 2＝(3a ＋2b )2.(3)(y ＋2x )2－(x ＋2y )2＝[(y ＋2x )＋(x ＋2y )][(y ＋2x )－(x ＋2y )]＝(3x ＋3y )(x －y )＝3(x ＋ y )(x －y )．(4)原式＝(x ＋y ＋1)2.18．解：1.42×16－2.22×4＝1.42×42－2.22×22＝(1.4×4)2－(2.2×2)2＝5.62－4.42＝ (5.6＋4.4)×(5.6－4.4)＝10×1.2＝12.19．∵a －2b ＝12，ab ＝2，∴－a 4b 2＋4a 3b 3－4a 2b 4＝－a 2b 2(a 2－4ab ＋4b 2)＝－a 2b 2(a －2b )2＝－22(12)2＝－1.20．解：甲分解因式得x 2＋ax ＋b ＝(x ＋6)(x －1)＝x 2＋5x －6，由于甲看错a 的值， ∴b ＝－6.乙分解因式得x 2＋ax ＋b ＝(x －2)(x ＋1)＝x 2－x －2，由于乙看错b 的值，∴a ＝－1. ∴a ＋b ＝－7.21．解：(1)剩余部分的面积为(a 2－4b 2)平方厘米．(2)a 2－4b 2＝(a ＋2b )(a －2b )＝(8.68＋2×0.66)×(8.68－2×0.66)＝10×7.36＝73.6(厘米2)．答：当a ＝8.68，b ＝0.66时，剩余部分的面积为73.6平方厘米．22．解：(1)a 3＋8＝(a ＋2)(a 2－2a ＋4)．(2)27a 3－1＝(3a －1)(9a 2＋3a ＋1)． 23．解：(1)2 4(2)x 2－3x －4＝(x －4)(x ＋1)＝0，所以x －4＝0或x ＋1＝0，即x ＝4或x ＝－1.24．解：(1)∵a n ＝(2n ＋1)2－(2n －1)2＝[(2n ＋1)＋(2n －1)][(2n ＋1)－(2n －1)]＝(2n ＋ 1＋2n －1)(2n ＋1－2n ＋1)＝8n .∵n 为大于0的自然数，∴a n 是8的倍数，这个结论用语言表述为：两个连续奇数的平方差是8的倍数．(2)a 2＝16，a 8＝64，a 18＝144，a 32＝256.当n 为一个完全平方数的2倍时，a n 是完全平方数．。
浙教版七年级数学下册第四章因式分解单元检测卷第Ⅰ卷（选择题）一．选择题（共10小题，3*10=30）1．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为()A．x(a－b)＝ax－bx B．x2－1x2＝(x＋1x)(x－1x)C．x2－4x＋4＝(x－2)2D．ax＋bx＋c＝x(a＋b)＋c2．多项式mx2－m与多项式x2－2x＋1的公因式是() A．x－1 B．x＋1 C．x2－1 D．(x－1)23．下列各式中，不能分解因式的是()A．4x2＋2xy＋14y2B．4x2－2xy＋14y2C．4x2－14y2D．－4x2－14y24．将下列多项式因式分解，结果中不含有因式a＋1的是() A．a2－1 B．a2＋aC．a2＋a－2 D．(a＋2)2－2(a＋2)＋15．下列各式分解因式错误的是()A．(x－y)2－x＋y＋14＝(x－y－12)2B．4(m－n)2－12m(m－n)＋9m2＝(m＋2n)2C．(a＋b)2－4(a＋b)(a－c)＋4(a－c)2＝(b＋2c－a)2D．16x4－8x2(y－z)＋(y－z)2＝(4x2－y－z)26．小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：a－b，x－y，x＋y，a＋b，x2－y2，a2－b2分别对应下列六个字：华、爱、我、中、游、美，现将(x2－y2)a2－(x2－y2)b2因式分解，结果呈现的密码信息可能是()A．我爱美B．中华游C．爱我中华D．美我中华7．若4x2－2(k－1)x＋9是完全平方式，则k的值为()A ．±2B ．±5C ．7或－5D ．－7或58．若x 2＋12mx ＋k 是完全平方式，则k 的值是( ) A ．m 2 B.14m 2 C.116m 2 D.13m 2 9．已知a 2＋b 2＋2a －4b ＋5＝0，则( )A ．a ＝1，b ＝2B ．a ＝－1，b ＝2C ．a ＝1，b ＝－2D ．a ＝－1，b ＝－210．已知M ＝9x 2－4x ＋3，N ＝5x 2＋4x －2，则M 与N 的大小关系是( )A ．M>NB ．M ＝NC ．M<ND ．不能确定第Ⅱ卷（非选择题）二．填空题（共6小题，3*6=18）11．分解因式：x 2＋2x(x －3)－9＝____；－3x 2＋2x －13＝____． 12．如图，现有边长为a 的正方形1个，边长为b 的正方形3个，边长为a ，b(a>b)的长方形4个，把它们拼成一个大长方形，请利用这个拼图中图形的面积关系分解因式：a 2＋4ab ＋3b 2＝____．13．观察下列等式：32－12＝8×1；52－32＝8×2；72－52＝8×3；…，请用含正整数n 的等式表示你所发现的规律：___．14．若a －b ＝1，则代数式a 2－b 2－2b 的值为____．若m ＋n ＝4，mn ＝5，则多项式m 3n 2＋m 2n 3的值是____．15．若x 2－4y 2＝－32，x ＋2y ＝4，则y x ＝___．16．已知a ＝12＋32＋52＋…＋252，b ＝22＋42＋62＋…＋242，则a －b 的值为____三．解答题（共7小题，52分）17. (6分) 17．(18分)分解因式：(1)m3＋6m2＋9m. (2)a2b－10ab＋25b.(3)4x2－(y－2)2. (4)9x2－8y(3x－2y)．(5)m2－n2＋(2m－2n). (6)(x2－5)2＋8(5－x2)＋16.18．(6分)已知P＝2x2＋4y＋13，Q＝x2－y2＋6x－1，比较代数式P，Q的大小．19．(6分)已知a，b，c是三角形ABC的三边的长，且满足a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0，试判断此三角形三边的大小关系．20．(8分)如图，将边长为1，2，3，…，2019，2020的正方形叠放在一起，请计算图中阴影部分的面积．21．(6分)已知a＋b＝3，ab＝2，求代数式a3b＋2a2b2＋ab3的值．22．(8分)已知x2＋y2＋6x＋4y＝－13，求y x的值．23．(8分) 如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如：4＝22－02，12＝42－22，20＝62－42，因此4，12，20这三个数都是神秘数．(1)28和2 012这两个数是神秘数吗？为什么？(2)设两个连续偶数为2k＋2和2k(其中k取非负整数)，由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？(3)两个连续奇数的平方差(取正数)是神秘数吗？为什么？参考答案1-5 CADCD 6-10 CCCBA11. 3(x ＋1)(x －3)，－13(3x －1)2 12. (a ＋3b)(a ＋b)13. (2n ＋1)2－(2n －1)2＝8n_14. 1，10015. 19_ 16. 32517. 解：(1)原式＝m(m ＋3)2(2)原式＝b(a －5)2(3)原式＝(2x ＋y －2)(2x －y ＋2)(4)原式＝(3x －4y)2(5)原式＝(m －n)(m ＋n ＋2)(6)原式＝(x ＋3)2(x －3)218. 解：P －Q ＝(2x 2＋4y ＋13)－(x 2－y 2＋6x －1)＝x 2－6x ＋y 2＋4y ＋14＝x 2－6x ＋9＋y 2＋4y ＋4＋1＝(x －3)2＋(y ＋2)2＋1.∵(x －3)2≥0，(y －2)2≥0，∴P －Q ＝(x －3)2＋(y ＋2)2＋1≥1，∴P>Q19. 解：(a 2－2ab ＋b 2)＋(b 2－2bc ＋c 2)＝0，(a －b)2＋(b －c)2＝0，∴a －b ＝0且b －c ＝0，∴a ＝b 且b ＝c ，∴a ＝b ＝c20. 解：S 阴影＝22－12＋42－32＋...＋20202－20192＝(2＋1)(2－1)＋(4＋3)(4－3)＋ (2020)2019)(2020－2019)＝1＋2＋3＋4＋…＋2019＋2020＝12(1＋2020)×2020＝2041210 21. 解：a 3b ＋2a 2b 2＋ab 3＝ab(a ＋b)2，将a ＋b ＝3，ab ＝2代入得ab(a ＋b)2＝2×32＝1822. 解：由已知得(x 2＋6x ＋9)＋(y 2＋4y ＋4)＝0，(x ＋3)2＋(y ＋2)2＝0，∴x ＝－3，y ＝－2，∴y x ＝(－2)－3＝－1823. 解：(1)28和2012都是神秘数，因为28＝82－62，2012＝5042－5022 (2)∵(2k ＋2)2－(2k)2＝4(2k ＋1)，∴由2k ＋2和2k 构造的神秘数是4的倍数(3)设两个连续奇数为2k ＋1和2k －1，则(2k ＋1)2－(2k －1)2＝8k ，∴两个连续奇数的平方差不是神秘数．。
浙教版数学七年级下册第4章单元检测一、选择题1．下列等式从左边到右边的变形中，属于因式分解的是(D)A．(x＋1)(x－1)＝x2－1 B．x2－4x＋4＝x(x－4)＋4C．(x＋3)(x－4)＝x2－x－12 D．x2－4＝(x＋2)(x－2)2．把多项式9a2x2－18a4x3分解因式，应提取的公因式为(B)A．9ax B．9a2x2C．a2x2D．a3x23．已知把一个多项式分解因式，得到的结果为(x＋1)(x－3)，则这个多项式为(C)A．x2＋3x－2 B．x2＋2x－3C．x2－2x－3 D．x2－3x＋24．下列因式分解中，正确的是(D)A．3p2－3q2＝(3p＋3q)(p－q) B．m4－1＝(m2＋1)(m2－1)C．2p＋2q＋1＝2(p＋q)＋1 D．m2－4m＋4＝(m－2)25．利用因式分解计算2 0212＋2 021－2 0222的结果是(D)A．2 021 B．－2 021C．2 022 D．－2 0226．已知长为a，宽为b的长方形，它的周长为10，面积为5.则a2b＋ab2的值为(A) A．25 B．50C．75 D．100【解析】由题意，知ab＝5，2(a＋b)＝10，∴a＋b＝5，∴a2b＋ab2＝ab(a＋b)＝25.7．若4x2＋kx＋25＝(2x＋a)2，则k＋a的值可以为(A)A．－25 B．－15C．15 D．20【解析】4x2＋kx＋25＝(2x＋a)2，当a＝5时，k＝20；当a＝－5时，k＝－20，故k＋a的值为±25.8．设n是任意正整数，代入式子n3－n中计算时，四名同学算出以下四个结果，其中正确的结果可能是(B)A．388 947 B．388 944C．388 953 D．388 949【解析】n3－n＝n(n2－1)＝n(n＋1)(n－1)，是3个连续整数的积，易知积为偶数，故选B. 9．小南是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：x－1，a－b，3，x2＋1，a，x＋1分别对应下列六个字：思，爱，我，数，学，考，现将3a(x2－1)－3b(x2－1)分解因式，结果呈现的密码信息可能是(C)A．我爱学B．爱思考C．我爱思考D．数学思考【解析】3a(x2－1)－3b(x2－1)＝3(x2－1)(a－b)＝3(x＋1)(x－1)(a－b)．∵x－1，a－b，3，x＋1分别对应思，爱，我，考，∴3(x＋1)(x－1)(a－b)对应的信息可能是我爱思考．10．已知m2＝3n＋a，n2＝3m＋a，m≠n，则m2＋2mn＋n2的值为(A)A．9 B．6C．4 D．无法确定【解析】∵m2＝3n＋a，n2＝3m＋a，∴m2－n2＝3n－3m，∴(m＋n)(m－n)＋3(m－n)＝0，∴(m－n)(m＋n＋3)＝0.∵m≠n，∴m＋n＋3＝0，∴m＋n＝－3，∴m2＋2mn＋n2＝(m＋n)2＝(－3)2＝9.二、填空题11．分解因式：－2a2＋8ab－8b2＝__－2(a－2b)2__.12．如果多项式2x＋m可以分解为2(x＋2)，那么m的值为__4__.13．如果25x2＋mx＋9是完全平方式，那么m的值为__±30__.14．若a与2b互为相反数，则a2＋4ab＋4b2＝__0__.【解析】∵a与2b互为相反数，∴a＋2b＝0，∴a2＋4ab＋4b2＝(a＋2b)2＝0.15．计算：53.52×4－46.52×4＝__2__800__.【解析】53.52×4－46.52×4＝4×(53.52－46.52)＝4×(53.5＋46.5)×(53.5－46.5)＝4×100×7＝2 800.16．若m＋n＝2，mn＝1，则m3n＋mn3＋2m2n2＝__4__.【解析】∵m＋n＝2，mn＝1，∴m3n＋mn3＋2m2n2＝mn(m2＋2mn＋n2)＝mn(m＋n)2＝1×22＝4.三、解答题17．分解因式：(1)x2＋14x＋49.解：原式＝(x＋7)2.(2)(x－1)2＋2(x－5)．解：原式＝x2－2x＋1＋2x－10＝x2－9＝(x＋3)(x－3)．18．利用因式分解计算：(1)1 200÷(1522－1482)．解：原式＝1 200（152＋148）（152－148）＝1 200 300×4＝1.(2)98.52－2×98.5×78.5＋78.52.解：原式＝(98.5－78.5)2＝400.19．分解因式：(1)x2(y－2)－x(2－y)．解：原式＝x2(y－2)＋x(y－2)＝x(y－2)(x＋1)．(2)(4a2＋b2)2－16a2b2.解：原式＝(4a2＋b2＋4ab)(4a2＋b2－4ab)＝(2a＋b)2(2a－b)2.20.已知a＋b＝4，ab＝－2，求a3＋a2b＋ab2＋b3的值．解：原式＝a2(a＋b)＋b2(a＋b)＝(a＋b)(a2＋b2)＝(a＋b)[(a＋b)2－2ab]＝4×[16－2×(－2)]＝80.21．“换元”是重要的数学思想，它可以使一些复杂的问题得到简化．例如：分解因式：(x2＋2x－2)(x2＋2x)－3.解：(x2＋2x－2)(x2＋2x)－3＝(x2＋2x)2－2(x2＋2x)－3＝(x2＋2x－3)(x2＋2x＋1)＝(x＋3)(x－1)(x＋1)2.这里就是把x2＋2x当成一个量，那么式子(x2＋2x)2－2(x2＋2x)－3可以看成是一个关于x2＋2x 的二次多项式，就容易分解．(1)请模仿上面的方法分解因式：x(x－4)(x－2)2－45.(2)在(1)中，若x2－4x－6＝0，求上式的值．解：(1)x(x－4)(x－2)2－45＝(x2－4x)(x2－4x＋4)－45＝(x2－4x)2＋4(x2－4x)－45＝(x2－4x＋9)(x2－4x－5)＝(x2－4x＋9)(x－5)(x＋1)．(2)当x2－4x－6＝0，即x2－4x＝6时，原式＝(x2－4x＋9)(x2－4x－5)＝(6＋9)×(6－5)＝15.22．因为x2＋2x－3＝(x＋3)(x－1)，这说明多项式x2＋2x－3有一个因式为x－1，我们把x＝1代入此多项式发现x＝1能使多项式x2＋2x－3的值为0.利用上述阅读材料求解：(1)若x－3是多项式x2＋kx＋12的一个因式，求k的值．(2)若x－3和x－4是多项式x3＋mx2＋12x＋n的两个因式，试求m，n的值．(3)在(2)的条件下，把多项式x3＋mx2＋12x＋n分解因式．解：(1)∵x －3是多项式x 2＋kx ＋12的一个因式，∴x ＝3时，x 2＋kx ＋12＝0，∴9＋3k ＋12＝0，∴3k ＝－21，∴k ＝－7.(2)∵x －3和x －4是多项式x 3＋mx 2＋12x ＋n 的两个因式， ∴x ＝3和x ＝4时，x 3＋mx 2＋12x ＋n ＝0，∴⎩⎨⎧27＋9m ＋36＋n ＝0，64＋16m ＋48＋n ＝0，解得⎩⎨⎧m ＝－7，n ＝0.∴m ，n 的值分别为－7和0.(3)∵m ＝－7，n ＝0，∴x 3＋mx 2＋12x ＋n ＝x 3－7x 2＋12x ，∴x 3－7x 2＋12x ＝x (x 2－7x ＋12)＝x (x －3)(x －4)．23.观察下列代数式的因式分解过程：①x 2－1＝(x －1)(x ＋1)．②x 3－1＝x 3－x ＋x －1＝x (x 2－1)＋(x －1)＝x (x －1)(x ＋1)＋(x －1)＝(x －1)[x (x ＋1)＋1]＝(x －1)(x 2＋x ＋1)．③x 4－1＝x 4－x ＋x －1＝x (x 3－1)＋(x －1)＝x (x －1)(x 2＋x ＋1)＋(x －1)＝(x －1)[x (x 2＋x ＋1)＋1]＝(x －1)(x 3＋x 2＋x ＋1)．……(1)模仿以上做法，尝试对x 5－1进行因式分解．(2)观察以上结果，猜想x n －1＝__(x －1)(x n －1＋x n －2＋…＋x ＋1)__(n 为大于等于2的正整数，直接写出结果，不用验证)．(3)根据以上结论，计算：45＋44＋43＋42＋4＋1.解：(1)x 5－1＝x 5－x ＋x －1＝x (x 4－1)＋(x －1)＝x(x－1)(x3＋x2＋x＋1)＋(x－1)＝(x－1)[x(x3＋x2＋x＋1)＋1]＝(x－1)(x4＋x3＋x2＋x＋1)．(3)取x＝4，n＝6，可得(4－1)(45＋44＋43＋42＋4＋1)＝46－1，∴45＋44＋43＋42＋4＋1＝46－13＝4 0953＝1 365.。
第四章 因式分解单元练习一．选择题1.下列各组的两项不是同类项的是（ ） A 、2ax 2 与 3x 2 B 、－1 和 3C 、2x 2 和－2xD 、8x 和－8x 2.多项式 x 2－5x －6 因式分解所得结果是（ ） A 、(x ＋6) (x －1)B 、(x －6) (x ＋1)C 、(x －2) (x ＋3)D 、(x ＋2) (x －3)3.若(a ＋b )2＝49，ab ＝6，则 a －b 的值为（ ） A 、－5 B 、±5C 、5D 、±44.把x 2y ﹣2y 2x +y 3分解因式正确的是（ ）)2(.22y xy x y A +- )2(.22y x y y x B -- 2)(.y x y C - 2)(.y x y D +5.下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（ ） A ．bx ax b a x -=-)( B ．222)1)(1(1y x x y x ++-=+- C ．)1)(1(12-+=-x x xD ．c b a x c bx ax ++=++)(6.下列各式，分解因式正确的是（ ）A.222)(b a b a +=+B.)(z y x x xz xy +=++C.)11(332+=+xx x x D.222)(2b a b ab a -=+- 7.因式分解()219x --的结果是( ) A ．()()24x x +-B ．()()81x x ++C ．()()24x x -+D ．()()108x x -+8．分解因式a 3－4a 的结果是( )A ．a (a 2－4)B ．a (a －2)2C ．a (a ＋2)(a －2)D ．(a 2＋2a )(a －2) 9.把代数式 3x 3－6x 2y ＋3xy 2分解因式，结果正确的是( )A ．x (3x ＋y )(x －3y )B ．3x (x 2－2xy ＋y 2)C ．x (3x －y )2D ．3x (x －y )2 10．已知x 、y 满足等式2x ＋x 2＋x 2y 2＋2＝－2xy ，那么x ＋y 的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．2 D ．1 二．填空题11．若m 2－n 2＝6且m －n ＝3，则m ＋n ＝__________. 12.若 4x 2＋kx ＋1 是完全平方式，则 k ＝＿＿＿＿yy y y13.若a ＝2，a ＋b ＝3，则a 2＋ab ＝________ 14.分解因式：x 2－y 2－3x －3y ＝__________15.多项式x 2+mx +5因式分解得（x +5）（x +n ），则m = ，n = 16.若m 2﹣n 2=6，且m ﹣n =2，则m +n = 17.已知a +b =2，ab =1，则a 2b +ab 2的值为18.已知（2x ﹣21）（3x ﹣7）﹣（3x ﹣7）（x ﹣13）可分解因式为（3x +a ）（x +b ），其中a 、b 均为整数，则a +3b =19.若 , ),4)(3(2==-+=++b a x x b ax x 则 20.因式分解：()=+++pq x q p x 2_______________三．解答题21.将下列各式进行因式分解：（1）－a ＋2a 2－a 3 （2）x 3－4x（3）a 4－2a 2b 2＋b 4 （4）(x ＋1)2＋2(x ＋1)＋1()127.52+-x x ()2224273.6my mxy mx ++()ny nx my mx -+-33.7 ()2233)33(.8y xy x ++-22. 如图所示，边长为,a b 的矩形，它的周长为14，面积为10，求22a b ab +的值．b a()()xx x x x x 12;11.013.23222-+=++求已知24.计算下列各式： （1）2222211111(1)(1)(1)(1)(1)234910-----．()⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+16842211211211211211.225．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，且满足224224c a b c b a +=+，试判断△ABC 的 形状.阅读下面解题过程：解：由224224c a b c b a +=+得：222244c b c a b a -=- ①()()()2222222b ac b a b a-=-+ ②即222c b a =+ ③∴△ABC 为Rt △。
初中数学七年级下册第四章因式分解章节训练（2021-2022学年 考试时间：90分钟，总分100分）班级：__________ 姓名：__________ 总分：__________一、单选题（15小题，每小题3分，共计45分）1、下列多项式中有因式x ﹣1的是（ ）①x 2+x ﹣2；②x 2+3x +2；③x 2﹣x ﹣2；④x 2﹣3x +2A.①②B.②③C.②④D.①④ 2、下面的多项式中，能因式分解的是（ ）A.2m ﹣2B.m 2+n 2C.m 2﹣nD.m 2﹣n +1 3、对于任何整数a ，多项式()2255a +-都能（ ）A.被3整除B.被4整除C.被5整除D.被a 整除4、多项式(2)(22)(2)x x x +--+可以因式分解成()(2)x m x n ++，则m n -的值是（ ）A.-1B.1C.-5D.55、已知222(3)x ax b x -+=-，则22b a - 的值是（ ）A.72-B.45-C.45D.726、下列各式中，正确的因式分解是（ ）A.2222()()a b ab c a b c a b c -+-=+---B.2()()()(1)x y x y x y x y ----=---+C.2()3()(23)()a b a b a a a b -+-=+-D.222422(222)(1)x x y x y x y ++-=+++-7、下列因式分解正确的是（ ）A.x 2＋9＝(x ＋3)(x ﹣3)B.x 2＋x ﹣6＝（x ﹣2）（x ＋3） C.3x ﹣6y ＋3＝3（x ﹣2y ） D.x 2＋2x ﹣1＝(x ﹣1)2 8、下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）A.a 2﹣b 2＝（a ＋b ）（a ﹣b ）B.a （x ﹣y ）＝ax ﹣ayC.x 2＋2x ＋1＝x （x ＋2）＋1D.（x ＋1）（x ＋3）＝x 2＋4x ＋3 9、下列各式从左到右的变形中，为因式分解的是（ ）A.x （a ﹣b ）＝ax ﹣bxB.x 2﹣1+y 2＝（x ﹣1）（x +1）+y 2C.ax +bx +c ＝x （a +b ）+cD.y 2﹣1＝（y +1）（y ﹣1）10、已知3ab =-，2a b +=，则22a b ab +的值是（ ）A.6B.﹣6C.1D.﹣1 11、把多项式﹣x 2+mx +35进行因式分解为﹣（x ﹣5）（x +7），则m 的值是（ ）A.2B.﹣2C.12D.﹣12 12、下列各式中与b 2﹣a 2相等的是（ ）A.（b ﹣a ）2B.（﹣a +b ）（a ﹣b ）C.（﹣a +b ）（a +b ）D.（a +b ）（a ﹣b ）13、已知c ＜a ＜b ＜0，若M ＝|a （a ﹣c ）|，N ＝|b （a ﹣c ）|，则M 与N 的大小关系是（ ）A.M ＜NB.M ＝NC.M ＞ND.不能确定14、已知下列多项式：①22484x xy y +-；②222x xy y -+-；③2244xy x y ++；④2414x x --.其中，能用完全平方公式进行因式分解的有（ ）A.①②③④B.①②③C.①②④D.②③④15、下列四个式子从左到右的变形是因式分解的为（ ）A.（x ﹣y ）（﹣x ﹣y ）＝y 2﹣x 2B.a 2+2ab +b 2﹣1＝（a +b ）2﹣1C.x 4﹣81y 4＝（x 2+9y 2）（x +3y ）（x ﹣3y ）D.（a 2+2a ）2﹣8（a 2+2a ）+12＝（a 2+2a ）（a 2+2a ﹣8）+12二、填空题（10小题，每小题4分，共计40分）1、若mn ＝3，m ﹣n ＝7，则m 2n ﹣mn 2＝___．2、分解因式：3mn 2﹣12m 2n ＝___．3、因式分解：m 2+2m ＝_________．4、若代数式x 2﹣a 在有理数范围内可以因式分解，则整数a 的值可以为__．（写出一个即可）5、将24a -分解因式________6、分解因式：3a （x ﹣y ）＋2b （y ﹣x ）＝___．7、分解因式：x 4﹣1＝__________________．8、多项式253x xy x -+的公因式是_____________________．9、如果两个多项式有公因式，则称这两个多项式为关联多项式，若x 2﹣25与（x ＋b ）2为关联多项式，则b ＝___；若（x ＋1）（x ＋2）与A 为关联多项式，且A 为一次多项式，当A ＋x 2﹣6x ＋2不含常数项时，则A 为____．10、如果9x y +=，3x y -=，那么222x 2y -的值为______．三、解答题（3小题，每小题5分，共计15分）1、（1）计算与化简：①21132-⎛⎫- ⎝-⎪⎭+- ②()()()2313131t t t +--+（2）因式分解：①32232a b a b ab -+②()()224n m b m n a -+- （3）先化简，再求值：()()222483x y x x y y y ⎡⎤---+÷⎣⎦，其中3x =，1y =-． 2、分解因式：18a 3b +14a 2b ﹣2abc ．3、因式分解：32288a b a b ab -+．---------参考答案-----------一、单选题1、D【分析】根据十字相乘法把各个多项式因式分解即可判断.【详解】解：①x 2+x ﹣2＝()()21x x +-； ②x 2+3x +2＝()()21x x ++； ③x 2﹣x ﹣2＝()()12x x +-； ④x 2﹣3x +2＝()()21x x --.∴有因式x ﹣1的是①④.故选：D.【点睛】本题考查了十字相乘法因式分解，对于形如2x px q ++的二次三项式，若能找到两数a b 、，使a b q ⋅=，且a b p +=，那么2x px q ++就可以进行如下的因式分解，即()()()22x px q x a b x ab x a x b ++=+++=++.2、A【分析】分别根据提公因式法因式分解以及乘法公式逐一判断即可.【详解】解：A 、2m ﹣2＝2（m ﹣1），故本选项符合题意；B 、m 2+n 2，不能因式分解，故本选项不合题意；C 、m 2﹣n ，不能因式分解，故本选项不合题意；D 、m 2﹣n +1，不能因式分解，故本选项不合题意；故选A.【点睛】本题主要考查了因式分解，解题的关键在于能够熟练掌握因式分解的方法.3、B【分析】多项式利用完全平方公式分解，即可做出判断.【详解】解：原式()22420255455a a a a =++-=++则对于任何整数a ，多项式()2255a +-都能被4整除.故选：B.【点睛】此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.4、D【分析】先提公因式()2x +，然后将原多项式因式分解，可求出m 和 n 的值，即可计算求得答案.【详解】解：∵()()()()()()()22222221223x x x x x x x +--+=+--=+-，∴2m =，3n =-，∴()235m n -=--=.故选：D .【点睛】本题考查了提公因式法分解因式，准确找到公因式是解题的关键.5、D【分析】直接利用完全平方公式：a 2±2ab +b 2＝（a ±b ）2，得出a ，b 的值，进而得出答案.【详解】解：∵x 2﹣2ax +b ＝（x ﹣3）2＝x 2﹣6x +9，∴﹣2a ＝﹣6，b ＝9，解得：a ＝3，故b 2﹣a 2＝92﹣32＝72.故选：D .【点睛】此题主要考查了公式法分解因式，正确记忆完全平方公式是解题关键.6、B【分析】直接利用公式法以及提取公因式法分解因式，进而判断得出答案.【详解】解：A .2222()()a b ab c a b c a b c -+-=-+--，故此选项不合题意；B .2()()()(1)x y x y x y x y ----=---+，故此选项符合题意；C .()()()()2323a b a b a a a b -+-=--，故此选项不合题意；D .()()222422211x x y x y x y ++-=+++-，故此选项不合题意；故选：B .【点睛】本题考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用乘法公式是解题关键.7、B【分析】利用公式法对A 、D 进行判断；根据十字相乘法对B 进行判断；根据提公因式对C 进行判断.【详解】解：A 、x 2＋9不能分解，所以A 选项不符合题意； B 、x 2＋x ﹣6＝（x ﹣2）（x ＋3），所以B 选项符合题意；C、3x﹣6y＋3＝3（x﹣2y＋1），所以C选项不符合题意；D、x2＋2x﹣1在有理数范围内不能分解，所以D选项不符合题意.故选：B.【点睛】本题考查了因式分解﹣十字相乘法等：对于x2＋（p＋q）x＋pq型的式子的因式分解.这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：x2＋（p＋q）x＋pq＝（x＋p）（x＋q）.8、A【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式.根据因式分解的定义逐一判断即可得答案.【详解】A、a2﹣b2＝（a＋b）（a﹣b），把一个多项式化为几个整式的积的形式，属于因式分解，故此选项符合题意；B、a（x﹣y）＝ax﹣ay，是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；C、x2＋2x＋1＝x（x＋2）＋1，没把一个多项式化为几个整式的积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意；D、（x＋1）（x＋3）＝x2＋4x＋3，是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；故选：A.【点睛】本题考查了因式分解的定义，把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解；熟练掌握定义是解题关键.9、D【分析】根据因式分解的定义解答即可.【详解】解：A 、x （a ﹣b ）＝ax ﹣bx ，是整式乘法，故此选项不符合题意；B 、x 2﹣1+y 2＝（x ﹣1）（x +1）+y 2，不是因式分解，故此选项不符合题意；C 、ax +bx +c ＝x （a +b ）+c ，不是因式分解，故此选项不符合题意；D 、y 2﹣1＝（y +1）（y ﹣1），是因式分解，故此选项符合题意.故选D.【点睛】本题主要考查了因式分解的定义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式.10、B【分析】首先将22a b ab + 变形为()ab a b +，再代入计算即可.【详解】解：∵32ab a b =-+=，，∴22a b ab +()ab a b =+32=-⨯6=- ，故选：B.【点睛】本题考查提公因式法因式分解，解题关键是准确找出公因式，将原式分解因式.11、B【分析】根据整式乘法法则进行计算﹣（x﹣5）（x+7）的结果，然后根据多项式相等进行对号入座.【详解】解：∵﹣（x﹣5）（x+7）＝2235--+，x x∴2m=-，故选：B.【点睛】此题主要考查了多项式的乘法法则以及多项式相等的条件，即两个多项式相等，则它们同次项的系数相等.12、C【分析】根据平方差公式直接把b2﹣a2分解即可.【详解】解：b2﹣a2＝（b﹣a）（b+a），故选：C.【点睛】此题主要考查了公式法分解因式，关键是掌握平方差公式.平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）.13、C【分析】方法一：根据整式的乘法与绝对值化简，得到M-N=（a﹣c）（b﹣a）＞0，故可求解；方法二：根据题意可设c=-3，a=-2，b=-1，再求出M，N，故可比较求解.【详解】方法一：∵c ＜a ＜b ＜0，∴a -c ＞0，∴M ＝|a （a ﹣c ）|=- a （a ﹣c ）N ＝|b （a ﹣c ）|=- b （a ﹣c ）∴M -N =- a （a ﹣c ）-[- b （a ﹣c ）]= - a （a ﹣c ）+ b （a ﹣c ）=（a ﹣c ）（b ﹣a ）∵b -a ＞0，∴（a ﹣c ）（b ﹣a ）＞0∴M ＞N方法二： ∵c ＜a ＜b ＜0，∴可设c =-3，a =-2，b =-1，∴M ＝|-2×（-2+3）|=2，N ＝|-1×（-2+3）|=1∴M ＞N故选C.【点睛】此题主要考查有理数的大小比较与因式分解得应用，解题的关键求出M -N =（a ﹣c ）（b ﹣a ）＞0，再进行判断.14、D【分析】根据完全平方公式的结构特点即可得出答案.【详解】解：①22484x xy y +-不能用完全平方公式分解；②()2222x y x xy y =---+-，能用完全平方公式分解； ③()222442xy x y x y ++=+，能用完全平方公式分解；④()2224114x x x =----，能用完全平方公式分解；故选：D.【点睛】本题考查了公式法分解因式，掌握a 2±2ab +b 2=（a ±b ）2是解题的关键.15、C【分析】根据因式分解的定义判断即可.把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式.【详解】解：A 选项，B ，D 选项，等号右边都不是积的形式，所以不是因式分解，不符合题意； C 选项，符合因式分解的定义，符合题意；故选：C .【点睛】本题考查了因式分解的定义，掌握因式分解的定义是解题的关键.二、填空题1、21【分析】把所求的式子提取公因式mn ，得mn （m -n ），把相应的数字代入运算即可.【详解】解：∵mn =3，m -n =7，∴m2n-mn2=mn（m-n）=3×7=21.故答案为：21.【点睛】本题主要考查因式分解-提公因式法，解答的关键是把所求的式子转化成含已知条件的式子的形式.2、3mn(n－4m)【分析】根据提公因式法进行分解即可.【详解】3mn2－12m2n=3mn(n－4m).故答案为：3mn(n－4m).【点睛】本题考查了因式分解，掌握提公因式法分解因式是解题的关键.m m+3、(2)【分析】根据提公因式法因式分解即可.【详解】22(2)+=+.m m m mm m+.故答案为：(2)【点睛】本题考查了提公因式法因式分解，掌握提公因式法因式分解是解题的关键.4、1【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案.【详解】解：当a ＝1时，x 2﹣a ＝x 2﹣1＝（x +1）（x ﹣1），故a 的值可以为1（答案不唯一）.故答案为：1（答案不唯一）.【点睛】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用平方差公式是解题关键.5、()()22a a +-【分析】原式利用平方差公式分解即可.【详解】解：24a -=()()22a a +-故答案为：()()22a a +-.【点睛】此题考查了因式分解，熟练掌握平方差公式是解本题的关键.6、()()32x y a b --【分析】根据提公因式法因式分解即可.【详解】3a （x ﹣y ）＋2b （y ﹣x ）=()()()()3232a x y b x y x y a b ---=--故答案为：()()32x y a b --【点睛】本题考查了提公因式法因式分解，正确的计算是解题的关键.7、2(1)(1)(1)x x x ++-.【分析】首先把式子看成x 2与1的平方差，利用平方差公式分解，然后再利用一次即可.【详解】解：x 4﹣1＝（x 2＋1）（x 2﹣1）＝（x 2＋1）（x ＋1）（x ﹣1）.故答案是：（x 2＋1）（x ＋1）（x ﹣1）.【点睛】本题主要考查了平方差公式，熟练公式是解决本题的关键.8、x【分析】找出多项式中各单项式的公共部分即可.【详解】解：多项式253x xy x -+的公因式是：x ，故答案为：x .【点睛】本题主要考查公因式的概念，找出多项式中各单项式的公共部分是解题的关键.9、±5 -2x-2或-x-2【分析】先将x2-25因式分解，再根据关联多项式的定义分情况求出b；再分A=k（x+1）=kx+k或A=k（x+2）=kx+2k两种情况，根据不含常数项.【详解】解：①∵x2-25=（x+5）（x-5），∴x2-25的公因式为x+5、x-5.∴若x2-25与（x+b）2为关联多形式，则x+b=x+5或x+b=x-5.当x+b=x+5时，b=5.当x+b=x-5时，b=-5.综上：b=±5.②∵（x+1）（x+2）与A为关联多项式，且A为一次多项式，∴A=k（x+1）=kx+k或A=k（x+2）=kx+2k，k为整数.当A=k（x+1）=kx+k（k为整数）时，若A+x2-6x+2不含常数项，则k+2=0，即k=-2.∴A=-2（x+1）=-2x-2.当A=k（x+2）=kx+2k（k为整数）时，若A+x2-6x+2不含常数项，则2k+2=0，即k=-1.∴A=-x-2.综上，A=-2x-2或A=-x-2.故答案为：±5，-2x-2或-x-2.【点睛】本题主要考查多项式、公因式，熟练掌握多项式、公因式的意义是解决本题的关键.10、54【分析】先利用平方差公式分解因式，再代入求值，即可.【详解】解：222x 2y -=()222x y -=()()2x y x y +-=2×9×3=54，故答案是：54.【点睛】本题主要考查代数式求值，掌握平方差公式，进行分解因式，是解题的关键.三、解答题1、（1）①-2；②62t +；（2）①()2ab a b -；②()()()22n m b a b a --+；（3）3y x -；-6 【分析】（1）①根据实数的运算法则，求一个数的绝对值以及负整数指数幂运算即可；②根据完全平方公式以及平方差公式计算即可；（2）①先提取公因式ab ，然后运用完全平方公式因式分解即可；②先提取公因式()n m -，然后运用平方差公式因式分解即可；（3）根据整式的混合运算法则化简，代入求解即可.【详解】解：（1）①21132-⎛⎫- ⎝-⎪⎭+- 134=-+- =-2②()()()2313131t t t +--+ ()229619-1t t t =++-， 229116+9t t t =++-62t =+（2）①32232a b a b ab -+()22-2ab a ab b =+2()ab a b =-②()()224n m b m n a -+-()()224n m b a =--()()()22b a n m b a =--+（3）()()222483x y x x y y y ---+⎡⎤÷⎣⎦()222244++483x xy y xy x y y =--+÷ ()29-33y xy y =÷3y x =-将3,1x y 代入得：原式1336=-⨯-=-.【点睛】本题主要考查实数的运算，绝对值的求法，负整数指数幂，整式的混合运算，提公因式法以及公式法因式分解等知识点，熟练使用乘法公式以及整式的运算法则是解题的关键.2、2ab （9a 2+7a ﹣c ）【分析】确定公因式2ab ，然后提公因式即可.【详解】解：原式＝2ab （9a 2+7a ﹣c ）.【点睛】本题主要考查了因式分解，解题的关键在于能够准确观察出公因式是2ab .3、()222ab a -【分析】先提取公因式2ab ，再利用完全平方公式继续分解即可.【详解】解：原式＝()()2224422ab a a ab a -+=-. 【点睛】本题考查提取公因式法以及完全平方公式分解因式，熟练掌握提取公因式法以及完全平方公式分解因式是解题关键.。
第4章 因式分解 单元训练一、选择题（共10小题）.1．下列因式分解正确的是（ ）A ．x 2﹣3x +1＝x （x ﹣3）B ．x 2﹣6＝（x ﹣2）（x +3）C ．（x +1）（x ﹣1）＝x 2﹣1D ．a 2﹣4ab +4b 2＝（a ﹣2b ）2 2．下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）A ．x 2+2x +3=(x +1）2+2B ．(x +y )(x -2y )=x 2 - xy - 2y 2C ．-3x 2+ 12y 2= -3(x + 2y )(x -2y )D ．2(x +y )=2x +2y3．下列多项式中，在实数范围不能分解因式的是（ ）A ．2222x y x y +++ B ．2222x y xy ++- C ．2244x y x y -++ D ．2244x y y -+- 4．下列各式：①﹣x 2﹣y 2；②﹣14a 2b 2+1； ③a 2+ab +b 2； ④﹣x 2+2xy ﹣y 2；⑤14﹣mn +m 2n 2，用公式法分解因式的有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个 5．多项式24ax a -与多项式244x x ++的公因式是（ ）A ．2x +B ．2x -C ．22x -D ．()22x - 6．下列各式是完全平方式的是（ ）A ．x 2－x ＋14B ．1－x 2C ．x 2＋2xy ＋1D ．x 2＋2xy －y 2 7．计算20202021(2)(2)-+-所得的结果是（ ）．A ．20202-B ．20212-C ．20202D ．-2 8．若因式分解()()231x ax x x b +-=-+，则a 的值是（ ）A ．3-B ．2-C ．2D ．49．若3m n +=，则222425m mn n ++-的值为（ ）A ．13B ．18C ．5D ．110．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，因此 4，12，20 都是“神秘数”，则下面哪个数是“神秘数”（ ）A ．56B ．60C ．62D ．88二、填空题（共4小题）.11．分解因式：2164x _________．12．分解因式：2x 2﹣2x +12＝_____． 13．已知12xy =，3x y -=-，则22x y xy -＝______． 14．通过计算几何图形的面积，可表示一些代数恒等式，如图所示，我们可以得到恒等式：2232a ab b ++=______．三、解答题15．因式分解（1）29x - （2）2(1)22x x --+16．将下列各式因式分解：（1）24()()x x y y x -+- （2）2215x x +-17．把下列多项式分解因式：（1）22442a ab b ac bc ++-- （2）222ax bx bx ax cx cx +++++（3）222222a b x y ay bx --+-+ （4）()()()222241211y x y x y +--+-18．已知221x x ++是多项式32x x ax b -++的一个因式，求a ，b 的值，并将该多项式因式分解．19．如图，用一张如图甲的正方形纸片、三张如图乙的长方形纸片、两张如图丙的正方形纸片拼成一个长方形（如图丁）．（1）请用不同的式子表示图丁的面积（写出两种即可）；（2）根据（1）所得结果，写出一个表示因式分解的等式．20．若一个正整数a 可以表示为(1)(2)a b b =+-，其中b 为大于2的正整数，则称a 为“十字数”，b 为a 的“十字点”．例如28(61)(62)74=+⨯-=⨯．（1）“十字点”为7的“十字数”为 ；130的“十字点”为 ；（2）若b 是a 的“十字点”，且a 能被(1)b -整除，其中b 为大于2的正整数，求a 的值； （3）m 的“十字点”为p ，n 的“十字点”为q ，当18m n -=时，求p q +的值．参考答案1．D【详解】解：A 、原式不能分解，不符合题意；B 、原式＝（x ）（x ），不符合题意；C 、原式＝x 2﹣1，不是分解因式，不符合题意；D 、原式＝（a ﹣2b ）2，符合题意．故选：D ．2．C【详解】解：A 、该选项等式的右边不是几个整式的积，不是因式分解，故此选项不符合题意； B 、该选项是整式乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；C 、是因式分解，故此选项符合题意；D 、该选项是整式乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意．故选C ．【点睛】本题主要考查了因式分解的定义，掌握因式分解的定义即：等式的左边是一个多项式，等式的右边是几个整式的积．3．A【分析】根据因式分解的方法与步骤进行判断即可【详解】解：A ．原式不能分解，符合题意；B ．原式2()2(x y x y x y =+-=++-，不符合题意；C ．原式()()4()()(4)x y x y x y x y x y =+-++=+-+，不符合题意；D ．原式22(2)(2)(2)x y x y x y =--=+--+，不符合题意；故选：A ．【点睛】本题考查因式分解、平方差公式、完全平方公式，熟练掌握提公因式法和公式法分解因式是解答的关键，注意实数范围内分解因式时2要写成2．4．B【分析】根据每个多项式的特征，结合平方差公式、完全平方公式的结构特征，综合进行判断即可．【详解】解：①-x 2-y 2=-(x 2+y 2)，因此①不能用公式法分解因式；②-14a 2b 2+1=1-(12ab )2=(1+12ab )(1-12ab )，因此②能用公式法分解因式； ③a 2+ab +b 2不符合完全平方公式的结果特征，因此③不能用公式法分解因式；④﹣x 2+2xy ﹣y 2=-(x 2﹣2xy +y 2)=-(x -y )2，因此④能用公式法分解因式； ⑤14-mn +m 2n 2=(12-mn )2，因此⑤能用公式法分解因式； 综上所述，能用公式法分解因式的有②④⑤，故选：B ．5．A【分析】分别将多项式24ax a -与多项式244x x ++进行因式分解，再寻找他们的公因式是2x +．【详解】解：∵()()224(4)22ax a a x a x x -=-=+- 又∵()22442x x x ++=+∴多项式24ax a -与多项式244x x ++的公因式是2x +．故选A ．【点睛】本题主要考查的是公因式的确定，先利用提公因式法和公式法分解因式，然后再确定公因式．6．A【分析】根据完全平方公式：（a ±b ）2=a 2±2ab +b 2，对比公式逆用即可． 【详解】 解：A 选项中x 2－x ＋211=42x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，B ，C ，D 选项中的多项式均不符合完全平方公式的结构故选：A【点睛】本题考查利用完全平方公式进行因式分解，关键是对完全平方公式的熟练掌握． 7．A【分析】直接找出公因式进而提取公因式再计算即可．【详解】(−2)2020+(−2)2021=(−2)2020×(1−2) =−22020 ．故选：A ．【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，正确找出公因式、提取公因式是解题关键．8．C【分析】根据因式分解的定义可直接进行求解．【详解】解：由()()231x ax x x b +-=-+可得：()2231x ax x b x b +-=+--， ∴1,3a b b =-=，∴2a =；故选C ．【点睛】本题主要考查因式分解的定义，熟练掌握因式分解是解题的关键．9．A【分析】先将代数式前三项利用完全平方公式适当变形，然后将3m n +=代入计算即可．【详解】解：222425m mn n ++-()22=225m mn n ++-()2=2+5m n -∵3m n +=∴原式223-5=13=⨯【点睛】本题考查代数式求值，完全平方公式．做此类题，首先必须做到心中牢记公式的“模型”，在此前提下认真地对具体题目进行观察，想方设法通过调整项的位置和添括号等变形技巧，把式子凑成公式的“模型”，然后就可以应用公式进行计算了．10．B【分析】设这两个连续偶数分别2m、2m+2（m为自然数），则“神秘数”=（2m+2）2-（2m）2=（2m+2+2m）（2m+2-2m）=4(2m+1)，因为m是自然数，要判断一个数是否是“神秘数”，只需根据该数=4(2m+1)列方程求解即可，若解出m是自然数就符合，否则不符合．【详解】解：设这两个连续偶数分别2m、2m+2（m为自然数），∴“神秘数”=（2m+2）2-（2m）2=（2m+2+2m）（2m+2-2m）=4(2m+1)，A、若4(2m+1)=56，解得m=132，错误；B、若4(2m+1)=60，解得m=7，正确；C、若4(2m+1)=62，解得m=294，错误；D、若4(2m+1)=88，解得m=212，错误；故选：B．【点睛】此题考查了利用平方差公式进行因式分解，熟练掌握平方差公式以及对题中新定义的理解是解题的关键．11．4(2x+1)(2x-1)．【分析】首先提取公因式，再根据平方差公式分解．【详解】解：原式=4（4x2-1）=4（2x+1）（2x-1），故答案为4（2x+1）（2x-1）．本题考查因式分解的应用，熟练掌握各种因式分解的方法并灵活运用是解题关键． 12．2（x ﹣12）2． 【分析】直接提取公因式2，再利用公式法分解因式即可．【详解】解：2x 2﹣2x +12 ＝2（x 2﹣x +14） ＝2（x ﹣12）2． 故答案为：2（x ﹣12）2． 【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键． 13．32- 【分析】提取22x y xy -的公因式因式分解，再代入求值即可.【详解】解：22()x y xy xy x y -=-， 将12xy =，3x y -=-代入()xy x y -， ∴13()=(3)22xy x y -⨯-=-， 故答案为：32-． 【点睛】本题考查了整式的化简求值；能提取公因式将整式化简是解决本题的关键．14．()()2a b a b ++．【分析】根据图形中的正方形和长方形的面积，以及整体图形的面积进而得出恒等式．【详解】解：由面积可得：()()22a 3ab 2b a 2b a b ++=++． 故答案为()()a 2b a b ++．【点睛】此题主要考查了十字相乘法分解因式，正确利用面积得出等式是解题关键．15．（1）()()33x x +-；（2）()()13x x --【分析】（1）直接利用平方差分解因式得出答案；（2）将括号展开，合并同类项，再利用十字相乘法分解因式得出答案．【详解】解：（1）29x -=()()33x x +-；（2）2(1)22x x --+=21222x x x +--+=243x x -+=()()13x x --【点睛】此题主要考查了公式法以及十字相乘法分解因式，正确应用公式是解题关键． 16．（1）()(21)(21)x y x x -+-；（2）(5)(3)x x +-【分析】（1）原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可；（2）原式利用十字相乘法分解即可．【详解】解：（1）24()()x x y y x -+-24()()x x y x y =---2()41x y x ⎡⎤=--⎣⎦()(21)(21)x y x x =-+-；（2）2215x x +-(5)(3)x x =+-【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．17．（1）()()22a b c a b +-+；（2）()()1x x a b c +++；（3）()()x a b y x a b y ---++--；（4）()2221x y x y -++【分析】（1）（2）（3）利用分组分解法分解即可；（4）利用完全平方公式分解即可．【详解】解：（1）22442a ab b ac bc ++--=()()222a b c a b +-+=()()22a b c a b +-+；（2）222ax bx bx ax cx cx +++++=()()222ax bx cxax bx cx +++++ =()()2a b c x a b c x +++++=()()1x x a b c +++；（3）222222a b x y ay bx --+-+=()222222a ay y b x bx -+-+-=()()22a y b x ---=()()()()a y b x a y b x -+----⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=()()x a b y x a b y ---++--；（4）()()()222241211y x y x y +--+-=()()()()222412111y x y y x y +-+-+-=()()2211y x y ⎡⎤+--⎣⎦ =()2221x y x y -++【点睛】本题考查了因式分解，解题的关键是根据所给代数式的形式灵活选择方法．18．5a =-，3b =-，()()213x x +- 【分析】由题意可假设多项式x 3−x 2+ax +b =(x 2+2x +1)(x +m )，则将其展开、合并同类项，并与x 3− x 2+ax +b 式子中x 的各次项系数对应相等，依次求出m 、b 、a 的值，那么另外一个因式即可确定．【详解】解：设()()32221x x ax b x x x m -++=+++， 则()()3232221x x ax b x m x m x m -++=+++++， 所以21m +=-，21m a +=，m b =，解得3m =-，5a =-，3b =-．所以 ()()()()23225321313x x x x x x x x ---=++-=+-．【点睛】本题考查了因式分解的应用，用待定系数法来解较好．19．（1）①2232S x xy y ++＝，②()2()S x x y y x y +++＝；（2）2232(2)()x xy y x y x y ++=++或()2()(2)()x x y y x y x y x y +++=++．．【分析】（1）①图丁是由1个甲，3个乙，2个丙组成，把面积相加即可得出答案；②图丁可以看作由长为()x y +，宽为x 的长方形和长为()x y +，宽为2y 的长方形组成，把两个长方形面积相加即可得出答案；（2）由（1）中2232x xy y ++十字相乘或()2()x x y y x y +++提取公因式()x y +即可得出答案．解：（1）①2232S x xy y ++＝，②()2()S x x y y x y =+++；（2）2232(2)()x xy y x y x y ++=++或()2()(2)()x x y y x y x y x y +++=++．【点睛】本题考查列代数式以及因式分解，掌握正方形和长方形的面积公式以及灵活运用因式分解是解答本题的关键．20．（1）40，12；（2）4；（3）10【分析】（1）根据十字点的定义(1)(2)a b b =+-计算即可；（2）先根据(1)(2)a b b =+-得出()()2(12)(11)=b 1+b 12=-+-----a b b ，再根据a 能被(1)b -整除，得出b 的值，即可求出a 的值；（3）根据已知得出m (p 1)(p 2)=+-（p ＞2且为正整数），n (q 1)(q 2)=+-（q ＞2且为正整数），再根据18m n -=得出()()p q-1p q =18+-，从而得出163p q p q +-=⎧⎨-=⎩ 或192p q p q +-=⎧⎨-=⎩，解之即可得出a 、b ，继而得出答案． 【详解】解：（1）“十字点”为7的“十字数”(71)(72)=85=40=+-⨯a ，∵130(121)(122)=1310=+-⨯，∴130的“十字点”为12；（2）∵b 是a 的“十字点”，∴(1)(2)a b b =+-（b ＞2且为正整数），∴()()2(12)(11)=b 1+b 12=-+-----a b b ，∵a 能被(1)b -整除，∴(1)b -能整除2，∴b -1=1或b -1=2，∴b =3，∴(31)(32)=4=+-a ； （3）∵m 的“十字点”为p ， ∴m (p 1)(p 2)=+-（p ＞2且为正整数）， ∵n 的“十字点”为q ，∴n (q 1)(q 2)=+-（q ＞2且为正整数）， ∵18m n -=，∴(p 1)(p 2)(q 1)(q 2)=18+--+-， ∴22p -p-2-q +q+2=18， ∴(p q)(p q)(p-q)=18+--， ∴()()p q-1p q =18+-， ∵180＞-=m n ，p ＞2，q ＞2且p 、q 为正整数； ∴p ＞q ，p+q ＞4；∴p+q -1＞3；∵18=3×6=2×9，∴163p q p q +-=⎧⎨-=⎩ 或192p q p q +-=⎧⎨-=⎩； 解得：52p q =⎧⎨=⎩（不合题意舍去），64p q =⎧⎨=⎩； ∴=10+p q。
第四章因式分解综合考试注意事项：1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写2、提前xx 分钟收取答题卡第Ⅰ卷客观题第Ⅰ卷的注释阅卷人得分一、单选题1．下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）A．x2+2x+3=x(x+2)+3B．(x+y)(x−2y)=x2−xy−2y2 C．3x2−12y2=3(x+2y)(x−2y)D．2(x+y)=2x+2y2．多项式−4a2b2+12a2b2−8a3b2c的公因式是（ ）．A．−4a2b2c B．−a2b2C．−4a2b2D．−4a3b2c 3．下列分解因式正确的是（ ）A．a2−9=(a−3)2B．6a2+3a=a(6a+3)C．a2+6a+9=(a+3)2D．a2−2a+1=a(a−2)+14．若x2+mx+16是完全平方式，则m的值等于（ ）A．2B．4或-4C．2或-2D．8或-8 5．下列多项式中，是完全平方式的为（ ）A．x2−x+14B．x2+12x+14C．x2+14x−14D．x2−14x+146．若x=1，y=12，则x2+4xy+4y2的值是（ ）A．2B．4C．32D．127．若m+ 1m =5，则m2+ 1m2的结果是（ ）A．23B．8C．3D．7 8．把二次三项式2x2﹣8xy+5y2因式分解，下列结果中正确的是（ ）A．（x﹣4+62y）（x﹣4−62y）B．（2x﹣4y+ 6y）（x﹣4+62y）C．（2x﹣4y+ 6y）（x﹣4−62y）D．2（x﹣4−62y）（x﹣4+62y）9．若m2=n+2022，n2=m+2022（m和n不相等），那么式子m3−2mn+n3的值为（ ）A．2022B．−2022C．2023D．−202310．已知x，y，z都是正整数，其中x>y，且x2−xz−xy+yz=23，设a=x−z，则[(3a−1)(a+2)−5a+2]÷a=（ ）A．3B．69C．3或69D．2或46阅卷人得分二、填空题11．将a3b －ab 进行因式分解的结果是 .12．把多项式因式分解a2b−2ab+b的结果是 ．13．已知x2+mx+ 19是完全平方式，则m＝ ．14．已知正实数a、b、c满足a2+b2+c2−ac−bc=1．则c的最大值是 .15．已知实数a，b，c满足a2+b2-4a≤1，b2+c2-8b≤-3，且c2+a2-12c≤-26，则(a+b)c的值为 ．16．若一个四位数M的个位数字与十位数字的和与它们的差之积恰好是M去掉个位数字与十位数字后得到的两位数，则这个四位数M称为“和差数”，令M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，记G(M)=dc，且P(M)=Mc+d，则G(1224)P(1224)= ；当G(M)，P(M)均为整数时，M的最大值为 ．阅卷人得分三、解答题17．如图，在一块半径为R的圆形板材上，冲去半径为r的四个小圆，小刚测得R=6.8cm，r=1.6 cm，他想知道剩余阴影部分的面积，你能利用所学过的因式分解的方法帮助小刚计算吗？请写出求解的过程（π取3）．18．已知4m+n=40，2m-3n=5．求（m+2n）2-（3m-n）2的值．19．仔细阅读下面的例题，仿照例题解答问题，例题：已知二次三项式x2−4x+m有一个因式是(x+3)，求另一个因式以及m的值．解：设另一个因式为(x+n)，得x2−4x+m=(x+3)(x+n)化简得x2−4x+m=x2+nx+3x+3n整理得x2−4x+m=x2+(n+3)x+3n于是有{n+3=−4m=3n解得{m=−21 n=−7因此另一个因式是(x−7)，m的值为21．问题：已知二次三项式3x2+5x−k有一个因式是(3x−1)，求另一个因式以及k的值．20．阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，求m、n的值．解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）=0∴（m﹣n）2+（n﹣4）2=0，∴（m﹣n）2=0，（n﹣4）2=0，∴n=4，m=4．根据你的观察，探究下面的问题：（1）已知x2﹣2xy+2y2+6y+9=0，求xy的值；（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2﹣10a﹣12b+61=0，求△ABC的最大边c的值；（3）已知a﹣b=8，ab+c2﹣16c+80=0，求a+b+c的值．21．现有若干张长方形和正方形卡片，如图所示.请运用拼图的方法，选取图中相应的种类和一定数量的卡片拼成一个大长方形，使它的面积等于a2+4ab+3b2，并根据拼成图形的面积，把多项式a2+4ab+3b2因式分解.22．认真阅读下列因式分解的过程，再回答问题：1+x+x(1+x)+x(1+x)2=(1+x)[1+x+x(1+x)]=(1+x)2(1+x)=(1+x)³.（1）上述因式分解的方法是.（2）分解因式：：1+x+x(1+x)+x(1+x)2+x(1+x)³.（3）猜想1+x+x(1+x)+x(1+x)2+⋯+x(1+x)"分解因式的结果.阅卷人四、实践探究题得分23．先阅读材料：分解因式：(a+b)2+2(a+b)+1.解：令a+b=M，则(a+b)2+2(a+b)+1=M2+2M+1=(M+1)2所以(a+b)2+2(a+b)+1=(a+b+1)2.材料中的解题过程用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，请你运用这种思想方法解答下列问题：（1）分解因式：1−2(x+y)+(x+y)2= ；（2）分解因式：(m+n)(m+n−4)+4；（3）证明：若n为正整数，则式子(n+1)(n+2)(n2+3n)+1的值一定是某个整数的平方.答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：A.等式的右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；B.从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；C.从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意；D.从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；故答案为：C.【分析】把一个多项式在一个范围化为几个整式的积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式，据此判断即可.2．【答案】C【解析】【解答】解：∵−4a2b2+12a2b2−8a3b2c=−4a2b2(1−3+2ac)，∴公因式为：−4a2b2，故答案为：C.【分析】利用公因式的定义求解即可.3．【答案】C【解析】【解答】A. a2−9=(a−3)(a−3)，故不符合题意；B. 6a2+3a=3a(2a+1)，故不符合题意；C. a2+6a+9=(a+3)2，符合题意；D. a2−2a+1=(a−1)2，故不符合题意；故答案为：C．【分析】运用因式分解的定义逐项判断即可；4．【答案】D【解析】【解答】解：∵x2+mx+16＝x2+mx+42，∴mx＝±2•x•4，解得m＝8或﹣8．故答案为：D．【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的这两数乘积二倍项即可确定m的值．5．【答案】A【解析】【解答】A. x2−x+14= (x−12)2，故符合题意B. x 2+12x +14 = (x +14)2+316 ，故不符合题意C. x 2+14x−14 = (x +116)2−65256 ，故不符合题意D. x 2−14x +14 = (x−116)2+63256 ，故不符合题意故答案为：A【分析】利用配方法分别转化为完全平方式的形式即可求解．6．【答案】B【解析】【解答】解：原式=（x+2y ）2=（1+2× 12）2=4．故答案为：B【分析】根据完全平方公式a 2±2ab+b 2=（a ±b ）2，分解因式x 2+4xy+4y 2=（x+2y ）2，把x 、y 的值代入，求出代数式的值.7．【答案】A【解析】【解答】因为m+1m =5，所以m 2+ 1m2 =(m+ 1m )2﹣2=25﹣2=23．故答案为：A ．【分析】两边平方可得m 2+1m 2=(m +1m )2−2。
浙教版初中数学七年级下册第四章因式分解单元测试卷一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）下列各式属于因式分解的是（）A．（3x+1）（3x﹣1）＝9x2﹣1B．x2﹣2x+4＝（x﹣2）2C．a4﹣1＝（a2+1）（a+1）（a﹣1）D．9x2﹣1+3x＝（3x+1）（3x﹣1）+3x2．（3分）下列各式分解因式结果是（a﹣2）（b+3）的是（）A．﹣6+2b﹣3a+ab B．﹣6﹣2b+3a+abC．ab﹣3b+2a﹣6D．ab﹣2a+3b﹣63．（3分）若多项式﹣6ab+18abx+24aby的一个因式是﹣6ab，那么另一个因式是（）A．1﹣3x﹣4y B．﹣1﹣3x﹣4y C．1+3x﹣4y D．﹣1﹣3x+4y4．（3分）若（a﹣b﹣2）2+|a+b+3|＝0，则a2﹣b2的值是（）A．﹣1B．1C．6D．﹣65．（3分）若多项式x2﹣ax﹣1可分解为（x﹣2）（x+b），则a+b的值为（）A．2B．1C．﹣2D．﹣16．（3分）下列各式：①4x2﹣y2；②2x4+8x3y+8x2y2；③a2+2ab﹣b2；④x2+xy﹣6y2；⑤x2+2x+3其中不能分解因式的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个7．（3分）多项式x2+7x﹣18因式分解的结果是（）A．（x﹣1）（x+18）B．（x+2）（x+9）C．（x﹣3）（x+6）D．（x﹣2）（x+9）8．（3分）把多项式4x2﹣2x﹣y2﹣y用分组分解法分解因式，正确的分组方法应该是（）A．（4x2﹣y）﹣（2x+y2）B．（4x2﹣y2）﹣（2x+y）C．4x2﹣（2x+y2+y）D．（4x2﹣2x）﹣（y2+y）9．（3分）下列关于x的二次三项式中（m表示实数），在实数范围内一定能分解因式的是（）A．x2﹣2x+2B．2x2﹣mx+1C．x2﹣2x+m D．x2﹣mx﹣110．（3分）已知a＝2018x+2018，b＝2018x+2019，c＝2018x+2020，则a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc的值是（）A．0B．1C．2D．3二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）11．（4分）多项式15m3n2+5m2n﹣20m2n的公因式是．12．（4分）已知x+y＝8，xy＝2，则x2y+xy2＝．13．（4分）若多项式x2﹣mx﹣21可以分解为（x+3）（x﹣7），则m＝．14．（4分）通过计算几何图形的面积，可表示一些代数恒等式，如图所示，我们可以得到恒等式：a2+3ab+2b2＝．15．（4分）因式分解：a2b2﹣a2﹣b2+1＝．16．（4分）已知a2+a﹣1＝0，则a3+2a2+2018＝．三．解答题（共8小题，满分66分）17．（6分）把x2+3x+c分解因式得：x2+3x+c＝（x+1）（x+2），求c．18．（6分）已知ab2＝﹣1，求（﹣ab）（a3b7﹣ab3﹣b）的值？19．（8分）分解因式：（1）x2y﹣9y；（2）﹣m2+4m﹣4．20．（8分）已知x+y＝8，xy＝12，求：①x2y+xy2；②x2﹣xy+y2；③x﹣y的值．21．（8分）阅读下面的问题，然后回答，分解因式：x2+2x﹣3，解：原式＝x2+2x+1﹣1﹣3＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）上述因式分解的方法称为配方法．请体会配方法的特点，用配方法分解因式：（1）x2﹣4x+3（2）4x2+12x﹣7．22．（10分）下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程．解：设x2﹣4x＝y原式＝（y+2）（y+6）+4（第一步）＝y2+8y+16（第二步）＝（y+4）2（第三步）＝（x2﹣4x+4）2（第四步）请问：（1）该同学因式分解的结果是否彻底？（填“彻底”或“不彻底”）．若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果．（2）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解．23．（10分）（1）请用两种不同的方法列代数式表示图1的面积方法1，方法2；（2）若a+b＝7，ab＝15，根据（1）的结论求a2+b2的值；（3）如图2，将边长为x和x+2的长方形，分成边长为x的正方形和两个宽为1的小长方形，并将这三个图形拼成图3，这时只需要补一个边长为1的正方形便可以构成一个大正方形．①若一个长方形的面积是216，且长比宽大6，求这个长方形的宽．②把一个长为m，宽为n的长方形（m＞n）按上述操作，拼成一个在一角去掉一个小正方形的大正方形，则去掉的小正方形的边长为．24．（10分）若一个正整数a可以表示为连续的两个奇数的平方差的形式，如：8＝32﹣12，16＝52﹣32，24＝72﹣52，……，我们则称形如8，16，24这样的正整数a为“奇特数”．（1）请写出最小的三位“奇特数”，并表示成连续的两个奇数的平方差的形式；（2）求证：任意一个“奇特数”都是8的倍数；（3）若一个三位数b为“奇特数”，其百位和个位上的数字相同，十位上的数字比个位上的数字大m（m为正整数），求满足条件的所有三位“奇特数”．参考答案一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．C2．B3．A4．D5．A6．B7．D8．B9．D10．D 二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）11．5m2n12．1613．414．（a+2b）（a+b）15．（a+1）（a﹣1）（b+1）（b﹣1）16．2019三．解答题（共8小题，满分66分）17．解：（x+1）（x+2）＝x2+3x+2，∴c＝2．18．解：原式＝﹣a4b8+a2b4+ab2＝﹣（ab2）4+（ab2）2+ab2，当ab2＝﹣1时，原式＝﹣（﹣1）3+（﹣1）2﹣1＝1．19．解：（1）原式＝y（x2﹣32）＝y（x+3）（x﹣3）．（2）原式＝﹣（m2﹣4m+4）＝﹣（m﹣2）2．20．解：①∵x+y＝8，xy＝12，∴原式＝xy（x+y）＝96；②∵x+y＝8，xy＝12，∴原式＝（x+y）2﹣3xy＝64﹣36＝28；③（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy＝64﹣48＝16，∴x﹣y＝±4．21．解：（1）x2﹣4x+3＝x2﹣4x+4﹣4+3＝（x﹣2）2﹣1＝（x﹣2+1）（x﹣2﹣1）＝（x﹣1）（x﹣3）（2）4x2+12x﹣7＝4x2+12x+9﹣9﹣7＝（2x+3）2﹣16＝（2x+3+4）（2x+3﹣4）＝（2x+7）（2x﹣1）22．解：（1）∵（x2﹣4x+4）2＝（x﹣2）4，∴该同学因式分解的结果不彻底．（2）设x2﹣2x＝y原式＝y（y+2）+1＝y2+2y+1＝（y+1）2＝（x2﹣2x+1）2＝（x﹣1）4．故答案为：不彻底．23．解：（1）方法1，图1可看作是边长为（a+b）的正方形面积，即（a+b）2方法2，图1可看作是边长分别为a和b的2个正方形面积加上2个长为a宽为b的矩形面积，即a2+2ab+b2故答案为：（a+b）2；a2+2ab+b2（2）∵a+b＝7∴（a+b）2＝49，即a2+2ab+b2＝49又∵ab＝15∴a2+b2＝49﹣2ab＝19故答案为：19（3）①设宽为x，由题意可得：（x+3）2＝216+32因为x＞0，解得x＝12．故答案为：12②由题可知：去掉小正方形的边长是原长方形长与宽差的一半故答案为：24．（1）解：最小的三位奇特数是：104104＝（2）证明：设m＝∵m＝8k+8∴m ＝8（k +1）∴r 任意一个“奇特数”都是8的倍数（3）设个位上的数字为：x ，则十位数字为：（m +x ），百位数字为：x 则b ＝100x +10（m +x ）+x ＝100x +10m +10x +x ＝111x +10m ∵b 为奇特数∴b 是8的倍数＝13x +m +又∵ 是整数 ∴也是整数且1≤x ＜10，1≤（x +m ）＜10∴，，（舍），（舍）（舍）∴b 的值为：232 464 696。
浙教版七下第四章习题一、单选题1、下列因式分解正确的是( )A.()322824x x x x -=-B.()()22444a b a b a b -=+-C.()()24422y y y y -+=+-D.()()25623x x x x ++=++2、在探索因式分解的公式时，可以借助几何图形来解释某些公式.如图，从左图到右图的变化过程中，解释的因式分解公式是( )A.22()()a b a b a b +-=-B.22()()a b a b a b -=+-C.2222()a ab b a b ++=+D.222()2a b a ab b -=-+3、下列等式从左到右属于因式分解的是( )A.()22221xy x x y xy -=-B.()()25525m m m +-=-C.()()222211a a a -=+-D.()()24232n n n n +-=-++4、给出下列各式: ①21a +; ①222a ab b --; ①2a a -; ①221a a -+. 其中能在有理数范围内分解因式的有( )A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个5、多项式xy x -的公因式是( )A.xB.1x -C.yD.xy6、计算20212020(2)(2)-+-的值是( )A.-2B.20202-C.20202D.27、在多项式32384a b a bc -中，各项的公因式是( )A.24abB.224a bC.34a bcD.34a b8、化简：()a b c d ---+的结果是( )A.a b c d --+B.a b c d ---+C.a b c d ++-D.a b c d -++-9、把多项式()()()111m m m +-+-提取公因式()1m -后，余下的部分是( )A.1m +B.2mC.2D.2m +10、下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是( )A.22a b +B.22a b -C.22a b --D.22a b -11、下列各式中，能用完全平方公式因式分解的是( )A.B. C.222510x y xy --+D.22255x y xy ++二、填空题12、分解因式：24n -=____________.13、因式分解：___________. 14、因式分解: 24ab a -=____________.15、因式分解：2a b a -=_____.16、分解因式：269x x -+=________.17、因式分解：()()269m n m n -+++=____________.18、若正方形的面积是(0x >，)，则该正方形的边长为______________. 19、若把二次三项式228x ax +-分解因式，得到的结果是(4)(7)x x -+，则a 的值是_________.20、在括号内填上适当的因式：（1）24x x ++_______=(____________)2；（2）(__________)29n +=(________).221025x xy y +-222510x y xy -++224x y -2296x xy y ++0y >x +24m +2三、解答题21、连一连：228149x y -22142814a ab b -+3(2)x x -+ 236x x --214()a b - (97)(97)x y x y +-22、下列从左到右的变形中，哪些是因式分解？哪些不是？（1）；（2）2(5)(5)25x x x +-=-；（3）；（4）29613(32)1x x x x -+=-+；（5）211x x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭. 23 、写出下列多项式各项的公因式：（1）； （2）3222a x a y -；（3）；（4）35()10()a b a b -+-.24、因式分解：（计算题专练）（1）ma mb + （2）236x -. （3）()()22y a b x b a -+-.（4）2()5()m a c a c --- （5）； （6）；（7） . （8）； （9）4416x y -.2(1)m m +322m m m ++22446x y x xy =⋅223(3)(1)x x x x +-=+-2326x x +23222416m x n x -+269xy x y -2()()a b b a ---224()6()xy x y x y x y +-+22516x -（10）2ab a -； （11）()22214a a +-. （12）22344xy x y y --；（13）22x y ax ay ---. (14)244x x -+ (15)()()24a x y x y ---(16)43244x x x -+； (17)22(2)(2)x x y x -+-. （18）229a b -；（19）22242a ab b -+. （20）24ax ay -； （21）()()1124x x +++.（22）22312x y -. (25)36mx my -； (24)3269y y y ++.(25)321025a b a b ab -+-； (26)()()2294a x y b y x -+-.（27）2144x x ++； （28）2242025a ab b -+；（29）29()42()49a b a b -+-+； （30）2(2)8x y xy -+.（31）25、利用因式分解计算：（1）22124252576⨯-⨯； （2）222020404020192019 ; -⨯+（3）222202420298298⨯+⨯⨯+⨯.26、利用因式分解计算：（1）226.4 3.6-； （2）22151019915⨯-⨯.27、若多项式2x ax b ++可分解因式为(1)(2)x x +-，试求a ，b 的值.28、已知多项式24x x m -+分解因式的结果为()(6)x a x +-，求2a m -的值.29、将2()()()x x y x y x x y +--+分解因式，并求当1x y +=，时此式子的值.30、两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成2(1)(9)x x --，另一位同学因看错了常数项而分解成2(2)(4)x x --，请将原多项式分解因式.31、阅读下列文字与例题.将一个多项式分组后，可用提公因式法或公式法继续分解的方法是分组分解法.例如： 12xy =①()()()()m a b n a b m n a b +++=++；②()222222121x y y x y y x ---=-++=-2(1)(1)(1)y x y x y +=++--.试用上述方法分解因式：（1）2436a b ma mb +--；（2）.32、阅读下列材料：材料1：将一个形如2x px q ++的二次三项式因式分解时，如果能满足且p m n =+，则可以把2x px q ++因式分解成()()x m x n ++.（1）243(1)(3)x x x x ++=++；（2）2412(6)(2)x x x x --=-+.材料2：分解因式：2()2()1x y x y ++++.解：将“x y +”看成一个整体，令x y A +=，则原式221(1)A A +=+，再将“A ”还原，得原式2(1)x y =++.上述解题过程用到“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题：（1）根据材料1把268x x -+分解因式；（2）结合材料1和材料2，解决下列问题：①分解因式：2()4()3x y x y -+-+；②分解因式：()2(2)223m m m m ++--. ()()am an bm bn am bm an bn +++=+++=222a ab ac bc b ++++q mn =参考答案1-5 D B C B A6-10 B D D D D 11、C 6、()20212020202202200200(2)(2212)(2)(2)=⨯-+=-=--+---. 12、(2)(2)n n +- 13、14、答案：()2244(2)(-2)a ab a a b b b -=-=+15、答案：(1)a ab - 16、答案：2(3)x -17、答案： 解析：原式222()2()33(3)m n m n m n =+-⋅+⋅+=+-.18、答案：3x y +解析：因为22296(3)x xy y x y ++=+，所以正方形的边长为.19、答案：3，.20、答案：（1）4，2；（2），21、答案：22、答案：(1)因式分解是针对多项式来说的,故(1)不是因式分解; ()()22x y x y +-()23m n +-3x y +22228(4)(7)7428328x ax x x x x x x x +-=-+=+--=+-3a ∴=12mn ±23m n±(2)等号右边不是整式积的形式,不是因式分解;(3)是因式分解;(4)等号右边不是整式积的形式,不是因式分解;(5)等号右边不是整式积的形式,不是因式分解. 故(1)(2)(4)(5)不是因式分解,(3)是因式分解.23、（1）22x （2）2a ；（3）28x -；（4）5()a b -.24、（1）()m a b +（2）()()66x x +-. （3）()()2y x a b --（4）()()25a c m --(5)原式3(2-3)xy x =.(6)原式2()()()(1)a b a b a b a b =-+-=--+.(7)原式2()[2()3]2()(2)xy x y x y x xy x y y x =+⋅+-=+-.（8）22225165(4)(54)(54)x x x x -=-=-+.（9）.（10）()()11a b b +- （11）22(1)(1)a a +- （12）()22y x y -- （13）()()x y x y a +-- (14)()41x x -- (15)()(2)(2)x y a a -+-(16)22(21)x x - (17)(2)()()x x y x y -+-（18）()()33a b a b +- （19）()22a b -（20）22()()a x y x y +- （21）232x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ ()()()4422222216444(2)(2)x y x y x y x y x y x y -=+-=++-（22） (23)原式()32m x y =-； (24)原式()23y y =+. (25)321025a b a b ab -+-()21025ab a a -=-+()25ab a =--； (26)()()2294a x y b y x -+-()()2294a x y b x y =---()()2294x y a b =--()()()3232x y a b a b =--+.（27）22144(12)x x x ++=+.（28）22242025(25)a ab b a b -+=-.（29)2229()42()49[3()7](337)a b a b a b a b -+-+=-+=-+.（30）222222(2)844844(2)x y xy x xy y xy x xy y x y -+=-++=++=+（31）25、答案：（1）原式()222512476=⨯-()()322x y x y +-()269y y y =++25(12476)(12476)2520048240000.=⨯+⨯-=⨯⨯=（2）原式222220202202020192019(20202019)11=-⨯⨯+=-==（3）原式222(20298)2300290000180000.=⨯+=⨯=⨯= 26、（1）.（2）()2222151019915151019915(10199)(10199)⨯-⨯=⨯-=⨯+⨯-=. 27、答案：解：由题意，得2(1)(2)x ax b x x ++=+-.而，所以222x ax b x x ++=--.比较两边系数，得1,2a b =-=-.解析：计算(1)(2)x x +-的结果中，x 的一次项系数为a ，常数项为b .28、答案：解：由题意得.64,6a m a ∴-=-=-，..29、答案：.当时，原式. 30、答案：设原多项式为（其中a ，b ，c 均为常数，且0abc ≠）.一位同学因看错了一次项系数而分解成2(1)(9)x x --，()22220222029898=⨯+⨯⨯+226.4 3.6(6.4 3.6)(6.4 3.6)10 2.828-=+⨯-=⨯=1520026000⨯⨯=2(1)(2)2x x x x +-=--224()(6)(6)6x x m x a x x a x a -+=+-=+--2,12a m ∴==-2221216a m ∴-=⨯+=2()()()()[()]2()x x y x y x x y x x y x y x y xy x y +--+=+--+=-+11,2x y xy +==12()2112xy x y =-+=-⨯⨯=-2ax bx c ++，2a ∴=，，另一位同学因看错了常数项而分解成，，，原多项式为，将它分解因式，得.解析：因为含字母x 的二次三项式的一般形式为（其中a ，b ，c 均为常数，且），所以可设原多项式为.看错了一次项系数即将b 值看错，而a 与c 的值正确，根据因式分解与整式的乘法互为逆运算，可将运用多项式的乘法法则展开求出a 与c 的值；同样，看错了常数项即将c 值看错，而a 与b 的值正确，可将2(2)(4)x x --运用多项式的乘法法则展开求出b 的值，进而得出答案.31、答案：（1）(23)(46)a ma b mb =-+-(2)(23)a b m =+-.（2）()222()a ab b ac bc =++++2()()a b c a b =+++()()a b a b c =+++.222(1)(9)2(109)22018x x x x x x --=-+=-+18c =2(2)(4)x x --222(2)(4)2(68)21216x x x x x x --=-+=-+12b ∴=-∴221218x x -+222212182(69)2(3)x x x x x -+=-+=-2ax bx c ++0abc ≠2ax bx c ++2(1)(9)x x --2436a b ma mb +--(23)2(23)a m b m =-+-222a ab ac bc b ++++32、答案：（1）268(2)(4)x x x x -+=--.（2）①令x y A -=，则原式243(1)(3)A A A A =++=++， 所以2()4()3(1)(3)x y x y x y x y -+-+=-+-+. ②令22m m B +=，则原式2(2)323(1)(3)B B B B B B =--=--=+-， 所以原式()()2222123(1)(1)(3)m m m m m m m =+++-=+-+。
