2013年北京市东城区高考数学一模试卷（文科）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 已知全集U ={1, 2, 3, 4}，集合A ={1, 2}，那么集合∁U A 为（ ） A.{3} B.{3, 4} C.{1, 2} D.{2, 3}2. “a =1”是“直线x +2y =0与直线x +(a +1)y +4=0平行”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3. 已知ABCD 为平行四边形，若向量AB →=a →，AC →=b →，则向量BC →为（ ） A.a →−b →B.a →+b →C.b →−a →D.−a →−b →4.执行如图所示的程序框图，输出的结果是56，则判断框内应填入的条件是（ ）A.n ≤5？B.n <5？C.n >5？D.n ≥5？5. 已知一个几何体的三视图如图所示（单位：cm ），那么这个几何体的侧面积是（ ）A.(1+√2)cm 2B.(3+√2)cm 2C.(4+√2)cm 2D.(5+√2)cm 26. 已知点A(2, 1)，抛物线y 2=4x 的焦点是F ，若抛物线上存在一点P ，使得|PA|+|PF|最小，则P 点的坐标为（ ） A.(2, 1) B.(1, 1)C.(12，1)D.(14，1)7.对于函数y =f(x)，部分x 与y 的对应关系如下表：数列{x n 1(x n , x n+1)都在函数y =f(x)的图象上，则x 1+x 2+x 3+x 4+...+x 2012+x 2013的值为（ ） A.9394 B.9380C.9396D.94008. 已知定义在R 上的函数f(x)的对称轴为x =−3，且当x ≥−3时，f(x)=2x −3．若函数f(x)在区间(k −1, k)(k ∈Z)上有零点，则k 的值为（ ） A.2或−7B.2或−8C.1或−7D.1或−8二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．已知i 是虚数单位，那么i(1+i)等于________．如图是甲、乙两名同学进入高中以来5次体育测试成绩的茎叶图，则甲5次测试成绩的平均数是________，乙5次测试成绩的平均数与中位数之差是________．不等式组{x −2≤0y ≤0x +y ≥0表示的平面区域为D ，则区域D 的面积为________，z =x +y 的最大值为________．从1，3，5，7这四个数中随机地取两个数组成一个两位数，则组成的两位数是5的倍数的概率为________．函数f(x)=sin (x −π3)的图象为C ，有如下结论：①图象C 关于直线x =5π6对称；②图象C 关于点(4π3，0)对称；③函数f(x)在区间[π3，5π6]内是增函数，其中正确的结论序号是________．（写出所有正确结论的序号）数列{a n }的各项排成如图所示的三角形形状，其中每一行比上一行增加两项，若a n =a n(a ≠0)，则位于第10行的第8列的项等于________，a 2013在图中位于________．（填第几行的第几列）三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b sin A =√3a cos B ． (Ⅰ)求角B ；(Ⅱ)若b =2√3，求ac 的最大值．如图，已知AD ⊥平面ABC ，CE ⊥平面ABC ，F 为BC 的中点，若AB =AC =AD =12CE ．（1）求证：AF // 平面BDE ；（2）求证：平面BDE ⊥平面BCE ．为了解高三学生综合素质测评情况，对2000名高三学生的测评结果进行了统计，其中优秀、良好、合格三个等级的男、女学生人数如下表：（1）若按优秀、良好、合格三个等级分层，在这2000份综合素质测评结果中随机抽取80份进行比较分析，应抽取综合素质测评结果是优秀等级的多少份？（2）若x ≥245，y ≥245，求优秀等级的学生中男生人数比女生人数多的概率．已知函数f(x)=m ln x +(m −1)x(m ∈R)．（1）当m =2时，求曲线y =f(x)在点（1, f(1)）处的切线方程；（2）讨论f(x)的单调性；（3）若f(x)存在最大值M ，且M >0，求m 的取值范围．已知椭圆C:x 2a+y 2b =1(a >b >0)的两个焦点分别为F 1，F 2，离心率为√22，且过点(2,√2)．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）M ，N ，P ，Q 是椭圆C 上的四个不同的点，两条都不和x 轴垂直的直线MN 和PQ 分别过点F 1，F 2，且这两条直线互相垂直，求证：1|MN|+1|PQ|为定值．设A 是由n 个有序实数构成的一个数组，记作：A =(a 1, a 2,…,a i ,…,a n )．其中a i (i =1, 2,…,n)称为数组A 的“元”，S 称为A 的下标．如果数组S 中的每个“元”都是来自 数组A 中不同下标的“元”，则称A =(a 1, a 2,…,a n )为B =(b 1, b 2,…b n )的子数组．定义两个数组A =(a 1, a 2,…,a n )，B =(b 1, b 2,…,b n )的关系数为C(A, B)=a 1b 1+a 2b 2+...+a n b n ．（1）若A =(−12，12)，B =(−1, 1, 2, 3)，设S 是B 的含有两个“元”的子数组，求C(A, S)的最大值；（2）若A =(√33，√33，√33)，B =(0, a, b, c)，且a 2+b 2+c 2=1，S 为B 的含有三个“元”的子数组，求C(A, S)的最大值．参考答案与试题解析2013年北京市东城区高考数学一模试卷（文科）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1.【答案】 B【考点】 补集及其运算 【解析】直接利用补集的定义，求出A 的补集即可． 【解答】解：因为全集U ={1, 2, 3, 4}，集合A ={1, 2}，那么集合∁U A ={3, 4}． 故选B ． 2.【答案】 C【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 【解析】当a =1 时，经检验，两直线平行，故充分性成立；当两直线平行时，由斜率相等得到a =1，故必要性也成立． 【解答】解：当a =1 时，直线x +(a +1)y +4=0即x +2y +4=0，显然两直线平行，故充分性成立． 当直线x +2y =0与直线x +(a +1)y +4=0平行，由斜率相等得−12=−1a+1，a =1， 故由直线x +2y =0与直线x +(a +1)y +4=0平行，能推出a =1，故必要性成立． 综上，“aa =1”是“直线x +2y =0与直线x +(a +1)y +4=0平行”的充分必要条件， 故选C ． 3.【答案】 C【考点】平面向量的基本定理及其意义 【解析】如图所示，利用向量的减法法则即可得出． 【解答】解：如图所示，由向量的减法法则可得： BC →=AC →−AB →=b →−a →．故选C ．4. 【答案】 A 【考点】 程序框图 【解析】本循环结构是经过n 次循环，计算S =11×2+12×3+...+1n(n+1)，由此能求出结果．【解答】解：经过n 次循环， 计算S =11×2+12×3+...+1n(n+1)=1−1n+1=nn+1，∵ 程序框图输出的结果是56， ∴ nn+1=56，∴ n =5．∴ n =6时，跳出循环． 故选A ． 5.【答案】 C【考点】由三视图求体积 【解析】由题可知，图形是一个放倒的底面是直角梯形的四棱柱的三视图，求出表面积即可． 【解答】解：由题可知，三视图复原的几何体是一个放倒的底面是直角梯形的四棱柱， 所以几何体的侧面积S =(1+1+2+√2)×1=4+√2 (cm 2)． 故选C ． 6.【答案】 D【考点】 抛物线的求解 【解析】利用抛物线的定义，得|PA|+|PF|=|PA|+|PQ|．因此问题转化为求|PA|+|PQ|取最小值时P 点的坐标，再利用P 、A 、Q 三点共线时距离最小，即可求出满足条件的P 点坐标．【解答】解：根据抛物线的定义，点P 到焦点F 的距离等于它到准线l 的距离设点P 到准线l:x =−1的距离为PQ ，则所求的|PA|+|PF|最小值，即|PA|+|PQ|的最小值；根据平面几何知识，可得当P 、A 、Q 三点共线时|PA|+|PQ|最小， ∴ |PA|+|PQ|的最小值为A 到准线l 的距离；此时P 的纵坐标为1，代入抛物线方程得P 的横坐标为14，得P(14，1)故选：D 7. 【答案】A【考点】数列的求和【解析】利用已知函数的关系求出数列的前几项，得到数列是周期数列，然后求出通过周期数列的和，即可求解本题．【解答】解：因为数列{x n }满足x 1=2，且对任意n ∈N*，点(x n , x n+1)都在函数y =f(x)的图象上，x n+1=f(x n )，所以x 1=2，x 2=4，x 3=8，x 4=2，x 5=4，x 6=8，x 7=2，x 8=4…所以数列是周期数列，周期为3，一个周期内的和为14，所以x 1+x 2+x 3+x 4+...+x 2012+x 2013=671×(x 1+x 2+x 3)=9394． 故选A ． 8. 【答案】A【考点】根的存在性及根的个数判断【解析】先作出当x ≥−3时函数f(x)=2x −3的图象，观察图象的交点所在区间，再根据对称性得出另一个交点所在区间即可．【解答】解：作出当x ≥−3时函数f(x)=2x −3的图象，观察图象的交点所在区间在(1, 2)．∵ f(1)=21−3=−1<0，f(2)=22−3=1>0，∴ f(1)⋅f(2)<0，∴ 有零点的区间是(1, 2)，因定义在R 上的函数f(x)的对称轴为x =−3，故另一个零点的区间是(−8, −7)，则k 的值为2或−7．故选A ．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．【答案】−1+i 【考点】复数代数形式的乘除运算【解析】利用复数的运算法则即可得出．【解答】解：i(1+i)=i −1=−1+i ．故答案为−1+i ．【答案】84,2【考点】茎叶图众数、中位数、平均数【解析】 先从茎叶图中分析出甲、乙两人的成绩数据，再根据中位数和平均数的求法进行运算即得．【解答】解：由图可知，甲，乙两人共有5次测试成绩，分别是：甲：76、83、84、87、90乙：79、80、82、88、91则甲、乙两人5次体育测试成绩的中位数分别为84、82，平均数分别为 甲¯=76+83+84+87+905=84，乙¯=79+80+82+88+915=84 故乙5次测试成绩的平均数与中位数之差是 2．故答案为：84，2．【答案】2,2【考点】简单线性规划【解析】先画出可行域，再利用三角形面积公式求第一问；第二问需由z =x +y ，再变形为y =−x +z ，则过点B 时z最大． 【解答】解：不等式组所表示的平面区域如图所示 解得A(2, −2)、B(2, 0)、C(0, 0)， 所以S △ABC=12×2×2=2；由z =x +y ，则y =−x +z ，所以直线经过点B 时x +y 取得最大值，最大值为2+0=2．故答案为：2，2．【答案】1 【考点】古典概型及其概率计算公式 【解析】根据所抽取的数据拼成两位数，得出总数及是5的倍数的数，求概率． 【解答】解：如下表，任意抽取两个不同数字组成一个两位数，共12种情况，其中是5的倍数的有15，35，75三种， ∴ 组成两位数能被3整除的概率为312=14．故答案为：14．【答案】 ①②③ 【考点】命题的真假判断与应用 【解析】由题意可解出该函数的所有对称轴，对称区间和单调递增区间，取整数k 的特殊值，比较选项即可得答案． 【解答】解：由x −π3=kπ+π2，可得x =kπ+5π6，k ∈Z ， 当k =0时，可得其中一条对称轴为x =5π6，故①正确；由x −π3=kπ，可得x =kπ+π3，k ∈Z ， 当k =1时，可得其中一个对称点的横坐标为x =4π3，故②正确；由2kπ−π2≤x −π3≤2kπ+π2得2kπ−π6≤x ≤2kπ+5π6，k ∈Z ，当k =0时，可得其中一个单调递增区间为[−π6, 5π6]， 因为[π3，5π6]真包含于[−π6, 5π6]，所以函数在[π3，5π6]上单调递增，故③正确．故答案为：①②③ 【答案】a 89,第45行的第77列 【考点】数列的函数特性 等比数列的通项公式【解析】①由于每行的所有数的个数形成等差数列，故可得到前9行的数的个数，从而得出答案；②由①可知前k 行所有a i 的个数为b 1+b 2+...b k =1+3+…(2k −1)=k 2．解出(k −1)2≤2013即可得出答案． 【解答】解：①设每行的数的个数为数列{b n }，则此数列为首项为1，公差为2的等差数列，∴ b n =1+(n −1)×2=2n −1．于是前9行所有a n 的个数为b 1+b 2+...+b 9=9(1+2×9−1)2=81．∴ 位于第10行的第8列的项等于a 81+8=a 89=a 89．②由①可知：前k 行所有a i 的个数为b 1+b 2+...b k =1+3+…(2k −1)=k 2．由(k −1)2<2013，解得k <1+√2013， 而442<2013<452，∴ k <1+44=45． ∴ 前44行的所有数a i 的个数为442=1936． 而1936+77=2013，∴ a 2013在图中位于第45行的第77列． 故答案为：a 89，第45行的第77列．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 【答案】（1）因为b sin A =√3a cos B ，由正弦定理可得sin B sin A =√3sin A cos B ． 因为在△ABC 中，sin A ≠0，所以tan B =√3． 又0<B <π，所以B =π3．（2）由余弦定理b2＝a2+c2−2ac cos B，因为B=π3，b=2√3，所以12＝a2+c2−ac．因为a2+c2≥2ac，所以ac≤12．当且仅当a=c=2√3时，ac取得最大值12．【考点】余弦定理正弦定理【解析】(Ⅰ)因为b sin A=√3a cos B，由正弦定理求得tan B=√3，从而求得B的值．(Ⅱ)由余弦定理求得12＝a2+c2−ac，再利用基本不等式求得ac的最大值．【解答】（1）因为b sin A=√3a cos B，由正弦定理可得sin B sin A=√3sin A cos B．因为在△ABC中，sin A≠0，所以tan B=√3．又0<B<π，所以B=π3．（2）由余弦定理b2＝a2+c2−2ac cos B，因为B=π3，b=2√3，所以12＝a2+c2−ac．因为a2+c2≥2ac，所以ac≤12．当且仅当a=c=2√3时，ac取得最大值12．【答案】证明：（1）取BE的中点G，连接GF，GD．∵F是BC的中点，则GF为△BCE的中位线．∴GF // EC，GF=12CE．∵AD⊥平面ABC，CE⊥平面ABC，∴GF // EC // AD．又∵AD=12CE，∴GF=AD．∴四边形GFAD为平行四边形．∴AF // DG．∵DG⊂平面BDE，AF⊄平面BDE，∴AF // 平面BDE．（2）∵AB=AC，F为BC的中点，∴AF⊥BC．∵EC // GF，EC⊥平面ABC，∴GF⊥平面ABC．又AF⊂平面ABC，∴GF⊥AF．∵GF∩BC=F，∴AF⊥平面BCE．∵AF // DG，∴DG⊥平面BCE．又DG⊂平面BDE，∴平面BDE⊥平面BCE．【考点】平面与平面垂直的判定直线与平面平行的判定【解析】（1）取BE的中点G，连接GF，GD．利用三角形的中位线定理即可得到GF // EC，GF=12CE．由AD⊥平面ABC，CE⊥平面ABC，利用线面垂直的性质定理即可得到AD // EC，进而即可判断四边形AFGD为平行四边形，得到AF // DG，再利用线面平行的判定定理即可证明；（2）利用等腰三角形的性质即可得到AF⊥BC，再利用线面垂直的性质得到GF⊥AF，利用线面垂直的判定定理即可证明AF⊥平面BEC，而DG // AF，得到DG⊥平面BEC，利用面面垂直的定理即可证明结论．【解答】证明：（1）取BE的中点G，连接GF，GD．∵F是BC的中点，则GF为△BCE的中位线．∴GF // EC，GF=12CE．∵AD⊥平面ABC，CE⊥平面ABC，∴GF // EC // AD．又∵AD=12CE，∴GF=AD．∴四边形GFAD为平行四边形．∴AF // DG．∵DG⊂平面BDE，AF⊄平面BDE，∴AF // 平面BDE．（2）∵AB=AC，F为BC的中点，∴AF⊥BC．∵EC // GF，EC⊥平面ABC，∴GF⊥平面ABC．又AF⊂平面ABC，∴GF⊥AF．∵GF∩BC=F，∴AF⊥平面BCE．∵AF // DG，∴DG⊥平面BCE．又DG⊂平面BDE，∴平面BDE⊥平面BCE．【答案】（1）应抽取综合素质测评结果是优秀等级的20份；（2）优秀等级的学生中男生人数比女生人数多的概率为511．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率分层抽样方法【解析】（1）根据样本容量为2000，运用减法算出优秀等级的学生人数为500，再由分层抽样的公式即可算出应抽取综合素质测评结果是优秀等级的份数；（2）设“优秀等级的学生中男生人数比女生人数多”为事件A，分别列举出(x, y)的所有可能情况和满足x>y 的数组(x, y)的情况，再用随机事件的概率公式即可算出优秀等级的学生中男生人数比女生人数多的概率．【解答】解：（1）由表可知，优秀等级的学生人数为x+y=2000−(380+373+370+377)=500．因此，应抽取综合素质测评结果是优秀等级的份数为500×802000=20，即在优秀等级的学生中应抽取20份．（2）设“优秀等级的学生中男生人数比女生人数多”为事件A．∵x+y=500，x≥245，y≥245，且x，y为正整数，∴数组(x, y)的可能取值为：(245, 255)，(246, 254)，(247, 253)，…，(255, 245)，共11个．其中满足x>y的数组(x, y)的所有可能取值为：(255, 245)，(254, 246)，(253, 247)，(252, 248)，(251, 249)共5个，即事件A包含的基本事件数为5．因此，所求概率为P(A)=511．答：（1）应抽取综合素质测评结果是优秀等级的20份；（2）优秀等级的学生中男生人数比女生人数多的概率为511．【答案】解：（1）当m=2时，f(x)=2ln x+x．f′(x)=2x +1=x+2x．所以f′(1)=3．又f(1)=1，所以曲线y=f(x)在点（1, f(1)）处的切线方程是y−1=3(x−1)，即3x−y−2=0．（2）函数f(x)的定义域为(0, +∞)，f′(x)=mx +m−1=(m−1)x+mx．当m≤0时，由x>0知f′(x)=mx+m−1<0恒成立，此时f(x)在区间(0, +∞)上单调递减．当m≥1时，由x>0知f′(x)=mx+m−1>0恒成立，此时f(x)在区间(0, +∞)上单调递增．当0<m<1时，由f′(x)>0，得x<m1−m，由f′(x)<0，得x>m1−m，此时f(x)在区间(0,m1−m)内单调递增，在区间(m1−m，+∞)内单调递减．( III)由（2）知函数f(x)的定义域为(0, +∞)，当m≤0或m≥1时，f(x)在区间(0, +∞)上单调，此时函数f(x)无最大值．当0<m<1时，f(x)在区间(0,m1−m)内单调递增，在区间(m1−m，+∞)内单调递减，所以当0<m<1时函数f(x)有最大值，最大值M=f(m1−m)=m ln m1−m−m．因为M>0，所以有m ln m1−m−m>0，解之得m>e1+e．所以m的取值范围是(e1+e，1)．【考点】导数求函数的最值利用导数研究函数的单调性利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】（1）当m=2时求出导数f′(x)，则切线斜率k=f′(1)，f(1)=1，利用点斜式即可求得切线方程；（2）先求出函数定义域，在定义域内分m≤0，m≥1，0<m<1三种情况解不等式f′(x)>0，f′(x)<0即可；( III)分情况进行讨论：当m≤0或m≥1时f(x)单调，最值情况易判断；当0<m<1时，由单调性易求得其最大值，令其大于0，解出即可；【解答】解：（1）当m=2时，f(x)=2ln x+x．f′(x)=2x+1=x+2x．所以f′(1)=3．又f(1)=1，所以曲线y=f(x)在点（1, f(1)）处的切线方程是y−1=3(x−1)，即3x−y−2=0．（2）函数f(x)的定义域为(0, +∞)，f′(x)=mx+m−1=(m−1)x+mx．当m≤0时，由x>0知f′(x)=mx+m−1<0恒成立，此时f(x)在区间(0, +∞)上单调递减．当m≥1时，由x>0知f′(x)=mx+m−1>0恒成立，此时f(x)在区间(0, +∞)上单调递增．当0<m <1时，由f ′(x)>0，得x <m1−m ，由f ′(x)<0，得x >m1−m ， 此时f(x)在区间(0,m 1−m)内单调递增，在区间(m 1−m，+∞)内单调递减．( III)由（2）知函数f(x)的定义域为(0, +∞)，当m ≤0或m ≥1时，f(x)在区间(0, +∞)上单调，此时函数f(x)无最大值． 当0<m <1时，f(x)在区间(0,m1−m )内单调递增，在区间(m1−m ，+∞)内单调递减， 所以当0<m <1时函数f(x)有最大值，最大值M =f(m1−m )=m ln m1−m −m ． 因为M >0，所以有m ln m1−m −m >0，解之得m >e1+e ． 所以m 的取值范围是(e 1+e，1)．【答案】（1）解：由已知e =ca =√22，得b 2a 2=a 2−c 2a 2=1−e 2=12．所以a 2=2b 2．所以C:x 22b 2+y 2b 2=1，即x 2+2y 2=2b 2． 因为椭圆C 过点(2,√2)，所以22+2(√2)2=2b 2， 得b 2=4，a 2=8． 所以椭圆C 的方程为x 28+y 24=1．（2）证明：由（1）知椭圆C 的焦点坐标为F 1(−2, 0)，F 2(2, 0)．根据题意，可设直线MN 的方程为y =k(x +2)，由于直线MN 与直线PQ 互相垂直，则直线PQ 的方程为y =−1k (x −2)． 设M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)．由方程组{y =k(x +2)x 28+y 24=1消y 得(2k 2+1)x 2+8k 2x +8k 2−8=0．则 x 1+x 2=−8k 22k 2+1，x 1x 2=8k 2−82k 2+1． 所以|MN|=√1+k 2|x 1−x 2|=√1+k 2⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=4√2(1+k 2)2k 2+1． 同理可得|PQ|=4√2(1+k 2)k 2+2． 所以1|MN|+1|PQ|=24√2(1+k 2)24√2(1+k 2)=24√2(1+k 2)=3√28． 【考点】直线与椭圆结合的最值问题 椭圆的标准方程 【解析】（1）由离心率为√22，即c a=√22可得a 2=2b 2，从而C:x 22b 2+y 2b 2=1，再把点(2,√2)代入椭圆方程即可求得b 2，进而得到a 2．（2）由（1）写出焦点F 1，F 2的坐标，设直线MN 的方程为y =k(x +2)，由直线MN 与直线PQ 互相垂直得直线PQ 的方程为y =−1k (x −2)，设M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)．联立直线MN 与椭圆方程消掉y 得x 的二次方程，由韦达定理及弦长公式可用k 表示|MN|，同理可表示出|PQ|，计算即可得到1|MN|+1|PQ|为定值． 【解答】（1）解：由已知e =c a=√22，得b 2a2=a 2−c 2a 2=1−e 2=12．所以a 2=2b 2． 所以C:x 22b2+y 2b 2=1，即x 2+2y 2=2b 2．因为椭圆C 过点(2,√2)，所以22+2(√2)2=2b 2，得b 2=4，a 2=8． 所以椭圆C 的方程为x 28+y 24=1．（2）证明：由（1）知椭圆C 的焦点坐标为F 1(−2, 0)，F 2(2, 0)． 根据题意，可设直线MN 的方程为y =k(x +2)，由于直线MN 与直线PQ 互相垂直，则直线PQ 的方程为y =−1k (x −2)．设M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)．由方程组{y =k(x +2)x 28+y 24=1消y 得(2k 2+1)x 2+8k 2x +8k 2−8=0．则 x 1+x 2=−8k 22k 2+1，x 1x 2=8k 2−82k 2+1． 所以|MN|=√1+k 2|x 1−x 2|=√1+k 2⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=4√2(1+k 2)2k 2+1． 同理可得|PQ|=4√2(1+k 2)k 2+2． 所以1|MN|+1|PQ|=24√2(1+k 2)24√2(1+k 2)=24√2(1+k 2)=3√28． 【答案】 解：（1）依据题意，当S =(−1, 3)时，C(A, S)取得最大值为2．（2）①当0是S 中的“元”时，由于A 的三个“元”都相等，及B 中a ，b ，c 三个“元”的对称性，可以只计算C(A,S)=√33(a +b)的最大值，其中a 2+b 2+c 2=1．由(a +b)2=a 2+b 2+2ab ≤2(a 2+b 2)≤2(a 2+b 2+c 2)=2， 得 −√2≤a +b ≤√2． 当且仅当c =0，且a =b =√22时，a +b 达到最大值√2，于是C(A,S)=√33(a +b)=√63．②当0不是S 中的“元”时，计算C(A,S)=√33(a +b +c)的最大值，由于a 2+b 2+c 2=1，所以(a +b +c)2=a 2+b 2+c 2+2ab +2ac +2bc ≤3(a 2+b 2+c 2)=3， 当且仅当a =b =c 时，等号成立． 即当a =b =c =√33时，a +b +c 取得最大值√3，此时C(A,S)=√33(a +b +c)=1．综上所述，C(A, S)的最大值为1． 【考点】平均值不等式在函数极值中的应用 排序不等式及应用【解析】（1）依据题意中“元”的含义，可知当S =(−1, 3)时，C(A, S)取得最大值为2．（2）对0是不是S 中的“元”进行分类讨论：①当0是S 中的“元”时，由于A 的三个“元”都相等，及B 中a ，b ，c 三个“元”的对称性，利用平均值不等式计算C(A,S)=√33(a +b)的最大值，②当0不是S 中的“元”时，只须计算C(A,S)=√33(a +b +c)的最大值即可，最后综上即可得出C(A, S)的最大值．【解答】解：（1）依据题意，当S =(−1, 3)时，C(A, S)取得最大值为2．（2）①当0是S 中的“元”时，由于A 的三个“元”都相等，及B 中a ，b ，c 三个“元”的对称性，可以只计算C(A,S)=√33(a +b)的最大值，其中a 2+b 2+c 2=1．由(a +b)2=a 2+b 2+2ab ≤2(a 2+b 2)≤2(a 2+b 2+c 2)=2， 得 −√2≤a +b ≤√2． 当且仅当c =0，且a =b =√22时，a +b 达到最大值√2，于是C(A,S)=√33(a +b)=√63． ②当0不是S 中的“元”时，计算C(A,S)=√33(a +b +c)的最大值，由于a 2+b 2+c 2=1，所以(a +b +c)2=a 2+b 2+c 2+2ab +2ac +2bc ≤3(a 2+b 2+c 2)=3， 当且仅当a =b =c 时，等号成立． 即当a =b =c =√33时，a +b +c 取得最大值√3，此时C(A,S)=√33(a +b +c)=1．综上所述，C(A, S)的最大值为1．。
