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山西省运城市（新版）2024高考数学人教版能力评测(拓展卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题在中，，则的面积等于（）A．B．C．2D．第(2)题已知数据，，，，，，的极差和平均数相等，则实数的值为（）A．34B．35C．36D．37第(3)题极限存在是函数在点处连续的（）A．充分而不必要的条件B．必要而不充分的条件C．充要条件D．既不充分也不必要的条件第(4)题（）A．i B．C．1D．第(5)题已知数列满足，，若，则（）A．10B．15C．20D．25第(6)题古希腊后期的数学家帕普斯在他的《数学汇编》中探讨了圆锥曲线的焦点和准线的性质：平面内到一定点和定直线的距离成一定比例的所有点的轨迹是一圆锥曲线．这就是圆锥曲线的第二定义或称为统一定义．若平面内一动点到定点和到定直线的距离之比是，则点的轨迹为（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线第(7)题执行如图所示的程序框图，则输出的（）A．4B．5C．6D．7第(8)题如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=900,∠ACC1=600,∠BCC1=450,侧棱CC1的长为1，则该三棱柱的高等于A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题若直线与圆相交于，两点，则的长度可能为（）A．22B．24C．26D．28第(2)题已知平面直角坐标系中有两个定点，一个动点，直线的斜率分别为，且（为常数），则下列说法正确的是（）A．若，则动点在一抛物线上运动B．若，则动点在一圆上运动C．若，则动点在一椭圆上运动D．若，则动点到所在曲线焦点的最短距离是第(3)题设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点F，且与C交于点A，B两点，则（）A．B．C．D．的面积为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题如图,在中,为的中点,为上任一点,且,则的最小值为_______.第(2)题已知点M在曲线上，且曲线C在点M处的切线方程为，则点M的坐标是______．第(3)题已知点、，分别为双曲线的左、右焦点，是该双曲线的渐近线上一点，且满足，线段的延长线交轴于点，若，则此双曲线的离心率为________.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知函数．(1)解不等式；(2)记（1）中不等式的解集为中的最大整数值为，若正实数满足，求的最小值．第(2)题在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρsin（θ＋）＝a，曲线C2的参数方程为（φ为参数，0≤φ≤π）．（1）求C1的直角坐标方程；（2）当C1与C2有两个不同公共点时，求实数a的取值范围．第(3)题某综艺节目设置了嘉宾游戏环节，游戏共分两个阶段，其中第一阶段为闯关，根据每位嘉宾第一阶段的闯关得分情况，选择第二阶段的游戏内容.第一阶段共有四个关卡，四个关卡的对应分值分别为分.参与游戏的嘉宾依次闯这四个关卡，若在某个关卡闯关成功，则得到该关卡的分值，若闯关失败，则得不到该关卡的分值，且每一关是否能闯关成功互不影响.每位嘉宾依次闯过这四个关卡之后的累计得分，为该嘉宾在第一阶段的得分.已知某嘉宾能成功闯过这四个关卡的概率依次为.(1)求该嘉宾恰好闯过其中两个关卡的概率；(2)设该嘉宾第一阶段的得分为随机变量，求的数学期望.第(4)题定义：若对于任意的，数列满足，则称这个数列是“数列”．(1)已知首项为1的等差数列是“数列”，且恒成立，求的取值范围．(2)已知各项均为正整数的等比数列是“数列”，数列不是“数列”．记，若数列是“数列”．①求数列的通项公式．②是否存在正整数，使成等差数列？若存在，求出的所有值；若不存在，请说明理由．第(5)题已知是实常数，．(1)当时，求函数的单调增区间；(2)是否存在，使得是与有关的常数函数，求出所有满足条件的，若不存在，说明理由。
2022-2023学年期末考试理综卷化学答案7~13 CDADBCD27.（14分）【答案】(1)增大接触面积，加快化学反应速率，提高反应物的利用率（2分）评分标准：不写“提高反应物的利用率”不扣分(2)2MnO2+O2+4KOH2K2MnO4+2H2O（2分）评分标准：反应物和生成物都对了得1分；配平和反应条件都对了得1分(3)①KHCO3 （1分）②2MnO42-+2H2O2MnO4--+H2↑+2OH- （2分）评分标准：反应物和生成物都对了得1分；配平和反应条件都对了得1分③原料的利用率高(答案合理即可给分）（2分）(4)①温度降低，KMnO4的溶度积减小，使溶液中K+浓度与MnO4--浓度的乘积大于KMnO4的溶度积（答案合理即可给分）（2分）评分标准：答出“溶液中K+浓度与MnO4--浓度的乘积大于KMnO4的溶度积”给2分②KOH （1分）增大溶液的碱性，防止K2MnO4发生歧化反应(答案合理即可给分）（2分）评分标准：“增大溶液的碱性”得1分；“防止K2MnO4发生歧化反应”得1分28.（15分）【答案】（1）防止浓度过大发生分解（2分）（2）分液漏斗（1分） N A（1分）防止倒吸（做安全瓶等答案合理都可给分）（1分）（3）2NaOH+2ClO2+H2O2=2NaClO2+2H20+O2（2分）评分标准：反应物和生成物都对了得1分；配平和反应条件都对了得1分（4）对反应液进行冷却，防止温度过高ClO2和H2O2分解（2分）评分标准：“防止温度过高ClO2和H2O2分解“，少写1种物质扣1分（5）4 （1分） 0.8 （1分）（6）（2分）（7）4I-+O2+4H+=2I2+2H2O（2分）评分标准：反应物和生成物都对了得1分；配平和反应条件都对了得1分【答案】29.（14分）【答案】 （1）+41kJ/mol （2分） 评分标准：不写单位扣1分 （1）①< （1分）评分标准：写“小于”不得分②压强增大到一定程度时，水液化，促进反应正向进行，2(H )α增大（2分） （2）① > （1分）评分标准：写“大于”不得分② 时以反应①为主，反应①前后气体分子数相等，压强改变对平衡没有影响（2分） 评分标准：没有写“ 时以反应①为主”扣1分 （4）2.0 （2分） 3（2分） （5）C （2分） 30.（15分）【答案】(1) 第四周期第IVB 族 （1分） 4d 105s 25p 1（2分）评分标准：能级顺序写错扣2分，电子数写错扣2分 （2）① 四面体形 （2分）评分标准：写成“正四面体”扣2分，无“形”不扣分，写成“型”扣1分 ② ABC （2分）评分标准：少选一个扣1分，错选1个扣1分 ③[Ga(NH 3)5Cl]Cl 2（2分） 评分标准：没有[ ]不扣分（3）NH 3中的孤对电子与Cu 2+配位，受到Cu 2+吸引，对N —H 键成键电子对斥力减弱，故N—H 键键角变大（2分）评分标准：写成“[Cu(NH 3)4]2+中N 原子无孤电子对，独立的氨分子中N 原子有孤电子对”给1分（4） ① 2-30A 320N a c 10⋅⨯(或322A 3.210N a c⨯⋅) （2分） ② 7：2（2分）高三生物1.C2.B3.D4.A5.C6.D31.（12分，除特殊标注外，每空2分）（1）细胞质基质和线粒体（2）大于B组密闭气室中CO2浓度不变，表明整个天竺葵植株的光合速率与呼吸速率相等，植株中部分细胞只能进行呼吸作用，因此叶肉细胞的光合速率应该大于其呼吸速率（3分）（3）（y2-y1）/x1（4）C组天竺葵光合速率大于呼吸速率，会不断消耗密闭气室中CO2，随着CO2浓度降低，光合速率减小，当光合速率等于呼吸速率时，密闭气室中CO2浓度不变（3分）32.（10分，除特殊标注外，每空2分）（1）细胞因子和抗体（2）辅助性T细胞表面的特定分子发生变化并与V细胞结合浆细胞（1分）病毒的增殖或对人体细胞的黏附（3）免疫防御、免疫自稳、免疫监视（3分）33.（10分，除特殊标注外，每空1分）（1）分解者非生物的物质和能量（2）1%~4%（2分）（3）在苹果园中套种豆科植物，使共生的固氮菌增加土壤的含氮量；在苹果园中适当养殖鸡、鸭等家禽，来捕食害虫；通过种植良性杂草或牧草，繁殖天敌来治虫(答出其中两点即可，其他答案合理即可)（4分）（4）防风固沙水土保持34.（12分，除特殊标注外，每空1分）（1）a和b（2）40或2（2分）（3）DdZ E Z E（2分）（4）实验思路：让纯合的有鳞毛和无鳞毛的蚕蛾雌、雄个体进行正反交实验，得到F1，观察并统计F1个体的表型及比例。
山西省运城市2024年数学（高考）部编版真题(评估卷)模拟试卷一、单项选择题（本题包含8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）(共8题)第(1)题复数的虚部为（）A．1B．C．-1D．第(2)题已知正四棱台的上底面积为16，下底面积为64，且其各个顶点均在半径的球O的表面上，则该四棱台的高为（）A．2B．8C．2或12D．4或8第(3)题已知集合，则（）A．B．C．D．第(4)题过双曲线的左焦点作倾斜角为的直线交于两点．若，则（）A．B．C．D．第(5)题已知是圆上的动点，点满足，点，则的最大值为（）A．8B．9C．D．第(6)题已知，则复数z的虚部为（）A．1B．-i C．-1D．第(7)题在等比数列中，，，则（）A．B．C．D．第(8)题已知集合，，则（）A．B．C．D．二、多项选择题（本题包含3小题，每小题6分，共18分。
在每小题给出的四个选项中，至少有两个选项正确。
全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错或不答的得0分） (共3题)第(1)题如图，在棱长为1的正方体中，M为平面ABCD内一动点，则（）A．若M在线段AB上，则的最小值为B．平面被正方体内切球所截，则截面面积为C ．若与AB所成的角为，则点M的轨迹为椭圆D．对于给定的点M，过M有且仅有3条直线与直线，所成角为第(2)题下列说法正确的是（）A．频率分布直方图中最高的小矩形底边中点的横坐标是众数的估计值B．已知一组数据的方差为5，则这组数据的每个数都加上3后方差为8C ．若随机变量服从二项分布，则D．已知随机变量服从正态分布，若，则第(3)题过点的直线与圆交于A，B两点，线段MN是圆C的一条动弦，且，则（）A．面积的最大值为B．面积的最大值为C．的最小值为D．的最小值为三、填空（本题包含3个小题，每小题5分，共15分。
请按题目要求作答，并将答案填写在答题纸上对应位置） (共3题)第(1)题某公益社团有中学生36 人，大学生24 人，研究生16 人，现用分层抽样的方法从中抽取容量为19 的样本，则抽取的中学生的人数是___________ ．第(2)题已知是双曲线上的点，过点作双曲线两渐近线的平行线，直线分别交轴于两点，则__．第(3)题圆锥曲线有丰富的光学性质，从椭圆焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过另一个焦点；从抛物线焦点发出的光线，经过抛物线上一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴.已知椭圆C：）过点，由点发出的平行于x轴的光线经过抛物线：反射到椭圆C上后，反射光线经点，则椭圆C的方程为___.四、解答题（本题包含5小题，共77分。
山西省运城市2024高三冲刺（高考数学）统编版（五四制）能力评测(提分卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若复数（i为虚数单位）为“等部复数”，则实数a的值为（）A．B．C．0D．1第(2)题将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若对满足的，总有的最小值等于，则（）A．B．C．D．第(3)题已知集合，，则（）A．B．C．D．第(4)题在等比数列中，是函数的极值点，则a5＝（）A．或B．C．D．第(5)题为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田．这n块地的亩产量（单位：kg）分别为x1，x2，…，x n，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是A．x1，x2，…，x n的平均数B．x1，x2，…，x n的标准差C．x1，x2，…，x n的最大值D．x1，x2，…，x n的中位数第(6)题从甲、乙等名专家中任选人前往某地进行考察，则甲、乙人中至少有人被选中的概率为（）A．B．C．D．第(7)题已知数列为等比数列，，是方程的两个根，设等差数列的前项和为，若，则（）A．或B．C．18D．2第(8)题，则A．R<Q<P B．P<R<Q C．Q<R<P D．R<P<Q二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题下列命题正确的有（）A．空间中两两相交的三条直线一定共面B．已知不重合的两个平面，，则存在直线，，使得，为异面直线C．过平面外一定点，有且只有一个平面与平行D．已知空间中有两个角，，若直线直线，直线直线，则或第(2)题在棱长为1的正方体中，点，分别满足，，其中，，则（）A．当时，三棱锥的体积为定值B．当时，点，到平面的距离相等C．当时，存在使得平面D．当时，第(3)题为调研加工零件效率，调研员通过试验获得加工零件个数与所用时间（单位：）的5组数据为：，根据以上数据可得经验回归方程为：，则（ ）A ．B ．回归直线必过点C ．加工60个零件的时间大约为D ．若去掉，剩下4组数据的经验回归方程会有变化三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题记的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为，，，则________．第(2)题已知平面向量，，若向量，则________．（其中用坐标形式表示）第(3)题正四棱锥S -ABCD 的底面边长和各侧棱长都为，点S 、A 、B 、C 、D 都在同一个球面上，则该球的体积为______．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知函数(1)讨论的单调性；(2)令，若存在，使得成立，求整数的最小值．第(2)题在平面直角坐标系xOy 中，椭圆左、右焦点分别为，，离心率为，两准线间距离为8，圆O 的直径为，直线l 与圆O 相切于第四象限点T ，与y 轴交于M 点，与椭圆C 交于点N （N 点在T 点上方），且．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）求直线l 的方程；（3）求直线l 上满足到，距离之和为的所有点的坐标．第(3)题已知椭圆：恰好经过，，，四点中的三个．（1）求椭圆的方程；（2）若为坐标原点，直线：与椭圆交于、两点，直线，的斜率分别为，，且为，的等比中项，求面积的最大值．第(4)题动点到点的距离与到直线的距离的比值为．（1）求动点的轨迹的方程；（2）过点的直线与点的轨迹交于两点，，设点，到直线的距离分别为，，当时，求直线的方程．第(5)题在正三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，分别在上，且平面．(1)求侧棱的长．(2)求与平面所成角的正弦值．。
运城市2023-2024学年高三摸底调研测试数学试题（答案在最后）2023.9本试题满分150分，考试时间120分钟.答案一律写在答题卡上.注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上.2．答题时使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚.3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.4．保持卡面清洁，不折叠，不破损.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一-项是符合题目要求的．1.已知集合{}220A x x x =+<，{}1B x x =>-，则A B ⋃=（）A.()2,0-B.()2,-+∞C.()1,-+∞ D.()1,0-【答案】B 【解析】【分析】根据解一元二次不等式的解法，结合集合并集的定义进行运算即可.【详解】由{}()2202,0A x x x =+<=-，而{}1B x x =>-，所以A B ⋃=()2,-+∞.故选：B 2.若复数z 满足()()1i 11z --=，则z=（）A.2B.1C.D.2【答案】A 【解析】【分析】根据复数除法运算法则和减法运算法则，给合复数模的运算公式进行运算即可.【详解】()()()()()i 1i 111i 1111i 1111i 1i 1i 1i 1i 1i 22z z z -+----=⇒-=⇒=-===-----+，因此2z ==，故选：A3.已知两条不同的直线m ，n 和平面α满足m α⊥，则“//m n ”是“n α⊥”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合线面垂直的性质进行判断即可．【详解】解：若//m n ，则由m α⊥，可得n α⊥，充分性成立；反之，若n α⊥，则由m α⊥，可得//m n ，必要性成立．所以“//m n ”是“n α⊥”的充要条件．故选：C ．4.甲单位有3名男性志愿者，2名女性志愿者；乙单位有4名男性志愿者，1名女性志愿者，从两个单位任抽一个单位，然后从所抽到的单位中任取2名志愿者，则取到两名男性志愿者的概率为（）A.15B.910C.35D.920【答案】D 【解析】【分析】运用古典概型运算公式进行求解即可.【详解】从所抽到的单位中任取2名志愿者，则取到两名男性志愿者的概率为：22342255C C 1192C 2C 20⨯+⨯=，故选：D5.已知()()()2lg2lg 10lg f x x x =⋅+，则()5f =（）A.1 B.2C.3D.4【答案】A 【解析】【分析】根据对数运算律计算即可.【详解】()()()()()()()()()()22225lg2lg 50lg5lg2lg5+lg10lg5lg2lg5+lg10lg5lg2lg5lg5+lg2lg5lg2lg5+lg2lg5lg10+lg2===l ====g5+lg2lg10=1f =⋅+⋅+⋅+⋅++故选：A.6.在数列{}n a 中，如果存在非零的常数T ，使得n T n a a +=对于任意正整数n 均成立，那么就称数列{}n a 为周期数列，其中T 叫做数列{}n a 的周期．已知数列{}n x 满足()*21Nn n n x x x x ++=-∈，若11x=，2x a=（1a ≤且0a ≠），当数列{}n x 的周期为3时，则数列{}n x 的前2024项的和2024S 为（）A.676B.675C.1350D.1349【答案】C 【解析】【分析】根据题意，求得341,2x a x a =-=-，得到41x =，求得1a =，进而得到1232x x x ++=，结合周期性，即可求解.【详解】因为2111,(x x a a =≤=且0)a ≠，满足()*21N n n n x x x x ++=-∈所以321=11x x x a a =--=-，因为数列{}n x 的周期为3，可得432221x x x a a =-=-=-=，所以1a =，所以1231,1,0x x x ===，所以1232x x x ++=，同理可得4561,1,0x x x ===，所以4562x x x ++=， ，所以20242023202467426742111350S a a =⨯++=⨯++=.故选：C.7.设1F ，2F 分别是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，O 为坐标原点，过左焦点1F 作直线1F P与圆222x y a +=切于点E ，与双曲线右支交于点P ，且满足()112OE OP OF =+，则双曲线的离心率为（）A.B.C.2D.【答案】D 【解析】【分析】由题意OE a =，再结合平面向量的性质与双曲线的定义可得22PF a =，14PF a =，再根据勾股定理列式求解决即可.【详解】∵E 为圆222x y a +=上的点，OE a ∴=，()112OE OP OF =+，∴E 是1PE 的中点，又O 是12F F 的中点，222PF OE a ∴==，且2//PF OE ，又122PF PF a -=，14PF a ∴=，1PF 是圆的切线，1 OE PF ∴⊥，21PF PF ∴⊥又12||2F F c =，22222212416420c PF PF a a a =+=∴=+，故225c a =，离心率ca=故选：D8.已知1sin 0.1a =+，1ln1.1b =+，101.01c =，则（）A .a b c<< B.b a c <<C.c<a<b D.b<c<a【答案】B 【解析】【分析】根据二项式展开式，得到 1.1c >，设()sin g x x x =-，利用导数得到()g x 在(0,)+∞上单调递增，根据()()00g x g >=，得到a c <，令()sin ln(1),(0,1)f x x x x =-+∈，得到a b >，即可求解.【详解】由()101012210101101010101.0110.11C 0.01C 0.01C 0.011C 0.01 1.1c ==+=+⋅+⋅++⋅>+⋅+= ，设()sin g x x x =-，可得()1cos 0g x x ='-≥恒成立，函数()g x 在(0,)+∞上单调递增，所以()()00g x g >=，所以sin x x >在在(0,)+∞上恒成立，所以1sin 0.110.1 1.1a =+<+=，所以a c <，设()21cos 1,(0,1)2x x x x ϕ=-+∈，可得()sin 0x x x ϕ'=-+>，所以()()00ϕϕ>=x ，所以211s 2co x x >-设()sin ln(1),(0,1)f x x x x =-+∈，可得()2111(2)(1)cos 101212(1)x x x f x x x x x x -+-'=->--=>+++，所以()f x 在(0,1)上单调递增，所以()()0.100f f >=，可得sin 0.1ln1.1>，即a b >，所以b a c <<.故选：B.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知函数()()322R x x a a f x x =-++∈的图像为曲线C ，下列说法正确的有（）A.R a ∀∈，()f x 都有两个极值点B.R a ∀∈，()f x 都有零点C.R a ∀∈，曲线C 都有对称中心D.R a ∃∈，使得曲线C 有对称轴【答案】ABC 【解析】【分析】根据函数极值的定义、零点的定义，结合函数的对称性的性质逐一判断即可.【详解】A ：()()()()3222341311x x x a f x x x x x f x '=-++⇒=-+=--，当1x >时，()()0,f x f x '>单调递增，当113x <<时，()()0,f x f x '<单调递减，当13x <时，()()0,f x f x '>单调递增，因此13x =是函数的极大值点，1x =是函数的极小值点，因此本选项正确；B ：当x →+∞时，()f x →+∞，当x →-∞时，()f x →-∞，而函数()f x 是连续不断的曲线，所以一定存在0R x ∈，使得()0f x =，因此本选项正确；C ：假设曲线C 的对称中心为(),b c ，则有()()()()()()32322222,f b x f b x c b x b x b x a b x b x b x a c ++-=⇒+-+++++---+-+=化简，得()232322b x c a b b b -=---+，因为x ∈R ，所以有322320320227b b c a b b b c a ⎧=⎪-=⎧⎪⇒⎨⎨---+=⎩⎪-=⎪⎩，因此给定a 一个实数，一定存在唯一的一个实数c 与之对应，因此假设成立，所以本选项说法正确；D ：由上可知当x →+∞时，()f x →+∞，当x →-∞时，()f x →-∞，所以该函数不可能是关于直线对称，因此本选项说法不正确，故选：ABC10.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，若点M 在线段1BC 上运动，则下列结论正确的是（）A.直线1//A M 平面1ACD B.三棱锥A M BC -与三棱锥1D MCD -的体积之和为43C.AMC的周长的最小值为8+D.当点M 是1BC 的中点时，CM 与平面11AD C 所成角最大【答案】ABD【解析】【分析】根据面面平行、线面平行的判定定理和性质，结合三棱锥的体积公式、线面角的定义、正方体展开图逐一判断即可.【详解】A ：如下图所示：因为1111ABCD A B C D -是正方体，所以11//A C AC ，而11A C ⊄平面1ACD ，AC ⊂平面1ACD ，所以11//A C 平面1ACD ，同理由1111ABCD A B C D -是正方体可得11//A B D C ，同理可证明1//A B 平面1ACD ，而1111111,,A C A B A A C A B ⋂=⊂平面11A C B ，所以平面11//A C B 平面1ACD ，而1A M ⊂平面11A C B ，所以直线1//A M 平面1ACD ，因此本选项正确；B ：如下图所示：过M 作1//EF BB ，交11BC 、BC 于E 、F ，过M 作//MG BC ，交1CC 于G ，因为11BCC B 是正方形，所以可得ME MG =，111111222222323233A MBC D MCD M ABC M CDD V V V V MF MG MF ME----+=+=⨯⨯⨯⋅+⨯⨯⨯⋅=+2242333EF =⋅=⨯=，因此本选项正确；C ：将平面11BCC B 与平面11ABC D展成同一平面，如下图所示：当,,A M C 三点共线时，AM MC +最小，作CN AB ⊥，交AB 延长线于N ，则2CN BN ==，2AN AB BN =+=+，AM MC AC +==，所以AMC的周长的最小值为，因此本选项不正确；D ：当点M 是1BC 的中点时，1CM BC ⊥，因为11D C ⊥平面11BCC B ，CM ⊂平面11BCC B ，所以11D C CM ^，而1111111,,BC D C C BC D C =⊂ 平面11AD C ，所以CM ⊥平面11AD C ，CM 与平面11AD C 所成角为π2，因此本选项正确，故选：ABD11.已知函数()()()2222,1log 1,1x x f x x x +⎧≤-⎪=⎨+>-⎪⎩，若关于x 的方程()f x m =有四个不等实根1x 、2x 、3x 、4x （1234x x x x <<<），则下列结论正确的是（）A.12m ≤<B.132x -≤<-C.233458122416x x x <++≤D.2212log mx x ++172【答案】BC 【解析】【分析】画图象判断m 和1x 的取值范围，可得A 错误，B 正确；将方程变形，用m 表示1x 、2x 、3x 、4x ，代入原式化简，利用导数求函数最值判断C 正确，利用基本不等式计算判断D 错误.【详解】如图，由函数()f x 的图像可知，12m <≤，A 错误；当2m =时，13x =-，当1m =时，122x x ==-，故132x -≤<-，B 正确；2324log (1)log (1)x x m -+=+=，则321m x -=-，421m x =-，所以2233422(21)2(21)2(21)mm m x x x --++=-+-+-22223m m -=+⨯-令2m t =，则(2,4]t ∈，原式2123y t t=+-，3332222t y t t-=-+='，显然在(2,4]t ∈时，0'>y ，即y 在(2,4]t ∈上单调递增，21522324y >+⨯-=，2181243416y ≤+⨯-=，即233458122416x x x <++≤，C 正确；由图像可知，22122)2)22x x m ++==（（，则12x =-，22x =-+，所以221222log 4log 224log 22log m m x x m m ++++⨯⨯+-⨯⨯282log log 8log 8210m m m =++=+≥+=，当且仅当logm =m =错误.故选：BC.12.已知函数()f x 的定义域为()0,∞+，其导函数为()f x '，且()()ln f x f x x x ='+，11e ef ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则（）A.()11e 1e 1ef f -⎛⎫⋅> ⎪⎝⎭B.()()e 1e e1f f -⋅>C.()f x 在()0,∞+上是增函数 D.()f x 存在最小值【答案】ABC 【解析】【分析】AB 选项，构造()()1ex F x f x -=，求导得到其单调性，从而判断AB 选项，CD 选项，构造()()1ex F x f x -=，二次求导，得到其单调性，判断CD.【详解】设()()1ex F x f x -=，则()()()()11e e ln x x F x f x f x x x --''=+=，当1x >时，()0F x '>，当01x <<时，()0F x '<，()()1e x F x f x -=在()1,+∞上单调递增，在()0,1上单调递减，A 选项，因为11e <，所以()11e F F ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即()11e1e 1e ff -⎛⎫> ⎪⎝⎭，A 正确；B 选项，因为e 1>，所以()()e 1F F >，即()()e 1e e 1f f ->，B 正确；C 选项，()()1ex F x f x -=，则()()()1ex F x F x f x -'-'=，令()()()g x F x F x '=-，则()()()111e ln e ln e 1ln x x x g x x x x x x ---''=-=+，当1e x >时，()0g x '>，当10ex <<时，()0g x '<，故()()()g x F x F x '=-在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增，又11111111e e e e11111111e ln e e +e 0e e e e e e e e g F F f ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫'=-=⋅-=-⋅⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故()()()0g x F x F x '=-≥恒成立，所以()()()10ex F x F x f x -'-'=≥在()0,∞+上恒成立，故()f x 在()0,∞+上是增函数，C 正确；D 选项，由C 选项可知，函数()f x 在()0,∞+上单调递增，故无最小值.故选：ABC【点睛】利用函数()f x 与导函数()f x '的相关不等式构造函数，然后利用所构造的函数的单调性解不等式，是高考常考题目，以下是构造函数的常见思路：比如：若()()0f x f x +'>，则构造()()e xg x f x =⋅，若()()0f x f x '->，则构造()()xf xg x =e，若()()0f x xf x '+>，则构造()()g x xf x =，若()()0f x xf x '->，则构造()()f x g x x=.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知向量a ，b 满足：a 5()2a b + ⊥a ，则a b ⋅ =_______【答案】52-## 2.5-【解析】【分析】由向量垂直即可得数量积为0,代入模长即可求解.【详解】由()2a b + ⊥a 可得252=02a ab a b ，+⋅∴⋅=-，故答案为：52-14.已知()()4529012912x x a a x a x a x +-=++++ ，则2468a a a a +++=______________．【答案】24【解析】【分析】利用赋值法进行求解即可.【详解】在()()4529012912x x a a x a x a x +-=++++ 中，令1x =，得()()450129111216a a a a +-=++++=- ①，令=1x -，得()()45012911120a a a a -+--=-++-= ②，令0x =，得()()450010232a +-==-①+②，得()()024682468221616232242a a a a a a a a a ++++=-⇒+--⨯-==++，故答案为：2415.已知函数()22π()2sin cos ()sin 024x f x x x ωωωω=-->，现将该函数图象向右平移π4ω个单位长度，得到函数()g x 的图象，且()g x 在区间3(,)24ππ上单调递增，则ω的取值范围为______________．【答案】711(0,1][,23【解析】【分析】根据给定条件，化简函数()f x ，结合图象平移求出函数()g x ，进而求出单调递增区间，再列出不等式求解作答.【详解】函数22π()sin [1cos()]sin sin (1sin )sin sin 2f x x x x x x x x ωωωωωωω=+--=+-=，因此ππ)sin())44((g x x f x ωω==--，0ω>，由πππ2π2π,Z 242k x k k ω-≤≤+∈-，解得2ππ2π3π,Z 44k k x k ωωωω-≤≤+∈，即函数()g x 在2ππ2π3π[,](Z)44k k k ωωωω-+∈上单调递增，于是)π3π(2,2πππ3π[,](Z 4244k k k ωωωω-∈⊆+，即2πππ42,Z 2π3π3π44k k k ωωωω⎧-≤⎪⎪∈⎨⎪+≥⎪⎩，解得142,Z 813k k k ωω⎧≥-⎪⎪∈⎨⎪≤+⎪⎩，由811432,Z 8103k k k k ⎧+≥-⎪⎪∈⎨⎪+>⎪⎩，得3988k -<≤，而Z k ∈，即0k =或1k =，当0k =时，01ω<≤，当1k =时，71123ω≤≤，所以ω的取值范围为711(0,1][,23.故答案为：711(0,1][,2316.已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点F 到其准线的距离为2，圆M ；()2211x y -+=，过F 的直线l与抛物线C 和圆M 从上到下依次交于A ，P ，Q ，B 四点，则94AP BQ +的最小值为______________．【答案】12【解析】【分析】根据已知条件先求出抛物线的方程，然后将问题转化为计算“9||4||13AF BF +-”的最小值，通过抛物线的焦半径公式将9||4||13AF BF +-表示为坐标的形式，采用直线与抛物线联立的思想，根据韦达定理和基本不等式求解出最小值.【详解】因为抛物线的焦点到准线的距离为2，所以2p =，所以抛物线方程为24y x =，如下图，1PF QF ==，因为()()9||4||9||||4||||9||4||13AP BQ AF PF BF QF AF BF +=-+-=+-，设()()1122,,,A x y B x y ，所以1122||1,||122p pAF x x BF x x =+=+=+=+，所以129||4||94AP BQ x x +=+，因为直线l 水平时显然不合题意，故可设:1l x my =+，因为直线所过定点()1,0F 在抛物线内部，则直线l 必然与抛物线有两交点，同样与圆也有两交点，联立241y x x my ⎧=⎨=+⎩，()222410x m x -++=，所以121=x x ，所以129||4||9412AP BQ x x +=+≥，当且仅当1294x x =，即1223,32x x ==时取等号，所以9||4||AP BQ +的最小值为12.故答案为：12.【点睛】结论点睛：本题考查圆与抛物线的综合应用，其中涉及抛物线的焦半径公式的运用.常见抛物线的焦半径公式如下：（p 为焦准距）（1）焦点F 在x 轴正半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02pPF x =+；（2）焦点F 在x 轴负半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02p PF x =-+；（3）焦点F 在y 轴正半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02pPF y =+；（4）焦点F 在y 轴负半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02pPF y =-+.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.在等比数列{}n a 中，12a =，24a ，32a ，4a 成等差数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2log n n n b a a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和n S ．【答案】（1）2n n a =（2）()1122n n S n +=-+【解析】【分析】（1）由题意设等比数列的公比为q ，根据题意，列出方程组求得2q =，进而得到数列的通项公式；（2）由（1），得到2nn b n =⋅，利用乘公比错位相减法求和，即可求解.【小问1详解】解：由题意设等比数列的公比为()0q q >，因为12a =，且24a ，32a ，4a 成等差数列，可得32444a a a =+，则2311144a q a q a q =+，即32440q q -+=，解得2q =，所以数列{}n a 的通项公式为111222n n n n a a q --==⨯=.【小问2详解】解：由（1）可得222log 2log 22n n nn n n b a a n =⋅=⋅=⋅，则()231122232122n n n S n n -=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅ ，()23412122232122n n n S n n +=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅ ，两式相减，可得2311222222n n n n S n -+-=+++++-⋅ ()1122n n +=--所以()1122n n S n +=-+.18.在①222sin 3b c a ac B +-=；②222sin sin sin sin sin B C A B C +-=这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中并作答．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，．（1）求角A ；（2）若a =，求ABC 周长的范围．【答案】（1）π3A =（2）a b c <++≤【解析】【分析】（1）正弦定理结合余弦定理求解即可；（2）先根据正弦定理把边转化为角表示，结合辅助角公式计算值域即可得出周长范围.【小问1详解】选择①：因为222sin 3b c a ac B +-=，由余弦定理可得232cos sin 3bc A ac B =，cos sin sin B A A B =．因为()0,πB ∈，则sin 0B >，sin A A =，即tan A =，因为()0,πA ∈，所以π3A =；选择②：因为222sin sin sin sin sin B C A B C +-=，由正弦定理得222b c a +-=，由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==．因为()0,πA ∈，所以π3A =；【小问2详解】由（1）知π3A =，又已知a =，由正弦定理得：∵8sin sin sin a b c A B C===,∴8sin b B =，8sin c C =,∴2π18sin 8sin 8sin sin 8sin sin +cos 322b c B C B B B B B ⎡⎤⎡⎤⎛⎫+=+=+-=+⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦1cos sin22B B ⎫=+⎪⎪⎭π6B ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,∵2π03B <<,∴1πsin 126B ⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭,∴b c <+≤,∴a b c <++≤19.在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩､防护服､消毒水等防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉.我国某口罩生产厂商在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量，该厂质检人员从某日所生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下五组：[)100,110，[)110,120，[)120,130，[)130140,，[]140,150，得到如图所示的频率分布直方图.（1）规定：口罩的质量指标值越高，说明该口罩质量越好，其中质量指标值低于130的为二级口罩，质量指标值不低于130的为一级口罩.现利用分层随机抽样的方法从样本口罩中随机抽取8个口罩，再从抽取的8个口罩中随机抽取3个，记其中一级口罩的个数为X ，求X 的分布列及均值.（2）甲计划在该型号口罩的某网络购物平台上参加A 店的一个订单“秒杀”抢购，乙计划在该型号口罩的某网络购物平台上参加B 店的一个订单“秒杀”抢购，其中每个订单均由()*2,n n n ≥∈N个该型号口罩构成.假定甲､乙两人在A ，B 两店订单“秒杀”成功的概率均为()212n +，记甲､乙两人抢购成功的订单总数量､口罩总数量分别为Y ，Z .①求Y 的分布列及均值；②求Z 的均值取最大值时，正整数n 的值.【答案】（1）分布列答案见解析，34EX =；（2）①分布列答案见解析，()222EX n =+；②n 的值为2.【解析】【分析】（1）可得X 的可能取值为0，1，2，求出X 取不同值的概率，即可得出分布列，求出期望；（2）①可得Y 的可能取值为0，1，2，求出X 取不同值的概率，即可得出分布列；②利用基本不等式可求出.【详解】（1）结合频率分布直方图，得用分层随机抽样抽取8个口罩，其中二级､一级口罩的个数分别为6，2，所以X 的可能取值为0，1，2.()306238C C C 5014P X ===，()216238C C C 15128P X ===，()126238C C C 3228P X ===，所以X 的分布列为X012P5141528328所以515330121428284=⨯+⨯+⨯=EX .（2）①由题意，知Y 的可能取值为0，1，2.()()()()222244310122n n P Y n n ⎡⎤++==-=⎢++⎢⎥⎣⎦，()()()()()222411221212222P Y n n n n ⎡⎤==-⨯=⎢⎥++++⎢⎥⎣⎦，()()4122P Y n ==+，所以Y 的分布列为Y012P()()224432nn n +++()()242222n n -++()412n +所以()()()()()()224244243221201222222n n EY n n n n n ⎡⎤++=⨯+⨯-+⨯=⎢⎥+++++⎢⎥⎣⎦.因为Z nY =，所以()22214424n EZ nEY n n n===≤+++，当且仅当2n =时取等号.所以EZ 取最大值时，n 的值为2.20.如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥底面ABCD ，CD AB ∥，1===AD DC CB ，2AB =，直线PB 与平面ABCD 所成的角为45︒.（1）证明：BD PA ⊥；（2）求二面角D PB C --的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）5【解析】【分析】（1）作DM AB ⊥于点M ，CN AB ⊥于点N ，通过余弦定理角解得BD =，再通过勾股数得BD AD ⊥，再利用线面垂直的性质得到BD PD ⊥，从而得到BD ⊥平面PAD ，再利用线面垂直的性质即可证明结果；（2）建立空间直角坐标，利用向量法即可求出二面角的大小.【小问1详解】作DM AB ⊥于点M ，CN AB ⊥于点N ，因为1===AD DC CB ，2AB =，则1MN CD ==，12AM BN ==，所以1cos 2DAB ∠=，又(0,π)DAB ∠∈，所以60DAB ∠=︒，由余弦定理可知22212cos 1421232BD AD AB AD AB DAB =+-⋅∠=+-⨯⨯⨯=，得到BD =，所以222AD BD AB +=，所以BD AD ⊥，又PD⊥底面ABCD ，BD ⊂面ABCD ，所以BD PD ⊥，又AD PD D =I ，,AD PD ⊂面PAD ，所以BD ⊥平面PAD ，又PA ⊂面PAD ,所以BD PA ⊥.【小问2详解】以D 点为原点，DA 为x 轴，DB 为y 轴，DP 为z 轴，建立如图坐标系因为PD⊥平面ABCD ，所以PB 与平面ABCD 所成的角就是PBD∠所以45PBD ∠=︒，PBD △为等腰直角三角形，所以PD=(P，()B，1,22C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，(PB =，1,,22PC ⎛=- ⎝ 设平面PBC 的法向量(),,n x y z = ，则则由00n PB n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得到013022x y =⎨-+=⎪⎩，取1x y z ===-，得)1,1n =--，又易知，平面DPB 的一个法向量()1,0,0m =，cos ,||||5n m n m n m ⋅===⋅，由图知二面角为锐角所以二面角D PB C --的余弦值为5.21.已知函数3()2cos ,()(1),[0,1]2x f x x x g x a x x ==--∈．（1）当2a =时，求证：()2()f x g x ；（2）若()()f x g x 对[0,1]x ∈恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）证明见解析；（2）,)[3a ∈+∞.【解析】【分析】（1）由2a =得到3()2x g x x =-，然后作差2()2()2cos 12x f x g x x x ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，构造函数2()cos 12x h x x =-+，用导数法证明.（2）将()()f x g x 对[0,1]x ∈成立，转化212cos 2x a x -+ 对[0,1]x ∈成立，令2()2cos 2xn x x =+，用导数法求得其最大值即可.【详解】（1）2a =时，3()2x g x x =-，23()2()2cos 22cos 1,[0,1]2x f x g x x x x x x x x ⎛⎫-=-+=-+∈ ⎪⎝⎭令2()cos 1,()sin 2x h x x h x x x =-+=-+'，令()()m x h x '=，则()cos 10m x x =+'- ，∴()m x 在[0,1]上是增函数，∴()()(0)0h x m x m ='= ，∴()h x 在[0,1]上是增函数，∴()(0)0h x h = ，∴[0,1]x ∈时，()2()2()0f x g x xh x -= ，∴()2()f x g x ；（2）∵()()f x g x 对[0,1]x ∈成立，∴212cos 2x a x -+ 对[0,1]x ∈成立，令2()2cos 2x n x x =+，则()2sin n x x x '=-+，令()()t x n x '=，则()2cos 1t x x ='-+，∵[0,1]0,3x π⎡⎤∈⊆⎢⎥⎣⎦，∴1cos 2x >，∴()0t x '<，∴()t x 在[0,1]上是减函数，∴()()(0)0n x t x t ='= ，∴()n x 在[0,1]上是减函数，∴()(0)2n x n = ，∴12a - ，∴3a ，即,)[3a ∈+∞．【点睛】方法点睛：求解不等式恒成立时参数的取值范围问题，一般常用分离参数的方法，但是如果分离参数后对应的函数不便于求解其最值，或者求解其函数最值繁琐时，可采用直接构造函数的方法求解．22.已知椭圆22221,(0)x y a b a b +=>>，离心率3e =，且过点1)3，（1）求椭圆方程；（2）Rt ABC △以(0,)A b 为直角顶点，边,AB BC 与椭圆交于,B C 两点，求ABC 面积的最大值．【答案】（1）2219x y +=；（2）278．【解析】【分析】（1）根据离心率及所给的点可得方程，解之即得椭圆方程；（2）不妨设AB 的方程1(0)y kx k =+>，与椭圆方程联立，求出,B C 两点的坐标，结合弦长公式及三角形面积公式得到关于k 的函数，然后利用换元法及基本不等式求函数的最值．【小问1详解】由3c e a ==，222a b c =+，得3a b =，把点1)3带入椭圆方程可得22221()(22)319b b +=，解得1b =，所以3a =，所以椭圆方程为：2219x y +=；【小问2详解】由题可知()0,1A ，不妨设AB 的方程1(0)y kx k =+>，则AC 的方程为11y x k =-+，由22119y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(19)180k x kx ++=，所以21819B k x k -=+，k 用1k -代入，可得218,9C k x k=+从而有22,1818199k k AB AC k k==++，于是2222211(1)16216212(19)(9)9(82ABC k k k k S AB AC k k k k++==⋅=⋅++++ ，令12t k k =+³，有2162162276496489ABC t S t t t ==≤++ ，当且仅当823t =>时，ABC 面积的最大值为278．。
山西省运城市2024高三冲刺（高考数学）统编版（五四制）考试(巩固卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知函数的最大值为5．设点P、Q分别为的两条相邻对称轴上的动点，向量，且．为得到函数的图象，需要将的图象（）A ．先向右平移个单位，再向上平移1个单位B．先向右平移个单位，再向上平移4个单位C．先向右平移个单位，再向上平移1个单位D ．先向右平移个单位，再向上平移4个单位第(2)题如图，圆的半径为1，从中剪出扇形围成一个圆锥（无底），所得的圆锥的体积的最大值为（）A．B．C．D．第(3)题已知集合，，则（）A．B．C．D．第(4)题已知复数，在复平面内对应点的坐标为（）A．B．C．D．第(5)题在直三棱柱中，，点分别是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）A．B．C．D．第(6)题已知平面向量，，且，则（）A．10B．14C．D．第(7)题已知集合，则（）A．B．C．D．第(8)题已知函数的导函数是，如果函数的图像如图所示，那么的值分别为（）A．1，0B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题关于的展开式，下列说法中正确的有（ ）A ．各项系数之和为256B．各项系数的绝对值之和为C．项的系数为1D ．项的系数为224第(2)题已知函数，的图象与直线y=m 分别交于A 、B 两点，则（ ）.A．B．，曲线在A 处的切线总与曲线在B 处的切线相交C ．的最小值为1D ．∃，使得曲线在点A处的切线也是曲线的切线第(3)题某市800名高二学生参加数学竞赛，随机抽取80名学生的成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法错误的是（）A ．频率分布直方图中的值为0.03B ．估计这80名学生成绩的中位数为75C ．估计这80名学生成绩的众数为75D ．估计总体中成绩落在内的学生人数为200人三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题一曲线族的包络线（Envelope ）是这样的曲线：该曲线不包含于曲线族中，但过该曲线上的每一点，都有曲线族中的一条曲线与它在这一点处相切，若圆：是直线族的包络线，则，满足的关系式为___________；若曲线是直线族的包络线，则的长为___________.第(2)题英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出的“牛顿数列”在航空航天中应用广泛，若数列满足，则称数列为牛顿数列.如果函数，数列为牛顿数列，设，且，.则______；数列的前项和为，则_______.第(3)题已知数列中，，且满足，若的前3项构成等差数列，则______．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，平面⊥平面ABCD ，，点P是棱的中点，点Q 在棱BC 上．(1)若，证明：平面；(2)若二面角的正弦值为，求BQ的长．第(2)题已知函数，其中为自然对数的底数，.（1）当时，求的极值；（2）若存在实数，使得，且，求证：第(3)题已知椭圆的离心率为，其短轴的端点分别为，且直线分别与椭圆交于两点，其中点，满足，且.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若面积是面积的5倍，求的值.第(4)题已知数列，，且满足，．(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列前n项的和．第(5)题已知抛物线的焦点为，准线为，若点在上，点在上，且是周长为的正三角形．（1）求的方程；（2）过点的直线与抛物线相交于两点，抛物线在点处的切线与交于点，求面积的最小值.。
山西省运城市高一上学期数学12月月考试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共13题；共26分)1. （2分）(2017·青岛模拟) 已知集合A={x||x+1|≥1}，B={x|x≥﹣1}，则（∁RA）∩B=（）A . [﹣1，0]B . [﹣1，0）C . （﹣2，﹣1）D . （﹣2，﹣1]2. （2分） (2015高二上·柳州期末) 定义在R上的函数y=f（x），满足f（1﹣x）=f（x），（x﹣）f′（x）＞0，若x1＜x2且x1+x2＞1，则有（）A . f（x1）＜f（x2）B . f（x1）＞f（x2）C . f（x1）=f（x2）D . 不能确定3. （2分）对于任意实数x，符号[x]表示x的整数部分，即[x]是不超过x的最大整数，例如[2]=2；[2.1]=2；[-2.2]=-3, 这个函数[x]叫做“取整函数”，它在数学本身和生产实践中有广泛的应用。
那么[log21]+[log22]+[log23]+[log24]+...+[log264]的值为（）A . 21B . 76C . 264D . 6424. （2分） (2019高三上·广东月考) 设函数是奇函数的导函数，当时，，则使得成立的的取值范围是（）A .B .C .D .5. （2分） (2019高一上·荆州期中) 若，，且，则的最小值是（）A .B .C .D .6. （2分）已知集合M={x|﹣2＜x＜3}，N={x|2x+1≥1}，则M∩N等于（）A . （﹣2，﹣1]B . （﹣2，1]C . [1，3）D . [﹣1，3）7. （2分） (2017高三下·上高开学考) 若y=（m﹣1）x2+2mx+3是偶函数，则f（﹣1），f（﹣），f（）的大小关系为（）A . f（）＞f（﹣）＞f（﹣1）B . f（）＜f（﹣）＜f（﹣1）C . f（﹣）＜f（）＜f（﹣1）D . f（﹣1）＜f（）＜f（﹣）8. （2分） (2019高一上·会宁期中) 已知，若在上单调递减，那么的取值范围是（）A .B .C .D .9. （2分） (2017高二下·定州开学考) 设a= ，b=log23，c=（）0.3 ，则（）A . a＜b＜cB . a＜c＜bC . b＜c＜aD . b＜a＜c10. （2分） (2018高一上·山西月考) 设函数在上为减函数，则（）A .B .C .D .11. （2分）在数列{an}中，“an=2an﹣1 ， n=2，3，4，…”是“{an}是公比为2的等比数列”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件12. （2分） (2018高一上·黑龙江期末) 已知是定义在上的奇函数，当时，（为常数），则的值为（）A .B .C .D .13. （2分） (2016高一上·六安期中) 函数f（x）=log （2x﹣x2）的单调递减区间为（）A . （0，2）B . （﹣∞，1]C . [1，2）D . （0，1]二、填空题 (共4题；共4分)14. （1分）化简（log43+log83）（log32+log92）=________15. （1分） (2016高一上·武清期中) 函数f（x）= +lg（2﹣x）的定义域为________．16. （1分）已知函数f（x）满足f（﹣x）=f（x），且f（x+2）=f（x）+f（2），当x∈[0，1]时，f（x）=x，那么在区间[﹣1，3]内，关于x的方程f（x）=kx+k+1（k∈R）且k≠﹣1恰有4个不同的根，则k的取值范围是________17. （1分） (2016高三上·平阳期中) 若f（x）= ，则f（f（﹣1））=________，f（f（x））≥1的解集为________．三、解答题 (共6题；共75分)18. （10分） (2016高三上·红桥期中) 设命题p：关于m的不等式：m2﹣4am+3a2＜0，其中a＜0，命题q：∀x＞0，使x+ ≥1﹣m恒成立，且p是q的充分不必要条件，求a的取值范围．19. （10分） (2015高二上·孟津期末) 已知二次函数y=f（x）的图象过坐标原点，其导函数f′（x）=6x ﹣2，数列{an}前n项和为Sn ，点（n，Sn）（n∈N*）均在y=f（x）的图象上．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设，Tn是数列{bn}的前n项和，求当对所有n∈N*都成立m取值范围．20. （10分） (2019高一上·水富期中) 某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元.设该公司的仪器月产量为台，当月产量不超过400台时，总收益为元，当月产量超过400台时，总收益为元.（注：总收益=总成本+利润）（1）将利润表示为月产量的函数；（2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？21. （15分） (2017高一上·嘉兴月考) 已知函数其中是自然对数的底数．（1）证明：是上的偶函数；（2）若关于x的不等式在上恒成立，求实数m的取值范围.22. （15分） (2017高一上·孝感期末) 某工厂生产一种仪器的元件，由于受生产能力和技术水平等因素的限制，会产生一些次品，根据经验知道，次品数P（万件）与日产量x（万件）之间满足关系：已知每生产l万件合格的元件可以盈利2万元，但每生产l万件次品将亏损1万元．（利润=盈利一亏损）（1）试将该工厂每天生产这种元件所获得的利润T（万元）表示为日产量x（万件）的函数；（2）当工厂将这种仪器的元件的日产量x定为多少时获得的利润最大，最大利润为多少？23. （15分） (2016高一上·绍兴期中) 已知函数f（x）=a•4x﹣a•2x+1+1﹣b（a＞0）在区间[1，2]上有最大值9和最小值1（1）求a，b的值；（2）若不等式f（x）﹣k•4x≥0在x∈[﹣1，1]上有解，求实数k的取值范围．参考答案一、单选题 (共13题；共26分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、二、填空题 (共4题；共4分)14-1、15-1、16-1、17-1、三、解答题 (共6题；共75分) 18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、23-2、第11 页共11 页。
山西省运城市2024年数学（高考）统编版摸底(培优卷)模拟试卷一、单项选择题（本题包含8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）(共8题)第(1)题已知函数的导函数为，且满足，则（）A．1B．C．D．第(2)题我们将服从二项分布的随机变量称为二项随机变量，服从正态分布的随机变量称为正态随机变量.概率论中有一个重要的结论：若随机变量，当充分大时，二项随机变量可以由正态随机变量来近似地替代，且正态随机变量的期望和方差与二项随机变量的期望和方差相同.法国数学家棣莫弗（1667-1754）在1733年证明了时这个结论是成立的，法国数学家､物理学家拉普拉斯（1749-1827）在1812年证明了这个结论对任意的实数都成立，因此人们把这个结论称为棣莫弗—拉普拉斯极限定理.现抛掷一枚质地均匀的硬币2500次，利用正态分布估算硬币正面向上次数不少于1200次的概率为（）（附：若，则，A．0.99865B．0.97725C．0.84135D．0.65865第(3)题“三个臭皮匠顶个诸葛亮”是一句俗语，比喻人多智慧多．假设每个“臭皮匠”单独解决某个问题的概率均为，现让三个“臭皮匠”分别独立处理这个问题，则至少有一人解决该问题的概率为（）A．B．C．D．0．936第(4)题已知复数，则复数的共轭复数在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限第(5)题若的展开式中存在常数项，则下列选项中的取值不可能是（）A．B．C．D．第(6)题已知均为正整数，记为矩阵中第行、第列的元素，且，（其中，）；给出结论：①；②；③④若为常数，则.其中正确的个数是A．0个B．1个C．2个D．3个第(7)题设函数，则在下列区间中函数不存在零点的是A．B．C．D．第(8)题已知双曲线（，）的右焦点为，过作斜率为的直线交双曲线的渐近线于点，点在第一象限，为坐标原点，若的面积为，则该双曲线的离心率为A．B．C．D．二、多项选择题（本题包含3小题，每小题6分，共18分。
运城市2023-2024学年第一学期期末调研测试高三数学试题考试时间120分钟．答案一律写在答题卡上.注意事项：1.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上.2.答题时使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚.3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.4.保持卡面清洁，不折叠，不破损.一、单项选择题：本题共8小题，在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数i12i z =-，则z 等于（）A .1B.C.2D.552.设x ∈R ，则“03x ≤≤”是“02xx ≤-”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.已知e ()1exaxf x =-是奇函数，则=a （）A.2- B.1- C.2D.14.第33届夏季奥运会预计2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举办，这届奥运会将新增2个竞赛项目和3个表演项目．现有三个场地A ，B ，C 分别承担这5个新增项目的比赛，且每个场地至少承办其中一个项目，则不同的安排方法有（）A.150种B.300种C.720种D.1008种5.设0.814a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，0.3log 0.2b =，0.3log 0.4c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A.a b c >>B.b a c >>C.c a b >>D.b c a>>6.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，A 为C 的右顶点，以12F F 为直径的圆与C 的一条渐近线交于P ，Q 两点，且3π4PAQ ∠=，则双曲线C 的离心率为（）A.B.213C.D.37.已知等差数列{}n a 中，97π12a =，设函数44()cos sin cos 1f x x x x x =---，记()n n y f a =，则数列{}n y 的前17项和为（）A.51- B.48- C.17- D.08.已知四棱锥P ABCD -的底面是边长为4的正方形，3PA PB ==，45PAC ∠= ，则直线PD 与平面ABCD 夹角的正弦值为（）A.31717B.21717 C.53D.23二、多项选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.关于下列命题中，说法正确的是（）A.若事件A 、B 相互独立，则()()P A B P A =B.数据63，67，69，70，74，78，85，89，90，95的第45百分位数为78C.已知()0.65P A =，()0.32P AB =，则()0.33P AB =D.已知~(0,1)N ξ，若(1)P p ξ≤=，则()1102P p ξ-≤≤=-10.已知函数()ππtan 124f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则（）A.()f x 的一个周期为2B.()f x 的定义域是1,Z 2x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭C.()f x 的图象关于点1,12⎛⎫⎪⎝⎭对称D.()f x 在区间[]1,2上单调递增11.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，P 是直线1A D 上的一个动点，则下列结论中正确的是（）A.1C P 的最小值为B.PB PC +的最小值为C.三棱锥1B ACP -的体积为83D.以点B 为球心，263为半径的球面与面1AB C 在正方体内的交线长为33π12.已知抛物线()220x py p =>的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线交于A 、B 两点，与其准线交于点D ，F 为AD 的中点，且6AF =，点M 是抛物线上 BA间不同于其顶点的任意一点，抛物线的准线与y 轴交于点N ，抛物线在A 、B 两点处的切线交于点T ，则下列说法正确的是（）A.抛物线焦点F 的坐标为()0,3B.过点N 作抛物线的切线，则切点坐标为33,24⎛⎫± ⎪⎝⎭C.在FMN 中，若MN t MF =，t ∈R ，则tD.2TFAF BF=⋅三、填空题：本题共4小题.13.已知向量(2,1)a =- ，(1,)b λ=，若()a a b ⊥- ，则λ=____________.14.512x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数为______.15.过原点的动直线l 与圆22410x y x +-+=交于不同的两点A ，B .记线段AB 的中点为P ，则当直线l 绕原点转动时，动点P 的轨迹长度为____________.16.设12,x x 是函数21()e 1,()2xf x ax a =-+∈R 的两个极值点，若213x x ≥，则a 的范围为____________.四、解答题：本题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且2cos 2b C a c =-.（1）求角B 的大小；（2）若b =，D 为AC 边上的一点，3BD =，且______________，求ABC 的面积．①BD 是B ∠的平分线；②D 为线段AC 的中点.（从①，②两个条件中任选一个，补充在上面的横线上并作答）.18.已知递增的等比数列{}n a 满足22a =，且1a ，2a ，31a -成等差数列.（1）求{}n a 的通项公式；（2）设()()112n n n a n b a n ⎧-⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，求数列{}n b 的前20项和.19.如图，在圆柱体1OO 中，1OA =，12O O =，劣弧11A B 的长为π6，AB 为圆O的直径．（1）在弧AB 上是否存在点C （C ，1B 在平面11OAAO 同侧），使1BC AB ⊥，若存在，确定其位置，若不存在，说明理由；（2）求二面角111A O B B --的余弦值．20.某学校进行趣味投篮比赛，设置了A ，B 两种投篮方案.方案A ：罚球线投篮，投中可以得2分，投不中得0分；方案B ：三分线外投篮，投中可以得3分，投不中得0分.甲、乙两位员工参加比赛，选择方案A 投中的概率都为()0001p p <<，选择方案B 投中的概率都为13，每人有且只有一次投篮机会，投中与否互不影响.（1）若甲选择方案A 投篮，乙选择方案B 投篮，记他们的得分之和为X ，()334P X ≤=，求X 的分布列；（2）若甲、乙两位员工都选择方案A 或都选择方案B 投篮，问：他们都选择哪种方案投篮，得分之和的均值较大？21.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦距为12,A A ，上顶点为B ，且1tan 2A BO ∠=．（1）求椭圆C 的方程；（2）若过2A 且斜率为k 的直线l 与椭圆C 在第一象限相交于点Q ，与直线1A B 相交于点P ，与y 轴相交于点M ，且223PA MQ QA MP =．求k 的值．22.已知函数2()ln x f x e a x =-，函数ln ()m xg x n x+=+的图象在点(1,(1))g 处的切线方程为30y -=.（1）讨论()f x 的导函数()f x '的零点的个数；（2）若0a ≤，且()f x 在[),e +∞上的最小值为2e e ，证明：当0x >时，()()f x g x ≥.运城市2023-2024学年第一学期期末调研测试高三数学试题考试时间120分钟．答案一律写在答题卡上.注意事项：1.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上.2.答题时使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚.3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.4.保持卡面清洁，不折叠，不破损.一、单项选择题：本题共8小题，在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数i12iz=-，则z等于（）A.1B. C.2D.5【答案】D【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，然后直接利用复数模的公式求解即可.【详解】结合题意可得：()()()i12ii2i2i12i12i12i555 z+-+-====+ --+，所以55z==.故选：D.2.设x∈R，则“03x≤≤”是“02xx≤-”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】解分式不等式，求出解集，根据真子集关系得到答案.【详解】()20220x xxx x⎧-≤≤⇒⎨--≠⎩，解得02x≤<，由于02x≤<是03x≤≤的真子集，故03x≤≤是02xx≤-的必要不充分条件.故选：B3.已知e()1exaxf x=-是奇函数，则=a（）A.2-B.1-C.2D.1【答案】C 【解析】【分析】根据()()f x f x -=-得到方程，求出2a =.【详解】由题意得()()f x f x -=-，即e e1e 1ex x ax ax--=---，所以e e e 11eax x xax ax-=---，故e e ax x x -=，所以ax x x -=，解得2a =.故选：C4.第33届夏季奥运会预计2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举办，这届奥运会将新增2个竞赛项目和3个表演项目．现有三个场地A ，B ，C 分别承担这5个新增项目的比赛，且每个场地至少承办其中一个项目，则不同的安排方法有（）A.150种B.300种C.720种D.1008种【答案】A 【解析】【分析】分3,1,1和2,2,1两种情况，结合排列组合知识进行求解.【详解】若三个场地分别承担3,1,1个项目，则有3113521322C C C A 60A ⋅=种安排，若三个场地分别承担2,2,1个项目，则有2213531322C C C A 90A ⋅=种安排，综上，不同的安排方法有6090150+=种.故选：A5.设0.814a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，0.3log 0.2b =，0.3log 0.4c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A.a b c >> B.b a c >> C.c a b>> D.b c a>>【答案】D 【解析】【分析】首先将对数式和指数式与临界值比较，再判断大小关系.【详解】 1.61122a ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，即102a <<，0.3log 0.21b =>，即1b >，因为20.40.3<，所以20.30.3log 0.4log 0.31>=，即0.31log 0.42>，且0.30.3log 0.4log 0.31<=，则112c <<，所以b c a >>.故选：D6.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，A 为C 的右顶点，以12F F 为直径的圆与C 的一条渐近线交于P ，Q 两点，且3π4PAQ ∠=，则双曲线C 的离心率为（）A.B.213C.D.3【答案】C 【解析】【分析】联立圆与渐近线方程，得到()(),,,P a b Q a b --，进而得到π4OAQ ∠=，利用直线斜率得到方程，求出2b a =，得到离心率.【详解】由题意得，以12F F 为直径的圆的方程为222x y c +=，(),0A a ，渐近线方程为b y x a=±，联立222x y c by xa ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，解得x a =±，不妨令()(),,,P a b Q a b --，故π2OAP ∠=，因为3π4PAQ ∠=，所以3πππ424OAQ ∠=-=，所以0tan 1π4AQ b k a a --===--，解得2b a =，故离心率c e a ===.故选：C7.已知等差数列{}n a 中，97π12a =，设函数44()cos sin 3cos 1f x x x x x =---，记()n n y f a =，则数列{}n y 的前17项和为（）A.51- B.48- C.17- D.0【答案】C 【解析】【分析】根据三角恒等变换化简()f x 的表达式，判断其图象关于点7π(,1)12-成中心对称，结合等差数列性质可得11721697π2212a a a a a +=+===⨯ ，从而得117216810()()()()()()2f a f a f a f a f a f a +=+==+=- ，由此即可求得答案.【详解】由题意知44()cos sin 3cos 1f x x x x x =---()()2222cos sin cos sin 321x x x x x =+--πcos 23212cos 213x x x ⎛⎫=-=+- ⎪⎝⎭，当7π12x =时，7ππ2cos 20123⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，即()f x 关于点7π(,1)12-成中心对称，由于等差数列{}n a 中，97π12a =，故11721697π2212a a a a a +=+===⨯ ，故117216810()()()()()()2(1)2f a f a f a f a f a f a +=+==+=⨯-=- ，97ππ()2cos 211123f a ⎛⎫=⨯+-=- ⎪⎝⎭，故数列{}n y 的前17项和为1217()()()f a f a f a +++[][][]1172168109()()()()()()()f a f a f a f a f a f a f a =+++++++ 8(2)117=⨯--=-，故选：C8.已知四棱锥P ABCD -的底面是边长为4的正方形，3PA PB ==，45PAC ∠= ，则直线PD 与平面ABCD 夹角的正弦值为（）A.31717B.21717 C.53D.23【答案】B 【解析】【分析】首先求AC ，再作出PO ⊥平面ABCD ，根据垂直关系，以及等面积转化，确定垂足点O 的位置，以及PO ，再求线面角的正弦值.【详解】如图，由题意可知，AC =PAC △中，根据余弦定理可知293223172PC =+-⨯⨯=，则PC =过点P 作PO ⊥平面ABCD ，OM AB ⊥，连结PM ，ON BC ⊥，连结PN ，因为PO ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，所以PO AB⊥OM PO O = ，且,OM PO ⊂平面POM所以AB ⊥平面POM ，PM ⊂平面POM ，所以AB PM ⊥，又因为3PA PB ==，所以2MA MB ==，同理PN BC ⊥，PBC 中，916171cos 2343PBC +-∠==⨯⨯，则22sin 3PBC ∠=，根据等面积公式，11344232PN ⨯⨯⨯=⨯⨯，所以PN =，3NC ===，OD ==又2ON MB ==，所以2PO ==，则PD ==直线PD 与平面ABCD 夹角的夹角为PDO ∠，sin17PO PDO PD ∠===.故选：B【点睛】关键点点睛：本题的关键是确定垂足O 的位置，以及垂直关系的转化.二、多项选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.关于下列命题中，说法正确的是（）A.若事件A 、B 相互独立，则()()P A B P A =B.数据63，67，69，70，74，78，85，89，90，95的第45百分位数为78C .已知()0.65P A =，()0.32P AB =，则()0.33P AB =D.已知~(0,1)N ξ，若(1)P p ξ≤=，则()1102P p ξ-≤≤=-【答案】AC 【解析】【分析】根据独立事件的乘法公式以及条件概率的概率公式可判断A ；根据百分位数的定义求出第45百分位数判断B ；根据对立事件的概率公式以及条件概率的概率公式可判断C ；根据正态分布的对称性可判断D.【详解】对于A ，若事件A 、B 相互独立，则()()()P AB P A P B =,而()()()()()()()P AB P A P B P A B P A P B P B ===，A 正确；对于B ，数据63，67，69，70，74，78，85，89，90，95已为从小到大排列，共10个数，又45%10 4.5⨯=，故第45百分位数为第5个数74，B 错误；对于C ，由于()0.65P A =，()0.32P AB =，故()03232()()06565P BA .P B |A P A .===，则3233()1()16565P B |A P B |A =-=-=，故()()33(|)()0.650.3365P B A P A P AB P BA ====⨯，C 正确；对于D ，由于~(0,1)N ξ，(1)P p ξ≤=，故(1)1P p ξ>=-，故(1)(1)1P P p ξξ<-=>=-，故()11(1)(1)221102P p p P ξξ<-=--≤≤==---，D 错误，故选：AC10.已知函数()ππtan 124f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则（）A.()f x 的一个周期为2B.()f x 的定义域是1,Z 2x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭C.()f x 的图象关于点1,12⎛⎫⎪⎝⎭对称D.()f x 在区间[]1,2上单调递增【答案】ACD 【解析】【分析】利用正切函数的图象与性质一一判定选项即可.【详解】对于A ，由()ππtan 124f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭可知其最小正周期π2π2T ==，故A 正确；对于B ，由()ππtan 124f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭可知πππ1π2,Z 2422x k x k k +≠+⇒≠+∈，故B 错误；对于C ，由()ππtan 124f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭可知1πππ2242x x =⇒+=，此时()f x 的图象关于点1,12⎛⎫⎪⎝⎭对称，故C 正确；对于D ，由()ππtan 124f x x ⎛⎫=++⎪⎝⎭可知[]ππ3π5π1,2,2444x x ⎡⎤∈⇒+∈⎢⎣⎦，又tan y x =在π3π,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增，显然3π5π,44⎡⎤⊂⎢⎥⎣⎦π3π,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故D 正确.故选：ACD11.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，P 是直线1A D 上的一个动点，则下列结论中正确的是（）A.1C P的最小值为B.PB PC +的最小值为C.三棱锥1B ACP -的体积为83D.以点B 为球心，263为半径的球面与面1AB C 在正方体内的交线长为33π【答案】ABD 【解析】【分析】对于选项A ，即求正三角形的高，判断为正确；对于选项B ，将空间问题平面化即可判定为正确；对于选项C ，去一个特殊点，计算其体积，判断为错误；对于选项D ，先求出球与平面的交线，然后判断有多少在正方体内，求出其长度即可.【详解】对于A ，11C A D为边长为的等边三角形，1C P 的最小值即该等边三角形的高，为3cos302== A正确；对于B，如图，将等边1A BD 绕1A D 旋转到与平面11A DCB 共面，显然()min PB PC BC +=====，故B 正确；对于C，当P 在D 上时，1111148223333B ACP B ACD ACD V V S BB --==⋅⋅=⨯=≠ ，故C 错误；对于D，设点B 到平面1AB C 的距离为d ,11B AB C B ABC V V --= ，111133AB C ABC S d S BB ∴⋅=⋅ ，11222222d ∴⨯=⨯⨯⨯，3d =，以点B 为球心，3为半径的球面与面1AB C 在正方体内的交线是以1AB C V 中心为圆心，233==为半径的圆，如图，圆有一部分在正方体外，233OM =，由A 得133OH h ==，cos 2OH MOH OM ∠==，所以45MOH ∠= ，90MON ∠= ，所以有36090313604-⨯=圆周在正方体内部，其长度为12332ππ433⨯⨯=，故D 对.故选：ABD.12.已知抛物线()220x py p =>的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线交于A 、B 两点，与其准线交于点D ，F 为AD 的中点，且6AF =，点M 是抛物线上 BA间不同于其顶点的任意一点，抛物线的准线与y 轴交于点N ，抛物线在A 、B 两点处的切线交于点T ，则下列说法正确的是（）A.抛物线焦点F 的坐标为()0,3B.过点N 作抛物线的切线，则切点坐标为33,24⎛⎫± ⎪⎝⎭C.在FMN 中，若MN t MF =，t ∈R ，则tD.2TFAF BF=⋅【答案】CD 【解析】【分析】设点,2p D t ⎛⎫-⎪⎝⎭，可得出点A 的坐标，利用抛物线的定义可求得p 的值，可判断A 选项；设切线方程为32y kx =-，将切线方程与抛物线方程联立，由判别式为零求出k 的值，可求得切点的坐标，可判断B 选项；利用抛物线的定义结合B 选项可判断C 选项；证明出AT BT ⊥，FT AB ⊥，结合直角三角形的几何性质可判断D 选项.【详解】对于A 选项，抛物线()220x py p =>的焦点为0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，准线方程为2py =-，设点,2p D t ⎛⎫-⎪⎝⎭，因为F 为线段AD 的中点，则3,2p A t ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由抛物线的定义可得32622p p AF p =+==，解得3p =，则30,2F ⎛⎫⎪⎝⎭，A 错；对于B 选项，由A 选项可知，抛物线的方程为26x y =，点30,2N ⎛⎫-⎪⎝⎭，若切线的斜率不存在，则该直线与抛物线26x y =相交，且只有一个交点，不合乎题意，所以，切线的斜率存在，设切线的方程为32y kx =-，联立2326y kx x y⎧=-⎪⎨⎪=⎩可得2690x kx -+=，则236360k ∆=-=，解得1k =±，所以，切点横坐标为33k =±，纵坐标为()2393662k ==，故切点坐标为33,2⎛⎫± ⎪⎝⎭，B 错；对于C 选项，过点M 作ME 与直线32y =-垂直，垂足点为点E ，由抛物线的定义可得FM ME =，1cos MN MN t MFMEMNE===∠，由图可知，当直线MN 与抛物线26x y =相切时，锐角MNE ∠取最大值，此时，t取最大值，由B 选项可知，锐角MNE ∠的最大值为π4，故t的最大值为1πcos 4=，C 对；对于D 选项，设点()11,A x y 、()22,B x y ，若直线AB 的斜率不存在，则直线AB 与抛物线26x y =只有一个交点，不合乎题意，所以，直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为32y kx =+，联立2632x y y kx ⎧=⎪⎨=+⎪⎩可得2690x kx --=，236360k '∆=+>，由韦达定理可得126x x k +=，129x x =-，对函数26x y =求导得3x y '=，所以，直线AT 的方程为()1113x y y x x -=-，即21136x x x y =-，同理可知，直线BT 的方程为22236x x x y =-，因为1219AT BT x x k k ==-，则AT BT ⊥，联立2112223636x x x y x x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩可得121232362x x x k x x y +⎧==⎪⎪⎨⎪==-⎪⎩，即点33,2T k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则()3,3FT k =-，而()()()21212121,,AB x x y y x x k x x =--=-- ，所以，()()2121330FT AB k x x k x x ⋅=---=，则FT AB ⊥，所以，90TBF BTF ATF ∠=-∠=∠ ，由tan tan TBF ATF ∠=∠可得TF AF BFTF=，所以，2TFAF BF =⋅，D 对.故选：CD.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．三、填空题：本题共4小题.13.已知向量(2,1)a =- ，(1,)b λ=，若()a a b ⊥- ，则λ=____________.【答案】7【解析】【分析】运用平面向量垂直及减法、数乘、数量积坐标运算即可.【详解】因为(2,1)a =- ，(1,)b λ= ，所以(3,1)a b λ-=--，因为()a ab ⊥-，所以()()()()23110a a b λ⋅-=-⨯-+⨯-= ，解得7λ=.故答案为：7.14.512x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数为______.【答案】80-【解析】【分析】根据通项公式中x 的指数为3，列方程解得1r =，从而可得展开式中3x 的系数.【详解】512x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为()5521512r r r rr T C x--+=-⋅⋅(0,1,2,3,4,5)r =，令523-=r ，得1r =，所以展开式中3x 的系数为5115(1)2C --⋅⋅=80-.故答案为：80-【点睛】本题考查了根据通项公式求项的系数，属于基础题.15.过原点的动直线l 与圆22410x y x +-+=交于不同的两点A ，B .记线段AB 的中点为P ，则当直线l 绕原点转动时，动点P 的轨迹长度为____________.【答案】4π3【解析】【分析】根据垂径定理结合圆的定义及动直线过定点两圆位置关系确定P 的轨迹为圆弧计算即可.【详解】由题意可知圆22410x y x +-+=的圆心为()2,0C ，半径为r =，根据圆的性质可知CP l ⊥，则OCP △为直角三角形，即P 在以OC 为直径的圆上，设OC 中点为E ，该圆半径为R ，易知1R EC ==，又线段AB 的中点为P ，则P 在圆22410x y x +-+=的内部，如图所示其轨迹即 FCG.因为CF r ===，易得120FEC ∠= ，则120GEC ∠= ，所以 FCG 的弧长为21204π2π3603R ⨯⨯⨯=.故答案为：4π316.设12,x x 是函数21()e 1,()2xf x ax a =-+∈R 的两个极值点，若213x x ≥，则a 的范围为____________.【答案】23,ln 3⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭【解析】【分析】根据极值点定义可将问题转化为y a =与exy x=有两个不同交点；利用导数可求得单调性，并由此得到()e xg x x=的图象；采用数形结合的方式可确定1201,x x <<<且e a >；假设213x x t ==，由()()12g x g x =可确定3ln 3t =，进而得到()()1223ln 3g x g x ==的值，结合图象可确定a 的取值范围.【详解】由21()e 1,()2xf x ax a =-+∈R ，可得()x f x ax e '=-，因为12,x x 是函数()f x 的两个极值点，所以12,x x 是e 0x ax -=的两根，当0x =时，方程不成立，故12,x x 是exa x=的两根，即y a =与e x y x =的图象有两个交点，令()e ,x g x x =则()()21e xx g x x -'=，当()(),00,1x ∞∈-⋃时，()0g x '<，当()1,x ∞∈+时，()0g x '>，所以()e xg x x =在()(),0,0,1∞-单调递减；在()1,∞+上单调递增.则()e xg x x=图象如下图所示，由图象可知：1201,x x <<<且e a >因为213x x ≥，所以213x x ≥，当213x x =时，不妨令213x x t ==，则13e e 3t tt t=，即13e 3et t =，化简得13e =3ln t =，当213x x =时，()()12ln 3g x g x ====，若213x x ≥，则23ln 3a ≥，即a 的取值范围为23,ln 3∞⎡⎫+⎪⎢⎪⎣⎭.故答案为：,ln 3∞⎡⎫+⎪⎢⎪⎣⎭.【点睛】方法点睛：本题考查根据极值点求解参数范围问题，可将问题转化为已知函数零点(方程根)的个数求参数值(取值范围)的问题，解决此类问题的常用的方法有：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.四、解答题：本题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且2cos 2b C a c =-.（1）求角B 的大小；（2）若b =，D 为AC 边上的一点，3BD =，且______________，求ABC 的面积．①BD 是B ∠的平分线；②D 为线段AC 的中点.（从①，②两个条件中任选一个，补充在上面的横线上并作答）.【答案】（1）π3B =（2）选①或选②均为【解析】【分析】（1）利用正弦定理将边化成角，然后利用sin Asin()B C =+进行代换，求出1cos 2B =，即可得出答案；（2）若选①：由等面积法得到)ac a c =+，由余弦定理得到2212a c ac +-=，联立求解即可得出答案；若选②：得()12BD BA BC =+，两边平法化简得2236a c ac ++=，由余弦定理得到2212a c ac +-=，联立求解即可得出答案.【小问1详解】由正弦定理知，2sin cos 2sin sin B C A C =-，sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+ ，代入上式得2cos sin sin 0B C C -=，(0,π)C ∈ ，sin 0C ∴>，1cos 2B ∴=，(0,π)B ∈ ，π3B ∴=.【小问2详解】若选①：由BD 平分ABC ∠得：ABC ABD BCD S S S =+△△△，111sin 3sin 3sin 232626πππac a c ∴=⨯+⨯，即)ac a c =+.在ABC 中，由余弦定理得222π2cos3b ac ac =+-，2212a c ac ∴+-=，联立)2212ac a c a c ac ⎧=+⎪⎨+-=⎪⎩，得2()936ac ac -=，解得12ac =，11sin 12222ABC S ac B ∴==⨯⨯=△若选②：得()12BD BA BC =+，()()222211244BD BA BCBA BA BC BC =+=+⋅+，得2236a c ac ++=，在ABC 中，由余弦定理得222π2cos3b ac ac =+-，2212a c ac ∴+-=，联立22223612a c ac a c ac ⎧++=⎨+-=⎩，得12ac =，113sin 12222ABC S ac B ∴==⨯⨯=△18.已知递增的等比数列{}n a 满足22a =，且1a ，2a ，31a -成等差数列.（1）求{}n a 的通项公式；（2）设()()112n n n a n b a n ⎧-⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，求数列{}n b 的前20项和.【答案】（1）12n n a -=（2）212323-【解析】【分析】（1）根据等差中项的性质得到13212a a a +-=，然后根据等比数列的通项公式列方程求解即可；（2）利用分组求和的方法计算即可.【小问1详解】设公比为()1q q >，因为1a ，2a ，31a -成等差数列，所以1314a a +-=，所以2250q q+-=，解得2q =或12q =（舍去），所以12n n a -=.【小问2详解】根据题意得()1234192013519246201102b b b b b b a a a a a a a a ++++++=++++-+++++ ()()02418024182222102222=++++-+++++ 101421014-=⨯--212323-=.19.如图，在圆柱体1OO 中，1OA =，12O O =，劣弧11A B 的长为π6，AB 为圆O 的直径．（1）在弧AB 上是否存在点C （C ，1B 在平面11OAAO 同侧），使1BC AB ⊥，若存在，确定其位置，若不存在，说明理由；（2）求二面角111A O B B --的余弦值．【答案】（1）存在，1B C 为圆柱1OO 的母线（2）25117【解析】【分析】（1）1B C 为圆柱1OO 的母线时，证明BC ⊥平面1AB C ，从而得出1BC AB ⊥；（2）以O 为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法即可求得二面角111A O B B --的余弦值.【小问1详解】存在，当1B C 为圆柱1OO 的母线时，1BC AB ⊥．证明如下：连接BC ，AC ，1B C ，因为1B C 为圆柱1OO 的母线，所以1B C ⊥平面ABC ，又因为BC ⊂平面ABC ，所以1B C BC ⊥．因为AB 为圆O 的直径，所以BC AC ⊥．又1AC B C C ⋂=，1,AC B C ⊂平面1AB C ，所以BC ⊥平面1AB C ，因为1AB ⊂平面1AB C ，所以1BC AB ⊥．【小问2详解】以O 为原点，OA ，1OO 分别为y ，z 轴，垂直于y ，z 轴的直线为x 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则1(0,1,2)A ，1(0,0,2)O ，(0,1,0)B -，因为劣弧11A B 的长为π6，所以111π6AO B ∠=，113,,222B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则1(0,1,2)O B =--，111,,022O B ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭．设平面11O BB 的法向量(,,)m x y z =，则111201022O B m y z O B m x y ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令3x =-，解得y =，32z =-，所以2m ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ ．因为x 轴垂直平面11A O B ，所以平面11A O B 的一个法向量(1,0,0)n =．所以cos ,17m n 〈〉==- ，又二面角111A O B B --的平面角为锐角，故二面角111A O B B --的余弦值为25117．20.某学校进行趣味投篮比赛，设置了A ，B 两种投篮方案.方案A ：罚球线投篮，投中可以得2分，投不中得0分；方案B ：三分线外投篮，投中可以得3分，投不中得0分.甲、乙两位员工参加比赛，选择方案A 投中的概率都为()0001p p <<，选择方案B 投中的概率都为13，每人有且只有一次投篮机会，投中与否互不影响.（1）若甲选择方案A 投篮，乙选择方案B 投篮，记他们的得分之和为X ，()334P X ≤=，求X 的分布列；（2）若甲、乙两位员工都选择方案A 或都选择方案B 投篮，问：他们都选择哪种方案投篮，得分之和的均值较大？【答案】（1）分布列见解析（2）答案见解析【解析】【分析】（1）根据()334P X ≤=得到方程，求出034p =，求出X 的所有可能值及对应的概率，得到分布列；（2）设甲、乙都选择方案A 投篮，投中次数为1Y ，都选择方案B 投篮，投中次数为2Y ，则()10~2,Y B p ，21~2,3Y B ⎛⎫⎪⎝⎭，计算出两种情况下的均值，由不等式，得到相应的结论.【小问1详解】依题意，甲投中的概率为0p ，乙投中的概率为13，于是得013(3)1(5)134P X P X p ≤=-==-=，解得034p =，X 的所有可能值为0，2，3，5，311(0)11436P X ⎛⎫⎛⎫==-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，311(2)1432P X ⎛⎫==⨯-= ⎪⎝⎭，131(3)13412P X ⎛⎫==⨯-= ⎪⎝⎭，311(5)434P X ==⨯=，所以X 的分布列为：X 0235P161211214【小问2详解】设甲、乙都选择方案A 投篮，投中次数为1Y ，都选择方案B 投篮，投中次数为2Y ，则()10~2,Y B p ，21~2,3Y B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则两人都选择方案A 投篮得分和的均值为()12E Y ，都选择方案B 投篮得分和的均值为()23E Y ，则()()100142222E E Y p p Y ==⨯=，()()221333322E Y Y E ==⨯⨯=，若()()1223E Y E Y >，即042p >，解得0112p <<；若()()1223E Y E Y =，即042p =，解得012p =；若()()1223E Y E Y <，即042p <，解得0102p <<.所以当0112p <<时，甲、乙两位同学都选择方案A 投篮，得分之和的均值较大；当012p =时，甲、乙两位同学都选择方案A 或都选择方案B 投篮，得分之和的均值相等；当0102p <<时，甲、乙两位同学都选择方案B 投篮，得分之和的均值较大.21.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦距为12,A A ，上顶点为B ，且1tan 2A BO ∠=．（1）求椭圆C 的方程；（2）若过2A 且斜率为k 的直线l 与椭圆C 在第一象限相交于点Q ，与直线1A B 相交于点P ，与y 轴相交于点M ，且223PA MQ QA MP =．求k 的值．【答案】（1）2214x y +=（2）1-【解析】【分析】（1）根据焦距和角的正切值得到方程，求出21b =，24a =，得到椭圆方程；（2）设出直线l 的方程，与椭圆方程联立，得到228214Q k x k-=+，再与直线1A B 方程联立，得到2421P kx k +=-，根据题干条件得到方程30P Q Q P x x x x +-=，代入求出答案，舍去不合要求的解.【小问1详解】由题意得2c =c =又1,AO a OB b ==，故1tan 2aA BO b∠==，即2a b =，又222a b c =+，解得21b =，24a =，故椭圆方程为2214x y +=；【小问2详解】直线l 的方程为()2y k x =-，0k <，与2214x y +=联立得()222214161640k x k x k +-+-=，设(),Q Q Q x y ，则22164214Q k x k -=+，解得228214Q k x k -=+，因为点Q 在第一象限，所以2282014Q k x k -=>+，解得214k >，直线1A B 方程为112y x =+，与()2y k x =-联立得2421k x k +=-，故2421P k x k +=-，()2y k x =-中，令0x =得2y k =-，故()0,2M k -，因为223PA MQ QA MP =，所以()()()()20320P Q Q Px x x x--=--，整理得30P Q Q P x x x x +-=，即2222248282243021141421k k k k k k k k +--+⋅+-⋅=-++-，化简得22310k k ++=，解得12k =-或1-，其中12k =-不满足214k >，舍去，1k =-满足要求，故1k =-.22.已知函数2()ln x f x e a x =-，函数ln ()m xg x n x+=+的图象在点(1,(1))g 处的切线方程为30y -=.（1）讨论()f x 的导函数()f x '的零点的个数；（2）若0a ≤，且()f x 在[),e +∞上的最小值为2e e ，证明：当0x >时，()()f x g x ≥.【答案】（1）当0a >时，()f x '存在唯一零点，当0a ≤时，()f x '无零点.（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由题意得()f x 的定义域为(0,)+∞，2()2x af x e x'=-，然后分0a ≤和0a >两种情况讨论即可（2）先由条件求出1ln ()2x g x x+=+，然后要证()()f x g x ≥，即证()22ln 1xx e x --≥，令()2()2ln xh x x ex =--，然后利用导数得出min ()1h x =即可【详解】（1）由题意，得()f x 的定义域为(0,)+∞，2()2xa f x e x'=-.显然当0a ≤时，()0f x '>恒成立，()f x '无零点.当0a >时，取2()()2xa t x f x e x'==-，则22()40xa t x ex'=+>，即()f x '单调递增，又()0f a '>，2202a aa e a a f e e e ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭，所以导函数()f x '存在唯一零点.故当0a >时，()f x '存在唯一零点，当0a ≤时，()f x '无零点.（2）由（1）知，当0a ≤时，()f x 单调递增，所以22min ()()ee f x f e e a e ==-=，所以0a =.因为21ln ()m xg x x --'=，函数()g x 的图象在点(1,(1))g 处的切线方程为30y -=，所以1(1)01mg -'==，所以1m =.又1ln1(1)31g n +=+=，所以2n =，所以1ln ()2xg x x+=+.根据题意，要证()()f x g x ≥，即证2ln 12xx e x+≤-，只需证()22ln 1x x e x --≥.令()2()2ln xh x x e x =--，则22121()(21)(21)x x x h x x e x e x x +⎛⎫'=+-=+- ⎪⎝⎭.令21()(0)xF x ex x =->，则221()20x F x e x'=+>，所以()F x 在(0,)+∞上单调递增.又1404F ⎛⎫=-<⎪⎝⎭，1202F e ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，所以()F x 有唯一的零点,x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭01142.当()00,x x ∈时，()0<F x ，即()0h x '<，()h x 单调递减，当()0,x x ∈+∞时，()0F x >，即()0h x '>，()h x 单调递增，所以()()2min 000()2ln x h x h x x e x ==--.又因为()00F x =，所以0201ex x =，所以()0000020112ln 1221x h x x x x x e ⎛⎫⎛⎫=--=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()()f x g x ≥.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的零点个数，利用导数证明不等式，属于较难题.。
