当前位置：文档之家 › 2.4正态分布

2.4正态分布

  • 格式：doc
  • 大小：324.15 KB
  • 文档页数：6

下载文档原格式

  / 6

合集下载

高中数学选修2-3精品课件2：2.4正态分布

高中数学选修2-3精品课件2：2.4正态分布
P(x1 <x<x2)=( x2)- (x1)
P(1 <x<2)= P(-1.5 <x<-1)= P(-0.5 <x<1.5)=
正态分布0)
(
X0-
)
例题选讲 求正态总体N（1，4）在区间（2，3）内取值的概率？
P(2 <x<3)=( 1)- (0.5)=0.1498
（ - 2 ， + 2）
95.4%
（ - 3 ， +3 ）
99.7%
小概率事件
正态总体在( - 2 ， + 2)以外取值的概率是 4.6% 正态总体在( - 3 ， + 3)以外取值的概率是 0.3%
O
4
x
6
小概率事件在一次实验中几乎不可能发生
控制上界 + 3
中心线
控制下界 -3
练习
1.设零件尺寸服从正态总体N（4，0.25）质检人员从工厂
生产的1000件产品中随机抽查一件，测得其尺寸为5.7,试问
这批产品是否合格？
控制上界
+ 3=4+3×0.5=5.5
控制下界
- 3=4－3×0.5=2.5
5.7(2.5，5.5)
该产品不合格
2.设零件尺寸服从正态总体N( 25，0. 09)为使生产的产品有 95%以上的合格率，求零件尺寸允许值的范围？
1234
x
=-2
=0
=3
N (0 ,4)
N (0, 1) y
-4 -3 -2 -1 O
1
N (0, 1/9)
=1/3
=1
=2
234
x
正态曲线的性质

2.4正态分布曲线参考解读

2.4正态分布曲线参考解读
答案： 0.002 6
工具
第二章 随机变量及其分布
栏目导引
4．若一个正态分布密度曲线对应的函数是一个偶函数， 1 且该函数的最大值为 . 4 2π (1)求该正态分布密度曲线对应的函数解析式； (2)求正态总体在(－4,4)的概率．
工具
第二章 随机变量及其分布
栏目导引
解析： (1)由于该正态分布密度曲线对应的函数是一个 偶函数，所以其图象关于 y 轴对称，即 μ＝0， 1 1 由 ＝ ，解得 σ＝4， 4 2π 2πσ 所以该函数的解析式为 1 x2 φμ，σ(x)＝ e－ ，x∈(－∞，＋∞)． 4 2π 32
工具
第二章 随机变量及其分布
栏目导引
2．正态分布 如果对于任何实数 a<b，随机变量 X 满足 P(a<X≤b)＝
bφ (x)dx μ a
，则称 X 的分布为正态分布．
作
正态分布完全由参数 μ 和 σ 确定，因此正态分布常记 N(μ，σ2) ，如果随机变量X服从正态分布，则记为 ．
X～N(μ，σ2)
工具
第二章 随机变量及其分布
栏目导引
3．正态曲线的性质
2 x － μ 1 正态曲线 φμ，σ(x)＝ e－ ，x∈R 有以下性质： 2σ 2 2πσ
(1)曲线位于 x 轴 上方
，与 x 轴 不相交
；
(2)曲线是单峰的，它关于直线 x＝μ (3)曲线在 x＝μ
对称；
1 处达到峰值 ； σ 2π
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
工具
第二章 随机变量及其分布
栏目导引
[题后感悟]
利用图象求正态密度函数的图象，应抓住
1 图象的实质性两点：一是对称轴 x＝μ，另一个是最值 . 2πσ 这两点确定以后，相应参数 μ，σ 便确定了，代入 φμ，σ(x)中 便可求出相应的解析式．

2.4《正态分布》ppt

2.4《正态分布》ppt


正态曲线下的面积规律
• X轴与正态曲线所夹面积恒等于1 。 • 对称区域面积相等。
S(-,-X)
S(X,)＝S(-,-X)

正态曲线下的面积规律
• 对称区域面积相等。
S(-x1, -x2)
S(x1,x2)=S(-x2,-x1)
-x1 -x2

x2 x1
4、特殊区间的概率:
若X~N ( , ) ,则对于任何实数a>0,概率
0.1573
例2：
1.已知随机变量X服从正态分布 N(3,σ2),则P(X<3)等 于( ) A. 1/4 B. 1/3 C. 1/3 D. 1/2 2 2 2.设两个正态分布N(μ1, 1 ) (σ1>0)和N(μ2, ) 2 (σ2>0)的密度函数图象如图所示,则有 ( )
A.μ1<μ2,σ1<σ2 C.μ1>μ2,σ1<σ2
0.63
0.79 0.92 0.96 0.98 1.00
0.0227
0.0145 0.0118 0.0036 0.0018 0.0018
频率分布直方图
频率 组距
100件产品尺寸的频率分布直方图
产品内径尺寸/mm
o
200件产品尺寸的频率分布直方图
频率 组距
8 6 4 2
o
产品内径尺寸/mm
样本容量增大时频率分布直方图
A.0.1
B. 0.2
C. 0.3
D.0.4
5.已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，且Ｐ（X ＜4）=0.8，则Ｐ（0＜X＜2）＝（ ） Ａ.0.6 B.0.4 C.0.3 D.0.2
6.
我们从上图看到，正态总体在 2 , 2 以外取值的概率只有4.56％，在 3 , 3 以外 取值的概率只有0.26 ％。

人教版高中数学选修2-3第二章2.4正态分布

人教版高中数学选修2-3第二章2.4正态分布

你能说 说正态曲线 的特点吗？ （1）曲线位于x轴上方，与x轴不相交；
（2）曲线是单峰的，它关于直线x=μ对称；
1 （3）曲线在x=μ处达到峰值 ； σ 2π
（4）曲线与x轴之间的面积为1.
观察
(5) 当 一定时，曲线的位置由μ确定， 曲线随着μ的变化而沿x轴平移.
观察
当μ一定时，曲线的形状由 确定， 越 小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集 中； 越大，曲线越“矮胖”，表示总体的 分布越分散.
下图中阴影部分的面积就是X落在区间 （a，b]的概率的近似值. y
0
a
b
x
知识要点
2.正态分布
一般地，如果对于任何实数a，b(a<b)，随机 变量X满足
P(a < X b) = φμ,σ (x)dx，
a b
则称随机变量X服从正态分布(normal distribution).正态分布完全由参数μ和 确定，因此 正态分布常记作N(μ，2).如果随机变量X服从正态 分布，则记为X~N(μ，2).
y
0
μ-a μ-b
x
特别有
P(μ- <X≦μ+)=0.6826,
P(μ- 2<X≦μ+2)=0.9544,
P(μ- 3<X≦μ+3)=0.9974. 上述 结果用右 图表示
由图可知，正态分布几乎总取之于区间 （μ- 3，μ+3 ）之间.而在此区间之外取值的 概率只有0.0026，通常认为这种情况在一次试验 中几乎不可能发生. 在实际应用中，通常认为服从于正态分布 N(μ，2 )的随机变量X只取（μ- 3，μ+3 ）之 间的值，并简称之为3原则.
导入新课

高中数学人教A版选修2-3课件：2.4 正态分布

高中数学人教A版选修2-3课件：2.4 正态分布
2.4 正态分布
-1-
1.了解正态分布的意义. 2.借助正态曲线理解正态分布的性质. 3.了解正态曲线的意义和性质. 4.会利用φ(x),F(x)的意义求正态总体小于X的概率.
题型一
题型二
题型三
题型四
正态曲线的应用 【例1】 如图是一条正态曲线,试根据图象写出该正态分布密度曲 线的函数解析式,求出总体随机变量的均值和方差.
1
题型一
题型二
题型三
题型四
反思求正态总体在某个区间上取值的概率,要充分利用正态曲线的 对称性和正态分布的三个常用数据.
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练2】 设X~N(10,1). (1)求证:P(1<X<2)=P(18<X<19); (2)若P(X≤2)=a,求P(10<X<18). (1)证明:∵X~N(10,1), ∴正态曲线 φμ,σ(x)关于直线 x=10 对称,而区间(1,2)和(18,19)关 于直线 x=10 对称,
1 2 1 1
1
∴P(ξ≥5)= 2 [1 − ������(−3 < ������ ≤5)]
= [1 − ������(1 − 4 < ������ ≤1+4)] = =
1 2 1 [1 − ������(������ − 2������ < ������ ≤ ������ +2σ)] 2 1 (1 − 0.954 4)=0.022 8. 2
2 19
∴
1
������������, ������(������)d������ =
18
������������, ������(������)d������,

2.4正态分布

2.4正态分布

B． 0.32 y D， 0.84
o
x
主页
§2.4正态分布(选修2-3)
【3】（07 全国）在某项测量中，测量结果
服从正态分布 N (1，s 2 )(s 0) ．若 在 (0，1)
内取值的概率为 0.4，则 在 (0，2) 内取值的概率
y
为 0.8．
o
x
主页
§2.4正态分布(选修2-3)
2.若X～N(1, σ2),且P(X>2)=0.023，则P(0≤X≤2)=___
3.若X～N(2, σ2),且P(X<4)=0.8，则：
(1)P(X≤0)=___ (2)P(0<X<2)=____
主页
§2.4正态分布(选修2-3)
4. 3σ原则:
若 X N (m,s 2 ) ,则
区间
m s , m s
主页
创设情境
某钢铁加工厂生产内径为25.40mm的钢管,为了 检验产品的质量,从一批产品中任取100件检测,测 得它们的实际尺寸如下:
25.39 25.36 25.34 25.42 25.45 25.38 25.39 25.42 25.47 25.35 25.41 25.43 25.44 25.48 25.45 25.43 25.46 25.40 25.51 25.45 25.40 25.39 25.41 25.36 25.38 25.31 25.56 25.43 25.40 25.38 25.37 25.44 25.33 25.46 25.40 25.49 25.34 25.42 25.50 25.37 25.35 25.32 25.45 25.40 25.27 25.43 25.54 25.39 25.45 25.43 25.40 25.43 25.44 25.41 25.53 25.37 25.38 25.24 25.44 25.40 25.36 25.42 25.39 25.46 25.38 25.35 25.31 25.34 25.40 25.36 25.41 25.32 25.38 25.42 25.40 25.33 25.37 25.41 25.49 25.35 25.47 25.34 25.30 25.39 25.36 25.46 25.29 25.40 25.37 25.33 25.40 25.35 25.41 25.37 25.47 25.39 25.42 25.47 25.38 25.39

课件12：§2.4 正态分布

课件12：§2.4 正态分布

题型一 正态曲线的图象和性质 例 1 如图是一个正态曲线．试根据图象写出其正态分 布的概率密度函数的解析式，并求出总体随机变量的均 值和方差．
解：从正态曲线的图象可知，该正态 曲线关于直线 x＝20 对称，最大值为21π， 所以 μ＝20， 21πσ＝21π， 解得 σ＝ 2.
于是概率密度函数的解析式为
3．在某项测量中，测量结果 X 服从正态分布 N(1，σ2) (σ>0)．若 X 在(0,1)内取值的概率为 0.4，则 X 在(0,2) 内取值的概率为________． 【解析】∵X 服从正态分布(1，σ2)， ∴X 在(0,1)与(1,2)内取值的概率相同，均为 0.4. ∴X 在(0,2)内取值的概率为 0.4＋0.4＝0.8. 【答案】0.8
题型二 正态分布中的概率计算
例 2 设随机变量 X～N(1,22)，试求： (1)P(－1<X≤3)； (2)P(3<X≤5)．
解：(1)P(－1<X≤3)＝P(1－2<X≤1＋2)＝0.682 6. (2)P(3<X≤5)＝P(－3<X≤－1) ＝12[P(－3<X≤5)－P(－1<X≤3)] ＝12[P(1－4<X≤1＋4)－P(1－2<X≤1＋2)] ＝12(0.954 4－0.682 6)＝0.135 9.
完全确定了正态分布，参数 μ 就是随机变量 X 的均 值，它可以用样本的均值去估计；参数 σ 就是随机 变量 X 的标准差，它可以用样本的标准差去估计．把 μ＝0，σ＝1 的正态分布叫做标准正态分布.
知识点二 正态曲线的特点及 3σ 原则
导入新知
1．正态曲线的特点
正态曲线 φμ，σ(x)＝
1 －( 2πσe
5．设随机变量 X～N(0,1)，求 P(X≤0)，P(－2<X<2)．

原创2 ：2.4正态分布

原创2 ：2.4正态分布
的.
(5)最值性:当 x=μ时, , ()
σ越大，
1
取得最大值
2
1
就越小,于是曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散;反
2
之σ越小,曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中．
y
(6)几何性:参数μ和σ的统计意义:E(x)=μ,曲线
的位置由μ决定;D(x)=σ2,曲线的形状由σ决定.
o
∼ (176,16) ,则身高在180cm以上的男生人数大约是（ B ）
A.683
B.159
C.46
D.317
2.某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，
2
−80
−
1
其密度函数() =
e 200 , ∈ (−∞, +∞),则下列命题不正确的是
2⋅10
(B )
A．该市这次考试的数学平均成绩为80分
例2.在某次数学考试中,考生的成绩X服从正态分布X～N(90,100).(1)求考试
成绩X位于区间(70,110)上的概率是多少?(2)若此次考试共有2000名考生,试
估计考试成绩在(80,100)间的考生大约有多少人?
解:依题意,X～N(90,100), ∴ = 90, = 10.
∴ (70 < ≤ 110) = ( − 2 < ≤ + 2) = 0.9544.
1
= × 0.9544 = 0.4772,
2
1
2
1
2
(5 < < 6) = × (4 < < 6) = × 0.6826 = 0.3413,
∴ (6 < < 7) = (5 < < 7) − (5 < < 6) = 0.4772 − 0.3413 = 0.1359.

2.4 正态分布

2.4 正态分布

=0.023
所以P(X≥64)=0.977， 1 又因为P(X≤72)= (1-0.683)=0.159，所以P(X>72) 2 =1-0.159=0.841.
所以P(64<x≤72)=P(x>64)-P(x>72)=0.136
正态分布与 正态曲线的概念 正态曲线的性质 正态分布
①非负性 ②定值性
【即时训练】
已知正态分布密度函数为 f x 1 e , x∈(-∞,+∞),

2
x2 4
则该正态分布的均值为________,标准差为________.
1 e 2 (x )2 22
【解析】对照正态分布密度函数φμ,σ(x)=
,
x∈(-≦,+≦)可得μ=0,σ= 2 . 答案:0 2
问题四：正态分布的3σ原则 P( －σ＜X≤ ＋σ)＝0.682 7， P( －2σ＜X≤ ＋2σ)＝0.954 5， P( －3σ＜X≤ ＋3σ)＝0.997 3， 如何理解这几个数据的实际意义？
68.27%
95.45%
99.73%
| 6σ | 4 σ| |2σ| 正态分布在各σ邻域内取值的概率.
的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线.
问题四：如果去掉高尔顿板试验中最下边的球槽，并 沿其底部建立一个水平坐标轴，其刻度单位为球槽的
宽度，用X表示落下的小球第一次与高尔顿板底部接触
时的坐标，则X是一个什么类型的随机变量？ X是连续型随机变量.
问题五：从正态曲线分析，随机变量X在区间(a，b] 内取值的概率有什么几何意义？在理论上如何计算？
概率大小．（重点）
3.会用正态分布去解决实际问题.（难点）
探究点1 正态分布的相关概念 问题一：通过高尔顿板试验，你有什么发现？能 解释一下产生这种现象的理由吗？

高中数学选修2-2课件：2.4 正态分布

高中数学选修2-2课件：2.4 正态分布

0.682 7
[由题意可知X～N(5,4)，且μ＝5，σ＝2，
所以P(3<X≤7)＝P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.682 7.]
课 时 分 层 作 业
返 首 页
[合 作 探 究· 攻 重 难]
自 主 预 习 • 探 新 知
正态曲线及其性质
某次我市高三教学质量检测中，甲、乙、丙三科考试成绩的直 方图如图所示(由于人数众多，成绩分布的直方图可视为正态分布)，则由如 图241曲线可得下列说法中正确的一项是( )
当 堂 达 标 • 固 双 基
合 作 探 究 • 攻 重 难
课 时 分 层 作 业
返 首 页
自 主 预 习 • 探 新 知
设在一次数学考试中，某班学生的分数 X～N(110,202)，且知试 卷满分 150 分，这个班的学生共 54 人，求这个班在这次数学考试中及格(即 90 分以上)的人数和 130 分以上的人数.
当 堂 达 标 • 固 双 基
合 作 探 究 • 攻 重 难
课 时 分 层 作 业
图241
返 首 页
自 主 预 习 • 探 新 知
A．甲科总体的标准差最小 B．丙科总体的平均数最小 C．乙科总体的标准差及平均数都居中 D．甲、乙、丙的总体的平均数不相同
当 堂 达 标 • 固 双 基
合 作 探 究 • 攻 重 难
集中 ；σ 越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越______ 分散 ． 总体的分布越______
返 首 页
自 主 预 习 • 探 新 知
4．3σ 原则
μ＋a (1)若 X～N(μ， σ2)， 则对于任何实数 a>0， P(μ－a<X≤μ＋a)＝ φ μ， σ(x)dx.

课件7：2.4 正态分布

课件7：2.4 正态分布
2．4 正态分布
自主预习学案
高斯是一个伟大的数学家，一生中的重要贡献不胜枚举．德国的10马克 纸币上印有高斯的头像和正态分布的曲线，这就传达了一个信息：在高 斯的科学贡献中，对人类文明影响最大的是“正态分布”．
那么，什么是正态分布？正态分布的曲线有什么特征？
1．正态曲线及其性质
(1)正态曲线：
『规律总结』 在解决有关问题时，通常认为服从正态分布N(μ，σ2)的随机 变量X只取(μ－3σ，μ＋3σ)之间的值．如果服从正态分布的随机变量的某些取 值超出了这个范围就说明出现了意外情况． 求正态变量X在某区间内取值的概率的基本方法： (1)根据题目中给出的条件确定μ与σ的值． (2)将待求问题向(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]这三个区间 进行转化； (3)利用X在上述区间的概率、正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1 求出最后结果．
f(x)＝2 1 πe－
x－ 4
2
，x∈(－∞，＋∞)．
总体随机变量的期望 μ＝20，方差 σ2＝( 2)2＝2．
『规律总结』 求正态曲线的两个方法 (1)图解法：明确顶点坐标即可，横坐标为样本的均值 μ，纵坐标为 21πσ． (2)待定系数法：求出 μ，σ 便可．
〔跟踪练习1〕把一条正态曲线C1沿着横轴方向向右移动2个单位，得到一条新 的曲线C2，下列说法中不正确的是 ( ) A．曲线C2仍然是正态曲线 B．曲线C1和曲线C2的最高点的纵坐标相等 C．以曲线C2为概率密度曲线的总体的期望比以曲线C1为概率密度曲线的总体的 期望大2
4．某班有50名学生，一次考试的数学成绩ξ服从正态分布N(100,102)，已知 P(90≤ξ≤100)＝0.3，估计该班学生数学成绩在110分以上的人数为______．

2.4正态分布wj

2.4正态分布wj

P ( µ − σ < X ≤ µ + σ ) = 0.6826, P ( µ − 2σ < X ≤ µ + 2σ ) = 0.9544, P ( µ − 3σ < X ≤ µ + 3σ ) = 0.9974.
µ − 3σ µ − 2σ
µ−σ
µ
µ+σ µ + 2σ
µ + 3σ
3σ原则 原则
在实际应用中， 在实际应用中 ， 通常认为服从于正态分布 N(µ,σ2)的随机变量只取 ( µ − 3σ , µ + 3σ ) 之间的 的随机变量只取 原则． 并称为3σ原则 值，并称为 原则．
例3、在某次数学考试中，考生的成绩 ξ 服从一个 、在某次数学考试中， 正态分布， ξ 正态分布，即 ~N(90,100). （1）试求考试成绩 ） 多少？ 多少？
ξ 位于区间 位于区间(70,110)上的概率是 上的概率是
名考生， （2）若这次考试共有 ）若这次考试共有2000名考生，试估计考试成绩 名考生 间的考生大约有多少人？ 在(80,100)间的考生大约有多少人？ 间的考生大约有多少人
主页
落在区间( 的概率为: X落在区间(a,b]的概率为: 频率
组距
0.8 0.6 0.4 0.2
o
a
b
P (a < X ≤ b) ≈ ∫ ϕ µ ,σ ( x)dx
a
b
正态分布的定义
满足: 如果对于任何实数 a<b，随机变量 满足 ，随机变量X满足
P (a < X ≤ b) =
∫
b a
ϕ µ ,σ ( x ) dx
则称随机变量X服从正态分布.记作 则称随机变量 服从正态分布 记作 服从正态分布

正态分布

正态分布

（1）曲线在x轴的上方，与x轴不相交.
（2）曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称.
（3）曲线在x=μ处达到峰值(最高点)
σ
1 2π
（4）曲线与x轴之间的面积为1
方差相等、均数不等的正态分布图示
σ=0.5
μ=0 μ= -1
μ= 1Βιβλιοθήκη 若 固定,随值的变化而
沿x轴平
移, 故
称为位置
参数；
3 1 2
均数相等、方差不等的正态分布图示
b
P(a X b) a , (x)dx
2.正态分布的定义:
如果对于任何实数 a<b,随机变量X满足:
b
P(a X b) a , (x)dx
则称为X 的正态分布. 正态分布由参数μ、σ唯一确定. 正态分布记作N（ μ，σ2）.其图象称为正态曲线.
如果随机变量X服从正态分布， 则记作 X~ N（ μ，σ2）
(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定 . σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散； σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.
例3、把一个正态曲线a沿着横轴方向向右移动2个单 位，得到新的一条曲线b。下列说法中不正确的是
（ C）
A.曲线b仍然是正态曲线；
B.曲线a和曲线b的最高点的纵坐标相等;
• 对称区域面积相等。
S(-x1, -x2)
S(x1,x2)=S(-x2,-x1)
-x1 -x2
x2 x1
4、特殊区间的概率:
若X~N (, 2 ),则对于任何实数a>0,概率
a
P( a x ≤ a) , ( x)dx a
为如图中的阴影部分的面积，对于固定的 和 而言，该面 积 的随概着率越 大的，减即少X而集变中大在。这周说围明概率越越小大, 落。在区间 ( a, a]

第二章2.4正态分布最终版

第二章2.4正态分布最终版

类型二 正态分布的概率计算
【例2】 设X～N(1,22)，求： (1)P(－1<X≤3)； (2)P(3<X≤5)； (3)P(X≥5)． 【分析】 要求随机变量X在某一范围内的概率，只须借 助于正态密度曲线的图象性质及三个特殊区间内取值的概率．
【解】 ∵X～N(1,22)，∴μ＝1，σ＝2. (1)P(－1<X≤3)＝P(1－2<X≤1＋2)＝P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.6827. (2)∵P(3<X≤5)＝P(－3<X≤－1)，
可取任意数，μ 反映随机变量取值的平均水平的特征数，即若 X～N(μ，
σ2)，则 E(X)＝μ. σ>0 且参数 σ 是衡量随机变量总体波动大小的特征
数，可以用样本的标准差去估计．
2．注意正态函数中两个参数的位置，其中 σ 这个参数在解析式中两次出现，
注意参数的一致性。设随机变量
X
的正态分布密度函数
-3 -2 -1 0 1 2 3 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x
观察上面的正态曲线，分析有什么特征？
探究 2：
知识点二 正态分布的性质
1．正态分布的性质 (1)曲线在 x 轴上方，与 x 轴不相交． (2)曲线是单峰的，关于直线 x＝μ 对称．
1
(3)曲线在 x＝μ 处达到峰值σ 2π .
第二章
随机变量及其分布
2．4 正态分布
[目标] 1.会分析正态分布的意义. 2.能借助正态曲线的图象理解正态曲线的性质及意义. 3.会根据正态曲线的性质求随机变量在某一区间的概率． [重点] 正态曲线的特点及其所表示的意义；
利用正态分布解决实际问题． [难点] 求随机变量在某一区间内的概率．
一、复习引入

2.4正态分布2

2.4正态分布2
我们从上图看到，正态总体在m 2 , m 以外取值的概率只有4.6％，在m 3 , m 3 以外
取值的概率只有0.3 ％。 际( m运 用3由当通中于, am常就这称只33些考这)时概之虑些正率内这情态值,个况其总区很他发体间小区生的,（称 间为取一为 取值小值般3几概几不乎原率乎超总则事不过取.件可值5能 。％于.区 在）实间，
二、正态曲线的特点
(x)
1
e
(
xm ) 2 2
2
,
x
R
( 0)
2
1、曲线位于x轴 _上___方，与x轴 _不__相__交__.
2、曲线是单峰的，它关于直线 _x___m_ 对称.
3、曲线在
_x___m__
处达到最大值
1
____2____.
4、曲线与x轴之间的面积为 __1_____.
正态总体的密度函数表达式
【解】 因为 ξ～N(90，100)，所以 μ＝90，σ＝10. (1)由于正态变量在区间(μ－2σ，μ＋2σ)内取值的概率是 0.954 5， 而该正态分布中，μ－2σ＝90－2×10＝70，μ＋2σ＝90＋2×10 ＝110，于是考试成绩 ξ 位于区间(70，110)内的概率为 0.954 5. (2)由 μ＝90，σ＝10，得 μ－σ＝80，μ＋σ＝100.由于正态变量在 区间(μ－σ，μ＋σ)内取值的概率是 0.682 7，所以考试成绩 ξ 位于 区间(80，100)内的概率就是 0.682 7.一共有 2 000 名考生，所以考 试成绩在(80，100)间的考生大约有 2 000×0.682 7 ≈1 365(人)．
经试验表明，一个随 机变量如果是众多的、互 不相干的、不分主次的偶 然因素作用结果之和，它 就服从或近似服从正态分

人教版高中数学选修2-3《2.4：正态分布》

人教版高中数学选修2-3《2.4：正态分布》

0
a
b
x
例题探究
例1．给出下列两个正态分布的函数表达式， 请找出其均值m和标准差s
(1)
1 ( x) e 2
王新敞
奎屯 新疆
x2 2
, x (, )
m0 , s 1
, x (, )
(2)
1 ( x) e 2 2
( x 1)2 8
m1 , s 2
2
σ＝0.5
μ 一定
μ ＝1
σ＝1 σ＝2
O
ｘ
O
ｘ
（5）当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ 的变化而沿x轴平移； （6）当μ一定时，曲线的形状由σ确定 . σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散； σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.
例题探究
例3 关于正态曲线性质的叙述： (1)曲线关于直线x =m 对称，整条曲线在x轴的 上方； (2)曲线对应的正态分布密度函数是偶函数； (3)曲线在x＝ m处处于最高点，由这一点向左右 两侧延伸时，曲线逐渐降低； (4)曲线的对称位置由μ 确定，曲线的形状由σ 确定，σ 越大，曲线越“矮胖”， 反之，σ 越小，曲线越“瘦高”. 上述叙述中，正确的有 (1) (3) (4) .
新课探究
我们以球槽的编号为横坐标，以小球落入各个球槽的 频率值为纵坐标，可以画出频率分布直方图
频率 组距
思考：球槽数增加，重复次数增加，频 率分布直方图怎么变化？
1
2
3
4
球槽编号
5
6
7
8
9
10
11
新课探究
频率 组距 随着重复次数的增加，球槽数增加 直方图的形状会越来越像一条“钟 形”曲线
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

2.4 正态分布一、知识清单1．正态分布概率密度函数：2. 正态曲线性质;(1)曲线在x 轴的______，与x 轴不相交．(2)曲线关于直线x ＝____对称． (3)当x ＝____时，曲线位于最高点． (4)曲线与x 轴间的面积为____.(5)当x ＜μ时，曲线上升(增函数)；当x ＞μ时，曲线下降(减函数)．并且当曲 线向左、右两边无限延伸时，以____轴为渐近线，向它无限靠近． （6）当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿着x 轴平移.(7)μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越大，曲线越“______”，总体分布越分散； σ越小，曲线越“______”，总体分布越集中； 3.3σ原则P （μ－σ＜X ≤μ＋σ）＝ P （μ－2σ＜X ≤μ＋2σ）＝ P （μ－3σ＜X ≤μ＋3σ）＝ 二、典例分析题型一、对正态曲线和正态分布概率密度函数的理解例1、下列函数是正态密度函数的是（ ）22222()22(1)42. (),,(0). ()2. () . ()x x x x A f x B f x C f x D f x μσμσσπ----=>===都是实数变式1．给出下列三个正态总体的函数表达式，请找出其均值μ和标准差σ （１）),(,21)(22+∞-∞∈=-x ex f x π（２）),(,221)(8)1(2+∞-∞∈=--x ex f x π题型二、有关正态分布的概率计算例2、在某次数学考试中，考生的成绩ξ服从一个正态分布，即ξ～N （90，100）. （1）试求考试成绩ξ位于区间（70，110）上的概率是多少？（2）若这次考试共有2 000名考生，试估计考试成绩在（80，100）间的考生大约有多少人？变式2、若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为π241.（1）求该正态分布的概率密度函数的解析式； （2）求正态总体在（-4，4）的概率.跟踪练习一、选择题1.（山东省文登市2013届高三3月二轮模拟考试数学（理））已知随机变量ξ服从正态分布2(2,)N σ,且(4)0.9P ξ<=,则(02)P ξ<<=（ ）A ．0.2B ．0.3C ．0.4D ．0.62．(2011广州二模试题答案(数学理))设随机变量ξ服从正态分布()3,4N ,若()()232P a P a ξξ<-=>+,则a 的值为（ ）A ．73B ．53C ．5D ．33．（2010年高考（山东理））已知随机变量ξ服从正态分布2(0,)N σ,若(2)0.023p ξ>=,则(22)p ξ-≤≤=（ ）A ．0.477B ．0.625C ．0.954D ．0.9775．(2013·深圳调研)设随机变量X ～N (1,32)，若P (X ≤c )＝P (X ＞c )，则c 等于( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．36．(2013·眉山诊断)在对我市普通高中学生某项身体素质的测试中．测量结果ξ服从正态分布N (1，σ2)(σ＞0)，若ξ在(0,2)内取值的概率为0.8，则ξ在(0,1)内取值的概率为( ) A ．0.2 B ．0.4 C ．0.6 D ．0.37．(2012年深圳第一次调研)已知三个正态分布密度函数φi (x )＝12πσie －x －μi 22σ2i(x ∈R ，i ＝1,2,3)的图象如图所示，则( )A ．μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2>σ3B ．μ1>μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3C ．μ1＝μ2<μ3，σ1<σ2＝σ3D ．μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ38．(2013辽宁模拟)设随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，函数f (x )＝x 2＋4x ＋ξ没有零点的概率是12，则μ等于( )A ．1B ．4C ．2D ．不能确定9．(2013·白山联考)设随机变量X ～N (1,52)，且P (X ≤0)＝P (X ≥a －2)，则实数a 的值为( )． A ．4 B ．6 C ．8 D ．10 二、填空题13．(2013·吉林通化调研)在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N (1，σ2)(σ＞0)．若ξ在(0,1)内取值的概率为0.4，则ξ在(0,2)内取值的概率为__________．14．(2012·新课标全国)某一部件由三个电子元件按如图所示方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作．设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N (1 000,502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为________．15．(成都市双流中学高2012级(理科)数学高三下学期2月月考试题)随机变量()~1,4N ξ,则()2D ξ= _________.16．(2012年普通高等学校招生全国统一考试数学模拟卷一(广东.理))若),1(~2σξN ,且(01)0.3P ξ≤≤=,则(2)P ξ≥= ________.三、解答题17. 设X ～N (μ，σ2)，且总体密度曲线对应的函数表达式为f (x )＝12πe －x 2－2x ＋14，x ∈R .(1)求μ，σ的值；(2)求P (|X －1|<2)及P (1－2<X <1＋22)的值．18．(2013湖北高考数学(理))假设每天从甲地去乙地的旅客人数X 是服从正态分布()2800,50N 的随机变量.记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为0p . (I)求0p 的值; (参考数据:若()2,XN μσ,有()0.6826P X μσμσ-<<+=,()220.9544P X μσμσ-<<+=,()330.9974P X μσμσ-<<+=.)(II)某客运公司用A .B 两种型号的车辆承担甲.乙两地间的长途客运业务,每车每天往返一次,A .B 两种车辆的载客量分别为36人和60人,从甲地去乙地的运营成本分别为1600元/辆和2400元/辆.公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队,并要求B 型车不多于A 型车7辆.若每天要以不小于0p 的概率运完从甲地去乙地的旅客,且使公司从甲地去乙地的运营成本最小,那么应配备A 型车.B 型车各多少辆?正态分布 答案 1.解析：【答案】C 2. 解析：【答案】A ． 3. 解析：【答案】答案C解析:因为随机变量ξ服从正态分布2(0,)N σ,所以正态曲线关于直线0x =对称,又(2)0.023p ξ>=,所以(2p ξ<-=,所以(22)1p p p ξξξ-≤≤=->-<-=,故选C 命题意图:本题考查正态分布的基础知识,掌握其基础知识是解答好本题的关键.5. 解析：由正态分布的对称性知，c 为正态曲线对称轴对应值，故c ＝1. 答案：B6. 解析：正态分布曲线关于μ＝1对称，ξ在(0,1)与(1, 2)内取值的概率相等，为0.4. 答案：B7. 解析：正态分布密度函数φ2(x )和φ3(x )的图象都是关于同一条直线对称，所以其平均数相同，故μ2＝μ3，又φ2(x )的对称轴的横坐标值比φ1(x )的对称轴的横坐标值大，故有μ1<μ2＝μ3.又σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小，曲线越“瘦高”，由图象可知，正态分布密度函数φ1(x )和φ2(x )的图象一样“瘦高”，φ3(x )明显“矮胖”，从而可知σ1＝σ2<σ3. 答案：D8. 解析：根据题意，函数f (x )＝x 2＋4x ＋ξ没有零点时，Δ＝16－4ξ<0，即ξ>4，根据正态密度曲线的对称性，当函数f (x )＝x 2＋4x ＋ξ没有零点的概率是12时，μ＝4.答案：B9. 解析 由题意可知随机变量X 的正态曲线关于x ＝1对称，则P (X ≤0)＝P (X ≥2)，所以a －2＝2，a ＝4. 答案 A13. 解析：∵ξ服从正态分布(1，σ2)，∴ξ在(0,1)与(1, 2)内取值的概率相同均为0.4. ∴ξ在(0,2)内取值概率为0.4＋0.4＝0.8. 答案：0.814. 解析 设元件1,2,3的使用寿命超过1 000小时的事件分别记为A ，B ，C ，显然P (A )＝P (B )＝P (C )＝12，∴该部件的使用寿命超过1 000小时的事件为(A B －＋A －B ＋AB )C ，∴该部件的使用寿命超过1 000小时的概率P ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12×12＋12×12＋12×12×12＝38. 答案 3815【答案】 16 16【答案】 0.2;17. [审题视点] 由已知函数对照正态曲线的结构特征求出μ和σ的值，然后利用μ、σ求出相应的概率．解 (1)由于f (x )＝12πe －x 2－2x ＋14＝12π·2e －x －222，根据一般正态分布的函数表达形式，可知μ＝1，σ＝ 2.(2)由(1)可知，μ＝1，σ＝2，故X ～N (1,2)，所以P (|X －1|<2)＝P (1－2<X <1＋2)＝0.682 6，所以P (X <1－2)＝12×(1－0.682 6)＝0.158 7.又因为P (1－22<X <1＋22)＝0.954 4，所以P (X <1＋22)＝1－12[1－P (1－22<X <1＋22)]＝1－12×(1－0.954 4)＝0.977 2，所以P (1－2<X <1＋22)＝P (X <1＋22)－P (X <1－2)＝0.977 2－0.158 7＝0.818 5.求服从正态分布的随机变量在某个区间取值的概率，只需借助正态曲线的性质，把所求问题转化为已知概率的三个区间上．要熟记正态变量的取值位于区间(μ－σ，μ＋σ)、(μ－2σ，μ＋2σ)、(μ－3σ，μ＋3σ)上的概率的值． 18. 【答案】解:(I)010.50.95440.97722p =+⨯= (II)设配备A 型车x 辆,B 型车y 辆,运营成本为z 元,由已知条件得2136609007,x y x y y x x y N +≤⎧⎪+≥⎪⎨-≤⎪⎪∈⎩,而16002400z x y =+作出可行域,得到最优解5,12x y ==.所以配备A 型车5辆,B 型车12辆可使运营成本最小.。