第11章几何光学-像差

1.6像差理论1.6.1非理想光学系统和像差所谓理想光学系统，就是能够对任意大的空间以任意宽的光束成完善像的光学系统。

一个物体发出的光经过理想光学系统后将产生一个清晰的、与物貌完全相似的像。

理想光学系统具有下述性质：①光学系统物方一个点（物点）对应像方一个点（像点），这两个点称为共轭点。

②物方每条直线对应像方的一条直线，称共轭线；物方每个平面对应像方的一个平面，称为共轭面。

③主光轴上任一点的共轭点仍在主光轴上。

任何垂直于主光轴的平面，其共轭面仍与主光轴垂直。

④对垂直于主光轴的共轭平面，横向放大率为常量。

实际中不存在真正的理想光学系统，平面反射镜是个例外，但其横向放大率恒为1。

虽然在近轴区域共轴球面系统可近似地满足理想光学系统的要求，但是实际光学系统成像都是需要一定大小的成像空间以及光束孔径的，同时还由于成像光束多是由不同颜色的光组成（同一种介质的折射率随波长而异）。

所以实际的光学系统成像都不是理想的，存在着一系列缺陷，这就是像差。

像差是指在光学系统中由透镜材料的特性或折射率（或反射）表面的集合形状引起实际像与理想像的偏差。

用高斯公式、牛顿公式或近轴光线追迹计算得到的像的位置和大小可以作为理想像的位置和大小，而实际光线追迹计算得到的像的位置和大小相对于理想像的偏差就可以作为像差的量度。

描述像差可以用几何像差和波像差（又叫光程差），本设计主要使用几何像差。

1.6.2几何像差[2]几何像差主要有七种：其中单色像差有五种，即球差、彗差、像散、场曲和畸变；复色光成像像差有轴向色差和垂轴色差两种。

1.6.2.1球差如图1-8表示的是轴上有限远同一物点发出的不同孔径的光线通过系统后不再交于一点，成像不理想。

为了表示这些对称光线在光轴方向上的离散程度，我们用不同孔径的光线对理想像点'0A 的距离''0 1.0A A 、''0.85A A …表示，称为球差。

球差是球面像差的简称，是由光学系统的口径而引起的，是光学系统口径的函数。

几何光学像差光学设计
几何光学是指利用对光的几何性质来研究和探索光传播过程以及实现特定功能的科学。

它通过分析光在折射、反射、衍射和其他辐射媒介中的传播规律，以及光在不同介质中传播时所形成的图像，来研究和设计光学系统和光学元件。

像差是指一个光学系统中，光线穿过光学系统时，其形状改变而产生的现象。

像差是由于光线在光学系统中的反射、折射和衍射而产生的，也是光学系统的重要特性之一。

像差的大小决定了光学系统的成像质量，如果像差太大，则成像效果会受到影响。

因此，像差的测试和分析是设计光学系统的重要环节。

光学设计是将光学原理应用于实际产品开发的过程，例如镜头、显微镜、望远镜、光谱仪等。

光学设计涉及大量的几何光学计算，需要精确计算和模拟光线在光学系统中的传播规律，以满足输出图像的要求。

在设计过程中，还要考虑到光学系统中像差的大小，并采取相应的措施，以保证光学系统的最终成像质量。

几何光学是光学设计的基础，它主要研究光在物体上的反射、折射和衍射等现象，以及光在不同介质中传播时所形成的图像。

几何光学可以帮助我们理解光在物体上的
传播规律，并用于光学系统的设计。

像差是光学系统设计中一个重要的指标，需要在设计过程中重点关注和考虑。

光学设计是一个包括几何光学和像差在内的复杂的设计过程，需要考虑光学系统中的各种元素，以及光学系统的计算和模拟，以便获得最终的优良成像质量。

在光学设计中，几何光学和像差是必不可少的概念，必须正确理解和使用，以便设计出高质量的光学系统。

像差的种类为了方便说明像差的成因，我们仅以平行的入射光来探讨他们在几何光学上的差异。

其实天文观测的目标都是遥远的星体，基本上也符合平行光的假设。

球面像差（对称的像差）：当沿着光轴的平行入射光不能完全聚焦时，我们称为「球面像差」。

透镜的球面像差反射镜的球面像差彗形像差（不对称的像差）：倾斜于光轴的平行入射光无法完全聚焦的情况，我们称为「彗形像差」。

色像差：若是不同的颜色光线有不同的聚焦点，我们称为「色像差」。

通常红色光的焦距比蓝光大一些。

弯曲的像场：即使光学系统能完美地聚焦，但是却常发生它们的聚焦平面与我们希望的成像平面不一致。

因此透镜会有bending的设计。

Astigmatism：因为物体经由透镜成像时，常会发生X轴与Y轴的聚焦点不一致。

变形：基本上变形的发生不能看似完全的像差。

它并不是因为影像的聚焦不良所致，相反的它是清晰的成像，但是却发生与原来的物体的外型不一致。

最完美的成像：抛物面镜数学上的定义： y2＝ 4 F．x F：镜面焦距长度镜面特色：平行光轴的入射光线可以完美聚焦于焦点。

同时因为是反射面成像，所以没有任何色像差。

若是采用抛物面来作为天文望远镜的主镜是一个非常好的选择。

不但能兼顾光学系统的重量与成像品质。

很可惜的，若是非平行的入射光沿着主轴进来，会有对称的「球面像差」。

若是平行入射光倾斜于主轴，会有不对称的「彗形像差」产生。

因此抛物面镜最适合于长焦距的天文望远镜，而不适合于地面景物的观测。

不过抛物面的镜面不易制造，必须藉由许多球面镜的研磨方式逐渐逼近抛物面的曲度，因此价格自然也较为高昂。

以一个口径8吋、 F/4镜面而言，中间的镜面与球面镜差距其实是非常微小的，只有数个波长之差。

虽然这只是微小的差别，却可以改善影像的品质甚多。

为了获得高精度的抛物面，必须透过多次球面研磨。

由于抛物面镜是经过多次球面镜的研磨而成，因此抛物面镜可以看成是多个球面镜所构成。

利用这个光学特性，可以成为检测抛物面镜的一个简易的方法，我们称为「刀口测试」。

几何光学中的像差分析及其校正方法研究几何光学是传统光学学科的一部分，涉及了从摄影机、显微镜到望远镜的各种光学仪器的设计和制造。

在光学仪器的设计中，像差是常见的问题之一。

像差是指在光学成像过程中，由于光线的物理性质导致成像畸变的情况。

解决像差问题是提高光学仪器成像质量的关键步骤之一。

本文将介绍几何光学中的像差分析及其校正方法研究。

一、常见的像差类型在几何光学中，常见的像差类型有球差、彗差、像散、畸变和直观像差。

（1）球差球差是由于透镜的几何形状不是完美的球面而产生的。

球差的表现形式是，离轴处成像的点与轴上成像的点之间有一个球形偏移。

球差主要受透镜的曲率和入射光的位置的影响。

（2）彗差彗差是由于透镜离开球形形状所引起的，是光线不在经过透镜的中心而偏离所造成的。

因此，彗差通常发生在非对称的光路中。

彗差表现为像呈现为一条线。

（3）像散像散是由于不同波长的光线通过不同的透镜成像位置不同而产生的。

像散通常发生在有色物体的成像中。

像散表现为不同颜色的像位置不同。

（4）畸变畸变是由于透镜离轴处成像畸变所引起的。

畸变可以分为桶形畸变和枕形畸变两种形式。

桶形畸变表现为离轴处像比中心位置像缩小，而枕形畸变则表现为像在中心位置比离轴处像缩小。

（5）直观像差直观像差是由于双眼视差造成的。

这种像差只在使用立体投影设备时才会发生。

二、像差的校正方法几何光学中的像差问题对光学成像效果产生很大的影响，因此需要进行校正。

像差的修正方法主要分为机械校正和光学增透膜校正。

（1）机械校正机械校正是通过调整光学设备的物理组成来修正像差。

例如针对球差，可以通过调整镜头的半径或透镜的位置来减少球差。

针对像散和彗差，可以通过调整光路长度的方法来校正。

（2）光学增透膜校正光学增透膜校正是针对透镜表面特殊的膜层来纠正像差的。

这种膜层可以设计成具有衍射干涉能力的结构。

当入射光经过增透膜时，在不同的光程下呈现出对应的基态一次性干涉。

通过设计增透膜的结构，可以校正不同类型的像差。

第十一章 几何光学通过复习后，应该:1.掌握单球面折射成像、共轴球面系统、薄透镜成像、薄透镜的组合、放大镜和显微镜;2.理解共轴球面系统的三对基点、眼的分辨本领和视力、近视眼、远视眼、散光眼的矫正;3.了解透镜像差、眼的结构和性质、色盲、检眼镜、光导纤维内窥镜。

11-1 一球形透明体置于空气中，能将无穷远处的近轴光线束会聚于第二个折射面的顶点上，求此透明体的折射率。

习题11-1附图（原11-2附图）解: 无穷远处的光线入射球形透明体，相当于物距u 为∞，经第一折射面折射，会聚于第二折射面的顶点，则v=2r（r 为球的半径），已知n 1 =1.0，设n 2 =n（即透明体的折射率），代入单球面折射成像公式，得rn r n 1.0-20.1=+∞ 解得n =2.0，即球形透明体的折射率。

11-2 在3m 深的水池底部有一小石块，人在上方垂直向下观察，此石块被观察者看到的深度是多少?（水的折射率n =1.33）习题11-2附图（原11-3附图）解: 这时水池面为一平面的折射面，相当于r 为∞，已知u =3m，n 1 =1.33，n 2 =1.0，观察者看到的是石块所成的像，设其像距为v ，应用单球面折射成像公式，得∞=+ 1.33-.010.1m 333.1v 解得v =-2.25m，这表明石块在水平面下2.25m 处成一虚像，即观察者看到的“深度”。

11-3 圆柱形玻璃棒（n =1.5）放于空气中，其一端是半径为2.0cm 的凸球面，在棒的轴线上离棒端8.0cm 处放一点物，求其成像位置。

如将此棒放在某液体中（n =1.6），点物离棒端仍为8.0cm，问像又在何处?是实像还是虚像?习题11-3附图 （a）【原11-5附图（a）】解: ①如本题附图（a）所示，已知n 1 =1.0，n 2 =1.5，u =8.0cm，r =2.0cm，代入单球面折射成像公式，得cm0.2 1.0-.515.1cm 0.80.1=+v得v =12cm，在玻璃棒中离顶点12cm 处成一实像。

1.人眼的角膜可认为是一曲率半径r=7.8mm的折射球面，其后是n=4/3的液体。

如果看起来瞳孔在角膜后3.6mm处，且直径为4mm，求瞳孔的实际位置和直径。

2.在夹锐角的双平面镜系统前，可看见自己的两个像。

当增大夹角时，二像互相靠拢。

设人站在二平面镜交线前2m处时，正好见到自己脸孔的两个像互相接触，设脸的宽度为156mm，求此时二平面镜的夹角为多少3、夹角为35度的双平面镜系统，当光线以多大的入射角入射于一平面镜时，其反射光线再经另一平面镜反射后，将沿原光路反向射出4、有一双平面镜系统，光线以与其中的一个镜面平行入射，经两次反射后，出射光线与另一镜面平行，问二平面镜的夹角为多少5、一平面朝前的平凸透镜对垂直入射的平行光束会聚于透镜后480mm处。

如此透镜凸面为镀铝的反射面，则使平行光束会聚于透镜前80mm处。

求透镜的折射率和凸面的曲率半径（计算时透镜的厚度忽略不计）。

解题关键：反射后还要经过平面折射6、人眼可简化成一曲率半径为5.6mm的单个折射球面，其像方折射率为4/3，求远处对眼睛张角为1度的物体在视网膜上所成像的大小。

7、一个折反射系统，以任何方向入射并充满透镜的平行光束，经系统后，其出射的光束仍为充满透镜的平行光束，并且当物面与透镜重合时，其像面也与之重合。

试问此折反射系统最简单的结构是怎样的。

8、一块厚度为15mm的平凸透镜放在报纸上，当平面朝上时，报纸上文字的虚像在平面下10mm处。

当凸面朝上时，像的放大率为β＝3。

求透镜的折射率和凸面的曲率半径。

9、有一望远镜，其物镜由正、负分离的二个薄透镜组成，已知f1’=500mm, f2’=－400mm, d=300mm，求其焦距。

若用此望远镜观察前方200m处的物体时，仅用第二个负透镜来调焦以使像仍位于物镜的原始焦平面位置上，问该镜组应向什么方向移动多少距离，此时物镜的焦距为多少10、已知二薄光组组合，f’=1000，总长（第一光组到系统像方焦点的距离）L=700，总焦点位置lF’=400, 求组成该系统的二光组焦距及其间隔。

相差理论概述这点东西呢，是比较初阶的，只能给您们一个概念性的认识，要对像差理论有比较全面的了解，还必须参看有关的教材。

谢谢日常使用的光学系统（简称镜头）由于受光学设计、加工工艺及装调技术等诸多因素的影响，要对一定大小的物体成理想象是不可能的，它实际所成的象与理想象总是有差异，这种成象的差异就称为镜头（或成象光学系统）的象差。

象差是由光学系统的物理条件（光学特性指标）所造成的。

从某种意义上来说，任何光学系统都存在有一定程度的象差，而且从理论上来讲总也不可能将它们完全消除。

肉眼和其他光能接收器也只具有一定的分辨能力，因此只要象差的数值小于一定的限度，我们就认为该系统的象差得到了矫正。

一、一级像差理论为了建立一个令人满意的像差理论，一个简单的方法就是从精确的光线追迹公式（请参考有关的书籍）着手，把其中每一角度的正弦函数按照麦克劳林定理展开成幂级数的形式,即sinθ=θ-θ3/3!+ θ5/5!- ……。

对于小角度，这个幂级数是一个迅速收敛的级数，每一项都比它的前一项小得多，这说明对近轴光线而言，因倾斜角很小，故在一级近似的情况下，除了第一项之外，其余各项都可以忽略不记。

二、三级像差理论如果在光线追迹公式中，把角的正弦函数全部用sinθ=θ-θ3/3!+ θ5/5!- ……，中的前两项代替，则所得的结果不论是什么形式的方程式，都代表三级理论的结果，这样方程式就可以对主要像差作出相当准确的说明了。

在这个理论中任何光线所产生的像差，即是相对于高斯公式所得的路径的偏差，可以用五个和（S1到S5）式来表示，这五个和叫作塞德耳和。

如果一个透镜的成像本领没有缺点，则这五个和全都应该为零。

但是没有一个光学系统能够同时满足所有的这些条件。

因此按照惯例，我们对每一个和分别考虑，如果其中某一个和为零，则与该和对应的像差就不存在。

例如，若轴上某一已知物点之塞德耳和S1=0，则相应像点之球差就不存在。

如果S2=0，则没有彗差。

光学经典理论光学像差重要知识点详解像差是指实际光学系统中，由非近轴光线追迹所得的结果和近轴光线追迹所得的结果不一致，与高斯光学的理想状况的偏差。

像差是光学理论中一个比较重要的知识点，相信很多朋友们也这么觉得吧！今天为大家整理了一些关于像差的知识，大家可以收藏！像差基础理论实际光学系统的成像是不完善的，光线经光学系统各表面传输会形成多种像差，使成像产生模糊、变形等缺陷。

像差就是光学系统成像不完善程度的描述。

光学系统设计的一项重要工作就是要校正这些像差，使成像质量达到技术要求。

光学系统的像差可以用几何像差来描述，包括：球差定义球差是指光轴的物点由于在Lens上的投射角度不同从而导致在像空间像点在光轴上不重合而导致的像差。

在光学中，球面像差是发生在经过透镜折射或面镜反射的光线，接近中心与靠近边缘的光线不能将影像聚集在一个点上的现象。

这在望远镜和其他的光学仪器上都是一个缺点。

这是因为透镜和面镜必须满足所需的形状，否则不能聚焦在一个点上造成的。

球面像差与镜面直径的四次方成正比，与焦长的三次方成反比，所以他在低焦比的镜子，也就是所谓的“快镜”上就比较明显。

成因对使用球面镜的小望远镜，当焦比低于f/10时，来自远处的点光源（例如恒星）就不能聚集在一个点上。

特别是来自镜面边缘的光线比来自镜面中心的光线更不易聚焦，这造成影像因为球面像差的存在而不能很尖锐的成象。

所以焦比低于f/10的望远镜通常都使用非球面镜或加上修正镜。

一个点光源在负球面像差(上) 、无球面像差(中)、和正球面像差(下)的系统中的成像情形。

左面的影相是在焦点内成像，右边是在焦点外的成像。

来自球面镜的球面像差消球差曲面多用于高倍率显微镜的物镜。

一个消球差薄透镜由一个消球差球面和一个平面经组成，对于平行光。

消球差薄透镜等同一块平板玻璃，对于聚合光束，消球差薄透镜增加光束的聚合度，对于发散光束，消球差薄透镜增加光束的发散度。

球差的校正方法凹凸透镜补偿法和非球面校正球差。

几何光学中的七种像差包括球差、彗差、像散、场曲、畸变、位置色差和倍率色差。

下面是对这些像差的简要介绍：
球差：是轴上点发出的宽光束经过透镜后，在像面上形成的弥散斑的形状。

它是由于透镜的球形表面造成的。

彗差：轴外物点发出宽光束，经过光学系统后，在像面上呈彗星状的光斑，这样的像差称为彗差。

像散：由于透镜的折射面不是平面，造成轴上点发出的宽光束经过透镜后，子午细光束与会聚细光束的交点不重合的像差称为像散。

场曲：垂直于光轴的平面物体经光学系统后所结成的清晰影像，若不在一垂直于光轴的平面内，而在一以光轴为对称的弯曲表面上，即最佳像面为一曲面，则此种像差称为场曲。

畸变：被摄物平面内的主轴外形在结像平面上变为曲线，则此曲线的畸变即为像差的一种，称为畸变。

位置色差：由于不同色光通过透镜时的折射率不同，在同一物距的同一物点经同一透镜所形成的两个像点在像方主光线方向上的分离。

倍率色差：由于不同色光通过透镜时的折射率不同，在同一物距的同一物点经同一透镜所形成的两个像点在垂直主光线方向上的分离。

请注意，这些像差会对成像质量产生不同程度的影响，需要在光学系统设计中进行考虑和控制。