向量数量积说课稿

《两个向量的数量积》说课稿各位评委：您们好！我叫李健，来自川师成都学院。

今天我说课的课题是高二下册第九章第2节《两个向量的数量积》（第一课时），现我就教材分析、教学目标分析、教学重难点、教法与学法设计、教学过程、五个方面进行说明。

恳请在座的各位评委批评指正。

一、教材分析本节课是人教B版选修2-1第三章第1.3节的内容，是在学生学习了空间向量的线性运算和空间向量基本定理的基础上进一步学习的内容，是平面向量数量积及其研究方法的推广和拓展。

它丰富了学生的认知结构，为学生学习立体几何提供了新的视角、新的观点、新的方法，并且是本章和今后学习的重要基础。

二、教学目标介于本节课的重要地位和课程标准的要求，根据学生实际学习水平和思维特点，我确立本节课的教学目标如下：知识与技能：（1）掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；（2）掌握两个向量数量积的概念、性质和计算方法及运算律；（3）掌握两个向量数量积的主要用途，会用它解决立体几何中的一些简单问题。

过程与方法：（1）经历空间向量数量积知识的形成过程（2）体会低维与高维相互转化的思维过程（3）发展联想、类比、探究的能力、培养数学表达和交流能力（4）培养用联系的观点看问题，渗透数形结合的思想情感、态度：（1）激发学生求知欲，提高学习兴趣，树立学好数学的信心（2）认识数学的科学价值、应用价值，体会数学的理性精神三、教学重难点分析根据教材内容和学生观察、形象思维能力强，而空间想象能力不足的特点，我制定了以下重难点教学重点：两个向量的数量积的计算方法及其应用教学难点：（1）两个向量的数量积的几何意义（2）如何把立体几何问题转化为向量计算问题四、教法与学法分析教法：教学过程是教师和学生共同参与的过程，启发学生自主性学习,充分调动学生的积极性、主动性；有效地渗透数学思想方法，提高学生素质。

根据这样的原则和所要完成的教学目标，并为激发学生的学习兴趣，我采用如下的教学方法：1、情景教学法、问题教学法 2、讨论探究法、分层教学法 3、启发式教学法。

人教版高二数学必修四《平面向量的数量积》说课稿一、引入大家好，我是今天的数学课老师。

本节课我们将学习人教版高二数学必修四中的《平面向量的数量积》这一部分内容。

在这个章节中，我们将学习什么是向量的数量积以及它的性质和应用。

二、概述本节课的重点是向量的数量积。

首先，我们会详细介绍向量的数量积的定义及其几何意义。

然后，我们将讨论数量积的性质，包括交换律、分配律和数量积的几何性质。

最后，我们会应用数量积解决实际问题。

三、向量的数量积及其几何意义1. 向量的数量积定义向量的数量积，也叫点积或内积，定义为两个向量的长度乘积与它们夹角的余弦值的乘积。

记作 $ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} $。

2. 向量的数量积几何意义向量的数量积有很重要的几何意义。

当两个向量夹角为锐角或直角时，数量积为正；当两个向量夹角为钝角时，数量积为负；当两个向量互相垂直时，数量积为零。

四、数量积的性质1. 交换律向量的数量积满足交换律，即 $ \mathbf{a} \cdot\mathbf{b} = \mathbf{b} \cdot \mathbf{a} $。

2. 分配律向量的数量积还满足分配律，即 $ \mathbf{a} \cdot(\mathbf{b} + \mathbf{c}) = \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} + \mathbf{a} \cdot \mathbf{c} $。

3. 数量积的几何性质数量积的几何性质包括向量的垂直、平行和夹角的余弦值。

•垂直性质：如果两个非零向量的数量积为零，那么它们垂直。

•平行性质：如果两个向量的数量积非零，那么它们平行。

•夹角余弦公式：数量积的定义可以进一步推导出夹角的余弦公式： $ \cos \theta = \frac{\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}|\times |\mathbf{b}|} $。

高中数学教学备课教案向量的数量积与向量的坐标高中数学教学备课教案向量的数量积与向量的坐标引言：向量是数学中的重要概念，在高中数学课程中有着广泛的应用。

本教学备课教案将重点介绍向量的数量积与向量的坐标，并通过实例演示其应用。

通过本教案的学习，学生将能够更好地理解向量的数量积与坐标，提高解题能力。

一、向量的数量积（内积）1. 数量积的定义数量积又称为内积，是向量运算中的一种。

对于向量a和b，它们的数量积定义为a·b = |a|·|b|·cosθ，其中|a|和|b|分别代表向量a和b的模，θ表示夹角。

2. 数量积的性质- 交换律：a·b = b·a- 分配律：(a+b)·c = a·c + b·c- 数量积与夹角的关系：a·b = |a|·|b|·cosθ3. 数量积的计算方法（以二维向量为例）假设向量a的坐标为(a1, a2)，向量b的坐标为(b1, b2)，则a·b =a1·b1 + a2·b2。

4. 应用实例：计算向量的夹角通过计算向量a和向量b的数量积以及向量的模，可以求得夹角的余弦值。

再结合反余弦函数，即可计算出夹角的大小。

二、向量的坐标1. 坐标系的建立在平面几何中，我们常常使用笛卡尔坐标系来描述点和向量的位置。

横轴称为x轴，纵轴称为y轴，两轴相交的点为原点O。

2. 向量的坐标表示向量的坐标表示方式是通过向量的起点和终点坐标之差来确定。

以向量AB为例，向量AB的坐标表示为向量OA与向量OB的坐标差，即(Bx-Ax, By-Ay)。

3. 坐标表示与数量积的关系向量的数量积可以通过向量的坐标表示来求解。

对于向量a和向量b，它们的数量积a·b可以表示为a·b = a1·b1 + a2·b2。

4. 应用实例：向量的投影向量的投影是指一个向量在另一个向量上的投影长度。

从力做的功到向量的数量积说课稿萧县中学数学组陈丽娟2013-12-20从力做的功到向量的数量积说课稿大家好，今天我说课的内容是从力做的功到向量的数量积。

我将从教材，学生，教法，学法，教学过程这几个方面对这节课进行分析。

一、教材内容分析1．教材的地位和作用平面向量的数量积这节课就是在研究完向量的线性运算之后的又一重要运算，同时也为后面要学习的坐标运算作下铺垫。

它还把把向量的长度和三角函数联系了起来，这为解决有关的几何问题提供了方便，特别为解决线段垂直问题提供了有效的方法，不仅它自身有很丰富的内容，而且在数学、物理等学科中应用十分广泛，所以也是高中数学的一个重要概念。

2、教学目标分析基于这节课的地位和作用，再加上这节课的新的概念多，不好理解。

还有以前上这节课的经验和教训，我把性质和运算律放在下节课来讲，分解了难度，因此这节课的目标设计如下：知识与技能：通过物理中“功”的实例，理解平面向量数量积的概念及其几何意义，物理意义；过程与方法：通过从物理背景引出向量数量积的定义体会数学和物理的密切联系；情感态度与价值观：通过本节的学习，认识到数学和其他知识的联系，体会数学作为解决问题的工具作用；为了有效的完成以上教学目标，我确定了这节课的重难点。

3、教学重点、难点教学重点：平面向量数量积的概念及几何意义。

教学难点：平面向量数量积的概念的理解。

对于重难点的突破我会在教法和学法及教学过程设计上给予解释二、学生情况分析本节课授课对象是高一年级的学生，他们已熟知了实数的运算体系，理解了向量的概念，对向量的加法、减法及数乘运算都应该较熟练，具备了功等物理知识，并且通过前面的学习初步体会了研究向量运算的一般方法。

但是也缺乏对一些新概念的理性思维意识。

三：教法为了体现以学生发展为本，遵循学生的认知规律，体现循序渐进与启发式的教学原则，我进行了这样的教法设计：在教师的引导下，创设情景，通过开放性问题的设置来启发学生思考，在思考中体会数学概念形成过程中所蕴涵的数学方法，使之获得内心感受。

两个向量的数量积一、教材分析空间两个向量的夹角、数量积是高中数学向量的重要内容，也是高考的重要考查内容。

从知识的网络结构上看，空间向量夹角、数量积既是平面向量夹角、数量积概念的延续和拓展，又是后续空间向量数量积的计算坐标化和空间向量在立体几何中应用的教学基础。

二、教学目标根据上述教材分析，考虑到学生已有的认知心理特征，制定如下教学目标：1.知识目标：掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；掌握空间向量的数量积及其运算律。

2.能力目标：体会类比和归纳的数学思想，并能利用两个向量的数量积公式解决立体几何中的一些简单问题。

3.情感目标：激发学生的学习热情和求知欲，培养严谨的学习态度以及空间想象的能力。

三、教学重点和难点本着课程标准，在吃透教材基础上，我确立了如下教学重点和难点：教学重点：空间两个向量的夹角、数量积的概念、计算方法及其应用。

教学难点：空间向量数量积的几何意义以及立体几何问题的转化。

下面，为了讲清楚重点、难点，使学生能达到本节课设定的教学目标，我再从教法上谈谈：四、教法分析1.本节属于概念教学，可采用以语言传递信息、分析概念的讲授法。

2.本节涉及到一些比较抽象的概念，可以借助多媒体，利用三维动态演示，来提高学生对概念的理解。

3.在重点和难点上，采用举例的方法来提高学生的实际解题能力。

4.通过知识对比来加强学生的知识迁移能力，顺便对已学过知识的复习。

最后我来具体谈一谈这节课的教学过程：五、教学过程学生是认知的主体，遵循学生的认知规律和本节课的特点，我设计了如下的教学过程：1.复习旧课，引入新课1）让学生回顾平面向量数量积及其运算律。

定义夹角几何意义：数量积a.b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积。

性质运算律2）举两个实际例子进行练习，并引出空间两个向量数量积课题。

设计意图：从学生已有认知平面向量相关知识出发，为类比出空间向量夹角和数量积概念做铺垫。

2.运用例子，理解概念，说明定义1、两向量夹角的定义已知两个非零向量a 、b，在空间任取一点O，做OA=a 、OB=b，则∠AOB ,叫做向a与b的夹角，记作<a ,b>。

《向量的数量积》讲义一、向量的基本概念在我们开始探讨向量的数量积之前，先来了解一下什么是向量。

向量是既有大小又有方向的量，它可以用有向线段来表示。

比如，一个力就是一个向量，它不仅有大小（力的强度），还有方向（力的作用方向）。

在数学中，我们通常用字母来表示向量，比如向量 a 、向量 b 。

向量的大小称为向量的模，记作｜a| 、｜b| 。

二、向量数量积的定义向量的数量积，也称为点积，是向量运算中的一个重要概念。

对于两个非零向量 a 和 b ，它们的数量积定义为： a·b ＝｜a|×｜b|×cosθ ，其中θ 是 a 和 b 的夹角。

需要注意的是，数量积的结果是一个标量（也就是一个数值），而不是向量。

如果两个向量中有一个是零向量，那么它们的数量积为 0 。

三、数量积的几何意义从几何角度来看，向量 a·b 等于向量 a 的模与向量 b 在向量 a 方向上的投影的乘积。

假设向量 b 在向量 a 方向上的投影为｜b|cosθ ，那么 a·b ＝｜a|×（｜b|cosθ) 。

这一几何意义有助于我们更好地理解和计算数量积。

四、数量积的性质1、交换律： a·b ＝ b·a这意味着两个向量的数量积与它们的顺序无关。

2、分配律： a·（b ＋ c) ＝ a·b ＋ a·c即一个向量与两个向量之和的数量积，等于这个向量分别与这两个向量的数量积之和。

3、若 a 与 b 垂直，则 a·b ＝ 0 ；反之，若 a·b ＝ 0 ，则 a 与 b 垂直。

五、数量积的坐标运算在平面直角坐标系中，如果向量 a ＝（x₁, y₁) ，向量 b ＝（x₂,y₂) ，那么它们的数量积可以通过坐标来计算：a·b ＝ x₁×x₂＋ y₁×y₂这一公式为我们在具体计算数量积时提供了很大的便利。

3.1.3 空间向量的数量积运算一、课题：空间向量的数量积二、教学目标：1．巩固空间向量数量积的概念；2．熟练应用空间向量数量积解决立体几何中的一些简单问题。

三、教学重、难点：应用空间向量数量积解决问题． 四、教学过程： （一）复习：1．空间向量夹角的概念和范围； 2．空间向量数量积的概念；3．向量AB 在e 方向上的射影：|||||cos ,|A B AB AB e ''=⋅<>． （二）新课讲解：例1．已知线段,AB BD 在平面α内，BD AB ⊥，线段AC α⊥，若,,AB a BD b AC c ===， 求,C D 间的距离．例2．已知平行六面体ABCD A B C D ''''-中，4,3,5,90AB AD AA BAD '===∠=， 60BAA DAA ''∠=∠=，求AC '的长．例3．已知S 是边长为1的正三角形所在平面外一点，且1SA SB SC ===，,M N 分别是AB ，SC 的中点，求异面直线SM 与BN 所成角的余弦值．例4．如图，长方体1111ABCD A B C D -中，4AB BC ==，E 为11AC 与11B D 的交点，F 为1BC 与1B C 的交点，又AF BE ⊥，求：长方体的高1BB ．五、课堂练习：课本第35页第1、5题． 六、课堂小结：空间向量数量积的应用． 七、补充作业：1．对于向量a 、b 、c 和实数λ，下列命题中的真命题是( )．A ．若a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0B ．若λa ＝0，则λ＝0或a ＝0C ．若a 2＝b 2，则a ＝b 或a ＝－b D ．若a ·b ＝a ·c ，则b ＝c2．如图，已知空间四边形每条边和对角线长都等于a ，点E 、F 、G分别是AB 、AD 、DC 的中点，则下列向量的数量积等于a 2的是 ( )． A ．2BA →·AC → B ．2AD →·DB → C ．2FG →·AC → D ．2EF →·CB →3．空间四边形OABC 中，OB ＝OC ，∠AOB ＝∠AOC ＝π3，则cos 〈OA →，BC →〉的值为 ( )．A.12B.22 C ．－12D ．0 4．已知a ，b 是空间两个向量，若|a |＝2，|b |＝2，|a －b |＝7，则cos 〈a ，b 〉＝________． 解析 将|a －b |＝7化为(a －b )2＝7，求得a ·b ＝12，再由a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉求得cos 〈a ，b 〉＝18.5．已知空间向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，|a |＝3，|b |＝1，|c |＝4，则a·b ＋b·c ＋c·a 的值为________．6．已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝2，AD ＝4，E 为侧面AA 1B 1B 的中心，F 为A 1D 1的中点．求下列向量的数量积： (1)BC →·ED 1→；(2)BF →·AB 1→答 案例1．【答案】解：（方法一）连结AD ， ∵,AC AD αα⊥⊂，∴AC AD ⊥，在ABD ∆中∵BD AB ⊥， ∴22222AD AB BD a b =+=+，在ACD ∆中∵AC AD ⊥，所以，CD（方法二）：22||()CD CA AB BD =++222||||||222CA AB BD CA AB CA BD AB BD =+++⋅+⋅+⋅又∵,,AC AB BD ααα⊥⊂⊂，∴,AC BD AC AB ⊥⊥，又∵AB BD ⊥，∴BD AB ⊥，∴0,0,0CA AB AB BD CA BD ⋅=⋅=⋅=，∴2||CD =222222||||||CA AB BD a b c =++=++，所以，||CD例2.【答案】解：22||()AC AB AD AA ''=++222||||||222AB AD AA AB AD AB AA AD AA '''=+++⋅+⋅+⋅222435243cos90245cos60235cos60=+++⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯169250201585=+++++=所以，||85AC '=例3．【解析】要求异面直线SM 与BN 所成角的余弦值，只要求SM 与BN 所成的角的余弦值，因此就要求SM BN ⋅以及||||SM BN ⋅，然后再用向量夹角公式求解．【答案】解：设SA a =，SB b =，SC c =，∴12a b b c a c ⋅=⋅=⋅=，∵1()()2SM BN SA SB SN SB ⋅=+⋅-11()()22a b c b =+⋅- 2111()222a c a b b c b =⋅-⋅+⋅-1111111(1)2222222=⨯-+⨯-=-∴12cos ,3||||3SM BN SM BN SM BN -⋅<>===-⋅， 所以，异面直线SM 与BN 所成角的余弦值为23．【说明】设出空间的一个基底后，求数量积SM BN ⋅的时候目标就更加明确了，只要将SM与BN 都化为用基向量表示就可以了。

数量积的概念说课稿数量积，又称内积、点乘或标量积，是线性代数中常见的概念之一。

它是定义在向量空间中的两个向量上的一种运算，旨在衡量两个向量之间的相似性或夹角的大小。

下面将详细介绍数量积的定义、性质、计算方法及其在几何学和物理学中的应用。

一、定义及性质：在二维和三维欧几里得空间中，设有两个向量A和B，其坐标分别为(A1, A2, A3)和(B1, B2, B3)。

则向量A和向量B的数量积(内积)定义为：A·B = A1B1 + A2B2 + A3B3其中，·表示数量积运算。

该运算是可交换的，即A·B = B·A。

同时，数量积还有以下一些性质：1. 对于任意向量A，A·A≥0，并且只有当A=0时，A·A=0。

2. 对于任意向量A和B，A·B = 0当且仅当A和B垂直(夹角为90)。

3. 对于任意向量A和B，A·(B+C) = A·B + A·C (分配律)。

4. 对于任意向量A和标量k，(kA)·B = k(A·B) = A·(kB) (结合律)。

以上性质使得数量积成为处理向量相关问题的有力工具。

二、计算方法：1. 坐标法：根据数量积的定义，可直接利用向量的坐标进行计算。

分别对应位置元素相乘，并将乘积相加即可。

2. 分解法：可将向量A和向量B分解为水平和垂直分量。

设A的水平分量为A1，垂直分量为A2；B的水平分量为B1，垂直分量为B2。

则A·B =(A1+B1)·(A2+B2) = A1B1 + A2B2，即可通过水平和垂直分量的乘积相加来简化计算。

3. 几何法：根据向量长度和夹角的定义，可通过数量积来计算向量的模长和夹角。

设向量A的模长为A ，向量B的模长为B ，Ax和Ay分别为A在x轴和y轴的投影长度，Bx和By分别为B在x轴和y轴的投影长度，θ为A和B之间的夹角，则有A·B = A B cosθ。

平面向量数量积的坐标表示说课稿通用二篇平面向量数量积的坐标表示说课稿 1一、教材分析1.本课的地位及作用：平面向量数量积的坐标表示，就是运用坐标这一量化工具表达向量的数量积运算，为研究平面中的距离、垂直、角度等问题提供了全新的__。

它把向量的数量积与坐标运算两个知识点紧密联系起来，是全章重点之一。

2学生情况分析：在此之前学生已学习了平面向量的坐标表示和平面向量数量积概念及运算，但数量积是用长度和夹角这两个概念来表示的，应用起来不太方便，如何用坐标这一最基本、最常用的工具来表示数量积，使之应用更方便，就是摆在学生面前的一个亟待解决的问题。

因此，本节内容的学习是学生认知发展和知识构建的一个合情、合理的“生长点”。

所以，本节课采取以学生自主完成为主，教师查漏补缺的教学方法。

因此结合中学生的认知结构特点和学生实际。

我将本节教学目标确定为：1、理解掌握平面向量数量积的坐标表达式，会进行数量积的运算。

理解掌握向量的模、夹角等公式。

能根据公式解决两个向量的夹角、垂直等问题2、经历根据平面向量数量积的意义探究其坐标表示的过程，体验在此基础上探究发现向量的模、夹角等重要的度量公式的成功乐趣，培养学生的探究能力、创新精神。

教学重点平面向量数量积的坐标表示及应用教学难点探究发现公式二、教学方法和__1教学方法：结合本节教材浅显易懂，又有前面平面向量的数量积和向量的坐标表示等知识作铺垫的内容特点，兼顾高一学生已具备一定的数学思维能力和处理向量问题的方法的现状，我主要采用“诱思探究教学法”，其核心是“诱导思维，探索研究”，其教学思想是“教师为主导，学生为主体，训练为主线的原则，为此，我通过精心设置的一个个问题，激发学生的求知欲，积极的鼓励学生的参与，给学生__思考的空间，鼓励学生自主探索，最终在教师的指导下去探索发现问题，解决问题。

在教学中，我适时的对学生学习过程给予评价，适当的评价，可以培养学生的自信心，合作交流的意识，更进一步地激发了学生的学习兴趣，让他们体验成功的喜悦。

【说课稿】教师资格说课：平面向量的数量积说课稿为了能更好的通过教师资格证面试，考生们先来看一看教师资格说课稿吧。

以下资讯由教师资格证考试网整理而出“教师资格说课:平面向量的数量积说课稿”，希望对您有所帮助!尊敬的各位评委、各位老师：大家好！今天我说课的题目是《平面向量的数量积》。

下面我将从四个方面阐述我对本节课的分析和设计。

第一部分：教学内容分析：1、教材的地位及作用：将平面向量引入高中课程,是现行数学教材的重要特色之一。

由于向量既能体现“形”的直观位置特征，又具有“数”的良好运算性质，是数形结合和转换的桥梁。

而这一切之所以能够实现，平面向量的数量积功不可没。

《平面向量的数量积》是高一数学下册第五章第六节的内容。

平面向量数量积是中学数学的一个重要概念。

它的性质很多，应用很广，是后面学习的重要基础。

本课是第一课时，学生对概念的理解尤为重要。

2、教学目标的设定：（1）知识目标：平面向量数量积的定义及初步运用。

（2）能力目标：通过对平面向量数量积定义的剖析，培养学生分析问题发现问题能力，使学生的思维能力得到训练。

（3）情感目标：通过本节课的学习，激发学生学习数学的兴趣，体会学习的快乐。

3、教学重点：平面向量的数量积定义。

4、教学难点：平面向量的数量积定义及平面向量数量积的运用。

第二部分：教法分析：采用启发引导式与讲练相结合，并借助多媒体教学手段，使学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后引导学生推导数量积的性质，通过例题和练习加深学生对平面向量数量积定义的认识，初步掌握平面向量数量积定义的运用。

《两个向量的数量积》说课稿一、教材分析（一）教材的地位和作用《两个向量的数量积》是人民教育出版社高中数学第二册（下）、第九章第5节第4课时的内容。

它既是《空间的直线与平面》在知识上的延伸和发展，又是本节《空间向量》的运用与巩固，也为下一节《夹角与距离》的教学作铺垫，起着链条的作用。

同时，这部分内容较好地反映了平面与空间的内在联系和相互转化，蕴含着类比、归纳、转化、数形结合等丰富的数学思想方法，能较好地培养学生的观察能力、概括能力、探究能力及创新意识。

概括地讲，本节课内容的地位体现在它的基础性，作用体现在它的工具性。

（二）学情分析学生在学习本节内容之前，已熟知了实数的运算体系，掌握了向量的概念及其线性运算，具备了功等物理知识，并且初步体会了研究向量运算的一般方法。

在功的计算公式和研究向量运算的一般方法的基础上,学生基本上能类比得到数量积的含义和运算律,对于运算律不一定给全或给对,对运算律的证明可能会存在一定的困难,教学中老师要注意引导学生分析判断.二、教学目标分析根据课程标准的要求、本教材的特点和高二学生的认知规律，本课的教学目标确定为：知识与技能：理解数量积的含义；掌握数量积的性质和运算律。

数学思想：通过类比的数学思想，培养学生抽象概括、理论推理能力。

问题解决：能运用性质和运算律进行相关的判断和运算。

情感目标：从数学和物理两个角度创设问题情景来引入数量积概念能激发学生的学习兴趣。

通过安排学生讨论影响数量积结果的因素并完成表格和将数量积的几何意义提前有助于学生更好理解数量积的结果是数量而不是向量，培养学生的合作意识和创新精神。

三、重难点分析本节课的重点是掌握平面向量数量积的概念、用平面向量数量积表示向量的模及夹角，难点是平面向量数量积的定义及运算律的理解，平面向量数量积的应用。

四、教法设计1、创设问题情境。

按照两个向量的数量积在生活中的实际背景给出一个实例，充分调动学生的学习兴趣，激发学生的探究心理，顺利引入课题。

《平面向量的数量积》—复习课说课稿尊敬的各位评委、各位老师：大家好！今天我说课的题目是《平面向量的数量积》—复习课。

下面我将从一下几个方面阐述我对本节课的分析和设计。

一、教材分析：向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景。

将平面向量引入高中课程，是现行数学教材的重要特色之一。

由于向量既能体现“形”的直观位置特征，又具有“数”的良好运算性质，是数形结合和转换的桥梁。

而这一切之所以能够实现，平面向量的数量积功不可没。

《平面向量的数量积》是数学必修4第二章第四节的内容。

平面向量的数量积是继向量的线性运算之后，且已具备了一定的对向量的理解和应用能力的基础上进行的又一个重要运算，同时为探索空间向量的研究奠定了理论基础，也是高中数学的一个重要概念，在数学、物理等学科中应用十分广泛。

本节内容教材共安排两课时，其中第一课时主要研究数量积的概念，第二课时主要研究数量积的坐标运算，本节复习课是把这两节并一节来复习的。

本节课数量积的概念既是对物理背景的抽象，又是研究性质和运算律的基础。

同时也因为在这个概念中，既有长度又有角度，既有形又有数，是代数、几何与三角的最佳结合点，不仅应用广泛，高考中也经常考察的内容，而且很好的体现了数形结合的数学思想和类比思想，使得数量积的概念成为本节课的核心概念，自然也是本节课教学的重点之一。

二、教学目标的设计：1、知识与技能：(1)理解平面向量的数量积的含义及物理意义。

(2)了解平面向量的数量积与向量投影的关系。

(3)掌握平面向量的数量积的坐标表达式，会进行平面向量的数量积的运算。

(4)能运用平面向量的数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。

2、过程与方法：(1)通过本节课的复习培养学生应用平面向量的数量积解决相关问题的能力。

(2)通过师生共同探讨培养“数形结合思想”与“分类讨论思想”的能力。

3、情感态度与价值观：培养学生发现问题的意识和运用知识的意识，让学生参与解决相关问题的全过程，享受成功的喜悦，感受数学的魅力，激发学生学习数学的兴趣。

平面向量的数量积说课稿说课内容：普通高中课程标准实验教科书（人教A版）《数学必修4》第二章第四节“平面向量的数量积”的第一课时---平面向量数量积的物理背景及其含义。

下面，我从背景分析、教学目标设计、课堂结构设计、教学过程设计、教学媒体设计及教学评价设计六个方面对本节课的思考进行说明。

一、背景分析1、学习任务分析平面向量的数量积是继向量的线性运算之后的又一重要运算，也是高中数学的一个重要概念，在数学、物理等学科中应用十分广泛。

本节内容教材共安排两课时，其中第一课时主要研究数量积的概念，第二课时主要研究数量积的坐标运算，本节课是第一课时。

本节课的主要学习任务是通过物理中“功”的事例抽象出平面向量数量积的概念，在此基础上探究数量积的性质与运算律，使学生体会类比的思想方法，进一步培养学生的抽象概括和推理论证的能力。

其中数量积的概念既是对物理背景的抽象，又是研究性质和运算律的基础。

同时也因为在这个概念中，既有长度又有角度，既有形又有数，是代数、几何与三角的最佳结合点，不仅应用广泛，而且很好的体现了数形结合的数学思想，使得数量积的概念成为本节课的核心概念，自然也是本节课教学的重点。

2、学生情况分析学生在学习本节内容之前，已熟知了实数的运算体系，掌握了向量的概念及其线性运算，具备了功等物理知识，并且初步体会了研究向量运算的一般方法：即先由特殊模型（主要是物理模型）抽象出概念，然后再从概念出发，在与实数运算类比的基础上研究性质和运算律。

这为学生学习数量积做了很好的铺垫，使学生倍感亲切。

但也正是这些干扰了学生对数量积概念的理解，一方面，相对于线性运算而言，数量积的结果发生了本质的变化，两个有形有数的向量经过数量积运算后，形却消失了，学生对这一点是很难接受的；另一方面，由于受实数乘法运算的影响，也会造成学生对数量积理解上的偏差，特别是对性质和运算律的理解。

因而本节课教学的难点数量积的概念。

二、教学目标设计《普通高中数学课程标准（实验）》对本节课的要求有以下三条：（1）通过物理中“功”等事例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义。

6.2.4 向量的数量积【自主预习】1．向量的夹角已知两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 就是向量a 与b 的夹角，向量夹角的范围是[0，π]． 2．平面向量的数量积3.向量数量积的运算律 (1)a ·b ＝b ·a .(2)(λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )． (3)(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c .4．平面向量数量积的有关结论已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ.[概念方法微思考]1．a 在b 方向上的投影与b 在a 方向上的投影相同吗？提示 不相同．因为a 在b 方向上的投影为|a |cos θ，而b 在a 方向上的投影为|b |cos θ，其中θ为a 与b 的夹角．2．两个向量的数量积大于0，则夹角一定为锐角吗？提示 不一定．当夹角为0°时，数量积也大于0.【基础自测】题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量．( √ )(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．( √ ) (3)由a ·b ＝0可得a ＝0或b ＝0.( × ) (4)(a ·b )c ＝a (b ·c )．( × )(5)两个向量的夹角的范围是⎣⎡⎦⎤0，π2.( × ) (6)若a·b <0，则a 和b 的夹角为钝角．( × ) 题组二 教材改编2．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(－1，k )，a·(2a －b )＝0，则k ＝________. 答案 12解析 ∵2a －b ＝(4,2)－(－1，k )＝(5,2－k )， 由a ·(2a －b )＝0，得(2,1)·(5,2－k )＝0， ∴10＋2－k ＝0，解得k ＝12.3．已知|a |＝5，|b |＝4，a 与b 的夹角θ＝120°，则向量b 在向量a 方向上的投影为________． 答案 －2解析 由数量积的定义知，b 在a 方向上的投影为|b |cos θ＝4×cos120°＝－2. 题组三 易错自纠4．已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋2b |＝________. 答案 23解析 方法一 |a ＋2b |＝(a ＋2b )2＝a 2＋4a ·b ＋4b 2 ＝22＋4×2×1×cos60°＋4×12＝12＝2 3. 方法二 (数形结合法)由|a |＝|2b |＝2知，以a 与2b 为邻边可作出边长为2的菱形OACB ，如图，则|a ＋2b |＝|OC →|.又∠AOB ＝60°，所以|a ＋2b |＝2 3.5．已知点A (－1,1)，B (1,2)，C (－2，－1)，D (3,4)，则向量AB →在CD →方向上的投影为________． 答案322解析 AB →＝(2,1)，CD →＝(5,5)，由定义知，AB →在CD →方向上的投影为AB →·CD →|CD →|＝1552＝322.6．已知△ABC 的三边长均为1，且AB →＝c ，BC →＝a ，CA →＝b ，则a·b ＋b·c ＋a·c ＝________. 答案 －32解析 ∵〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈a ，c 〉＝120°，|a |＝|b |＝|c |＝1， ∴a·b ＝b·c ＝a·c ＝1×1×cos120°＝－12，∴a·b ＋b·c ＋a·c ＝－32.【题型探究】题型一 平面向量数量积的基本运算1．已知a ＝(x,1)，b ＝(－2,4)，若(a ＋b )⊥b ，则x 等于( ) A ．8 B ．10C ．11D ．12答案 D解析 ∵a ＝(x,1)，b ＝(－2,4)，∴a ＋b ＝(x －2,5)， 又(a ＋b )⊥b ，∴(x －2)×(－2)＋20＝0，∴x ＝12.2．已知向量a ，b 满足|a |＝1，a·b ＝－1，则a ·(2a －b )等于( ) A ．4 B ．3C ．2D ．0答案 B解析 a ·(2a －b )＝2a 2－a ·b ＝2|a |2－a ·b . ∵|a |＝1，a ·b ＝－1，∴原式＝2×12＋1＝3.3．设D ，E 为正三角形ABC 中BC 边上的两个三等分点，且BC ＝2，则AD →·AE →等于( ) A.49 B.89 C.269D.263答案 C 解析 如图，|AB →|＝|AC →|＝2，〈AB →，AC →〉＝60°， ∵D ，E 是边BC 的两个三等分点，∴AD →·AE →＝⎝⎛⎭⎫AB →＋13BC →·⎝⎛⎭⎫AC →＋13CB →＝⎝⎛⎭⎫23AB →＋13AC →·⎝⎛⎭⎫13AB →＋23AC → ＝29|AB →|2＋59AB →·AC →＋29|AC →|2＝29×4＋59×2×2×12＋29×4＝269. [思维升华]平面向量数量积的三种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉．(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.(3)利用数量积的几何意义求解． 题型二 平面向量数量积的应用 命题点1 求向量的模例1(1)在△ABC 中，∠BAC ＝60°，AB ＝5，AC ＝6，D 是AB 上一点，且AB →·CD →＝－5，则 |BD →|等于( ) A ．1 B ．2C ．3D ．4答案 C解析 如图所示，设AD →＝kAB →，所以CD →＝AD →－AC →＝kAB →－AC →，所以AB →·CD →＝AB →·(kAB →－AC →)＝kAB →2－AB →·AC → ＝25k －5×6×12＝25k －15＝－5，解得k ＝25，所以|BD →|＝⎝⎛⎭⎫1－25|AB →|＝3. (2)设向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝2，a ·b ＝－2，〈a －c ，b －c 〉＝60°，则|c |的最大值为( ) A ．4 B ．2 C.2D ．1答案 A解析 因为|a |＝|b |＝2，a ·b ＝－2，所以cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－12，〈a ，b 〉＝120°.如图所示，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则CA →＝a －c ，CB →＝b －c ，∠AOB ＝120°. 所以∠ACB ＝60°，所以∠AOB ＋∠ACB ＝180°， 所以A ，O ，B ，C 四点共圆． 不妨设为圆M ，因为AB →＝b －a ，所以AB →2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝12，所以|AB →|＝23，由正弦定理可得△AOB 的外接圆即圆M 的直径为2R ＝|AB →|sin ∠AOB ＝4.所以当|OC →|为圆M 的直径时，|c |取得最大值4. 命题点2 求向量的夹角例2 (1)已知|a |＝1，|b |＝2，|a －2b |＝21，则向量a ，b 的夹角为(用弧度表示)________． 答案2π3解析 因为|a |＝1，|b |＝2，|a －2b |＝21， 所以|a －2b |＝(a －2b )2＝21，解得cos 〈a ，b 〉＝－12，又因为〈a ，b 〉∈[0，π]，所以〈a ，b 〉＝2π3.(2)已知e 1，e 2是互相垂直的单位向量．若3e 1－e 2与e 1＋λe 2的夹角为60°，则实数λ的值是________． 答案33解析 由题意知|e 1|＝|e 2|＝1，e 1·e 2＝0，|3e 1－e 2|＝(3e 1－e 2)2＝3e 21－23e 1·e 2＋e 22＝3－0＋1＝2.同理|e 1＋λe 2|＝1＋λ2. 所以cos60°＝(3e 1－e 2)·(e 1＋λe 2)|3e 1－e 2||e 1＋λe 2|＝3e 21＋(3λ－1)e 1·e 2－λe 2221＋λ2＝3－λ21＋λ2＝12，解得λ＝33. [思维升华](1)求解平面向量模的方法 ①利用公式|a |＝x 2＋y 2. ②利用|a |＝a 2.(2)求平面向量的夹角的方法①定义法：cos θ＝a·b|a||b |，θ的取值范围为[0，π]．②坐标法：若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22.③解三角形法：把两向量的夹角放到三角形中．[跟踪训练1](1)已知向量a 与b 的夹角为30°，且|a |＝1，|2a －b |＝1，则|b |＝________. 答案3解析 ∵|2a －b |＝1，∴|2a －b |2＝4a 2－4a ·b ＋b 2＝1，∴4－4|b |cos30°＋b 2＝1， 整理得|b |2－23|b |＋3＝(|b |－3)2＝0，解得|b |＝ 3.(2)已知|a |＝1，|b |＝2，且a ⊥(a －b )，则向量a 与向量b 的夹角为( ) A.π6 B.π4 C.π3D.2π3答案 B解析 ∵a ⊥(a －b )，∴a ·(a －b )＝a 2－a ·b ＝1－2cos 〈a ，b 〉＝0， ∴cos 〈a ，b 〉＝22，∴〈a ，b 〉＝π4. 题型三 平面向量与三角函数例3已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫cos 3x 2，sin 3x 2，b ＝⎝⎛⎭⎫cos x 2，－sin x 2，且x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π4. (1)求a ·b 及|a ＋b |；(2)若f (x )＝a ·b －|a ＋b |，求f (x )的最大值和最小值． 解 (1)a ·b ＝cos 3x 2cos x 2－sin 3x 2·sin x2＝cos2x .∵a ＋b ＝⎝⎛⎭⎫cos 3x 2＋cos x 2，sin 3x 2－sin x 2， ∴|a ＋b |＝⎝⎛⎭⎫cos 3x 2＋cos x 22＋⎝⎛⎭⎫sin 3x 2－sin x 22＝2＋2cos2x ＝2|cos x |.∵x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π4，∴cos x >0，∴|a ＋b |＝2cos x . (2)f (x )＝cos2x －2cos x ＝2cos 2x －2cos x －1＝2⎝⎛⎭⎫cos x －122－32. ∵x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π4，∴12≤cos x ≤1， ∴当cos x ＝12时，f (x )取得最小值－32；当cos x ＝1时，f (x )取得最大值－1. [思维升华]平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等． [跟踪训练2]在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m ＝⎝⎛⎭⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2.(1)若m ⊥n ，求tan x 的值；(2)若m 与n 的夹角为π3，求x 的值．解 (1)因为m ＝⎝⎛⎭⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，m ⊥n .所以m ·n ＝0，即22sin x －22cos x ＝0， 所以sin x ＝cos x ，所以tan x ＝1.(2)因为|m |＝|n |＝1，所以m ·n ＝cos π3＝12，即22sin x －22cos x ＝12， 所以sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝12， 因为0<x <π2，所以－π4<x －π4<π4，所以x －π4＝π6，即x ＝5π12.。

湘教版高中高一数学必修二《向量的数量积》说课稿一、教材分析《向量的数量积》是湘教版高中高一数学必修二中的一章内容。

在这一章中，学生将学习到计算向量的数量积的方法和性质，掌握数量积的几何意义和应用。

根据教材中的内容安排，本章的主要目标如下： 1. 了解向量的数量积的定义； 2. 掌握计算向量的数量积的方法； 3. 理解向量的数量积的几何意义； 4. 学会应用向量的数量积解决实际问题。

二、教学目标根据教材分析，我们可以确定本节课的教学目标： 1. 知识与技能：学生能够准确理解向量的数量积的定义，能够熟练计算向量的数量积； 2. 过程与方法：学生能够通过几何方法理解向量的数量积的几何意义，能够应用向量的数量积解决实际问题； 3. 情感态度价值观：培养学生正确的数学学习兴趣和学习态度，提高学生解决实际问题的能力。

三、教学重点与难点本节课的教学重点和难点如下： 1. 教学重点：向量的数量积的定义，计算向量的数量积的方法； 2. 教学难点：向量的数量积的几何意义，应用向量的数量积解决实际问题。

四、教学过程本节课的教学过程安排如下：1. 热身与导入 (5分钟)通过展示一幅运动员奔跑的图片，引发学生对向量的讨论，提出问题：“你们觉得运动员在比赛过程中遇到的问题可以用向量表示吗？有哪些运动员的物理量可以用向量表示？”鼓励学生积极参与讨论。

2. 知识讲解 (10分钟)在学生对向量有一定认识的基础上，通过讲解向量的数量积的定义来引入本节的主题。

重点解释数量积的概念和意义，并举例说明如何计算数量积。

3. 计算练习 (15分钟)将学生分成小组，发放习题册，让学生通过小组讨论来计算向量的数量积。

教师巡回指导，及时解答学生的疑惑，并给予肯定和鼓励。

4. 几何意义解释 (15分钟)通过几何方法解释向量的数量积的几何意义。

引导学生思考，通过数量积的计算结果，能否判断两个向量之间的夹角大小，从而引出余弦定理的概念。

5. 应用实例讨论 (15分钟)给出实际问题，要求学生运用向量的数量积解决问题。