红对勾理科数学课时作业42

课时作业60随机抽样1．以下抽样方法是简单随机抽样的是(D)A．在某年明信片销售活动中，规定每100万张为一个开奖组，通过随机抽取的方式确定号码的后四位为2709的为三等奖B．某车间包装一种产品，在自动包装的传送带上，每隔30分钟抽一包产品，称其重量是否合格C．某学校分别从行政人员、教师、后勤人员中抽取2人、14人、4人了解对学校机构改革的意见D．用抽签方法从10件产品中选取3件进行质量检验解析：选项A、B不是简单随机抽样，因为抽取的个体间的间隔是固定的；选项C不是简单随机抽样，因为总体的个体有明显的层次；选项D是简单随机抽样．2．(2019·长春一模)完成下列两项调查：①从某社区125户高收入家庭、280户中等收入家庭、95户低收入家庭中选出100户，调查社会购买能力的某项指标；②从某中学的15名艺术特长生中选出3名调查学习负担情况．宜采用的抽样方法依次是(B)A．①简单随机抽样，②系统抽样B．①分层抽样，②简单随机抽样C．①系统抽样，②分层抽样D．①②都用分层抽样解析：因为社会购买能力的某项指标受到家庭收入的影响，而社区中各个家庭收入差别明显，所以①用分层抽样法；从某中学的15名艺术特长生中选出3名调查学习负担情况，个体之间差别不大，且总体和样本容量较小，所以②用简单随机抽样法．3．(2019·长沙一中测试)某中学有高中生3 500人，初中生1 500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，则n为(A)A．100B．150C．200D．250解析：法一：由题意可得70n －70＝3 5001 500，解得n ＝100. 法二：由题意，抽样比为703 500＝150，总体容量为3 500＋1 500＝5 000，故n＝5 000×150＝100.4．(2019·湖南怀化模拟)某电视台为了调查“爸爸去哪儿”节目的收视率，现用分层抽样的方法从4 300人中抽取一个样本，这4 300人中青年人1 600人，且中年人人数是老年人人数的2倍，现根据年龄采用分层抽样的方法进行调查，在抽取的样本中青年人有320人，则抽取的样本中老年人的人数为( B )A ．90B ．180C ．270D ．360解析：设老年人有x 人，从中抽取y 人，则1 600＋3x ＝4 300，得x ＝900，即老年人有900人，则9001 600＝y 320，得y ＝180.故选B.5．去年“3·15”，某报社做了一次关于“虚假广告”的调查，在A ，B ，C ，D 四个单位回收的问卷数依次成公差为正数的等差数列，共回收1 000份，因报道需要，再从回收的问卷中按单位分层抽取容量为150的样本，若在B 单位抽取30份问卷，则在D 单位抽取的问卷份数是( C )A ．45B ．50C ．60D ．65解析：由于B 单位抽取的问卷是样本容量的15，所以B 单位回收问卷200份．由等差数列知识可得C 单位回收问卷300份，D 单位回收问卷400份，则D 单位抽取的问卷份数是B 单位的2倍，即为60份．6．(2019·泉州质检)某公司员工对户外运动分别持“喜欢”“不喜欢”和“一般”三种态度，其中持“一般”态度的比持“不喜欢”态度的多12人，按分层抽样方法从该公司全体员工中选出部分员工座谈户外运动，如果选出的人有6人对户外运动持“喜欢”态度，有1人对户外运动持“不喜欢”态度，有3人对户外运动持“一般”态度，那么这个公司全体员工中对户外运动持“喜欢”态度的有( A )A ．36人B ．30人C ．24人D ．18人解析：设持“喜欢”“不喜欢”“一般”态度的人数分别为6x ，x,3x ，由题意可得3x －x ＝12，x ＝6.∴持“喜欢”态度的有6x ＝36(人)．7．(2019·石家庄模拟)某校为了解1 000名高一新生的身体生长状况，用系统抽样法(按等距的规则)抽取40名同学进行检查，将学生从1～1 000进行编号，现已知第18组抽取的号码为443，则第一组用简单随机抽样抽取的号码为( C )A ．16B ．17C ．18D ．19解析：因为从1 000名学生中抽取一个容量为40的样本，所以系统抽样的分段间隔为1 00040＝25，设第一组随机抽取的号码为x ，则抽取的第18组编号为x＋17×25＝443，所以x ＝18.8．采用系统抽样方法从1 000人中抽取50人做问卷调查，将他们随机编号1,2，…，1 000.适当分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8.若抽到的50人中，编号落入区间[1,400]的人做问卷A ，编号落入区间[401,750]的人做问卷B ，其余的人做问卷C ，则抽到的人中，做问卷C 的人数为( A )A ．12B ．13C ．14D ．15解析：根据系统抽样的特点可知，所有做问卷调查的人的编号构成首项为8，公差d ＝1 00050＝20的等差数列{a n }，∴通项公式a n ＝8＋20(n －1)＝20n －12，令751≤20n －12≤1 000，得76320≤n ≤2535，又∵n ∈N *，∴39≤n ≤50，∴做问卷C的共有12人．9．(2019·江苏南京联合体学校调研)为检验某校高一年级学生的身高情况，现采用先分层抽样后简单随机抽样的方法，抽取一个容量为210的样本，已知每个学生被抽到的概率为0.3，且男女生的比是4∶3，则该校高一年级女生的人数是 300 .解析：抽取的高一年级女生的人数为210×37＝90，则该校高一年级女生的人数为90÷0.3＝300，故答案为300.10．(2019·湖北重点中学适应模拟)某校高三年级共有30个班，学校心理咨询室为了了解同学们的心理状况，将每个班编号，依次为1到30，现用系统抽样的方法抽取5个班进行调查，若抽到的编号之和为75，则抽到的最小的编号为 3 .解析：系统抽样的抽取间隔为305＝6.设抽到的最小编号为x ，则x ＋(6＋x )＋(12＋x )＋(18＋x )＋(24＋x )＝75，所以x ＝3.11．一个总体中有90个个体，随机编号0,1,2，…，89，依从小到大的编号顺序平均分成9个小组，组号依次为1,2,3，…，9.现用系统抽样方法抽取一个容量为9的样本，规定：如果在第1组随机抽取的号码为m ，那么在第k 组中抽取的号码个位数字与m ＋k 的个位数字相同，若m ＝8，则在第8组中抽取的号码是 76 .解析：由题意知m ＝8，k ＝8，则m ＋k ＝16，也就是第8组抽取的号码个位数字为6，十位数字为8－1＝7，故抽取的号码为76.12．某企业三个分厂生产同一种电子产品，三个分厂产量分布如图所示，现在用分层抽样方法从三个分厂生产的该产品中共抽取100件做使用寿命的测试，则第一分厂应抽取的件数为 50 ；由所得样品的测试结果计算出一、二、三分厂取出的产品的使用寿命平均值分别为1 020小时、980小时、1 030小时，估计这个企业所生产的该产品的平均使用寿命为 1 015 小时．解析：第一分厂应抽取的件数为100×50%＝50；该产品的平均使用寿命为1 020×0.5＋980×0.2＋1 030×0.3＝1 015.13．(2019·安徽安庆一中模拟)某中学有高中生960人，初中生480人，为了了解学生的身体状况，采用分层抽样的方法，从该校学生中抽取容量为n 的样本，其中高中生有24人，那么n 等于 ( D )A ．12B ．18C ．24D ．36解析：根据分层抽样方法知n 960＋480＝24960，解得n ＝36. 14．(2019·安徽淮北模拟)某单位员工按年龄分为A ，B ，C 三组，其人数之比为5∶4∶1，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为20的样本，已知C组中甲、乙二人均被抽到的概率是145，则该单位员工总数为( B )A ．110B ．100C ．900D ．800解析：∵员工按年龄分为A ，B ，C 三组，其人数之比为5∶4∶1，∴从中抽取一个容量为20的样本，则抽取的C 组人数为11＋4＋5×20＝110×20＝2，设C 组员工总数为m ，则甲、乙二人均被抽到的概率为C 22C 2m＝2m (m －1)＝145，即m (m －1)＝90，解得m ＝10.设员工总数为x ，则由10x ＝15＋4＋1＝110，可得x ＝100，故选B.15．为了调研雄安新区的空气质量状况，某课题组对雄县、容城、安新三县空气质量进行调查，按地域特点在三县内设置空气质量观测点．已知三县内观测点的个数分别为6，y ，z ，依次构成等差数列，且6，y ，z ＋6成等比数列，若采用分层抽样的方法抽取12个观测点的数据，则应从容城抽取的观测点的数据个数为( C )A ．8B ．6C ．4D ．2解析：∵6，y ，z 依次构成等差数列，且6，y ，z ＋6成等比数列，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 6＋z ＝2y ，y 2＝6(z ＋6)，解得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12，z ＝18.若采用分层抽样的方法抽取12个观测点的数据，则应从容城抽取的观测点的数据个数为126＋12＋18×12＝4，故选C. 16．某高中在校学生有2 000人．为了响应“阳光体育运动”的号召，学校开展了跑步和登山的比赛活动．每人都参与而且只能参与其中一项比赛，各年级参与比赛的人数情况如下表：其中a ∶b ∶c ＝2∶3∶5，全校参与登山的人数占总人数的25.为了了解学生对本次活动的满意程度，从中抽取一个200人的样本进行调查，则从高二年级参与跑步的学生中应抽取的人数为 36 .解析：根据题意可知，样本中参与跑步的人数为200×35＝120，所以从高二年级参与跑步的学生中应抽取的人数为120×32＋3＋5＝36.。

课时作业51 圆的方程1．(2019·福建厦门联考)若a ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，0，1，34，则方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示的圆的个数为( B )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆的条件为a 2＋4a 2－4(2a 2＋a －1)＞0，即3a 2＋4a －4＜0，解得－2＜a ＜23.又a ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，0，1，34，∴仅当a ＝0时，方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，故选B.2．若圆x 2＋y 2＋2ax －b 2＝0的半径为2，则点(a ，b )到原点的距离为( B )A ．1B ．2 C. 2D ．4解析：由半径r ＝12D 2＋E 2－4F ＝124a 2＋4b 2＝2，得a 2＋b 2＝2.∴点(a ，b )到原点的距离d ＝a 2＋b 2＝2，故选B.3．(2019·广东珠海四校联考)已知圆C 与直线x －y ＝0及x －y －4＝0都相切，圆心在直线x ＋y ＝0上，则圆C 的标准方程为( B )A ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝2B ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝2C ．(x －1)2＋(y －1)2＝2D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2解析：由题意设圆心坐标为(a ，－a )，则有|a －(－a )|2＝|a －(－a )－4|2，即|a |＝|a －2|，解得a ＝1.故圆心坐标为(1，－1)，半径r ＝22＝2，所以圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2，故选B.4．圆x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0关于直线ax －by ＋3＝0(a ＞0，b ＞0)对称，则1a ＋3b 的最小值是( D )A ．2 3 B.203 C ．4D.163解析：由圆x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0知，其标准方程为(x ＋1)2＋(y －3)2＝9，∵圆x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0关于直线ax －by ＋3＝0(a ＞0，b ＞0)对称，∴该直线经过圆心(－1,3)，即－a －3b ＋3＝0，∴a ＋3b ＝3(a ＞0，b ＞0)，∴1a ＋3b ＝13(a ＋3b )⎝⎛⎭⎪⎫1a ＋3b＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3a b ＋3b a ＋9≥13⎝ ⎛⎭⎪⎫10＋2 3a b ·3b a ＝163， 当且仅当3b a ＝3ab ，即a ＝b 时取等号，故选D.5．(2019·河南豫西五校联考)在平面直角坐标系xOy 中，以点(0,1)为圆心且与直线x －by ＋2b ＋1＝0相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为( B )A ．x 2＋(y －1)2＝4B ．x 2＋(y －1)2＝2C ．x 2＋(y －1)2＝8D ．x 2＋(y －1)2＝16解析：法一 由题意可得圆心(0,1)到直线x －by ＋2b ＋1＝0的距离d ＝|1＋b |1＋b2＝(1＋b )21＋b 2＝1＋2b 1＋b 2≤ 1＋2|b |1＋b 2≤2，当且仅当b ＝1时取等号，所以半径最大的圆的半径r ＝2，此时圆的标准方程为x 2＋(y －1)2＝2.法二 直线x －by ＋2b ＋1＝0过定点P (－1,2)，如图．∴圆与直线x －by ＋2b ＋1＝0相切于点P 时，圆的半径最大，为2，此时圆的标准方程为x 2＋(y －1)2＝2，故选B.6．(2019·福建三明第一中学月考)若对圆(x －1)2＋(y －1)2＝1上任意一点P (x ，y )，|3x －4y ＋a |＋|3x －4y －9|的取值与x ，y 无关，则实数a 的取值范围是( D )A ．(－∞，－4]B ．[－4,6]C ．(－∞，－4]∪[6，＋∞)D ．[6，＋∞)解析：设z ＝|3x －4y ＋a |＋|3x －4y －9|＝5⎝⎛⎭⎪⎪⎫|3x －4y ＋a |9＋16＋|3x －4y －9|9＋16，故|3x －4y ＋a |＋|3x －4y －9|可看作点P 到直线m ：3x －4y ＋a ＝0与直线l ：3x －4y －9＝0距离之和的5倍，∵取值与x ，y 无关，∴这个距离之和与P 无关，如图所示，可知直线m 向上平移时，P 点到直线m ，l 间的距离之和均为m ，l 间的距离，即此时与x ，y 的值无关，当直线m 与圆相切时，|3－4＋a |9＋16＝1，化简得|a －1|＝5，解得a ＝6或a ＝－4(舍去)，∴a ≥6，故选D.7．(2019·河南新乡模拟)若圆C ：x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫y ＋12m 2＝n 的圆心为椭圆M ：x 2＋my 2＝1的一个焦点，且圆C 经过M 的另一个焦点，则圆C 的标准方程为 x 2＋(y ＋1)2＝4 .解析：∵圆C 的圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12m ， ∴1m －1＝12m ，m ＝12.又圆C 经过M 的另一个焦点， 则圆C 经过点(0,1)，从而n ＝4. 故圆C 的标准方程为x 2＋(y ＋1)2＝4.8．(2019·东北三省四校联考)已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1，设点P 是圆C 上的动点．记d ＝|PB |2＋|P A |2，其中A (0,1)，B (0，－1)，则d 的最大值为 74 .解析：设P (x 0，y 0)，d ＝|PB |2＋|P A |2＝x 20＋(y 0＋1)2＋x 20＋(y 0－1)2＝2(x 20＋y 20)＋2.x 20＋y 20为圆上任一点到原点距离的平方， ∴(x 20＋y 20)max＝(5＋1)2＝36，∴d max ＝74.9．设点P 是函数y ＝－4－(x －1)2图象上的任意一点，点Q 坐标为(2a ，a －3)(a ∈R )，则|PQ |解析：函数y ＝－4－(x －1)2的图象表示圆(x －1)2＋y 2＝4在x 轴及下方的部分，令点Q 的坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2a ，y ＝a －3，得y ＝x 2－3，即x －2y －6＝0，作出图象如图所示，由于圆心(1,0)到直线x －2y －6＝0的距离d ＝|1－2×0－6|12＋(－2)2＝5＞2，所以直线x －2y －6＝0与圆(x －1)2＋y 2＝4相离， 因此|PQ |的最小值是5－2.10．(2019·安徽“江南十校”联考)已知圆C 的圆心在直线x ＋y ＝0上，圆C 与直线x －y ＝0相切，且在直线x －y －3＝0上截得的弦长为6，则圆C 的方程为 (x －1)2＋(y ＋1)2＝2 .解析：解法一：∵所求圆的圆心在直线x ＋y ＝0上， ∴设所求圆的圆心为(a ，－a )． 又∵所求圆与直线x －y ＝0相切， ∴半径r ＝2|a |2＝2|a |.又所求圆在直线x －y －3＝0上截得的弦长为6，圆心(a ，－a )到直线x －y －3＝0的距离d ＝|2a －3|2，∴d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝r 2，即(2a －3)22＋32＝2a 2，解得a ＝1. ∴圆C 的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.解法二：设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)，则圆心(a ，b )到直线x －y －3＝0的距离d ＝|a －b －3|2.∴r 2＝(a －b －3)22＋32， 即2r 2＝(a －b －3)2＋3.①由于所求圆与直线x －y ＝0相切，∴(a －b )2＝2r 2.②又∵圆心在直线x ＋y ＝0上，∴a ＋b ＝0.③ 联立①②③，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，r ＝2，故圆C 的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.解法三：设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2，半径r ＝12D 2＋E 2－4F ，∵圆心在直线x ＋y ＝0上， ∴－D 2－E2＝0，即D ＋E ＝0，① 又∵圆C 与直线x －y ＝0相切， ∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪－D 2＋E 22＝12D 2＋E 2－4F ，即(D －E )2＝2(D 2＋E 2－4F )， ∴D 2＋E 2＋2DE －8F ＝0.②又知圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫－D2，－E 2到直线x －y －3＝0的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－D 2＋E 2－32，由已知得d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝r 2，∴(D －E ＋6)2＋12＝2(D 2＋E 2－4F )，③ 联立①②③，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝2，F ＝0，故所求圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋2y ＝0，即(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.11．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得线段长为22，在y 轴上截得线段长为2 3.(1)求圆心P 的轨迹方程；(2)若P 点到直线y ＝x 的距离为22，求圆P 的方程． 解：(1)设P (x ，y )，圆P 的半径为r .由题设y 2＋2＝r 2，x 2＋3＝r 2，从而y 2＋2＝x 2＋3. 故P 点的轨迹方程为y 2－x 2＝1. (2)设P (x 0，y 0)．由已知得|x 0－y 0|2＝22.又P 点在双曲线y 2－x 2＝1上，从而得⎩⎪⎨⎪⎧ |x 0－y 0|＝1，y 20－x 20＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧ x 0－y 0＝1，y 20－x 20＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝－1.此时，圆P 的半径r ＝ 3.由⎩⎪⎨⎪⎧ x 0－y 0＝－1，y 20－x 20＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝1.此时，圆P 的半径r ＝ 3.故圆P 的方程为x 2＋(y －1)2＝3或x 2＋(y ＋1)2＝3.12．已知M 为圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0上任意一点，且点Q (－2,3)．(1)求|MQ |的最大值和最小值；(2)若M (m ，n )，求n －3m ＋2的最大值和最小值．解：(1)由圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0， 可得(x －2)2＋(y －7)2＝8，所以圆心C 的坐标为(2,7)，半径r ＝2 2. 又|QC |＝(2＋2)2＋(7－3)2＝42＞2 2. 所以点Q 在圆C 外，所以|MQ |max ＝42＋22＝62，|MQ |min ＝42－22＝2 2.(2)可知n －3m ＋2表示直线MQ 的斜率，设n －3m ＋2＝k ，则直线MQ 的方程为y －3＝k (x ＋2)， 即kx －y ＋2k ＋3＝0， 因为直线MQ 与圆C 有交点，所以|2k －7＋2k ＋3|1＋k 2≤22，可得2－3≤k ≤2＋3，所以n －3m ＋2的最大值为2＋3，最小值为2－ 3.13．已知点P (t ，t )，t ∈R ，点M 是圆x 2＋(y －1)2＝14上的动点，点N 是圆(x －2)2＋y 2＝14上的动点，则|PN |－|PM |的最大值是( B )A.5－1 B ．2 C ．3D. 5解析：易知圆x 2＋(y －1)2＝14的圆心为A (0,1)，圆(x －2)2＋y 2＝14的圆心为B (2,0)，P (t ，t )在直线y ＝x 上，A (0,1)关于直线y ＝x 的对称点为A ′(1,0)，则|PN |－|PM |≤|PB |＋12－⎝ ⎛⎭⎪⎫|P A |－12＝|PB |－|P A |＋1＝|PB |－|P A ′|＋1≤|A ′B |＋1＝2，故选B.14．(2019·厦门模拟)已知两点A (0，－3)，B (4,0)，若点P 是圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0上的动点，则△ABP 的面积的最小值为( B )A ．6 B.112 C ．8D.212解析：x 2＋y 2－2y ＝0可化为x 2＋(y －1)2＝1，则圆C 为以(0,1)为圆心，1为半径的圆． 如图，过圆心C 向直线AB 作垂线交圆于点P ，连接BP ，AP ，这时△ABP 的面积最小，直线AB 的方程为x 4＋y－3＝1，即3x －4y －12＝0，圆心C 到直线AB 的距离d ＝165，又|AB |＝32＋42＝5，∴△ABP 的面积的最小值为12×5×⎝ ⎛⎭⎪⎫165－1＝112.15．如图，在等腰△ABC 中，已知|AB |＝|AC |，B (－1,0)，AC 边的中点为D (2,0)，则点C 的轨迹所包围的图形的面积为 4π .解析：由已知|AB |＝2|AD |，设点A (x ，y )， 则(x ＋1)2＋y 2＝4[(x －2)2＋y 2]，所以点A 的轨迹方程为(x －3)2＋y 2＝4(y ≠0)，设C (x ′，y ′)，由AC 边的中点为D (2,0)知A (4－x ′，－y ′)， 所以C 的轨迹方程为(4－x ′－3)2＋(－y ′)2＝4， 即(x －1)2＋y 2＝4(y ≠0)，所以点C 的轨迹所包围的图形面积为4π.16．(2017·全国卷Ⅲ)已知抛物线C ：y 2＝2x ，过点(2,0)的直线l交C 于A ，B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆．(1)证明：坐标原点O 在圆M 上；(2)设圆M 过点P (4，－2)，求直线l 与圆M 的方程． 解：(1)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，l ：x ＝my ＋2.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋2，y 2＝2x可得y 2－2my －4＝0，则y 1y 2＝－4. 又x 1＝y 212，x 2＝y 222，故x 1x 2＝(y 1y 2)24＝4.因此OA 的斜率与OB 的斜率之积为y 1x 1·y 2x 2＝－44＝－1，所以OA ⊥OB .故坐标原点O 在圆M 上．(2)由(1)可得y 1＋y 2＝2m ，x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)＋4＝2m 2＋4. 故圆心M 的坐标为(m 2＋2，m )，圆M 的半径r ＝(m 2＋2)2＋m 2. 由于圆M 过点P (4，－2)，因此AP →·BP →＝0， 故(x 1－4)(x 2－4)＋(y 1＋2)(y 2＋2)＝0， 即x 1x 2－4(x 1＋x 2)＋y 1y 2＋2(y 1＋y 2)＋20＝0. 由(1)可得y 1y 2＝－4，x 1x 2＝4.所以2m 2－m －1＝0，解得m ＝1或m ＝－12.当m ＝1时，直线l 的方程为x －y －2＝0，圆心M 的坐标为(3,1)，圆M 的半径为10，圆M 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝10.当m ＝－12时，直线l 的方程为2x ＋y －4＝0，圆心M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫94，－12，圆M 的半径为854，圆M 的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －942＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋122＝8516.。

课时作业2命题及其关系、充分条件与必要条件时间：45分钟分值：100分一、选择题(每小题5分，共30分)1．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是()A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”解析：原命题的逆命题是：若一个数的平方是正数，则它是负数．答案：B2．命题：“若x2<1，则－1<x<1”的逆否命题是()A．若x2≥1，则x≥1或x≤－1B．若－1<x<1，则x2<1C．若x>1或x<－1，则x2>1D．若x≥1或x≤－1，则x2≥1解析：x2<1的否定为：x2≥1；－1<x<1的否定为x≥1或x≤－1，故原命题的逆否命题为：若x≥1或x≤－1，则x2≥1.答案：D3．有下列四个命题：①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆否命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆否命题；④“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题．其中的真命题为()A．①②B．②③C．①③D．③④解析：“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”为真命题，则逆否命题也为真；“全等三角形的面积相等”的否命题为“不全等三角形的面积不相等”，该否命题为假命题；若q≤1⇒4－4q≥0，即Δ＝4－4q≥0，则x2＋2x＋q＝0有实根，所以原命题为真命题，故其逆否命题也为真；“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题为“三个内角相等的三角形是不等边三角形”，该逆命题为假命题．故选C.答案：C4．设集合A＝{x∈R|x－2>0}，B＝{x∈R|x<0}，C＝{x∈R|x(x－2)>0}，则“x∈A∪B”是“x∈C”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：A∪B＝{x∈R|x<0，或x>2}，C＝{x∈R|x<0，或x>2}，∵A∪B＝C，∴x∈A∪B是x∈C的充分必要条件．答案：C5．命题“∀x∈[1,2]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是()A．a≥4 B．a≤4C．a≥5 D．a≤5解析：原命题等价于“a≥x2对于任意x∈[1,2]恒成立”，其充要条件是a≥4，所以C正确．答案：C6．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且以2为周期，则“f(x)为[0,1]上的增函数”是“f(x)为[3,4]上的减函数”的()A．既不充分也不必要的条件B．充分而不必要的条件C．必要而不充分的条件D．充要条件解析：若f(x)为[0,1]上的增函数，则f(x)在[－1,0]上为减函数，根据f(x)的周期为2可推出f(x)为[3,4]上的减函数；若f(x)为[3,4]上的减函数，则f(x)在[－1,0]上也为减函数，所以f(x)在[0,1]上为增函数，故选D.答案：D二、填空题(每小题5分，共15分)7．命题“若x>0，则x2>0”的否命题是________命题．(填“真”或“假”)解析：其否命题为“若x≤0，则x2≤0”，它是假命题．答案：假8．有下列几个命题：①“若a>b，则a2>b2”的否命题；②“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；③“若x2<4，则－2<x<2”的逆否命题．其中真命题的序号是________．解析：①原命题的否命题为“若a≤b则a2≤b2”错误．②原命题的逆命题为：“x，y互为相反数，则x＋y＝0”正确．③原命题的逆否命题为“若x≥2或x≤－2，则x2≥4”正确．答案：②③9．已知α：x≥a；β：|x－1|<1.若α是β的必要不充分条件，则实数a的取值范围为________．解析：α：x≥a，可看作集合A＝{x|x≥a}，∵β：|x－1|<1，∴0<x<2，∴β可看作集合B＝{x|0<x<2}．又∵α是β的必要不充分条件，∴B A，∴a≤0.答案：(－∞，0]三、解答题(共55分，解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程)10．(15分)已知命题p：“若ac≥0，则二次方程ax2＋bx＋c＝0没有实根”．(1)写出命题p的否命题．(2)判断命题p的否命题的真假，并证明你的结论．解：(1)否命题：“若ac<0，则二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根”．(2)命题p的否命题为真命题，证明如下：∵ac<0，∴－ac>0⇒Δ＝b2－4ac>0⇒二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根．11．(20分)指出下列命题中，p是q的什么条件(在“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”中选出一种作答)．(1)在△ABC中，p：∠A＝∠B，q：sin A＝sin B；(2)非空集合A、B中，p：x∈A∪B，q：x∈B；(3)已知x、y∈R，p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)(y－2)＝0.解：(1)在△ABC中，∠A＝∠B⇒sin A＝sin B，反之，若sin A＝sin B，因为A与B不可能互补(因为三角形三个内角和为180°)，所以只有A ＝B.故p是q的充要条件．(2)显然x ∈A ∪B 不一定有x ∈B ，但x ∈B 一定有x ∈A ∪B ，所以p 是q 的必要不充分条件．(3)条件p ：x ＝1且y ＝2，条件q ：x ＝1或y ＝2，所以p ⇒q 但q /⇒p ，故p 是q 的充分不必要条件．——创新应用——12．(20分)已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，S ＝{x ||x －1| ≤m }．(1)若(P ∪S )⊆P ，求实数m 的取值范围；(2)是否存在实数m ，使得“x ∈P ”是“x ∈S ”的充要条件？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．解：由x 2－8x －20≤0解得－2≤x ≤10，∴P ＝{x |－2≤x ≤10}．由|x －1|≤m 可得1－m ≤x ≤1＋m ，∴S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．(1)要使(P ∪S )⊆P ，则S ⊆P ，①若S ＝∅，此时m <0.②若S ≠∅，此时⎩⎪⎨⎪⎧ m ≥0，1－m ≥－2，1＋m ≤10，解得0≤m ≤3.综合①②知实数m 的取值范围为(－∞，3]．(2)由题意“x ∈P ”是“x ∈S ”的充要条件，则S ＝P ，则⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ＝－2，1＋m ＝10， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝3，m ＝9，∴这样的m 不存在．。

课时作业32 等比数列时间：45分钟 分值：100分一、选择题(每小题5分，共30分)1．设数列{a n }是等比数列，前n 项和为S n ，若S 3＝3a 3，则公比q 为( )A ．－12B ．1C ．－12或1D.14解析：当q ＝1时，满足S 3＝3a 1＝3a 3.当q ≠1时，S 3＝a 1(1－q 3)1－q ＝a 1(1＋q ＋q 2)＝3a 1q 2，解得q ＝－12，综上q ＝－12或q ＝1.答案：C2．设数列{a n }满足：2a n ＝a n ＋1(a n ≠0)(n ∈N *)，且前n 项和为S n ，则S 4a 2的值为( )A.152B.154 C ．4D ．2解析：由题意知，数列{a n }是以2为公比的等比数列，故S 4a 2＝a 1(1－24)1－2a 1×2＝152.答案：A3．(2013·新课标全国卷Ⅰ)设首项为1，公比为23的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则( )A ．S n ＝2a n －1B ．S n ＝3a n －2C ．S n ＝4－3a nD ．S n ＝3－2a n解析：由题知，a n ＝1·(23)n －1，S n ＝1－(23)n1－23＝3[1－(23)n ]＝3－2·(23)n －1＝3－2a n . 答案：D4．设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和．已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5＝( )A.152B.314C.334D.172解析：设等比数列{a n }的公比为q ，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 21q 4＝1，a 1(1＋q ＋q 2)＝7即⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝1，a 1(1＋q ＋q 2)＝7，解得⎩⎨⎧q ＝12，a 1＝4，∴S 5＝4[1－(12)5]1－12＝314.答案：B5．已知公差不为0的等差数列{a n }满足a 1，a 3，a 4成等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 3－S 2S 5－S 3的值为( )A ．2B ．3 C.15D.13解析：由题意，a 1(a 1＋3d )＝(a 1＋2d )2，d ≠0， ∴a 1＝－4d ，∴S 3－S 2S 5－S 3＝a 3a 4＋a 5＝－2d －d ＝2.答案：A6．数列{a n }中，已知对任意n ∈N *，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝3n －1，则a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n 等于( )A ．(3n －1)2B.12(9n－1) C ．9n－1D.14(3n－1)解析：∵a 1＋a 2＋…＋a n ＝3n －1，n ∈N *， n ≥2时，a 1＋a 2＋…＋a n －1＝3n －1－1， ∴当n ≥2时，a n ＝3n －3n －1＝2·3n －1，又n ＝1时，a 1＝2适合上式，∴a n ＝2·3n －1，故数列{a 2n }是首项为4，公比为9的等比数列．因此a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝4(1－9n)1－9＝12(9n －1)．答案：B二、填空题(每小题5分，共15分)7．(2013·北京卷)若等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40，则公比q ＝________；前n 项和S n ＝________.解析：由题知，a 3＋a 5＝q (a 2＋a 4)，∴q ＝a 3＋a 5a 2＋a 4＝4020＝2.又a 2＋a 4＝20，∴a 1(q ＋q 3)＝20，即a 1(2＋23)＝20，解得a 1＝2，∴S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝2(1－2n )1－2＝2n ＋1－2.答案：2 2n ＋1－28．等比数列{a n }的公比q >0，已知a 2＝1，a n ＋2＋a n ＋1＝6a n ，则{a n }的前4项和S 4＝________.解析：∵a n ＋2＋a n ＋1＝a n q 2＋a n q ＝6a n ，∴q 2＋q －6＝0， 又q >0，∴q ＝2，由a 2＝a 1q ＝1得a 1＝12， ∴S 4＝12(1－24)1－2＝152.答案：1529．(2013·江苏卷)在正项等比数列{a n }中，a 5＝12，a 6＋a 7＝3.则满足a 1＋a 2＋…＋a n >a 1a 2…a n 的最大正整数n 的值为________．解析：设公比为q ，由⎩⎨⎧a 5＝12a 6＋a 7＝a 5q ＋a 5q 2＝3解得q ＝2.∴a n ＝a 5q n －5＝2n －6.a 1＋a 2＋…＋a n ＝2－5(1－2n )1－2＝2n －5－2－5，当n ＝13时，28－2－5<213，所以n 的最大值为12.答案：12三、解答题(共55分，解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程)10．(15分)设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，且数列{S n }是以2为公比的等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1.解：(1)∵S 1＝a 1＝1，且数列{S n }是以2为公比的等比数列，∴S n＝2n －1，又当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －2(2－1)＝2n －2，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n －2，n ≥2. (2)a 3，a 5，…，a 2n ＋1是以2为首项，以4为公比的等比数列， ∴a 3＋a 5…＋a 2n ＋1＝2(1－4n )1－4＝2(4n －1)3.∴a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1＝1＋2(4n －1)3＝22n ＋1＋13.11．(20分)设数列{a n }的前n 项和为S n ，其中a n ≠0，a 1为常数，且－a 1，S n ，a n ＋1成等差数列．(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1－S n ，问：是否存在a 1，使数列{b n }为等比数列？若存在，求出a 1的值；若不存在，请说明理由．解：(1)依题意，得2S n ＝a n ＋1－a 1.当n ≥2时，有⎩⎪⎨⎪⎧2S n ＝a n ＋1－a 1，2S n －1＝a n －a 1.两式相减，得a n ＋1＝3a n (n ≥2)．又因为a 2＝2S 1＋a 1＝3a 1，a n ≠0，所以数列{a n }是首项为a 1，公比为3的等比数列．因此，a n ＝a 1·3n －1(n ∈N *)．(2)因为S n ＝a 1(1－3n )1－3＝12a 1·3n －12a 1，b n ＝1－S n ＝1＋12a 1－12a 1·3n .要使{b n }为等比数列，当且仅当1＋12a 1＝0，即a 1＝－2.所以存在a 1＝－2，使数列{b n }为等比数列．——创新应用——12．(20分)(2013·天津卷)已知首项为32的等比数列{a n }不是递减数列， 其前n 项和为S n (n ∈N *), 且S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设T n ＝S n －1S n(n ∈N *), 求数列{T n }的最大项的值与最小项的值．解：(1)设等比数列{a n }的公比为q ，因为S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列，所以S 5＋a 5－S 3－a 3＝S 4＋a 4－S 5－a 5，即4a 5＝a 3，于是q 2＝a 5a 3＝14.又{a n }不是递减数列且a 1＝32，所以q ＝－12.故等比数列{a n }的通项公式为a n ＝32×(－12)n －1＝(－1)n －1·32n .(2)由(1)得S n ＝1－(－12)n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋12n ，n 为奇数，1－12n ，n 为偶数.当n 为奇数时，S n 随n 的增大而减小，所以1<S n ≤S 1＝32，故0<S n－1S n ≤S 1－1S 1＝32－23＝56.当n 为偶数时，S n 随n 的增大而增大，所以34＝S 2≤S n <1，故0>S n－1S n ≥S 2－1S 2＝34－43＝－712.综上，对于n ∈N *，总有－712≤S n －1S n≤56.所以数列{T n }的最大项的值为56，最小项的值为－712.。

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课时作业5 不等式时间：45分钟 分值：100分一、选择题(每小题6分，共计36分)1．“13<x <12”是“不等式|x －1|<1成立”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 解析：∵不等式|x －1|<1的解集为(0,2)， ∴(13，12)⊆(0,2)，故选A. 答案：A2．关于x 的不等式ax 2＋bx －2>0的解集是(－∞，－12)∪(13，＋∞)，则ab 等于( )A ．－24B ．24C ．14D ．－14解析：由于ax 2＋bx －2>0的解集是(－∞，－12)∪(13，＋∞)，∴ax 2＋bx －2＝0的两个根应分别为：－12，13.∴⎩⎪⎨⎪⎧－12＋13＝－b a ，－12×13＝－2a.∴⎩⎨⎧a ＝12，b ＝2.∴ab ＝24.答案：B3．下列不等式不一定成立的是( ) A ．a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R) B ．a 2＋3>2a ，(a ，b ∈R)C ．|x ＋1x |>2(x >0) D.a ＋b 2≤a 2＋b 22(a ，b ∈R)解析：由重要不等式知，A 中不等式成立；由于a 2＋3－2a ＝(a －1)2＋2>0，B 中的不等式恒成立； 根据(a ＋b 2)2＝a 2＋b 2＋2ab 4≤a 2＋b 22⇒a ＋b 2≤|a ＋b 2|≤a 2＋b 22，选项D 中的不等式恒成立；只有选项C 中的不等式当x ＝1时不成立．答案：C4．设a >0，b >0.若3是3a与3b的等比中项，则1a ＋1b 的最小值为( )A ．8B ．4C ．1D ．14解析：∵3是3a 与3b 的等比中项， ∴(3)2＝3a ·3b .即3＝3a ＋b ，∴a ＋b ＝1.此时1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋(b a ＋ab )≥2＋2＝4(当且仅当a ＝b ＝12时取等号)，故选B.答案：B5．已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(2,1)，c ＝(x ，y )，且满足x ≥0，y ≥0.若a ·c ≥1，b ·c ≥1，z ＝－(a ＋b )·c ，则( )A ．z 有最大值－2B ．z 有最小值－2C ．z 有最大值－3D ．z 有最小值－3 解析：图1由a ·c ≥1，b ·c ≥1知⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥1，2x ＋y ≥1，x ≥0，y ≥0，画出平面区域如图1所示．由题意知z ＝－(a ＋b )·c ＝－3(x ＋y )在点M (13，13)处取最大值－2，故选A.答案：A6．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －6≤0，x －y ＋2≥0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)的最大值为12，则a 29＋b 24的最小值为( )A.12B.1325 C ．1 D ．2 解析：图2由题可画出满足x ，y 关系的平面区域如图2. ∵a >0，b >0，∴z ＝ax ＋by 在点M (4,6)处取最大值， ∴4a ＋6b ＝12，即2a ＋3b ＝6. ①设m ＝a 29＋b 24， ②由①②联立得b 2－2b ＋2－2m ＝0.∵b 有解，∴Δ＝4－4(2－2m )≥0，解得m ≥12，故m 的最小值为12，所以选A. 答案：A二、填空题(每小题8分，共计24分)7．不等式x 2－2x －3x －1≥x 的解集为________．解析：原不等式可化为x 2－2x －3x －1－x ≥0，即x ＋3x －1≤0，所以－3≤x <1. 答案：[－3,1)8．已知函数f (x )＝a －2x的图象经过原点，则不等式f (x )>34的解集为________．解析：∵f (x )＝a －2x 的图象过原点， ∴a －20＝0.∴a ＝1.又∵f (x )>34，即1－2x >34， ∴2x <14＝2－2.∴x <－2.答案：(－∞，－2)9．(2011·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数f (x )＝2x 的图象交于P ，Q 两点，则线段PQ 长的最小值是________．解析：假设直线与函数f (x )＝2x 的图象在第一象限内的交点为P ，在第三象限内的交点为Q ，由题意知线段PQ 的长为OP 长的2倍．假设P点的坐标为(x0，2x0)，则|PQ|＝2|OP|＝2x20＋4x20≥4.当且仅当x20＝4x20，即x0＝2时，取“＝”．答案：4三、解答题(共计40分)10．(10分)解关于x的不等式x－ax－a2<0(a∈R)．解：x－ax－a2<0⇔(x－a)(x－a2)<0.①当a＝0或a＝1时，原不等式的解集为Ø；②当a<0或a>1时，a<a2，此时a<x<a2；③当0<a<1时，a>a2，此时a2<x<a.综上，当a<0或a>1时，原不等式的解集为{x|a<x<a2}；当0<a<1时，原不等式的解集为{x|a2<x<a}；当a＝0或a＝1时，原不等式的解集为Ø.11．(15分)某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐．已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？解：法1：设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x个单位和y个单位，所花的费用为z元，则依题意得z＝2.5x＋4y，且x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，12x ＋8y ≥64，6x ＋6y ≥42，6x ＋10y ≥54，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，3x ＋2y ≥16，x ＋y ≥7，3x ＋5y ≥27.z 在可行域的四个顶点A (9,0)，B (4,3)，C (2,5)，D (0,8)处的值分别是z A ＝2.5×9＋4×0＝22.5，图3z B ＝2.5×4＋4×3＝22， z C ＝2.5×2＋4×5＝25， z D ＝2.5×0＋4×8＝32.比较之，z B 最小，因此，应当为该儿童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐，就可满足要求．法2：设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x 个单位和y 个单位，所花的费用为z 元，则依题意得z ＝2.5x ＋4y ，且x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，12x ＋8y ≥64，6x ＋6y ≥42，6x ＋10y ≥54，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，3x ＋2y ≥16，x ＋y ≥7，3x ＋5y ≥27.让目标函数表示的直线2.5x ＋4y ＝z 在可行域上平移，由此可知z ＝2.5x ＋4y 在B (4,3)处取得最小值．因此，应该为该儿童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐，就可满足要求．12．(15分)(2011·课标全国卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (0，－1)，B 点在直线y ＝－3上，M 点满足MB →∥OA →，MA →·AB →＝MB →·BA→，M 点的轨迹为曲线C . (1)求C 的方程； (2)P 为C 上的动点，l 为C 在P 点处的切线，求O 点到l 距离的最小值．解：(1)设M (x ，y )，由已知得B (x ，－3)，A (0，－1)．所以MA→＝(－x ，－1－y )，MB →＝(0，－3－y )， AB→＝(x ，－2)． 再由题意可知(MA →＋MB →)·AB→＝0， 即(－x ，－4－2y )·(x ，－2)＝0.所以曲线C 的方程为y ＝14x 2－2.(2)设P (x 0，y 0)为曲线C ：y ＝14x 2－2上一点，因为y ′＝12x ，所以l 的斜率为12x 0.因此直线l 的方程为y －y 0＝12x 0(x －x 0)，即x 0x －2y ＋2y 0－x 20＝0.则O 点到l 的距离d ＝|2y 0－x 20|x 20＋4.又y 0＝14x 20－2，所以d ＝12x 20＋4x 20＋4＝12(x 20＋4＋4x 2＋4)≥2，当x 0＝0时取等号，所以O 点到l 距离的最小值为2.友情提示：部分文档来自网络整理，供您参考！文档可复制、编辑，期待您的好评与关注！。

课时作业52 椭圆时间：45分钟 分值：100分一、选择题(每小题5分，共30分)1．已知椭圆的长轴长是8，离心率是34，则此椭圆的标准方程是( )A.x 216＋y 27＝1 B.x 216＋y 27＝1或x 27＋y 216＝1 C.x 216＋y 225＝1D.x 216＋y 225＝1或x 225＋y 216＝1解析：∵a ＝4，e ＝34，∴c ＝3. ∴b 2＝a 2－c 2＝16－9＝7.∴椭圆的标准方程是x 216＋y 27＝1或x 27＋y 216＝1. 答案：B2．2<m <6是方程x 2m －2＋y 26－m ＝1表示椭圆的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：若x 2m －2＋y 26－m＝1表示椭圆，则有⎩⎪⎨⎪⎧m －2>0，6－m >0，m －2≠6－m ，∴2<m <6且m ≠4，故2<m <6是x 2m －2＋y 26－m ＝1表示椭圆的必要不充分条件．答案：B3．矩形ABCD 中，|AB |＝4，|BC |＝3，则以A ，B 为焦点，且过C ，D 两点的椭圆的短轴的长为( )A ．2 3B ．2 6C ．4 2D ．4 3解析：依题意得|AC |＝5，所以椭圆的焦距为2c ＝|AB |＝4，长轴长2a ＝|AC |＋|BC |＝8，所以短轴长为2b ＝2a 2－c 2＝216－4＝4 3.答案：D4．设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y2b 2＝1(0<b <1)的左、右焦点，过F 1的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列，则|AB |的长为( )A.23 B ．1 C.43D.53解析：根据椭圆定义|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝2，|BF 1|＋|BF 2|＝2a ＝2，两式相加得|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4，即(|AF 1|＋|BF 1|)＋(|AF 2|＋|BF 2|)＝4，而|AF 1|＋|BF 1|＝|AB |，|AF 2|＋|BF 2|＝2|AB |，所以3|AB |＝4，即|AB |＝43.答案：C5．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两顶点为A (a,0)，B (0，b )，且左焦点为F ，△F AB 是以角B 为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e 为( )A.3－12B.5－12C.1＋54D.3＋14解析：由题可知△ABF 为直角三角形，其中|AB |＝a 2＋b 2，|BF |＝a ，|AF |＝a ＋c ，由勾股定理，|AF |2＝|AB |2＋|BF |2即(a ＋c )2＝a 2＋b 2＋a 2＝2a 2＋a 2－c 2，整理得c 2＋ac －a 2＝0，同除a 2得e 2＋e －1＝0，∴e ＝－1±52，∵e ∈(0,1)，∴e ＝5－12.答案：B6．(2013·新课标全国卷Ⅰ)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )A.x 245＋y 236＝1 B.x 236＋y 227＝1 C.x 227＋y 218＝1D.x 218＋y 29＝1解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由AB 中点为(1，－1)得x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝－2，又直线AB 过F (3,0)得直线的斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝0－(－1)3－1＝12，由点差法得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)a 2＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)b 2＝0即(x 1＋x 2)a 2＋(y 1＋y 2)·k b 2＝0，得2a 2＋－2×12b 2＝0得2a 2－1b 2＝0，即a 2＝2b 2.又c ＝3，即a 2－b 2＝9，解得a 2＝18，b 2＝9.故选D.答案：D二、填空题(每小题5分，共15分)7．设椭圆x 2m 2＋y 2n 2＝1(m >0，n >0)的右焦点与抛物线y 2＝8x 的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为________．解析：抛物线y 2＝8x 的焦点为(2,0)，∴m 2－n 2＝4① e ＝12＝2m ，∴m ＝4，代入①得n 2＝12， ∴椭圆方程为x 216＋y 212＝1. 答案：x 216＋y 212＝18．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与曲线x 2＋y 2＝a 2－b 2恒有公共点，则椭圆的离心率e 的取值范围是________．解析：由题意知，以半焦距c 为半径的圆与椭圆有公共点，故b ≤c ，所以b 2≤c 2，即a 2≤2c 2，所以22≤c a .又c a <1，所以22≤e <1.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1 9．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32.过右焦点F 且斜率为k (k >0)的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点．若AF →＝3FB →，则k ＝________.解析：根据已知c a ＝32，可得a 2＝43c 2，则b 2＝13c 2，故椭圆方程为3x 24c 2＋3y 2c 2＝1，即3x 2＋12y 2－4c 2＝0.设直线的方程为x ＝my ＋c ，代入椭圆方程得(3m 2＋12)y 2＋6mcy －c 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则根据AF →＝3FB →，得(c －x 1，－y 1)＝3(x 2－c ，y 2)，由此得－y 1＝3y 2，根据韦达定理y 1＋y 2＝－2cm m 2＋4，y 1y 2＝－c 23(m 2＋4)，把－y 1＝3y 2代入得，y 2＝cm m 2＋4，－3y 22＝－c 23(m 2＋4)，故9m 2＝m 2＋4，故m 2＝12，从而k 2＝2，k ＝±2.又k >0，故k ＝ 2.答案： 2三、解答题(共55分，解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程)10．(15分)已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为453和253，过P 点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程．解：设两焦点为F 1，F 2，且|PF 1|＝453，|PF 2|＝253. 由椭圆定义知2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝25，即a ＝ 5.由|PF 1|>|PF 2|知，|PF 2|垂直焦点所在的对称轴，所以在Rt △PF 2F 1中，sin ∠PF 1F 2＝|PF 2||PF 1|＝12.可求出∠PF 1F 2＝π6，2c ＝|PF 1|·cos π6＝253，从而b 2＝a 2－c 2＝103.所以所求椭圆方程为x 25＋3y 210＝1或3x 210＋y 25＝1.11．(20分)已知椭圆C 1：x 24＋y 2＝1，椭圆C 2以C 1的长轴为短轴，且与C 1有相同的离心率．(1)求椭圆C 2的方程；(2)设O 为坐标原点，点A ，B 分别在椭圆C 1和C 2上，OB →＝2OA →，求直线AB 的方程．解：(1)由已知可设椭圆C 2的方程为y 2a 2＋x 24＝1(a >2)，其离心率为32，故a 2－4a ＝32，则a ＝4，故椭圆C 2的方程为y 216＋x 24＝1.(2)解法1：A ，B 两点的坐标分别记为(x A ，y A )，(x B ，y B )，由OB →＝2OA→及(1)知，O ，A ，B 三点共线且点A ，B 不在y 轴上，因此可设直线AB 的方程为y ＝kx .将y ＝kx 代入x 24＋y 2＝1中，得(1＋4k 2)x 2＝4，所以x 2A ＝41＋4k 2，将y ＝kx 代入y 216＋x 24＝1中，得(4＋k 2)x 2＝16，所以x 2B ＝164＋k 2，又由OB →＝2OA →，得x 2B ＝4x 2A，即164＋k 2＝161＋4k 2， 解得k ＝±1，故直线AB 的方程为y ＝x 或y ＝－x . 解法2：A ，B 两点的坐标分别记为(x A ，y A )，(x B ，y B )，由OB →＝2OA →及(1)知，O ，A ，B 三点共线且点A ，B 不在y 轴上． 因此可设直线AB 的方程为y ＝kx .将y ＝kx 代入x 24＋y 2＝1中，得(1＋4k 2)x 2＝4， 所以x 2A ＝41＋4k 2， 由OB →＝2OA →，得x 2B ＝161＋4k 2，y 2B ＝16k 21＋4k 2，将x 2B ，y 2B 代入y 216＋x 24＝1中，得4＋k 21＋4k 2＝1，即4＋k 2＝1＋4k 2，解得k ＝±1，故直线AB 的方程为y ＝x 或y ＝－x .——创新应用——12．(20分)(2013·安徽卷)设椭圆E ：x 2a 2＋y 21－a 2＝1的焦点在x 轴上．(1)若椭圆E 的焦距为1，求椭圆E 的方程；(2)设F 1，F 2分别是椭圆E 的左、右焦点，P 为椭圆E 上第一象限内的点，直线F 2P 交y 轴于点Q ，并且F 1P ⊥F 1Q .证明：当a 变化时，点P 在某定直线上．解：(1)因为焦距为1，所以2a 2－1＝14，解得a 2＝58.故椭圆E 的方程为8x 25＋8y 23＝1.(2)设P (x 0，y 0)，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，其中c ＝2a 2－1.由题设知x 0≠c ，则直线F 1P 的斜率kF 1P ＝y 0x 0＋c ，直线F 2P 的斜率kF 2P ＝y 0x 0－c.故直线F 2P 的方程为y ＝y 0x 0－c(x －c )．当x ＝0时，y ＝cy 0c －x 0，即点Q 坐标为(0，cy 0c －x 0)．因此，直线F 1Q 的斜率为kF 1Q ＝y 0c －x 0.由于F 1P ⊥F 1Q ，所以kF 1P ·kF 1Q ＝y 0x 0＋c ·y 0c －x 0＝－1.化简得y 20＝x 20－(2a 2－1)．①将①代入椭圆E 的方程，由于点P (x 0，y 0)在第一象限，解得x 0＝a 2，y 0＝1－a 2，即点P 在定直线x ＋y ＝1上．。

课时作业23 简单的三角恒等变换时间：45分钟 分值：100分一、选择题(每小题5分，共30分)1．函数y ＝sin x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x 的最小正周期是( ) A.π2 B ．π C ．2πD ．4π解析：∵y ＝sin x cos x ＝12sin2x ，∴T ＝2π2＝π. 答案：B2．若1＋cos2αsin2α＝12，则tan2α等于( ) A.54 B ．－54 C.43D ．－43解析：∵1＋cos2αsin2α＝2cos 2α2sin αcos α＝cos αsin α＝12，∴tan α＝2，∴tan2α＝2tan α1－tan 2α＝41－4＝－43.答案：D3．已知x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，cos2x ＝a ，则cos x ＝( ) A.1－a 2 B ．－1－a 2 C.1＋a 2D ．－1＋a 2解析：依题意得cos 2x ＝1＋cos2x 2＝1＋a 2；又x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，因此cos x ＝－1＋a2.答案：D4．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋sin α＝435，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6的值是( ) A ．－235 B.235 C ．－45D.45解析：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋sin α＝435⇒32sin α＋32cos α＝435⇒sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－45. 答案：C5．已知α∈(0，π)，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝22，则tan2α＝( ) A.33 B ．－33 C. 3D ．－ 3解析：由α∈(0，π)，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝22，所以α＋π6＝π4，即α＝π12tan2α＝tan π6＝33，故选A. 答案：A6．已知α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，满足tan(α＋β)＝4tan β，则tan α的最大值是( )A.14B.34C.34 2 D.32解析：α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2故tan α，tan β>0.由tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝4tan β得tan α＝3tan β1＋4tan 2β＝34tan β＋1tan β≤34，故选B. 答案：B二、填空题(每小题5分，共15分)7．已知e 1＝⎝⎛⎭⎪⎫cos π4，sin π6，e 2＝⎝⎛⎭⎪⎫2sin π4，4cos π3，e 1·e 2＝________.解析：e 1·e 2＝2cos π4sin π4＋4sin π6cos π3＝2×12＋4×12×12＝2. 答案：28．设α是第二象限角，tan α＝－43，且sin α2<cos α2，则cos α2＝________.解析：∵α是第二象限角，∴α2可能在第一或第三象限．又sin α2<cos α2，∴α2为第三象限角，∴cos α2<0.∵tan α＝－43，∴cos α＝－35，∴cos α2＝－1＋cos α2＝－55.答案：－559．(2013·新课标全国卷Ⅰ)设当x ＝θ时，函数f (x )＝sin x －2cos x 取得最大值，则cos θ＝________.解析：f (x )＝sin x －2cos x ＝5(15sin x －25cos x )＝5sin(x －φ)，而sin φ＝25，cos φ＝15，当x －φ＝π2＋2k π(k ∈Z )时，f (x )取最大值5，即θ＝φ＋π2＋2k π时，f (x )取最大值，cos θ＝cos(φ＋π2＋2k π)＝－sin φ＝－25＝－255. 答案：－255三、解答题(共55分，解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程)10．(15分)(1)化简4cos 4x －2cos2x －1tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ；(2)化简[2sin50°＋sin10°(1＋3tan10°)]·2sin 280°.解：(1)原式＝(1＋cos2x )2－2cos2x －1tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝cos 22xsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝2cos 22x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＝2cos 22xcos2x ＝2cos2x .(2)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin50°＋sin10°·cos10°＋3sin10°cos10°·2·sin80°＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin50°＋2sin10°·12cos10°＋32sin10°cos10°·2cos10°＝22[sin50°·cos10°＋sin10°·cos(60°－10°)]＝22sin(50°＋10°)＝22×32＝ 6.11．(20分)(2013·湖南卷)已知函数f (x )＝sin(x －π6)＋cos(x －π3)，g (x )＝2sin 2x 2.(1)若α是第一象限角，且f (α)＝335，求g (α)的值； (2)求使f (x )≥g (x )成立的x 的取值集合．解：f (x )＝sin(x －π6)＋cos(x －π3)＝32sin x －12cos x ＋12cos x ＋32sin x ＝3sin x ， g (x )＝2sin 2x2＝1－cos x . (1)由f (α)＝335得sin α＝35. 又α是第一象限角，所以cos α>0.从而g (α)＝1－cos α＝1－1－sin 2α＝1－45＝15.(2)f (x )≥g (x )等价于3sin x ≥1－cos x ， 即3sin x ＋cos x ≥1.于是sin(x ＋π6)≥12.从而2k π＋π6≤x ＋π6≤2k π＋5π6，k ∈Z ，即2k π≤x ≤2k π＋2π3，k ∈Z .故使f (x )≥g (x )成立的x 的取值集合为{x |2k π≤x ≤2k π＋2π3，k ∈Z }．——创新应用——12．(20分)(2013·重庆卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且a 2＋b 2＋2ab ＝c 2.(1)求C ；(2)设cos A cos B ＝325，cos (α＋A )cos (α＋B )cos 2α＝25，求tan α的值． 解：(1)因为a 2＋b 2＋2ab ＝c 2，由余弦定理有cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－2ab 2ab ＝－22.故C ＝3π4. (2)由题意得(sin αsin A －cos αcos A )(sin αsin B －cos αsin B )cos 2α＝25. 因此(tan αsin A －cos A )(tan αsin B －cos B )＝25.tan 2αsin A sin B －tan α(sin A cos B ＋cos A sin B )＋cos A cos B ＝25，tan 2αsin A sin B －tan αsin(A ＋B )＋cos A cos B ＝25.①因为C ＝3π4，A ＋B ＝π4，所以sin(A ＋B )＝22， 因为cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B ， 即325－sin A sin B ＝22， 解得sin A sin B ＝325－22＝210. 由①得tan 2α－5tan α＋4＝0， 解得tan α＝1或tan α＝4.。

课时作业40 数学归纳法1.用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n 2＝n 4＋n 22,则当n ＝k ＋1时左端应在n ＝k 的基础上加上( D )A.k 2＋1B.(k ＋1)2C.(k ＋1)4＋4(k ＋1)22D.(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋…＋(k ＋1)2【解析】:观察可知,等式的左端是n 2个连续自然数的和,当n ＝k 时为1＋2＋3＋…＋k 2,当n ＝k ＋1时为1＋2＋3＋…＋k 2＋(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋…＋(k ＋1)2.2.如果命题P (n )(n ∈N *)对n ＝k (k ∈N *)成立,则它对n ＝k ＋1也成立,现已知P (n )对n ＝4不成立,则下列结论中正确的是( D )A.P (n )对任意n ∈N *成立B.P (n )对n ＞4成立C.P (n )对n ＜4成立D.P (n )对n ≤4不成立【解析】:由题意可知P (n )对n ＝3不成立(否则n ＝4也成立),同理可推得P (n )对n ＝2,n ＝1也不成立,故选D.3.(2019·岳阳模拟)用数学归纳法证明不等式1＋12＋14＋…＋12n －1＞12764(n ∈N *)成立,其初始值至少应取( B )A.7B.8C.9D.10【解析】:左边求和可得1＋12＋14＋…＋12n －1＝1－12n 1－12＝2－12n －1,右边＝12764＝2－164,故2－12n －1＞2－164, 即12n －1＜164＝126,所以2n －1＞26,解得n ＞7. 所以初始值至少应取8.4.用数学归纳法证明“n 3＋(n ＋1)3＋(n ＋2)3(n ∈N *)能被9整除”,利用归纳法假设证明n ＝k ＋1时,只需展开( A )A.(k ＋3)3B.(k ＋2)3C.(k ＋1)3D.(k ＋1)3＋(k ＋2)3【解析】:假设n ＝k 时,原式k 3＋(k ＋1)3＋(k ＋2)3能被9整除,当n ＝k ＋1时,(k ＋1)3＋(k ＋2)3＋(k ＋3)3为了能用上面的归纳假设,只需将(k ＋3)3展开,让其出现k 3即可.5.设f (x )是定义在正整数集上的函数,且f (x )满足：“当f (k )≥k 2成立时,总可推出f (k ＋1)≥(k ＋1)2成立”.那么,下列命题总成立的是( D )A.若f (1)＜1成立,则f (10)＜100成立B.若f (2)＜4成立,则f (1)≥1成立C.若f (3)≥9成立,则当k ≥1时,均有f (k )≥k 2成立D.若f (4)≥16成立,则当k ≥4时,均有f (k )≥k 2成立【解析】:由条件可知不等式的性质只对大于或等于号成立,所以A 错误；若f (1)≥1成立,则得到f (2)≥4,与f (2)＜4矛盾,所以B 错误；当f (3)≥9成立,无法推导出f (1),f (2),所以C 错误；若f (4)≥16成立,则当k ≥4时,均有f (k )≥k 2成立,正确.6.(2019·九江模拟)已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *),经计算得f (4)＞2,f (8)＞52,f (16)＞3,f (32)＞72,则其一般结论为 f (2n )＞n ＋22(n ≥2,n∈N *) .【解析】:观察规律可知f (22)＞2＋22,f (23)＞3＋22,f (24)＞4＋22,f (25)＞5＋22,…,故得一般结论为f (2n )＞n ＋22(n ≥2,n ∈N *).7.设平面内有n 条直线(n ≥3),其中有且仅有两条直线互相平行,任意三条直线不过同一点.若用f (n )表示这n 条直线交点的个数,则f (4)＝5 ；当n ＞4时,f (n )＝ 12(n ＋1)(n －2) (用n 表示).【解析】:由题意知f (3)＝2,f (4)＝5,f (5)＝9,可以归纳出每增加一条直线,交点增加的个数为原有直线的条数,所以f (4)－f (3)＝3,f (5)－f (4)＝4,猜测得出f (n )－f (n －1)＝n －1(n ≥4).有f (n )－f (3)＝3＋4＋…＋(n －1),所以f (n )＝12(n ＋1)(n －2).8.已知f (m )＝1＋12＋13＋…＋1m (m ∈N *),用数学归纳法证明f (2n )＞n 2时,f (2k ＋1)－f (2k)＝ 12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋1 . 【解析】:当n ＝k 时,f (2k )＝1＋12＋13＋…＋12k ,当n ＝k ＋1时,f (2k ＋1)＝1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1, 所以f (2k ＋1)－f (2k)＝1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－⎝⎛⎭⎪⎫1＋12＋13＋…＋12k ＝12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋1. 9.用数学归纳法证明：12×4＋14×6＋16×8＋…＋12n (2n ＋2)＝n 4(n ＋1)(n ∈N *). 证明：(1)当n ＝1时,等式左边＝12×1×(2×1＋2)＝18, 等式右边＝14(1＋1)＝18,等式左边＝等式右边,所以等式成立.(2)假设n ＝k (k ∈N *且k ≥1)时等式成立,即有12×4＋14×6＋16×8＋…＋12k (2k ＋2)＝k 4(k ＋1), 则当n ＝k ＋1时,12×4＋14×6＋16×8＋…＋12k (2k ＋2)＋12(k ＋1)[2(k ＋1)＋2]＝k 4(k ＋1)＋14(k ＋1)(k ＋2)＝k (k ＋2)＋14(k ＋1)(k ＋2)＝(k ＋1)24(k ＋1)(k ＋2)＝k ＋14(k ＋2)＝k ＋14[(k ＋1)＋1]. 所以当n ＝k ＋1时,等式也成立,由(1)(2)可知,对于一切n ∈N *,等式都成立.10.已知f (n )＝1＋123＋133＋143＋…＋1n 3,g (n )＝32－12n 2,n ∈N *.(1)当n ＝1,2,3时,试比较f (n )与g (n )的大小；(2)猜想f (n )与g (n )的大小关系,并给出证明.解：(1)当n ＝1时,f (1)＝1,g (1)＝1,所以f (1)＝g (1)；当n ＝2时,f (2)＝98,g (2)＝118,所以f (2)＜g (2)；当n ＝3时,f (3)＝251216,g (3)＝312216,所以f (3)＜g (3).(2)由(1)猜想f (n )≤g (n ),下面用数学归纳法给出证明.①当n ＝1,2,3时,不等式显然成立,②假设当n ＝k (k ≥3,k ∈N *)时不等式成立,即1＋123＋133＋143＋…＋1k 3＜32－12k 2.那么,当n ＝k ＋1时,f (k ＋1)＝f (k )＋1(k ＋1)3＜32－12k 2＋1(k ＋1)3. 因为f (k ＋1)－g (k ＋1)＜32－12k 2＋1(k ＋1)3－⎣⎢⎡⎦⎥⎤32－12(k ＋1)2＝12(k ＋1)2－⎣⎢⎡⎦⎥⎤12k 2－1(k ＋1)3＝k ＋32(k ＋1)3－12k 2＝－3k －12(k ＋1)3k 2＜0, 所以f (k ＋1)＜g (k ＋1).由①②可知,对一切n ∈N *,都有f (n )≤g (n )成立.11.已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＝a n 2＋1a n－1且a n ＞0,n ∈N *. (1)求a 1,a 2,a 3,并猜想{a n }的通项公式；(2)证明通项公式的正确性.解：(1)当n ＝1时,由已知得a 1＝a 12＋1a 1－1,a 21＋2a 1－2＝0. 所以a 1＝3－1(a 1＞0).当n ＝2时,由已知得a 1＋a 2＝a 22＋1a 2－1, 将a 1＝3－1代入并整理得a 22＋23a 2－2＝0.所以a 2＝5－3(a 2＞0).同理可得a 3＝7－ 5.猜想a n ＝2n ＋1－2n －1(n ∈N *).(2)证明：①由(1)知,当n ＝1,2,3时,通项公式成立.②假设当n ＝k (k ≥3,k ∈N *)时,通项公式成立,即a k ＝2k ＋1－2k －1.由a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝a k ＋12＋1a k ＋1－a k 2－1a k, 将a k ＝2k ＋1－2k －1代入上式并整理,得a 2k ＋1＋22k ＋1a k ＋1－2＝0.解得a k ＋1＝2k ＋3－2k ＋1(负值舍去).即当n ＝k ＋1时,通项公式也成立.由①和②,可知对所有n ∈N *,a n ＝2n ＋1－2n －1都成立.12.已知函数f (x )＝a ln x ＋2x ＋1(a ∈R ). (1)当a ＝1时,求f (x )在[1,＋∞)上的最小值.(2)求证：ln(n ＋1)＞13＋15＋17＋…＋12n ＋1. 解：(1)当a ＝1时,f (x )＝ln x ＋2x ＋1,定义域为(0,＋∞). 因为f ′(x )＝1x －2(x ＋1)2＝x 2＋1x (x ＋1)2＞0, 所以f (x )在(0,＋∞)上是增函数,所以f (x )在x ∈[1,＋∞)内的最小值为f (1)＝1.(2)证明：当n ＝1时,ln(n ＋1)＝ln2,因为3ln2＝ln8＞1,所以ln2＞13,即当n ＝1时,不等式成立.假设当n ＝k (k ≥1,k ∈N *)时,ln(k ＋1)＞13＋15＋17＋…＋12k ＋1成立. 那么,当n ＝k ＋1时,ln(k ＋2)＝ln(k ＋1)＋ln k ＋2k ＋1＞13＋15＋…＋12k ＋1＋ln k ＋2k ＋1.根据(1)的结论可知,当x ＞1时,ln x ＋2x ＋1＞1, 即ln x ＞x －1x ＋1. 令x ＝k ＋2k ＋1,所以ln k ＋2k ＋1＞12k ＋3, 则有ln(k ＋2)＞13＋15＋…＋12k ＋1＋12k ＋3, 即当n ＝k ＋1时,不等式也成立.综上可知不等式成立.13.设函数f (x )＝ln(1＋x ),g (x )＝xf ′(x ),x ≥0,其中f ′(x )是f (x )的导函数.(1)令g 1(x )＝g (x ),g n ＋1(x )＝g (g n (x )),n ∈N *,求g n (x )的表达式；(2)若f (x )≥ag (x )恒成立,求实数a 的取值范围.解：由题设得,g (x )＝x 1＋x(x ≥0). (1)由已知,g 1(x )＝x 1＋x, g 2(x )＝g (g 1(x ))＝x1＋x 1＋x 1＋x＝x 1＋2x , g 3(x )＝x 1＋3x ,…,可猜想g n (x )＝x 1＋nx. 下面用数学归纳法证明.①当n ＝1时,g 1(x )＝x 1＋x,结论成立. ②假设n ＝k 时结论成立,即g k (x )＝x 1＋kx. 那么,当n ＝k ＋1时,g k ＋1(x )＝g (g k (x ))＝g k (x )1＋g k (x )＝x1＋kx 1＋x 1＋kx＝x 1＋(k ＋1)x , 即结论成立.由①②可知,结论对n ∈N ＋成立.(2)已知f (x )≥ag (x )恒成立,即ln(1＋x )≥ax 1＋x恒成立. 设φ(x )＝ln(1＋x )－ax 1＋x(x ≥0), 则φ′(x )＝11＋x －a (1＋x )2＝x ＋1－a (1＋x )2, 当a ≤1时,φ′(x )≥0(仅当x ＝0,a ＝1时等号成立), ∴φ(x )在[0,＋∞)上单调递增.又φ(0)＝0,∴φ(x )≥0在[0,＋∞)上恒成立,∴a ≤1时,ln(1＋x )≥ax 1＋x恒成立(仅当x ＝0时等号成立). 当a >1时,对x ∈(0,a －1]有φ′(x )≤0,∴φ(x )在(0,a －1]上单调递减,∴φ(a －1)<φ(0)＝0,即a >1时,存在x >0,使φ(x )<0,∴ln(1＋x )≥ax 1＋x不恒成立. 综上可知,实数a 的取值范围是(－∞,1].。

课时作业40平行关系一、选择题(每小题5分，共40分)1．过直线a外两点作与a平行的平面，这样的平面()A．不行作B．只能作一个C．可作很多个D．以上均可能解析：设过直线a外两点的直线为l.若l与a相交，则与a平行的平面不行作；若l与a异面，则与a平行的平面只能作一个；若l与a平行，则与a平行的平面可作很多个．答案：D2．如图，P为平行四边形ABCD所在平面外的一点，过BC的平面与平面P AD 交于EF，则四边形EFBC是()A．空间四边形B．平行四边形C．梯形D．以上都有可能解析：∵BC綊AD，由线面平行性质定理知BC∥EF，又EF<AD，∴四边形BCEF为梯形．答案：C3．(2022·汕头质检)若m、n为两条不重合的直线，α、β为两个不重合的平面，则下列命题中正确的是()A．若m、n都平行于平面α，则m、n确定不是相交直线B．若m、n都垂直于平面α，则m、n确定是平行直线C．已知α、β相互平行，m、n相互平行，若m∥α，则n∥βD．若m、n在平面α内的射影相互平行，则m、n相互平行解析：A中，m、n可为相交直线；B正确；C中，n可以平行β，也可以在β内；D中，m、n也可能异面．故正确的命题是B.答案：B4．一条直线l上有相异三个点A、B、C到平面α的距离相等，那么直线l与平面α的位置关系是()A．l∥αB．l⊥αC．l与α相交但不垂直D．l∥α或lα解析：l∥α时，直线l上任意点到α的距离都相等；lα时，直线l上全部的点到α的距离都是0；l⊥α时，直线l上有两个点到α距离相等；l与α斜交时，也只能有两个点到α距离相等．答案：D5．(2022·成都四中模拟)以下命题中真命题的个数是()①若直线l平行于平面α内的很多条直线，则直线l∥α；②若直线a在平面α外，则a∥α；③若直线a∥b，bα，则a∥α；④若直线a∥b，bα，则a平行于平面α内的很多条直线．A．1 B．2C．3 D．4解析：①中l可以在平面α内；②中直线a可以与平面α相交，故错误；③a 可以在平面α内；④正确．答案：A6.(2022·许昌联考)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF ＝22，则下列结论中错误的是()A．AC⊥BEB．EF∥平面ABCDC．直线AB与平面BEF所成的角为定值D．异面直线AE，BF所成的角为定值解析：∵AC⊥平面BDD1B1，故AC⊥BE，∵EF∥BD ，∴EF∥平面ABCD；直线AB与平面BEF所成的角即直线AB与平面BDD1B1所成的角，故为定值，故D错误．答案：D7．如图，在四周体ABCD中，若截面PQMN是正方形，则在下列命题中，错误的为()A．AC⊥BDB．AC∥截面PQMNC．AC＝BDD．异面直线PM与BD所成的角为45°解析：∵截面PQMN为正方形，∴PQ∥MN，PQ∥平面DAC.又∵平面ABC∩平面ADC＝AC，PQ平面ABC，∴PQ∥AC，同理可证QM∥BD.故选项A、B、D正确，C错误．答案：C8．a、b、c为三条不重合的直线，α、β、γ为三个不重合的平面，现给出六个命题：①⎩⎪⎨⎪⎧a∥c，b∥c⇒a∥b；②⎩⎪⎨⎪⎧a∥γ，b∥γ⇒a∥b；③⎩⎪⎨⎪⎧α∥c，β∥c⇒α∥β；④⎩⎪⎨⎪⎧α∥γ，β∥γ⇒α∥β；⑤⎩⎪⎨⎪⎧α∥c，a∥c⇒α∥a；⑥⎩⎪⎨⎪⎧α∥γ，a∥γ⇒a∥α.。

课时作业34 不等关系与不等式时间：45分钟 分值：100分一、选择题(每小题5分，共30分)1．设a ，b ∈R ，则“(a －b )·a 2<0”是“a <b ”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：若(a －b )·a 2<0，则a ≠0，且a <b ，所以充分性成立；若a <b ，则a －b <0，当a ＝0时，(a －b )·a 2＝0，所以必要性不成立．故“(a －b )·a 2<0”是“a <b ”的充分而不必要条件．答案：A2．设a <b <0，则下列不等式中不成立的是( ) A.1a >1b B.1a －b >1a C ．|a |>－bD.－a >－b解析：由题设得a <a －b <0，所以有1a －b <1a 成立，即1a －b >1a 不成立．答案：B3．设a ＝lge ，b ＝(lge)2，c ＝lg e ，则( ) A ．a >b >c B ．a >c >b C ．c >a >bD ．c >b >a解析：∵0<lge<lg 10＝12，∴lge>12lge>(lge)2.∴a >c >b . 答案：B4．已知0<a <1b ，且M ＝11＋a ＋11＋b ，N ＝a 1＋a ＋b1＋b，则M ，N的大小关系是( )A ．M >NB ．M <NC ．M ＝ND ．不能确定解析：∵0<a <1b ，∴1＋a >0,1＋b >0,1－ab >0，∴M －N ＝1－a 1＋a ＋1－b 1＋b ＝2－2ab(1＋a )(1＋b )>0，故选A. 答案：A5．已知0<x <y <a <1，m ＝log a x ＋log a y ，则有( ) A ．m <0 B ．0<m <1 C ．1<m <2D ．m >2解析：由0<x <y <a ，得0<xy <a 2.又0<a <1，故m ＝log a x ＋log a y ＝log a (xy )>log a a 2＝2.故选D.答案：D6．已知a ，b 满足0<a <b <1，下列不等式中成立的是( ) A ．a a <b b B ．a a <b a C ．b b <a bD ．b b >b a解析：取特殊值法．令a ＝14，b ＝12，则a a＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1414 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12 12 ，b b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1212 ，故A 错．a b＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14 12<⎝ ⎛⎭⎪⎫1212＝b b，故C 错．b b＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1212 <⎝ ⎛⎭⎪⎫1214 ＝b a，故D 错．答案：B二、填空题(每小题5分，共15分)7．已知a 1≤a 2，b 1≥b 2，则a 1b 1＋a 2b 2与a 1b 2＋a 2b 1的大小关系是________．解析：a 1b 1＋a 2b 2－(a 1b 2＋a 2b 1)＝(a 1－a 2)(b 1－b 2)，因为a 1≤a 2，b 1≥b 2，所以a 1－a 2≤0，b 1－b 2≥0，于是(a 1－a 2)(b 1－b 2)≤0，故a 1b 1＋a 2b 2≤a 1b 2＋a 2b 1.答案：a 1b 1＋a 2b 2≤a 1b 2＋a 2b 18．若1<a <3，－4<b <2，则a －|b |的取值范围是________． 解析：∵－4<b <2，∴0≤|b |<4，∴－4<－|b |≤0.又∵1<a <3，∴－3<a －|b |<3.答案：(－3,3)9．如下图所示的两种广告牌，其中图(1)是由两个等腰直角三角形构成的，图(2)是一个矩形，则这两个广告牌面积的大小关系可用含字母a ，b (a ≠b )的不等式表示为________．解析：图(1)所示广告牌的面积为12(a 2＋b 2)，图(2)所示广告牌的面积为ab ，显然不等式表示为12(a 2＋b 2)>ab (a ≠b )．答案：12(a 2＋b 2)>ab (a ≠b )三、解答题(共55分，解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程)10．(15分)已知a ＋b >0，比较a b 2＋b a 2与1a ＋1b 的大小． 解：a b 2＋b a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝a －b b 2＋b －a a 2＝(a －b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1b 2－1a 2＝(a ＋b )(a －b )2a 2b 2. ∵a ＋b >0，(a －b )2≥0，∴(a ＋b )(a －b )2a 2b 2≥0， ∴a b 2＋b a 2≥1a ＋1b .11．(20分)设a >b >c ，求证：1a －b ＋1b －c ＋1c －a >0.证明：∵a >b >c ，∴－c >－b . ∴a －c >a －b >0.∴1a －b >1a －c >0.∴1a －b ＋1c －a >0.又b －c >0，∴1b －c>0. ∴1a －b ＋1b －c ＋1c －a>0. ——创新应用——12．(20分)某企业去年年底给全部的800名员工共发放2 000万元年终奖，该企业计划从今年起，10年内每年发放的年终奖都比上一年增加60万元，企业员工每年净增a 人．(1)若a ＝10，在计划时间内，该企业的人均年终奖是否会超过3万元？(2)为使人均年终奖年年有增长，该企业每年员工的净增量不能超过多少人？解：(1)设从今年起的第x 年(今年为第1年)该企业人均发放年终奖为y 万元．则y ＝2 000＋60x800＋ax (a ∈N *,1≤x ≤10)．假设会超过3万元，则2 000＋60x 800＋10x>3，解得x >403>10.所以，10年内该企业的人均年终奖不会超过3万元．(2)设1≤x 1<x 2≤10，则f (x 2)－f (x 1)＝2 000＋60x 2800＋ax 2－2 000＋60x 1800＋ax 1＝(60×800－2 000a )(x 2－x 1)(800＋ax 2)(800＋ax 1)>0，所以60×800－2 000a >0，得a <24.所以，为使人均年终奖年年有增长，该企业每年员工的净增量不能超过23人．。

课时作业53 椭圆1．已知三点P (5,2)，F 1(－6,0)，F 2(6,0)，那么以F 1，F 2为焦点且经过点P 的椭圆的短轴长为( B )A ．3B ．6C ．9D ．12解析：因为点P (5,2)在椭圆上，所以|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|PF 2|＝5，|PF 1|＝55，所以2a ＝65，即a ＝35，c ＝6，则b ＝3，故椭圆的短轴长为6，故选B.2．设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 25＝1的两个焦点，点P 在椭圆上，若线段PF 1的中点在y 轴上，则|PF 2||PF 1|的值为( B )A.514 B ．513 C.49D ．59 解析：由题意知a ＝3，b ＝5，c ＝2. 设线段PF 1的中点为M ，则有OM ∥PF 2， ∵OM ⊥F 1F 2，∴PF 2⊥F 1F 2， ∴|PF 2|＝b 2a ＝53.又∵|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6， ∴|PF 1|＝2a －|PF 2|＝133， ∴|PF 2||PF 1|＝53×313＝513，故选B.3．已知点P 是椭圆x 24＋y 23＝1上一点，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，M 为△PF 1F 2的内心，若S △MPF 1＝λS △MF 1F 2－S △MPF 2成立，则λ的值为( D )A.32 B ．12 C.22D ．2解析：设内切圆的半径为r ，因为S △MPF 1＝λS △MF 1F 2－S △MPF 2， 所以S △MPF 1＋S △MPF 2＝λS △MF 1F 2； 由椭圆的定义可知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|F 1F 2|＝2c ， 所以ar ＝λcr ，c ＝a 2－b 2， 所以λ＝aa 2－b2＝2. 4．(2019·安徽宣城一模)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左顶点为M ，上顶点为N ，右焦点为F ，若NM →·NF →＝0，则椭圆的离心率为( D )A.32 B ．2－12C.3－12D ．5－12解析：由题意知，M (－a,0)，N (0，b )，F (c,0)， ∴NM →＝(－a ，－b )，NF →＝(c ，－b )． ∵NM →·NF →＝0，∴－ac ＋b 2＝0，即b 2＝ac . 又知b 2＝a 2－c 2，∴a 2－c 2＝ac . ∴e 2＋e －1＝0，解得e ＝5－12或e ＝－5－12(舍)． ∴椭圆的离心率为5－12，故选D.5．(2019·湖北重点中学联考)已知椭圆x 24＋y 23＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 2且垂直于长轴的直线交椭圆于A ，B 两点，则△ABF 1内切圆的半径为( D )A.43 B ．1 C.45D ．34解析：法一：不妨设A 点在B 点上方，由题意知，F 2(1,0)，将F 2的横坐标代入椭圆方程x 24＋y 23＝1中， 可得A 点纵坐标为32，故|AB |＝3，所以内切圆半径r ＝2S C ＝68＝34(其中S 为△ABF 1的面积，C 为△ABF 1的周长)，故选D.法二：由椭圆的通径公式得|AB |＝2b 2a ＝3，则S △ABF 1＝12×2×3＝3，又易得△ABF 1的周长C ＝4a ＝8，则由S △ABF 1＝12C ·r 可得r ＝34.故选D.6．(2019·豫南九校联考)已知两定点A (－1,0)和B (1,0)，动点P (x ，y )在直线l ：y ＝x ＋3上移动，椭圆C 以A ，B 为焦点且经过点P ，则椭圆C 的离心率的最大值为( A )A.55 B ．105 C.255D ．2105解析：不妨设椭圆方程为x 2a 2＋y 2a 2－1＝1(a ＞1)，与直线l 的方程联立得⎩⎨⎧x 2a 2＋y 2a 2－1＝1，y ＝x ＋3，消去y 得(2a 2－1)x 2＋6a 2x ＋10a 2－a 4＝0，由题意易知Δ＝36a 4－4(2a 2－1)(10a 2－a 4)≥0，解得a ≥5， 所以e ＝c a ＝1a ≤55， 所以e 的最大值为55.故选A.7．(2019·河北衡水中学模拟)设F 1、F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上任意一点，点M 的坐标为(6,4)，则|PM |－|PF 1|的最小值为 －5 .解析：由椭圆的方程可知F 2(3,0)， 由椭圆的定义可得|PF 1|＝2a －|PF 2|，∴|PM |－|PF 1|＝|PM |－(2a －|PF 2|)＝|PM |＋|PF 2|－2a ≥|MF 2|－2a ， 当且仅当M ，P ，F 2三点共线时取得等号， 又|MF 2|＝(6－3)2＋(4－0)2＝5,2a ＝10， ∴|PM |－|PF 1|≥5－10＝－5， 即|PM |－|PF 1|的最小值为－5.8．过点M (1,1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)相交于A ，B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于 22 .解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 21a 2＋y 21b 2＝1，① x 22a 2＋y 22b 2＝1.②①、②两式相减并整理得y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2.结合已知条件得，－12＝－b 2a 2×22， ∴b 2a 2＝12，故椭圆的离心率e ＝1－b 2a 2＝22.9．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且∠F 1PF 2＝60°，S △PF 1F 2＝33，则b ＝ 3 .解析：由题意得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ， 又∠F 1PF 2＝60°，所以|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos60°＝|F 1F 2|2， 所以(|PF 1|＋|PF 2|)2－3|PF 1||PF 2|＝4c 2， 所以3|PF 1||PF 2|＝4a 2－4c 2＝4b 2， 所以|PF 1||PF 2|＝43b 2，所以S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|sin60°＝12×43b 2×32＝33b 2＝33，所以b ＝3.10．椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为椭圆M 上任一点，且|PF 1|·|PF 2|的最大值的取值范围是[2b 2,3b 2]，椭圆M 的离心率为e ，则e －1e 的最小值是 －22 .解析：由椭圆的定义可知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，∴|PF 1|·|PF 2|≤⎝⎛⎭⎪⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝a 2， ∴2b 2≤a 2≤3b 2，即2a 2－2c 2≤a 2≤3a 2－3c 2， ∴12≤c 2a 2≤23，即22≤e ≤63. 令f (x )＝x －1x ，则f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，63上是增函数，∴当e ＝22时，e －1e 取得最小值22－2＝－22.11．已知点A (0，－2)，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为233，O 为坐标原点．(1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点．当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程．解：(1)设F (c,0)，由条件知，2c ＝233，得c ＝ 3. 又c a ＝32，所以a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1. 故E 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)当l ⊥x 轴时不合题意，故设l ：y ＝kx －2，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)． 将y ＝kx －2代入x 24＋y 2＝1 得(1＋4k 2)x 2－16kx ＋12＝0. 当Δ＝16(4k 2－3)＞0，即k 2＞34时，x 1,2＝8k ±24k 2－34k 2＋1.从而|PQ |＝k 2＋1|x 1－x 2|＝4k 2＋1·4k 2－34k 2＋1.又点O 到直线PQ 的距离d ＝2k 2＋1，所以△OPQ 的面积 S △OPQ ＝12d ·|PQ |＝44k 2－34k 2＋1.设4k 2－3＝t ，则t ＞0，S △OPQ ＝4t t 2＋4＝4t ＋4t.因为t ＋4t ≥4，当且仅当t ＝2， 即k ＝±72时等号成立，且满足Δ＞0， 所以，当△OPQ 的面积最大时，l 的方程为 y ＝72x －2或y ＝－72x －2.12．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的半焦距为c ，原点O 到经过两点(c,0)，(0，b )的直线的距离为12c .(1)求椭圆E 的离心率；(2)如图，AB 是圆M ：(x ＋2)2＋(y －1)2＝52的一条直径，若椭圆E 经过A ，B 两点，求椭圆E 的方程．解：(1)过点(c,0)，(0，b )的直线方程为bx ＋cy －bc ＝0，则原点O 到该直线的距离d ＝bc b 2＋c2＝bca ， 由d ＝12c ，得a ＝2b ＝2a 2－c 2， 可得离心率c a ＝32. (2)解法一：由(1)知，椭圆E 的方程为x 2＋4y 2＝4b 2.①依题意，圆心M (－2,1)是线段AB 的中点，且|AB |＝10.易知，AB 与x 轴不垂直，设其方程为y ＝k (x ＋2)＋1，代入①得(1＋4k 2)x 2＋8k (2k ＋1)x ＋4(2k ＋1)2－4b 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8k (2k ＋1)1＋4k 2，x 1x 2＝4(2k ＋1)2－4b 21＋4k 2.由x 1＋x 2＝－4，得－8k (2k ＋1)1＋4k 2＝－4，解得k ＝12.从而x 1x 2＝8－2b 2. 于是|AB |＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122|x 1－x 2| ＝52(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝10(b 2－2).由|AB |＝10，得10(b 2－2)＝10，解得b 2＝3. 故椭圆E 的方程为x 212＋y 23＝1. 解法二：由(1)知，椭圆E 的方程为x 2＋4y 2＝4b 2. ②依题意，点A ，B 关于圆心M (－2,1)对称，且|AB |＝10. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 21＋4y 21＝4b 2，x 22＋4y 22＝4b 2，两式相减并结合x 1＋x 2＝－4，y 1＋y 2＝2，得－4(x 1－x 2)＋8(y 1－y 2)＝0.易知AB 与x 轴不垂直，则x 1≠x 2， 所以AB 的斜率k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝12.因此直线AB 的方程为y ＝12(x ＋2)＋1，代入②得x 2＋4x ＋8－2b 2＝0.所以x 1＋x 2＝－4，x 1x 2＝8－2b 2.于是|AB |＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122|x 1－x 2|＝ 52(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝10(b 2－2). 由|AB |＝10，得10(b 2－2)＝10，解得b 2＝3. 故椭圆E 的方程为x 212＋y 23＝1.13．设F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点，P 是C 上的点，圆x 2＋y 2＝a29与线段PF 交于A ，B 两点，若A ，B 是线段PF 的两个三等分点，则椭圆C 的离心率为( D )A.33 B ．53 C.104D ．175解析：如图所示，设线段AB 的中点为D ，连接OD ，OA ，设椭圆C 的左、右焦点分别为F ，F 1， 连接PF 1.设|OD |＝t ，因为点A ，B 是线段PF 的两个三等分点， 所以点D 为线段PF 的中点，所以OD ∥PF 1，且|PF 1|＝2t ，PF 1⊥PF . 因为|PF |＝3|AB |＝6|AD |＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫a 32－t 2， 根据椭圆的定义，得|PF |＋|PF 1|＝2a ，∴6⎝ ⎛⎭⎪⎫a 32－t 2＋2t ＝2a ， 解得t ＝a5或t ＝0(舍去)． 所以|PF |＝8a 5，|PF 1|＝2a5.在Rt △PFF 1中，|PF |2＋|PF 1|2＝|FF 1|2，即⎝ ⎛⎭⎪⎫8a 52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 52＝(2c )2，得c 2a 2＝1725， 所以椭圆C 的离心率e ＝c a ＝175.14．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，且|F 1F 2|＝2c ，若椭圆上存在点M 使得sin ∠MF 1F 2a ＝sin ∠MF 2F 1c ，则该椭圆离心率的取值范围为( D )A ．(0，2－1)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1 C.⎝⎛⎭⎪⎫0，22D ．(2－1,1)解析：在△MF 1F 2中，|MF 2|sin ∠MF 1F 2＝|MF 1|sin ∠MF 2F 1，而sin ∠MF 1F 2a ＝sin ∠MF 2F 1c ， ∴|MF 2||MF 1|＝sin ∠MF 1F 2sin ∠MF 2F 1＝a c .①又M 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上一点，F 1，F 2是椭圆的焦点， ∴|MF 1|＋|MF 2|＝2a .②由①②得，|MF 1|＝2ac a ＋c ，|MF 2|＝2a 2a ＋c .显然|MF 2|＞|MF 1|， ∴a －c ＜|MF 2|＜a ＋c ，即a －c ＜2a 2a ＋c＜a ＋c ， 整理得c 2＋2ac －a 2＞0，∴e 2＋2e －1＞0，又0＜e ＜1，∴2－1＜e ＜1，故选D.15．过椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上的动点M 作圆x 2＋y 2＝b 22的两条切线，切点分别为P 和Q ，直线PQ 与x 轴和y 轴的交点分别为E 和F ，则△EOF 面积的最小值是 b 34a .解析：设M (x 0，y 0)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则直线MP 和MQ 的方程分别为x 1x ＋y 1y ＝b 22，x 2x ＋y 2y ＝b 22.因为点M 在MP 和MQ 上，所以有x 1x 0＋y 1y 0＝b 22，x 2x 0＋y 2y 0＝b 22，则P ，Q 两点的坐标满足方程x 0x ＋y 0y ＝b 22，所以直线PQ 的方程为x 0x ＋y 0y ＝b 22，可得E ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22x 0，0和F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，b 22y 0， 所以S △EOF ＝12·|OE ||OF |＝b 48|x 0y 0|， 因为b 2y 20＋a 2x 20＝a 2b 2，b 2y 20＋a 2x 20≥2ab |x 0y 0|，所以|x 0y 0|≤ab 2，所以S △EOF ＝b 48|x 0y 0|≥b 34a ， 当且仅当b 2y 20＝a 2x 20＝a 2b 22时取“＝”，故△EOF 面积的最小值为b 34a .16．(2019·山东济宁一模)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 24＝1(a ＞2)，直线l ：y ＝kx ＋1(k ≠0)与椭圆C 相交于A ，B 两点，点D 为AB 的中点．(1)若直线l 与直线OD (O 为坐标原点)的斜率之积为－12，求椭圆C 的方程；(2)在(1)的条件下，y 轴上是否存在定点M ，使得当k 变化时，总有∠AMO ＝∠BMO (O 为坐标原点)？若存在，求出定点M 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)由⎩⎨⎧ x 2a 2＋y 24＝1，y ＝kx ＋1(k ≠0)得(4＋a 2k 2)x 2＋2a 2kx －3a 2＝0，显然Δ＞0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝－2a 2k 4＋a 2k 2，x 1x 2＝－3a 24＋a 2k 2，∴x 0＝－a 2k 4＋a 2k 2，y 0＝－a 2k 24＋a 2k 2＋1＝44＋a 2k 2，∴k ·y 0x 0＝k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－4a 2k ＝－12，∴a 2＝8.∴椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)假设存在定点M 符合题意，且设M (0，m )，由∠AMO ＝∠BMO 得k AM ＋k BM ＝0.∴y 1－m x 1＋y 2－mx 2＝0.即y 1x 2＋y 2x 1－m (x 1＋x 2)＝0，∴2kx 1x 2＋x 1＋x 2－m (x 1＋x 2)＝0.由(1)知x 1＋x 2＝－4k 1＋2k 2，x 1x 2＝－61＋2k 2，∴－12k 1＋2k 2－4k 1＋2k 2＋4mk1＋2k 2＝0，∴－16k＋4mk1＋2k2＝0，即4k(－4＋m)1＋2k2＝0，∵k≠0，∴－4＋m＝0，∴m＝4. ∴存在定点M(0,4)，使得∠AMO＝∠BMO.。

课时作业48 利用向量求空间角1．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点E 为BB 1的中点，则平面A 1ED 与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值为( B )A.12B.23C.33D.22解析：以A 为原点，AB ，AD ，AA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz ，设棱长为1，则A 1(0,0,1)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，0，12，D (0,1,0)，∴A 1D →＝(0,1，－1)，A 1E →＝⎝⎛⎭⎪⎫1，0，－12，设平面A 1ED 的一个法向量为n 1＝(1，y ，z )．则有⎩⎨⎧A 1D →·n 1＝0，A 1E →·n 1＝0，即⎩⎨⎧y －z ＝0，1－12z ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2，z ＝2， ∴n 1＝(1,2,2)．∵平面ABCD 的一个法向量为n 2＝(0,0,1)，∴cos 〈n 1，n 2〉＝23×1＝23，即所成的锐二面角的余弦值为23.2．(2019·大同模拟)设正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，则点D 1到平面A 1BD的距离是( D )A.32B.22C.223D.233解析：如图，以点D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y轴，z 轴，建立坐标系，则D (0,0,0)，D 1(0,0,2)，A 1(2,0,2)，B (2,2,0)，D 1A 1→＝(2,0,0)，DB →＝(2,2,0)，DA 1→＝(2,0,2)，设平面A 1BD 的一个法向量n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧n ·DA 1→＝0，n ·DB →＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2z ＝0，2x ＋2y ＝0， 令z ＝1，得n ＝(－1,1,1)．∴D 1到平面A 1BD 的距离d ＝|D 1A 1→·n ||n |＝23＝233.3．(2018·全国卷Ⅰ)已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为( A )A.334 B.233 C.324 D.32解析：由正方体的性质及题意可得，正方体共顶点的三条棱所在直线与平面α所成的角均相等．如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，易知棱AB ，AD ，AA 1所在直线与平面A 1BD 所成的角均相等，所以α∥平面A 1BD ，当平面α趋近点A 时，截面图形的面积趋近于0；当平面α经过正方体的中心O 时，截面图形为正六边形，其边长为22，截面图形的面积为6×34×⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝334；当平面α趋近于C 1时，截面图形的面积趋近于0，所以截面图形面积的最大值为334，故选A.4．已知三棱锥P -ABC 的所有顶点都在表面积为16π的球O 的球面上，AC 为球O 的直径．当三棱锥P -ABC 的体积最大时，二面角P -AB -C 的大小为θ，则sin θ等于( C )A.23B.53C.63D.73解析：如图，设球O 的半径为R ，由4πR 2＝16π，得R ＝2，设点P 到平面ABC 的距离为d ， 则0＜d ≤2，因为AC 为球的直径， 所以AB 2＋BC 2＝AC 2＝16，则V 三棱锥P -ABC ＝16AB ·BC ·d ≤16·AB 2＋BC 22·2＝83，当且仅当AB ＝BC ＝22，d ＝2时，V 三棱锥P -ABC 取得最大值， 此时平面P AC ⊥平面ABC ，连接PO ，因为PO ⊥AC ，平面P AC ∩平面ABC ＝AC ，PO ⊂平面P AC ， 所以PO ⊥平面ABC ，过点P 作PD ⊥AB 于D ， 连接OD ，因为AB ⊥PO ，AB ⊥PD ，PO ∩PD ＝P ， 所以AB ⊥平面POD ，则AB ⊥OD ， 所以∠PDO 为二面角P -AB -C 的平面角，因为OD ＝12BC ＝2，所以PD ＝PO 2＋OD 2＝6， 则sin θ＝sin ∠PDO ＝PO PD ＝63，故选C.5．如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是正方形A 1B 1C 1D 1和正方形ADD 1A 1的中心，则EF 和CD 所成的角的大小是 45° .解析：以D 为原点，分别以DA 、DC 、DD 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系D -xyz ，设正方体的棱长为1，则D (0,0,0)，C (0,1,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，1，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，12，EF →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，－12，－12，DC →＝(0,1,0)，∴cos 〈EF →，DC →〉＝EF →·DC →|EF →||DC →|＝－22，∴〈EF →，DC →〉＝135°，∴异面直线EF 和CD 所成的角的大小是45°.6．如图，四边形ABCD 和ADPQ 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M 在线段PQ 上，E ，F 分别为AB ，BC 的中点．设异面直线EM 与AF 所成的角为θ，则cos θ的最大值为 25 .解析：建立空间直角坐标系如图所示．设AB ＝1，则AF →＝⎝⎛⎭⎪⎫1，12，0，E ⎝⎛⎭⎪⎫12，0，0. 设M (0，y,1)(0≤y ≤1)，则EM →＝⎝⎛⎭⎪⎫－12，y ，1.∵θ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，π2，∴cos θ＝|AF →·EM →||AF →||EM →| ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12＋12y 1＋14·14＋y 2＋1＝2(1－y )5·4y 2＋5. 则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2(1－y )4y 2＋52＝1－8y ＋14y 2＋5. 令8y ＋1＝t ，1≤t ≤9， 则8y ＋14y 2＋5＝16t ＋81t －2≥15， 当且仅当t ＝1时取等号．∴cos θ＝2(1－y )5·4y 2＋5≤15×25＝25，当且仅当y ＝0时取等号． 7．如图，四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为矩形，P A ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点．(1)证明：PB ∥平面AEC ；(2)设二面角D -AE -C 为60°，AP ＝1，AD ＝3，求三棱锥E -ACD 的体积． 解：(1)证明：连接BD 交AC 于点O ，连接EO . 因为ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点． 又E 为PD 的中点，所以EO ∥PB .又因为EO ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ，所以PB ∥平面AEC .(2)因为P A ⊥平面ABCD ，ABCD 为矩形，所以AB ，AD ，AP 两两垂直． 如图，以A 为坐标原点，AB →的方向为x 轴的正方向，|AP →|为单位长，建立空间直角坐标系A -xyz ，则D (0，3，0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，12，AE →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，32，12.设B (m,0,0)(m ＞0)，则C (m ，3，0)，AC →＝(m ，3，0)． 设n 1＝(x ，y ，z )为平面ACE 的法向量，则⎩⎨⎧n 1·AC →＝0，n 1·AE →＝0，即⎩⎨⎧mx ＋3y ＝0，32y ＋12z ＝0，可取n 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3m ，－1，3. 又n 2＝(1,0,0)为平面DAE 的法向量， 由题设得|cos 〈n 1，n 2〉|＝12， 即33＋4m 2＝12，解得m ＝32.因为E 为PD 的中点， 所以三棱锥E -ACD 的高为12.三棱锥E -ACD 的体积V ＝13×12×3×32×12＝38.8．(2019·江西六校联考)在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为平行四边形，∠ABD ＝90°，EB ⊥平面ABCD ，EF ∥AB ，AB ＝2，EB ＝3，EF ＝1，BC ＝13，且M 是BD 的中点．(1)求证：EM ∥平面ADF ；(2)求二面角A -FD -B 的余弦值的大小．解：(1)证法一：取AD 的中点N ，连接MN ，NF .在△DAB 中，M 是BD 的中点，N 是AD 的中点，所以MN ∥AB ，MN ＝12AB ， 又因为EF ∥AB ，EF ＝12AB ， 所以MN ∥EF 且MN ＝EF .所以四边形MNFE 为平行四边形，所以EM ∥FN ， 又因为FN ⊂平面ADF ，EM ⊄平面ADF ，故EM ∥平面ADF .证法二：因为EB ⊥平面ABD ，AB ⊥BD ，故以B 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系B -xyz.由已知可得EM →＝⎝⎛⎭⎪⎫32，0，－3，AD →＝(3，－2,0)，AF →＝(0，－1，3)，设平面ADF 的法向量是n ＝(x ，y ，z )．由⎩⎨⎧n ·AD →＝0，n ·AF →＝0得⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＝0，－y ＋3z ＝0，令y ＝3，则n ＝(2,3，3)． 又因为EM →·n ＝0，所以EM →⊥n ， 又EM ⊄平面ADF ，故EM ∥平面ADF .(2)由(1)中证法二可知平面ADF 的一个法向量是n ＝(2,3，3)． 易得平面BFD 的一个法向量是m ＝(0，－3，1)． 所以cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m |·|n |＝－34， 又二面角A -FD -B 为锐角，故二面角A -FD -B 的余弦值大小为34.9．(2019·河南郑州一模)如图所示，在四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，△DAB ≌△DCB ，E 为线段BD 上的一点，且EB ＝ED ＝EC ＝BC ，连接CE 并延长交AD 于F .(1)若G 为PD 的中点，求证：平面P AD ⊥平面CGF ；(2)若BC ＝2，P A ＝3，求平面BCP 与平面DCP 所成锐二面角的余弦值． 解：(1)证明：在△BCD 中，EB ＝ED ＝EC ＝BC ， 故∠BCD ＝π2，∠CBE ＝∠CEB ＝π3， 连接AE ，∵△DAB ≌△DCB ，∴△EAB ≌△ECB ，从而有∠FED ＝∠BEC ＝∠AEB ＝π3，AE ＝CE ＝DE . ∴∠AEF ＝∠FED ＝π3. 故EF ⊥AD ，AF ＝FD . 又PG ＝GD ，∴FG ∥P A .又P A ⊥平面ABCD ，故GF ⊥平面ABCD ， ∴GF ⊥AD ，又GF ∩EF ＝F ，故AD ⊥平面CFG . 又AD ⊂平面P AD ， ∴平面P AD ⊥平面CGF .(2)以点A 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0,0,0)，B (2,0,0)，C (3，3，0)，D (0，23，0)，P (0,0,3)． 故BC →＝(1，3，0)，CP →＝(－3，－3，3)，CD →＝(－3，3，0)． 设平面BCP 的一个法向量为n 1＝(1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋3y 1＝0，－3－3y 1＋3z 1＝0，解得⎩⎨⎧y 1＝－33，z 1＝23，即n 1＝⎝⎛⎭⎪⎫1，－33，23.设平面DCP 的一个法向量为n 2＝(1，y 2，z 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧－3＋3y 2＝0，－3－3y 2＋3z 2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝3，z 2＝2，即n 2＝(1，3，2)．从而平面BCP 与平面DCP 所成锐二面角的余弦值为|n 1·n 2||n 1||n 2|＝43169×8＝24.10．(2017·全国卷Ⅱ)如图，四棱锥P -ABCD 中，侧面P AD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，AB ＝BC ＝12AD ，∠BAD ＝∠ABC ＝90°，E 是PD 的中点．(1)证明：直线CE ∥平面P AB ；(2)点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成角为45°，求二面角M -AB -D 的余弦值．解：(1)取P A 的中点F ，连接EF ，BF . 因为E 是PD 的中点， 所以EF ∥AD ，EF ＝12AD .由∠BAD ＝∠ABC ＝90°得BC ∥AD ， 又BC ＝12AD ，所以EF 綊BC ， 四边形BCEF 是平行四边形，CE ∥BF ，又BF ⊂平面P AB ，CE ⊄平面P AB ，故CE ∥平面P AB .(2)由已知得BA ⊥AD ，以A 为坐标原点，AB →的方向为x 轴正方向，|AB →|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz ，则A (0,0,0)，B (1,0,0)，C (1,1,0)，P (0,1，3)，PC →＝(1,0，－3)，AB →＝(1,0,0)．设M (x ，y ，z )(0＜x ＜1)，则BM →＝(x －1，y ，z )，PM →＝(x ，y －1，z －3)．因为BM 与底面ABCD 所成的角为45°， 而n ＝(0,0,1)是底面ABCD 的法向量， 所以|cos 〈BM →，n 〉|＝sin 45°， |z |(x －1)2＋y 2＋z 2＝22， 即(x －1)2＋y 2－z 2＝0.①又M 在棱PC 上，设PM →＝λPC →， 则x ＝λ，y ＝1，z ＝3－3λ.②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋22，y ＝1，z ＝－62(舍去)，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22，y ＝1，z ＝62.所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22，1，62，从而AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22，1，62.设m ＝(x 0，y 0，z 0)是平面ABM 的法向量，则⎩⎨⎧m ·AM →＝0，m ·AB →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧(2－2)x 0＋2y 0＋6z 0＝0，x 0＝0，所以可取m ＝(0，－6，2)． 于是cos 〈m ，n 〉＝m·n |m ||n |＝105.易知所求二面角为锐角．因此二面角M -AB -D 的余弦值为105.11．如图，在四棱锥P -ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝∠P AB ＝90°，BC ＝CD＝12AD，E为棱AD的中点，异面直线P A与CD所成的角为90°.(1)在平面P AB内找一点M，使得直线CM∥平面PBE，并说明理由；(2)若二面角P-CD-A的大小为45°，求直线P A与平面PCE所成角的正弦值．解：(1)在梯形ABCD中，AB与CD不平行．如图，延长AB，DC，相交于点M(M∈平面P AB)，点M即为所求的一个点．理由如下：由已知，BC∥ED，且BC＝ED.所以四边形BCDE是平行四边形，从而CM∥EB.又EB⊂平面PBE，CM⊄平面PBE，所以CM∥平面PBE.(说明：延长AP至点N，使得AP＝PN，则所找的点可以是直线MN上任意一点)(2)解法一：由已知，CD⊥P A，CD⊥AD，P A∩AD＝A，所以CD⊥平面P AD.从而CD⊥PD.所以∠PDA是二面角P-CD-A的平面角．所以∠PDA＝45°.设BC＝1，则在Rt△P AD中，P A＝AD＝2.过点A作AH⊥CE，交CE的延长线于点H，连接PH.易知P A ⊥平面ABCD ，又CE ⊂平面ABCD ，从而P A ⊥CE . 于是CE ⊥平面P AH . 所以平面PCE ⊥平面P AH .过A 作AQ ⊥PH 于Q ，则AQ ⊥平面PCE . 所以∠APH 是P A 与平面PCE 所成的角． 在Rt △AEH 中，∠AEH ＝45°，AE ＝1， 所以AH ＝22.在Rt △P AH 中，PH ＝P A 2＋AH 2＝322，所以sin ∠APH ＝AH PH ＝13.解法二：由已知，CD ⊥P A ，CD ⊥AD ，P A ∩AD ＝A ， 所以CD ⊥平面P AD . 于是CD ⊥PD .从而∠PDA 是二面角P -CD -A 的平面角． 所以∠PDA ＝45°.由P A ⊥AB ，可得P A ⊥平面ABCD . 设BC ＝1，则在Rt △P AD 中，P A ＝AD ＝2.作Ay ⊥AD ，以A 为原点，以AD →，AP →的方向分别为x 轴、z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz ，则A (0,0,0)，P (0,0,2)，C (2,1,0)，E (1,0,0)， 所以PE →＝(1,0，－2)，EC →＝(1,1,0)，AP →＝(0,0,2)．设平面PCE 的法向量n ＝(x ，y ，z )，由⎩⎨⎧n ·PE →＝0，n ·EC →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x －2z ＝0，x ＋y ＝0， 设x ＝2，解得n ＝(2，－2,1)． 设直线P A 与平面PCE 所成角为α， 则sin α＝|n ·AP →||n |·|AP →|＝22×22＋(－2)2＋12＝13.所以直线P A 与平面PCE 所成角的正弦值为13.12．(2019·江西南昌二中月考)如图，在等腰梯形ABCD 中，∠ABC ＝60°，CD ＝2，AB ＝4，点E 为AB 的中点，现将该梯形中的三角形EBC 沿线段EC 折起，形成四棱锥B -AECD .(1)在四棱锥B -AECD 中，求证：AD ⊥BD ；(2)若平面BEC 与平面AECD 所成二面角的平面角为120°，求直线AE 与平面ABD 所成角的正弦值．解：(1)证明：由三角形BEC 沿线段EC 折起前，∠ABC ＝60°，CD ＝2，AB ＝4，点E 为AB 的中点，得三角形BEC 沿线段EC 折起后，四边形AECD 为菱形，边长为2，∠DAE ＝60°，如图，取EC 的中点F ，连接DF ，BF ，DE ，∵△BEC 和△DEC 均为正三角形， ∴EC ⊥BF ，EC ⊥DF , 又BF ∩DF ＝F ，∴EC ⊥平面BFD ，∵AD ∥EC ，∴AD ⊥平面BFD ， ∵BD ⊂平面BFD ，∴AD ⊥BD .(2)以F 为坐标原点，建立如图的空间直角坐标系，由EC ⊥平面BFD ，知z 轴在平面BFD 内， ∵BF ⊥EC ，DF ⊥EC ，∴∠BFD 为平面BEC 与平面AECD 所成二面角的平面角， ∴∠BFD ＝120°，∴∠BFz ＝30°，又∵BF ＝3，∴点B 的横坐标为－32，点B 的竖坐标为32. 因D (3，0,0)，E (0,1,0)，A (3，2,0)，B ⎝⎛⎭⎪⎫－32，0，32，故AE →＝(－3，－1,0)，BD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫332，0，－32，AD →＝(0，－2，0)．设平面ABD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，∴⎩⎪⎨⎪⎧BD →·n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫332，0，－32·(x ，y ，z )＝0，AD →·n ＝(0，－2，0)·(x ，y ，z )＝0，得⎩⎨⎧332x －32z ＝0，－2y ＝0，令x ＝1，得y ＝0，z ＝3，∴平面ABD 的一个法向量为n ＝(1,0，3)， ∴cos 〈AE →，n 〉＝AE →·n|AE →||n |＝(－3，－1，0)·(1，0，3)2×2＝－34，∵直线AE 与平面ABD 所成角为锐角， ∴直线AE 与平面ABD 所成角的正弦值为34.。

课时作业42空间向量及其运算一、选择题(每小题5分，共40分)1．在下列命题中：①若向量a，b共线，则向量a，b所在的直线平行；②若向量a，b所在的直线为异面直线，则向量a，b确定不共面；③若三个向量a，b，c两两共面，则向量a，b，c共面；④已知空间的三个向量a，b，c，则对于空间的任意一个向量p总存在实数x，y，z使得p＝x a＋y b＋z c.其中正确命题的个数是()A．0B．1C．2 D．3解析：a与b共线，a，b所在直线也可能重合，故①不正确；依据自由向量的意义知，空间任两向量a，b都共面，故②错误；三个向量a，b，c中任两个确定共面，但它们三个却不愿定共面，故③不正确；只有当a，b，c不共面时，空间任意一向量p才能表示为p＝xa＋y b＋z c，故④不正确，综上可知四个命题中正确的个数为0，故选A.答案：A2．若{a，b，c}为空间的一组基底，则下列各项中，能构成基底的一组向量是()A．{a，a＋b，a－b} B．{b，a＋b，a－b}C．{c，a＋b，a－b} D．{a＋b，a－b，a＋2b}解析：若c、a＋b、a－b共面，则c＝λ(a＋b)＋m(a－b)＝(λ＋m)a＋(λ－m)b，则a、b、c为共面对量，此与{a，b，c}为空间向量的一组基底冲突，故c，a＋b，a－b可构成空间向量的一组基底．答案：C3.如图所示，已知空间四边形OABC，OB＝OC，且∠AOB＝∠AOC＝π3，则cos 〈OA→，BC→〉的值为()A．0 B.12C.32 D.22解析：设OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，由已知条件〈a，b〉＝〈a，c〉＝π3，且|b|＝|c|，OA→·BC→＝a·(c－b)＝a·c－a·b＝12|a||c|－12|a||b|＝0，∴cos〈OA→，BC→〉＝0.答案：A4．如图，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若A1B1→＝a，A1D1→＝b，A1A→＝c，则下列向量中与B1M→相等的向量是()A ．－12a ＋12b ＋c B.12a ＋12b ＋c C.12a －12b ＋c D ．－12a －12b ＋c解析：B 1M →＝B 1B →＋BM →＝A 1A →＋12(BA →＋BC →)＝A 1A →＋12(B 1A 1→＋A 1D 1→) ＝c ＋12(－a ＋b ) ＝－12a ＋12b ＋c . 答案：A5．(2022·淄博模拟)已知空间四边形ABCD 中，M ，G 分别为BC ，CD 的中点，则AB →＋12(BD →＋BC →)等于( )A.AG →B.CG →C.BC→ D.12BC →解析：如图所示：12(BD →＋BC →)＝BG →，AB →＋BG →＝AG →. 答案：A6．已在O ，A ，B ，C 为空间四个点，又OA →，OB →，OC →为空间的一组基底，则( )A ．O ，A ，B ，C 四点不共线 B ．O ，A ，B ，C 四点共面，但不共线 C ．O ，A ，B ，C 四点中任意三点不共线D ．O ，A ，B ，C 四点不共面解析：OA→，OB →，OC →为空间的一组基底，所以OA →，OB →，OC →不共面，但A ，B ，C 三种状况都有可能使OA→，OB →，OC →共面． 答案：D7．(2022·沈阳调研，4)底面是平行四边形的四棱柱叫平行六面体．如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，N 为BB 1的靠近B 的三等分点，若A 1B 1→＝a ，A 1D 1→＝b ，A 1A →＝c ，则下列向量中与MN →相等的向量是( )。

课时作业35 一元二次不等式及其解法时间：45分钟 分值：100分一、选择题(每小题5分，共30分)1．(2013·湖北卷)已知全集为R ，集合A ＝{x |(12)x≤1}，B ＝{x |x 2－6x ＋8≤0}，则A ∩(∁R B )＝( )A ．{x |x ≤0}B ．{x |2≤x ≤4}C ．{x |0≤x <2或x >4}D ．{x |0<x ≤2或x ≥4}解析：A ＝{x |x ≥0}，B ＝{x |2≤x ≤4}，故∁R B ＝{x |x <2或x >4}，从而A ∩(∁R B )＝{x |0≤x <2或x >4}．故选C.答案：C2．不等式x －1x ＋2<0的解集为( )A ．(1，＋∞)B ．(－∞，－2)C ．(－2,1)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)解析：原不等式化为(x －1)(x ＋2)<0，解得－2<x <1，∴原不等式的解集为(－2,1)．答案：C3．不等式(x －1)x ＋2≥0的解集为( ) A ．{x |x >1}B ．{x |x ≥1}C ．{x |x ≥1或x ＝－2}D ．{x |x ≥－2且x ≠－1}解析：由(x －1)x ＋2≥0，可知⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2>0，x －1≥0或x ＋2＝0，解得x ≥1或x ＝－2.答案：C4．设函数f (x )＝x m ＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1，则不等式f (－x )<6的解集是( )A ．{x |－2<x <3}B ．{x |－3<x <2}C ．{x |x >3或x <－2}D ．{x |x >2或x <－3}解析：∵f ′(x )＝2x ＋1，∴f (x )＝x 2＋x .又∵f (－x )<6，∴(－x )2－x <6，即x 2－x －6<0，解得－2<x <3.答案：A5．“1＋3x －1≥0”是“(x ＋2)(x －1)≥0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由1＋3x －1≥0可得：x ≤－2或x >1；由(x ＋2)(x －1)≥0可得：x ≤－2或x ≥1.故“1＋3x －1≥0”是(x ＋2)(x －1)≥0的充分不必要条件．答案：A6．已知奇函数f (x )满足f (－1)＝f (3)＝0，在区间[－2,0)上是减函数，在区间[2，＋∞)是增函数，函数F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧xf (－x )，x <0－f (x )，x >0，则F (x )>0的解集是( )A ．{x |x <－3，或0<x <2，或x >3}B ．{x |x <－3，或－1<x <0，或0<x <1，或x >3}C ．{x |－3<x <－1，或1<x <3}D ．{x |x <－3，或0<x <1，或1<x <2，或2<x <3}解析：由题意，可得f (x )的草图如下：①x <0时，xf (－x )>0，即xf (x )<0，解得－3<x <－1； ②x >0时，－f (x )>0，即f (x )<0，解得1<x <3， 综上所述，F (x )>0的解集为{x |－3<x <－1或1<x <3}． 答案：C二、填空题(每小题5分，共15分)7．若关于x 的不等式12x 2＋(2－m )x <0的解集是{x |0<x <2}，则实数m ＝________.解析：由题知x ＝0或x ＝2是方程12x 2＋(2－m )x ＝0的根，可得m ＝3.答案：38．若不等式mx 2＋2mx －4<2x 2＋4x 对任意x ∈R 均成立，则实数m 的取值范围是________．解析：原不等式等价于(m －2)x 2＋2(m －2)x －4<0， 当m ＝2时，对x ∈R ，不等式恒成立，当m ≠2时，则有⎩⎪⎨⎪⎧m －2<0，Δ＝4(m －2)2＋16(m －2)<0，解得－2<m <2，综上知－2<m ≤2.答案：(－2,2]9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2ax ，x ≥22x ＋1，x <2，若f (f (1))>3a 2，则实数a 的取值范围是________．解析：由题知，f (1)＝2＋1＝3，f (f (1))＝f (3)＝32＋6a ，若f (f (1))>3a 2，则9＋6a >3a 2，即a 2－2a －3<0，解得－1<a <3.故填(－1,3)．答案：(－1,3)三、解答题(共55分，解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程)10．(15分)已知不等式ax 2－3x ＋6>4的解集为{x |x <1或x >b }． (1)求a ，b ；(2)解不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0.解：(1)∵不等式ax 2－3x ＋6>4的解集为{x |x <1或x >b }，∴x ＝1与x ＝b 是方程ax 2－3x ＋2＝0的两个实数根，且b >1.由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧1＋b ＝3a ，1×b ＝2a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.(2)原不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0，可化为x 2－(2＋c )x ＋2c <0，即(x －2)(x －c )<0.①当c >2时，不等式(x －2)(x －c )<0的解集为{x |2<x <c }； ②当c <2时，不等式(x －2)(x －c )<0的解集为{x |c <x <2}； ③当c ＝2时，不等式(x －2)(x －c )<0的解集为∅.综上所述，当c >2时，不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0的解集为{x |2<x <c }；当c <2时，不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0的解集为{x |c <x <2}；当c＝2时，不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0的解集为∅.11．(20分)已知不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(1，t)，记函数f(x)＝ax2＋(a－b)x－c.(1)求证：函数y＝f(x)必有两个不同的零点；(2)若函数y＝f(x)的两个零点分别为m，n，求|m－n|的取值范围．解：(1)证明：由题意知a＋b＋c＝0，且－b2a>1，∴a<0且ca>1，∴ac>0，∴对于函数f(x)＝ax2＋(a－b)x－c有Δ＝(a－b)2＋4ac>0，∴函数y＝f(x)必有两个不同零点．(2)|m－n|2＝(m＋n)2－4mn＝(b－a)2＋4aca2＝(－2a－c)2＋4aca2＝⎝⎛⎭⎪⎫ca2＋8ca＋4，由不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(1，t)可知，方程ax2＋bx＋c＝0的两个解分别为1和t(t>1)，由根与系数的关系知ca＝t，∴|m－n|2＝t2＋8t＋4，t∈(1，＋∞)．∴|m－n|>13，∴|m－n|的取值范围为(13，＋∞)．——创新应用——12．(20分)(2013·安徽卷)设函数f(x)＝ax－(1＋a2)x2，其中a>0，区间I＝{x|f(x)>0}．(1)求I的长度(注：区间(α，β)的长度定义为β－α)；(2)给定常数k∈(0,1)，当1－k≤a≤1＋k时，求I长度的最小值．解：(1)因为方程ax－(1＋a2)x2＝0(a>0)有两个实根x1＝0，x2＝a1＋a 2， 故f (x )>0的解集为{x |x 1<x <x 2}．因此区间I ＝(0，a 1＋a 2)，I 的长度为a1＋a 2.(2)设d (a )＝a1＋a 2，则d ′(a )＝1－a 2(1＋a 2)2.令d ′(a )＝0，得a ＝1.由于0<k <1，故 当1－k ≤a <1时，d ′(a )>0，d (a )单调递增； 当1<a ≤1＋k 时，d ′(a )<0，d (a )单调递减．所以当1－k ≤a ≤1＋k 时，d (a )的最小值必定在a ＝1－k 或a ＝1＋k 处取得．而d (1－k )d (1＋k )＝1－k1＋(1－k )21＋k 1＋(1＋k )2＝2－k 2－k 32－k ＋k <1，故d (1－k )<d (1＋k )． 因此当a ＝1－k 时，d (a )在区间[1－k,1＋k ]上取得最小值1－k2－2k ＋k2.。

课时作业41空间几何体的结构特征及三视图和直观图时间：45分钟分值：100分一、选择题(每小题5分，共30分)1．下列命题中正确的个数是()①由五个面围成的多面体只能是四棱锥；②用一个平面去截棱锥便可得到棱台；③仅有一组对面平行的五面体是棱台；④有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥．A．0个B．1个C．2个D．3个解析：对于①，五个面围成的多面体也可以是三棱柱或三棱台，故①错；对于②，当平面与棱锥底面不平行时，截得的几何体不是棱台，故②错；对于③，仅有一组对面平行的五面体也可能是三棱柱，故③错；对于④，当三角形面没有一个公共顶点时，也不是棱锥，故④错．答案：A2．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如下图所示，则该几何体的侧视图为()解析：如图所示，点D1的投影为C1，点D的投影为C，点A的投影为B，故选D.答案：D3．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 是AB 的三等分点，G 、H 是CD 的三等分点，M 、N 分别是BC 、EH 的中点，则四棱锥A 1－FMGN 的侧视图为( )解析：由题意知侧视图中底线为HC ，A 1F 与A 1G 在侧视图中重合，故C 正确．答案：C4．如图正四棱锥(底面是正方形，顶点在底面的射影是底面的中心)P －ABCD 的底面边长为6 cm ，侧棱长为5 cm ，则它的侧视图的周长等于( )A ．17 cm B.119＋5 cm C ．16 cmD ．14 cm解析：如上图，侧视图为△PEF ，PE ＝PF ＝52－32＝4，EF ＝6，所以△PEF 的周长＝4×2＋6＝14.答案：D5．一个底面是等腰直角三角形，侧棱垂直于底面且体积为4的三棱柱的俯视图如下图所示，则这个三棱柱的侧视图的面积为( )A ．4 2B ．2C ．2 2D ．4解析：由俯视图得底面积S ＝12×2×2＝1，结合体积得三棱柱高为4，所以侧视图面积S ＝4×1＝4.答案：D6．下图是两个全等的正三角形．给定下列三个命题：①存在四棱锥，其正视图，侧视图如图；②存在三棱锥，其正视图、侧视图如图；③存在圆锥，其正视图、侧视图如图．其中真命题的个数是( )A ．3B ．2C ．1D ．0解析：若正视图，侧视图是全等的等边三角形，当是正四棱锥时，如下图，可以符合条件．如果是三棱锥下图中P －ABD 可以符合题意，如果是圆锥当母线l ＝2r 时即成立，所以A 正确．答案：A二、填空题(每小题5分，共15分)7．已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示，则该截面的面积为________．解析：由三视图得直观图如上图，正方体切去一棱台、截面为等腰梯形，AB ＝2，CD ＝22，OO 1＝2，OM ＝22，O 1M ＝322，故S ＝(2＋22)×322×12＝92.答案：928．如图是某几何体的三视图，该几何体的体积为________． 解析：由三视图知该几何体是四棱锥，底面是边长为4,3的矩形，四棱锥的高为5，所以该几何体的体积V ＝13×(4×3)×5＝20.答案：209．给出下列命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆。

课时作业4 函数及其表示一、选择题(每小题5分，共40分)1．(2022·江西理，2)下列函数中，与函数y ＝13x定义域相同的函数为( )A ．y ＝1sin x B ．y ＝ln xx C ．y ＝x e xD ．y ＝sin xx解析：本题考查函数的定义域，由于y ＝13x的定义域为{x |x ≠0}，满足条件的函数只有D ，故选D.答案：D2．(2022·北京海淀)假如f (1x )＝x1－x ，则当x ≠0且x ≠1时，f (x )＝________.( )A.1xB.1x －1C.11－xD.1x －1解析：令1x ＝t ，得x ＝1t . ∴f (t )＝1t1－1t ＝1t －1∴f (x )＝1x －1.答案：B3．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，x ≤0x 2，x >0，若f (α)＝4，则实数α＝( )A. －4或－2B. －4或2 C ．－2或4D ．－2或2解析：本题主要考查分段函数求函数值等基础学问． 当α≤0时，f (α)＝－α＝4，∴α＝－4； 当α>0时，f (α)＝α2＝4，∴α＝2. 综之：α＝－4或2，选B. 答案：B4．下列对应法则f 为A 上的函数的个数是( ) ①A ＝Z ，B ＝N ＋，f ：x →y ＝x 2 ②A ＝Z ，B ＝Z ，f ：x →y ＝x ③A ＝[－1,1]，B ＝{0}，f ：x →y ＝0 A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：对于①，当0∈A 时，y ＝0∉B ，故①所给的对应法则不是A 到B 的映射，当然它不是A 上的函数关系；对于②，当2∈A 时，y ＝2∉B ，故②所给的对应法则不是A 到B 的映射，当然它不是A 上的函数关系；对于③，对于A 中的任一个数，依据对应法则，在B 中都有唯一元素0和它对应，故③所给的对应法则是A 到B 的映射，这两个数集之间的关系是集合A 上的函数关系．答案：B5．(2022·福建厦门3月模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2，x ∈[－1，2]，x －3，x ∈(2，5]，则方程f (x )。