2011届高三数学一轮复习精品课件：等比数列(必修5)

当 q＝－2 时，代入①得 a1＝12， 通项公式 an＝12×(－2)n－1.
课堂互动讲练
【误区警示】 (1)两边同除以1 －q2导致失解．
(2)忽略q<1从而增根．
课堂互动讲练
互动探究
例2题目条件不变，求Sn. 解：当 q＝－1 时，a1＝2. ∴Sn＝2[1－1＋(－1 1)n]＝1－ (－1)n； 当 q＝－2 时，a1＝12. ∴Sn＝12[1－1＋(－22)n]＝16[1－(－2)n]．
课堂互动讲练
考点三 等比数列的性质
在等比数列中常用的性质主要 有：
(1)对于任意的正整数m，n，p， q，若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq， 特别地，若m＋n＝2p，则am·an＝ap2.
(2)对于任意正整数m，n，有an＝ amqn－m.
课堂互动讲练
(3) 若 数 列 {an} 是 等 比 数 列 ， 则 {can}(c≠0)，{|an|}，{an2}，{a1n}也是等 比数列，若{bn}是等比数列，则{an·bn} 也是等比数列．
等比数列(第1课时 )
基础知识梳理
1．等比数列的定义 一般地，如果一个数列从 第2项起，每 一项与它的前一项的比等于同一个常数， 那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫 等比数列的 公比，公比通常用字母 q (q≠0) 表示．
基础知识梳理
2．等比数列的通项公式 比为q设，等则比它数的列通{a项n}a的n＝首a项1q为n－a11.，公
(1)通项公式法：若数列{an}通项 公式可写成an＝c·qn(c，q均为不为0的 常数，n∈N*)，则{an}是等比数列．
(2)前n项和公式法：若数列{an}的 前n项和Sn＝k·qn－k(k为常数且k≠0， q≠0,1)，则{an}是等比数列．
课堂互动讲练
考点二
等比数列的基本运算
等比数列基本量的运算是等比数 列中的一类基本问题，数列中有五个 量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三 求二”，通过列方程(组)所求问题可迎 刃而解．解决此类问题的关键是熟练 掌握等比数列的有关公式，并灵活运 用，在运算过程中，还应善于运用整 体代换思想简化运算的过程．
2．设a1＝2，数列{an＋1}是以3 为公比的等比数列，则a4的值为 ()
A．80 B．81 C．54 D．53 答案：A
三基能力强化
3．已知{an}满足：a1＝1，aan＋n 1＝12， 则数列{an}是( )
A．递增数列 B．递减数列 C．摆动数列 D．常数列 答案：B
三基能力强化
4．(教材习题改编)设等比数列 {an}的公比 q＝2，前 n 项和为 Sn， 则Sa24＝________.
基础知识梳理
3．等比中项 如果三个数a、G、b组成 等比数列，则
G
叫做
a
和
b
的等比中项，那么G＝ b ，即 aG
G2＝ab .
基础知识梳理
b2＝ac是a，b，c成等比数列的什 么条件？
【思考·提示】 b2＝ac是a，b， c成等比数列的必要不充分条件，当b ＝0，a，c至少有一个为零时，b2＝ac 成立，但a，b，c不成等比数列，反 之，若a，b，c成等比数列，则必有b2 ＝ac.
课堂互动讲练
【思路点拨】 运用等比数列的 性质：(1)若k＋l＝m＋n，则ak·al＝ am·an；
(2)若Sn是正项等比(公比不等于－ 1)数列{an}的前n项和，则Sn，S2n－ Sn，S3n－S2n，…仍成等比数列，求 解．
课堂互动讲练
【解析】 (1)∵a1·a89＝a44·a46＝ a452＝16，
由 题 设 知 a1≠0 ， Sn ＝
a1q2＝2①
则
a1(11－－qq4)＝5×a1(11－－qq2)②
课堂互动讲练
由②得1－q4＝5(1－q2)，(q2－ 4)(q2－1)＝0，
(q－2)(q＋2)(q－1)(q＋1)＝0， 因为q<1时，解得q＝－1或q＝－ 2. 当q＝－1时，代入①得a1＝2， 通项公式an＝2×(－1)n－1；
(4)数列am，am＋k，am＋2k，am＋ 3k，…仍成等比数列．
(5)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m 是等比数列(q≠－1)．
课堂互动讲练
例3 (1)在等比数列{an}中，当a1·a89＝ 16时，a44·a45·a46＝________.
(2)已知各项均为正数的等比数列 {an}的前n项和为Sn，若Sn＝2，S2n＝ 14，则S3n等于________．
答案：125
三基能力强化
5.在数列{an}，{bn}中，bn是an与 an＋1的等差中项，a1＝2，且对任意 n∈N*，都有3an＋1－an＝0，则{bn}的 通项公式bn＝________.
答案：43×(13)n－1
课堂互动讲练
考点一 等比数列的判定
证明一个数列是等比数列的主要方法有 两种：一是利用等比数列的定义，即证明 aan＋n 1＝q(q≠0，n∈N*)，二是利用等比中项法， 即证明an＋12＝anan＋2≠0(n∈N*)．在解题中， 要注意根据欲证明的问题，对给出的条件式 进行合理地变形整理，构造出符合等比数列 定义式的形式，从而证明结论．
课堂互动讲练
例1 (2009年高考全国卷Ⅱ)设数列{an} 的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝ 4an＋2.
(1)设bn＝an＋1－2an，证明数列 {bn}是等比数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
课堂互动讲练
【名师点评】 等比数列的判定 方法还可利用通项公式法和前n项和公 式法．
基础知识梳理
4．等比数列的前 n 项和公式
na1
(q＝1)，
Sn＝a1(11－－qqn)＝a11－－aqnq
(q≠1).
三基能力强化
1．(2009年高考广东卷改编)已知 等比数列{an}的公比为正数，且a3·a9 ＝2a52，a2＝2，则a1＝( )
A．2
B. 2
2
1
C. 2D.2Biblioteka 答案：B三基能力强化
课堂互动讲练
注意：在使用等比数列的前n项 和公式时，应根据公比q的情况进行分 类讨论，切不可忽视q的取值而盲目用 求和公式．
课堂互动讲练
例2 设等比数列{an}的公比q<1，前n 项和为Sn.已知a3＝2，S4＝5S2，求{an} 的通项公式．
课堂互动讲练
【思路点拨】
课堂互动讲练
【解】 a1(11－－qqn)，