【全国百强校word】河北省衡水中学2018届高三押题卷(I)理数试题

2018 年衡水中学高考数学全真模拟试卷（理科）第 1 卷一、选择题（本大题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分 .在每个小题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的 .）1．（ 5 分）（ 2018?衡中模拟）已知会合 A= { x| x 2＜ 1} ， B= { y| y=| x|} ，则 A ∩B= （ ） A ． ?B ．（ 0，1）C ． [ 0， 1）D ． [ 0，1]2，则 P （3＜ ξ≤ 4） 2．（ 5 分）（2018?衡中模拟）设随机变量 ξ～ N （ 3，σ），若 P （ ξ＞4）=0.2 =（ ） A ．0.8B ． 0.4C ． 0.3D ． 0.23．（ 5 分）（ 2018?衡中模拟）已知复数 z=（ i 为虚数单位），则3=（）A ． 1B ．﹣ 1C ．D ．4．（ 5 分）（2018?衡中模拟）过双曲线 ﹣ =1（ a ＞ 0，b ＞ 0）的一个焦点 F 作两渐近线的垂线，垂足分别为 P 、 Q ，若∠ PFQ= π，则双曲线的渐近线方程为（ ）A ． y=± xB ．y= ± xC ． y= ±xD ．y= ± x5．（ 5 分）（ 2018?衡中模拟）将半径为 1 的圆切割成面积之比为 1：2：3 的三个扇形作为三个圆锥的侧面，设这三个圆锥底面半径挨次为 r 1， r 2， r 3，那么 r 1 +r 2+r 3 的值为（）A ．B ．2C ．D ．16．（ 5 分）（ 2018?衡中模拟） 如图是某算法的程序框图， 则程序运转后输出的结果是 （ ）A ．2B ．3C ．4D ．57．（ 5 分）（ 2018?衡中模拟）等差数列 { a n } 中， a 3=7， a 5=11，若 b n =，则数列 { b n }的前 8 项和为（ ） A ．B ．C ．D ．8．（ 5 分）（ 2018?衡中模拟）已知（ x ﹣ 3） 100122+ +a 1010，=a +a（ x+1） +a （ x+1）（ x+1）则 a 8=（ ）A ．45B ． 180C ．﹣ 180D ．7209．（ 5 分）（ 2018?衡中模拟）如图为三棱锥S﹣ABC 的三视图，其表面积为（）A．16 B． 8 +6 C． 16 D ．16+610．（ 5 分）（ 2018?衡中模拟）已知椭圆E：+ =1 （a＞ b＞ 0）的左焦点 F（﹣ 3， 0），P 为椭圆上一动点，椭圆内部点M （﹣ 1，3）知足 PF+PM 的最大值为 17，则椭圆的离心率为（）A ．B．C．D．11．（5 分）（ 2018?衡中模拟）已知 f （ x） = ，若函数 y=f （ x）﹣ kx 恒有一个零点，则k 的取值范围为（）A ． k≤0B ． k≤ 0 或 k≥ 1 C． k≤ 0 或 k≥ e D． k≤ 0 或 k≥12．（ 5 分）（ 2018?衡中模拟）已知数列 { a } 的通项公式为 a =﹣ 2n+p，数列 { b } 的通项公式n n n为 b nn﹣4，设 c n，若在数列n6 n*， n≠ 6），则 p 的取值范=2 = { c } 中 c ＜ c （ n∈ N围（）A ．（ 11， 25）B．（ 12，22）C．（ 12，17）D．（ 14， 20）第 2 卷二、填空题（本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分．把答案填在题中的横线上．）13．（5 分）（ 2018?衡中模拟）若平面向量、知足|| =2| | =2，|﹣| =，则在上的投影为．14．（ 5 分）（ 2018?衡中模拟）若数列 { a n} 知足 a1=a2=1，a n+2=，则数列 { a n} 前 2n 项和 S2n=．15．（ 5 分）（2018?衡中模拟）若直线 ax+（ a﹣ 2）y+4﹣a=0 把地区分红面积相等的两部分，则的最大值为．16．（ 5 分）（ 2018?衡中模拟）已知函数 f （x） =（ a+1） lnx +x2（ a＜﹣ 1）对任意的 x1、 x2＞0，恒有 | f （x1）﹣ f（ x2）| ≥ 4| x1﹣x2| ，则 a 的取值范围为．三、解答题（本大题共 5 小题，共70 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（ 12 分）（ 2018?衡中模拟）在△ABC 中，角 A ，B， C 所对的边分别为a， b， c，知足c=1，且 cosBsinC+（ a﹣ sinB ）cos（ A +B） =0（1）求 C 的大小；（2）求 a 2+b2的最大值，并求获得最大值时角A， B 的值．18．（ 12 分）（ 2018?衡中模拟）如图，在四棱锥 P﹣ ABCD 中，侧棱 PA⊥底面 ABCD ， AD ∥BC ，∠ ABC=90 °， PA=AB=BC=2 ， AD=1 ， M 是棱 PB 中点．（Ⅰ ）求证：平面PBC⊥平面 PCD；（Ⅱ ）设点 N 是线段 CD 上一动点，且=λ，当直线MN与平面PAB所成的角最大时，求λ的值．19．（ 12 分）（ 2018?衡中模拟）如图是两个独立的转盘（ A ）、（ B ），在两个图中三个扇形地区的圆心角分别为 60°、120°、 180°．用这两个转盘进行游戏，规则是：同时转动两个转盘待指针停下（当两个转盘中随意一个指针恰巧落在分界限时，则此次转动无效，从头开始），记转盘（ A ）指针所对的地区为x，转盘（ B）指针所对的地区为y， x、 y∈{ 1， 2， 3} ，设x+y 的值为ξ．（Ⅰ ）求 x＜ 2 且 y＞ 1 的概率；（Ⅱ ）求随机变量ξ的散布列与数学希望．20．（12 分）（ 2018?衡中模拟）已知椭圆E：+=1（ a＞b＞ 0），倾斜角为45°的直线与椭圆订交于M 、 N 两点，且线段 MN 的中点为（﹣1，）．过椭圆 E 内一点 P（ 1，）的两条直线分别与椭圆交于点 A 、C 和 B、D ，且知足=λ，=λ，此中λ为实数．当直线 AP 平行于 x 轴时，对应的λ=．（Ⅰ ）求椭圆 E 的方程；（Ⅱ ）当λ变化时， k AB能否为定值？假如，恳求出此定值；若不是，请说明原因．21．（ 12 分）（ 2018?衡中模拟）已知函数 f （ x ）= ，曲线 y=f （ x ）在点 x=e 2处的切线与直线 x ﹣ 2y+e=0 平行．（Ⅰ ）若函数 g （ x ） = f （ x ）﹣ ax 在（ 1， +∞）上是减函数，务实数 a 的最小值；（Ⅱ ）若函数 F （x ） =f （ x ）﹣无零点，求 k 的取值范围．[ 选修 4-1：几何证明选讲 ]22．（ 10 分）（ 2018?衡中模拟）如下图， AC 为⊙ O 的直径， D 为 的中点， E 为 BC 的中点．（Ⅰ ）求证： DE ∥ AB ；（Ⅱ ）求证： AC ?BC=2AD ?CD ．[ 选修 4-4：坐标系与参数方程]23．（ 2018?衡中模拟）在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为（t为参数），在以直角坐标系的原点O 为极点， x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C 的极坐标方程为ρ=（1）求曲线 C 的直角坐标方程和直线l 的一般方程；（2）若直线l 与曲线 C 订交于 A ， B 两点，求△ AOB 的面积．[ 选修 4-5：不等式选讲]24．（ 2018?衡中模拟）已知函数f（ x） =| x﹣l|+| x﹣ 3| ．（I ）解不等式 f （x）≤ 6；（Ⅱ ）若不等式f（ x）≥ ax﹣ 1 对随意 x∈ R 恒成立，务实数 a 的取值范围．参照答案与试题分析一、选择题（本大题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分 .在每个小题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的.） A= { x| x 2＜ 1} ， B= { y| y=| x|} ，则 A ∩B= （1．（ 5 分）（ 2018?衡中模拟）已知会合）A ． ?B ．（ 0，1）C ． [ 0， 1）D ． [ 0，1]【解答】 解： A= { x| x 2＜ 1} ={ x| ﹣ 1＜x ＜ 1} ，B= { y| y=| x| ≥ 0} ， 则 A ∩B=[ 0，1），应选： C ．2．（ 5 分）（2018?衡中模拟）设随机变量 2，则 P （3＜ ξ≤ 4） ξ～ N （ 3，σ），若 P （ ξ＞4）=0.2 =（ ） A ．0.8B ． 0.4C ． 0.3D ． 0.22【解答】 解：∵随机变量 X 听从正态散布 N （ 3，σ）， ∴μ=3，得对称轴是 x=3 ． ∵P （ ξ＞ 4） =0.2∴P （ 3＜ ξ≤ 4） =0.5﹣ 0.2=0.3 ． 应选： C3．（ 5 分）（ 2018?衡中模拟）已知复数 z=（ i 为虚数单位），则3）=（A ．1B ．﹣ 1C ．D ．【解答】 解：复数 z= ，可得 =﹣=cos +isin．3则 =cos4π+isin4 π=1． 应选： A ．4．（ 5 分）（2018?衡中模拟）过双曲线 ﹣ =1（ a ＞ 0，b ＞ 0）的一个焦点 F 作两渐近线的垂线，垂足分别为 P 、 Q ，若∠ PFQ= π，则双曲线的渐近线方程为（ ）A ． y=± xB ．y= ± xC ． y= ±xD ．y= ± x【解答】 解：如图若∠ PFQ=π，则由对称性得∠ QFO=，则∠ QOx=，即 OQ 的斜率 k= =tan=，则双曲线渐近线的方程为y=±x，应选： B5．（ 5 分）（ 2018?衡中模拟）将半径为 1 的圆切割成面积之比为1：2：3 的三个扇形作为三个圆锥的侧面，设这三个圆锥底面半径挨次为r1， r2， r3，那么 r1 +r 2+r3的值为（）A．B．2C．D．1【解答】解：∵ 2πr1=，∴ r1=，同理，∴r 1+r2+r3=1，应选： D．6．（ 5 分）（ 2018?衡中模拟）如图是某算法的程序框图，则程序运转后输出的结果是（）A．2B．3C．4D．5【解答】解：第一次循环，sin＞sin0，即1＞0成立，a=1，T=1，k=2，k＜6成立，第二次循环， sin π＞ sin，即0＞1不可立，a=0，T=1，k=3，k＜6成立，第三次循环， sin＞sinπ，即﹣1＞0不可立，a=0，T=1，k=4，k＜6成立，第四次循环， sin2π＞ sin，即0＞﹣1成立，a=1，T=1+1=2，k=5，k＜6成立，第五次循环， sin＞sin2π，即1＞0成立，a=1，T=2 +1=3，k=6，k＜6不可立，输出T=3，应选： B7．（ 5 分）（ 2018?衡中模拟）等差数列{ a n} 中， a3=7， a5=11，若 bn=，则数列{ b n}的前 8 项和为（）A．B．C．D．【解答】解：设等差数列{ a n} 的公差为d， a3=7， a5=11，∴，解得 a1=3， d=2，∴a n=3 +2（ n﹣ 1） =2n+1，∴，∴b8=（1﹣+﹣+ +﹣）=（1﹣）=应选 B．8．（ 5 分）（ 2018?衡中模拟）已知（x﹣ 3）10=a0+a1（ x+1） +a2（ x+1）2+ +a10（ x+1）10，则 a8=（）A．45 B． 180 C．﹣ 180D ．720【解答】解：（ x﹣ 3）10=[ （ x+1）﹣ 4]10，∴，应选： D．9．（ 5 分）（ 2018?衡中模拟）如图为三棱锥S﹣ABC 的三视图，其表面积为（）A．16 B．8+6C．16D．16+6【解答】解：由三视图可知该三棱锥为边长为2，4，4 的长方体切去四个小棱锥获得的几何体．三棱锥的三条边长分别为，∴表面积为 4×=16 ．应选： C．10．（ 5 分）（ 2018?衡中模拟）已知椭圆E：+=1 （a＞ b＞ 0）的左焦点F（﹣ 3， 0），P 为椭圆上一动点，椭圆内部点M （﹣ 1，3）知足 PF+PM 的最大值为17，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：设右焦点为Q，由 F（﹣ 3， 0），可得 Q（3， 0），由椭圆的定义可得| PF|+| PQ| =2a，即| PF| =2a﹣ | PQ| ，则| PM |+| PF| =2a+（| PM | ﹣ | PQ| ）≤ 2a+| MQ | ，当 P， M ， Q 共线时，获得等号，即最大值2a+| MQ | ，由| MQ | ==5，可得 2a+5=17，所以 a=6，则 e= = = ，应选： A．11．（5 分）（ 2018?衡中模拟）已知 f （ x） =，若函数y=f （ x）﹣ kx 恒有一个零点，则k 的取值范围为（）A ． k≤0B ． k≤ 0 或 k≥ 1 C． k≤ 0 或 k≥ e D． k≤ 0 或 k≥【解答】解：由 y=f （x）﹣ kx=0 得 f （ x） =kx，作出函数 f （ x）和 y=kx 的图象如图，由图象知当k≤ 0 时，函数f（ x）和 y=kx 恒有一个交点，当 x≥ 0 时，函数 f （ x）=ln （ x+1）的导数f′（x） =，则f′（0）=1，当 x＜ 0 时，函数 f （ x）=e x﹣ 1 的导数 f′（ x） =ex，则 f ′（ 0）=e 0=1，即当 k=1 时， y=x 是函数 f（ x）的切线，则当 0＜ k ＜ 1 时，函数 f （ x ）和 y=kx 有 3 个交点，不知足条件．当 k ≥ 1 时，函数 f （ x ）和 y=kx 有 1 个交点，知足条件．综上 k 的取值范围为 k ≤ 0 或 k ≥ 1， 应选： B ．12．（ 5 分）（ 2018?衡中模拟）已知数列 { a n } 的通项公式为 a n =﹣ 2n+p ，数列 { b n } 的通项公式为 b n=2n ﹣ 4，设 c n ，若在数列 n 6 n*， n ≠ 6），则 p 的取值范= { c } 中 c ＜ c （ n ∈ N围（）A ．（ 11， 25）B ．（ 12，22）C ．（ 12，17）D ．（ 14， 20）【解答】 解：∵ a n nn ﹣4，﹣ b =﹣ 2n+p ﹣2∴a n ﹣ b n 跟着 n 变大而变小，又∵ a n =﹣ 2n+p 跟着 n 变大而变小，nn ﹣ 4跟着 n 变大而变大，b =2∴，（1）当（2）当，综上 p ∈（ 14， 20）， 应选 D ．二、填空题（本大题共4 小题，每题5 分，共 20 分．把答案填在题中的横线上．）13．（5 分）（ 2018?衡中模拟）若平面向量 、 知足 | | =2| | =2，|﹣ | =，则 在 上的投影为﹣ 1 ．【解答】 解：依据条件，==7；∴；∴在上的投影为．故答案为：﹣ 1．14．（ 5 分）（ 2018?衡中模拟）若数列 { a } 知足 a =a =1，a = ，n 1 2n+2则数列 { a n} 前 2n 项和 S2n= 2n+n2﹣1 ．【解答】解：∵数列 { a n 1 2 n+2，} 知足 a =a =1 ， a =∴n=2k ﹣ 1 时， a2k+1﹣ a2k﹣1=2，为等差数列；n=2k 时， a2k+2=2a2k，为等比数列．∴．故答案为： 2n+n2﹣ 1．15．（ 5 分）（2018?衡中模拟）若直线 ax+（ a﹣ 2）y+4﹣a=0 把地区分红面积相等的两部分，则的最大值为2．【解答】解：由 ax+（a﹣ 2） y+4﹣ a=0 得 a（ x+y﹣ 1） +4﹣ 2y=0，则得，即直线恒过C（﹣ 1， 2），若将地区分红面积相等的两部分，则直线过AB 的中点 D，由得，即 A（1，6），∵B （ 3，0），∴中点D（ 2， 3），代入 a（ x+y﹣ 1） +4﹣ 2y=0 ，得 4a﹣ 2=0 ，则，则的几何意义是地区内的点到点（﹣2， 0）的斜率，由图象过 AC 的斜率最大，此时最大值为2．故答案为： 2．16．（ 5 分）（ 2018?衡中模拟）已知函数 f （x ） =（ a+1） lnx +x 2（ a ＜﹣ 1）对任意的 x 1、x 2＞ 0，恒有 | f （x 1）﹣ f （ x 2）| ≥ 4| x 1﹣ x 2| ，则 a 的取值范围为 （﹣ ∞，﹣ 2] ． 【解答】 解：由 f ′（ x ） =+x ，得 f ′（ 1） =3a+1，所以 f （ x ） =（a+1） lnx+ax 2，（a ＜﹣ 1）在（ 0， +∞）单一递减，不如设 0＜x 1＜ x 2， 则 f （x 1）﹣ f （ x 2）≥ 4x 2﹣ 4x 1，即 f （ x 1）+4x 1≥ f （ x 2） +4x 2，令 F （ x ）=f （x ） +4x ，F ′（x ） =f ′（x ） +4=+2ax+4，等价于 F （ x ）在（ 0， +∞）上单一递减，故 F'（ x ）≤ 0 恒成立，即+2ax+4≤0，所以恒成立，得 a ≤﹣ 2．故答案为：（﹣ ∞，﹣ 2] ．三、解答题（本大题共5 小题，共 70 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（ 12 分）（ 2018?衡中模拟）在△ ABC 中，角 A ，B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ，知足 c=1，且 cosBsinC+（ a ﹣ sinB ）cos （ A +B ） =0（1）求 C 的大小；（2）求 a 2+b 2的最大值，并求获得最大值时角 A ， B 的值． 【解答】 解：（ 1） cosBsinC+（ a ﹣sinB ） cos （ A +B ）=0 可得： cosBsinC ﹣（ a ﹣ sinB ）cosC=0 即： sinA ﹣ acosC=0．由正弦定理可知：，∴， c=1，∴a sinC﹣ acosC=0，sinC﹣ cosC=0，可得sin （C﹣）=0，C是三角形内角，∴C=．（2）由余弦定理可知： c 2=a2+b2﹣ 2abcosC，得 1=a 2+b2﹣ ab又，∴，即：．当时， a 2+b2取到最大值为2+．18．（ 12 分）（ 2018?衡中模拟）如图，在四棱锥 P﹣ ABCD 中，侧棱 PA⊥底面 ABCD ， AD ∥BC ，∠ ABC=90 °， PA=AB=BC=2 ， AD=1 ， M 是棱 PB 中点．（Ⅰ ）求证：平面PBC⊥平面 PCD；（Ⅱ ）设点 N 是线段 CD 上一动点，且=λ，当直线MN与平面PAB所成的角最大时，求λ的值．【解答】证明：（ 1）取 PC 的中点 E，则连结DE ，∵ME 是△ PBC 的中位线，∴ME，又AD，∴ME AD ，∴四边形 AMED是平行四边形，∴AM ∥ DE ．∵P A=AB ， M 是 PB 的中点，∴AM ⊥PB ，∵P A⊥平面 ABCD ， BC? 平面 ABCD ，∴PA⊥ BC，又 BC ⊥ AB ， PA∩AB=A ，∴BC ⊥平面 PAB，∵ AM ? 平面 PAB，∴BC⊥AM ，又 PB? 平面 PBC，BC ? 平面 PBC ， PB∩BC=B ，∴AM ⊥平面 PBC，∵ AM ∥ DE ，∴DE ⊥平面 PBC，又 DE ? 平面 PCD，∴平面 PBC⊥平面 PCD．（2）以 A 为原点，以AD ， AB ， AP 为坐标轴成立空间直角坐标系，如下图：则 A （0，0，0），B（ 0，2，0）， M（0，1，1），P（ 0，0，2），C（ 2，2， 0），D（ 1，0，0）．∴=（1， 2， 0）， =（ 0， 1，1）， =（ 1，0， 0），∴=λ=（λ， 2λ， 0），=（λ+1， 2λ， 0），==（λ+1， 2λ﹣ 1，﹣ 1）．∵AD ⊥平面 PAB ，∴为平面PAB的一个法向量，∴cos＜＞=====设 MN 与平面 PAB 所成的角为θ，则sinθ=．∴当即时，sinθ获得最大值，∴MN 与平面 PAB 所成的角最大时．19．（ 12 分）（ 2018?衡中模拟）如图是两个独立的转盘（ A ）、（ B ），在两个图中三个扇形地区的圆心角分别为 60°、120°、 180°．用这两个转盘进行游戏，规则是：同时转动两个转盘待指针停下（当两个转盘中随意一个指针恰巧落在分界限时，则此次转动无效，从头开始），记转盘（ A ）指针所对的地区为x，转盘（ B）指针所对的地区为y， x、 y∈{ 1， 2， 3} ，设x+y 的值为ξ．（Ⅰ ）求 x＜ 2 且 y＞ 1 的概率；（Ⅱ ）求随机变量 ξ的散布列与数学希望．【解答】 解：（ 1）记转盘 A 指针指向 1， 2， 3 地区的事件为 A 1， A 2， A 3，同理转盘 B 指针指向 1， 2， 3 地区的事件为 B 1， B 2， B 3，∴P （A 1） = ，P （A 2）= ， P （A 3）= ， P （B ）=，P （ B ）=，P （ B ）=，123 P=P （ A 1） P （ 1﹣ P （B 1））= ×（1﹣ ）== ． （5 分）（2）由已知得 ξ的可能取值为 2， 3，4， 5， 6，P （ ξ=2）=P （ A 1） P （ B 1） == =，P （ ξ=3） =P （ A 1 ）P （ B ）+P （A ）P （ B 1 ） ==，22P （ξ=4 ）=P （ A ）P （ B ）+P （ A ）P （ B ）+P （A ）P （ B ）==，132231P （ ξ=5）=P （ A 2） P （ B 3） +P （ A 3） P （ B 2） = +=，P （ ξ=6） =P （ A 3 ）P （ B ）==，3 ∴ξ的散布列为：ξ 2 3456PE ξ== ． （12 分）20．（12 分）（ 2018?衡中模拟）已知椭圆 E ： + =1（ a ＞b ＞ 0），倾斜角为45°的直线与椭圆订交于 M 、 N 两点，且线段 MN 的中点为（﹣ 1， ）．过椭圆 E 内一点 P （ 1， ）的两条直线分别与椭圆交于点A 、C 和B 、D ，且知足=λ ， =λ ，此中 λ为实数．当直线 AP 平行于 x 轴时，对应的λ= ．（Ⅰ ）求椭圆 E 的方程；（Ⅱ ）当λ变化时， k AB能否为定值？假如，恳求出此定值；若不是，请说明原因．【解答】解：（Ⅰ）设 M （ m1， n1）、N （ m2， n2），则，两式相减，故 a 2=3b2（ 2 分）当直线 AP 平行于 x 轴时，设 | AC | =2d，∵，，则，解得，故点 A （或 C）的坐标为．代入椭圆方程，得4分a 2=3， b2=1，所以方程为（6分）（Ⅱ ）设 A （ x1，y1）、 B（ x2， y2）、 C（ x3， y3）、 D（ x4，y4）因为，可得 A （ x1， y1）、B （ x2， y2）、 C（ x3， y3）、 D（ x4， y4），①同理可得② （8分）由①②得：③将点 A 、B 的坐标代入椭圆方程得，两式相减得（ x 1+x 2）（x 1﹣ x 2） +3（y 1+y 2）（ y 1﹣ y 2）=0，于是 3（ y 1+y 2） k AB =﹣（ x 1+x 2） ④同理可得： 3（ y 3+y 4） k CD =﹣（ x 3+x 4）， （ 10 分）于是 3（ y 3+y 4） k AB =﹣（ x 3+x 4）（∵ AB ∥ CD ，∴ k AB =k CD ）所以 3λ（ y 3+y 4） k AB =﹣ λ（ x 3+x 4） ⑤由④⑤ 两式相加获得： 3[ y 1+y 2+λ（ y 3+y 4） ] k AB =﹣[ （ x 1+x 2 ）+λ（x 3+x 4） ]把③ 代入上式得 3（ 1+λ） k AB =﹣ 2（ 1+λ）， 解得：，当 λ变化时， k AB 为定值， ． （12 分）21．（ 12 分）（ 2018?衡中模拟）已知函数 f （ x ）= ，曲线 y=f （ x ）在点 x=e 2处的切线与直线 x ﹣ 2y+e=0 平行．（Ⅰ ）若函数 g （ x ） = f （ x ）﹣ ax 在（ 1， +∞）上是减函数，务实数 a 的最小值；（Ⅱ ）若函数 F （x ） =f （ x ）﹣ 无零点，求 k 的取值范围．【解答】 解：（ Ⅰ ） 由 ，得，解得 m=2，故 ，则，函数 g （ x ）的定义域为（ 0， 1）∪ （ 1， +∞），而，又函数 g （ x ）在（ 1， +∞）上是减函数，∴在（ 1， +∞）上恒成立，∴当 x ∈（ 1， +∞）时，的最大值．而，即右侧的最大值为 ，∴，故实数 a 的最小值 ；（Ⅱ ） 由题可得，且定义域为 （0，1）∪（1，+∞），要使函数 F （ x ）无零点，即在（ 0，1） ∪ （1， +∞）内无解，亦即在（ 0，1） ∪ （1， +∞）内无解．结构函数，则 ，（ 1）当 k ≤ 0 时， h'（ x ）＜ 0 在（ 0，1） ∪ （1， +∞）内恒成立，∴函数 h （x ）在（ 0， 1）内单一递减，在（ 1，+∞）内也单一递减．又 h （ 1）=0，∴当 x ∈（ 0， 1）时， h （x ）＞ 0，即函数 h （ x ）在（ 0， 1）内无零点，同理，当 x ∈（ 1， +∞）时， h （ x ）＜ 0，即函数 h （x ）在（ 1，+∞）内无零点，故 k ≤ 0 知足条件；（2）当 k ＞ 0 时，．① 若 0＜ k ＜ 2，则函数 h （ x ）在（ 0，1）内单一递减， 在内也单一递减， 在内单一递加．又 h （ 1）=0，∴ h （x ）在（ 0，1）内无零点；又，而 ，故在 内有一个零点， ∴ 0＜k ＜ 2 不知足条件；② 若 k=2 ，则函数 h （x ）在（ 0， 1）内单一递减，在（ 1， +∞）内单一递加．又 h （ 1）=0，∴当 x ∈（ 0， 1） ∪ （ 1，+∞）时， h （ x ）＞ 0 恒成立，故无零点．∴ k=2 满足条件；③ 若 k ＞ 2，则函数 h （x ）在 内单一递减，在内单一递加，在（ 1， +∞）内也单一递加．又 h （ 1）=0，∴在及（ 1， +∞）内均无零点．易知﹣k k =2e k 2﹣2=? （ k ）， ，又 h （ e ）=k ×（﹣ k ）﹣ 2+2e ﹣ k则 ? '（ k ） =2（e k﹣ k ）＞ 0，则 ? （ k ）在 k ＞ 2 为增函数，∴ ? （ k ）＞ ? （ 2） =2e 2﹣ 6＞0．故函数 h （x ）在内有一零点， k ＞ 2 不知足．综上： k ≤0 或 k=2 ．[ 选修 4-1：几何证明选讲 ]22．（ 10 分）（ 2018?衡中模拟）如下图， AC 为⊙ O 的直径， D 为 的中点， E 为 BC 的中点．（Ⅰ ）求证： DE ∥ AB ；（Ⅱ ）求证： AC ?BC=2AD ?CD ．【解答】 证明：（ Ⅰ）连结 BD ，因为 D 为的中点，所以 BD=DC ．因为 E 为 BC 的中点，所以 DE ⊥ BC ． 因为 AC 为圆的直径，所以∠ ABC=90 °，所以 AB ∥ DE ． （5 分）（Ⅱ ）因为 D 为的中点，所以∠ BAD= ∠ DAC ，又∠ BAD= ∠ DCB ，则∠ DAC= ∠ DCB ．又因为 AD ⊥DC ， DE ⊥ CE ，所以△ DAC ∽△ ECD ．所以=， AD ?CD=AC ?CE ， 2AD ?CD=AC ?2CE ，所以 2AD ?CD=AC ?BC ． （10 分）[ 选修 4-4：坐标系与参数方程 ]23．（ 2018?衡中模拟）在平面直角坐标系中，直线 l 的参数方程为 （t 为参数）， 在以直角坐标系的原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为 ρ=（1）求曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的一般方程；（2）若直线 l 与曲线 C 订交于 A ， B 两点，求△ AOB 的面积． 【解答】 解：（ 1）由曲线 C 的极坐标方程为 ρ=22θ=2ρcos θ．得 ρsiny 2=2x ．∴由曲线 C 的直角坐标方程是：由直线 l 的参数方程为（ t 为参数），得 t=3+y 代入 x=1 +t 中消去 t 得： x ﹣ y ﹣ 4=0 ，所以直线 l 的一般方程为： x ﹣ y ﹣ 4=0 （ 5 分） （2）将直线 l 的参数方程代入曲线 C 的一般方程 y 2=2x ，得 t 2﹣ 8t+7=0，设 A ，B 两点对应的参数分别为 t 1， t 2，所以|AB|===，因为原点到直线x﹣ y﹣ 4=0 的距离 d=，所以△ AOB 的面积是| AB | d==12．（ 10 分）[ 选修 4-5：不等式选讲]24．（ 2018?衡中模拟）已知函数f（ x） =| x﹣l|+| x﹣ 3| ．（I ）解不等式 f （x）≤ 6；（Ⅱ ）若不等式f（ x）≥ ax﹣ 1 对随意 x∈ R 恒成立，务实数 a 的取值范围．【解答】解：函数f（ x）=| x﹣ l|+| x﹣ 3| =的图象如下图，（I ）不等式f（ x）≤ 6，即① 或② ，或③ ．解① 求得 x∈?，解②求得 3＜ x≤5，解③求得﹣ 1≤ x≤ 3．综上可得，原不等式的解集为[ ﹣1，5] ．（Ⅱ ）若不等式f（ x）≥ ax﹣ 1 对随意 x∈ R 恒成立，则函数f（ x）的图象不可以在 y=ax﹣ 1 的图象的下方．如下图：因为图中两题射线的斜率分别为﹣2， 2，点 B（ 3， 2），∴3a﹣ 1≤ 2，且a≥﹣ 2，求得﹣ 2≤ a≤ 1．第21页（共 21页）。

726π2抛物线地对称轴地入射光线经抛物线反射后必过抛物线地焦点．已知抛物线24y x =地焦点为F ,一条平行于x 轴地光线从点(3,1)M 射出,经过抛物线上地点A 反射后,再经抛物线上地另一点B 射出,则ABM ∆地周长为（ ）A ．712612+B ．926+C ．910+D ．832612+ 12.已知数列{}n a 与{}n b 地前n 项和分别为n S ,n T ,且0n a >,263n n n S a a =+,*n N ∈,12(21)(21)nnn a n a a b +=--,若*n N ∀∈,n k T >恒成立,则k 地最小值是（ ）A ．17B ．149C ．49D ．8441第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分,满分20分,将解析填在答题纸上）13.已知在ABC ∆中,||||BC AB CB =- ,(1,2)AB =,若边AB 地中点D 地坐标为(3,1),点C 地坐标为(,2)t ,则t = ．14.已知1()2nx x-（*n N ∈）地展开式中所有项地二项式系数之和、系数之和分别为p 、q ,则64p q +地最小值为 ．15.已知x ,y 满足3,,60,x y t x y π+≤⎧⎪⎪≥⎨⎪≥⎪⎩其中2t π>,若sin()x y +地最大值与最小值分别为1,12,则实数t 地取值范围为 ．16.在《九章算术》中,将四个面都为直角三角形地三棱锥称之为鳖臑．已知在鳖臑M ABC -中MA ⊥平面ABC ,2MA AB BC ===,则该鳖臑地外接球与内切球地表面积之和为 ．三、解答题 （本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知函数21()cos 3sin()cos()2f x x x x ππ=+-+-,x R ∈．（1）求函数()f x 地最小正周期及其图象地对称轴方程；（2）在锐角ABC ∆中,内角A ,B ,C 地对边分别为a ,b ,c ,已知()1f A =-,3a =,sin sin b C a A =,求ABC ∆地面积．　18.如图,在四棱锥E ABCD -中,底面ABCD 为直角梯形,其中//CD AB ,BC AB ⊥,侧面ABE ⊥平面四边形MNPQ 不可能是菱形．21.已知函数()(1)xf x e a x b =-+-（a ,b R ∈）,其中e 为自然对数地底数．（1）讨论函数()f x 地单调性及极值；（2）若不等式()0f x ≥在x R ∈内恒成立,求证:(1)324b a +<．请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做地第一题记分.22.选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系中xOy 中,已知曲线C 地参数方程为cos ,sin x t y αα=⎧⎨=⎩（0t >,α为参数）,以坐标原点O 为极点,x 轴地正半轴为极轴,取相同地长度单位建立极坐标系,直线l 地极坐标方程为2sin()34πρθ+=．（1）当1t =时,求曲线C 上地点到直线l 地距离地最大值；（2）若曲线C 上地所有点都在直线l 地下方,求实数t 地取值范围．23.选修4-5:不等式选讲已知函数()|21||1|f x x x =-++．（1）解不等式()3f x ≤；（2）记函数()()|1|g x f x x =++地值域为M ,若t M ∈,证明:2313t t t+≥+．衡水金卷2018届全国高三大联考理数解析一、选择题1-5:CBCBA 6-10: ACDAD 11、12:BB二、填空题13.1 14.16 15.57,66ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦16.2482ππ-三、解答题17.解:（1）原式可化为21()cos 3sin cos 2f x x x x =--1cos 231sin 2222x x +=--sin(2)6x π=-sin(2)6x π=--,故其最小正周期22T ππ==,令262x k πππ-=+（k Z ∈）,解得23k x ππ=+（k Z ∈）,即函数()f x 图象地对称轴方程为23k x ππ=+（k Z ∈）．（2）由（1）知()sin(2)6f x x π=--,因为02A π<<,所以52666A πππ-<-<,又()sin(2)6f A A π=--1=-,故262A ππ-=,解得3A π=．由正弦定理及sin sin b C a A =,得29bc a ==,故193sin 24ABC S bc A ∆==．18.解:（1）当12λ=时,//CE 平面BDF ．证明如下:连接AC 交BD 于点G ,连接GF ．∵//CD AB ,2AB CD =,∴12CG CD GA AB ==．∵12EF FA =,∴12EF CG FA GA ==．　∴//GF CE .又∵CE ⊄平面BDF ,GF ⊂平面BDF ,∴//CE 平面BDF .（2）取AB 地中点O ,连接EO ,则EO ⊥AB ．∵平面ABE ⊥平面ABCD ,平面ABE 平面ABCD AB =,且EO AB ⊥,∴EO ⊥平面ABCD ．∵//BO CD ,且1BO CD ==,∴四边形BODC 为平行四边形,∴//BC DO ．　又∵BC AB ⊥,∴AB OD ⊥．由OA ,OD ,OE 两两垂直,建立如下图所示地空间直角坐标系O xyz -．则(0,0,0)O ,(0,1,0)A ,(0,1,0)B -,(1,0,0)D ,(1,1,0)C -,(0,0,3)E ．当1λ=时,有EF FA = ,∴可得13(0,,)22F ．∴(1,1,0)BD = ,(1,1,3)CE =- ,33(0,,)22BF = ．设平面BDF 地一个法向量为(,,)n x y z = ,则有0,0,n BD n BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即0,330,22x y y z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩令3z =,得1y =-,1x =,即(1,1,3)n =-．设CE 与平面BDF 所成地角为θ,则|113|1sin |cos ,|555CE n θ--+=<>==⨯ ,∴当1λ=时,直线CE 与平面BDF 所成地角地正弦值为51．19.解:（1）由列联表可知2K 地观测值22()200(50405060) 2.020 2.072()()()()11090100100n ad bc k a b c d a c b d -⨯-⨯==≈<++++⨯⨯⨯,所以不能在犯错误地概率不超过0.15地前提下认为A 市使用网络外卖情况与性别有关．（2）①依题意,可知所抽取地5名女网民中,经常使用网络外卖地有6053100⨯=（人）,偶尔或不用网络外卖地有4052100⨯=（人）．　则选出地3人中至少有2人经常使用网络外卖地概率为2133233355710C C C P C C =+=．②由22⨯列联表,可知抽到经常使用网络外卖地网民地概率为1101120020=,将频率视为概率,即从A 市市民中任意抽取1人,恰好抽到经常使用网络外卖地市民地概率为1120．由题意得11~(10,)20X B ,∴1111()10202E X =⨯=；11999()10202040D X =⨯⨯=．20.解:（1）由已知,得12c a =,3b =,又222c a b =-,故解得24a =,23b =,所以椭圆C 地标准方程为22143x y +=．（2）由（1）,知1(1,0)F -,如图,易知直线MN 不能平行于x 轴,所以令直线MN 地方程为1x my =-,设11(,)M x y ,22(,)N x y ,联立方程2234120,1,x y x my ⎧+-=⎨=-⎩得22(34)690m y my +--=,所以122634m y y m +=+,122934y y m -=+．此时221212||(1)()4MN m y y y y ⎡⎤=++-⎣⎦．　同理,令直线PQ 地方程为1x my =+,设33(,)P x y ,44(,)Q x y ,此时342634m y y m -+=+,342934y y m -=+,此时223434||(1)()4PQ m y y y y ⎡⎤=++-⎣⎦．　故||||MN PQ =,所以四边形MNPQ 是平行四边形.若MNPQ 是菱形,则OM ON ⊥,即0OM ON ⋅=,于是有12120x x y y +=.又1212(1)(1)x x my my =--21212()1m y y m y y =-++,所以有21212(1)()10m y y m y y +-++=,整理得22125034m m --=+,即21250m +=,上述关于m 地方程显然没有实数解,故四边形MNPQ 不可能是菱形.令22()ln (0)g x x x x x =->,则'()(12ln )g x x x =-．　令'()0g x >,得0x e <<；令'()0g x <,得x e >,故()g x 在区间(0,)e 内单调递增,在区间(,)e +∞内单调递减,故max ()()ln 2e g x g e e e e ==-=,即当1a e +=,即1a e =-时,max ()2e g x =．所以22(1)(1)(1)ln(1)2e a b a a a +≤+-++≤,所以(1)24b a e+≤．而3e <,所以(1)324b a +<．22.解:（1）易知曲线C :221x y +=,直线l 地直角坐标方程为30x y +-=．　所以圆心到直线l 地距离33222d ==,∴max 3212d =+．（2）∵曲线C 上地所有点均在直线l 地下方,∴a R ∀∈,有cos sin 30t αα+-<恒成立,∴213t +<．又0t >,∴解得022t <<,∴实数t 地取值范围为(0,22)．23.解:（1）依题意,得3,1,1()2,1,213,,2x x f x x x x x ⎧⎪-≤-⎪⎪=--<<⎨⎪⎪≥⎪⎩于是得()3f x ≤1,33,x x ≤-⎧⇔⎨-≤⎩或11,223,x x ⎧-<<⎪⎨⎪-≤⎩或1,233,x x ⎧≥⎪⎨⎪≤⎩解得11x -≤≤．即不等式()3f x ≤地解集为{}|11x x -≤≤．（2）()()|1||21||22||2122|3g x f x x x x x x =++=-++≥---=,当且仅当(21)(22)0x x -+≤时,取等号,∴[3,)M =+∞．原不等式等价于2331t t t -+≥,∵[3,)t ∈+∞,∴230t t -≥,∴2311t t -+≥.又∵31t ≤,∴2331t t t -+≥,∴2313t t t +≥+.。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.“1m =±”是“复数2(1)(1)m m i -++（其中i 是虚数单位）为纯虚数”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】B. 【解析】试题分析：由题意得，2(1)(1)m m i -++是纯虚数210110m m m ⎧-=⇔⇔=⎨+≠⎩，故是必要不充分条件，故选B.考点：1.复数的概念；2.充分必要条件．2.设全集U R =，函数()lg(|1|1)f x x =+-的定义域为A ，集合{}|sin 0B x x π==，则()U C A B 的元素个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】C.考点：1.对数函数的性质；2.三角函数值；3.集合的运算． 3.若点55(sin,cos )66ππ在角α的终边上，则sin α的值为（ ）A ．2-B ．12- C ．12 D ．2 【答案】A. 【解析】试题分析：根据任意角的三角函数的定义，5cos 6sin 1πα==，故选A. 考点：任意角的三角函数．4.如图所示的茎叶图（图一）为高三某班50名学生的化学考试成绩，图（二）的算法框图中输入的i a 为茎叶图中的学生成绩，则输出的m ，n 分别是（ ）A ．38m =，12n =B ．26m =，12n =C ．12m =，12n =D ．24m =，10n = 【答案】B.考点：1.统计的运用；2.程序框图．5.如图所示的是函数()sin 2f x x =和函数()g x 的部分图象，则函数()g x 的解析式是（ ）A ．()sin(2)3g x x π=-B ．2()sin(2)3g x x π=+C ．5()cos(2)6g x x π=+D ．()cos(2)6g x x π=- 【答案】C. 【解析】试题分析：由题意得，(0)0g <，故排除B ，D ；又∵17()()sin 24842g f πππ===除A ，故选C.考点：三角函数的图象和性质． 6.若函数2(2)()m xf x x m-=+的图象如图所示，则m 的范围为（ ）A ．(,1)-∞-B ．(1,2)-C ．(0,2)D ．(1,2) 【答案】D.考点：函数性质的综合运用．7.某多面体的三视图如图所示，则该多面体各面的面积中最大的是（ ）A ．1B ．2C ．2D 【答案】C.考点：1.三视图；2.空间几何体的表面积．8.已知数列{}n a 的首项为11a =，且满足对任意的*n N ∈，都有12nn n a a +-≤，232n n n a a +-≥⨯成立，则2014a =（ ）A ．201421- B ．201421+ C ．201521- D ．201521+【答案】A.考点：数列的通项公式．9.已知非零向量a ，b ，c ，满足||||4a b b -==，()()0a c b c -⋅-=，若对每个确定的b ，||c 的最大值和最小值分别为m ，n ，则m n -的值为（ ）A ．随||a 增大而增大B ．随||a 增大而减小C ．是2D ．是4 【答案】D. 【解析】试题分析：∵()()0a c b c -⋅-=，∴2()0c a b c a b -+⋅+⋅=，即2||||||cos ,0c a b c a b c a b -+⋅⋅<+>+⋅=，∵1cos ,1a b c -≤<+>≤，∴22||||||0||||||0c a b c a b c a b c a b ⎧-+⋅+⋅≤⎪⎨++⋅+⋅=⎪⎩，解得||||2||222a b a b c ++-≤≤+，（||||||||2222a b a b a bb b +--=+≥-=），故min ||||22a bc +=-，max ||||22a b c +=+， ∴4m n -=，故选D. 考点：平面向量数量积．10.已知在三棱锥P ABC -中，1PA PB BC ===，AB =AB BC ⊥，平面PAB ⊥平面ABC ，若三棱锥的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为（ ） AB ．3π CD ．2π【答案】B. 【解析】考点：空间几何体的外接球．【名师点睛】外接球常用的结论：长方体的外接球：1.长、宽、高分别为a ，b ，c 的长方体的体对角线长等于外接球的直径，2R =；2.棱长为a 的正方体的体对角线长2R =；棱长为a ，内切球的半径为12a ； 11.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右顶点为A ，O 为坐标原点，以A 为圆心的圆与双曲线C 的某渐近线交于两点P ，Q ，若60PAQ ∠=，且3OQ OP =，则双曲线C 的离心率为（ ）A C D 【答案】C. 【解析】试题分析：如下图所示，设AOQ α∠=，∴tan cos b a a c αα=⇒=，sin bcα=，∴2||cos a OH a cα=⋅=，||sin ab AH a c α=⋅=，又∵3OQ OP =，∴2||||||2a OP PH HQ c===，∴2|||22ab a AH PH b c c =⇒=⇒=，∴e ==C.考点：双曲线的标准方程及其性质．【名师点睛】要解决双曲线中有关求离心率或求离心率范围的问题，应找好题中的等量关系或不等关系，构造出关于a ，c 的齐次式，进而求解，要注意对题目中隐含条件的挖掘，如对双曲线上点的几何特征以及平面几何知识的运用，如12||||2PF PF c +≥等.12.已知函数()()()()()52log 11221x x f x x x ⎧-<⎪=⎨--+≥⎪⎩，则关于x 的方程1(2)f x a x +-=的实根个数不可能为（ ）A ．5个B ．6个C ．7个D ．8个 【答案】A.当2a =时，方程()f x a =有两个正根，一个小于4-的负根，∴1(2)f x a x+-=有六个根，当2a >时，方程()f x a =有一个正根一个小于4-的负根，∴1(2)f x a x+-=有四个根，∴1(2)f x a x+-=根的个数可能为2，3，4，6，7，8，故选A.考点：1.函数与方程；2.分类讨论的数学思想.【名师点睛】要判断函数零点或方程根的个数，一般需结合函数在该区间的单调性、极值等性质进行判断，对于解析式较复杂的函数的零点，可根据解析式特征，利用函数与方程思想化为()()f x g x =的形式，通过考察两个函数图象的交点来求，通过图形直观研究方程实数解的个数，是常用的讨论方程解的一种方法．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上．）13.已知0a >6)x展开式的常数项为15，则2(a ax x dx -+=⎰____________.【答案】223π++考点：定积分的计算及其性质.14.设a ，b R ∈，关于x ，y 的不等式||||1x y +<和48ax by +≥无公共解，则ab 的取值范围是__________. 【答案】[16,16]-.考点：线性规划.15.设抛物线()220y px p =>的焦点为F ，其准线与x 轴交于点C ，过点F 作它的弦AB ，若90CBF ∠=，则AF BF -=________． 【答案】2p .考点：抛物线焦点弦的性质.【名师点睛】若AB 为抛物线22(0)y px p =>的焦点弦，F 为抛物线焦点，A ，B 两点的坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y ，则：2124p x x =，212y y p =-，以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切， 112||||AF BF p+=. 16.已知数列{}n a 满足12a =，210n n a a n +++=，则31a =_____________.【答案】463-.考点：数列的通项公式.【名师点睛】已知递推关系求通项，掌握先由1a 和递推关系求出前几项，再归纳、猜想n a 的方法，以及“累加法”，“累乘法”等：1.已知1a 且1()n n a a f n --=，可以用“累加法”得：12()nn k a a f k ==+∑，2n ≥；2.已知1a 且1()nn a f n a -=，可以用“累乘法”得：1(2)(3)(1)()n a a f f f n f n =⋅⋅⋅⋅⋅-⋅，2n ≥. 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分12分）如图，在ABC ∆中，已知点D 在边BC 上，且0AD AC ⋅=，sin 3BAC ∠=，AB =BD =（1）求AD 长； （2）求cos C . 【答案】（1）3；（2）3. 【解析】试题分析：（1）利用已知条件首先求得cos BAD ∠的值，再在ABD ∆中，利用余弦定理即可求解；（2）在ABD ∆中利用正弦定理即可求解.试题解析：（1）∵0AD A C ⋅=，则A D A C ⊥，∴s i n s i n ()c o s 2B AC B AD B A Dπ∠=+∠=∠，即cos 3BAD ∠=，在ABD ∆中，由余弦定理，可知2222cos BD AB AD AB AD BAD =+-∠，即28150AD AD -+=，解得5AD =，或3AD =，∵AB AD >，∴3AD =；……6分（2）在ABD ∆中，由正弦定理，可知sin sin BD ABBAD ADB=∠∠.又由cos 3BAD ∠=，可知1sin 3BAD ∠=，∴sin sin AB BAD ADB BD ∠∠==.∵2ADB DAC C C π∠=∠+=+，∴cos C =…………12分 考点：正余弦定理解三角形． 18.（本小题满分12分）已知矩形ABCD ，22AD AB ==，点E 是AD 的中点，将DEC ∆沿CE 折起到D EC '∆的位置，使二面角D EC B '--是直二面角.（1）证明：BE CD '⊥；（2）求二面角D BC E '--的余弦值.【答案】（1）详见解析；（2.在Rt D MF '∆中，122D M EC '==，11,tan 22D M MF AB D FM MF ''==∠==cos D FM '∠=，∴二面角D BC E '--…………12分考点：1.面面垂直的判定与性质；2.二面角的求解． 19.(本小题满分12分)2018年7月9日21时15分，台风“莲花”在我国广东省陆丰市甲东镇沿海登陆，造成165.17万人受灾，5.6万人紧急转移安置，288间房屋倒塌，46.5千公顷农田受灾，直接经济损失12.99亿元.距离陆丰市222千米的梅州也受到了台风的影响，适逢暑假，小明调查了梅州某小区的50户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成[]0,2000，(]2000,4000，(]4000,6000，(]6000,8000，(]8000,10000五组，并作出如下频率分布直方图：（1）试根据频率分布直方图估计小区平均每户居民的平均损失（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）小明向班级同学发出倡议，为该小区居民捐款，现从损失超过4000元的居民中随机抽出2户进行捐款援助，设抽出损失超过8000元的居民为ξ户，求ξ的分布列和数学期望； （3）台风后区委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小明调查的50户居民捐款情况如图，根据图表格中所给数据，分别求b ，c ，a b +，c d +，a c +，b d +，a b c d +++的值，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？0.00.18附：临界值表参考公式：()()()()()22,n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++.【答案】（1）3360；（2）详见解析；（3）详见解析.ξ的分布列为()0123535355E ξ=⨯+⨯+⨯=；…………8分 （3）解得9b =，5c =，39a b +=，11c d +=，35a c +=，15b d +=，50a b c d +++=，()225030695 4.046 3.84139113515K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯，∴有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关.…………12分考点：1.古典概型；2.频率分布直方图；3.独立性检验． 20.（本小题满分12分）已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的两个焦点1F ，2F ，且椭圆过点，，且A 是椭圆上位于第一象限的点，且12AF F ∆的面积12AF F S ∆（1）求点A的坐标；（2）过点(3,0)B的直线l与椭圆E相交于点P，Q，直线AP，AQ与x轴相交于M，N两点，点5(,0)2C，则||||CM CN是否为定值，如果是定值，求出这个定值，如果不是请说明理由.【答案】（1）(2,1)A；（2）详见解析.法二：设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，3(,0)M x ，4(,0)N x ，直线l ，AP ，AQ 的斜率分别为k ，1k ，2k ，由()22326y k x x y ⎧=-⎨+=⎩，得()222212121860k x k x k +-+-=，()()4221444121860k k k ∆=-+->，可得21k <，21221212k x x k +=+，212218612k x x k -=+，考点：1.椭圆的标准方程及其性质；2.直线与椭圆的位置关系；3.椭圆中的定值问题． 【名师点睛】求解定值问题的方法一般有两种：1.从特殊入手，求出定点、定值、定线，再证明定点、定值、定线与变量无关；2.直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量，从而得到定点、定值、定线.应注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算. 21.(本小题满分12分)已知函数221()()(1)(22),2xf x ax bx a b e x x x a R =++---++∈，且曲线()y f x =与x 轴切于原点O .（1）求实数a ，b 的值；（2）若2()()0f x x mx n ⋅+-≥恒成立，求m n +的值. 【答案】（1）0a =，1b =；（2）1m n +=-. 【解析】试题分析：（1）求导，利用导数的几何意义即可求解；（2）将不等式作进一步化简，可得21(1)(1)(1)2x x e x x x ->-++，分类讨论，构造函数21()(1)2x g x e x x =-++，求导研究其单调性即可得到0x =，和1x =是方程20x mx n +-=的两根，从而求解.考点：导数的综合运用．【名师点睛】1．证明不等式问题可通过作差或作商构造函数，然后用导数证明；2．求参数范围问题的常用方法：（1）分离变量；（2）运用最值；3．方程根的问题：可化为研究相应函数的图象，而图象又归结为极值点和单调区间的讨论；4．高考中一些不等式的证明需要通过构造函数，转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，PA 为四边形ABCD 外接圆的切线，CB 的延长线交PA 于点P ，AC 与BD 相交于点M ，且//PA BD .（1）求证：ACD ACB ∠=∠；（2）若3PA =，6PC =，1AM =，求AB 的长.【答案】（1）详见解析；（2）2.考点：1.切线的性质；2.相似三角形的判定与性质．23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，已知点()1,2P -，直线1:2x t l y t =+⎧⎨=-+⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin 2cos ρθθ=，直线l 和曲线C 的交点为,A B .（1）求直线l 和曲线C 的普通方程；（2）求PA PB +.【答案】（1）直线l 的普通方程是30x y --=，曲线C 的普通方程是22y x =；（2）联立直线方程与抛物线方程，利用参数的几何意义结合韦达定理即可求解.【解析】考点：1.参数方程，极坐标方程与直角方程的相互转化；2.直线与抛物线的位置关系．24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()21f x x a =--，()2g x x m =-+，a ，m R ∈，若关于x 的不等式()1g x ≥-的整数解有且仅有一个值为-2.（1）求整数m 的值；（2）若函数()y f x =的图象恒在函数1()2y g x =的上方，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）4；（2）(,3)-∞.【解析】试题分析：（1）解不等式()1g x ≥-，根据整数解为2-，即可求解；（2）问题等价于()()102f xg x ->恒成立，分类讨论将绝对值号去掉即可求解. 试题解析：（1）由()1g x ≥-，即21x m -+≥-，21x m +≤， 得1122m m x ---+≤≤，∵不等式的整数解为2-，∴11222m m ---+≤-≤，解得35m ≤≤， 又∵不等式仅有一个整数解2-，∴4m =；…………4分 （2）函数()y f x =的图象恒在函数()12y g x =的上方，故()()102f x g x ->， ∴212a x x <-++对任意x R ∈恒成立，设()212h x x x =-++，则3,2()4,213,1x xh x x xx x-≤-⎧⎪=--<≤⎨⎪>⎩，则()h x在区间(),1-∞上是减函数，考点：1.绝对值不等式；2.分类讨论的数学思想；3.恒成立问题．。

河北衡水中学2018年高考押题试卷理数试卷第I卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合A {x|x2x 6 0, x Z}，B {z|z x y ,x A,y A}，则Al B ()A. {0,1} B• {0,1,2} C• {0,1,2,3} D• { 1,0,1,2}1 z2.设复数z满足'2 i，则| A ()1 i zA. .5B 1C•仝D仝5 5 253.若cos( -)- ，(0,—) ，则sin 的值为（)4 3 2A. 4 2B 4 .2 C7 D辽••6 6 18 34.已知直角坐标原点O为椭圆C :2 2x y1(a b 0）的中心，F1，F2为左、右焦点，在区间(0,2)任a2 b2取一个数e，则事件“'以e为离心率的椭圆C与圆0： 2 2 x y a b没有交点”的概率为（)Ad B 4 2C D 2 24 4 2 25.定义平面上两条相交直线的夹角为：两条相交直线交成的不超过90°的正角.已知双曲线E :2 2% y21（a 0,b 0），当其离心率e [「2,2]时，对应双曲线的渐近线的夹角的取值范围为（）a bA. [0, ] B • [―,]C • [―,]D •[―,]6 6 3 4 3 3 26.某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为 3 2，则它的表面积是（）A. (32133) .22 2B- (3 413|) 22 2c •卫.22D.13 ,22247.函数ysin x ln x 在区间［ 3,3］的图象大致为()A.函数g( x)图象的对称轴方程为 x k (k Z)12B. 函数g(x)的最大值为2.218.二项式(ax)n (a 0,b 0)的展开式中只有第 6项的二项式系数最大,bx第4项的系数的3倍，则ab 的值为( )且展开式中的第3项的系数是A . 4B12D. 169.执行如图的程序框图，若输入的x 0 , y 1 ,n 1，则输出的p 的值为(A . 81B• 2 10. 已知数列 a 1 1, a 22, 且an 2A .2016 1010 1B.100911. 已知函数 f(x)Asin( x )(Aa n 2 20170,2( 1)n , 814n N ,则S 2017的值为.2017 1010 1 D81 8)1009 20160,)的图象如图所示，令 g(x)2f(x) f '(x)，则下列关于函数g(x)的说法中不正确的是()B .C . Dr'-W I I 庄C.函数g(x)的图象上存在点 P ，使得在P 点处的切线与直线I : y 3x 1平行第U 卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 向量a (m, n) , b ( 1,2)，若向量a , b 共线，且a 2 b ，则mn 的值为 _______________________ .2 2x y14. 设点M 是椭圆 —2 1(a b 0)上的点，以点 M 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆的焦点 F ，圆Ma b与y 轴相交于不同的两点 P 、Q ，若 PMQ 为锐角三角形，则椭圆的离心率的取值范围为 ___________________ .2x y 3 015.设x ， y 满足约束条件 x 2y 2 0，则y 的取值范围为2x y 2 x16.在平面五边形 ABCDE 中， 已知 A 120o ， B 90o ， C 120o ， E 90o ，AB 3，AE 3， 当五边形ABCDE 的面积S [6・、,3,9、一 3)时，则BC 的取值范围为 __________三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤•1 *17.已知数列｛a n ｝的前 n 项和为 S n ，q —，2S n S n 1 1(n 2,n N).2(1 )求数列｛a n ｝的通项公式；* 1(2)记 b n log 1 a n (n N )，求｛｝的前 n 项和 T n .2b n b n 1D.方程g(x) 2的两个不同的解分别为X i ， x 2，贝U X ! x 2最小值为一212.已知函数f(x) ax 3 3x 21，若f (x)存在三个零点，则 a 的取值范围是(A . (, 2) B . ( 2,2) C . (2,) D(2,0) U(0,2)18.如图所示的几何体ABCDEF中，底面ABCD为菱形，AB 2a , ABC 120o, AC与BD相交于O点，四边形BDEF为直角梯形，DE//BF , BD DE , DE 2BF 2. 2a，平面BDEF 底面ABCD.（1）证明：平面AEF 平面AFC ；（2 ）求二面角E AC F的余弦值•19.某校为缓解高三学生的高考压力，经常举行一些心理素质综合能力训练活动，经过一段时间的训练后从该年级800名学生中随机抽取100名学生进行测试，并将其成绩分为A、B、C、D、E五个等级，统计数据如图所示（视频率为概率），根据以上抽样调查数据，回答下列问题：（1 ）试估算该校高三年级学生获得成绩为B的人数；（2）若等级A、B、C、D、E分别对应100分、90分、80分、70分、60分，学校要求平均分达90分以上为“考前心理稳定整体过关”，请问该校高三年级目前学生的“考前心理稳定整体”是否过关？（3）为了解心理健康状态稳定学生的特点，现从A、B两种级别中，用分层抽样的方法抽取11个学生样本，再从中任意选取3个学生样本分析，求这3个样本为A级的个数的分布列与数学期望20.已知椭圆C :与爲l(a b 0)的离心率为—，且过点，动直线I : y kx m交a b 2 22uuu uuu椭圆C于不同的两点A, B，且OA OB 0 ( O为坐标原点)•(1)求椭圆C的方程•(2)讨论3m2 2k2是否为定值？若为定值，求出该定值，若不是请说明理由_ 2 221.设函数f (x) a In x x ax(a R).(1)试讨论函数f (x)的单调性；(2)设(x) 2x (a2 a)ln x，记h(x) f (x) (x)，当a 0时，若方程h(x) m(m R)有两个不相等的实根禺，X2，证明h'Q x2) 0 .2请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号22.选修4-4 :坐标系与参数方程x 3 cost在直角坐标系xOy中，曲线G : ( t为参数，a 0)，在以坐标原点为极点，x轴的非负y 2 si nt半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2: 4sin .(1 )试将曲线G i与C2化为直角坐标系xOy中的普通方程，并指出两曲线有公共点时a的取值范围；(2)当a 3时，两曲线相交于A，B两点，求AB .23.选修4-5 :不等式选讲已知函数f (x) 2x 1 x 1 .(1 )在下面给出的直角坐标系中作出函数y f(x)的图象，并由图象找出满足不等式f(x) 3的解集;(2)若函数y f (x)的最小值记为m，设a, b R，且有a2 b2 m，试证明:1 4 18 a2 1 b2 1 7、选择题 1-5: BCAAD 6-10: AABCC 11 、填空题 13. 8 14. 参考答案及解析 理科数学（U ）、12: CD15.2 7 - [―,—]代.[、,3,3、3) 5 417.解：（1）当 n 2时，由— 得 2S 2 S 1 1 ，即 2a〔 2a 2又由2S n S n 1 1，① 可知2S n 1 S n 1，② ②-①得2a n 1 a n ，即也a n 1适合上式, 2 a 2 a 1三、解答题 S n 1 1 及 a 11，解得a 212 14 .且n 1时, (2)由(1)及 b n1 可知bn log 1(2)n 1 所以 ------ b n bn 11 故Tn — b n b2 1 尹2). 1 因此数列｛a n ｝是以一为首项, 21-为公比的等比数列，故21 * a n 27(nN ).log-, a n (n N2n(n 1) 1 db s b n b n 1 [(1 2）（11）（丄n 1 1 —)]1 —n 1n 118.解：（1）因为底面 ABCD 为菱形，所以AC BD ， 又平面BDEF 底面 ABCD ，平面 BDEF I 平面 ABCD BD，因此AC 平面BDEF ，从而AC EF . 又BD DE ，所以DE 平面ABCD ， 由 AB 2a ，DE 2BF 2、2a ， ABC 120o ， 可知 AF -4a 2 2a 2 ，6a ，BD 2a ， EF 4a 2 2a 2 . 6a ，AE 4a 2 8a 2 2.3a ，从而 AF 2 FE 2 AE 2，故 EF AF .19.解：(1)从条形图中可知这100人中，有56名学生成绩等级为 B ， 所以可以估计该校学生获得成绩等级为B 的概率为卫6 14，100 25 14则该校高三年级学生获得成绩为 B 的人数约有800 14 448.251(2)这100名学生成绩的平均分为 (32 100 56 90 7 80 3 70 2 60)100因为91.3 90 ,所以该校高三年级目前学生的“考前心理稳定整体”已过关 (3)由题可知用分层抽样的方法抽取11个学生样本，其中 A 级4个，B 级7个，从而任意选取3个，这3又AF I AC A ，所以EF 平面AFC .又EF 平面AEF ，所以平面 AEF 平面 AFC .(2)取EF 中点G ，由题可知OG / /DE ，所以OG 平面ABCD ，又在菱形 ABCD 中，OA OB ，所uuu以分别以OA ， uuu uuu OB ， OG 的方向为x ， y ， z 轴正方向建立空间直角坐标系O xyz(如图示)，则 O(0,0,0),A(「3a,0,0)，C( _3a,0,0)，E(0, a,2.'2a)，F(0,a,j2a)， uuu 所以AE (0, a,2、2a) ( 3a,0,0)( , 3a, a,2 2a)， uuur _ __ uuu_AC (3a,0,0)(..3a,0,0)(2、3a,0,0)，EF (0,a, 2a)(0, a, 2 2a)(0,2a, ,2a).uur由(1)可知EF 平面AFC ，所以平面 AFC 的法向量可取为 EF (0,2a, ,2a).设平面AEC 的法向量为n (x, y, z)，r uuu冲 n AE 0 则r uuir ，即n AC 0x 0x 0r uuun EF 6a V 31 n LuiU I EF |6屈 3 .，即 y 2'2z ，令 z 2，得 y 4，91.3，2 2zAC F 的余弦值为所以 n (0,4, .2).r uuu 从而 cos n, EF故所求的二面角 E个为A 级的个数 的可能值为0, 1, 2 , 3.x2故所求的椭圆方程为 -2uuu uuu(2)设 A(x 1, %)，B(x 2, y 2)，由 OA OBy 联立方程组 x 22因此可得的分布列为:12 则 E( )0 11552兰4 7 28 133 55 可知 x-|X 2 y 1y 2 0.消去y 化简整理得 (1 2 2 22k )x 4kmx 2m2 2 由 16k m8(m 21)(122k ) 0,得 12k 2m 2，所以 X 1 X 24km1 2k2 ，X-|X 2c 2 c细2，③1 2k又由题知x 1x 2 yy 即 x 1x 2 (kx 1 m)(kx 2 m)整理为(1 k 2)x 1x2 km(x 1 X 2)c 22、2m 将③代入上式，得（1 k 2）击 km岁 3 -165 20.解：（1） c由题意可知一 a所以a 2 2 c 2 2(a 2 b 2)，即 a 22b 2，①又点P （互 2f ）在椭圆上，所以有2 4a 2 34b 2，②由①②联立，解得b 21， a 21.kx2 2化简整理得3m 2 22k 0，从而得到3m 2i 2k 22k 2 2.2i.解：(i )由 f(x) a 21nx x 2 ax ， 可知 f'(x)2x a2x 2 ax a 2(2x a)(x a)因为函数f (x)的定义域为(0, )，所以, ①若a 0时，当x (0, a)时, f'(x) 0, 函数 f (x)单调递减, (a,)时, f'(x) 0 ,函数f (x)单调递增; ②若a 0时，当f '(x) 2x 0 在 x (0, )内恒成立，函数 f (x)单调递增;③若a 0时，当x (0, f'(x) 0,函数 f(x)单调递减，当xa (2,)时, f '(x)0，函数f (x)单调递增. (2 )证明：由题可知 h(x) f (x) (x) x 2 (2 a)x a In x(x 0)，所以 h'(x) 2x (2 2 、a 2x a )x(2 x a)x a (2x a)(x 1)a a X (0,)时，h'(x) 0 ；当 x (, 2 2 欲证 h'(Xi X2) 0，只需证 h'4 X2) h'(a )， 2 2 2 x i x 2 a 2 2. 所以当 )时，h'(x)i 时,h' 0.)0，只需证h '(又 h''(x)即h'(x)单调递增，故只需证明设X i ，X 2是方程h(x) m 的两个不相等的实根，不妨设为 X iX 2，2 “X i (2 a)x i al n X i m 则 v 7 i i， 2x 2 (2 a)x 2 a I n x 2 m 两式相减并整理得 a(x-i x 2 In x-i In x 2) 2 2^ X i X 2 2 X i2x2，从而a x i 2 x 222x i 2x 2 x 2 In x i In x 2 X i 故只需证明x i x 2 x i 2 x 22 2x i 2x 2 2 2(x i x 2 In x i In x 2)即 x 1 x 2 2 2% x 2 2为 2X 2 x i x ? In x i In x 2 因为 x-i x 2 In x i In x 2 0， 所以(*)式可化为In x i, 2x i 2x 2 In x 2 x i x 2因为0 x 1 x 2，所以0 竺1 ,X 2因此R(t)在(0,1)单调递增• 又 R(1) 0 ,因此 R(t) 0 , t (0,1),故 Int 2— , t (0,1)得证，t 1从而h'(X1 X2) 0得证.2 x 3cost2 2 22.解：(1)曲线C 1: ，消去参数t 可得普通方程为(x 3) (y 2)y 2 si nt 曲线C 2: 4sin ，两边同乘 •可得普通方程为x 2 (y 2)2 4. 把(y 2)2 4 x 2代入曲线G 的普通方程得：a 2 (x 3)2 4 x 2 13 6x ， 而对C 2有x 2 x 2 (y 2)2 4，即2x2，所以1 a 225故当两曲线有公共点时, 为[1,5].2 2 (2)当 a 3时，曲线 G ： (x 3) (y 2)9，2两曲线交点A ，B 所在直线方程为x 2.即ln$ X 2 2生2 X 2 X i X 2所以AB 2 823不妨令t —-，所以得到In t X 2 2tt t (0,1). 2t 21 4 设 R ⑴ |nt 十,t (0,1)，所以 R'(t)? r (t 1)2 3 t(t 1)2 0，当且仅当t 1时，等号成立,a 的取值范围32 2 2 2 曲线x (y 2) 4的圆心到直线 x 的距离为d —，3 3 3x, x 1 23.解：(1)因为 f (x) |2x 1 x 1 x 2, 1所以作出图象如图所示，并从图可知满足不等式 所以 2 a ，从而 b 2 3 2 从而1 a2 1 4 b 2 1 7[(a2 1) 3x,x 1 f (x) 3的解集为[1,1] f (x)的最小值为 1 b 21 7， 22 1(b 2 1)](— a a2 b 2 1 4(a 2 0 181 b2 1 ] 7当且仅当 b 2 1 a 22肓时，等号成立即a 2 所以 1 6 1 a 2 1 b 2 4 b 7" 4时，有最小值，3 18 、工得证.1 7 i ，即 7[5 J2 當)]。

衡水金卷2018届全国高三大联考理科第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合2{|540}M x x x =-+≤，{|24}xN x =>，则 ( ) A ．{|24}M N x x =<<I B ．M N R =U C ．{|24}M N x x =<≤I D ．{|2}M N x x =>U2. 记复数z 的虚部为Im()z ，已知复数5221iz i i =--（i 为虚数单位），则Im()z 为( ) A ．2 B ．-3 C ．3i - D ．33. 已知曲线32()3f x x =在点(1,(1))f 处的切线的倾斜角为α，则222sin cos 2sin cos cos ααααα-=+( ) A ．12 B ．2 C ．35 D ． 38- 4. 2017年8月1日是中国人民解放军建军90周年，中国人民银行为此发行了以此为主题的金银纪念币，如图所示是一枚8克圆形金质纪念币，直径22mm ，面额100元.为了测算图中军旗部分的面积，现用1粒芝麻向硬币内投掷100次，其中恰有30次落在军旗内，据此可估计军旗的面积大约是( ) A ．27265mm π B ．236310mm π C.23635mm π D ．236320mm π5. 已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线经过圆E ：22240x y x y +-+=的圆心，则双曲线C 的离心率为( )A ．5B ．52C.2 D ．2 6. 已知数列{}n a 为等比数列，且2234764a a a a =-=-，则46tan()3a a π⋅=( ) A ．3- B ．3 C.3± D ．33- 7. 执行如图的程序框图，若输出的S 的值为-10，则①中应填( )A ．19?n <B ．18?n ≥ C. 19?n ≥ D ．20?n ≥8.已知函数()f x 为R 内的奇函数，且当0x ≥时，2()1cos f x e m x =-++，记2(2)a f =--，(1)b f =--，3(3)c f =，则a ，b ，c 间的大小关系是( )A ．b a c <<B ．a c b << C.c b a << D ．c a b <<9. 已知一几何体的三视图如图所示，俯视图是一个等腰直角三角形和半圆，则该几何体的体积为( )A ．23π+ B ．12π+ C.26π+ D ．23π+ 10. 已知函数()2sin()(0,[,])2f x x πωϕωϕπ=+<∈的部分图象如图所示，其中5||2MN =.记命题p ：5()2sin()36f x x ππ=+，命题q ：将()f x 的图象向右平移6π个单位，得到函数22sin()33y x ππ=+的图象.则以下判断正确的是( )A.p q ∧为真B.p q ∨为假C.()p q ⌝∨为真D.()p q ∧⌝为真11.抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线24y x =的焦点为F ，一条平行于x 轴的光线从点(3,1)M 射出，经过抛物线上的点A 反射后，再经抛物线上的另一点B 射出，则ABM ∆的周长为 ( )A ．712612+ B ．926+ C. 910+ D ．832612+ 12.已知数列{}n a 与{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，且0n a >，2*63,n n S a a n N =+∈，12(21)(21)n n n a n a a b +=--，若*,n n N k T ∀∈>恒成立，则k 的最小值是( ) A ．71 B ．149 C. 49 D ．8441第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22~23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每题5分.13.已知在ABC ∆中，||||BC AB CB =-u u u r u u u r u u u r ，(1,2)AB =u u u r，若边AB 的中点D 的坐标为(3,1)，点C 的坐标为(,2)t ，则t = ．14. 已知*1()()2nx n N x-∈的展开式中所有项的二项式系数之和、系数之和分别为p ，q ，则64p q +的最小值为 ．15. 已知x ，y 满足3,,60,x y t x y π+≤⎧⎪⎪≥⎨⎪≥⎪⎩其中2t π>，若sin()x y +的最大值与最小值分别为1，12，则实数t 的取值范围为 ．16.在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑（bie nao ）.已知在鳖臑M ABC -中，MA ⊥平面ABC ，2MA AB BC ===，则该鳖臑的外接球与内切球的表面积之和为 ． 三、解答题 ：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知函数21()cos 3sin()cos()2f x x x x ππ=+-+-，x R ∈. （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及其图象的对称轴方程；（Ⅱ）在锐角ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()1f A =-，3a =，sin sin b C a A =，求ABC ∆的面积.18. 如图，在四棱锥E ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，其中//,CD AB BC AB ⊥，侧面ABE ⊥平面ABCD ，且222AB AE BE BC CD =====，动点F 在棱AE 上，且EF FA λ=. （1）试探究λ的值，使//CE 平面BDF ，并给予证明； （2）当1λ=时，求直线CE 与平面BDF 所成的角的正弦值.19. 如今我们的互联网生活日益丰富，除了可以很方便地网购，网上叫外卖也开始成为不少人日常生活中不可或缺的一部分.为了解网络外卖在A 市的普及情况，A 市某调查机构借助网络进行了关于网络外卖的问卷调查，并从参与调查的网民中抽取了200人进行抽样分析，得到下表：（单位：人）（Ⅰ）根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为A 市使用网络外卖的情况与性别有关？ （Ⅱ）①现从所抽取的女网民中利用分层抽样的方法再抽取5人，再从这5人中随机选出3人赠送外卖优惠卷，求选出的3人中至少有2人经常使用网络外卖的概率②将频率视为概率，从A 市所有参与调查的网民中随机抽取10人赠送礼品，记其中经常使用网络外卖的人数为X ，求X 的数学期望和方差.参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.参考数据：20()P K k ≥0.050 0.010 0.001 0k3.8416.63510.82820. 已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为点1F ，2F ，其离心率为12，短轴长为23.（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）过点1F 的直线1l 与椭圆C 交于M ，N 两点，过点2F 的直线2l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，且12//l l ，证明：四边形MNPQ 不可能是菱形.21. 已知函数，()(1)(,)xf x e a x b a b R =-+-∈其中e 为自然对数的底数. （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性及极值；（Ⅱ）若不等式()0f x ≥在x R ∈内恒成立，求证：(1)324b a +<. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程为cos ,sin x t y αα=⎧⎨=⎩（0t >，α为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2sin()34πρθ+=.（Ⅰ）当1t =时，求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值； （Ⅱ）若曲线C 上的所有点都在直线l 的下方，求实数t 的取值范围. 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()21|1|f x x x =-++. （Ⅰ）解不等式()3f x ≤；（Ⅱ）记函数()()|1|g x f x x =++的值域为M ，若t M ∈，证明：2313t t t+≥+.衡水金卷2018届全国高三大联考理科参考答案及评分细则一、选择题1-5: CBCBA 6-10:ACDAD 11、12：BB二、填空题13. 1 14. 16 15. 57[,]66ππ16. 2482ππ- 三、解答题17. 解：（1）原式可化为，21()cos 3sin cos 2f x x x =--， 1cos 231sin 2222x x +=--， sin(2)sin(2)66x x ππ=-=--， 故其最小正周期22T ππ==，令2()62x k k Z πππ-=+∈，解得()23k x k Z ππ=+∈，即函数()f x 图象的对称轴方程为，()23k x k Z ππ=+∈. （2）由（1），知()sin(2)6f x x π=--， 因为02A π<<，所以52666A πππ-<-<. 又()sin(2)16f A A π=--=-，故得262A ππ-=，解得3A π=.由正弦定理及sin sin b C a A =，得29bc a ==. 故193sin 24ABC S bc A ∆==. 18.（1）当12λ=时，//CE 平面BDF . 证明如下：连接AC 交BD 于点G ，连接GF . ∵//,2CD AB AB CD =，∴12 CG CD GAAB==.∵12EF FA=，∴12EF CGFA GA==.∴//GF CE.又∵CE⊄平面BDF，GF⊂平面BDF，∴//CE平面BDF.（2）取AB的中点O,连接EO.则EO AB⊥.∵平面ABE⊥平面ABCD，平面ABE I平面ABCD AB=，且EO AB⊥，∴EO⊥平面ABCD.∵//BO CD，且1BO CD==，∴四边形BODC为平行四边形，∴//BC DO.又∵BC AB⊥，∴//AB DO.由,,OA OD OE两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.则(0,0,0)O，(0,1,0)A，(0,1,0)B-，(1,0,0)D，(1,1,0)C-，(0,0,3)E. 当1λ=时，有EF FA=u u u r u u u r，∴可得13(0,,)22F.∴(1,1,0)BD=u u u r，(1,1,3)CE=-u u u r，33(1,,)22BF=u u u r.设平面BDF的一个法向量为(,,)n x y z=r，则有0,0,n BDn BF⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u rr u u u r即0,330,22x yy z+=⎧⎪⎨+=⎪⎩令3z=，得1y=-，1x=.即(1,1,3)n =-r.设CE 与平面BDF 所成的角为θ，则sin |cos |CE n θ=<⋅>=u u u r r |113|1555--+=⨯. ∴当1λ=时，直线CE 与平面BDF 所成的角的正弦值为15. 19.解：（1）由列联表可知2K 的观测值，2()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++2200(50405060) 2.020 2.07211090100100⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯.所以不能在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为A 市使用网络外卖情况与性别有关. （2）①依题意，可知所抽取的5名女网民中，经常使用网络外卖的有6053100⨯=（人）， 偶尔或不用网络外卖的有4052100⨯=（人）. 则选出的3人中至少有2人经常使用网络外卖的概率为2133233355710C C C P C C =+=. ②由22⨯列联表，可知抽到经常使用网络外卖的网民的频率为1101120020=， 将频率视为概率，即从A 市市民中任意抽取1人， 恰好抽到经常使用网络外卖的市民的概率为1120. 由题意得11~(10,)20X B ， 所以1111()10202E X =⨯=；11999()10202040D X =⨯⨯=. 20. 解：（1）由已知，得12c a =，3b =，又222c a b =-， 故解得224,3a b ==，所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=. （2）由（1），知1(1,0)F -，如图，易知直线MN 不能平行于x 轴. 所以令直线MN 的方程为1x my =-，11(,)M x y ，22(,)N x y .联立方程2234120,1,x y x my ⎧+-=⎨=-⎩，得22(34)690m y my +--=， 所以122634m y y m +=+，122934y y m -=+. 此时221212(1)[()]MN m y y y y =++-， 同理，令直线PQ 的方程为1x my =+，33(,)P x y ，44(,)Q x y ，此时342634m y y m -+=+，342934y y m -=+， 此时223434(1)[()4]PQ m y y y y =++-. 故||||MN PQ =.所以四边形MNPQ 是平行四边形.若MNPQ Y 是菱形，则OM ON ⊥，即0OM ON ⋅=u u u u r u u u r，于是有12120x x y y +=. 又1212(1)(1)x x my my =--，21212()1m y y m y y =-++，所以有21212(1)()10m y y m y y +-++=，整理得到22125034m m --=+， 即21250m +=，上述关于m 的方程显然没有实数解， 故四边形MNPQ 不可能是菱形.21.解：（1）由题意得'()(1)xf x e a =-+.当10a +≤，即1a ≤-时，'()0f x >，()f x 在R 内单调递增，没有极值. 当10a +>，即1a >-， 令'()0f x =，得ln(1)x a =+，当ln(1)x a <+时，'()0f x <，()f x 单调递减； 当ln(1)x a >+时，'()0f x >，()f x 单调递增，故当ln(1)x a =+时，()f x 取得最小值(ln(1))1(1)ln(1)f a a b a a +=+--++，无极大值. 综上所述，当1a ≤-时，()f x 在R 内单调递增，没有极值；当1a >-时，()f x 在区间(,ln(1))a -∞+内单调递减，在区间(ln(1),)a ++∞内单调递增，()f x 的极小值为1(1)ln(1)a b a a +--++，无极大值.（2）由（1），知当1a ≤-时，()f x 在R 内单调递增，当1a =-时，(1)3024b a +=<成立. 当1a <-时，令c 为1-和11ba -+中较小的数，所以1c ≤-，且11bc a-≤+.则1x e e -≤，(1)(1)a c b -+≤--+.所以1()(1)(1)0xf c e a c b e b b -=-+-≤---<， 与()0f x ≥恒成立矛盾，应舍去.当1a >-时，min ()(ln(1))f x f a =+=1(1)ln(1)0a b a a +--++≥， 即1(1)ln(1)a a a b +-++≥，所以22(1)(1)(1)ln(1)a b a a a +≤+-++.令22()ln (0)g x x x x x =->，则'()(12ln )g x x x =-.令'()0g x >，得0x e <<，令'()0g x <，得x e >，故()g x 在区间(0,)e 内单调递增， 在区间(,)e +∞内单调递减. 故max ()()ln 2eg x g e e e e ==-=， 即当11a e a e +=⇒=-时，max ()2eg x =. 所以22(1)(1)(1)ln(1)2ea b a a a +≤+-++≤. 所以(1)24b a e+≤.而3e <， 所以(1)324b a +<.22.解：（1）直线l 的直角坐标方程为30x y +-=.曲线C 上的点到直线l 的距离，|cos sin 3|2d αα+-==|2sin()3|42πα+-， 当sin()14πα+=-时，max |23|23222d ++==，即曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值为2322+.（2）∵曲线C 上的所有点均在直线l 的下方，∴对R α∀∈，有cos sin 30t αα+-<恒成立， 即21cos()3t αϕ+-<（其中1tan t ϕ=）恒成立，∴213t +<.又0t >，∴解得022t <<，∴实数t 的取值范围为(0,22).23.解：（1）依题意，得3,1,1()2,1,213,,2x x f x x x x x ⎧⎪-≤-⎪⎪=--<<⎨⎪⎪≥⎪⎩于是得1,()333,x f x x ≤-⎧≤⇔⎨-≤⎩或11,223,x x ⎧-<<⎪⎨⎪-≤⎩或1,233,x x ⎧≥⎪⎨⎪≤⎩解得11x -≤≤.即不等式()3f x ≤的解集为{|11}x x -≤≤.（2）()()|1|g x f x x =++=|21||22|x x -++≥|2122|3x x ---=，当且仅当(21)(22)0x x -+≤时，取等号，∴[3,)M =+∞. 原不等式等价于2331t t t -+-，22233(3)(1)t t t t t t t -+--+==.∵t M ∈，∴30t -≥，210t +>. ∴2(3)(1)0t t t -+≥. ∴2313t t t +≥+.。

绝密★启用前【全国百强校】河北省衡水中学2018届高三第十次模拟考试数学（理）试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．设集合()2{|log 2}A x y x ==-， 2{|320}B x x x =-+<，则A C B =（ ） A. (),1-∞ B. (],1-∞ C. ()2,+∞ D. [)2,+∞ 2．在复平面内，复数2332iz i-++对应的点的坐标为()2,2-，则z 在复平面内对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3．已知ABC ∆中， sin 2sin cos 0A B C +=，则tan A 的最大值是( ) A.B. C. D.4．设(){,|0,01}A x y x m y =<<<<， s 为()1ne +的展开式的第一项（e 为自然对数的底数），m =(),a b A ∈，则满足1ab >的概率是（ ） A.2e B. 2e C. 2e e - D. 1e e-5．函数4lg x x y x=的图象大致是（ ）A. B.C. D.6．已知一个简单几何的三视图如图所示，若该几何体的体积为2448π+，则该几何体的表面积为（ ）A. 2448π+B.C. 4848π+D. 7．已知11717a =， log b = log c =，则a ， b ， c 的大小关系为（ ） A. a b c >> B. a c b >> C. b a c >> D. c b a >> 8．执行如下程序框图，则输出结果为（ ）A. 20200B. 5268.5-C. 5050D. 5151-9．如图，设椭圆E ： 22221(0)x y a b a b+=>>的右顶点为A ，右焦点为F ， B 为椭圆在第二象限上的点，直线BO 交椭圆E 于点C ，若直线BF 平分线段AC 于M ，则椭圆E 的离心率是（ ） A.12 B. 23 C. 13 D. 1410．设函数为定义域为的奇函数，且，当时，，则函数在区间上的所有零点的和为（ ） A. 6 B. 7 C. 13 D. 1411．已知函数()2sin 20191xf x x =++，其中()'f x 为函数()f x 的导数，求()()20182018f f +- ()()'2019'2019f f ++-=（ ）A. 2B. 2019C. 2018D. 012．已知直线l ： ()1y ax a a R =+-∈，若存在实数a 使得一条曲线与直线l 有两个不同的交点，且以这两个交点为端点的线段长度恰好等于a ，则称此曲线为直线l 的“绝对曲线”.下面给出的四条曲线方程：①21y x =--；②()()22111x y -+-=；③2234x y +=；④24y x =. 其中直线l 的“绝对曲线”的条数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题13．已知实数x，y满足220{2401x yx yy x+-≥+-≤≤+，且341x ymx++=+，则实数m的取值范围_______．14．双曲线22221x ya b-=的左右焦点分别为1F、2F，P是双曲线右支上一点，I为12PF F∆的内心，PI交x轴于Q点，若12FQ PF=，且:2:1PIIQ=，则双曲线的离心率e的值为__________．15．若平面向量1e，2e 满足11232e e e=+=，则1e在2e方向上投影的最大值是________．16．观察下列各式：311=；3235=+；337911=++；3413151719=+++；……若()3*m m N∈按上述规律展开后，发现等式右边含有“2017”这个数，则m的值为__________．三、解答题17．已知等差数列中，公差，，且成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）若为数列的前项和，且存在，使得成立，求的取值范围.18．为了解学生寒假期间学习情况，学校对某班男、女学生学习时间进行调查，学习时间按整小时统计，调查结果绘成折线图如下：（1）已知该校有400名学生，试估计全校学生中，每天学习不足4小时的人数.（2）若从学习时间不少于4小时的学生中选取4人，设选到的男生人数为X ，求随机变量X 的分布列.（3）试比较男生学习时间的方差21S 与女生学习时间方差22S 的大小.（只需写出结论）19．如图所示，四棱锥P ABCD -的底面为矩形，已知1PA PB PC BC ====，AB =，过底面对角线AC 作与PB 平行的平面交PD 于E .（1）试判定点E 的位置，并加以证明； （2）求二面角E AC D --的余弦值.20．20．在平面直角坐标平面中， ABC ∆的两个顶点为()()0,1,0,1B C -，平面内两点P 、Q 同时满足：①PA PB PC 0++=；②QA QB QC ==；③PQ//BC ． （1）求顶点A 的轨迹E 的方程； （2）过点)F作两条互相垂直的直线12,l l ，直线12,l l 与点A 的轨迹E 相交弦分别为1122,A B A B ，设弦1122,A B A B 的中点分别为,M N ．②试问：直线MN 是否恒过一个定点？若过定点，请求出该定点，若不过定点，请说明理由．21．已知函数()()ln 11x f x ax +=+.（1）当1a =，求函数()y f x =的图象在0x =处的切线方程； （2）若函数()f x 在()0,1上单调递增，求实数a 的取值范围； （3）已知x ，y ， z 均为正实数，且1x y z ++=，求证()()()()31l n 131l n 111x x y y x y -+-++-- ()()31ln 101z z z -++≤-. 22．[选修4-4：坐标系与参数方程] 在极坐标系中，曲线1C 的极坐标方程是244cos 3sin ρθθ=+，以极点为原点O ，极轴为x 轴正半轴（两坐标系取相同的单位长度）的直角坐标系xOy 中，曲线2C 的参数方程为： {x cos y sin θθ==（θ为参数）.（1）求曲线1C 的直角坐标方程与曲线2C 的普通方程； （2）将曲线2C 经过伸缩变换'{'2x y y==后得到曲线3C ，若M ， N 分别是曲线1C 和曲线3C 上的动点，求MN 的最小值. 23．[选修4-5：不等式选讲] 已知()()21f x x a x a R =--+∈. （1）当1a =时，解不等式()2f x >.（2）若不等式()2112f x x x a +++>-对x R ∈恒成立，求实数a 的取值范围.参考答案1．B 【来源】【全国百强校】河北省衡水中学2018届高三第十次模拟考试数学（理）试题 【解析】A={x |y=log 2（2﹣x ）}={x |x ＜2}， B={x |x 2﹣3x +2＜0}={x |1＜x ＜2}， 则∁A B={x |x ≤1}， 故选：B ． 2．D 【来源】【全国百强校】河北省衡水中学2018届高三第十次模拟考试数学（理）试题 【解析】设z=x +yi ()y R x ∈，，()22323ix yi i x yi x 122i 3232i i z y i i i---+=++=-++=+-=-++， ∴x 21y ==-，∴z 在复平面内对应的点位于第四象限 故选：D ．3．A 【来源】【全国百强校】河北省邢台市第二中学2018届高三上学期第一次月考（开学考试）数学（理）试题【解析】∵2020sinA sinBcosC sin B C sinBcosC +=∴++=，（）， ∴3000sinBcosC cosBsinC cosC cosB +=≠≠，，．化为3tanB tanC =-．可得：B 为锐角，C 为钝角．，当且仅当∴tanA 故选A点睛：本题考查了三角形内角和定理、诱导公式、和差公式、基本不等式的性质，属于综合题是三角和不等式的结合. 4．C 【来源】【全国百强校】河北省衡水中学2018届高三第十次模拟考试数学（理）试题【解析】由题意，s=0n n n C e e =，∴，则A={（x ，y ）|0＜x ＜m ，0＜y ＜1}={（x ，y ）|0＜x ＜e ，0＜y ＜1}，画出A={（x ，y ）|0＜x ＜e ，0＜y ＜1}表示的平面区域，任取（a ，b ）∈A ，则满足ab ＞1的平面区域为图中阴影部分， 如图所示：计算阴影部分的面积为S 阴影=111dx ex ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎰=（x ﹣lnx ）| 1e =e ﹣1﹣lne +ln1=e ﹣2．所求的概率为P=2S e S e-=阴影矩形， 故选：C ．5．D【来源】【全国百强校】河北省衡水中学2018届高三第十次模拟考试数学（理）试题 【解析】函数y=4lg x x x是偶函数，排除B ．当x=10时，y=1000，对应点在x 轴上方，排除A ，当x ＞0时，y=x 3lgx ，y ′=3x 2lgx +x 2lge ，可知x=1e是函数的一个极值点，排除C ．故选：D ．6．D 【来源】【全国百强校word 】河北省武邑中学2017届高三下学期一模考试数学（理）试题 【解析】该几何体是一个棱锥与四分之一的圆锥的组合体，其表面积为2r =，所以，故选D ．7．A 【来源】【全国百强校】河北省衡水中学2018届高三第十次模拟考试数学（理）试题 【解析】由题易知：11716171111171log log 171log log 1602222a b c ⎛⎫⎛⎫=>==∈==∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，∴a b c >>故选：A点睛：利用指数函数对数函数及幂函数的性质比较实数或式子的大小，一方面要比较两个实数或式子形式的异同，底数相同，考虑指数函数增减性，指数相同考虑幂函数的增减性，当都不相同时，考虑分析数或式子的大致范围，来进行比较大小，另一方面注意特殊值0,1的应用，有时候要借助其“桥梁”作用，来比较大小． 8．C 【来源】【全国百强校】河北省衡水中学2018届高三第十次模拟考试数学（理）试题 【解析】由题意得： ()2S S 1kk =+-则输出的S=2222222123459899100-+-+-++-+50S 371119920022=++++=⨯= 5050. 故选：C 9．C 【来源】【全国百强校】河北省衡水中学2018届高三第十次模拟考试数学（理）试题 【解析】如图，设AC 中点为M ，连接OM ，则OM 为△ABC 的中位线， 于是△OFM ∽△AFB ，且OF OM 1FAAB2==， 即c c a -=12可得e=c a =13． 故答案为： 13．点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程或不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式，建立关于a ，b ，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等. 10．A 【来源】【全国百强校word 】贵州省贵阳市第一中学2017届高三下学期第六次适应性考试数学（理）试题【解析】由题意，函数，，则，可得，即函数的周期为4，且的图象关于直线对称．在区间上的零点，即方程的零点，分别画与的函数图象，两个函数的图象都关于直线对称，方程的零点关于直线对称，由图象可知交点个数为6个，可得所有零点的和为6，故选A ．点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等． 11．A 【来源】【全国百强校】河北省衡水中学2018届高三第十次模拟考试数学（理）试题 【解析】由题意易得： ()() 2f x f x +-= ∴函数()f x 的图象关于点()0,1中心对称， ∴()()201820182f f +-=由()() 2f x f x +-=可得()()1?10f x f x -+--= ∴()y 1f x =-为奇函数，∴()y 1f x =-的导函数为偶函数，即()y 'f x =为偶函数，其图象关于y 轴对称， ∴()()'2019'20190f f +-=∴()()20182018f f +- ()()'2019'20192f f ++-=故选：A 12．C 【来源】【全国百强校】河北省衡水中学2018届高三第十次模拟考试数学（理）试题 【解析】由y=ax +1﹣a=a （x ﹣1）+1，可知直线l 过点A （1，1）．对于①，y=﹣2|x ﹣1|，图象是顶点为（1，0）的倒V 型，而直线l 过顶点A （1，1）．所以直线l 不会与曲线y=﹣2|x ﹣1|有两个交点，不是直线l 的“绝对曲线”； 对于②，（x ﹣1）2+（y ﹣1）2=1是以A 为圆心，半径为1的圆，所以直线l 与圆总有两个交点，且距离为直径2，所以存在a=±2，使得圆（x ﹣1）2+（y ﹣1）2=1与直线l 有两个不同的交点，且以这两个交点为端点的线段的长度恰好等于|a |．所以圆（x ﹣1）2+（y ﹣1）2=1是直线l 的“绝对曲线”；对于③，将y=ax +1﹣a 代入x 2+3y 2=4，得（3a 2+1）x 2+6a （1﹣a ）x +3（1﹣a ）2﹣4=0．x 1+x 2=()26131a a a -+, x 1x 2=()2231431a a --+．若直线l 被椭圆截得的线段长度是|a |，则()()()22222261314143131a a a a a a a ⎡⎤⎛⎫---⎢⎥=+- ⎪++⎢⎥⎝⎭⎣⎦化简得222262131a a a a +⎛⎫= ⎪++⎝⎭．令f （a ）=222262131a a a a +⎛⎫- ⎪++⎝⎭．f （1）0<，f （3）0>．所以函数f （a ）在（1，3）上存在零点，即方程222262131a a a a +⎛⎫= ⎪++⎝⎭有根．而直线过椭圆上的定点（1，1），当a ∈（1，3）时满足直线与椭圆相交． 故曲线x 2+3y 2=4是直线的“绝对曲线”． 对于④将y=ax +1﹣a 代入24y x =.把直线y=ax+1-a 代入y 2=4x 得a 2x 2+（2a-2a 2-4）x+（1-a ）2=0，∴x 1+x 2=2222a 4a a -+，x 1x 2=()221a a -． 若直线l 被椭圆截得的弦长是|a|，则a 2=（1+a 2）[（x 1+x 2）2-4x 1x 2]=（1+a 2）()22222122a 44a a a a ⎡⎤-⎛⎫-+⎢⎥- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦化为a 6-16a 2+16a-16=0，令f （a ）=a 6-16a 2+16a-16，而f （1）=-15<0，f （2）=16>0．∴函数f （a ）在区间（1，2）内有零点，即方程f （a ）=0有实数根，当a ∈（1，2）时，直线满足条件，即此函数的图象是“绝对曲线”． 综上可知：能满足题意的曲线有②③④． 故选：C ．点睛：本题以新定义“绝对曲线”为背景，重点考查了二次曲线弦长的度量问题，本题综合性较强，需要函数的零点存在定理作出判断. 13．[]2,7【来源】【全国百强校】河北省衡水中学2018届高三第十次模拟考试数学（理）试题 【解析】如图，作出可行域：3411311x y y m x x +++==+++，11y x ++表示可行域上的动点与定点()11--，连线的斜率， 显然最大值为2A k =，最小值为13B k =∴[]1132,71y m x +=+∈+ 故答案为： []2,7点睛：本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得. 14．32【来源】【全国百强校】河北省衡水中学2018届高三第十次模拟考试数学（理）试题 【解析】可设|PF 1|=m ，|PF 2|=n ，|F 1F 2|=2c ， 由I 为△PF 1F 2的内心，可得1PI IQ mQF ==2， 则|QF 1|=12m ， 若|F 1Q |=|PF 2|=12m ， 又PQ 为∠F 1PF 2的角平分线，可得121222m QF mQF n c m ==-， 则n=4c ﹣m ，又m ﹣n=2a ，n=12m ，解得m=4a ，n=2a ， 222a a c -=2，即c=32a ，则e=c a =32．故答案为： 32．15．【来源】【全国百强校】河北省衡水中学2018届高三第十次模拟考试数学（理）试题 【解析】由11232e e e =+=可得： 12211222{ 964e e e e e =++=∴21224366cos θe e e =++1e 在2e 方向上投影为221222321321cos θ6636e e e e e ⎛⎫-- ⎪==-+≤-⨯=- ⎪⎝⎭故最大值为： 16．45 【来源】【全国百强校】河北省衡水中学2018届高三第十次模拟考试数学（理）试题 【解析】由题意可得第n 个式子的左边是n 3，右边是n 个连续奇数的和， 设第n 个式子的第一个数为a n ，则有a 2﹣a 1=3﹣1=2， a 3﹣a 2=7﹣3=4，…a n ﹣a n ﹣1=2（n ﹣1），以上（n ﹣1）个式子相加可得a n ﹣a 1=()()12212n n ⎡⎤-+-⎣⎦，故a n =n 2﹣n +1，可得a 45=1981，a 46=2071， 故可知2017在第45个式子， 故答案为：4517．(1) (2)【来源】【百强校】2015届湖北省武汉华中师大附中高三5月考试文科数学试卷（带解析）【解析】试题分析：（1）由题意可得解得即可求得通项公式；(2),裂项相消求和，因为存在，使得成立，所以存在，使得成立，即存在，使得成立.求出的最大值即可解得的取值范围.试题解析：（1）由题意可得即又因为，所以所以.（2）因为，所以.因为存在，使得成立，所以存在，使得成立，即存在，使得成立.又（当且仅当时取等号）.所以，即实数的取值范围是.18．(1)240人(2)见解析（3）2212s s 【来源】【全国百强校】河北省衡水中学2018届高三第十次模拟考试数学（理）试题 【解析】试题分析：（1）根据题意，由折线图分析可得20名学生中有12名学生每天学习不足4小时，进而可以估计校400名学生中天学习不足4小时的人数；（2）学习时间不少于4本的学生共8人，其中男学生人数为4人，故X 的取值为0，1，2，3，4；由古典概型公式计算可得X=0，1，2，3，4的概率，进而可得随机变量X 的分布列；（3）根据题意，分析折线图，求出男生、女生的学习时间方差，比较可得答案．试题解析：（1）由折线图可得共抽取了20人，其中男生中学习时间不足4小时的有8人，女生中学习时间不足4小时的有4人.∴可估计全校中每天学习不足4小时的人数为： 1240024020⨯=人. （2）学习时间不少于4本的学生共8人，其中男学生人数为4人，故X 的所有可能取值为0， 1， 2， 3， 4.由题意可得()44480C P X C == 170=；()1344481C CP X C == 1687035==； ()2244482C C P X C == 36187035==； ()3144483C CP X C == 1687035==； ()44484C P X C == 170=. 所以随机变量X 的分布列为∴均值116017070EX =⨯+⨯ 3616237070+⨯+⨯ 14270+⨯=. （3）由折线图可得2212s s >.19．(1) E 为PD 的中点，见解析 【来源】【全国百强校】河北省衡水中学2018届高三第十次模拟考试数学（理）试题 【解析】试题分析：（1）由//PB 平面AEC 得到//PB OE ，结合O 为BD 的中点，即可得到答案；（2）求出平面EAC 的法向量和平面DAC 的法向量，由此利用向量法能求出二面角E AC D --的平面角的余弦值． 试题解析：（1）E 为PD 的中点，证明如下：连接OE ，因为//PB 平面AEC ，平面PBD ⋂平面AEC OE =， PB ⊄平面AEC ，所以//PB OE ，又O 为BD 的中点，所以E 为PD 的中点. （2）连接PO ，因为四边形ABCD 为矩形，所以OA OC =.因为PA PC =，所以PO AC ⊥.同理，得PO BD ⊥，所以PO ⊥平面ABCD ，以O 为原点， OP 为z 轴，过O 平行于AD 的直线为x 轴，过O 平行于CD 的直线为y 轴建立空间直角坐标系（如图所示）.易知1,2A ⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭，12B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，12C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，1,2D ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭， 10,0,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，11,,444E ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，则11,,444EA ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，1,,022OA ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭. 显然， OP 是平面ACD 的一个法向量.设()1,,n x y z =是平面ACE 的一个法向量，则110{ 0n EA n OA ⋅=⋅=，即110444{ 1022x y z x y --=-=，取1y =， 则(12,1,2n =，所以1cos ,n OP 11n OP n OP⋅=11=所以二面角EAC D --的余弦值为点睛：(1)求解本题要注意两点：一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想进行向量运算，要认真细心，准确计算．(2)设m ，n 分别为平面α，β的法向量，则二面角θ与<m ，n >互补或相等.求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．20．（1）()22103x y x +=≠；（2）①S 的最小值的32，②直线MN 恒过定点4⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭． 【来源】【全国百强校】四川省成都市树德中学2017-2018学年高二12月月考数学（理）试题【解析】试题分析：（1）由0PA PB PC ++=可得P 为ABC ∆的重心，设(),A x y ，则,33x y P ⎛⎫⎪⎝⎭，再由QA QB QC ==，可得Q 为ABC ∆的外心， Q 在x 轴上，再由PQ ∥BC ，可得,03x Q ⎛⎫⎪⎝⎭，结合QA QC =即可求得顶点A的轨迹E 的方程；（2）)F恰为2213x y +=的右焦点．当直线1l ， 2l 的斜率存在且不为0时，设直线1l 的方程为my x =联立直线方程与椭圆方程，化为关于y 的一元二次方程，利用根与系数的关系求得A B 、的纵坐标得到和与积．①根据焦半径公式得11A B 、22A B ，代入四边形面积公式，再由基本不等式求得四边形1212A A B B 面积S 的最小值；②根据中点坐标公式得M N 、的坐标，得到直线MN 的方程，化简整理令0y =解得x 值，可得直线MN 恒过定点；当直线1l ， 2l 有一条直线的斜率不存在时，另一条直线的斜率为0，直线MN 即为x 轴，过点（⎫⎪⎪⎝⎭.试题解析：（1）∵2PA PB PO += ∴由①知2PC PO =- ∴P 为ABC ∆的重心 设(),A x y ，则,33x y P ⎛⎫⎪⎝⎭，由②知Q 是ABC ∆的外心∴Q 在x 轴上由③知,03x Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由QC QA =，得=理得： ()22103x y x +=≠．（2）解： )F恰为2213x y +=的右焦点，①当直线12,l l 的斜率存且不为0时，设直线1l 的方程为my x =由()2222{310 330my x m y x y =⇒++-=+-=，设()()111122,,,A x y B x y 则1212221,33y y y y m m --+==++，①根据焦半径公式得)1112A B x x =+，又()121212x x my my m y y +=++=++=+=，所以11A B==同理)2222221111313mmA Bmm⎫+⎪+⎝⎭==++，则()()()()()22222222113662331412m mSm m m++=≥=++⎛⎫+⎪⎪⎝⎭，当22331m m+=+，即1m=±时取等号．②根据中点坐标公式得M⎝⎭，同理可求得N⎝⎭，则直线MN的斜率为()2431MNmkm==-，∴直线MN的方程为()2431my xm⎛=-⎝⎭，整理化简得()()4323463490ym x m ym x m y+++-=，令0y=，解得4x=∴直线MN恒过定点4⎛⎫⎪⎪⎝⎭，②当直线12,l l有一条直线斜率不存在时，另一条斜率一定为0，直线MN即为x轴，过点4⎛⎫⎪⎪⎝⎭，综上，S的最小值的32，直线MN恒过定点4⎛⎫⎪⎪⎝⎭．点睛：（1）在圆锥曲线中研究范围，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值.在利用代数法解决最值与范围问题时，常从以下方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的关键是两个参数之间建立等量关系；③利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；④利用基本不等式求出参数的取值范围；⑤利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围.（2）定点的探索与证明问题：①探索直线过定点时，需考虑斜率存在不存在，斜率存在可设出直线方程，然后利用条件建立等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点；②从特殊情况入手，先探求定点再证明与变量无关. 21．(1) y x = (2) 11,2ln21⎡⎤-⎢⎥-⎣⎦(3)见解析【来源】【全国百强校】河北省衡水中学2018届高三第十次模拟考试数学（理）试题 【解析】试题分析：1）求导函数，可得切线的斜率，求出切点的坐标，可得函数y=f （x ）的图象在x=0处的切线方程；（2）先确定﹣1≤a ＜0，再根据函数f （x ）在（0，1）上单调递增，可得f ′（x ）≥0在（0，1）上恒成立，构造()x ϕ=（x +1）ln （x +1）﹣x ，证明h （x ）在（0，1）上的值域为（0，2ln2﹣1），即可求实数a 的取值范围； （3）由（2）知，当a=﹣1时， ()()ln 11x f x x+=-在（0，1）上单调递增，证明()()31x f x - ()3431ln 23x ≥-⋅，即()()31ln 11x x x -+- ()3331ln 24x ≤-⋅，从而可得结论．试题解析：（1）当1a =时， ()()ln 11x f x x +=+则()00f =，()()()21ln 1'1x f x x -+=+则()'01f =，∴函数()y f x =的图象在0x =时的切线方程为y x =.（2）∵函数()f x 在()0,1上单调递增，∴10ax +=在()0,1上无解， 当0a ≥时， 10ax +=在()0,1上无解满足， 当0a <时，只需1010a a +≥⇒-≤<，∴1a ≥-①()()()21ln 11'1ax a x x f x ax +-++=+， ∵函数()f x 在()0,1上单调递增，∴()'0f x ≥在()0,1上恒成立， 即()()1ln 11a x x x ⎡⎤++-≤⎣⎦在()0,1上恒成立.设()()()11x x ln x ϕ=++ ()()()'ln 11x x x x ϕ-=+++， ()11ln 11x x ⋅-=++， ∵()0,1x ∈，∴()'0x ϕ>，则()x ϕ在()0,1上单调递增，∴()x ϕ在()0,1上的值域为()0,2ln21-.∴()()11ln 1a x x x ≤++-在()0,1上恒成立，则12ln21a ≤-② 综合①②得实数a 的取值范围为11,2ln21⎡⎤-⎢⎥-⎣⎦. （3）由（2）知，当1a =-时， ()()ln 11x f x x +=-在()0,1上单调递增， 于是当103x <≤时， ()()ln 11x f x x +=- 134ln 323f ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭， 当113x ≤<时， ()()ln 11x f x x +=- 134ln 323f ⎛⎫≥= ⎪⎝⎭， ∴()()31x f x - ()3431ln 23x ≥-⋅，即()()31ln 11x x x -+- ()3331ln 24x ≤-⋅， 同理有()()31ln 11y y y -+- ()3331ln 24y ≤-⋅， ()()31ln 11z z z -+- ()3331ln 24z ≤-⋅， 三式相加得()()31ln 11x x x -+- ()()31ln 11y y y -++- ()()31ln 101z z z -++≤-.22．(1) 43240x y +-= 221x y += (2)245- 【来源】【全国百强校】河北省衡水中学2018届高三第十次模拟考试数学（理）试题【解析】试题分析：（1）根据x=ρcos θ，y=ρsin θ求出C 1，C 2的直角坐标方程即可；（2）求出C 3的参数方程，根据点到直线的距离公式计算即可．试题解析：（1）∵1C 的极坐标方程是244cos 3sin ρθθ=+，∴4cos 3sin 24ρθρθ+=，整理得43240x y +-=，∴1C 的直角坐标方程为43240x y +-=.曲线2C ： { x cos y sin θθ==，∴221x y +=，故2C 的普通方程为221x y +=.（2）将曲线2C经过伸缩变换'{ '2x y y==后得到曲线3C 的方程为22''184x y +=，则曲线3C的参数方程为{ 2x y sin αα==（α为参数）.设(),2N sin αα，则点N 到曲线1C 的距离为34d== ()245αϕ-+= tan ϕ⎛=⎝⎭. 当()sin 1αϕ+=时， d ，所以MN . 23．(1) ()2,4,3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭ (2) 1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭【来源】【全国百强校】河北省衡水中学2018届高三第十次模拟考试数学（理）试题【解析】试题分析：（1）把原不等式转化为三个不等式组，分别求解集，最后求并集即可；（2）不等式()2112f x x x a +++>-对x R ∈恒成立，即求()1f x x x +++的最小值，结合函数的单调性即可.试题解析：（1）当1a =时，等式()2f x >，即2112x x --+>，等价于1{ 1212x x x <--++>或11{ 21212x x x -≤≤--->或1{ 22112x x x >--->， 解得23x <-或4x >， 所以原不等式的解集为()2,4,3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭； （2）设()()1g x f x x x =+-+ 2x a x =-+，则(),2{ 3,2aa x x f x a x a x -≤=->， 则()f x 在,2a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上是减函数，在,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上是增函数，∴当2a x =时， ()f x 取最小值且最小值为22a a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭， ∴2122a a >-，解得112a -<<，∴实数a 的取值范围为1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭. 点睛：|x －a |＋|x －b |≥c (或≤c )(c ＞0)，|x －a |－|x －b |≤c (或≤c )(c ＞0)型不等式的解法 可通过零点分区间法或利用绝对值的几何意义进行求解．①令每个绝对值符号的代数式为零，并求出相应的根；②将这些根按从小到大排列，把实数集分为若干个区间；③由所分区间去掉绝对值符号得若干个不等式，解这些不等式，求出解集；④取各个不等式解集的并集就是原不等式的解集．。

河北衡水中学2018 年高考押题试卷理数试卷第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12 个小题，每小题 5 分，共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合A { x | x2 x 6 0, x Z} ，B { z | z x y , x A, y A}，则 AI B （）A．{0,1} B ． {0,1, 2} C ． {0,1,2,3} D ． { 1,0,1,2}2. 设复数z满足1z 2 i ，则 |1| （）1 i zA． 5 B ．1C ． 5D ． 55 5 253. 若cos( ) 1 ，(0, ) ，则sin 的值为（）34 2A．42 B ．42 C ．7D ． 26 6 18 34. 已知直角坐标原点O 为椭圆 C ：x2y2 1(a b 0) 的中心， F1， F2为左、右焦点，在区间a2 b2取一个数 e ，则事件“以 e 为离心率的椭圆 C 与圆 O ：x2 y2 a2 b2没有交点”的概率为（A． 2 B ．42 C ． 2 D ．224 4 2 25. 定义平面上两条相交直线的夹角为：两条相交直线交成的不超过90o的正角.已知双曲线E：x2 y21(a 0, b 0) ，当其离心率 e [ 2, 2] 时，对应双曲线的渐近线的夹角的取值范围为（a2 b2A．[0, ] B ． [ , ] C ． [ , ] D ． [ , ]6 6 3 4 3 3 26. 某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为 3 2 ，则它的表面积是（）(0, 2) 任））A ．(3 133)22 2B．(3 133)222242 C ．1322D． 1322247. 函数 y sin x ln x 在区间 [ 3,3] 的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．8. 二项式 (ax1)n (a 0, b 0) 的展开式中只有第 6 项的二项式系数最大， 且展开式中的第 3 项的系数是bx第 4 项的系数的 3 倍，则 ab 的值为（ ）A ． 4B． 8C． 12D． 16 9. 执行如图的程序框图，若输入的x 0 ， y 1 ， n 1 ，则输出的 p 的值为（）A ． 81B． 81C． 81D． 8124810. 已知数列 a 1 1， a 2 2 ，且 a n 2 a n 22( 1)n ， n N * ，则 S 2017 的值为（）A ． 2016 10101 B． 10092017C ．2017 1010 1D． 1009 201611. 已知函数 f ( x)Asin( x ) ( A0,0,) 的图象如图所示，令 g( x) f ( x) f '( x) ，则下2列关于函数 g( x) 的说法中不正确的是（）A ．函数 g( x) 图象的对称轴方程为 x k(k Z )12B ．函数 g( x) 的最大值为 2 2C．函数g( x)的图象上存在点P，使得在P 点处的切线与直线l ：y 3x 1 平行D．方程g( x) 2 的两个不同的解分别为x1， x2，则x1x2 最小值为212. 已知函数f ( x) ax3 3x2 1 ，若 f (x) 存在三个零点，则 a 的取值范围是（）A．( , 2) B ． ( 2,2) C ．(2, ) D．( 2,0) U (0,2)第Ⅱ卷二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13.r r r r r r向量 a (m, n) ，b ( 1,2) ，若向量 a ， b 共线，且a 2 b ，则 mn 的值为．14. 设点 M 是椭圆x2y2 1(a b 0) 上的点，以点M为圆心的圆与 x 轴相切于椭圆的焦点F，圆M a2 b2与 y 轴相交于不同的两点15. 设x，y满足约束条件P、Q，若PMQ 为锐角三角形，则椭圆的离心率的取值范围为．2x y 3 0x 2 y 2 0 ，则y的取值范围为．2x y 2x16. 在平面五边形ABCDE中，已知 A 120o， B 90o， C 120o， E 90o，AB 3， AE 3 ，当五边形 ABCDE 的面积S [6 3,9 3) 时，则BC 的取值范围为．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知数列{ a n } 的前 n 项和为S n ，a 1 ， 2S S 1(n 2, n N * ) .n n 11 2（ 1）求数列{ a n}的通项公式；（2）记b n log 1 a n (n N * ) ，求{ 1 } 的前 n 项和 T n.2 bnbn 118. 如图所示的几何体ABCDEF 中，底面 ABCD 为菱形， AB 2a ，ABC120o，AC与BD相交于O 点，四边形BDEF 为直角梯形，DE / / BF ， BD DE ，DE2BF 2 2a ，平面BDEF底面ABCD .（ 1）证明：平面AEF 平面AFC ；（ 2）求二面角 E AC F 的余弦值.19.某校为缓解高三学生的高考压力，经常举行一些心理素质综合能力训练活动，经过一段时间的训练后从该年级 800名学生中随机抽取100名学生进行测试，并将其成绩分为 A 、 B 、 C 、 D 、 E 五个等级，统计数据如图所示（视频率为概率），根据以上抽样调查数据，回答下列问题：（ 1）试估算该校高三年级学生获得成绩为 B 的人数；（ 2）若等级 A 、 B 、 C 、 D 、 E 分别对应 100分、 90 分、 80分、 70 分、 60 分，学校要求平均分达90 分以上为“考前心理稳定整体过关”，请问该校高三年级目前学生的“考前心理稳定整体”是否过关？（ 3）为了解心理健康状态稳定学生的特点，现从 A 、B 两种级别中，用分层抽样的方法抽取11个学生样本，再从中任意选取 3 个学生样本分析，求这 3 个样本为 A 级的个数的分布列与数学期望.20. 已知椭圆C：x2y2 1(a b 0) 的离心率为2，且过点 P( 2 , 3 )，动直线l： y kx m 交a 2 b2 2 2 2椭圆 C 于不同的两点uuur uuur0 （O为坐标原点）. A， B，且OA OB（ 1）求椭圆C的方程 .（ 2）讨论3m22k2是否为定值？若为定值，求出该定值，若不是请说明理由.21. 设函数f (x) a2 ln x x2 ax(a R) .（ 1）试讨论函数 f ( x) 的单调性；（ 2）设( x) 2x (a2 a)ln x ，记 h( x) f (x) ( x) ，当a 0时，若方程h(x) m(m R) 有两个不相等的实根 x1， x2，证明 h '( x1x2 ) 0 . 2请考生在 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号.22. 选修 4-4 ：坐标系与参数方程在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1x 3 cost（ t 为参数， a 0 ），在以坐标原点为极点，x 轴的非负：2 sin ty半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：4sin .（ 1）试将曲线C1与C2化为直角坐标系xOy 中的普通方程，并指出两曲线有公共点时 a 的取值范围；（ 2）当a 3时，两曲线相交于A， B两点，求AB .23.选修 4-5 ：不等式选讲已知函数 f ( x) 2x 1 x 1 .（ 1）在下面给出的直角坐标系中作出函数y f (x) 的图象，并由图象找出满足不等式 f (x) 3 的解集；（ 2）若函数y f (x) 的最小值记为 m ，设 a, b R ，且有 a2 b2 m ，试证明： 11 b2 4 18 .a 2 1 7参考答案及解析理科数学（Ⅱ）一、选择题1-5: BCAAD 6-10: AABCC 11、 12： CD二、填空题13.814.62 2 e5 1 15.[2,7] 16.[ 3,3 3)25 4三、解答题17. 解：（ 1）当 n2 时，由 2S n S n11 及 a 11，2 得 2S 2 S 1 1 ，即 2a 1 2a 21 a 1 1，解得 a .24又由 2S n S n 1 1 ，①可知 2S n1S n 1 ，②② - ①得 2a n 1 a n ，即a n 1 1(n 2) .a n2且 n1时，a 21 1 为首项，1 为公比的等比数列，故1 *) .a 1适合上式，因此数列 { a n } 是以2 a nn ( nN222（ 2）由（ 1）及 b nlog 1 a n (nN *)，2可知 b nlog 1 (1 )n n ，2 2所以1111 ，b nbn 1n(n 1) n n 1 故 T n1 1 1[(1 1) (11)(1 1)]11 n .b n b 2 b 2 b 3b n b n 12 23 n n 1n 1 n 118. 解：（ 1）因为底面 ABCD 为菱形，所以 AC BD ，又平面 BDEF 底面 ABCD ，平面 BDEF I 平面 ABCD BD ，因此 AC 平面 BDEF ，从而 AC EF .又 BD DE ，所以 DE 平面 ABCD ，由 AB2a ， DE 2BF2 2a ，ABC 120o ，可知 AF4a 2 2a 26a ， BD 2a ，EF4a 2 2a 26a ， AE 4a 2 8a 22 3a ，从而 AF 2 FE 2 AE 2 ，故 EF AF .又AFI AC A ，所以 EF平面 AFC .又 EF平面 AEF ，所以平面 AEF 平面 AFC .（ 2）取 EF 中点 G ，由题可知 OG / /DE ，所以 OG平面 ABCD ，又在菱形 ABCD 中， OA OB ，所uuur uuur uuurO xyz （如图示）， 以分别以 OA ， OB ， OG 的方向为 x ， y ， z 轴正方向建立空间直角坐标系则 O (0,0,0) ， A( 3a,0,0) ， C (3a,0,0) ， E(0, a, 2 2a) ， F (0, a,2a) ，uuur (0, a, 2 2a) ( 3a,0,0) ( 3a, a,22a)所以 AE ，uuur (3a,0,0)( 3a,0,0)( 2 3a,0,0)uuur(0, a, 2a) (0, a, 2 2a) (0, 2a, 2a) .AC ， EF 由（ 1）可知 EFuuur(0, 2a,2a) .平面 AFC ，所以平面 AFC 的法向量可取为 EFr (x, y, z) ，设平面 AEC 的法向量为 nr uuur 0n AE3x y 2 2z 0 ，即 y 2 2z，令 z2 ，得 y4 ，则 r uuur 0 ，即n AC x 0 x 0r (0, 4, 2) .所以 n r uuur r uuur 6a 3从而 cos n EF.n, EF r uuur 6 3a 3n EF故所求的二面角E ACF 的余弦值为3 .319. 解：（ 1）从条形图中可知这 100人中，有 56 名学生成绩等级为 B ，所以可以估计该校学生获得成绩等级为B 的概率为5614 ，100 25则该校高三年级学生获得成绩为B 的人数约有 800 14 448 .1(32 100 25（ 2）这 100 名学生成绩的平均分为56 90 780 3 70 2 60) 91.3 ，100因为 91.3 90 ，所以该校高三年级目前学生的“考前心理稳定整体”已过关.（ 3）由题可知用分层抽样的方法抽取11A 级 4 个，B 级 7 个，从而任意选取 3 个，这 3个学生样本，其中个为 A级的个数的可能值为 0 1 2 ， 3 .， ，则P(0)C 40C 7371) C 41C 7228C 113， P(C 113，3355 P(C 42 C 71 14 ， P(C 43C 704 .2)55 3)C 113165C 113因此可得的分布列为：123P7 28 144335555165则E( ) 071 28 14 3412 .33255165115520. 解：（ 1）由题意可知 c2 ，所以 a 2 2c 22( a 2 b 2 ) ，即 a 2 2b 2 ，①a2又点 P(2 , 3) 在椭圆上，所以有2 31 ，②224a 24b 2由①②联立，解得 b 21， a 22 ，故所求的椭圆方程为x 2 y 21.2uuur uuur（ 2）设A( x 1, y 1 ) ， B( x 2 , y 2 ) ，由 OA OB，可知 x 1 x 2y 1 y 2 0 .y kx m 联立方程组x 2y 2，12消去 y 化简整理得 (1 2k 2 ) x 2 4kmx 2m 22 0 ，由16k 2m 28(m 2 1)(1 2k 2 )0，得 1 2k 2m 2 ，所以 x 1 x 21 4km ， x 1 x2 2m 2 2 ，③2k 2 1 2k 2又由题知 x 1x 2 y 1 y 2 0 ，即 x 1 x 2(kx 1 m)( kx 2 m) 0，整理为 (1 k 2 ) x 1 x 2 km(x 1 x 2 ) m 2 0 .将③代入上式，得 (1k2 )2m 22 km 4km m 2 0 .1 2k2 1 2k 2化简整理得 3m2 2 2k 2 0 ，从而得到 3m2 2k 2 2 .1 2k 221. 解：（ 1）由f (x) a2 ln x x2 ax ，可知 f '(x) a2 2x a 2x2 ax a2 (2 x a)( x a) .x x x因为函数 f ( x) 的定义域为 (0, ) ，所以，①若 a 0 时，当 x (0, a) 时， f '( x) 0 ，函数 f ( x) 单调递减，当 x ( a, ) 时， f '( x) 0 ，函数 f ( x) 单调递增；②若 a 0 时，当 f '( x) 2x 0 在 x (0, ) 内恒成立，函数 f ( x) 单调递增；③若 a 0 时，当 x (0, a) 时， f '( x) 0 ，函数 f ( x) 单调递减，当 x ( a , ) 时， f '( x) 0 ，函2 2数 f ( x) 单调递增.（ 2）证明：由题可知h( x) f (x) (x) x2 (2 a)x a ln x( x 0) ，所以 h '(x) 2x (2 a)a 2x2 (2 a) x a (2 x a)( x 1)x x .x 所以当 x欲证 h '( x 1x1x2 2(0,a) 时， h '( x) 0 ；当 x (a, ) 时， h '( x) 0 ；当 x a 时， h '(a) 0 .2 2 2 2x2 ) 0 ，只需证 h '(x1x2 ) h '(a) ，又 h ''(x) 2 a 0 ，即 h '( x) 单调递增，故只需证明2 2 2 x2a.2设 x1， x2是方程 h(x) m 的两个不相等的实根，不妨设为0 x1 x2，x12 (2 a)x1 a ln x1 m则，x22 (2 a) x2 a ln x2 m两式相减并整理得a( x1 x2 ln x1 ln x2 ) x12 x2 2 2x1 2x2，从而a x12 x22 2x1 2x2 ，x1 x2 ln x1 ln x2x x x 2 x 2 2x 2x2故只需证明 1 2 1 2 1 ，2 2(x1 x2 ln x1 ln x2 )即 x1 x2 x12 x22 2x1 2x2.x1 x2 ln x1 ln x2因为 x1 x2 ln x1 ln x2 0 ，所以 (*) 式可化为 ln x1 ln x2 2 x1 2x2 ，x1 x2即 lnx 12x12x 2 . x 2x 1 1x 2因为 0x 1 x 2 ，所以 0x 1 1 ，x 2不妨令 tx 1 ，所以得到 ln t 2t2， t (0,1) .x 2 t1设 R(t)ln t2t 2 ， t1 4(t 1)2 0，当且仅当 t1 时，等号成立，(0,1) ，所以 R '(t )(t 1)2t (t 1)2t 1t因此 R(t ) 在 (0,1) 单调递增 .又 R(1) 0，因此 R(t ) 0 ， t (0,1) ，故 ln t2t 2， t (0,1) 得证，t 1从而 h '(x 1 x 2) 0 得证 .222. 解：（ 1）曲线 C 1 ： x3cost，消去参数 t 可得普通方程为 (x3)2 ( y 2) 2a 2 .y2 sin t曲线 C 2： 4sin ，两边同乘. 可得普通方程为x 2 ( y 2)24 .把 ( y 2) 2 4 x 2 代入曲线 C 1 的普通方程得： a 2 ( x 3)2 4 x 213 6x ，而对 C 2 有 x 2 x 2 ( y 2) 24 ，即 2 x2，所以 1 a 2 25 故当两曲线有公共点时， a 的取值范围为 [1,5] .（ 2）当 a 3 时，曲线 C 1 ： (x 3)2 ( y 2) 2 9 ， 两曲线交点A ，B 所在直线方程为 x2.3曲线 x 2( y 2)24 的圆心到直线 x2的距离为 d 2 ，33所以 AB 248 2.4393x, x 123. 解：（ 1）因为f ( x) 2x 1 x 1 x 2, 1 x 1 ，213x, x2所以作出图象如图所示，并从图可知满足不等式 f (x) 3 的解集为 [ 1,1]（ 2）证明：由图可知函数y f ( x) 的最小值为3，即 m 3 .3 7 2 2所以 a2 b2 ，从而 a2 1 b2 1 ，2 2从而1 42 2 2 1 4 2 b2 1 4(a2 1) a2 1 b2 1 7 [( a 1) (b 1)] ( a2 a b2 1 ) 7 [5 ( a2 1 b2 1 )] 2[5 2 b2 1 4(a2 1)] 18 .7 a2 1 b2 1 7当且仅当b2 1 4( a2 1)时，等号成立，a2 1 b2 1即 a2 1 ， b2 4 时，有最小值，6 3所以 11 418得证.a 2 b2 1 7。

河北省衡水中学2017-2018学年度高三一轮复习周测卷（一）理数一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 下列说法正确的是（）A. 0与的意义相同B. 高一（1）班个子比较高的同学可以形成一个集合C. 集合是有限集D. 方程的解集只有一个元素【答案】D【解析】因为0是元素，是含0的集合，所以其意义不相同；因为“比较高”是一个不确定的概念，所以不能构成集合；当时，，故集合是无限集；由于方程可化为方程，所以（只有一个实数根），即方程的解集只有一个元素，应选答案D。

2. 已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：,，所以.考点：集合交集，一元二次不等式.【易错点晴】集合的三要素是：确定性、互异性和无序性.研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步.第二步常常是解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零.元素与集合之间是属于和不属于的关系，集合与集合间有包含关系.在求交集时注意区间端点的取舍.熟练画数轴来解交集、并集和补集的题目.3. 设命题“”，则为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为全称命题的否定是存在性命题，所以为，应选答案B。

4. 已知集合，则集合（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，所以，应选答案C。

5. 设，则“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当时，，所以，，但时，即，不能保证为正数，所以“”是“”的充分不必要条件，故选A.6. 设，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，所以由题意可得：，应选答案B。

7. 已知命题有解，命题，则下列选项中是假命题的为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：对于m命题p：方程x2-mx-1=0，则△=m2+4＞0，因此：∀m∈R，x2-mx-1=0有解，可得：命题p是真命题．对于命题q：由x2-x-1≤0，解得，，因此存在x=0，1∈N，使得x2-x-1≤0成立，因此是真命题．∴下列选项中是假命题的为，故选：B．考点：复合命题的真假8. 已知集合，则集合不可能是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，所以当时，则；由于是点集，所以；当时，则；由于，所以，应选答案D。

河北省衡水中学2018高三第一次模拟理科数学试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．设全集为实数集R ，{}24M x x =>，{}13N x x =<≤,则图中阴影部分表示的集合是( )A ．{}21x x -≤<B ．{}22x x -≤≤C ．{}12x x <≤D ．{}2x x <2．设,a R i ∈是虚数单位，则“1a =”是“a ia i+-为纯虚数”的（ ) A 。

充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件3．若{}n a 是等差数列，首项10,a >201120120a a +>,201120120a a ⋅<，则使前n 项和0n S >成立的最大正整数n 是（ ）A ．2011B ．2012C ．4022D ．40234. 在某地区某高传染性病毒流行期间,为了建立指标显示疫情已受控制，以便向该地区居众显示可以过正常生活，有公共卫生专家建议的指标是“连续7天每天新增感染人数不超过5人”，根据连续7天的新增病例数计算，下列各选项中，一定符合上述指标的是（ ）①平均数3x ≤;②标准差2S ≤；③平均数3x ≤且标准差2S ≤；④平均数3x ≤且极差小于或等于2；⑤众数等于1且极差小于或等于1。

A ．①②B．③④C．③④⑤D．④⑤5。

在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，对角线B 1D 与平面A 1BC 1相交于点E,则点E 为△A 1BC 1的（ ）A ．垂心B ．内心C ．外心D ．重心6。

设y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+-≤--,0,,02,063y x y x y x 若目标函数y b ax z +=)0,(>b a 的最大值是12，则22a b +的最小值是（ ）A ．613B ． 365C ．65D ．36137.已知三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球表面积为( ） A ．16πB ．4π C ．8πD ．2π 8．已知函数()2sin()f x x =+ωϕ(0,)ω>-π<ϕ<π图像的一部分（如图所示），则ω与ϕ的值分别为（ )A ．115,106π-B ．21,3π-C ．7,106π-D ．4,53π-9。

2017~2018学年度高三十七模考试高三年级数学试卷(理科)第Ⅰ卷一、选择题：（每小题5分,共60分.下列每小题所给选项只有一个项符合题意，请将正确答案的序填涂在答题卡上）1. 设集合{0.41}x A x =<,集合()2{|lg 2}B x y x x ==--,则集合()R A C B ⋃=（ ） A ． (]02， B ．[)0,+∞ C ．[)1,-+∞ D ．()(),10,-∞-⋃+∞2. 已知复数3a i z a i +=+- (a R ∈，i 为虚数单位),若复数z 的共轭复数的虚部为12-, 则复数z 在复平面内对应的点位于（ ）A ． 第一象限B ．第二象限C ． 第三象限D ．第四象限3. 若012(21)2nn n x a a x a x a x +=++++的展开式中的二项式系数和为32，则12n a a a +++=（ ）A ． 241B ． 242C ． 243D ． 244 4. 运行如图所示程序,则输出的S 的值为（ ） A ． 1442 B ． 1452 C. 45 D ．14625. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左焦点为抛物线212y x =-的焦点，双曲线的渐近线方程为2y x =±,则实数a =（ ）A ． 3B ． 2 C. 3 D ．236. 已知10sin 10α=，(0,)2a π∈，则cos 26a π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（ ）A ．43310- B ．43+310C. 43310- D ．33410- 7. 如图是某几何体的三视图,则该几何体的体积为（ ）A ．6B ． 9 C. 12 D ．188. 已知2OA OB ==,点C 在线段AB 上,且OC 的最小值为1,则OA tOB - (t R ∈)的最小值为（ ） A ．2 B ．3 C. 2 D ．5 9. 函数22sin 33y ([,0)(0,])1441x xxππ=∈-+的图像大致是（ ） A ． B ．C. D ．10. 已知双曲线22221x y a b-=的左、右顶点分别为A ,B ，P 为双曲线左支上一点，ABP ∆为等腰三角形且外接圆的半径为5a ，则双曲线的离心率为（ ）A ．155 B ．154 C.153 D ．15211. 设函数()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.若120x x <,且()()120f x f x +=，则21x x -的取值范围为（ ） A ． (,)6π+∞ B ． (,)3π+∞ C. 2(,)3π+∞ D ．4(,)3π+∞ 12. 对于函数()f x 和()g x ，设(){}/0x f x α∈=;(){/0}x g x β∈=,若所有的α,β，都有1αβ-≤，则称()f x 和()g x 互为“零点相邻函数”.1()2x f x e x -=+-与()23g x x ax a =--+与互为“零点相邻函数”,则实数a 的取值范围是（ ）A ． []2,4B ．72,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C. 7,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[]2,3第Ⅱ卷（非选择题90分）二、填空题（每题5分，共20分，把每小题的答案填在答卷纸的相应位置）13. 从0、1、2、3、4、5、6、7、8、9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为 ．14. 已知a 是区间[]1,7上的任意实数,直线1:220l ax y a ---=与不等式组830x mx y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩表示的平面区域总有公共点，则直线:30(,)l mx y n m n R -+=∈的倾斜角α的取值范围为 ．15. 如图，四面体OABC 的三条棱OA ，OB ，OC 两两垂直，2OA OB ==，3OC =，D 为四面体OABC 外一点，给出下列命题.①不存在点D ，使四面体ABCD 有三个面是直角三角形； ②不存在点D ，使四面体ABCD 是正三棱锥； ③存在点D ，使CD 与AB 垂直并且相等；④存在无数个点D ，使点O 在四面体ABCD 的外接球面上，其中真命题的个数是 ． 16. 已知只有50项的数列{}n a 满足下列三个条件： ①{}1,0,11,250i a i ∈-=②12509a a a +++=；③()()2221250101(1)11111a a a ≤++++++≤.对所有满足上述条件的数列{}n a ，2222250a a a +++共有k 个不同的值，则k = ．三、解答题（共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 在等差数列{}n a 中，24a =，其前n 项和n S 满足()2n S n n R λλ=+∈.（1）求实数λ的值，并求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列1n n b S ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是首项为为λ，公比为2λ的等比数列，求数列{}n b 的前n 项和n T . 18. 在2018年2月12K 联盟考试中，我校共有500名理科学生参加考试，其中语文考试成绩近似服从正态分布()295,175N ，数学成绩的频率分布直方图如图：（1）如果成绩大于130的为特别优秀，这500名学生中本次考试语文、数学成绩特别优秀的大约各多少人？（2）如果语文和数学两科都特别优秀的共有6人，从（1）中的这些同学中随机抽取3人，设三人中两科都特别优秀的有X 人，求X 的分布列和数学期望.（3）根据以上数据，是否有99%以上的把握认为语文特别优秀的同学，数学也特别优秀？ ①若()2,X Nμσ~，则()0.68P X μσμσ-<≤+=，()220.96P X μσμσ-<≤+=②22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++③20()P K K ≥0.50 0.40 0.010 0.005 0.001 0K0.4550.7086.6357.87910.82819.已知在直角梯形ABC D '中，B 90A ∠=∠=︒，1AD AB ==,2BC '=，将C BD '∆沿BD 折起至CBD ∆，使二面角C BD A --为直角. （1）求证：平面ADC ⊥平面ABC ；（2）若点M 满足AM AC λ=，[]0,1λ∈，当二面角M BD C --为45︒时，求λ的值.20. 己知椭圆()2222:0x y C l a b a b+=>>的一个焦点与抛物线23:12E x y =的焦点相同，A 为椭圆C 的右顶点，以A 为为圆心的的圆与直线by x a=相交交于P ，Q 两点，且0AP AQ ⋅=，3OP OQ =. （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程和圆A 的方程；（Ⅱ）不过原点的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点，已知OM . 直线l ，ON 为直径的圆的面积分别为1S 、2S ，试探究12S S +的值是否为定值，若是，求出此值；若不是，说明理由.21. 已知函数()()xf x e ax a a R =-+∈，其中e 为自然对数的底数.（1）讨论函数()y f x =的单调性；（2）函数()y f x =的图像与x 轴交于1(,0)A x ，()2,0B x 两点，12x x <，点C 在函数()y f x =的图像上，且ABC ∆为等腰直角三角形，记2111x t x -=-，求()at a t -+的值.二选一：请考生在22、23两题中任选一题作答，并在相应题前的方框中涂黑.22. 在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1cos sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（其中ϕ为参数），曲线222184x y C +=：.以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求曲线1C 、2C 的极坐标方程；（2）射线():0l θαρ=≥与曲线1C 、2C 分别交于点,A B (且,A B 均异于原点O )，当02πα<<时，求22OB OA -的最小值.23.已知函数()4+13f x x x =---. （1）求不等式()2f x ≤的解集；（Ⅱ）若直线2y kx =-与函数()f x 的图象有公共点，求k 的取值范围.2017~2018学年度下学期高三十七模考试高三年级数学试卷(理科)答案一、选择题1-5: CABBC 6-10: ABBAC 11、12：BB二、填空题13.16 14. 0,,42πππ⎡⎤⎛⎫⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭15.6 16.2个 三、解答题17.（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为()()2214213a S S λλλ=-=+-+=+, 所以34λ+=,所以1λ=.所以112a S ==,所以212d a a =-=.所以1(1)2n a a n d n =+-= （2）由（1）知1λ=，所以-111122n n n nb S -+=⨯= 所以1111122(1)1n n n b n n n n --⎛⎫=-=-- ⎪++⎝⎭.所以()0111111122212231n n T n n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++--+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦121211212111n n n n n -+⎛⎫=--=- ⎪-++⎝⎭ 18.【解析】解：（1）语文成绩服从正态分布2(95,17.5)N ， ∴语文成绩特别优秀的概率为()()1113010.960.022p P X =≥=-⨯=， 数学成绩特别优秀的概率为20.0012200.024p =⨯=， ∴语文文特别优秀的同学有5000.0210⨯=人， 数学特别优秀的同学有500x0.024=12人（2）语文数学两科都优秀的有6人，单科优秀的有10人，X 的所有可能取值为0，1，2，3，()3103163P X 014C C ===,2110631627(1)56C C P X C ===1210631615(2)56C C P X C ===，363161(3)28C P X C ===， ∴X 的分布列为：X 0 1 2 3P314 2756 1556128()32715190123145656288E X =⨯+⨯+⨯+⨯=E(X)=0×+1（3）22⨯列联表：语文特别优秀语文不特别优秀合计 数学特别优秀 6 6 12 数学不特别优秀4 484 488 合计10490500∴22500(648446)144.5 6.63510490124888k ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯ ∴有99%以上的把握认为语文特别优秀的同学，数学也特别优秀.由题设知，22212121212121212()()()y y kx m kx m km x x m k k k k x x x x x x ++++====+∴()2120km x x m ++=，∴22228014k m m k -+=+，∵0m ≠，∴214k =， 则12S S +2222121211444x x x x π⎛⎫+-++-= ⎪⎝⎭()()222121212332162162x x x x x x ππππ⎡⎤++=+-+=⎣⎦()()22222813641614214m k m k k ππ⎡⎤-⎢⎥⋅-+=++⎢⎥⎣⎦()22354411624m m πππ⎡⎤--+=⎣⎦故12S S +为定值，该定值为54π.21.(理)解:（1）()f x e a ''=-.①当0a ≤时，则()0f x '>，则函数()f x 在(,)-∞+∞是单调增函数.②当0a >时,令()0f x '=，则ln x a =，若ln x a <，()0f x '<,所以()f x 在(,ln )a -∞上是单调减函数； 所以ln x a >，()0f x '>，所以()f x 在()ln ,a +∞上是单调增函数.（2）由（1）可知当0a >时，函数()y f x =其图象与x 轴交于两点， 则有0ii e ax a -+=，则()1001(1,2)i i i i a x e x x i -=>⇒>⇒>=.于是1212(1)(1)2ea x x -=--，在等腰三角形ABC 中，显然90c =︒，所以12012(,)2x x x x x +=∈，即00()0y f x =<，由直角三角形斜边的中线性质，可知2102x x y -=-, 所以21002x x y -+=，即122112()0222x x x xa e x x a +--+++=所以211212(1)(1)()022x x aa x x x x a ----+++=，即[]211212(1)(1)(1)(1)(1)(1)022x x aa x x x x -------+-+=.因为110x -≠，则22211111111101212x x x x a a x x --⎛⎫----++= ⎪--⎝⎭， 又2111x t x -=-，所以221(1)(1)022a at t t -++-=，即211a t =+-，则(1)(1)2a t --= 所以()1ata t -+=.22.（Ⅰ）1C 的极坐标方程为2cos ρθ=，2C 的极坐标方程为281sin ρα=+ （2）828- 【试题解析】（1）曲线1C 的普通方程为22(1)1x y -+=，1C 的极坐标方程为2cos ρθ=，2C 的极坐标方程为2281sin ρα=+ （2）联立()0a θρ=≥与1C 的极坐标方程得224cosOA α=，联立()0a θρ=≥与2C 的极坐标方程得222288cos 2sin 1sin OB a a a==++， 则222222884cos 4(1sin )1sin 1sin OB OA αααα-=-=--++ 2284(1sin )81sin αα=++-+ 2282()4(1sin )88281sin aα≥⨯+-=-+.(当且仅当sina 21=-时取等).所以22OB OA -的最小值为828-. 23.（1）[]0,5:（2）()1,2,2⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭试题解析：解：（1）由()2f x ≤，得1222x x ≤⎧⎨-≤⎩或1402x <<⎧⎨≤⎩或4282x x ≥⎧⎨-≤⎩，解得05x ≤≤，故不等式()2f x ≤的解集为[]0,5.（2）22,1()413{0,1428,4x x f x x x x x x -≤=-+--=<<-≥，作出函数()f x 的图象，如图所示,直线2y kx =-过定点(0,2)C -,当此直线经过点(4,0)B 时，12k =； 当此直线与直线AD 平行时，2k =-，故由图可知，1(,2),2k ⎡⎫∈-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭。

2018年衡水中学高考数学全真模拟试卷（理科）第1卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）（2018•衡中模拟）已知集合A={x|x2＜1}，B={y|y=|x|}，则A∩B=（）A．∅B．（0，1）C．[0，1）D．[0，1]2．（5分）（2018•衡中模拟）设随机变量ξ～N（3，σ2），若P（ξ＞4）=0.2，则P（3＜ξ≤4）=（）A．0.8 B．0.4 C．0.3 D．0.23．（5分）（2018•衡中模拟）已知复数z=（i为虚数单位），则3=（）A．1 B．﹣1 C．D．4．（5分）（2018•衡中模拟）过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点F作两渐近线的垂线，垂足分别为P、Q，若∠PFQ=π，则双曲线的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x5．（5分）（2018•衡中模拟）将半径为1的圆分割成面积之比为1：2：3的三个扇形作为三个圆锥的侧面，设这三个圆锥底面半径依次为r1，r2，r3，那么r1+r2+r3的值为（）A．B．2 C．D．16．（5分）（2018•衡中模拟）如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是（）A．2 B．3 C．4 D．57．（5分）（2018•衡中模拟）等差数列{a n}中，a3=7，a5=11，若b n=，则数列{b n}的前8项和为（）A．B．C．D．8．（5分）（2018•衡中模拟）已知（x﹣3）10=a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+…+a10（x+1）10，则a8=（）A．45 B．180 C．﹣180 D．7209．（5分）（2018•衡中模拟）如图为三棱锥S﹣ABC的三视图，其表面积为（）A．16 B．8+6C．16D．16+610．（5分）（2018•衡中模拟）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左焦点F（﹣3，0），P为椭圆上一动点，椭圆内部点M（﹣1，3）满足PF+PM的最大值为17，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．11．（5分）（2018•衡中模拟）已知f（x）=，若函数y=f（x）﹣kx恒有一个零点，则k的取值范围为（）A．k≤0 B．k≤0或k≥1 C．k≤0或k≥e D．k≤0或k≥12．（5分）（2018•衡中模拟）已知数列{a n}的通项公式为a n=﹣2n+p，数列{b n}的通项公式为b n=2n﹣4，设c n=，若在数列{c n}中c6＜c n（n∈N*，n≠6），则p的取值范围（）A．（11，25）B．（12，22）C．（12，17）D．（14，20）第2卷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．）13．（5分）（2018•衡中模拟）若平面向量、满足||=2||=2，|﹣|=，则在上的投影为．14．（5分）（2018•衡中模拟）若数列{a n}满足a1=a2=1，a n+2=，则数列{a n}前2n项和S2n=．15．（5分）（2018•衡中模拟）若直线ax+（a﹣2）y+4﹣a=0把区域分成面积相等的两部分，则的最大值为．16．（5分）（2018•衡中模拟）已知函数f（x）=（a+1）lnx+x2（a＜﹣1）对任意的x1、x2＞0，恒有|f（x1）﹣f（x2）|≥4|x1﹣x2|，则a的取值范围为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）（2018•衡中模拟）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足c=1，且cosBsinC+（a﹣sinB）cos（A+B）=0（1）求C的大小；（2）求a2+b2的最大值，并求取得最大值时角A，B的值．18．（12分）（2018•衡中模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，AD ∥BC，∠ABC=90°，PA=AB=BC=2，AD=1，M是棱PB中点．（Ⅰ）求证：平面PBC⊥平面PCD；（Ⅱ）设点N是线段CD上一动点，且=λ，当直线MN与平面PAB所成的角最大时，求λ的值．19．（12分）（2018•衡中模拟）如图是两个独立的转盘（A）、（B），在两个图中三个扇形区域的圆心角分别为60°、120°、180°．用这两个转盘进行游戏，规则是：同时转动两个转盘待指针停下（当两个转盘中任意一个指针恰好落在分界线时，则这次转动无效，重新开始），记转盘（A）指针所对的区域为x，转盘（B）指针所对的区域为y，x、y∈{1，2，3}，设x+y的值为ξ．（Ⅰ）求x＜2且y＞1的概率；（Ⅱ）求随机变量ξ的分布列与数学期望．20．（12分）（2018•衡中模拟）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0），倾斜角为45°的直线与椭圆相交于M、N两点，且线段MN的中点为（﹣1，）．过椭圆E内一点P（1，）的两条直线分别与椭圆交于点A、C和B、D，且满足=λ，=λ，其中λ为实数．当直线AP平行于x轴时，对应的λ=．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）当λ变化时，k AB是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由．21．（12分）（2018•衡中模拟）已知函数f（x）=，曲线y=f（x）在点x=e2处的切线与直线x﹣2y+e=0平行．（Ⅰ）若函数g（x）=f（x）﹣ax在（1，+∞）上是减函数，求实数a的最小值；（Ⅱ）若函数F（x）=f（x）﹣无零点，求k的取值范围．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）（2018•衡中模拟）如图所示，AC为⊙O的直径，D为的中点，E为BC的中点．（Ⅰ）求证：DE∥AB；（Ⅱ）求证：AC•BC=2AD•CD．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2018•衡中模拟）在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数），在以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ=（1）求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（2）若直线l与曲线C相交于A，B两点，求△AOB的面积．[选修4-5：不等式选讲]24．（2018•衡中模拟）已知函数f（x）=|x﹣l|+|x﹣3|．（I）解不等式f（x）≤6；（Ⅱ）若不等式f（x）≥ax﹣1对任意x∈R恒成立，求实数a的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）（2018•衡中模拟）已知集合A={x|x2＜1}，B={y|y=|x|}，则A∩B=（）A．∅B．（0，1）C．[0，1）D．[0，1]【解答】解：A={x|x2＜1}={x|﹣1＜x＜1}，B={y|y=|x|≥0}，则A∩B=[0，1），故选：C．2．（5分）（2018•衡中模拟）设随机变量ξ～N（3，σ2），若P（ξ＞4）=0.2，则P（3＜ξ≤4）=（）A．0.8 B．0.4 C．0.3 D．0.2【解答】解：∵随机变量X服从正态分布N（3，σ2），∴μ=3，得对称轴是x=3．∵P（ξ＞4）=0.2∴P（3＜ξ≤4）=0.5﹣0.2=0.3．故选：C3．（5分）（2018•衡中模拟）已知复数z=（i为虚数单位），则3=（）A．1 B．﹣1 C．D．【解答】解：复数z=，可得=﹣=cos+isin．则3=cos4π+isin4π=1．故选：A．4．（5分）（2018•衡中模拟）过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点F作两渐近线的垂线，垂足分别为P、Q，若∠PFQ=π，则双曲线的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x【解答】解：如图若∠PFQ=π，则由对称性得∠QFO=，则∠QOx=，即OQ的斜率k==tan=，则双曲线渐近线的方程为y=±x，故选：B5．（5分）（2018•衡中模拟）将半径为1的圆分割成面积之比为1：2：3的三个扇形作为三个圆锥的侧面，设这三个圆锥底面半径依次为r1，r2，r3，那么r1+r2+r3的值为（）A．B．2 C．D．1【解答】解：∵2πr1=，∴r1=，同理，∴r1+r2+r3=1，故选：D．6．（5分）（2018•衡中模拟）如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：第一次循环，sin＞sin0，即1＞0成立，a=1，T=1，k=2，k＜6成立，第二次循环，sinπ＞sin，即0＞1不成立，a=0，T=1，k=3，k＜6成立，第三次循环，sin＞sinπ，即﹣1＞0不成立，a=0，T=1，k=4，k＜6成立，第四次循环，sin2π＞sin，即0＞﹣1成立，a=1，T=1+1=2，k=5，k＜6成立，第五次循环，sin＞sin2π，即1＞0成立，a=1，T=2+1=3，k=6，k＜6不成立，输出T=3，故选：B7．（5分）（2018•衡中模拟）等差数列{a n}中，a3=7，a5=11，若b n=，则数列{b n}的前8项和为（）A．B．C．D．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，a3=7，a5=11，∴，解得a1=3，d=2，∴a n=3+2（n﹣1）=2n+1，∴，∴b8=（1﹣+﹣+…+﹣）=（1﹣）=故选B．8．（5分）（2018•衡中模拟）已知（x﹣3）10=a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+…+a10（x+1）10，则a8=（）A．45 B．180 C．﹣180 D．720【解答】解：（x﹣3）10=[（x+1）﹣4]10，∴，故选：D．9．（5分）（2018•衡中模拟）如图为三棱锥S﹣ABC的三视图，其表面积为（）A．16 B．8+6C．16D．16+6【解答】解：由三视图可知该三棱锥为边长为2，4，4的长方体切去四个小棱锥得到的几何体．三棱锥的三条边长分别为，∴表面积为4×=16．故选：C．10．（5分）（2018•衡中模拟）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左焦点F（﹣3，0），P为椭圆上一动点，椭圆内部点M（﹣1，3）满足PF+PM的最大值为17，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：设右焦点为Q，由F（﹣3，0），可得Q（3，0），由椭圆的定义可得|PF|+|PQ|=2a，即|PF|=2a﹣|PQ|，则|PM|+|PF|=2a+（|PM|﹣|PQ|）≤2a+|MQ|，当P，M，Q共线时，取得等号，即最大值2a+|MQ|，由|MQ|==5，可得2a+5=17，所以a=6，则e===，故选：A．11．（5分）（2018•衡中模拟）已知f（x）=，若函数y=f（x）﹣kx恒有一个零点，则k的取值范围为（）A．k≤0 B．k≤0或k≥1 C．k≤0或k≥e D．k≤0或k≥【解答】解：由y=f（x）﹣kx=0得f（x）=kx，作出函数f（x）和y=kx的图象如图，由图象知当k≤0时，函数f（x）和y=kx恒有一个交点，当x≥0时，函数f（x）=ln（x+1）的导数f′（x）=，则f′（0）=1，当x＜0时，函数f（x）=e x﹣1的导数f′（x）=e x，则f′（0）=e0=1，即当k=1时，y=x是函数f（x）的切线，则当0＜k＜1时，函数f（x）和y=kx有3个交点，不满足条件．当k≥1时，函数f（x）和y=kx有1个交点，满足条件．综上k的取值范围为k≤0或k≥1，故选：B．12．（5分）（2018•衡中模拟）已知数列{a n}的通项公式为a n=﹣2n+p，数列{b n}的通项公式为b n=2n﹣4，设c n=，若在数列{c n}中c6＜c n（n∈N*，n≠6），则p的取值范围（）A．（11，25）B．（12，22）C．（12，17）D．（14，20）【解答】解：∵a n﹣b n=﹣2n+p﹣2n﹣4，∴a n﹣b n随着n变大而变小，又∵a n=﹣2n+p随着n变大而变小，b n=2n﹣4随着n变大而变大，∴，（1）当（2）当，综上p∈（14，20），故选D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．）13．（5分）（2018•衡中模拟）若平面向量、满足||=2||=2，|﹣|=，则在上的投影为﹣1．【解答】解：根据条件，==7；∴；∴在上的投影为．故答案为：﹣1．14．（5分）（2018•衡中模拟）若数列{a n}满足a1=a2=1，a n+2=，则数列{a n}前2n项和S2n=2n+n2﹣1．【解答】解：∵数列{a n}满足a1=a2=1，a n+2=，∴n=2k﹣1时，a2k+1﹣a2k﹣1=2，为等差数列；n=2k时，a2k+2=2a2k，为等比数列．∴．故答案为：2n+n2﹣1．15．（5分）（2018•衡中模拟）若直线ax+（a﹣2）y+4﹣a=0把区域分成面积相等的两部分，则的最大值为2．【解答】解：由ax+（a﹣2）y+4﹣a=0得a（x+y﹣1）+4﹣2y=0，则得，即直线恒过C（﹣1，2），若将区域分成面积相等的两部分，则直线过AB的中点D，由得，即A（1，6），∵B（3，0），∴中点D（2，3），代入a（x+y﹣1）+4﹣2y=0，得4a﹣2=0，则，则的几何意义是区域内的点到点（﹣2，0）的斜率，由图象过AC的斜率最大，此时最大值为2．故答案为：2．16．（5分）（2018•衡中模拟）已知函数f（x）=（a+1）lnx+x2（a＜﹣1）对任意的x1、x2＞0，恒有|f（x1）﹣f（x2）|≥4|x1﹣x2|，则a的取值范围为（﹣∞，﹣2] ．【解答】解：由f′（x）=+x，得f′（1）=3a+1，所以f（x）=（a+1）lnx+ax2，（a＜﹣1）在（0，+∞）单调递减，不妨设0＜x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）≥4x2﹣4x1，即f（x1）+4x1≥f（x2）+4x2，令F（x）=f（x）+4x，F′（x）=f′（x）+4=+2ax+4，等价于F（x）在（0，+∞）上单调递减，故F'（x）≤0恒成立，即+2ax+4≤0，所以恒成立，得a≤﹣2．故答案为：（﹣∞，﹣2]．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）（2018•衡中模拟）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足c=1，且cosBsinC+（a﹣sinB）cos（A+B）=0（1）求C的大小；（2）求a2+b2的最大值，并求取得最大值时角A，B的值．【解答】解：（1）cosBsinC+（a﹣sinB）cos（A+B）=0可得：cosBsinC﹣（a﹣sinB）cosC=0即：sinA﹣acosC=0．由正弦定理可知：，∴，c=1，∴asinC﹣acosC=0，sinC﹣cosC=0，可得sin（C﹣）=0，C是三角形内角，∴C=．（2）由余弦定理可知：c2=a2+b2﹣2abcosC，得1=a2+b2﹣ab又，∴，即：．当时，a2+b2取到最大值为2+．18．（12分）（2018•衡中模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，AD ∥BC，∠ABC=90°，PA=AB=BC=2，AD=1，M是棱PB中点．（Ⅰ）求证：平面PBC⊥平面PCD；（Ⅱ）设点N是线段CD上一动点，且=λ，当直线MN与平面PAB所成的角最大时，求λ的值．【解答】证明：（1）取PC的中点E，则连接DE，∵ME是△PBC的中位线，∴ME，又AD，∴ME AD，∴四边形AMED是平行四边形，∴AM∥DE．∵PA=AB，M是PB的中点，∴AM⊥PB，∵PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴PA⊥BC，又BC⊥AB，PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB，∵AM⊂平面PAB，∴BC⊥AM，又PB⊂平面PBC，BC⊂平面PBC，PB∩BC=B，∴AM⊥平面PBC，∵AM∥DE，∴DE⊥平面PBC，又DE⊂平面PCD，∴平面PBC⊥平面PCD．（2）以A为原点，以AD，AB，AP为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示：则A（0，0，0），B（0，2，0），M（0，1，1），P（0，0，2），C（2，2，0），D（1，0，0）．∴=（1，2，0），=（0，1，1），=（1，0，0），∴=λ=（λ，2λ，0），=（λ+1，2λ，0），==（λ+1，2λ﹣1，﹣1）．∵AD⊥平面PAB，∴为平面PAB的一个法向量，∴cos＜＞=====设MN与平面PAB所成的角为θ，则sinθ=．∴当即时，sinθ取得最大值，∴MN与平面PAB所成的角最大时．19．（12分）（2018•衡中模拟）如图是两个独立的转盘（A）、（B），在两个图中三个扇形区域的圆心角分别为60°、120°、180°．用这两个转盘进行游戏，规则是：同时转动两个转盘待指针停下（当两个转盘中任意一个指针恰好落在分界线时，则这次转动无效，重新开始），记转盘（A）指针所对的区域为x，转盘（B）指针所对的区域为y，x、y∈{1，2，3}，设x+y的值为ξ．（Ⅰ）求x＜2且y＞1的概率；（Ⅱ）求随机变量ξ的分布列与数学期望．【解答】解：（1）记转盘A指针指向1，2，3区域的事件为A1，A2，A3，同理转盘B指针指向1，2，3区域的事件为B1，B2，B3，∴P（A1）=，P（A2）=，P（A3）=，P（B1）=，P（B2）=，P（B3）=，P=P（A1）P（1﹣P（B1））=×（1﹣）==．…（5分）（2）由已知得ξ的可能取值为2，3，4，5，6，P（ξ=2）=P（A1）P（B1）===，P（ξ=3）=P（A1）P（B2）+P（A2）P（B1）==，P（ξ=4）=P（A1）P（B3）+P（A2）P（B2）+P（A3）P（B1）==，P（ξ=5）=P（A2）P（B3）+P（A3）P（B2）=+=，P（ξ=6）=P（A3）P（B3）==，∴ξ的分布列为：ξ 2 3 4 5 6PEξ==．…（12分）20．（12分）（2018•衡中模拟）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0），倾斜角为45°的直线与椭圆相交于M、N两点，且线段MN的中点为（﹣1，）．过椭圆E内一点P（1，）的两条直线分别与椭圆交于点A、C和B、D，且满足=λ，=λ，其中λ为实数．当直线AP平行于x轴时，对应的λ=．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）当λ变化时，k AB是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）设M（m1，n1）、N（m2，n2），则，两式相减，故a2=3b2…（2分）当直线AP平行于x轴时，设|AC|=2d，∵，，则，解得，故点A（或C）的坐标为．代入椭圆方程，得…4分a2=3，b2=1，所以方程为…（6分）（Ⅱ）设A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）、D（x4，y4）由于，可得A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）、D（x4，y4），…①同理可得…②…（8分）由①②得：…③将点A、B的坐标代入椭圆方程得，两式相减得（x1+x2）（x1﹣x2）+3（y1+y2）（y1﹣y2）=0，于是3（y1+y2）k AB=﹣（x1+x2）…④同理可得：3（y3+y4）k CD=﹣（x3+x4），…（10分）于是3（y3+y4）k AB=﹣（x3+x4）（∵AB∥CD，∴k AB=k CD）所以3λ（y3+y4）k AB=﹣λ（x3+x4）…⑤由④⑤两式相加得到：3[y1+y2+λ（y3+y4）]k AB=﹣[（x1+x2）+λ（x3+x4）]把③代入上式得3（1+λ）k AB=﹣2（1+λ），解得：，当λ变化时，k AB为定值，．…（12分）21．（12分）（2018•衡中模拟）已知函数f（x）=，曲线y=f（x）在点x=e2处的切线与直线x﹣2y+e=0平行．（Ⅰ）若函数g（x）=f（x）﹣ax在（1，+∞）上是减函数，求实数a的最小值；（Ⅱ）若函数F（x）=f（x）﹣无零点，求k的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由，得，解得m=2，故，则，函数g（x）的定义域为（0，1）∪（1，+∞），而，又函数g（x）在（1，+∞）上是减函数，∴在（1，+∞）上恒成立，∴当x∈（1，+∞）时，的最大值．而，即右边的最大值为，∴，故实数a的最小值；（Ⅱ）由题可得，且定义域为（0，1）∪（1，+∞），要使函数F（x）无零点，即在（0，1）∪（1，+∞）内无解，亦即在（0，1）∪（1，+∞）内无解．构造函数，则，（1）当k≤0时，h'（x）＜0在（0，1）∪（1，+∞）内恒成立，∴函数h（x）在（0，1）内单调递减，在（1，+∞）内也单调递减．又h（1）=0，∴当x∈（0，1）时，h（x）＞0，即函数h（x）在（0，1）内无零点，同理，当x∈（1，+∞）时，h（x）＜0，即函数h（x）在（1，+∞）内无零点，故k≤0满足条件；（2）当k＞0时，．①若0＜k＜2，则函数h（x）在（0，1）内单调递减，在内也单调递减，在内单调递增．又h（1）=0，∴h（x）在（0，1）内无零点；又，而，故在内有一个零点，∴0＜k＜2不满足条件；②若k=2，则函数h（x）在（0，1）内单调递减，在（1，+∞）内单调递增．又h（1）=0，∴当x∈（0，1）∪（1，+∞）时，h（x）＞0恒成立，故无零点．∴k=2满足条件；③若k＞2，则函数h（x）在内单调递减，在内单调递增，在（1，+∞）内也单调递增．又h（1）=0，∴在及（1，+∞）内均无零点．易知，又h（e﹣k）=k×（﹣k）﹣2+2e k=2e k﹣k2﹣2=ϕ（k），则ϕ'（k）=2（e k﹣k）＞0，则ϕ（k）在k＞2为增函数，∴ϕ（k）＞ϕ（2）=2e2﹣6＞0．故函数h（x）在内有一零点，k＞2不满足．综上：k≤0或k=2．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）（2018•衡中模拟）如图所示，AC为⊙O的直径，D为的中点，E为BC的中点．（Ⅰ）求证：DE∥AB；（Ⅱ）求证：AC•BC=2AD•CD．【解答】证明：（Ⅰ）连接BD，因为D为的中点，所以BD=DC．因为E为BC的中点，所以DE⊥BC．因为AC为圆的直径，所以∠ABC=90°，所以AB∥DE．…（5分）（Ⅱ）因为D为的中点，所以∠BAD=∠DAC，又∠BAD=∠DCB，则∠DAC=∠DCB．又因为AD⊥DC，DE⊥CE，所以△DAC∽△ECD．所以=，AD•CD=AC•CE，2AD•CD=AC•2CE，因此2AD•CD=AC•BC．…（10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2018•衡中模拟）在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数），在以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ=（1）求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（2）若直线l与曲线C相交于A，B两点，求△AOB的面积．【解答】解：（1）由曲线C的极坐标方程为ρ=得ρ2sin2θ=2ρcosθ．∴由曲线C的直角坐标方程是：y2=2x．由直线l的参数方程为（t为参数），得t=3+y代入x=1+t中消去t得：x﹣y﹣4=0，所以直线l的普通方程为：x﹣y﹣4=0…（5分）（2）将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程y2=2x，得t2﹣8t+7=0，设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，所以|AB|===，因为原点到直线x﹣y﹣4=0的距离d=，所以△AOB 的面积是|AB|d==12．…（10分）[选修4-5：不等式选讲]24．（2018•衡中模拟）已知函数f（x）=|x﹣l|+|x﹣3|．（I）解不等式f（x）≤6；（Ⅱ）若不等式f（x）≥ax﹣1对任意x∈R恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：函数f（x）=|x﹣l|+|x﹣3|=的图象如图所示，（I）不等式f（x）≤6，即①或②，或③．解①求得x∈∅，解②求得3＜x≤5，解③求得﹣1≤x≤3．综上可得，原不等式的解集为[﹣1，5]．（Ⅱ）若不等式f（x）≥ax﹣1对任意x∈R恒成立，则函数f（x）的图象不能在y=ax﹣1的图象的下方．如图所示：由于图中两题射线的斜率分别为﹣2，2，点B（3，2），∴3a﹣1≤2，且a≥﹣2，求得﹣2≤a≤1．第21页（共21页）。

2017-2018 学年度第二学期高三年级十六模考试 理数试卷第Ⅰ卷（共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的.1. 已知 是虚数单位，则复数的实部和虚部分别是（ ）A. ，B. ，C. ， D. ，2. 已知集合，，则（A.B.C.D.3. 已知随机变量 服从正态分布 ，且，A.B.C.D.4. 下列有关命题的说法正确的是（ ）A. 命题“若 ，则 ”的否命题为“若 ，则 ”B. 命题“若，则 ， 互为相反数”的逆命题是真命题C. 命题“，使得”的否定是“，都有D. 命题“若，则 ”的逆否命题为真命题） ，”等于（ ）5. 已知 满足，则（）A.B.C.D.6. 某几何体的三视图如图所示，三个视图中的正方形的边长均为 ，俯视图中的两条曲线均为圆弧，则该 几何体的体积为（ ）A.B.7. 已知函数C. ，现将D. 的图形向左平移 个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的 倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则 在 上的值域为（ ）A.B.C.D.8. 我国古代著名《九章算术》用“更相减损术”求两个正整数的最大公约数是一个伟大创举，这个伟大创举与我国古老的算法——“辗转相除法”实质一样.如图的程序框图即源于“辗转相除法”，当输入，，输出的 （ ）A.B.C.D.9. 已知实数 ， 满足约束条件若不等式恒成立，则实数 的最大值为（ ）A.B.C.D.10. 已知函数，，若对任意的最小值为 ，则 最大值为（ ）A.B.C.D.，总有恒成立，记的11. 设双曲线 ：的左、右焦点分别为 ， ，过 的直线与双曲线的右支交于两点 ，，若A.B.，且 是 的一个四等分点，则双曲线 的离心率是（ ）C.D.12. 已知偶函数 满足，且当时，，关于 的不等式间上有且只有 个整数解，则实数 的取值范围是（ ）在区A.B.C.D.第Ⅱ卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 已知平面向量 ， ， ， 且，若 为平面单位向量，则的最大值为_____ ．14. 二项式展开式中的常数项是_____ ．15. 已知点 是抛物线 ：（ ）上一点， 为坐标原点，若 ， 是以点为圆心， 的长为半径的圆与抛物线 的两个公共点，且为等边三角形，则 的值是_____ ．16. 已知直三棱柱中，，，,若棱 在正视图的投影面 内，且 与投影面 所成角为，设正视图的面积为 ，侧视图的面积为 ，当 变化时， 的最大值是__________．三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知等差数列 的前（）项和为 ，数列 是等比数列， ， ，，.（1）求数列 和 的通项公式；（2）若，设数列 的前 项和为 ，求 .18. 如图，在底面是菱形的四棱锥中， 平面，，，点 、 分别为 、 的中点，设直线 与平面 交于点 .（1）已知平面平面，求证：；（2）求直线 与平面 所成角的正弦值.19. 作为加班拍档、创业伴侣、春运神器，曾几何时，方便面是我们生活中重要的“朋友”，然而这种景象却在近 年出现了戏剧性的逆转.统计显示.2011 年之前,方便面销量在中国连续 年保持两位数增长,2013 年的年销量更是创下 亿包的辉煌战绩；但 2013 年以来,方便面销量却连续 3 年下跌,只剩 亿 包,具体如下表.相较于方便面,网络订餐成为大家更加青睐的消费选择.近年来,网络订餐市场规模的“井 喷式”增长，也充分反映了人们消费方式的变化. 全国方便面销量情况（单位“亿包/桶）（数据：世界方便面协会） 年份时间代号年销量 （亿包/桶）(1)根据上表，求 关于 的线性回归方程.用所求回归方程预测 2017 年( )方便面在中国的年销量；(2)方便面销量遭遇滑铁卢受到哪些因素影响? 中国的消费业态发生了怎样的转变? 某媒体记者随机对身边的 位朋友做了一次调查,其中 位受访者表示超过 年未吃过方便面, 位受访者认为方便面是健康食品；而 位受访者有过网络订餐的经历，现从这 人中抽取 人进行深度访谈，记 表示随机抽取的 人认为方便面是健康食品的人数，求随机变量 的分布列及数学期望 .参考公式：回归方程：，其中，.参考数据：.20. 如图，设抛物线（ ）的准线 与 轴交于椭圆 ：（）的右焦点 ，为 的左焦点，椭圆的离心率为 ，抛物线 与椭圆 交于 轴上方一点 ，连接 并延长其交 于 点 ， 为 上一动点，且在 ， 之间移动.（1）当 取最小值时，求 和 的方程；（2）若的边长恰好时三个连续的自然数，当面积取最大值时，求面积最大值以及此时直线的方程.21. 已知函数（ 为常数，是自然对数的底数），曲线在点处的切线与 轴垂直.（1）求 的单调区间；（2）设，对任意 ，证明：.请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修 4-4：坐标系与参数方程已知曲线 的参数方程为（ 为参数）.以直角坐标系的原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线 的极坐标方程为.（1）求 的普通方程和 的直角坐标方程；（2）若过点的直线 与 交于 ， 两点，与 交于 ， 两点，求的取值范围.23. 选修 4-5：不等式选讲已知，（1）解不等式 （2）若方程； 有三个解，求实数 的取值范围.。

2017-2018学年度第二学期高三年级十六模考试理数试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. ）A. C. ， D.【答案】A.的实部是，虚部是 A.点睛：本题主要考查复数的基本概念与基本运算，属于简单题.2. ）【答案】C..C.点睛：研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合A且属于集合B的元素的集合. 本题需注意两集合一个是有限集，一个是无限集，按有限集逐一验证为妥.3. ）【答案】B对称，且.详解：对称，且B.点睛：本题主要考查正态分布，正态曲线有两个特点，（1（24. 下列有关命题的说法正确的是（）A. ”的否命题为“若B.C.D. ，则”的逆否命题为真命题【答案】B【解析】分析：逐一判断四个选项中的命题是否正确即可.详解：“的否命题为“逆命题是“的否定是““，则”为假命题，所以其逆否命题也为假命题， B.点睛：判断命题的真假应注意以下几个方面：(l)首先要分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系；(2)要注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题定为原命题，也就相应地确定了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”，注意利用“原命题”与“逆否命题”同真假；(3)判断命题真假时，可直接依据定义、定理、性质直接判断，也可使用特值进行排除.5. ）C. D.【答案】AA.6. 某几何体的三视图如图所示，俯视图中的两条曲线均为圆弧，则该几何体的体积为（）【答案】D，故体积为D.7.倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则在）A. B. C. D.【答案】A，可得对应的函数解析式为，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到的图象对应的函数解析式为:，故选A点睛：本题主要考查了三角函数的图象变换及三角函数性质，属于基础题；图象的伸缩变换的规律：（1）则所得图像对应的解析式为遵循“左加右减”；（2，那么所得图像8. 我国古代著名《九章算术》用“更相减损术”求两个正整数的最大公约数是一个伟大创举，这个伟大创举与我国古老的算法——“辗转相除法”实质一样.如图的程序框图即源于“辗转相除法”，当输入）【答案】A【解析】依次运行程序框图中的程序．a=6402，b=2046，执行循环体，r=264，a=2046，b=264；不满足条件，执行循环体，r=198，a=264，b=198；不满足条件，执行循环体，r=66，a=198，b=66；不满足条件，执行循环体，r=0，a=66，b=0．满足条件r=0，退出循环．输出a的值为66．选A．9. 若不等式恒成立，则实数为（）【答案】A，即，原问题转化为求解函数的最小值，整理函数的解析式有：令，则，令，则在区间上单调递减，在区间，据此可得，当取得最大值，则此时函数取得最小值，最小值为：本题选择A选项.10.）A. C. D.【答案】C【解析】，当时，时，，从而，因为，所以当C.或；第三步：比较两根同区间端点的大小；第四步：求极值；第五步：比较极值同端点值的大小．11. ：，，过，且的一个四等分点，则双曲线）【答案】B，则可设再由双曲线的定义，得到，这与所以是直角三角形，且,故选B.【点睛】本题考查了双曲线的定义与简单几何性质，直角三角形的判定与性质，考查转化思想与运算能力，立，经过分析，是直角三角形，之间的关系，的值，综合分析发现得到是直角三角形是解决问题的关键.12. 时，的取值范围是（）A. D.【答案】D的值，结合函数图象列不等式，即可得出.上含有上单调递增，在，，个正整数，分别为D.点睛：转化与划归思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺得到结论.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. _____．【解析】分析：，求出向量平面向量，然后利用向量的坐标运算求解.设出面:(1)求向量的夹角，；（2上的投影是（3;(4)求向量.14. _____．【答案】5展开式中的常数项是.15. 已知点是抛物线）上一点，是以点的两个公共点，且_____ ．【解析】由题意，可知，所以，所以。