任意角的概念与弧度制教案汇总

《任意角和弧度制》教案《任意角和弧度制》教案篇一：人教A版高中数学必修四1.1《任意角和弧度制》1.1《任意角和弧度制》教案【教学目标】1.理解任意角的概念.2.学会建立直角坐标系讨论任意角，判断象限角，掌握终边相同角的集合的书写.3.了解弧度制，能进行弧度与角度的换算.4.认识弧长公式，能进行简单应用.对弧长公式只要求了解，会进行简单应用，不必在应用方面加深.5.了解角的集合与实数集建立了一一对应关系，培养学生学会用函数的观点分析、解决问题.【导入新课】复习初中学习过的：角的度量、圆心角的度数与弧的度数及弧长的关系提出问题：1．初中所学角的概念.2．实际生活中出现一系列关于角的问题.3.初中的角是如何度量的？度量单位是什么？4.1°的角是如何定义的？弧长公式是什么？5.角的范围是什么？如何分类的？新授课阶段一、角的定义与范围的扩大1．角的定义：一条射线绕着它的端点O，从起始位置OA旋转到终止位置OB，形成一个角，点O是角的顶点，射线OA,OB分别是角的终边、始边.：在不引起混淆的前提下，“角”或“”可以简记为．2．角的分类：正角：按逆时针方向旋转形成的角叫做正角；负角：按顺时针方向旋转形成的角叫做负角；零角：如果一条射线没有做任何旋转，我们称它为零角.说明：零角的始边和终边重合.3．象限角：在直角坐标系中，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与某轴的非负轴重合，则（1）象限角：若角的终边（端点除外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角.例如：30,390,330都是第一象限角；300,60是第四象限角.（2）非象限角（也称象限间角、轴线角）：如角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限.例如：90,180,2等等.说明：角的始边“与某轴的非负半轴重合”不能说成是“与某轴的正半轴重合”.因为某轴的正半轴不包括原点，就不完全包括角的始边，角的始边是以角的顶点为其端点的射线.4．终边相同的角的集合：由特殊角30看出：所有与30角终边相同的角，连同30角自身在内，都可以写成30k360kZ的形式；反之，所有形如30k360kZ的角都与30角的终边相同.从而得出一般规律：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合S|k360,kZ，即：任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和.说明：终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同.例1在0与360范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限角？（1）120；（2）640；（3）95012.解：（1）120240360，所以，与120角终边相同的角是240，它是第三象限角；（2）640280360，所以，与640角终边相同的角是280角，它是第四象限角；（3）95012129483360，所以，95012角终边相同的角是12948角，它是第二象限角.例2若k3601575,kZ，试判断角所在象限.解：∵k3601575(k5)360225,(k5)Z∴与225终边相同，所以，在第三象限.例3写出下列各边相同的角的集合S，并把S中适合不等式360720的元素写出来：（1）60；（2）21；（3）36314．解：（1）S|60k360,kZ，S中适合360720的元素是601360300,60036060,601360420.（2）S|21k360,kZ，S中适合360720的元素是21036021,211360339,212260699（3）S|36314k360,kZS中适合360720的元素是36314236035646,363141360314,36314036036314.例4写出第一象限角的集合M．分析：（1）在360内第一象限角可表示为090；（2）与0,90终边相同的角分别为0k360,90k360,(kZ)；（3）第一象限角的集合就是夹在这两个终边相同的角中间的角的集合，我们表示为：M|k36090k360,kZ．学生讨论，归纳出第二、三、四象限角的集合的表示法：P|90k360180k360,kZ；N|90k360180k360,kZ；Q|2k360360k360,kZ．说明：区间角的集合的表示不唯一.例5写出y某(某0)所夹区域内的角的集合.解：当终边落在y某(某0)上时，角的集合为|45k360,kZ；当终边落在y某(某0)上时，角的集合为|45k360,kZ；所以，按逆时针方向旋转有集合：S|45k36045k360,kZ．二、弧度制与弧长公式1.角度制与弧度制的换算：∵360=2（rad），∴180=rad.∴1=180rad0.01745rad.1801rad57.305718.oSl2．弧长公式：lr.由公式：lnrlr.比公式l简单.r1801lR，其中l是扇形弧长，R是圆的半径.2弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积3．扇形面积公式S注意几点：1．今后在具体运算时，“弧度”二字和单位符号“rad”可以省略，如：3表示3rad，in表示rad角的正弦；2．一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住：3．应确立如下的概念：角的概念推广之后，无论用角度制还是弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系.任意角的集合实数集R例6把下列各角从度化为弧度：(1)252；（2）1115；(3)30；(4)6730.解：(1)/71（2）0.0625(3)(4)0.37556变式练习：把下列各角从度化为弧度：(1)22o30′；（2）-210o；(3)1200o.解：(1)；（2）18720；(3).63例7把下列各角从弧度化为度：（1）；(2)3.5；(3)2；(4)35.4解：（1）108o；(2)200.5o；(3)114.6o；(4)45o.变式练习：把下列各角从弧度化为度：（1）43；（2）-；（3）.12310解：（1）15o；（2）-240o；（3）54o.例8知扇形的周长为8cm，圆心角为2rad，，求该扇形的面积.解：因为2R+2R=8,所以R=2,S=4.课堂小结1．弧度制的定义；2．弧度制与角度制的转换与区别；3．.弧度制下的弧长公式和扇形面积公式，并灵活运用；篇二：(教案3)1.1任意角和弧度制1.1.1任意角教学目标：要求学生掌握用“旋转”定义角的概念，理解任意角的概念，学会在平面内建立适当的坐标系来讨论角；并进而理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义。

任意角的概念教案教案标题：任意角的概念教案教案目标：1. 理解任意角的概念及其特点。

2. 能够正确使用角度单位进行角的度量。

3. 能够在平面坐标系中绘制和标记任意角。

4. 能够通过已知角度的运算求解未知角度。

教学资源：1. 平面坐标系图纸和直尺。

2. 角度测量工具，如量角器或半圆规。

3. 白板、黑板或投影仪。

4. 角度计算练习题。

教学步骤：引入活动：1. 向学生展示一个直角，并询问他们对角的概念的理解。

2. 引导学生思考是否只有直角才是角，或者是否存在其他类型的角。

3. 引出任意角的概念，并解释任意角是介于0度和360度之间的角。

知识讲解：1. 介绍角的度量单位：度和弧度。

2. 解释度的概念，即一个圆共分为360度。

3. 介绍弧度的概念，即一个圆的周长为2π，因此一个圆共分为2π弧度。

4. 比较度和弧度的关系，强调在数学中常用度作为角的度量单位。

示范与实践：1. 在平面坐标系中示范绘制一个任意角，并解释如何使用直尺和角度测量工具进行角度的绘制和度量。

2. 要求学生在自己的平面坐标系图纸上练习绘制和度量不同的任意角。

3. 引导学生讨论他们绘制和度量角的过程中遇到的困难和技巧。

角度计算：1. 引导学生思考如何通过已知角度进行角度计算。

2. 解释角度计算的基本运算法则，如角的加法、减法、乘法和除法。

3. 提供一些角度计算的练习题，让学生运用所学知识进行解答。

总结与评价：1. 总结任意角的概念和特点。

2. 回顾学生在绘制和度量角以及角度计算方面的学习成果。

3. 对学生的表现进行评价，并提供必要的反馈和指导。

拓展活动：1. 鼓励学生探索其他类型的角，如锐角、钝角等，并比较它们与任意角的异同。

2. 引导学生思考角度在日常生活和实际问题中的应用，如测量角度、导航等。

教案评估：1. 观察学生在绘制和度量角以及角度计算练习中的表现。

2. 收集学生在课堂讨论和活动中的参与程度和回答问题的准确性。

3. 评估学生对任意角概念的理解程度和能力的提升。

教学计划：《任意角和弧度制》一、教学目标1.知识与技能：学生能够理解并掌握任意角的概念，熟悉角度制与弧度制的转换方法，掌握利用弧度制进行简单三角函数的计算。

2.过程与方法：通过直观演示和抽象概括，引导学生自主探究任意角与弧度制的定义及性质；通过例题解析和课堂练习，提高学生的逻辑思维能力和数学运算能力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生严谨的科学态度和探究精神；通过学习任意角和弧度制，让学生体会到数学知识的连续性和统一性。

二、教学重点和难点●教学重点：任意角的概念，角度制与弧度制的转换，弧度制下三角函数的基本性质。

●教学难点：理解并接受弧度制作为角的另一种度量方式，以及利用弧度制进行三角函数的计算。

三、教学过程1. 引入新课（约5分钟）●情境导入：以生活中的实例（如钟表指针的转动、体操运动员的旋转动作）为例，引导学生思考角的度量不仅仅局限于0°到360°之间，从而引出任意角的概念。

●定义揭示：明确任意角的定义，包括正角、负角和零角，强调角的旋转方向和度量范围。

●激发兴趣：简述历史上角度制与弧度制的发展过程，引起学生对弧度制的好奇心。

2. 讲授新知（约15分钟）●弧度制介绍：详细介绍弧度制的定义，即弧长与半径的比值，强调弧度制在三角学和微积分中的重要性。

●转换方法：讲解角度制与弧度制之间的转换公式，并通过具体例子演示转换过程。

●性质探讨：引导学生探讨弧度制下三角函数的基本性质，如正弦、余弦和正切函数的周期性、奇偶性等。

3. 直观演示与操作（约10分钟）●单位圆与弧度制：利用多媒体或实物教具展示单位圆上的角度与弧度的对应关系，加深学生对弧度制的理解。

●互动操作：让学生在纸上绘制单位圆，并尝试用尺子量取特定弧长，计算对应的弧度值，以增强感性认识。

●小组讨论：组织学生讨论角度制与弧度制的优缺点，促进知识的内化和吸收。

4. 例题解析与练习（约15分钟）●例题解析：选取典型例题，如角度制与弧度制的转换、利用弧度制计算三角函数值等，进行详细解析，展示解题步骤和思路。

人教版高中必修4-1.1 任意角和弧度制教学设计一、教学目标1.知识目标：理解弧长、辐角和弧度的概念，掌握弧度制与角度制的相互转换方法。

2.技能目标：能够准确地表示任意角的大小，计算圆的周长和面积。

3.情感目标：通过实际操作，培养学生良好的数学思维和解决问题的能力。

二、教学重点难点1.重点：弧长、辐角和弧度的概念，弧度制与角度制的相互转换。

2.难点：如何正确理解并计算任意角的大小，如何正确应用弧度制与角度制。

三、教学方法1.讲授与示范相结合的方法。

通过讲解和演示弧长、辐角和弧度的概念，引导学生理解概念。

2.反思式探究的方法。

通过完成一些练习题和实际操作，引导学生独立思考、合作探究和反思总结。

3.讨论交流的方法。

引导学生在小组内相互探讨、交流解题经验，加深对概念的理解和掌握技能。

四、教学过程1. 导入（5分钟）通过实际操作，向学生呈现“用刀割一个披萨”的活动，引导学生认识切割的式样以及分数的概念。

2. 概念讲解（25分钟）1.弧和弧长的概念：引导学生理解弧的概念，了解计算弧长的公式及其证明过程。

2.辐角和角的概念：引导学生掌握辐角和角的概念，了解任意角的大小的概念及其计算方法。

3.弧度制：介绍弧度制的概念及其优缺点，讲解弧度制与角度制的相互转换方法及应用。

3. 讲解示范（15分钟）示范如何计算各种角的大小及弧长的计算、圆的周长和面积的计算，并且提供实例进行实操。

4. 练习与应用（25分钟）1.对学生提供练习题及实际问题，引导学生计算弧长、辐角、面积和周长。

2.在小组内讨论交流、合作解题，加深对概念及计算方法的理解。

5. 总结反思（5分钟）互相交流解题经验，讲述探究过程，反思总结此次学习内容。

五、教学评价方法1.作业评价：检查学生的学习状况，对正确掌握本节课内容的学生进行表扬和奖励，帮助没有学好的学生弥补差漏。

2.学生综合评价：通过学生自我评价、小组评价、教师评价的方式，将本节课的学习成果进行综合评价。

4.1 任意角、弧度制及任意角的三角函数【教学目标】1．考查三角函数的定义及应用． 2．考查三角函数值符号的确定．【复习指导】从近几年的高考试题看，这部分的高考试题大多为教材例题或习题的变形与创新，因此学习中要立足基础，抓好对部分概念的理解．【基础梳理】 1．任意角 (1)角的概念的推广①按旋转方向不同分为 、 、 ． ②按终边位置不同分为 和 ． (2)终边相同的角终边与角α相同的角可写成α＋k ·360°(k ∈Z )． (3)弧度制①1弧度的角： 叫做1弧度的角．②规定：正角的弧度数为 ，负角的弧度数为 ，零角的弧度数为 ，|α|＝lr ，l 是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为半径．③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制，比值lr 与所取的r 的大小 ，仅与角的大小有关．④弧度与角度的换算：360°＝ 弧度；180°＝ 弧度． ⑤弧长公式： ，扇形面积公式：S 扇形＝12lr ＝12|α|r 2.2．任意角的三角函数定义设α是一个任意角，角α的终边上任意一点P (x ，y )，它与原点的距离为r (r ＞0)，那么角α的正弦、余弦、正切分别是：sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝yx ，它们都是以角为 ，以比值为 的函数． 3．三角函数线设角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P ，过P 作PM 垂直于x 轴于M ，则点M 是点P 在x 轴上的 ．由三角函数的定义知，点P 的坐标为 ，即P ，其中cos α＝ ，sin α＝ ，单位圆与x 轴的正半轴交于点A ，单位圆在A 点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T ，则tan α＝ .我们把有向线段OM 、MP 、AT 叫做α的 、 、 ．三角函数线有向线段 为正弦线有向线段为余弦线有向线段 为正切线考向分析考向一 角的集合表示及象限角的判定【例1】►(1)写出终边在直线y ＝3x 上的角的集合；(2)若角θ的终边与6π7角的终边相同，求在[0,2π)内终边与θ3角的终边相同的角；(3)已知角α是第二象限角，试确定2α、α2所在的象限．【训练1】 角α与角β的终边互为反向延长线，则( )． A ．α＝－β B ．α＝180°＋β C ．α＝k ·360°＋β(k ∈Z ) D ．α＝k ·360°±180°＋β(k ∈Z )考向二 三角函数的定义【例2】►已知角θ的终边经过点P (－3，m )(m ≠0)且sin θ＝24m ，试判断角θ所在的象限，并求cos θ和tan θ的值．【训练2】已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝( )．A ．－45B ．－35 C.35 D.45考向三 弧度制的应用【例3】►已知半径为10的圆O 中，弦AB 的长为10. (1)求弦AB 所对的圆心角α的大小；(2)求α所在的扇形的弧长l 及弧所在的弓形的面积S .【训练3】 已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形面积最大？考向四 三角函数线及其应用【例4】►在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围．并由此写出角α的集合： (1)sin α≥32； (2)cos α≤－12.【训练4】 求下列函数的定义域： (1)y ＝2cos x －1； (2)y ＝lg(3－4sin 2x )．提升演练1．下列与9π4的终边相同的角的表达式中正确的是( )．A ．2k π＋45°(k ∈Z )B ．k ·360°＋94π(k ∈Z )C ．k ·360°－315°(k ∈Z )D ．k π＋5π4(k ∈Z )2．若α＝k ·180°＋45°(k ∈Z )，则α在( )． A ．第一或第三象限 B ．第一或第二象限 C ．第二或第四象限D ．第三或第四象限3．若sin α＜0且tan α＞0，则α是( )． A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角D ．第四象限角 4．已知角α的终边过点(－1,2)，则cos α的值为( )． A ．－55 B.255 C ．－255 D ．－125．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴非负半轴，若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝________.答案【基础梳理】 1．(1)①正角、负角、零角 ②象限角和轴线角． (3)弧度制①把长度等于半径长的弧所对的圆心角 ②正数 负数 零 ③无关 ④2π π ⑤ l ＝|α|r2．自变量 函数值3．正射影 (cos α，sin α) P (cos α，sin α) OM MP AT 余弦线、正弦线、正切线．MPOMAT【例1】►[审题视点] 利用终边相同的角进行表示及判断． 解： (1)在(0，π)内终边在直线y ＝3x 上的角是π3，∴终边在直线y ＝3x 上的角的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α＝π3＋k π，k ∈Z .(2)∵θ＝6π7＋2k π(k ∈Z )，∴θ3＝2π7＋2k π3(k ∈Z )．依题意0≤2π7＋2k π3＜2π⇒－37≤k ＜187，k ∈Z .∴k ＝0,1,2，即在[0,2π)内终边与θ3相同的角为2π7，20π21，34π21.(3)∵α是第二象限角，∴k ·360°＋90°＜α＜k ·360°＋180°，k ∈Z . ∴2k ·360°＋180°＜2α＜2k ·360°＋360°，k ∈Z .∴2α是第三、第四象限角或角的终边在y 轴非正半轴上． ∵k ·180°＋45°＜α2＜k ·180°＋90°，k ∈Z ，当k ＝2m (m ∈Z )时，m ·360°＋45°＜α2＜m ·360°＋90°；当k ＝2m ＋1(m ∈Z )时，m ·360°＋225°＜α2＜m ·360°＋270°；∴α2为第一或第三象限角． 方法总结： (1)相等的角终边一定相同，但终边相同的角却不一定相等，终边相同的角有无数个，它们之间相差360°的整数倍．(2)角的集合的表示形式不是唯一的，如：终边在y 轴非正半轴上的角的集合可以表示为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ＝2k π－π2，k ∈Z ，也可以表示为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝2k π＋3π2，k ∈Z .【训练1】【解析】对于角α与角β的终边互为反向延长线，则α－β＝k ·360°±180°(k ∈Z )． ∴α＝k ·360°±180°＋β(k ∈Z )． 【答案】D【例2】► [审题视点] 根据三角函数定义求m ，再求cos θ和tan θ. 解 由题意得，r ＝3＋m 2，∴m 3＋m 2＝24m ，∵m ≠0， ∴m ＝±5，故角θ是第二或第三象限角．当m ＝5时，r ＝22，点P 的坐标为(－3，5)，角θ是第二象限角， ∴cos θ＝x r ＝－322＝－64，tan θ＝y x ＝5－3＝－153.当m ＝－5时，r ＝22，点P 的坐标为(－3，－5)，角θ是第三象限角． ∴cos θ＝x r ＝－322＝－64，tan ＝y x ＝－5－3＝153.方法总结： 任意角的三角函数值仅与角α的终边位置有关，而与角α终边上点P 的位置无关．若角α已经给出，则无论点P 选择在α终边上的什么位置，角α的三角函数值都是确定的． 【训练2】【解析】 取终边上一点(a,2a )，a ≠0，根据任意角的三角函数定义，可得cos θ＝±55，故cos 2θ＝2cos 2θ－1＝－35.【答案】 B 【例3】►[审题视点] (1)由已知条件可得△AOB 是等边三角形，可得圆心角α的值；(2)利用弧长公式可求得弧长，再利用扇形面积公式可得扇形面积，从而可求弓形的面积． 解： (1)由⊙O 的半径r ＝10＝AB ，知△AOB 是等边三角形， ∴α＝∠AOB ＝60°＝π3.(2)由(1)可知α＝π3，r ＝10，∴弧长l ＝α·r ＝π3×10＝10π3，∴S 扇形＝12lr ＝12×10π3×10＝50π3，而S △AOB ＝12·AB ·1032＝12×10×1032＝5032，∴S ＝S 扇形－S △AOB ＝50⎝⎛⎭⎫π3－32.方法总结： 弧度制下的扇形的弧长与面积公式，比角度制下的扇形的弧长与面积公式要简洁得多，用起来也方便得多．因此，我们要熟练地掌握弧度制下扇形的弧长与面积公式． 【训练3】解： 设圆心角是θ，半径是r ，则2r ＋rθ＝40， S ＝12lr ＝12r (40－2r )＝r (20－r )≤⎝⎛⎭⎫2022＝100. 当且仅当r ＝20－r ，即r ＝10时，S max ＝100.∴当r ＝10，θ＝2时，扇形面积最大，即半径为10，圆心角为2弧度时，扇形面积最大． 【例4】►[审题视点] 作出满足sin α＝32，cos α＝－12的角的终边，然后根据已知条件确定角α终边的范围． 解：(1)作直线y ＝32交单位圆于A 、B 两点，连接OA 、OB ，则OA 与OB 围成的区域(图中阴影部分)即为角α的终边的范围，故满足条件的角α的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪2k π＋π3≤α≤2k π＋23π，k ∈Z .(2)作直线x ＝－12交单位圆于C 、D 两点，连接OC 、OD ，则OC 与OD 围成的区域(图中阴影部分)即为角α终边的范围，故满足条件的角α的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪2k π＋23π≤α≤2k π＋43π，k ∈Z .方法总结： 利用单位圆解三角不等式(组)的一般步骤是： (1)用边界值定出角的终边位置； (2)根据不等式(组)定出角的范围； (3)求交集，找单位圆中公共的部分； (4)写出角的表达式． 【训练4】解 (1)∵2cos x －1≥0，∴cos x ≥12.由三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)．∴定义域为⎣⎡⎦⎤2k π－π3，2k π＋π3(k ∈Z )． (2)∵3－4sin 2x ＞0， ∴sin 2x ＜34，∴－32＜sin x ＜32. 利用三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)，∴定义域为⎝⎛⎭⎫k π－π3，k π＋π3(k ∈Z )．提升演练 1．【解析】与9π4的终边相同的角可以写成2k π＋94π(k ∈Z )，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有答案C 正确． 【答案】C 2．【解析】当k ＝2m ＋1(m ∈Z )时，α＝2m ·180°＋225°＝m ·360°＋225°，故α为第三象限角； 当k ＝2m (m ∈Z )时，α＝m ·360°＋45°，故α为第一象限角． 【答案】A 3．【解析】由sin α＜0知α是第三、四象限或y 轴非正半轴上的角，由tan α＞0知α是第一、三象限角．∴α是第三象限角． 【答案】C 4．【解析】由三角函数的定义可知，r ＝5，cos α＝－15＝－55.【答案】A 5．【解析】根据正弦值为负数且不为－1，判断角在第三、四象限，再加上横坐标为正，断定该角为第四象限角，∴y ＜0，sin θ＝y 16＋y 2＝－255⇒y ＝－8.【答案】－8。

1.1任意角和弧度制教学设计教案第一篇：1.1 任意角和弧度制教学设计教案教学准备1.教学目标1、知识与技能（1）推广角的概念、引入正角和负角；（2）理解并掌握正角、负角、零角的定义；（3）理解任意角以及象限角的概念；(4)掌握所有与角终边相同的角（包括角）的表示方法；（5）树立运动变化观点，深刻理解推广后的角的概念.2、过程与方法通过创设情境：“转体，逆（顺）时针旋转2周”，角有正角、零角和旋转方向不同所形成的角等，引入正角、负角和零角的概念；角的概念得到推广以后，将角放入平面直角坐标系，引入象限角、非象限角的概念及象限角的判定方法；列出几个终边相同的角，画出终边所在的位置，找出它们的关系，探索具有相同终边的角的表示.3、情态与价值通过本节的学习，使同学们对角的概念有了一个新的认识，即有正角、负角和零角之分.角的概念推广以后，知道角之间的关系.学会运用运动变化的观点认识事物.2.教学重点/难点重点: 理解正角、负角和零角的定义，掌握终边相同角的表示法.难点: 终边相同的角的表示.3.教学用具多媒体4.标签任意角教学过程【创设情境】思考:你的手表慢了5分钟，你是怎样将它校准的？假如你的手表快了1.25小时，你应当如何将它校准？当时间校准以后，分针转了多少度？[取出一个钟表,实际操作]我们发现，校正过程中分针需要正向或反向旋转，有时转不到一周，有时转一周以上,这就是说角已不仅仅局限于之间，这正是我们这节课要研究的主要内容——任意角.【探究新知】1．初中时，我们已学习了角的概念，它是如何定义的呢？[展示投影]角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.如图1.1-1，一条射线由原来的位置，绕着它的端点按逆时针方向旋转到终止位置，就形成角.旋转开始时的射线叫做角的始边，叫终边，射线的端点叫做叫的顶点.2.如上述情境中所说的校准时钟问题以及在体操比赛中我们经常听到这样的术语：“转体”（即转体2周），“转体”（即转体3周）等,都是遇到大于的角以及按不同方向旋转而成的角.同学们思考一下:能否再举出几个现实生活中“大于的角或按不同方向旋转而成的角”的例子,这些说明了什么问题?又该如何区分和表示这些角呢? [展示课件]如自行车车轮、螺丝扳手等按不同方向旋转时成不同的角, 这些都说明了我们研究推广角概念的必要性.为了区别起见，我们规定:按逆时针方向旋转所形成的角叫正角(positive angle),按顺时针方向旋转所形成的角叫负角(negative angle).如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角(zero angle).[展示课件]如教材图1.1.3(1)中的角是一个正角,它等于；图1.1.3(2)中，正角，负角；这样，我们就把角的概念推广到了任意角（any angle）,包括正角、负角和零角.为了简单起见，在不引起混淆的前提下，“角”或“”可简记为.3.在今后的学习中，我们常在直角坐标系内讨论角，为此我们必须了解象限角这个概念.角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合。

数学教案高中弧度制
教学目标：
1. 了解弧度制的定义和基本概念；
2. 掌握弧度和角度的换算方法；
3. 熟练运用弧度制解决相关数学问题。

教学重点：
1. 弧度制的定义和基本概念；
2. 弧度和角度的换算；
3. 弧度制的运用。

教学难点：
1. 弧度和角度的换算方法；
2. 弧度制与角度制的转换；
3. 弧度制在解决问题中的应用。

教学准备：
1. 教案、教材、课件；
2. 黑板、彩色粉笔、橡皮；
3. 学生练习册。

教学过程：
一、导入（5分钟）
教师介绍弧度制的概念，引导学生思考角度和弧度之间的关系。

二、讲解（15分钟）
1. 弧度的定义和性质；
2. 弧度和角度的换算方法；
3. 弧度制在三角函数中的应用。

三、示范（10分钟）
教师通过例题演示如何将角度转换为弧度，以及如何运用弧度制解决三角函数问题。

四、练习（15分钟）
学生进行练习，巩固弧度制的相关知识。

五、梳理（5分钟）
教师梳理本节课的重点和难点，给予学生反馈。

六、作业（5分钟）
布置相关作业，要求学生独立完成，以巩固弧度制的知识。

教学延伸：
教师可以通过讲解弧长公式、扇形面积计算等内容，进一步拓展学生对弧度制的理解和运用。

教学反思：
本节课教学难点在于学生对弧度和角度的换算容易混淆，需要通过实例演示和练习巩固。

教师在教学过程中应引导学生思考，激发他们对数学知识的兴趣和探索欲望。

任意角和弧度制教案教案标题：任意角和弧度制教案教案目标：1. 了解任意角的概念，能够在坐标系中表示和定位任意角。

2. 理解弧度制的概念，能够在弧度制和度数制之间进行转换。

3. 掌握任意角的三角函数值的计算方法。

教学准备：1. 教师准备：教学投影仪、白板、笔记本电脑、教学PPT等。

2. 学生准备：纸和铅笔。

教学过程：Step 1: 引入1. 教师通过展示一张钟表图，引导学生思考角度的概念。

提问：你们平时见过哪些角度的度量方式？2. 学生回答后，教师解释度数制的概念，并引出本节课学习的内容：任意角和弧度制。

Step 2: 任意角的表示和定位1. 教师通过示意图和坐标系，解释任意角的表示方法。

提醒学生注意正角、负角和零角的特点。

2. 学生跟随教师的指导，在纸上练习绘制不同角度的示意图，并用坐标系表示和定位这些角。

Step 3: 弧度制的介绍和转换1. 教师给出弧度制的定义：1弧度是半径等于1的圆的弧所对应的角。

2. 教师通过示意图和实际物体（如一根铁丝弯成的圆弧），展示弧度制的概念和计算方法。

3. 教师引导学生进行度数制和弧度制之间的转换练习，提供一些常见的转换例题。

Step 4: 任意角的三角函数值的计算1. 教师复习正弦、余弦和正切的定义，并介绍任意角的三角函数值的计算方法。

2. 教师通过示例演示三角函数值的计算步骤，引导学生进行练习。

Step 5: 拓展应用1. 教师提供一些与任意角和弧度制相关的实际问题，引导学生运用所学知识解决问题。

2. 学生个别或小组合作完成拓展应用题。

Step 6: 总结和归纳1. 教师带领学生总结本节课所学内容，并强调重点和难点。

2. 学生将所学知识进行整理和归纳，完成课堂笔记。

Step 7: 作业布置1. 教师布置相关的课后作业，包括练习题和思考题。

2. 学生完成作业，以便巩固所学知识。

教学评估：1. 教师观察学生在课堂上的参与度和理解程度。

2. 教师检查学生完成的课堂练习和作业，评估学生的掌握情况。

任意角的概念与弧度制教案数学课程第7章第7.1.1节任意角的概念知识目标：1.了解角的概念推广的实际背景意义；2.理解任意角、象限角、界限角、终边相同的角的概念。

教学备品：教学课件、研究演示用具（两个硬纸条一个扣钉）。

授课班级：海乘1601/轮机1601授课时间：10周授课方法：讲授法教学目的能力目标：1.能够判断角所在的象限；2.能够求指定范围内与已知角终边相同的角；3.培养观察能力和计算技能。

教学重点：终边相同角的概念。

教学难点：终边相同角的表示和确定。

教学过程】1.揭示课题：任意角的概念与弧度制。

2.创设情景兴趣导入：问题1：游乐场的摩天轮，每一个轿厢挂在一个旋臂上，___与___两人同时登上摩天轮，旋臂转过一圈后，___下了摩天轮，___继续乘坐一圈。

那么，___走下来时，旋臂转过的角度是多少呢？问题2：用活络扳手旋松螺母，当扳手按逆时针方向由OA旋转到OB位置时，就形成一个角；在扳手由OA逆时针旋转10周的过程中，就形成了0°到360°之间的角；扳手继续旋转下去，就形成大于的角。

如果用扳手旋紧螺母，就需将扳手按顺时针方向旋转，形成与上述方向的角。

通过上面的三个实例，发现仅用锐角或0°360°范围的角，已经不能反映生产、生活中的一些实际问题，需要对角的概念进行推广。

3.动脑思考探索新知：任意角的概念：一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O，按逆时针（或顺时针）方向旋转到另一位置OB就形成角α。

旋转开始位置的射线OA叫角α的始边，终止位置的射线OB叫做角α的终边，端点O叫做角α的顶点。

4.讲解关键点：任意角的概念推广的实际背景意义，以及任意角、象限角、界限角、终边相同的角的概念。

5.结合图形讲解角的图形，并可以加入学生的举例。

6.练和讨论深化、巩固知识，培养能力。

7.反思交流中，总结知识，品味研究方法。

动轴转动，主动轴每分钟转速为1800转，从动轴每分钟转速为1200转，试求主动轴和从动轴之间的转速比。

1、1任意角和弧度制一、教材说明：本节任意角和弧度制选自必修四第一章第一节二、三维目标（一）知识与技能（1）了解正、负角与零角的相关定义；（2）根据图形写出角及根据终边写出角的集合；（3）了解弧度制；（二）过程与方法（1）培养学生数型转化的思想；（2）训练学生思维活跃性，能够举一反三；（3）培养学生思维的抽象与具体转化的过程；（三）情感态度与价值观（1）增强学生观察生活中事物的规律能力；（2）在老师的引导下建立数学模型，把数学运用到生活中去；三、教学重难点（一）重点（1）根据图形写出任意角度数；（2）根据已知图形终边位置写出该终边所表示的角的集合；（二）难点根据终边写角的集合（三）教学设计（1）情境设计（2）教学过程（3）给出相关定义（4）举出例题，深化正负角定义（5）提出要点（6）提出关于终边相同，写出所有角所在集合（7）通过练习（教师引导，并作为主体练习），能够独立进行习题练习（8）学生自主练习、教师个别指导、师生互动（9）习题讲解（10）归纳总结（11）引出下堂课知识点：弧度制（12）布置作业四、教学过程（一）创设情境（1）墙上挂钟，在某段时间内，指针转过角度；（2）当手表不准时，我们旋转指针使之准时，这是指针转过的角度是多少？方向如何？（二）揭示课题（1）1、1任意角和弧度制（2）1、1、1任意角（三）复习旧知识顺时针、逆时针（四）给出例题（1）当指针快速顺时针由“12”调至“6”，指针转过多少度？（2）指针由“6”又调回到“12”是，转过角度如何？方向又怎样呢？（五）给出正角、负角定义（1）正角：逆时针方向旋转形成的角叫做正角；（2）负角：顺时针方向旋转形成的角叫做负角；（六）注意要点如果一条射线没有做任何旋转，则称它为零角。

（七）复习旧知识（1）0°-180°内所有角（2）周角（3）平角的整数倍所有角（八）新知识（1）任意角的表示方法；（2）判断当角的始变何种变相同时，角度是否相同。

任意角概念教案教案标题：任意角概念教案教学目标：1. 理解任意角的概念，包括度数和弧度的表示方法。

2. 掌握任意角的基本性质和常见角度的度数。

3. 能够在几何图形中识别和绘制任意角。

教学准备：1. 教材：包含任意角概念的相关知识点。

2. 教具：直尺、量角器、圆规、白板、马克笔等。

3. 图形素材：包括各种角度的图形示例。

教学过程：引入：1. 创设情境：通过展示一张包含不同角度的图形，引起学生对角度的兴趣。

2. 提问：请学生思考并回答下列问题：- 你对角度有什么了解？- 你能否举出一些常见的角度？- 为什么我们需要学习和理解角度的概念？探究：1. 角度的定义：- 引导学生观察图形中的角，并引导他们给出角度的定义。

- 引导学生发现角度的度数表示和弧度表示。

- 引导学生思考度数和弧度之间的关系。

2. 角度的度数表示：- 介绍角度的度数表示方法，即用数字表示角度的大小。

- 示范如何使用量角器测量角度，并让学生进行实际操作。

- 引导学生练习将常见角度转化为度数表示。

3. 角度的弧度表示：- 介绍角度的弧度表示方法，即用弧长与半径之比表示角度大小。

- 示范如何使用圆规和直尺测量角度的弧长，并让学生进行实际操作。

- 引导学生练习将常见角度转化为弧度表示。

4. 角度的基本性质：- 介绍角度的基本性质，如角度的大小范围、角度的对立角和补角等。

- 引导学生通过观察图形和计算角度，发现和验证角度的基本性质。

应用：1. 角度在几何图形中的应用：- 引导学生观察不同几何图形中的角度，并让他们识别和命名这些角。

- 引导学生练习使用直尺和圆规绘制给定角度。

2. 角度的实际应用：- 引导学生思考角度在实际生活中的应用，如地图定位、建筑设计等。

- 鼓励学生分享自己在日常生活中遇到的角度问题，并进行讨论和解决。

总结：1. 回顾所学内容，强调任意角的概念和表示方法。

2. 检查学生对所学知识的掌握情况，解答学生提出的问题。

3. 布置相关练习作业，巩固学生对任意角概念的理解和应用。

一、课堂导入在花样滑冰比赛中，运动员的动作是那么优美！尤其是原地转身和空中翻转动作都让我们叹为观止．运动员在原地转身的动作中，仅仅几秒内就能旋转十几圈，甚至二十几圈，因此，花样滑冰美丽而危险．我们利用以前学的角的范围是0°≤α≤180°，你还能算出他们在一次原地转身三圈的动作中转过的角度吗？二、1．初中我们已经学习过角，那么初中对角的定义是什么呢？所谓角就是________________．2．角按大小进行分类，可分为锐角、钝角和直角．锐角的范围为________，钝角的范围为________，直角的度数为________．三、知识讲解考点1 角的有关概念考点2 弧度的概念与公式在半径为r的圆中考点3三角函数正弦余弦正切定义设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么y叫做α的正弦，记作sin αx叫做α的余弦，记作cos αyx叫做α的正切，记作tan α各象限符号Ⅰ正正正Ⅱ正负负Ⅲ负负正Ⅳ负正负口诀一全正，二正弦，三正切，四余弦三角函数线有向线段MP为正弦线有向线段OM为余弦线有向线段AT为正切线四、例题精析【例题1】【题干】(1)已知角α＝2kπ－π5(k∈Z)，若角θ与角α的终边相同，则y＝sin θ|sin θ|＋|cos θ|cos θ＋tan θ|tan θ|的值为( )A．1 B．－1C．3 D．－3(2)已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解析】(1)选B 由α＝2k π－π5(k ∈Z )及终边相同角的概念知，α的终边在第四象限，又θ与α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以sin θ＜0，cos θ＞0，tan θ＜0.因此，y ＝－1＋1－1＝－1.(2)选B ∵点P (tan α，cos α)在第三象限， ∴⎩⎨⎧tan α＜0，cos α＜0，∴α是第二象限角.【例题2】【题干】已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sin α，cos α，tan α的值．【解析】∵角α的终边在直线3x＋4y＝0上，∴在角α的终边上任取一点P(4t，－3t)(t≠0)，则x＝4t，y＝－3t，r＝x2＋y2＝4t2＋－3t2＝5|t|.当t＞0时，即x>0时，r＝5t，sin α＝yr＝－3t5t＝－35，cos α＝xr＝4t5t＝45，tan α＝yx＝－3t4t＝－34；当t＜0时，即x<0时，r＝－5t，sin α＝yr＝－3t－5t＝35，cos α＝xr＝4t－5t＝－45，tan α＝yx＝－3t4t＝－34.综上可知，当角α的终边在直线3x＋4y＝0的x>0部分时，sin α＝－35，cos α＝45，tan α＝－34；当角α的终边在直线3x＋4y＝0的x<0部分时，sin α＝35，cos α＝－45，tan α＝－34.【例题3】【题干】已知在半径为10的圆O中，弦AB的长为10，(1)求弦AB所对的圆心角α的大小；(2)求α所在的扇形弧长l及弧所在的弓形的面积S.(1)如图所示，过O 作OC ⊥AB 于点C ，则AC ＝5，在Rt △ACO 中，sin ∠AOC ＝AC AO ＝510＝12，∴∠AOC ＝30°，∴α＝2∠AOC ＝60°.(2)∵60°＝π3，∴l ＝|α|r ＝10π3.S 扇＝12lr ＝12×10π3×10＝50π3.又S △AOB ＝12×10×10sin π3＝253，∴S 弓形＝S 扇－S △AOB ＝50π3－253＝50⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－32.【题干】如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P的位置在(0,0)，圆在x轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于(2,1)时，OP的坐标为________．【答案】(2－sin 2,1－cos 2)【解析】因为圆心移动的距离为2，所以劣弧PA ＝2，即∠PCA ＝2，则∠PCB ＝2－π2，所以PB ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2－π2＝－cos 2，CB ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－π2＝sin 2，所以x P ＝2－CB ＝2－sin 2，y P ＝1＋PB ＝1－cos 2，所以OP ＝(2－sin 2，1－cos 2)．五、课堂运用【基础】1．若α＝k·180°＋45°(k∈Z)，则α在( )A．第一或第三象限B．在第一或第二象限C．第二或第四象限D．在第三或第四象限解析：选A 当k为偶数时，α的终边与45°角的终边相同，是第一象限角平分线；当k为奇数时，α的终边与45°角的终边在同一条直线上，是第三象限角平分线．2．已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cos α≤0，sin α＞0，则实数a的取值范围是( ) A．(－2,3] B．(－2,3)C．[－2,3) D．[－2,3]解析：选A 由cos α≤0，sin α＞0可知，角α的终边落在第二象限内或y 轴的正半轴上，所以有⎩⎨⎧ 3a －9≤0，a ＋2＞0，即－2＜a ≤3.3．点P 从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，122π3＝－12，y＝sin2π3＝32.解析：选A 由三角函数定义可知Q点的坐标(x，y)满足x＝cos【巩固】4．若点P(x，y)是300°角终边上异于原点的一点，则yx的值为________．解析：yx＝tan 300°＝tan(360°－60°)＝－tan 60°＝－ 3.答案：－34 5，则m的值为________．5．已知角α的终边过点P(－8m，－6sin 30°)，且cos α＝－解析：∵r＝64m2＋9，∴cos α＝－8m64m2＋9＝－45，∴m＞0，∴4m264m2＋9＝125，∴m＝±12.∵m＞0，∴m＝1 2 .答案：1 2【拔高】6．已知一扇形的圆心角为α(α＞0)，所在圆的半径为R.若扇形的周长是一定值C(C＞0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？解：∵扇形周长C ＝2R ＋l ＝2R ＋αR ，∴R ＝C 2＋α， ∴S 扇＝12α·R 2＝12α·⎝ ⎛⎭⎪⎫C 2＋α2 ＝C 22α·14＋4α＋α2＝C 22·14＋α＋4α≤C 216，当且仅当α2＝4，即α＝2时，扇形面积有最大值C 216.7．角α终边上的点P与A(a,2a)关于x轴对称(a＞0)，角β终边上的点Q与A关于直线y＝x对称，求sin α·cos α＋sin β·cos β＋tan α·tan β的值．解：由题意得，点P 的坐标为(a ，－2a )，点Q 的坐标为(2a ，a )．所以，sin α＝－2a a 2＋－2a 2＝－25，cos α＝a a 2＋－2a 2＝15，tan α＝－2aa ＝－2，sin β＝a 2a 2＋a 2＝15，cos β＝2a 2a 2＋a 2＝25，tan β＝a 2a ＝12，故有sin α·cos α＋sin β·cos β＋tanα·tan β＝－25·15＋15·25＋(－2)×12＝－1.课程小结1.对任意角的理解(1)“小于90°的角”不等同于“锐角”“0°～90°的角”不等同于“第一象限的角”．其实锐角的集合是{α|0°<α<90°}，第一象限角的集合为{α|k ·360°<α<k ·360°＋90°，k ∈Z }．(2)终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同，终边相同的角的同一三角函数值相等．2．三角函数定义的理解三角函数的定义中，当P (x ，y )是单位圆上的点时有sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y x ，但若不是单位圆时，如圆的半径为r ，则sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x .（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。

任意角的概念与弧度制教案一、任意角的概念：1.任意角的定义：在坐标平面上，如果将终边与正半轴之间的交点记作点A，即A=(1,0)，以正向旋转方向将终边与正半轴旋转到位时所转过的角叫做任意角。

任意角由初始边和终边两部分构成。

2.任意角的位置：任意角不限于0到360度之间，可以是任意大小的角度。

旋转方向可以是正向（逆时针）或反向（顺时针）。

3.任意角的度数：任意角的度数即为终边与正半轴的夹角的度数，用角度符号°表示。

4.任意角的象限：根据终边在哪个象限上，可以将任意角分为一、二、三、四象限。

二、弧度制的概念：1.弧度的定义：将半径等于1的圆的周长分成等份，每份叫做一个弧度。

如果圆上的一段弧的长度等于半径的长度，则该弧对应的角叫做一弧度。

2.弧度与度数的关系：360°对应的弧度为2π，即一周对应2π弧度。

所以，任意角对应的弧度数等于该角度数乘以π/180。

3.弧度制的优势：在三角函数的计算中，弧度制比度数制更为方便和精确，有利于进行各种数学计算。

三、教学步骤：教学目标：学生了解任意角的概念与弧度制的定义，掌握任意角的度数与弧度的转化关系。

教学步骤：Step 1：导入新知识通过出示一个角的图片，提问学生这个角是什么角，是否为任意角。

引导学生思考任意角的含义与特点。

Step 2：任意角的概念解释与举例教师对任意角的概念进行解释，并用实际生活中的例子来说明。

比如：针对绕场地跑的运动员，可以将终点的方向与正北方向之间的夹角视为任意角。

Step 3：弧度制的引入教师让学生回忆以前学过的圆的知识，引出弧度的概念。

通过实际的展示，向学生展示单位圆上的一个弧度与该弧度对应的角。

Step 4：弧度与度数的转化通过一个表格或示例，教师向学生解释弧度与度数之间的转化关系。

提醒学生要掌握好π、角度、弧度之间的换算。

Step 5：练习与巩固提供一些练习题，让学生进行弧度与度数之间的互相转化，巩固所学知识。

Step 6：拓展应用教师提出一些与弧度制相关的实际问题，让学生运用所学知识解决问题。

任意角的概念与弧度制教案一、概念解释任意角是指角的顶点可以位于坐标系中的任意位置，而不仅仅局限于角的顶点位于原点或坐标轴上。

在平面直角坐标系中，如果将角的顶点放在原点上，且不在坐标轴上，则该角为任意角。

在数学中，角的度量方式有两种，分别是度度量和弧度度量。

本教案将重点介绍弧度制的概念与应用。

二、弧度制的定义弧度制是一种用弧长来度量角的单位制度。

弧度制中，角的度量用弧长与半径相等的弧所对应的弧度数表示。

三、弧度制与度度量的转换1. 弧度制转度度量：角度(度) = 弧度数× (180°/π)2. 度度量转弧度制：弧度数 = 角度(度) × (π/180°)四、弧度制的优点1. 精确性：弧度制可以更精确地表示小角度，保证计算结果的准确性。

2. 便利性：在三角函数的计算中，弧度制更便于推导与计算，使得计算过程更加简洁。

3. 单位统一：由于弧度制是用弧长来度量角度的单位制度，使得角度和长度的单位得到了统一。

五、任意角的弧度表示在任意角中，以顺时针为正方向，角的弧度表示为正角度的弧度数。

六、弧度制在三角函数中的应用在三角函数中，弧度制是最常用的单位制度。

以下是几个常用三角函数值对应的弧度制表示：1. 正弦函数：sin(30°) = sin(π/6) = 0.52. 余弦函数：cos(45°) = cos(π/4) = 0.7073. 正切函数：tan(60°) = tan(π/3) = √3七、弧度制的练习与应用1. 练习一：求解以下各角的弧度制表示：a) 45°b) 60°c) 90°2. 练习二：根据题意求解下列三角函数的值（保留两位小数）：a) sin(π/4)b) cos(π/3)c) tan(π/6)3. 应用一：计算角度为45°的正弦值解答：sin(45°) = sin(π/4) = 0.7074. 应用二：计算角度为60°的余弦值解答：cos(60°) = cos(π/3) = 0.5八、总结通过本教案的学习，我们了解了任意角的概念以及其中的弧度制度量方式。

角与弧度的互换教案【篇一：任意角的概念与弧度制教案】【篇二：角的推广及弧度制教案】主备教师：彭介顾审核：高一备课组授课时间：年月日星期【篇三：人教a版高中数学必修四 1.1《任意角和弧度制》教案】1.1 《任意角和弧度制》教案【教学目标】 1.理解任意角的概念.2.学会建立直角坐标系讨论任意角，判断象限角，掌握终边相同角的集合的书写. 3.了解弧度制，能进行弧度与角度的换算.4.认识弧长公式，能进行简单应用.对弧长公式只要求了解，会进行简单应用，不必在应用方面加深.5.了解角的集合与实数集建立了一一对应关系，培养学生学会用函数的观点分析、解决问题. 【导入新课】复习初中学习过的知识：角的度量、圆心角的度数与弧的度数及弧长的关系提出问题：1．初中所学角的概念.一、角的定义与范围的扩大正角：按逆时针方向旋转形成的角叫做正角；负角：按顺时针方向旋转形成的角叫做负角；零角：如果一条射线没有做任何旋转，我们称它为零角. 说明：零角的始边和终边重合. 3．象限角：在直角坐标系中，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负轴重合，则（1）象限角：若角的终边（端点除外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角. 例如：30 ,390 ,-330 都是第一象限角；300 ,-60 是第四象限角.（2）非象限角（也称象限间角、轴线角）：如角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限.例如：90 ,180 ,270 等等.说明：角的始边“与x轴的非负半轴重合”不能说成是“与x轴的正半轴重合”.因为x轴的正半轴不包括原点，就不完全包括角的始边，角的始边是以角的顶点为其端点的射线.4．终边相同的角的集合：由特殊角30看出：所有与30角终边相同的角，连同30角自身在内，都可以写成30+k?360(k∈z)的形式；反之，所有形如30 +k?360 (k∈z)的角都与30 角的终边相同.从而得出一般规律：例1在0与360范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限角？（1）-120；（2）640；（3）-95012.解：（1）-120=240-360，所以，与-120角终边相同的角是240，它是第三象限角；（2）640=280+360，所以，与640角终边相同的角是280角，它是第四象限角；（3）-95012=12948-3?360，所以，-95012角终边相同的角是12948角，它是第二象限角.{}60 -1?360 =-300 ,60 +0?360 =60 ,60 +1?360 =420.{}-21 +0?360 =-21 ,-21 +1?360 =339 ,-21 +2?260 =699{}363 14-2?360 =-356 46, 363 14-1?360 =3 14,363 14+0?360 =363 14.例4 写出第一象限角的集合m．（2）与0,90终边相同的角分别为0+k?360,90+k?360,(k∈z)；（3）第一象限角的集合就是夹在这两个终边相同的角中间的角的集合，我们表示为：学生讨论，归纳出第二、三、四象限角的集合的表示法：说明：区间角的集合的表示不唯一.{}{}{}二、弧度制与弧长公式 1.角度制与弧度制的换算：180rad≈0.01745rad.?180?1rad= ?≈57.30=5718.osl2．弧长公式：l=r?. 由公式：=1lr，其中l是扇形弧长，r是圆的半径. 2弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积 3．扇形面积公式 s=注意几点：2．一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住：3．应确立如下的概念：角的概念推广之后，无论用角度制还是弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系.任意角的集合实数集r例6 把下列各角从度化为弧度：(1)252?；（2）1115；(3) 30；(4)67?30. 解：(1)/713解：（1）108 o；(2)200.5o；(3)114.6o；(4)45o. 变式练习：把下列各角从弧度化为度：（1）；（2）-；（3）.12310解：（1）15 o；（2）-240o；（3）54o.1．弧度制的定义；2．弧度制与角度制的转换与区别；3．牢记弧度制下的弧长公式和扇形面积公式，并灵活运用；。

任意角的概念与弧度制教案导言：任意角是初中数学中一个重要的概念，它是我们研究三角函数的基础。

为了更好地理解任意角，我们需要引入弧度制这一概念。

本教案将从任意角的定义开始，逐步介绍弧度制的概念以及如何进行角度与弧度的转换，帮助学生深入理解和掌握这两个概念。

一、任意角的定义在平面直角坐标系中，通过原点O以及一条射线OA，可以确定一个角，这个角叫做任意角。

其中，射线OA称为角的始边，射线OB （OB ≠ OA）称为角的终边，O点叫做角的顶点。

二、弧度制的概念角度制是我们最常用的一种角度单位，但在一些高级数学和物理问题中，常常使用弧度制来度量角的大小。

弧度制定义如下：当半径为r 的圆的圆心角所对的弧长等于半径时，这个角的度数为1弧度，记作1 rad。

三、角度与弧度的转换1. 角度转弧度：已知角的度数α，可以使用如下公式将其转化为弧度：弧度数 = 角度数× π/1802. 弧度转角度：已知角的弧度数β，可以使用如下公式将其转化为角度：角度数 = 弧度数× 180/π四、任意角的性质1. 一个任意角可绘制无数个与之终边相同的角。

2. 一个任意角的终边在平面直角坐标系中的位置决定了该角在坐标系中的唯一性。

3. 弧度制中的任意角大小范围为0≤θ<2π，其中2π的意义相当于360°。

五、任意角的相关公式在三角函数的研究中，任意角的概念是非常重要的。

以下是一些与任意角相关的基本公式。

1. sin任意角和cos任意角的定义：在平面直角坐标系中，给定角θ的终边上的点P（x,y），则有：sinθ = y/rcosθ = x/r其中，r为OP的长度。

2. tan任意角的定义：在平面直角坐标系中，给定角θ的终边上的点P（x,y），则有：tanθ = y/x注：当x=0时，tanθ不存在。

3. 值域：在上述公式中，可以发现sinθ、cosθ、tanθ的值与终边上的坐标有关，因此它们的值域都在[-1,1]之间。

第1课时任意角的概念与弧度制导学案-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN第1课时 任意角的概念与弧度制导学案1、学习目标（1）了解任意角的概念。

并会写象限角和终边相同的角的集合。

（2）熟练掌握角度与弧度的互化。

（3）熟记弧长和扇形面积的公式。

2、新知导读1．与角α终边相同的角的集合为 ．2．与角α终边互为反向延长线的角的集合为 ．3．轴线角（终边在坐标轴上的角）终边在x 轴上的角的集合为 ，终边在y 轴上的角的集合为 ，终边在坐标轴上的角的集合为 ．4．象限角是指： ．如何确定四个象限角？5．弧度制的意义：圆周上弧长等于半径长的弧所对的圆心角的大小为1弧度的角，它将任意角的集合与实数集合之间建立了一一对应关系．6．弧度与角度互化：180º＝ 弧度，1º＝ 弧度，1弧度＝ ≈ º．特殊角的角度与弧度的互化。

30º= 弧度45º= 弧度60º= 弧度90º= 弧度7．弧长公式：l ＝ ；扇形面积公式：S ＝ .8、阅读练习册P60的名师支招3、范例点睛例1.（象限角问题） 若α是第二象限的角，试分别确定2α,2α ,3α的终边所在位置.例2. （弧长与扇形面积）已知一扇形中心角为α，所在圆半径为R ．(1) 若α3π=，R ＝2cm ，求扇形的弧长及该弧所在弓形面积； (2) 若扇形周长为一定值C(C>0)，当α为何值时，该扇形面积最大，并求此最大值．4、达标检测1、已知,αβ的终边关于y=x 对称，则αβ+= 。

2 、一个半径为r 的扇形，如果它的周长等于弧所在半圆的弧长，那么该扇形的圆心角度数是________弧度或_____角度，该扇形的面积是____________________3、练习册P62对应演练。

5、[学后反思]____________________________________________________ ____________________________________________________________________。

【教学过程】教学过程*揭示课题任意角的概念与弧度制*创设情景兴趣导入问题1游乐场的摩天轮，每一个轿厢挂在一个旋臂上，小明与小华两人同时登上摩天轮，旋臂转过一圈后，小明下了摩天轮，小华继续乘坐一圈•那么，小华走下来时，旋臂转过的角度是多少呢问题2 用活络扳手旋松螺母，当扳手按逆时针方向由OA旋转到OB位置时，就形成一个角；在扳手由OA逆时针旋转一周的过程中，就形成了0。

到360°之间的角；扳手继续旋转下去，就形成大于______ 的角•如果用扳手旋紧螺母，就需将扳手按顺时针方向旋转，形成与上述方向的角.归纳通过上面的三个实例，发现仅用锐角或0° 360°范围的角，已经不能反映生产、生活中的一些实际问题，需要对角的概念进行推广. 教师行为介绍质疑提问说明总结*动脑思考探索新知概念一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O ,按逆时针（或顺时针）方向旋转到另一位置OB就形成角.旋转开始说明位置的射线OA叫角的始边，终止位置的射线OB叫做角的终边，端点O叫做角的顶点.规定：按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角（如图（1））,按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角（如图（2））.当射线仔细没有作任何旋转时，也认为形成了一个角，这个角叫做零角.分析讲解关键占八、、学生行为了解思考求解讨论交流理解思考理解教学意图利用实际问题引起学生的好奇心和求知欲生活实例有助于学生理解角的推广的意义结合图形讲解角的图形可以加入学生的举10教 学 时 过程间明确 明确(1)完成 角 表示以引 导学生 步步 自然 得出角303地30教师 教学 学生 意图 行为 行为 引导 记忆 角的 类型强调 角的 推广象限 引导 领会角可 或“ / O ”外，本章中经常用小写希腊字母 、L 来表示角. 概念观察展示 数学中经常在平面直角坐标系中研究角•将角的顶点与坐 几象限，就把这个角叫做第几象限的角（或者说这个角在第几 象限）.强调 60° 300°都是第四象限的特殊 强调情况理解终边在坐标轴上的角叫做 界限角，例如，0° 90° 180°270 ° 360 ° 90 ° 270 角等都是界限角.练习7-11•在直角坐标系中分别作出下列各角，并指出它们是第几象限的角:类型经过这样的推广以后，角包含任意大小的正角、负角和零 二象限的角，120°是第三象限的角, *运用知识强化练习 标原点重合，角的始边在 x 轴的正半轴，此时，角的终边在第 如图所示，30° 390° 330。

任意角弧度制教案教案标题：任意角弧度制教案教案目标：1. 理解任意角的概念和弧度制的基本原理。

2. 掌握任意角与弧度之间的转换关系。

3. 能够在解决相关问题时使用弧度制进行计算。

教学准备：1. 教师准备：黑板、白板、彩色粉笔/白板笔、教学投影仪等。

2. 学生准备：教科书、笔记本、计算器等。

教学过程：引入活动：1. 教师可以通过提问来引导学生思考：你们知道什么是角度吗？我们平时常用的角度单位是什么？有没有其他表示角度的方法呢？2. 学生回答后，教师可以简要介绍一下角度的概念和常用的度数制。

概念讲解：1. 教师通过示意图和实例，引导学生理解任意角的概念：任意角是指角的两条边可以是任意长度的角。

2. 教师引导学生思考：在解决一些数学问题时，角度单位常常不够灵活，有时候我们需要更精确的表示角度的方法。

这时，我们就可以使用弧度制。

3. 教师简要介绍弧度制的基本原理：弧度是角度的一种度量方式，表示角所对应的圆的弧长与半径的比值。

一个完整的圆周对应的弧度为2π。

转换关系讲解：1. 教师引导学生思考：如何将角度转换为弧度？如何将弧度转换为角度？2. 教师通过示意图和实例，讲解角度与弧度之间的转换关系：- 角度转弧度：弧度 = 角度× π / 180- 弧度转角度：角度 = 弧度× 180 / π练习活动：1. 学生进行练习题，巩固角度与弧度之间的转换关系。

2. 学生解决一些实际问题，应用弧度制进行计算。

总结：1. 教师对本节课的内容进行总结，强调任意角的概念和弧度制的重要性。

2. 学生回答问题，进行互动讨论。

拓展活动：1. 学生自主学习相关知识，扩展弧度制的应用领域。

2. 学生可以进行小组讨论，分享自己在实际生活中发现的弧度制的应用案例。

评估方式：1. 教师观察学生在课堂上的参与情况和回答问题的准确性。

2. 教师布置作业，检验学生对角度与弧度之间转换关系的掌握程度。

拓展阅读：1. 推荐学生阅读相关教材或网络资料，进一步了解角度与弧度制的应用。