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2020-2021学年新教材人教A版必修第一册5.1.1 任意角教案【素养目标】1．了解任意角的概念，能区分各类角的概念．(数学抽象)2．掌握象限角的概念，并会用集合表示象限角．(直观想象)3．理解终边相同的角的含义及表示，并能解决有关问题．(数学运算)4．能够根据任意角的概念，结合象限角的概念，分析角、倍角、半角所在象限，为以后的学习打好基础．(逻辑推理)【学法解读】在本节学习中，学生应用运动的观点来理解角的定义，其关键是抓住角的终边和始边，在学习时提升自己的数学抽象及直观想象等素养．必备知识·探新知基础知识知识点一角的概念角可以看成一条________绕着端点旋转所成的图形．思考1：定义中当射线旋转时有几种旋转方向？提示：根据旋转方向，射线在旋转时，有逆时针、顺时针和不作任何旋转三种旋转方向．知识点二角的表示顶点：用O表示；始边：用OA表示，用语言可表示为起始位置；终边：用OB表示，用语言可表示为终止位置．思考2：(1)当角的始边和终边确定后，这个角就被确定了吗？(2)你能说出角的三要素吗？提示：(1)不是的．虽然始、终边确定了，但旋转的方向和旋转量的大小(旋转圈数)并没有确定，所以角也就不能确定．(2)角的三要素是顶点、始边、终边知识点三角的分类思考3：(1)正角、负角、零角是根据什么区分的？(2)如果一个角的终边与其始边重合，这个角一定是零角吗？提示：(1)角的分类是根据组成角的射线的旋转方向确定的．(2)不一定．零角的终边与始边重合，但终边与始边重合的角不一定是零角，如360°，－360°等，角的大小不是根据始边、终边的位置，而是根据射线的旋转． 知识点四 象限角如果角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限． 思考4：把一个角放在平面直角坐标系中时，这个角是否一定就是某一个象限的角？提示：象限角是指当角的始边与x 轴的非负半轴重合时，终边在哪个象限，我们就说这个角是第几象限角．如果一个角的终边在坐标轴上时，我们认为这个角不在任何象限内，又叫轴线角．知识点五 终边相同的角 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合 S ＝{β|β＝α＋k·360°，k ∈Z}____，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和． 思考5：反过来，若角α，β满足S ＝{β|β＝α＋k·360°，k ∈Z}时，角α，β是否是终边相同的角？提示：当角α，β满足S ＝{β|β＝α＋k·360°，k ∈Z}时，表示角α与β相隔整数个周角，即角α，β终边相同．基础自测1．下列各角：－60°，126°，－63°，0°，99°，其中正角的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 [解析] 正角有126°，99°共2个．2．将射线OM 绕端点O 按逆时针方向旋转120°所得的角为( ) A ．120° B ．－120° C ．60° D ．240°3．(2018·济南外国语期中)下列各角中，与－1 110°的角终边相同的角是( ) A ．60° B ．－60° C ．30° D ．－30°[解析] －1 110°＝－3×360°－30°，所以与－30°的角终边相同． 4．若－30°角的始边与x 轴的非负半轴重合，现将－30°角的终边按逆时针方向旋转2周，则所得角是_________.[解析] 因为逆时针方向旋转为正角，所以α＝－30°＋2×360°＝690°.5．图中从OA 旋转到12,,OB OB OB 时所成的角度分别是_________、___________、________.[解析] 题图中(1)中的角是正角，α＝390°，题图中(2)中的角，一个是负角、一个是正角，β＝－150°，γ＝60°.关键能力·攻重难题型一 任意角的概念例1、下列命题正确的是()A．终边与始边重合的角是零角B．终边和始边都相同的两个角一定相等C．在90°≤β<180°范围内的角β不一定是钝角D．小于90°的角是锐角[分析]角的概念推广后确定角的关键是抓住角的旋转方向和旋转量．[解析]终边与始边重合的角还可能是360°，720°，…，故A错；终边和始边都相同的两个角可能相差360°的整数倍，如30°与－330°，故B错；由于在90°≤β<180°范围内的角β包含90°角，所以不一定是钝角，C正确；小于90°的角可以是0°，也可以是负角，故D错误．[归纳提升]关于角的概念问题的处理正确解答角的概念问题，关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等的概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小．另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可．【对点练习】❶如图，射线OA绕顶点O逆时针旋转45°到OB位置，并在此基础上顺时针旋转120°到达OC位置，则∠AOC＝__________.[解析]由角的定义可得∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝45°＋(－120°)＝－75°题型二终边相同的角例2、已知角α＝2 020°.(1)把α改写成k·360°＋β(k∈Z,0°≤β<360°)的形式，并指出它是第几象限角；(2)求θ，使θ与α终边相同，且－360°≤θ<720°.[分析]先求出β，判断角α所在的象限；用终边相同的角表示θ满足的不等关系，求出k 和θ.[解析](1)由2 020°除以360°，得商为5，余数为220°.∴取k＝5，β＝220°，α＝5×360°＋220°.又β＝220°是第三象限角，∴α为第三象限角．(2)与2 020°终边相同的角为k·360°＋2 020°(k∈Z)．令－360°≤k·360°＋2 020°<720°(k∈Z)．解得－61118≤k<－31118(k∈Z)．所以k＝－6，－5，－4.将k的值代入k·360°＋2 020°中，得角θ的值为－140°，220°，580°.[归纳提升] 1.把任意角化为α＋k·360°(k∈Z，且0°≤α<360°)的形式，关键是确定k，可以用观察法(α的绝对值较小)，也可用除法．2．要求适合某种条件且与已知角终边相同的角时，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值．3．象限角与轴线角(终边在坐标轴上的角)的集合表示(1)象限角：(2)轴线角：【对点练习】❷ 若将例题中“角α＝2 020°”改为“α＝－315°”，其他条件不变，结果如何？[解析] (1)∵α＝－360°＋45°，∴α是第一象限角． (2)与－315°终边相同的角为k ·360°－315°(k ∈Z )，令－360°≤k ·360°－315°<720°(k ∈Z )， 解得－18≤k <238(k ∈Z )，所以k ＝0,1,2.将k 值代入k ·360°－315°中，得所求角为－315°，45°和405°. 题型三 象限角的确定例3、若α是第一象限角，则2α，α2分别是第几角限角？[分析] 由α是第一象限角可知k ·360°<α<k ·360°＋90°(k ∈Z )，则2α，α2的范围分别为2k ·360°<2α<2k ·360°＋180°(k ∈Z )，k ·180°<α2<k ·180°＋45°(k ∈Z )．再通过对整数k 分类讨论即可得结果．[解析] 因为k ·360°<α<k ·360°＋90°(k ∈Z )，所以2k ·360°<2α<2k ·360°＋180°(k ∈Z )．所以2α是第一、二象限角或终边落在y 轴非负半轴上的角． 又k ·180°<α2<k ·180°＋45°(k ∈Z )，所以当k ＝2n (n ∈Z )时，n ·360°<α2<n ·360°＋45°.所以α2是第一象限角．当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，n ·360°＋180°<α2<n ·360°＋225°，所以α2是第三象限角．故α2是第一、三象限角．[归纳提升] 已知α角所在象限，判角nα，αn(n ∈Z )所在象限的方法(1)若已知角α是第几象限角，判断α2，α3等是第几象限角，主要方法是解不等式并对整数k进行分类讨论．求解题的思维模式应是：由欲求想需求，由已知想可知，抓住内在联系，确定解题方略．(2)由α的象限确定2α的象限时，应注意2α可能不再是象限角，对此特殊情况应特别指出．如α＝135°，而2α＝270°就不再是象限角．【对点练习】❸ 若φ是第二象限角，那么φ2和90°－φ都不是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角[解析] ∵φ是第二象限角，∴k ·360°＋90°<φ<k ·360°＋180°，k ∈Z ，∴k ·180°＋45°<φ2<k ·180°＋90°，k ∈Z ，即φ2终边是第一或第三象限角，而－φ显然是第三象限角，∴90°－φ是第四象限角，故选B ．。
5.1(2) 弧度制一、教学内容分析本节课的内容主要是学习角的一种新的度量.弧度制与角度制一样，只是度量角的一种方法，但由于学生有先入为主的想法，所以学起来有一定的困难.本堂课首先必须清楚1弧度的概念，它与所在圆的半径大小无关.其次弧度制与角度制相比有一定的优点，一是在进位上角度制在度、分、秒上是60进制，而弧度制却是十进制，其二在弧长和扇形的面积的表示上弧度制也比角度制简单.在教学时，可通过弧度制与角度制对比来分析、说明应用弧度制的度量方法比应用角度制的度量方法更具有优越性.二、教学目标设计(1) 理解弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算，熟记特殊角的弧度数；(2) 了解角的集合与实数集R之间可以建立起一一对应的关系；(3) 掌握弧度制下的弧长公式，会利用弧度解决某些简单的实际问题；(4) 在理解弧度制定义的基础上，领会弧度制定义的合理性；(5) 通过学习，理解并认识角度制与弧度制都是对角度量的方法，二者是辩证统一的.三、教学重点及难点重点：理解弧度制引入的必要性，掌握定义，能熟练地进行角度制与弧度制的互化．难点：弧度制定义的理解．四、教学流程设计一、情景引入回顾：我们在平面几何中研究角的度量，当时是用度作为单位来度量角，1o的角是如何定义的？我们规定把周角的1360作为1度的角．把用度作为单位来度量角的制度叫做角度制.例：已知三角形中两个内角分别为6032'25''o ，4518'20''o，求它的另一个内角的大小. 在角度制下，当把两个带着度、分、秒各单位的角相加、相减时，由于运算进率非十进制，给我们带来不少困难．那么我们能否重新选择角的单位，使在该单位制下两角的加、减运算与常规的十进制加减法一样去做呢？本节课就来尝试选择这种新单位． 二、学习新课 1、概念形成 弧度制的定义我们把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，如图1，弧»AB 的长等于半径r ，弧»AB 所对的圆心角AOB ∠就是1弧度的角，弧度制的单位符号是rad ，读作弧度．图1AOB ∠的弧度数1l r r r ===AOC ∠的弧度数22l rr r=== 提问：若弧是一个半圆，则其圆心角的弧度数是多少？若弧是一个整圆，则其圆心角的弧度数是多少？因为半圆的弧长l r π=，其圆心角的弧度数是l rr rππ==，同理，若弧是一个整圆，其圆心角的弧度数是22l rr rππ==． 在0o 到360o的角的弧度数lrα=必然适合不等式02απ≤≤，角的概念推广后，弧的概念也随之推广，任一正角的弧度数都是一个正数．如果圆心角表示一个负角，且它所对的弧长4l r π=，则这个圆心角的弧度数是44l rr rππ-=-=-，由此我们给出弧度制的定义：一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0；角α的弧度数的绝对值lrα=，其中l 是以角α作为圆心角时所对的弧长，是圆的半径，这种以弧度作为单位来度量角的单位制，叫做弧度制．提问：为什么可以用弧长与其半径的比值来度量角的大小呢？即这个比值是否与所取的圆的半径大小无关呢？（易证以角α为圆心角所对的弧长与其半径的比值，由α∠的大小来确定，与所取的半径大小无关，仅与角的大小有关．）因为lrα=，可以得到l r α=⋅，那弧长等于圆弧所对圆心角的弧度数的绝对值与半径的积，这个公式比采用角度制时相应公式180n rl π=要简单． 问题：试用角的弧度数表示扇形的面积公式.扇形面积公式：211||22S lr r α==. 2、角度制与弧度制的互化用“弧度”与“度”去度量每一个角时，除了零角以外，所得到的量数都是不同的，但它们既然是度量同一个角的结果，二者就可以相互换算．我们已经知道：若弧是一个整圆，它的圆心角是周角，其弧度数是2π，而在角度制里它是360o ，因此3602()rad π=o ，两边除以2，得180()rad π=o 若将等式两边同除以180，得1()0.01745()180rad rad π=≈o；同理，若将等式两边同除以π，得1801()57.3rad π⎛⎫=≈ ⎪⎝⎭oo（即5718'o ） 例1：把角6730'o化为弧度制.答：36730'67.567.5()1808rad ππ==⨯=o o. 例2：把角4()5rad π化为角度制. 答：44180()14455rad πππ=⨯=o . [说明]在进行角度制与弧度制互化时要抓住180π=o 这个关键． 下面请大家写出一些特殊角的弧度数．角度弧度按从左至右顺序其答案是：0、6π、45o 、3π、90o 、23π、34π、150o 、180o 、32π、360o．今后我们用弧度制表示角的时候，“弧度”二字或“rad ”通常省略不写，而只写相应的弧度数．例如：角3α=就表示α是3弧度的角，cos6π就表示6π弧度的角的余弦，即3coscos3062π==o ． 例3：计算下列各式的值(1) sin4π(2) tan1.5(精确到0.01)答：(1) 2sin4π=； （2）tan1.514.12≈.[说明]第（2）小题使用计算器计算，教师可提醒学生注意计算器的设置，需根据问题，选择角度制还是弧度制.3、角度制与弧度制的比较引进弧度制后，我们应将它与角度制进行比较，同学们应明确：① 弧度制是以“弧度”为单位度量角的制度，角度制是以“度”为单位度量角的制度；②1弧度是等于半径长的圆弧所对的圆心角（或该弧）的大小，而1o 是圆的1360所对的圆心角的大小；③ 不论是以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与半径大小无关的定值． 4、角的集合与实数集R 之间的一一对应用弧度制来度量角，实际上是在角的集合与实数集R 之间建立这样的一一对应关系（如图2所示）．图2每一个角都有唯一的一个实数（即这个角的弧度数）与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角（角的弧度数等于这个实数）与它对应．[说明]以后我们将要学习的三角函数看成是以实数为自变量的函数，它的自变量的意义可以有多种解释，从而使三角函数的应用更加广泛，在数学与科学研究中普遍采用弧度制，这是重要的原因之一．例4：下列各角中哪几个是第二象限角？(1) 2006o(2) 1998-o(3) 2003π(4) 9 (5) 4- (6) 19995π-答：(1) 20065360206=⨯+o o o(2) 199********-=-⨯+ooo(3) 200321001πππ=⨯+ (4) 92(92)ππ=+- (5) 42(24)ππ-=-+-(6) 1999220055πππ-=-⨯+ 从而可知(2)、(4)、(5)所给的角在第二象限内.说明：① 用弧度制表示终边重合的角的方法2()k k Z βπα=+∈；② 把一角化为2k πα+形式，其中,[0,2)k Z απ∈∈，从而可判断角所在的象限． ③ 在同一问题求解过程中，两种单位不能混用，如{|2k ααπ=+30,}k Z ∈o 写法不妥． 例5：填空(1) 在(4,4)ππ-内与587π-终边重合的角是___________. (2) 圆的弧长等于该圆内接正三角形的边长，则该弧所对的圆心角的弧度数是___________. (3) 在扇形AOB 中，90AOB ∠=o，弧长为l ，则此扇形内切圆的面积是___________.答：(1)1621226,,,7777ππππ--；(3)24(3l π-. 三、巩固练习 练习5.1（2） 四、课堂小结 （1）弧度制的定义；（2）弧度制与角度制之间的互化（180()rad π=o）； （3）扇形弧长公式：||l r α=⋅，扇形面积公式：211||22S lr r α==； （4）掌握用弧度制表示终边重合的角；（5）理解弧度制的思想. 五、课后作业 练习册 P 13－15习题5.1 A 组 1.(2)，3，4，5，7 习题5.1 B 组 3，4六、教学设计说明1、 要使学生理解弧度制与引入弧度制的必要性.弧度制与角度制一样，只是度量角的一种方法，但由于学生有先入为主的想法，所以学起来有一定的困难. 首先必须清楚1弧度的概念，它与所在圆的半径大小无关.其次弧度制与角度制相比有一定的优点，一是在进位上角度制在度、分、秒上是六十进制，而弧度制却是十进制；其二在弧长和扇形的面积的表示上弧度制也比角度制简单. 在教学时，通过弧度制与角度制对比分析、说明应用弧度制的度量比应用角度制的度量方法具有优越性；2、 关于弧度制与角度制之间互化，教学时要抓住180π=o这个关键引导学生. 3、 教学应注意强调在同一式中，所采用的单位必须一致.。
教学计划：《任意角和弧度制》一、教学目标1.知识与技能：学生能够理解并掌握任意角的概念，熟悉角度制与弧度制的转换方法，掌握利用弧度制进行简单三角函数的计算。
2.过程与方法：通过直观演示和抽象概括，引导学生自主探究任意角与弧度制的定义及性质；通过例题解析和课堂练习，提高学生的逻辑思维能力和数学运算能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生严谨的科学态度和探究精神；通过学习任意角和弧度制，让学生体会到数学知识的连续性和统一性。
二、教学重点和难点●教学重点：任意角的概念，角度制与弧度制的转换，弧度制下三角函数的基本性质。
●教学难点：理解并接受弧度制作为角的另一种度量方式，以及利用弧度制进行三角函数的计算。
三、教学过程1. 引入新课（约5分钟）●情境导入：以生活中的实例（如钟表指针的转动、体操运动员的旋转动作）为例，引导学生思考角的度量不仅仅局限于0°到360°之间，从而引出任意角的概念。
●定义揭示：明确任意角的定义，包括正角、负角和零角，强调角的旋转方向和度量范围。
●激发兴趣：简述历史上角度制与弧度制的发展过程，引起学生对弧度制的好奇心。
2. 讲授新知（约15分钟）●弧度制介绍：详细介绍弧度制的定义，即弧长与半径的比值，强调弧度制在三角学和微积分中的重要性。
●转换方法：讲解角度制与弧度制之间的转换公式，并通过具体例子演示转换过程。
●性质探讨：引导学生探讨弧度制下三角函数的基本性质，如正弦、余弦和正切函数的周期性、奇偶性等。
3. 直观演示与操作（约10分钟）●单位圆与弧度制：利用多媒体或实物教具展示单位圆上的角度与弧度的对应关系，加深学生对弧度制的理解。
●互动操作：让学生在纸上绘制单位圆，并尝试用尺子量取特定弧长，计算对应的弧度值，以增强感性认识。
●小组讨论：组织学生讨论角度制与弧度制的优缺点，促进知识的内化和吸收。
4. 例题解析与练习（约15分钟）●例题解析：选取典型例题，如角度制与弧度制的转换、利用弧度制计算三角函数值等，进行详细解析，展示解题步骤和思路。
【新教材】人教统编版高中数学A版必修第一册第五章教案教学设计+课后练习及答案5.1.1《任意角和弧度制---任意角》教案教材分析：学生在初中学习了o 0～o 360，但是现实生活中随处可见超出o 0～o 360范围的角.例如体操中有“前空翻转体o 540”，且主动轮和被动轮的旋转方向不一致.因此为了准确描述这些现象，本节课主要就旋转度数和旋转方向对角的概念进行推广.教学目标与核心素养：课程目标1.了解任意角的概念.2.理解象限角的概念及终边相同的角的含义．3.掌握判断象限角及表示终边相同的角的方法．数学学科素养1.数学抽象：理解任意角的概念，能区分各类角；2.逻辑推理：求区域角；3.数学运算：会判断象限角及终边相同的角.教学重难点：重点：理解象限角的概念及终边相同的角的含义；难点：掌握判断象限角及表示终边相同的角的方法．课前准备：多媒体教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。
教学工具：多媒体。
教学过程：一、情景导入初中对角的定义是：射线OA 绕端点O 按逆时针方向旋转一周回到起始位置，在这个过程中可以得到o 0～o 360范围内的角.但是现实生活中随处可见超出o 0～o 360范围的角.例如体操中有“前空翻转体o 540”，且主动轮和被动轮的旋转方向不一致.请学生思考，如何定义角才能解决这些问题呢？要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本168-170页，思考并完成以下问题1．角的概念推广后，分类的标准是什么？2．如何判断角所在的象限？3．终边相同的角一定相等吗？如何表示终边相同的角？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究1．任意角(1)角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)角的表示如图，OA是角α的始边，OB是角α的终边，O是角的顶点．角α可记为“角α”或“∠α”或简记为“α”．(3)角的分类按旋转方向，角可以分为三类：名称定义图示正角按逆时针方向旋转形成的角负角按顺时针方向旋转形成的角零角一条射线没有作任何旋转形成的角2．象限角在平面直角坐标系中，若角的顶点与原点重合，角的始边与 x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．3．终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．四、典例分析、举一反三题型一任意角和象限角的概念例1(1)给出下列说法：①锐角都是第一象限角；②第一象限角一定不是负角；③小于180°的角是钝角、直角或锐角；④始边和终边重合的角是零角．其中正确说法的序号为________(把正确说法的序号都写上)．(2)已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，作出下列各角，并指出它们是第几象限角．①420°，②855°，③－510°.【答案】（1）①（2）图略，①420°是第一象限角．②855°是第二象限角．③－510°是第三象限角．【解析】(1)①锐角是大于0°且小于90°的角，终边落在第一象限，是第一象限角，所以①正确；②－350°角是第一象限角，但它是负角，所以②错误；③0°角是小于180°的角，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，所以③错误；④360°角的始边与终边重合，但它不是零角，所以④错误．(2) 作出各角的终边，如图所示：由图可知：①420°是第一象限角．②855°是第二象限角．③－510°是第三象限角．解题技巧：（任意角和象限角的表示）1．判断角的概念问题的关键与技巧．(1)关键：正确的理解角的有关概念，如锐角、平角等；(2)技巧：注意“旋转方向决定角的正负，旋转幅度决定角的绝对值大小．2．象限角的判定方法．(1)图示法：在坐标系中画出相应的角，观察终边的位置，确定象限．(2)利用终边相同的角：第一步，将α写成α＝k·360°＋β(k∈Z，0°≤β<360°)的形式；第二步，判断β的终边所在的象限；第三步，根据β的终边所在的象限，即可确定α的终边所在的象限．跟踪训练一1．已知集合A＝{第一象限角}，B＝{锐角}，C＝{小于90°的角}，则下面关系正确的是( )A．A＝B＝C B．A⊆CC．A∩C＝B D．B∪C⊆C【答案】D【解析】由已知得B C，所以B∪C⊆C，故D正确．2．给出下列四个命题：①－75°是第四象限角；②225°是第三象限角；③475°是第二象限角；④－315°是第一象限角．其中正确的命题有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【解析】－90°＜－75°＜0°，180°＜225°＜270°，360°＋90°＜475°＜360°＋180°，－315°＝－360°＋45°且0°＜45°＜90°.所以这四个命题都是正确的．题型二终边相同的角的表示及应用例2(1)将－885°化为k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式是________．(2)写出与α＝－910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°＜β＜360°的元素β写出来．【答案】（1）(－3)×360°＋195°，（2）终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°－910°，k∈Z}，适合不等式－720°＜β＜360°的元素－550°、－190°、170°.【解析】(1)－885°＝－1 080°＋195°＝(－3)×360°＋195°.(2)与α＝－910°终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°－910°，k∈Z}，∵－720°＜β＜360°，即－720°＜k·360°－910°＜360°，k∈Z，∴k取1，2，3.当k＝1时，β＝360°－910°＝－550°；当k＝2时，β＝2×360°－910°＝－190°；当k＝3时，β＝3×360°－910°＝170°.解题技巧：(终边相同的角的表示)1．在0°到360°范围内找与给定角终边相同的角的方法(1)一般地，可以将所给的角α化成k·360°＋β的形式(其中0°≤β＜360°，k∈Z)，其中β就是所求的角．(2)如果所给的角的绝对值不是很大，可以通过如下方法完成：当所给角是负角时，采用连续加360°的方式；当所给角是正角时，采用连续减360°的方式，直到所得结果达到所求为止．2．运用终边相同的角的注意点所有与角α终边相同的角，连同角α在内可以用式子k·360°＋α，k∈Z表示，在运用时需注意以下四点：(1)k是整数，这个条件不能漏掉．(2)α是任意角．(3)k·360°与α之间用“＋”连接，如k·360°－30°应看成k·360°＋(－30°)，k∈Z.(4)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，终边相同的角有无数个，它们相差周角的整数倍．跟踪训练二1.下面与－850°12′终边相同的角是( )A ．230°12′B ．229°48′C ．129°48′D ．130°12′【答案】B【解析】与－850°12′终边相同的角可表示为α＝－850°12′＋k ·360°(k ∈Z)，当k ＝3时，α＝－850°12′＋1 080°＝229°48′.2．写出角α的终边落在第二、四象限角平分线上的角的集合为________．【答案】{α|α＝k ·180°＋135°，k ∈Z}．【解析】落在第二象限时，表示为k ·360°＋135°.落在第四象限时，表示为k ·360°＋180°＋135°，故可合并为{α|α＝k ·180°＋135°，k ∈Z}． 题型三 任意角终边位置的确定和表示例3 (1)若α是第一象限角，则α2是( )A ．第一象限角B ．第一、三象限角C ．第二象限角D ．第二、四象限角(2)已知，如图所示．①分别写出终边落在OA ，OB 位置上的角的集合；②写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．【答案】(1)B (2) ①终边落在OA 位置上的角的集合为{α|α＝135°＋k ·360°，k ∈Z}；终边落在OB 位置上的角的集合为{β|β＝－30°＋k ·360°，k ∈Z}．②故该区域可表示为{γ|－30°＋k ·360°≤γ≤135°＋k ·360°，k ∈Z}．【解析】(1) 因为α是第一象限角，所以k ·360°＜α＜k ·360°＋90°，k ∈Z ，所以k ·180°＜α2＜k ·180°＋45°，k ∈Z ，当k 为偶数时，α2为第一象限角；当k 为奇数时，α2为第三象限角．所以α2是第一、三象限角．(2) ①终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}；终边落在OB位置上的角的集合为{β|β＝－30°＋k·360°，k∈Z}．②由题干图可知，阴影部分(包括边界)的角的集合是由所有介于[－30°，135°]之间的与之终边相同的角组成的集合，故该区域可表示为{γ|－30°＋k·360°≤γ≤135°＋k·360°，k∈Z}．解题技巧：（任意角终边位置的确定和表示）1．表示区间角的三个步骤：第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α<x<β}，其中β－α<360°；第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区间角集合．提醒：表示区间角时要注意实线边界与虚线边界的差异．2．nα或所在象限的判断方法：的范围；(1)用不等式表示出角nα或αn所在象限．(2)用旋转的观点确定角nα或αn跟踪训练三1．如图所示的图形，那么终边落在阴影部分的角的集合如何表示？【答案】角β的取值集合为{β|n·180°＋60°≤β<n·180°＋105°，n∈Z}．【解析】在0°～360°范围内，终边落在阴影部分(包括边界)的角为60°≤β<105°与240°≤β<285°，所以所有满足题意的角β为{β|k·360°＋60°≤β<k·360°＋105°，k∈Z}∪{β|k·360°＋240°≤β<k·360°＋285°，k∈Z}＝{β|2k·180°＋60°≤β<2k·180°＋105°，k∈Z}∪{β|(2k＋1)·180°＋60°≤β<(2k＋1)·180°＋105°，k∈Z}＝{β|n·180°＋60°≤β<n·180°＋105°，n∈Z}．故角β的取值集合为{β|n·180°＋60°≤β<n·180°＋105°，n∈Z}．五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计七、作业课本171页练习及175页习题5.1 1、2、7题.教学反思：本节课主要采用讲练结合与分组探究的教学方法，让学生从旋转方向和旋转度数熟悉角的概念，象限角，终边相同的角等，并且掌握其应用.5.1.2《任意角和弧度制---弧度制》教案教材分析：前一节已经学习了任意角的概念，而本节课主要依托圆心角这个情境学习一种用长度度量角的方法—弧度制，从而将角与实数建立一一对应关系，为学习本章的核心内容—三角函数扫平障碍，打下基础.教学目标与核心素养：课程目标1.了解弧度制,明确1弧度的含义.2.能进行弧度与角度的互化.3.掌握用弧度制表示扇形的弧长公式和面积公式.数学学科素养1.数学抽象：理解弧度制的概念；2.逻辑推理：用弧度制表示角的集合；3.直观想象：区域角的表示；4.数学运算：运用已知条件处理扇形有关问题.教学重难点：重点：弧度制的概念与弧度制与角度制的转化；难点：弧度制概念的理解．课前准备：多媒体教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。
5.1.2 弧度制本节课是普通高中教科书人教A版必修第一册第五章第一节第二课，本节课起着承上启下的作用:在前面学生在初中已经学过角的度量单位“度”，并且上节课学了任意角的概念,将角的概念推广到了任意角;本节课作为三角函数的第二课时,该课的知识还是后继学习任意角的三角函数等知识的理论准备,因此本节课还起着启下的作用。
通过本节弧度制的学习,我们知道实数与角之间一一对应的关系，而且在弧度制下的弧长公式与扇形面积公式有了更为简单形式。
另外弧度制为今后学习三角函数带很大方便。
A.理解角集与实数集的一一对应，熟练掌握角度制与弧度制间的互相转化；B.能灵活运用弧长公式、扇形面积公式解决问题；C.找出弧度与角度换算的方法，领悟从特殊到一般的思想方法。
1.教学重点：角度制与弧度制间的互相转化，弧长公式及扇形的面积公式的推导与证明；2.教学难点：能灵活运用弧长公式、扇形面积公式解决问题。
多媒体任意角的集合 实数集R例3.利用弧度制证明下列扇形的公式：（1）2R 21S 2αα==）（R l lR 21S 3=）（。
（其中R 是扇形的半径，l 是弧长，为圆心角（)20παα<<，S 是扇形的面积）。
三、达标检测由于弧度制是一个新的角单位制的概念,主要是让学生理解弧度制的意义,重点是让学生能正确进行弧度制与角度制的换算,并理解任意角的集合与实数集之间建立一一对应的关系,关键是让学生学会类比思想,并让学生学会在弧度制下的弧长公式,及扇形的面积公式。
学生在学习弧度制的时候主要是对弧度制理解的不够透彻,可能是因为新的概念,所以有大部分学生还不够熟悉,在讲解习题的时候我就逐层深入的讲解,所以学生反映还是不错。
只是学生的作业还是做得不太好。
所以在讲解作业的时候要继续加强弧度制的定义的理解。
全国卷五年考情图解高考命题规律把握1.考查形式从高考题型、题量来看，一般有两种方式：三个小题或一个小题另加一个解答题，分值上占17分左右.2.考查内容(1)客观题主要考查三角函数的定义，图象与性质，同角三角函数关系，诱导公式，和、差、倍角公式，正、余弦定理等知识.(2)解答题涉及知识点较为综合．涉及三角函数图象与性质、三角恒等变换与解三角形知识较为常见.3.备考策略(1)熟练应用同角三角函数基本关系式与诱导公式求值、化简.(2)重视对三角函数图象和性质的研究，复习时通过选择题、填空题和解答题加以训练和巩固，注意将问题和方法进行归纳、整理.(3)对正弦定理、余弦定理的应用要加强训练.第一节 任意角、弧度制及任意角的三角函数[最新考纲] 1.了解任意角的概念和弧度制的概念.2.能进行弧度与角度的互化.3.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．1．角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)分类⎩⎨⎧按旋转方向不同分为正角、负角、零角.按终边位置不同分为象限角和轴线角.(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z }．2．弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.(2)公式： 角α的弧度数公式 |α|＝lr (弧长用l 表示) 角度与弧度的换算①1°＝π180 rad ；②1 rad ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°弧长公式 弧长l ＝|α|r 扇形面积公式 S ＝12lr ＝12|α|r 2(1)定义设角α终边与单位圆交于P (x ，y )，则sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx (x ≠0)．拓展：任意角的三角函数的定义(推广)设P (x ，y )是角α终边上异于顶点的任一点，其到原点O 的距离为r ，则sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝yx (x ≠0)．(2)三角函数值在各象限内符号为正的口诀 一全正，二正弦，三正切，四余弦． (3)几何表示三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．如图中有向线段MP ，OM ，AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线．[常用结论]1.单位圆上任意一点可设为(cos θ，sin θ)(θ∈R )． 2．若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则sin α＜α＜tan α.一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角． ( ) (2)角α的三角函数值与其终边上点P 的位置无关． ( ) (3)不相等的角终边一定不相同． ( ) (4)若α为第一象限角，则sin α＋cos α＞1. ( ) [答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√ 二、教材改编1．若θ满足sin θ＜0，cos θ＞0，则θ的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限D [∵sin θ＜0，cos θ＞0，∴θ的终边落在第四象限．] 2．下列与9π4的终边相同的角的表达式中正确的是( ) A ．2k π＋45°(k ∈Z ) B ．k ·360°＋94π(k ∈Z ) C ．k ·360°－315°(k ∈Z ) D ．k π＋5π4(k ∈Z ) C [∵9π4＝2π＋π4， ∴9π4与π4终边相同．又角度制与弧度制不可同时混用，故选C.]3．角－225°＝ 弧度，这个角的终边落在第 象限． [答案] －5π4 二4．设角θ的终边经过点P (4，－3)，那么2cos θ－sin θ＝ . 115 [由已知并结合三角函数的定义，得sin θ＝－35， cos θ＝45，所以2cos θ－sin θ＝2×45－⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝115.]5．一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角大小为 弧度． [答案] π3考点1 象限角及终边相同的角 1.表示区间角的三个步骤(1)先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界．(2)按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间．(3)起始、终止边界对应角α，β，再加上360°的整数倍，即得区间角集合． 2．象限角的两种判断方法(1)图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角．(2)转化法：先将已知角化为k ·360°＋α(0°≤α＜360°，k ∈Z )的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角．1.设集合M ＝，N ＝，那么( )A ．M ＝NB ．M ⊆NC ．N ⊆MD ．M ∩N ＝∅B [由于M 中，x ＝k 2·180°＋45°＝k ·90°＋45°＝(2k ＋1)·45°，2k ＋1是奇数；而N 中，x ＝k 4·180°＋45°＝k ·45°＋45°＝(k ＋1)·45°，k ＋1是整数，因此必有M ⊆N ，故选B.]2．设θ是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，则θ2是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角B [∵θ是第三象限角， ∴π＋2k π＜θ＜3π2＋2k π，k ∈Z ， ∴π2＋k π＜θ2＜3π4＋k π，k ∈Z ，∴θ2的终边落在第二、四象限， 又⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，∴cos θ2＜0， ∴θ2是第二象限角．]3．与－2 010°终边相同的最小正角是 ．150° [与－2 010°终边相同的角可表示为α＝－2 010°＋k ·360°，k ∈Z ， 又当k ＝6时，α＝150°，故与－2 010°终边相同的最小正角为150°.] 4．终边在直线y ＝3x 上的角的集合是 ．{α|α＝k ·180°＋60°，k ∈Z } [终边在y ＝3x 上的角可表示为α＝k ·180°＋60°，k ∈Z .](1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k 赋值来求得所需的角．(2)确定kα，αk (k ∈Z *)的终边位置的方法，先写出kα或αk 的范围，然后根据k 的可能取值确定kα或αk 的终边所在位置．考点2 扇形的弧长、面积公式弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略(1)明确弧度制下弧长及扇形面积公式，在使用公式时，要注意角的单位必须是弧度．(2)分析题目已知哪些量、要求哪些量，然后灵活地运用弧长公式、扇形面积公式直接求解，或合理地利用圆心角所在三角形列方程(组)求解．已知一扇形的圆心角为α，半径为R ，弧长为l .(1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长l ；(2)已知扇形的周长为10 cm ，面积是4 cm 2，求扇形的圆心角；(3)若扇形周长为20 cm ，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？[解] (1)α＝60°＝π3rad ， 所以l ＝α·R ＝π3×10＝10π3(cm)．(2)由题意得⎩⎨⎧2R ＋Rα＝10，12α·R 2＝4⇒⎩⎪⎨⎪⎧R ＝1，α＝8(舍去)或⎩⎨⎧R ＝4，α＝12.故扇形圆心角为12rad. (3)由已知得l ＋2R ＝20，所以S ＝12lR ＝12(20－2R )R ＝10R －R 2＝－(R －5)2＋25， 所以当R ＝5 cm 时，S 取得最大值25 cm 2， 此时l ＝10 cm ，α＝2 rad.求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题． 1.若圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为( )A.π6B.π3 C ．3D. 3D [如图，等边三角形ABC 是半径为r 的圆O 的内接三角形，则线段AB 所对的圆心角∠AOB ＝2π3，作OM ⊥AB ，垂足为M ，在Rt △AOM 中，AO ＝r ，∠AOM ＝π3，∴AM＝32r，AB＝3r，∴l＝3r，由弧长公式得α＝lr ＝3rr＝ 3.]2．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是() A．2 B．sin 2C.2sin 1D．2sin 1C[如图，∠AOB＝2弧度，过O点作OC⊥AB于C，并延长OC交︵AB于D.则∠AOD＝∠BOD＝1弧度，且AC＝12AB＝1，在Rt△AOC中，AO＝ACsin∠AOC＝1sin 1，即r＝1sin 1，从而︵AB的长为l＝α·r＝2sin 1.故选C.]3．已知扇形弧长为20 cm，圆心角为100°，则该扇形的面积为cm2. 360π[由弧长公式l＝|α|r，得r ＝20100π180＝36π，所以S 扇形＝12lr ＝12×20×36π＝360π.] 考点3 三角函数的概念及应用三角函数定义问题的常见类型及解题策略(1)已知角α终边上一点P 的坐标，可求角α的三角函数值：先求点P 到原点的距离，再用三角函数的定义求解．(2)已知角α的某三角函数值，求角α终边上一点P 的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值．(3)三角函数值的符号及角的终边位置的判断．已知一角的三角函数值(sin α，cos α，tan α)中任意两个的符号，可分别确定出角终边所在的可能位置，二者的交集即为该角终边的位置，注意终边在坐标轴上的特殊情况．三角函数定义的应用(1)在平面直角坐标系中，以x 轴的非负半轴为角的始边，角α，β的终边分别与单位圆交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫1213，513和⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45，则sin(α＋β)＝( )A ．－3665 B.4865 C ．－313D.3365(2)角α终边上一点P (4m ，－3m )(m ≠0)，则2sin α＋cos α＝ . (1)D (2)±25 [(1)由题意可知cos α＝1213，sin α＝513. cos β＝－35，sin β＝45，∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β ＝513×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＋1213×45＝－1565＋4865 ＝3365. (2)r ＝16m 2＋9m 2＝5|m |，当m ＞0时，r ＝5m ，sin α＝－3m 5m ＝－35，cos α＝4m 5m ＝45， ∴2sin α＋cos α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＋45＝－25.当m ＜0时，r ＝－5m ，sin α＝－3m －5m ＝35，cos α＝4m －5m ＝－45，∴2sin α＋cos α＝2×35＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝25，∴2sin α＋cos α＝±25.](3)角α的终边在直线y ＝－43x ，求sin α，cos α，tan α. [解] 由题意tan α＝－43，当角α终边落在第二象限，设角α终边上一点P (－3,4)，r ＝5，∴sin α＝45，cos α＝－35，当角α终边落在第四象限，设角α终边上一点P (3，－4)，r ＝5， sin α＝－45，cos α＝35.充分利用三角函数的定义解题是解答此类问题的关键，对于含字母的方程求解要注意字母的范围．三角函数值的符号判断 (1)若tan α＞0，则( )A ．sin α＞0B ．cos α＞0C ．sin 2α＞0D ．cos 2α＞0(2)若sin αtan α＜0，且cos αtan α＜0，则角α是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角(1)C(2)C[(1)由tan α＞0，可得α的终边在第一象限或第三象限，此时sin α与cos α同号，故sin 2α＝2sin αcos α＞0，故选C.(2)由sin αtan α＜0可知sin α，tan α异号，则α为第二象限角或第三象限角．由cos αtan α＜0可知cos α，tan α异号，则α为第三象限角或第四象限角．综上可知，α为第三象限角．]判断三角函数值的符号，关键是确定角的终边所在的象限，然后结合三角函数值在各象限的符号确定所求三角函数值的符号，特别要注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况和三角函数的定义域．三角函数线的应用函数y＝sin x－cos x的定义域为．[利用三角函数线，画出满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)．所以定义域为利用三角函数线比较大小或解三角不等式，通常采用数形结合的方法，一般来说sin x≥b，cos x≥a，只需作直线y＝b，x＝a与单位圆相交，连接原点与交点即得角的终边所在的位置，此时再根据方向即可确定相应的x的范围．1.已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限B[∵tan α＜0，cos α＜0，∴α在第二象限．]2．(2019·枣庄模拟)已知角α的终边过点P(－8m，－6sin 30°)，且cos α＝－45，则m的值为()A．－12 B.12C．－32 D.32B[∵r＝64m2＋9，∴cos α＝－8m64m2＋9＝－45，∴m＞0，∴4m264m2＋9＝125，即m＝12.]3．若－3π4＜α＜－π2，从单位圆中的三角函数线观察sin α，cos α，tan α的大小是()A．sin α＜tan α＜cos αB．cos α＜sin α＜tan αC．sin α＜cos α＜tan αD．tan α＜sin α＜cos αC[如图，作出角α的正弦线MP，余弦线OM，正切线AT，观察可知sin α＜cos α＜tan α.]。
《5.1.1 任意角》教学设计教学目标1．通过阅读章引言，了解三角函数的背景，体会三角函数与现实世界的密切联系，了解学习三角函数的必要性；2．了解任意角以及象限角的概念，会判断一个任意角是第几象限角，发展数学抽象素养；3．掌握所有与角α终边相同的角（包括角α）的表示方法．教学重难点教学重点：将0°到360°范围的角扩充到任意角；终边相同的角．教学难点：任意角概念的建构；“0°～90°的角”、“第一象限角”、“锐角”、“小于90°的角”这些概念之间的关系．课前准备PPT课件教学过程（一）整体感知问题1：请同学们先观察章头图并阅读第五章章引言，再回答如下问题：（1）本章将要学习的函数是什么？（2）这种函数主要可以解决我们实际生活中的哪类问题？你能举出具体例子吗？（3）你能简单说说以前研究函数的过程与方法吗？预设的师生活动：学生独立阅读教科书，再回答上述问题．预设答案：（1）本章将要学习的函数是三角函数；（2）三角函数可以用来刻画现实生活中的一些周期现象，例如单摆运动、弹簧振子、圆周运动、交变电流、潮汐等；（3）研究函数的一般思路是：先给出函数的定义，通过定义作出图象，再由图象研究性质，最后是函数的应用．设计意图：明确本章研究内容、目的、简单的过程和方法，为本章的研究指明方向．（二）新知探究1．任意角的概念、运算引导语：我们知道，现实世界中存在着各种各样的“周而复始”变化现象，圆周运动是这类现象的代表．问题2：如图1，O上的点P以A为起点做逆时针方向的旋转，如何刻画点P的位置变化呢？预设的师生活动：学生独立思考，并回答问题（链接Geogebra动画）．预设答案：通过角的变化进行刻画．图1说明：“刻画”这个词用在问题2中虽然比较准确，但学生可能不能理解它的含义，因此，我们可以用信息技术（如Geogebra）将这种旋转的过程体现出来，尤其是将线段OP用鲜艳的颜色突显出来，学生自然就会想到点P的运动可以看成是由线段的运动带动点的运动（其实就是射线的运动带动了点的运动），由此让学生可以理解，这种“刻画”就是“描述”“反映”等，另外，主要让学生可以发现圆周上点的运动与角的关系．设计意图：通过具体问题引出本节课的研究主题——角（版书）．问题3：我们以前所学角都在0°～360°的范围内，生活中有超出0°～360°角的例子吗？请你举例说明．预设的师生活动：学生独立思考，并举手回答问题．预设答案：例如，体操中“前空翻转体540度”“后空翻转体720度”（如图2）；如果要将钟表调快一个半小时，那么分针就会顺时针旋转超过360°（如图）．追问1：这些角的不同，体现在哪几个方面？预设答案：两个方面，一是大小；二是方向． 设计意图：一方面加强数学与我们现实生活的联系，说明学习数学是有用的；另一方面，学生在用语言描述这些超出0°～360°角的时候，会发现用静态角的定义不再适合，让他们体会到：要想说清楚这些角，有必要将角的范围进行拓展，而且需要从动态的角度重新定义角．追问2：假如你的手表快了1.25小时，你应当如何将它校准？当时间校准以后，分针转了多少度？从几个方向描述角？预设的师生活动：学生独立思考，并举手回答问题．预设答案：逆时针旋转；分针会旋转450°（链接Geogebra 动画）．假如校准前如图（1），校准后应该为图（2）．图2（1） 图2（2）图3（1）图3（2）设计意图：通过这个具体的例子让学生理解：要想说清楚一个角，包括两个方面，一是旋转方向；二是旋转量．追问3：以上问题中对角的描述的共性是什么？预设的答案：都要说清楚角的大小及旋转方向．问题4：请同学们先阅读课本第168页最后一段至第169页最后一段前，再回答下列问题：根据旋转方向的不同，角可以分为哪几类？分别是什么？这种定义方法和分类办法是与之前的哪个知识进行类比的？预设的师生活动：学生独立阅读课文，再举手回答上述问题．预设答案：一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角．如果一条射线没有做任何旋转，就称它形成了一个零角，因此，角可以分为正角、负角、零角．这种定义方法和分类办法都是与实数进行类比的．设计意图：明确了通过推广以后角的定义，知道了角是“转”出来的，关键是对旋转方向的量化可以通过类比实数，用符号表示方向．练习1：你能分别作出210°、-150°、750°、-660°吗？预设的师生活动：学生作图，教师用Geogebra展示动画作图过程．预设答案：如图3（1）（2）（3）（4）．设计意图：熟悉正角、负角的定义，理解“符号”与“方向”之间的关系，从数到形的认识．追问1：你知道什么是两角相等？两角相加又是怎样规定的？预设的师生活动：学生回答．预设答案：如果两角的旋转方向相同且旋转量相等，就称两角相等；规定：把角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角是α+β．设计意图：定义了一个具有数量特征的数学概念之后，紧接着需要研究的就是两个这种数学对象之间的关系以及运算问题．追问2：你知道什么是互为相反角？两角怎样相减？预设的师生活动：学生回答．预设答案：如果两角的旋转方向不同且旋转量相等，就称两角互为相反角；类比实数减法，我们有α－β=α+（－β）．设计意图：类比实数，得到相反角的定义及两个任意角之间的减法运算．练习2：你能用作图的方式反映出30°与-30°；30°+120°与150°；30°-120°与-90°的关系吗？预设的师生活动：学生分别作图并说明．图4（1） 图4（2）图4（4）图4（3）预设答案：如图5（1）（2）（3）．追问：对于一般的α－β呢，你能类比实数给出相应说明吗？预设答案：对于一般的α－β，如果α＞β，则α－β＞0°；如果α=β，则α－β=0°；如果α＜β，则α－β＜0°．从图形上看，就是把角α的终边旋转角－β（若β＞0°，则顺时针旋转│β│；若β＜0°，则逆时针旋转│β│；若β=0°，则不作旋转），这时终边所对应的角是α－β．设计意图：通过具体例子加强学生对相等角、相反角、角的加法、减法的理解，并能推广到一般情形，这里体现了具体与抽象、特殊与一般的数学思想方法．2．象限角问题5：在直角坐标系中研究角，其顶点和始边的位置是如何规定的？根据其终边位置的不同，又可以把角分为哪几类？在直角坐标系内讨论角有什么好处呢？预设的师生活动：学生互相交流后，再回答．预设答案：为了方便，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合；根据角终边所在象限，将角又可以分为第一、二、三、四象限角以及轴线角；在直角坐标系中讨论角可以很好地表现角的“周而复始”的变化规律．设计意图：让学生明确在直角坐标系中讨论角需要有一个统一的标准．在这个统一前提下，才能对象限角进行定义．另外，终边落在坐标轴上是一种“边界”状态，因此规定它不属于任何一个象限更方便．这样讨论角的好处就是：在同一“参照系”下，可以使角的讨论图5（3）图5（2） 图5（1）得到简化，由此还能使角的终边位置“周而复始”现象得到有效表示．练习3：教材第171页第1、2、3题．预设的师生活动：由学生逐题给出答案．预设答案：1．锐角是第一象限角，第一象限角不一定是锐角；直角是终边落在y轴非负半轴上的角，终边落在y轴非负半轴上的角不一定是直角；钝角是第二象限角，第二象限角不一定是钝角．2．三，三，五．3．（1）第一象限角；（2）第四象限角；（3）第二象限角；（4）第三象限角．设计意图：检验学生对象限角的理解情况．3．终边相同的角问题6：在直角坐标系中，将角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么与－32°角终边重合的角还有哪些？有多少个？它们与－32°角有什么关系？能不能用集合的形式将它们表达出来？将－32°推广到一般角 ，结论应该是什么？预设的师生活动：教师演示（链接Geogebra动画），学生观察并思考后，再举手回答．预设答案：还有－392°、328°、688°等等；有无数个；相差360°的整数倍；{β｜β＝－32°＋k·360°，k∈Z}；{β｜β＝α＋k·360°，k∈Z}；设计意图：通过动画演示与回答问题，使学生明确：（1）终边相同的角不一定相等；（2）终边相同的角有无数个，这些角有“始边、终边都相同”的共同特征；（3）这无数多个终边相同的角在数量上都是相差360°的整数倍．例1在0°～360°范围内，找出与－950°12′角终边相同的角，并判定它是第几象限角．预设的师生活动：先由学生独立计算，再回答．追问：与－950°12′角终边相同的角都有什么共同点？预设答案：相差360°的整数倍；与－950°12′角终边相同的角可以写成{β｜β＝－950°12′＋k·360°，k∈Z}，当k=3时，β＝129°48′，它是第二象限角．设计意图：熟悉终边相同的角的表示，并会在0°～360°范围内找出与已知角终边相同的角，判定其为第几象限角，为以后证明恒等式、化简及利用诱导公式求三角函数的值等奠定基础．例2写出终边在y轴上的角的集合．预设的师生活动：学生先独立完成，再相互交流．追问：这些角终边在几条射线上？终边落在每条射线上的角如何表示？这两条射线上的角都相差多少度？能不能用一个集合表示这所有的角？预设答案：两条；y轴正、负半轴上的角的集合分别为{β｜β＝90°＋k·360°，k∈Z}、{β｜β＝270°＋k·360°，k∈Z}；相差180°的整数倍；{β｜β＝90°＋k·180°，k∈Z}．设计意图：此题是终边在坐标轴上的角的表示．应引导学生体会用集合表示终边相同的角时，表示方式不唯一，要注意采用简约的形式．另外，分析终边与y轴的正半轴、负半轴分别重合的两个角的集合的联系，可以简化集合的表示，实质是“终边组成一条直线”的代数解释：“两个集合中的元素相差180°的整数倍．”设计意图：让学生熟悉简化角的集合的表示方法．上的角的集合S．S中适合不等式－360°≤β＜720°的元素例3写出终边在直线y xβ有哪些？预设的师生活动：由学生独立完成后，让学生代表进行展示．追问：在求出角之前，你能判断满足条件角的个数吗？判断的根据是什么？预设答案：六个；所求角的范围包含了三周；S={β｜β＝45°＋k·180°，k∈Z}；－315°、－135°、45°、225°、405°、585°．设计意图：此题主要是巩固终边相同的角的表示．为了使学生顺利完成相应的集合运算，可以先让学生用日常语言描述一下集合的特征．（三）归纳小结问题5：通过本节课的学习，你能说出本章将要学习什么内容？其作用是什么？其基本的研究方法是什么？本节课关于角的概念出现了几个定义？分别是怎样规定的？你能从数与形两个角度进行描述吗？能不能画一个结构图来反映本节课的研究思路及内容？预设的师生活动：学生自主总结，展示交流．预设答案：三角函数；刻画周期现象；与其它基本初等函数一样，先抽象出定义，再由定义作出图象，观察图象研究性质，最后是其初步应用；角的概念主要是任意角、象限角、终边相同的角，规定：一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角．如果一条射线没有做任何旋转，就称它形成了一个零角．在直角坐标系中，将角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，角的终边落在第几象限就称角为第几象限角．在直角坐标系中，将角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S=｛β|β=α+k·360°，k∈Z｝，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．从形上看，终边相同的角就是“终边旋转整数周回到原来的位置”．设计意图：帮助学生梳理基本知识，提升数学抽象素养．（四）布置作业（1）分别写出终边在第一、二、三、四象限的角的集合；（2）预习5.1.2弧度制的内容；（3）第175页习题5.1复习巩固1、2．（五）目标检测设计1．写出终边在x轴与坐标轴上的角的集合．2．写出与下列各角度终边相同的角的集合，并找出集合中适合不等式－720°≤β＜360°的元素β（教科书第171页练习第5题）：（1）1303°18′；（2）－225°．设计意图：检验学生对任意角、终边相同角和象限角的理解情况．参考答案：1．{β｜β＝k·180°，k∈Z}；{β｜β＝k·90°，k∈Z}；终边在x轴上的角相差180°的整数倍，而终边在坐标轴上的角相差90°的整数倍．2．（1）{β｜β＝1303°18′＋k·360°，k∈Z}，－496°42′，－136°42′，223°18′；（2）{β｜β＝－225°＋k·360°，k∈Z}，－585°，－225°，135°．。
60sin60等于多少吗？预计：认为两个量不能相加，因为单位不同，实数，所以无法相加.不同的条件可以使用吨、公斤，也可以使用克等. 此外还有国际公制，有中国市制，那么，度量角的单位是否只有角度制一种呢？历史背景：公元六世纪，印度数学家家阿耶波多在创新制作正弦表时, 就发现了有一个问题不好解释，比如sin300.5=，他发现了什么问题呢？在这个等式中，单位制是不同的，左边是60进制,右边是10进制为单位，单位不统一的两个数学对象分别放在等式的左右两侧, 所以阿耶波多想到了能否对角的度量采用十进制.【设计意图】引发学生的认知冲突，让学生意识到角度不是实数，产生对角的单位有必要重新认知的需要，为引入弧度制作准备.7分钟探究新知探究活动：根据角的动态定义，射线OA绕端点O旋转到OB形成角α. 在旋转过程中，射线OA上点P（不同于端点O）的轨迹是一条圆弧. 记=nα.如果要把角的单位统一成十进制，那么就必须借助用十进制表示的量，这里很明显涉及到两个量：弧长和半径.问题3：射线OA上三个点12,,A A A旋转到点12,,B B B，在这个过程中，都涉及到哪些量，你能发现它们之间蕴含着哪些相等关系与不等关系？涉及到三个量：弧长、半径和圆心角，显然，弧长、半径是不等的，也不相等，但角度是相等的.【设计意图】从历史背景中引出数学问题，引导学生在熟悉的生活体验中，用数学的眼光进行观察相等关系与不等关系，为下面挖掘“弧长与半径比值为定值”这一隐含的数学现象做好铺垫.追问1、圆心角、半径、弧长这三个量之间存在什么关系呢？能否用我们以前学过的数学公式来表示他们之间的关系？在初中我们学过弧长公式180n rlπ=.追问2、你能否用弧长公式解释在这个运动过程中，弧长和半径都发生变化，而圆心角不变吗？圆心角与弧长和半径有关，180l n r=π⨯. 当圆心角不变时，180l n r π=为定值. 所以，圆心角α所对的弧长与半径的比值只与角的大小有关.如图，对同一个圆心角α，可得：112212A B A B AB l l l OA OA OA ==. 因此，弧长与半径的比值l r 只与圆心角的大小有关，当圆心角确定时，l r 也唯一确定.这就让我们想到可以用弧长与半径的关系度量圆心角.当弧长与半径相等时，l r 是一个定值，此时圆心角等于180π度. 我们把这时l r的比值1记为1个单位的角, 就可以用这个1个单位的角去表示其他的角. 比如当弧长2l r =时，所对圆心角为2个单位的角；当弧长0.5l r =时，所对圆心角为0.5个单位的角，这里l r是一个实数，这样可以用l r来度量角的大小，解决了用实数度量角的大小问题.这就是度量角的另一种单位制——弧度制.弧度单位用符号rad 表示，读作弧度.规定：长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1rad .【设计意图】通过对初中所学的弧长公式的回顾与变形，不仅从代数关系上说明了l r与角的大小有关，而且这个比值是一个实数，有弧长的参与，学生自然体会到弧度制的合理性，同时让学生经历从观察、分析到抽象、概括的过程，培养学生的理性数学思维.6分钟理解新知弧度制的精髓是把角度和弧度的度量统一起来，极大的简化了与之有关的运算，在高等数学里，优势相当明显.问题4：你能否作出2rad大小的角？根据定义，2lrα==，即2l r=时，弧长所对圆心角为2rad.问题5：任意角都可以用lr的比值表示吗？正角、负角和零角的弧度数如何规定呢？任意角都是从旋转角度定义的，当半径一定时，旋转量从弧长可以判断，符号由旋转方向决定，所以任意角都可以用lr表示.正角、零角、负角分别用正数、零、负数表示.规定：如果半径为r的圆的圆心角α所对弧长为l，那么角α的弧度数的绝对值是lar=，这里，α的正负由角α的终边的旋转方向决定.追问: 反过来任意一个实数都可以表示角吗？这种表示是唯一的吗？对于任意一个实数a满足lar=，那么l a r=，此时α的绝对值大小确定，再由α的旋转方向确定α的正负符号，所以任意一个实数都可以表示唯一确定的角.这样就在角的集合与实数集之间建立了一一对应关系.【设计意图】帮助学生进一步理解弧度制可以度量角的大小，而且可以和实数集合建立一一对应的关系.早在18世纪，瑞士数学家欧拉，在他的名著《无穷小分析引论》中倡导使用弧度制，统一了角与长度的单位，从而使得对三角函数的研究大为简化，并提出了弧度制的思想.而弧度这个词产生于1873年，爱尔兰工程师詹姆斯·汤姆森（James Thomson）教授在其编著的一本考试集中创造性地首先使用了“弧度”一词.他将“半径（radius）”的前四个字母与“角(angle)”的前两个字母组合在一起，构成了一个新词radian，被人们广泛接受.【设计意图】在通过介绍弧度制及其名称符号的发展历史，让学生感受数学文化丰富的历史沉淀.5分钟应用新知问题6：角度制、弧度制都是角的度量单位，它们之间应该如何换算呢？当角的终边旋转一周，所得到周角的弧度数为2π，而在角度制下为360，即3602rad=π ，180rad=π ，1180=π反过来可得57.305718'⎫≈=⎪⎭. 30'化成弧度3.14rad 30'=3.14179.909rad = “弧度”二字或“rad0 30 45120 135 150 3π π180rad=π的三角函数的学习中要熟练掌握特殊角的弧度数数学知识大多来源于现实或自然科学中出现的问题，理解、分析，学会用数学的眼光观察问题、用数学的思维思考问题、用数学的语言表达问题.在今天的学习中，我们运用了数形结合、转化与化归、特殊与一般等数学思想方法，在今后的学习中我们还要进一步熟悉和掌握这些思想方法.布置教科书P175-176，习题5.1 第5、6、7、8题作业。
教材：2019年人教A版高中数学必修一课题：第五章三角函数5.1任意角与弧度制（第一课时）合肥一六八中学贾秋雨一、内容和内容解析1.内容：本节的内容包括任意角和弧度制，知识结构如下：2.内容解析：①内容的本质：周期性变化现象随处可见，圆周运动是研究这种现象的变化规律的理想载体，在圆周上一点的运动过程中，角的范围将超出0°~360°,因此有必要推广角的概念；②蕴含的思想和方法：研究思路如下：初中角的定义→任意角的概念→象限角→终边相同的角→弧度制大概念→弧度制与角度制的换算.利用数形结合的思想，从具体到抽象，利用圆上的点的位置变化的刻画从旋转的角度给出任意角的概念；通过类比长度、质量的不同度量制引入弧度制的概念；③知识的上下位关系：学生初中学习过的角的定义和度量方法是研究本单元的基础；将角的概念推广到任意角并用实数来度量是进一步研究三角函数的基础.因此本单元的教学具有承上启下的作用；④育人价值：任意角和弧度制是从现实中随处可见的周期性变化现象出发，借助单圆上的点运动规律发现的，本单元是培养学生发现和提出问题、分析和解决问题，发展学生直观想象、数学运算、逻辑推理等核心素养很好的载体．⑤教学重点：将0°到360°范围的角扩充到任意角，弧度制，弧度与角度的互换.二、目标和目标解析1.目标：(1)了解任意角及象限角的概念，掌握任意角的加减运算，发展学生数学抽象的核心素养；(2)掌握用集合语言表示终边相同角的关系；(3)初步体会弧度制引入的背景及必要性，理解同一个量可以用不同的单位制来度量；(4)在半径不同但圆心角相同的扇形中，利用初中学习的扇形的弧长公式能够发现弧长与半径的比不变，从而体会用比值作为弧度制定义的合理性，加深弧度制概念的理解.在此过程中学生可以感受数学抽象的层次性及逻辑推理的严谨性；(5)体会弧度制是度量角的一种方式，并能利用进行弧度制与角度制的互化，利用单位圆中弧长等于半径的圆心角，直观感受用长度度量1弧度的大小，能证明并灵活运用一些关于扇形的公式，同时理解角与实数之间的一一对应关系.2.目标解析：达成上述目标的标志是：(1)对于一个给定的任意角，学生能说出旋转方向及旋转量，并能在直角坐标系中作出该角，还能判断它是第几象限角；对于两个角，会判断它们是否相等或是否为相反角，如果相加、相减后，从数量上，知道结果是正角、负角或零角，从图形上，还能解释是通过怎样的旋转得到的；(2)学生能准确使用集合语言表示终边相同角的关系，知道终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍，体会数形结合的思想及由特殊到一般的归纳思想；(3)学生已有的知识经验明白度量长度、质量可以用不同的单位制，不同的单位制可以给解决问题带来方便，因此初步体会引入弧度制的必要性；(4)在探究如何科学合理地定义弧度制这一概念的过程中，学生经历了从特殊到一般的探究过程，首先从不同半径的圆周中提炼出不变的量是圆周角的大小和周长与半径的比值，进一步推广到更为一般的圆心角为所对弧长与半径的比值不变，通过认识、理解、把握弧度制的本质，学生经历概念形成的全过程，能描述1弧度角的概念，达成理解弧度制这一目标.(5)在弧度制的应用过程中，学生认识到角度制和弧度制之间的关系，能找到两种度量制之间的换算桥梁是，通过写特殊角的弧度数来熟练角度与弧度的换算，提高运用有关知识解决问题的能力，达成角度与弧度互化的目标；通过例3证明弧度制下扇形的弧长和面积公式，学生体会弧度制的简洁性.三、教学问题诊断分析本节教学难点:任意角概念的建构，用集合表示终边相同的角，弧度制的概念．1.本单元的第一个难点是学生如何理解角的范围的扩充.学生已经比较熟悉数系扩充的过程与方法，角的范围的扩充与数系扩充是完全类似的，只是关于角的运算只有加减.因此在扩充过程中要注意以下教学过程：引进360°的角和负角的必要性，其要点是“角是转出来的”，射线绕端点旋转时，确定一个旋转需要旋转量和旋转方向两个要素；定义任意角时必须明确定义的对象集合中怎样的两个元素是“相同的”，这是后续研究的基础；引入象限角，让角的顶点与原点重合、始边与x轴非负半轴重合，从而使角的表示统一化、标准化、简单化，更重要的是使任意角成为刻画周而复始现象的数学工具.2. 本单元的第二个难点是如何引导学生发现和提出“终边相同的角的表示”.引入象限角表示后，出现的问题是：给定一个角，其终边唯一确定，但一条终边却可以对应无数个角.这时可以提出一个问题：两个角，其始边、终边都相同，那么它们之间一定有内在联系，有怎样的联系呢？一般地，确定同一事物两种表示之间的联系、转化，是数学的一个基本任务.教学时，可以从上述一般性角度提出问题，再由形到数、从具体到抽象，把“角的终边绕原点旋转整数周回到原来位置”用数量关系表示出来就得到结果.3.本单元的第三个难点是如何理解弧度制？把握任何度量制，度量单位的理解是根本.1弧度的意义是什么？从名称上就可以知道这是用圆的弧长来度量角的大小，这里有一个问题要解决：如图，QQ1和PP1所对圆心角都是α，但它们的弧长显然不等，是与半径相关的.联系到初中阶段学过的弧长公式 (其中n是α的度数)，可以发现，这说明随α的确定而唯一确定.这样，利用圆的弧长与半径的关系度量圆心角，把长度等于半径的圆弧所对圆心角的大小定义为1弧度，就做到了度量上的完备性和纯粹性.四、教学支持条件分析在信息技术的支持下，可以动态地表现角的终边旋转的过程，有利于学生观察角的大小变化与终边位置的关系，因此要注意用信息技术帮助学生了解任意角和弧度制的概念. 五、教学过程设计播放章首引入微课视频微课文字：同学们好，其实在我们的现实世界中的许多运动、变化都有着循环往复、周而复始的规律，这种变化规律称为周期性。
《5.1.2 弧度制》教学设计教材内容：弧度制是为了解决角度制下研究三角函数时存在单位难以转化的问题而引入的。
弧度制的本质是用线段衡量角的大小，建立了实数与角度之间的联系，为后续学习三角函数铺平了道路。
同时，现实生活中的大量周期现象用角度值表述具有较大的局限性，因此引入弧度制是十分必要的。
学生在学习角度转化为弧度的过程中，也可体会数学依托于现实生活而存在的创造性。
教学目标：1、理解1rad角的定义，建立弧度制的概念，知道弧度制的本质是线段度量角度大小.掌握弧度与角度的互化，知道一些特殊角的弧度数，能通过弧度定义推导扇形弧长及面积公式.2、经历“发现问题--现实情境--动手实践--产生不便--创造新知--感受创造发明的美好”的过程启发思考，提高数学思维.3、经历“度量需要--寻找关系--制定单位--定量表示--单位换算”丰富学生的数学活动经验.教学重点与难点：1、教学重点：1rad角的定义，角度与弧度的互化；2、教学难点：弧度制的产生过程和蕴含的思想方法。
教学过程设计：引导语：学习今天的内容之前先问大家一个问题：“我们为什么要学习数学？人类为什么要创造数学？”.问题预设：解决问题、计算、考试、生活需要、经商、买菜……师：有这样一句话“人类发展的历史，就是人类认识世界的历史.为了认清世界的本质，人类创造了很多工具，数学就是其中之一，为解决问题的方便，便创造了各种各样的单位制.”例如：长度单位有哪些？（千米、米……）师：生活中还有其它的度量单位吗？师生交流：（质量、面积、时间、温度……）上节课我们学习的是角，角的单位有哪些？并简单介绍角度制的创造.角度制在生活当中应用非常广泛，也非常好用，但科学家们在研究一些三角类问题的时候发现了一些困难，比如：“公元6世纪，印度数学家阿耶波多在创新制作正弦表时发现了一个不好解释的问题.如：1sin 30=2。
左右单位不统一，进制不统一.再如：60+sin 30不能进行运算，怎么解决这个问题呢？角除了角度制的度量方式还能有其它的度量方式吗？历史上的科学家们开始研究这个问题，大家的想法是最好角度能和实数统一就好了.引入课题弧度制--板书课题.环节1：情境引入.某地区为宣扬社会主义核心价值观，需要生产一个和图中一样的扇形广告宣传牌，技术人员需要计算一下扇形的面积，用来测算需要原材料的量，若他手中只有一把钢卷尺，能用现有的工具测算出扇形的大致面积吗？预设：初中学过的扇形面积公式是2360n r S π=,我们需要知道半径和圆心角.追问1:钢卷尺可以量半径,能测量圆心角吗？ (不能)追问2:钢卷尺除了可以测量半径还能测量什么? (弧长、半径) 追问3：扇形弧长、半径有了可以得出圆心角吗？能想到什么关系？（弧长公式180n r l π=） 设计意图：从生活实际问题出发，引导学生思考在只有钢卷尺的条件下，如何测量圆心角，这当中蕴含着弧度制的本质，也就是用长度来测量角度的方式，为下一步的实验探究打好基础，同时作为扇形的面积公式，因为转换因子的存在，角度制下是相对复杂的，在这个具体的情景问题中，计算扇形面积需要的过程相对复杂，为后续建立弧度制后，扇形面积简单的计算方式做好对照基础.环节2：合作探究、动手实践.器材：扇形教具、绳子、直尺.要求：请各组同学相互协作，用手中现有的工具测量扇形的圆心角.要求1：请各组同学测量手中扇形的弧长和半径，并将测得的数据填入下表：(图1)预设：每个小组测得的扇形弧长和半径相等，或者几乎相等.如有差距较大的情况，一定是测量有问题.在将扇形弧长和半径的测量长度代入弧长公式后会发现圆心角的表示会因为转换因子的存在显得比较复杂.设计意图：合作探究的目的有三：1是增强学生团结协作的意识，虽然活动内容简单，但不互相帮助，结果可能误差较大.2是课前制作的扇形虽大小不一，但圆心角都是1弧度，通过亲自测量发现弧长与半径几乎相等的特点，为后续1rad角的大小认识做好铺垫.3是感这个转换因子的存受测量后如果代入计算，圆心角的结果会因为180在而比较麻烦.环节3：概念形成.引导学生观察弧长公式的变形，提出以下问题：问题1：公式中的n是什么？又是什么？问题2：公式中的lr预设：问题1（圆心角的角度值，单位是度）；问题2（弧长与半径的比值，是个实数）之间是一种正比例的关系，从而将实引导学生发现角度值n和lr数和角度建立一一对应的关系，进而启发学生用实数来表示角度.问题3：在弧长公式的对应法则之下，角度值n构成的集合与l比r值构成的集合之间有了一种一一对应的关系，我们可以用这个实数来表示这个角度吗？预设：能，这样我们就找到了另外一种可以表示角的量.在找到量以后顺其自然，我们需要一个单位.问题4：在长度单位等其它单位制中的一个单位是什么？比如米的1个单位？的比值中1个单位如何定义？什么时候它会等问题5：在这个lr于1？预设：当弧长和半径相等的时候为1.板书1rad 角的定义，并简单说明单位的来历，同时引出1rad 角大小的直观认识.问题6:1rad 的角到底有多大呢？将各小组的扇形教具合到一起，观察发现所有扇形的圆心角都是一样大的，而且从数据上来看，各组刚刚测得的弧长和半径都相等或者几乎相等.按照1rad 角的定义，这个扇形的圆心角应该就是1rad.问题7：观察图形，是不是半径越大，圆心角就越大？是不是弧长越长圆心角就越大？回归探究过程，实物展示，加深对1rad 角定义的直观认识，按照1rad 角的定义，各小组刚刚所测的角就是1rad 的角，并对学生所测数据进行点评.问题8:直观感受一下，1rad 的角大概是多少度呢？预设：比60度小一点.同时如果将弧长近似的看作一条直线，扇形就可以类比为一个等边三角形，当中体现以直代曲的思想，帮助学生直观上预测1rad 角在角度制中的大小.以上述1rad 角的定义为基础，进行快速练习，通过归纳总结得出弧度制的定量表示：l r α=，体现从特殊到一般的思想.同时以弧长为2π倍半径的圆心角对应弧度数为2π得到3602π=rad 这个转换桥梁，为下一步单位换算做好铺垫.问题9：弧度制是否可以度量任意角？引导学生从任意角的定义出发，在师生交流中得出正角、零角、负角与正数、零、负数的一一对应.环节4：弧度制的发展.在弧度制的定义探讨结束后，对弧度制的发展史进行简单交流，增强学生对弧度制发展史的了解，感受弧度制的发展历程，体会弧度制建立的必要性，渗透数学文化.环节5：概念深化.我们常常需要在两种单位制之间进行转化，像1m=10dm 就是长度单位转换中的其中一个桥梁，那弧度和角度的转化能找到桥梁吗？师生活动：在定量表示时为单位换算埋下伏笔，3602π=rad 化简后的结果180=πrad 即为角度与弧度的转换桥梁，进一步单位化可以得到转换公式：设计意图：同一研究对象关于换算公式的探究，关键是要找到转1180rad π=180rad π=⇒1180rad =换的桥梁，在前面弧度的定量表示中，已经从圆的周长和半径的比值得到圆心角角度与其弧度数的关系，培养学生对数学对象研究的思考.环节6：学以致用.例4：（1）按照下列要求，把6730'化成弧度：①精确值; ②精确到0.001的近似值.（2）将3.14rad 换算成角度（用度数表示，精确到0.001） 师生活动：提醒学生单位换算的关键是利用180rad π=，转换中教师板书提供示范，第二问教师用计算器演示求近似值，如下图所示：设计意图：熟悉角度与弧度的互化，熟悉互化转换因子，学习正确的书写方法.小试牛刀：特殊角角度与弧度的互化.（图2）师生活动：引导学生观察特殊角，找到特殊角之间的倍数关系，从而可以以较快的速度填好如上表格，同时强调在后续的学习过程中，特殊角的转化是需要记住的.例题6：利用弧度制证明下列关于扇形的公式.(1) l R α=; (2)212S R α=; (3)12S lR =.其中R 是圆的半径，(02)ααπ<<为圆心角，l 是扇形的弧长，S 是扇形的面积.师生活动：教师引导学生思考并进行板演.情景再现：在前述情景问题中，角度制下的面积表达因为转换因子的存在显得比较复杂，在应用弧度制进行转换后，面积的表达公式从形式上和内容上都比较简单，引导学生感受弧度制发明的其中一个意义—简化公式.环节7：目标检测评价.检测：把下列角度化成弧度.（1）2230'；210-；1200.（2）12π；34π-；310π. （3）用弧度制表示终边在x 轴上的角的集合.设计意图：巩固角度与弧度的互化，对学习重点内容进行当堂检测，并以（3）为例引导学生注意角度制与弧度制不能混合使用.环节8：课堂小结.教师引导进行学习过程回顾，问题导向进行小结：(1)回顾本节课我们怎么想到需要角的另一种度量方式的？(2)怎么找到实数和角度对应关系的？(3)你觉得弧度制度量角的本质是什么？(4)你觉得学习弧度制的好处在哪里？师生活动：教师引导学生自主回顾，点拨提炼观点. （图3）设计意图：通过上述4个问题，以问题为导向促进学生思考本节课学习弧度制的过程，从发现问题-现实情境-实验探究-产生不便-创造新知-感受创造发明的美好等角度展开总结，引导学生感受新的单位制的研究路径：度量需要-寻找关系-制定单位-定量表示-单位换算，丰富学生的数学活动经验.课后作业设计：体现本节课的教学重点，题目中涉及弧度角度互化以及扇形弧长面积公式的应用，增强学生对重点内容的巩固理解.板书设计：（图4)课后反思：在准备这节课的过程中，通过学习课标和教材后，知道体会弧度制引入的必要性是本节课的重点内容，培养学生关注数学本质，新度量制的创造背景、路径、价值是重中之中。
【新教材】5.1.2弧度制教学设计（人教A版）前一节已经学习了任意角的概念，而本节课主要依托圆心角这个情境学习一种用长度度量角的方法—弧度制，从而将角与实数建立一一对应关系，为学习本章的核心内容—三角函数扫平障碍，打下基础.课程目标1.了解弧度制,明确1弧度的含义.2.能进行弧度与角度的互化.3.掌握用弧度制表示扇形的弧长公式和面积公式.数学学科素养1.数学抽象：理解弧度制的概念；2.逻辑推理：用弧度制表示角的集合；3.直观想象：区域角的表示；4.数学运算：运用已知条件处理扇形有关问题.重点：弧度制的概念与弧度制与角度制的转化；难点：弧度制概念的理解．教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。
教学工具：多媒体。
一、情景导入度量单位可以用米、英尺、码等不同的单位制，度量质量可以用千克、磅等不同的单位制，不同的单位制能给解决问题带来方便.角的度量是否也可以用不同的单位制呢？能否像度量长度那样，用十进制的实数来度量角的大小呢？要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本172-174页，思考并完成以下问题1． 1弧度的含义是？2．角度值与弧度制如何互化？3．扇形的弧长公式与面积公式是？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究1．度量角的两种单位制(1)角度制①定义：用度作为单位来度量角的单位制．②1度的角：周角的1360．(2)弧度制①定义：以弧度作为单位来度量角的单位制．②1弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角．2．弧度数的计算3.角度制与弧度制的转算4．一些特殊角与弧度数的对应关系度0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°弧度0π6π4π3π22π33π45π6π3π22πlrπ180(180π)°正数负数零5．扇形的弧长和面积公式设扇形的半径为R ，弧长为l ，α(0＜α＜2π)为其圆心角，则： (1)弧长公式：l ＝ αr ．(2)扇形面积公式：S ＝ 12lr ＝ 12αr 2 ．四、典例分析、举一反三 题型一 角度制与弧度制的互化例1 把下列弧度化成角度或角度化成弧度： (1)－450°；(2)π10；(3)－4π3；(4)112°30′.【答案】（1）－5π2 rad ；(2) 18°；(3) －240°；(4) 5π8 rad.【解析】(1)－450°＝－450×π180 rad ＝－5π2 rad ；(2)π10 rad ＝π10×⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°＝18°； (3)－4π3 rad ＝－4π3×⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°＝－240°；(4)112°30′＝112.5°＝112.5×π180 rad ＝5π8 rad.解题技巧：（角度制与弧度制转化的要点）跟踪训练一1．将下列角度与弧度进行互化．(1)20°；(2)－15°；(3)7π12；(4)－11π5.【答案】（1）π9 rad ；（2）－π12 rad ；（3）105°；（4）－396°.【解析】(1)20°＝20π180 rad ＝π9 rad.(2)－15°＝－15π180 rad ＝－π12 rad.(3)7π12 rad ＝712×180°＝105°.(4)－11π5 rad ＝－115×180°＝－396°.题型二 用弧度制表示角的集合例2 用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x 轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界，如图所示)．【答案】（1）⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪－π6＋2k π<θ<512π＋2k π，k ∈Z； （2）⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪－3π4＋2k π<θ<3π4＋2k π，k ∈Z ；（3）⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪π6＋k π<θ<π2＋k π，k ∈Z. 【解析】用弧度制先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，(1)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪ －π6＋2k π<θ<512π＋2k π，k ∈Z. (2)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪－3π4＋2k π<θ<3π4＋2k π，k ∈Z. (3)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪π6＋k π<θ<π2＋k π，k ∈Z. 解题技巧：(表示角的集合注意事项) 1．弧度制下与角α终边相同的角的表示．在弧度制下，与角α的终边相同的角可以表示为{β|β＝2k π＋α，k ∈Z }，即与角α终边相同的角可以表示成α加上2π的整数倍． 2．根据已知图形写出区域角的集合的步骤． (1)仔细观察图形．(2)写出区域边界作为终边时角的表示．(3)用不等式表示区域范围内的角． 提醒：角度制与弧度制不能混用. 跟踪训练二1．如图，用弧度表示顶点在原点，始边重合于x 轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界)．① ②【答案】(1)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪－2π3＋2k π＜α＜π6＋2k π，k ∈Z. (2)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪2k π＜α＜π3＋2k π或2π3＋2k π＜α＜π＋2k π，k ∈Z .【解析】(1)如题图①，以OA 为终边的角为π6＋2k π(k ∈Z )；以OB 为终边的角为－2π3＋2k π(k ∈Z )，所以阴影部分内的角的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪－2π3＋2k π＜α＜π6＋2k π，k ∈Z. (2)如题图②，以OA 为终边的角为π3＋2k π(k ∈Z )；以OB 为终边的角为2π3＋2k π(k ∈Z )．不妨设右边阴影部分所表示的集合为M 1，左边阴影部分所表示的集合为M 2，则M 1＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪2k π＜α＜π3＋2k π，k ∈Z ，M 2＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪2π3＋2k π＜α＜π＋2k π，k ∈Z .所以阴影部分内的角的集合为M 1∪M 2＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪2k π＜α＜π3＋2k π或2π3＋2k π＜α＜π＋2k π，k ∈Z .题型三 扇形的弧长与面积问题例3一个扇形的周长为20，则扇形的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形面积最大？ 【答案】当扇形半径r ＝5，圆心角为2 rad 时，扇形面积最大．【解析】设扇形的圆心角为α，半径为r ，弧长为l ，则l ＝αr ， 依题意l ＋2r ＝20，即αr ＋2r ＝20，∴α＝20－2rr.由l ＝20－2r >0及r >0得0<r <10， ∴S 扇形＝12αr 2＝12·20－2r r ·r 2＝(10－r )r＝－(r －5)2＋25(0<r <10)．∴当r ＝5时，扇形面积最大为S ＝25.此时l ＝10，α＝2， 故当扇形半径r ＝5，圆心角为2 rad 时，扇形面积最大．解题技巧：（弧度制下解决扇形相关问题的步骤）(1)明确弧长公式和扇形的面积公式：l ＝|α|r ，S ＝12|α|r 2和S ＝12lr .(这里α必须是弧度制下的角)(2)分析题目的已知量和待求量，灵活选择公式． (3)根据条件列方程(组)或建立目标函数求解． 跟踪训练三1、已知某扇形的圆心角为80°,半径为6 cm,则该圆心角对应的弧长为( ) A .480 cm B .240 cmC .8π3cm D.4π3cm【答案】C 【解析】:80°=π180×80=4π9,又r=6 cm,故弧长l=αr=4π9×6=8π3(cm).2、如图,已知扇形AOB 的圆心角为120°,半径长为6,求弓形ACB 的面积.【答案】12π-9√3 【解析】S 扇形AOB =12×120π180×62=12π,S △AOB =12×6×6×sin 60°=9√3,故S 弓形ACB =S 扇形AOB -S △AOB =12π-9√3. 五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧 六、板书设计七、作业课本175页练习及175页习题5.1.本节课主要采用讲练结合与分组探究的教学方法，让学生通过角度制与弧度制的转化将角与实数建立一一对应关系，切记：角度和弧度不可同时出现.。
任意角与弧度制课时教学设计课题5.1任意角与弧度制授课时间： 年 月 日课型：新授课课时：第一课时数学核心素养目标1.通过探索让学生掌握用“旋转”定义角的概念，理解并掌握“正角”、“负角”、“象限角”、“终边相同的角”的含义。
2.培养学生判断推理和化归转化能力，加强数形结合思想的运用。
3. 培养学生观察、类比、辨析、运用的综合思维能力，体会化归与转化、类比 等数学思想，提高学生数学运算和逻辑推理能力。
学习重点难点教学重点：理解并掌握正角、负角、零角的定义，掌握终边相同的角的表示方法； 教学难点： 终边相同的角的表示； 教学准备教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。
教学工具：多媒体课件，三角尺，直尺 学习活动设计环节一：情景引入，温故知新 一、问题情境：1.思考:你的手表慢了5分钟，你是怎样将它校准的？假如你的手表快了1.25小时，你应当如何将它校准？当时间校准以后，分针转了多少度？2．复习：初中是如何定义角的？从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形.3．情境：生活中很多实例不在范围]360,0[00内. 体操运动员转体720º，跳水运动员向内、向外转体1080º经过1小时时针、分针、秒针转了多少度？4．问题：这些例子不仅不在范围]360,0[00，而且方向不同，有必要将角的概念推广到任意角，想想用什么办法才能推广到任意角？（二）教授新课 二、建构理论： 1．角的概念的推广 ⑴“旋转”形成角一条射线由原来的位置OA ，绕着它的端点O 按逆时针方向旋转到另一位置OB ，就形成角α．旋转开始时的射线OA 叫做角α的始边，旋转终止的射线OB 叫做角α的终边，射线的端点O 叫做角α的顶点．突出“旋转” 注意：“顶点”“始边”“终边”ABαO⑵“正角”与“负角”、“0角”我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，特别地，当一条射线没有作任何旋转时，我们也认为这时形成了一个角，并把这个角叫做零角．记法：角α或α∠ 可以简记成α.⑶意义：用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了. 1︒ 角有正负之分 如：α=210︒β=-150︒γ=660︒ 2︒ 角可以任意大3︒ 还有零角： 一条射线，没有旋转.要注意：正角和负角是表示具有相反意义的旋转量，它的正负规定纯属习惯，就好象与正数、负数的规定一样，零角无正负，就好象数零无正负一样．2．“象限角”为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角. 角的顶点合于坐标原点，角的始边合于x 轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限）.例如：30︒、390︒、-330︒是第象一限角，300︒、-60︒是第四象限角，585︒、1180︒是第三象限角，-2000︒是第二象限角等.3.终边相同的角观察：390︒，-330︒角，它们的终边都与30︒角的终边相同⑵探究：终边相同的角都可以表示成一个0︒到360︒的角与)(Z k k ∈个周角的和： 390︒=30︒+360︒)1(=k -330︒=30︒-360︒)1(-=k30︒=30︒+0×360︒)0(=k 1470︒=30︒+4×360︒)4(=k -1770︒=30︒-5×360︒)5(-=k⑶结论：所有与α终边相同的角连同α在内可以构成一个集合：{}Z k k S ∈⋅+==,360| αββ即：任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和. ⑷注意以下四点： ①Z k ∈②α是任意角；③0360⋅k 与α之间是“+”号，如︒-⋅303600k ，应看成)30(3600︒-+⋅k .④终边相同的角不一定相等，但相等的角，终边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍．教师活动：通过对问题情景中4个问题的引入，让学生思考并从实际问题中抽象找出其中的角的关系，教师进行补充说明；通过现实生活中的问题，引导学生进一步的观察，研究。
【新教材】5.1.1任意角 教学设计（人教A 版）学生在初中学习了o0～o360，但是现实生活中随处可见超出o0～o360范围的角.例如体操中有“前空翻转体o540”，且主动轮和被动轮的旋转方向不一致.因此为了准确描述这些现象，本节课主要就旋转度数和旋转方向对角的概念进行推广.课程目标1.了解任意角的概念.2.理解象限角的概念及终边相同的角的含义．3.掌握判断象限角及表示终边相同的角的方法． 数学学科素养1.数学抽象：理解任意角的概念，能区分各类角；2.逻辑推理：求区域角；3.数学运算：会判断象限角及终边相同的角.重点：理解象限角的概念及终边相同的角的含义； 难点：掌握判断象限角及表示终边相同的角的方法．教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。
教学工具：多媒体。
一、 情景导入初中对角的定义是：射线OA 绕端点O 按逆时针方向旋转一周回到起始位置，在这个过程中可以得到o0～o360范围内的角.但是现实生活中随处可见超出o0～o360范围的角.例如体操中有“前空翻转体o540”，且主动轮和被动轮的旋转方向不一致.请学生思考，如何定义角才能解决这些问题呢？要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本168-170页，思考并完成以下问题1．角的概念推广后，分类的标准是什么？2．如何判断角所在的象限？3．终边相同的角一定相等吗？如何表示终边相同的角？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究1．任意角(1)角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)角的表示如图，OA是角α的始边，OB是角α的终边，O是角的顶点．角α可记为“角α”或“∠α”或简记为“α”．(3)角的分类按旋转方向，角可以分为三类：名称定义图示正角按逆时针方向旋转形成的角负角按顺时针方向旋转形成的角一条射线没有作任何旋转形成零角的角2．象限角在平面直角坐标系中，若角的顶点与原点重合，角的始边与 x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．3．终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．四、典例分析、举一反三题型一任意角和象限角的概念例1(1)给出下列说法：①锐角都是第一象限角；②第一象限角一定不是负角；③小于180°的角是钝角、直角或锐角；④始边和终边重合的角是零角．其中正确说法的序号为________(把正确说法的序号都写上)．(2)已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，作出下列各角，并指出它们是第几象限角．①420°，②855°，③－510°.【答案】（1）① （2）图略，①420°是第一象限角．②855°是第二象限角．③－510°是第三象限角．【解析】(1)①锐角是大于0°且小于90°的角，终边落在第一象限，是第一象限角，所以①正确；②－350°角是第一象限角，但它是负角，所以②错误；③0°角是小于180°的角，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，所以③错误；④360°角的始边与终边重合，但它不是零角，所以④错误．(2) 作出各角的终边，如图所示：由图可知：①420°是第一象限角．②855°是第二象限角．③－510°是第三象限角．解题技巧：（任意角和象限角的表示）1．判断角的概念问题的关键与技巧．(1)关键：正确的理解角的有关概念，如锐角、平角等；(2)技巧：注意“旋转方向决定角的正负，旋转幅度决定角的绝对值大小．2．象限角的判定方法．(1)图示法：在坐标系中画出相应的角，观察终边的位置，确定象限．(2)利用终边相同的角：第一步，将α写成α＝k·360°＋β(k∈Z，0°≤β<360°)的形式；第二步，判断β的终边所在的象限；第三步，根据β的终边所在的象限，即可确定α的终边所在的象限．跟踪训练一1．已知集合A＝{第一象限角}，B＝{锐角}，C＝{小于90°的角}，则下面关系正确的是( ) A．A＝B＝C B．A⊆CC．A∩C＝B D．B∪C⊆C【答案】D【解析】由已知得B C，所以B∪C⊆C，故D正确．2．给出下列四个命题：①－75°是第四象限角；②225°是第三象限角；③475°是第二象限角；④－315°是第一象限角．其中正确的命题有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【解析】－90°＜－75°＜0°，180°＜225°＜270°，360°＋90°＜475°＜360°＋180°，－315°＝－360°＋45°且0°＜45°＜90°.所以这四个命题都是正确的．题型二终边相同的角的表示及应用例2(1)将－885°化为k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式是________．(2)写出与α＝－910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°＜β＜360°的元素β写出来．【答案】（1）(－3)×360°＋195°，（2）终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°－910°，k∈Z}，适合不等式－720°＜β＜360°的元素－550°、－190°、170°.【解析】(1)－885°＝－1 080°＋195°＝(－3)×360°＋195°.(2)与α＝－910°终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°－910°，k∈Z}，∵－720°＜β＜360°，即－720°＜k·360°－910°＜360°，k∈Z，∴k取1，2，3.当k＝1时，β＝360°－910°＝－550°；当k＝2时，β＝2×360°－910°＝－190°；当k＝3时，β＝3×360°－910°＝170°.解题技巧：(终边相同的角的表示)1．在0°到360°范围内找与给定角终边相同的角的方法(1)一般地，可以将所给的角α化成k·360°＋β的形式(其中0°≤β＜360°，k∈Z)，其中β就是所求的角．(2)如果所给的角的绝对值不是很大，可以通过如下方法完成：当所给角是负角时，采用连续加360°的方式；当所给角是正角时，采用连续减360°的方式，直到所得结果达到所求为止． 2．运用终边相同的角的注意点所有与角α终边相同的角，连同角α在内可以用式子k·360°＋α，k∈Z 表示，在运用时需注意以下四点：(1)k 是整数，这个条件不能漏掉． (2)α是任意角．(3)k·360°与α之间用“＋”连接，如k·360°－30°应看成k·360°＋(－30°)，k∈Z. (4)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，终边相同的角有无数个，它们相差周角的整数倍． 跟踪训练二1.下面与－850°12′终边相同的角是( ) A ．230°12′ B ．229°48′C ．129°48′D ．130°12′【答案】B【解析】与－850°12′终边相同的角可表示为α＝－850°12′＋k ·360°(k ∈Z)，当k ＝3时，α＝－850°12′＋1 080°＝229°48′.2．写出角α的终边落在第二、四象限角平分线上的角的集合为________． 【答案】{α|α＝k ·180°＋135°，k ∈Z}．【解析】落在第二象限时，表示为k ·360°＋135°.落在第四象限时，表示为k ·360°＋180°＋135°，故可合并为{α|α＝k ·180°＋135°，k ∈Z}． 题型三 任意角终边位置的确定和表示 例3 (1)若α是第一象限角，则α2是( )A ．第一象限角B ．第一、三象限角C ．第二象限角D ．第二、四象限角 (2)已知，如图所示．①分别写出终边落在OA ，OB 位置上的角的集合； ②写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．【答案】(1)B (2) ①终边落在OA 位置上的角的集合为{α|α＝135°＋k ·360°，k ∈Z}；终边落在OB 位置上的角的集合为{β|β＝－30°＋k ·360°，k ∈Z}．②故该区域可表示为{γ|－30°＋k ·360°≤γ≤135°＋k ·360°，k ∈Z}．【解析】(1) 因为α是第一象限角，所以k ·360°＜α＜k ·360°＋90°，k ∈Z，所以k ·180°＜α2＜k ·180°＋45°，k ∈Z，当k 为偶数时，α2为第一象限角；当k 为奇数时，α2为第三象限角．所以α2是第一、三象限角．(2) ①终边落在OA 位置上的角的集合为{α|α＝90°＋45°＋k ·360°，k ∈Z}＝{α|α＝135°＋k ·360°，k ∈Z}；终边落在OB 位置上的角的集合为{β|β＝－30°＋k ·360°，k ∈Z}．②由题干图可知，阴影部分(包括边界)的角的集合是由所有介于[－30°，135°]之间的与之终边相同的角组成的集合，故该区域可表示 为{γ|－30°＋k ·360°≤γ≤135°＋k ·360°，k ∈Z}．解题技巧：（任意角终边位置的确定和表示） 1．表示区间角的三个步骤：第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x |α<x <β}，其中β－α<360°；第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区间角集合． 提醒：表示区间角时要注意实线边界与虚线边界的差异． 2．nα或所在象限的判断方法： (1)用不等式表示出角nα或αn 的范围； (2)用旋转的观点确定角nα或αn 所在象限．跟踪训练三1．如图所示的图形，那么终边落在阴影部分的角的集合如何表示？【答案】角β的取值集合为{β|n·180°＋60°≤β<n·180°＋105°，n∈Z}．【解析】在0°～360°范围内，终边落在阴影部分(包括边界)的角为60°≤β<105°与240°≤β<285°，所以所有满足题意的角β为{β|k·360°＋60°≤β<k·360°＋105°，k∈Z}∪{β|k·360°＋240°≤β<k·360°＋285°，k∈Z}＝{β|2k·180°＋60°≤β<2k·180°＋105°，k∈Z}∪{β|(2k＋1)·180°＋60°≤β<(2k＋1)·180°＋105°，k∈Z}＝{β|n·180°＋60°≤β<n·180°＋105°，n∈Z}．故角β的取值集合为{β|n·180°＋60°≤β<n·180°＋105°，n∈Z}．五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计七、作业课本171页练习及175页习题5.1 1、2、7题.本节课主要采用讲练结合与分组探究的教学方法，让学生从旋转方向和旋转度数熟悉角的概念，象限角，终边相同的角等，并且掌握其应用.。
【新教材】5.1.2弧度制教学设计（人教A版）前一节已经学习了任意角的概念，而本节课主要依托圆心角这个情境学习一种用长度度量角的方法—弧度制，从而将角与实数建立一一对应关系，为学习本章的核心内容—三角函数扫平障碍，打下基础.课程目标1.了解弧度制,明确1弧度的含义.2.能进行弧度与角度的互化.3.掌握用弧度制表示扇形的弧长公式和面积公式.数学学科素养1.数学抽象：理解弧度制的概念；2.逻辑推理：用弧度制表示角的集合；3.直观想象：区域角的表示；4.数学运算：运用已知条件处理扇形有关问题.重点：弧度制的概念与弧度制与角度制的转化；难点：弧度制概念的理解．教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。
教学工具：多媒体。
一、情景导入度量单位可以用米、英尺、码等不同的单位制，度量质量可以用千克、磅等不同的单位制，不同的单位制能给解决问题带来方便.角的度量是否也可以用不同的单位制呢？能否像度量长度那样，用十进制的实数来度量角的大小呢？要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本172-174页，思考并完成以下问题1． 1弧度的含义是？2．角度值与弧度制如何互化？3．扇形的弧长公式与面积公式是？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究1．度量角的两种单位制(1)角度制①定义：用度作为单位来度量角的单位制．②1度的角：周角的1360．(2)弧度制①定义：以弧度作为单位来度量角的单位制．②1弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角．2．弧度数的计算3.角度制与弧度制的转算4．一些特殊角与弧度数的对应关系度0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°弧度0π6π4π3π22π33π45π6π3π22πlrπ180(180π)°正数负数零5．扇形的弧长和面积公式设扇形的半径为R ，弧长为l ，α(0＜α＜2π)为其圆心角，则： (1)弧长公式：l ＝ αr ．(2)扇形面积公式：S ＝ 12lr ＝ 12αr 2 ．四、典例分析、举一反三 题型一 角度制与弧度制的互化例1 把下列弧度化成角度或角度化成弧度： (1)－450°；(2)π10；(3)－4π3；(4)112°30′.【答案】（1）－5π2 rad ；(2) 18°；(3) －240°；(4) 5π8 rad.【解析】(1)－450°＝－450×π180 rad ＝－5π2 rad ；(2)π10 rad ＝π10×⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°＝18°； (3)－4π3 rad ＝－4π3×⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°＝－240°；(4)112°30′＝112.5°＝112.5×π180 rad ＝5π8 rad.解题技巧：（角度制与弧度制转化的要点）跟踪训练一1．将下列角度与弧度进行互化．(1)20°；(2)－15°；(3)7π12；(4)－11π5.【答案】（1）π9 rad ；（2）－π12 rad ；（3）105°；（4）－396°.【解析】(1)20°＝20π180 rad ＝π9 rad.(2)－15°＝－15π180 rad ＝－π12 rad.(3)7π12 rad ＝712×180°＝105°.(4)－11π5 rad ＝－115×180°＝－396°.题型二 用弧度制表示角的集合例2 用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x 轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界，如图所示)．【答案】（1）⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪－π6＋2k π<θ<512π＋2k π，k ∈Z； （2）⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪－3π4＋2k π<θ<3π4＋2k π，k ∈Z ；（3）⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪π6＋k π<θ<π2＋k π，k ∈Z. 【解析】用弧度制先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，(1)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪ －π6＋2k π<θ<512π＋2k π，k ∈Z. (2)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪－3π4＋2k π<θ<3π4＋2k π，k ∈Z. (3)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪π6＋k π<θ<π2＋k π，k ∈Z. 解题技巧：(表示角的集合注意事项) 1．弧度制下与角α终边相同的角的表示．在弧度制下，与角α的终边相同的角可以表示为{β|β＝2k π＋α，k ∈Z }，即与角α终边相同的角可以表示成α加上2π的整数倍． 2．根据已知图形写出区域角的集合的步骤． (1)仔细观察图形．(2)写出区域边界作为终边时角的表示．(3)用不等式表示区域范围内的角． 提醒：角度制与弧度制不能混用. 跟踪训练二1．如图，用弧度表示顶点在原点，始边重合于x 轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界)．① ②【答案】(1)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪－2π3＋2k π＜α＜π6＋2k π，k ∈Z. (2)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪2k π＜α＜π3＋2k π或2π3＋2k π＜α＜π＋2k π，k ∈Z .【解析】(1)如题图①，以OA 为终边的角为π6＋2k π(k ∈Z )；以OB 为终边的角为－2π3＋2k π(k ∈Z )，所以阴影部分内的角的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪－2π3＋2k π＜α＜π6＋2k π，k ∈Z. (2)如题图②，以OA 为终边的角为π3＋2k π(k ∈Z )；以OB 为终边的角为2π3＋2k π(k ∈Z )．不妨设右边阴影部分所表示的集合为M 1，左边阴影部分所表示的集合为M 2，则M 1＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪2k π＜α＜π3＋2k π，k ∈Z ，M 2＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪2π3＋2k π＜α＜π＋2k π，k ∈Z .所以阴影部分内的角的集合为M 1∪M 2＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪2k π＜α＜π3＋2k π或2π3＋2k π＜α＜π＋2k π，k ∈Z .题型三 扇形的弧长与面积问题例3一个扇形的周长为20，则扇形的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形面积最大？ 【答案】当扇形半径r ＝5，圆心角为2 rad 时，扇形面积最大．【解析】设扇形的圆心角为α，半径为r ，弧长为l ，则l ＝αr ， 依题意l ＋2r ＝20，即αr ＋2r ＝20，∴α＝20－2rr.由l ＝20－2r >0及r >0得0<r <10， ∴S 扇形＝12αr 2＝12·20－2r r ·r 2＝(10－r )r＝－(r －5)2＋25(0<r <10)．∴当r ＝5时，扇形面积最大为S ＝25.此时l ＝10，α＝2， 故当扇形半径r ＝5，圆心角为2 rad 时，扇形面积最大．解题技巧：（弧度制下解决扇形相关问题的步骤）(1)明确弧长公式和扇形的面积公式：l ＝|α|r ，S ＝12|α|r 2和S ＝12lr .(这里α必须是弧度制下的角)(2)分析题目的已知量和待求量，灵活选择公式． (3)根据条件列方程(组)或建立目标函数求解． 跟踪训练三1、已知某扇形的圆心角为80°,半径为6 cm,则该圆心角对应的弧长为( ) A .480 cm B .240 cmC .8π3cm D.4π3cm【答案】C 【解析】:80°=π180×80=4π9,又r=6 cm,故弧长l=αr=4π9×6=8π3(cm).2、如图,已知扇形AOB 的圆心角为120°,半径长为6,求弓形ACB 的面积.【答案】12π-9√3 【解析】S 扇形AOB =12×120π180×62=12π,S △AOB =12×6×6×sin 60°=9√3,故S 弓形ACB =S 扇形AOB -S △AOB =12π-9√3. 五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧 六、板书设计七、作业课本175页练习及175页习题5.1.本节课主要采用讲练结合与分组探究的教学方法，让学生通过角度制与弧度制的转化将角与实数建立一一对应关系，切记：角度和弧度不可同时出现.。
