海淀区高三年级第二学期期中练习数 学 （文科）第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1. 在复平面内，复数)1(i i -(i 是虚数单位）对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.30sin 75cos 30cos 75sin -的值为（ ） A ．1 B ．21 C ．22 D ．23 3. 已知向量b a ,，则“a //b ”是“a +b =0”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 4. 已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足12323=-S S ，则数列}{n a 的公差是（ ） A ．21B ．1C ．2D ．3 5．在同一坐标系中画出函数 a x y a y x y x a +===,,log 的图象, 可能正确的是 （ ）6.一个体积为左视图的面积为（ ）A.36 B ．8 C ．38 D ．12 7.给出下列四个命题:①若集合B A ,满足,A B A = 则B A ⊆；②给定命题q p ,, 若“q p ∨”为真，则“q p ∧”为真；B ACD③设,,,R m b a ∈ 若,b a <则22bm am <；④若直线01:1=++y ax l 与直线01:2=+-y x l 垂直，则1=a . 其中正确命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．48.直线12=+by ax 与圆122=+y x 相交于A,B 两点（其中b a ,是实数），且AOB ∆是直角三角形(O 是坐标原点)，则点P ),(b a 与点)1,0(之间距离的最大值为（ ） A12+ B. 2 C. 2 D. 12-第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9. 若,0>x 则xx y 4+=的最小值是____________________. 10. 已知动点P 到定点（2，0）的距离和它到定直线2:-=x l 的距离相等，则点P 的轨迹方程为_________.11. 已知不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥≤a x x y x y ， 表示的平面区域的面积为4，点),(y x P 在所给平面区域内，则y x z +=2的最大值为______.12.某校为了解高三同学寒假期间学习情况，抽查了100名同学，统计他们每天平均学习时间,绘成频率分布直方图（如图）.则这100名同学中学习时间在6~8小时内的同学为 _______人.13. 已知程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是_______________.第12题第13题图0.140.12 0.05 0.0414. 若点集22{(,)|1},{(,)|11,11}A x y x y B x y x y =+≤=-≤≤-≤≤，则（1）点集{1111(,)1,1,(,)}P x y x x y y x y A ==+=+∈所表示的区域的面积为_____；（2）点集{}12121122(,),,(,),(,)M x y x x x y y y x y A x y B ==+=+∈∈所表示的区域的面积为___________ .三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15. （本小题满分13分） 已知函数()()sin ,f x A x x R ωϕ=+∈(其中0,0,22A ππωϕ>>-<<),其部分图象如图所示. (I)求()f x 的解析式; (II)求函数)4()4()(ππ-⋅+=x f x f x g 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的 最大值及相应的x 值.16. （本小题满分13分）某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动.活动规则如下：消费每满100元可以转动如图所示的圆盘一次，其中O 为圆心，且标有20元、10元、0元的三部分区域面积相等. 假定指针停在任一位置都是等可能的.当指针停在某区域时，返相应金额的优惠券.（例如：某顾客消费了218元 ，第一次转动获得了20元，第二次获得了10元，则其共获得了30元优惠券.）顾客甲和乙都到商场进行了消费，并按照规则参与了活动.（I ）若顾客甲消费了128元，求他获得优惠券面额大于0元的概率？（II ）若顾客乙消费了280元，求他总共获得优惠券金额不低于20元的概率？17. （本小题满分14分）如图：在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，60,ABC PA ∠=︒⊥平面ABCD ， 点,M N 分别为,BC PA 的中点，且2==AB PA . (I) 证明：BC ⊥平面AMN ； (II)求三棱锥AMC N -的体积；(III)在线段PD 上是否存在一点E ，使得//NM 平面ACE ；若存在，求出PE 的长；若不存在，说明理由.18. （本小题满分14分）已知函数1)(2-=x x f 与函数)0(ln )(≠=a x a x g .（I ）若)(),(x g x f 的图象在点)0,1(处有公共的切线，求实数a 的值； （II ）设)(2)()(x g x f x F -=，求函数)(x F 的极值.19. （本小题满分13分）已知椭圆C 的对称中心为原点O ，焦点在x 轴上，离心率为12， 且点（1，32）在该椭圆上.（I ）求椭圆C 的方程；（II ）过椭圆C 的左焦点1F 的直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点，若AOB ∆的面积为726，求圆心在原点O 且与直线l 相切的圆的方程.20. （本小题满分13分）已知数列{}n a 满足：11=a ，21212,,12,,2n n n n a n a a -+⎧⎪⎪=⎨+⎪⎪⎩为偶数为奇数， 2,3,4,.n =MC D（Ⅰ）求345,,a a a 的值；（Ⅱ）设121n n b a -=+，1,2,3...n =，求证：数列{}n b 是等比数列，并求出其通项公式； （III ）对任意的*2,m m N ≥∈，在数列{}n a 中是否存在连续．．的2m项构成等差数列？若存在，写出这2m项，并证明这2m项构成等差数列；若不存在，说明理由.海淀区高三年级第二学期期中练习数 学（文）参考答案及评分标准 2010．4说明： 合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数.第Ⅰ卷 （选择题 共40分）一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）第II 券（非选择题 共110分）二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分）9.4 10.x y 82= 11.6 12.30 13.1214.π，π+12 15.（本小题满分13分） 解：（I ）由图可知，A=1 …………1分,24π=T 所以π2=T ……………2分 所以1=ω ……………3分又1)4sin()4(=+=ϕππf ，且22ππϕ-<<所以4πϕ=……………5分所以)4sin()(π+=x x f . ……………6分（II ）由（I ）)4sin()(π+=x x f ，所以)4()4()(ππ-⋅+=x f x f x g =sin()sin()4444x x ππππ++⋅-+sin()sin 2x x π=+ ……………8分cos sin x x =⋅ ……………9分 1sin 22x = ……………10分 因为]2,0[π∈x ，所以],0[2π∈x ，]1,0[2sin ∈x故：]21,0[2sin 21∈x ，当4π=x 时，)(x g 取得最大值21. …………… 13分 16. （本小题满分13分） 解：（I ）设“甲获得优惠券”为事件A …………… 1分因为假定指针停在任一位置都是等可能的，而题中所给的三部分的面积相等，所以指针停在20元，10元，0元区域内的概率都是31. …………… 3分 顾客甲获得优惠券，是指指针停在20元或10元区域，根据互斥事件的概率，有323131)(=+=A P ， …………… 6分 所以，顾客甲获得优惠券面额大于0元的概率是23.（II ）设“乙获得优惠券金额不低于20元”为事件B …………… 7分因为顾客乙转动了转盘两次，设乙第一次转动转盘获得优惠券金额为x 元，第二次获得优惠券金额为y 元，则基本事件空间可以表示为：{(20,20),(20,10),(20,0),(10,20),(10,10),(10,0),(0,20),(0,10),(0,0)}Ω=，…………… 9分 即Ω中含有9个基本事件，每个基本事件发生的概率为91. ………… 10分 而乙获得优惠券金额不低于20元，是指20x y +≥，所以事件B 中包含的基本事件有6个， ………… 11分 所以乙获得优惠券额不低于20元的概率为3296)(==B P ………… 13分 答：甲获得优惠券面额大于0元的概率为32，乙获得优惠券金额不低于20元的概率为32. 17. （本小题满分14分）证明：(Ⅰ) 因为ABCD 为菱形，所以AB=BC又60ABC ∠=，所以AB=BC=AC ， ……………1分 又M 为BC 中点，所以BC AM ⊥ …………… 2分 而PA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ,所以PA BC ⊥ …………… 4分 又PA AM A =，所以BC ⊥平面AMN …………… 5分（II ）因为11122AMC S AM CM ∆=⋅== …………… 6分 又PA ⊥底面,ABCD 2,PA = 所以1AN = 所以，三棱锥N AMC -的体积31=V AMCS AN ∆⋅ ………… 8分11326=⨯=………… 9分 (III)存在 …………… 10分取PD 中点E ，连结NE ，EC,AE, 因为N ，E 分别为PA ，PD 中点，所以AD NE 21// …………… 11分 又在菱形ABCD 中，1//2CM AD 所以MC NE //，即MCEN 是平行四边形 …………… 12分 所以， EC NM //，又⊂EC 平面ACE ，⊄NM 平面ACE所以MN //平面ACE ， …………… 13分 即在PD 上存在一点E ，使得//NM 平面ACE ，此时12PE PD ==. …………… 14分 18. （本小题满分14分） 解：（I ）因为(1)0,(1)0f g ==，所以点)0,1(同时在函数)(),(x g x f 的图象上 …………… 1分 因为x a x g x x f ln )(,1)(2=-=， '()2f x x =， ……………3分'()ag x x=……………5分 由已知，得)1(')1('g f =，所以21a=，即2a = ……………6分（II ）因为x a x x g x f x F ln 21)(2)()(2--=-=（)0>x ……………7分所以xa x x a x x F )(222)('2-=-= ……………8分 当0<a 时，因为0>x ，且,02>-a x 所以0)('>x F 对0>x 恒成立，所以)(x F 在),0(+∞上单调递增，)(x F 无极值 ……………10分； 当0>a 时，令0)('=x F ，解得12x x =（舍） ……………11分 所以当0x >时，'(),()F x F x 的变化情况如下表：x),0(a)+∞)('x F -+)(x F极小值……………13分 所以当a x =时，()F x 取得极小值，且a a a a a a a F ln 1ln 21)()(2--=--=. ……………14分综上，当0<a 时，函数)(x F 在),0(+∞上无极值；当0>a 时，函数()F x 在a x =处取得极小值a a a ln 1--.19. （本小题满分13分）解：（I ）设椭圆C 的方程为22221,(0)x y a b a b+=>>，由题意可得 21==a c e ,又222c b a +=，所以2243a b =……………2分 因为椭圆C 经过（1，32），代入椭圆方程有 14349122=+a a解得2=a ……………4分所以1c = ，2413b =-=故椭圆C 的方程为 22143x y +=. ……………5分 （Ⅱ）解法一：当直线l x ⊥轴时，计算得到：33(1,),(1,)22A B ---，1113||||13222AOB S AB OF ∆=⋅⋅=⨯⨯=，不符合题意. ……………6分当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为：(1)y k x =+,0≠k由22(1)143y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得 2222(34)84120k x k x k +++-= …………7分 显然0∆>成立，设1122(,),(,)A x y B x y ，则21228,34k x x k +=-+ 212241234k x x k -⋅=+ ……………8分又2212221221221)()()()(||x x k x x y y x x AB -+-=-+-==== ……………9分 即2212(1)||34k AB k+==+ 又圆O的半径r ==……………10分所以2221112(1)6|||2234347AOBk k S AB r k k ∆+=⋅⋅=⋅==++……………11分 化简，得4217180k k +-=，即22(1)(1718)0k k -+=， 解得2212181,17k k ==-（舍） ……………12分所以，2r ==，故圆O 的方程为：2212x y +=. ……………13分（Ⅱ）解法二：设直线l 的方程为 1x ty =-，由221143x ty x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x ，得 22(43)690t y ty +--= ……………7分因为0∆>恒成立，设1122(,),(,)A x y B x y ， 则12122269,4343t y y y y t t +=⋅=-++ ……………8分所以12||y y -==243t =+ ……………9分所以1121||||2AOBS FO y y ∆=⋅⋅-==化简得到4218170t t --=，即0)1)(1718(22=-+t t ，解得211,t=2217 18t=-（舍）…………11分又圆O的半径为r==……………12分所以2r==，故圆O的方程为：2212x y+=……………13分.20.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为11a=，所以21123a a=+=，3115222a a=+=，42127a a=+=,52113222a a=+=…………3分（Ⅱ）由题意，对于任意的正整数n，121nnb a-=+，所以121nnb a+=+…………4分又122221(21)12(1)2n n n na a a b-+=++=+=所以12n nb b+=…………6分又11112112b a a-=+=+=…………7分所以{}n b是首项为2，公比为2的等比数列，所以2nnb=…………8分（III）存在. 事实上，对任意的*2,m k N≥∈，在数列{}na中，2,21,22,221....,m m m m ma a a a+++-这连续的2m项就构成一个等差数列……10分我们先来证明：“对任意的*2,n n N≥∈，1*(0,2),nk k N-∈∈，有12212nnkka-+=--”由（II）得1212nnnb a-=+=，所以1221nna-=-当k为奇数时，1121221222112222n n n kk ka a a----++-+=+=+当k为偶数时，112222221212n n n kk ka a a---+++=+=+记1,,21,,2kkkkk⎧⎪⎪=⎨-⎪⎪⎩为偶数为奇数因此要证12212n nk k a -+=--，只需证明21112212n n k k a --+=--，其中2*11(0,2),n k k N -∈∈ (这是因为若21112212n n k k a --+=--，则当211-=k k 时，则k 一定是奇数，有1121221222112222n n n k k k a a a ----++-+=+=+=212)22112(221)212(221111k k k n n n --=---+=--+--； 当21kk =时，则k 一定是偶数，有112222221212n n n k k k a a a ---+++=+=+=212)2212(21)212(21111kkk n n n --=--+=--+-- )如此递推，要证21112212n n k k a --+=--， 只要证明32222212n n k k a --+=--，其中11211,,21,,2k k k k k ⎧⎪⎪=⎨-⎪⎪⎩为偶数为奇数，3*22(0,2),n k k N -∈∈如此递推下去， 我们只需证明12222212n n k k a --+=--， 1*22(0,2),n n k k N --∈∈ 即1221115213222a +=--=-=，即352a =，由（I ）可得， 所以对*2,n n N ≥∈，1*(0,2),n k k N -∈∈，有12212n n k ka -+=--，对任意的*2,m m N ≥∈ ，12212m m i i a ++=--，1211212m m i i a ++++=--，其中*),12,0(N i i m ∈-∈， 所以21212m m i i a a +++-=-又1212-=+m m a ，2112112--=++m m a ，所以21212m m a a +-=- 所以2,21,22,221....,m m m m m a a a a +++-这连续的2m项， 是首项为1221m m a +=-，公差为12-的等差数列 . …………13分说明：当12m m >（其中**1122,,m m N m N ≥∈∈）时，因为1222212222222,...,,,-+++m m m m m a a a a构成一个项数为22m 的等差数列，所以从这个数列中任取连续的12m 项，也是一个项数为12m ，公差为12-的等差数列.。
