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2.7.1 化简二次根式一、内容解析【教学目标】（一）认识二次根式和最简二次根式的概念；（二）能利用二次根式的性质将二次根式化为最简二次根式．【教学重点】（一）最简二次根式的概念；（二）利用二次根式的性质将二次根式化为最简二次根式.【教学难点】能利用二次根式的性质，选用正确的方法将二次根式化为最简二次根式.二、教学过程设计教学内容 师生活动师：同学们，大家好，欢迎来到微课堂！在上节课我们已经了解了二次根式的概念及其性质，本节课我们将学习如何把一个二次根式化简.师：同学们，你还记得什么叫二次根式吗？它有哪些性质呢？二次根式指的是形如()0≥a a 的式子.二次根式的性质有如下两条：b a b a ⋅=⋅（a ≥0，b ≥0）；b a b a =（a ≥0， b ＞0）.师：接下来你能利用二次根式的性质对下列二次根式进行变形吗？请按暂停键，自己先试一试.小明：大家看，根据二次根式的性质，我对这三个二次根式进行了变形：5322518326228=⋅==，，.师：大家观察一下，你觉得小明变形前的式子简洁，还是变形后的式子简洁呢？其实不能一概而论，第一个式子变形前的被开方数为8，它含有一个平方因数4，变形后的被开方数为2，不含平方因素，所以感觉这个式子变形后更简洁；再看第二个式子，变形前是一个二次根式，变形后变成了两个二次根式的乘积，因此我觉得这个式子变形前更简洁；第三个式子，变形前的被开方数是分数，变形后的被开方数是整数，所以看上去还是变形后更简洁一些.也就是说532622、、更简洁.师：观察这三个较为简洁的二次根式，你能概括出它们的被开方数有什么特点吗？小颖：第一，他们的被开方数都是整数，也就是不含分母；第二，他们的被开方数都不含平方因数，也就是不含开的尽方的因数或因式，我们把这样的二次根式叫做最简二次根式.师：你能说说下面二次根式中哪些是最简二次根式吗？请按暂停键，自己先独立思考一下.小明：我认为105265、、这三个是最简二次根式，其他的都不是.师：其他的为什么不是？你能说说理由吗？小明：12的被开方数含有平方因数4，所以不是最简二次根式，645的被开方数是分数，含有分母，因此也不是最简二次根式. 师：小明回答的完全正确，在判断最简二次根式时，我们主要看两点：一看被开方数是否含有分母、二看被开方数是否含有平方因数.师：接下来请同学们练一练，下列二次根式中，哪些是最简二次根式呢？请按暂停键，自己先思考一下.请看，21的被开方数含有分母，所以不是最简二次根式；53满足最简二次根式的两个条件，所以是最简二次根式；6.1被开方数是小数不是整数，所以也不是最简二次根式;37也满足最简二次根式的两个条件，所以是最简二次根式；13也是最简二次根式；30的被开方数30含有平方因数，所以不是最简二次根式.师：接下来我们思考一下，如何把根号12化成最简二次根式？小明刚才说了，根号12之所以不是最简二次根式，是因为它的被开方数含有平方因数4，那怎么样才能把它变形为被开方数不含平方因数呢？请按暂停键自己先做一做.小颖：大家看，我是这样做的.先把被开方数12分解成322⨯的积，然后根据二次根式的性质变形为322⨯的乘积，就等于32.师：小颖讲的非常清楚，我们总结一下小颖化简12的基本思路，先将被开方数分解因数，然后再根据二次根式的性质b a ab ⋅=变形，最后把平方因数开平方，这实际上就是被开方数是整数时化简二次根式的基本步骤.师：我们接着思考，如何把645化成最简二次根式呢？645 之所以不是最简二次根式，是因为它的被开方数是分数含有分母，这种情况如何化解呢？请按暂停键自己先做一做.小颖：我直接根据二次根式的性质化成5与64的商，其中864=，所以原式就等于85. 师：小颖先根据二次根式的性质，ba 等于a 除以b ，把被开方数整数化，这样就转化成了被开放数是整数的情况了，然后只需按照被开方数是整数时的化简步骤就可以了.师：如果刚才的被开方数变一下，变成它的倒数564，你又该如何化解呢？请按暂停键，自己先试一试.小颖：这与刚才的题目一样，先根据二次根式的性质，把被开方整数化，变成64与5的商，然后把64开平方就行了.师：小颖的结果中分母是一个二次根式，也就是说是一个无理数，对于这种情况我们通常还需要继续化简，使分母不带根号，这个过程称为分母有理化.如何有理化呢？我们只需分子分母同乘分母的二次根式就可以了，还有问题吗？小明：对于这道题我还可以这样化解，将被开方数的分子分母先分别乘以5，即原式=55855645556455564564=⨯=⨯⨯=⨯⨯=，这样就不需要分母有理化了.师：真棒！小明是利用分数的基本性质，先把被开方数的分母变成平方数，然后再化简，结果是一样的.师：前边两个化简问题的被开方数分别是真分数和假分数，那么如果被开方数是代分数或者小数又该如何处理呢？比如化简322、6.2，请按暂停键,将这两个二次根式化成最简二次根式.对于这种情况，我们只需先将被开方数转化成真分数或假分数，再按前面小结的方法进行计算：362336433643338333838322=⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯==，56555513555135136.2=⨯⨯=⨯⨯==. 现在我们来总结一下被开方数是分数时二次根式的化简过程:先把被开方整数化，然后把被开方数的平方因数开平方，最后如果需要,还要进行分母有理化.师：接下来，请同学们练一练，请按暂停键.请看第一个，被开方数是54，将其分解成632⨯，再根据二次根式的性质变形为632⨯，就等于63；第二个被开方数是496，直接用二次根式的性质化为6与49的商，其中749=，所以原式就等于76；第三个被开方数是649，将分子分母先分别乘以6，即原式=6676667666722=⨯⨯=⨯⨯；第四个被开方数是带分数832，将其化为假分数819再计算，即原式=43828219819=⨯⨯=；第五个被开方数是3.2，将其化成假分数516再计算，即原式=55455516516=⨯⨯=.你做对了吗？接下来，让我们一起来小结一下本节课的知识要点.1.最简二次根式的概念：被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式.2.化简二次根式的方法：（1）当被开方数是整数时，应先对整数分解质因数，然后再开方；（2）当被开方数是分数时，应先根据 b a b a 把被开方数整数化，再计算，如果b 不是完全平方数，则还需要分母有理化，或者最先就将被开方数的分子分母同乘b ，再进行计算；（3）当被开方数是小数或带分数时，应先将其化成假分数，然后再开方.师：今天的微课到这里就结束了，谢谢观看!。
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因为下次再搜索到我的机会不多哦！第5章小结与复习有关二次根式的化简与运算是初中数学的重、难点之一，由于这类题目形式灵活，同时对整式、分式的运算和性质有着密切的联系，所以成为考察学生综合运用能力的“试金石”，现将一些常见的运算错误归纳如下，希望同学们加以注意，并引以为戒．一、概念不清例1．下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是二次根式？为什么？ 2,223,,1,1,8,0.35,21x x m x x π-+-++,12x +错解：2,22,1,1,0.35,21x x m x x -+++,12x +都是二次根式； 3,8π-不是二次根式．剖析：对二次根式的定义理解不透，认为只要带二次根号，即为二次根式，忽视了二次根式a 中a ≥0的条件，所以同学们在平时做题中必须特别注意理解二次根式的被开方数是非负数．正解：2,22,1,0.35,21x m x x +++,都是二次根式；38π-12x +1x -二、违背运算顺序三、错用运算法则例3．化简：1121()37÷+． 错解：原式=112121377337÷+÷=+． 剖析：本题乱套乘法分配律，应注意：()a b c a b a c ÷+≠÷+÷．正解：原式=7321(73)2142173+-÷==+． 四、错用根式性质 例4．计算：（1）2213066-；（2）32128+错解：（1）原式=22130661306664-=-=；（2）原式=32128160410+==．剖析：二次根式的性质有：(0,0)ab a b a b =⋅≥≥；(0,0)a a a b b b=≥>；而不存在a b a b ±=±．正解：（1）原式=2213066(13066)(13066)19664148112-=+-=⨯=⨯=．五、忽视字母范围例5a b+ 错解：原式()()a b a b a b a b a b =-+-．剖析：本题的分子、分母同乘以a b -时，不允许a =b ，错在没有注意a =b 的情形． 正解：（1）当a ≠b 时，原式=()()a b a b a b a b a b --=-+-； （2）当a =b 时，原式=1()222a b a b a =或． 六、忽视隐含条件例6．化简：1a a -． 错解：原式=21()a a a -=-． 剖析：本题隐含着10a ->，所以a ＜0，这个条件． 正解：原式=21()a a a --=--．七、忽视限制条件例7．已知a +b =-2,ab =1，求a b b a+的值． 错解：原式=()2a b ab ab ab a b a b ab b a++=+==-． 剖析：应用二次根式的运算性质：(0,0)ab a b a b =⋅≥≥；(0,0)a a a b b b=≥>时，必须这样括号里的条件，本题由a+b=-2,ab=1可知a ＜0，b ＜0，不满足性质的条件造成错误．正解：由条件可知a ＜0，b ＜0，所以原式=()2a b ab ab ab a b a b ab b a++=--=-=． 八、忽视题设条件例822412942025x x x x ++-+32-≤x ≤52）． 错解：原式22(23)(25)232542x x x x x +-=++-=-．剖析：这里忽视了32-≤x ≤52这个条件，当有附加条件时，要注意2a a =的应用．正解：因为32-≤x ≤52，所以-3≤x ≤5，所以2x +3≥0，2x -5≤0， 所以，原式=22(23)(25)23258x x x x ++-=+-+=．九、忽视分类讨论例9．化简：22(2)(1)x x ++-．错解：22(2)(1)2121x x x x x ++-=++-=+．剖析：此题的限制条件不明确，又没有隐含条件，在利用2a a=化简时，必须利用零点分段法进行分类讨论，否则易出现错误．教学反思：本课教学反思英语教案注重培养学生听、说、读、写四方面技能以及这四种技能综合运用的能力。
新高一数学初升高数学衔接班第2讲——二次根式通用版初高中衔接课程第二讲：二次根式——初遇分母（子）有理化一、学习目标：1. 了解无理式、有理式的概念，进一步熟悉二次根式的运算方法。
2. 能进行二次根式的运算和化简，会进行分母有理化。
二、学习重点：二次根式的化简与运算三、课程精讲：1. 知识回顾：1）二次根式式子a（a≥0）叫做二次根式。
2）最简二次根式同时满足：①被开方数的因数是整数，因式是整式（分母中不含根号）；②被开方数中含能开得尽方的因数或因式。
这样的二次根式叫做最简二次根式。
3）同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式。
4）二次根式的性质①（a）2=a（a≥0）；②2a=│a│=(0)0(0)(0)a aaa a>⎧⎪=⎨⎪-<⎩；③ab=a·b（a≥0，b≥0）；④b ba a=（b≥0，a>0）。
例1. 填空题：（1）若式子23x2--有意义，则x的取值范围是_______。
（2）实数a，b，c如图所示，化简2a－│a－b│+2()b c+=______。
思路导航：回忆二次根式的定义与性质解答：（1）由x－3≥03x-2≠0，得x≥3且x≠7。
（2）由图可知，a<0，b>0，c<0，且│b│>│c│2a－a，－│a－b│=a－b2()b c+2a│a－2()b c+。
例2. 选择题：（1）在下列各组根式中，是同类二次根式的是（）A. B.C..1D a + 2ab（2）在根式1 ）A. 1） 2）B. 3） 4）C. 1） 3）D. 1） 4）（3）已知a>b>0，的值为（ ）A.2B. 2C.D. 12思路导航：回忆同类二次根式、最简二次根式的概念解答：（1，∴A 错。
B 正确。
|b = ∴C 错，显然，D 也错，∴选B 。
（2）选C 。
（3）∵a>b>02 2=a+b －1,2===，故选A 。
二次根式化简及综合运算教案一、教学目标：1. 让学生掌握二次根式的性质和运算法则。
2. 培养学生运用二次根式进行化简和综合运算的能力。
3. 提高学生解决实际问题的能力，培养学生的逻辑思维和运算能力。
二、教学内容：1. 二次根式的性质2. 二次根式的运算规则3. 二次根式的化简4. 二次根式的综合运算5. 实际问题中的应用三、教学重点与难点：1. 教学重点：二次根式的性质和运算法则，二次根式的化简和综合运算。
2. 教学难点：二次根式在实际问题中的应用。
四、教学方法：1. 采用讲授法，讲解二次根式的性质和运算法则。
2. 运用案例分析法，解析二次根式的化简和综合运算。
3. 利用实践操作法，让学生通过实际问题解决来巩固二次根式的应用。
五、教学过程：1. 引入新课：通过生活实例，引导学生了解二次根式的实际意义。
2. 讲解概念：讲解二次根式的定义和性质。
3. 演示例题：展示二次根式的化简和综合运算案例，引导学生掌握运算法则。
4. 练习巩固：布置练习题，让学生独立完成，检验学习效果。
5. 实际应用：布置应用题，让学生运用二次根式解决实际问题。
6. 总结反馈：对本节课的内容进行总结，解答学生的疑问。
7. 作业布置：布置课后作业，巩固所学知识。
六、教学评价：1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，了解学生的学习状态。
2. 练习成果：评估学生在练习题和实际应用题中的表现，检验学生的掌握程度。
3. 课后作业：检查课后作业的完成情况，了解学生的学习效果。
4. 综合评价：结合学生的课堂表现、练习成果和课后作业，进行全面评价。
七、教学资源：1. 教材：二次根式化简及综合运算相关章节。
2. 课件：制作精美的课件，辅助讲解。
3. 练习题：准备适量的练习题，巩固所学知识。
4. 应用题：选取与生活实际相关的应用题，提高学生的应用能力。
八、教学进度安排：1. 第一课时：讲解二次根式的性质和运算法则。
2. 第二课时：演示二次根式的化简和综合运算案例。
新版湘教版秋八年级数学上册第五章二次根式课题二次根式的化简教学设计一. 教材分析湘教版秋八年级数学上册第五章二次根式，主要介绍了二次根式的化简。
这部分内容是学生在学习了实数、分数、代数等基础知识后的进一步拓展，也是后续学习二次函数、不等式等的重要基础。
教材通过实例引导学生掌握二次根式的化简方法，培养学生的运算能力和逻辑思维能力。
二. 学情分析八年级的学生已经掌握了实数、分数、代数等基础知识，具备一定的运算能力和逻辑思维能力。
但二次根式的化简相对于之前的学习内容来说，较为复杂，需要学生能够灵活运用所学知识，进行变形和化简。
同时，学生可能对二次根式的概念理解不够深入，需要在教学中加以引导和巩固。
三. 教学目标1.理解二次根式的概念，掌握二次根式的化简方法。
2.能够灵活运用所学知识，进行二次根式的化简。
3.培养学生的运算能力和逻辑思维能力。
四. 教学重难点1.二次根式的概念理解。
2.二次根式的化简方法的掌握。
五. 教学方法采用讲授法、示范法、练习法、讨论法等教学方法。
通过实例讲解，引导学生掌握二次根式的化简方法；通过练习和讨论，巩固所学知识，提高学生的运算能力和逻辑思维能力。
六. 教学准备1.教材、PPT、黑板、粉笔等教学用具。
2.相关的练习题和讨论题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引入二次根式的化简。
例如：已知一个正方形的对角线长为8，求这个正方形的面积。
2.呈现（15分钟）讲解二次根式的概念，以及二次根式的化简方法。
通过PPT展示相关的例子，引导学生理解和掌握二次根式的化简方法。
3.操练（15分钟）让学生独立完成一些二次根式的化简题目。
教师选取一些题目进行示范，然后让学生进行练习。
4.巩固（15分钟）通过一些练习题，巩固学生对二次根式的化简方法的掌握。
教师可以和学生一起讨论，解答他们在练习中遇到的问题。
5.拓展（10分钟）引导学生思考二次根式化简的更深入的问题，例如：如何判断一个二次根式是否可以化简？如何化简含有分数的二次根式？6.小结（5分钟）对本节课的内容进行小结，强调二次根式的化简方法。
二次根式化简的五种常用方法-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述部分：根式化简是数学中一种常用的操作，尤其在解决代数问题时经常用到。
而二次根式化简作为根式化简中的一种重要形式，在数学学习中也是必须掌握的技能之一。
本文将介绍二次根式化简的五种常用方法，帮助读者更好地理解和掌握这一技巧。
在本篇文章中，我们将会依次介绍五种常用的二次根式化简方法。
每种方法都有其特定的适用场景和优势，通过详细的解释和实例演示，读者将能够全面了解每种方法的操作步骤和应用技巧。
文章的重点将在正文部分展开。
首先，我们将介绍方法一，其中包括要点一、要点二和要点三。
每个要点都将详细说明具体的操作步骤，并给出相应的例子进行演示。
接下来，我们将继续介绍方法二和方法三，同样包括各自的要点和具体的操作示例。
通过这些例子，读者将能够清晰地理解每种方法的原理和应用场景。
最后，在结论部分，我们将对每种方法进行总结，分别列举出它们的优点和适用情况。
这样，读者可以根据问题的具体要求和特点，选择合适的方法进行二次根式化简，提高问题的解题效率。
通过阅读本文，读者将能够全面了解二次根式化简的五种常用方法，并能够灵活运用它们解决实际问题。
无论是在学习阶段还是在数学实践中，掌握这些方法都是非常有益的。
希望本文能对读者有所启发，提升其数学解题能力和对根式化简的理解。
1.2文章结构文章结构部分的内容如下：1.2 文章结构本文将围绕二次根式化简展开，共分为三个主要部分：引言、正文和结论。
引言部分将对二次根式化简的概念进行概述，介绍二次根式化简在实际应用中的重要性，并明确本文的目的。
通过引言，读者将对二次根式化简有一个整体的认识，为接下来的内容做好准备。
正文部分是本文的核心部分，将详细介绍五种常用的二次根式化简方法。
具体而言，正文将分为三个章节，分别介绍方法一、方法二和方法三。
每个章节将分别列出该方法的要点，并逐一详细解释说明。
读者将通过正文部分全面了解每种方法的实施步骤和注意事项，从而掌握不同方法的应用场景和技巧。
第五课 二次根式的化简一、知识点1．分母（子)有理化;2．二次根式2a 的意义: 2a a ==,0,,0.a a a a ≥⎧⎨-<⎩ 二、例题例1 把下列各式分母有理化：⑴753+ ⑵2323+-例2 试比较下列各组数的大小：（1）1211-和1110-； ⑵64+，226－例3 将下列式子化为最简二次根式：⑴12b ⑵2(0)a b a ≥； ⑶64(0)x y x < （4)22(12)69x x x -+-+例4 化简：（1）423- （21162-549+ （423-例5 化简:20042005(32)(32)+⋅-．例 6 当25=x 时，求11111111--+-+++-++--+x x x x x x x x 的值．例7 已知3232,3232x y -+==+-，求22353x xy y -+的值．三、练习1．填空题:(1）313+＝__ ___;（2)若2(5)(3)(3)5x x x x --=--，则x 的取值范围是_ _ ___;（3）比较大小:2－ 3 5－错误!(填“＞”,或“＜”）．（4）1819(23)(23)+-＝________；(5）若22(1)(1)2a a -++=,则a 的取值范围是________； （6)1223344556++++=+++++________． 2。
化简：(1）1222-- (2）23625++ （3）3636-+ （4）322()(0)y x y x y x y ->>-(5）223-（6415- （7）1983- （8）625+3．已知：11,23x y ==y y x y x y-+的值．4。
当32x =时，求代数式3243x x x +++的值．尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文档在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。
