2020年北京市顺义区高考数学二模试卷(二)(有答案解析)

北京市顺义区2019-2020学年高考二诊数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知双曲线2222:1(0,0)x y a b a bΓ-=>>的右焦点为F ，过原点的直线l 与双曲线Γ的左、右两支分别交于,A B 两点，延长BF 交右支于C 点，若,||3||AF FB CF FB ⊥=，则双曲线Γ的离心率是（ ）A ．17B ．32C ．53D ．10 【答案】D 【解析】 【分析】设双曲线的左焦点为'F ，连接'BF ，'AF ，'CF ，设BF x =，则3CF x =，'2BF a x =+，'32CF x a =+，'Rt CBF ∆和'Rt FBF ∆中，利用勾股定理计算得到答案.【详解】设双曲线的左焦点为'F ，连接'BF ，'AF ，'CF ， 设BF x =，则3CF x =，'2BF a x =+，'32CF x a =+，AF FB ⊥，根据对称性知四边形'AFBF 为矩形，'Rt CBF ∆中：222''CF CB BF =+，即()()()2223242x a x a x +=++，解得x a =； 'Rt FBF ∆中：222''FF BF BF =+，即()()22223c a a =+，故2252c a =，故10e =. 故选：D .【点睛】本题考查了双曲线离心率，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 2．设3log 0.5a =，0.2log 0.3b =，0.32c =，则,,a b c 的大小关系是( ) A ．a b c << B ．a c b <<C ．c a b <<D ．c b a <<【答案】A 【解析】 【分析】选取中间值0和1，利用对数函数3log y x =，0.2log y x =和指数函数2xy =的单调性即可求解.【详解】因为对数函数3log y x =在()0,∞+上单调递增, 所以33log 0.5log 10<=,因为对数函数0.2log y x =在()0,∞+上单调递减, 所以0.20.20.20log 1log 0.3log 0.21=<<=， 因为指数函数2xy =在R 上单调递增, 所以0.30221>=, 综上可知,a b c <<. 故选:A 【点睛】本题考查利用对数函数和指数函数的单调性比较大小;考查逻辑思维能力和知识的综合运用能力;选取合适的中间值是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.3．已知数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是公比为13的等比数列，且10a >，若数列{}n a 是递增数列，则1a 的取值范围为（ ） A ．(1,2) B ．(0,3)C ．(0,2)D ．(0,1)【答案】D 【解析】 【分析】先根据已知条件求解出{}n a 的通项公式，然后根据{}n a 的单调性以及10a >得到1a 满足的不等关系，由此求解出1a 的取值范围. 【详解】由已知得11111113n n a a -⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则11111113n n a a -=⎛⎫⎛⎫-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.因为10a >，数列{}n a 是单调递增数列，所以10n n a a +>>，则111111111111133n n a a ->⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 化简得111110113a a ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭，所以101a <<. 故选：D. 【点睛】本题考查数列通项公式求解以及根据数列单调性求解参数范围，难度一般.已知数列单调性，可根据1,n n a a +之间的大小关系分析问题.4．已知复数1cos23sin 23z i =+oo和复数2cos37sin37z i =+oo，则12z z ⋅为 A．122- B．122i + C．12+ D12i - 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的三角形式的乘法运算法则即可得出． 【详解】z 1z 2＝（cos23°+isin23°）•（cos37°+isin37°）＝cos60°+isin60°＝122+． 故答案为C ． 【点睛】熟练掌握复数的三角形式的乘法运算法则是解题的关键，复数问题高考必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系，点的象限和复数的对应关系，复数的加减乘除运算，复数的模长的计算.5．已知双曲线221x y a+=的一条渐近线倾斜角为56π，则a =（ ）A ．3 B．C．-D ．3-【答案】D 【解析】【分析】由双曲线方程可得渐近线方程，根据倾斜角可得渐近线斜率，由此构造方程求得结果. 【详解】由双曲线方程可知：0a <，渐近线方程为：y x=，Q 一条渐近线的倾斜角为56π，5tan 6π==，解得：3a =-. 故选：D . 【点睛】本题考查根据双曲线渐近线倾斜角求解参数值的问题，关键是明确直线倾斜角与斜率的关系；易错点是忽略方程表示双曲线对于a 的范围的要求.6．已知33a b ==r r ，且(2)(4)a b a b -⊥+r r r r ，则2a b -r r 在a r 方向上的投影为（ ）A ．73B ．14C ．203D ．7【答案】C 【解析】 【分析】由向量垂直的向量表示求出a b ⋅r r，再由投影的定义计算．【详解】由(2)(4)a b a b -⊥+r r r r可得22(2)(4)2740a b a b a a b b -⋅+=+⋅-=r r r r r r r r ，因为||3||3a b ==r r ，所以2a b ⋅=-r r ．故2a b -r r 在a r 方向上的投影为2(2)218220||||33a b a a a b a a -⋅-⋅+===r rr r r r r r． 故选：C ． 【点睛】本题考查向量的数量积与投影．掌握向量垂直与数量积的关系是解题关键． 7．执行如图所示的程序框图后，输出的值为5，则P 的取值范围是（ ）.A ．37,48⎛⎤⎥⎝⎦B ．59,610⎛⎤⎥⎝⎦C ．715,816⎛⎤⎥⎝⎦D ．1531,1632⎛⎤⎥⎝⎦ 【答案】C 【解析】 【分析】框图的功能是求等比数列的和，直到和不满足给定的值时，退出循环，输出n. 【详解】第一次循环：1,22S n ==；第二次循环：2113,3224S n =+==；第三次循环：231117,42228S n =++==；第四次循环：234111115,5222216S n =+++==； 此时满足输出结果，故715816P <≤. 故选：C. 【点睛】本题考查程序框图的应用，建议数据比较小时，可以一步一步的书写，防止错误，是一道容易题. 8．已知数列{}n a 是公差为()d d ≠0的等差数列，且136,,a a a 成等比数列，则1a d=（ ） A ．4 B ．3C ．2D ．1【答案】A 【解析】 【分析】根据等差数列和等比数列公式直接计算得到答案.【详解】由136,,a a a 成等比数列得2316a a a =⋅，即()()211125a d a a d +=+，已知0d ≠，解得14a d=. 故选：A . 【点睛】本题考查了等差数列，等比数列的基本量的计算，意在考查学生的计算能力.9．设点P 是椭圆2221(2)4x y a a +=>上的一点，12F F ，是椭圆的两个焦点，若12F F =12PF PF +=（ ）A ．4B ．8C ．D ．【答案】B 【解析】∵12F F =∵122F F c ==∴c =∵222c a b =-，24b = ∴4a =∴1228PF PF a +== 故选B点睛：本题主要考查利用椭圆的简单性质及椭圆的定义. 求解与椭圆性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.10．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”。

2022年北京市顺义区高考数学第二次统练试卷1.函数的定义域为( )A.B.C.D.2.如图，在复平面内，复数z 对应的点为P ，则复数( )A.B.C.D.3.的展开式中的常数项是( )A.B. 15C.D. 304.已知双曲线的一个焦点为，则双曲线C 的一条渐近线方程为( )A.B. C. D.5.设等比数列的前n 项和为，公比为若则( )A. 8B. 9C. 18D. 546.为了了解居民用电情况，通过抽样，获得了某城市100户居民的月平均用电量单位：度，以分组的频率分布直方图如图．该样本数据的分位数大约是( )A. 220B. 224C. 228D. 2307.在中，，，则“”是“”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要件8.已知圆截直线所得弦的长度为2，那么实数k的值为( )A. B. C. D.9.已知向量，，在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则的最小值是( )A. 2B.C.D.10.如图，设E，F分别是长方体棱CD上的两个动点，点E在点F的左边，且满足，有下列结论：①平面；②三棱锥体积为定值；③平面；④平面平面其中，所有正确结论的序号是( )A. ①②B. ②③C. ②④D. ③④11.已知集合，，则______.12.已知函数，若，则______.13.已知抛物线的焦点为F，点M在抛物线上，MN垂直抛物线准线于点若为等边三角形，则点M的横坐标为______，的面积是______.14.已知是定义在R上的函数，其值域为，则可以是______写出一个满足条件的函数表达式即可15.向量集合，对于任意，，以及任意，都有，则称集合S是“凸集”，现有四个命题：①集合是“凸集”；②若S为“凸集”，则集合也是“凸集”；③若，都是“凸集”，则也是“凸集”；④若，都是“凸集”，且交集非空，则也是“凸集”．其中，所有正确的命题的序号是______.16.已知函数求在区间上的最大值和最小值；设，求的最小正周期．17.如图，在正方体中，E为的中点．过点作出一条与平面ACE平行的直线，并说明理由；求直线与平面ACE所成角的正弦值．18.为了解顺义区某中学高一年级学生身体素质情况，对高一年级的班班进行了抽测，采取如下方式抽样：每班随机各抽10名学生进行身体素质监测．经统计，每班10名学生中身体素质监测成绩达到优秀的人数散点图如下轴表示对应的班号，y轴表示对应的优秀人数：若用散点图预测高一年级学生身体素质情况，从高一年级学生中任意抽测1人，求该生身体素质监测成绩达到优秀的概率；若从以上统计的高一班的10名学生中抽出2人，设X表示2人中身体素质监测成绩达到优秀的人数，求X的分布列及其数学期望；假设每个班学生身体素质优秀的概率与该班随机抽到的10名学生的身体素质优秀率相等．现在从每班中分别随机抽取1名同学，用“”表示第k班抽到的这名同学身体素质优秀，“”表示第k班抽到的这名同学身体素质不是优秀…，写出方差，，，的大小关系不必写出证明过程19.已知椭圆过定点，离心率求椭圆C的标准方程；斜率为的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，求面积的最大值及此时直线AB的方程．20.若函数判断方程解的个数，并说明理由；当，设，求的单调区间．21.设正整数数列满足…若，请写出所有可能的取值；记集合，证明：若集合M存在一个元素是3的倍数，则M的所有元素都是3的倍数；若为周期数列，求所有可能的取值．答案和解析1.【答案】A【解析】解：，，解得，函数的定义域是故选：根据二次根式以及对数函数的性质求出函数的定义域即可．本题考查了求函数的定义域问题，考查二次根式以及对数函数的性质，是基础题．2.【答案】D【解析】解：由图可得，复数z对应的点为，则，故故选：根据已知条件，结合复数的乘法原则和复数的几何意义，即可求解．本题考查了复数的几何意义，以及复数代数形式的乘法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：根据题意，有，要求常数项，必有，则，故常数项为，故选：根据题意，结合二项展开式的通项公式，可得，则，将代入二项展开式计算可得答案．本题考查二项式定理的应用，应该牢记二项展开式的通项公式．4.【答案】A【解析】解：双曲线的一个焦点为，可得，所以，双曲线C的一条渐近线方程为：，故选：利用双曲线的焦点坐标，求解a，然后求解双曲线的渐近线方程即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基础题．5.【答案】C【解析】解：等比数列的前n项和为，公比为，，，，，是等比数列，，，解得或，若，则，，，若，则，，，不满足题意，舍去，故故选：对通过赋值，结合数列是等比数列，求出q，即可求出本题考查等比数列的第3项的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.【答案】C【解析】解：由直方图的性质可得：，解得，由已知，设该样本数据的分位数大约是a，由，解得，故选：由已知，可通过频率分布直方图的性质求解出x的值，然后设出样本数据的分位数为a，根据题意列出等量关系，求解即可．本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了百分位数的估计，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：由正弦定理得，，当时，，由可得，故或，当时，，故“”是“”的必要不充分条件．故选：由已知结合正弦定理及三角形大边对大角分别检验充分性及必要性即可判断．本题主要考查了充分必要条件的判断，正弦定理及三角形大边对大角的应用，属于基础题．8.【答案】D【解析】解：圆心到直线的距离为，由弦长公式知，，，解得，故选：先由点到直线的距离公式，求得圆心到直线的距离，再由弦长公式，即可得解．本题考查直线截圆的弦长问题，熟练掌握弦长公式、点到直线的距离公式是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题．9.【答案】C【解析】解：建立如图坐标系，则：，，，，时，取最小值故选：可建立坐标系，写出向量的坐标，进而求出的坐标，从而得出，然后配方即可求出最小值．本题考查了通过建立坐标系，利用向量坐标解决向量问题的方法，向量坐标的减法和数乘运算，配方求二次函数最值的方法，考查了计算能力，属于中档题．10.【答案】C【解析】解：与显然不垂直，而，因此与EF显然不垂直，从而平面是错误的，①错；，三棱锥中，平面即平面，到平面的距离为是定值，中，EF的长不变，到EF的距离不变，面积为定值，因此三棱锥体积是定值，②正确；平面就是平面，而与平面相交，③错；长方体中平面，平面，所以平面平面，即平面平面，④正确．故选：根据线面位置关系、面面位置关系判断命题①③④，由棱锥体积公式判断②．本题考查面面垂直，考查学生的推理能力，属于中档题．11.【答案】【解析】解：，故答案为：直接进行集合运算即可得解．本题考查集合基本运算，属基础题．12.【答案】4【解析】解：函数，，，，故答案为：求出，，从而本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．13.【答案】【解析】解：设点，抛物线的准线为，焦点坐标为，由题意可知，因为为等边三角形，所以有，因此有，，所以点M的横坐标为；因此，因此的面积是故答案为：3；利用等边三角形的性质，结合抛物线的定义，两点间距离公式进行求解即可．本题考查抛物线的几何性质，属中档题．14.【答案】【解析】解：结合已知基本初等函数，满足条件故答案为：结合指数函数的性质即可直接求解．本题主要考查了基本初等函数性质的应用，属于基础题．15.【答案】①②④【解析】解：由题意得，若对于任意，，线段AB上任意一点C，都有，则集合S是“凸集”，由此对结论逐一分析：对于①，，若对于任意，满足，，则，，由函数的图象知，对线段AB上任意一点，都有，即，故M为“凸集”，①正确；对于②，若S为“凸集”，则对于任意，，此时，，其中，，对于任意，，故N为“凸集”，②正确；对于③，可举反例，若，，易知，都是“凸集”，而不是“凸集”，故③错误对于④，若，都是“凸集”，则对于任意，，任意，则，且，故，故也是“凸集”，故④正确．故答案为：①②④．理解新定义，对结论逐一判断．本题属新概念题，考查了学生推理能力，理解定义是解答本题的关键，属于中档题．16.【答案】解：由得，所以，所以在区间上的最大值为，最小值为；，故函数的最小正周期【解析】由已知结合正弦函数的值域即可求解；先结合和差角及二倍角，辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的周期公式可求．本题主要考查了和差角公式，二倍角公式及辅助角公式在三角化简中的应用，还考查了正弦函数的周期公式及最值的应用，属于基础题．17.【答案】解：连接，则平面ACE，理由如下：连接AC、BD，交于点O，连接OE，因为是正方体，所以O是BD中点，又因为E为的中点，所以，又因为平面ACE，平面ACE，所以平面建系如图，不妨设，，，，，，令，因为，，所以是平面ACE的一个法向量，因为，所以，所以直线与平面ACE所成角的正弦值为【解析】连接、AC、BD，因为O是BD中点，E为的中点，所以，再根据直线与平面平行的判定定理说明即可；用向量数量积计算直线与平面ACE所成角的正弦值．本题考查了直线与平面的位置关系问题，考查了直线与平面成角问题，属于中档题．18.【答案】解：抽取的80人中，身体素质监测成绩达到优秀的有人，故从高一年级学生中任意抽测1人，该生身体素质监测成绩达到优秀的概率由散点图可知，高一班的10名学生中，身体素质监测成绩达到优秀的有4人，X所有可能取值为0，1，2，，，，故X的分布列为：X 0 1 2P故，，则，，，则，，，则，，，则，故【解析】根据已知条件，结合古典概型的概率公式，即可求解．所有可能取值为0，1，2，分别求出对应的概率，再结合期望公式，即可求解．根据已知条件，结合两点分布的期望公式，即可求解．本题主要考查了离散型随机变量及其分布列，需要学生熟练掌握期望和方差公式，属于中档题．19.【答案】解：依题意可得，所以可解得，，，所以椭圆C的标准方程为设直线AB的方程为，，，联立方程组，消去y得，化简得，所以，，即，所以，又原点O到直线AB的距离，所以，当且仅当即时取等号，所以，面积的最大值为1，此时直线AB的方程为【解析】由题意得出a，b，c后写标准方程；待定系数法设直线方程，与椭圆方程联立后由韦达定理表示弦长与面积，转化为函数求最值．本题主要考查椭圆方程的求解，圆锥曲线中的最值与范围问题，直线与圆锥曲线的位置关系，韦达定理及其应用等知识，属于中等题．20.【答案】解：，令，解得：，故在递减，递增，且，故仅有一个实数解；当时，，，令，解得：或，当时，，此时令，解得：或者，故的单调增区间为：，，单调减区间为，当时，令时，解得或者，故的单调增区间为R，无单调减区间，综上所述：当时，的单调增区间为：，，单调减区间为，当时，单调增区间为R，无单调减区间．【解析】对函数求导后直接判断出函数单调性从而得出函数在处取得极值1，从而判断函数的解得个数；对函数求导，根据未知数的不同范围判断函数单调增减区间．本题主要考查函数单调性的求解，及根据未知数范围判断函数单调性．21.【答案】解：若，可得，，；证明：如果存在正整数，满足是3的倍，则对，都是3的倍数；如果存在为3的倍数，根据，可知也是3的倍数，以此类推，都是3的倍数；另一方面，当时，由于，当为3的倍数时，可知也是3的倍数，以此类推，都是3的倍数；综上所述，若集合M存在一个元素是3的倍数，则M的所有元素都是3的倍数；证明：首先注意到是正整数数列，则数列一定有最小值，设为t，下证或3；当t为偶数时，设，则，与t是最小值矛盾；所以t是奇数；不妨设，则是偶数，，假设，则，与t是最小值矛盾；综上，t只能是小于5的正奇数，即1或3；当数列中出现1时，后面的项为4，2，1，4，2，1，4，2，1…循环；当数列中出现3时，后面的项为6，3，6，3…循环；所以数列为周期数列时，只能为1，2，3，4，6中某一个数；经检验，当时，数列确实是周期数列．【解析】由条件易求所有可能的取值；如果存在正整数，满足是3的倍，则对，都是3的倍数；由已知可得可知也是3的倍数，另一方面，当时，由于，可知也是3的倍数，可得结论；首先注意到是正整数数列，则数列一定有最小值，设为t，下证或3；利用分类讨论可得或3；从而可求本题考查了数列递推关系、方程思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。

顺义区2019------2020学年第二学期期末质量监测高二数学试卷第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 设复数2i z =+，则z 的共轭复数z 在复平面内对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2. 不等式220x x +-≤的解集为A ．{}21x x -≤≤B ．{}21x x -<<C ．{}12x x -≤≤D ．{}12x x -<<3. 已知函数31()43f x x x =-，则()f x 的极大值点为A ．4x =-B ．4x =C ．2x =-D ．2x =4. 从4个人中任选3个人分别去完成3项不同的工作，则不同的安排方法有 A ．12种 B ．24种 C ．36种 D ．64种5. 在二项式6(2)x -的展开式中，4x 的系数为A ．60-B ．60C ．30-D ．30 6. 已知随机变量的分布列如下表（其中a 为常数）则(13)P X ≤≤等于A ．0.4B ．0.5C ．0.6D ．0.77. 已知，复数213i z a =+，23(32)i z a =+-，则“=1a ”是“12z z =”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件8. 若0a b c >>>，则下列不等式中恒成立的是a ∈RA ．11a b < B ．22a b > C ．ac bc > D ．22a b c c> 9. 已知函数()2ln f x ax x =-在区间(1,)+∞上单调递增，则a 的取值范围是A ．12⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，B ．1+2⎡⎫∞⎪⎢⎣⎭， C ．(]2-∞， D ．[)2+∞，10. 已知函数()x f x e =，2()g x x ax =-+（其中）．对于不相等的实数12x x ，，设2121)()(x x x f x f m --=，2121)()(x x x g x g n --=，给出下列三个结论：①对于任意不相等的实数21,x x ，都有0m >；②对于任意的a 及任意不相等的实数21,x x ，都有0<n ； ③对于任意的a ，存在不相等的实数21,x x ，使得n m =． 其中，所以正确结论的序号是A ．①B ．①③C ．②③D ．①②③第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 若复数z 满足(1i)i z -=，则z =__________. 12. 若(0)x ∈+∞,，则函数4y x x=+的取值范围是_________.13. 一批产品的次品率为0.03，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X 表示抽到的次品件数，则()E X = ．14. 已知函数3()31f x x x =-+，则()f x 在区间[]32-，上的最小值是___________.15. 已知，设函数2321()ln 1x x a x f x x a x x ⎧-+≤=⎨->⎩，，，，若关于的不等式在上恒成立，则a 的取值范围是__________.三、解答题共6小题，共85分．解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程．a ∈R a ∈R x ()0f x R16. （本小题满分14分）已知复数()z a i a =-∈R ，且(1)z i +是纯虚数. （Ⅰ）求复数z 及||z ；（Ⅱ）在复平面内，若复数()()2z mi m -∈R 对应点在第二象限，求实数m 的取值范围.17. （本小题满分14分）顺义某商场举行有奖促销活动，顾客购买满一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有8个红球、4个黑球的甲箱和装有6个红球、6个黑球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖，若没有红球，则不获奖. （Ⅰ）求顾客抽奖1次能获奖的概率；（Ⅱ）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X ，求X 的分布列和数学期望.18. （本小题满分14分）已知函数()21ln .2f x x x =-（Ⅰ）求曲线()f x 在1x =处的切线方程； （Ⅱ）求函数()y f x =的的极值.19. （本小题满分15分）某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本并称出它们的重量（单位：克），重量的分组区间为(490,495]，（495,500]，（500,505]，（505,510]，（510,515]，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示.（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y 为重量超过505克的产品数量，求Y 的分布列；（Ⅲ）用这40件产品组成的样本中各组产品出现的频率估计概率，现在从流水线上任取3件产品，求恰有2件产品的重量超过505克的概率．20. （本小题满分14分）已知函数()()ln 1f x a x x x =-+-，其中.曲线()y f x =在点()()e f e ，处的切线斜率为1-. （Ⅰ）求a 的值； （Ⅱ）求证：()0f x ≤.21. （本小题满分14分）已知函数e ()ln x mf x m x x x=++．（Ⅰ）当1m =时，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若函数()f x 在1x =处取得极大值，求实数m 的取值范围．a ∈R490 495 500 505 510 515 重量（克）0.070.03 0.02 a22. （本小题满分14分）已知函数()()ln 1f x a x x x =-+-.（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(e (e))f ,处的切线斜率为1-，求实数a 的值； （Ⅱ）当0a =时，求证：()0f x ≤；（Ⅲ）若函数()f x 在区间(1)+∞,上存在极值点，求实数a 的取值范围.23. （本小题满分14分）已知函数e ()ln x mf x m x x x=--．（Ⅰ）当0m =时，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）当1m >时，若函数()f x 在1x =处取得极大值，求实数m 的取值范围．高二数学试卷参考答案一. 选择题（共10小题,每小题4分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项）二.填空题(本大题共5个小题,每小题5分,共25分)11.1i2-+． 12. [)4+∞，． 13. 3． 14. 17-． 15. []1e ，．三．解答题（本大题共6小题，共85分,其它答案参考给分）16．（本小题共14分） 解：(Ⅰ)∵1+i z （）是纯虚数， ∴()()()()()1+i =i 1+i 11i z a a a -=++-是纯虚数．---------------2分∴1010a a +=⎧⎨-≠⎩，解得1-=a ． -----------------------------------------------5分∴i z --=1，()()211||22=-+-=z .--------------------------------7分(Ⅱ）∵()()[]()()i m m m i m mi z 12211222++--=+--=-，∴复数()()R m mi z ∈-2的对应点坐标为()()12,22+--m m m ．--------10分∵复数()()R m mi z ∈-2的对应点在复平面内第二象限，∴()⎩⎨⎧>+<--012022m m m ，解此不等式组⎩⎨⎧->-<>120m m m 或．因此不等式组的解集为{}0|>m m ,即实数m 的取值范围是()+∞,0.----14分17.（本小题共14分）解：(Ⅰ)设顾客从甲箱摸出红球为事件A ，从乙箱摸出红球为事件B ，顾客获奖记做事件C .则__()1()P C P A B =-．因为82()123P A ==，61()122P B ==，---------------------------------------2分 所以__115()1()()1326P C P A P B =-=-=．所以顾客抽奖1次能获奖的概率为56.---------------------------------------6分(Ⅱ)设3次抽奖中获一等奖次数为X ，则X 的所以可能取值为0，1，2，3 由题意可知，获一等奖的概率86112123P =⨯=，1(3,)3X B . ---------8分则328(0)()327P X ===，12312434(1)()33279P X C ⨯====，2231262(2)()33279P X C ==⋅==，311(3)()327P X ===------------------------------------------------------------12分所以X 的分布列为：X的数学期望1()313E X=⨯=.--------------------------------------------------14分18.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为1()22f x xx'=-，--------------------------------------------1分所以该切线的斜率3(1)2k f'==．---------------------------------------------2分因为(1)1f=，所以切点为（1，1）．-------------------------------------------------------------3分所以切线方程是31(1)2y x-=-．即切线方程是3210x y--=．---------------------------------------------------6分（Ⅱ）函数()f x定的义域为(0+)∞，．因为2141 ()2=22xf x xx x-'=-，令()0f x=，解得12x=．----------------------------------------------------------8分所以'()f x，()f x随x的变化情况如下：分因此函数()f x在12x=处取到极小值为111()ln2242f=+；()f x无极大值．------------------------------------------------------------------14分19.（本小题满分15分）解：（Ⅰ）由题意可得(0.0220.030.07)51a⨯+++⨯=．--------------------3分解得0.06a=．----------------------------------------------------------------------------4分（Ⅱ）由频率分布直方图可知第一、二、三、四、五组样本出现的频率分别为0.1、0.15、0.35、0.3、0.1，所以重量超过505克的产品出现的频率为0.4，产品数为16.--------5分Y的所有可能取值为0，1，2，22424023(0)65C P Y C ===11241624032(1)65C C P Y C === 216240102(2)6513C P Y C ====所以Y 的分布列为：（Ⅲ）从流水线上任取产品，可看成独立重复试验，用这40件产品组成的样本中各组产品出现的频率估计概率，所以事件发生的概率162405P ==----11分 事件“从流水线上任取3件产品，求恰有2件产品的重量超过505克”记做A ，则2232336()()55125P A C ==．所以从流水线上任取3件产品，求恰有2件产品的重量超过505克的概率为36125. ---------------------------------------------------------------------------15分20.（本小题满分14分）（Ⅰ）()f x 的定义域为()0+∞， 因为()()ln 1f x a x x x =-+-， 所以()ln a x x xf =-+'.----------------------------------------------------------3分由题可知(e)ln e 1ea f =-+=-'．解得0a =. -----------------------------------------------------------------------6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知0a =时，()ln 1f x x x x =-+-． 所以()ln x x f =-'.令()=0x f '，解得1x =．----------------------------------------------8分---------------11分----(01)x ∈,时，()f x 在当区间(01),上单调递增；当(1)x ∈∞,+时，()f x 在区间(1)∞,+上单调递减；所以()f x 在区间(0)∞,+上的最大值是max ()(1)0f x f ==.-----------------13分 所以()0f x ≤. ----------------------------------------------------------------14分 21.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）()f x 的定义域为(0,)+∞.当1m =时，1()ln x e f x x x x=++，所以222(1)11(1)(1)()x x e x e x f x x x x x-+-'=-+=.----------------------------2分 令()0f x '<得01x <<，令()0f x '>得1x >，所以()f x 的单调减区间为(01)，，单调增区间为1+∞（，）. ----------------6分 （Ⅱ）因为()ln x e m f x m x x x=++，所以2(e +)(1)()x m x f x x -'=. （1）当m e ≥-时，若(1,)x ∈+∞，则0x x e m e e +≥->．此时2()(1)()0x e m x f x x +-'=>，()f x 在区间(1,)+∞上单调递增． 所以函数()f x 在1x =处不可能取得极大值．-----------------------------------9分（2）当m e <-时，令()0f x '=，解得1ln()x m =-，21x = 因为m e ->，所以ln()1m ->．所以函数在处取得极大值．----------------------------------------13分 综上可知，m 的取值范围是()e -∞-，. ---------------------------------------14分()f x 1x =。

北京市顺义区2019-2020学年高考数学第二次押题试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数()0,1ln ,1x f x x x <⎧=⎨≥⎩，若不等式()≤-f x x k 对任意的x ∈R 恒成立，则实数k 的取值范围是（ ） A ．(],1-∞ B ．[)1,+∞C ．[)0,1D ．(]1,0-【答案】A 【解析】 【分析】先求出函数()f x 在(1,0)处的切线方程，在同一直角坐标系内画出函数()0,1ln ,1x f x x x <⎧=⎨≥⎩和()g x x k =-的图象，利用数形结合进行求解即可.【详解】当1x ≥时，()''1ln ,()(1)1f x x f x f x=⇒=⇒=，所以函数()f x 在(1,0)处的切线方程为：1y x =-，令()g x x k =-，它与横轴的交点坐标为(,0)k .在同一直角坐标系内画出函数()0,1ln ,1x f x x x <⎧=⎨≥⎩和()g x x k =-的图象如下图的所示：利用数形结合思想可知：不等式()≤-f x x k 对任意的x ∈R 恒成立，则实数k 的取值范围是1k ≤. 故选：A 【点睛】本题考查了利用数形结合思想解决不等式恒成立问题，考查了导数的应用，属于中档题. 2．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．23B ．13C ．43D ．56【答案】A 【解析】 【分析】利用已知条件画出几何体的直观图，然后求解几何体的体积． 【详解】几何体的三视图的直观图如图所示，则该几何体的体积为：1211233⨯⨯⨯=． 故选：A ． 【点睛】本题考查三视图求解几何体的体积，判断几何体的形状是解题的关键．3．我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，用现代式子表示即为：在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，则ABC ∆的面积222221()42a b c S ab ⎡⎤⎛⎫+-⎢⎥=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.根据此公式，若()cos 3cos 0a B b c A ++=，且2222a b c --=，则ABC ∆的面积为（ ）A 2B ．2C 6D ．23【答案】A 【解析】【分析】根据()cos 3cos 0a B b c A ++=，利用正弦定理边化为角得sin cos cos sin 3sin cos 0A B A B C A ++=，整理为()sin 13cos 0C A +=，根据sin 0C ≠，得1cos 3A =-，再由余弦定理得3bc =，又2222a b c --=，代入公式=S 求解. 【详解】由()cos 3cos 0a B b c A ++=得sin cos cos sin 3sin cos 0A B A B C A ++=， 即()sin 3sin cos 0A B C A ++=，即()sin 13cos 0C A +=， 因为sin 0C ≠，所以1cos 3A =-， 由余弦定理22222cos 23a b c bc A bc --=-==，所以3bc =， 由ABC ∆的面积公式得S ===故选：A 【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理以及类比推理，还考查了运算求解的能力，属于中档题.4．设{}n a 是等差数列，且公差不为零，其前n 项和为n S ．则“*n N ∀∈，1n n S S +>”是“{}n a 为递增数列”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】根据等差数列的前n 项和公式以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】{}n a Q 是等差数列，且公差d 不为零，其前n 项和为n S ，充分性：1n n S S +>Q ，则10n a +>对任意的n *∈N 恒成立，则20a >，0d ≠Q ，若0d <，则数列{}n a 为单调递减数列，则必存在k *∈N ，使得当n k >时，10n a +<，则1n n S S +<，不合乎题意；若0d >，由20a >且数列{}n a 为单调递增数列，则对任意的n *∈N ，10n a +>，合乎题意. 所以，“*n N ∀∈，1n n S S +>”⇒“{}n a 为递增数列”；必要性：设10n a n =-，当8n ≤时，190n a n +=-<，此时，1n n S S +<，但数列{}n a 是递增数列. 所以，“*n N ∀∈，1n n S S +>”⇐/“{}n a 为递增数列”.因此，“*n N ∀∈，1n n S S +>”是“{}n a 为递增数列”的充分而不必要条件. 故选：A. 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合等差数列的前n 项和公式是解决本题的关键，属于中等题． 5．下列说法正确的是（ ）A ．命题“00x ∃≤，002sin x x ≤”的否定形式是“0x ∀>，2sin x x >”B ．若平面α，β，γ，满足αγ⊥，βγ⊥则//αβC ．随机变量ξ服从正态分布()21,N σ（0σ>），若(01)0.4P ξ<<=，则(0)0.8P ξ>= D ．设x 是实数，“0x <”是“11x<”的充分不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】由特称命题的否定是全称命题可判断选项A ；,αβ可能相交，可判断B 选项；利用正态分布的性质可判断选项C ；11x<⇒0x <或1x >，利用集合间的包含关系可判断选项D. 【详解】命题“00x ∃≤，002sin x x ≤”的否定形式是“0x ∀≤，2sin x x >”，故A 错误；αγ⊥，βγ⊥，则,αβ可能相交，故B 错误；若(01)0.4P ξ<<=，则(12)0.4P ξ<<=，所以10.40.4(0)0.12P ξ--<==，故(0)0.9P ξ>=，所以C 错误；由11x <，得0x <或1x >，故“0x <”是“11x <”的充分不必要条件，D 正确.故选：D. 【点睛】本题考查命题的真假判断，涉及到特称命题的否定、面面相关的命题、正态分布、充分条件与必要条件等，是一道容易题.6． “2a =”是“直线210ax y +-=与(1)20x a y +-+=互相平行”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】利用两条直线互相平行的条件进行判定 【详解】当2a =时，直线方程为2210x y +-=与20x y ++=，可得两直线平行；若直线210ax y +-=与()120x a y +-+=互相平行，则()12a a -=，解得12a =，21a =-，则“2a =”是“直线210ax y +-=与()120x a y +-+=互相平行”的充分不必要条件，故选A【点睛】本题主要考查了两直线平行的条件和性质，充分条件，必要条件的定义和判断方法，属于基础题． 7．下列函数中，在定义域上单调递增，且值域为[)0,+∞的是（ ） A ．()lg 1y x =+ B ．12y x =C ．2x y =D ．ln y x =【答案】B 【解析】 【分析】分别作出各个选项中的函数的图象，根据图象观察可得结果. 【详解】对于A ，()lg 1y x =+图象如下图所示：则函数()lg 1y x =+在定义域上不单调，A 错误； 对于B ，12y x x ==的图象如下图所示：则y x =[)0,+∞，B 正确；对于C ，2xy =的图象如下图所示：则函数2xy =单调递增，但值域为()0,∞+，C 错误；对于D ，ln y x =的图象如下图所示：则函数ln y x =在定义域上不单调，D 错误. 故选：B . 【点睛】本题考查函数单调性和值域的判断问题，属于基础题. 8．已知函数()sin 22f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则函数()f x 的图象的对称轴方程为（ ） A ．,4x k k Z ππ=-∈B ．+,4x k k Z ππ=∈C ．1,2x k k Z π=∈ D ．1+,24x k k Z ππ=∈ 【答案】C 【解析】 【分析】()cos2f x x =，将2x 看成一个整体，结合cos y x =的对称性即可得到答案.【详解】由已知，()cos2f x x =，令2,π=∈x k k Z ，得1,2x k k Z π=∈. 故选：C. 【点睛】本题考查余弦型函数的对称性的问题，在处理余弦型函数的性质时，一般采用整体法，结合三角函数cos x 的性质，是一道容易题.9．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的焦距是虚轴长的2倍，则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．y =±B ．y =C ．12y x =±D ．2y x =±【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线的焦距是虚轴长的2倍，可得出2c b =，结合22224c b a b ==+，得出223a b =，即可求出双曲线的渐近线方程. 【详解】解：由双曲线()222210,0x y a b a b-=>>可知，焦点在x 轴上，则双曲线的渐近线方程为：by x a=±， 由于焦距是虚轴长的2倍，可得：2c b =， ∴22224c b a b ==+，即：223a b =，b a =，所以双曲线的渐近线方程为：3y x =±. 故选：A. 【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，以及双曲线的渐近线方程.10．已知数列{}n a 满足()12347324n a a a n a n ++++-=L ，则23342122a a a a a a +++=L （ ） A ．58B ．34C ．54D ．52【答案】C 【解析】 【分析】利用()32n n a -的前n 项和求出数列(){}32nn a -的通项公式，可计算出na，然后利用裂项法可求出23342122a a a a a a +++L 的值.【详解】()12347324n a a a n a n ++++-=Q L .当1n =时，14a =；当2n ≥时，由()12347324n a a a n a n ++++-=L ， 可得()()1231473541n a a a n a n -++++-⋅=-L ， 两式相减，可得()324n n a -=，故432n a n =-，因为14a =也适合上式，所以432n a n =-.依题意，()()12161611313433134n n a a n n n n ++⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭，故233421221611111111161153477101013616434644a a a a a a ⎛⎫⎛⎫+++=-+-+-++-=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L L . 故选：C. 【点睛】本题考查利用n S 求n a ，同时也考查了裂项求和法，考查计算能力，属于中等题.11．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且43a =-，1224S =，若0+=i j a a （*,i j ∈N ，且1i j ≤<），则i 的取值集合是（ ） A ．{}1,2,3 B ．{}6,7,8C ．{}1,2,3,4,5D ．{}6,7,8,9,10【答案】C 【解析】 【分析】首先求出等差数列的首先和公差，然后写出数列即可观察到满足0+=i j a a 的i 的取值集合. 【详解】设公差为d ，由题知43a =-⇒133a d +=-，1224S =⇒1121112242a d ⨯+=， 解得19a =-，2d =，所以数列为9,7,5,3,1,1,3,5,7,9,11,-----L ， 故{}1,2,3,4,5i ∈. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了等差数列的基本量的求解，属于基础题.12．定义域为R 的偶函数()f x 满足任意x ∈R ，有(2)()(1)f x f x f +=-，且当[2,3]x ∈时，2()21218f x x x =-+-.若函数()log (1)a y f x x =-+至少有三个零点，则a 的取值范围是（ ）A ．0,2⎛ ⎝⎭B ．0,3⎛ ⎝⎭C ．0,5⎛ ⎝⎭D ．0,6⎛ ⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得()f x 的周期为2，当[2,3]x ∈时，2()21218f x x x =-+-，令()log (1)a g x x =+，则()f x 的图像和()g x 的图像至少有3个交点，画出图像，数形结合，根据(2)(2)g f >，求得a 的取值范围. 【详解】()f x 是定义域为R 的偶函数，满足任意x ∈R ，(2)()(1)f x f x f +=-，令1,(1)(1)(1)x f f f =-=--，又(1)(1),(1))(2)(0,f f x f x f f -=∴+==，()f x ∴为周期为2的偶函数，当[2,3]x ∈时，22()212182(3)f x x x x =-+-=--，当2[0,1],2[2,3],()(2)2(1)x x f x f x x ∈+∈=+=--， 当2[1,0],[0,1],()()2(1)x x f x f x x ∈--∈=-=-+， 作出(),()f x g x 图像，如下图所示：函数()log (1)a y f x x =-+至少有三个零点， 则()f x 的图像和()g x 的图像至少有3个交点，()0f x ≤Q ，若1a >，()f x 的图像和()g x 的图像只有1个交点，不合题意，所以01a <<，()f x 的图像和()g x 的图像至少有3个交点， 则有(2)(2)g f >，即log (21)(2)2,log 32a a f +>=-∴>-，22113,,01,03a a a a ∴><<<∴<<Q 故选:B.【点睛】本题考查函数周期性及其应用，解题过程中用到了数形结合方法，这也是高考常考的热点问题，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

顺义区2024年高三第二次质量监测数学试卷本试卷共9页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合 题目要求的一项。

1. 设集合{}24U x x =∈≤Z ，{}1,2A =，则U C A = A.[2,0]−B.{}0C.{}2,1−−D.{}2,1,0−−2. 已知复数z 的共轭复数z 满足(1i)2i z +⋅=，则z z ⋅=B.1C.2D.43. 在5(21)x −的展开式中，4x 的系数为 A.80− B.40− C.40 D.804. 已知4log 2a =，e1()2b =，12πc =，则A.a b c >>B.b a c >>C.c b a >>D.c a b >>5. 已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，1lg lg lg 2n n n a a ++=，*n ∈N ， 则9S = A.511 B.61 C.41 D.96. 已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，P 为C 上一点，直线PF 与l 相交于点Q ，与y 轴交于点M . 若F 为PQ 的中点，则||PM =A.4B.6C. D.87. 若函数1,0()0, 01,0x x f x x x x −<⎧⎪==⎨⎪+>⎩，则“120x x +>”是“12()()0f x f x +>”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8. 如图，正方体1111ABCD A B C D −中，P 是线段1BC 上的动点，有下列四个说法： ①存在点P ，使得1//D P 平面1A DB ；②对于任意点P ，四棱锥11P A ADD −体积为定值； ③存在点P ，使得1A P ⊥平面1C DB ； ④对于任意点P ，1A DP △都是锐角三角形， 其中，不正确．．．的是 A.①B.②C.③D.④9. 已知在平面内，圆22:1O x y +=，点P 为圆外一点，满足||2PO =，过点P 作圆O 的两条切线，切点分别为,A B . 若圆O 上存在异于,A B 的点M ，使得2(1)PM PA PB λλ=+−，则λ的值是A.23B.12C.14 D.12−10. 设1237,,,a a a a 是1,2,3,,7的一个排列. 且满足122367||||||a a a a a a −≥−≥≥−，则122367||||||a a a a a a −+−++−的最大值是A.23B.21C.20D.18第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

11
数学期望： ．
（3）
．
解析:
（ 1 ）根据甲班统计数据，高三年级每天学习时间达到 小时及以上的学生人数为
人．
（ 2 ）由甲、乙两班的频率分布直方图，可得每天学习不足 小时的人数，
甲班：
人．
乙班：
人．
∴ 可以取 ， ， ．
，
，
． ∴
∴
．
（ 3 ）由甲、乙两班的频率分布直方图可知，
，因为乙班的直方图比甲班的更集中．
C.
D.
4. 抛物线 A. B. C. D.
上的点与其焦点的距离的最小值为（ ）．
5. 若角 的终边经过点 A. B. C. D.
，则 的值为（ ）．
6. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（ ）．
1
正 （ 主 ） 视图 侧 （ 左 ） 视图
俯视图 A. B. C. D.
7. 若 为任意角，则满足 A. B. C. D.
的直线 与椭圆 相交于 ， 两点． （ 1 ） 求椭圆 的方程． （ 2 ） 设点 是椭圆 的左顶点，直线 ， 求证：以 为直径的圆恒过点 ．
分别与直线
相交于点 ， ．
21. 给定数列 ， ， ， ．对
，， ，
，该数列前 项 ， ， ， 的最小值
记为 ，后 项 ， ， ， 的最大值记为 ，令
．
（ 1 ） 设数列 为 ， ， ， ，写出 ， ， 的值．
，
所以
．
又因为
，
，
所以
，
所以
．
又因为
14
，
所以
，
所以 所以以
， 为直径的圆恒过点 ．
21.（ 1 ）
，

15．曲线 是平面内到定点 和定直线 ： 的距离之和等于5的点的轨迹，给出下列三个结论：
①曲线 关于 轴对称；
②若点 在曲线 上，则 满足 ；
③若点 在曲线 上，则 .
其中，正确结论的序号是________.
【答案】②③
【解析】先求出曲线 的轨迹方程，进而画出图形，对三个结论逐个分析，可得出答案.
【详解】
【点睛】
本题考查频率分布直方图，考查离散型随机变量的分布列，考查数学期望及方差，考查学生的计算求解能力，属于中档题.
19．已知函数 .
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）若 在区间 上单调递增，求实数 的取值范围；
对于选项D，由 ，不能判断 的大小关系，即选项D不符合题意.
故选：B.
【点睛】
本题考查充分性与必要性的判断，考查不等式的性质，考查学生的推理论证能力，属于基础题.
9．设 是各项均为正数的等比数列， 为其前 项和.已知 ， ，若存在 使得 的乘积最大，则 的一个可能值是（）
A．4B．5C．6D．7
【答案】A
（2）已知这两个班级各有40名学生，从甲、乙两个班级每天学习时间不足4小时的学生中随机抽取3人，记从甲班抽到的学生人数为 ，求 的分布列和数学期望；
（3）记甲、乙两个班级学生每天学习时间的方差分别为 ， ，试比较 与 的大小.(只需写出结论)
【答案】（1） ；（2）分布列见解析，数学期望为1；（3）
【解析】结合函数的奇偶性及单调性，对四个函数逐个分析，可选出答案.
【详解】
由题意，选项B、D中两个函数是非奇非偶函数，不符合题意；
对于选项A，二次函数 ，既是偶函数，又在区间 上为减函数，符合题意；
对于选项C，余弦函数 是偶函数，在区间 上不是单调函数，不符合题意.

顺义区2020届高三第二次统练数学参考答案及评分参考一、选择题（共10题，每题4分，共40分） （ 1 ）C （ 2 ）B （ 3 ）A （ 4 ）C （ 5 ）D （ 6 ）B（ 7 ）D（ 8 ）B（ 9 ）A（10）D二、填空题（共5题，每题5分，共25分） （11）2（12）1,N n a n n *=+∈（13）sin(2)3y x π=+（14）1a =± （15）②③注：第14题全部答对得5分，只写一个答案得3分,有错误答案得分；第15题全部选对得5分，不选或有错选得分，其他得3分。

三、解答题（共6题，共85分） （16）（共14分）解：选①：在ABC ∆中，1cos 3C =,根据余弦定理2222cos c a b ab C =+- -------------2分且5a b +=，3c =，得到292523abab =--------------- 6分 所以6ab = ------------- 8分所以56a b ab +=⎧⎨=⎩，解得23a b =⎧⎨=⎩或32a b =⎧⎨=⎩-------------10分∵1cos 3C =∴sin C =-------------12分 00所以三角形∆ABC 的面积是1sin 2ABC S ab C ∆== -------------14分选②：在ABC ∆中，1cos 3C =-,当1cos 3C =-时，根据余弦定理2222cos c a b ab C =+-. -------------2分又5a b +=，3c =，得到12ab = ------------- 8分此时方程组512a b ab +=⎧⎨=⎩无解. ------------- 12分所以这样的三角形不存在. -------------14分选③：在ABC ∆中，因为sin 3C =所以1cos 3C =±. -------------2分 当1cos 3C =时，根据余弦定理2222cos c a b ab C =+- -------------4分 且5a b +=，3c =，得到292523abab =--------------- 6分 所以6ab = -------------8分所以56a b ab +=⎧⎨=⎩，解得23a b =⎧⎨=⎩或32a b =⎧⎨=⎩-------------10分所以三角形∆ABC 的面积是1sin 2ABC S ab C ∆== -------------12分当1cos 3C =-时，根据余弦定理2222cos c a b ab C =+-,又5a b +=，3c =，得到12ab =,此时方程组512a b ab +=⎧⎨=⎩无解.所以这样的三角形不存在. ------------- 14分③法二：在ABC ∆中，因为2222()2522a b a b c ++≥=>, 根据余弦定理222cos 2a b c C ab+-=,得到cos 0C > ------------- 2分因为22sin ,3C =所以1cos 3C = -------------4分 根据余弦定理2222cos c a b ab C =+- -------------6分 和5a b +=，3c =，得到6ab = -------------10分所以56a b ab +=⎧⎨=⎩，解得23a b =⎧⎨=⎩或32a b =⎧⎨=⎩ -------------12分所以三角形∆ABC 的面积是1sin 222ABC S ab C ∆== -------------14分17. （共14分）解：（I ）取BD 中点O ，联结AO ,1C O∴BD AO ⊥，1BD C O ⊥. -------------2分又Q AO ,1C O 1AC O ⊂平面 ∴1BD AC O ⊥平面 . ------------- 4分 又Q 11AC AC O ⊂平面 ∴1BD AC ⊥ ------------- 5分 （II ）Q 二面角1A BD C --是直二面角∴190C OA ∠=o ∴1C O AO ⊥∴1,,OA OB OC 两两垂直 -------------6分∴以O 为原点，如图建系：∴(0,0,0)O ，(1,0,0)A ，(0,1,0)B ，(0,1,0)D -，1(0,0,1)C又,E F 为中点 ∴11(0,,)22E ，11(,0,)22F∴11(,1,)22DF =u u u r ，31(0,,)22DE =u u u r -------------8分设(,,)n x y z =r是平面DEF 的一个法向量∴1102231022DF n x y z DE n y z ⎧⋅=++=⎪⎪⎨⎪⋅=+=⎪⎩u u u r r u u u r r 令1y =得3,1z x =-= ∴(1,1,3)n =-r-------------11分又Q 1OC ABD ⊥平面 ∴平面ABD 的一个法向量1(0,0,1)OC =u u u u r-------------13分∴111cos ,n OC n OC n OC ⋅=⋅r u u u u rr u u u u r r u u u u r= ∴平面DEF 与平面ABD所成的锐二面角余弦值为11-------------14分 18.（本题15分）解：（I ）根据甲班的统计数据可知：甲班每天学习时间在5小时以上的学生频率为0.50.250.050.8++=-------------2分 所以，估计高三年级每天学习时间达到5小时以上的学生人数为6000.8480⨯=人 -------------4分 （II ）甲班级自主学习时长不足4小时的人数为：400.052⨯=人乙班级自主学习时长不足4小时的人数为：400.14⨯=人 -------------6分 X 的可能值为：0,1,234361(0)5C P x C ===,1224363(1)5C C P x C ===,2124361(2)5C C P x C === -------------9分 ∴的分布列为：∴X 的数学期望为()0121555E x =⨯+⨯+⨯= -------------12分(III) D D <甲乙 -------------15分 19.（本题14分）（I ）1a =时，2()x f x e x =-．()2x f x e x '=-（或在这里求的()2x f x e ax '=-也可以）． -------------2分 ∴ 0(0)01f e =-=，0(0)01k f e '==-=． -------------4分 所求切线方程为1y x =+ ---------------5分 （II ）方法一：()2x f x e ax '=-.若2()x f x e x =-在(0,)+∞上单调递增，则对任意(0,)x ∈+∞，都有()0f x '≥-------6分即2x e a x ≤恒成立，等价于min ()2xe a x ≤． ----------------7分设()2x e g x x =，则2(1)()2x e x g x x -'=， ---------------8分令()0g x '=得1x =当(0,1)x ∈时，()0g x '<，()g x 在(0,1)上单调递减； 当(1,)x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 在(1,)+∞上单调递增，所以函数()g x 的最小值为e(1)2g = ． ------------------11分所以,2e a ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦． ------------------12分方法二：()2x f x e ax '=-．若2()x f x e x =-在(0,)+∞上单调递增，则对任意(0,)x ∈+∞，都有()0f x '≥--------6分 等价于min (())0f x '≥．设()2x h x e ax =-，()2x h x e a '=-．当(0,)x ∈+∞时，1x e > ----------------7分 分类讨论：①当21a ≤，即12a ≤时，()0h x '≥恒成立， 所以()2x h x e ax =-在(0,)x ∈+∞上单调递增， 那么()(0)1h x h ≥=， 所以12a ≤时，满足()0f x '≥． -------------------8分 ②当21a >，即12a >时，令()20x h x e a '=-=，得ln2x a =． 当(0,ln 2)x a ∈时，()0h x '<，()h x 在(0,ln 2)x a ∈上单调递减； 当(ln 2,)x a ∈+∞时，()0h x '>，()h x 在(ln 2,)x a ∈+∞上单调递增；所以函数()h x 的最小值为(ln 2)2(1ln 2)h a a a =- ----------------10分 由2(1ln 2)0a a -≥解得2e a ≤，所以122ea <≤ ． -------------------11分综上：,2e a ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦． --------------------12分（III ） 2个 -------------------14分20. （本题14分）（I ）由题意得222222c a a b c =⎧⎪=⎨⎪=+⎩解得2,1a b c === ---------------------3分故椭圆C 的方程为22143x y +=． -------------------5分（II ）(1,0)F ，(2,0)A -，直线l 的方程为(1)y k x =-． ------------------6分 由22(1)3412y k x x y =-⎧⎨+=⎩ 得2222(34)84120k x k x k +-+-=. 直线l 过椭圆C 的焦点，显然直线l 椭圆C 相交.设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则2122834k x x k +=+,212241234k x x k-⋅=+ --------------8分直线AP 的方程为11(2)2y y x x =++，令4x =，得1162M y y x =+； 即116(4,)2y M x +同理：226(4,)2y N x + --------------10分 ∴116(3,)2y FM x =+u u u u r ，226(3,)2y FN x =+u u u r又1212369(2)(2)y y FM FN x x ⋅=+++u u u u r u u u r-------------------11分=121236(1)(1)9(2)(2)k x k x x x -⋅-+++=[]21212121236()192()4k x x x x x x x x -++++++=222222222412836(1)343494121643434k k k k k k k k k --++++-++++ =22229363493634k k k k -⋅+++ =990-=∴以MN 为直径的圆恒过点F . ----------------14分 21. （本题14分）解：（I ）14d =，25d =，32d =． ----------------3分（II ）因为10a >，公比01q <<， 所以 12,,,n a a a L 是递减数列．因此，对1,2,,1i n =-L ，1,i i i i A a B a +==． ----------------5分 于是对1,2,,1i n =-L ，1i i i i i d B A a a +=-=-11(1)i a q q -=-． ----------------7分因此 0i d ≠ 且1i id q d +=（1,2,,2i n =-L ）， 即121,,,n d d d -L 是等比数列． ----------------9分(III) 设d 为121,,,n d d d -⋅⋅⋅的公差，则0d >对12i n -≤≤，因为1i i B B +≥，所以1111i i i i i i i i i i A B d B d B d d B d A ++++=-≤-=--<-=，即1i i A A +< ------------11分 又因为11min{,}i i i A A a ++=，所以11i i i i a A A a ++=<≤．从而121,,,n a a a -L 是递减数列．因此i i A a =（1,2,,1i n =-L ）．----------------12分 又因为111111++B A d a d a ==>，所以1121n B a a a ->>>>L ． 因此1n a B =．所以121n n B B B a -====L ． i i i i n i a A B d a d ==-=-． 因此对1,2,,2i n =-L 都有1+1i i i i a a d d d +-=-=-，即121,,,n a a a -L 是等差数列． ----------------14分。

北京市顺义区2019-2020学年高考数学二模试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．抛物线24y x =的焦点为F ，点(,)P x y 为该抛物线上的动点，若点(1,0)A -，则PFPA的最小值为（ ）A ．12B ．2 C ．3 D ．223【答案】B 【解析】 【分析】通过抛物线的定义，转化PF PN =，要使||||PF PA 有最小值，只需APN ∠最大即可，作出切线方程即可求出比值的最小值． 【详解】解：由题意可知，抛物线24y x =的准线方程为1x =-，(1,0)A -，过P 作PN 垂直直线1x =-于N ，由抛物线的定义可知PF PN =，连结PA ，当PA 是抛物线的切线时，||||PF PA 有最小值，则APN ∠最大，即PAF ∠最大，就是直线PA 的斜率最大， 设在PA 的方程为：(1)y k x =+，所以2(1)4y k x y x =+⎧⎨=⎩， 解得：2222(24)0kx k x k -++=，所以224()2440k k ∆=--=，解得1k =±， 所以45NPA ∠=︒，||2cos ||2PF NPA PA =∠=． 故选：B ．【点睛】本题考查抛物线的基本性质，直线与抛物线的位置关系，转化思想的应用，属于基础题．2．如图，抛物线M ：28y x =的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线M 交于A ，B 两点，若直线l 与以F 为圆心，线段OF （O 为坐标原点）长为半径的圆交于C ，D 两点，则关于AC BD ⋅值的说法正确的是（ ）A ．等于4B ．大于4C ．小于4D ．不确定【答案】A 【解析】 【分析】利用F 的坐标为()2,0，设直线l 的方程为20x my --=，然后联立方程得282y xmy x ⎧=⎨=-⎩，最后利用韦达定理求解即可 【详解】据题意，得点F 的坐标为()2,0.设直线l 的方程为20x my --=，点A ，B 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y .讨论：当0m =时，122x x ==；当0m ≠时，据282y x my x ⎧=⎨=-⎩，得()228440x m x -++=，所以124x x =，所以()()22AC BD AF BF ⋅=-⋅-()()121222224x x x x =+-⋅+-==. 【点睛】本题考查直线与抛物线的相交问题，解题核心在于联立直线与抛物线的方程，属于基础题 3．若复数z 满足2312z z i -=+，其中i 为虚数单位，z 是z 的共轭复数，则复数z =（ ） A ．35 B ．5C ．4D ．5【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的四则运算法则先求出复数z ，再计算它的模长． 【详解】解：复数z ＝a+bi ，a 、b ∈R ； ∵2z 312z i -=+，∴2（a+bi ）﹣（a ﹣bi ）＝312i +，即23212a a b b -=⎧⎨+=⎩，解得a ＝3，b ＝4， ∴z ＝3+4i ，∴|z|5=． 故选D ． 【点睛】本题主要考查了复数的计算问题，要求熟练掌握复数的四则运算以及复数长度的计算公式，是基础题． 4．已知底面为边长为2的正方形，侧棱长为1的直四棱柱1111ABCD A B C D -中，P 是上底面1111D C B A 上的动点.给出以下四个结论中，正确的个数是（ ）①与点D P 形成一条曲线，则该曲线的长度是2π；②若//DP 面1ACB ，则DP 与面11ACC A 所成角的正切值取值范围是⎣；③若DP =，则DP 在该四棱柱六个面上的正投影长度之和的最大值为A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】C 【解析】 【分析】①与点D P 形成以1D 的14圆弧MN ，利用弧长公式，可得结论；②当P 在1A （或1)C 时，DP 与面11ACC A 所成角1DA O ∠（或1)DC O ∠的正切值为3最小，当P 在1O 时，DP 与面11ACC A 所成角1DO O ∠最大，可得正切值取值范围是；③设(P x ，y ，1)，则2213x y ++=，即222x y +=，可得DP 在前后、左右、上下面上的正投影长，即可求出六个面上的正投影长度之和． 【详解】 如图：①错误， 因为1D P ===，与点D 的点P 形成以1D 为圆心，半径为2的14圆弧MN ，长度为122242⋅π⋅=π； ②正确，因为面11//A DC 面1ACB ，所以点P 必须在面对角线11A C 上运动，当P 在1A （或1C ）时，DP 与面11ACC A 所成角1DA O ∠（或1DC O ∠）的正切值为63最小（O 为下底面面对角线的交点），当P 在1O 时，DP 与面11ACC A 所成角1DO O ∠的正切值为2最大，所以正切值取值范围是6,2⎡⎤⎢⎥⎣；③正确，设(),,1P x y ，则2213x y ++=，即222x y +=，DP 在前后、左右、上下面上的正投影长分别为21y +，21x +，22x y +，所以六个面上的正投影长度之()2222112112222622y x y x ⎛⎫+++++++≤+= ⎪ ⎪⎝⎭，当且仅当P 在1O 时取等号.故选：C .【点睛】本题以命题的真假判断为载体，考查了轨迹问题、线面角、正投影等知识点，综合性强，属于难题． 5．若函数()ln f x x x h =-++，在区间1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦上任取三个实数a ，b ，c 均存在以()f a ，()f b ，()f c 为边长的三角形，则实数h 的取值范围是（ ） A ．11,1e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．11,3e e ⎛⎫--⎪⎝⎭C ．11,e ⎛⎫-+∞⎪⎝⎭D ．()3,e -+∞【答案】D 【解析】 【分析】利用导数求得()f x 在区间1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小，根据三角形两边的和大于第三边列不等式，由此求得h 的取值范围. 【详解】()f x 的定义域为()0,∞+，()'111x f x x x-=-+=，所以()f x 在1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭上递减，在()1,e 上递增，()f x 在1x =处取得极小值也即是最小值，()1ln111f h h =-++=+，1111ln 1f h h e e e e ⎛⎫=-++=++ ⎪⎝⎭，()ln 1f e e e h e h =-++=-+，()1f f e e ⎛⎫< ⎪⎝⎭， 所以()f x 在区间1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为()1f e e h =-+.要使在区间1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦上任取三个实数a ，b ，c 均存在以()f a ，()f b ，()f c 为边长的三角形，则需()()()f a f b f c +>恒成立，且()10f >，也即()()()max min f a f b f c +>⎡⎤⎣⎦，也即当1a b ==、c e =时，()()21e f f >成立， 即()211h e h +>-+，且()10f >，解得3h e >-.所以h 的取值范围是()3,e -+∞. 故选：D 【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的最值，考查恒成立问题的求解，属于中档题. 6．要得到函数()sin(3)3f x x π=+的导函数()f x '的图像，只需将()f x 的图像（ ）A ．向右平移3π个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍 B ．向右平移6π个单位长度，再把各点的纵坐标缩短到原来的13倍 C ．向左平移3π个单位长度，再把各点的纵坐标缩短到原来的13倍 D ．向左平移6π个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍 【答案】D 【解析】 【分析】 先求得()'fx ，再根据三角函数图像变换的知识，选出正确选项.【详解】依题意()'553cos 33cos 33sin 33626fx x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦3sin 363x ππ⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以由()sin(3)3f x x π=+向左平移6π个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍得到()'f x 的图像.故选：D 【点睛】本小题主要考查复合函数导数的计算，考查诱导公式，考查三角函数图像变换，属于基础题. 7．若复数z 满足i 2i z -=，则z =（ ）A BC ．2D 【答案】D 【解析】 【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式计算. 【详解】解：由题意知，i 2i z =+，()22212121i i i iz i i i ++-+∴====--，∴12i z =-== 故选：D. 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法. 8．设i 为数单位，z 为z 的共轭复数，若13z i=+，则z z ⋅=（ ） A ．110B ．110i C ．1100D ．1100i 【答案】A 【解析】 【分析】由复数的除法求出z ，然后计算z z ⋅． 【详解】13313(3)(3)1010i z i i i i -===-++-，∴223131311()()()()10101010101010z z i i ⋅=-+=+=． 故选：A. 【点睛】本题考查复数的乘除法运算，考查共轭复数的概念，掌握复数的运算法则是解题关键．9．甲、乙、丙、丁四人通过抓阄的方式选出一人周末值班（抓到“值”字的人值班）.抓完阄后，甲说：“我没抓到.”乙说：“丙抓到了.”丙说：“丁抓到了”丁说：“我没抓到."已知他们四人中只有一人说了真话，根据他们的说法，可以断定值班的人是（ ） A ．甲 B ．乙C ．丙D ．丁【答案】A 【解析】 【分析】可采用假设法进行讨论推理，即可得到结论. 【详解】由题意，假设甲：我没有抓到是真的，乙：丙抓到了，则丙：丁抓到了是假的， 丁：我没有抓到就是真的，与他们四人中只有一个人抓到是矛盾的； 假设甲：我没有抓到是假的，那么丁：我没有抓到就是真的， 乙：丙抓到了，丙：丁抓到了是假的，成立， 所以可以断定值班人是甲. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了合情推理及其应用，其中解答中合理采用假设法进行讨论推理是解答的关键，着重考查了推理与分析判断能力，属于基础题.10．已知复数z 满足()1z i i =-，(i 为虚数单位)，则z =( )A BC ．2D ．3【答案】A 【解析】()11z i i i =-=+，故z = A.11．若x ∈（0，1），a ＝lnx ，b ＝ln 12x⎛⎫ ⎪⎝⎭，c ＝e lnx ，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．b ＞c ＞aB ．c ＞b ＞aC ．a ＞b ＞cD ．b ＞a ＞c【答案】A【解析】 【分析】利用指数函数、对数函数的单调性直接求解． 【详解】 ∵x ∈（0，1）， ∴a ＝lnx ＜0， b ＝（12）lnx ＞（12）0＝1， 0＜c ＝e lnx ＜e 0＝1，∴a ，b ，c 的大小关系为b ＞c ＞a ． 故选：A ． 【点睛】本题考查三个数的大小的判断，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．12．已知集合A={x|x<1}，B={x|31x <}，则 A ．{|0}A B x x =<I B ．A B R =U C ．{|1}A B x x =>U D ．A B =∅I【答案】A 【解析】∵集合{|31}x B x =< ∴{}|0B x x =< ∵集合{|1}A x x =<∴{}|0A B x x ⋂=<，{}|1A B x x ⋃=< 故选A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

北京市顺义区高考数学二模试卷（文科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．（5分）（•顺义区二模）已知集合A={x∈R|﹣3＜x＜2}，B{x∈R|x≤1或x≥3}，则A∩B=（）A．（﹣3，1] B．（﹣3，1）C．[1，2）D．（﹣∞，2）∪[3，+∞）考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：由题意全集U=R，集合A={x|﹣3＜x＜2}，B={x|x≤1或x≥3}，根据交集的定义计算A∩B．解答：解：∵集合A={x|﹣3＜x＜2}，B={x|x≤1或x≥3}，∴集合A∩B={x|﹣3＜x≤1}，故选A．点评：此题主要考查不等式及集合的交集运算，集合间的交、并、补运算是高考中的常考内容，要认真掌握，并确保得分．2．（5分）（•顺义区二模）复数=（）A．B．C．D．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：直接利用复数的除法运算进行化简．解答：解：．故选B．点评：本题考查了复数的除法运算，复数的除法，采用分子分母同时乘以分母的共轭复数，是基础题．3．（5分）（•顺义区二模）从{1，2，3，4，5}中随机选取一个数a，从{1，2，3}中随机选取一个数b，则关于x的方程x2+2ax+b2=0有两个不相等的实根的概率是（）A．B．C．D．考点：古典概型及其概率计算公式．分析：根据题意，由分步计数原理可得a、b的情况数目，进而分析可得若方程x2+2ax+b2=0有实根，则△=（2a）2﹣4b2≥0，即a2≥b2，列举可得a2≥b2的情况数目，由等可能事件的概率公式，计算可得答案．解答：解：根据题意，a是从集合{1，2，3，4，5}中随机抽取的一个数，a有5种情况，b是从集合{1，2，3}中随机抽取的一个数，b有3种情况，则方程x2+2ax+b2=0有3×5=15种情况，若方程x2+2ax+b2=0有实根，则△=（2a）2﹣4b2＞0，即a＞b，此时有，，，，，，，，共9种情况；则方程x2+2ax+b2=0有实根的概率P==故选C点评：本题考查等可能事件的概率计算，解题的关键是根据一元二次方程有根的充要条件分析出方程x2+2ax+b2=0有实根的情况数目4．（5分）（•顺义区二模）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）A．﹣10 B．﹣3 C．4D．5考点：程序框图．分析：首先分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算并输出变量S的值，模拟程序的运行，运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果．解答：解：按照程序框图依次执行为k=1，S=1；S=2×1﹣1=1，k=2；S=2×1﹣2=0，k=3；S=2×0﹣3=﹣3，k=4；S=2×（﹣3）﹣4=﹣10，k=4≥5，退出循环，输出S=﹣10．故选A．点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，一般都可以反复的进行运算直到满足条件结束，本题中涉及到三个变量，注意每个变量的运行结果和执行情况．1 / 85．（5分）（•顺义区二模）已知数列{a n}中，a n=﹣4n+5，等比数列{b n}的公比q满足q=a n﹣a n﹣1（n≥2），且b1=a2，则|b1|+|b2|+…+|b n|=（）A．1﹣4n B．4n﹣1 C．D．考点：数列的求和．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：先由a n=﹣4n+5及q=a n﹣a n﹣1求出q，再由b1=a2，求出b1，从而得到b n，进而得到|b n|，根据等比数列前n项和公式即可求得|b1|+|b2|+…+|b n|．解答：解：q=a n﹣a n﹣1=（﹣4n+5）﹣[﹣4（n﹣1）+5]=﹣4，b1=a2=﹣4×2+5=﹣3，所以=﹣3•（﹣4）n﹣1，|b n|=|﹣3•（﹣4）n﹣1|=3•4n﹣1，所以|b1|+|b2|+…+|b n|=3+3•4+3•42+…+3•4n﹣1=3•=4n﹣1，故选B．点评：本题考查等差、等比数列通项公式及等比数列的前n项和公式，考查学生的运算能力，属中档题．6．（5分）（•顺义区二模）设变量x，y 满足约束条件则23x﹣y的取值范围是（）A．B．C．D．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组表示的平面区域；作出目标函数对应的直线；结合图象根据截距的大小进行判断，先设出目标函数z=3x﹣y的取值范围，最后根据指数函数的性质即可得出23x﹣y的取值范围．解答：解：∵变量x，y 满足约束条件，设目标函数为：z=3x﹣y，直线4x﹣y+1=0与x+2y﹣2=0交于点A（0，1），直线2x+y﹣4=0与x+2y﹣2=0交于点C（2，0），直线4x﹣y+1=0与2x+y﹣4=0交于点B（，3），分析可知z在点B处取得最小值，z min =3×﹣1=﹣，z在点C处取得最大值，z max=3×2﹣0=6，∴﹣≤3x﹣y≤6，∴≤23x﹣y≤64．故选C．点评：本题考查画不等式组表示的平面区域、考查数形结合求函数的最值．解题的关键是准确理解目标函数的几何意义．7．（5分）（•顺义区二模）已知正三角形ABC的边长为1，点P是AB边上的动点，点Q是AC 边上的动点，且，则的最大值为（）A．B．C．D．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：利用向量的运算法则和数量积即可化为关于λ的二次函数，利用二次函数的单调性即可得出最大值．解答：解：如图所示，===﹣+（λ﹣1）+=（λ﹣λ2+1）×1×1×cos60°﹣λ+λ﹣1==，（0≤λ≤1）．当时，则的最大值为．故选D．点评：熟练掌握向量的运算法则和数量积的运算性质、二次函数的单调性是解题的关键．8．（5分）（•顺义区二模）设m，n∈R，若直线l：mx+ny﹣1=0与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，且坐标原点O到直线l 的距离为，则△AOB的面积S的最小值为（）A．B．2C．3D．4考点：点到直线的距离公式；三角形的面积公式．专题：计算题．分析：由距离公式可得，面积为S=•=，由基本不等式可得答案．解答：解：由坐标原点O到直线l 的距离为，可得=，化简可得，令x=0，可得y=，令y=0，可得x=，故△AOB的面积S=•=≥=3，当且仅当|m|=|n|=时，取等号，故选C点评：本题考查点到直线的距离公式，涉及基本不等式的应用和三角形的面积，属基础题．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．（5分）（•顺义区二模）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c ，且，则sinC= ，△ABC的面积S= ．考点：正弦定理；三角形的面积公式；同角三角函数间的基本关系．专题：三角函数的图像与性质．分析：利用同角三角函数的基本关系求得sinA，利用正弦定理求得a的值，再由余弦定理求出c，再由正弦定理求得sinC 的值．从而求得△ABC的面积S=的值．解答：解：△ABC中，由cosA=，可得sinA=．由正弦定理可得，即，解得a=．再由余弦定理可得 a2=b2+c2﹣2bc•cosA，即=25+c2﹣10c•，解得 c=．再由正弦定理可得，即，解得 sinC=．故△ABC的面积S===，故答案为，．点评：本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，同角三角函数的基本关系，属于中档题．10．（5分）（•顺义区二模）已知函数f（x）=10x（x＞0），若f（a+b）=100，则f（ab）的最大值为10 ．考点：基本不等式．专题：计算题．分析：由f（a+b）=10a+b=100可求a+b，然后由基本不等式可得，可求ab的最大值，进而可求f（ab）的最大值解答：解：∵f（x）=10x，∴f（a+b）=10a+b=100∴a+b=2由基本不等式可得，=1当且仅当a=b=1时取等号此时，f（ab）=f（1）=10故答案为：10点评：本题主要考查了基本不等式在求解最值中的简单应用，属于基础试题3 / 811．（5分）（•顺义区二模）以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名工人1天加工的零件数，则甲组工人1天每人加工零件的平均数为20 ；若分别从甲、乙两组中随机选取一名工人，则这两名工人加工零件的总数超过了38的概率为．考点：茎叶图．专题：图表型．分析：先利用平均数和方差的定义求出甲组工人1天加工零件的平均数即可．再求出所有的基本事件共有4×4个，满足这两名工人加工零件的总数超过了38的基本事件有7个，根据古典概型概率计算公式求得结果．解答：解：甲组工人1天每人加工零件的平均数为=20，所有的基本事件共有4×4=16个，满足这两名工人加工零件的总数超过了38的基本事件有：（18，21），（19，21），（21，19），（18，21），（22，17），（22，19），（22，21），共有7个，故这两名工人加工零件的总数超过了38的概率为．故答案为：20，．点评：本题主要考查古典概型及其概率计算公式的应用，茎叶图的应用，属于基础题．12．（5分）（•顺义区二模）一个几何体的三视图如图所示，若该几何体的表面积为92m2，则h= 4 m．考点：由三视图求面积、体积．分析：由题可知，图形是一个的底面是直角梯形的四棱柱，利用表面积，求出h即可．解答：解：由题可知，三视图复原的几何体是一个底面是直角梯形的四棱柱，几何体的表面积是：两个底面积与侧面积的和，所以：=92，解得h=4．故答案为：4．点评：本题考查三视图与几何体的关系，几何体的表面积的求法，考查空间想象能力与计算能力．13．（5分）（•顺义区二模）已知双曲线的离心率为，顶点与椭圆的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为；渐近线方程为=0 ．考点：双曲线的简单性质；椭圆的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由椭圆的标准方程+=1可求得其焦点坐标为（±，0），依题意可求得a=，再由双曲线﹣=1的离心率为，可求得c，继而可求得该双曲线的方程，从而可得其焦点坐标与渐近线方程．解答：解：∵椭圆的标准方程为+=1，∴其焦点坐标为（±，0），∵双曲线﹣=1的顶点与椭圆+=1的焦点相同，∴a2=3，又双曲线﹣=1的离心率为，∴e2===，∴c2=8，又c2=a2+b2，∴b2=8﹣3=5，∴双曲线的标准方程为﹣=1．∴双曲线的焦点坐标为（±2，0），渐近线方程为：y=±x=±x，整理得：x±3y=0．故答案为：（±2，0），x±3y=0．点评：本题考查椭圆与双曲线的简单性质，求得双曲线的标准方程是关键，考查理解与运算能力，属于中档题．14．（5分）（•顺义区二模）设函数，则满足f（x）≤2的x的取值范围是[0，4] ．考点：函数单调性的判断与证明．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由f（x）=，可知，对x≥2与x＜2分类讨论，即可求得满足f（x）≤2的x的取值范围．解答：解：∵f（x）=，∵f（x）≤2，∴当x≥2时，有log2x≤2，解得2≤x≤4；同理，当x＜2时，2﹣x≤2，解得0≤x＜2．综上所述，满足f（x）≤2的x的取值范围是0≤x≤4．故答案为：[0，4．]点评：本题考查函数单调性的判断与证明，考查解不等式的能力，考查集合的运算，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，满分80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（13分）（•顺义区二模）已知函数．（I ）求的值；（II）求函数f（x）的最小正周期及单调递减区间．考点：二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；正弦函数的单调性．专题：三角函数的图像与性质．分析：（I）把x=直接代入函数的解析式，化简求得f （）的值．（II）由cosx≠0，得x≠kπ+，（k∈z ）．化简函数的解析式为sin（2x+），从而求得f（x）的最小正周期．再由2kπ+≤2x+≤2kπ+，x≠kπ+，k∈z，求得x的范围，即可求得函数的减区间．解答：解：（I）由函数的解析式可得=+=0+=．…（4分）（II）∵cosx≠0，得x≠kπ+，（k∈z ）故f（x ）的定义域为{x|x≠kπ+，（k∈z ）}．因为=sinx （cosx﹣sinx）+=sin2x﹣sin2x+=sin2x ﹣+=sin2x+cos2x=sin（2x+），所以f（x）的最小正周期为 T==π．由2kπ+≤2x+≤2kπ+，x≠kπ+，k∈z，得kπ+≤x≤kπ+，x≠kπ+，k∈z，所以，f（x）的单调递减区间为（kπ+，kπ+），（kπ+，kπ+），k∈z．…（13分）点评：本题主要考查二倍角公式、两角和差的正弦公式、正弦函数的单调性，属于中档题．16．（13分）（•顺义区二模）已知S n为等差数列{a n}的前n项和，且S5=30，a1+a6=14．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列的前n项和公式．考点：等差数列与等比数列的综合．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）利用S n为等差数列{a n}的前n项和，且S5=30，a1+a6=14，求出数列的首项与公差，即可求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）利用等差数列的通项公式，判断数列是等比数列，利用等比数列的前n项和公式求解即可．解答：解（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，因为S5=30，a1+a6=14所以解得a1=2，d=2，所以a n=a1+（n﹣1）d=2+（n﹣1）×2=2n…（7分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可知a n=2n ，令则，又，（n∈N*）所以{b n}是以4为首项，4为公比的等比数列，设数列{b n}的前n项和为T n则T n=b1+b2+b3+…+b n=4+42+43+ (4)==…（13分）点评：本题考查等差数列与等比数列的综合应用，数列的通项公式与前n项和的求法，考查计算能力．5 / 817．（14分）（•顺义区二模）如图，四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥平面PAD．AB∥CD，PD=AD，F是DC 上的点且为△PAD中AD边上的高．（Ⅰ）求证：AB∥平面PDC；（Ⅱ）求证：PH⊥BC；（Ⅲ）线段PB上是否存在点E，使EF⊥平面PAB？说明理由．考点：直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）由已知AB∥CD，利用线面平行的判定定理即可证明；（Ⅱ）利用AB⊥平面PAD，得到平面PAD⊥平面ABCD．再利用面面垂直的性质定理即可证明；（Ⅲ）线段PB上存在点E，使EF⊥平面PAB．分别取PA、PB的中点G、E，利用三角形的中位线定理和平行四边形的判定定理和性质定理即可得到EF∥DG，l利用线面垂直的判定定理和性质定理即可证明GD⊥平面PAB．从而得到EF⊥平面PAB．解答：（Ⅰ）证明：∵AB∥CD，且AB⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，∴AB∥平面PDC．（Ⅱ）证明：∵AB⊥平面PAD，AB⊂平面ABCD，∴平面PAD⊥平面ABCD．∵PH⊥AD，∴PH⊥平面ABCD，∴PH⊥BC．（Ⅲ）解：线段PB上存在点E，使EF⊥平面PAB．证明如下：如图，分别取PA、PB的中点G、E，则，由，∴．∴EFGD为平行四边形，故EF∥GD，∵AB⊥平面PAD，∴AB⊥GD．∵G为PA的中点，且PD=AD．∴GD⊥PA．∵PA∩AB=A，∴GD⊥平面PAB．∴EF⊥平面PAB．点评：熟练掌握线面平行的判定定理、面面垂直的性质定理、三角形的中位线定理和平行四边形的判定定理和性质定理、线面垂直的判定定理和性质定理是解题的关键．18．（13分）（•顺义区二模）已知函数，其中a 为正实数，是f（x）的一个极值点．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）当时，求函数f（x）在[b，+∞）上的最小值．考点：函数在某点取得极值的条件；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：计算题；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）依题意，x=是函数y=f（x）的一个极值点，由f′（）=0即可求得a的值；（Ⅱ）由（Ⅰ）知f′（x）=，令f′（x）=0，可求得极值点，通过对f（x）与f′（x）的变化情况列表，可求得f（x）的单调区间，再对b 分＜b ＜与b≥两类讨论即可求得函数f（x）在[b，+∞）上的最小值．解答：解：f′（x）=，（Ⅰ）因为x=是函数y=f（x）的一个极值点，所以f′（）=0，因此，a﹣a+1=0，解得a=，经检验，当a=时，x=是y=f（x）的一个极值点，故所求a 的值为．…（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，f′（x）=，令f′（x）=0，得x1=，x2=，f（x）与f′（x）的变化情况如下：x（﹣∞，）（，）（，+∞）f′（x）+ 0 ﹣0 +f（x）所以，f（x ）的单调递增区间是（﹣∞，），（，+∞）．单调递减区间是（，）．当＜b ＜时，f（x）在[b ，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，所以f（x）在[b，+∞）上的最小值为f （）=，当b≥时，f（x）在[b，+∞）上单调递增，所以f（x）在[b，+∞）上的最小值为f（b）==．…（13分）点评：本题考查函数在某点取得极值的条件，考查利用导数求闭区间上函数的最值，突出分类讨论思想与方程思想的考查，属于中档题．19．（14分）（•顺义区二模）已知椭圆的离心率为，F1，F2为椭圆G的两个焦点，点P在椭圆G上，且△PF1F2的周长为．（Ⅰ）求椭圆G的方程（Ⅱ）设直线l与椭圆G相交于A、B 两点，若（O为坐标原点），求证：直线l 与圆相切．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：综合题；分类讨论；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）由已知得，且2a+2c=4+4，联立方程组解出即得a，c，再由b2=a2﹣c2求得b值；（Ⅱ）由题意可知，直线l不过坐标原点，设A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）（y1＞y2），分情况讨论：（ⅰ）当直线l⊥x轴时，直线l的方程为x=m（m≠0）且﹣2＜m＜2，联立直线方程与椭圆方程易求A，B 坐标，由得x1x2+y1+y2=0，可求m，从而易判断直线与圆垂直；（ⅱ）当直线l不垂直于x轴时，设直线l的方程为y=kx+m，代入椭圆方程消掉y得x的二次方程，由韦达定理及x1x2+y1+y2=0可得k，m的方程①，根据点到直线的距离公式可表示圆心O到l的距离d，结合①式可求得d值，其恰好等于半径r；解答：（Ⅰ）解：由已知得，且2a+2c=4+4，解得a=2，c=2，又b2=a2﹣c2=4，所以椭圆G 的方程为；（Ⅱ）证明：由题意可知，直线l不过坐标原点，设A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）（y1＞y2），（ⅰ）当直线l⊥x轴时，直线l的方程为x=m（m≠0）且﹣2＜m＜2，则x1=m ，，x2=m ，，∵，∴x1x2+y1+y2=0，∴，解得，故直线l 的方程为，因此，点O（0，0）到直线l的距离为d=，又圆的圆心为O（0，0），半径r==d，所以直线l 与圆相切；（ⅱ）当直线l不垂直于x轴时，设直线l的方程为y=kx+m，由得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8=0，∴，，y1y2=（kx1+m）（kx2+m）==，∵，∴x1x2+y1y2=0，故+=0，即3m2﹣8k2﹣8=0，3m2=8k2+8，①又圆的圆心为O（0，0），半径r=，圆心O到直线l的距离为d=，7 / 8∴==②，将①式带入②式得=，所以d==r，因此，直线l 与圆相切．点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、椭圆方程的求解，考查分类讨论思想，考查学生对问题的阅读理解能力及转化能力，弦长公式、点到直线距离公式、韦达定理是解决问题的基础知识，要熟练掌握．20．（13分）（•顺义区二模）已知函数f（x）=2ae x+1，g（x）=lnx﹣lna+1﹣ln2，其中a为常数，e=2.718…，函数y=f（x）的图象与坐标轴交点处的切线为l1，函数y=g（x）的图象与直线y=1交点处的切线为l2，且l1∥l2．（Ⅰ）若对任意的x∈[1，5]，不等式成立，求实数m的取值范围．（Ⅱ）对于函数y=f（x）和y=g（x）公共定义域内的任意实数x．我们把|f（x0）﹣g（x0）|的值称为两函数在x0处的偏差．求证：函数y=f（x）和y=g（x）在其公共定义域的所有偏差都大于2．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；其他不等式的解法．专题：新定义．分析：（Ⅰ）分别求得切点处的导数值，可得方程，进而可得a值，不等式可化为m＜x ﹣，令h（x）=x ﹣，求导数可得函数h（x）在[1，5]上是减函数，从而可得m＜h（5）即可；（Ⅱ）可得a=，进而可得|f（x）﹣g（x）|=|e x﹣lnx|，通过构造函数q（x）=e x﹣x﹣1，可得e x﹣1＞x …①，构造m（x）=lnx﹣x+1，可得lnx+1＜x…②，由①②得e x﹣1＞lnx+1，即e x﹣lnx＞2，还可得e x＞lnx，综合可得结论．解答：解：（Ⅰ）函数y=f（x）的图象与坐标轴的交点为（0，2a+1），又f′（x）=2ae x，∴f′（0）=2a，函数y=g（x）的图象与直线y=1的交点为（2a，1），又g′（x）=，g′（2a）=由题意可知，2a=，即a2=又a＞0，所以a=…（3分）不等式可化为m＜x ﹣f（x）+即m＜x ﹣，令h（x）=x ﹣，则h′（x）=1﹣（）e x，∵x＞0，∴≥，又x＞0时，e x＞1，∴（）e x＞1，故h′（x）＜0∴h（x）在（0，+∞）上是减函数即h（x）在[1，5]上是减函数因此，在对任意的x∈[1，5]，不等式成立，只需m＜h（5）=5﹣，所以实数m的取值范围是（﹣∞，5﹣）…（8分）（Ⅱ）证明：y=f（x）和y=g（x）公共定义域为（0，+∞），由（Ⅰ）可知a=，∴|f（x）﹣g（x）|=|e x﹣lnx|令q（x）=e x﹣x﹣1，则q′（x）=e x﹣1＞0，∴q（x）在（0，+∞）上是增函数故q（x）＞q（0）=0，即e x﹣1＞x …①令m（x）=lnx﹣x+1，则m′（x）=，当x＞1时，m′（x）＜0；当0＜x＜1时，m′（x）＞0，∴m（x）有最大值m（1）=0，因此lnx+1＜x…②由①②得e x﹣1＞lnx+1，即e x﹣lnx＞2又由①得e x＞x+1＞x由②得lnx＜x﹣1＜x，∴e x＞lnx∴|f（x）﹣g（x）|=e x﹣lnx＞2故函数y=f（x）和y=g（x）在其公共定义域的所有偏差都大于2…（13分）点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，以及切线的方程，涉及新定义，属中档题．。

数学参考答案及评分参考 第 1 页（共 8 页）顺义区2020届高三第二次统练数学参考答案及评分参考一、选择题（共10题，每题4分，共40分） （ 1 ）C （ 2 ）B （ 3 ）A （ 4 ）C （ 5 ）D （ 6 ）B（ 7 ）D（ 8 ）B（ 9 ）A（10）D二、填空题（共5题，每题5分，共25分） （11）2（12）1,N n a n n *=+∈（13）sin(2)3y x π=+（14）1a =± （15）②③注：第14题全部答对得5分，只写一个答案得3分,有错误答案得分；第15题全部选对得5分，不选或有错选得分，其他得3分。

三、解答题（共6题，共85分） （16）（共14分）解：选①：在ABC ∆中，1cos 3C =,根据余弦定理2222cos c a b ab C =+- -------------2分且5a b +=，3c =，得到292523abab =--------------- 6分 所以6ab = ------------- 8分所以56a b ab +=⎧⎨=⎩，解得23a b =⎧⎨=⎩或32a b =⎧⎨=⎩-------------10分∵1cos 3C =00数学参考答案及评分参考 第 2 页（共 8 页）∴sin C =-------------12分 所以三角形∆ABC的面积是1sin 2ABC S ab C ∆== -------------14分选②：在ABC ∆中，1cos 3C =-,当1cos 3C =-时，根据余弦定理2222cos c a b ab C =+-. -------------2分又5a b +=，3c =，得到12ab = ------------- 8分此时方程组512a b ab +=⎧⎨=⎩无解. ------------- 12分所以这样的三角形不存在. -------------14分选③：在ABC ∆中，因为sin C =所以1cos 3C =±. -------------2分 当1cos 3C =时，根据余弦定理2222cos c a b ab C =+- -------------4分 且5a b +=，3c =，得到292523abab =--------------- 6分 所以6ab = -------------8分所以56a b ab +=⎧⎨=⎩，解得23a b =⎧⎨=⎩或32a b =⎧⎨=⎩-------------10分所以三角形∆ABC的面积是1sin 2ABC S ab C ∆== -------------12分当1cos 3C =-时，根据余弦定理2222cos c a b ab C =+-,数学参考答案及评分参考 第 3 页（共 8 页）又5a b +=，3c =，得到12ab =,此时方程组512a b ab +=⎧⎨=⎩无解.所以这样的三角形不存在. ------------- 14分③法二：在ABC ∆中，因为2222()2522a b a b c ++≥=>, 根据余弦定理222cos 2a b c C ab+-=,得到cos 0C > ------------- 2分因为sin 3C =所以1cos 3C = -------------4分 根据余弦定理2222cos c a b ab C =+- -------------6分 和5a b +=，3c =，得到6ab = -------------10分所以56a b ab +=⎧⎨=⎩，解得23a b =⎧⎨=⎩或32a b =⎧⎨=⎩-------------12分所以三角形∆ABC的面积是1sin 2ABC S ab C ∆== -------------14分17. （共14分）解：（I ）取BD 中点O ，联结AO ,1C O∴BD AO ⊥，1BD C O ⊥. -------------2分又Q AO ,1C O 1AC O ⊂平面 ∴1BD AC O ⊥平面 . ------------- 4分 又Q 11AC AC O ⊂平面 ∴1BD AC ⊥ ------------- 5分数学参考答案及评分参考 第 4 页（共 8 页）（II ）Q 二面角1A BD C --是直二面角∴190C OA ∠=o ∴1C O AO ⊥∴1,,OA OB OC 两两垂直 -------------6分 ∴以O 为原点，如图建系：∴(0,0,0)O ，(1,0,0)A ，(0,1,0)B ，(0,1,0)D -，1(0,0,1)C又,E F 为中点 ∴11(0,,)22E ，11(,0,)22F∴11(,1,)22DF =u u u r ，31(0,,)22DE =u u u r -------------8分设(,,)n x y z =r是平面DEF 的一个法向量∴1102231022DF n x y z DE n y z ⎧⋅=++=⎪⎪⎨⎪⋅=+=⎪⎩u u u r r u u u r r 令1y =得3,1z x =-= ∴(1,1,3)n =-r-------------11分又Q 1OC ABD ⊥平面 ∴平面ABD 的一个法向量1(0,0,1)OC =u u u u r-------------13分∴111cos ,n OC n OC n OC ⋅=⋅r u u u u rr u u u u r r u u u u r =311-∴平面DEF 与平面ABD 所成的锐二面角余弦值为311-------------14分 18.（本题15分）解：（I ）根据甲班的统计数据可知：甲班每天学习时间在5小时以上的学生频率为0.50.250.050.8++=-------------2分 所以，估计高三年级每天学习时间达到5小时以上的学生人数数学参考答案及评分参考 第 5 页（共 8 页）为6000.8480⨯=人 -------------4分 （II ）甲班级自主学习时长不足4小时的人数为：400.052⨯=人乙班级自主学习时长不足4小时的人数为：400.14⨯=人 -------------6分 X 的可能值为：0,1,234361(0)5C P x C ===,1224363(1)5C C P x C ===,2124361(2)5C C P x C === -------------9分 ∴的分布列为：∴X 的数学期望为()0121555E x =⨯+⨯+⨯= -------------12分(III) D D <甲乙 -------------15分 19.（本题14分）（I ）1a =时，2()x f x e x =-．()2x f x e x '=-（或在这里求的()2x f x e ax '=-也可以）． -------------2分 ∴ 0(0)01f e =-=，0(0)01k f e '==-=． -------------4分 所求切线方程为1y x =+ ---------------5分 （II ）方法一：()2x f x e ax '=-.若2()x f x e x =-在(0,)+∞上单调递增，则对任意(0,)x ∈+∞，都有()0f x '≥-------6分即2x e a x ≤恒成立，等价于min ()2xe a x ≤． ----------------7分设()2x e g x x =，则2(1)()2x e x g x x-'=， ---------------8分 令()0g x '=得1x =数学参考答案及评分参考 第 6 页（共 8 页）当(0,1)x ∈时，()0g x '<，()g x 在(0,1)上单调递减； 当(1,)x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 在(1,)+∞上单调递增，所以函数()g x 的最小值为e(1)2g = ． ------------------11分所以,2e a ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦． ------------------12分方法二：()2x f x e ax '=-．若2()x f x e x =-在(0,)+∞上单调递增，则对任意(0,)x ∈+∞，都有()0f x '≥--------6分 等价于min (())0f x '≥．设()2x h x e ax =-，()2x h x e a '=-．当(0,)x ∈+∞时，1x e > ----------------7分 分类讨论：①当21a ≤，即12a ≤时，()0h x '≥恒成立， 所以()2x h x e ax =-在(0,)x ∈+∞上单调递增， 那么()(0)1h x h ≥=， 所以12a ≤时，满足()0f x '≥． -------------------8分 ②当21a >，即12a >时，令()20x h x e a '=-=，得ln2x a =． 当(0,ln 2)x a ∈时，()0h x '<，()h x 在(0,ln 2)x a ∈上单调递减； 当(ln 2,)x a ∈+∞时，()0h x '>，()h x 在(ln 2,)x a ∈+∞上单调递增；所以函数()h x 的最小值为(ln 2)2(1ln 2)h a a a =- ----------------10分 由2(1ln 2)0a a -≥解得2e a ≤，所以122ea <≤ ． -------------------11分综上：,2e a ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦． --------------------12分（III ） 2个 -------------------14分数学参考答案及评分参考 第 7 页（共 8 页）（I ）由题意得222222c a a b c =⎧⎪=⎨⎪=+⎩解得2,1a b c === ---------------------3分故椭圆C 的方程为22143x y +=． -------------------5分（II ）(1,0)F ，(2,0)A -，直线l 的方程为(1)y k x =-． ------------------6分 由22(1)3412y k x x y =-⎧⎨+=⎩ 得2222(34)84120k x k x k +-+-=. 直线l 过椭圆C 的焦点，显然直线l 椭圆C 相交.设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则2122834k x x k +=+,212241234k x x k-⋅=+ --------------8分 直线AP 的方程为11(2)2y y x x =++，令4x =，得1162M y y x =+； 即116(4,)2y M x +同理：226(4,)2y N x + --------------10分 ∴116(3,)2y FM x =+u u u u r ，226(3,)2y FN x =+u u u r又1212369(2)(2)y y FM FN x x ⋅=+++u u u u r u u u r-------------------11分=121236(1)(1)9(2)(2)k x k x x x -⋅-+++=[]21212121236()192()4k x x x x x x x x -++++++=222222222412836(1)343494121643434k k k k k k k k k --++++-++++ =22229363493634k k k k -⋅+++ =990-=∴以MN 为直径的圆恒过点F . ----------------14分数学参考答案及评分参考 第 8 页（共 8 页）解：（I ）14d =，25d =，32d =． ----------------3分（II ）因为10a >，公比01q <<， 所以 12,,,n a a a L 是递减数列．因此，对1,2,,1i n =-L ，1,i i i i A a B a +==． ----------------5分 于是对1,2,,1i n =-L ，1i i i i i d B A a a +=-=-11(1)i a q q -=-． ----------------7分因此 0i d ≠ 且1i id q d +=（1,2,,2i n =-L ）， 即121,,,n d d d -L 是等比数列． ----------------9分(III) 设d 为121,,,n d d d -⋅⋅⋅的公差，则0d >对12i n -≤≤，因为1i i B B +≥，所以1111i i i i i i i i i i A B d B d B d d B d A ++++=-≤-=--<-=，即1i i A A +< ------------11分 又因为11min{,}i i i A A a ++=，所以11i i i i a A A a ++=<≤．从而121,,,n a a a -L 是递减数列．因此i i A a =（1,2,,1i n =-L ）．----------------12分 又因为111111++B A d a d a ==>，所以1121n B a a a ->>>>L ． 因此1n a B =．所以121n n B B B a -====L ． i i i i n i a A B d a d ==-=-． 因此对1,2,,2i n =-L 都有1+1i i i i a a d d d +-=-=-，即121,,,n a a a -L 是等差数列． ----------------14分。

北京顺义区2020 届高三数学第二次统练测试（文）新人教版doc 高中数学2 23 58.在圆x2 y2 5y 0内，过点$2)作n条弦(n N ),它们的长构成等差数列a n，若a为过该一1 1点最短的弦，a n为过该点最长的弦，且公差d (,)，贝U n的值为5 3( )A. 4B. 5C. 6D. 7第n卷(非选择题共110分)二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.二•填空题(本大题共6个小题，每小题5分,共30分，把答案填在题中横线上9.在总体为N的一批零件中，抽取一个容量为40的样本，若每个零件被抽取的可能性为值为_________ .(1)函数f (x)是奇函数(2)函数f(X)的值域为(1,1)(3)函数f(x)在R上是增函数(4)函数g(x) f (x) b ( b为常数，b R)必有一个零点其中正确结论的序号为 ____________ (把所有正确结论的序号都填上)三.解答题(本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)25%，则N10.已知向量(1,J3)与向量b (1,J3)，贝y a与2b的夹角为11.已知x 、束条件 1 ，贝V z 2x y 的x2, x 012•函数f (x)4cos x, 0 x2，则不等式f(x) 2的解集是13.如图所示，墙上挂有一长为2宽形木板ABCD，它的阴影部分是由5y sinx，x , 的图象和直2 2围成的图形，某人向此板投飞镖，假能击中木板，且击中木板上每一点的为2的矩线y 1设每次都可能性相同，则他击中阴影部分的概率是_________________14 •某同学在研究函数f(x)x|x| 1(x R)时，分别给出下面几个结论:直线l : V kx mm 0与圆O : x 2 y 2 1相切,并与椭圆C 交于不同的两点 A 、B , ( O 为坐标原点)15 .(本小题共12分)已知函数 f(x) sinx cosx , x R .(i)求f()的值；4(n)如果函数g(x) f (x)f ( x)，求函数g(x)的最小正周期和最大值16 .(本小题共13分)甲、乙两位同学参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取 5次,19.(本小题共14分)X 2 V 2血已知：椭圆C ：—221 a b 0过0,1点，离心率e - ab2甲乙 9 7 70 8 1 285 3 0 5I •从甲、乙两人的成绩中各随机抽取一个， 用列举法计算甲的成绩比乙高的概率;n •现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪位学生参加合适？请说明理由17 .(本小题共14分)一个直三棱柱的直观图及三视图如图所示，(其中AB j 的中点)I •求证：C 1D 平面ABRAn .当点F 在棱BB 1上的什么位置时，有 AB, 平GDF ,请证明你的结论『对(2)中确定的点F ，求三棱锥B, GDF 的18 .(本小题共14分) 已知函数 f(x) ln x a(x 1)( a 为常数，i 若x 1时，函数f (x)取得极大值，求实数 a 的D 为面体积.a R )值；n •若不等式f'(x) 2x 在函数定义域上恒成立,(其中f '(x)为f (x)的导函数)求a 的取值范围B1I .求椭圆C 的方程及m 与k 的关系式m f (k)；求直线l 的方程；川•在n •的条件下，求三角形 AOB 的面积. 20 .(本小题共13分)设数列a n 的前n 项和为S n ，点P(S n ,a n )在直线(2 m)x 2my m 2 m 0. I •求证：a n 是等比数列，并求其通项 a n ；n 若数列a n 的公比q f(m)，数列b n 满足b i a 1, b n f(b n1), (nN , n 2),1求证：匸是等差数列，并求bn ；川.设数列q 满足c n b n b n1, T n 为数列c n 的前n 项和，且存在实数T 满足T n T ,(n N )求T 的 最大值.高三数学试题(文科)参考答案及评分标准题号123456 7 8 答案 A C C B A BDB9. 160 ; 10. ;11.33 ; 12. ,、、2 II0, ; 13. 311； 14. 1,2,32(注：14题少解给2 分 讥有错解不给分)三.解答题(本大题共 6小题，共80分)15.(本小题共12分)厂解：(I) f( ) sin—cos_V 2 . 4分4 4 4 2 2(n) g(x) f(x)f ( x) (sin x cosx)[sin( x) cos( x)](sin x cosx)( sinx cosx) __________ 6 分 cos 2 x sin 2 x cos2x _________ 8 分，且满足|OA|,10 ,cos30上，其中m 为常数，且n .设< Ix RiT 2—, g(x)的最小正周期为1 cos2x 1 ,因此，函数g(x)的最大值是1. _______ 12分 16. 解:(本小题共13分) I •由茎叶图知甲乙两同学的成绩分别为：甲: 82 81 79 88 80乙：85 77 83 80 85 2 分记从甲、乙两人的成绩中各随机抽取一个为 (x,y),用列举法表示如下：(82,85) (82,77)(82,83)(82,80)(82,85) (81.85) (81,77)(81,83)(81,80)(81,85) (79.85) (79,77)(79,83)(79,80)(79,85) (88,85) (88,77)(88,83)(88,80)(88,85) (80,85)(80,77)(80,83)(80,80)(80,85) 4 分n •本小题的结论唯一但理由不唯一，只要考生从统计学的角度给出其合理解答即可得分(1)派乙参赛比较合适， _______ 9分. 理由如下: 甲的平均分x 甲 82，乙的平均分x 乙 82，甲乙平均分相同; 又甲的标准差的平方(即方差) S 甲 10 , 乙的标准差的平方(即方差)S 乙 9.6 ,S 甲S 乙 _______11分甲乙平均分相同，但乙的成绩比甲稳定， 派乙去比较合适； ________ 13分 (2)派乙去比较合适，理由如下：1从统计学的角度看，甲获得 85分以上(含85分)的概率P -152乙获得85分以上(含85分)的概率F 2 甲的平均分x 甲 82，乙的平均分x 乙82，平均分相同;甲的成绩比乙高的概率为11 25______ 10分派乙去比较合适•若学生或从得82分以上（含82分）去分析：2甲获得82分以上（含82分）的概率R -,5 3乙获得82分以上（含82分）的概率P 25甲的平均分X 甲82，乙的平均分X 乙82，平均分相同;派乙去比较合适.（同样给此问的分）. 17 .（本小题共14分）证明：由三视图知该多面体为底面为直角三角形的 直三棱柱 ABC A 1B 1C 1 , A 1C 1B 1 —,2分n .当点F 在棱BR 上的中点时，有 ABj 平面C 1DF ____ 7 分证明：连结 DF , AB , DF||AB ，: AA A 1B 1 血, 四边形ABBA 为正方形，AB 1 A B , AB 1 DF ，由i 知 C 1D A,B , DF || GD DAB 1 平面 C 1DF _______ 10 分『设AB 「|DF G , B,G 为三棱锥B C 1DF 的高,1B 1G -,12 分2棱AA平面 ABG ,AA2 ,AC 1 B C 1 1, A 1B 1、2 ；2分i .■ iD+为AB 1的中点，GD AB ,平面A 1B 1C 1GD 平 面 A B 1C 1,GD AA ,AA 伽A ,GD 平面ABBA可求得S C 1DF2，体积V14分42418.(本小题共 14分)解：:f(x)In x a(x 1) 定义域0, ，f'(x)-a 2分xI ( f(x)在 x 1处取得极值，f'(1) 0 a 1 4分f (x) lnx (x 1) f '(x)—1 x1J，令 f '(x)0，解得0 xxxf(x)在0,1上单调递增，在1, 上单调递减,满足在x 1处取得极大值，a 2 2.19 .(本小题共14分)It 2 2解：i .,椭圆C:令占1，过0,1点，b 1, _________________ 1分a bc 、a 2 b 2 ■■、2ea a 2a 2 2, _____ 2 分n .方法1 ：若不等式 f '(x)2x 在函数定义域上恒成立即1a 2x 在0,x 上恒成立,a — 2x 在 0, x上恒成立2x 2 2，“x”当且仅当 12分(不验证“成立扣1分) a 22.14分方法 2 :令 g(x)12x ，xg'(x)务」，易知g(x)在x递减，在■12 递增;g(x)有最小值(即极小值)为g (弓2迁，2 2x2椭圆C 方程为：一 y 21 ；3分2"直线 l : y kx m m 0 与圆 x2y 21 相切，—|m|— 1,m 1 k 2，即 m f (k) . 1 k2V 1 k 28k 2 0，k 2 1，k 1f(k).1 k 2直线I 的方程为:设 A% yj , BXy)，则 x X4km2k 2xi X ，2m 2 2 2k 2 1，|cos 2；10 53 5I又 (X i ,y i )(X 2, y ,) NX , y 』2k 2 1 2k 2y 得 3x 24.2x 2 0， xX24「2T ，x 1x 2-由弦长公式:34 1|AB|4，SAOB21|AB|14分sin I OB : 即B 1(方法2 : A （、、2,0），k oB tan52x 2y 2x ，与 y直线AB 过（、.2,0）点v>，且 cos1联立解得：x 辽，y 辽或x 3 32.23楽），由两点得AB 的方程为：y3n •方法1:y 2x Tkx m消去y 得(2k 21)x 2 14kmx 2m 2 2 0，10分由前面解知：|0A|为三角形的底边，|y B |为三角形的高,,,2迈 c . 1/7； 2^2 2\yB13 ，S AOB|0A|1 y B1223 320 .(本小题共13分)解：解：i •(点 P(S n ，a n )在直线(2 m)x 2my m 20上,(2 m)S n 2mq m 20 * ______ 1 分2T n T 1 C 1 -,要满足T n T 对任意n N 都成立，32 2 T - . T 的最大值为一. 13分1时, a S ,(2 m)a 1 2maia 1(m 2) ma 12时, 由*式知 (2 m)S n 12mq 1 0 ** 两式相减得(2 m)a n 2ms n 12m旦a n 1 m 2a nT )n1m 22m n 1(m^)，又当 n 1时也适合，a n 是等比数列，通项a nn .由1知qf (m)f(b n 1)2bu b n 1 2，1 丄 b n b n 1即丄 b n 1b n 11 b11也适合,1—成等差数列,b n其通项1 b nb n满足c nb n b n(n 1)(n 2)T n 为数列c n 的前n 项和， T n 递增; _____ 11分3 3 -。

PX
0
C20
1 5
2
1 25
高考模拟试卷
第3页共8页
PX
1 C21
41 55
8 25
PX
2
C22
4 5
2
16 25
所以 X 的分布列为：
……………………8 分
X0
1
2
1
8 16
P 25
25
25
………………………………9 分
EX 0 1 1 8 2 16 1.6 ……………………………10 分
4 2 4
3
GB n 12 9 9
直线 GB 与平面 AFG 所成角的正弦值是
3.
9
18.（共 14 分）
解：（1）样本中共有 100 名幼儿，其中认识汉字 40 字以上的有 80 名幼儿，40 汉字以下的
有 20 名幼儿，从中取 2 人，设恰有一名幼儿认识汉字 40 字以上的事件为 A…………2 分
,而
,
.
-----9 分
且
.
,
.------11 分
,
. ------12 分 ,
;
;
------13 分
,且
,
高考模拟试卷
第7页共8页
有
当
时,
当
时,
即 的最小值为
.
注：其他证明方法酌情给分.
. ;
; ------14 分
高考模拟试卷
第8页共8页
（Ⅱ） f (x) (x 1)ex a a (x 0) x
(x 1)(ex a ) x
高考模拟试卷
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①当 2 a 0 时，ex a 0 ，所以，当 x 变化时， f (x) 与 f (x) 的变化情况如下表所示： x

北京顺义区2020届高三数学第二次统练测试（文）新人教版doc高中数学8.在圆2250x y y +-=内，过点35(,)22作n 条弦（n N +∈），它们的长构成等差数列{}n a ，若1a 为过该点最短的弦，n a 为过该点最长的弦，且公差11(,)53d ∈，则n 的值为 （ ）A. 4B. 5C. 6D. 7第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.二.填空题(本大题共6个小题,每小题5分,共30分,把答案填在题中横线上)9. 在总体为N 的一批零件中，抽取一个容量为40的样本，若每个零件被抽取的可能性为25%，则N 的值为_________.10.已知向量(1,3)a =与向量(1,3)b =-，则a 与2b 的夹角为_________.11.已知x 、y 满足约束条件011x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则2z x y =+的最小值为______________.12.函数2,0()4cos ,02x x f x x x π⎧<⎪=⎨≤<⎪⎩，则不等式()2f x >的解集是____________.13.如图所示，墙上挂有一长为2π宽为2的矩形木板ABCD ，它的阴影部分是由sin y x =，5,22x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的图象和直线1y =围成的图形，某人向此板投飞镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每一点的可能性相同，则他击中阴影部分的概率是______________. 14．某同学在研究函数()||1xf x x =+ ()x R ∈时，分别给出下面几个结论：（1）函数()f x 是奇函数 （2）函数()f x 的值域为(1,1)- （3）函数()f x 在R 上是增函数（4）函数()()g x f x b =-（b 为常数，b R ∈）必有一个零点其中正确结论的序号为___________（把所有正确结论的序号都填上）三．解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（本小题共12分）已知函数()sin cos f x x x =+，x R ∈． （Ⅰ）求()4f π的值；（Ⅱ）如果函数()()()g x f x f x =-，求函数()g x 的最小正周期和最大值.16．（本小题共13分）甲、乙两位同学参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取5次，绘制成茎叶图如下Ⅰ.从甲、乙两人的成绩中各随机抽取一个，用列举法计算甲的成绩比乙高的概率；Ⅱ.现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪位学生参加合适？请说明理由. 17．（本小题共14分）一个直三棱柱的直观图及三视图如图所示，（其中D 为11A B 的中点）Ⅰ.求证：1C D ⊥平面11ABB AⅡ.当点F 在棱1BB 上的什么位置时，有1AB ⊥平面1C DF ， 请证明你的结论Ⅲ.对（2）中确定的点F ，求三棱锥11B C DF -的体积．18．（本小题共14分）已知函数()ln (1)f x x a x =+- （a 为常数，a R ∈） Ⅰ若1x =时，函数()f x 取得极大值，求实数a 的值；Ⅱ.若不等式'()2f x x ≥-在函数定义域上恒成立，（其中'()f x 为()f x 的导函数）求a 的取值范围. 19. （本小题共14分）已知：椭圆2222:1x y C a b += ()0a b >> 过()0,1点，离心率2e =；直线:l y kx m =+()0m >与圆O :221x y +=相切,并与椭圆C 交于不同的两点A 、B ,（O 为坐标原点）.?????????21112D C 1B 1A 1BCAⅠ.求椭圆C 的方程及m 与k 的关系式()m f k =；Ⅱ.设,OA OB <>θ=，且满足||2OA =，10||OB =，cos θ= 求直线l 的方程；Ⅲ.在Ⅱ.的条件下，求三角形AOB 的面积. 20．（本小题共13分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,)n n P S a 在直线(2)220m x my m -+--=上，其中m 为常数，且0m >.Ⅰ.求证：{}n a 是等比数列，并求其通项n a ；Ⅱ若数列{}n a 的公比()q f m =，数列{}n b 满足11b a =，1()n n b f b -=,(n N +∈， 2n ≥），求证：1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，并求n b ; Ⅲ.设数列{}n c 满足1n n n c b b +=，n T 为数列{}n c 的前n 项和，且存在实数T 满足n T T ≥，()n N +∈求T 的最大值.高三数学试题（文科）参考答案及评分标准9．160 ；10.3π; 11. 3- ；12.(,0,3π⎡⎫-∞⎪⎢⎣⎭；13．12；14．()()()1,2,3; （注：14题少解给2分，有错解不给分）三．解答题（本大题共6小题，共80分） 15. （本小题共12分）解：（Ⅰ）()sincos44422f πππ=+=+=_______4分 （Ⅱ）()()()(sin cos )[sin()cos()]g x f x f x x x x x =-=+-+- (sin cos )(sin cos )x x x x =+-+_______6分22cos sin cos 2x x x =-= _______8分x R ∈22T ππ==，()g x 的最小正周期为π．_______10分 1cos 21x ∴-≤≤，因此，函数()g x 的最大值是1．_______12分 16．（本小题共13分）解： Ⅰ.由茎叶图知甲乙两同学的成绩分别为： 甲：82 81 79 88 80乙：85 77 83 80 85 ______2分 记从甲、乙两人的成绩中各随机抽取一个为(,)x y ， 用列举法表示如下：(82,85)(82,77)(82,83)(82,80)(82,85)(81,85)(81,77)(81,83)(81,80)(81,85)(79,85)(79,77)(79,83)(79,80)(79,85) (88,85)(88,77)(88,83)(88,80)(88,85)(80,85)(80,77)(80,83)(80,80)(80,85) ______4分∴甲的成绩比乙高的概率为1125______7分 Ⅱ.本小题的结论唯一但理由不唯一，只要考生从统计学的角度给出其合理解答即可得分. （1）派乙参赛比较合适， ______9分 . 理由如下： 甲的平均分82x =甲，乙的平均分82x =乙，甲乙平均分相同；又甲的标准差的平方（即方差）210S =甲，乙的标准差的平方（即方差）29.6S =乙， 22S S >乙甲______11分 甲乙平均分相同，但乙的成绩比甲稳定，∴派乙去比较合适；______13分（2）派乙去比较合适，理由如下：从统计学的角度看，甲获得85分以上（含85分）的概率115P = 乙获得85分以上（含85分）的概率225P =， 甲的平均分82x =甲，乙的平均分82x =乙，平均分相同；∴派乙去比较合适.若学生或从得82分以上(含82分)去分析：甲获得82分以上（含82分）的概率125P =, 乙获得82分以上（含82分）的概率235P =，甲的平均分82x =甲，乙的平均分82x =乙，平均分相同； ∴派乙去比较合适.（同样给此问的分）. 17．（本小题共14分）证明：由三视图知该多面体为底面为直角三角形的 直三棱柱111ABC A B C -，1112AC B π∠=，棱1AA ⊥平面111A B C，1AA =，11111AC B C ==，11A B =；______2分 Ⅰ.D 为11A B 的中点，∴111C D A B ⊥，1AA ⊥平面111A B C1C D ⊂平面111A B C ，∴11C D AA ⊥，1111AA A B A =，∴1C D ⊥平面11ABB A______5分Ⅱ. 当点F 在棱1BB 上的中点时，有1AB ⊥平面1C DF ______7分证明：连结DF ，1A B ，∴1||DF A B，111AA A B ==，∴四边形11ABB A 为正方形，∴11AB A B ⊥，∴1AB DF ⊥，由Ⅰ知11C D A B ⊥，1DF C D D =∴1AB ⊥平面1C DF ______10分Ⅲ.设1AB DF G =，1B G 为三棱锥11B C DF -的高，112B G =，______12分 ?????????21112D C 1B 1A 1BCA可求得 14C DFS=，体积24V =.______14分 18.（本小题共14分） 解：()ln (1)f x x a x =+-∴定义域()0,+∞，1'()f x a x=+______2分 Ⅰ()f x 在1x =处取得极值，∴'(1)0f =∴1a =-______4分()ln (1)f x x x =-- 11'()1x f x x x-=-=-，令'()0f x >，解得01x << ∴()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，满足在1x =处取得极大值，∴1a =-.______7分Ⅱ. 方法1：若不等式'()2f x x ≥-在函数定义域上恒成立______9分 即12a x x +≥-在()0,+∞上恒成立，12a x x -≤+在()0,+∞上恒成立12x x +≥“=”当且仅当2x =时取到，______12分 （不验证“=”成立扣1分）∴a ≥-.______14分方法2：令1()2g x x x =+ ，222121'()2x g x x x -=-+=，易知()g x 在0,2⎛ ⎝⎭递减，在,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭递增；∴()g x 有最小值（即极小值）为2g =， ∴a -≤∴a ≥-.19．（本小题共14分）解：Ⅰ.椭圆2222:1x y C a b +=，过()0,1点，∴1b =，______1分2c e a a ===∴22a =，______2分∴椭圆C 方程为：2212x y +=；______3分 直线:l y kx m =+()0m >与圆221x y +=相切，∴1=，m =，即()m f k == ______5分Ⅱ.方法1：2212y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得222(21)4220k x kmx m +++-=， 280k =>，∴0k ≠ ______6分设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则122421km x x k -+=+，21222221m x x k -⋅=+，2||||cos 3OA OB OA OB θ⋅=⋅==又211221212212(,)(,)213k OA OB x y x y x x y y k +⋅==+=⋅⋅⋅==+ ______8分21k =，1k =±；∴()m f k ===直线l的方程为：y x =+或y x =-+ ______10分Ⅲ.由Ⅱ.知1k =±；m =消去y得2320x ±+=，123x x +=，1223x x =由弦长公式：4||3AB =，∴121||23AOBS AB =⋅⋅= ______14分 方法2：||2OA =∴(A ∴直线AB过(点 ＜,OA OB ＞θ=，且cos 5θ=∴sin θ=，tan 2OB k θ==± ∴OB l ：2y x =±，与2212x y +=联立解得：x =，y =x =y =即1(33B -，2,33B -，由两点得AB的方程为：y x =±，由前面解知：||OA 为三角形的底边，||B y 为三角形的高，||3B y =，112||||2233AOBB S OA y === 20．（本小题共13分） 解：解：Ⅰ.点(,)n n P S a 在直线 (2)220m x my m -+--=上，∴(2)220n n m S ma m -+--= * ______1分当1n =时，11a S =，∴11(2)220m a ma m -+--=，∴1(2)2a m m +=+∴11a =， ______2分当2n ≥时，由*式知11(2)220n n m S ma m ---+--=**，两式相减得1(2)2n n m a ma -+=0m >∴122n n a m a m -=+ ，∴ 11122()()22n n n m m a a m m --==++， 又当1n =时也适合，∴{}n a 是等比数列，通项12()2n n m a m -=+；____5分 Ⅱ.由Ⅰ知2()2m q f m m ==+， ∴1112()2n n n n b b f b b ---==+ ，∴11112n n b b -=+ 即11112n n b b --=，又111b =也适合，∴1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭成等差数列，______7分 其通项112n n b +=， ∴21n b n =+ ______9分 Ⅲ.{}n c 满足140(1)(2)n n n c b b n n +=⋅=>++n T 为数列{}n c 的前n 项和，∴n T 递增；______11分 ∴1123n T T C ≥==，要满足n T T ≥对任意n N +∈都成立， ∴23T ≤ . ∴T 的最大值为23. ______13分。

1 2024年北京市顺义区高三二模数学试卷本试卷共9页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合 题目要求的一项。

1. 设集合{}24U x x =∈≤Z ，{}1,2A =，则U C A =A.[2,0]−B.{}0C.{}2,1−−D.{}2,1,0−−2. 已知复数z 的共轭复数z 满足(1i)2i z +⋅=，则z z ⋅=B.1C.2D.43. 在5(21)x −的展开式中，4x 的系数为A.80−B.40−C.40D.804. 已知4log 2a =，e 1()2b =，12πc =，则A.a b c >>B.b a c >>C.c b a >>D.c a b >>5. 已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，1lg lg lg 2n n n a a ++=，*n ∈N ， 则9S =A.511B.61C.41D.96. 已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，P 为C 上一点，直线PF 与l 相交于点Q ，与y 轴交于点M . 若F 为PQ 的中点，则||PM =A.4B.6C. D.827. 若函数1,0()0, 01,0x x f x x x x −< == +>，则“120x x +>”是“12()()0f x f x +>”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8. 如图，正方体1111ABCD A B C D −中，P 是线段1BC 上的动点，有下列四个说法： ①存在点P ，使得1//D P 平面1A DB ；②对于任意点P ，四棱锥11P A ADD −体积为定值；③存在点P ，使得1A P ⊥平面1C DB ；④对于任意点P ，1A DP △都是锐角三角形，其中，不正确．．．的是A.①B.②C.③D.④9. 已知在平面内，圆22:1O x y +=，点P 为圆外一点，满足||2PO =，过点P 作圆O 的两条切线，切点分别为,A B . 若圆O 上存在异于,A B 的点M ，使得2(1)PM PA PB λλ=+− ，则λ的值是A.23B.12C.14D.12−10. 设1237,,,a a a a 是1,2,3,,7 的一个排列. 且满足122367||||||a a a a a a −≥−≥≥− ， 则122367||||||a a a a a a −+−++− 的最大值是A.23B.21C.20D.183第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

2020届北京市顺义区中考数学二模试卷一、选择题（本大题共8小题，共16.0分）1.直四棱柱、长方体和正方体之间的包含关系是()A. B.C. D.2.实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，则化简√a2−|a+b|的结果为()A. bB. −2a+bC. 2a+bD. 2a−b3.2014年5月21日，中国石油天然气集团公司与俄罗斯天然气工业股份公司在上海签署了《中俄东线供气购销合同》，这份有效期为30年的合同规定，从2018年开始供气，每年的天然气供应量为380亿立方米，380亿立方米用科学记数法表示为()A. 3.80×1010m3B. 38×109m3C. 380×108m3D. 3.8×1011m34.如图，四边形ABCD中，点M，N分别在AB，BC上，将△BMN沿MN翻折，得△FMN，若MF//AD，FN//DC，则∠B=()A. 60°B. 70°C. 80°D. 90°5.为响应承办绿色世博的号召，某班组织部分同学义务植树180棵．由于同学们积极参加，实际参加植树的人数比原计划增加了50%，结果每人比原计划少植了2棵树．若设原来有x人参加这次植树活动，则下列方程正确的是()A. 180(1+50%)x =180x−2 B. 180(1−50%)x=180x−2C. 180(1+50%)x =180x+2 D. 180(1−50%)x=180x+26.在“绿水青山就是金山银山”这句话中任选一个汉字，这个字是“山”的概率为()A. 310B. 110C. 19D. 187.下列式子中，正确的是()A. a⃗−b⃗ =0B. a⃗−b⃗ =b⃗ −a⃗C. 如果a⃗=b⃗ ，那么|a⃗|=|b⃗ |D. 如果|a⃗|=|b⃗ |，那么a⃗=b⃗ ．8.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+mc(a≠0)的图象经过正方形ABOC的三个顶点，且ac=−2，则m的值为()A. 1B. −1C. 2D. −2二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）9.在实数范围内式子1√x−5有意义，则x的范围是______．10.−8的立方根是______，√36的平方根是______．11.若代数式x2+3x+2可以表示为(x−1)2+a(x−1)+b的形式，则a+b的值是______．12.已知命题“全等三角形的面积相等．”写出它的逆命题______，该逆命题是______命题(填“真”或“假”)．13.小张将自己家里1到6月份的用电量统计并绘制成了如图所示的折线统计图，则小张家1到6月份这6个月用电量的众数与中位数的和是______度．14.如图，将矩形ABCD绕点B顺时针旋转90°得矩形BEFG，若AB=3，BC=2，则图中阴影部分的面积为______．15.如图，△ABC中，AD是中线，AE是角平分线，CF⊥AE于F，AB=5，AC=2，则DF的长为_______．16.如图，在▱ABCD中，∠A的平分线交BC于点E.若AB=3，AD=8，则EC=______．三、计算题（本大题共1小题，共5.0分）17.计算：(1)计算：(−3)0−√12+1√273+(√3−√2)(√3+√2)．(2)√8×√12四、解答题（本大题共11小题，共63.0分）18.某汽车租赁公司要购买轿车和面包车共10辆，轿车每辆7万元，面包车每辆4万元，其中轿车至少要购买3辆，公司可投入的购车款不超过55万元．符合公司要求的购买方案有几种？请说明理由．19.如图，BD是菱形ABCD的对角线，∠A=30°．(1)请用尺规作图法，作AB的垂直平分线EF，垂足为E，交AD于F；(不要求写作法，保留作图痕迹)(2)在(1)的条件下，连接BF，求∠DBF的度数．20.对于关于x的方程x2+(2m−1)x+4−2m=0，求满足下列条件的m的取值范围，(1)两个正根；(2)有两个负根；(3)两个根都小于−1；(4)两个根都大于1；2(5)一个根大于2，一个根小于2；(6)两个根都在(0,2)内；(7)两个根有且仅有一个在(0,2)内；(8)一个根在(−2,0)内，另一个根在(1,3)内；(9)一个正根，一个负根且正根绝对值较大；(10)一个根小于2，一个根大于4．21.已知，等腰△ABC，AB=AC(1)如图1，BM是△ABC的中线，点N在BM上，且∠ANM=∠MBC，求证：BC=AN；(2)如图2，点G为外一点，∠BGC=∠BAC，AH⊥BG于H，若BH=7，HG=1，求线段CG的长；(3)如图3，等腰△ABC和等腰△ADE共顶点A，AD=AE，顶角∠DAE=∠BAC，点F是线段BE和CD的交点，连AF，请写出∠AFC与∠ADE之间的等量关系，并证明你的结论．22.如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O直径，E是CB延长线上一点，且∠BAE=∠C．(1)求证：直线AE是⊙O的切线；(2)若∠BAE=30°，⊙O的半径为2，求阴影部份的面积；(3)若EB=AB，cosE=4，AE=24，求EB的长及⊙O的半径．523.在面积都相等的所有矩形中，当其中一个矩形的一条边长为1时，它的另一边长为3(1)设另一条矩形的相邻两边分别为x、y①求y与x的函数关系式；②当y≥3时，求x的取值范围；(2)小明说其中有一个矩形的周长是6，小李说有一个矩形的周长为10，你认为小明和小李的说法对吗？为什么？24.小明要统计小区500户居民每月丢弃塑料袋的数量情况，他随机调查了其中40户居民，按每月丢弃的塑料袋的数量分组进行统计，并绘制了如下的频数分布表和频数分布直方图：每月丢塑料袋个频数频率组别数第1组10至1920.05第2组20至2940.10第3组30至39______ 0.15第4组40至49100.25第5组50至59______ ______第6组60以上20.05合计40 1.00根据以上提供的信息，解答下列问题：(1)补全频数分布表和频数分布直方图；(2)请你估算该小区每月丢弃塑料袋的数不少于40个的户数大约有多少户？25.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CA=12√3cm，BC=12cm；动点P从点C开始沿CA以2√3cm/s的速度向点A移动，动点Q从点A开始沿AB以4cm/s的速度向点B移动，动点R从点B开始沿BC以2cm/s的速度向点C移动．如果P、Q、R分别从C、A、B同时移动，移动时间为t(0<t<6)s．(1)∠CAB的度数是______；(2)以CB为直径的⊙O与AB交于点M，当t为何值时，PM与⊙O相切？(3)写出△PQR的面积S随动点移动时间t的函数关系式，并求S的最小值及相应的t值；(4)是否存在△APQ为等腰三角形？若存在，求出相应的t值；若不存在请说明理由．26.已知抛物线y=x2−2x−8．(1)求：该抛物线的对称轴和顶点坐标；(2)若该抛物线与x轴的两个交点为A，B，且它的顶点为P，求△ABP的面积．27.如图1，点C将线段AB分成两部分，如果ACAB =BCAC，那么称点C为线段AB的黄金分割点，某教学兴趣小组在进行研究时，由“黄金分割点”联想到“黄金分割线”，类似的给出“黄金分割线”的定义：“一直线将一个面积为S 的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S 1，S 2，如果S 1S =S2S 1，那么称这条直线为该图形的黄金分割线． (1)如图2，在△ABC 中，∠A =36°，AB =AC ，∠C 的平分线交AB 于点D ，请问直线CD 是不是△ABC的黄金分割线，并证明你的结论；(2)如图3，在边长为1的正方形ABCD 中，点E 是边BC 上一点，若直线AE 是正方形ABCD 的黄金分割线，求BE 的长．28. 我们知道：点A 、B 在数轴上分别表示有理数a 、b ，如图A 、B 两点之间的距离表示为AB ，记作AB =|a −b|.回答下列问题：(1)数轴上表示2和5两点之间的距离是______，数轴上表示2和−3的两点之间的距离是______；(2)已知|a −3|=7，则有理数a =______；(3)若数轴上表示数b 的点位于−4与3的两点之间，则|b −3|+|b +4|=______．【答案与解析】1.答案：A解析：本题考查了直四棱柱、长方体、正方体之间的关系，正方体是特殊的长方体，长方体是特殊的直四棱柱，所以它们的包含关系是直四棱柱包含长方体，长方体包含正方体，本题是一道较为简单的题目．2.答案：A解析：此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出各项符号是解题关键．直接利用数轴得出a<0，a+b<0，进而化简得出答案．解：原式=−a−[−(a+b)]=−a+a+b=b．故选：A．3.答案：A解析：解：将380亿立方米用科学记数法表示为：3.80×1010m3．故选：A．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4.答案：C解析：解：∵MF//AD，FN//DC，∠A=110°，∠C=90°，∴∠FMB=110°，∠FNB=∠C=90°，∵△BMN沿MN翻折，得△FMN，∴△BMN≌△FMN，∴∠BMN=∠FMN=12∠FMB=12×110°=55°，∠BNM=∠FNM=12∠FNM=45°，∠B=180°−∠BMN−∠BNM=80°，故选：C．根据平行线性质求出∠BMF和∠BNF，根据旋转得出全等，根据全等三角形性质得出∠BMN=∠FMN=12∠FMB=55°，∠BNM=∠FNM=12∠FNM=45°，根据三角形内角和定理求出即可．本题考查了平行线性质，全等三角形性质，翻折变换，三角形内角和定理的应用，关键是求出∠BMN 和∠BNM的度数．5.答案：A解析：解：设原来有x人参加这次植树活动，根据题意可得：180 (1+50%)x =180x−2．故选：A．利用植树的总棵数除以人数得出平均植树的棵树进而得出等式即可．此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，正确得出等量关系是解题关键．6.答案：A解析：本题考查了概率公式：随机事件A的概率P(A)=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．直接利用概率公式求解即可．解：∵在“绿水青山就是金山银山”这10个字中，“山”字有3个，∴这句话中任选一个汉字，这个字是“山”的概率是310．故选A．7.答案：C解析：解：A、a⃗−b⃗ ≠0，故本选项错误；B、a⃗−b⃗ =−(b⃗ −a⃗ )，故本选项错误；C、如果a⃗=b⃗ ，那么|a⃗|=|b⃗ |，故本选项正确；D、如果|a⃗|=|b⃗ |，那么a⃗不一定等于b⃗ ；故本选项错误．故选：C．根据平面向量模的定义，即可求得答案．此题考查了平面向量的知识．注意掌握向量模的定义．8.答案：A解析：解：令x=0，得A点坐标(0,mc)，因为四边形ABOC为正方形，知∠AOC=45°，所以c点坐标为：(mc2,mc2)，代入得：mc2=a×m2c24+mc，左右两边都除以14mc得：amc+2=0，又有ac=−2，∴m=1．故选：A．主要考正方形性质，把c点坐标求出来代入二次函数y=ax2+mc中就可以求出m了．本题结合了二次函数方程考查正方形性质，要学会综合运用．9.答案：x>5解析：解：根据题意得：x−5>0，解得，x>5．故答案是：x>5．根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．此题主要考查了二次根式和分式有意义的条件，关键是掌握二次根式的被开方数是非负数，分式有意义分母不等于0．10.答案：−2±√6解析：解：−8的立方根为−2，∵√36=6，∴6的平方根为：±√6，故答案为：−2，±√6，根据立方根与平方根的定义即可求出答案．本题考查立方根与平方根，解题的关键是正确理解立方根与平方根的定义，本题属于基础题型．11.答案：11解析：利用x2+3x+2=(x−1)2+a(x−1)+b，将原式进行化简，得出a，b的值，进而得出答案．此题主要考查了整式的混合运算与化简，根据已知得出x2+3x+2=x2+(a−2)x+(b−a+1)是解题关键．解：∵x2+3x+2=(x−1)2+a(x−1)+b=x2+(a−2)x+(b−a+1)，。