2020-2021北京市东城区八年级上学期期末数学试题

2021-2022学年北京市东城区景山学校八年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1.下列标志中，只是中心对称图形，不是轴对称图形的是()A. B. C. D.2.用配方法解方程x2+2x−3=0，下列配方结果正确的是()A. (x−1)2=2B. (x−1)2=4C. (x+1)2=2D. (x+1)2=4,y1)，B(1,y2)，则下列说法正确的是() 3.一次函数y=−x+4的图象上有两点A(−12A. y1≤y2B. y1>y2C. y1≥y2D. y1<y24.在如图4×4的正方形网格中，△MNP绕某点旋转一定的角度，得到△M1N1P1，则其旋转中心可能是()A. 点AB. 点BC. 点CD. 点D5.某市严格落实国家节水政策，2018年用水总量为6.5亿立方米，2020年用水总量为5.265亿立方米．设该市用水总量的年平均降低率是x，那么x满足的方程是()A. 6.5(1−x)2=5.265B. 6.5(1+x)2=5.265C. 5.265(1−x)2=6.5D. 5.265(1+x)2=6.56.在爱心一日捐活动中，我校八年级50名学生参与献爱心，捐款情况如下表，则50名学生捐款金额的中位数，众数分别是()金额/元50100150200300人数4181486A. 100，100B. 100，150C. 150，100D. 150，1507.如图，将长方形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为∠α(0°<∠α<90°).若∠1=112°，则∠α的大小是()A. 68°B. 20°C. 28°D. 22°8.如图，点O为矩形ABCD的对称中心，AD>AB，点E从点B出发(不含点B)沿BC向点C运动，移动到点C停止，延长EO交AD于点F，则四边形BEDF形状的变化依次为()A. 平行四边形→菱形→正方形→矩形B. 平行四边形→正方形→菱形→矩形C. 平行四边形→菱形→平行四边形→矩形D. 平行四边形→正方形→平行四边形一矩形二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）9.请写出一个图象经过第一、第三象限的一次函数关系式______.(写出一个即可)．10.菱形的两条对角线长分别是方程x2−7x+12=0的两实根，则菱形的面积为______ ．11.已知a是x2+x−2=0的根，则代数式2a2+2a+3的值为______．12.关于x的一元二次方程(m−3)x2+(2m−1)x+m2−9=0的一个根是0，则m的值是______．13.如图所示，把一个直角三角尺ACB绕着30°角的顶点B顺时针旋转，使得点A落在CB的延长线上的点E处，则∠BDC的度数为______度．14.为庆祝中国共产党建党100周年，某高校组织党史知识竞赛．根据小明、小刚5次预赛成绩绘制成统计图．下面有三个推断：①与小刚相比，小明5次成绩的极差大；②与小刚相比，小明5次成绩的方差小；③与小刚相比，小明的成绩比较稳定．其中，所有合理推断的序号是______．15.已知A(2,1)，B(2,4).若直线l：y=x+b与线段AB有一个交点，则b的取值范围为______．16.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，点D为BC中点，且以D为一个顶点作正方形DEFG，且DE=BC，连接AE，将正方形DEFG绕点D旋转一周，在整个旋转过程中，AE的最大值为______．三、解答题（本大题共12小题，共96.0分）17.解方程：(1)x−2=x(x−2)；(2)2x2−7x+6=0．18.下面是小东设计的“作矩形”的尺规作图过程已知：Rt△ABC中，∠ABC=90°．求作：矩形ABCD．作法：如图，①作线段AC的垂直平分线交AC于点O；②连接BO并延长，在延长线上截取OD=OB③连接AD，CD所以四边形ABCD即为所求作的矩形根据小东设计的尺规作图过程，(1)使用直尺和圆规，补全图形；(保留作图痕迹)(2)完成下面的证明．证明：∵OA=______，OD=OB，∴四边形ABCD是平行四边形(______)(填推理的依据)．∵∠ABC=90°，四边形ABCD是矩形(______)(填推理的依据)19.已知：在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(5,4)，B(0,3)，C(2,1)．(1)画出△ABC关于原点成中心对称的△A1B1C1，并写出点C1的坐标；(2)画出将A1B1C1绕点C1按顺时针旋转90°所得的△A2B2C1．20.已知关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2=0有两个不相等的实数根．(1)求m的取值范围；(2)若该方程的两个根都是整数，写出一个符合条件的m的值，并求此时方程的根．21.疫情结束后，某景区推出销售纪念品活动，已知纪念品每件的进货价为30元，经市场调研发现，当该纪念品的销售单价为40元时，每天可销售280件；当销售单价每增加1元，每天的销售数量将减少10件．(销售利润=(销售单价−成本价)×销售数量)(1)若该商品的销售单价为43元，则当天的销售量是______件，当天销售利润是______元；(2)求销售单价增加多少元时，该商品的当天销售利润是3450元．22.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG//EF．(1)求证：四边形OEFG是矩形；(2)若AD=10，EF=4，求OE和BG的长．23.在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象由函数y=x的图象向下平移1个单位长度得到．(1)求这个一次函数的解析式；(2)当x>−2时，对于x的每一个值，函数y=mx(m≠0)的值大于一次函数y=kx+b的值，直接写出m的取值范围．24.第24届冬季奥林匹克运动会，又称2022年北京冬奥会，将于2022年2月4日至2月20日，在北京市和张家口市同时举行，为了调查同学们对冬奥知识的了解情况，小冬从初中三个年级各随机抽取10人，进行了相关测试，获得了他们的成绩(单位：分)，并对数据(成绩)进行了整理、描述和分析，下面给出了相关信息：a.30名同学冬奥知识测试成绩的统计图如下：b.30名同学冬奥知识测试成绩的频数分布直方图如下(数据分成6组：40≤x<50，50≤x<60，60≤x<70，70≤x<80，80≤x<90，90≤x<100)．c.测试成绩在70≤x<80这一组的是：7073747475757778．d.小明的冬奥知识测试成绩为78分．根据以上信息，回答下列问题：(1)小明的测试成绩在抽取的30名同学的成绩中从高到低排名第______；(2)抽取的30名同学的成绩的中位数为______；(3)序号(见图1横轴)为1−10的学生是七年级的，他们的成绩的方差记为s12；序号为11−20的学生是八年级的，他们的成绩的方差记为s22；序号为21−30的学生是九年级的，他们的成绩的方差记为s32.直接写出s12，s22，s32中最小的是______；(4)成绩80分及以上记为优秀，若该校初中三个年级1500名同学都参加测试，估计成绩优秀的同学约为______人．25.关于x的一元二次方程x2+bx+c=0经过适当变形，可以写成(x−m)(x−n)=p(m≤n)的形式．现列表探究x2−6x−7=0的变形：回答下列问题：(1)表格中t的值为______；(2)观察上述探究过程，表格中m与n满足的等量关系为______；(3)记x2+bx+c=0的两个变形为(x−m1)(x−n1)=p1和(x−m2)(x−n2)=p2(p1≠p2)，求n1−n2的值．m1−m226.定义：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根为x1，x2(x1<x2)，分别以x1，x2为横坐标和纵坐标得到点M(x1,x2)，则称点M为该一元二次方程的衍生点．(1)若方程为x2−2x=0，求出该方程的衍生点M的坐标；(2)若关于x的一元二次方程x2−(2m+1)x+2m=0(m<0)的衍生点为M，过点M向x轴和y轴作垂线，两条垂线与坐标轴恰好围成一个正方形，求m的值；(3)是否存在b，c，使得不论k(k≠0)为何值，关于x的方程x2+bx+c=0的衍生点M始终在直线y=kx+1的图象上，若有请直接写出b，c的值，若没有说明理由．27.已知点P为线段AB上一点，将线段AP绕点A逆时针旋转60°，得到线段AC；再将线段BP绕点B逆时针旋转120°，得到线段BD；连接AD，取AD中点M，连接BM，CM．(1)如图1，当点P在线段CM上时，求证：PM//BD；(2)如图2，当点P不在线段CM上，写出线段BM与CM的数量关系与位置关系，并证明．28.在平面直角坐标系xOy中，对于直线l及点P给出如下定义：过点P作y轴的垂线交直线l于点Q，若PQ≤1，则称点P为直线l的关联点，当PQ=1时，称点P为直线l的最佳关联点，当点P与点Q重合时，记PQ=0．例如，点P(1,2)是直线y=x的最佳关联点．根据阅读材料，解决下列问题．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l1：y=−x+3，l2：y=2x+b．,1)，C(2,3)，上述各点是直线l1的关联点是______ ；(1)已知点A(0,4)，B(32(2)若点D(−1,m)是直线l1的最佳关联点，则m的值是______ ；(3)点E在x轴的正半轴上，以OA、OE为边作正方形AOEF.若直线l2与正方形AOEF相交，且交点中至少有一个是直线l1的关联点，则b的取值范围是______ ．答案和解析1.【答案】A【解析】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确；B、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；C、是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项错误；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；故选：A．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．2.【答案】D【解析】【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．配方法的一般步骤：(1)把常数项移到等号的右边；(2)把二次项的系数化为1；(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方．【解答】解：∵x2+2x−3=0∴x2+2x=3∴x2+2x+1=1+3∴(x+1)2=4故选：D．3.【答案】B【解析】解：∵k=−1<0，∴y随x的增大而减小，又∵点A(−12,y1)，B(1,y2)均在一次函数y=−x+4的图象上，且−12<1，∴y1>y2．故选：B．由k=−1<0，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而减小，结合−12<1，即可得出y1>y2．本题考查了一次函数的性质，牢记“k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x的增大而减小”是解题的关键．4.【答案】B【解析】【分析】本题考查了学生的理解能力和观察图形的能力，重点掌握旋转的性质，注意：旋转时，对应顶点到旋转中心的距离应相等且旋转角也相等，对称中心在连接对应点线段的垂直平分线上．连接PP1、NN1、MM1，分别作PP1、NN1、MM1的垂直平分线，看看三线都过哪个点，那个点就是旋转中心．【解答】解：∵△MNP绕某点旋转一定的角度，得到△M1N1P1，∴连接PP1、NN1、MM1，作PP1的垂直平分线过B、D、C，作NN1的垂直平分线过B、A，作MM1的垂直平分线过B，∴三条线段的垂直平分线正好都过B，即旋转中心是B．故选：B．5.【答案】A【解析】解：设该市用水总量的年平均降低率是x，则2019年的用水量为6.5(1−x)，2020年的用水量为6.5(1−x)2，故选：A．首先根据降低率表示出2019年的用水量，然后表示出2020年的用水量，令其等5.265即可列出方程．本题考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a(1±x)2=b．6.【答案】C【解析】解：由表知，这组数据的第25、26个数据分别为150、150，=150，众数为100，所以其中位数为150+1502故选：C．根据中位数和众数的定义求解即可．本题主要考查众数和中位数，解题的关键是掌握众数与中位数的定义．7.【答案】D【解析】【分析】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．先根据长方形的定义得∠BAD=∠ABC=∠ADC=90°，再根据旋转的性质得∠BAB′=∠α，∠B′AD′=∠BAD=90°，∠AD′C′=∠ADC=90°，然后根据两个三角形的内角和得到∠3=68°，再利用互余即可得到∠α的大小．【解答】解：∵四边形ABCD为长方形，∴∠BAD=∠ABC=∠ADC=90°，∵长方形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为∠α，∴∠BAB′=∠α，∠B′AD′=∠BAD=90°，∠AD′C′=∠ADC=90°，∵∠2=∠1=112°，连接BD′，而∠ABC=∠AD′C′=90°，∴∠3=180°+180°−∠2−∠ABD′−∠CBD′−∠AD′B−∠C′D′B=360°−90°−90°−112°=68°，∴∠BAB′=90°−68°=22°，即∠α=22°．故选：D．8.【答案】C【解析】解：连接BD．∵点O为矩形ABCD的对称中心，∴BD经过点O，OD=OB，∵AD//BC，∴∠FDO=∠EBO，在△DFO和△BEO中，{∠FDO=∠EBO OD=OB∠DOF=∠BOE，∴△DFO≌△BEO(ASA)，∴DF=BE，∵DF//BE，∴四边形BEDF是平行四边形，观察图形可知，四边形AECF形状的变化依次为平行四边形→菱形→平行四边形→矩形．故选：C．根据对称中心的定义，根据矩形的性质，全等三角形的判定和性质，可得四边形AECF形状的变化情况．考查了中心对称，矩形的性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定，根据EF与AC的位置关系即可求解．9.【答案】y=x【解析】解：∵一次函数的图象经过第一、三象限，∴所填函数x的系数大于0，常数项为0．如：y=x(答案不唯一)．一次函数的图象经过第一、三象限，则x的系数大于0，常数项为0，据此写出一次函数．本题考查的知识点为：一次函数图象经过第一、三象限，说明函数为增函数．10.【答案】6【解析】解：设菱形的两条对角线长分别是a、b，∵菱形的两条对角线长分别是方程x2−7x+12=0的两实根，∴ab=12，ab=6．∴菱形的面积=12故答案为6．设菱形的两条对角线长分别是a、b，根据一元二次方程根与系数的关系得出ab=12，再根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半即可求解．本题考查了菱形的性质，一元二次方程根与系数的关系，掌握菱形的面积等于两对角线乘积的一半是解题的关键．11.【答案】7【解析】解：∵a是方程x2+x−2=0的根，∴a2+a−2=0，∴a2+a=2，∴2a2+2a+3=2(a2+a)+3=2×2+3=7．故答案为：7．把x=a代入已知方程，得到a2+a=2，然后代入所求的代数式进行求值即可．本题考查的是一元二次方程的解，把方程的解代入方程，得到关于a的式子，代入代数式化简求值．12.【答案】−3【解析】解：把x=0代入方程(m−3)x2+(2m−1)x+m2−9=0，得m2−9=0，解得：m=±3，∵m−3≠0，∴m=−3，故答案为−3．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即把0代入方程求解可得m的值．本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．13.【答案】15【解析】解：根据旋转的性质△ABC≌△EDB，BC=BD，则△CBD是等腰三角形，∠BDC=∠BCD，∠CBD=180°−∠DBE=180°−30°=150°，∠BDC=1(180°−∠CBD)=15°．2故答案为15°．根据旋转的性质△ABC≌△EDB，BC=BD，求出∠CBD的度数，再求∠BDC的度数．根据旋转的性质，确定各角之间的关系，利用已知条件把一个直角三角尺ACB绕着30°角的顶点B顺时针旋转求出即可．=94(分)，【解析】解：小明5次预赛成绩的平均数为：92+94+100+91+935极差为：100−91=9(分)，[(92−94)2+(94−94)2+(100−94)2+(91−94)2+(93−94)2]=10，方差为：15=94(分)，小刚5次预赛成绩的平均数为：88+100+93+98+915极差为：100−88=12(分)，[(88−94)2+(100−94)2+(93−94)2+(98−94)2+(91−94)2]=19.6，方差为：15因此①不正确；②正确；③小明的方差较小，其成绩比较稳定，因此③正确；所以正确的有：②③，故答案为：②③．分别求出小刚和小明的平均数、方差、极差后进行判断即可．本题考查平均数，极差、方差，理解平均数、极差、方差的意义，掌握平均数、极差、方差的计算方法是正确判断的前提．15.【答案】−1≤b≤2．【解析】解：把A(2,1)，B(2,4)分别代入y=x+b，得1=2+b，此时b=−1；4=2+b，此时b=2．所以，b的取值范围为：−1≤b≤2．故答案是：−1≤b≤2．将点A、B的坐标分别代入一次函数解析式，求得相应的b值，由此得到b的取值范围．本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，属于基础题．【解析】解：∵∠BAC=90°，AB=AC=2，∴BC=√AB2+AC2=2√2，∵点D为BC中点，∴BD=CD=AD=√2，∵DE=BC=2√2，∴DE−AD≤AE≤DE+AD，如图，当点A、D、E在同一条直线上时，AE取得最大值．∴AE=AD+DE=√2+2√2=3√2，∴在整个旋转过程中，AE的最大值为3√2．故答案为：3√2．当点A、D、E在同一条直线上时，AE取得最大值，画出图形，由勾股定理求出BC的长度，利用等腰直角三角形的性质求出AD的长，进而可得AE的长．本题主要考查旋转的性质、等腰直角三角形的性质等知识的综合运用，解决此题的关键是明确当点A、D、E在同一条直线上时，AE有最大值．17.【答案】解：(1)方程整理得：(x−2)−x(x−2)=0，分解因式得：(1−x)(x−2)=0，解得：x1=2，x2=1；(2)分解因式得：(2x−3)(x−2)=0，可得x−2=0或2x−3=0，解得：x1=2，x2=3．2【解析】(1)方程整理后，利用因式分解法求出解即可；(2)方程利用因式分解法求出解即可．此题考查了解一元二次方程−因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．18.【答案】OC对角线互相平分的四边形是平行四边形有一个角是直角的平行四边形是矩形【解析】解：(1)如图，矩形ABCD即为所求．(2)：∵OA=OC，OD=OB，∴四边形ABCD是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形)，∵∠ABC=90°，四边形ABCD是矩形(有一个角是直角的平行四边形是矩形)故答案为：OA=OC，对角线互相平分的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形．(1)根据要求作出图形即可．(2)根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可判断．本题考查作图−复杂作图，平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．19.【答案】解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所求，其中点C1的坐标为(−2,−1)．(2)如图所示，△A2B2C1即为所求．【解析】此题主要考查了图形的旋转变换，正确得出对应点位置是解题关键．(1)分别作出三顶点关于原点的对称点，再顺次连接即可得；(2)分别作出点A1、B1绕点C1按顺时针旋转90°所得的对应点，再顺次连接即可得．20.【答案】解：(1)∵关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2=0有两个不相等的实数根，∴(2m+1)2−4m2>0，．解得：m>−14(2)利用求根公式表示出方程的解为x=−2m−1±√4m+1，2∵方程的解为整数，∴4m+1为完全平方数，则当m的值为0时，方程为：x2+x=0，解得：x1=0，x2=−1(不唯一)．【解析】(1)根据关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2=0有两个不相等的实数根，则△>0，列出不等式，即可求出m的取值范围．(2)根据方程的两个根都是整数，确定出m的值，经检验即可得到满足题意的m的值，并求出方程的根(答案不唯一)．本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2−4ac：当△>0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△<0，方程没有实数根．21.【答案】2503250【解析】解：(1)当该商品的销售单价为43元时，当天的销售量是280−10×(43−40)= 250(件)，当天销售利润是(43−30)×250=3250(元)．故答案为：250；3250．(2)设销售单价增加x元，则每件的销售利润是(40+x−30)元，当天的销售量是(280−10x)件，依题意得：(40+x−30)(280−10x)=3450，整理得：x2−18x+65=0，解得：x1=5，x2=13．答：销售单价增加5元或13元时，该商品的当天销售利润是3450元．(1)利用当天的销售量=280−10×上涨的价格，即可求出当该商品的销售单价为43元时当天的销售量；利用该商品的当天的销售利润=(销售单价−成本价)×当天的销售量，即可求出当该商品的销售单价为43元时当天销售利润；(2)设销售单价增加x元，则每件的销售利润是(40+x−30)元，当天的销售量是(280−10x)件，利用该商品的当天的销售利润=(销售单价−成本价)×当天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．本题考查了一元二次方程的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：(1)根据各数量之间的关系，列式计算；(2)找准等量关系，正确列出一元二次方程．22.【答案】解：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，∠DAO=∠BAO，∵E是AD的中点，AD，∴AE=OE=12∴∠EAO=∠AOE，∴∠AOE=∠BAO，∴OE//FG，∵OG//EF，∴四边形OEFG是平行四边形，∵EF⊥AB，∴∠EFG=90°，∴四边形OEFG是矩形；(2)∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，AB=AD=10，∴∠AOD=90°，∵E是AD的中点，∴OE=AE=1AD=5；2由(1)知，四边形OEFG是矩形，∴FG=OE=5，∵AE=5，EF=4，∴AF=√AE2−EF2=3，∴BG=AB−AF−FG=10−3−5=2．【解析】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．AD，推出OE//FG，(1)根据菱形的性质得到BD⊥AC，∠DAO=∠BAO，得到AE=OE=12求得四边形OEFG是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；AD=5；由(1)知，(2)根据菱形的性质得到BD⊥AC，AB=AD=10，得到OE=AE=12四边形OEFG是矩形，求得FG=OE=5，根据勾股定理得到AF=√AE2−EF2=3，于是得到结论．23.【答案】解：(1)函数y=x的图象向下平移1个单位长度得到y=x−1，∵一次函数y=kx+b(k≠0)的图象由函数y=x的图象向下平移1个单位长度得到，∴这个一次函数的表达式为y=x−1．(2)把x=−2代入y=x−1，求得y=−3，∴函数y=mx(m≠0)与一次函数y=x−1的交点为(−2,−3)，，把点(−2,−3)代入y=mx，求得m=32∵当x>−2时，对于x的每一个值，函数y=mx(m≠0)的值大于一次函数y=2x−1的值，∴1≤m≤3．2【解析】(1)根据平移的规律即可求得．(2)根据点(−2,−3)结合图象即可求得．本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数与系数的关系，数形结合是解题的关键．24.【答案】1174s32500【解析】解：(1)由频数分布直方图可知，成绩在80≤x<90的有7人，成绩在90≤x< 100的有3人，结合70≤x<80这组的数据可得，成绩为78分处在第11名，故答案为：11；(2)将这30名学生的成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数都是74分，因此中位数是74分，故答案为：74；(3)从图1中，1～10号，11～20号，21～30号学生成绩分布的离散程度可以直观看出，21～30号学生的成绩分布的离散程度较小，比较整齐，即它的方差较小，因此九年级的方差s32中最小，故答案为：s32；=500(名)，(4)1500×7+330故答案为：500．(1)根据成绩的频数分布直方图以及成绩在70≤x<80这组的数据进行判断即可；(2)根据中位数的定义进行判断即可；(3)从图1的数据分布的离散程度进行判断即可；(4)从样本中得出“优秀”所占的百分比进行估算即可..本题考查频数分布直方图，中位数、方差以及样本估计总体，理解中位数、方差的定义，掌握样本估计总体的方法是解决问题的前提．25.【答案】5m+n=6【解析】解：(1)x2−6x−7+12=12，x2−6x+5=12，(x−1)(x−5)=12，所以t=5；故答案为5；(2)−1+7=6，0+6=6，1+5=6，3+3=6，所以m+n为一次项系数的相反数，即m+n=6；故答案为m+n=6；(3)由(2)的结论得到m1+n1=−b，m2+n2=−b，所以m1+n1=m2+n2，即n1−n2=−(m1−m2)，=−1．∴n1−n2m1−m2(1)先把方程两边加上12，然后把方程左边因式分解，从而得到t的值；(2)利用表中数据得到m与n的和为一次项系数的相反数；(3)由(2)的结论得到m1+n2=−b，m2+n2=−b，则m1+n1=m2+n2，从而得到n1−n2的值．m1−m2本题考查了解一元二次方程，熟练掌握利用公式法、因式分解法和配方法解一元二次方程．26.【答案】解：(1)∵x2−2x=0，∴x(x−2)=0，解得：x1=0，x2=2故方程x2−2x=0的衍生点为M(0,2)；(2)关于x的一元二次方程x2−(2m+1)x+2m=0(m<0)的衍生点为M，∵m<0，∴2m<0解x2−(2m+1)x+2m=0(m<0)得：x1=2m，x2=1，∴方程x2−(2m+1)x+2m=0(m<0)的衍生点为M(2m,1)．∴点M在第二象限内且纵坐标为1，由于过点M向两坐标轴作垂线，两条垂线与x轴y轴恰好围成一个正方形，所以2m=−1，解得m=−1；2(3)存在．直线y=kx+1，过定点M(0,1)，∴x2+bx+c=0两个根为x1=0，x2=1，∴0+1=−b，0×1=c，∴b=−1，c=0．【解析】(1)求出方程的两根，根据一元二次方程的衍生点即可解决问题；(2)求出方程的两根，根据一元二次方程的衍生点的定义，再利用正方形的性质构建方程即可解决问题；(3)求出定点，利用根与系数的关系解决问题即可．本题考查一次函数综合题、一元二次方程的根与系数的关系、正方形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．27.【答案】解：(1)有题意可得，∠CAP=60°，且AP=AC，∴△APC是等边三角形，∴∠APC=60°，∴∠BPM=60°，又∵∠PBD=120°，∴∠BPM+∠PBD=180°，∴PM//BD．(2)猜想，CM⊥MB，CM=√3MB，理由如下：如图2，延长BM至点G，使得MG=MB，连接AG，BC，GC，PC，GD，∵AM=MD，GM=BM，∴四边形AGDB是平行四边形，∴AG=BD，AG//BD，∴∠BAG=180°−∠ABD=60°，∴∠CAG=120°，∵△APC是等边三角形，∴AC=CP，∠CPB=120°，∵PB=DB=AG，∴△CAG≌△CPB(SAS)，∴CG=CB，∠ACG=∠PCB，∴∠GCB=60°，∴△CBG是等边三角形，∵GM=BM，∴CM⊥BM，CM=√3MB．【解析】(1)由旋转可得，△APC是等边三角形，∠PBD=120°，则∠BPM+∠PBD=180°，所以PM//BD．(2)延长BM至点G，使得MG=MB，连接AG，BC，GC，PC，可证△CBG是等边三角形且点M是BG的中点，则有CM⊥BM，CM=√3MB．本题主要考查旋转的性质，等边三角形的性质与判定等；构造合适辅助线是解题关键．28.【答案】A，B3或52≤b≤4或−8≤b≤−4【解析】解：(1)如图1，将点A(0,4)的纵坐标分别代入直线l1：y=−x+3，得：x=−1，∴过点A垂直于y轴的直线与l1的交点横坐标是−1，0−(−1)=1，∴点A是直线l1的关联点；将点B(32,1)的纵坐标分别代入直线l1：y=−x+3，得：x=2，∴2−32=12<1，∴点B是直线l1的关联点；将点C(2,3)的纵坐标分别代入直线l1：y=−x+3，得：x=0，∴过点A垂直于y轴的直线与l1的交点横坐标是0，2−0=2>1，∴点C不是直线l1的关联点；故答案为：A，B；(2)将点D的纵坐标分别代入直线l1：y=−x+3，得：x=3−m，∴过点D垂直于y轴的直线与l1的交点横坐标是3−m，∵点D(−1,m)是直线l1的最佳关联点，∴丨3−m−(−1)丨=丨4−m丨=1，解得：m=3或5，故答案为：3或5；(3)如图2，由图可得，直线l2的位置l3与l4之间或l5与l6之间时，符合要求，直线与l3正方形AOEF相交于A(0,4)时，b=4，直线l4与正方形AOEF相交于A(0,2)时，b=2，直线l5与正方形AOEF相交于F(4,4)时，b=−4，直线l6与正方形AOEF相交于E(4,0)时，b=−8，∴b的取值范围为2≤b≤4或−8≤b≤−4．故答案为：2≤b≤4或−8≤b≤−4．(1)将点A，B，C的纵坐标分别代入直线l1：y=−x+3，分别求出过点A，B，C垂直于y轴的直线与l1的交点横坐标，根据关联点的定义即可求解；(2)将点D的纵坐标分别代入直线l1，求出过点D垂直于y轴的直线与l1的交点横坐标，根据最佳关联点的定义列出关于m的方程，解方程即可；(3)如图，若直线l2与正方形AOEF相交，且交点中至少有一个是直线l1的关联点，则直线l2的位置l3与l4之间或l5与l6之间，根据点A，E的坐标即可得b的取值范围．本题考查一次函数综合题、P为直线l的关联点的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用特殊位置解决问题，属于中考压轴题．。

北京市2020-2021学年八年级上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、解答题1．如图，在Rt ABC中，∠C=90°，AC=BC，在线段CB延长线上取一点P,以AP为△, 过点D作DE⊥CB,垂足直角边，点P为直角顶点，在射线CB上方作等腰Rt APD为点E．（1）依题意补全图形；（2）求证：AC=PE；（3）连接DB，并延长交AC的延长线于点F，用等式表示线段CF与AC的数量关系，并证明．2．在同一平面内，若点P与△ABC三个顶点中的任意两个顶点连接形成的三角形都是等腰三角形，则称点P是△ABC的巧妙点.（1）如图1，求作△ABC的巧妙点P（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）.（2）如图2，在△ABC中，∠A=80°，AB=AC，求作△ABC的所有巧妙点P （尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），并直接写出∠BPC的度数是 .（3）等边三角形的巧妙点的个数有（）A．2 B．6 C．10 D．123．定义：若一个三角形中，其中有一个内角是另外一个内角的一半，则这样的三角形叫做“半角三角形”. 例如：等腰直角三角形就是“半角三角形”.在钝角三角形ABC 中，BAC ∠︒＞90，=ACB α∠，=ABC β∠，过点A 的直线l 交BC 边于点D ．点E 在直线l 上，且=BC BE ．（1）若=AB AC ，点E 在AD 延长线上．① 当=30α︒，点D 恰好为BC 中点时，依据题意补全图1.请写出图中的一个“半角三角形”：_______;② 如图2，若=2BAE α∠，图中是否存在“半角三角形”（△ABD 除外），若存在，请写出图中的“半角三角形”，并证明；若不存在，请说明理由；（2）如图3，若AB AC ＜，保持BEA ∠的度数与（1）中②的结论相同，请直接写出BAE ∠，α，β 满足的数量关系：______．4．如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =90°，点D 是边BC 上的动点，连接AD ，点C 关于直线AD 的对称点为点E ，射线BE 与射线AD 交于点F .（1）在图1中，依题意补全图形；（2）记DAC α∠=（45α<︒），求ABF ∠的大小；（用含α的式子表示）（3）若△ACE 是等边三角形，猜想EF 和BC 的数量关系，并证明.5．如图，∠MON =60°，点A 是OM 边上一点，点B ，C 是ON 边上两点，且AB =AC ，作点B 关于OM 的对称点点D ，连接AD ，CD ，OD .（1）依题意补全图形；（2）猜想∠DAC °，并证明；（3）猜想线段OA、OD、OC的数量关系，并证明.6．已知：在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，动点E在边AB上（点E不与点A，B重合）,动点F在射线AC上，连结DE, DF.(1)如图1，当∠DEB=∠DFC=90°时，直接写出DE与DF的数量关系;(2)如图2，当∠DEB+∠DFC=180°(∠DEB≠∠DFC)时，猜想DE与DF的数量关系，并证明；(3)当点E,D,F在同一条直线上时，①依题意补全图3；②在点E运动的过程中，是否存在EB=FC？（填“存在”或“不存在” ）.7．在△ABC中，AB＞BC,直线l垂直平分AC.（1）如图1，作∠ABC 的平分线交直线l 于点D ，连接AD ，CD .①补全图形；②判断∠BAD 和∠BCD 的数量关系，并证明.（2）如图2，直线l 与△ABC 的外角∠ABE 的平分线交于点D ，连接AD ，CD .求证：∠BAD =∠BCD .8．对于△ABC 及其边上的点P ，给出如下定义：如果点1M ，2M ，3M ，……,n M 都在△ABC 的边上，且123n PM PM PM PM ====，那么称点1M ，2M ，3M ，……,n M 为△ABC 关于点P 的等距点，线段1PM ，2PM ，3PM ，……,n PM 为△ABC 关于点P 的等距线段.（1）如图1，△ABC 中，∠A ＜90°，AB ＝AC ，点P 是BC 的中点.①点B ，C △ABC 关于点P 的等距点，线段P A ，PB △ABC 关于点P 的等距线段；（填“是”或“不是”）②△ABC 关于点P 的两个等距点1M ，2M 分别在边AB ，AC 上，当相应的等距线段最短时，在图1中画出线段1PM ，2PM ；（2）△ABC 是边长为4的等边三角形，点P 在BC 上，点C ，D 是△ABC 关于点P 的等距点，且PC =1,求线段DC 的长；（3）如图2，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°.点P 在BC 上，△ABC 关于点P的等距点恰好有四个，且其中一个是点C .若BC a =，直接写出PC 长的取值范围.（用含a 的式子表示）9．如图1，在等腰直角三角形ABC 中，,90AB AC BAC =∠=︒,点D 在BC 边上，连接,,AD AE AD AE AD ⊥=，连接,CE DE（1）求证：B ACE ∠=∠（2）点A 关于直线CE 的对称点为M ，连接,CM EM①补全图形并证明EMC BAD ∠=∠②利用备用图进行画图、试验、探究，找出当,,D E M 三点恰好共线时点D 的位置，请直接写出此时BAD ∠的度数，并画出相应的图形10．在△ABC 中，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，∠MDN 的两边分别与AB ，AC 相交于M ，N 两点，且DM =DN .（1）如图甲，若∠C =90°，∠BAC =60°，AC =9，∠MDN =120°，ND ∥AB .①写出∠MDA = °，AB 的长是 .②求四边形AMDN 的周长；（2）如图乙，过D 作DF ⊥AC 于F ，先补全图乙再证明AM +AN =2AF .11．如图，在等边三角形ABC 右侧作射线CP ，∠ACP =α（0°<α<60°），点A 关于射线CP 的对称点为点D ，BD 交CP 于点E ，连接AD ，AE .（1）求∠DBC 的大小（用含α的代数式表示）；（2）在α（0°<α<60°）的变化过程中，∠AEB 的大小是否发生变化？如果发生变化，请直接写出变化的范围；如果不发生变化，请直接写出∠AEB 的大小；（3）用等式表示线段AE ，BD ，CE 之间的数量关系，并证明.12．我们规定在网格内的某点进行一定条件操作到达目标点：H 代表所有的水平移动，H 1代表向右水平移动1个单位长度，H -1代表向左平移1个单位长度；S 代表上下移动，S 1代表向上移动1个单位长度，S -1代表向下移动1个单位长度，(__)P H S →表示点P 在网格内先一次性水平移动，在此基础上再一次性上下移动；(__)P S H →表示点P 在网格内先一次性上下移动，在此基础上再一次性水平移动.（1）如图，在网格中标出(12)A H S →移动后所到达的目标点'A ；（2）如图，在网格中的点B 到达目标点A ，写出点B 的移动方法________________；（3）如图，在网格内有格点线段AC，现需要由点A出发，到达目标点D,使得A、C、D三点构成的格点三角形是等腰直角三角形，在图中标出所有符合条件的点D的位置并写出点A的移动方法.13．如图，点A在直线l上，点B在直线l外，点B关于直线l的对称点为C，连接AC，过点B作BD⊥AC于点D，延长BD至E使BE=AB，连接AE并延长与BC的延长线交于点F.（1）补全图形；（2）若∠BAC=2α，求出∠AEB的大小（用含α的式子表示）；（3）用等式表示线段EF与BC的数量关系，并证明.14．如图，在等边△ABC 中，点D 是线段BC 上一点.作射线AD ，点B 关于射线AD 的对称点为E .连接EC 并延长，交射线AD 于点F .（1）补全图形；（2）求∠AFE 的度数；（3）用等式表示线段AF 、CF 、EF 之间的数量关系，并证明.参考答案1．（1）见解析；（2）见解析；（3）AC=CF，见解析【分析】（1）根据描述作出图形；（2）先证明△ACP≌△DEP，根据全等的性质即可得出结论；（3）根据（2）中全等得出PC=DE，再由线段间的转化可得出PC=BE，故可得出△DBE为等腰直角三角形，从而△BCF也为等腰直角三角形，结论得证.【详解】解：（1）依题意补全图形；（2）证明：∵DE⊥CB, ∠C=90°，∴∠DEP=∠C =90°，∴∠3+∠2=90°，又∵∠APD =90°，∴∠1+∠2=90°，∴∠1=∠3，又∵AP=DP，∴△ACP≌△PED （AAS），∴AC=PE.（3）线段CF与AC的数量关系是CF=AC.∵△ACP≌△PED，∴PC=DE，又∵AC=BC，∴BC=PE，∴PC=BE,∴BE=DE，即△DBE为等腰直角三角形，易证△BCF为等腰直角三角形，∴BC=CF，∴AC=CF .【点睛】本题主要考查全等以及等腰三角形的判定，是中考常考题型.2．(1)见解析;(2)40°,160° ，140° ，80°;(3)C.【分析】（1）根据题意可知，巧妙点必在某条边的垂直平分线上，所以只需要作出两边的垂直平分线即可找到巧妙点；（2）根据题意分别以A、C为圆心，AC为半径画圆，交BC边的垂直平分线的点即为点P，连接两圆的交点与BC边的垂直平分线的交点也为点P，最后分类讨论即可求∠BPC的度数；（3）分别以等边三角形的三条边作其垂直平分线，再分别以等边三角形的三个顶点为圆心，等边三角形的边长为半径画圆，分别与三条边的垂直平分线的交点即为等边三角形的巧妙点.【详解】解：（1）作BC 边的垂直平分线：分别以B 、C 为圆心，大于12BC 的长为半径画弧，连接其圆弧的交点；同理作AB 边的垂直平分线：分别以A 、B 为圆心，大于12AB 的长为半径，连接其圆弧的交点； AB 边的垂直平分线与BC 边的垂直平分线的交点即为巧妙点P.∴点P 为所求.（2）作BC 边上的垂直平分线，再分别以A 、C 为圆心，AC 为半径画圆，交BC 边的垂直平分线的交点从上至下依次为134P P P 、、 ,连接两圆的交点，交CB 边的垂直平分线的交点为2P ，1234p p p p 、、、、即为所求.①接11BP CP 、,∵1AB AC AP ==,∴1111P BA BP A,PCA CP A ∠=∠∠=∠, ∵1111P BA BP A P CA CP A BAC 80∠+∠+∠+∠=∠=∴1111BPC BP A CP A BAC 402∠=∠+∠=∠=； ②连接22BP CP 、,∵2P 是AC 、BC 边的垂直平分线的交点，∴222BP CP AP ==∴2222BAP ABP ,ACP CAP ∠=∠∠=, 22222BP C BAP ABP ACP CAP ∠=∠+∠+∠+即：()222BP C 2BAP CAP 2BAC 160∠=∠+∠=∠=③接 33BP CP 、,∵AB AC =,3AP 为BC 边上的垂直平分线， ∴331BAP CAP BAC 402∠=∠=∠= ∵3AB AC AP ==,∴()33333ABP AP B ACP AP C 180BAP 270∠=∠=∠=∠=-∠÷=∴3333BP C BP A CP A 2BP A 140∠=∠+∠=∠=；④连接44BP CP 、，∵AB AC =,4AC CP =,4AP 为BC 边上的垂直平分线,∴44AB AC BP CP ===,∴4444BAP BP A,CAP AP C ∠=∠∠=∠,44444BP C AP C AP B CAP BAP BAC 80∠=∠+∠=∠+∠=∠=；综上所述BPC ∠的度数可能为4080140160、、、.（3）分别以等边三角形的三条边作其对应边的垂直平分线，再分别以等边三角形的三个顶点为圆心，等边三角形的边长为半径画圆，分别与三条边的垂直平分线的交点和三条垂直平分线的交点即为等边三角形的巧妙点.如下图：巧妙点P 有10个，故选C.【点睛】本题主要考查垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质，解题的关键是在理解题意的前提下明白巧妙点就是三角形两条边的垂直平分线的交点，以及构建等腰三角形的作法：定顶点，定圆心；定腰，定半径；以及等边三角形的性质等.3．（1）① 如图，见解析；△ABD 或△ACD 或△BDE 或△ABE ; ②存在，“半角三角形”为△BAE ；证明见解析；（2）BAE αβ∠=+或180BAE αβ∠++=︒．【分析】（1）①根据题干描述作出图形即可，利用等腰三角形的性质，根据“一个内角是另外一个内角的一半”的三角形符合题意，可得出结果.②延长DA 到F ，使得AF AC =，连接BF ，构造全等三角形△BAF ≌△BAC ．再利用全等三角形的性质以及相关角度的转化，可求得BEA F C α∠=∠=∠=，从而可得出结果.（2）由（1）中②可知，BEA C α∠=∠=，延长CA 到点F ，使得CF AE =，连接BF ，构造全等三角形△CBF ≌△EBA ，进而可得出=FAB BAE αβ∠=∠+.因为90BAC ∠>︒，所以以B 为圆心，BC 长为半径作圆与直线AD 一定有两个交点，当第一种情况成立时，必定存在一个与它互补的BAE '∠，所以可得出另外一种情况.【详解】（1）① 如图，图中的一个 “半角三角形”：△ABD 或△ACD 或△BDE 或△ABE ;② 存在，“半角三角形”为△BAE .延长DA 到F ，使得AF AC =，连接BF ．∵AB AC =，∴ αβ=.∴ 1802BAC α∠=︒-.∵2BAE α∠=，∴1802BAF α∠=︒-．∴BAF BAC ∠=∠．在△BAF 和△BAC 中，,,,AF AC BAF BAC BA BA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ △BAF ≌△BAC .∴ F C ∠=∠，BF BC =.∵ BE BC =，∴ BF BE =.∴BEA F C α∠=∠=∠=．∴∠BAE=2∠BEA,∴△BAE 为“半角三角形”.（2）BAE αβ∠=+或180BAE αβ∠++=︒.解：①延长CA 到点F ，使得CF AE =，连接BF,∵BC BE =，=AEB ACB α∠=∠，∴△CBF ≌△EBA .过点B 分别作BG CF ⊥于点G ，BH AE ⊥于点H ,可得BG BH =.∴=FAB BAE αβ∠=∠+.②因为90BAC ∠>︒，所以以B 为圆心，BC 长为半径作圆与直线AD 一定有两个交点，当第一种情况成立时，必定存在一个与它互补的BAE '∠．可知：180180()BAE BAE αβ'∠=︒-∠=︒-+.综上所述，这三个角之间的关系有两种，BAE αβ∠=+或180BAE αβ∠++=︒．【点睛】对于新定义问题，理解概念是关键.同时需要结合等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质解决问题，另外在解题时，注意运截长补短法构造全等的运用.4．（1）见解析；（2）45ABF α∠=︒+；（3）BC =2EF ，证明见解析.【分析】（1）根据题意画图即可补全图形；（2）如图3，连接AE 、DE ，根据轴对称的性质可得：AE =AC ，∠EAD =DAC α∠=，进而可用α的代数式表示出∠BAF ，然后在等腰△ABE 中利用三角形的内角和即可求出ABF ∠； （3）如图4，设AF 、CE 交于点G ，由△ACE 是等边三角形可得∠EAC =60°，CE=AC ，然后根据轴对称的性质可得AF ⊥CE ，∠F AE =30FAC ∠=︒，进而可得∠BAF =60°，CE =2EG ，易证△EFG 为等腰直角三角形，从而可得EF =，而BC =，进一步即可得出结论.【详解】解：（1）补全图形如图2：（2）如图3，连接AE 、DE ，∵点C 关于直线AD 的对称点为点E ，∴AE =AC ，∠EAD =DAC α∠=，∵AB =AC ，∠BAC =90°，∴AB =AE ，902BAE α∠=︒-， ∴()1809021804522BAE ABF αα︒-︒-︒-∠∠===︒+；（3）猜想：BC =2EF .证明：如图4，设AF 、CE 交于点G ，∵△ACE 是等边三角形，∴∠EAC =60°，CE=AC ，∵点C 关于直线AD 的对称点为点E ，∴AF ⊥CE ，∠F AE =30FAC ∠=︒，∴∠BAF =60°，CE =2EG ，由（2）题知，∠ABF =45°+30°=75°，则在△ABF 中，∠AFB =180°－∠ABF －∠BAF =45°，∴∠GEF =45°，∴EF =，又∵AB =AC ，∠BAC =90°，∴BC =，∴2BC EF ===.【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质、三角形的内角和定理、等边三角形的的性质和轴对称的性质等知识，根据题意正确画出图形、熟练掌握相关知识是解题的关键.5．（1）见解析；（2）60，证明见解析；（3）猜想：AO=OC+OD ，证明见解析.【分析】（1）根据题意作图即可补全图形；（2）连接BD，如图2，由点B与点D关于AO对称，可得AD＝AB，∠DAO＝∠BAO，然后利用三角形的外角性质和三角形的内角和可得∠BAC与∠OAB的关系，而∠DAC＝∠DAO+∠BAO+∠BAC，进一步即可得出∠DAC的度数；（3）在射线CN上截取CF=BO，连接AF，如图3，先根据SAS证明△ABO≌△ACF，可得∠AFO＝∠AOB＝60°，进而可证得△AOF是等边三角形，于是AO=OF，而点B与点D关于AO对称，于是有OB=OD，进一步即可得出线段OA、OD、OC的数量关系.【详解】解：（1）补全图形如图1：（2）∠DAC =60°；证明：连接BD，如图2，∵点B与点D关于AO对称，∴BD被AO垂直平分，∴AD＝AB，∠DAO＝∠BAO，∵AB＝AC，∴AD＝AC，∵∠ABC＝∠ACB＝∠AOB+∠OAB=60°+∠OAB，∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣2(60°+∠OAB)= 60°－2∠OAB，∴∠DAC＝∠DAO+∠BAO+∠BAC＝2∠OAB+60°－2∠OAB=60°；故答案为：60；（3）猜想：AO=OC+OD.证明：在射线CN上截取CF=BO，连接AF，如图3，∵AB=AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠ABO＝∠ACF，∴△ABO≌△ACF（SAS），∴∠AFO＝∠AOB＝60°，∴△AOF是等边三角形，∴AO=OF，∵点B与点D关于AO对称，∴OB=OD，∴OD=CF，∴AO=OF=OC+CF=OC+OD.【点睛】本题考查了依题意作图、轴对称的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、等边三角形的判定和性质以及全等三角形的判定和性质等知识，正确添加辅助线、熟练掌握上述知识是解题关键.6．（1）DE=DF；（2）DE=DF；证明见解析；（3）①见解析，②不存在【分析】（1）证明△BED≌△CFD，利用全等三角形的对应边相等即可得出结论；（2）连接AD，作DG⊥AB于点G，DH⊥AC于点H，根据同角的补角相等，得出∠GED=∠DFC，根据等腰三角形三线合一的性质得到∠BAD=∠CAD，再根据角平分线的性质得出DG=DH，即可证明△EGD≌△FHD，从而得出结论；（3）①根据题意补全图形即可；②假设BE=CF．过E作EG∥AC交BC于G．证明△EGD≌△FCD，得到GD=CD，进而得到G与B重合．由BE与AC相交于点A，与EG∥AC矛盾，得出BE=CF不成立，从而得到结论．【详解】（1）DE与DF的数量关系是DE=DF．理由如下：∵AB=AC，∴∠B=∠C．∵D是BC的中点，∴BD=CD．在△BED和△CFD中，∵∠B=∠C，∠DEB=∠DFC=90°，BD=CD，∴△BED≌△CFD（AAS），∴DE=DF．（2）猜想：DE与DF的数量关系是DE=DF．理由如下：连接AD，作DG⊥AB于点G，DH⊥AC于点H，∴∠EGD=∠FHD=90°．∵∠DEB+∠GED=180°，∠DEB+∠DFC=180°，∴∠GED=∠DFC．∵AB=AC，D是BC的中点，∴∠BAD=∠CAD．∵DG⊥AB，DH⊥AC，∴DG=DH．在△EGD和△FHD中，∵GED DFCEGD FHD DG DH∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EGD≌△FHD，∴DE=DF．（3）①作图如下：②不存在．理由如下：假设BE=CF．过E作EG∥AC交BC于G．∵EG∥AC，∴∠EGB=∠ACB，∠EGD=∠FCD．∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，∴∠B=∠EGB，∴BE=EG．∵BE=CF，∴EG=CF．在△EGD和△FCD中，∵∠EGD=∠FCD，∠EDG=∠FDC，EG=FC，∴△EGD≌△FCD，∴GD=CD．∵BD=CD，∴BD=GD，∴G与B重合．∵BE与AC相交于点A，与EG∥AC矛盾，∴BE=CF不成立，∴在点E运动的过程中，不存在EB=FC．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质．解题的关键是正确作出辅助线．7．（1）①见解析；②∠BAD+∠BCD=180°，证明见解析；（2）见解析.【分析】（1）①根据题意画图即可补全图形；②过点D作DE⊥AB于点E、DF⊥BC交BC的延长线于点F，如图4，根据角平分线的性质和线段垂直平分线的性质可得DE=DF，DA=DC，再根据HL可证Rt△ADE≌Rt△CDF，进而可得∠BAD=∠DCF，进一步即可得出∠BAD和∠BCD的数量关系；（2）过点D作DH⊥AB于点H，DG⊥CE于点G，如图5，根据角平分线的性质和线段垂直平分线的性质可得DG=DH，DA=DC，再根据HL可证Rt△ADH≌Rt△CDG，进一步即可得出结论.【详解】解：（1）①补全图形如图3；②∠BAD+∠BCD=180°.证明：过点D作DE⊥AB于点E、DF⊥BC交BC的延长线于点F，如图4，∵BD平分∠ABC，∴DE=DF，∵直线l垂直平分AC，∴DA=DC，∴Rt△ADE≌Rt△CDF（HL），∴∠BAD=∠DCF，∵∠DCF+∠BCD=180°，∴∠BAD+∠BCD=180°；（3）证明：过点D作DH⊥AB于点H，DG⊥CE于点G，如图5，∵BD平分∠ABE，∴DH=DG，∵直线l垂直平分AC，∴DA=DC，∴Rt△ADH≌Rt△CDG（HL），∴∠BAD=∠BCD，【点睛】本题考查了依题意作图、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质和直角三角形全等的判定方法，属于基础题型，熟练掌握上述知识是解题关键.8．（1）①是，不是；②见解析；（2）DC=1或2；（3）11 32a PC a<<.【分析】（1）①根据阅读材料中△ABC关于点P的等距点和△ABC关于点P的等距线段的定义判断即可；②根据题意，点P在∠BAC的平分线上，要使相应的等距线段最短，只要过点P作AB、AC 的垂线段即可；（2）显然点D 不可能在AB 边上，分点D 在等边△ABC 的边AC 、BC 上，画出图形，然后根据等距点的概念和等边三角形的判定与性质求解即可；（3）先求出△ABC 关于点P 的等距点恰好有3个，且其中一个是点C 时的PC 的长，进而可得答案.【详解】解：（1）①∵点P 是BC 的中点，∴PB=PC ，∴点B 、C 是△ABC 关于点P 的等距点； ∵P A ≠PB ，∴线段P A ，PB 不是△ABC 关于点P 的等距线段；故答案为：是，不是；②线段1PM ，2PM 如图3所示：（2）显然，点D 不可能在AB 边上，若点D 在AC 边上，如图4所示，∵△ABC 是等边三角形，∴∠C =60°，∵点C ，D 是△ABC 关于点P 的等距点，∴PC=PD ，∴△PCD 是等边三角形，∴CD=PC =1；若点D 在BC 边上，如图5所示，∵点C ，D 是△ABC 关于点P 的等距点，∴PC=PD =1，∴CD =2；∴DC =1或2；（3）当PM ⊥AB 且PM=PC 时，如图6，此时△ABC 关于点P 的等距点恰好有3个，且其中一个是点C ，∵∠B ＝30°，∴BP =2PM ，∴BC =3PC =a ，∴13PC a =； 当点P 为BC 的中点时，如图7所示，此时△ABC 关于点P 的等距点恰好有3个，且其中一个是点C ，∴1122PC BC a ==； ∴△ABC 关于点P 的等距点恰好有四个，且其中一个是点C 时，PC 长的取值范围是：1132a PC a <<.【点睛】本题是新定义问题，考查了对等距点和等距线段的理解与应用、等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质和30°角的直角三角形的性质等知识，正确理解题意、熟练掌握等边三角形和直角三角形的性质是解题关键.9．（1）证明见解析；（2）①见解析；②画图见解析，22.5BAD ∠=︒.【分析】（1）先根据同角的余角相等推出∠BAD =∠CAE ，再根据SAS 证得△BAD ≌△CAE ，进而可得结论；（2）①根据题意作图即可补全图形；利用轴对称的性质可得ME=AE ，CM=CA ，然后根据SSS 可推出△CME ≌△CAE ，再利用全等三角形的性质和（1）题的∠BAD =∠CAE 即可证得结论；②当,,D E M 三点恰好共线时，设AC 、DM 交于点H ，如图3，由前面两题的结论和等腰直角三角形的性质可求得∠DCM =135°，然后在△AEH 和△DCH 中利用三角形的内角和可得∠HAE =∠HDC ，进而可得EMC CDM ∠=∠，接着在△CDM 中利用三角形的内角和定理求出∠CMD 的度数，再利用①的结论即得答案.【详解】解：（1）证明：∵AE ⊥AD ，∴∠DAE=90°，∴∠CAE +∠DAC =90°，∵∠BAC =90°，∴∠BAD +∠DAC =90°，∴∠BAD =∠CAE ，又∵BA=CA ，DA=EA ，∴△BAD ≌△CAE （SAS ），∴B ACE ∠=∠；（2）①补全图形如图2所示，∵点A 关于直线CE 的对称点为M ，∴ME=AE ，CM=CA ， ∵CE=CE ，∴△CME ≌△CAE （SSS ），∴EMC CAE ∠=∠，∵∠BAD =∠CAE ，∴EMC BAD ∠=∠；②当,,D E M 三点恰好共线时，设AC 、DM 交于点H ，如图3，由（1）题知：45B ACE ∠=∠=︒，∵△CME ≌△CAE ，∴45MCE ACE ∠=∠=︒，∴∠DCM =135°，在△AEH 和△DCH 中，∵∠AEH =∠ACD =45°，∠AHE =∠DHC ，∴∠HAE =∠HDC ， ∵EMC CAE ∠=∠，∴EMC CDM ∠=∠， ∴180********.522DCM CMD ︒-∠︒-︒∠===︒， ∵EMC BAD ∠=∠，∴22.5BAD ∠=︒.【点睛】本题考查了依题意作图、等腰直角三角形的性质、轴对称的性质、全等三角形的判定和性质以及三角形的内角和定理等知识，综合性较强，熟练掌握上述知识是解题关键.10．（1）①90，18；②30；（2）详见解析.【分析】（1）①先根据角平分线的定义可求出∠BAD的度数，再利用平行线的性质求出∠ADN的度数，进而可得∠MDA的度数；易求得∠B=30°，然后利用30°角的直角三角形的性质即可求出AB的长；②易求得∠ADN=∠DAN=∠CDN=30°，然后利用30°角的直角三角形的性质和等腰三角形的判定可得DN=2CN，AN=DN，进一步可得AC=3CN，即可求出CN的长，进而可求AN、DN的长，而由已知MD=ND，所以MD可得，然后在直角△AMD中利用30°角的直角三角形的性质即可求出AM的长，问题即得解决；（2）过点D作DG⊥AB于G，由HL分别证明Rt△ADG≌Rt△ADF和Rt△DFN≌Rt△DGM，得MG＝NF，AG＝AF，再把AM+AN变形即可得出结论．【详解】解：（1）①∵AD平分∠BAC，∠BAC=60°，∴∠BAD=∠CAD=30°，∵ND∥AB，∴∠ADN=∠BAD=30°，∵∠MDN=120°，∴∠MDA=90°；∵∠C=90°，∠BAC=60°，∴∠B=30°，∵AC=9，∴AB=18；故答案为：90，18；②在△ACD中，∵∠C=90°，∠CAD=30°，∴∠ADC=60°，∵∠ADN=30°，∴∠CDN=30°，∠ADN=∠DAN，∴DN=2CN，AN=DN，∵AC=9，∴AN+CN=2CN+CN=9，解得：CN=3，∴AN=DN=6，∵DM=DN，∴DM=6，∵∠MDA=90°，∠BAD =30°，∴AM=2MD=12，∴四边形AMDN的周长=AM+MD+DN+NA=12+6+6+6=30；（2）补全图乙如图1，证明：过点D作DG⊥AB于G，如图2所示：∵AD平分∠BAC，DF⊥AC，∴DF＝DG，在Rt△ADG和Rt△ADF中，DG DF AD AD=⎧⎨=⎩，∴Rt△ADG≌Rt△ADF（HL），∴AG＝AF，在Rt△DFN和Rt△DGM中，DF DG DN DM=⎧⎨=⎩，∴Rt△DFN≌Rt△DGM（HL），∴NF＝MG，又∵AG＝AF，∴AM+AN＝AG+MG+AN＝AF+NF+AN＝AF+AF＝2AF．【点睛】本题考查了角平分线的性质、等腰三角形的判定、30°角的直角三角形的性质和直角三角形全等的判定等知识，涉及的知识点多，熟练掌握上述知识、并通过作辅助线构建全等三角形是解决问题的关键．11．（1）∠DBC60α=︒-；（2）∠AEB的大小不会发生变化，且∠AEB=60°；（3）BD=2AE+CE，证明见解析.【分析】（1）如图1，连接CD，由轴对称的性质可得AC=DC，∠DCP=∠ACP=α，由△ABC是等边三角形可得AC=BC，∠ACB=60°，进一步即得∠BCD=602α︒+，BC=DC，然后利用三角形的内角和定理即可求出结果；（2）设AC、BD相交于点H，如图2，由轴对称的性质可证明△ACE≌△DCE，可得∠CAE=∠CDE，进而得∠DBC=∠CAE，然后根据三角形的内角和可得∠AEB=∠BCA，即可作出判断；（3）如图3，在BD上取一点M，使得CM=CE，先利用三角形的外角性质得出∠BEC60=︒，进而得△CME是等边三角形，可得∠MCE=60°，ME=CE，然后利用角的和差关系可得∠BCM=∠DCE，再根据SAS证明△BCM≌△DCE，于是BM=DE，进一步即可得出线段AE，BD ，CE 之间的数量关系.【详解】解：（1）如图1，连接CD ，∵点A 关于射线CP 的对称点为点D ，∴AC=DC ，∠DCP =∠ACP =α，∵△ABC 是等边三角形，∴AC=BC ，∠ACB =60°，∴∠BCD =602α︒+，BC=DC ，∴∠DBC =∠BDC ()1806021806022BCD αα︒-︒+︒-∠===︒-；（2）∠AEB 的大小不会发生变化，且∠AEB =60°.理由：设AC 、BD 相交于点H ，如图2，∵点A 关于射线CP 的对称点为点D ， ∴AC=DC ，AE=DE ，又∵CE=CE ，∴△ACE ≌△DCE （SSS ），∴∠CAE =∠CDE ， ∵∠DBC =∠BDC ，∴∠DBC =∠CAE ，又∵∠BHC =∠AHE ，∴∠AEB =∠BCA =60°， 即∠AEB 的大小不会发生变化，且∠AEB =60°；（3）AE ，BD ，CE 之间的数量关系是：BD =2AE +CE .证明：如图3，在BD 上取一点M ，使得CM=CE ，∵∠BEC =∠BDC +∠DCE =6060αα︒-+=︒，∴△CME 是等边三角形，∴∠MCE =60°，ME=CE ，∴60260BCM BCD MCE DCE ααα∠=∠-∠-∠=︒+-︒-=，∴∠BCM =∠DCE ，又∵BC=DC ，CM=CE ，∴△BCM ≌△DCE （SAS ），∴BM=DE ，∵AE=DE ，∴BD=BM+ME+DE =2DE+ME =2AE+CE .【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、三角形的内角和定理和轴对称的性质等知识，熟练掌握并运用上述知识解题的关键.12．（1）见解析；（2）(32)B S H -→-或(23)B H S -→-；（3）见解析.【分析】（1）根据题意，(12)A H S →表示点A 先向右水平移动1个单位，再向上移动2个单位，据此即可标出点A '；（2）由点B 到达目标点A ，可以先向下移动3个单位，再向左水平移动2个单位，或先向左水平移动2个单位，再向下移动3个单位，据此解答即可；（3）先找出全部符合题意的点D ，再根据点的位置写出移动方法即可.【详解】解：（1）目标点A '的位置如图1所示；（2）由点B 到达目标点A ，可以先向下移动3个单位，再向左水平移动2个单位，或先向左水平移动2个单位，再向下移动3个单位，所以点B 的移动方法是：(32)B S H -→-或(23)B H S -→-；故答案为：(32)B S H -→-或(23)B H S -→-；（3）如图2所示，使得A 、C 、D 三点构成的格点三角形是等腰直角三角形的点D 共有5个，分别是：D 1、D 2、D 3、D 4、D 5；∴A 到D 1的移动方法是：()24A H S -→或()42A S H →-；A 到D 2的移动方法是：()42A H S →或()24A S H →；A 到D 3的移动方法是：()31A H S →-或()13A S H -→；A 到D 4的移动方法是：()12A H S -→或()21A S H →-；A 到D 5的移动方法是：()21A H S →或()12A S H →.【点睛】本题考查了网格中点的平移规律和等腰直角三角形的判定等知识，正确理解题意、弄清平移的方法和规律是解题的关键.13．（1）见解析；（2）∠AEB =45α︒+；（3）BC ，证明见解析.【分析】（1）根据题意作图即可补全图形；（2）先根据直角三角形两锐角互余的性质求出∠ABD ，再由BE =AB ，可得∠AEB =∠BAE ，然后利用三角形的内角和定理即可求得结果；（3）设l 与BC 交于点H ，过点E 作EG ⊥BF 于点G ，如图3，先利用轴对称的性推出∠BAH =∠CAH =α，再根据质余角的性质推出∠CBD =∠CAH =α，进一步利用（2）的结论和三角形的外角性质推出∠F=45°，进而可得EF=，然后根据AAS可证明△ABH≌△BEG，从而得BH=EG，而BC=2BH，进一步即可得出EF与BC的数量关系. 【详解】解：（1）补全图形如图1所示：（2）∵BD⊥AC，∠BAD=2α，∴∠ABD=90°－2α，∵BE=AB，∴∠AEB=∠BAE=()1809021804522ABEαα︒-︒-︒-∠==︒+；（3）线段EF与BC的数量关系是：BC.证明：设l与BC交于点H，过点E作EG⊥BF于点G，如图2，∵点B关于直线l的对称点为C，∠BAC=2α，∴BH=CH，∠BAH=∠CAH=α，∵AH⊥BC，BD⊥AC，∴∠CAH+∠ACH=90°，∠CBD+∠ACH=90°，∴∠CBD=∠CAH=α，∵∠AEB45α=︒+，∠AEB=∠CBD+∠F，∴∠F=45°，则△EFG为等腰直角三角形，∴EF=，∵∠BAH=∠EBG=α，∠AHB=∠BGE=90°，AB=BE，∴△ABH≌△BEG（AAS），∴BH=EG，∵BC=2BH，∴BC=2EG.【点睛】本题考查了依题意作图、轴对称的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、余角的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识，正确作出图形、熟练掌握上述知识是解题关键.14．（1）答案见解析；（2）60°；（3）AF=EF+CF，理由见解析【分析】（1）根据题意补全图形即可；（2）连接AE，根据对称性得到AE =AB ，∠F AB =∠F AE ，设∠F AC =α，则∠F AB =∠F AE = 60︒-α，故∠EAC = 60︒-α-α= 60︒- 2α，再根据AE =AC 得到∠AFE = 180︒-∠F AE -∠FEA = 60︒ ；（3）作∠FCG = 60︒交AD 于点G，连接BF，根据等边三角形的性质得到∠ACG = 60︒-∠GCD=∠BCF，再证明△ACG ≌△BCF，得到AG =BF，再根据对称性得到BF =EF 再得到AF =EF +CF【详解】（1）补全图形：（2）连接AE，∵△ABC 是等边三角形，∴ AB = AC = BC ， ∠BAC = ∠BCA = 60︒.∵点B 关于射线 AD 的对称点为 E ，∴ AE = AB ，∠F AB = ∠F AE .设∠F AC = α，则∠F AB = ∠F AE = 60︒ -α∴ ∠EAC = 60︒ -α-α= 60︒ - 2α， 又 AE = AC .∴ ∠AFE = 180︒ - ∠F AE - ∠FEA = 60︒（3） AF = EF + CF证明：如图 3，作∠FCG = 60︒ 交 AD 于点 G ，连接 BF .∴△ FCG 是等边三角形.∴ GF = CF = GC . ∠CGF = ∠GFC = ∠FCG = 60︒ .∴∠ACG = 60︒ - ∠GCD = ∠BCF在△ ACG 和△ BCF 中，CA CB ACG BCF CG CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ ACG ≌△ BCF .∴ AG = BF .∵点 B 关于射线 AD 的对称点为 E ，∴ BF = EF .∵ AF = AG + GF .∴ AF = EF +CF【点睛】此题主要考查等边三角形的性质，解题的根据是熟知等边三角形的性质、全等三角形的判定定理、对称轴的性质.。

【区级联考】北京市东城区2020-2021学年八年级上学期期末教学统一检测数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．生物学家发现了一种病毒，其长度约为0.00000032mm ，将数据0. 00000032用科学记数法表示正确的是( )A ．73.210⨯B ．73.210-⨯C ．83.210⨯D ．83.210-⨯ 2．若分式11a -有意义，则a 的取值范围是（ ） A ．a≠1 B ．a≠0 C ．a≠1且a ≠0 D ．一切实数 3．下列运算中，正确的是（ ）A ．235325x x x +=B ．a.a 2=a 3C ．3a 6÷a 3=3a 2D ．33()ab a b = 4．2021年12月15日，北京2022年冬奥会会徽“冬梦”正式发布. 以下是参选的会徽设计的一部分图形，其中是轴对称图形的是( )A ．B ．C ．D ． 5．.（2017河北）如图是国际数学日当天淇淇和嘉嘉的微信对话，根据对话内容，下列选项错误的是（ ）A ．4+46=B ．004+4+4=6C ．D ．1446-=6．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）ABCD7．已知a m =2,a n =3，则a 3m+2n 的值是（ ）A ．6B ．24C ．36D ．728．如图，已知∠1=∠2，AC =AD ，要使△ABC ≌△AED ，还需添加一个条件，那么在①AB =AE ，②BC =ED ，③∠C =∠D ，④∠B =∠E ，这四个关系中可以选择的是( )A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④ 9．如图，在ABC ∆中，90A ∠=，30C ∠=，AD BC ⊥于D ，BE 是ABC ∠的平分线，且交AD 于P ，如果2AP =，则AC 的长为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．810．定义运算“※”：a a b a b a b b a b b a⎧>⎪⎪-=⎨⎪<⎪-⎩，※， ．若5※x =2，则x 的值为（ ） A ．52 B ．52或10 C ．10 D ．52或152二、填空题11．分解因式：228ax a =_______．12．多项式(mx+8)(2－3x)展开后不含 x 的一次项,则 m=_____.13．当x =__________时，分式242x x --的值等于零. 14．课本上有这样一道例题：例 已知等腰三角形底边长为a, 底边上的高的长为h ，求作这个等腰三角.作法：（1）作线段AB=a,（2）作线段AB 的垂直平分线MN ，与AB 相交于点D ，（3）在MN 上取一点C ，使DC=h,（4）连接AC ，BC ，则△ABC 就是所求作的等腰三角形.请你思考只要CD 垂直平分AB ，那么△ABC 就是等腰三角形的依据是_____.15．如图，在△ABC 中，点D 是AB 边的中点，过点D 作边AB 的垂线l ，E 是l 上任意一点，且AC ＝5，BC ＝8，则△AEC 的周长最小值为_____．16．已知在△ABC 中，AB=AC ． （1）若∠A=36º，在△ABC 中画一条线段，能得到2个等腰三角形（不包括．．．△ABC），这2个等腰三角形的顶角的度数分别是_____；（2）若∠A ≠36º， 当∠A=_____时，在等腰△ABC 中画一条线段，能得到2个等腰三角形（不．包括．．△ABC）.（写出两个答案即可）三、解答题17．计算：()2012π2-⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 18．计算：(1) -； (2) 2(2)(3)(3)x x x --+-． 19．在三个整式x 2+2xy ，y 2+2xy ，x 2中，请你任意选出两个进行加(或减)运算，使所得整式可以因式分解，并进行因式分解．20．解分式方程：271326+=++x x x . 21．先化简22169(1)24a a a a -+-÷--，然后a 在﹣2，0， 1，2，3中选择一个合适的数代入并求值．22．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A（2，3），B （1，0），C（1，2）．（1）在图中作出△ABC关于y轴对称的△111A B C；（2）如果要使以B、C、D为顶点的三角形与△ABC全等，写出所有符合条件的点D坐标．23．如图，点B、F、C、E在直线l上（F、C之间不能直接测量），点A、D在l异侧，AB∥DE，测得AB=DE，∠A=∠D．（1）求证：ABC DEF；（2）若BE=10m，BF=3m，求FC的长度．24．列方程解应用题：港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，是被誉为“现代世界七大奇迹”的超级工程，它是我国从桥梁大国走向桥梁强国的里程碑之作．开通后从香港到珠海的车程由原来的180千米缩短到50千米，港珠澳大桥的设计时速比按原来路程行驶的平均时速多40千米，若开通后按设计时速行驶，行驶完全程时间仅为原来路程行驶完全程时间的16，求港珠澳大桥的设计时速是多少．25．如图，AE是△ACD的角平分线，B在DA延长线上，AE∥BC，F为BC中点，判断AE与AF的位置关系并证明.26．阅读下列材料,然后回答问题:观察下列各式，通过分母有理化，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：1=-.==-（一）22--二) （1.的值；的值；（2）从计算结果中找出规律，并利用这一规律选择．．下面两个问题中的一个．．加以解决：①求.......1)+的值；….27．（1）老师在课上给出了这样一道题目：如图（1），等边△ABC边长为2，过AB边上一点P作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，且AP=CQ，连接PQ交AC于D，求DE的长.小明同学经过认真思考后认为，可以通过过点P作平行线构造等边三角形的方法来解决这个问题.请根据小明同学的思路直接写出DE的长.（2）（类比探究）老师引导同学继续研究：①等边△ABC边长为2，当P为BA的延长线上一点时,作PE⊥CA的延长线于点E ，Q为边BC上一点，且AP=CQ，连接PQ交AC于D．请你在图（2）中补全图形并求DE的长.②已知等边△ABC，当P为AB的延长线上一点时,作PE⊥射线AC于点E， Q为哪一个（①BC边上；②BC的延长线上；③CB的延长线上）一点，且AP=CQ，连接PQ交直线AC于点D，能使得DE的长度保持不变.( 直接写出答案的编号)28．在平面直角坐标系xOy中，△ABO为等边三角形，O为坐标原点，点A关于y轴的对称点为D，连接AD，BD，OD，其中AD，BD分别交y轴于点E，P.∠的度数；（1）如图1，若点B在x轴的负半轴上时，直接写出BDO（2）如图2，将△ABO绕点O旋转，且点A始终在第二象限，此时AO与y轴正半轴∠的度数；（用含α的式子表夹角为α，60︒<α<90︒，依题意补全图形，并求出BDO示）（3）在第（2）问的条件下，用等式表示线段BP，PE，PO之间的数量关系.（直接写出结果）参考答案1．B【解析】【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【详解】0.00000032=3.2×10-7．故选：B．【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．2．A【解析】分析：根据分母不为零，可得答案详解：由题意，得a-≠，解得 1.a≠10故选A.点睛：本题考查了分式有意义的条件，利用分母不为零得出不等式是解题关键．3．B【解析】【分析】根据合并同类项法则、同底数幂乘法、整式除法、积的乘方法则分别进行计算，然后选择正确选项．【详解】A．不是同类项项，不能合并，故本选项错误；B．a•a2=a3，计算正确，故本选项正确；C．3a6÷a3=3a3，计算错误，故本选项错误；D．（ab）3=a3b3，计算错误，故本选项错误．故选B ．【点睛】本题考查了合并同类项法则、同底数幂乘法、整式除法、积的乘方等运算，掌握运算法则是解答本题的关键．4．B【解析】【分析】根据轴对称图形的概念求解即可．【详解】A ．不是轴对称图形，本选项错误；B ．是轴对称图形，本选项正确；C ．不是轴对称图形，本选项错误；D ．不是轴对称图形，本选项错误．故选B ．【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．5．D【详解】∵4+46=，∴选项A 不符合题意；∵4+40+40=6，∴选项B 不符合题意；∵，∴选项C 不符合题意；∵144-=1486≠，∴选项D 符合题意， 故选D ．6．A【解析】【分析】直接利用最简二次根式的定义分析得出答案．【详解】A，故此选项正确；=，故此选项错误；BC=故此选项错误；D=故此选项错误．故选A．【点睛】本题考查了最简二次根式，正确把握最简二次根式的定义是解题的关键．7．D【解析】【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则结合幂的乘方运算法则计算得出答案．【详解】∵a m=2，a n=3，∴a3m+2n=（a m）3×（a n）2=23×32=72．故选D．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法运算以及幂的乘方运算，正确将原式变形是解题的关键．8．C【分析】由∠1=∠2结合等式的性质可得∠CAB=∠DAE，再利用全等三角形的判定定理分别进行分析即可．【详解】∵∠1=∠2，∴∠1+∠EAB=∠2+∠EAB，即∠CAB=∠DAE．①加上条件AB=AE可利用SAS定理证明△ABC≌△AED；②加上BC=ED不能证明△ABC≌△AED；③加上∠C=∠D可利用ASA证明△ABC≌△AED；④加上∠B=∠E可利用AAS证明△ABC≌△AED．故选C．【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法，解题时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．9．C【解析】【分析】易得△AEP的等边三角形，则AE=AP=2，在直角△AEB中，利用含30度角的直角三角形的性质来求EB的长度，然后在等腰△BEC中得到CE的长度，则易求AC的长度【详解】解：∵△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，∴∠ABC=60°．又∵BE是∠ABC的平分线，∴∠EBC=30°，∴∠AEB=∠C+∠EBC=60°，∠C=∠EBC，∴∠AEP=60°，BE=EC．又AD⊥BC，∴∠CAD=∠EAP=60°，则∠AEP=∠EAP=60°，∴△AEP的等边三角形，则AE=AP=2，在直角△AEB 中，∠ABE=30°，则EB=2AE=4，∴BE=EC=4，∴AC=CE+AE=6．故选：C ．【点睛】本题考查了含30°角的直角三角形的性质、角平分线的性质以及等边三角形的判定与性质．利用三角形外角性质得到∠AEB=60°是解题的关键．10．B【分析】首先认真分析找出规律，根据5与x 的取值范围，分别得出分式方程，可得对应x 的值．【详解】当x ＜5时，55x =-2，解得：x 52=，经检验，x 52=是原分式方程的解； 当x ＞5时，5x x =-2，解得：x =10，经检验，x =10是原分式方程的解； 综上所述：x 52=或10． 故选B ．【点睛】本题考查了分式方程的应用以及新定义题型，是近几年的考试热点之一．新定义题型需要依据给出的运算法则进行计算，这和解答实数或有理数的混合运算相同，其关键仍然是正确的理解与运用运算的法则．11．2(2)(2)a x x +-【分析】首先提公因式2a ，再利用平方差公式分解即可．【详解】原式=2a （x 2﹣4）=2a （x +2）（x ﹣2）．故答案为2a （x +2）（x ﹣2）．【点睛】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．12．12【分析】乘积含x项包括两部分，①mx×2，②8×（-3x），再由展开后不含x的一次项可得出关于m 的方程，解出即可．【详解】由题意得，乘积含x项包括两部分，①mx×2，②8×（-3x），又∵（mx+8）（2-3x）展开后不含x的一次项，∴2m-24=0，解得：m=12．故答案为12．【点睛】此题考查了多项式乘多项式的知识，属于基础题，注意观察哪些项相乘所得的结果含一次项，难度一般．13．-2【分析】令分子为0，分母不为0即可求解.【详解】依题意得x2-4=0,x-2≠0，解得x=-2，故填：-2.【点睛】此题主要考查分式的值，解题的关键是熟知分式的性质.14．线段垂直平分线上的点与这条线段两端点距离相等，等腰三角形定义．【解析】【分析】按照作法作图，根据线段垂直平分线的性质即可判断AC=BC，再由等腰三角形的定义即可得出结论．【详解】作图如下：只要CD垂直平分AB，那么△ABC就是等腰三角形的依据是线段垂直平分线上的点与这条线段两端点距离相等，等腰三角形定义．故答案为：线段垂直平分线上的点与这条线段两端点距离相等，等腰三角形定义．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质及复杂作图，关键是掌握垂线的画法，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．15．13【解析】【分析】连接BE，依据l是AB的垂直平分线，可得AE=BE，进而得到AE+CE=BE+CE，依据BE+CE≥BC，可知当B，E，C在同一直线上时，BE+CE的最小值等于BC的长，而AC长不变，故△AEC的周长最小值等于AC+BC．【详解】如图，连接BE．∵点D是AB边的中点，l⊥AB，∴l是AB的垂直平分线，∴AE=BE，∴AE+CE=BE+CE．∵BE+CE≥BC，∴当B，E，C在同一直线上时，BE+CE的最小值等于BC的长，而AC长不变，∴△AEC的周长最小值等于AC+BC=5+8=13．故答案为13．【点睛】本题考查了最短距离问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，多数情况要作点关于某直线的对称点．16．（1）36°，108°；（2）1807，90°，108°.【解析】【分析】（1）利用等腰三角形的性质以及∠A的度数，进而得出这2个等腰三角形的顶角度数；（2）利用（1）种思路进而得出符合题意的图形即可．【详解】（1）如图1所示：∵AB=AC，∠A=36°，∴当AE=BE，则∠A=∠ABE=36°，则∠AEB=108°，则∠EBC=36°，∴这2个等腰三角形的顶角度数分别是36°和108°．故答案为：36°，108°；（2）如图1．∵AB=AC，∴∠ABC=∠C．∵AD=BD，∴∠ABD=∠A，∴∠BDC=2∠A．∵BC=DC，∴∠DBC=∠CDB=2∠A，∴∠C=∠ABC=3∠A．∵∠A+∠ABC+∠C=180°，∴∠A+3∠A+3∠A=180°，∴7∠A=180°∴∠A=1807．如图2，AB=AC，△ABD和△ADC都是等腰三角形，∠BAC=45°+45°=90°；如图3，AB=AC，△ABD和△ADC都是等腰三角形，∠BAC=36°+72°=108°．故答案为：1807或90°或108°． 【点睛】 本题考查了等腰三角形的性质，正确得出分割图形是解题的关键．17．0【解析】试题分析:第一项表示9的算术平方根,第二项非零数的零次幂等于1,第三项负整数指数幂等于这个数的正整数指数幂分之一.解： 原式 = 31-4+ =0.18．（1）-2（2）413x -+. 【解析】【分析】（1）先把二次根式化简为最简二次根式，然后去括号，合并同类二次根式即可； （2）先用完全平方公式和平方差公式计算，然后去括号，合并同类项即可．【详解】（1）原式=2-2﹣ （2）原式=2222449449x x x x x x （）-+--=-+-+=413x -+．【点睛】本题考查了整式的混合运算以及二次根式的运算．注意结合算式的特点，选择简便的方法进行计算．19．答案不唯一，具体见解析【解析】解：222(2)222();x xy x x xy x x y ++=+=+或222(2)();y xy x x y ++=+或2222(2)(2)()();x xy y xy x y x y x y +-+=-=+-或2222(2)(2)()().y xy x xy y x y x y x +-+=-=+-20．16x = 【解析】试题分析：方程两边同时乘以()23x +，化为整式方程，解整式方程后进行检验即可得. 试题解析：方程两边同时乘以()23x +，得()4237x x ++= ，整理得：6=1x ， 得：1=6x ， 经检验：1=6x 是原方程的解 ， ∴ 原方程的解为1=6x . 21．化简得：原式=23a a +-；当0a =时，原式=23﹣． 【分析】原式第二项利用除法法则变形，约分后两项通分并利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果，把a =0代入计算即可求出值．【详解】原式=()()()23322+2a a a a a --÷-- =()()()22+2323a a a a a --⨯-- =+23a a -． 当a 取﹣2，2，3，分式无意义．当0a =时，+23a a -=23﹣． 【点睛】 本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．22．（1）如图见解析；（2）(0,3)，( 0,-1)，(2,-1).【解析】【分析】（1）首先确定A 、B 、C 三点关于y 轴的对称点位置，然后再连接即可；（2）作出符合条件的D 点，根据坐标系写出点的坐标即可．【详解】（1）如图所示：（2）如图，D 的坐标为(0，3)，(0，﹣1)，(2，﹣1)．【点睛】本题考查了轴对称变换以及全等变换．找准对应点是作图的关键．23．（1）见解析；（2）4m.【分析】（1）由平行可得∠ABC=∠DEF ，然后用ASA 即可判定全等；（2）由全等可得BC=EF ，可推出BF=CE ，即可求出FC.【详解】（1）证明：∵AB ∥DE ，∴∠ABC=∠DEF在△ABC 和△DEF 中，ABC=DEF AB=DEA=D ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩∴△ABC ≌△DEF （ASA ）（2）解：∵△ABC ≌△DEF∴BC=EF∴BF+FC=FC+CE∴BF=CE=3m∴FC=10-3-3=4m故FC 的长度为4m.【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，较为简单，掌握判定定理和性质即可解决.24．港珠澳大桥的设计时速是每小时100千米.【解析】【分析】设港珠澳大桥的设计时速是x 千米/时，按原来路程行驶的平均时速是（x ﹣40）米/时．根据“从香港到珠海的车程由原来的180千米缩短到50千米，若开通后按设计时速行驶，行驶完全程时间仅为原来路程行驶完全程时间的16”列方程，求解即可． 【详解】设港珠澳大桥的设计时速是x 千米/时，按原来路程行驶的平均时速是（x ﹣40）米/时．依题意得： 501180·640x x =- 解得：100x =．经检验：100x =是原方程的解，且符合题意．答：港珠澳大桥的设计时速是每小时100千米．【点睛】本题考查了分式方程的应用．解题的关键是找出相等关系，根据相等关系列方程． 25．AE 与AF 的位置关系是垂直. 证明见解析.【解析】【分析】由角平分线的性质和平行线的性质得到∠B =∠ACB ，由等角对等边，得到AB =AC ，再由等腰三角形三线合一的性质及角平分线的性质即可得到结论．【详解】AE 与AF 的位置关系是垂直．理由如下：∵AE 是△ACD 的角平分线，∴∠DAE =∠CAE =12∠DAC ． ∵AE ∥BC ，∴∠DAE =∠B ，∠EAC =∠ACB ，∴∠B =∠ACB ，∴AB =AC ．又∵F 为BC 中点，∴∠BAF = ∠CAF = 12∠CAB ．∵∠CAB +∠CAD =180°，∴∠CAF +∠CAE =90°，∴AE ⊥AF ．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质．熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键．26．（1（2）①2018； ②12 . 【分析】（1）根据（一）（二）化简即可得到结论；（2）①先把括号内的每一个二次根式分母有理化，合并后计算即可；②把每一个二次根式分母有理化，然后合并即可．【详解】（1．22．（2） 原式=)1...1+=)11 =2019-1=2018；②原式=1 (2222)++++=12． 【点睛】本题考查了分母有理化的应用，解答此题的关键是根据题目的结果找出规律，题目比较好，有一定的难度．27．（1）DE=1；(2) ①正确补全图形见解析，② ②.【解析】【分析】（1）过P 作PF ∥BC 交AC 于F ，得出等边三角形APF ，推出AP =PF =QC ，根据等腰三角形性质求出EF=AE，证△PFD≌△QCD，推出FD=CD，推出DE12=AC即可；（2）①过点P作PF∥BC交CA的延长线与点F，由平行线的性质得出∠PF A=∠C．再证明△APF为等边三角形，得到AP=PF．进一步得到AE=FE=12AF．由SAS证明△FDP≌△CDQ，得到FD=CD=12CF，根据线段的和差即可得到结论．②如图，过P作直线PF∥BC交直线AC于F，通过证明△APF是等边三角形，得到AP=PF．进而得到EF=AE=12AF．再由线段的和差即可得出结论．【详解】（1）过P作PF∥BC交AC于F．∵PF∥BC，△ABC是等边三角形，∴∠PFD=∠QCD，△APF是等边三角形，∴AP=PF=AF．∵PE⊥AC，∴AE=EF．∵AP=PF，AP=CQ，∴PF=CQ．在△PFD和△QCD中，∵PFD QCDPDF QDCPF CQ∠∠∠∠=⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△PFD≌△QCD（AAS），∴FD=CD．∵AE=EF，∴EF+FD=AE+CD，∴AE+CD=DE12=AC．∵AC=2，∴DE=1．(2)①正确补全图形．过点P 作PF ∥BC 交CA 的延长线与点F ，∴∠PF A =∠C ．∵△ABC 是等边三角形，∴∠BAC =∠C =60°，∴∠PF A =∠P AF =60°，∴△APF 为等边三角形，∴AP =PF ．又∵PE ⊥CA 的延长线于点E ，∴AE =FE =12AF ． ∵AP =CQ ，∴PF =QC ．∵∠FDP =∠CDQ ，∴△FDP ≌△CDQ ，∴FD =CD =12CF ，∴DE =DF ﹣EF =1111222CF AF AC -==． ② 答案为②．理由如下：如图，过P 作直线PF ∥BC 交直线AC 于F ，∴∠APF =∠ABC =60°．∵∠A =60°，∴△APF 是等边三角形，∴AP =PF ．∵AP =CQ ，∴PF =QC ．∵PF ∥BC ，∴∠F =∠DCQ ，∠FPD =∠Q ．在△DPF 和△DQC 中，∵∠F =∠DCQ ，PF =QC ，∠FPD =∠Q ，∴△DPF ≌△DQC ，∴CD =DF =12CF ． ∵△APF 是等边三角形，PE ⊥AF ，∴EF =AE =12AF ． ∵ED =EF ﹣DF ，∴ED =12AF ﹣12CF =12（AF ﹣CF ）=12AC ． ∵AC 的长度不变，∴DE 的长度保持不变．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，平行线的性质等知识点的应用，能综合运用性质进行推理是解答此题的关键，通过做此题培养了学生分析问题和解决问题的能力，题型较好，难度适中．28．（1）30°；（2）作图见解析，∠BDO=α-60°；（3）2PE=BP+PO．【分析】（1）根据轴对称的性质和等边三角形的性质即可得出结论；（2）由轴对称的性质和等边三角形的性质得出∠BOD=300°﹣2α．在△BOD中根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得出结论；（3）过A作AQ∥EP交DB的延长线于Q，连接AP．由（2）得：∠OBD=∠BDO=α﹣60°．通过证明△AOP≌△ABQ，得到AP=AQ，OP=QB，∠OAP=∠BAQ，BP+OP=BP+QB=QP．通过证明△AQP是等边三角形，得出AQ=PQ=AP=BP+OP，∠QAP=60°，即可得到∠P AE=30°，由30°角所对直角边等于斜边的一半即可得到AP=2EP，从而得到结论．【详解】（1）30°．理由如下：∵A与D关于y轴对称，∴y轴是线段AD的垂直平分线，∴AO=DO，∠AOE=∠DOE．∵△ABO是等边三角形，∴AB=BO=AO，∠AOB=60°，∴∠AOE=30°，∴∠DOE=30°，∴∠BOD=60°+30°+30°=120°．∵BO=AO=DO，∴∠BDO=∠OBD=12(180°﹣∠BOD)=30°．（2）正确画出图形．∵∠AOE=∠DOE=α，∠AOB=60°，∴∠BOD=360°﹣2α﹣60°=300°﹣2α．∵BO=BD，∴∠OBD=∠ODB，∴∠BDO=12(180°﹣∠BOD)=α﹣60°．（3）2PE=BP+PO．理由如下：过A作AQ∥EP交DB的延长线于Q，连接AP．由（2）得：∠OBD=∠BDO=α﹣60°．∵△ABO是等边三角形，∴AB=BO=AO，∠ABO=∠AOB=∠BAO=60°，∴∠ABQ=180°﹣60°﹣∠OBD=120°﹣（α﹣60°）=180°﹣α．∵∠AOE=α，∴∠AOP=180°﹣α，∴∠AOP=∠ABQ．∵AQ∥EP，∴∠Q=∠EPD．∵∠APE=∠DPE，∴∠APO=∠Q．在△AOP和△ABQ中，∵∠AOP=∠ABQ，∠APO=∠Q，AO=AB，∴△AOP≌△ABQ，∴AP=AQ，OP=QB，∠OAP=∠BAQ，∴BP+OP=BP+QB=QP．∵∠BAO=∠BAP+∠OAP=60°，∴∠BAP+∠BAQ=∠P AQ=60°．∵AQ=AP，∴△AQP是等边三角形，∴AQ=PQ=AP=BP+OP．∵AQ∥EP，∴∠APE=∠QAP=60°．∵∠AEP=90°，∴∠P AE=30°，∴AP=2EP，∴2EP=BP+OP．【点睛】本题考查了轴对称的性质、等边三角形的判定与性质及30°角所对直角边等于斜边的一半．证明△AQP是等边三角形是解题的关键．第（3）问难度比较大．。

东城区第一学期期末教学目标检测初二数学一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的 1．世界上最小的鸟是生活在古巴的吸蜜蜂鸟，它的质量约为0.056盎司。

将0.056用科学记数法表示为 A. -15.610⨯ B. -25.610⨯ C. -35.610⨯ D ．-10.5610⨯2．江永女书诞生于宋朝，是世界上唯一一种女性文字，主要书写在精制布面、扇面、布帕等物品上，是一种独特而神奇的文化现象．下列四个文字依次为某女书传人书写的“女书文化”四个字，其中基本是轴对称图形的是3．下列式子为最简二次根式的是4．若分式23x x -+的值为0，则x 的值等于 A ．0 B ．2 C ．3D ．-35．下列运算正确的是A. 532b b b ÷=B.527()b b = C. 248b b b = D ．2-22a a b a ab =+（）6．如图，在△ABC 中，∠B =∠C =60，点D 为AB 边的中点，DE ⊥BC 于E ， 若BE=1，则AC 的长为A ．2B ．4 D ．7.如图，小敏做了一个角平分仪ABCD ，其中AB=AD ，BC=DC ，将仪器上的点A 与∠PRQ 的顶点R 重合，调整AB 和AD ，使它们分别落在角的两边上，过点A ，C 画一条射线AE ，AE 就是∠PRQ 的平分线。

此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得△ABC ≌△ADC ，这样就有∠QAE=∠PAE. 则说明这两个三角形全等的依据是 A. SAS B. ASA C. AAS D. SSS8．如图，根据计算长方形ABCD 的面积，可以说明下列哪个等式成立A. 2222)(b ab a b a ++=+ B. 2222)(b ab a b a +-=-C. 22))((b a b a b a -=-+ D. 2()a a b a ab +=+9．如图，已知等腰三角形ABC AB AC =，，若以点B 为圆心，BC 长为半径画弧，交腰AC 于点E ，则下列结论一定．．正确的是A．AE=EC B．AE=BE C．∠EBC=∠BAC D．∠EBC=∠ABE10．如图，点P是∠AOB内任意一点，且∠AOB＝40°，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，当△PMN周长取最小值时,则∠MPN的度数为（）A．140° B．100° C．50° D． 40°二、填空题：（本题共16分，每小题2分）11在实数范围内有意义，那么的取值范围是．12．在平面直角坐标系xOy中，点P（2，1）关于y轴对称的点的坐标是．13．如图，点B，F，C，E在一条直线上，已知BF=CE，AC//DF，请你添加一个适当的条件使得△ABC≌△DEF．14．等腰三角形一边等于5，另一边等于8，则其周长是．15.如图，D在BC边上，△ABC≌△ADE，∠EAC＝40°，则∠B 的度数为_______．16．如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，AD 平分∠ABC ，BC =10cm ，BD ：DC =32，则点D 到AB 的距离为_________ cm ．17．如果实数,a b 满足226,8,a b ab a b +==+=那么 ；18．阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：小俊的作法如下：在直线尺规作图：作一条线段的垂直平分线． 已知：线段AB ．老师说：“小俊的作法正确．”请回答：小俊的作图依据是_________________________．三、解答题(本题共9个小题，共54分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)19．(5分)计算：1016()1)2-++-20．（5分）因式分解：（1）24x - （2） 2244ax axy ay -+21．（5分）如图，点E ，F 在线段AB 上，且AD ＝BC ，∠A ＝∠B ，AE ＝BF .求证：DF =CE .22．（5分）已知2+2x x =，求()()()()22311x x x x x +-+++-的值23．（5分）解分式方程：11+2-22-xx x+=．24．（5分）先化简，再求值：259123x x x -⎛⎫-÷⎪++⎝⎭，其中2x =．25．（6分）列分式方程解应用题：北京第一条地铁线路于1971年1月15日正式开通运营.截至2017年1月，北京地铁共有19条运营线路，覆盖北京市11个辖区.据统计，2017 年地铁每小时客运量是2002年地铁每小时客运量的4倍，2017年客运240万人所用的时间比2002年客运240万人所用的时间少30小时，求2017年地铁每小时的客运量？26.（6分）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥于点D ，AM 是△ABC 的外角∠CAE 的平分线．(1)求证：AM ∥BC ；(2)若DN 平分∠ADC 交AM 于点N ，判断△ADN 的形状并说明理由．27．（6分）定义：任意两个数,a b ，按规则c ab a b =++扩充得到一个新数c ，称所得的新数c 为“如意数”.（1） 若1,a b ==直接写出,a b 的“如意数”c ；（2） 如果4,a m b m =-=-,求,a b 的“如意数”c ，并证明“如意数” 0c ≤（3）已知2=1(0)a x x -≠，且,a b 的“如意数”3231,c x x =+-，则b = (用含x 的式子表示)28. (6分)如图，在等边三角形ABC 的外侧作直线AP ，点C 关于直线AP 的对称点为点D ，连接AD ，BD ，其中BD 交直线AP 于点E. （1）依题意补全图形；（2）若∠PAC ＝20°，求∠AEB 的度数；（3）连结CE ，写出AE , BE , CE 之间的数量关系，并证明你的结论．东城区第一学期期末教学目标检测 初二数学评分标准及参考答案一、选择题（本题共30分，每小题3分）二、填空题（本题共16分，每小题2分）10119.261245()()-++-分分220.14=2)(2)2x x x --+（）（分22222244=(44)1(2)3ax axy ay a x xy y a x y -+-+=-（）分分21. 如图，点E ，F 在AB 上，AD ＝BC ，∠A ＝∠B ，AE ＝BF .求证：△ADF ≌△BCE .证明：∵点E ，F 在线段AB 上，AE ＝BF .，∴AE +E F ＝BF +EF ， 即：AF ＝BE ．………1分 在△ADF 与△BCE 中，,,,AD BC A B AF BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩………3分 ∴△ADF ≌△BCE (SAS ) ………4分∴ DF=CE （全等三角形对应边相等）………5分2222222.=4431342=55x x x x x x x x x ++--+-=+++=解：原式分当时，原式分23.解方程：11+2-22-xx x+=解：方程两边同乘（－2）， 得1＋2(－2)＝－1- 2分 解得：2.33x =L L 分220.323x x 4x 5=-?=L L L L 检验：当时，分所以，原分式方程的解为分24. 先化简，再求值：259123x x x -⎛⎫-÷⎪++⎝⎭，其中2x =-． ()()()()333223333233142x x x x x x x x x x x -+-=÷++-+=⋅++-=+解：原式分分分当2x =-时，原式===…5分 25.解：设2002年地铁每小时客运量万人，则2017年地铁每小时客运量4万人……1分由题意得240240-304x x= ……………3分 解得＝6 …………… 4分经检验＝6是分式方程的解 ……………5分4x 24=……………6分答：2017年每小时客运量24万人26.（1）∵AB =AC ，AD ⊥BC ，∴∠BAD =∠CAD =12BAC ∠．…………… 1分 ∵AM 平分∠EAC ，∴∠EAM =∠MAC=12EAC ∠．…………… 2分 ∴∠MAD =∠MAC +∠DAC =1122EAC BAC ∠+∠=1180902⨯︒=︒。

高一数学（东城） 第 1 页（共 8 页）东城区2020-2021学年度第一学期期末统一检测高一数学 2021.1本试卷共4页，满分100分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合{1,0,1}A =-，集合{}21B x x =∈=N ，那么AB =（A ）{1}（B ）{0,1}（C ）{1,1}-（D ）{1,0,1}-（2）已知()f x 为奇函数，且当0x >时，()2f x x =-，则1()2f -的值为（A ）52-（B ）32- （C ） 32 （D ）52（3）若扇形的半径为1，周长为π，则该扇形的圆心角为（A ）π （B ）π-1 （C ）π-2 （D ）12π- （4）下列命题为真命题的是 （A ）若a b >，则22a b > （B ）若0a b >>，则22ac bc > （C ）若a b <，0c >，则ac bc > （D ） 若0a b <<，0c >，则c c a b> （5）已知tan 1α=-，则222sin3cos αα-=（A ） 74-（B ） 12- （C ） 12 （D ） 34（6）若函数)(x f 是R 上的减函数，0a >，则下列不等式一定成立的是（A ）2()()f a f a < （B ）1()()f a f a< （C ）()(2)f a f a <（D ）2()(1)f a f a <-（7）已知2log 3a =，4log 5b =，8log 7c =，则（A）a b c<<（B）c a b<<（C）c b a<<（D）b c a<<（8）“,k kαβ=π+∈Z”是“tan tanαβ=”成立的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（9）如图所示，单位圆上一定点A与坐标原点重合．若单位圆从原点出发沿x轴正向滚动一周，则A点形成的轨迹为（A）（B）（C）（D）（10）已知函数()af x xx=+，给出下列结论：①a∀∈R，()f x是奇函数；②a∃∈R，()f x不是奇函数；③a∀∈R，方程()f x x=-有实根；④a∃∈R，方程()f x x=-有实根．其中，所有正确结论的序号是（A）①③（B）①④（C）①②④（D）②③④第二部分（非选择题共60分）二、填空题：共5小题，每小题4分，共20分。

2020-2021北京市初二数学上期末试题（附答案）一、选择题1.世界上最小的鸟是生活在古巴的吸蜜蜂鸟，它的质量约为0.056盎司.将0.056用科学 记数法表示为（） A. 5.6x10 1B. 5.6x10 2C. 5.6x10 3D. 0.56x10 12.如图，R3ABC 中，AD 是NBAC 的平分线，DE±AB,垂足为E,若AB=10cm, AC=6cm,则BE 的长度为（）( 4/n + 4那么代数式〃? +I mA. -2B. -1C. 2D. 34 .计算：Ex ，-2x ） + （ _ 2x ）的结果是（ ）A. 2x 2- 1B. -2x2-1 c. -2x2+l D , - 2x 25.2019年7月30 口阳朔至鹿寨高速公路建成通车，已知从阳朔至鹿寨国道的路程为150E1,现在高速路程缩短了 20k 〃，若走高速的平均车速是走国道的2.5倍，所花时间 比走国道少用L5小时，设走国道的平均车速为双〃/〃，则根据题意可列方程为（）7 .已知关于x 的分式方程匕"-1 =?一的解是正数，则/〃的取值范围是（） X-l 1-XA. 〃？V4且〃?彳3B. m<4C.加9 且阳#3D.加>5且加r6nrm + 2的值是（♦寺） 150-20 150 f _ A. -------------- ——= 1.5 x 2.5x 150 150-20 ♦ . B. -------- - ----- = 1.52.5% x150 150-20 C. --- - -------- 二 1.3150-20 150 D. ------- - --- =1.2)6.如图，在^ABC 中，ZACB=90°,分别以点A 和B 为圆心,为半径作弧，两弧相交于点M 和N,作直线MN 交AB 于点D,以相同的长（大于?AB ） 2交BC 于点E,连接CD,C. ZA=ZBEDD. ZECD=ZEDC3.如果，/ +2m —2 = 0轴于点N,再分别以点M 、N 为圆心，大于L MN 的长为半径画弧，两弧在第二象限交于2 点P.若点P 的坐标为（2a, b+1）,则a 与b 的数量关系为（）A. a=bB. 2a+b= - 1C. 2a - b=l 9 .如图，在△ABC 中，以点8为圆心，以84长为半径画弧交边8c 于点。

2020年北京市八年级上册期末数学试卷一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．（3分）图书馆的标志是浓缩了图书馆文化的符号，下列图书馆标志中，不是轴对称的是（）A．B．C．D．2．（3分）500米口径球面射电望远镜，简称FAST，是世界上最大的单口径球面射电望远镜，被誉为“中国天眼”．2018年4月18日，FAST望远镜首次发现的毫秒脉冲星得到国际认证，新发现的脉冲星自转周期为0.00519秒，是至今发现的射电流量最弱的高能毫秒脉冲星之一．将0.00519用科学记数法表示应为（）A．0.519×10﹣2B．5.19×10﹣3C．51.9×10﹣4D．519×10﹣63．（3分）在△ABC中，AB＝3，AC＝5，第三边BC的取值范围是（）A．10＜BC＜13 B．4＜BC＜12 C．3＜BC＜8 D．2＜BC＜84．（3分）如图，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5等于（）A．360°B．540°C．720°D．900°5．（3分）对于一次函数y＝（k﹣3）x+2，y随x的增大而增大，k的取值范围是（）A．k＜0 B．k＞0 C．k＜3 D．k＞36．（3分）下列各式中，正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝﹣7．（3分）如图，已知△ABC，下面甲、乙、丙、丁四个三角形中，与△ABC全等的是（）A．甲B．乙C．丙D．丁8．（3分）小东一家自驾车去某地旅行，手机导航系统推荐了两条线路，线路一全程75km，线路二全程90km，汽车在线路二上行驶的平均时速是线路一上车速的1.8倍，线路二的用时预计比线路一用时少半小时，如果设汽车在线路一上行驶的平均速度为xkm/h，则下面所列方程正确的是（）A．＝+B．＝﹣C．＝+D．＝﹣9．（3分）如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，当PC与PE的和最小时，∠CPE的度数是（）A．30°B．45°C．60°D．90°10．（3分）如图，线段AB＝6cm，动点P以2cm/s的速度从A﹣B﹣A在线段AB上运动，到达点A后，停止运动；动点Q以1cm/s的速度从B﹣A在线段AB上运动，到达点A后，停止运动．若动点P，Q同时出发，设点Q的运动时间是t（单位：s）时，两个动点之间的距离为S（单位：cm），则能表示S与t的函数关系的是（）A．B．C．D．二、填空题（本题共18分，第11～16题，每小题2分，第17题3分，第18题3分）11．（2分）若分式的值为零，则x的值为．12．（2分）在平面直角坐标系中，点P（1，﹣2）关于x轴对称的点的坐标是．13．（2分）计算：20+2﹣2＝．14．（2分）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线MN交AC于点D，连接BD．若AC＝7，BC ＝5，则△BDC的周长是．15．（2分）如图，边长为acm的正方形，将它的边长增加bcm，根据图形写一个等式．16．（2分）如图，在△ABC中，CD是它的角平分线，DE⊥AC于点E．若BC＝6cm，DE＝2cm，则△BCD的面积为cm2．17．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（4，﹣3），且OA＝5，在x轴上确定一点P，使△AOP为等腰三角形．（1）写出一个符合题意的点P的坐标；（2）请在图中画出所有符合条件的△AOP．18．（3分）（1）如图，∠MAB＝30°，AB＝2cm．点C在射线AM上，利用图1，画图说明命题“有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形全等”是假命题．你画图时，选取的BC的长约为cm（精确到0.1cm）．（2）∠MAB为锐角，AB＝a，点C在射线AM上，点B到射线AM的距离为d，BC＝x，若△ABC的形状、大小是唯一确定的，则x的取值范围是．三、解答题（本题共30分，每小题6分）19．（6分）（1）分解因式x（x﹣a）+y（a﹣x）（2）分解因式x3y﹣10x2y+25xy20．（6分）计算：+21．（6分）解方程：+＝122．（6分）如图，点A，B，C，D在一条直线上，且AB＝CD，若∠1＝∠2，EC＝FB．求证：∠E＝∠F．23．（6分）在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝3x与直线l2：y＝kx+b交于点A（a，3），点B（2，4）在直线l2上．（1）求a的值；（2）求直线l2的解析式；（3）直接写出关于x的不等式3x＜kx+b的解集．四、解答题（本题共12分，第24题7分，第25题5分）24．（7分）在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的两个顶点的坐标分别为A（﹣2，0），D（﹣2，4），顶点B在x轴的正半轴上．（1）写出点B，C的坐标；（2）直线y＝5x+5与x轴交于点E，与y轴交于点F．求△EFC的面积．25．（5分）阅读下列材料下面是小明同学“作一个角等于60°的直角三角形”的尺规作图过程．已知：线段AB（如图1）求作：△ABC，使∠CAB＝90°，∠ABC＝60°作法：如图2，（1）分别以点A，点B为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点D，连接BD （2）连接BD并延长，使得CD＝BD；（3）连接AC△ABC就是所求的直角三角形证明：连接AD．由作图可知，AD＝BD＝AB，CD＝BD∴△ABD是等边三角形（等边三角形定义）∴∠1＝∠B＝60°（等边三角形每个内角都等于60°）∴CD＝AD∴∠2＝∠C（等边对等角）在△ABC中，∠1+∠2+∠B+∠C＝180°（三角形的内角和等于180°）∴∠2＝∠C＝30°∴∠1+∠2＝90°（三角形的内角和等于180°），即∠CAB＝90°∴△ABC就是所求作的直角三角形请你参考小明同学解决问题的方式，利用图3再设计一种“作一个角等于60°的直角三角形”的尺规作图过程（保留作图痕迹），并写出作法，证明，及推理依据．五、解答题（本题8分）26．（10分）在△ABC中，AB＝AC，在△ABC的外部作等边三角形△ACD，E为AC的中点，连接DE并延长交BC于点F，连接BD．（1）如图1，若∠BAC＝100°，求∠BDF的度数；（2）如图2，∠ACB的平分线交AB于点M，交EF于点N，连接BN．①补全图2；②若BN＝DN，求证：MB＝MN．2020年北京市八年级上册期末数学试卷答案一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．（3分）图书馆的标志是浓缩了图书馆文化的符号，下列图书馆标志中，不是轴对称的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形的概念解答．【解答】解：A、不是轴对称图形；B、是轴对称图形；C、是轴对称图形；D、是轴对称图形；故选：A．【点评】本题考查的是轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2．（3分）500米口径球面射电望远镜，简称FAST，是世界上最大的单口径球面射电望远镜，被誉为“中国天眼”．2018年4月18日，FAST望远镜首次发现的毫秒脉冲星得到国际认证，新发现的脉冲星自转周期为0.00519秒，是至今发现的射电流量最弱的高能毫秒脉冲星之一．将0.00519用科学记数法表示应为（）A．0.519×10﹣2B．5.19×10﹣3C．51.9×10﹣4D．519×10﹣6【分析】绝对值小于1的负数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：0.00519＝5.19×10﹣3．故选：B．【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．3．（3分）在△ABC中，AB＝3，AC＝5，第三边BC的取值范围是（）A．10＜BC＜13 B．4＜BC＜12 C．3＜BC＜8 D．2＜BC＜8【分析】已知两边，则第三边的长度应是大于两边的差而小于两边的和，这样就可求出第三边长的范围．【解答】解：第三边BC的取值范围是5﹣3＜BC＜5+3，即2＜BC＜8．故选：D．【点评】考查了三角形三边关系，已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．4．（3分）如图，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5等于（）A．360°B．540°C．720°D．900°【分析】多边形内角和定理：（n﹣2）•180°（n≥3）且n为整数），依此即可求解．【解答】解：（n﹣2）•180°＝（5﹣2）×180°＝3×180°＝540°．故∠1+∠2+∠3+∠4+∠5等于540°．故选：B．【点评】考查了多边形内角和定理，关键是熟练掌握多边形内角和定理：（n﹣2）•180 （n ≥3）且n为整数）．5．（3分）对于一次函数y＝（k﹣3）x+2，y随x的增大而增大，k的取值范围是（）A．k＜0 B．k＞0 C．k＜3 D．k＞3【分析】一次函数y＝kx+b，当k＞0时，y随x的增大而增大．据此列式解答即可．【解答】解：根据一次函数的性质，对于y＝（k﹣3）x+2，当k﹣3＞0时，即k＞3时，y随x的增大而增大．故选：D．【点评】本题考查了一次函数的性质．一次函数y＝kx+b，当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小．6．（3分）下列各式中，正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝﹣【分析】根据分式的基本性质解答即可．【解答】解：A、＝，故错误；B、＝+，故错误；C、＝，故正确；D、＝﹣，故错误；故选：C．【点评】本题考查了分式的基本性质，熟记分式的基本性质是解题的关键．7．（3分）如图，已知△ABC，下面甲、乙、丙、丁四个三角形中，与△ABC全等的是（）A．甲B．乙C．丙D．丁【分析】根据全等三角形的判定定理作出正确的选择即可．【解答】解：A．△ABC和甲所示三角形根据SA无法判定它们全等，故本选项错误；B．△ABC和乙所示三角形根据SAS可判定它们全等，故本选项正确；C．△ABC和丙所示三角形根据SA无法判定它们全等，故本选项错误；D．△ABC和丁所示三角形根据AA无法判定它们全等，故本选项错误；故选：B．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．8．（3分）小东一家自驾车去某地旅行，手机导航系统推荐了两条线路，线路一全程75km，线路二全程90km，汽车在线路二上行驶的平均时速是线路一上车速的1.8倍，线路二的用时预计比线路一用时少半小时，如果设汽车在线路一上行驶的平均速度为xkm/h，则下面所列方程正确的是（）A．＝+B．＝﹣C．＝+D．＝﹣【分析】设汽车在线路一上行驶的平均速度为xkm/h，则在线路二上行驶的平均速度为1.8xkm/h，根据线路二的用时预计比线路一用时少半小时，列方程即可．【解答】解：设汽车在线路一上行驶的平均速度为xkm/h，则在线路二上行驶的平均速度为1.8xkm/h，由题意得：＝+，故选：A．【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是，读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程．9．（3分）如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，当PC与PE的和最小时，∠CPE的度数是（）A．30°B．45°C．60°D．90°【分析】连接BE，则BE的长度即为PE与PC和的最小值．再利用等边三角形的性质可得∠PBC＝∠PCB＝30°，即可解决问题；【解答】解：如连接BE，与AD交于点P，此时PE+PC最小，∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，∴PC＝PB，∴PE+PC＝PB+PE＝BE，即BE就是PE+PC的最小值，∵△ABC是等边三角形，∴∠BCE＝60°，∵BA＝BC，AE＝EC，∴BE⊥AC，∴∠BEC＝90°，∴∠EBC＝30°，∵PB＝PC，∴∠PCB＝∠PBC＝30°，∴∠CPE＝∠PBC+∠PCB＝60°，故选：C．【点评】本题考查的是最短线路问题及等边三角形的性质，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键．10．（3分）如图，线段AB＝6cm，动点P以2cm/s的速度从A﹣B﹣A在线段AB上运动，到达点A后，停止运动；动点Q以1cm/s的速度从B﹣A在线段AB上运动，到达点A后，停止运动．若动点P，Q同时出发，设点Q的运动时间是t（单位：s）时，两个动点之间的距离为S（单位：cm），则能表示S与t的函数关系的是（）A．B．C．D．【分析】根据题意可以得到点P运动的快，点Q运动的慢，可以算出动点P和Q相遇时用的时间和点Q到达终点时的时间，从而可以解答本题．【解答】解：设点Q的运动时间是t（单位：s）时，两个动点之间的距离为s（单位：cm），6＝2t+t解得，t＝2此时，点P离点B的距离为：6﹣2×2＝2cm，点Q离点A的距离为：6﹣2＝4cm，相遇后，点P到达B点用的时间为：2÷2＝1s，此时两个动点之间的距离为3cm，由上可得，刚开始P和Q两点间的距离在越来越小直到相遇时，它们之间的距离变为0，此时用的时间为2s；相遇后，在第3s时点P到达B点，从相遇到点P到达B点它们的距离在变大，1s后P 点从B点返回，点P继续运动，两个动点之间的距离逐渐变小，同时达到A点．故选：D．【点评】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是明确各个时间段内它们对应的函数图象．二、填空题（本题共18分，第11～16题，每小题2分，第17题3分，第18题3分）11．（2分）若分式的值为零，则x的值为 1 ．【分析】分式的值为0的条件是分子为0，分母不能为0，据此可以解答本题．【解答】解：，则x﹣1＝0，x+1≠0，解得x＝1．故若分式的值为零，则x的值为1．【点评】本题考查分式的值为0的条件，注意分式为0，分母不能为0这一条件．12．（2分）在平面直角坐标系中，点P（1，﹣2）关于x轴对称的点的坐标是（1，2）．【分析】根据关于x轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，可得答案．【解答】解：点P（1，﹣2）关于x轴对称的点的坐标是（1，2），故答案为：（1，2）．【点评】本题考查了关于x轴对称的点的坐标，利用关于x轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数是解题关键．13．（2分）计算：20+2﹣2＝．【分析】根据零指数幂和负指数幂的知识点进行解答．【解答】解：原式＝1+＝．故答案为．【点评】本题主要考查了幂的负指数运算，先把底数化成其倒数，然后将负整指数幂当成正的进行计算，任何非0数的0次幂等于1，比较简单．14．（2分）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线MN交AC于点D，连接BD．若AC＝7，BC ＝5，则△BDC的周长是12 ．【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DA＝DB，根据三角形的周长公式计算即可．【解答】解：∵NM是AB的垂直平分线，∴DA＝DB，∴△BDC的周长＝BD+CD+BC＝AD+CD+BC＝AC+BC＝12，故答案为：12．【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．15．（2分）如图，边长为acm的正方形，将它的边长增加bcm，根据图形写一个等式a2+2ab+b2＝（a+b）2．【分析】依据大正方形的面积的不同表示方法，即可得到等式．【解答】解：由题可得，大正方形的面积＝a2+2ab+b2；大正方形的面积＝（a+b）2；∴a2+2ab+b2＝（a+b）2，故答案为：a2+2ab+b2＝（a+b）2．【点评】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，即运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释．16．（2分）如图，在△ABC中，CD是它的角平分线，DE⊥AC于点E．若BC＝6cm，DE＝2cm，则△BCD的面积为 6 cm2．【分析】作DF⊥BC于F，根据角平分线的性质求出DF，根据三角形的面积公式计算即可．【解答】解：作DF⊥BC于F，∵CD是它的角平分线，DE⊥AC，DF⊥BC，∴DF＝DE＝2，∴△BCD的面积＝×BC×DF＝6（cm2），故答案为：6．【点评】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．17．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（4，﹣3），且OA＝5，在x轴上确定一点P，使△AOP为等腰三角形．（1）写出一个符合题意的点P的坐标答案不唯一，如：（﹣5，0）；（2）请在图中画出所有符合条件的△AOP．【分析】（1）根据等腰三角形的性质即可求解；（2）可分三种情况：①AO＝AP；②AO＝PO；③AP＝PO；解答出即可．【解答】解：（1）一个符合题意的点P的坐标答案不唯一，如：（﹣5，0）；（2）如图所示：故答案为：答案不唯一，如：（﹣5，0）．【点评】本题主要考查了作图﹣复杂作图、等腰三角形的判定和坐标与图形的性质，注意讨论要全面，不要遗漏．18．（3分）（1）如图，∠MAB＝30°，AB＝2cm．点C在射线AM上，利用图1，画图说明命题“有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形全等”是假命题．你画图时，选取的BC的长约为答案不唯一如：BC＝1.2cm cm（精确到0.1cm）．（2）∠MAB为锐角，AB＝a，点C在射线AM上，点B到射线AM的距离为d，BC＝x，若△ABC的形状、大小是唯一确定的，则x的取值范围是x＝d或x≥a．．【分析】（1）答案不唯一，可以取BC＝1.2cm（1cm＜BC＜2cm）；（2）当x＝d或x≥a时，三角形是唯一确定的；【解答】解：（1）取BC＝1.2cm，如图在△ABC和△ABC′中满足SSA，两个三角形不全等．故答案为：答案不唯一如：BC＝1.2cm．（2）若△ABC的形状、大小是唯一确定的，则x的取值范围是x＝d或x≥a，故答案为x＝d或x≥a．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．三、解答题（本题共30分，每小题6分）19．（6分）（1）分解因式x（x﹣a）+y（a﹣x）（2）分解因式x3y﹣10x2y+25xy【分析】（1）直接提取公因式（x﹣a）分解因式即可．（2）先提取公因式xy，然后利用完全平方公式进一步进行因式分解．【解答】（1）解：x（x﹣a）+y（a﹣x）＝x（x﹣a）﹣y（x﹣a）＝（x﹣a）（x﹣y）；（2）解：x3y﹣10x2y+25xy＝xy（x2﹣10x+25）＝xy（x﹣5）2．【点评】考查了因式分解﹣提公因式法．当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的．20．（6分）计算：+【分析】原式先计算除法运算，再计算加减运算即可求出值．【解答】解：原式＝+•＝+＝+＝．【点评】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．21．（6分）解方程：+＝1【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：方程两边乘（x﹣3）（x+3），得x（x+3）+6 （x﹣3）＝x2﹣9，解得：x＝1，检验：当x＝1 时，（x﹣3）（x+3）≠0，所以，原分式方程的解为x＝1．【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．22．（6分）如图，点A，B，C，D在一条直线上，且AB＝CD，若∠1＝∠2，EC＝FB．求证：∠E＝∠F．【分析】求出∠DBF＝∠ACE，AC＝DB，根据SAS推出△ACE≌△DBF，根据全等三角形的性质得出即可．【解答】证明：∵∠1+∠DBF＝180°，∠2+∠ACE＝180°．又∵∠1＝∠2，∴∠DBF＝∠ACE，∵AB＝CD，∴AB+BC＝CD+BC，即AC＝DB，在△ACE和△DBF中，∴△ACE≌△DBF（SAS），∴∠E＝∠F．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，能求出△ACE≌△DBF是解此题的关键．23．（6分）在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝3x与直线l2：y＝kx+b交于点A（a，3），点B（2，4）在直线l2上．（1）求a的值；（2）求直线l2的解析式；（3）直接写出关于x的不等式3x＜kx+b的解集．【分析】（1）把A（a，3）代入y＝3x可求出a的值；（2）利用待定系数法求直线l2的解析式；（3）写出直线l2：y＝kx+b在直线l1：y＝3x上方所对应的自变量的范围即可．【解答】解：（1）直线l1：y＝3x与直线l2：y＝kx+b交于点A（a，3），所以3a＝3．解得a＝1．（2）由（1）得点A（1，3），直线l2：y＝kx+b过点A（1，3），点B（ 2，4 ），所以，解得所以直线l2的解析式为y＝x+2.4 分（3）不等式3x＜kx+b的解集为x＜1．【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．四、解答题（本题共12分，第24题7分，第25题5分）24．（7分）在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的两个顶点的坐标分别为A（﹣2，0），D（﹣2，4），顶点B在x轴的正半轴上．（1）写出点B，C的坐标；（2）直线y＝5x+5与x轴交于点E，与y轴交于点F．求△EFC的面积．【分析】（1）根据正方形的性质以及A、D、B的位置即可求得；（2）求得E、F点的坐标，进而求得OB＝2，BC＝4，OF＝5，OE＝1，EB＝3，根据三角形的面积公式和梯形的面积公式求得即可．【解答】解：（1）如图，∵正方形ABCD的两个顶点的坐标分别为A（﹣2，0），D（﹣2，4），顶点B在x轴的正半轴上，∴B（2，0），C（2，4）；（2）∵直线y＝5x+5与x轴交于点E，与y轴交于点F，∴E（﹣1，0），F（0，5），∵B（2，0），C（2，4），∴OB＝2，BC＝4，OF＝5，OE＝1，EB＝3，∴S梯形OBCF＝（OF+BC）•OB＝×（5+4）×2＝9，S△OEF＝OE•OF＝×1×5＝2.5，S△EBC＝EB•BC＝×3×4＝6，∴S△EFC＝S梯形OBCF+S△OEF﹣S△EBC＝9+2.5﹣6＝5.5．【点评】本题考查一次函数图象上点的坐标特征以及正方形的性质，坐标与图形的性质，求得点的坐标解题的关键．25．（5分）阅读下列材料下面是小明同学“作一个角等于60°的直角三角形”的尺规作图过程．已知：线段AB（如图1）求作：△ABC，使∠CAB＝90°，∠ABC＝60°作法：如图2，（1）分别以点A，点B为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点D，连接BD（2）连接BD并延长，使得CD＝BD；（3）连接AC△ABC就是所求的直角三角形证明：连接AD．由作图可知，AD＝BD＝AB，CD＝BD∴△ABD是等边三角形（等边三角形定义）∴∠1＝∠B＝60°（等边三角形每个内角都等于60°）∴CD＝AD∴∠2＝∠C（等边对等角）在△ABC中，∠1+∠2+∠B+∠C＝180°（三角形的内角和等于180°）∴∠2＝∠C＝30°∴∠1+∠2＝90°（三角形的内角和等于180°），即∠CAB＝90°∴△ABC就是所求作的直角三角形请你参考小明同学解决问题的方式，利用图3再设计一种“作一个角等于60°的直角三角形”的尺规作图过程（保留作图痕迹），并写出作法，证明，及推理依据．【分析】根据题意设计“作一个角等于60°的直角三角形”的尺规作图过程，连接DC．得到△DBC是等边三角形，根据等边三角形的性质得到∠B＝60°，根据等腰三角形的性质证明．【解答】解：作法：（1）延长BA至D，使AD＝AB；（2）分别以点B，点D为圆心，BD长为半径画弧，两弧交于点C；（3）连接AC，BC．则△ABC就是所求的直角三角形，证明：连接DC．由作图可知，BC＝BD＝DC，∴△DBC是等边三角形，∴∠B＝60°，∵CD＝CB，AD＝AB，∴AC⊥BD，∴△ABC就是所求作的直角三角形．【点评】本题考查的是等边三角形的性质，基本尺规作图，掌握等边三角形的判定定理和性质定理，等腰三角形的三线合一是解题的关键．五、解答题（本题8分）26．（10分）在△ABC中，AB＝AC，在△ABC的外部作等边三角形△ACD，E为AC的中点，连接DE并延长交BC于点F，连接BD．（1）如图1，若∠BAC＝100°，求∠BDF的度数；（2）如图2，∠ACB的平分线交AB于点M，交EF于点N，连接BN．①补全图2；②若BN＝DN，求证：MB＝MN．【分析】（1）分别求出∠ADF，∠ADB，根据∠BDF＝∠ADF﹣∠ADB计算即可；（2）①根据要求画出图形即可；②设∠ACM＝∠BCM＝α，由AB＝AC，推出∠ABC＝∠ACB＝2α，可得∠NAC＝∠NCA＝α，∠DAN＝60°+α，由△ABN≌△ADN（SSS），推出∠ABN＝∠ADN＝30°，∠BAN＝∠DAN＝60°+α，∠BAC＝60°+2α，在△ABC中，根据∠BAC+∠ACB+∠ABC＝180°，构建方程求出α，再证明∠MNB＝∠MBN即可解决问题；【解答】（1）解：如图1中，在等边三角形△ACD中，∠CAD＝∠ADC＝60°，AD＝AC．∵E为AC的中点，∴∠ADE＝∠ADC＝30°，∵AB＝AC，∴AD＝AB，∵∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝160°，∴∠ADB＝∠ABD＝10°，∴∠BDF＝∠ADF﹣∠ADB＝20°．（2）①补全图形，如图所示．②证明：连接AN．∵CM平分∠ACB，∴设∠ACM＝∠BCM＝α，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝2α．在等边三角形△ACD中，∵E为AC的中点，∴DN⊥AC，∴NA＝NC，∴∠NAC＝∠NCA＝α，∴∠DAN＝60°+α，在△ABN和△ADN中，∴△ABN≌△ADN（SSS），∴∠ABN＝∠ADN＝30°，∠BAN＝∠DAN＝60°+α，∴∠BAC＝60°+2α，在△ABC中，∠BAC+∠ACB+∠ABC＝180°，∴60°+2α+2α+2 α＝180°，∴α＝20°，∴∠NBC＝∠ABC﹣∠ABN＝10°，∴∠MNB＝∠NBC+∠NCB＝30°，∴∠MNB＝∠MBN，∴MB＝MN．。

2019-2020学年北京市东城区八年级（上）期末数学试卷(含答案） 一、选择题（本题共20分，每小题2分）1．在国庆70周年的庆典活动中，使用了大量的电子显示屏，0.0009m 微间距显示屏就是其中之一．数字0.0009用科学记数法表示应为（ ）2.下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）A ．m （a+b ）=ma+mbB ．3x 2-3x+1=3x （x-1）+1C ．x 2+3x+2=（x+1）（x+2)D ．（a+2）2=a 2+4a+43．如图是3×3的正方形网格，其中已有2个小方格涂成了黑色．现在要从编号为①‒④的小方格中选出1个也涂成黑色，使黑色部分依然是轴对称图形，不能选择的是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 4．下列各式计算正确的是（ ） A ．3a 2•a -1=3a B. （ab 2）3=ab6C ．（x-2）2=x 2-4 D.6x 8÷2x 2=3x45．对于任意的实数x ，总有意义的分式是（ ）6．如图，△ABC 中，∠A=40°，AB 的垂直平分线分别交AB ，AC 于点D ，E ，连接BE ，则∠BEC 的大小为（ ）A ．40°B ．50°C ．80°D ．100°7．若分式3122+-x x 的值为正数，则x 需满足的条件是（ ）8．已知△ABC，两个完全一样的三角板如图摆放，它们的一组对应直角边分别在AB，AC上，且这组对应边所对的顶点重合于点M，点M一定在（）A．∠A的平分线上B．AC边的高上C．BC边的垂直平分线上D．AB边的中线上9．如图，已知∠MON及其边上一点A．以点A为圆心，AO长为半径画弧，分别交OM，ON于点B和C．再以点C为圆心，AC长为半径画弧，恰好经过点B．错误的结论是（）A．S△A O C=S△A B CB．∠OCB=90°C．∠MON=30°D．OC=2BC10．已知OP平分∠AOB，点Q在OP上，点M在OA上，且点Q，M均不与点O重合．在OB上确定点N，使QN=QM，则满足条件的点N的个数为（）A．1个B．2 C．1个或2 D．无数个二、填空题（本题共16分，每小题2分）11．因式分解：a3-9a=____________12．已知-2是关于x的分式方程xxkx23=+-的根，则实数k的值为________13．如图，BE与CD交于点A，且∠C=∠D．添加一个条件_______________使得△ABC≌△AED．14．如图，将长方形纸片ABCD折叠，使顶点A，C重合，折痕为EF．若∠BAE=28°，则∠AEF的大小为__________15．如图，等边△ABC中，AD是BC边上的中线，且AD=4，E，P分别是AC，AD上的动点，则CP+EP的最小值等于__________16．我国古代数学曾有许多重要的成就，其中“杨辉三角”（如图）就是一例．这个三角形给出了（a+b）n（n=1，2，3，4，5，6）的展开式（按a的次数由大到小顺序排列）的系数规律．例如，第三行的三个数1，2，1，恰好对应）（a+b）2=a2+2ab+b2展开式中各项的系数；第五行的五个数1，4，6，4，1，恰好对应着）（a+b ）4=a 4+4a 3b+6a 2b 2+4ab 3+b 4展开式中各项的系数（1）（a+b ）5展开式中a 4b 的系数为_________（2）（a+b ）7展开式中各项系数的和为_________三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27-28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17．计算：332-++x x x18．下面是小明设计的“已知两线段及一角作三角形”的尺规作图过程． 已知：线段m ，n 及∠O求作：△ABC ，使得线段m ，n 及∠O 分别是它的两边和一角．作法：如图，①以点O 为圆心，m 长为半径画弧，分别交∠O 的两边于点M ，N②画一条射线AP ，以点A 为圆心，m 长为半径画弧，交AP 于点B ； ③以点B 为圆心，MN 长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点D ；④画射线AD；⑤以点A为圆心，n长为半径画弧，交AD于点C；⑥连接BC，则△ABC即为所求作的三角形．请回答：（1）步骤③得到两条线段相等，即______=________2）∠A=∠O的作图依据是_________________3）小红说小明的作图不全面，原因是_________________19．计算：20．如图，在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE，AD=AE．连接BD，CE，∠ABD=∠ACE．求证：AB=AC21．计算：22．解方程：23．23．在三角形纸片ABC中，∠B=90°，∠A=30°，AC=4，点E在AC上，AE=3．将三角形纸片按图1方式折叠，使点A的对应点A′落在AB的延长线上，折痕为ED，A′E交BC于点F．（1）求∠CFE的度数；（2）如图2，继续将纸片沿BF折叠，点A′的对应点为A″，A″F交DE于点G．求线段DG的长24．如图，△ABC．（1）尺规作图：过点C作AB的垂线交AB于点O．不写作法，保留作图痕迹；（2）分别以直线AB，OC为x轴，y轴建立平面直角坐标系，使点B，C均在正半轴上．若AB=7.5，OC=4.5，∠A=45°，写出点B关于y轴的对称点D的坐标；（3）在（2）的条件下，求△ACD的面积25．先化简，再求值：其中a是满足|a-3|=3-a的最大整数．26．列方程，解应用题：第二届中国国际进口博览会于2019年11月5日至10日在上海国家会展中心举行．与首届相比，第二届进博会的展览面积更大，企业展设置科技生活、汽车、装备等七个展区，展览面积由的270000平方米增加到330000平方米．参展企业比首届多了约300家，参展企业平均展览面积增加了12.8%，求首届进博会企业平均展览面积．（1）在解应用题时，我们常借助表格、线段图等分析题目中的数量关系．设首届进博会企业平均展览面积为x平方米，把下表补充完整：（2）根据以上分析，列出方程（不解方程）27．在△ABC中，AB＞BC，直线l垂直平分AC．（1）如图1，作∠ABC的平分线交直线l于点D，连接AD，CD．①补全图形；②判断∠BAD和∠BCD的数量关系，并证明．（2）如图2，直线l与△ABC的外角∠ABE的平分线交于点D，连接AD，CD．求证：∠BAD=∠BCD．28．对于△ABC及其边上的点P，给出如下定义：如果点M1，M2，M3，……，M n 都在△ABC的边上，且PM1=PM2=PM3=……=PM n，那么称点M1，M2，M3，……，M n为△ABC关于点P的等距点，线段PM1，PM2，PM3，……，PM n为△ABC关于点P的等距线段．（1）如图1，△ABC中，∠A＜90°，AB=AC，点P是BC的中点．①点B，C_____△ABC关于点P的等距点，线段PA，PB_____△ABC关于点P的等距线段；（填“是”或“不是”）②△ABC关于点P的两个等距点M1，M2分别在边AB，AC上，当相应的等距线段最短时，在图1中画出线段PM1，PM2；（2）△ABC是边长为4的等边三角形，点P在BC上，点C，D是△ABC关于点P 的等距点，且PC=1，求线段DC的长；（3）如图2，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°．点P在BC上，△ABC关于点P的等距点恰好有四个，且其中一个是点C．若BC=a，直接写出PC长的取值范围．（用含a的式子表示）参考答案：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10A C D ABC C AD C17.18.19.20.21.22.23.242526.27.28.。

2020-2021年秋季八年级上学期期末考试数学试题数学试题一、选择题（本大题共10小题，共30分）1.下列运算正确的是（）A. a2+a2=a4B. （-b2）3=-b6C. 2x•2x2=2x3D. （m-n）2=m2-n22.一个正数的两个平方根分别是2a-1与-a+2，则a的值为（）A. 1B. -1C. 2D. -23.如图，在△ABC中，∠C = 90°，AB的垂直平分线MN分别交AC，AB于点D，E．若∠CBD：∠DBA = 2 ：1，则∠A为（）A. 20°B. 25°C. 22.5°D. 30°4.如图，已知等腰三角形ABC，AB=AC．若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，则下列结论一定正确的是（）A.∠EBC=∠BACB. AE=BEC.AE=ECD. ∠EBC=∠ABE5.已知直角三角形的两条边长分别是3和5，那么这个三角形的第三条边的长为（）A. 4B. 16C.D. 4或6.如图，在△ABC中，AB=8，BC=10，AC=6，则BC边上的高A. 8AD为（）B. 9C. D. 107.用反证法证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°”时应假设（）A. 三角形中有一个内角小于或等于60°B. 三角形中有两个内角小于或等于60°C. 三角形中有三个内角小于或等于60°D. 三角形中没有一个内角小于或等于60°8.小明家下个月的开支预算如图所示，如果用于衣服上的支是200元，则估计用于食物上的支出是（）A. 200元B. 250元C. 300元D. 3509.一次数学测试后，某班40名学生的成绩被分为5组，第1～4组的频数分别为12、10、6、8，则第5组的频率是（）A. 0.1B. 0.2C. 0.3D. 0.410.如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，点B落在点B′处，则重叠部分△AFC的面积为（）A. 12B. 10C. 8D. 6二、填空题（本大题共5小题，共15分）11.计算：|-2|-=______．12.如图，以数轴的单位长度线段为边长作一个正方形，以表示数2 的点为圆心，正方形对角线长为半径画半圆，交数轴于点A和点B，则点A表示的数是_____________．13.如图示，△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，AB=5，CD=2，则△ABD的面积是______．14.实数，-2，π，，中，其中无理数出现的频数是______．15.如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为______．三、解答题（本大题共9小题，共75分）16.（8分）已知2a-1的算术平方根是3，3a+b-1的平方根是±4，c是的整数部分，求a+2b-c的平方根．17.（8分）计算（1）（3x-2）（2x+3）-（x-1）2（2）．18.（9分）如图，△ABC中，AB=BC，∠ABC=45°，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，BE与AD相交于F．（1）求证：BF=AC；（2）若CD=1，求AF的长．19.（9分）如图，四边形ABCD中，AB=20，BC=15，CD=7，AD=24，∠B=90°．（1）判断∠D是否是直角，并说明理由．（2）求四边形ABCD的面积20.（9分）某校开展“我最喜爱的一项体育活动”调查，要求每名学生必选且只能选一项，现随机抽查了m名学生，并将其结果绘制成如下不完整的条形图和扇形图．请结合以上信息解答下列问题：（1）m=______；（2）请补全上面的条形统计图；（3）在图2中，“乒乓球”所对应扇形的圆心角的度数为______；（4）已知该校共有1200名学生，请你估计该校约有______名学生最喜爱足球活动．21.（10分）如图，一架长25米的梯子，斜靠在竖直的墙上，这时梯子底端离墙7米．（1）此时梯子顶端离地面多少米？（2）若梯子顶端下滑4米，那么梯子底端将向左滑动多少米？22.（10分）为整治城市街道的汽车超速现象，交警大队在某街道旁进行了流动测速．如图，一辆小汽车在某城市街道上直行，某一时刻刚好行驶到离车速检测仪A60m的C处，过了4s后，小汽车到达离车速检测仪A100m的B处，已知该段城市街道的限速为60km/h，请问这辆小汽车是否超速？23.（12分）如图，已知△ABC中，∠B=90°，AB=8cm，BC=6cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．（1）当t=2秒时，求PQ的长；（2）求出发时间为几秒时，△PQB是等腰三角形？（3）若Q沿B→C→A方向运动，则当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间．参考答案1.B2.B3.C4.A5.D6.C7.D8.C9.A 10.B11.0 12.2-13.5 14.2 15.1016.解：由题意得：，………………………………………….2分∴a=5，b=2．……………………………………………………………………….4分∵9＜13＜16，∴3＜＜4．∴c=3．………………………………………………………………………………5分∴a+2b-c=6．…………………………………………………………………………7分∴a+2b-c的平方根是±．………………………………………………………….8分17.解：（1）（3x-2）（2x+3）-（x-1）2=6x2+9x-4x-6-x2+2x-1………………………………………………………………..2分=5x2+7x-7；…………………………………………………………………………4分（2）原式=x2-4y2-2xy+4y2+2xy……………………………………………………………6分=x2．………………………………………………………………………8分18.解：（1）AD⊥BD，∠BAD=45°，∴AD=BD，…………………………………………………1分∵∠BFD=∠AFE，∠AFE+∠CAD=90°，∠CAD+∠ACD=90°，∴∠BFD=∠ACD，…………………………………………..2分在△BDF和△ACD中，，∴△BDF≌△ACD（AAS），………………………………..4分∴BF=AC；……………………………………………….5分（2）连接CF，…………………………………………………………6分∵△BDF≌△ADC，∴DF=DC，∴△DFC是等腰直角三角形．……………………………………………..7分∵CD=1，CF=∵AB=BC，BE⊥AC，∴AE=EC，BE是AC的垂直平分线．∴AF=CF，………………………………………………………………8分∴AF=．………………………………………………………………9分19解：（1）连接AC，…………………………………………………1分∵∠B=90°，∴AC2=BA2+BC2=400+225=625，………………………2分∵DA2+CD2=242+72=625，…………………………………3分∴AC2=DA2+DC2，…………………………………………4分∴△ADC是直角三角形，即∠D是直角；…………………5分（2）∵S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC，………………………………6分∴…………………….7分…………………………………………….8分=234．……………………………………………………………………9分20.（1）150 ；…………………………………………………………2分（2）“足球“的人数=150×20%=30人，……………………………..4分补全上面的条形统计图如图所示；…………5分（3）36°；…………………………………………………………………………7分（4）240…………………………………………………………………………….9分21.解：（1）根据题意得△ABE是直角三角形……………………1分AB2=BE2+AE2…………………………………………………………………………………2分∵AB=25米，BE=7米，梯子距离地面的高度AE==24米．……………….4分答：此时梯子顶端离地面24米；……………………………5分（2）∵梯子下滑了4米，即梯子距离地面的高度CE=（24-4）=20米，……………….7分∴BD+BE=DE===15，………………………………………………8分∴DE=15-7=8（米），即下端滑行了8米．……………………………………………….9分答：梯子底端将向左滑动了8米．………………………………………………………..10分22.解：超速．…………………………………………………………………………….1分理由如下：在Rt△ABC中，AC=60m，AB=100m，……………………………………………………3分由勾股定理可得BC===80m，……………………………………6分∴汽车速度为80÷4=20m/s=72km/h，……………………………………………………….8分∵72＞60，……………………………………………………………………………………..9分∴这辆小汽车超速了．………………………………………………………………………10分23.（1）解：（1）BQ=2×2=4cm，……………………………………………………….1分BP=AB-AP=8-2×1=6cm，…………………………………………………………………..2分∵∠B=90°，=2（cm）；………………………………………………4分（2）解：根据题意得：BQ=BP，…………………………………………………………5分即2t=8-t，……………………………………………………………………………………6分解得：；…………………………………………………………………………………7分即出发时间为秒时，△PQB是等腰三角形；………………………………………………8分（3）解：分三种情况：①当CQ=BQ时，如图1所示：则∠C=∠CBQ，∵∠ABC=90°，∴∠CBQ+∠ABQ=90°，∠A+∠C=90°，∴∠A=∠ABQ∴BQ=AQ，∴CQ=AQ=5∴BC+CQ=11，∴t=11÷2=5.5秒．…………………………………………9分②当CQ=BC时，如图2所示：则BC+CQ=12∴t=12÷2=6秒．………………………………………10分③当BC=BQ时，如图3所示：过B点作BE⊥AC于点E，则（cm）∴(cm)，∴CQ=2CE=7.2cm，∴BC+CQ=13.2cm，∴t=13.2÷2=6.6秒．……………………………………………..11分由上可知，当t为5.5秒或6秒或6.6秒时，△BCQ为等腰三角形．…………….12分。

2020-2021学年北京市东城区八年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，符合题意的选项只有一个1．（3分）如果有意义，那么x的取值范围是（）A．x＞2B．x≥2C．x≤2D．x＜22．（3分）下列各式是最简二次根式的是（）A．B．C．D．3．（3分）若分式，则x的值是（）A．x＝1B．x＝﹣1C．x＝0D．x≠﹣14．（3分）下列各式中，运算正确的是（）A．a3•a3＝2a3B．（a2）3＝a6C．（2a2）3＝2a6D．a6÷a2＝a35．（3分）2020年突如其来的新型冠状病毒肺炎疫情席卷全球，我国在党中央的坚强领导下，取得了抗击疫情的巨大成就．科学研究表明，某种新型冠状病毒颗粒的直径约为125纳米，1纳米＝1.0×10﹣9米，若用科学记数法表示125纳米，则正确的结果是（）A．1.25×10﹣9米B．1.25×10﹣8米C．1.25×10﹣7米D．1.25×10﹣6米6．（3分）下列各式由左到右是分解因式的是（）A．x2+6x﹣9＝（x+3）（x﹣3）+6xB．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4C．x2﹣2xy﹣y2＝（x﹣y）2D．x2﹣8x+16＝（x﹣4）27．（3分）一个多边形内角和是1080°，则这个多边形是（）A．六边形B．七边形C．八边形D．九边形8．（3分）如图所示，点O是△ABC内一点，BO平分∠ABC，OD⊥BC于点D，连接OA，若OD＝5，AB＝20，则△AOB的面积是（）A．20B．30C．50D．1009．（3分）如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝10，点M、N在边OB上，PM ＝PN，若MN＝2，则OM＝（）A．3B．4C．5D．610．（3分）剪纸是我国传统的民间艺术．将一张纸片按图中①，②的方式沿虚线依次对折后，再沿图③中的虚线裁剪，最后将图④中的纸片打开铺平，所得图案应该是（）A．B．C．D．二、填空题（本题共16分，每小题2分）11．（2分）因式分解：x2y﹣4y＝．12．（2分）如果x2﹣10x+m是一个完全平方式，那么m的值是．13．（2分）图（1）是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是．14．（2分）如图所示，已知P是AD上的一点，∠ABP＝∠ACP，请再添加一个条件：，使得△ABP≌△ACP．15．（2分）小明同学用一根铁丝恰好围成一个等腰三角形，若其中两条边的长分别为15cm 和20cm，则这根铁丝的长为cm．16．（2分）如图，在△ABC中，D是BC上一点，AC＝AD＝DB，∠BAC＝105°，则∠B ＝°．17．（2分）如图，等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，D为BC的中点，AD ＝2，若P为AB上一个动点，则PC+PD的最小值为．18．（2分）如图，∠MON＝30°，点A1，A2，A3，A4，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，且△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，以此类推，若OA1＝1，则△A2021B2021A2022的边长为．三、解答题（本题共54分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．19．（5分）计算：|﹣|+﹣（π﹣2）0+（）﹣1．20．（5分）如图，点B，C，D，F在一条直线上，AB＝EF，AC＝ED，∠CAB＝∠DEF，求证：AC∥DE．21．（5分）已知x2﹣x+1＝0，求代数式（x+1）2﹣（x+1）（2x﹣1）的值．22．（4分）尺规作图：如图所示，在一次军事演习中，红方侦察员发现：蓝方指挥部点P在A区内，且到铁路FG和公路CE的距离相等，到两通讯站C和D的距离也相等，如果你是红方的指挥员，请你在图中标出蓝方指挥部点P的位置（保留作图痕迹，不必写作法）．23．（5分）解方程：+＝1．24．（5分）化简求值：（）÷，其中x＝2+．25．（5分）列分式方程解应用题：截止到2020年11月23日，全国832个国家级贫困县全部脱贫摘帽．某单位党支部在“精准扶贫”活动中，给结对帮扶的贫困家庭赠送甲、乙两种树苗．已知每棵乙种树苗的价格比甲种树苗的价格贵10元，用480元购买乙种树苗的棵数恰好与用360元购买甲种树苗的棵数相同，求甲、乙两种树苗每棵的价格．26．（6分）已知△ABC是等边三角形，点D是AC的中点，点P在射线BC上，点Q在线段AB上，∠PDQ＝120°．（1）如图1，若点Q与点B重合，求证：DB＝DP；（2）如图2，若点P在线段BC上，AC＝8，求AQ+PC的值．27．（7分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＞BC，D为AB的中点，E为CA延长线上一点，连接DE，过点D作DF⊥DE，交BC的延长线于点F，连接EF．作点B关于直线DF的对称点G，连接DG．（1）依题意补全图形；（2）若∠ADF＝α；①求∠EDG的度数（用含α的式子表示）；②请判断以线段AE，BF，EF为边的三角形的形状，并说明理由．28．（7分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l经过点M（3，0），且平行于y轴．给出如下定义：点P（x，y）先关于y轴对称得点P1，再将点P1关于直线l对称得点P′，则称点P′是点P关于y轴和直线l的二次反射点．（1）已知A（﹣4，0），B（﹣2，0），C（﹣3，1），则它们关于y轴和直线l的二次反射点A′，B′，C′的坐标分别是；（2）若点D的坐标是（a，0），其中a＜0，点D关于y轴和直线l的二次反射点是点D′，求线段DD′的长；（3）已知点E（4，0），点F（6，0），以线段EF为边在x轴上方作正方形EFGH，若点P（a，1），Q（a+1，1）关于y轴和直线l的二次反射点分别为P′，Q′，且线段P′Q′与正方形EFGH的边有公共点，求a的取值范围．2020-2021学年北京市东城区八年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，符合题意的选项只有一个1．【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．【解答】解：由题意得，x﹣2≥0，解得x≥2．故选：B．【点评】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．2．【分析】根据最简二次根式的概念判断即可．【解答】解：A、是最简二次根式；B、＝＝2，不是最简二次根式；C、＝|a|，不是最简二次根式；D、，被开方数的分母中含有字母，不是最简二次根式；故选：A．【点评】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．3．【分析】分式的值为零：分子等于零，分母不等于零．【解答】解：依题意得，x﹣1＝0，且x+1≠0，解得x＝1．故选：A．【点评】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．4．【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，幂的乘方运算法则，积的乘方运算法则以及同底数幂的除法法则逐一判断即可．【解答】解：A、a3•a3＝a6，故本选项不合题意；B、（a2）3＝a6，故本选项符合题意；C、（2a2）3＝8a6，故本选项不合题意；D、a6÷a2＝a4，故本选项不合题意；故选：B．【点评】本题主要考查了同底数幂的乘除法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．5．【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：125纳米＝0.000000125米＝1.25×10﹣7米．故选：C．【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．6．【分析】根据分解因式的定义逐个判断即可．【解答】解：A．等式由左到右的变形不属于分解因式，故本选项不符合题意；B．等式由左到右的变形属于整式乘法，不属于分解因式，故本选项不符合题意；C．等式两边不相等，即等式由左到右的变形不属于分解因式，故本选项不符合题意；D．等式由左到右的变形属于分解因式，故本选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查了因式分解的定义，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解，也叫分解因式．7．【分析】设这个多边形是n（n≥3）边形，则它的内角和是（n﹣2）180°，得到关于n 的方程组，就可以求出边数n．【解答】解：设这个多边形是n边形，由题意知，（n﹣2）×180°＝1080°，∴n＝8，所以该多边形的边数是八边形．故选：C．【点评】根据多边形的内角和定理，求边数的问题就可以转化为解方程的问题来解决．8．【分析】根据角平分线的性质求出OE，最后用三角形的面积公式即可解答．【解答】解：过O作OE⊥AB于点E，∵BO平分∠ABC，OD⊥BC于点D，∴OE＝OD＝5，∴△AOB的面积＝，故选：C．【点评】此题考查角平分线的性质，关键是根据角平分线的性质得出OE＝OD解答．9．【分析】作PH⊥MN于H，根据等腰三角形的性质求出MH，根据直角三角形的性质求出OH，计算即可．【解答】解：作PH⊥MN于H，∵PM＝PN，∴MH＝NH＝MN＝1，∵∠AOB＝60°，∴∠OPH＝30°，∴OH＝OP＝5，∴OM＝OH﹣MH＝4，故选：B．【点评】本题考查的是直角三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．10．【分析】对于此类问题，只要依据翻折变换，将图（4）中的纸片按顺序打开铺平，即可得到一个图案．【解答】解：按照图中的顺序，向右对折，向上对折，从斜边处剪去一个直角三角形，从直角顶点处剪去一个等腰直角三角形，展开后实际是从原菱形的四边处各剪去一个直角三角形，从菱形的中心剪去一个正方形，可得：．故选：A．【点评】本题主要考查了剪纸问题，解决这类问题要熟知轴对称图形的特点，关键是准确地找到对称轴．一般方法是动手操作，拿张纸按照题目的要求剪出图案，展开即可得到正确的图案．二、填空题（本题共16分，每小题2分）11．【分析】首先提取公因式y，再利用平方差公式分解因式即可．【解答】解：x2y﹣4y＝y（x2﹣4）＝y（x﹣2）（x+2）．故答案为：y（x﹣2）（x+2）．【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用乘法公式分解因式是解题关键．12．【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可求出m的值．【解答】解：∵x2﹣10x+m是一个完全平方式，∴m＝25．故答案为：25．【点评】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．13．【分析】先求出正方形的边长，继而得出面积，然后根据空白部分的面积＝正方形的面积﹣矩形的面积即可得出答案．【解答】解：∵图（1）是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，∴正方形的边长为：a+b，∵由题意可得，正方形的边长为（a+b），∴正方形的面积为（a+b）2，∵原矩形的面积为4ab，∴中间空的部分的面积＝（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2．故答案为（a﹣b）2．【点评】此题考查了完全平方公式的几何背景，求出正方形的边长是解答本题的关键．14．【分析】利用全等三角形的判定定理解决问题即可．【解答】解：若添加∠BAP＝∠CAP，且∠ABP＝∠ACP，AP＝AP，由“AAS”可证△ABP ≌△ACP；若添加∠APB＝∠APC，且∠ABP＝∠ACP，AP＝AP，由“AAS”可证△ABP≌△ACP；若添加∠BPD＝∠CPD，可得∠APB＝∠APC，且∠ABP＝∠ACP，AP＝AP，由“AAS”可证△ABP≌△ACP；故答案为∠BAP＝∠CAP或∠APB＝∠APC或∠BPD＝∠CPD．【点评】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是本题的关键．15．【分析】等腰三角形中两条边的长分别为15cm和20cm时，第三边的长可能为15cm或20cm，分别求得三角形的周长，即为铁丝的长．【解答】解：∵等腰三角形中两条边的长分别为15cm和20cm，∴当第三条边的长为15cm时，这根铁丝的长为15+15+20＝50（cm），此时15+15＞20，符合三角形的三边关系；当第三条边的长为20cm时，这根铁丝的长为15+20+20＝55（cm）．故答案为：50或55．【点评】本题考查了等腰三角形的判定及三角形的三边关系，熟练掌握相关性质及定理并分类讨论是解题的关键．16．【分析】设∠ADC＝α，然后根据AC＝AD＝DB，∠BAC＝105°，表示出∠B和∠BAD 的度数，最后根据三角形的内角和定理求出∠ADC的度数，进而求得∠B的度数即可．【解答】解：∵AC＝AD＝DB，∴∠B＝∠BAD，∠ADC＝∠C，设∠ADC＝α，∴∠B＝∠BAD＝，∵∠BAC＝105°，∴∠DAC＝105°﹣，在△ADC中，∵∠ADC+∠C+∠DAC＝180°，∴2α+105°﹣＝180°，解得：α＝50°，∴∠B＝∠BAD＝＝25°，故答案为：25．【点评】本题考查了等腰三角形的性质：①等腰三角形的两腰相等；②等腰三角形的两个底角相等，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．17．【分析】作点D关于AB的对称点E，连接PE，BE，依据轴对称的性质，即可得到DB ＝EB，DP＝EP，∠ABC＝∠ABE＝45°，根据PC+PD＝PC+PE，可得当C，P，E在同一直线上时，PC+PE的最小值等于CE的长，根据勾股定理进行计算，即可得出PC+PD的最小值为2．【解答】解：如图所示，作点D关于AB的对称点E，连接PE，BE，则DB＝EB，DP＝EP，∠ABC＝∠ABE＝45°，∵D是BC的中点，∴BD＝BC＝2，∴BE＝2，∵PC+PD＝PC+PE，∴当C，P，E在同一直线上时，PC+PE的最小值等于CE的长，此时，PC+PD最小，在Rt△BCE中，CE＝＝＝2，∴PC+PD的最小值为2．故答案为：2．【点评】此题考查了轴对称﹣线路最短的问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．18．【分析】根据等边三角形的性质得到∠B1A1A2＝60°，根据三角形的外角性质求出∠OB1A1，得到∠OB1A1＝∠MON，根据等腰三角形的判定定理得到A1B1＝OA1＝1，总结规律，根据规律解答．【解答】解：∵△A1B1A2为等边三角形，∴∠B1A1A2＝60°，∵∠MON＝30°，∴∠OB1A1＝∠B1A1A2﹣∠MON＝30°，∴∠OB1A1＝∠MON，∴A1B1＝OA1＝1，同理可得，A2B2＝OA2＝2，A3B3＝OA3＝4＝22，……，∴△A2021B2021A2022的边长＝22020，故答案为：22020．【点评】本题考查的是图形的变化规律、等边三角形的性质、三角形的外角性质，根据等边三角形的性质总结出规律是解题的关键．三、解答题（本题共54分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．19．【分析】根据绝对值，零指数幂、负整数指数幂的性质进行计算即可．【解答】解：原式＝+﹣1+2＝+2+1＝3+1．【点评】本题考查绝对值，零指数幂、负整数指数幂，掌握绝对值，另指数幂、负整数指数幂的性质的性质是正确计算的前提．20．【分析】先证△ABC≌△EFD（SAS），得出∠ACB＝∠EDF，则∠ACD＝∠EDC，再由平行线的判定即可得出结论．【解答】证明：在△ABC和△EFD中，，∴△ABC≌△EFD（SAS），∴∠ACB＝∠EDF，∴∠ACD＝∠EDC，∴AC∥DE．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定等知识；证明△ABC≌△EFD是解题的关键．21．【分析】根据多项式乘多项式进行化简，然后整体代入即可求值．【解答】解：原式＝x2+2x+1﹣2x2+x﹣2x+1＝﹣x2+x+2，当x2﹣x+1＝0，即﹣x2+x＝1时，原式＝1+2＝3．【点评】本题考查了多项式乘多项式，解决本题的关键是掌握多项式乘多项式．22．【分析】作线段CD的垂直平分线MN，作∠CBF的角平分线BE交MN于点P，点P即为所求作．【解答】解：如图，点P即为所求作．【点评】本题考查作图﹣应用与设计，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．23．【分析】首先方程两边乘以最简公分母，把分式方程化成整式方程，求出整式方程的解，再代入最简公分母检验即可．【解答】解：方程两边乘以（x+1）（x﹣1）得：（x+1）2+4＝（x+1）（x﹣1），解这个方程得：x＝﹣3，检验：当x＝﹣3时，（x+1）（x﹣1）≠0，x＝﹣3是原方程的解；∴原方程的解是：x＝﹣3．【点评】本题考查了分式方程的解法、一元一次方程方程的解法；熟练掌握分式方程的解法，方程两边乘以最简公分母，把分式方程化成整式方程是解决问题的关键．24．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，将a的值代入计算即可求出值．【解答】解：（）÷＝（﹣）•＝•＝，当x＝2+时，原式＝＝．【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．25．【分析】可设甲种树苗每棵的价格是x元，则乙种树苗每棵的价格是（x+10）元，根据等量关系：用480元购买乙种树苗的棵数恰好与用360元购买甲种树苗的棵数相同，列出方程求解即可【解答】解：设甲种树苗价格是x元/棵，则乙种树苗价格是（x+10）元/棵，依题意得：＝，解得：x＝30，经检验，x＝30是原方程的解，x+10＝30+10＝40（元），答：甲种树苗每棵的价格是30元，乙种树苗每棵的价格是40元．【点评】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．26．【分析】（1）由等边三角形和等腰三角形的性质得出∠DBC＝∠E，即可得出DB＝DE；（2）如图2，过点D作DH∥BC交AB于H，可证△ADH是等边三角形，由“ASA”可证△QDH≌△PDC，可得HQ＝PC，即可求解．【解答】证明：（1）∵△ABC为等边三角形，∴BA＝BC，∠ABC＝60°，∵D为AC的中点，∴DB平分∠ABC，∴∠DBC＝30°，∵∠EDB＝120°∴∠P＝180°﹣120°﹣30°＝30°∴∠DBC＝∠P，∴DB＝DP；（2）解：如图2，过点D作DH∥BC交AB于H，∵△ABC是等边三角形，AC＝8，点D是AC的中点，∴AD＝CD＝4，∠ABC＝∠ACB＝∠A＝60°，BC＝AC＝8，∵DH∥BC，∴∠ADH＝∠AHD＝60°，∴△ADH是等边三角形，∠HDC＝120°，∴AD＝HD＝AH＝4，∴HD＝CD＝4＝BH，∵∠QDP＝∠HDP＝120°，∴∠QDH＝∠PDC，在△QDH和△PDC中，，∴△QDH≌△PDC（ASA）∴HQ＝PC，∴AQ+PC＝AQ+QH＝AH＝4．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的性质和等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．27．【分析】（1）根据题意画出图形解答即可；（2）①根据轴对称的性质解答即可；②根据轴对称的性质和全等三角形的判定和性质得出AE＝GE，进而解答即可．【解答】解：（1）补全图形，如图所示：（2）①∵∠ADF＝α，∴∠BDF＝180°﹣α，由轴对称性质可知，∠GDF＝∠BDF＝180°﹣α，∵DF⊥DE，∴∠EDF＝90°，∴∠EDG＝∠GDF﹣∠EDF＝180°﹣α﹣90°＝90°﹣α；②以线段AE，BF，EF为边的三角形是直角三角形，连接GF，GE，由轴对称性质可知，GF＝BF，∠DGF＝∠B，∵D是AB的中点，∴AD＝BD，∵GD＝BD，∴AD＝GD，∵∠GDE＝∠EDA＝90°﹣α，DE＝DE，在△GDE与△ADE中，，∴△GDE≌△ADE（SAS），∴∠EGD＝∠EAD，AE＝GE，∵∠EAD＝90°+∠B，∴∠EGD＝90°+∠B，∴∠EGF＝∠EGD﹣∠DGF＝90°+∠B﹣∠B＝90°，∴以线段GE，GF，EF为边的三角形是直角三角形，∴以线段AE，BF，EF为边的三角形是直角三角形．【点评】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据轴对称的性质和全等三角形的判定和性质解答．28．【分析】（1）根据二次反射点的定义直接得出答案；（2）根据二次反射点的定义得出D′（6+a，0），则可得出答案（3）根据二次反射点的定义得出P′（6+a，1），Q′（7+a，1），由题意分两种情况列出不等式组，解不等式组可得出答案．【解答】解：（1）∵A（﹣4，0），∴点A关于y轴点的对称的坐标为（4，0），∵（4，0）关于直线l对称得点A′（2，0），∴点A（﹣4，0）关于y轴和直线l的二次反射点A′（2，0）；∵B（﹣2，0），∴点B关于y轴点的对称的坐标为（2，0），∵（2，0）关于直线l对称得点B′（4，0），∴点B（﹣2，0）关于y轴和直线l的二次反射点B′（4，0）；∵C（﹣3，1），∴点C关于y轴点的对称的坐标为（3，1），∵（3，1）关于直线l对称得点C′（3，1），∴点C（﹣3，1）关于y轴和直线l的二次反射点C′（3，1）；故答案为：A′（2，0），B′（4，0），C′（3，1）；（2）∵点D的坐标是（a，0），a＜0，∴点D关于y轴对称的点的坐标为（﹣a，0），∴（﹣a，0）关于直线l对称得点D′（6+a，0），∴DD'＝6+a﹣a＝6．（3）∵点P（a，1），∴点P（a，1）关于y轴和直线l的二次反射点为P′（6+a，1），∵Q（a+1，1），∴Q（a+1，1）关于y轴和直线l的二次反射点为Q′（7+a，1），当P'Q'与EH有公共点时，，∴﹣3≤a≤﹣2，当P'Q'与FG有公共点时，，∴﹣1≤a≤0，∴﹣3≤a≤﹣2或﹣1≤a≤0，【点评】本题考查了正方形的性质，轴对称性质，动点问题，新定义二次反射点的理解和运用；解题关键是对新定义二次反射点的正确理解．。

北师大新版2020-2021学年八年级上册数学期末复习试题一．选择题（共12小题，满分48分，每小题4分）1．点P（a﹣2，a+1）在x轴上，则a的值为（）A．2B．0C．1D．﹣12．有一组数据：2，5，3，4，5，3，4，5，则这组数据的众数是（）A．5B．4C．3D．23．在数轴上表示不等式组﹣1＜x≤3，正确的是（）A．B．C．D．4．已知正比例函数y＝kx（k≠0）的图象经过点（1，﹣2），则正比例函数的解析式为（）A．y＝2x B．y＝﹣2x C．y＝x D．y＝﹣x5．直线a∥b，A、B分别在直线a、b上，△ABC为等边三角形，点C在直线a、b之间，∠1＝10〫，则∠2＝（）A．30〫B．40〫C．50〫D．70〫6．如图，已知△ABC的周长是16，MB和MC分别平分∠ABC和∠ACB，过点M作BC的垂线交BC于点D，且MD＝4，则△ABC的面积是（）A．64B．48C．32D．427．如图，正比例函数y1＝ax与一次函数y2＝x+b的图象交于点P．下面四个结论：①a ＜0；②b＜0；③不等式ax＞x+b的解集是x＜﹣2；④当x＞0时，y1y2＞0．其中正确的是（）A．①②B．②③C．①④D．①③8．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，点D在BC边上，过点D作DE∥AB交AC于点E，连结AD，DE，若∠ADE＝∠B＝30°，则线段CE的长为（）A．B．C．D．9．正比例函数y＝kx（k≠0）的函数值y随x的增大而减小，则一次函数y＝x﹣k的图象大致是（）A．B．C．D．10．如图，∠AOB＝90°，∠AOC是∠BOC的2倍，设∠AOC、∠BOC的度数分别为x、y，则可列方程组（）A ．B ．C ．D ．11．将6×6的正方形网格如图所示的放置在平面直角坐标系中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长都是1，正方形ABCD 的顶点都在格点上，若直线y ＝kx （k ≠0）与正方形ABCD 有公共点，则k 的值不可能是（ ）A ．B ．1C ．D ．12．如图所示，A （﹣，0）、B （0，1）分别为x 轴、y 轴上的点，△ABC 为等边三角形，点P （3，a ）在第一象限内，且在直线AB 的下方，满足2S △ABP ＝S △ABC ，则a 的值为（ ）A ．B ．C ．D ．2二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）13．不等式3﹣2x＞7的解集为．14．甲、乙、丙、丁四位同学在五次数学测验中他们成绩的平均分相等，方差分别是2.3，3.8，5.2，6.2，则成绩最稳定的同学是．15．在△ABC中，∠C＝35°，∠ABC＝110°，AB的垂直平分线DE交AC于点D，连接BD，则∠ABD＝度．16．如图，在等边△ABC中，AB＝8，E是BA延长线上一点，且EA＝4，D是BC上一点，且DE＝EC，则BD的长为．17．甲乙两人同解方程组时，甲正确解得，乙因抄错c而得，则a+c＝．18．如图，直线y＝﹣x+3与坐标轴分别交于点A，B，与直线y＝x交于点C，线段OA 上的点Q以每秒1个长度单位的速度从点O出发向点A作匀速运动，运动时间为t秒，连结CQ．（1）求出点C的坐标；（2）若△OQC是等腰直角三角形，则t的值为；（3）若CQ平分△OAC的面积，求直线CQ对应的函数关系式．三．解答题（共9小题，满分78分）19．解方程组（1）（2）20．解不等式组：，并求出所有整数解之和．21．如图，一条直线分别与直线AF、直线DF、直线AE、直线CE相交于点B，H，G，D 且∠1＝∠2，∠A＝∠D．求证：∠B＝∠C．22．现有学生若干人，分住若干宿舍．如果每间住4人，那么还余20人；如果每间住6人，那么有一间宿舍只住了2人．试求学生人数和宿舍间数．23．如图，已知在△ABC中，∠C＝90°，BE平分∠ABC，且BE∥AD，∠BAD＝20°，求∠AEB的度数．24．世界卫生组织预计：到2025年，全世界将会有一半人面临用水危机．为了倡导“节约用水，从我做起”，某县政府决定对县直属机关500户家庭一年的月平均用水量进行调查，调查小组随机抽查了部分家庭的月平均用水量（单位：吨），并将调查结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图根据以上提供的信息，解答下列问题：（1）将条形统计图补充完整；（2）求被调查家庭的月平均用水量的中位数和众数；（3）估计该县直属机关500户家庭的月平均用水量不少于12吨的约有多少户？25．如图，直线l1：y＝kx+b经过点Q（2，﹣2），与x轴交于点A（6，0），直线l2：y＝﹣2x+8与x轴相交于点B，与直线l1相交于点C．（1）求直线l1的表达式；（2）M的坐标为（a，2），当MA+MB取最小时．①求M点坐标；②横，纵坐标都是整数的点叫做整点．直接写出线段AM、BM、BC、AC围成区域内（不包括边界）整点的坐标．26．已知四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，AB＝BC，∠ABC＝120°，∠MBN＝60°，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于E，F．当∠MBN绕B点旋转到AE＝CF时（如图1），易证AE+CF＝EF；当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE，CF，EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．27．如图，在平面直角坐标系中，直线AB经过点A（，）和B（2，0），且与y 轴交于点D，直线OC与AB交于点C，且点C的横坐标为．（1）求直线AB的解析式；（2）连接OA，试判断△AOD的形状；（3）动点P从点C出发沿线段CO以每秒1个单位长度的速度向终点O运动，运动时间为t秒，同时动点Q从点O出发沿y轴的正半轴以相同的速度运动，当点Q到达点D 时，P，Q同时停止运动．设PQ与OA交于点M，当t为何值时，△OPM为等腰三角形？求出所有满足条件的t值．参考答案与试题解析一．选择题（共12小题，满分48分，每小题4分）1．解：∵点P（a﹣2，a+1）在x轴上，∴a+1＝0，解得：a＝﹣1，故选：D．2．解：这组数据中出现次数最多的是5，所以众数为5，故选：A．3．解：∵﹣1＜x≤3，∴在数轴上表示为：故选：C．4．解：把点（1，﹣2）代入y＝kx得k＝﹣2，所以正比例函数解析式为y＝﹣2x．故选：B．5．解：作CE∥a．∵a∥b，∴CE∥b，∴∠2＝∠ACE，∠1＝∠ECB，∵△ACB是等边三角形，∴∠ACB＝60°，∴∠1+∠2＝60°，∵∠1＝10°，∴∠2＝50°， 故选：C ．6．解：连接AM ，过M 作ME ⊥AB 于E ，MF ⊥AC 于F ，∵MB 和MC 分别平分∠ABC 和∠ACB ，MD ⊥BC ，MD ＝4， ∴ME ＝MD ＝4，MF ＝MD ＝4， ∵△ABC 的周长是16， ∴AB +BC +AC ＝16，∴△ABC 的面积S ＝S △AMC +S △BCM +S △ABM ＝＝×AC ×4++＝2（AC +BC +AB ） ＝2×16＝32， 故选：C ．7．解：因为正比例函数y 1＝ax 经过二、四象限，所以a ＜0，①正确； 一次函数y 2＝x +b 经过一、二、三象限，所以b ＞0，②错误； 由图象可得：不等式ax ＞x +b 的解集是x ＜﹣2，③正确； 当x ＞0时，y 1y 2＜0，④错误； 故选：D ． 8．解：∵AB ＝AC ， ∴∠B ＝∠C ＝30°， ∵DE ∥AB ，∴∠CDE ＝∠B ＝30°， ∴∠AED ＝∠CDE +∠C ＝60°，∵∠ADE ＝30°， ∴∠DAE ＝90°， ∴AD ＝AC •tan30°＝2×＝，∴AE ＝AD •tan30°＝， ∴CE ＝AC ﹣AE ＝2﹣＝． 故选：D ．9．解：∵正比例函数y ＝kx （k ≠0）的函数值y 随x 的增大而减小， ∴k ＜0，∵一次函数y ＝x ﹣k 的一次项系数大于0，常数项大于0，∴一次函数y ＝x +k 的图象经过第一、三象限，且与y 轴的正半轴相交． 故选：A ．10．解：设∠AOC 、∠BOC 的度数分别为x 、y ， 根据题意得：故选：C ．11．解：由图象可知A （1，2），C （2，1）， 把A 的坐标代入y ＝kx 中，求得k ＝2， 把C 的坐标代入y ＝kx 中，求得k ＝， 根据图象，当时，直线y ＝kx （k ≠0）与正方形ABCD 有公共点， 所以，k 的值不可能是D ， 故选：D ．12．解：过P 点作PD ⊥x 轴，垂足为D ， 由A （﹣，0）、B （0，1），得OA ＝，OB ＝1，∵△ABC 为等边三角形， 由勾股定理，得AB ＝＝2，∴S △ABC ＝×2×＝，又∵S △ABP ＝S △AOB +S 梯形BODP ﹣S △ADP＝××1+×（1+a）×3﹣×（+3）×a，＝，由2S△ABP ＝S△ABC，得＝，∴a＝．故选：C．二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）13．解：3﹣2x＞7移项得：﹣2x＞7﹣3，合并同类项：﹣2x＞4，解得：x＜﹣2．故答案为：x＜﹣2．14．解：∵2.3＜3.8＜5.2＜6.2，∴甲发挥最稳定，故答案为：甲．15．解：在△ABC中，∠A＝180°﹣∠C﹣∠ABC＝35°，∵DE是线段AB的垂直平分线，∴DA＝DB，∴∠ABD＝∠A＝35°，故答案为：35．16．解：过点E作EF⊥BC于F；如图所示：则∠BFE＝90°，∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°，BC＝AB＝8，∴∠FEB＝90°﹣60°＝30°，∵BE＝AB+AE＝8+4＝12，∴BF＝BE＝6，∴CF＝BC﹣BF＝2，∵ED＝EC，EF⊥BC，∴DF＝CF＝2，∴BD＝BF﹣DF＝4；故答案为：4．17．解：把代入②得：3c+14＝8，解得：c＝﹣2，把和代入①得：，解得：，所以a+c＝4+（﹣2）＝2，故答案为：2．18．解：（1）∵由，得，∴C（2，2）；（2）如图1，当∠CQO＝90°，CQ＝OQ，∵C（2，2），∴OQ＝CQ＝2，∴t＝2，②如图2，当∠OCQ＝90°，OC＝CQ，过C作CM⊥OA于M，∵C（2，2），∴CM＝OM＝2，∴QM＝OM＝2，∴t＝2+2＝4，即t的值为2或4，故答案为：2或4；（3）令﹣x+3＝0，得x＝6，由题意：Q（3，0），设直线CQ的解析式是y＝kx+b，把C（2，2），Q（3，0）代入得：，解得：k＝﹣2，b＝6，∴直线CQ对应的函数关系式为：y＝﹣2x+6．故答案为：（1）（2，2）；（3）y＝﹣2x+6．三．解答题（共9小题，满分78分）19．解：（1），①﹣②×4得：11y＝﹣11，解得：y＝﹣1，把y＝﹣1代入②得：x＝2，则方程组的解为；（2）方程组整理得：，①×2﹣②得：3y＝9，解得：y＝3，把y＝3代入①得：x＝5，则方程组的解为．20．解：，解不等式①得x＞﹣3，解不等式②得x≤1，∴原不等式组的解集是﹣3＜x≤1，∴原不等式组的整数解是﹣2，﹣1，0，1，∴所有整数解的和﹣2﹣1+0+1＝﹣2．21．证明：∵∠1＝∠2，∴AE∥DF，∴∠AEC＝∠D．又∵∠A＝∠D，∴∠AEC＝∠A，∴AB∥CD，∴∠B＝∠C．22．解：设学生有x人，宿舍有y间，依题意，得：，解得：．答：学生有68人，宿舍有12间．23．解：∵BE∥AD，∴∠ABE＝∠BAD＝20°，∵BE平分∠ABC，∴∠EBC＝∠ABE＝20°，∵∠C＝90°，∴∠AEB＝∠C+∠CBE＝90°+20°＝110°．24．解：（1）本次调查的户数为：10÷20%＝50，用水11吨的住户有：50×40%＝20（户），补全的条形统计图如右图所示；（2）由统计图中的数据可知，中位数是11吨、众数是11吨；（3）500×（10%+20%+10%）＝500×40%＝200（户）答：该县直属机关500户家庭的月平均用水量不少于12吨的约有200户．25．解：（1）将Q（2，﹣2）和A（6，0）代入y＝kx+b，有解得所以，直线l1的表达式为y＝x﹣3；（2）①如图，作点B关于直线y＝2的对称点B′，连接AB′交直线y＝2于M点，∵点B和点B′关于直线y＝2的对称，点B坐标为（4，0），∴B′（4，4），设AB′的解析式为y＝mx+n，则有：，解得，∴AB′的解析式为y＝﹣2x+12，∵当y＝2时，x＝5，∴点M的坐标为（5，2）；②连接AM、BM、B C、AC，如图可知整点为（5，0），（5，1）．26．解：∵AB⊥AD，BC⊥CD，AB＝BC，AE＝CF，在△ABE和△CBF中，，∴△ABE≌△CBF（SAS）；∴∠ABE＝∠CBF，BE＝BF；∵∠ABC＝120°，∠MBN＝60°，∴∠ABE＝∠CBF＝30°，∴AE＝BE，CF＝BF；∵∠MBN＝60°，BE＝BF，∴△BEF为等边三角形；∴AE+CF＝BE+BF＝BE＝EF；图2成立，图3不成立．证明图2．延长DC至点K，使CK＝AE，连接BK，在△BAE和△BCK中，则△BAE≌△BCK，∴BE＝BK，∠ABE＝∠KBC，∵∠FBE＝60°，∠ABC＝120°，∴∠FBC+∠ABE＝60°，∴∠FBC+∠KBC＝60°，∴∠KBF＝∠FBE＝60°，在△KBF和△EBF中，∴△KBF≌△EBF，∴KF＝EF，∴KC+CF＝EF，即AE+CF＝EF．图3不成立，AE、CF、EF的关系是AE﹣CF＝EF．27．解：（1）将点A、B的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b得：，解得：，故直线AB的表达式为：y＝﹣x+2；（2）直线AB的表达式为：y＝﹣x+2，则点D（0，2），由点A、B、D的坐标得：AD2＝1，AO2＝3，DO2＝4，故DO2＝OA2+AD2，故△AOD为直角三角形；（3）直线AB的表达式为：y＝﹣x+2，故点C（，1），则OC＝2，则直线AB的倾斜角为30°，即∠DBO＝30°，则∠ODA＝60°，则∠DOA＝30°故点C（，1），则OC＝2，则点C是BD的中点，故∠COB＝∠DBO＝30°，则∠AOC＝30°，∠DOC＝60°，OQ＝CP＝t，则OP＝OC﹣PC＝2﹣t，①当OP＝OM时，如图1，则∠OMP＝∠MPO＝（180°﹣∠AOC）＝75°，故∠OQP＝45°，过点P作PH⊥y轴于点H，则OH＝OP＝（2﹣t），由勾股定理得：PH＝（2﹣t）＝QH，OQ＝QH+OH＝（2﹣t）+（2﹣t）＝t，解得：t＝；②当MO＝MP时，如图2，则∠MPO＝∠MOP＝30°，而∠QOP＝60°，∴∠OQP＝90°，故OQ＝OP，即t＝（2﹣t），解得：t＝；③当PO＝PM时，则∠OMP＝∠MOP＝30°，而∠MOQ＝30°，而∠MOQ为外角，故这种情况不存在；综上，t＝或．。

北京市东城区2020—2021学年初二上期末数学试卷含答案本试卷共100分，考试时长100分钟。

一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的。

1. 下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是2. 下列运算正确的是A. x+x 2=x 3B. x 2·x 3=x 6C. （x 3）2=x 6D. x 9÷x 3=x 33. 下列式子为最简二次根式的是A.3B.4C.8D.214. 假如2 x 有意义，那么x 的取值范畴是A. x>2B. x≥2C. x≤2D. x<25. 如图在△ABC 中，∠ACB=90°，BE 平分∠ABC ，DE ⊥AB 于点D ，假如AC=3cm ，那么AE+DE 等于A. 2cmB. 3cmC. 4cmD. 5cm6. 如图，所示的图形面积由以下哪个公式表示 A. a 2-b 2=a （a-b ）+b （a-b ）B. （a-b ）2=a 2-2ab+b 2C. （a+b ）2=a 2+2ab+b 2D. a 2-b 2=（a-b ）（a+b ）7. 若分式112--x x 的值为0，则x 的值为A. x=1B. x=-1C. x=±1D. x≠18. 若x-x 1=1，则x 2+21x的值是 A. 3B. 2C. 1D. 49. 如图，△ABC 中，AB=AC ，D 是BC 的中点，AC 的垂直平分线分别交AC ，AD ，AB 于点E ，O ，F ，连接OC ，OB ，则图中全等的三角形有A. 1对B. 2对C. 3对D. 4对10. 如图，正方形ABCD 的面积为12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD+PE 最小，则那个最小值为A. 3B. 23C. 26D.6二、填空题（本题共14分，11-15题每小题2分，16题4分）11. 中国女药学家屠呦呦获2020年诺贝尔医学奖，她的突出奉献是创制新型抗疟药青蒿素和双氢青蒿素，这是中国医学界迄今为止获得的最高奖项.已知显微镜下的某种疟原虫平均长度为0.0000015米，该长度用科学记数法表示为____米.12. 如图，AB=AC ，点E ，点D 分别在AC ，AB 上，要使△ABE ≌△ACD ，应添加的条件是______.（添加一个条件即可）13. 若x 2+2（m-3）x+16是一个完全平方式，那么m 应为_______.14. 如图，Rt △ABC 的斜边AB 的中垂线MN 与AC 交于点M ，∠A=15°，BM=2，则△AMB 的面积为______.15. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （2，3），在坐标轴上找一点P ，使得△AOP 是等腰三角形，则如此的点P 共有_______个.16. 观看下列关于自然数的等式： 32-4×12=5 ①52-4×22=9 ② 72-4×32=13 ③依照上述规律解决下列问题：（1）完成第四个等式：_________________；（2）写出你猜想的第n 个等式（用含n 的式子表示）______________________.三、解答题（本题共56分）解答题应写出文字说明，验算步骤或证明过程。

北京市东城区2020—2021学年初二上期末数学复习试卷含答案初二数学复习检测试卷一、选择题：（共10个小题，每小题3分，共30分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的。

1. 运算0)2(-的结果是 （ ） A. －1 B. 0 C. 1 D. 22. 医学研究发觉一种新病毒的直径约为0.000043毫米，那个数用科学记数法表示为 （ ）A. 41043.0-⨯B. 41043.0⨯C. 5103.4-⨯D. 5103.4⨯3. 点P （1，2）关于y 轴对称点的坐标是 （ ）A. （－1，2）B. （1，－2）C. （1，2）D. （－1，－2）4. 下列运算中正确的是A. 10552a a a =+B. 623623a a a =⋅C. 326a a a =÷ D. 2224)2(b a ab =-5. 如图1，一棵大树在一次强台风中于离地面5米处折断倒下，倒下的部分与、地面成30°角，这棵大树在折断前的高度为 （ ）图1A. 10米B. 15米C. 25米D. 30米6. 化简aba b a +-222的结果是 （ ）A.a b a 2- B. a b a - C. a b a + D. ba ba +-7. 如图2：已知△ABC 中，AB ＝AC ，BD ＝CD ，则下列结论中错误的是 （ ）CD图2A. ∠B ＝∠CB. ∠BAD ＝∠CADC. AD ⊥BCD. ∠BAC ＝∠C8. 已知点A(-2，1y )、B(-1，2y )、C(3，3y )都在反比例函数xy 2=的图象上，则 （ ）A. 321y y y <<B. 123y y y <<C. 312y y y <<D. 213y y y << 9. 若21=+x x ，则221xx +的值是 （ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. －410. 如图3：△ABC 中，AB ＝AC ，DE 是AC 的中垂线，△BCE 的周长为14，BC ＝5，那么△ABC 的周长是（ ）图3A. 24B. 23C. 19D. 18二、填空题：（共8个小题，每小题2分，共16分）11. 在扇形统计图中，若其中一个扇形的面积占圆面积的41，则那个扇形的圆心角为_____________度。

2020-2021学年八年级数学上册期末试卷一．选择题（共8小题）1．使分式有意义的x的取值范围为（）A．x≠﹣2B．x≠2C．x≠0D．x≠±22．下列多项式中能用完全平方公式分解的是（）A．x2﹣x+1B．1﹣2x+x2C．﹣a2+b2﹣2ab D．4x2+4x﹣13．如图，将周长为8的△ABC沿BC方向平移1个单位得到△DEF，则四边形ABFD的周长是（）A．8B．10C．12D．144．关于x的方程无解，则m的值为（）A．﹣5B．﹣8C．﹣2D．55．二班学生某次测试成绩统计如下表：则得分的众数和中位数分别是（）得分（分）60708090100人数（人）7121083A．70分，70分B．80分，80分C．70分，80分D．80分，70分6．如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是AB边上的一点，且AE＝3，Q为对角线AC 上的动点，则△BEQ周长的最小值为（）A．5B．6C．D．87．在△ABC中，点D是边BC上的点（与B，C两点不重合），过点D作DE∥AC，DF∥AB，分别交AB，AC于E，F两点，下列说法正确的是（）A．若AD⊥BC，则四边形AEDF是矩形B．若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是矩形C．若BD＝CD，则四边形AEDF是菱形D．若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形8．如图，在▱ABCD中，AD＝2AB，F是AD的中点，E是AB上一点，连接CF、EF、EC，且CF＝EF，下列结论正确的个数是（）①CF平分∠BCD；②∠EFC＝2∠CFD；③∠ECD＝90°；④CE⊥AB．A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题（共6小题）9．若代数式的值为零，则x的取值应为．10．某校规定学生的期末学科成绩由三部分组成，将课堂、作业和考试三项得分按1：3：6的权重确定每个人的期末成绩．小明同学本学期数学这三项得分分别是：课堂98分，作业95分，考试85分，那么小明的数学期末成绩是分．11．如果x+＝3，则的值等于12．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝25°，将△ABC绕点C逆时针旋转至△DEC 的位置，点B恰好在边DE上，则∠θ＝度．13．在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，若△ABC的周长为32，BD＝16，则菱形ABCD的面积为14．已知：如图，△ABC的面积为12，将△ABC沿BC方向移到△A′B′C′的位置，使B′与C重合，连结AC′交A′C于D，则△C′DC的面积为．三．解答题（共10小题）15．如图，方格纸上每个小方格的边长都是1，△ABC是通过△A1B1C1旋转得到．（1）在图中标出旋转中心点O；（2）画出△ABC向下平移4个单位长度，再向右平移4个单位长度得到的△A2B2C2．16．因式分解（1）a3﹣16a；（2）8a2﹣8a3﹣2a17．计算：（1）+（﹣2bc）×；（2）先化简，再求值：（﹣1）•，其中x＝﹣5．18．解分式方程（1）（2）19．某市举行知识大赛，A校、B校各派出5名选手组成代表队参加决赛，两校派出选手的决赛成绩如图所示．（1）根据图示填写下表：平均数/分中位数/分众数/分A校85B校85100（2）结合两校成绩的平均数和中位数，分析哪个学校的决赛成绩较好；（3）计算两校决赛成绩的方差，并判断哪个学校代表队选手成绩较为稳定．20．如图，在▱ABCD中，G是CD上一点，连接BG且延长交AD的延长线于点E，AF＝CG，∠E＝30°，∠C＝50°，求∠BFD的度数．21．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．（1）试判断四边形ADCF的形状，并证明；（2）若AB⊥AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明．22．小明元旦前到文具超市用15元买了若干练习本，元旦这一天，该超市开展优惠活动，同样的练习本比元旦前便宜0.2元，小明又用20.7元钱买练习本，所买练习本的数量比上一次多50%，小明元旦前在该超市买了多少本练习本？23．（1）如图1，O是等边△ABC内一点，连接OA、OB、OC，且OA＝3，OB＝4，OC＝5，将△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，连接OD．求：①旋转角的度数；②线段OD的长；③求∠BDC的度数．（2）如图2所示，O是等腰直角△ABC（∠ABC＝90°）内一点，连接OA、OB、OC，将△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，连接OD．当OA、OB、OC满足什么条件时，∠ODC＝90°？请给出证明．24．在正方形ABCD中，BD是一条对角线，点P在CD上（与点C，D不重合），连接AP，平移△ADP，使点D移动到点C，得到△BCQ，过点Q作QM⊥BD于M，连接AM，PM （如图1）．（1）判断AM与PM的数量关系与位置关系并加以证明；（2）若点P在线段CD的延长线上，其它条件不变（如图2），（1）中的结论是否仍成立？请说明理由．参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．使分式有意义的x的取值范围为（）A．x≠﹣2B．x≠2C．x≠0D．x≠±2【分析】根据分式有意义的条件即可求出答案．【解答】解：x+2≠0，∴x≠﹣2故选：A．2．下列多项式中能用完全平方公式分解的是（）A．x2﹣x+1B．1﹣2x+x2C．﹣a2+b2﹣2ab D．4x2+4x﹣1【分析】根据完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2可得答案．【解答】解：A、x2﹣x+1不能用完全平方公式分解，故此选项错误；B、1﹣2x+x2能用完全平方公式分解，故此选项正确；C、﹣a2+b2﹣2ab不能用完全平方公式分解，故此选项错误；D、4x2+4x﹣1不能用完全平方公式分解，故此选项错误；故选：B．3．如图，将周长为8的△ABC沿BC方向平移1个单位得到△DEF，则四边形ABFD的周长是（）A．8B．10C．12D．14【分析】根据平移的基本性质，得出四边形ABFD的周长＝AD+AB+BF+DF＝1+AB+BC+1+AC即可得出答案．【解答】解：根据题意，将周长为8个单位的△ABC沿边BC向右平移1个单位得到△DEF，∴AD＝1，BF＝BC+CF＝BC+1，DF＝AC；又∵AB+BC+AC＝8，∴四边形ABFD的周长＝AD+AB+BF+DF＝1+AB+BC+1+AC＝10．故选：B．4．关于x的方程无解，则m的值为（）A．﹣5B．﹣8C．﹣2D．5【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解得到x+1＝0，求出x的值，代入整式方程求出m的值即可．【解答】解：去分母得：3x﹣2＝2x+2+m，由分式方程无解，得到x+1＝0，即x＝﹣1，代入整式方程得：﹣5＝﹣2+2+m，解得：m＝﹣5，故选：A．5．二班学生某次测试成绩统计如下表：则得分的众数和中位数分别是（）得分（分）60708090100人数（人）7121083A．70分，70分B．80分，80分C．70分，80分D．80分，70分【分析】根据一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，则中间的数（或中间两个数据的平均数）就是这组数据的中位数解答即可．【解答】解：由于总人数为7+12+10+8+3＝40人，所以中位数为第20、21个数据平均数，即中位数为＝80（分），因为70分出现次数最多，所以众数为70分，故选：C．6．如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是AB边上的一点，且AE＝3，Q为对角线AC 上的动点，则△BEQ周长的最小值为（）A．5B．6C．D．8【分析】连接BD，DE，根据正方形的性质可知点B与点D关于直线AC对称，故DE 的长即为BQ+QE的最小值，进而可得出结论．【解答】解：连接BD，DE，∵四边形ABCD是正方形，∴点B与点D关于直线AC对称，∴DE的长即为BQ+QE的最小值，∵DE＝BQ+QE＝＝5，∴△BEQ周长的最小值＝DE+BE＝5+1＝6．故选：B．7．在△ABC中，点D是边BC上的点（与B，C两点不重合），过点D作DE∥AC，DF∥AB，分别交AB，AC于E，F两点，下列说法正确的是（）A．若AD⊥BC，则四边形AEDF是矩形B．若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是矩形C．若BD＝CD，则四边形AEDF是菱形D．若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形【分析】由矩形的判定和菱形的判定即可得出结论．【解答】解：若AD⊥BC，则四边形AEDF是平行四边形，不一定是矩形；选项A错误；若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是菱形，不一定是矩形；选项B错误；若BD＝CD，则四边形AEDF是平行四边形，不一定是菱形；选项C错误；若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形；正确；故选：D．8．如图，在▱ABCD中，AD＝2AB，F是AD的中点，E是AB上一点，连接CF、EF、EC，且CF＝EF，下列结论正确的个数是（）①CF平分∠BCD；②∠EFC＝2∠CFD；③∠ECD＝90°；④CE⊥AB．A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】①只要证明DF＝DC，利用平行线的性质可得∠DCF＝∠DFC＝∠FCB；②延长EF和CD交于M，根据平行四边形的性质得出AB∥CD，根据平行线的性质得出∠A＝∠FDM，证△EAF≌△MDF，推出EF＝MF，求出CF＝MF，求出∠M＝∠FCD ＝∠CFD，根据三角形的外角性质求出即可；③④求出∠ECD＝90°，根据平行线的性质得出∠BEC＝∠ECD，即可得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD∥BC，∵AF＝DF，AD＝2AB，∴DF＝DC，∴∠DCF＝∠DFC＝∠FCB，∴CF平分∠BCD，故①正确，延长EF和CD交于M，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠A＝∠FDM，在△EAF和△MDF中，，∴△EAF≌△MDF（ASA），∴EF＝MF，∵EF＝CF，∴CF＝MF，∴∠FCD＝∠M，∵由（1）知：∠DFC＝∠FCD，∴∠M＝∠FCD＝∠CFD，∵∠EFC＝∠M+∠FCD＝2∠CFD；故②正确，∵EF＝FM＝CF，∴∠ECM＝90°，∵AB∥CD，∴∠BEC＝∠ECM＝90°，∴CE⊥AB，故③④正确，故选：D．二．填空题（共6小题）9．若代数式的值为零，则x的取值应为2．【分析】分式的值为0的条件是：（1）分子＝0；（2）分母≠0．两个条件需同时具备，缺一不可．【解答】解：若代数式的值为零，则（x﹣2）＝0或（x﹣1）＝0，即x＝2或1，∵|x|﹣1≠0，x≠1，∴x的取值应为2，故代数式的值为零，则x的取值应为2．10．某校规定学生的期末学科成绩由三部分组成，将课堂、作业和考试三项得分按1：3：6的权重确定每个人的期末成绩．小明同学本学期数学这三项得分分别是：课堂98分，作业95分，考试85分，那么小明的数学期末成绩是89.3分．【分析】因为数学期末成绩由课堂、作业和考试三部分组成，并按1：3：6的比例确定，所以利用加权平均数的公式即可求出答案．【解答】解：小明的数学期末成绩是＝89.3（分），故答案为：89.3．11．如果x+＝3，则的值等于【分析】由x+＝3得x2+2+＝9，即x2+＝7，整体代入原式＝＝，计算可得．【解答】解：∵x+＝3，∴（x+）2＝9，即x2+2+＝9，则x2+＝7，∵x≠0，∴原式＝＝＝＝，故答案为：．12．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝25°，将△ABC绕点C逆时针旋转至△DEC 的位置，点B恰好在边DE上，则∠θ＝50度．【分析】根据三角形内角和定理求出∠ABC，根据旋转变换的性质得到∠E＝∠ABC＝65°，CE＝CB，∠ECB＝∠DCA，计算即可．【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝25°，∴∠ABC＝65°，由旋转的性质可知，∠E＝∠ABC＝65°，CE＝CB，∠ECB＝∠DCA，∴∠ECB＝50°，∴∠θ＝50°，故答案为：50．13．在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，若△ABC的周长为32，BD＝16，则菱形ABCD的面积为96【分析】可设菱形ABCD的边长为x，则AC＝32﹣2x，根据菱形可得AO＝16﹣x，BO ＝8，根据勾股定理可求x，进一步得到AC，再根据菱形的面积公式即可求解．【解答】解：如图，设菱形ABCD的边长为x，则AC＝32﹣2x，AO＝16﹣x，BO＝8，依题意有（16﹣x）2+82＝x2，解得x＝10，AC＝32﹣2x＝12，则菱形ABCD的面积为16×12÷2＝96．故答案为：96．14．已知：如图，△ABC的面积为12，将△ABC沿BC方向移到△A′B′C′的位置，使B′与C重合，连结AC′交A′C于D，则△C′DC的面积为6．【分析】根据题意，可求得D为A′B′的中点，则可知△C′DC的面积为△ABC的面积的一半．【解答】解：∵将△ABC沿BC方向移到△A′B′C′的位置，使B′与C重合，∴AB∥A′B′，∵BC＝CC′，∴D为A′B′的中点，∴△C′DC的面积为△ABC的面积的一半，即为6．故答案为：6．三．解答题（共10小题）15．如图，方格纸上每个小方格的边长都是1，△ABC是通过△A1B1C1旋转得到．（1）在图中标出旋转中心点O；（2）画出△ABC向下平移4个单位长度，再向右平移4个单位长度得到的△A2B2C2．【分析】（1）连接AA，BB 1，作线段AA1，BB1的垂直平分线交于点O，点O即为所求．（2）分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可．【解答】解：（1）如图，点O即为所求．（2）如图，△A2B2C2即为所求．16．因式分解（1）a3﹣16a；（2）8a2﹣8a3﹣2a【分析】（1）首先提公因式a，再利用平方差进行分解即可；（2）首先提公因式﹣2a，再利用完全平方公式进行分解即可．【解答】解：（1）原式＝a（a2﹣16）＝a（a+4）（a﹣4）；（2）原式＝﹣2a（4a2﹣4a+1）＝﹣2a（2a﹣1）2．17．计算：（1）+（﹣2bc）×；（2）先化简，再求值：（﹣1）•，其中x＝﹣5．【分析】（1）先计算乘法，再计算加法即可得；（2）先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算可得．【解答】解：（1）原式＝﹣＝﹣＝；（2）原式＝•＝•＝﹣，当x＝﹣5时，原式＝﹣＝﹣．18．解分式方程（1）（2）【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：（1）去分母得：x﹣1＝﹣1﹣2x+4，移项合并得：3x＝4，解得：x＝，经检验x＝是分式方程的解；（2）去分母得：x2+2x﹣x2﹣x+2＝3，解得：x＝1，经检验x＝1是增根，分式方程无解．19．某市举行知识大赛，A校、B校各派出5名选手组成代表队参加决赛，两校派出选手的决赛成绩如图所示．（1）根据图示填写下表：平均数/分中位数/分众数/分A校858585B校8580100（2）结合两校成绩的平均数和中位数，分析哪个学校的决赛成绩较好；（3）计算两校决赛成绩的方差，并判断哪个学校代表队选手成绩较为稳定．【分析】（1）根据成绩表加以计算可补全统计表．根据平均数、众数、中位数的统计意义回答；（2）根据平均数和中位数的统计意义分析得出即可；（3）分别求出A校、B校的方差即可．【解答】解：（1）A校平均数为：×（75+80+85+85+100）＝85（分），众数85（分）；B校中位数80（分）．填表如下：平均数/分中位数/分众数/分A校858585B校8580100故答案为：85；85；80．（2）A校成绩好些．因为两个队的平均数都相同，A校的中位数高，所以在平均数相同的情况下中位数高的A校成绩好些．（3）∵A校的方差s12＝×[（75﹣85）2+（80﹣85）2+（85﹣85）2+（85﹣85）2+（100﹣85）2]＝70，B校的方差s22＝×[（70﹣85）2+（100﹣85）2+（100﹣85）2+（75﹣85）2+（80﹣85）2]＝160．∴s12＜s22，因此，A校代表队选手成绩较为稳定．20．如图，在▱ABCD中，G是CD上一点，连接BG且延长交AD的延长线于点E，AF＝CG，∠E＝30°，∠C＝50°，求∠BFD的度数．【分析】先根据平行四边形的性质和三角形的内角和定理求出∠ABC与∠ABE度数，据此得出∠CBG度数，再证△BCG≌△EAF得出∠AEF＝∠CBG，继而由三角形外角性质可得答案．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠C＝50°，∴∠A＝∠C＝50°，∠ABC＝180°﹣∠C＝130°，AE＝BC，∵∠E＝30°，∴∠ABE＝180°﹣∠A﹣∠E＝100°，∴∠CBG＝30°，在△BCG和△EAF中，∵，∴△BCG≌△EAF（SAS），∴∠CBG＝∠AEF＝30°，则∠BFD＝∠A+∠AEF＝80°．21．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．（1）试判断四边形ADCF的形状，并证明；（2）若AB⊥AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明．【分析】（1）由E是AD的中点，过点A作AF∥BC，易证得△AFE≌△DBE，然后证得AF＝BD＝CD，即可证得四边形ADCF是平行四边形；（2）由AB⊥AC，AD是BC边上的中线，可得AD＝CD＝BC，然后由四边形ADCF 是平行四边形，证得四边形ADCF是菱形．【解答】（1）解：四边形CDAF是平行四边形，理由如下：∵E是AD的中点，∴AE＝ED，∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE，∠F AE＝∠BDE，在△AFE和△DBE中，，∴△AFE≌△DBE（AAS），∴AF＝BD，∵AD是BC边中线，∴CD＝BD，∴AF＝CD，∴四边形CDAF是平行四边形；（2）四边形ADCF是菱形，∵AC⊥AB，AD是斜边BC的中线，∴AD＝BC＝DC，∵四边形ADCF是平行四边形，∴平行四边形ADCF是菱形．22．小明元旦前到文具超市用15元买了若干练习本，元旦这一天，该超市开展优惠活动，同样的练习本比元旦前便宜0.2元，小明又用20.7元钱买练习本，所买练习本的数量比上一次多50%，小明元旦前在该超市买了多少本练习本？【分析】设小明元旦前在该超市买了x本练习本，则元旦这一天在该超市买了1.5x本练习本，根据单价＝总价÷数量结合元旦这天的单价比元旦前便宜0.2元，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论．【解答】解：设小明元旦前在该超市买了x本练习本，则元旦这一天在该超市买了1.5x 本练习本，根据题意得：﹣＝0.2，解得：x＝6，经检验，x＝6是原方程的解，且符合题意．答：小明元旦前在该超市买了6本练习本．23．（1）如图1，O是等边△ABC内一点，连接OA、OB、OC，且OA＝3，OB＝4，OC＝5，将△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，连接OD．求：①旋转角的度数；②线段OD的长；③求∠BDC的度数．（2）如图2所示，O是等腰直角△ABC（∠ABC＝90°）内一点，连接OA、OB、OC，将△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，连接OD．当OA、OB、OC满足什么条件时，∠ODC＝90°？请给出证明．【分析】（1）①根据等边三角形的性质得BA＝BC，∠ABC＝60°，再根据旋转的性质得∠OBD＝∠ABC＝60°，于是可确定旋转角的度数为60°；②由旋转的性质得BO＝BD，加上∠OBD＝60°，则可判断△OBD为等边三角形，所以OD＝OB＝4；③由△BOD为等边三角形得到∠BDO＝60°，再利用旋转的性质得CD＝AO＝3，然后根据勾股定理的逆定理可证明△OCD为直角三角形，∠ODC＝90°，所以∠BDC＝∠BDO+∠ODC＝150°；（2）根据旋转的性质得∠OBD＝∠ABC＝90°，BO＝BD，CD＝AO，则可判断△OBD 为等腰直角三角形，则OD＝OB，然后根据勾股定理的逆定理，当CD2+OD2＝OC2时，△OCD为直角三角形，∠ODC＝90°．【解答】解：（1）①∵△ABC为等边三角形，∴BA＝BC，∠ABC＝60°，∵△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，∴∠OBD＝∠ABC＝60°，∴旋转角的度数为60°；②∵△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，∴BO＝BD，而∠OBD＝60°，∴△OBD为等边三角形；∴OD＝OB＝4；③∵△BOD为等边三角形，∴∠BDO＝60°，∵△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，∴CD＝AO＝3，在△OCD中，CD＝3，OD＝4，OC＝5，∵32+42＝52，∴CD2+OD2＝OC2，∴△OCD为直角三角形，∠ODC＝90°，∴∠BDC＝∠BDO+∠ODC＝60°+90°＝150°；（2）OA2+2OB2＝OC2时，∠ODC＝90°．理由如下：∵△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，∴∠OBD＝∠ABC＝90°，BO＝BD，CD＝AO，∴△OBD为等腰直角三角形，∴OD＝OB，∵当CD2+OD2＝OC2时，△OCD为直角三角形，∠ODC＝90°，∴OA2+2OB2＝OC2，∴当OA、OB、OC满足OA2+2OB2＝OC2时，∠ODC＝90°．24．在正方形ABCD中，BD是一条对角线，点P在CD上（与点C，D不重合），连接AP，平移△ADP，使点D移动到点C，得到△BCQ，过点Q作QM⊥BD于M，连接AM，PM （如图1）．（1）判断AM与PM的数量关系与位置关系并加以证明；（2）若点P在线段CD的延长线上，其它条件不变（如图2），（1）中的结论是否仍成立？请说明理由．【分析】（1）先判断出△DMQ是等腰直角三角形，再判断出△MDP≌△MQC（SAS），最后进行简单的计算即可；（2）先判断出△DMQ是等腰直角三角形，再判断出△MDP≌△MQC（SAS），最后进行简单的计算即可．【解答】解：（1）连接CM，∵四边形ABCD是正方形，QM⊥BD，∴∠MDQ＝45°，∴△DMQ是等腰直角三角形．∵DP＝CQ，在△MDP与△MQC中∴△MDP≌△MQC（SAS），∴PM＝CM，∠MPC＝∠MCP．∵BD是正方形ABCD的对称轴，∴AM＝CM，∠DAM＝∠MCP，∴∠AMP＝180°﹣∠ADP＝90°，∴AM＝PM，AM⊥PM．（2）成立，理由如下：连接CM，∵四边形ABCD是正方形，QM⊥BD，∴∠MDQ＝45°，∴△DMQ是等腰直角三角形．∵DP＝CQ，在△MDP与△MQC中∴△MDP≌△MQC（SAS），∴PM＝CM，∠MPC＝∠MCP．∵BD是正方形ABCD的对称轴，∴AM＝CM，∠DAM＝∠MCP，∴∠DAM＝∠MPC，∵∠PND＝∠ANM∴∠AMP＝∠ADP＝90°∴AM＝PM，AM⊥PM．1、三人行，必有我师。

2021-2022学年北京市东城区八年级（上）期末数学试卷1.在第32届夏季奥林匹克运动会(即2020年东京奥运会)上，中国健儿勇于挑战，超越自我，生动诠释了奥林匹克精神和中华体育精神，共获得38金32银18铜的骄人战绩．在下列的运动标识中，是轴对称图形的是( )A. B.C. D.2.肥皂属于碱性，碱性会破坏细菌的内部结构，对去除细菌有很强的效果，用肥皂洗手对预防传染疾病起到很重要的作用．肥皂泡的泡壁厚度大约是0.0000007m，将数字0.0000007用科学记数法表示应为( )A. 7×10−6B. 0.7×10−6C. 7×10−7D. 0.7×10−73.下列各式计算正确的是( )A. a2+a4=a8B. (2ab)4=2a4b4C. (a4)2=a8D. a8÷a2=a44.下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是( )A. x2−x+1=x(x−1)+1B. x(y+x)=xy+x2C. (x+y)(x−y)=x2−y2D. x2−2xy+y2=(x−y)25.下列分式中是最简分式的是( )A. 6x29x B. x2+y2x+yC. x2+4x+4x+2D. x2−1x−16.如图，BD是△ABC的角平分线，DE//BC，交AB于点E.若∠A=30°，∠BDC=50°，则∠BDE 的度数是( )A. 10°B. 20°C. 30°D. 50°7.如图，∠A=∠D=90°，AC，BD相交于点O.添加一个条件，不一定能使△ABC≌△DCB的是( )A. AB=DCB. OB=OCC. ∠ABO=∠DCOD. ∠ABC=∠DCB8.如图，在△ABE中，AE的垂直平分线MN交BE于点C，连接AC.若AB=AC，CE=5，BC=6，则△ABC的周长等于( )A. 11B. 16C. 17D. 189.若(mx+3)(x2−x−n)的运算结果中不含x2项和常数项，则m，n的值分别为( )A. m=0，n=0B. m=0，n=3C. m=3，n=1D. m=3，n=010.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF分别交AB、AC边于点E、F，点K为EF上一动点，则BK+CK的最小值是以下哪条线段的长度( )A. EFB. ABC. ACD. BC11.因式分解：a2b−4b=．12.当x时，分式1有意义．x−213.计算：(1)−2=．214.如果一个多边形的每个外角都等于60°，则这个多边形的边数是．15.如图，点B、D、E、C在一条直线上，若△ABD≌△ACE，BC=12，BD=3，则DE的长为．16.如图，BD，CE是等边三角形ABC的中线，BD，CE交于点F，则∠BFC=°.17.如图1，将边长为x的大正方形剪去一个边长为1的小正方形(阴影部分)，并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图2所示长方形．这两个图能解释一个等式是．18.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点C在直线l上．点P从点A出发，在三角形边上沿A→C→B的路径向终点B运动；点Q从B点出发，在三角形边上沿B→C→A的路径向终点A运动．点P和Q分别以1单位/秒和2单位/秒的速度同时开始运动，在运动过程中，若有一点先到达终点时，该点停止运动，另一个点要继续运动，直到两点都到达相应的终点时整个运动才能停止．在某时刻，分别过P和Q作PE⊥l于点E，QF⊥l于点F，则点P的运动时间等于秒时，△PEC与△CFQ全等．19.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC<BC.分别以点A，B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，两弧交于D，E两点，直线DE交BC于点F，连接AF.以点A为圆心，AF为半径画弧，交BC 延长线于点H，连接AH．(1)使用直尺和圆规完成作图过程(保留作图痕迹)；(2)通过作图过程，可以发现直线DE是线段AB的______，△AFH是______三角形；(3)若BC=4，则△AFH的周长为______．20.计算：a⋅a3−(a2)2+2a6÷a2．21.(1)已知：m2+3m−2=0，求代数式(m+2)(2m−1)+(m+3)2的值．(2)先化简x+2x2+2x+1÷x2x+1−1x2+x，然后选一个合适的x值代入，求出代数式的值．22.解分式方程：1+4x−5=2x5−x．23.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l是第一、三象限的角平分线．已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(3,1)，B(4,3)，C(6,0)．(1)若△ABC与△A′B′C′关于y轴对称，画出△A′B′C′；(2)若在直线l上存在点P，使△ABP的周长最小，则点P的坐标为______．24.如图，AD是△ABC的高，CE是△ADC的角平分线．若∠BAD=∠ECD，∠B=70°，求∠CAD 的度数．25.如图，在四边形ABCD中，E是CB上一点，分别延长AE，DC相交于点F，AB=CF，∠CEA=∠B+∠F．(1)求证：∠EAB=∠F；(2)若BC=10，求BE的长．26. 列方程解应用题：2021年9月23日，我国迎来第四个中国农民丰收节．在庆祝活动中记者了解到：某种粮大户2020年所种粮食总产量约150吨．在强农惠农富农政策的支持下，2021年该农户种粮积极性不断提高，他不仅扩大耕地面积，而且亩产量也大幅提高，因此取得大丰收．已知他2021年比2020年增加20亩耕地，亩产量是2020年的1.2倍，总产量约216吨，那么2020年该农户所种粮食的亩产量约为多少吨？27. 在等腰△ABC 中，AB =AC ，点D 是BC 边上的一个动点(点D 不与点B ，C 重合)，连接AD ，作等腰△ADE ，使AD =AE ，∠DAE =∠BAC ，点D ，E 在直线AC 两旁，连接CE ．(1)如图1，当∠BAC =90°时，直接写出BC 与CE 的位置关系；(2)如图2，当0°<∠BAC <90°时，过点A 作AF ⊥CE 于点F ，请你在图2中补全图形，用等式表示线段BD ，CD ，2EF 之间的数量关系，并证明．28. 在平面直角坐标系xOy 中，将点M(x,y)到x 轴和y 轴的距离的较大值定义为点M 的“相对轴距”，记为d(M).即：如果|x|≥|y|，那么d(M)=|x|；如果|x|<|y|，那么d(M)=|y|.例如：点M(1,2)的“相对轴距”d(M)=2． (1)点P(−2,1)的“相对轴距”d(P)=______；(2)请在图1中画出“相对轴距”与点P(−2,1)的“相对轴距”相等的点组成的图形； (3)已知点A(1,1)，B(2,3)，C(3,2)，点M ，N 是△ABC 内部(含边界)的任意两点． ①直接写出点M 与点N 的“相对轴距”之比d(M)d(N)的取值范围；②将△ABC 向左平移k(k >0)个单位得到△A′B′C′，点M′与点N′为△A′B′C′内部(含边界)的任意两点，并且点M′与点N′的“相对轴距”之比d(M′)d(N′)的取值范围和点M 与点N 的“相对轴距”之比d(M)d(N)的取值范围相同，请直接写出k 的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】解：选项A的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，选项B、C、D的图形均不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形;故选：A．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．此题主要考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2.【答案】C【解析】解：0.0000007=7×10−7．故选：C．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，据此即可解答．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n 为整数，正确确定a的值以及n的值是解决问题的关键．3.【答案】C【解析】解：A.a2，a4不是同类项，无法合并，故此选项不合题意；B.(2ab)4=16a4b4，故此选项不合题意；C.(a4)2=a8，故此选项符合题意；D.a8÷a2=a6，故此选项不合题意；故选：C．此题主要考查了合并同类项运算以及幂的乘方运算、积的乘方运算、同底数幂的除法法则，正确掌握相关运算法则是解题关键．4.【答案】D【解析】解：A.等式的右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；B.从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；C.从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；D.从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意；故选：D．根据因式分解的定义逐个判断即可．本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．5.【答案】B【解析】解：A．6x 29x =2x3，此选项不符合题意；B.x 2+y2x+y不能再进行化简，是最简分式，符合题意；C.x2+4x+4x+2=(x+2)2x+2=x+2，此选项不符合题意；D.x2−1x−1=(x+1)(x−1)x−1=x+1，此选项不符合题意；故选：B．根据最简分式的概念逐一判断即可．本题主要考查最简分式，解题的关键是掌握一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．6.【答案】B【解析】解：∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABD=∠CBD．∵DE//BC，∴∠CBD=∠BDE∴∠ABD=∠BDE．∵∠BDC=∠A+∠ABD，即50°=30°+∠ABD，∴∠ABD=20°．∴∠BDE=20°．故选：B．利用平行线的性质及角平分线的定义，先说明∠ABD=∠BDE，再利用三角形外角性质求出∠ABD 得结论．本题主要考查了三角形的内角和及平行线的性质，利用三角形外角性质求出∠ABD的度数是解决本题的关键．7.【答案】C【解析】解：当增加AB=DC时，在Rt△ABC和Rt△DCB中，{BC=CBAB=DC,∴Rt△ABC≌Rt△DCB(HL)，故A选项不符合题意；当增加OB=OC时，可得∠ACB=∠DBC，在△ABC和△DCB中，{∠A=∠D∠ACB=∠DBC BC=CB∴△ABC≌△DCB(AAS)，故B选项不符合题意；当增加∠ABO=∠DCO时，无相等边存在，故无法证明△ABC≌DCB，故C选项符合题意；当增加条件∠ABC=∠DCB时，在△ABC和△DCB中，{∠A=∠D∠ABC=∠DCB BC=CB,∴△ABC≌△DCB(AAS)，故D选项不符合题意；故选：C．当增加条件AB=DC，由HL即可证明Rt△ABC≌Rt△DCB；当增加条件∠ABC=∠DCB或OB= OC时，由AAS即可证明△ABC≌△DCB，进而可判定求解．本题考查了全等三角形的判定方法，熟练掌握全等三角形的判定方法，并能进行推理论证是解决问题的关键．8.【答案】B【解析】【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形周长的计算．根据的垂直平分线的性质得到AC=CE= 5，根据三角形的周长公式即可得到答案．【解答】解：∵AE的垂直平分线MN交BE于点C，∴AC=CE=5，∵AB=AC，BC=6，∴△ABC的周长等于AB+AC+BC=5+5+6=16．9.【答案】D【解析】解：(mx+3)(x2−x−n)=mx3−mx2−nmx+3x2−3x−3n=mx3+(−m+3)x2+(−nm−3)x−3n，∵(mx+3)(x2−x−n)的运算结果中不含x2项和常数项，∴−m+3=0，−3n=0，解得：m=3，n=0，故选：D．先根据多项式乘多项式法则展开，再合并同类项，根据结果中不含x2项和常数项，即求出m，n的值．本题考查了多项式乘多项式，能正确根据多项式乘多项式法则展开是解此题的关键．10.【答案】C【解析】解：连接AK，∵EF是线段AB的垂直平分线，∴AK=BK，∴AK+CK=BK+CK，∴AK+CK的最小值即为BK+CK的最小值，当A，K，C在同一直线上时，即K与F重合，AK+CK最小，即AK+CK=AC时，AK+CK的值最小，即BK+CK的值最小，∴BK+CK的最小值是线段AC的长度，故选：C．连接AK，根据线段垂直平分线的性质得到AK=BK，求得AK+CK=BK+CK，得到AK+CK的最小值=BK+CK的最小值，于是得到当AK+CK=AC时，AK+CK的值最小，即BK+CK的值最小，即可得到结论．本题考查的是轴对称−最短路线问题，线段垂直平分线的性质，三角形的三边关系，熟知线段垂直平分线的性质是解答此题的关键．11.【答案】b(a+2)(a−2)【解析】解：a2b−4b，=b(a2−4)，=b(a+2)(a−2)．此多项式有公因式，应先提取公因式b，再对余下的多项式进行观察，可利用平方差公式继续分解．本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．12.【答案】≠2【解析】【分析】本题考查了分式有意义的条件，即分式有意义，分母不等于零．根据题意可得x−2≠0，即可求出x的范围．13.【答案】4【解析】【分析】本题考查了负整数指数幂，利用了负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数．根据负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数，可得答案．【解答】解：(12)−2=1(12)2=114=4，故答案为：4．14.【答案】6【解析】解：360°÷60°=6．故这个多边形是六边形．故答案为：6．多边形的外角和除以60°，即可解答．本题考查了多边形的内角与外角，熟练掌握多边形的外角和、多边形的每一个外角的度数、多边形的边数三者之间的关系是解题的关键．15.【答案】6【解析】解：∵△ABD≌△ACE，BD=3，∴BD=CE=3，∵BC=12，∴DE=BC−BD−CE=12−3−3=6．故答案为：6．根据全等三角形的性质得出BD=CE=3，那么DE=BC−BD−CE=6．本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．16.【答案】120【解析】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，∵BD，CE是等边三角形ABC的中线，∴BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，∴∠FBC=12∠ABC=30°，∠FCB=12∠ACB=30°，∴∠BFC=180°−∠FBC−∠FCB=120°，故答案为：120．根据等腰三角形的三线合一性质可得BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，然后利用角平分线的定义解答即可．本题考查了等边三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的三线合一性质是解题的关键．17.【答案】x2−1=(x+1)(x−1)【解析】解：图1的面积为：x2−1，拼成的图2的面积为：(x+1)(x−1)，所以x2−1=(x+1)(x−1)，故答案为：x2−1=(x+1)(x−1)．根据图1、图2的面积相等可得答案．本题考查平方差公式的几何背景，用代数式分别表示图1、图2的面积是正确解答的关键．18.【答案】2或143或12【解析】解：∵△PEC与△CFQ全等，∴PC=CQ，设运动时间为ts，分四种情况：当点P在AC上，点Q在BC上，如图：∵PC=CQ，∴6−t=8−2t，∴t=2，当点P、Q都在AC上时，此时P、Q重合，如图：∵CP=CQ，∴6−t=2t−8，∴t=14，3当点P在BC上，点Q在AC上时，如图：∵PC=CQ，∴t−6=2t−8，∴t=2，不符合题意，当点Q到A点，点P在BC上时，如图：∵CQ=PC，∴6=t−6，∴t=12，或12秒时，△PEC与△CFQ全等，综上所述：点P的运动时间等于2或143故答案为：2或14或12．319.【答案】解：(1)作图如下所示：(2)通过作图过程，可以发现直线DE是线段AB的垂直平分线，△AFH是等腰三角形；故答案为：垂直平分线；等腰；(3)∵DE是线段AB的垂直平分线，∴AF=BF，∵AF=AH，∠ACB=90°∴FC=CH，∴△AFH的周长=AF+AH+FH=2BF+2FC=2BC=8，故答案为：8．【解析】本题考查了作图−简单作图，线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的作法．(1)根据作图过程即可完成作图；(2)根据垂直平分线的作法即可得结论；(3)根据垂直平分线的性质可得AF=BF，进而可求出△AFH的周长．20.【答案】解：a⋅a3−(a2)2+2a6÷a2=a4−a4+2a4=2a4．【解析】本题考查了合并同类项，同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方，熟练掌握它们的运算法则是解题的关键．先算乘方，再算乘除，最后算加减，然后进行计算即可．21.【答案】解：(1)(m+2)(2m−1)+(m+3)2=2m2−m+4m−2+m2+6m+9=3m2+9m+7，∵m2+3m−2=0，∴m2+3m=2．∴原式=3(m2+3m)+7=3×2+7 =13；(2)x+2x2+2x+1÷x2x+1−1x2+x=x+2(x+1)2⋅x+1x2−1x(x+1)=x+2x2(x+1)−xx2(x+1)=x+2−x x2(x+1)=2x2(x+1)，要使分式x+2x2+2x+1÷x2x+1−1x2+x有意义，x+1≠0且x≠0，即x≠−1且x≠0，∴取x=1(答案不唯一)，当x=1时，原式=212×(1+1)=1．【解析】本题考查了分式的化简与求值，整式的化简与求值等知识点，能正确根据分式、整式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．(1)先根据多项式乘多项式和完全平方公式进行计算，再合并同类项，变形后代入，即可求出答案；(2)先根据分式的除法法则把除法变成乘法，再根据分式的乘法和分式的减法法则进行计算，根据分式有意义的条件得出x≠−1且x≠0，取x=1(答案不唯一)，把x=1代入求出答案即可．22.【答案】解：1+4x−5=2x5−x1+4x−5=−2xx−5，去分母，得x−5+4=−2x，化简，得3x=1，解得：x=13，检验：把x=1代入最简公分母x−5≠0．3所以x=1是原分式方程的解．3【解析】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．23.【答案】解：(1)如图所示：(2)(3,3)．【解析】本题考查作图−轴对称变换，轴对称最短问题等知识，解题的关键学会利用轴对称解决最短路线问题．(1)利用轴对称的性质分别作出A，B，C的对应点A′，B′，C′即可；(2)作点B关于直线l的对称点B″，连接AB″交直线l于点P，连接PB，此时PA+PB的值最小，△ABP的周长最小．24.【答案】解：∵AD是△ABC的高，∴∠ADB=∠ADC=90°．∵∠B=70°，∴∠BAD=20°．∵∠BAD=∠ECD，∴∠ECD=20°．∵CE 是△ADC 的角平分线，∴∠ECD =12∠ACD ．∴∠ACD =40°．在△ACD 中，∠CAD =90°−∠ACD =50°．【解析】本题考查了三角形的内角和、高、角平分线等知识点，掌握三角形的内角和定理及三角形的高和角平分线的性质，是解决本题的关键．在△ABD 中，先利用三角形的内角和求出∠BAD ，再利用角平分线的定义求出∠ACD ，最后利用三角形的内角和求出∠CAD ．25.【答案】(1)证明：∵∠CEA 是△ABE 的外角，∴∠CEA =∠B +∠EAB ．又∵∠CEA =∠B +∠F ，∴∠EAB =∠F ．(2)解：在△ABE 和△FCE 中，{∠AEB =∠FEC ∠EAB =∠F AB =FC, ∴△ABE ≌△FCE(AAS)．∴BE =CE ．∵BC =BE +CE =10，∴BE =5．【解析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质；熟练掌握全等三角形的判定方法是解决问题的关键．(1)根据三角形外角的性质可得出结论；(2)证明△ABE≌△FCE(AAS).由全等三角形的性质可得出BE =CE ，则可得出答案．26.【答案】解：设2020年该农户所种粮食的亩产量约为x 吨，由题意，得：150x +20=2161.2x ， 解得：x =1.5．经检验，x=1.5是原分式方程的解，且符合题意，答：2020年该农户所种粮食的亩产量约为1.5吨．【解析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．设2020年该农户所种粮食的亩产量约为x吨，由题意：某种粮大户2020年所种粮食总产量约150吨．2021年比2020年增加20亩耕地，亩产量是2020年的1.2倍，总产量约216吨，列出分式方程，解方程即可．27.【答案】解：(1)BC⊥CE.理由如下：∵AB=AC，∠BAC=90°=∠DAE，∠BAD+∠DAC=∠DAC+∠CAE=90°∴∠ABC=∠ACB=45°，∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，{AB=AC∠BAD=∠CAE AD=AE，∴△ABD≌△ACE(SAS)，∴∠ABD=∠ACE=45°，∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，∴BC⊥CE；(2)解：如图，补全图形；当BD≤CD时，CD−BD=2EF，理由如下：延长EF到点G，使FG=EF.连接AG．∵∠DAE=∠BAC，∴∠DAE−∠DAC=∠BAC−∠DAC，∴∠CAE=∠BAD，在△ABD和△ACE中，{∠BAD=∠CAEAD=AE,∴△ABD≌△ACE(SAS)，∴BD=CE，∠B=∠ACE，∠ADB=∠AEC．∴∠ADC=∠AEG，∵AB=AC，∴∠ACB=∠B，∴∠ACB=∠ACE，∵AF⊥CE，EF=FG∴AE=AG，∴∠AEG=∠G，∴∠ADC=∠G，在△ADC和△AGC中，{∠ADC=∠G∠ACD=∠ACG AC=AC,∴△ADC≌△AGC(AAS)，∴CD=CG，∵CG−CE=EG=2EF，∴CD−BD=2EF，如图，当BD>CD时，同理可证BD−CD=2EF．理由如下：截取FG=EF，连接AG．在△ABD和△ACE中，{∠BAD=∠CAEAD=AE,∴△ABD≌△ACE(SAS)，∴BD=CE，∠B=∠ACE，∠ADB=∠AEC．∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，∴∠ACB=∠ACE，∵AF⊥CE，FG=EF，∴AE=AG，∴∠AEG=∠AGE，∴∠ADB=∠AGE，∴∠ADC=∠AGC，在△ADC和△AGC中，{∠ADC=∠AGC ∠ACD=∠ACG AC=AC,∴△ADC≌△AGC(AAS)，∴CD=CG，∵CE−CG=EG=2EF，∴BD−CD=2EF，【解析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．(1)由“SAS”可证△ABD≌△ACE，可得∠ABD=∠ACE=45°，可得结论；(2)分两种情况讨论，分别利用全等三角形的判定和性质证明即可求解．28.【答案】解：(1)2；(2)∵点P(−2,1)的“相对轴距”d(P)=2，∴这些点组成的图形是中心在原点，边长为4的正方形，如图中正方形；(3)①∵点M ，N 是△ABC 内部(含边界)的任意两点，∴1≤d(M)≤3，1≤d(N)≤3，∴13≤d(M)d(N)≤3；②∵将△ABC 向左平移k(k >0)个单位得到△A′B′C′，∴A′(1−k,1)，B′(2−k,3)，C′(3−k,2)，由题意可知13≤d(M′)d(N′)≤3，∴d(M′)、d(N′)的最值在A′、B′、C′处取得，∴|1−k|≤1，|3−k|≤3，|2−k|≤3，∵k >0，∴0<k ≤2．【解析】【分析】本题考查坐标与图形变化，熟练掌握平面内点的坐标特点，理解定义，掌握坐标平移的性质是解题的关键．(1)根据定义即可求解；(2)这些点组成的图形是中心在原点，边长为4的正方形；(3)①分别求出1≤d(M)≤3，1≤d(N)≤3，即可求13≤d(M)d(N)≤3；②由题意可知13≤d(M′)d(N′)≤3，根据①可知d(M′)、d(N′)的最值在A′、B′、C′处取得，则有|1−k|≤1，|3−k|≤3，|2−k|≤3，求出k 的取值范围即可．【解答】解：(1)由题意可得，d(P)=2，故答案为：2；(2)见答案；(3)见答案．。

北京市东城区名校2021届数学八年级上学期期末学业水平测试试题一、选择题1．当x ＝1时，下列式子无意义的是（ ）A ．B ．C ．D ． 2．若分式2132x x x --+的值为零，则x 等于（ ） A ．﹣1 B ．1 C ．﹣1或1 D ．1或23．将分式22x x y -中的x ，y 的值同时扩大为原来的2015倍，则变化后分式的值（ ） A ．扩大为原来的2015倍B ．缩小为原来的12015C ．保持不变D ．以上都不正确4．已知a 、b 、c 为△ABC 的三边，且满足a 2c 2-b 2c 2=a 4-b 4，则△ABC 是（ ）A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形5．下列运算中正确的是（ ）A ．x 2÷x 8＝x ﹣4B ．a•a 2＝a 2C ．（a 3）2＝a 6D ．（3a ）3＝9a 3 6．将图 1 中阴影部分的小长方形变换到图 2 位置，根据两个图形的面积关系可以得到一个关于 a ，b的恒等式为（ ）A ．a 2﹣2ab+b 2＝（a ﹣b ）2B ．a 2+2ab+b 2＝（a+b ）2C ．2a 2+2ab ＝2a （a+b ）D ．a 2﹣b 2＝（a+b ）（a ﹣b ） 7．等腰直角三角形的底边长为5cm ，则它的面积是（ ） A ．25cm 2B ．12.5cm 2C ．10cm 2D ．6.25cm 2 8．在△ABC 中，AB=AC=5，BC=8，AD ⊥BC ，垂足为D ，BE 是边AC 上的中线，AD 与BE 相交于点G ，那么AG 的长为 ( ) A ．1B ．2C ．3D ．无法确定． 9．如图，将ABC 绕点A 逆时针旋转110，得到ADE ，若点D 在线段BC 的延长线上，则ADE ∠的大小为( )A ．55B ．50C ．45D ．3510．如图，BC ∥EF ，BC=BE ，AB=FB ，∠1=∠2，若∠1=55°，则∠C 的度数为（ ）A.25°B.55°C.45°D.35°11．如图，等腰直角△ABC 中，90BAC ∠=,AD BC ⊥于D ，ABC ∠的平分线分别交AC AD 、于E F 、两点，M 为EF 的中点，延长AM 交BC 于点N ，连接DM .下列结论：①.AE AF =；②.AM EF ⊥；③.AF DF =；④.DF DN =.其中正确的结论有 （ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个12．如图，已知点B 、E 、C 、F 在同一条直线上，BE ＝CF ，∠B ＝∠DEF ，请你添加一个合适的条件，使△ABC ≌△DEF ，其中不正确条件是（ ）A ．AB ＝DEB ．AC ＝DF C ．∠A ＝∠D D ．∠ACB ＝∠F 13．若一个正多边形的每一个外角都等于40°，则它是( ).A ．正九边形B ．正十边形C ．正十一边形D ．正十二边形 14．下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（ ）A ．3cm ，4cm ，8cmB ．8cm ，7cm ，15cmC ．13cm ，12cm ，20cmD ．5cm ，5cm ，11cm15．下列说法错误的是( )A ．从n 边形的一个顶点出发,分别连接这个顶点和其余不相邻的各顶点,可以把这个n 边形分成(n-3)个三角形B ．当9:30时,时针和分针的小于平角的夹角是105°C ．一个圆被三条半径分成面积比为3∶4∶5的三个扇形,则最小扇形的圆心角为90°D ．19.38°=19°22′48″二、填空题16．若43x y =，则x y y+的值是_____． 17．计算：（65 a 3x 4﹣0.9ax 3）÷35ax 3＝_____．【答案】2a 2x ﹣3218．如图，△ABC 和△CDE 都是等边三角形，且∠EBD ＝70°，则∠AEB ＝_____．19．如图，在正方形网格中，点O 、A 、B 、C 、D 均是格点．若OE 平分∠BOC ，则∠DOE 的度数为______°．20．若点A(1＋m ，1－n)与点B(－3，2)关于y 轴对称，则m ＋n 的值是_____三、解答题21．解方程：21124--=--x x x x ． 22．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝30°，AD 平分∠CAB 交BC 于点D ，CD ＝1，延长AC 到E ，使AE ＝AB ，连接DE ，BE ．(1)求BD 的长；(2)求证：DA ＝DE ．23．把下列各式因式分解：(1)(m ＋n)3＋2m(m ＋n)2＋m 2(m ＋n)； (2)(a 2＋b 2)2－4a 2b 2.24．如图，已知O 为直线AD 上一点，∠AOC 与∠AOB 互补，OM 和ON 分别是∠AOC 和∠AOB 的平分线.(1) 试说明：∠AOB ＝∠COD ；(2) 若∠COD ＝36°，求∠MON 的度数.25．如图，在ABC △中，CM AB ⊥于点M ，ACB ∠的平分线CN 交AB 于点N ,过点N 作ND AC∥交BC 于点D .若78A ∠=︒，50B ∠=︒.求：①CND ∠的度数；②MCN ∠的度数.【参考答案】***一、选择题16．7317．无18．130°19．5度20．1三、解答题21．x=﹣122．(1)BD ＝2；(2)证明见解析.【解析】【分析】（1）根据题意可知∠CAB=60°，想办法证明DA=DB=2CD 即可；（2）由题意可知三角形ABE 是等边三角形，然后在证明Rt △DCA ≌Rt △DCE ，即可求证．【详解】(1)∵在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝30°，AD 平分∠CAB ，∴∠CAB ＝60°＝2×∠CAD ，∴∠CAD ＝∠DAB ＝30°；，∴∠DAB ＝∠DBA ＝30°，∴BD ＝DA ＝2CD ＝2．(2)∵AE ＝AB ，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠B ＝30°，∴∠EAB ＝60°，∴△ABE 是等边三角形，∵BC ⊥AE ，∴AC ＝CE ，∵∠ACD ＝∠DCE ＝90°，CD ＝CD ，∴Rt △DCA ≌Rt △DCE(SAS)，∴DA ＝DE ．【点睛】本题主要考查了含30°角的直角三角形，解题的关键是掌握角平分线的性质以及等边三角形的性质，此题难度不大．23．（1）(m ＋n)(2m ＋n)2；（2）(a ＋b)2(a －b)2.24．（1）证明过程见解析；（2）54°。