北京市东城区八年级(下)期末数学试卷

一、选择题（每题2分，共20分）1. 若a > b，则以下哪个不等式一定成立？（）A. a + 2 > b + 2B. a - 2 > b - 2C. a / 2 > b / 2D. 2a > 2b答案：D2. 已知等差数列{an}中，a1 = 3，d = 2，则a10 = （）A. 17B. 19C. 21D. 23答案：C3. 已知函数f(x) = 2x - 1，则f(-3) = （）A. -7B. -5C. -3D. 1答案：A4. 在△ABC中，∠A =60°，∠B = 45°，则∠C = （）A. 75°B. 60°C. 45°D. 30°答案：D5. 已知二次函数y = ax^2 + bx + c（a ≠ 0），若a > 0，则以下哪个说法正确？（）A. 函数图像开口向上，顶点坐标为（-b/2a，c-b^2/4a）B. 函数图像开口向上，顶点坐标为（b/2a，c-b^2/4a）C. 函数图像开口向下，顶点坐标为（-b/2a，c-b^2/4a）D. 函数图像开口向下，顶点坐标为（b/2a，c-b^2/4a）答案：A二、填空题（每题2分，共20分）6. 已知等差数列{an}中，a1 = 2，d = 3，则a10 = ________。

答案：327. 若函数f(x) = 2x + 1，则f(0) = ________。

答案：18. 在△ABC中，∠A = 60°，∠B = 45°，则sinC = ________。

答案：√3/29. 已知二次函数y = -x^2 + 4x - 3，则函数图像的顶点坐标为 ________。

答案：（2，-1）10. 已知等比数列{an}中，a1 = 3，q = 2，则a5 = ________。

答案：48三、解答题（每题10分，共30分）11. 已知等差数列{an}中，a1 = 5，d = 2，求前10项和S10。

一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列数中，绝对值最小的是（）A. -3B. 2C. -2D. 32. 若a > b，则下列不等式中成立的是（）A. a + 1 > b + 1B. a - 1 > b - 1C. a + 1 < b + 1D. a - 1 < b - 13. 下列图形中，是轴对称图形的是（）A. 矩形B. 正方形C. 三角形D. 圆4. 已知一次函数y = kx + b（k ≠ 0），下列说法正确的是（）A. 当k > 0时，函数图像在y轴的左侧下降B. 当k > 0时，函数图像在y轴的右侧上升C. 当k < 0时，函数图像在y轴的左侧上升D. 当k < 0时，函数图像在y轴的右侧下降5. 下列方程中，x的值是2的是（）A. 2x - 3 = 1B. 2x + 3 = 1C. 2x - 3 = 2D. 2x + 3 = 26. 已知二次函数y = ax^2 + bx + c（a ≠ 0），下列说法正确的是（）A. 当a > 0时，函数图像开口向上B. 当a < 0时，函数图像开口向上C. 当a > 0时，函数图像开口向下D. 当a < 0时，函数图像开口向下7. 下列代数式中，正确的是（）A. a^2 + b^2 = (a + b)^2B. a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)C. a^2 + b^2 = (a - b)^2D. a^2 - b^2 = (a + b)(a + b)8. 下列函数中，是反比例函数的是（）A. y = 2x + 3B. y = 3/xC. y = x^2D. y = x^39. 已知直角三角形ABC中，∠C = 90°，AC = 3cm，BC = 4cm，则AB的长是（）A. 5cmB. 6cmC. 7cmD. 8cm10. 下列命题中，正确的是（）A. 平行四边形是矩形B. 矩形是正方形C. 正方形是平行四边形D. 平行四边形是菱形二、填空题（每题3分，共30分）11. 若a = -3，则|a| = _______。

北京市东城区2017-2018学年初二第二学期期末考试数学试卷一、选择题i1函数y ----------- 中自变量X 的取值范围是x 3A . x > 3B . x 工3C . x < 3D . x ^32.下列四组线段中，能作为直角三角形三条边的是A .B .C . . . 7D •如图，两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量 A , B 间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可 以直接到达 A , B 的点C ,找到AC , BC 的中点D , E ,并且测出DE 的长为10m ,则A , B 间的距 离为A . 15mB . 20mC . 25mD . 30m4.某专卖店专营某品牌的衬衫，店主对上一周中不同尺码的衬衫销售情况统计如下：尺码3940414243 平均每天销售数量（件）10 12 20 1212A .众数B .方差C .平均数D .中位数25.用配方法解一元二次方程x +2x 1 0,配方后得到的方程是6 .矩形、菱形、正方形都具有的性质是A .对角线相等C .对角线互相平分 B .对角线互相垂直D . 对角线平分对角7.函数y kx b 的图象如图所示，则关于x 的不等式 k x b 0的解集是 A . x > 0B . x v 0C . x > 2D . x v 2第3题图第7题图8.如图，某工厂有甲•乙两个大小相同的蓄水池，且中间有管道连通，现要向甲池 中注水，若单位时间内的注水量不变， 那么从注水开始，乙水池水面上升的高度 与注水时间t 之间的函数关系图象可能是2A . (x 1)2 2B . (x+1) 22 2C . (x+2)2 D . (x 2) 2、填空题9 •在某次七年级期末测试中，甲乙两个班的数学平均成绩都是89分，且方差分别为S甲0.15，S乙0.2，则成绩比较稳定的是____________________________ 班.10 •如图，□ ABCD中两个邻角的度数比为 1 : 3，则其中较小的内角的度数为________________ .11 •写岀一个图象经过第二、四象限的正比例函数的解析式_______________ .12 •将一次函数y 3x 4的图像向上平移2个单位长度后得到的解析是___________________________13. 如图，在△ ABC中，/ ABC =90 °分别以BC，AB，AC为边向外作正方形，面积分别记为S1，电S3，若S2=4，S3=6，贝U S I = _ •214. ________________________________________________________________________ 如图，菱形ABCD 的边长是2cm，ABC 60 ,则菱形ABCD的面积为______________________________________ c m10题图13题图14题图2 —15 .若关于x的一元二次方程x 2x+m 0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 _____________ .16 .阅读下面材料在数学课上，老师提出如下问题:已知：已知：Rt △ ABC,/ ABC = 90°、敏的作法如下：求作:矩形ABCD .-----------------------------------①以师说为圆心小敏的作法正半径作弧，以C为圆心，AB长为半径作弧，两弧相交于点请回答：小敏的作法正确的理由是三、解答题’17.18.②连接DA、DC ;:5分)解方程x 4x 5 0:5所以四边次b|A B C D k为所求矩的•图象经过点A(-1,1)和点B(1,5),求一次函数的解析式19.:5分)如图，在口ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且AE=CF,求证：BE=D20•2(5分)已知关于x的一元二次方程x mx 2 0.(1)证明：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根;(2)若方程有一个根为-2，求m的值.21. ( 5分)每年的4月23日是世界图书日”某班鼓励同学们到阅览室借阅图书，并统计图书借阅总量•该班在2015年图书借阅总量是1000本，2017年图书借阅总量是1440本，该班的图书借阅总量的年平均增长率是多少？22. (5分)如图，在矩形纸片ABCD中，AB = 3, AD = 9,将其折叠，使点D与点B重合，折痕为EF.(1)求证：BE= BF ;(2)求BE的长.23. ( 6分)某村深入贯彻落实习近平新时代中国特色社会主义思想，认真践行绿水青山就是金山银山”理念•在外打工的王大叔返回江南创业，承包了甲.乙两座荒山，各栽100棵小枣树，发现成活率均为97% ,现已挂果，经济效益初步显现，为了分析收成情况，他分别从两山上随意各采摘了4棵树上的小枣，每棵的产量如折线统计图所示•(1)直接写岀甲山4棵小枣树产量的中位数______________(2)分别计算甲.乙两座山小枣样本的平均数，并判断那座山的样本的产量高(3)用样本平均数估计甲乙两座山小枣的产量总和24. ( 6分)如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y 2x 4与x轴，y轴分别交于点A，点B。

下学期初中八年级期末教学统一检测数学试卷本试卷共三道大题，28道小题。

满分100分，考试时长100分钟。

一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有．．一个。

1. 下列四组线段中，可以构成直角三角形的是A. 4，5，6B. 5，12，13C. 2，3，4D. 1，2，3 2. 用配方法解一元二次方程x x 62-＋1＝0，此方程可化为的正确形式是 A. 2)3(+x ＝10 B. 2)3(+x ＝8 C. 2)3(-x ＝10 D. 2)3(-x ＝8 3. 有19位同学参加歌咏比赛，所得的分数互不相同，得分前10位的同学进入决赛。

某同学知道自己的分数后，要判断自己能否进入决赛，他只需知道这19位同学成绩的A. 平均数B. 中位数C. 众数D. 方差4. 在数学活动课上，老师和同学们要判断一个四边形是否为矩形，下面是某合作学习小组的4位同学拟定的方案，其中正确的是A. 测量对角线是否互相平分B. 测量两组对边是否分别相等C. 测量一组对角是否都为直角D. 测量其中三个内角是否都为直角5. 如图，平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ，且AD ≠CD ，过点O 作OM ⊥AC ，交AD 于点M ，如果△CDM 的周长为8，那么平行四边形ABCD 的周长是A. 8B. 12C. 16D. 206. 如图，已知正比例函数y 1＝kx 与一次函数y 2＝－x ＋b 的图象交于点P 。

下面有四个结论：①0>k ；②0>b ；③当0>x 时，01>y ；④当2-<x 时，b x kx +->。

其中正确的是A. ①③B. ②③C. ③④D. ①④7. 如图，数轴上点A ，B 分别表示数1，2，过点B 作PQ ⊥AB ，以点B 为圆心，AB 长为半径画弧，交PQ 于点C ，以点A 为圆心，AC 长为半径画弧，交数轴于点M ，则点M 表示的数是A.2B.5C.12+D.15+8. 如果规定][x 表示不大于x 的最大整数，例如3]1.2[,2]1.2[-=-=，那么函数)33]([≤≤--=x x x y 的图象为二、填空题（本题共16分，每小题2分）9. 函数)0(≠=k kx y 的图象上有两个点),(),,(222111y x A y x A ，当21x x <时，21y y >，写出一个满足条件的函数解析式___________。

2022-2023学年北京市东城区景山学校八年级（下）期末数学试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分） 1．函数y =1x−3中，自变量x 的取值范围是（ ） A ．x ＞3B ．x ＜3C ．x ＝3D ．x ≠32．点A （1，y 1），B （3，y 2）是反比例函数y =−6x 图象上的两点，那么y 1，y 2的大小关系是（ ） A ．y 1＞y 2B ．y 1＝y 2C ．y 1＜y 2D ．不能确定3．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，如果AC ＝3，AB ＝5，那么sin B 等于（ ）A ．35B ．45C ．34D ．434．如图，每个小正方形的边长为1，点A 、B 、C 均在格点上，则sin B 的值是（ ）A ．1B ．34C ．45D ．355．如图，已知正方形ABCD ，以点A 为圆心，AB 长为半径作⊙A ，点C 与⊙A 的位置关系为（ ）A ．点C 在⊙A 外B ．点C 在⊙A 内C ．点C 在⊙A 上D ．无法确定6．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，若∠C ＝130°，则∠BOD 的度数为（ ）A ．50°B ．100°C ．130°D ．150°7．如图，在⊙O 中，弦AB 垂直平分半径OC ．若⊙O 的半径为4，则弦AB 的长为（ ）A ．2√3B ．4√3C ．2√5D ．4√58．下面两个问题中都有两个变量：①矩形的周长为20，矩形的面积y 与一边长x ； ②矩形的面积为20，矩形的宽y 与矩形的长x ．其中变量y 与变量x 之间的函数关系表述正确的是（ ） A ．①是反比例函数，②是二次函数 B ．①是二次函数，②是反比例函数C ．①②都是二次函数D ．①②都是反比例函数二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9．已知反比例函数y =m−1x的图象分布在第二、四象限，则m 的取值范围是 ． 10．若一个反比例函数图象的每一支上，y 随x 的增大而减小，则此反比例函数表达式可以是 ．（写出一个即可）11．如图，点P （﹣3，1）是反比例函数y =mx 的图象上的一点，设直线y ＝kx 与双曲线y =mx 的两个交点分别为P 和P '，当m x＞kx 时，写出x 的取值范围 ．12．如图所示的网格是正方形网格，则tan α tan β．（填“＞”，“＝”或“＜”）13．如图，AD 为△ABC 的外接圆⊙O 的直径，若∠BAD ＝50°，则∠ACB ＝ °．14．在锐角△ABC 中，若|sin A −√32|+（1﹣tan B ）2＝0，则∠C 的度数是 ．15．我国古代著名数学著作《九章算术》总共收集了246个数学问题，这些问题的算法要比欧洲同类算法早1500年，其中有这样一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可以表述为：“如图，CD 为⊙O 的直径，弦AB ⊥CD 于点E ，CE ＝1寸，AB ＝10寸（注：1尺＝10寸），则可得直径CD 的长为 寸”．16．如图，是反比例函数y =k 1x 和y =k2x （k 1＜k 2）在第一象限的图象，直线AB ∥x 轴，并分别交两条曲线于A 、B 两点，若S △AOB ＝2，则k 2﹣k 1的值为 ．三、解答题（本题共68分）17．计算：2sin30°+cos 245°﹣tan60°．18．问题：如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 内，请仅用无刻度的直尺，作出△ABC 中AB 边上的高． 小芸解决这个问题时，结合圆以及三角形高线的相关知识，设计了如下作图过程． 作法：如图，①延长AC 交⊙O 于点D ，延长BC 交⊙O 于点E ；②分别连接AE，BD并延长相交于点F；③连接FC并延长交AB于点H．所以线段CH即为△ABC中AB边上的高．（1）根据小芸的作法，补全图形；（2）完成下面的证明．证明：∵AB是⊙O的直径，点D，E在⊙O上，∴∠ADB＝∠AEB＝°．（）（填推理的依据）∴AE⊥BE，BD⊥AD．∴AE，是△ABC的两条高线．∵AE，BD所在直线交于点F，∴直线FC也是△ABC的高所在直线．∴CH是△ABC中AB边上的高．̂．若∠A＝50°，求∠B的度数．19．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，BĈ=CD20．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于点E．（1）求证：∠BCO＝∠D；（2）若CD＝4√2，OE＝1，求⊙O的半径．21．已知：如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝45°，AC=2√2．求：（1）BC的长；（2）S△ABC．22．如图，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，sin C=3，AC＝8，BD平分∠CBA交AC边于点D．求：5（1）线段AB的长；（2）tan∠DBA的值．23．定都阁位于门头沟潭柘寺镇的定都峰上，与通州大运河遥相呼应，形成“东有大运河，西有定都阁”的一道新景观．为测得定都阁的高度，某校数学社团登上定都峰开展实践活动．他们利用无人机在点P 处测得定都阁顶端A的俯角α为45°，定都阁底端B的俯角β为60°，此时无人机到地面的垂直距离PC为46√3米，求定都阁的高AB．（结果保留根号）24．工厂对某种新型材料进行加工，首先要将其加温，使这种材料保持在一定温度范围内方可加工，如图是在这种材料的加工过程中，该材料的温度y（℃）时间x（min）变化的函数图象，已知该材料，初始温度为15℃，在温度上升阶段，y与x成一次函数关系，在第5分钟温度达到60℃后停止加温，在温度下降阶段，y与x成反比例关系．（1）写出该材料温度上升和下降阶段，y与x的函数关系式：①上升阶段：当0≤x≤5时，y＝；②下降阶段：当x＞5时，y．（2）根据工艺要求，当材料的温度不低于30℃，可以进行产品加工，请问在图中所示的温度变化过程中，可以进行加工多长时间？25．在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=kx(k≠0)的图象经过点（﹣1，3）．（1）求这个反比例函数的解析式；（2）当x＜﹣1时，对于x的每一个值，函数y＝﹣x+n的值大于反比例函数y=kx(k≠0)的值，直接写出n的取值范围．26．在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=kx（k≠0）的图象过点A（2，3）．（1）求k的值；（2）过点P（m，0）（m≠0）作x轴的垂线，分别交反比例函数y=kx（k≠0），y=−4x的图象于点M，N．①当m＝﹣2时，求MN的长；②若MN≥5，直接写出m的取值范围．27．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为AC延长线上一点，连接BD，将线段BD绕点D逆时针旋转90°得到线段DE，过点E作EF⊥AC于点F，连接AE．（1）依题意补全图形；（2）比较AF与CD的大小，并证明；（3）连接BE，G为BE的中点，连接CG，用等式表示线段CD，CG，BC之间的数量关系，并证明．28．已知点M和图形W，Q为图形W上一点，若存在点P，使得点M为线段PQ的中点（P，Q不重合），则称点P为图形W关于点M的倍点．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣1，1），B（﹣1，﹣1），C（1，﹣1），D（1，1）．（1）若点M的坐标为（2，0），则在P1（3，0），P2（4，2），P3（5，1）中，是正方形ABCD关于点M的倍点的是；（2）点N的坐标为（2，t），若在直线y＝x上存在正方形ABCD关于点N的倍点，直接写出t的取值范围；（3）点G为正方形ABCD边上一动点，直线y＝x+b与x轴交于点E，与y轴交于点F，若线段EF上的所有点均可成为正方形ABCD关于点G的倍点，直接写出b的取值范围．2022-2023学年北京市东城区景山学校八年级（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共16分，每小题2分） 1．函数y =1x−3中，自变量x 的取值范围是（ ） A ．x ＞3B ．x ＜3C ．x ＝3D ．x ≠3解：由题意得，x ﹣3≠0，解得x ≠3． 故选：D ．2．点A （1，y 1），B （3，y 2）是反比例函数y =−6x图象上的两点，那么y 1，y 2的大小关系是（ ） A ．y 1＞y 2B ．y 1＝y 2C ．y 1＜y 2D ．不能确定解：∵A （1，y 1），B （3，y 2）是反比例函数y =−6x 图象上的两点， ∴y 1=−61=−6，y 2=−63=−2， ∴y 1＜y 2． 故选：C ．3．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，如果AC ＝3，AB ＝5，那么sin B 等于（ ）A ．35B ．45C ．34D ．43解：∵在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，AB ＝5，∴sin B =AC AB =35． 故选：A ．4．如图，每个小正方形的边长为1，点A 、B 、C 均在格点上，则sin B 的值是（ ）A ．1B ．34C ．45D ．35解：由图可知∠ACB ＝90°，且AC ＝3，BC ＝4， ∴AB =√AC 2+BC 2=√32+42=5，∴sinB=ACAB=35．故选：D．5．如图，已知正方形ABCD，以点A为圆心，AB长为半径作⊙A，点C与⊙A的位置关系为（）A．点C在⊙A外B．点C在⊙A内C．点C在⊙A上D．无法确定解：∵正方形ABCD的对角线AC=√2AB＞AB，∴点C在⊙A外，故选：A．6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠C＝130°，则∠BOD的度数为（）A．50°B．100°C．130°D．150°解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠A+∠C＝180°，而∠C＝130°，∴∠A＝180°﹣∠C＝50°，∴∠BOD＝2∠A＝100°．故选：B．7．如图，在⊙O中，弦AB垂直平分半径OC．若⊙O的半径为4，则弦AB的长为（）A．2√3B．4√3C．2√5D．4√5解：连接OA，由AB垂直平分OC，得到OD=12OC＝2，∵OC⊥AB，∴D 为AB 的中点，则AB ＝2AD ＝2√OA 2−OD 2=2√42−22=4√3． 故选：B ．8．下面两个问题中都有两个变量：①矩形的周长为20，矩形的面积y 与一边长x ； ②矩形的面积为20，矩形的宽y 与矩形的长x ．其中变量y 与变量x 之间的函数关系表述正确的是（ ） A ．①是反比例函数，②是二次函数 B ．①是二次函数，②是反比例函数C ．①②都是二次函数D ．①②都是反比例函数解：①矩形的周长为20，矩形的面积y 与一边长x ，可以得到y ＝x （10﹣x ）＝﹣x 2+10x ，是二次函数； ②矩形的面积为20，矩形的宽y 与矩形的长x ，可以得到y =20x，是反比例函数． 所以①是二次函数，②是反比例函数． 故选：B ．二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9．已知反比例函数y =m−1x的图象分布在第二、四象限，则m 的取值范围是 m ＜1 ． 解：∵反比例函数y =m−1x的图象分布在第二、四象限，∴m ﹣1＜0．解得m ＜1． 故答案为：m ＜1．10．若一个反比例函数图象的每一支上，y 随x 的增大而减小，则此反比例函数表达式可以是 y =1x（答案不唯一）． ．（写出一个即可）解：只要使反比例系数大于0即可．如y =1x，答案不唯一． 故答案为：y =1x （答案不唯一）． 11．如图，点P （﹣3，1）是反比例函数y =m x 的图象上的一点，设直线y ＝kx 与双曲线y =mx的两个交点分别为P 和P '，当m x＞kx 时，写出x 的取值范围 ﹣3＜x ＜0或x ＞3 ．解：∵直线y ＝kx 与双曲线y =m x 的两个交点分别为P 和P '，P （﹣3，1），∴P ′的坐标为（3，﹣1），当m x ＞kx 时，写出x 的取值范围为﹣3＜x ＜0或x ＞3．故答案为：﹣3＜x ＜0或x ＞3．12．如图所示的网格是正方形网格，则tan α ＜ tan β．（填“＞”，“＝”或“＜”）解：由图知∠β＞∠α，∵锐角的正切值随角度的增大而增大，∴tan α＜tan β，故答案为：＜．13．如图，AD 为△ABC 的外接圆⊙O 的直径，若∠BAD ＝50°，则∠ACB ＝ 40 °．解：连接BD ，如图，∵AD 为△ABC 的外接圆⊙O 的直径，∴∠ABD ＝90°，∴∠D ＝90°﹣∠BAD ＝90°﹣50°＝40°，∴∠ACB ＝∠D ＝40°．故答案为40．14．在锐角△ABC中，若|sin A−√32|+（1﹣tan B）2＝0，则∠C的度数是75°．解：根据题意得：sin A−√32=0，1﹣tan B＝0，∴sin A=√32，tan B＝1，∴∠A＝60°，∠B＝45°，∴∠C＝180°﹣60°﹣45°＝75°．故答案为：75°．15．我国古代著名数学著作《九章算术》总共收集了246个数学问题，这些问题的算法要比欧洲同类算法早1500年，其中有这样一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可以表述为：“如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，CE＝1寸，AB ＝10寸（注：1尺＝10寸），则可得直径CD的长为26寸”．解：连接OA，设⊙O的半径是r寸，∵CD⊥AB，∴AE ＝BE ＝5（寸），∵OA 2＝OE 2+AE 2，∴r 2＝（r ﹣1）2+52，∴r ＝13，∴CD ＝2r ＝26（寸），故答案为：26．16．如图，是反比例函数y =k 1x 和y =k2x （k 1＜k 2）在第一象限的图象，直线AB ∥x 轴，并分别交两条曲线于A 、B 两点，若S △AOB ＝2，则k 2﹣k 1的值为 4 ．解：设A （a ，b ），B （c ，d ），代入得：k 1＝ab ，k 2＝cd ，∵S △AOB ＝2，∴12cd −12ab ＝2， ∴cd ﹣ab ＝4，∴k 2﹣k 1＝4，故答案为：4．三、解答题（本题共68分）17．计算：2sin30°+cos 245°﹣tan60°．解：原式＝2×12+（√22）2−√3＝1+12−√3=32−√3． 18．问题：如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 内，请仅用无刻度的直尺，作出△ABC 中AB 边上的高． 小芸解决这个问题时，结合圆以及三角形高线的相关知识，设计了如下作图过程．作法：如图，①延长AC 交⊙O 于点D ，延长BC 交⊙O 于点E ；②分别连接AE ，BD 并延长相交于点F ；③连接FC 并延长交AB 于点H ．所以线段CH即为△ABC中AB边上的高．（1）根据小芸的作法，补全图形；（2）完成下面的证明．证明：∵AB是⊙O的直径，点D，E在⊙O上，∴∠ADB＝∠AEB＝90°．（直径所对的圆周角是直角）（填推理的依据）∴AE⊥BE，BD⊥AD．∴AE，BD是△ABC的两条高线．∵AE，BD所在直线交于点F，∴直线FC也是△ABC的高所在直线．∴CH是△ABC中AB边上的高．解：（1）如图，线段CH即为所求．（2）∵AB是⊙O的直径，点D，E在⊙O上，∴∠ADB＝∠AEB＝90°．（直径所对的圆周角是直角），∴AE⊥BE，BD⊥AD．∴AE，BD是△ABC的两条高线．∵AE，BD所在直线交于点F，∴直线FC也是△ABC的高所在直线．∴CH是△ABC中AB边上的高．故答案为：90，直径所对的圆周角是直角，BD ．19．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 为直径，BĈ=CD ̂．若∠A ＝50°，求∠B 的度数．解：如图，连接AC ．∵BĈ=CD ̂，∠BAD ＝50°， ∴∠BAC ＝∠DAC =12∠BAD =12×50°＝25°， ∵AB 为直径，∴∠ACB ＝90°，∴∠∠B ＝90°﹣∠BAC ＝90°﹣25°＝65°．20．如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的一条弦，且CD ⊥AB 于点E ．（1）求证：∠BCO ＝∠D ；（2）若CD ＝4√2，OE ＝1，求⊙O 的半径．（1）证明：∵OC ＝OB ，∴∠BCO ＝∠B ，∵AĈ=AC ̂， ∴∠B ＝∠D ，∴∠BCO ＝∠D ；（2）解：∵AB 是⊙O 的直径，且CD ⊥AB 于点E ，∴CE=12 CD，∵CD＝4√2，∴CE=12×4√2=2√2，在Rt△OCE中，OC2＝CE2+OE2，∵OE＝1，∴OC2=(2√2)2+12，解得：OC＝3（负数舍去），∴⊙O的半径为3．21．已知：如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝45°，AC=2√2．求：（1）BC的长；（2）S△ABC．解：（1）过点A作AD⊥BC于点D，∵∠C＝45°，∴△ADC为等腰直角三角形，∴AD＝CD，由勾股定理得AD2+CD2＝AC2，即2CD2=(2√2)2=8，∴CD＝AD＝2，在Rt△ADB中，∠B＝30°，∴AB＝2AD＝4，由勾股定理得BD=√AB2−AD2=√42−22=2√3，∴BC=BD+CD=2√3+2；（2）由（1）得，AD⊥BC，AD＝2，BC=2√3+2，∴S△ABC=12BC⋅AD=12×(2√3+2)×2=2√3+2．22．如图，在Rt △ABC 中，∠CAB ＝90°，sin C =35，AC ＝8，BD 平分∠CBA 交AC 边于点D ．求：（1）线段AB 的长；（2）tan ∠DBA 的值．解：（1）∵在Rt △ABC 中，∠CAB ＝90°，∴sin C =AB BC =35，BC 2﹣AB 2＝AC 2， ∴可设AB ＝3k ，则BC ＝5k ，∵AC ＝8，∴（5k ）2﹣（3k ）2＝82，∴k ＝2（负值舍去），∴AB ＝3×2＝6；（2）过D 点作DE ⊥BC 于E ，设AD ＝x ，则CD ＝8﹣x ．∵BD 平分∠CBA 交AC 边于点D ，∠CAB ＝90°，∴DE ＝AD ＝x ．在Rt △BDE 与Rt △BDA 中，{BD =BD DE =DA， ∴Rt △BDE ≌Rt △BDA （HL ），∴BE＝BA＝6，∴CE＝BC﹣BE＝5×2﹣6＝4．在Rt△CDE中，∵∠CED＝90°，∴DE2+CE2＝CD2，∴x2+42＝（8﹣x）2，解得x＝3，∴AD＝3，∴tan∠DBA=ADAB=36=12．23．定都阁位于门头沟潭柘寺镇的定都峰上，与通州大运河遥相呼应，形成“东有大运河，西有定都阁”的一道新景观．为测得定都阁的高度，某校数学社团登上定都峰开展实践活动．他们利用无人机在点P 处测得定都阁顶端A的俯角α为45°，定都阁底端B的俯角β为60°，此时无人机到地面的垂直距离PC为46√3米，求定都阁的高AB．（结果保留根号）解：如图：延长BA交PD于点E，由题意得：∠BEP＝90°，EB＝PC＝46√3米，∠EP A＝45°，∠EPB＝60°，在Rt △EBP 中，EP =EB tan60°=46√33=46（米）， 在Rt △EAP 中，AE ＝EP •tan45°＝46×1＝46（米），∴AB ＝EB ﹣AE ＝（46√3−46）米，∴定都阁的高AB 为（46√3−46）米．24．工厂对某种新型材料进行加工，首先要将其加温，使这种材料保持在一定温度范围内方可加工，如图是在这种材料的加工过程中，该材料的温度y （℃）时间x （min ）变化的函数图象，已知该材料，初始温度为15℃，在温度上升阶段，y 与x 成一次函数关系，在第5分钟温度达到60℃后停止加温，在温度下降阶段，y 与x 成反比例关系．（1）写出该材料温度上升和下降阶段，y 与x 的函数关系式：①上升阶段：当0≤x ≤5时，y ＝ 9x +15 ；②下降阶段：当x ＞5时，y =300x． （2）根据工艺要求，当材料的温度不低于30℃，可以进行产品加工，请问在图中所示的温度变化过程中，可以进行加工多长时间？解：（1）①上升阶段：当0≤x ＜5时，为一次函数，设一次函数表达式为y ＝kx +b ，由于一次函数图象过点（0，15），（5，60），所以{b =155k +b =60， 解得：{b =15k =9， 所以y ＝9x +15，②下降阶段：当x ≥5时，为反比例函数，设函数关系式为：y =m x ， 由于图象过点（5，60），所以m ＝300．则y =300x ；故答案为：9x +15；=300x（2）当0≤x ＜5时，y ＝9x +15＝30，得x =53，因为y 随x 的增大而增大，所以x ＞53，当x ≥5时，y =300x =30，得x ＝10，因为y 随x 的增大而减小，所以x ＜10，10−53=253， 答：可加工253min ．25．在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数y =k x (k ≠0)的图象经过点（﹣1，3）．（1）求这个反比例函数的解析式；（2）当x ＜﹣1时，对于x 的每一个值，函数y ＝﹣x +n 的值大于反比例函数y =k x (k ≠0)的值，直接写出n 的取值范围．解：（1）∵反比例函数y =k x (k ≠0)的图象经过点（﹣1，3），∴k ＝﹣1×3＝﹣3，∴这个反比例函数的解析式为y =−3x ；（2）把点（﹣1，3）代入y ＝﹣x +n 得，3＝1+n ，∴n ＝2，当x ＜﹣1时，对于x 的每一个值，函数y ＝﹣x +n 的值大于反比例函数y =k x (k ≠0)的值，则n 的取值范围是n ≥2．26．在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=kx（k≠0）的图象过点A（2，3）．（1）求k的值；（2）过点P（m，0）（m≠0）作x轴的垂线，分别交反比例函数y=kx（k≠0），y=−4x的图象于点M，N．①当m＝﹣2时，求MN的长；②若MN≥5，直接写出m的取值范围．解：（1）∵反比例函数y=kx（k≠0）的图象过点A（2，3），∴k＝2×3＝6；（2）①当m＝﹣2时，则P（﹣2，0），把x＝﹣2代入y=6x得，y＝﹣3，∴M（﹣2，﹣3），把x＝﹣2代入y=−4x得，y＝2，∴N（﹣2，2），∴MN＝2﹣（﹣3）＝5；②若MN≥5，m的取值范围是﹣2≤m＜0或0＜m≤2．27．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为AC延长线上一点，连接BD，将线段BD绕点D逆时针旋转90°得到线段DE，过点E作EF⊥AC于点F，连接AE．（1）依题意补全图形；（2）比较AF与CD的大小，并证明；（3）连接BE，G为BE的中点，连接CG，用等式表示线段CD，CG，BC之间的数量关系，并证明．解：（1）依题意补全图形如图1；（2）AF＝CD，证明如下：∵EF⊥AC，∴∠EFD＝90°，∴∠DEF+∠EDF＝90°，由旋转的性质得：DE＝DB，∠BDE＝90°，即∠BDC+∠EDF＝90°，∴∠DEF＝∠BDC，∵∠ACB ＝90°，∴∠DCB ＝90°，在△EFD 和△DCB 中，{∠EFD =∠DCB =90°∠DEF =∠BDCDE =BD ，∴△EFD ≌△DCB （AAS ），∴DF ＝BC ，∵AC ＝BC ，∴AC ＝DF ，∴AC ﹣CF ＝DF ﹣CF ，即AF ＝CD ；（3）CD +√2CG ＝BC ，证明如下：如图2，连接FG 、DG ，由旋转的性质得：DE ＝DB ，∠BDE ＝90°，∴△BDE 是等腰直角三角形，∴∠DEB ＝∠DBE ＝45°，∵G 为BE 的中点，∴DG =12BE ＝EG ，DG ⊥BE ，∠BDG =12∠BDE ＝45°，∴∠DGE ＝90°，∠DEB ＝∠BDG ，由（2）可知，△EFD ≌△DCB ，∴EF ＝DC ，∠DEF ＝∠BDC ，∴∠DEF ﹣∠DEB ＝∠BDC ﹣∠BDG ，即∠FEG ＝∠CDG ，在△EFG 和△DCG 中，{EF =DC∠FEG =∠CDG EG =DG，∴△EFG ≌△DCG （SAS ），∴FG ＝CG ，∠EGF ＝∠DGC ，∴∠EGF +∠CGE ＝∠DGC +∠CGE ＝∠DGE ＝90°，∴△CFG 是等腰直角三角形，∴CF =√2CG ，∵CD +CF ＝DF ，DF ＝BC ，∴CD +√2CG ＝BC ．28．已知点M 和图形W ，Q 为图形W 上一点，若存在点P ，使得点M 为线段PQ 的中点（P ，Q 不重合），则称点P 为图形W 关于点M 的倍点．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A （﹣1，1），B （﹣1，﹣1），C （1，﹣1），D （1，1）．（1）若点M 的坐标为（2，0），则在P 1（3，0），P 2（4，2），P 3（5，1）中，是正方形ABCD 关于点M 的倍点的是 P 1、P 3 ；（2）点N 的坐标为（2，t ），若在直线y ＝x 上存在正方形ABCD 关于点N 的倍点，直接写出t 的取值范围；（3）点G 为正方形ABCD 边上一动点，直线y ＝x +b 与x 轴交于点E ，与y 轴交于点F ，若线段EF 上的所有点均可成为正方形ABCD 关于点G 的倍点，直接写出b 的取值范围．解：（1）设Q （x ，y ）是正方形ABCD 上一点，则有，{x+32=2y+02=0，解得：{x =1y =0， ∵（1，0）在正方形ABCD 上，∴P 1是正方形ABCD 关于点M 的倍点；同理可得：P 2不满足条件，P 3满足条件，∴正方形ABCD 关于点M 的倍点为P 1，P 3，故答案为：P 1，P 3；（2）设直线y ＝x 上存在的点的坐标为（a ，b ），正方形上的点的坐标为（x ，y ），则{x+a 2=2b+y 2=t ，解得：{a =4−x b =2t −y ， ∵点（a ，b ）在直线y ＝x 上，则a ＝b ，∴y ﹣x ＝2t ﹣4，∵﹣2≤y ﹣x ≤2，即﹣2≤2t ﹣4≤2，解得：1≤t ≤3；（3）如图，当线段EF 在图中，黑色区域时，满足条件此时2≤b ≤3或﹣3≤b ≤﹣2．。

北京市东城区北京二中教育集团2023-2024学年八年级下学期期末数学试题一、单选题1x 的取值范围是（ ） A ．0x ≥B ．2x ≥-C ．2x ≥D ．2x ≤-2．下列运算中错误的是（ ）A =BC D ．2(3=3．已知点(),k b 为第一象限内的点，则一次函数y kx b =+的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．4．下列条件中，不能判断ABC V 是直角三角形的是（ ）． A ．222AB BC AC += B ．::3:4:5A B C ∠∠∠=C ．A B C ∠∠=∠+D ．1,AB BC AC =5．某商店销售5种领口大小分别为38，39，40，41，42（单位：cm ）的衬衫，一个月内的销量如下表：你认为商店最感兴趣的是这组数据的（ ） A ．平均数B ．中位数C ．众数D ．方差6．如图，一根木棍斜靠在与地面()OM 垂直的墙()ON 上，设木棍中点为P ，若木棍A 端沿墙下滑，且B 端沿地面向右滑行．在此滑动过程中，点P 到点O 的距离（ ）A．变小B．不变C．变大D．无法判断7．下列命题正确的是（）A．一组对边平行的四边形是平行四边形B．对角线相等的四边形是矩形C．有一组邻边相等的四边形是菱形D．有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形8．某公司新产品上市30天全部售完．图1表示产品的市场日销售量与上市时间之间的关系，图2表示单件产品的销售利润与上市时间之间的关系，下列四个结论中错误的是（）A．第30天该产品的市场日销售量最大B．第20天至30天该产品的单件产品的销售利润最大C．第20天该产品的日销售总利润最大D．第20天至30天该产品的日销售总利润逐日增多二、填空题9．10．如图，直线y kx b =+分别交坐标轴于(5,0)-，(0,3)两点，则关于x 的不等式0kx b +>的解集是．11．如图是一张直角三角形的纸片，两直角边6cm AC =，8cm BC =，现将ABC V 折叠，使点B 与点A 重合，折痕为DE ，则CD 的长为．12．如图，ABC V 中，点D ，E 分别是边AB ，AC 的中点，ABC ∠的角平分线交DE 于点F ，8AB =，12BC =，则EF 的长为．13．在平面直角坐标系xOy 中，将直线1:l y x m =-+向左平移1个单位长度，得到直线2:1l y x =-+，则m =．14．甲、乙两名射击爱好者5次射击测试成绩（单位：环）的统计图如图所示．记甲、乙两人这5次测试成绩数据的平均数分别为x 甲，x 乙，方差分别为2s 甲，2s 乙，则x 甲x 乙，2s 甲2s 乙（填“﹥”，“﹤”或“=”）．15．如图，在平面直角坐标系xOy 中，若直线y x b =+与直线24y x =-+的交点在第一象限，则b 的取值范围是．16．如图，在矩形ABCD 中，2AB =，60BAC ∠=︒，则对角线AC =，点P 是AC 上的动点，连接PD ，则12PA PD +的最小值是．三、解答题17．计算：．18．计算：1|415-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭19．已知2a =2b =22a ab b -+的值．20．如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数的图象经过点()1,6A -，()1,2B ，且与x 轴交于点C ．(1)求这个一次函数的解析式； (2)连接OA ，求AOC V 的面积．21．如图，E 、F 是平行四边形ABCD 的对角线BD 上的点，若BE DF =，求证：AE CF =．22．据研究，高空抛物下落的时间t （单位：s ）和高度h （单位：m ）近似满足公式t =（不考虑风速的影响）．(1)求从45m 高空抛物到落地时间；(2)已知高空坠物动能W （单位：J ）10=⨯物体质量（单位：kg ）⨯高度（单位：m ），某质量为0.1kg 的玩具被抛出后经过4s 后落在地上，这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人吗？请说明理由（注：伤害无防护人体只需要65J 的动能）．23．如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，过点B 作BE AC ∥，过点C 作CE DB ∥，BE 与CE 相交于点E ．(1)求证：四边形BECO 是矩形；(2)连接DE ，若3AB =，4AC =，求DE 的长．24．在平面直角坐标系xOy 中，一次函数()0y kx b k =+≠的图象由函数12y x =的图象平移得到，且经过点()2,0-． (1)求这个一次函数的解析式；(2)当2x <时，对于x 的每一个值，一次函数()10y nx n =-≠的值小于一次函数()0y kx b k =+≠的值，直接写出n 的取值范围．25．某校举办中华传统文化知识大赛，该校七年级共240名学生和八年级共260名学生都参加了比赛．为了解答题情况，进行了抽样调查，从这两个年级各随机抽取20名学生，获取了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a ．七、八两个年级学生成绩的频数分布直方图如下（数据分成4组：6070x ≤<，7080x ≤<，8090x ≤<，90100x ≤≤）：b ．七年级学生的成绩在8090x ≤<这一组的是： 80 82 84 85 86 87 87 87 87 87 89c ．七、八年级成绩的平均数、中位数、众数如下：根据以上信息，回答下列问题： (1)写出表中m ，n 的值；(2)估计七、八两个年级成绩在90100x ≤≤的人数一共为______；(3)把七年级抽取的20名学生的成绩由高到低排列，记排名第5的学生的成绩为1p ，把八年级抽取的20名学生的成绩由高到低排列，记排名第5的学生的成绩为2p ，比较1p ，2p 的大小，并说明理由．26．学习“一次函数”时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质，并积累了一些经验和方法．请运用积累的经验和方法，对函数1y =的图像与性质进行探究，并解决相关问题． (1)列表：表格中：m =__________；(2)在乎面直角坐标系中画出该函数图象；(3)观察图象：①方程10=有__________个解； ②当25x <<时，y 的取值范围是__________；(4)进一步研究：若点()11,M x y ，()22,N x y 是函数1y =图像上任意两点，若对于112x <<，223x <<，都有12y y <，则t 的取值范围是__________．27．如图，在正方形ABCD 中，点P 在边AD 上，连接CP ，过点D 作DE CP ⊥于点E ，延长ED 至点F ，使EF EC =，连接BF ，CF ．(1)依题意补全图形；(2)EFC ∠的度数为__________；(3)用等式表示线段BF ，DF ，EF 之间的数量关系，并证明．28．在平面直角坐标系xOy 中，对于点A 和线段MN ，如果点A ，O ，M ，N 按逆时针方向排列构成菱形AOMN ，则称线段MN 是点A 的“菱线段”，点M 是点A 的“菱点”．例如，图1中线段MN 是点A 的“菱线段”．(1)如图2，已知点A 的坐标是()0,2．①点()11,1M -，)2M ，()32,0M ，()42,1M -，其中点A 的“菱点”有__________；②若线段MN 是点A 的“菱线段”，且菱形AOMN 的面积是2，求点N 的坐标；(2)记OA t =，若线段MN 与线段M N ''都是点A 的“菱线段”，且线段MN 与线段M N ''都经过点()2,0，直接写出t 的取值范围．。

北京市东城区（南片）-下学期八年级期末考试数学试卷一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的。

1. 用配方法解方程2470x x --=时，原方程应变形为 A. 2(2)11x -= B. 2(2)11x += C. 2(4)23x -=D. 2(4)23x +=2. 下列各曲线中，不．表示y 是x 的函数的是A B C D 3. 对于函数21y x =-，当自变量 2.5x =时，对应的函数值是A. 2B. 2-C. 2±D. 44. 在社会实践活动中，某小组对甲、乙、丙、丁四个地区三到六月的黄瓜价格进行调查。

四个地区四个月黄瓜价格的平均数均为 3.60元，方差分别为218.1S =甲，217.2S =乙，220.1S =丙，212.8S =丁。

三到六月份黄瓜的价格最稳定的地区是A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁5. 关于x 的方程230x x c -+=有实数根，则整数c 的最大值为 A. 3B. 2C. 1D. 06. 如图1，在矩形ABCD 中，有以下结论：①△AOB 是等腰三角形；②ABO ADO S S ∆∆=；③AC BD =；④AC BD ⊥；⑤当∠45ABD =︒时，矩形ABCD 会变成正方形。

正确结论的个数是A. 2B. 3C. 4D. 57. 一次函数(1)5y m x m =-+-的图象经过二、三、四象限，则实数m 的取值范围是 A. 15m <<B. 5m >C. 15m m <>或D. 1m <8. 如图2，在四边形ABCD 中，∠A=∠C=90°，且BD 平分∠ABC ，BD=3，BC=2，AD 的长度为A. 1B. 5C. 13D. 59. 依次连接四边形ABCD 的四边中点得到的图形是正方形，则四边形ABCD 的对角线需满足 A. AC BD =B. AC BD ⊥C. AC BD =且AC BD ⊥D. AC BD ⊥且AC 与BD 互相平分10. 如图3，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B =60°，AB =AD =BO =4cm ，OC =8cm ，点M 从点B 出发，按B →A →D →C 的方向，沿四边形BADC 的边以1cm/s 的速度作匀速运动，运动到点C 即停止。

一、选择题（每题4分，共40分）1. 下列选项中，绝对值最小的是（）A. -3B. 2C. 0D. -52. 已知方程x² - 5x + 6 = 0，则x的值为（）A. 2B. 3C. 2和3D. 1和43. 在等腰三角形ABC中，AB=AC，若∠BAC=50°，则∠ABC的度数为（）A. 50°B. 40°C. 60°D. 70°4. 下列函数中，y是x的一次函数的是（）A. y = x² - 3x + 2B. y = 2x³ + 4x² - 3C. y = 3x - 5D. y = 2x + 5x²5. 在平面直角坐标系中，点P（-2，3）关于原点的对称点是（）A.（2，-3）B.（-2，-3）C.（-2，3）D.（2，3）6. 下列分数中，最简分数是（）A. 6/8B. 12/16C. 3/4D. 15/207. 若a、b、c是等差数列，且a+b+c=18，a+c=12，则b的值为（）A. 6B. 9C. 12D. 158. 在直角坐标系中，直线y=2x+1与x轴的交点坐标是（）A.（0，1）B.（1，0）C.（-1，0）D.（0，-1）9. 下列等式中，正确的是（）A. 2a + 3b = 5a + 2bB. 3a - 2b = 2a - 3bC. a + b = b + aD. a - b = b - a10. 下列图形中，是圆的是（）A. 正方形B. 等腰三角形C. 等边三角形D. 半圆二、填空题（每题4分，共40分）11. 若x² - 6x + 9 = 0，则x的值为________。

12. 在等腰三角形ABC中，若AB=AC，∠BAC=60°，则∠ABC的度数为________。

13. 函数y=3x+2中，k的值为________，b的值为________。

14. 分数3/4的分子和分母同时乘以2后，得到的分数为________。

一、选择题（每题4分，共40分）1. 下列各数中，是正数的是（）A. -3.5B. -2C. 0D. 1.52. 下列各数中，是整数的是（）A. 3.14B. -0.25C. 5D. -2.53. 已知a=-3，那么a的相反数是（）A. -3B. 3C. 0D. -a4. 下列各数中，是偶数的是（）A. 2B. 3C. 5D. 65. 下列各数中，是质数的是（）A. 4B. 6C. 8D. 116. 下列各数中，是互质数的是（）A. 8和9B. 6和8C. 7和9D. 4和67. 下列各数中，是平方数的是（）A. 4B. 5C. 6D. 78. 下列各数中，是立方数的是（）A. 8B. 27C. 64D. 1009. 已知一个数的平方是25，那么这个数是（）A. 5B. -5C. 5或-5D. 2510. 下列各数中，是等差数列的是（）A. 1, 3, 5, 7, 9B. 2, 4, 6, 8, 10C. 3, 6, 9, 12, 15D. 4, 8, 12, 16, 20二、填空题（每题4分，共40分）11. 5的倒数是__________，0没有__________。

12. 2的平方是__________，3的立方是__________。

13. 下列各数中，是负数的是__________，是正数的是__________。

14. 下列各数中，是偶数的是__________，是奇数的是__________。

15. 下列各数中，是质数的是__________，是合数的是__________。

16. 下列各数中，是互质数的是__________，是倍数关系的是__________。

17. 下列各数中，是平方数的是__________，是立方数的是__________。

18. 下列各数中，是等差数列的是__________，是等比数列的是__________。

三、解答题（每题10分，共40分）19. 简化下列各式：（1）3a - 2b + 4a - b（2）5x^2 - 2x^2 + 3x^2 - 4x20. 求下列各式的值：（1）a = -2，求3a - 2的值。

2023-2024学年北京市东城区八年级（下）期末数学试卷一、选择题（本题共30分，每小题3分）1．（3分）（）2化简结果正确的是（）A．﹣3B．3C．±3D．92．（3分）下列式子中，属于最简二次根式的是（）A．B．C．D．3．（3分）某运动品牌专营店店主对上一周新进的某款T恤衫销售情况统计如下：尺码39404142434445平均每天销售数量/件1023303528218该店主决定本周进货时，增加一些42码的T恤衫，影响该店主决策的统计量是（）A．中位数B．平均数C．方差D．众数4．（3分）以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（）A．2，3，4B．，，C．5，6，7D．5，12，135．（3分）下列命题中正确的是（）A．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．对角线相等的四边形是矩形D．一组对边平行的四边形是平行四边形6．（3分）一次函数y＝3x+2的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限7．（3分）如图，一根长20cm的吸管置于底面直径为9cm，高为12cm的杯子中，则吸管露在杯子外面的长度不可能是（）A．5cm B．7cm C．8cm D．10cm8．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝4，OH＝2，则菱形ABCD的面积为（）A．8B．16C．24D．329．（3分）如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，点E，F分别是BC，AD的中点，AB＝CD，∠ABD＝30°，∠BDC＝80°，则∠EFP的度数是（）A．15°B．25°C．30°D．35°10．（3分）下面的四个问题中都有两个变量：①正方形的面积y与边长x；②等腰三角形周长为20，底边长y与腰长x；③汽车从A地匀速行驶到B地，汽车行驶的路程y与行驶时间x；④用长度为10的绳子围成一个矩形，矩形的面积y与一边长x．其中，变量y与变量x之间的函数关系可以用形如y＝kx+b（其中k，b是常数，k≠0）的式子表示的是（）A．①②B．①③C．②③D．②④二、填空题（本题共16分，每小题2分）11．（2分）已知正比例函数y＝kx的图象经过第二，四象限，请写出一个符合条件的函数表达式．12．（2分）使得二次根式在实数范围内有意义的x的取值范围是．13．（2分）如图，数轴上点A表示的数为3，AB⊥OA，AB＝2，以原点O为圆心，OB为半径作弧，与数轴交于一点C，则点C表示的数为．14．（2分）一次函数y＝kx+b（k≠0）中两个变量x，y的部分对应值如下表所示：x…﹣4﹣3﹣2﹣10…y…97531…那么关于x的不等式kx+b≥7的解集是．15．（2分）某招聘考试分笔试和面试两部分，按笔试成绩占80%，面试成绩占20%计算应聘者的总成绩．小明笔试成绩为80分，面试成绩为85分，那么小明的总成绩为分．16．（2分）我国汉代数学家赵爽为《周髀算经》一书作序时介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”．如图，四个全等的直角三角形拼成大正方形ABCD，中空的部分是小正方形EFGH，连接CE．若正方形ABCD的面积为5，EF＝BG，则CE的长为．17．（2分）如图，在矩形ABCD中，E为AB上一点，将矩形的一角沿CE向上折叠，点B的对应点F恰好落在边AD上．若△AEF的周长为12，△CDF的周长为24，则AF的长为．18．（2分）碳﹣14是碳元素的一种同位素，具有放射性．活体生物其体内的碳﹣14含量大致不变，当生物死亡后，机体内的碳﹣14含量会按确定的比例衰减（如图所示），机体内原有的碳﹣14含量衰减为原来的一半所用的时间称为“半衰期”．考古学者通常可以根据碳﹣14的衰变程度计算出样品的大概年代．以下几种说法中，正确的有：．①碳﹣14的半衰期为5730年；②碳﹣14的含量逐渐减少，减少的速度开始较快，后来较慢；③经过六个“半衰期”后，碳﹣14的含量不足死亡前的百分之一；④若某遗址一生物标本2023年出土时，碳﹣14的剩余量所占百分比为80%，则可推断该生物标本大致属于我国的春秋时期（公元前770年﹣公元前475年）．三、解答题（本题共54分，第19题4分，第20-24题每小题4分，第25题6分，第26题5分，第27-28题，每小题4分）19．（4分）计算：．20．（5分）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC．求作：以AC为对角线的矩形ADCE．作法：①以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点M，N；分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在∠BAC的内部相交于点P，作射线AP与BC交于点D；②以点A为圆心，CD的长为半径画弧；再以点C为圆心，AD的长为半径画弧，两弧在AC的右侧交于点E；③连接AE，CE．（1）根据以上作法，使用直尺和圆规补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成以下证明．证明：∵AE＝CD，CE＝AD，∴四边形ADCE为平行四边形（）．（填推理的依据）由作图可知，AD平分∠BAC，又∵AB＝AC，∴AD⊥BC（）．（填推理的依据）∴∠ADC＝90°．∴平行四边形ADCE是矩形（）．（填推理的依据）21．（5分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F分别是OA、OC的中点，求证：BE＝DF．22．（5分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b的图象由函数y＝2x﹣2的图象平移得到，且经过点A（1，4）．（1）求这个一次函数的解析式；（2）一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点B，求△AOB的面积．23．（5分）数学兴趣小组的同学想要自制弹簧测力计，为此他们需要了解弹簧在弹性限度内的弹簧长度与拉力的关系，再根据实验数据制作弹簧测力计．经过实验测量，他们得到了6组拉力x（N）与弹簧长度y（cm）之间的数据，如表所示：弹簧受到的拉力x（单位：N）0510152025弹簧的长度y（单位：cm）6810121416（1）在平面直角坐标系中，描出以上述试验所得数据为坐标的各点并顺次连线；（2）结合表中数据，求出弹簧长度y关于弹簧受到的拉力x的函数表达式；（3）若弹簧的长度为30cm，求此时弹簧受到的拉力x的值．24．（5分）某校舞蹈队共有12名学生，测量并获取了所有学生的身高（单位：cm），数据整理如下：a.12名学生的身高：160，164，164，165，166，167，167，167，168，168，169，171，b.12名学生的身高的平均数、中位数、众数：平均数中位数众数166.3m n（1）写出表中m，n的值；（2）现将12名学生分成如下甲乙两组．对于不同组的学生，如果一组学生的身高的方差越小，则认为该组舞台呈现效果越好．据此推断：在下列两组学生中，舞台呈现效果更好的是（填“甲组”或“乙组”）；甲组学生的身高165167167168168171乙组学生的身高160164164166167169（3）该舞蹈队要选六名学生参加艺术节比赛，已经确定甲组四名参赛的学生的身高分别为165，167，168，168．在乙组选择另外两名参赛学生时，要求所选的两名学生与已确定的四名学生所组成的参赛队身高的方差最小，则乙组选出的另外两名学生的身高分别为和．25．（6分）如图，矩形ABCD中，点E为边AB上任意一点，连接CE，点F为CE的中点，过点F作MN ⊥CE，MN与AB、CD分别相交于点M、N，连接CM、EN．（1）求证：四边形CNEM为菱形；（2）若AB＝10，AD＝4，当AE＝2时，求EM的长．26．（5分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b的图象经过点（﹣1，0），（1，2）．（1）求这个一次函数的解析式；（2）当x＞﹣3时，对于x的每一个值，函数y＝mx﹣1（m≠0）的值小于函数y＝kx+b的值，直接写出m的取值范围．27．（7分）如图，正方形ABCD中，点M在BC延长线上，点P是BM的中点，连接AP，在射线BC上方作PQ⊥AP，且PQ＝AP．连接MD，MQ．（1）补全图形；（2）用等式表示MD与MQ的数量关系并证明；（3）连接CQ，若正方形边长为5，CQ＝6，直接写出线段CM的长．28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，对于线段AB和点Q，给出如下定义：若在直线y＝x上存在点P，使得四边形ABPQ为平行四边形，则称点Q为线段AB的“相随点”．（1）已知，点A（1，3），B（5，3）．①在点Q1（1，5），Q2（﹣1，3），Q3（0，4），Q4（﹣5，0）中，线段AB的“相随点”是；②若点Q为线段AB的“相随点”，连接OQ，BQ，直接写出OQ+BQ的最小值及此时点Q的坐标；（2）已知点A（﹣2，3），点B（2，﹣1），正方形CDEF边长为2，且以点（t，1）为中心，各边与坐标轴垂直或平行，若对于正方形CDEF上的任意一点，都存在线段AB上的两点M，N，使得该点为线段MN的“相随点”，请直接写出t的取值范围．2023-2024学年北京市东城区八年级（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共30分，每小题3分）1．【分析】原式利用二次根式的化简公式化简，计算即可得到结果．【解答】解：原式＝3，故选：B．【点评】此题考查了算术平方根的计算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．2．【分析】根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式进行分析即可．【解答】解：A、＝2，因此不是最简二次根式，故此选项错误；B、是最简二次根式，故此选项正确；C、＝2，因此不是最简二次根式，故此选项错误；D、不是最简二次根式，故此选项错误；故选：B．【点评】此题主要考查了最简二次根式，关键是掌握最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．3．【分析】平均数、中位数、众数是描述一组数据集中程度的统计量；方差、标准差是描述一组数据离散程度的统计量．销量大的尺码就是这组数据的众数．【解答】解：由于众数是数据中出现次数最多的数，故影响该店主决策的统计量是众数．故选：D．【点评】此题主要考查统计量的选择，主要包括加权平均数、中位数、众数、方差，掌握相关统计量的定义是解答本题的关键．4．【分析】求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．【解答】解：A、22+32≠42，不能构成直角三角形，不符合题意；B、（）2+（）2≠（）2，不能构成直角三角形，不符合题意；C、52+62≠72，不能构成直角三角形，不符合题意；D、52+122＝132，能构成直角三角形，符合题意．故选：D．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断是解答此题的关键．5．【分析】根据正方形、菱形、矩形、平行四边形的判定定理判断．【解答】解：A、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，命题正确，符合题意；B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故本选项命题错误，不符合题意；C、对角线相等的平行四边形是矩形，故本选项命题错误，不符合题意；D、一组对边平行的四边形是平行四边形或梯形，故本选项命题错误，不符合题意；故选：A．【点评】本题主要考查命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．6．【分析】一次函数y＝kx+b的图象经过第几象限，取决于k和b．当k＞0，b＞O时，图象过1，2，3象限，据此作答．【解答】解：∵k＝3＞0，b＝2＞0，∴直线y＝3x+2经过一、二、三象限，不经过第四象限．故选：D．【点评】本题考查一次函数的k＞0，b＞0的图象性质．一次函数的图象经过第几象限，取决于x的系数和常数项．7．【分析】根据勾股定理求出h的最短距离，进而可得出结论．【解答】解：如图，当吸管、底面直径、杯子的高恰好构成直角三角形时，h最短，当吸管与底面垂直时，h最大，此时AB＝＝15（cm），故h最短＝20﹣15＝5（cm），h最大＝20﹣12＝8（cm）．故选：D．【点评】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．8．【分析】由Rt△BHD中，点O是BD的中点，根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，OH＝2，则，BD＝4，由菱形对角线的性质可得AC＝8，应用菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，即可得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，∵DH⊥AB，∴∠BHD＝90°，∴BD＝2OH，∵OH＝2，∴BD＝4，∵OA＝4，∴AC＝8，∴菱形ABCD的面积＝AC•BD＝＝16．故选：B．【点评】本题主要考查了菱形的性质和面积及直角三角形的性质，合理利用菱形的性质及直角三角形的性质进行计算是解决本题的关键．9．【分析】根据三角形中位线定理得到PF＝AB，PF∥AB，求得∠DPE＝∠ABD＝30°，同理，PE＝CD，PE∥CD，得到∠DPE＝180°﹣∠BDC＝180°﹣80°＝100°，根据等腰三角形的性质即可得到结论．【解答】解：∵P是对角线BD的中点，点E，F分别是BC，AD的中点，∴PF是△ABD的中位线，∴PF＝AB，PF∥AB，∴∠DPE＝∠ABD＝30°，同理，PE＝CD，PE∥CD，∴∠DPE＝180°﹣∠BDC＝180°﹣80°＝100°，∴∠EPF＝∠EPD+∠DPE＝130°，∵AB＝CD，∴PE＝PF，∴∠EFP＝∠FEP＝×（180°﹣∠EPF）＝×（180°﹣130°）＝25°，故选：B．【点评】本题考查了三角形中位线定理，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握三角形的中位线定理是解题的关键．10．【分析】根据题意列出函数矩形函数解析式，判定即可．【解答】解：①根据题意得，y＝x2，故不符合题意；②根据题意得，y＝20﹣2x，故符合题意；③设汽车从A地匀速行驶到B地的速度为k，y＝kx（k为常量），故符合题意；④根据题意得，y＝x（5﹣x）故不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，正方形的性质，矩形的性质，正确地列出函数解析式是解题的关键．二、填空题（本题共16分，每小题2分）11．【分析】先根据正比例函数y＝kx（k为常数，且k≠0）的图象经过第二、四象限得出k的取值范围，进而可得结论．【解答】解：∵正比例函数y＝kx（k为常数，且k≠0）的图象经过第二、四象限，∴k＜0，∴函数表达式为y＝﹣x．故答案为：y＝﹣x（答案不唯一）．【点评】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，先根据题意得出k的取值范围是解答此题的关键．12．【分析】根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．【解答】解：∵二次根式在实数范围内有意义，∴x﹣2≥0，解得x≥2．故答案为：x≥2．【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．13．【分析】直接利用勾股定理得出OB的长，进而得出答案．【解答】解：由题意可得：OB＝＝＝，故点C表示的数为：，故答案为：．【点评】此题主要考查了实数与数轴，正确得出OB的长是解题关键．14．【分析】直接根据表格中x，y的值即可得出结论．【解答】解：由表格可知，当x＝﹣4时，y＝9；当x＝﹣3时，y＝7，∵﹣4＜﹣3，9＞7，∴关于x的不等式kx+b≥7的解集是x≤﹣3．故答案为：x≤﹣3．【点评】本题考查的是一次函数与一元一次不等式，能直接根据表格中的数据得出不等式的解集是解题的关键．15．【分析】根据加权平均数的计算公式解答即可．【解答】解：∵笔试成绩占80%，面试成绩占20%，∴总成绩是80×80%+85×20%＝81（分），故答案为：81．【点评】本题考查了加权平均数的计算，熟练掌握加权平均数的计算公式是解题的关键．16．【分析】根据SAS证明△EHC≌△DHC得出CE＝CD，再根据正方形的面积公式即可得出结果．【解答】解：∵△AED≌△CBG，∴DE＝BG，∵EF＝BG，∴EF＝DE，又∵四边形EFGH是正方形，∴EH＝EF＝DE，∠EHC＝∠DHC，∴EH＝DH，又HC＝HC，∴△EHC≌△DHC（SAS），∴CE＝CD，又∵正方形ABCD的面积为5，∴CE＝CD＝．故答案为：．【点评】本题主要考查了勾股定理的证明，全等三角形的判定与性质，证明△EHC≌△DHC是解题的关键．17．【分析】由矩形和折叠的性质可知，AB＝CD，AD＝BC＝CF，BE＝EF，再根据三角形周长，求得BC+CD ＝18，DF＝6，然后利用勾股定理，求出CF的长，即可得到答案．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AD＝BC，由折叠的性质可知，BE＝EF，BC＝CF，∵△AEF的周长为12，△CDF的周长为24，∴AE+EF+AF＝AE+BE+AF＝AB+AF＝12，CD+CF+DF＝CD+BC+DF＝24，∴AB+AF+CD+BC+DF＝AB+AD+CD+BC＝36，∴BC+CD＝18，∴DF＝6，CF＝BC＝18﹣CD，在Rt△CDF中，CF2＝CD2+DF2，∴CF2＝（18﹣CF）2+62，解得：CF＝10，∴AD＝BC＝CF＝10，∴AF＝AD﹣DF＝4，故答案为：4．【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，勾股定理，找出线段之间的数量关系是解题关键．18．【分析】根据横轴表示时间，纵轴表示剩余碳﹣14所占百分百可得答案．【解答】解：由图象可知：①碳﹣14的半衰期为5730年，说法正确；②碳﹣14的含量逐渐减少，减少的速度开始较快，后来较慢，说法正确；③经过5个“半衰期”后，碳﹣14的含量大于死亡前的，经过六个“半衰期”后，碳﹣14的含量大于死亡前的百分之一，说法正确；④某遗址一生物标本2023年出土时，碳﹣14的剩余量所占百分比为80%，设生物死亡时间为x年前，则：x＝5730×≈2866，该生物死亡时间大约在公元前2866年，所以原说法错误．所以正确的有①②③．故答案为：①②③．【点评】本题考查了函数的图象以及常量与变量，解题关键是正确理解清楚函数图象的意义．三、解答题（本题共54分，第19题4分，第20-24题每小题4分，第25题6分，第26题5分，第27-28题，每小题4分）19．【分析】根据二次根式的乘法法则和除法法则运算，然后化简二次根式，最后合并同类二次根式即可．【解答】解：原式＝﹣+2＝3﹣+2＝4．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则是解决问题的关键．20．【分析】（1）根据要求作出图形；（2）根据有一个角是90°的平行四边形是矩形证明即可．【解答】（1）解：图形如图所示：（2）证明：∵AE＝CD，CE＝AD，∴四边形ADCE为平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形），由作图可知，AD平分∠BAC，又∵AB＝AC，∴AD⊥BC（三线合一），∴∠ADC＝90°，∴平行四边形ADCE是矩形（有一个角是90°的平行四边形是矩形）．故答案为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，三线合一，有一个角是90°的平行四边形是矩形．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，角平分线的性质，等腰三角形的性质，平行四边形的判定和性质，矩形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．21．【分析】根据平行四边形的性质对角线互相平分得出OA＝OC，OB＝OD，利用中点的意义得出OE＝OF，从而利用平行四边形的判定定理“对角线互相平分的四边形是平行四边形”判定BFDE是平行四边形，从而得出BE＝DF．【解答】证明：连接BF、DE，如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形∴OA＝OC，OB＝OD∵E、F分别是OA、OC的中点∴OE＝OA，OF＝OC∴OE＝OF∴四边形BFDE是平行四边形∴BE＝DF．【点评】本题考查了平行四边形的基本性质和判定定理的运用．性质：①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；③平行四边形的两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分．判定：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．22．【分析】（1）先根据一次函数y＝kx+b的图象由函数y＝2x﹣2的图象平移得到可知k＝2，再由函数图象经过点A（1，4）求出b的值，进而可得出结论；（2）求出B点坐标，利用三角形的面积公式即可得出结论．【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+b的图象由函数y＝2x﹣2的图象平移得到，∴k＝2，∵函数图象经过点A（1，4），∴4＝2×1+b，解得b＝2，∴一次函数的解析式为y＝2x+2；（2）∵一次函数的解析式为y＝2x+2，∴当y＝0时，x＝﹣1，∴B（﹣1，0），∴OB＝1，∵A（1，4），∴△AOB的面积＝×1×4＝2．【点评】本题主要考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的规律是解题的关键．23．【分析】（1）先描点，再连线，即可得出图象；（2）利用待定系数法计算即可；（3）求出当y＝30时，x的值即可．【解答】解：（1）描点、连线如图所示：（2）设弹簧长度y关于弹簧受到的拉力x的函数表达式为y＝kx+b，将（0，6），（5，8）代入函数解析式得，，解得：，故弹簧长度y关于弹簧受到的拉力x的函数表达式为y＝x+6．（3）当y＝30cm，x+6＝30，解得：x＝60，故弹簧的长度为30cm，求此时弹簧受到的拉力x的值为60N．【点评】本题主要考查一次函数的应用，正确求出一次函数解析式是解题的关键．24．【分析】（1）根据中位数和众数的概念，即可解答；（2）根据方差的概念和意义，即方差越大，这组数据的波动越大，离散程度越大，稳定性也越小，即可解答；（3）根据方差的概念和意义，可确定另外两名学生的身高应该在175﹣178，据此可解答．【解答】解：（1）从中可以看出第6个数据和第7个数据分别是167，167，所以这组数据的中位数为m ＝＝167，其中，167出现的次数最多，所以这组数据的众数n＝167；故答案为：167，167；（2）甲组学生的身高分布于165﹣171，乙组学生的身高分布于160﹣169，据此可以看出甲组学生的身高波动比乙组学生的小，稳定性较大，所以舞台呈现效果更好的是甲组；故答案为：甲组；（3）根据题意，为保证方差最小，另外两名学生的身高应该在165cm﹣168cm，从乙组的数据可以知道，在165cm﹣168cm的身高有2个，分别是166、167；故答案为：166、167．【点评】本题考查了平均数、众数、中位数和方差，熟记方差的计算公式以及方差的意义是解题的关键．25．【分析】（1）根据已知证明△EFM≌△CFN，证得EM＝CN，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证得四边形CNEM是平行四边形，然后证明NE＝NC，即可证得结论；（2）AB＝10，AE＝2，则BE＝8，设EM＝MC＝x，则BM＝8﹣x，利用勾股定理求出x即可解答．【解答】（1）证明：矩形ABCD中，AB∥DC，∴∠MEF＝∠NCF，∠EMF＝∠CNF，∵点F为CE的中点，∴EF＝CF，∴△EFM≌△CFN，∴EM＝CN，∴四边形CNEM为平行四边形，∵MN⊥CE于点F，EF＝CF，∴NE＝NC，∴四边形CNEM为菱形；（2）解：∵四边形CNEM是菱形，∴EM＝CM，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝4，∠B＝90°，∵AB＝10，AE＝2，∴BE＝8，设EM＝MC＝x，则BM＝8﹣x，在Rt△BMC中，BM2+BC2＝CM2，即（8﹣x）2+42＝x2，解得x＝5，∴EM的长为5．【点评】本题考查了矩形的性质以及勾股定理，熟记矩形的性质并灵活运用是解题的关键．矩形的性质：①平行四边形的性质矩形都具有；②角：矩形的四个角都是直角；③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对角线相等．26．【分析】（1）用待定系数法可得答案；（2）画出图形，用数形结合思想可得答案．【解答】解：（1）把（﹣1，0），（1，2）代入y＝kx+b得：，解得，∴一次函数的解析式为y＝x+1；（2）函数y＝mx﹣1的图象过定点（0，﹣1），当x＝﹣3时，y＝x+1＝﹣3+1＝﹣2，若函数y＝mx﹣1的图象过（﹣3，﹣2），则﹣2＝﹣3m﹣1，此时m＝；如图：由图可知，当x＞﹣3时，对于x的每一个值，函数y＝mx﹣1（m≠0）的值小于函数y＝kx+b的值，m的取值范围是≤m≤1．【点评】本题考查待定系数法求一次函数解析式和一次函数与一元一次不等式的关系，解题的关键是掌握待定系数法和数形结合思想的应用．27．【分析】（1）依题意补全图形即可；（2）连接QD，过点Q作QH⊥BM于H，QN⊥CD交CD的延长线于N，设AB＝a，CP＝x，则BP＝BC+CP＝a+x，证明四边形QHCN为矩形，再证明△HPQ和△BAP全等得PH＝AB＝a，QH＝BP＝a+x，则CH＝CP+PH＝x+a，由此得矩形QHCN为正方形，则QH＝QN＝CH＝CN＝a+x，∠QHM＝∠N＝∠NQH＝∠90°，MQ＝DQ，∠HQM＝∠NQD，据此可证明△QDH为等腰直角三角形，然后由勾股定理可得出MD与MQ的数量关系；（3）由（2）可知：QH＝CH，∠QHC＝90°，a＝5，则△CHQ为等腰直角三角形，由勾股定理得CH ＝QH＝6，则PH＝a＝5，CP＝HM＝CH﹣PH＝1，据此可得CM的长．【解答】解：（1）依题意补全图形如图1所示：（2），证明如下：过点Q作QH⊥BM于H，QN⊥CD交CD的延长线于N，如图2所示：则∠PHQ＝90°，设AB＝a，CP＝x，则BP＝BC+CP＝a+x，∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝BC＝CD＝DA＝a，∠B＝∠BCD＝90°，∴∠PHQ＝∠B＝∠DCM＝90°，∠BAP+∠BPA＝90°，又∵QH⊥BM，QN⊥CD，∴四边形QHCN为矩形，∵PQ⊥AP，∴∠BPA+∠HPQ＝90°，∴∠HPQ＝∠BAP，在△HPQ和△BAP中，，∴△HPQ≌△BAP（AAS），∴PH＝AB＝a，QH＝BP＝a+x，∵CH＝CP+PH＝x+a，∴CH＝QH，∴矩形QHCN为正方形，∴QH＝QN＝CH＝CN＝a+x，∠QHM＝∠N＝∠NQH＝∠90°，∴ND＝CN﹣CD＝a+x﹣a＝x，∵点P是BM的中点，∴PM＝BP＝a+x，∴HM＝PM﹣PH＝a+x﹣a＝x，∴HM＝ND＝x，在△QHM和△QND中，，∴△HM≌△QND（SAS），∴MQ＝DQ，∠HQM＝∠NQD，∴∠DQM＝∠DQN+∠HQM＝∠DQN+∠NQD＝∠NQH＝∠90°，∴△QDH为等腰直角三角形，由勾股定理得：MD＝MQ；（3）连接CQ如图3所示：∵CQ＝，正方形边长为5，由（2）可知：QH＝CH，∠QHC＝90°，a＝5，∴△CHQ为等腰直角三角形，由勾股定理得：CH＝QH＝CQ＝＝6，∴PH＝a＝5，CP＝HM＝CH﹣PH＝6﹣5＝1，∴CM＝CP+PH+HM＝7．【点评】此题主要考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形，熟练掌握正方形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形是解决问题的关键，正确地添加辅助线，构造全等三角形和正方形是解决问题的难点．28．【分析】（1）①首先求出AB＝5﹣1＝4，然后根据平行四边形的性质得到AB|\PQ，AB＝PQ＝4，然后设P（x，x），然后分别验证求解即可；②首先判断出点Q在直线y＝x+4上运动，连接OQ，BQ，作点O关于直线y＝x+4的对称点0，连接QO′，BO′，得到OQ+BQ＝O'Q+BQ≥BO'，当点O′，Q，B三点共线时，OQ+BQ有最小值，即BO'的长度，然后求出O′（﹣4，4），最后利用勾股定理求解即可，运用待定系数法求得直线O′B的解析式，联立方程组求解即可求得点Q的坐标；（2）首先得出正方形CDEF左上角的顶点坐标为（t﹣1，2），右下角的顶点坐标为（t+1，0），设P（m，m），然后分两种情况讨论，分别根据平行四边形的性质求解即可．【解答】解：（1）①∵点A（l，3），B（5，3）．∴AB＝5﹣1＝4，∵四边形ABPQ为平行四边形，∴AB∥PQ，AB＝PQ＝4，∵点P在直线y＝x上，∴设P（x，x），当Q1（1，5）时，若PQ1∥AB，且PQ1＝AB，∴x﹣1＝4，x＝5，∴x＝5，∴P（5，5）符合题意，∴Q1（1，5）是线段AB的“相随点”；当Q2（﹣1，3）时，若PQ2∥AB，且PQ2＝AB，∴x﹣（﹣1）＝4，x＝3，∴x＝3，∴P（3，3），此时点P，Q和点A，B共线，围不成平行四边形，不符合题意；当Q3（0，4）时，若PQ3∥AB，且PQ3＝AB，∴x﹣0＝4，x＝4，∴x＝4，∴P（4，4）符合题意，∴Q3（0，4）是线段AB的“相随点”；当Q4（﹣5，0）时，若PQ4∥AB，且PQ4＝AB，∴x﹣（﹣5）＝4，x＝0，∴x＝﹣l与x＝0相矛盾，不符合题意；综上所述，线段AB的“相随点”是Q1（1，5），Q3（0，4），故答案为：Q1（1，5），Q3（0，4）；②∵点Q为线段AB的“相随点”，∴四边形ABPQ为平行四边形，∴AB∥PQ，AB＝PQ＝4，∴设P（y，y），Q（x，y），∴y﹣x＝4，∴y＝x+4，∴点Q在直线y＝x+4上运动，如图所示，连接OQ，BQ，作点O关于直线y＝x+4的对称点O′，连接QO′，BO'，则QO'＝QO，∴OQ+BQ＝O'Q+BQ≥BO'，∴当点O′，Q，B三点共线时，OQ+BQ有最小值，即BO′的长度，∵点O和点O′关于直线y＝x+4对称，∴O′（﹣4，4），∵B（5，3），∴O′B＝＝，∴OQ+BQ的最小值为，设直线O′B的解析式为y＝kx+b，则，解得：，∴直线O′B的解析式为y＝﹣x+，联立得：，解得：，∴此时点Q的坐标为（﹣，）；（2）对于线段AB上的M，N，使得四边形MNPQ为平行四边形，。

2019-2020学年北京市东城区八年级（下）期末数学试卷一、选择题（本题共20分，每小题2分）第1-10题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.1．（2分）下列二次根式中，最简二次根式是（）A．B．C．D．2．（2分）下列各式中，从左向右变形正确的是（）A．＝±2B．＝3C．＝D．3．（2分）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（）A．1，1，1B．2，3，4C．1，2，3D．5，12，134．（2分）下列函数中，y是x的正比例函数的是（）A．y＝5x﹣1B．y＝x C．y＝x2D．y＝5．（2分）在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，且∠AOD＝120°．若AB＝3，则BC的长为（）A．B．3C．3D．66．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC的顶点C在x轴的正半轴上．若点A的坐标是（3，4），则点B的坐标为（）A．（5，4）B．（8，4）C．（5，3）D．（8，3）7．（2分）一次函数y＝kx+b中，若kb＞0，且y随着x的增大而增大，则其图象可能是（）A．B．C．D．8．（2分）如图，等腰△ABC中，点P是底边BC上的动点（不与点B，C重合），过点P分别作AB、AC 的平行线PM、PN，交AC、AB于点M、N，则下列数量关系一定正确的是（）A．PM+PN＝AB B．PM+PN＝BCC．PM+PN＝2BC D．PM+PN＝AB+BC9．（2分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，点Q在直线BC上，且AQ＝2，则线段BQ的长为（）A．B．C．或D．或﹣110．（2分）如图，动点P在边长为2的等边△ABC的边上．它从点A出发，沿A→C→B→A的方向以每秒1个单位长度的速度运动．如果点P的运动时间为t秒，点P与点C之间的距离记为y，那么y与t之间的函数关系用图象表示大致是（）A．B．C．D．二、填空题（本题共12分，每小题2分）11．（2分）使二次根式有意义的x的取值范围是．12．（2分）2020年3月北京市16个区的PM2.5的浓度（单位：微克/立方米）统计情况如表：PM2.5的浓度313233353638区的个数312451下面有三个结论：①PM2.5的浓度众数是5；②PM2.5的浓度中位数是35；③PM2.5的浓度平均数约为34．其中正确的是（填写序号）．13．（2分）如图，菱形ABCD中，AB＝10，AC，BD交于点O，若E是边AD的中点，∠AEO＝32°，则OE的长等于，∠ADO的度数为．14．（2分）如图，三角形花园的边界AB，BC互相垂直，若测得∠A＝30°，BC的长度为40m，则边界AC 的中点D与点B的距离是m．15．（2分）图1中菱形的两条对角线长分别为6和8，将其沿对角线裁分为四个三角形，将这四个三角形无重叠地拼成如图2所示的图形．则图1中菱形的面积等于；图2中间的小四边形的面积等于．16．（2分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y1＝kx+b与y2＝x+m的图象如图所示，若它们的交点的横坐标为2，则下列四个结论中正确的是（填写序号）．①直线y2＝x+m与x轴所夹锐角等于45°；②k+b＞0；③关于x的不等式kx+b＜x+m的解集是x≤2．三、解答题（本题共68分，第17一22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27-28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17．（5分）（）（）18．（5分）计算：（）×．19．（5分）如图是小明设计的“利用已知矩形作一个内角为30°角的平行四边形”的尺规作图过程．已知：矩形ABCD．求作：▱AGHD，使∠GAD＝30°．作法：如图，①分别以点A，B为圆心，以大于AB长为半径，在AB两侧作弧，分别交于点E，F；②作直线EF；③以点A为圆心，以AB长为半径作弧，交直线EF于点G，连接AG；④以点G为圆心，以AD长为半径作弧，交直线EF于点H，连接DH．则四边形AGHD即为所求作的平行四边形．根据小明设计的尺规作图过程，填空：（1）∠BAG的大小为；（2）判定四边形AGHD是平行四边形的依据是；（3）用等式表示平行四边形AGHD的面积S1和矩形ABCD的面积S2的数量关系为．20．（5分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b的图象经过A（﹣2，0），B（1，3）两点．（1）求这个一次函数的解析式；（2）将函数y＝kx+b的图象平移可得到函数y＝kx﹣1的图象，写出平移的过程．21．（5分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，CD＝1.5，BD＝2.5．（1）求点D到直线AB的距离；（2）求线段AC的长．22．（5分）2017年国务院印发《新一代入工智能发展规划》，将人工智能上升为国家战略，我国人工智能领域迎来新的发展契机．根据相关信息，回答问题：（1）图1反映了我国人工智能专利授权量（单位：件）近些年的变化情况.2017年，中国人工智能专利授权量为件；（2）图2是2017年前20名中国人工智能国内专利权人的专利授权量的频数分布直方图，数据被分成5组，其中在100≤x＜200之间的数据分别是：129，154，155，165，170，170，186，190．则20个专利授权量的中位数是；（3）2017年中国人工智能国内专利权人的专利授权量在基础算法、基础硬件和垂直应用三个分支位于前20的统计折线图如图3．依据折线图推断，基础算法、基础硬件和垂直应用三个分支的专利授权量的方差最小的是．（4）下列推断合理的是（填写序号）．①我国人工智能正快速发展；②在基础硬件方面需要加大创新投入提升竞争力．23．（6分）A，B，C三地都在一条笔直的公路边，B在A，C之间．甲、乙两人相约到C地游玩，甲由A 地出发骑自行车，平均速度是8km/h；乙由B地出发骑电动自行车匀速行驶．设甲骑行的时间为t（单位：h），甲、乙与A地的距离分别为y1，y2（单位：km）．y1，y2都是t的函数，其中y2与t的对应关系如图所示．回答下列问题：（1）A，B两地之间的距离为km；（2）先到达C地；（3）y1与t之间的函数表达式是，乙出发后到达C地之前，y2与t之间的函数表达式是；（4）到达C地之前，当t＝时，甲、乙两人与A地的距离相等；24．（6分）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，网格的中心标记为点O．按要求画四边形，使它的四个顶点均落在格点上，且点O为其对角线交点：（1）在图1中画一个两边长分别为6和4的矩形；（2）在图2中画一个平行四边形，使它有且只有一条对角线与（1）中矩形的对角线相等；（3）在图3中画一个正方形，使它的对角线与（1）中所画矩形的对角线相等．25．（6分）在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝kx+5与y轴交于点A．直线l2：y＝﹣x+1与直线l1交于点B，与y轴交于点C．（1）当点B的纵坐标为2时，①写出点B的坐标及k的值；②求直线l1，l2与y轴所围成的图形的面积；（2）当点B的横坐标x B满足﹣3≤x B≤﹣1时，求实数k的取值范围．26．（6分）如图1，矩形ABCD中，AC＝7cm，AB＞3cm．点E在边AB上，BE＝3cm．点F为对角线AC 上的动点，连接EF，BF．设A，F两点间的距离为xcm，BF＝y1cm，EF＝y2cm．小华根据学习函数的经验，对△EFB的形状进行了探究．下面是小华的探究过程，请补充完整：（1）对于点F在AC上的不同位置，画图、测量，得到了线段BF，EF的长度的几组值，如下表：x/cm01234567y1/cm 5.63 4.86 4.19 3.68 3.39 3.38 3.65 4.16y2/cm 2.63 1.92 1.57 2.44 3.28 4.19 5.13（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并在图2中画出函数y1，y2的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当△BEF为等腰三角形时，AF的长度约为cm（结果保留两位小数）．27．（7分）如图，将矩形纸片ABCD沿过点A的直线翻折，使点B恰好与其对角线AC的中点O重合，折痕与边BC交于点E．延长EO交AD于点F，连接CF．（1）按要求补全图形；（2）求证：四边形AECF是菱形；（3）若AB＝，求BE的长．28．（7分）已知正方形ABCD边长为10，若一个等边三角形的三个顶点均在正方形ABCD的内部或边上，则称这个等边三角形为正方形ABCD的内等边三角形．（1）正方形ABCD的边长为10，点E在边AD上．①当点E为边AD的中点时，求作：正方形ABCD的内等边△AEF（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；②若△AEF是正方形ABCD的内等边三角形，连接BF，DF，则线段BF长的最小值是，线段DF长的取值范围是；（2）△ADP和△AMN都是正方形ABCD的内等边三角形，当边AM的长最大时，画出△ADP和△AMN，点A，M，N按逆时针方向排序，连接NP，求NP的长．2019-2020学年北京市东城区八年级（下）期末数学试卷参考答案与试题解析1-5．ADBDC 6-10．BAACD11．x≥5 12．②③13．5，16°14．40 15．24，1 16．①②17．【解答】解：原式＝（）2﹣（）2＝5﹣3＝2．18．【解答】解：原式＝（4﹣2）××＝2××＝．19．【解答】解：（1）连接BG，由作图知，EF是线段AB的垂直平分线，∴AG＝BG，∵AB＝AG，∴AB＝AG＝BG，∴△ABG是等边三角形，∴∠BAG＝60°；故答案为：60°；（2）∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，∵EF⊥AB，∴GH∥AD，∵GH＝AD，∴四边形AGHD是平行四边形，故答案为：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（3）设EF与AB交于M，∵S1＝AD•AB，S2＝HG•AM＝AD•AB＝AD•AB，∴S1＝2S2，故答案为：S1＝2S2．20．【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+b的图象经过A（﹣2，0），B（1，3）两点．∴，解得，∴一次函数为y＝x+2；（2）将函数y＝x+2的图向下平移3个单位可得到函数y＝2x﹣1的图象．21．【解答】解：（1）过点D作DE⊥AB于E，∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB，∴DE＝CD＝1.5，∴点D到直线AB的距离为1.5；（2）在Rt△ACD和Rt△AED中，，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）∴AC＝AE，在Rt△DEB中，BE＝＝2，在Rt△ACB中，AB2＝AC2+BC2，即（AC+2）2＝AC2+42，解得，AC＝3．22．【解答】解：（1）由折线统计图可知，2017年中国人工智能专利授权量为为17477件，故答案为：17477；（2）将20名中国人工智能国内专利权人的排列后，处在中间位置的两个数的平均数为＝141.5；因此中位数是141.5，故答案为：141.4；（3）根据图3，可以直观得出“垂直应用”的离散程度较小，因此“垂直应用”的方差最小，故答案为：垂直应用；（4）故答案为：①②．23．【解答】解：（1）由图象可得，A，B两地之间的距离为5km，故答案为：5；（2）由图象可得，乙的速度为：（11﹣5）÷（1.5﹣1）＝12（km/h），∵甲的速度为8km/h，12＞8，∴乙先到达C地，故答案为：乙；（3）由已知可得，y1与t之间的函数表达式是y1＝8t，设y2与t之间的函数表达式是y2＝kt+b，，解得，，即y2与t之间的函数表达式是y2＝12t﹣7，故答案为：y1＝8t，y2＝12t﹣7；（4）令8t＝12t﹣7，解得，t＝，即到达C地之前，当t＝时，甲、乙两人与A地的距离相等. 24．【解答】解：（1）如图1，矩形ABCD即为所求；（2）如图2，平行四边形ABCSD即为所求；（3）如图3，正方形ABCD即为所求．25．【解答】解：（1）①∵直线l2：y＝﹣x+1过点B，点B的纵坐标为2，∴﹣x+1＝2，解得x＝﹣1，∴点B的坐标为（﹣1，2）．∵直线l1：y＝kx+5过点B，∴2＝﹣k+5，解得k＝3；②∵k＝3，∴直线l1的解析式为：y＝x+5，∴A（0，5）．∵直线l2的解析式为：y＝﹣x+1，∴C（0，1）．∴AC＝5﹣1＝4，∴直线l1，l2与y轴所围成的图形的面积S△ABC＝×4×1＝2；（2）解方程组，得，∴点B的坐标为（﹣，）．∵点B的横坐标x B满足﹣3≤x B≤﹣1，∴当x B＝﹣3时，﹣＝﹣3，解得k＝，当x B＝﹣1时，﹣＝﹣1，解得k＝3，∴实数k的取值范围是≤k≤3．26．【解答】解：（1）用光滑的曲线连接y2的函数图象，测得x＝3时，y2≈1.85（答案不唯一），x/cm01234567 y1/cm 5.63 4.86 4.19 3.68 3.39 3.38 3.65 4.16 y2/cm 2.63 1.92 1.57 1.85 2.44 3.28 4.19 5.13（2）画出函数y1，y2的图象如下图：（3）y1＝BF，y2＝EF，BE＝3，当BE＝BF时，即y1＝3，从图象看，x无解；当BE＝EF时，即y2＝3，从图象看，x≈4.65（答案不唯一）；当BF＝EF时，即y1＝y2，从图象看，x≈5.35（答案不唯一）；故AF的长度约为4.65或5.35（cm）（答案不唯一），故答案为4.65或5.35（答案不唯一）．27．【解答】解：（1）依照题意补全图形，如图所示：（2）∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠ABC＝90°，∴∠F AC＝∠ECA，∵点O是AC中点，∴AO＝CO，又∵∠AOF＝∠COE，∴△AOF≌△COE（ASA），∴OF＝OE，∴四边形AECF是平行四边形，∵将矩形纸片ABCD沿过点A的直线翻折，∴AB＝AO，∠ABC＝∠AOE＝90°，∴四边形AECF是菱形；（2）∵AB＝，∴AO＝AB＝，AC＝2AO＝2，∴BC＝＝＝3，∵四边形AECF是菱形，∴AE＝CE，∵AE2＝BE2+AB2，∴（3﹣BE）2＝BE2+3，∴BE＝1．28．【解答】解：（1）①如图所示，△AEF是等边三角形；②如图2，∵△AEF是等边三角形，∴∠EAF＝60°，∴点F在与AD成60°的直线AF上移动，∴当BF⊥AF时，BF有最小值，此时，∵∠F AB＝∠DAB﹣∠EAF＝30°，∴BF＝AB＝5，∴BF的最小值为5，当DF⊥AF时，DF有最小值，此时，∠ADF＝30°，∴AF＝AD＝5，DF＝AF＝5，当点E与点D重合时，DF有最大值，最大值为10，∴线段DF长的取值范围为5≤DF≤10，故答案为：5，5≤DF≤10；（2）如图3，过点P作PH⊥AN于H，作∠AMG＝∠MAB，交AB于G，∵边AM的长最大，∴点M在BC上，点N在CD上，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB＝CD＝BC，∠B＝∠C＝∠ADC＝∠DAB＝90°，∵△AMN是等边三角形，∴AM＝AN＝MN，∠MAN＝60°，∴Rt△ADN≌Rt△ABM（HL），∴DN＝BM，∠DAN＝∠BAM＝15°，设DN＝BM＝a，∵∠AMG＝∠MAB＝15°，∴∠MGB＝30°，AG＝GM，∴MG＝2a，GB＝a，∴AB＝a+2a＝10，∴a＝20﹣10，∴AM＝＝（+）a＝10﹣10，∴AN＝AM＝10﹣10，∵∠DAN＝15°，∠DAP＝60°，∴∠NAP＝45°，又∵PH⊥AN，∴∠P AH＝∠APH＝45°，∴AH＝PH，AP＝AH，∵AD＝AB＝AP＝10，∴AH＝PH＝5，∴NH＝AN﹣AH＝10﹣15，∴NP＝＝＝10．。

2021北京东城初二（下）期末数 学一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）下面各题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。

1．（3分）函数11y x =+中自变量x 的取值范围是( ) A ．1x -B ．1x -C ．1x ≠-D ．1x =-2．（3分）如图，数轴上点B 表示的数为1，AB OB ⊥，且AB OB =，以原点O 为圆心，OA 为半径画弧，交数轴正半轴于点C ，则点C 所表示的数为( )A B ．C 1D ．1-3．（3分）为筹备学校元旦联欢晚会，在准备工作中，班长先对全班同学喜爱的水果做了民意调查，再决定最终买哪种水果．下面的统计量中，他最关注的是( ) A ．众数B ．平均数C ．中位数D ．方差4．（3分）下列各组数中，能作为直角三角形边长的是( )A ．1，2，3B ．6，7，8C ．1，1D ．5，12，135．（3分）一次函数31y x =+的图象经过点1(1,)y ，2(2,)y ，则以下判断正确的是( ) A ．12y y >B ．12y y <C ．12y y =D ．无法确定6．（3分）在平面直角坐标系xOy 中，将直线21y x =+向上平移2个单位长度后，所得的直线的解析式为( ) A ．21y x =-B ．22y x =+C ．23y x =+D ．22y x =-7．（3分）菱形和矩形都具有的性质是( ) A ．对角线互相垂直 B ．对角线长度相等 C ．对角线平分一组对角D ．对角线互相平分8．（3分）甲、乙、丙、丁四位同学五次数学测验成绩统计如表．如果从这四位同学中，选出一位平均成绩较高且状态稳定的同学参加数学比赛，那么应选( )9．（3分）如图，在ABC ∆中，点D 、点E 分别是AB ，AC 的中点，点F 是DE 上一点，且90AFC ∠=︒，若12BC =，8AC =，则DF 的长为( )A ．1B ．2C ．3D ．410．（3分）若定义一种新运算：2()212()a b a b a b a b a b -⎧=⎨+-<⎩⊗，例如：312315=⨯-=⊗；45245121=⨯+-=⊗．则函数(2)(22)y x x =+-⊗的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）11．（2分）请写出一个图象经过第一、三象限的正比例函数的解析式 ． 12．（2分）在ABCD 中，100A C ∠+∠=︒，则C ∠= ．13．（2分）某手表厂抽查了10只手表的日走时误差，数据如表所示：秒．14．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，函数1y kx =与23y ax =+的图象交于点A (1,2)-，则关于x 的不等式3kx ax >+的解集是 ．15．（2分）如图，已知P 是正方形ABCD 对角线BD 上一点，且BP BC =，则ACP ∠度数是 度．16．（2分）我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图1所示．在图2中，若正方形ABCD 的边长为14，正方形IJKL 的边长为2，且//IJ AB ，则正方形EFGH 的边长为 ．17．（2分）如图，把矩形ABCD沿直线BD向上折叠，使点C落在点C'的位置上，BC'交AD于点E，若3AB=，6BC=，则DE的长为．18．（2分）如图，菱形ABCD的边长为4，60ABC∠=︒，点E是CD的中点，点M是AC上一动点，则MD ME+的最小值是．三、解答题（第19题4分，第20-25题每题5分，第26题6分，第27-28题每题7分，共54分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

1. 下列各数中，有理数是（）A. $\sqrt{2}$B. $\pi$C. $\sqrt[3]{-8}$D. $\sqrt{-1}$2. 已知 $a^2 = 4$，则 $a$ 的值为（）A. ±2B. ±4C. ±1D. ±83. 下列函数中，一次函数是（）A. $y = x^2 + 1$B. $y = 2x + 3$C. $y = \sqrt{x}$D. $y =\frac{1}{x}$4. 已知等腰三角形的底边长为5，腰长为6，则其周长为（）A. 16B. 17C. 18D. 195. 下列各式中，正确的等式是（）A. $a^2 + b^2 = (a + b)^2$B. $a^2 + b^2 = (a - b)^2$C. $a^2 - b^2 = (a + b)^2$D. $a^2 - b^2 = (a - b)^2$6. 已知 $x^2 - 3x + 2 = 0$，则 $x$ 的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 47. 在直角坐标系中，点 $A(2, 3)$ 关于 $y$ 轴的对称点为（）A. $(-2, 3)$B. $(2, -3)$C. $(-2, -3)$D. $(2, 3)$8. 下列各式中，分式方程是（）A. $2x + 3 = 7$B. $\frac{2}{x} + 3 = 7$C. $2x^2 + 3 = 7$D.$\frac{2}{x} - 3 = 7$9. 已知 $a + b = 5$，$ab = 6$，则 $a^2 + b^2$ 的值为（）A. 17B. 25C. 21D. 1510. 下列各式中，根式方程是（）A. $x^2 + 3 = 0$B. $\sqrt{x + 3} = 2$C. $x^2 + 3 = 2$D. $\sqrt{x + 3} = 3$11. 已知 $a = 3$，则 $a^2 - 2a + 1$ 的值为__________。

2019-2020学年北京市东城区八年级第二学期期末数学试卷一、选择题（共10小题）.1．下列二次根式中，最简二次根式是（）A．B．C．D．2．下列各式中，从左向右变形正确的是（）A．＝±2B．＝3C．＝D．3．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（）A．1，1，1B．2，3，4C．1，2，3D．5，12，13 4．下列函数中，y是x的正比例函数的是（）A．y＝5x﹣1B．y＝x C．y＝x2D．y＝5．在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，且∠AOD＝120°．若AB＝3，则BC的长为（）A．B．3C．3D．66．如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC的顶点C在x轴的正半轴上．若点A的坐标是（3，4），则点B的坐标为（）A．（5，4）B．（8，4）C．（5，3）D．（8，3）7．一次函数y＝kx+b中，若kb＞0，且y随着x的增大而增大，则其图象可能是（）A．B．C．D．8．如图，等腰△ABC中，点P是底边BC上的动点（不与点B，C重合），过点P分别作AB、AC的平行线PM、PN，交AC、AB于点M、N，则下列数量关系一定正确的是（）A．PM+PN＝AB B．PM+PN＝BCC．PM+PN＝2BC D．PM+PN＝AB+BC9．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，点Q在直线BC上，且AQ＝2，则线段BQ的长为（）A．B．C．或D．或﹣1 10．如图，动点P在边长为2的等边△ABC的边上．它从点A出发，沿A→C→B→A的方向以每秒1个单位长度的速度运动．如果点P的运动时间为t秒，点P与点C之间的距离记为y，那么y与t之间的函数关系用图象表示大致是（）A．B．C．D．二、填空题（本题共12分，每小题2分）11．使二次根式有意义的x的取值范围是．12．2020年3月北京市16个区的PM2.5的浓度（单位：微克/立方米）统计情况如表：PM2.5的浓度313233353638区的个数312451下面有三个结论：①PM2.5的浓度众数是5；②PM2.5的浓度中位数是35；③PM2.5的浓度平均数约为34．其中正确的是（填写序号）．13．如图，菱形ABCD中，AB＝10，AC，BD交于点O，若E是边AD的中点，∠AEO＝32°，则OE的长等于，∠ADO的度数为．14．如图，三角形花园的边界AB，BC互相垂直，若测得∠A＝30°，BC的长度为40m，则边界AC的中点D与点B的距离是m．15．图1中菱形的两条对角线长分别为6和8，将其沿对角线裁分为四个三角形，将这四个三角形无重叠地拼成如图2所示的图形．则图1中菱形的面积等于；图2中间的小四边形的面积等于．16．在平面直角坐标系xOy中，一次函数y1＝kx+b与y2＝x+m的图象如图所示，若它们的交点的横坐标为2，则下列四个结论中正确的是（填写序号）．①直线y2＝x+m与x轴所夹锐角等于45°；②k+b＞0；③关于x的不等式kx+b＜x+m的解集是x≤2．三、解答题（本题共68分，第17一22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27-28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17．（）（）18．计算：（）×．19．如图是小明设计的“利用已知矩形作一个内角为30°角的平行四边形”的尺规作图过程．已知：矩形ABCD．求作：▱AGHD，使∠GAD＝30°．作法：如图，①分别以点A，B为圆心，以大于AB长为半径，在AB两侧作弧，分别交于点E，F；②作直线EF；③以点A为圆心，以AB长为半径作弧，交直线EF于点G，连接AG；④以点G为圆心，以AD长为半径作弧，交直线EF于点H，连接DH．则四边形AGHD即为所求作的平行四边形．根据小明设计的尺规作图过程，填空：（1）∠BAG的大小为；（2）判定四边形AGHD是平行四边形的依据是；（3）用等式表示平行四边形AGHD的面积S1和矩形ABCD的面积S2的数量关系为．20．在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b的图象经过A（﹣2，0），B（1，3）两点．（1）求这个一次函数的解析式；（2）将函数y＝kx+b的图象平移可得到函数y＝kx﹣1的图象，写出平移的过程．21．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，CD＝1.5，BD＝2.5．（1）求点D到直线AB的距离；（2）求线段AC的长．22．2017年国务院印发《新一代入工智能发展规划》，将人工智能上升为国家战略，我国人工智能领域迎来新的发展契机．根据相关信息，回答问题：（1）图1反映了我国人工智能专利授权量（单位：件）近些年的变化情况.2017年，中国人工智能专利授权量为件；（2）图2是2017年前20名中国人工智能国内专利权人的专利授权量的频数分布直方图，数据被分成5组，其中在100≤x＜200之间的数据分别是：129，154，155，165，170，170，186，190．则20个专利授权量的中位数是；（3）2017年中国人工智能国内专利权人的专利授权量在基础算法、基础硬件和垂直应用三个分支位于前20的统计折线图如图3．依据折线图推断，基础算法、基础硬件和垂直应用三个分支的专利授权量的方差最小的是．（4）下列推断合理的是（填写序号）．①我国人工智能正快速发展；②在基础硬件方面需要加大创新投入提升竞争力．23．A，B，C三地都在一条笔直的公路边，B在A，C之间．甲、乙两人相约到C地游玩，甲由A地出发骑自行车，平均速度是8km/h；乙由B地出发骑电动自行车匀速行驶．设甲骑行的时间为t（单位：h），甲、乙与A地的距离分别为y1，y2（单位：km）．y1，y2都是t的函数，其中y2与t的对应关系如图所示．回答下列问题：（1）A，B两地之间的距离为km；（2）先到达C地；（3）y1与t之间的函数表达式是，乙出发后到达C地之前，y2与t之间的函数表达式是；（4）到达C地之前，当t＝时，甲、乙两人与A地的距离相等；24．如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，网格的中心标记为点O．按要求画四边形，使它的四个顶点均落在格点上，且点O为其对角线交点：（1）在图1中画一个两边长分别为6和4的矩形；（2）在图2中画一个平行四边形，使它有且只有一条对角线与（1）中矩形的对角线相等；（3）在图3中画一个正方形，使它的对角线与（1）中所画矩形的对角线相等．25．在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝kx+5与y轴交于点A．直线l2：y＝﹣x+1与直线l1交于点B，与y轴交于点C．（1）当点B的纵坐标为2时，①写出点B的坐标及k的值；②求直线l1，l2与y轴所围成的图形的面积；（2）当点B的横坐标x B满足﹣3≤x B≤﹣1时，求实数k的取值范围．26．如图1，矩形ABCD中，AC＝7cm，AB＞3cm．点E在边AB上，BE＝3cm．点F为对角线AC上的动点，连接EF，BF．设A，F两点间的距离为xcm，BF＝y1cm，EF＝y2cm．小华根据学习函数的经验，对△EFB的形状进行了探究．下面是小华的探究过程，请补充完整：（1）对于点F在AC上的不同位置，画图、测量，得到了线段BF，EF的长度的几组值，如下表：x/cm01234567y1/cm 5.63 4.86 4.19 3.68 3.39 3.38 3.65 4.16y2/cm 2.63 1.92 1.57 2.44 3.28 4.19 5.13（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并在图2中画出函数y1，y2的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当△BEF为等腰三角形时，AF的长度约为cm （结果保留两位小数）．27．如图，将矩形纸片ABCD沿过点A的直线翻折，使点B恰好与其对角线AC的中点O 重合，折痕与边BC交于点E．延长EO交AD于点F，连接CF．（1）按要求补全图形；（2）求证：四边形AECF是菱形；（3）若AB＝，求BE的长．28．已知正方形ABCD边长为10，若一个等边三角形的三个顶点均在正方形ABCD的内部或边上，则称这个等边三角形为正方形ABCD的内等边三角形．（1）正方形ABCD的边长为10，点E在边AD上．①当点E为边AD的中点时，求作：正方形ABCD的内等边△AEF（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；②若△AEF是正方形ABCD的内等边三角形，连接BF，DF，则线段BF长的最小值是，线段DF长的取值范围是；（2）△ADP和△AMN都是正方形ABCD的内等边三角形，当边AM的长最大时，画出△ADP和△AMN，点A，M，N按逆时针方向排序，连接NP，求NP的长．参考答案一、选择题（共10小题）.1．下列二次根式中，最简二次根式是（）A．B．C．D．解：A、原式为最简二次根式，符合题意；B、原式＝2，不符合题意；C、原式＝，不符合题意；D、原式＝|m|，不符合题意．故选：A．2．下列各式中，从左向右变形正确的是（）A．＝±2B．＝3C．＝D．解：A．＝2，此选项错误；B．＝|﹣3|＝3，此选项计算正确；C．＝×，此选项错误；D．+＝2+＝3，此选项错误；故选：B．3．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（）A．1，1，1B．2，3，4C．1，2，3D．5，12，13解：A、12+12≠12，不能构成直角三角形，故不符合题意；B、22+32≠42，不能构成直角三角形，故不符合题意；C、12+22≠32，不能构成直角三角形，故不符合题意；D、52+122＝132，能构成直角三角形，故符合题意．故选：D．4．下列函数中，y是x的正比例函数的是（）A．y＝5x﹣1B．y＝x C．y＝x2D．y＝解：A．y＝5x﹣1属于一次函数，不合题意；B．y＝x属于正比例函数，符合题意；C．y＝x2属于二次函数，不合题意；D．y＝属于反比例函数，不合题意；故选：B．5．在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，且∠AOD＝120°．若AB＝3，则BC的长为（）A．B．3C．3D．6解：∵∠AOD＝120°，∠AOD+∠AOB＝180°，∴∠AOB＝60°，∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OB＝OC，∠ABC＝90°，∴△AOB是等边三角形，∴AB＝OA＝OC，∵AB＝3，∴AC＝6，∴BC＝＝3，故选：C．6．如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC的顶点C在x轴的正半轴上．若点A的坐标是（3，4），则点B的坐标为（）A．（5，4）B．（8，4）C．（5，3）D．（8，3）解：∵点A的坐标是（3，4），∴OA＝5，∵四边形OABC为菱形，∴OA＝AB＝5，则点B的坐标为（8，4）．故选：B．7．一次函数y＝kx+b中，若kb＞0，且y随着x的增大而增大，则其图象可能是（）A．B．C．D．解：∵一次函数y＝kx+b中y随x的增大而增大，∴k＞0，∵kb＞0，∴b＞0，∴此函数的图象过一、二、三象限．故选：A．8．如图，等腰△ABC中，点P是底边BC上的动点（不与点B，C重合），过点P分别作AB、AC的平行线PM、PN，交AC、AB于点M、N，则下列数量关系一定正确的是（）A．PM+PN＝AB B．PM+PN＝BCC．PM+PN＝2BC D．PM+PN＝AB+BC解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵PN∥AC，∴∠BPN＝∠C＝∠B，∴PN＝BN，∵PM∥AB，PN∥AC，∴四边形AMPN是平行四边形，∴PM＝AN，∴PM+PN＝AN+BN＝AB，故选：A．9．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，点Q在直线BC上，且AQ＝2，则线段BQ的长为（）A．B．C．或D．或﹣1解：如图所示：∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，点Q在直线BC上，且AQ＝2，∴CQ＝＝＝；当点Q在BC延长线上时，BQ＝CQ+BC＝+1；当点Q在CB延长线上时，BQ＝CQ﹣BC＝﹣1；故选：C．10．如图，动点P在边长为2的等边△ABC的边上．它从点A出发，沿A→C→B→A的方向以每秒1个单位长度的速度运动．如果点P的运动时间为t秒，点P与点C之间的距离记为y，那么y与t之间的函数关系用图象表示大致是（）A．B．C．D．解：（1）当点P在AC上运动时，y＝2﹣t，（2）当点P在BC上运动时，y＝t﹣2，（3）当点P在AB上运动时，过点C作CH⊥AB于点H，则CH＝AC sin A＝2×＝，AH＝1；当点P在点H右侧时，y＝PC＝＝＝；该函数为一条曲线，当点P在CH左侧时，同理函数为一条曲线；故选：D．二、填空题（本题共12分，每小题2分）11．使二次根式有意义的x的取值范围是x≥5．解：由题意得：x﹣5≥0，解得：x≥5，故答案为：x≥5．12．2020年3月北京市16个区的PM2.5的浓度（单位：微克/立方米）统计情况如表：PM2.5的浓度313233353638区的个数312451下面有三个结论：①PM2.5的浓度众数是5；②PM2.5的浓度中位数是35；③PM2.5的浓度平均数约为34．其中正确的是②③（填写序号）．解：①PM2.5的浓度众数是36，错误；②PM2.5的浓度中位数是35，正确；③PM2.5的浓度平均数约为≈34，故答案为：②③．13．如图，菱形ABCD中，AB＝10，AC，BD交于点O，若E是边AD的中点，∠AEO＝32°，则OE的长等于5，∠ADO的度数为16°．解：∵四边形ABCD是菱形，∴BO＝DO，∠ADO＝∠ADC，AB∥CD，∵E是边AD的中点，BO＝DO，∴OE是△ABD的中位线，∴OE∥AB，OE＝AB＝5，∴OE∥CD，∴∠ADC＝∠AEO＝32°，∴∠ADO＝16°．故答案为：5，16°．14．如图，三角形花园的边界AB，BC互相垂直，若测得∠A＝30°，BC的长度为40m，则边界AC的中点D与点B的距离是40m．解：连接BD，在Rt△ABC中，∠A＝30°，BC＝40，∴AC＝2BC＝80，∵D是AC中点，∴BD＝AC＝40，即边界AC的中点D与点B的距离是40m；故答案为：40．15．图1中菱形的两条对角线长分别为6和8，将其沿对角线裁分为四个三角形，将这四个三角形无重叠地拼成如图2所示的图形．则图1中菱形的面积等于24；图2中间的小四边形的面积等于1．解：∵图1中菱形的两条对角线长分别为6和8，∴菱形的面积等于6×8＝24，菱形的边长等于＝5，∴图2中间的小四边形的面积等于25﹣24＝1．故答案为：24，1．16．在平面直角坐标系xOy中，一次函数y1＝kx+b与y2＝x+m的图象如图所示，若它们的交点的横坐标为2，则下列四个结论中正确的是①②（填写序号）．①直线y2＝x+m与x轴所夹锐角等于45°；②k+b＞0；③关于x的不等式kx+b＜x+m的解集是x≤2．解：由y2＝x+m知：直线与坐标轴的截距相等，所以，直线y2＝x+m与x轴所夹锐角等于45°，故①的结论正确；由图知：当x＝1时，函数y1图象对应的点在x轴的上方，因此k+b＞0故②的结论不正确；由图知：当x＞2时，函数y1图象对应的点都在y2的图象下方，因此关于x的不等式kx+b ＜x+m的解集是x＞2，故③的结论不正确；故答案为①②．三、解答题（本题共68分，第17一22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27-28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17．（）（）解：原式＝（）2﹣（）2＝5﹣3＝2．18．计算：（）×．解：原式＝（4﹣2）××＝2××＝．19．如图是小明设计的“利用已知矩形作一个内角为30°角的平行四边形”的尺规作图过程．已知：矩形ABCD．求作：▱AGHD，使∠GAD＝30°．作法：如图，①分别以点A，B为圆心，以大于AB长为半径，在AB两侧作弧，分别交于点E，F；②作直线EF；③以点A为圆心，以AB长为半径作弧，交直线EF于点G，连接AG；④以点G为圆心，以AD长为半径作弧，交直线EF于点H，连接DH．则四边形AGHD即为所求作的平行四边形．根据小明设计的尺规作图过程，填空：（1）∠BAG的大小为60°；（2）判定四边形AGHD是平行四边形的依据是一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（3）用等式表示平行四边形AGHD的面积S1和矩形ABCD的面积S2的数量关系为S1＝2S2．解：（1）连接BG，由作图知，EF是线段AB的垂直平分线，∴AG＝BG，∵AB＝AG，∴AB＝AG＝BG，∴△ABG是等边三角形，∴∠BAG＝60°；故答案为：60°；（2）∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，∵EF⊥AB，∴GH∥AD，∵GH＝AD，∴四边形AGHD是平行四边形，故答案为：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（3）设EF与AB交于M，∵S1＝AD•AB，S2＝HG•AM＝AD•AB＝AD•AB，∴S1＝2S2，故答案为：S1＝2S2．20．在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b的图象经过A（﹣2，0），B（1，3）两点．（1）求这个一次函数的解析式；（2）将函数y＝kx+b的图象平移可得到函数y＝kx﹣1的图象，写出平移的过程．解：（1）∵一次函数y＝kx+b的图象经过A（﹣2，0），B（1，3）两点．∴，解得，∴一次函数为y＝x+2；（2）将函数y＝x+2的图向下平移3个单位可得到函数y＝2x﹣1的图象．21．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，CD＝1.5，BD＝2.5．（1）求点D到直线AB的距离；（2）求线段AC的长．解：（1）过点D作DE⊥AB于E，∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB，∴DE＝CD＝1.5，∴点D到直线AB的距离为1.5；（2）在Rt△ACD和Rt△AED中，，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）∴AC＝AE，在Rt△DEB中，BE＝＝2，在Rt△ACB中，AB2＝AC2+BC2，即（AC+2）2＝AC2+42，解得，AC＝3．22．2017年国务院印发《新一代入工智能发展规划》，将人工智能上升为国家战略，我国人工智能领域迎来新的发展契机．根据相关信息，回答问题：（1）图1反映了我国人工智能专利授权量（单位：件）近些年的变化情况.2017年，中国人工智能专利授权量为17477件；（2）图2是2017年前20名中国人工智能国内专利权人的专利授权量的频数分布直方图，数据被分成5组，其中在100≤x＜200之间的数据分别是：129，154，155，165，170，170，186，190．则20个专利授权量的中位数是141.5；（3）2017年中国人工智能国内专利权人的专利授权量在基础算法、基础硬件和垂直应用三个分支位于前20的统计折线图如图3．依据折线图推断，基础算法、基础硬件和垂直应用三个分支的专利授权量的方差最小的是垂直应用．（4）下列推断合理的是①②（填写序号）．①我国人工智能正快速发展；②在基础硬件方面需要加大创新投入提升竞争力．解：（1）由折线统计图可知，2017年中国人工智能专利授权量为为17477件，故答案为：17477；（2）将20名中国人工智能国内专利权人的排列后，处在中间位置的两个数的平均数为＝141.5；因此中位数是141.5，故答案为：141.4；（3）根据图3，可以直观得出“垂直应用”的离散程度较小，因此“垂直应用”的方差最小，故答案为：垂直应用；（4）故答案为：①②．23．A，B，C三地都在一条笔直的公路边，B在A，C之间．甲、乙两人相约到C地游玩，甲由A地出发骑自行车，平均速度是8km/h；乙由B地出发骑电动自行车匀速行驶．设甲骑行的时间为t（单位：h），甲、乙与A地的距离分别为y1，y2（单位：km）．y1，y2都是t的函数，其中y2与t的对应关系如图所示．回答下列问题：（1）A，B两地之间的距离为5km；（2）乙先到达C地；（3）y1与t之间的函数表达式是y1＝8t，乙出发后到达C地之前，y2与t之间的函数表达式是y2＝12t﹣7；（4）到达C地之前，当t＝时，甲、乙两人与A地的距离相等；解：（1）由图象可得，A，B两地之间的距离为5km，故答案为：5；（2）由图象可得，乙的速度为：（11﹣5）÷（1.5﹣1）＝12（km/h），∵甲的速度为8km/h，12＞8，∴乙先到达C地，故答案为：乙；（3）由已知可得，y1与t之间的函数表达式是y1＝8t，设y2与t之间的函数表达式是y2＝kt+b，，解得，，即y2与t之间的函数表达式是y2＝12t﹣7，故答案为：y1＝8t，y2＝12t﹣7；（4）令8t＝12t﹣7，解得，t＝，即到达C地之前，当t＝时，甲、乙两人与A地的距离相等，故答案为：．24．如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，网格的中心标记为点O．按要求画四边形，使它的四个顶点均落在格点上，且点O为其对角线交点：（1）在图1中画一个两边长分别为6和4的矩形；（2）在图2中画一个平行四边形，使它有且只有一条对角线与（1）中矩形的对角线相等；（3）在图3中画一个正方形，使它的对角线与（1）中所画矩形的对角线相等．解：（1）如图1，矩形ABCD即为所求；（2）如图2，平行四边形ABCSD即为所求；（3）如图3，正方形ABCD即为所求．25．在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝kx+5与y轴交于点A．直线l2：y＝﹣x+1与直线l1交于点B，与y轴交于点C．（1）当点B的纵坐标为2时，①写出点B的坐标及k的值；②求直线l1，l2与y轴所围成的图形的面积；（2）当点B的横坐标x B满足﹣3≤x B≤﹣1时，求实数k的取值范围．解：（1）①∵直线l2：y＝﹣x+1过点B，点B的纵坐标为2，∴﹣x+1＝2，解得x＝﹣1，∴点B的坐标为（﹣1，2）．∵直线l1：y＝kx+5过点B，∴2＝﹣k+5，解得k＝3；②∵k＝3，∴直线l1的解析式为：y＝x+5，∴A（0，5）．∵直线l2的解析式为：y＝﹣x+1，∴C（0，1）．∴AC＝5﹣1＝4，∴直线l1，l2与y轴所围成的图形的面积S△ABC＝×4×1＝2；（2）解方程组，得，∴点B的坐标为（﹣，）．∵点B的横坐标x B满足﹣3≤x B≤﹣1，∴当x B＝﹣3时，﹣＝﹣3，解得k＝，当x B＝﹣1时，﹣＝﹣1，解得k＝3，∴实数k的取值范围是≤k≤3．26．如图1，矩形ABCD中，AC＝7cm，AB＞3cm．点E在边AB上，BE＝3cm．点F为对角线AC上的动点，连接EF，BF．设A，F两点间的距离为xcm，BF＝y1cm，EF＝y2cm．小华根据学习函数的经验，对△EFB的形状进行了探究．下面是小华的探究过程，请补充完整：（1）对于点F在AC上的不同位置，画图、测量，得到了线段BF，EF的长度的几组值，如下表：x/cm01234567y1/cm 5.63 4.86 4.19 3.68 3.39 3.38 3.65 4.16y2/cm 2.63 1.92 1.57 2.44 3.28 4.19 5.13（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并在图2中画出函数y1，y2的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当△BEF为等腰三角形时，AF的长度约为 4.65或5.35（答案不唯一）cm（结果保留两位小数）．解：（1）用光滑的曲线连接y2的函数图象，测得x＝3时，y2≈1.85（答案不唯一），x/cm01234567y1/cm 5.63 4.86 4.19 3.68 3.39 3.38 3.65 4.16 y2/cm 2.63 1.92 1.57 1.85 2.44 3.28 4.19 5.13（2）画出函数y1，y2的图象如下图：（3）y1＝BF，y2＝EF，BE＝3，当BE＝BF时，即y1＝3，从图象看，x无解；当BE＝EF时，即y2＝3，从图象看，x≈4.65（答案不唯一）；当BF＝EF时，即y1＝y2，从图象看，x≈5.35（答案不唯一）；故AF的长度约为4.65或5.35（cm）（答案不唯一），故答案为4.65或5.35（答案不唯一）．27．如图，将矩形纸片ABCD沿过点A的直线翻折，使点B恰好与其对角线AC的中点O 重合，折痕与边BC交于点E．延长EO交AD于点F，连接CF．（1）按要求补全图形；（2）求证：四边形AECF是菱形；（3）若AB＝，求BE的长．解：（1）依照题意补全图形，如图所示：（2）∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠ABC＝90°，∴∠FAC＝∠ECA，∵点O是AC中点，∴AO＝CO，又∵∠AOF＝∠COE，∴△AOF≌△COE（ASA），∴OF＝OE，∴四边形AECF是平行四边形，∵将矩形纸片ABCD沿过点A的直线翻折，∴AB＝AO，∠ABC＝∠AOE＝90°，∴四边形AECF是菱形；（2）∵AB＝，∴AO＝AB＝，AC＝2AO＝2，∴BC＝＝＝3，∵四边形AECF是菱形，∴AE＝CE，∵AE2＝BE2+AB2，∴（3﹣BE）2＝BE2+3，∴BE＝1．28．已知正方形ABCD边长为10，若一个等边三角形的三个顶点均在正方形ABCD的内部或边上，则称这个等边三角形为正方形ABCD的内等边三角形．（1）正方形ABCD的边长为10，点E在边AD上．①当点E为边AD的中点时，求作：正方形ABCD的内等边△AEF（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；②若△AEF是正方形ABCD的内等边三角形，连接BF，DF，则线段BF长的最小值是5，线段DF长的取值范围是5≤DF≤10；（2）△ADP和△AMN都是正方形ABCD的内等边三角形，当边AM的长最大时，画出△ADP和△AMN，点A，M，N按逆时针方向排序，连接NP，求NP的长．解：（1）①如图所示，△AEF是等边三角形；②如图2，∵△AEF是等边三角形，∴∠EAF＝60°，∴点F在与AD成60°的直线AF上移动，∴当BF⊥AF时，BF有最小值，此时，∵∠FAB＝∠DAB﹣∠EAF＝30°，∴BF＝AB＝5，∴BF的最小值为5，当DF⊥AF时，DF有最小值，此时，∠ADF＝30°，∴AF＝AD＝5，DF＝AF＝5，当点E与点D重合时，DF有最大值，最大值为10，∴线段DF长的取值范围为5≤DF≤10，故答案为：5，5≤DF≤10；（2）如图3，过点P作PH⊥AN于H，作∠AMG＝∠MAB，交AB于G，∵边AM的长最大，∴点M在BC上，点N在CD上，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB＝CD＝BC，∠B＝∠C＝∠ADC＝∠DAB＝90°，∵△AMN是等边三角形，∴AM＝AN＝MN，∠MAN＝60°，∴Rt△ADN≌Rt△ABM（HL），∴DN＝BM，∠DAN＝∠BAM＝15°，设DN＝BM＝a，∵∠AMG＝∠MAB＝15°，∴∠MGB＝30°，AG＝GM，∴MG＝2a，GB＝a，∴AB＝a+2a＝10，∴a＝20﹣10，∴AM＝＝（+）a＝10﹣10，∴AN＝AM＝10﹣10，∵∠DAN＝15°，∠DAP＝60°，∴∠NAP＝45°，又∵PH⊥AN，∴∠PAH＝∠APH＝45°，∴AH＝PH，AP＝AH，∵AD＝AB＝AP＝10，∴AH＝PH＝5，∴NH＝AN﹣AH＝10﹣15，∴NP＝＝＝10．。

D 东城区第二学期期末统一检测初二数学 评分标准及参考答案一、选择题（本题共16分，每小题2分）二、填空题（本题共16分，每小题 2分）9. 甲 10.45︒11.答案不唯一，0k <即可如2y x=-12.36y x =-+13. 2 14. 15. 1m <16．两组对边分别相等的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形三、解答题（本题共68分，17-22题，每题5分，23-26题，每题6分，27-28题每题7分） 17.2450x x --= 1,4,-5.a b c ==-=解：224(4)41(5)36.b ac ∆=-=--⨯⨯-=……1分4 3.221b x a -±==±⨯……3分 125,-1.x x ==……5分18.(1,1)1,2,45.3235AB A k b k k b b y x --+==⎧⎧∴⎨⎨+==⎩⎩∴=+ 过点和B(1,5),解得分一次函数解析式为分19.证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB=CD. AB//CD.……2分∴.BAE DCF ∠=∠……3分在△AEB 和△CFD 中 ,,.AB CD BAE DCF AE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△A EB ≌△CFD ……4分∴B E =DF ．……5分222220.(1)4()41(2)802(2)(2)20.4,1.5m m b ac m m ∆=-=--⨯⨯-=+>∴-∴----=∴=- 解方程总有两个不相等的实数根若方程有一个根为，.2分.分(2)分21.解：设年平均增长率为x ，根据题意列方程，得 210001+)1440x =（解得120.2, 2.2(x x ==-舍）所以x =0.2=20%.答：社区的图书借阅总量从2015年至2017年的年平均增长率是20%.22.（1）在矩形ABCD 中,AD ∥BC ，∴∠DEF ＝∠EFB………………………1分由折叠可知∠BEF ＝∠DEF………………………2分∴∠BEF ＝∠EFB.∴BE ＝BF.………………………3分（2）在矩形ABCD 中，∠A ＝90°由折叠知BE=ED, 222222(2)ABCD A 90,.,AE 9,t A 90,.(9)3.45.55.BE ED BE x x R ABE AE AB BE x x x BE ︒︒∠====-∠=∴+=∴-+==∴= 解：在矩形中，由折叠可知设则在中，分解得分23.（1）38…………………………1分（2）50+36+40+34=404x =甲 32+40+48+36=394x =乙4039> ,且两山抽取的样本一样多，∴甲山样本的产量高…………………………4分（3）总产量为：()40100+391000.97=7663⨯⨯⨯（千克）答：甲乙两山小枣的产量总和为7663千克………….6分1224.0,y 4.2421224 4.321 2.21 2.4212 2.22.y (0,2),(0,2)6AOB BOP AOB x S OA OP OP OP P P P ∆∆∆==∴=⨯⨯=∴==∴⨯⨯=∴⨯⨯=∴=∴- 解：(1)令得 令y=0,得x=.A(0,),B(,0)2分（）S 分S 分点在轴上，分25．（1）菱形或正方形……………………………………1分（2）连接AC在△ABC 和△ADC 中AB AD AC AC BC DC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ABC ≌△ADC……………………………………3分∴∠B ＝∠D……………………………………4分（3）（答案不唯一）筝形的对角线互相垂直；……………………………6分26.（1）因为每天生产的时间为300分钟，所以4300x y +=，4300y x =-+………..1分73,(2)7375230040,73,74,75x x x x x ≥⎧≤≤⎨-≥⎩∴= 解得分为整数，方案一：A 种73杯，B 种8杯方案二：A 种74杯，B 种4杯方案三：A 种75杯，B 种0杯 ……………………………..5分（3）利润为：3(4300)300x x x +-+=-+故生产A 种奶茶73杯，B 种奶茶8杯时，利润最大为227元…………………………………………..6分27．（1）在正方形ABCD 中，BC ＝DC ；∠C ＝90°∴∠DBC ＝∠CDB ＝45°∵∠PBC ＝α∴∠DBP ＝45°－α……………………………………1分∵PE ⊥BD ，且O 为BP 的中点∴EO ＝BO……………………………………2分∴∠EBO ＝∠BEO∴∠EOP ＝∠EBO ＋∠BEO ＝90°－2 α……………………………………3分（2）连接OC ，EC在正方形ABCD 中，AB ＝BC ，∠ABD ＝∠CBD ，BE=BE,∴△ABE ≌△CBE∴AE ＝CE……………………………………4分在Rt △BPC 中，O 为BP 的中点∴CO ＝BO ＝12BP ∴∠OBC ＝∠OCB∴∠COP ＝2 α……………………………………5分由（1）知∠EOP ＝90°－2α∴∠EOC ＝∠COP ＋∠EOP ＝90°又由（1）知BO ＝EO ，∴EO ＝CO.∴△EOC 是等腰直角三角形……………………………………6分∴EO 2＋OC 2＝EC 2∴EC =即BP∴BP ……………………………………7分28．（1）解得：120,2x x ==故方程220x x -=的衍生点为M (0,2)……………………………………………….2分（2）2,(21)20(0)x m x m m -++=<020m m <∴< 解得：122,1x m x ==………………………………………..3分方程2,(21)20(0)x m x m m -++=<的衍生点为(2,1)M m ………………………………..4分点M 在第二象限内且纵坐标为1，由于过点M 向两坐标轴做垂线，两条垂线与x 轴y 轴恰好围城一个正方形，所以21m =-，解得12m =-…………………………………………………..5分 （3）存在.直线2(2)(2)4y kx k k x =--=-+，过定点(2,4)M …………………………………………………..6分20x bx c ++=两个根为122,4x x ==解得：68b c =-⎧⎨=⎩………………………………………..7分。

2023-2024学年北京市东城区八年级（下）期末数学模拟试卷一、选择题（每题3分，共30分）1．（3分）下列二次根式中，最简二次根式是（）A．B．C．D．2．（3分）要得到y＝2x+2的图象，只需将y＝2x（）A．向上平移2个单位B．向下平移2个单位C．向左平移2个单位D．向右平移2个单位3．（3分）如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．若∠AOB＝60°，BD＝8，则AB的长为（）A．4B．C．3D．54．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，AD＝6，E为AD上一动点，M，N分别为BE，CE的中点，则MN的长为（）A．4B．3C．2D．不确定5．（3分）在平面直角坐标系xOy中，点A（0，2），B（﹣1，0），C（2，0）为▱ABCD的顶点，则顶点D的坐标为（）A．（﹣3，2）B．（2，2）C．（3，2）D．（2，3）6．（3分）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c．下列条件中，不能判定△ABC是直角三角形的是（）A．∠A+∠B＝90°B．∠A：∠B：∠C＝3：4：5C．a：b：c＝3：4：5D．a＝b＝1，c＝7．（3分）如图，在▱ABCD中，DE平分∠ADC交BC于点E，若BE＝4，AB＝6，则▱ABCD的周长是（）A．28B．30C．32D．348．（3分）《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是明代数学家程大位．书中记载了一道“荡秋千”问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地；送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉；良工高士素好奇，算出索长有几？”译文：“秋千静止的时候，踏板离地1尺，将它往前推送两步（两步＝10尺）时，此时踏板升高离地5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问秋千绳索有多长？”若设秋千绳索长为x尺，则可列方程为（）A．x2+102＝（x+1）2B．（x+1）2+102＝x2C．x2+102＝（x﹣4）2D．（x﹣4）2+102＝x29．（3分）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成大正方形，若小正方形的边长为3，大正方形边长为15，则一个直角三角形的周长是（）A．45B．36C．25D．1810．（3分）如图，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，△ABD和△ACE都是等边三角形，F为AB中点，DE 交AB于G点，下列结论中，正确的结论有（）个．①EF⊥AC；②四边形ADFE是菱形；③AD＝4AG；④△DBF≌△EFA．A．1B．2C．3D．4二、填空题（每题2分，共16分）11．（2分）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是．12．（2分）菱形的两对角线长分别为6cm和8cm，这个菱形的面积为．13．（2分）已知点P（﹣2，y1），Q（1，y2）在一次函数y＝kx+1（k≠0）的图象上，且y1＞y2，则k的值可以是（写出一个即可）．14．（2分）如图，在正方形ABCD中，点E，F，G分别在边CD，AD，BC上，FD＜CG．若FG＝AE，∠1＝α，则∠2的度数为（用含α的式子表示）．15．（2分）如图，一次函数y＝﹣2x+4与y＝kx+b（k≠0）的图象交于点P，则关于x、y的方程组的解是．16．（2分）如图，大拇指与小拇指尽量张开时，两指尖的距离称为指距．某项研究表明，一般情况下人的身高y（单位：cm）是指距x（单位：cm）的一次函数，现测得指距x与身高y的几组对应值：指距x/cm16182022身高y/cm133151169187小明的身高是160cm，一般情况下，他的指距约是cm．17．（2分）如图，把正方形纸片ABCD沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN，再过点B折叠纸片，使点A落在MN上的点F处，折痕为BE．若FN＝3，则正方形纸片的边长为．18．（2分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，CD平分∠ACB交AB于点D．点E为CD的中点．在BC上有一动点P，则PD+PE的最小值是三、解答题（共54分，19题4分，20-24每题5分，25题6分，26题5分，27-28每题7分）19．（4分）计算：×﹣+÷．20．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，点E，点F在直线BD上，且BE＝DF，连接AF，CE，求证AF＝CE．21．（5分）下面是小李设计的作矩形ABCD的尺规作图过程．已知：Rt△ABC中，∠ABC＝90°．求作：矩形ABCD．作法：如图，1、以点A圆心，BC长为半径作弧；2、以点C为圆心，AB长为半径作弧，两弧交于点D（点D与点B在直线AC异侧）；3、连接AD，CD．所以四边形ABCD就是所求作的矩形．根据小李设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明（括号里填推理的依据）．证明：∵AB＝，BC＝，∴四边形ABCD是平行四边形（）．又∵∠ABC＝90°，∴四边形ABCD是矩形（）．22．（5分）一次函数y＝kx+b的图象与正比例函数y＝﹣3x的图象平行，且过点（2，﹣4）．（1）直接写出一次函数y＝kx+b的表达式；（2）画出一次函数y＝kx+b的图象；（3）一次函数y＝kx+b的图象与y轴交于点P，若在x轴上存在点A使得△OAP面积为3，直接写出点A的坐标．23．（5分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点（4，1）和（0，﹣1）．（1）求这个一次函数的解析式；（2）当x＞﹣2时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值大于一次函数y＝kx+b（k≠0）的值，直接写出m的取值范围．24．（5分）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，过点A作AE∥BC，且AE＝BD，连接BE．（1）求证：四边形ADBE是菱形；（2）连接CE，若AB＝2，∠AEB＝60°，求CE的长．25．（6分）为了考查甲、乙两种水稻的长势，农业科技人员从一块试验田中分别随机抽取甲、乙两种水稻的稻穗各20株，获取了每株稻穗的谷粒数（单位：颗），数据整理如下：a．甲种水稻稻穗谷粒数：170，172，176，177，178，182，184，193，196，202；206，206，206，206，208，208，214，215，216，219．b．乙种水稻稻穗谷粒数的折线图：c．甲、乙两种水稻稻穗谷粒数的平均数、中位数、众数：平均数中位数众数甲196.7m206乙196.8195n根据以上信息，回答下列问题：（1）写出表中m，n的值；（2）若水稻稻穗谷粒数的方差越小，则认为水稻产量的稳定性越好．据此推断，甲、乙两种水稻中，产量更稳定的是（填“甲”或“乙”）；（3）若单株稻穗的谷粒数不低于200颗的水稻视为优良水稻，则从水稻优良率分析，应推荐种植_______种水稻（填“甲”或“乙”）；若该试验田中有甲、乙两种水稻各4000株，据此估计，优良水稻共有_________株．26．（5分）某体育用品商店计划一共购进600套乒乓球拍和羽毛球拍进行销售，其中购进乒乓球拍的套数不超过250套，它们的进价和售价如下表：进价售价乒乓球拍（元/套）75100羽毛球拍（元/套）80120该商店根据以往销售经验，决定购进乒乓球拍套数不少于羽毛球拍套数的一半，设购进乒乓球拍x（套），售完这批体育用品获利y（元）．（1）求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）该商店实际采购时，恰逢“双11”购物节，乒乓球拍的进价每套降低了c（10＜c＜15）元，羽毛球拍的进价不变，若商店的售价不变，这批体育用品能够全部售完，请你利用函数的性质进行分析：如何购货才能获利最大？最大利润是多少（用含有c的代数式表示）？27．（7分）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在DC，CB的延长线上，且BF＝CE，EB的延长线交AF于点G．（1）求∠AGE的度数；（2）在线段EG上取点H，使得GH＝AG，连接AH，CH．①依题意补全图形；②用等式表示线段CH与GB的数量关系，并证明．28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，A（0，2），B（4，2），C（4，0）．若P为矩形ABCO内（不包括边界）一点，过点P分别作x轴和y轴的平行线，这两条平行线分矩形ABCO为四个小矩形，若这四个小矩形中有一个矩形的周长等于OA的长，则称P点为矩形ABCO的矩宽点．例如：图中的点为矩形ABCO的一个矩宽点．（1）在点D（1，1），，中，矩形ABCO的矩宽点是；（2）若点为矩形ABCO的矩宽点，求m的值；（3）若直线y＝k（x+1）﹣1上只存在一个矩形ABCO的矩宽点，则k的取值范围是．2023-2024学年北京市东城区八年级（下）期末数学模拟试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题3分，共30分）1．【分析】利用最简二次根式定义判断即可．【解答】解：A、原式为最简二次根式，符合题意；B、原式＝2，不符合题意；C、原式＝，不符合题意；D、原式＝|m|，不符合题意．故选：A．【点评】此题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解本题的关键．2．【分析】平移后相当于x不变y增加了2个单位，由此可得出答案．【解答】解：由题意得x值不变y增加2个单位应沿y轴向上平移2个单位．故选：A．【点评】本题考查一次函数图象的几何变换，注意平移k值不变的性质．3．【分析】先由矩形的性质得出OA＝OB，再证明△AOB是等边三角形，得出AB＝OB＝4即可．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝AC，OB＝BD＝4，AC＝BD，∴OA＝OB，∵∠AOB＝60°，∴△AOB是等边三角形，∴AB＝OB＝4；故选：A．【点评】本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．4．【分析】首先由平行四边形的对边相等的性质求得BC＝AD＝6；然后利用三角形中位线定理求得MN＝BC＝3．【解答】解：如图，在平行四边形ABCD中，BC＝AD＝6．∵M，N分别为BE，CE的中点，∴MN是△EBC的中位线，∴MN＝BC＝3．故选：B．【点评】本题主要考查了平行四边形的性质和三角形中位线定理，解题过程中是利用平行四边形的性质结合三角形中位线定理来求有关线段的长度的．5．【分析】根据平行四边形的对边相等，对边平行求解即可．【解答】解：如图，∵点A（0，2），B（﹣1，0），C（2，0）为▱ABCD的顶点，∴AD＝BC＝3，AD∥BC，∴顶点D的坐标为（3，2），故选：C．【点评】此题考查了平行四边形的性质、坐标与图形性质，熟记平行四边形的性质是解题的关键．6．【分析】根据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理进行计算，逐一判断即可解答．【解答】解：A、∵∠A+∠B＝90°，∴∠C＝180°﹣（∠A+∠B）＝90°，∴△ABC是直角三角形，故A不符合题意；B、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝180°×＝75°，∴△ABC不是直角三角形，故B符合题意；C、∵a：b：c＝3：4：5，∴设a＝3k，b＝4k，c＝5k，∴a2+b2＝（3k）2+（4k）2＝25k2，c2＝（5k）2＝25k2，∴a2+b2＝c2，∴△ABC是直角三角形，故C不符合题意；D、∵a2+b2＝12+12＝2，c2＝（）2＝2，∴a2+b2＝c2，∴△ABC是直角三角形，故D不符合题意；故选：B．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及三角形内角和定理是解题的关键．7．【分析】由平行四边形的性质得AB＝DC＝6，AD∥BC，再证∠CDE＝∠CED，则CD＝CE＝6，进而得出BC的长，即可得出结论．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝6，∴AB＝DC＝6，AD∥BC，∴∠ADE＝∠CED，∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠CDE，∴∠CDE＝∠CED，∴CD＝CE＝6，∴BC＝BE+EC＝4+6＝10，∴▱ABCD的周长＝2（BC+AB）＝2×（10+6）＝32．故选：C．【点评】此题考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的判定．熟练掌握平行四边形的性质，证得CD ＝CE＝6是解此题的关键．8．【分析】设秋千的绳索长为x尺，根据题意可得AB＝（x﹣4）尺，利用勾股定理可得x2＝102+（x ﹣4）2．【解答】解：设秋千的绳索长为x尺，根据题意可列方程为：x2＝102+（x﹣4）2．故选：D．【点评】此题主要考查了考差了勾股定理的应用，关键是正确理解题意，表示出AB、AC的长，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．9．【分析】设直角三角形两条直角边长分别为a和b，根据大正方形的面积等于4个直角三角形的面积加上小正方形的面积可得，2ab＝216，再根据完全平方公式求出a+b的值，进而可得一个直角三角形的周长．【解答】解：设直角三角形两条直角边长分别为a和b，由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b＝3，根据大正方形的面积等于4个直角三角形的面积加上小正方形的面积可知：225＝4×ab+9，所以2ab＝216，根据勾股定理，得a2+b2＝152，所以（a+b）2＝a2+b2+2ab＝225+216＝441，因为a+b＞0，所以a+b＝21，所以21+15＝36．所以一个直角三角形的周长是36．故选：B．【点评】本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式，本题属于基础题型．10．【分析】根据等边三角形的性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识分别对各个结论进行判断即可．【解答】解：①如图，连接CF，∵∠ACB＝90°，F为AB中点，∴CF＝AB＝AF，∴点F在AC的垂直平分线上，∵△ACE是等边三角形，∴AE＝CE，∴点E在AC的垂直平分线上，∴EF⊥AC，①正确；②∵△ABD是等边三角形，F是AB中点，∴DF⊥AB，∴AD＞DF，∴四边形ADFE不可能是菱形，②不正确；③∵△ABD是等边三角形，∴AB＝AD＝BD，∠DAB＝60°，∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，∴∠ABC＝60°，∴∠DAB＝∠ABC＝60°，∴AD∥BC，∵AC⊥EF，∠ACB＝90°，∴EF∥AD，∴AD∥EF，∵△ACE是等边三角形，EF⊥AC，∴∠AEC＝∠CAE＝60°，∠AEF＝30°，∴EF＝2AF＝AB，∴AD＝EF，∴四边形ADFE是平行四边形，∴AG＝AF＝AB＝AD，∴AD＝4AG，③正确；④∵四边形ADFE是平行四边形，∴AE＝DF，AD＝FE，∵AD＝BD，∴BD＝FE，又∵AF＝FB，∴△DBF≌△EFA（SSS），④正确；正确的结论有3个，故选：C．【点评】本题考查了菱形的判定、全等三角形的判定、等边三角形的性质、平行四边形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、平行线的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质和等边三角形的性质是解题的关键．二、填空题（每题2分，共16分）11．【分析】根据二次根式有意义的条件得到x﹣2≥0，解之即可求出x的取值范围．【解答】解：根据题意得：x﹣2≥0，解得：x≥2．故答案为：x≥2．【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式有意义时被开方数是非负数．12．【分析】直接由菱形面积公式列式计算即可．【解答】解：∵菱形的两条对角线长分别为6cm和8cm，∴菱形面积＝×6×8＝24（cm2），故答案为：24cm2．【点评】本题考查了菱形的性质，熟记菱形面积公式是解题的关键．13．【分析】由x1＜x2时，y1＞y2，根据一次函数的增减性，得到k＜0，即可得到答案．【解答】解：∵点P（﹣2，y1），Q（1，y2）在一次函数y＝kx+1（k≠0）的图象上，且y1＞y2，∴k＜0，∴k可以是﹣2（答案不唯一），故答案为：﹣2（答案不唯一）．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，正确掌握一次函数的增减性是解题的关键．14．【分析】过点G作AD的垂线，利用全等三角形的性质可得出AE⊥GF，据此可解决问题．【解答】解：过点G作AD的垂线，垂足为M，∵四边形ABCD是正方形，∴∠C＝∠D＝90°，AD＝CD．又∵∠GMD＝90°，∴四边形GCDM是矩形，∴MG＝CD，∴MG＝AD．在Rt△ADE和Rt△GMF中，，∴Rt△ADE≌Rt△GMF（HL）．∴∠DAE＝∠MGF．又∵∠MGF+∠MFG＝90°，∴∠DAE+∠MFG＝90°，∴AE⊥GF．又∵∠D＝90°，∴∠2+∠DEA＝180°．∵AB∥CD，∴∠1＝∠DEA，∴∠1+∠2＝180°，即∠2＝180°﹣α．故答案为：180°﹣α．【点评】本题考查列代数式及正方形的性质，能通过作垂线构造全等三角形是解题的关键．15．【分析】根据函数与方程组的关系结合交点坐标即可求得方程组的解．【解答】解：∵一次函数y＝﹣2x+4与y＝kx+b（k≠0）的图象交于点P（3，﹣2），∴关于x、y的方程组的解是，故答案为：．【点评】本题主要考查了一次函数图象与二元一次方程组的关系，函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．16．【分析】根据已知条件身高是指距的一次函数，设一次函数解析式，代入两组数据即可求得解析式，将身高等160厘米时代入解析式即可求得指距．【解答】解：根据已知设y＝kx+b，将表格任意两组数据（16，133）（18，151），∴解得：∴y＝9x﹣11，当y＝160cm时，160＝9x﹣11，解得：x＝19，故答案为：19．【点评】本题考查利用待定系数法，求一次函数解析式，利用一次函数解析式解决实际问题．17．【分析】设CD＝x，则BF＝AB＝x，BN＝BC＝x，先根据折叠的性质以及勾股定理，求得NF＝＝x＝3，解得x＝2，即可得到正方形纸片的边长．【解答】解：设正方形纸片的边长为x，则BF＝AB＝x，BN＝BC＝x，∴Rt△BFN中，NF＝＝x＝3，∴x＝2，故答案为：2．【点评】此题主要考查了翻折变换的性质，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．利用勾股定理得到NF的长是解答此问题的关键．18．【分析】构建如图坐标系，利用一次函数构建方程组求出点D、E坐标，作点E关于BC的对称点E′，连接DE′交BC于P，此时PD+PE的值最小，最小值为DE′的长；【解答】解：根据如图坐标系：由题意：A（0，6），B（8，0），∴直线AB的解析式为y＝﹣x+6，∵CD平分∠ACB，∴直线CD的解析式为y＝x，由，解得，∴D（，），∵CE＝DE，∴E（，），作点E关于BC的对称点E′（，﹣），连接DE′交BC于P，此时PD+PE的值最小，最小值为DE′的长，∵DE′＝，∴PD+PE的最小值为，故答案为．【点评】本题考查轴对称﹣最短问题、一次函数的应用等知识，解题的关键是学会构建平面直角坐标系，利用一次函数解决问题，属于中考常考题型．三、解答题（共54分，19题4分，20-24每题5分，25题6分，26题5分，27-28每题7分）19．【分析】先算乘除，再合并同类二次根式即可．【解答】解：×﹣+÷＝3﹣2+＝2．【点评】本题考查了二次根式的混合运算，掌握运算法则是解题的关键．20．【分析】根据平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质，进而得出答案．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠ADB＝∠DBC，∵∠ADF+∠ADB＝180°，∠CBE+∠DBC＝180°，∴∠ADF＝∠CBE，在△ADF和△CBE中，∴△ADF≌△CBE（SAS），∴AF＝CE．【点评】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．21．【分析】（1）按照作图步骤作图即可．（2）结合平行四边形的判定、矩形的判定填空即可．【解答】（1）解：如图所示．（2）证明：∵AB＝CD，BC＝AD，∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）．又∵∠ABC＝90°，∴四边形ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）．故答案为：CD；AD；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形．【点评】本题考查作图—复杂作图、平行四边形的判定、矩形的判定，熟练掌握平行四边形的判定、矩形的判定是解答本题的关键．22．【分析】（1）根据两条直线相交或平行问题由一次函数y＝kx+b的图象与正比例函数y＝﹣3x的图象平行得到k＝﹣3，然后把点（2，﹣4）代入一次函数解析式可求出b的值；（2）过（0，2），（2，﹣4）作直线即可得到一次函数y＝kx+b的图象；（3）利用三角形面积公式求得OA，即可求得A的坐标．【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+b的图象与正比例函数y＝﹣3x的图象平行，∴k＝﹣3，∴y＝﹣3x+b，把点（2，﹣4）代入y＝﹣3x+b得﹣6+b＝﹣4，解得b＝2，∴一次函数y＝kx+b的表达式为：y＝﹣3x+2；故答案为：y＝﹣3x+2；（2）令x＝0时，y＝2，过（0，2），（2，﹣4）作直线，即为一次函数y＝kx+b的图象，如图；（3）由图象P（0，2），∴OP＝2，∵△OAP面积为3，∴＝3，即＝3，∴OA＝3，∴点A的坐标为（﹣3，0）或（3，0）．【点评】本题考查了两条直线相交或平行问题，一次函数的性质，待定系数法求一次函数的解析式，三角形面积，掌握待定系数法是解题的关键．23．【分析】（1）用待定系数法即可得到一次函数的解析式；（2）根据点（﹣2，﹣2）结合图象即可求得．【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过（4，1），（0，﹣1），∴，∴，∴一次函数解析式为；（2）把x＝﹣2代入，求得y＝﹣2，∴函数y＝mx（m≠0）与一次函数的交点为（﹣2，﹣2），把点（﹣2，﹣2）代入y＝mx（m≠0），求得m＝1，当两直线平行时，，如图，∵当x＞﹣2时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值大于一次函数的值，∴．【点评】本题主要考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握其性质是解决此题的关键．24．【分析】（1）根据平行四边形的判定得出四边形AEBD是平行四边形，进而利用直角三角形的性质和菱形的判定解答即可；（2）过E作EF⊥CB交CB的延长线于F，根据菱形的性质和等边三角形的判定与性质得出BE＝AB ＝2，进而利用勾股定理解答即可．【解答】（1）证明：∵AE∥BC，且AE＝BD，∴四边形AEBD是平行四边形，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，∴AD＝BD＝DC＝BC，∴▱AEBD是菱形；（2）解：过E作EF⊥CB交CB的延长线于F，∵四边形ADBE是菱形，∴AE＝BE，∵∠AEB＝60°，∴△AEB是等边三角形，∵AB＝2，∴BE＝AB＝2，∴BD＝DC＝BE＝2，∵AE∥BC，∴∠EBF＝∠AEB＝60°，在Rt△BEF中，∠F＝90°，∠EBF＝60°，BE＝2，∴BF＝1，EF＝，∴CF＝5，在Rt△CEF中，∠F＝90°，CF＝5，EF＝，∴CE＝．【点评】此题是四边形综合题，考查平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，关键是根据菱形的性质和勾股定理解答．25．【分析】（1）根据中位数和众数的概念，即可解答；（2）根据表格分析以及方差的概念和意义，即可解答；（3）分别计算出两种水稻的优良率即可求解；分别求出两种水稻的优良水稻数量，相加即可求解．【解答】解：（1）将甲的数据从小到大排列，可以发现一共20个数据，第10个数据为202、第11个数据为206，所以这组数据的中位数为（202+206）÷2＝204，∴m＝204；根据乙种水稻稻穗谷粒数的折线图可以发现，每株稻穗的谷粒数为195出现的次数最多，也就是说这组数据的众数为195，∴n＝195；（2）根据表格可得乙的平均数、中位数、众数都比较接近，故乙更稳定，故答案为：乙；（3）甲的水稻优良率为：，乙的水稻优良率为：，故从水稻优良率分析，应推荐种植甲种水稻；若该试验田中有甲、乙两种水稻各4000株，则甲的优良水稻有4000×55%＝2200（株），乙的优良水稻有4000×40%＝1600（株），∴共有2200+1400＝3800（株），故答案为：甲，3800．【点评】本题考查了折线统计图，样本估计总体，中位数，众数等，根据统计图得出相关信息是解题的关键．26．【分析】（1）结合表格，利用总获利等于乒乓球拍的获利加上羽毛球拍的获利，列出解析式，根据购进乒乓球拍套数不少于羽毛球拍套数的一半，购进乒乓球拍的套数不超过250套，求出x的取值范围即可；（2）求出进价降低后y与x的函数关系式，利用一次函数的性质进行求解即可．【解答】解：（1）设购进乒乓球拍x（套），则购进羽毛球拍（600﹣x）套，∴y＝（100﹣75）x+（120﹣80）（600﹣x）＝﹣15x+24000，∵购进乒乓球拍套数不少于羽毛球拍套数的一半，∴，解得：x≥200，又购进乒乓球拍的套数不超过250套，∴200≤x≤250；（2）由题意，得：y＝（100﹣75+c）x+（120﹣80）（600﹣x）＝（c﹣15）x+24000，∵10＜c＜15，∴c﹣15＜0，∴y随x的增大而减小，∴当x＝200时，此时600﹣x＝400，y取得最大值，最大值为：（c﹣15）×200+24000＝200c+21000；答：购进乒乓球拍200套，羽毛球拍400套时，利润最大，为（200c+21000）元．【点评】本题考查一次函数的实际应用．根据题意，正确的列出函数关系式，是解题的关键．27．【分析】（1）根据正方形的性质证明△ABF≌△BCE，得∠F＝∠E，进而证明∠AGE＝90°；（2）①根据作图过程即可补全图形；②过点B作BI∥AH交AF于I点，得△GAH为等腰直角三角形，证明△GB1为等腰直角三角形，再证明△AIB≌△BHC（SAS），得CH＝BI，根据等腰直角三角形的性质即可解决问题．【解答】解：（1）∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝∠DCB＝90°，∴∠ABF＝∠BCE＝90°，在△ABF和△BCE中，，∴△ABF≌△BCE（SAS），∴∠F＝∠E，∵∠E+∠CBE＝90°，∠CBE＝∠GBF，∴∠F+∠GBF＝90°，∴∠FGB＝90°，∴∠AGE＝180°﹣∠FGB＝90°，∴∠AGE＝90°；（2）①如图所示，在线段EG上取点H，使得GH＝AG，连接AH，CH；②CH＝GB．证明：过点B作BI∥AH交AF于I点，如图所示，∵∠AGE＝90°，GH＝AG，∴△GAH为等腰直角三角形，∴∠GAH＝∠GHA＝45°，∵BI∥AH，∴∠GIB＝∠GAH＝45°，∠GBI＝∠GHA＝45°，∴△GB1为等腰直角三角形，∴GB＝GI，∴AG﹣GI＝GH﹣GB，即AI＝HB，由（1）知：△ABF≌△BCE，∴∠FAB＝∠EBC，∵AB＝BC，∴△AIB≌△BHC（SAS），∴CH＝BI，∵△GB1为等腰直角三角形，∴BI＝GB，∴CH＝GB．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到△ABF≌△BCE．28．【分析】（1）根据矩宽点的定义即可判断；（2）根据矩宽点的定义构建方程即可解决问题；（3）如图1中由题意可知，矩形ABCO的矩宽点只能在线段RM，QE，DE，MK上（不包括端点），其中M（0，1），R（1，2），Q（3，2），E（4，1），D（3，0），K（1，0）．分别求出直线经过E、R、Q、D、K时的k的值即可解决问题．【解答】解：（1）∵+（2﹣）＝1，∴点E是矩宽点，∵（4﹣）+＝1，∴点F是矩宽点．故答案为：E和F．（2）∵G（m，）为矩形ABCO的矩宽点，∴m+＝OA或（4﹣m）+＝OA，解得m＝或．（3）如图1中由题意可知，矩形ABCO的矩宽点只能在线段RM，QE，DE，MK上（不包括端点），其中M（0，1），R（1，2），Q（3，2），E（4，1），D（3，0），K（1，0）．∵一次函数y＝k（x+1）﹣1（k≠0）的图象经过定点L（﹣1，﹣1），观察图象可知当直线与线段MR，EQ有交点时，直线一次函数y＝k（x+1）﹣1（k≠0）的图象上存在矩宽点，当一次函数y＝k（x+1）﹣1（k≠0）的图象经过点R时，k＝，当一次函数y＝k（x+1）﹣1（k≠0）的图象经过点Q时，k＝，当一次函数y＝k（x+1）﹣1（k≠0）的图象经过点E时，k＝，当一次函数y＝k（x+1）﹣1（k≠0）的图象经过点K时，k＝，当一次函数y＝k（x+1）﹣1（k≠0）的图象经过点D时，k＝，综上所述，满足条件的k的值为＜k＜或＜k＜，或＜k＜，故答案为＜k＜或＜k＜，或＜k＜．【点评】本题属于一次函数综合题，考查了一次函数的性质、矩形的性质、矩宽点的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题。

2023北京东城初二（下）期末数 学2023.7一、选择题(本题共16分，每小题2分)第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有．．一个. 1.在下列四个式子中，最简二次根式为A ．B ．C ．D ．2.在平行四边形ABCD 中，∠A ∶∠B ∶∠C ∶∠D 可以是 A ．1∶2∶3∶4 B ．1∶2∶2∶1C ．1∶2∶1∶2D ．1∶1∶2∶23. 下列各式中，计算结果正确的是A ．1=− B ．23= C ．2=± D.(22=−4. 奥运会的跳水项目是优美的水上运动，中国跳水队被称为“梦之队”.在一次女子单人10米台跳水比赛中，甲、乙两名选手五轮得分的折线统计图如图所示. 设甲、乙的平均分依次为x 甲，x 乙，方差依次为2s 甲，2s 乙，在以下四个推断中，正确的是A. 22x x s s 甲乙甲乙＞，＞ B.22x x s s 甲乙甲乙＞，＜C. 22x x s s甲乙甲乙＜，＞ D. 22x x s s 甲乙甲乙＜，＜5. 如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点O .若∠ACB =30°,AB =2，则边AD 的长为A ．B ．2CD ．16. 在平面直角坐标系xOy 中，点P （1x ，1y ），Q (2x ,2y )都在函数y ＝-2x +3的图象上.若12x x ＜＜0,则下列四个推断中错误．．的是A ．点P 在第二象限 B. 坐标原点不在此函数图象上 C ．12y ＞y D ． 2y ＜37. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (-2,1),B （1,1）.若直线y =mx 与线段AB 有交点，则m 的值不可能是 A. 1 B.12C. -12D. -18. 画一个四边形，使得该四边形的面积等于已知图形面积的一半. （1）如图1，已知等腰△ABC ，D ,E 是AB ,AC 的中点，画四边形DBCE ;(2) 如图2，已知四边形ABCD ,AC ⊥BD .四边的中点分别为E ,F ,G ,H ,画四边形EFGH ;(3)如图3，已知平行四边形ABCD , 点E ,G 分别在AD ,BC 上，且EG ∥AB .点F ,H 分别在AB ,CD 上，画四边形EFGH .在以上三种画法中，所有正确画法的序号是 A. (1) (3) B. (2)C. (2) (3)D.(1) (2) (3)二、填空题(本题共16分，每小题2分)9. 若二次根式的取值范围是 ．10. 北京某月连续10天的最低气温（单位：℃）分别是：13 14 15 15 15 16 16 18 19 21 . 这组数据的众数是 .11. 若最简二次根式是同类二次根式，则m 的值是 ．12.如图，在平面直角坐标系xOy 中，若菱形ABCD 的顶点A ，B 的坐标分别为（-3，0），（2，0），点D 在y 轴上，则点C 的坐标是_______．13.如图，在平行四边形ABCD 中，AC ⊥BC ，对角线AC ，BD 交于点O ,点E 为边AB 的中点若AB =10，AC =8，则OE 的长为 .14. 如图，将矩形纸片ABCD 沿AE 折叠，顶点B 落在CD 边上点F 处.若AB ＝3，BC ＝2，则DF ＝ .15. 如图，在正方形ABCD 中，边长为2的等边三角形AEF 的顶点E ，F 分别在BC ，CD 上，则 △EFC 的面积为 ．16.已知A ，B 两地相距240 km.甲、乙两辆货车分别从A ，B 两地同时出发，匀速相向而行.图1表示甲、乙两辆货车距A 地的距离s （单位：km ）与行驶时间t （单位：h ）的数量关系；图2表示甲、乙两辆货车间的距离d （单位：km ）与行驶时间t （单位：h ）的数量关系. 根据以上信息得到以下四个推断：①甲货车从A 地到B 地耗时6小时，即a ＝6； ②出发后2.4小时甲、乙两货车相遇，即b ＝2.4； ③乙货车的速度是60 km/h ； ④点P 的坐标是（4,180）. 所有正确推断的序号是 .三、解答题(本题共68分，第17题8分，第18-20题，每小题各5分，第21题6分，第22-26题，每小题5分，第27-28题，每小题7分) 解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 17. 计算：（1）+;(2) ()()44÷18. 已知2x =求代数式()2125x x −−+的值.19.如图，在平行四边形ABCD中，AC是对角线，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F.求证：AE=CF．20. 如图，△ABC为等边三角形.求作：菱形ABFE,使得∠BAE=150°.作法：如图，①作∠BAC的平分线AD，交BC于点D；②以点A为圆心，AB长为半径画弧交DA的延长线于点E；③分别以点B，E为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点F；（不是点A）⑤连接BF,EF.则四边形ABFE为所求作的菱形.（1）使用直尺和圆规，依作法补全尺规作图（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明.证明：∵AB=AE=BF=EF,∴四边形ABFE为菱形（）（填推理依据）.∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC=60°.∵AD平分∠BAC，∴∠BAD =12∠BAC= ° .∵∠BAE=180°-∠BAD,∴∠BAE= ° .21. 某数学兴趣小组研究某地区气温与海拔的关系.下表记录的是气温随海拔变化的情况：题.（1）求出k，b的值；（2）求表格中m,n的值；（3）当海拔x满足4≤x≤7时，求气温y的变化范围.22. 在平面直角坐标系xOy 中，点P （x ，y ）的坐标满足2y x =−. （1）当点P 在第一象限时，画出点P 组成的图形； （2）已知点A (-3,0),当△OP A 的面积为6时，求点P 的坐标.23.下面是证明直角三角形的一个性质的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明.24. 为了解北京市的水资源情况，收集了1978-2020年北京的年降水量（单位：毫米）共43个数据，并对数据进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息.注：降水量是指一定时间段内降落在某一点或某一区域的水层深度，通常以毫米表示.a . 43个数据的频数分布直方图如下（数据分成7组：200≤x ＜300, 300≤x ＜400, 400≤x ＜500, 500≤x ＜600, 600≤x ＜700, 700≤x ＜800, 800≤x ≤900）:b .43个数据中，在500≤x ＜600这一组的是： 507 523 527 542 544 547 573 576 579c . 43个数据的平均数、中位数如下：（1）表中n 的值为 ；（2）1978-2020年北京降水量高于547 毫米的年份共 个：（3）若2021年，2022年北京的年降水量分别是698 毫米,493毫米,则下列推断合理的是 （填写序号） ；① 因为698大于n ，所以北京2021年降水量比1978-2020年中一半年份的降水量高；② 已知1978-2000年北京的降水量的方差为21 249若2021年， 2001-2022年北京的年降水量的方差为13 486，由此推断2001-2022年北京的年降水量的波动较大；③ 1个底面边长为10分米的正方体集水箱2022年共可收集降水约493升. 注：1升=1立方分米.25. A ,B 两地分别有垃圾20吨，30吨,现要把这些垃圾全部运到C ，D 两个垃圾处理厂,其中24吨运到C 厂. 运费标准（单位：元/吨）如下表：当从A 地运送多少吨垃圾到C 厂时，从A,B 两地到C 厂的总运费大于运到D 厂的总运费? (1)建立函数模型设从A 地运到C厂x 吨垃圾.从A ,B 两地到C 厂的总运费为y 1元，到D 厂的总运费为y 2元. 求y 1，y 2关于x 的函数关系式；（2）根据函数的图象与性质，解决问题： 当y 1＞y 2时，求x 的取值范围.26.在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的图象由函数y ＝2x 的图象平移得到，且经过点（-1,3）.（1）求一次函数的解析式；（2）当x＞1时，对于x的每一个值，函数y＝mx的值均大于函数y＝kx＋b（k≠0）的值，直接写出m的取值范围.27.如图，正方形ABCD.过点B作射线BP，交DA的延长线于点P.点A关于直线BP的对称点为E，连接BE，AE，CE.其中AE，CE分别与射线BP交于点G,H.（1）依题意补全图形;（2）设∠ABP=α，∠AEB=（用含α的式子表示），∠AEC= °；（3）若EH=BH,用等式表示线段AE与CE之间的数量关系，并证明.28. 在平面直角坐标系xOy中，对于线段MN和点P作出如下定义：若点M，N分别是线段PP1，PP2的中点，连接P1P2，我们称线段P1P2的中点Q是点P关于线段MN的“关联点”.（1）已知点M（2,2），点P关于线段OM的“关联点”是点Q.①若点P的坐标是（2,0），则点Q的坐标是；②若点E的坐标是（1,-1），点F的坐标是（3,-1）.点P是线段EF上任意一点，求线段PQ长的取值范围；（2）点A是直线l:y=x+1上的动点.在矩形ABCD中，边AB∥x轴，AB＝3，BC＝2. 点P是矩形ABCD边上的动点，点P关于其所在边的对边的“关联点”是点Q.过点A作x轴的垂线，垂足为点G.设点G的坐标是（t，0）.当点A沿着直线l运动到点'A时，点G沿着x轴运动到点'G（t+m，0），点Q覆盖的区域的面积S满足20≤S≤30，直接写出m的取值范围.参考答案一、选择题(本题共16分，每小题2分)9. 1x ≥ 10. 15 11. −1 12.(5，4) 13.3 14.16. ①②③三、解答题(本题共68分，第17题8分，第18-20题，每小题各5分，第21题6分，第22-26题，每小题5分，第27-28题，每小题7分) 解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17.（1）解：+2−分2= . ----------------------------------------------------------4分(2) ()()44−÷解：()()44÷(22=4⎡⎤−÷⎢⎥⎣⎦----------------------------------------------------------------------------------2分()2016=−÷4=÷分18. 解：()2125x x −−+=22125x x x −+−+ =246x x −+=()222x −+.-----------------------------------------------------------------------------------------------3分将2x =代入()222x −+, 得()2222+=5.----------------------------------------5分注：若直接代入求值，代入后去掉2个括号正确3分，结果2分. 19. 证明：∵BE ⊥AC 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，∴∠AEB =∠FCD =90°. ----------------------------------------1分 ∵四边形ABCD 为平行四边形,∴ AB ∥CD ，AB=CD. ----------------------------------------2分 ∴ ∠BAE =∠DCF . ----------------------------------------3分∴ △ABE ≌△CDF （AAS ）. ----------------------------------------4分 ∴ AE =CF . --------------5分 20. 解： （1）补全图形如图.—————————————————————————————————2分 （2）四条边相等的四边形是菱形;30; 150-----------------------------5分21.解：（1）将（1，-1），（2，-7）代入y ＝kx ＋b （k ≠0），得127.k b k b +=−⎧⎨+=−⎩，解得65.k b =−⎧⎨=⎩，∴k =6−，b=5. ------------------------2分 （2）由（1）得y ＝6−x ＋5. 当y=10−时，m=2.5；当x=3.5时，n=16−. ------------------------4分 （3）∵k ＝6−＜0， ∴y 随着x 的增大而减小.∵当x ＝4时，y ＝-19；当x ＝7时，y ＝-37， ∴-37≤y ≤-19.∴气温y 的变化范围是-37≤y ≤-19. --------------------6分 22. 解：（1）画图如下.-------------------------------------------------2分（2）∵A (-3,0)， ∴OA ＝3. ∵S △OP A ＝6， ∴1=62P OA y ⋅⋅. ---------3分 ∴=4P y . ∴=4P y ±.将=4P y 代入2y x =−+，则=2P x −; 将=4P y −代入2y x =−+，则=6P x .综上所述，P 1（-2,4）, P 2（6, -4）. -----------------5分 22.证明：方法一∵BO 是斜边AC 的中线， ∴AO =CO . ----------2分 又∵DO =BO .∴四边形ABCD 是平行四边形. ------------3分 ∵∠ABC =90°， ∴四边形ABCD 是矩形.∴BD =AC . -------------------------4分 ∴BO =12BD =12AC . ------------------5分 方法二∵BO 是斜边AC 的中线， ∴AO =CO .------------------2分 ∴OD 是△ABC 的中位线. ∴OD ∥AB .---------------3分 ∴∠ODC =∠ABC . ∵∠ABC =90°， ∴∠ODC =90°.∴OD ⊥BC .---------------4分 ∴BO =CO . ∴BO =12AC .--------------------5分 24. 解：（1）527. ---------------------- 2分（2）18.----------------------------------------------- 3分 （3）①③.----------------------------------------------- 5分ODCB AABCD O25.解：（1）y 1＝26x ＋15(24- x )＝11 x ＋360；y 2＝25(20- x )＋20(x ＋6)＝- 5x ＋620.----- 3分（2）由题意可知，0≤x ≤20.由y 1＝y 2，得x 465=. 所以(1)中两个函数图象的交点的横坐标为654. 因为y 1随着x 的增大而增大，y 2随着x 的增大而减小，所以当x 465＞时，y 1＞y 2. 综上，x 的取值范围是＜465x ≤20.-------------------------5分 26.解：（1）∵直线y ＝kx ＋b (k ≠0)由函数y ＝2x 的图象平移得到，∴k=2.-------------1分∴一次函数的解析式为y ＝2x ＋b .将（-1,3）代入y ＝2x ＋b ，得3＝-2+b , 解得b ＝5.--------2分∴一次函数的解析式为y ＝2x ＋5. ----------3分（2）m ≥7.----------------5分27.解：（1）补全图形如下,------------------------------------------------------------------------------2分（2）∠AEB = 90°- α，∠AEC= 45 °. ---------4分(3)结论：).CE AE =. --------------------5分 证明：如图，作BF ⊥CE 于点F . ∵点 A 关于射线BP 的对称点为点E , ∴ AE ⊥BP ,EG =12AE .∴∠BGE =90°,BE =BA .由（2）知∠AEC =45°，∴∠GHE =45°.∴△EGH 是等腰直角三角形.由勾股定理得，.EH =∵四边形ABCD 是正方形,∴BA =BC .∴BE =BC .∵BF ⊥CE ，∴∠BFH =90°,EF =CF .∵∠EHG =∠FHB ,EH =BH ,∴△EGH ≌△BFH （AAS ）.∴EG =GH =BF =FH .∴CE =2(EH +FH )=)))2211.EG EG AE +==+-------------------------------7分 28. 解：（1）①（0，2）；-------------------------1分②∵E （1,-1），F （3,-1），∴点E ，点F 关于OM 的“关联点”点'E (1，3)，点'F （-1，3）.当点P 在线段EF 上时，点Q 在线段''E F 上，且''E F ∥EF .因此，如图1，当点P 与点E PQ 长取得最小值4；如图2，当点P 与点F 重合时，PQ 长取得最大值；综上所述，PQ 长的取值范围是：4≤PQ ≤；-----5分（3）32m −−≤≤或3m 2≤≤.------7分。