北京市东城区八年级(下)期末数学试卷

一、选择题（每题2分，共20分）1. 若a > b，则以下哪个不等式一定成立？（）A. a + 2 > b + 2B. a - 2 > b - 2C. a / 2 > b / 2D. 2a > 2b答案：D2. 已知等差数列{an}中，a1 = 3，d = 2，则a10 = （）A. 17B. 19C. 21D. 23答案：C3. 已知函数f(x) = 2x - 1，则f(-3) = （）A. -7B. -5C. -3D. 1答案：A4. 在△ABC中，∠A =60°，∠B = 45°，则∠C = （）A. 75°B. 60°C. 45°D. 30°答案：D5. 已知二次函数y = ax^2 + bx + c（a ≠ 0），若a > 0，则以下哪个说法正确？（）A. 函数图像开口向上，顶点坐标为（-b/2a，c-b^2/4a）B. 函数图像开口向上，顶点坐标为（b/2a，c-b^2/4a）C. 函数图像开口向下，顶点坐标为（-b/2a，c-b^2/4a）D. 函数图像开口向下，顶点坐标为（b/2a，c-b^2/4a）答案：A二、填空题（每题2分，共20分）6. 已知等差数列{an}中，a1 = 2，d = 3，则a10 = ________。

答案：327. 若函数f(x) = 2x + 1，则f(0) = ________。

答案：18. 在△ABC中，∠A = 60°，∠B = 45°，则sinC = ________。

答案：√3/29. 已知二次函数y = -x^2 + 4x - 3，则函数图像的顶点坐标为 ________。

答案：（2，-1）10. 已知等比数列{an}中，a1 = 3，q = 2，则a5 = ________。

答案：48三、解答题（每题10分，共30分）11. 已知等差数列{an}中，a1 = 5，d = 2，求前10项和S10。

一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列数中，绝对值最小的是（）A. -3B. 2C. -2D. 32. 若a > b，则下列不等式中成立的是（）A. a + 1 > b + 1B. a - 1 > b - 1C. a + 1 < b + 1D. a - 1 < b - 13. 下列图形中，是轴对称图形的是（）A. 矩形B. 正方形C. 三角形D. 圆4. 已知一次函数y = kx + b（k ≠ 0），下列说法正确的是（）A. 当k > 0时，函数图像在y轴的左侧下降B. 当k > 0时，函数图像在y轴的右侧上升C. 当k < 0时，函数图像在y轴的左侧上升D. 当k < 0时，函数图像在y轴的右侧下降5. 下列方程中，x的值是2的是（）A. 2x - 3 = 1B. 2x + 3 = 1C. 2x - 3 = 2D. 2x + 3 = 26. 已知二次函数y = ax^2 + bx + c（a ≠ 0），下列说法正确的是（）A. 当a > 0时，函数图像开口向上B. 当a < 0时，函数图像开口向上C. 当a > 0时，函数图像开口向下D. 当a < 0时，函数图像开口向下7. 下列代数式中，正确的是（）A. a^2 + b^2 = (a + b)^2B. a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)C. a^2 + b^2 = (a - b)^2D. a^2 - b^2 = (a + b)(a + b)8. 下列函数中，是反比例函数的是（）A. y = 2x + 3B. y = 3/xC. y = x^2D. y = x^39. 已知直角三角形ABC中，∠C = 90°，AC = 3cm，BC = 4cm，则AB的长是（）A. 5cmB. 6cmC. 7cmD. 8cm10. 下列命题中，正确的是（）A. 平行四边形是矩形B. 矩形是正方形C. 正方形是平行四边形D. 平行四边形是菱形二、填空题（每题3分，共30分）11. 若a = -3，则|a| = _______。

北京市东城区2017-2018学年初二第二学期期末考试数学试卷一、选择题i1函数y ----------- 中自变量X 的取值范围是x 3A . x > 3B . x 工3C . x < 3D . x ^32.下列四组线段中，能作为直角三角形三条边的是A .B .C . . . 7D •如图，两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量 A , B 间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可 以直接到达 A , B 的点C ,找到AC , BC 的中点D , E ,并且测出DE 的长为10m ,则A , B 间的距 离为A . 15mB . 20mC . 25mD . 30m4.某专卖店专营某品牌的衬衫，店主对上一周中不同尺码的衬衫销售情况统计如下：尺码3940414243 平均每天销售数量（件）10 12 20 1212A .众数B .方差C .平均数D .中位数25.用配方法解一元二次方程x +2x 1 0,配方后得到的方程是6 .矩形、菱形、正方形都具有的性质是A .对角线相等C .对角线互相平分 B .对角线互相垂直D . 对角线平分对角7.函数y kx b 的图象如图所示，则关于x 的不等式 k x b 0的解集是 A . x > 0B . x v 0C . x > 2D . x v 2第3题图第7题图8.如图，某工厂有甲•乙两个大小相同的蓄水池，且中间有管道连通，现要向甲池 中注水，若单位时间内的注水量不变， 那么从注水开始，乙水池水面上升的高度 与注水时间t 之间的函数关系图象可能是2A . (x 1)2 2B . (x+1) 22 2C . (x+2)2 D . (x 2) 2、填空题9 •在某次七年级期末测试中，甲乙两个班的数学平均成绩都是89分，且方差分别为S甲0.15，S乙0.2，则成绩比较稳定的是____________________________ 班.10 •如图，□ ABCD中两个邻角的度数比为 1 : 3，则其中较小的内角的度数为________________ .11 •写岀一个图象经过第二、四象限的正比例函数的解析式_______________ .12 •将一次函数y 3x 4的图像向上平移2个单位长度后得到的解析是___________________________13. 如图，在△ ABC中，/ ABC =90 °分别以BC，AB，AC为边向外作正方形，面积分别记为S1，电S3，若S2=4，S3=6，贝U S I = _ •214. ________________________________________________________________________ 如图，菱形ABCD 的边长是2cm，ABC 60 ,则菱形ABCD的面积为______________________________________ c m10题图13题图14题图2 —15 .若关于x的一元二次方程x 2x+m 0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 _____________ .16 .阅读下面材料在数学课上，老师提出如下问题:已知：已知：Rt △ ABC,/ ABC = 90°、敏的作法如下：求作:矩形ABCD .-----------------------------------①以师说为圆心小敏的作法正半径作弧，以C为圆心，AB长为半径作弧，两弧相交于点请回答：小敏的作法正确的理由是三、解答题’17.18.②连接DA、DC ;:5分)解方程x 4x 5 0:5所以四边次b|A B C D k为所求矩的•图象经过点A(-1,1)和点B(1,5),求一次函数的解析式19.:5分)如图，在口ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且AE=CF,求证：BE=D20•2(5分)已知关于x的一元二次方程x mx 2 0.(1)证明：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根;(2)若方程有一个根为-2，求m的值.21. ( 5分)每年的4月23日是世界图书日”某班鼓励同学们到阅览室借阅图书，并统计图书借阅总量•该班在2015年图书借阅总量是1000本，2017年图书借阅总量是1440本，该班的图书借阅总量的年平均增长率是多少？22. (5分)如图，在矩形纸片ABCD中，AB = 3, AD = 9,将其折叠，使点D与点B重合，折痕为EF.(1)求证：BE= BF ;(2)求BE的长.23. ( 6分)某村深入贯彻落实习近平新时代中国特色社会主义思想，认真践行绿水青山就是金山银山”理念•在外打工的王大叔返回江南创业，承包了甲.乙两座荒山，各栽100棵小枣树，发现成活率均为97% ,现已挂果，经济效益初步显现，为了分析收成情况，他分别从两山上随意各采摘了4棵树上的小枣，每棵的产量如折线统计图所示•(1)直接写岀甲山4棵小枣树产量的中位数______________(2)分别计算甲.乙两座山小枣样本的平均数，并判断那座山的样本的产量高(3)用样本平均数估计甲乙两座山小枣的产量总和24. ( 6分)如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y 2x 4与x轴，y轴分别交于点A，点B。

下学期初中八年级期末教学统一检测数学试卷本试卷共三道大题，28道小题。

满分100分，考试时长100分钟。

一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有．．一个。

1. 下列四组线段中，可以构成直角三角形的是A. 4，5，6B. 5，12，13C. 2，3，4D. 1，2，3 2. 用配方法解一元二次方程x x 62-＋1＝0，此方程可化为的正确形式是 A. 2)3(+x ＝10 B. 2)3(+x ＝8 C. 2)3(-x ＝10 D. 2)3(-x ＝8 3. 有19位同学参加歌咏比赛，所得的分数互不相同，得分前10位的同学进入决赛。

某同学知道自己的分数后，要判断自己能否进入决赛，他只需知道这19位同学成绩的A. 平均数B. 中位数C. 众数D. 方差4. 在数学活动课上，老师和同学们要判断一个四边形是否为矩形，下面是某合作学习小组的4位同学拟定的方案，其中正确的是A. 测量对角线是否互相平分B. 测量两组对边是否分别相等C. 测量一组对角是否都为直角D. 测量其中三个内角是否都为直角5. 如图，平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ，且AD ≠CD ，过点O 作OM ⊥AC ，交AD 于点M ，如果△CDM 的周长为8，那么平行四边形ABCD 的周长是A. 8B. 12C. 16D. 206. 如图，已知正比例函数y 1＝kx 与一次函数y 2＝－x ＋b 的图象交于点P 。

下面有四个结论：①0>k ；②0>b ；③当0>x 时，01>y ；④当2-<x 时，b x kx +->。

其中正确的是A. ①③B. ②③C. ③④D. ①④7. 如图，数轴上点A ，B 分别表示数1，2，过点B 作PQ ⊥AB ，以点B 为圆心，AB 长为半径画弧，交PQ 于点C ，以点A 为圆心，AC 长为半径画弧，交数轴于点M ，则点M 表示的数是A.2B.5C.12+D.15+8. 如果规定][x 表示不大于x 的最大整数，例如3]1.2[,2]1.2[-=-=，那么函数)33]([≤≤--=x x x y 的图象为二、填空题（本题共16分，每小题2分）9. 函数)0(≠=k kx y 的图象上有两个点),(),,(222111y x A y x A ，当21x x <时，21y y >，写出一个满足条件的函数解析式___________。

2022-2023学年北京市东城区景山学校八年级（下）期末数学试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分） 1．函数y =1x−3中，自变量x 的取值范围是（ ） A ．x ＞3B ．x ＜3C ．x ＝3D ．x ≠32．点A （1，y 1），B （3，y 2）是反比例函数y =−6x 图象上的两点，那么y 1，y 2的大小关系是（ ） A ．y 1＞y 2B ．y 1＝y 2C ．y 1＜y 2D ．不能确定3．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，如果AC ＝3，AB ＝5，那么sin B 等于（ ）A ．35B ．45C ．34D ．434．如图，每个小正方形的边长为1，点A 、B 、C 均在格点上，则sin B 的值是（ ）A ．1B ．34C ．45D ．355．如图，已知正方形ABCD ，以点A 为圆心，AB 长为半径作⊙A ，点C 与⊙A 的位置关系为（ ）A ．点C 在⊙A 外B ．点C 在⊙A 内C ．点C 在⊙A 上D ．无法确定6．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，若∠C ＝130°，则∠BOD 的度数为（ ）A ．50°B ．100°C ．130°D ．150°7．如图，在⊙O 中，弦AB 垂直平分半径OC ．若⊙O 的半径为4，则弦AB 的长为（ ）A ．2√3B ．4√3C ．2√5D ．4√58．下面两个问题中都有两个变量：①矩形的周长为20，矩形的面积y 与一边长x ； ②矩形的面积为20，矩形的宽y 与矩形的长x ．其中变量y 与变量x 之间的函数关系表述正确的是（ ） A ．①是反比例函数，②是二次函数 B ．①是二次函数，②是反比例函数C ．①②都是二次函数D ．①②都是反比例函数二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9．已知反比例函数y =m−1x的图象分布在第二、四象限，则m 的取值范围是 ． 10．若一个反比例函数图象的每一支上，y 随x 的增大而减小，则此反比例函数表达式可以是 ．（写出一个即可）11．如图，点P （﹣3，1）是反比例函数y =mx 的图象上的一点，设直线y ＝kx 与双曲线y =mx 的两个交点分别为P 和P '，当m x＞kx 时，写出x 的取值范围 ．12．如图所示的网格是正方形网格，则tan α tan β．（填“＞”，“＝”或“＜”）13．如图，AD 为△ABC 的外接圆⊙O 的直径，若∠BAD ＝50°，则∠ACB ＝ °．14．在锐角△ABC 中，若|sin A −√32|+（1﹣tan B ）2＝0，则∠C 的度数是 ．15．我国古代著名数学著作《九章算术》总共收集了246个数学问题，这些问题的算法要比欧洲同类算法早1500年，其中有这样一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可以表述为：“如图，CD 为⊙O 的直径，弦AB ⊥CD 于点E ，CE ＝1寸，AB ＝10寸（注：1尺＝10寸），则可得直径CD 的长为 寸”．16．如图，是反比例函数y =k 1x 和y =k2x （k 1＜k 2）在第一象限的图象，直线AB ∥x 轴，并分别交两条曲线于A 、B 两点，若S △AOB ＝2，则k 2﹣k 1的值为 ．三、解答题（本题共68分）17．计算：2sin30°+cos 245°﹣tan60°．18．问题：如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 内，请仅用无刻度的直尺，作出△ABC 中AB 边上的高． 小芸解决这个问题时，结合圆以及三角形高线的相关知识，设计了如下作图过程． 作法：如图，①延长AC 交⊙O 于点D ，延长BC 交⊙O 于点E ；②分别连接AE，BD并延长相交于点F；③连接FC并延长交AB于点H．所以线段CH即为△ABC中AB边上的高．（1）根据小芸的作法，补全图形；（2）完成下面的证明．证明：∵AB是⊙O的直径，点D，E在⊙O上，∴∠ADB＝∠AEB＝°．（）（填推理的依据）∴AE⊥BE，BD⊥AD．∴AE，是△ABC的两条高线．∵AE，BD所在直线交于点F，∴直线FC也是△ABC的高所在直线．∴CH是△ABC中AB边上的高．̂．若∠A＝50°，求∠B的度数．19．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，BĈ=CD20．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于点E．（1）求证：∠BCO＝∠D；（2）若CD＝4√2，OE＝1，求⊙O的半径．21．已知：如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝45°，AC=2√2．求：（1）BC的长；（2）S△ABC．22．如图，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，sin C=3，AC＝8，BD平分∠CBA交AC边于点D．求：5（1）线段AB的长；（2）tan∠DBA的值．23．定都阁位于门头沟潭柘寺镇的定都峰上，与通州大运河遥相呼应，形成“东有大运河，西有定都阁”的一道新景观．为测得定都阁的高度，某校数学社团登上定都峰开展实践活动．他们利用无人机在点P 处测得定都阁顶端A的俯角α为45°，定都阁底端B的俯角β为60°，此时无人机到地面的垂直距离PC为46√3米，求定都阁的高AB．（结果保留根号）24．工厂对某种新型材料进行加工，首先要将其加温，使这种材料保持在一定温度范围内方可加工，如图是在这种材料的加工过程中，该材料的温度y（℃）时间x（min）变化的函数图象，已知该材料，初始温度为15℃，在温度上升阶段，y与x成一次函数关系，在第5分钟温度达到60℃后停止加温，在温度下降阶段，y与x成反比例关系．（1）写出该材料温度上升和下降阶段，y与x的函数关系式：①上升阶段：当0≤x≤5时，y＝；②下降阶段：当x＞5时，y．（2）根据工艺要求，当材料的温度不低于30℃，可以进行产品加工，请问在图中所示的温度变化过程中，可以进行加工多长时间？25．在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=kx(k≠0)的图象经过点（﹣1，3）．（1）求这个反比例函数的解析式；（2）当x＜﹣1时，对于x的每一个值，函数y＝﹣x+n的值大于反比例函数y=kx(k≠0)的值，直接写出n的取值范围．26．在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=kx（k≠0）的图象过点A（2，3）．（1）求k的值；（2）过点P（m，0）（m≠0）作x轴的垂线，分别交反比例函数y=kx（k≠0），y=−4x的图象于点M，N．①当m＝﹣2时，求MN的长；②若MN≥5，直接写出m的取值范围．27．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为AC延长线上一点，连接BD，将线段BD绕点D逆时针旋转90°得到线段DE，过点E作EF⊥AC于点F，连接AE．（1）依题意补全图形；（2）比较AF与CD的大小，并证明；（3）连接BE，G为BE的中点，连接CG，用等式表示线段CD，CG，BC之间的数量关系，并证明．28．已知点M和图形W，Q为图形W上一点，若存在点P，使得点M为线段PQ的中点（P，Q不重合），则称点P为图形W关于点M的倍点．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣1，1），B（﹣1，﹣1），C（1，﹣1），D（1，1）．（1）若点M的坐标为（2，0），则在P1（3，0），P2（4，2），P3（5，1）中，是正方形ABCD关于点M的倍点的是；（2）点N的坐标为（2，t），若在直线y＝x上存在正方形ABCD关于点N的倍点，直接写出t的取值范围；（3）点G为正方形ABCD边上一动点，直线y＝x+b与x轴交于点E，与y轴交于点F，若线段EF上的所有点均可成为正方形ABCD关于点G的倍点，直接写出b的取值范围．2022-2023学年北京市东城区景山学校八年级（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共16分，每小题2分） 1．函数y =1x−3中，自变量x 的取值范围是（ ） A ．x ＞3B ．x ＜3C ．x ＝3D ．x ≠3解：由题意得，x ﹣3≠0，解得x ≠3． 故选：D ．2．点A （1，y 1），B （3，y 2）是反比例函数y =−6x图象上的两点，那么y 1，y 2的大小关系是（ ） A ．y 1＞y 2B ．y 1＝y 2C ．y 1＜y 2D ．不能确定解：∵A （1，y 1），B （3，y 2）是反比例函数y =−6x 图象上的两点， ∴y 1=−61=−6，y 2=−63=−2， ∴y 1＜y 2． 故选：C ．3．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，如果AC ＝3，AB ＝5，那么sin B 等于（ ）A ．35B ．45C ．34D ．43解：∵在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，AB ＝5，∴sin B =AC AB =35． 故选：A ．4．如图，每个小正方形的边长为1，点A 、B 、C 均在格点上，则sin B 的值是（ ）A ．1B ．34C ．45D ．35解：由图可知∠ACB ＝90°，且AC ＝3，BC ＝4， ∴AB =√AC 2+BC 2=√32+42=5，∴sinB=ACAB=35．故选：D．5．如图，已知正方形ABCD，以点A为圆心，AB长为半径作⊙A，点C与⊙A的位置关系为（）A．点C在⊙A外B．点C在⊙A内C．点C在⊙A上D．无法确定解：∵正方形ABCD的对角线AC=√2AB＞AB，∴点C在⊙A外，故选：A．6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠C＝130°，则∠BOD的度数为（）A．50°B．100°C．130°D．150°解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠A+∠C＝180°，而∠C＝130°，∴∠A＝180°﹣∠C＝50°，∴∠BOD＝2∠A＝100°．故选：B．7．如图，在⊙O中，弦AB垂直平分半径OC．若⊙O的半径为4，则弦AB的长为（）A．2√3B．4√3C．2√5D．4√5解：连接OA，由AB垂直平分OC，得到OD=12OC＝2，∵OC⊥AB，∴D 为AB 的中点，则AB ＝2AD ＝2√OA 2−OD 2=2√42−22=4√3． 故选：B ．8．下面两个问题中都有两个变量：①矩形的周长为20，矩形的面积y 与一边长x ； ②矩形的面积为20，矩形的宽y 与矩形的长x ．其中变量y 与变量x 之间的函数关系表述正确的是（ ） A ．①是反比例函数，②是二次函数 B ．①是二次函数，②是反比例函数C ．①②都是二次函数D ．①②都是反比例函数解：①矩形的周长为20，矩形的面积y 与一边长x ，可以得到y ＝x （10﹣x ）＝﹣x 2+10x ，是二次函数； ②矩形的面积为20，矩形的宽y 与矩形的长x ，可以得到y =20x，是反比例函数． 所以①是二次函数，②是反比例函数． 故选：B ．二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9．已知反比例函数y =m−1x的图象分布在第二、四象限，则m 的取值范围是 m ＜1 ． 解：∵反比例函数y =m−1x的图象分布在第二、四象限，∴m ﹣1＜0．解得m ＜1． 故答案为：m ＜1．10．若一个反比例函数图象的每一支上，y 随x 的增大而减小，则此反比例函数表达式可以是 y =1x（答案不唯一）． ．（写出一个即可）解：只要使反比例系数大于0即可．如y =1x，答案不唯一． 故答案为：y =1x （答案不唯一）． 11．如图，点P （﹣3，1）是反比例函数y =m x 的图象上的一点，设直线y ＝kx 与双曲线y =mx的两个交点分别为P 和P '，当m x＞kx 时，写出x 的取值范围 ﹣3＜x ＜0或x ＞3 ．解：∵直线y ＝kx 与双曲线y =m x 的两个交点分别为P 和P '，P （﹣3，1），∴P ′的坐标为（3，﹣1），当m x ＞kx 时，写出x 的取值范围为﹣3＜x ＜0或x ＞3．故答案为：﹣3＜x ＜0或x ＞3．12．如图所示的网格是正方形网格，则tan α ＜ tan β．（填“＞”，“＝”或“＜”）解：由图知∠β＞∠α，∵锐角的正切值随角度的增大而增大，∴tan α＜tan β，故答案为：＜．13．如图，AD 为△ABC 的外接圆⊙O 的直径，若∠BAD ＝50°，则∠ACB ＝ 40 °．解：连接BD ，如图，∵AD 为△ABC 的外接圆⊙O 的直径，∴∠ABD ＝90°，∴∠D ＝90°﹣∠BAD ＝90°﹣50°＝40°，∴∠ACB ＝∠D ＝40°．故答案为40．14．在锐角△ABC中，若|sin A−√32|+（1﹣tan B）2＝0，则∠C的度数是75°．解：根据题意得：sin A−√32=0，1﹣tan B＝0，∴sin A=√32，tan B＝1，∴∠A＝60°，∠B＝45°，∴∠C＝180°﹣60°﹣45°＝75°．故答案为：75°．15．我国古代著名数学著作《九章算术》总共收集了246个数学问题，这些问题的算法要比欧洲同类算法早1500年，其中有这样一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可以表述为：“如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，CE＝1寸，AB ＝10寸（注：1尺＝10寸），则可得直径CD的长为26寸”．解：连接OA，设⊙O的半径是r寸，∵CD⊥AB，∴AE ＝BE ＝5（寸），∵OA 2＝OE 2+AE 2，∴r 2＝（r ﹣1）2+52，∴r ＝13，∴CD ＝2r ＝26（寸），故答案为：26．16．如图，是反比例函数y =k 1x 和y =k2x （k 1＜k 2）在第一象限的图象，直线AB ∥x 轴，并分别交两条曲线于A 、B 两点，若S △AOB ＝2，则k 2﹣k 1的值为 4 ．解：设A （a ，b ），B （c ，d ），代入得：k 1＝ab ，k 2＝cd ，∵S △AOB ＝2，∴12cd −12ab ＝2， ∴cd ﹣ab ＝4，∴k 2﹣k 1＝4，故答案为：4．三、解答题（本题共68分）17．计算：2sin30°+cos 245°﹣tan60°．解：原式＝2×12+（√22）2−√3＝1+12−√3=32−√3． 18．问题：如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 内，请仅用无刻度的直尺，作出△ABC 中AB 边上的高． 小芸解决这个问题时，结合圆以及三角形高线的相关知识，设计了如下作图过程．作法：如图，①延长AC 交⊙O 于点D ，延长BC 交⊙O 于点E ；②分别连接AE ，BD 并延长相交于点F ；③连接FC 并延长交AB 于点H ．所以线段CH即为△ABC中AB边上的高．（1）根据小芸的作法，补全图形；（2）完成下面的证明．证明：∵AB是⊙O的直径，点D，E在⊙O上，∴∠ADB＝∠AEB＝90°．（直径所对的圆周角是直角）（填推理的依据）∴AE⊥BE，BD⊥AD．∴AE，BD是△ABC的两条高线．∵AE，BD所在直线交于点F，∴直线FC也是△ABC的高所在直线．∴CH是△ABC中AB边上的高．解：（1）如图，线段CH即为所求．（2）∵AB是⊙O的直径，点D，E在⊙O上，∴∠ADB＝∠AEB＝90°．（直径所对的圆周角是直角），∴AE⊥BE，BD⊥AD．∴AE，BD是△ABC的两条高线．∵AE，BD所在直线交于点F，∴直线FC也是△ABC的高所在直线．∴CH是△ABC中AB边上的高．故答案为：90，直径所对的圆周角是直角，BD ．19．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 为直径，BĈ=CD ̂．若∠A ＝50°，求∠B 的度数．解：如图，连接AC ．∵BĈ=CD ̂，∠BAD ＝50°， ∴∠BAC ＝∠DAC =12∠BAD =12×50°＝25°， ∵AB 为直径，∴∠ACB ＝90°，∴∠∠B ＝90°﹣∠BAC ＝90°﹣25°＝65°．20．如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的一条弦，且CD ⊥AB 于点E ．（1）求证：∠BCO ＝∠D ；（2）若CD ＝4√2，OE ＝1，求⊙O 的半径．（1）证明：∵OC ＝OB ，∴∠BCO ＝∠B ，∵AĈ=AC ̂， ∴∠B ＝∠D ，∴∠BCO ＝∠D ；（2）解：∵AB 是⊙O 的直径，且CD ⊥AB 于点E ，∴CE=12 CD，∵CD＝4√2，∴CE=12×4√2=2√2，在Rt△OCE中，OC2＝CE2+OE2，∵OE＝1，∴OC2=(2√2)2+12，解得：OC＝3（负数舍去），∴⊙O的半径为3．21．已知：如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝45°，AC=2√2．求：（1）BC的长；（2）S△ABC．解：（1）过点A作AD⊥BC于点D，∵∠C＝45°，∴△ADC为等腰直角三角形，∴AD＝CD，由勾股定理得AD2+CD2＝AC2，即2CD2=(2√2)2=8，∴CD＝AD＝2，在Rt△ADB中，∠B＝30°，∴AB＝2AD＝4，由勾股定理得BD=√AB2−AD2=√42−22=2√3，∴BC=BD+CD=2√3+2；（2）由（1）得，AD⊥BC，AD＝2，BC=2√3+2，∴S△ABC=12BC⋅AD=12×(2√3+2)×2=2√3+2．22．如图，在Rt △ABC 中，∠CAB ＝90°，sin C =35，AC ＝8，BD 平分∠CBA 交AC 边于点D ．求：（1）线段AB 的长；（2）tan ∠DBA 的值．解：（1）∵在Rt △ABC 中，∠CAB ＝90°，∴sin C =AB BC =35，BC 2﹣AB 2＝AC 2， ∴可设AB ＝3k ，则BC ＝5k ，∵AC ＝8，∴（5k ）2﹣（3k ）2＝82，∴k ＝2（负值舍去），∴AB ＝3×2＝6；（2）过D 点作DE ⊥BC 于E ，设AD ＝x ，则CD ＝8﹣x ．∵BD 平分∠CBA 交AC 边于点D ，∠CAB ＝90°，∴DE ＝AD ＝x ．在Rt △BDE 与Rt △BDA 中，{BD =BD DE =DA， ∴Rt △BDE ≌Rt △BDA （HL ），∴BE＝BA＝6，∴CE＝BC﹣BE＝5×2﹣6＝4．在Rt△CDE中，∵∠CED＝90°，∴DE2+CE2＝CD2，∴x2+42＝（8﹣x）2，解得x＝3，∴AD＝3，∴tan∠DBA=ADAB=36=12．23．定都阁位于门头沟潭柘寺镇的定都峰上，与通州大运河遥相呼应，形成“东有大运河，西有定都阁”的一道新景观．为测得定都阁的高度，某校数学社团登上定都峰开展实践活动．他们利用无人机在点P 处测得定都阁顶端A的俯角α为45°，定都阁底端B的俯角β为60°，此时无人机到地面的垂直距离PC为46√3米，求定都阁的高AB．（结果保留根号）解：如图：延长BA交PD于点E，由题意得：∠BEP＝90°，EB＝PC＝46√3米，∠EP A＝45°，∠EPB＝60°，在Rt △EBP 中，EP =EB tan60°=46√33=46（米）， 在Rt △EAP 中，AE ＝EP •tan45°＝46×1＝46（米），∴AB ＝EB ﹣AE ＝（46√3−46）米，∴定都阁的高AB 为（46√3−46）米．24．工厂对某种新型材料进行加工，首先要将其加温，使这种材料保持在一定温度范围内方可加工，如图是在这种材料的加工过程中，该材料的温度y （℃）时间x （min ）变化的函数图象，已知该材料，初始温度为15℃，在温度上升阶段，y 与x 成一次函数关系，在第5分钟温度达到60℃后停止加温，在温度下降阶段，y 与x 成反比例关系．（1）写出该材料温度上升和下降阶段，y 与x 的函数关系式：①上升阶段：当0≤x ≤5时，y ＝ 9x +15 ；②下降阶段：当x ＞5时，y =300x． （2）根据工艺要求，当材料的温度不低于30℃，可以进行产品加工，请问在图中所示的温度变化过程中，可以进行加工多长时间？解：（1）①上升阶段：当0≤x ＜5时，为一次函数，设一次函数表达式为y ＝kx +b ，由于一次函数图象过点（0，15），（5，60），所以{b =155k +b =60， 解得：{b =15k =9， 所以y ＝9x +15，②下降阶段：当x ≥5时，为反比例函数，设函数关系式为：y =m x ， 由于图象过点（5，60），所以m ＝300．则y =300x ；故答案为：9x +15；=300x（2）当0≤x ＜5时，y ＝9x +15＝30，得x =53，因为y 随x 的增大而增大，所以x ＞53，当x ≥5时，y =300x =30，得x ＝10，因为y 随x 的增大而减小，所以x ＜10，10−53=253， 答：可加工253min ．25．在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数y =k x (k ≠0)的图象经过点（﹣1，3）．（1）求这个反比例函数的解析式；（2）当x ＜﹣1时，对于x 的每一个值，函数y ＝﹣x +n 的值大于反比例函数y =k x (k ≠0)的值，直接写出n 的取值范围．解：（1）∵反比例函数y =k x (k ≠0)的图象经过点（﹣1，3），∴k ＝﹣1×3＝﹣3，∴这个反比例函数的解析式为y =−3x ；（2）把点（﹣1，3）代入y ＝﹣x +n 得，3＝1+n ，∴n ＝2，当x ＜﹣1时，对于x 的每一个值，函数y ＝﹣x +n 的值大于反比例函数y =k x (k ≠0)的值，则n 的取值范围是n ≥2．26．在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=kx（k≠0）的图象过点A（2，3）．（1）求k的值；（2）过点P（m，0）（m≠0）作x轴的垂线，分别交反比例函数y=kx（k≠0），y=−4x的图象于点M，N．①当m＝﹣2时，求MN的长；②若MN≥5，直接写出m的取值范围．解：（1）∵反比例函数y=kx（k≠0）的图象过点A（2，3），∴k＝2×3＝6；（2）①当m＝﹣2时，则P（﹣2，0），把x＝﹣2代入y=6x得，y＝﹣3，∴M（﹣2，﹣3），把x＝﹣2代入y=−4x得，y＝2，∴N（﹣2，2），∴MN＝2﹣（﹣3）＝5；②若MN≥5，m的取值范围是﹣2≤m＜0或0＜m≤2．27．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为AC延长线上一点，连接BD，将线段BD绕点D逆时针旋转90°得到线段DE，过点E作EF⊥AC于点F，连接AE．（1）依题意补全图形；（2）比较AF与CD的大小，并证明；（3）连接BE，G为BE的中点，连接CG，用等式表示线段CD，CG，BC之间的数量关系，并证明．解：（1）依题意补全图形如图1；（2）AF＝CD，证明如下：∵EF⊥AC，∴∠EFD＝90°，∴∠DEF+∠EDF＝90°，由旋转的性质得：DE＝DB，∠BDE＝90°，即∠BDC+∠EDF＝90°，∴∠DEF＝∠BDC，∵∠ACB ＝90°，∴∠DCB ＝90°，在△EFD 和△DCB 中，{∠EFD =∠DCB =90°∠DEF =∠BDCDE =BD ，∴△EFD ≌△DCB （AAS ），∴DF ＝BC ，∵AC ＝BC ，∴AC ＝DF ，∴AC ﹣CF ＝DF ﹣CF ，即AF ＝CD ；（3）CD +√2CG ＝BC ，证明如下：如图2，连接FG 、DG ，由旋转的性质得：DE ＝DB ，∠BDE ＝90°，∴△BDE 是等腰直角三角形，∴∠DEB ＝∠DBE ＝45°，∵G 为BE 的中点，∴DG =12BE ＝EG ，DG ⊥BE ，∠BDG =12∠BDE ＝45°，∴∠DGE ＝90°，∠DEB ＝∠BDG ，由（2）可知，△EFD ≌△DCB ，∴EF ＝DC ，∠DEF ＝∠BDC ，∴∠DEF ﹣∠DEB ＝∠BDC ﹣∠BDG ，即∠FEG ＝∠CDG ，在△EFG 和△DCG 中，{EF =DC∠FEG =∠CDG EG =DG，∴△EFG ≌△DCG （SAS ），∴FG ＝CG ，∠EGF ＝∠DGC ，∴∠EGF +∠CGE ＝∠DGC +∠CGE ＝∠DGE ＝90°，∴△CFG 是等腰直角三角形，∴CF =√2CG ，∵CD +CF ＝DF ，DF ＝BC ，∴CD +√2CG ＝BC ．28．已知点M 和图形W ，Q 为图形W 上一点，若存在点P ，使得点M 为线段PQ 的中点（P ，Q 不重合），则称点P 为图形W 关于点M 的倍点．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A （﹣1，1），B （﹣1，﹣1），C （1，﹣1），D （1，1）．（1）若点M 的坐标为（2，0），则在P 1（3，0），P 2（4，2），P 3（5，1）中，是正方形ABCD 关于点M 的倍点的是 P 1、P 3 ；（2）点N 的坐标为（2，t ），若在直线y ＝x 上存在正方形ABCD 关于点N 的倍点，直接写出t 的取值范围；（3）点G 为正方形ABCD 边上一动点，直线y ＝x +b 与x 轴交于点E ，与y 轴交于点F ，若线段EF 上的所有点均可成为正方形ABCD 关于点G 的倍点，直接写出b 的取值范围．解：（1）设Q （x ，y ）是正方形ABCD 上一点，则有，{x+32=2y+02=0，解得：{x =1y =0， ∵（1，0）在正方形ABCD 上，∴P 1是正方形ABCD 关于点M 的倍点；同理可得：P 2不满足条件，P 3满足条件，∴正方形ABCD 关于点M 的倍点为P 1，P 3，故答案为：P 1，P 3；（2）设直线y ＝x 上存在的点的坐标为（a ，b ），正方形上的点的坐标为（x ，y ），则{x+a 2=2b+y 2=t ，解得：{a =4−x b =2t −y ， ∵点（a ，b ）在直线y ＝x 上，则a ＝b ，∴y ﹣x ＝2t ﹣4，∵﹣2≤y ﹣x ≤2，即﹣2≤2t ﹣4≤2，解得：1≤t ≤3；（3）如图，当线段EF 在图中，黑色区域时，满足条件此时2≤b ≤3或﹣3≤b ≤﹣2．。

北京市东城区北京二中教育集团2023-2024学年八年级下学期期末数学试题一、单选题1x 的取值范围是（ ） A ．0x ≥B ．2x ≥-C ．2x ≥D ．2x ≤-2．下列运算中错误的是（ ）A =BC D ．2(3=3．已知点(),k b 为第一象限内的点，则一次函数y kx b =+的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．4．下列条件中，不能判断ABC V 是直角三角形的是（ ）． A ．222AB BC AC += B ．::3:4:5A B C ∠∠∠=C ．A B C ∠∠=∠+D ．1,AB BC AC =5．某商店销售5种领口大小分别为38，39，40，41，42（单位：cm ）的衬衫，一个月内的销量如下表：你认为商店最感兴趣的是这组数据的（ ） A ．平均数B ．中位数C ．众数D ．方差6．如图，一根木棍斜靠在与地面()OM 垂直的墙()ON 上，设木棍中点为P ，若木棍A 端沿墙下滑，且B 端沿地面向右滑行．在此滑动过程中，点P 到点O 的距离（ ）A．变小B．不变C．变大D．无法判断7．下列命题正确的是（）A．一组对边平行的四边形是平行四边形B．对角线相等的四边形是矩形C．有一组邻边相等的四边形是菱形D．有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形8．某公司新产品上市30天全部售完．图1表示产品的市场日销售量与上市时间之间的关系，图2表示单件产品的销售利润与上市时间之间的关系，下列四个结论中错误的是（）A．第30天该产品的市场日销售量最大B．第20天至30天该产品的单件产品的销售利润最大C．第20天该产品的日销售总利润最大D．第20天至30天该产品的日销售总利润逐日增多二、填空题9．10．如图，直线y kx b =+分别交坐标轴于(5,0)-，(0,3)两点，则关于x 的不等式0kx b +>的解集是．11．如图是一张直角三角形的纸片，两直角边6cm AC =，8cm BC =，现将ABC V 折叠，使点B 与点A 重合，折痕为DE ，则CD 的长为．12．如图，ABC V 中，点D ，E 分别是边AB ，AC 的中点，ABC ∠的角平分线交DE 于点F ，8AB =，12BC =，则EF 的长为．13．在平面直角坐标系xOy 中，将直线1:l y x m =-+向左平移1个单位长度，得到直线2:1l y x =-+，则m =．14．甲、乙两名射击爱好者5次射击测试成绩（单位：环）的统计图如图所示．记甲、乙两人这5次测试成绩数据的平均数分别为x 甲，x 乙，方差分别为2s 甲，2s 乙，则x 甲x 乙，2s 甲2s 乙（填“﹥”，“﹤”或“=”）．15．如图，在平面直角坐标系xOy 中，若直线y x b =+与直线24y x =-+的交点在第一象限，则b 的取值范围是．16．如图，在矩形ABCD 中，2AB =，60BAC ∠=︒，则对角线AC =，点P 是AC 上的动点，连接PD ，则12PA PD +的最小值是．三、解答题17．计算：．18．计算：1|415-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭19．已知2a =2b =22a ab b -+的值．20．如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数的图象经过点()1,6A -，()1,2B ，且与x 轴交于点C ．(1)求这个一次函数的解析式； (2)连接OA ，求AOC V 的面积．21．如图，E 、F 是平行四边形ABCD 的对角线BD 上的点，若BE DF =，求证：AE CF =．22．据研究，高空抛物下落的时间t （单位：s ）和高度h （单位：m ）近似满足公式t =（不考虑风速的影响）．(1)求从45m 高空抛物到落地时间；(2)已知高空坠物动能W （单位：J ）10=⨯物体质量（单位：kg ）⨯高度（单位：m ），某质量为0.1kg 的玩具被抛出后经过4s 后落在地上，这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人吗？请说明理由（注：伤害无防护人体只需要65J 的动能）．23．如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，过点B 作BE AC ∥，过点C 作CE DB ∥，BE 与CE 相交于点E ．(1)求证：四边形BECO 是矩形；(2)连接DE ，若3AB =，4AC =，求DE 的长．24．在平面直角坐标系xOy 中，一次函数()0y kx b k =+≠的图象由函数12y x =的图象平移得到，且经过点()2,0-． (1)求这个一次函数的解析式；(2)当2x <时，对于x 的每一个值，一次函数()10y nx n =-≠的值小于一次函数()0y kx b k =+≠的值，直接写出n 的取值范围．25．某校举办中华传统文化知识大赛，该校七年级共240名学生和八年级共260名学生都参加了比赛．为了解答题情况，进行了抽样调查，从这两个年级各随机抽取20名学生，获取了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a ．七、八两个年级学生成绩的频数分布直方图如下（数据分成4组：6070x ≤<，7080x ≤<，8090x ≤<，90100x ≤≤）：b ．七年级学生的成绩在8090x ≤<这一组的是： 80 82 84 85 86 87 87 87 87 87 89c ．七、八年级成绩的平均数、中位数、众数如下：根据以上信息，回答下列问题： (1)写出表中m ，n 的值；(2)估计七、八两个年级成绩在90100x ≤≤的人数一共为______；(3)把七年级抽取的20名学生的成绩由高到低排列，记排名第5的学生的成绩为1p ，把八年级抽取的20名学生的成绩由高到低排列，记排名第5的学生的成绩为2p ，比较1p ，2p 的大小，并说明理由．26．学习“一次函数”时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质，并积累了一些经验和方法．请运用积累的经验和方法，对函数1y =的图像与性质进行探究，并解决相关问题． (1)列表：表格中：m =__________；(2)在乎面直角坐标系中画出该函数图象；(3)观察图象：①方程10=有__________个解； ②当25x <<时，y 的取值范围是__________；(4)进一步研究：若点()11,M x y ，()22,N x y 是函数1y =图像上任意两点，若对于112x <<，223x <<，都有12y y <，则t 的取值范围是__________．27．如图，在正方形ABCD 中，点P 在边AD 上，连接CP ，过点D 作DE CP ⊥于点E ，延长ED 至点F ，使EF EC =，连接BF ，CF ．(1)依题意补全图形；(2)EFC ∠的度数为__________；(3)用等式表示线段BF ，DF ，EF 之间的数量关系，并证明．28．在平面直角坐标系xOy 中，对于点A 和线段MN ，如果点A ，O ，M ，N 按逆时针方向排列构成菱形AOMN ，则称线段MN 是点A 的“菱线段”，点M 是点A 的“菱点”．例如，图1中线段MN 是点A 的“菱线段”．(1)如图2，已知点A 的坐标是()0,2．①点()11,1M -，)2M ，()32,0M ，()42,1M -，其中点A 的“菱点”有__________；②若线段MN 是点A 的“菱线段”，且菱形AOMN 的面积是2，求点N 的坐标；(2)记OA t =，若线段MN 与线段M N ''都是点A 的“菱线段”，且线段MN 与线段M N ''都经过点()2,0，直接写出t 的取值范围．。

北京市东城区（南片）-下学期八年级期末考试数学试卷一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的。

1. 用配方法解方程2470x x --=时，原方程应变形为 A. 2(2)11x -= B. 2(2)11x += C. 2(4)23x -=D. 2(4)23x +=2. 下列各曲线中，不．表示y 是x 的函数的是A B C D 3. 对于函数21y x =-，当自变量 2.5x =时，对应的函数值是A. 2B. 2-C. 2±D. 44. 在社会实践活动中，某小组对甲、乙、丙、丁四个地区三到六月的黄瓜价格进行调查。

四个地区四个月黄瓜价格的平均数均为 3.60元，方差分别为218.1S =甲，217.2S =乙，220.1S =丙，212.8S =丁。

三到六月份黄瓜的价格最稳定的地区是A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁5. 关于x 的方程230x x c -+=有实数根，则整数c 的最大值为 A. 3B. 2C. 1D. 06. 如图1，在矩形ABCD 中，有以下结论：①△AOB 是等腰三角形；②ABO ADO S S ∆∆=；③AC BD =；④AC BD ⊥；⑤当∠45ABD =︒时，矩形ABCD 会变成正方形。

正确结论的个数是A. 2B. 3C. 4D. 57. 一次函数(1)5y m x m =-+-的图象经过二、三、四象限，则实数m 的取值范围是 A. 15m <<B. 5m >C. 15m m <>或D. 1m <8. 如图2，在四边形ABCD 中，∠A=∠C=90°，且BD 平分∠ABC ，BD=3，BC=2，AD 的长度为A. 1B. 5C. 13D. 59. 依次连接四边形ABCD 的四边中点得到的图形是正方形，则四边形ABCD 的对角线需满足 A. AC BD =B. AC BD ⊥C. AC BD =且AC BD ⊥D. AC BD ⊥且AC 与BD 互相平分10. 如图3，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B =60°，AB =AD =BO =4cm ，OC =8cm ，点M 从点B 出发，按B →A →D →C 的方向，沿四边形BADC 的边以1cm/s 的速度作匀速运动，运动到点C 即停止。

一、选择题（每题4分，共40分）1. 下列选项中，绝对值最小的是（）A. -3B. 2C. 0D. -52. 已知方程x² - 5x + 6 = 0，则x的值为（）A. 2B. 3C. 2和3D. 1和43. 在等腰三角形ABC中，AB=AC，若∠BAC=50°，则∠ABC的度数为（）A. 50°B. 40°C. 60°D. 70°4. 下列函数中，y是x的一次函数的是（）A. y = x² - 3x + 2B. y = 2x³ + 4x² - 3C. y = 3x - 5D. y = 2x + 5x²5. 在平面直角坐标系中，点P（-2，3）关于原点的对称点是（）A.（2，-3）B.（-2，-3）C.（-2，3）D.（2，3）6. 下列分数中，最简分数是（）A. 6/8B. 12/16C. 3/4D. 15/207. 若a、b、c是等差数列，且a+b+c=18，a+c=12，则b的值为（）A. 6B. 9C. 12D. 158. 在直角坐标系中，直线y=2x+1与x轴的交点坐标是（）A.（0，1）B.（1，0）C.（-1，0）D.（0，-1）9. 下列等式中，正确的是（）A. 2a + 3b = 5a + 2bB. 3a - 2b = 2a - 3bC. a + b = b + aD. a - b = b - a10. 下列图形中，是圆的是（）A. 正方形B. 等腰三角形C. 等边三角形D. 半圆二、填空题（每题4分，共40分）11. 若x² - 6x + 9 = 0，则x的值为________。

12. 在等腰三角形ABC中，若AB=AC，∠BAC=60°，则∠ABC的度数为________。

13. 函数y=3x+2中，k的值为________，b的值为________。

14. 分数3/4的分子和分母同时乘以2后，得到的分数为________。

一、选择题（每题4分，共40分）1. 下列各数中，是正数的是（）A. -3.5B. -2C. 0D. 1.52. 下列各数中，是整数的是（）A. 3.14B. -0.25C. 5D. -2.53. 已知a=-3，那么a的相反数是（）A. -3B. 3C. 0D. -a4. 下列各数中，是偶数的是（）A. 2B. 3C. 5D. 65. 下列各数中，是质数的是（）A. 4B. 6C. 8D. 116. 下列各数中，是互质数的是（）A. 8和9B. 6和8C. 7和9D. 4和67. 下列各数中，是平方数的是（）A. 4B. 5C. 6D. 78. 下列各数中，是立方数的是（）A. 8B. 27C. 64D. 1009. 已知一个数的平方是25，那么这个数是（）A. 5B. -5C. 5或-5D. 2510. 下列各数中，是等差数列的是（）A. 1, 3, 5, 7, 9B. 2, 4, 6, 8, 10C. 3, 6, 9, 12, 15D. 4, 8, 12, 16, 20二、填空题（每题4分，共40分）11. 5的倒数是__________，0没有__________。

12. 2的平方是__________，3的立方是__________。

13. 下列各数中，是负数的是__________，是正数的是__________。

14. 下列各数中，是偶数的是__________，是奇数的是__________。

15. 下列各数中，是质数的是__________，是合数的是__________。

16. 下列各数中，是互质数的是__________，是倍数关系的是__________。

17. 下列各数中，是平方数的是__________，是立方数的是__________。

18. 下列各数中，是等差数列的是__________，是等比数列的是__________。

三、解答题（每题10分，共40分）19. 简化下列各式：（1）3a - 2b + 4a - b（2）5x^2 - 2x^2 + 3x^2 - 4x20. 求下列各式的值：（1）a = -2，求3a - 2的值。

2023-2024学年北京市东城区八年级（下）期末数学试卷一、选择题（本题共30分，每小题3分）1．（3分）（）2化简结果正确的是（）A．﹣3B．3C．±3D．92．（3分）下列式子中，属于最简二次根式的是（）A．B．C．D．3．（3分）某运动品牌专营店店主对上一周新进的某款T恤衫销售情况统计如下：尺码39404142434445平均每天销售数量/件1023303528218该店主决定本周进货时，增加一些42码的T恤衫，影响该店主决策的统计量是（）A．中位数B．平均数C．方差D．众数4．（3分）以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（）A．2，3，4B．，，C．5，6，7D．5，12，135．（3分）下列命题中正确的是（）A．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．对角线相等的四边形是矩形D．一组对边平行的四边形是平行四边形6．（3分）一次函数y＝3x+2的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限7．（3分）如图，一根长20cm的吸管置于底面直径为9cm，高为12cm的杯子中，则吸管露在杯子外面的长度不可能是（）A．5cm B．7cm C．8cm D．10cm8．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝4，OH＝2，则菱形ABCD的面积为（）A．8B．16C．24D．329．（3分）如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，点E，F分别是BC，AD的中点，AB＝CD，∠ABD＝30°，∠BDC＝80°，则∠EFP的度数是（）A．15°B．25°C．30°D．35°10．（3分）下面的四个问题中都有两个变量：①正方形的面积y与边长x；②等腰三角形周长为20，底边长y与腰长x；③汽车从A地匀速行驶到B地，汽车行驶的路程y与行驶时间x；④用长度为10的绳子围成一个矩形，矩形的面积y与一边长x．其中，变量y与变量x之间的函数关系可以用形如y＝kx+b（其中k，b是常数，k≠0）的式子表示的是（）A．①②B．①③C．②③D．②④二、填空题（本题共16分，每小题2分）11．（2分）已知正比例函数y＝kx的图象经过第二，四象限，请写出一个符合条件的函数表达式．12．（2分）使得二次根式在实数范围内有意义的x的取值范围是．13．（2分）如图，数轴上点A表示的数为3，AB⊥OA，AB＝2，以原点O为圆心，OB为半径作弧，与数轴交于一点C，则点C表示的数为．14．（2分）一次函数y＝kx+b（k≠0）中两个变量x，y的部分对应值如下表所示：x…﹣4﹣3﹣2﹣10…y…97531…那么关于x的不等式kx+b≥7的解集是．15．（2分）某招聘考试分笔试和面试两部分，按笔试成绩占80%，面试成绩占20%计算应聘者的总成绩．小明笔试成绩为80分，面试成绩为85分，那么小明的总成绩为分．16．（2分）我国汉代数学家赵爽为《周髀算经》一书作序时介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”．如图，四个全等的直角三角形拼成大正方形ABCD，中空的部分是小正方形EFGH，连接CE．若正方形ABCD的面积为5，EF＝BG，则CE的长为．17．（2分）如图，在矩形ABCD中，E为AB上一点，将矩形的一角沿CE向上折叠，点B的对应点F恰好落在边AD上．若△AEF的周长为12，△CDF的周长为24，则AF的长为．18．（2分）碳﹣14是碳元素的一种同位素，具有放射性．活体生物其体内的碳﹣14含量大致不变，当生物死亡后，机体内的碳﹣14含量会按确定的比例衰减（如图所示），机体内原有的碳﹣14含量衰减为原来的一半所用的时间称为“半衰期”．考古学者通常可以根据碳﹣14的衰变程度计算出样品的大概年代．以下几种说法中，正确的有：．①碳﹣14的半衰期为5730年；②碳﹣14的含量逐渐减少，减少的速度开始较快，后来较慢；③经过六个“半衰期”后，碳﹣14的含量不足死亡前的百分之一；④若某遗址一生物标本2023年出土时，碳﹣14的剩余量所占百分比为80%，则可推断该生物标本大致属于我国的春秋时期（公元前770年﹣公元前475年）．三、解答题（本题共54分，第19题4分，第20-24题每小题4分，第25题6分，第26题5分，第27-28题，每小题4分）19．（4分）计算：．20．（5分）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC．求作：以AC为对角线的矩形ADCE．作法：①以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点M，N；分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在∠BAC的内部相交于点P，作射线AP与BC交于点D；②以点A为圆心，CD的长为半径画弧；再以点C为圆心，AD的长为半径画弧，两弧在AC的右侧交于点E；③连接AE，CE．（1）根据以上作法，使用直尺和圆规补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成以下证明．证明：∵AE＝CD，CE＝AD，∴四边形ADCE为平行四边形（）．（填推理的依据）由作图可知，AD平分∠BAC，又∵AB＝AC，∴AD⊥BC（）．（填推理的依据）∴∠ADC＝90°．∴平行四边形ADCE是矩形（）．（填推理的依据）21．（5分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F分别是OA、OC的中点，求证：BE＝DF．22．（5分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b的图象由函数y＝2x﹣2的图象平移得到，且经过点A（1，4）．（1）求这个一次函数的解析式；（2）一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点B，求△AOB的面积．23．（5分）数学兴趣小组的同学想要自制弹簧测力计，为此他们需要了解弹簧在弹性限度内的弹簧长度与拉力的关系，再根据实验数据制作弹簧测力计．经过实验测量，他们得到了6组拉力x（N）与弹簧长度y（cm）之间的数据，如表所示：弹簧受到的拉力x（单位：N）0510152025弹簧的长度y（单位：cm）6810121416（1）在平面直角坐标系中，描出以上述试验所得数据为坐标的各点并顺次连线；（2）结合表中数据，求出弹簧长度y关于弹簧受到的拉力x的函数表达式；（3）若弹簧的长度为30cm，求此时弹簧受到的拉力x的值．24．（5分）某校舞蹈队共有12名学生，测量并获取了所有学生的身高（单位：cm），数据整理如下：a.12名学生的身高：160，164，164，165，166，167，167，167，168，168，169，171，b.12名学生的身高的平均数、中位数、众数：平均数中位数众数166.3m n（1）写出表中m，n的值；（2）现将12名学生分成如下甲乙两组．对于不同组的学生，如果一组学生的身高的方差越小，则认为该组舞台呈现效果越好．据此推断：在下列两组学生中，舞台呈现效果更好的是（填“甲组”或“乙组”）；甲组学生的身高165167167168168171乙组学生的身高160164164166167169（3）该舞蹈队要选六名学生参加艺术节比赛，已经确定甲组四名参赛的学生的身高分别为165，167，168，168．在乙组选择另外两名参赛学生时，要求所选的两名学生与已确定的四名学生所组成的参赛队身高的方差最小，则乙组选出的另外两名学生的身高分别为和．25．（6分）如图，矩形ABCD中，点E为边AB上任意一点，连接CE，点F为CE的中点，过点F作MN ⊥CE，MN与AB、CD分别相交于点M、N，连接CM、EN．（1）求证：四边形CNEM为菱形；（2）若AB＝10，AD＝4，当AE＝2时，求EM的长．26．（5分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b的图象经过点（﹣1，0），（1，2）．（1）求这个一次函数的解析式；（2）当x＞﹣3时，对于x的每一个值，函数y＝mx﹣1（m≠0）的值小于函数y＝kx+b的值，直接写出m的取值范围．27．（7分）如图，正方形ABCD中，点M在BC延长线上，点P是BM的中点，连接AP，在射线BC上方作PQ⊥AP，且PQ＝AP．连接MD，MQ．（1）补全图形；（2）用等式表示MD与MQ的数量关系并证明；（3）连接CQ，若正方形边长为5，CQ＝6，直接写出线段CM的长．28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，对于线段AB和点Q，给出如下定义：若在直线y＝x上存在点P，使得四边形ABPQ为平行四边形，则称点Q为线段AB的“相随点”．（1）已知，点A（1，3），B（5，3）．①在点Q1（1，5），Q2（﹣1，3），Q3（0，4），Q4（﹣5，0）中，线段AB的“相随点”是；②若点Q为线段AB的“相随点”，连接OQ，BQ，直接写出OQ+BQ的最小值及此时点Q的坐标；（2）已知点A（﹣2，3），点B（2，﹣1），正方形CDEF边长为2，且以点（t，1）为中心，各边与坐标轴垂直或平行，若对于正方形CDEF上的任意一点，都存在线段AB上的两点M，N，使得该点为线段MN的“相随点”，请直接写出t的取值范围．2023-2024学年北京市东城区八年级（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共30分，每小题3分）1．【分析】原式利用二次根式的化简公式化简，计算即可得到结果．【解答】解：原式＝3，故选：B．【点评】此题考查了算术平方根的计算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．2．【分析】根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式进行分析即可．【解答】解：A、＝2，因此不是最简二次根式，故此选项错误；B、是最简二次根式，故此选项正确；C、＝2，因此不是最简二次根式，故此选项错误；D、不是最简二次根式，故此选项错误；故选：B．【点评】此题主要考查了最简二次根式，关键是掌握最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．3．【分析】平均数、中位数、众数是描述一组数据集中程度的统计量；方差、标准差是描述一组数据离散程度的统计量．销量大的尺码就是这组数据的众数．【解答】解：由于众数是数据中出现次数最多的数，故影响该店主决策的统计量是众数．故选：D．【点评】此题主要考查统计量的选择，主要包括加权平均数、中位数、众数、方差，掌握相关统计量的定义是解答本题的关键．4．【分析】求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．【解答】解：A、22+32≠42，不能构成直角三角形，不符合题意；B、（）2+（）2≠（）2，不能构成直角三角形，不符合题意；C、52+62≠72，不能构成直角三角形，不符合题意；D、52+122＝132，能构成直角三角形，符合题意．故选：D．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断是解答此题的关键．5．【分析】根据正方形、菱形、矩形、平行四边形的判定定理判断．【解答】解：A、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，命题正确，符合题意；B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故本选项命题错误，不符合题意；C、对角线相等的平行四边形是矩形，故本选项命题错误，不符合题意；D、一组对边平行的四边形是平行四边形或梯形，故本选项命题错误，不符合题意；故选：A．【点评】本题主要考查命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．6．【分析】一次函数y＝kx+b的图象经过第几象限，取决于k和b．当k＞0，b＞O时，图象过1，2，3象限，据此作答．【解答】解：∵k＝3＞0，b＝2＞0，∴直线y＝3x+2经过一、二、三象限，不经过第四象限．故选：D．【点评】本题考查一次函数的k＞0，b＞0的图象性质．一次函数的图象经过第几象限，取决于x的系数和常数项．7．【分析】根据勾股定理求出h的最短距离，进而可得出结论．【解答】解：如图，当吸管、底面直径、杯子的高恰好构成直角三角形时，h最短，当吸管与底面垂直时，h最大，此时AB＝＝15（cm），故h最短＝20﹣15＝5（cm），h最大＝20﹣12＝8（cm）．故选：D．【点评】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．8．【分析】由Rt△BHD中，点O是BD的中点，根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，OH＝2，则，BD＝4，由菱形对角线的性质可得AC＝8，应用菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，即可得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，∵DH⊥AB，∴∠BHD＝90°，∴BD＝2OH，∵OH＝2，∴BD＝4，∵OA＝4，∴AC＝8，∴菱形ABCD的面积＝AC•BD＝＝16．故选：B．【点评】本题主要考查了菱形的性质和面积及直角三角形的性质，合理利用菱形的性质及直角三角形的性质进行计算是解决本题的关键．9．【分析】根据三角形中位线定理得到PF＝AB，PF∥AB，求得∠DPE＝∠ABD＝30°，同理，PE＝CD，PE∥CD，得到∠DPE＝180°﹣∠BDC＝180°﹣80°＝100°，根据等腰三角形的性质即可得到结论．【解答】解：∵P是对角线BD的中点，点E，F分别是BC，AD的中点，∴PF是△ABD的中位线，∴PF＝AB，PF∥AB，∴∠DPE＝∠ABD＝30°，同理，PE＝CD，PE∥CD，∴∠DPE＝180°﹣∠BDC＝180°﹣80°＝100°，∴∠EPF＝∠EPD+∠DPE＝130°，∵AB＝CD，∴PE＝PF，∴∠EFP＝∠FEP＝×（180°﹣∠EPF）＝×（180°﹣130°）＝25°，故选：B．【点评】本题考查了三角形中位线定理，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握三角形的中位线定理是解题的关键．10．【分析】根据题意列出函数矩形函数解析式，判定即可．【解答】解：①根据题意得，y＝x2，故不符合题意；②根据题意得，y＝20﹣2x，故符合题意；③设汽车从A地匀速行驶到B地的速度为k，y＝kx（k为常量），故符合题意；④根据题意得，y＝x（5﹣x）故不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，正方形的性质，矩形的性质，正确地列出函数解析式是解题的关键．二、填空题（本题共16分，每小题2分）11．【分析】先根据正比例函数y＝kx（k为常数，且k≠0）的图象经过第二、四象限得出k的取值范围，进而可得结论．【解答】解：∵正比例函数y＝kx（k为常数，且k≠0）的图象经过第二、四象限，∴k＜0，∴函数表达式为y＝﹣x．故答案为：y＝﹣x（答案不唯一）．【点评】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，先根据题意得出k的取值范围是解答此题的关键．12．【分析】根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．【解答】解：∵二次根式在实数范围内有意义，∴x﹣2≥0，解得x≥2．故答案为：x≥2．【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．13．【分析】直接利用勾股定理得出OB的长，进而得出答案．【解答】解：由题意可得：OB＝＝＝，故点C表示的数为：，故答案为：．【点评】此题主要考查了实数与数轴，正确得出OB的长是解题关键．14．【分析】直接根据表格中x，y的值即可得出结论．【解答】解：由表格可知，当x＝﹣4时，y＝9；当x＝﹣3时，y＝7，∵﹣4＜﹣3，9＞7，∴关于x的不等式kx+b≥7的解集是x≤﹣3．故答案为：x≤﹣3．【点评】本题考查的是一次函数与一元一次不等式，能直接根据表格中的数据得出不等式的解集是解题的关键．15．【分析】根据加权平均数的计算公式解答即可．【解答】解：∵笔试成绩占80%，面试成绩占20%，∴总成绩是80×80%+85×20%＝81（分），故答案为：81．【点评】本题考查了加权平均数的计算，熟练掌握加权平均数的计算公式是解题的关键．16．【分析】根据SAS证明△EHC≌△DHC得出CE＝CD，再根据正方形的面积公式即可得出结果．【解答】解：∵△AED≌△CBG，∴DE＝BG，∵EF＝BG，∴EF＝DE，又∵四边形EFGH是正方形，∴EH＝EF＝DE，∠EHC＝∠DHC，∴EH＝DH，又HC＝HC，∴△EHC≌△DHC（SAS），∴CE＝CD，又∵正方形ABCD的面积为5，∴CE＝CD＝．故答案为：．【点评】本题主要考查了勾股定理的证明，全等三角形的判定与性质，证明△EHC≌△DHC是解题的关键．17．【分析】由矩形和折叠的性质可知，AB＝CD，AD＝BC＝CF，BE＝EF，再根据三角形周长，求得BC+CD ＝18，DF＝6，然后利用勾股定理，求出CF的长，即可得到答案．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AD＝BC，由折叠的性质可知，BE＝EF，BC＝CF，∵△AEF的周长为12，△CDF的周长为24，∴AE+EF+AF＝AE+BE+AF＝AB+AF＝12，CD+CF+DF＝CD+BC+DF＝24，∴AB+AF+CD+BC+DF＝AB+AD+CD+BC＝36，∴BC+CD＝18，∴DF＝6，CF＝BC＝18﹣CD，在Rt△CDF中，CF2＝CD2+DF2，∴CF2＝（18﹣CF）2+62，解得：CF＝10，∴AD＝BC＝CF＝10，∴AF＝AD﹣DF＝4，故答案为：4．【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，勾股定理，找出线段之间的数量关系是解题关键．18．【分析】根据横轴表示时间，纵轴表示剩余碳﹣14所占百分百可得答案．【解答】解：由图象可知：①碳﹣14的半衰期为5730年，说法正确；②碳﹣14的含量逐渐减少，减少的速度开始较快，后来较慢，说法正确；③经过5个“半衰期”后，碳﹣14的含量大于死亡前的，经过六个“半衰期”后，碳﹣14的含量大于死亡前的百分之一，说法正确；④某遗址一生物标本2023年出土时，碳﹣14的剩余量所占百分比为80%，设生物死亡时间为x年前，则：x＝5730×≈2866，该生物死亡时间大约在公元前2866年，所以原说法错误．所以正确的有①②③．故答案为：①②③．【点评】本题考查了函数的图象以及常量与变量，解题关键是正确理解清楚函数图象的意义．三、解答题（本题共54分，第19题4分，第20-24题每小题4分，第25题6分，第26题5分，第27-28题，每小题4分）19．【分析】根据二次根式的乘法法则和除法法则运算，然后化简二次根式，最后合并同类二次根式即可．【解答】解：原式＝﹣+2＝3﹣+2＝4．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则是解决问题的关键．20．【分析】（1）根据要求作出图形；（2）根据有一个角是90°的平行四边形是矩形证明即可．【解答】（1）解：图形如图所示：（2）证明：∵AE＝CD，CE＝AD，∴四边形ADCE为平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形），由作图可知，AD平分∠BAC，又∵AB＝AC，∴AD⊥BC（三线合一），∴∠ADC＝90°，∴平行四边形ADCE是矩形（有一个角是90°的平行四边形是矩形）．故答案为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，三线合一，有一个角是90°的平行四边形是矩形．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，角平分线的性质，等腰三角形的性质，平行四边形的判定和性质，矩形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．21．【分析】根据平行四边形的性质对角线互相平分得出OA＝OC，OB＝OD，利用中点的意义得出OE＝OF，从而利用平行四边形的判定定理“对角线互相平分的四边形是平行四边形”判定BFDE是平行四边形，从而得出BE＝DF．【解答】证明：连接BF、DE，如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形∴OA＝OC，OB＝OD∵E、F分别是OA、OC的中点∴OE＝OA，OF＝OC∴OE＝OF∴四边形BFDE是平行四边形∴BE＝DF．【点评】本题考查了平行四边形的基本性质和判定定理的运用．性质：①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；③平行四边形的两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分．判定：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．22．【分析】（1）先根据一次函数y＝kx+b的图象由函数y＝2x﹣2的图象平移得到可知k＝2，再由函数图象经过点A（1，4）求出b的值，进而可得出结论；（2）求出B点坐标，利用三角形的面积公式即可得出结论．【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+b的图象由函数y＝2x﹣2的图象平移得到，∴k＝2，∵函数图象经过点A（1，4），∴4＝2×1+b，解得b＝2，∴一次函数的解析式为y＝2x+2；（2）∵一次函数的解析式为y＝2x+2，∴当y＝0时，x＝﹣1，∴B（﹣1，0），∴OB＝1，∵A（1，4），∴△AOB的面积＝×1×4＝2．【点评】本题主要考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的规律是解题的关键．23．【分析】（1）先描点，再连线，即可得出图象；（2）利用待定系数法计算即可；（3）求出当y＝30时，x的值即可．【解答】解：（1）描点、连线如图所示：（2）设弹簧长度y关于弹簧受到的拉力x的函数表达式为y＝kx+b，将（0，6），（5，8）代入函数解析式得，，解得：，故弹簧长度y关于弹簧受到的拉力x的函数表达式为y＝x+6．（3）当y＝30cm，x+6＝30，解得：x＝60，故弹簧的长度为30cm，求此时弹簧受到的拉力x的值为60N．【点评】本题主要考查一次函数的应用，正确求出一次函数解析式是解题的关键．24．【分析】（1）根据中位数和众数的概念，即可解答；（2）根据方差的概念和意义，即方差越大，这组数据的波动越大，离散程度越大，稳定性也越小，即可解答；（3）根据方差的概念和意义，可确定另外两名学生的身高应该在175﹣178，据此可解答．【解答】解：（1）从中可以看出第6个数据和第7个数据分别是167，167，所以这组数据的中位数为m ＝＝167，其中，167出现的次数最多，所以这组数据的众数n＝167；故答案为：167，167；（2）甲组学生的身高分布于165﹣171，乙组学生的身高分布于160﹣169，据此可以看出甲组学生的身高波动比乙组学生的小，稳定性较大，所以舞台呈现效果更好的是甲组；故答案为：甲组；（3）根据题意，为保证方差最小，另外两名学生的身高应该在165cm﹣168cm，从乙组的数据可以知道，在165cm﹣168cm的身高有2个，分别是166、167；故答案为：166、167．【点评】本题考查了平均数、众数、中位数和方差，熟记方差的计算公式以及方差的意义是解题的关键．25．【分析】（1）根据已知证明△EFM≌△CFN，证得EM＝CN，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证得四边形CNEM是平行四边形，然后证明NE＝NC，即可证得结论；（2）AB＝10，AE＝2，则BE＝8，设EM＝MC＝x，则BM＝8﹣x，利用勾股定理求出x即可解答．【解答】（1）证明：矩形ABCD中，AB∥DC，∴∠MEF＝∠NCF，∠EMF＝∠CNF，∵点F为CE的中点，∴EF＝CF，∴△EFM≌△CFN，∴EM＝CN，∴四边形CNEM为平行四边形，∵MN⊥CE于点F，EF＝CF，∴NE＝NC，∴四边形CNEM为菱形；（2）解：∵四边形CNEM是菱形，∴EM＝CM，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝4，∠B＝90°，∵AB＝10，AE＝2，∴BE＝8，设EM＝MC＝x，则BM＝8﹣x，在Rt△BMC中，BM2+BC2＝CM2，即（8﹣x）2+42＝x2，解得x＝5，∴EM的长为5．【点评】本题考查了矩形的性质以及勾股定理，熟记矩形的性质并灵活运用是解题的关键．矩形的性质：①平行四边形的性质矩形都具有；②角：矩形的四个角都是直角；③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对角线相等．26．【分析】（1）用待定系数法可得答案；（2）画出图形，用数形结合思想可得答案．【解答】解：（1）把（﹣1，0），（1，2）代入y＝kx+b得：，解得，∴一次函数的解析式为y＝x+1；（2）函数y＝mx﹣1的图象过定点（0，﹣1），当x＝﹣3时，y＝x+1＝﹣3+1＝﹣2，若函数y＝mx﹣1的图象过（﹣3，﹣2），则﹣2＝﹣3m﹣1，此时m＝；如图：由图可知，当x＞﹣3时，对于x的每一个值，函数y＝mx﹣1（m≠0）的值小于函数y＝kx+b的值，m的取值范围是≤m≤1．【点评】本题考查待定系数法求一次函数解析式和一次函数与一元一次不等式的关系，解题的关键是掌握待定系数法和数形结合思想的应用．27．【分析】（1）依题意补全图形即可；（2）连接QD，过点Q作QH⊥BM于H，QN⊥CD交CD的延长线于N，设AB＝a，CP＝x，则BP＝BC+CP＝a+x，证明四边形QHCN为矩形，再证明△HPQ和△BAP全等得PH＝AB＝a，QH＝BP＝a+x，则CH＝CP+PH＝x+a，由此得矩形QHCN为正方形，则QH＝QN＝CH＝CN＝a+x，∠QHM＝∠N＝∠NQH＝∠90°，MQ＝DQ，∠HQM＝∠NQD，据此可证明△QDH为等腰直角三角形，然后由勾股定理可得出MD与MQ的数量关系；（3）由（2）可知：QH＝CH，∠QHC＝90°，a＝5，则△CHQ为等腰直角三角形，由勾股定理得CH ＝QH＝6，则PH＝a＝5，CP＝HM＝CH﹣PH＝1，据此可得CM的长．【解答】解：（1）依题意补全图形如图1所示：（2），证明如下：过点Q作QH⊥BM于H，QN⊥CD交CD的延长线于N，如图2所示：则∠PHQ＝90°，设AB＝a，CP＝x，则BP＝BC+CP＝a+x，∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝BC＝CD＝DA＝a，∠B＝∠BCD＝90°，∴∠PHQ＝∠B＝∠DCM＝90°，∠BAP+∠BPA＝90°，又∵QH⊥BM，QN⊥CD，∴四边形QHCN为矩形，∵PQ⊥AP，∴∠BPA+∠HPQ＝90°，∴∠HPQ＝∠BAP，在△HPQ和△BAP中，，∴△HPQ≌△BAP（AAS），∴PH＝AB＝a，QH＝BP＝a+x，∵CH＝CP+PH＝x+a，∴CH＝QH，∴矩形QHCN为正方形，∴QH＝QN＝CH＝CN＝a+x，∠QHM＝∠N＝∠NQH＝∠90°，∴ND＝CN﹣CD＝a+x﹣a＝x，∵点P是BM的中点，∴PM＝BP＝a+x，∴HM＝PM﹣PH＝a+x﹣a＝x，∴HM＝ND＝x，在△QHM和△QND中，，∴△HM≌△QND（SAS），∴MQ＝DQ，∠HQM＝∠NQD，∴∠DQM＝∠DQN+∠HQM＝∠DQN+∠NQD＝∠NQH＝∠90°，∴△QDH为等腰直角三角形，由勾股定理得：MD＝MQ；（3）连接CQ如图3所示：∵CQ＝，正方形边长为5，由（2）可知：QH＝CH，∠QHC＝90°，a＝5，∴△CHQ为等腰直角三角形，由勾股定理得：CH＝QH＝CQ＝＝6，∴PH＝a＝5，CP＝HM＝CH﹣PH＝6﹣5＝1，∴CM＝CP+PH+HM＝7．【点评】此题主要考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形，熟练掌握正方形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形是解决问题的关键，正确地添加辅助线，构造全等三角形和正方形是解决问题的难点．28．【分析】（1）①首先求出AB＝5﹣1＝4，然后根据平行四边形的性质得到AB|\PQ，AB＝PQ＝4，然后设P（x，x），然后分别验证求解即可；②首先判断出点Q在直线y＝x+4上运动，连接OQ，BQ，作点O关于直线y＝x+4的对称点0，连接QO′，BO′，得到OQ+BQ＝O'Q+BQ≥BO'，当点O′，Q，B三点共线时，OQ+BQ有最小值，即BO'的长度，然后求出O′（﹣4，4），最后利用勾股定理求解即可，运用待定系数法求得直线O′B的解析式，联立方程组求解即可求得点Q的坐标；（2）首先得出正方形CDEF左上角的顶点坐标为（t﹣1，2），右下角的顶点坐标为（t+1，0），设P（m，m），然后分两种情况讨论，分别根据平行四边形的性质求解即可．【解答】解：（1）①∵点A（l，3），B（5，3）．∴AB＝5﹣1＝4，∵四边形ABPQ为平行四边形，∴AB∥PQ，AB＝PQ＝4，∵点P在直线y＝x上，∴设P（x，x），当Q1（1，5）时，若PQ1∥AB，且PQ1＝AB，∴x﹣1＝4，x＝5，∴x＝5，∴P（5，5）符合题意，∴Q1（1，5）是线段AB的“相随点”；当Q2（﹣1，3）时，若PQ2∥AB，且PQ2＝AB，∴x﹣（﹣1）＝4，x＝3，∴x＝3，∴P（3，3），此时点P，Q和点A，B共线，围不成平行四边形，不符合题意；当Q3（0，4）时，若PQ3∥AB，且PQ3＝AB，∴x﹣0＝4，x＝4，∴x＝4，∴P（4，4）符合题意，∴Q3（0，4）是线段AB的“相随点”；当Q4（﹣5，0）时，若PQ4∥AB，且PQ4＝AB，∴x﹣（﹣5）＝4，x＝0，∴x＝﹣l与x＝0相矛盾，不符合题意；综上所述，线段AB的“相随点”是Q1（1，5），Q3（0，4），故答案为：Q1（1，5），Q3（0，4）；②∵点Q为线段AB的“相随点”，∴四边形ABPQ为平行四边形，∴AB∥PQ，AB＝PQ＝4，∴设P（y，y），Q（x，y），∴y﹣x＝4，∴y＝x+4，∴点Q在直线y＝x+4上运动，如图所示，连接OQ，BQ，作点O关于直线y＝x+4的对称点O′，连接QO′，BO'，则QO'＝QO，∴OQ+BQ＝O'Q+BQ≥BO'，∴当点O′，Q，B三点共线时，OQ+BQ有最小值，即BO′的长度，∵点O和点O′关于直线y＝x+4对称，∴O′（﹣4，4），∵B（5，3），∴O′B＝＝，∴OQ+BQ的最小值为，设直线O′B的解析式为y＝kx+b，则，解得：，∴直线O′B的解析式为y＝﹣x+，联立得：，解得：，∴此时点Q的坐标为（﹣，）；（2）对于线段AB上的M，N，使得四边形MNPQ为平行四边形，。