高中数学人教必修一(1-2单元复习 函数及其表示)课件

探究2:区间可以表示数集,数集是否一定可以用区间表示? 提示:区间可以表示数集,但只能表示一些连续的实数集的子集, 一些孤立的数构成的集合不一定可以用区间表示,如集合 {1,2,3}不能用区间表示.
探究3:区间是不是一个集合?区间与区间之间可不可以用集合
的运算符号连接?
提示:区间就是一个集合;区间与区间之间可以用集合的运算符
.
【解题指南】1.含“或”“且”的集合用区间表示时,注意用 集合的并或交表示. 2.根据区间的定义表示所给集合,注意区间的开、闭. 3.根据区间的右端点值大于左端点值求解.
【自主解答】1.选C.集合{x|x<-2或x≥0}可表示为:
(-≦,-2)∪[0,+≦).
2.(1){x|x≥2}=[2,+≦).(2){x|-2<x≤6}=(-2,6]. 答案:(1)[2,+≦) (2)(-2,6]
.
x2
x2
1 x2
的值域为(0,+≦).
4.已知函数f(x)=2x-3,x∈A的值域为{-1,1,3},则定义域A 为 .
【解析】因为值域为{-1,1,3},即令f(x)分别为-1,1,3,求出相 应的x,则由x组成的集合即为定义域{1,2,3}. 答案:{1,2,3}
5.函数f(x)的定义域为[2,3],则函数f(x+1)的定义域用区间表 示为 .
【变式训练】 下列集合不能用区间的形式表示的个数为( (1)A={0,1,5,10}. (2){x|2<x≤10,x∈N}. )
(3)⌀.
(4){x|x是等边三角形}.
(5){x|x≤0或x≥3}. (6){x|x>1,x∈Q}.
A. 2
B. 3

2.典例(2)中x和 有什么x 关系x? 1
提示:互为倒数关系x .
【解析】(1)方法一(换元法):令 +x1=t(t≥1),
则x=(t-1)2, 所以f(t)=(t-1)2+2 =t2-1,
所以f(x)=x2-1(x≥1).t 12
方法二(配凑法):因为x+2 =( +1)2-1,
所以f( +1)=( +1)2-1. x x 又因为 x+1≥1,所x以f(x)=x2-1(x≥1).
当函数f(g(x))一旦给出,则其对应关系f就已确定并且不可改变,那 么f的“管辖范围”(即g(x)的值域)也就随之确定.因此,我们由 f(g(x))求f(x)时,求得的f(x)的定义域就理应与f(g(x))中的f的 “管辖范围”一致才妥.
1.(变换条件)典例(1)中若将条件“f( ＋1)=x＋2 ”变为
x
x
“f(2x-1)=x2＋x＋1”，则f(x)的解析式是什么？
【解析】设2x-1=t，则x=
所以f(t)=
t＋1， 2
即f(x)= (t＋1)2＋t＋1＋1 t2 ＋t＋7 .
2 2 44
1 x2＋x＋7 .
4
4
2.(变换条件)典例(1)中若将条件“f( ＋1)=x＋2
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1.2.2 函数的表示法 第1课时 函数的表示法
【知识提炼】 函数的表示法
数学表达式 图象
表格
【即时小测】 1.思考下列问题: (1)所有的函数都能用列表法来表示吗? 提示:并不是所有的函数都能用列表法来表示,如函数y=2x+1,x∈R. 因为自变量x∈R不能一一列出,所以不能用列表法来表示. (2)用解析法表示函数是否一定要写出自变量的取值范围? 提示:函数的定义域是函数存在的前提,写函数解析式的时候,一般要写 出函数的定义域.

第二十五页，编辑于星期日：十一点 三十分。
求函数的定义域，关键是依据含自变量 x 的代数式有 意义来列出相应的不等式求解，如开偶次方根，被开方数一定 是非负数．本题中 k2x2＋3kx＋1≠0 应注意二次项系数 k2 的讨 论，不可掉以轻心．
第二十六页，编辑于星期日：十一点 三十分。
单击此处进入 活页限时训练
本题忽视了 k＝0 的讨论，误认为 f(x)＝k2x2＋3kx＋1 一定是二次函数．
第二十四页，编辑于星期日：十一点 三十分。
[正解] 问题转化为：求使 k2x2＋3kx＋1≠0 成立的 k 的值． (1)k＝0 时，y＝－18＝－8，定义域为 R，∴k＝0 符合题意． (2)k≠0 时，k2>0， ∴k2x2＋3kx＋1≠0，即 Δ＝9k2－4k2<0，此时 5k2<0，无解． 综上，k＝0 时函数 y＝k2x22＋kx3－kx8＋1的定义域为 R.
第十一页，编辑于星期日：十一点 三十分。
解 (1)A 中的元素 0 在 B 中没有对应元素，故不是 A 到 B 的函数； (2)对于集合 A 中的任意一个整数 x，按照对应关系 f：x→y＝x2， 在集合 B 中都有唯一一个确定的整数 x2 与其对应，故是集合 A 到 集合 B 的函数； (3)A 中为负数的元素没有平方根，故在 B 中没有对应的元素且 x 不一定为整数，故此对应关系不是 A 到 B 的函数； (4)对于集合 A 中任意一个实数 x，按照对应关系 f：x→y＝0，在 集合 B 中都有唯一一个确定的数 0 与它对应，故是集合 A 到集合 B 的函数．
【变式 3】 若 f(x－1)的定义域是[0,1]，求 f(－x)的定义域． 解 ∵0≤x≤1，∴－1≤x－1≤0， ∴f(x)的定义域是[－1,0]， 又由－1≤－x≤0，得 0≤x≤1， ∴函数 f(－x)的定义域是[0,1]

2.(2014·广州高一检测)设函数f(x)=x3+1,若f(a)=11,则
f(-a)= .
3.图中(1)(2)(3)(4)四个图象各表示两个变量x,y的对应关系,
其中表示y是x的函数关系的有 .
【解题指南】1.根据函数的概念对每一个式子进行判断. 2.利用f(a)=11向f(-a)转化求出. 3.根据垂直于x轴的直线与图象最多有一个交点判断.
(3)结论:f:A→B称为_______________的一个函数. 从集合A到集合B (4)表示:____________. y=f(x),x∈A
(5)相关概念:①自变量__; x ②定义域:__的取值范围A; x ③函数值:与x的值相对应的____; y值 ④值域:函数值的集合____________; {f(x)|x∈A} ⑤函数的三要素:定义域、对应关系和_____.
2
x
x
2
；③y=x.
x
x 答案：②
一、函数的概念 探究1:根据给出的两个对应,回答下面的问题: ①x→y,这里y=
2 ②x→y,这里y2=x,x∈N,y∈R. x
,x≠0,y∈R;
(1)判断当x取某一值时,y是否都有唯一的值与其对应? 提示:①对于任意一个非零实数x, 被唯一确定 ,所以x取某一值 2 时,y都有唯一的值与其对应.
探究1:在函数f:A→B的定义中,函数的定义域是集合A吗?
提示:根据函数的定义,自变量x的取值构成的集合A是函数的定 义域.
探究2:若将函数y=f(x)的定义域改为x∈B(A≠B),所得的函数 与函数y=f(x),x∈A相同吗? 提示:根据构成函数的三要素知,只有定义 域、对应关系、值域相同,函数才是相等函 数,而函数y=f(x),x∈A与函数y=f(x),x∈B 定义域不同,故不是相等函数.

题型三 求函数的定义域 【例3】 求下列函数的定义域：
(1)y＝xx＋ ＋112－ 1－x； (2)y＝ 2x＋5＋x－ 1 1； (3)y＝ x2－1＋ 1－x2； (4)y＝1＋ 1 1x.
解：(1)要使函数有意义，自变量 x 的取值必须满
足x1＋ －1x≠ ≥00 ，即xx≠ ≤－ 1 1 ， 所以函数定义域为{x|x≤1 且 x≠－1}． (2)要使函数有意义，需满足
解析：y＝f(x)与y＝f(t)定义域，对应关系都相同，故①正确；f(x)
＝1，x∈R，而g(x)＝x0，x≠0，故不是同一函数；y＝x，x∈[0,1]，与
＝x2，x∈[0,1]的定义域、值域都相同，但不是同一个函数．
答案：B
3．函数 y＝ x3＋－12x0 的定义域是________．
解析：要使函数有意义， 需满足x3＋ －12≠ x>00 ，即 x<32且 x≠－1. 答案：(－∞，－1)∪－1，32
(3)由x|x＋ |－1x≠≠00 ，得|xx≠ |≠－x 1 ， ∴x<0 且 x≠－1， ∴原函数的定义域为{x|x<0 且 x≠－1}．
误区解密 因求函数定义域忽视对二次项 系数的讨论而出错
【例 4】 已知函数 y＝k2x22＋ kx3－kx8＋1的定义域为 R，求实数 k 的值．
x≠0 1＋1x≠0
，即 xx≠ ＋
0 1≠
0
.
即 x≠0 且 x≠－1，
∴原函数定义域为{x|x≠0 且 x≠－1}．
点评：求函数定义域的原则：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次根 式的被开方数(式)为非负数；(3)零指数幂的底数不等于零等．
3．求下列函数的定义域：
(1)f(x)＝x2－36x＋2；

1．2 函数及其表示
1．2.2 函数的表示法
第2课时 分段函数与映射
目标了然于胸，让讲台见证您的高瞻
研习新知
•新知视界
• 1．分段函数
• 在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的 对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．
• 分段函数定义域是各段定义域的并集，其值域是各段值域的并 集．
• ①映射的三要素：原象、象、对应关系； • ②A中元素不可剩，B中元素可剩；
• ③多对一行，一对多不行； • ④映射具有方向性：f：A→B与f：B→A一般是不同的映射
• 其次，要准确把握映射与函数的关系：
• (1)联系：映射的概念是在函数的现代定义(集合语言定义)基础上 引申、拓展的；函数是一个特殊的映射，反过来，要善于用映射 的语言来叙述函数的问题．
• (2)区别：函数是非空数集A到非空数集B的映射；而对于映射而言， A和B不一定是数集．
编后语
• 常常可见到这样的同学，他们在下课前几分钟就开始看表、收拾课本文具，下课铃一响，就迫不及待地“逃离”教室。实际上，每节课刚下课时的几分 钟是我们对上课内容查漏补缺的好时机。善于学习的同学往往懂得抓好课后的“黄金两分钟”。那么，课后的“黄金时间”可以用来做什么呢？
x－1

－x
x<1
x≥1
＝(
)
A．0
B．1
C．2
D．3
，则f(f
解析：f(1)＝ 1－1＝0， ∴f(f(1))＝f(0)＝0.
答案：A
3．设A＝{0,1,2,4}，B＝ 12，0，1，2，6，8
下列对应关系能构成A到B的映射的是(f：x→(x－1)2
• 一、释疑难 • 对课堂上老师讲到的内容自己想不通卡壳的问题，应该在课堂上标出来，下课时，在老师还未离开教室的时候，要主动请老师讲解清楚。如果老师已

x
2
f
1 x
x 1，求f x.
解:因为f
x
2
f
1 x
x 1，(1)用x替换 1 ，1 xx
替换x，又得f
1 x
2
f
x
1 1，(2) x
将(2)代入(1)消去f
1 x
，得f
x
4
f
x
2
f x 2 x 1 ，又因为x 1， ,
3
3
所以f x 2 x 1， x 1， .
例5 、 画出函数y=|x|的图象.
解：由绝对值的概念，我们有
y=
图象如下：
x, x≥0, -x, x<0.
y
5 4 3 2 1
-3 -2 -1 0 1 2 3
x
例6、某市空调公共汽车的票价按下列规则制定： （1）5公里以内(含5公里)，票价2元； （2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元 （不足5公里的按5公里计算）。
2
x 2 x 11
x 1 2 1，
f x x2 1 x 1.
技巧：拆项、添项
三、y f x与y f gx的关系：
4、换元法、配凑法：
已知f g x的解析式，求f u x的解析式.
例5、已知f x 1 x 2 x，求f 2x 3的解析式.
解:f
x 1 x 2 x
(2)对于映射f : A B，我们通常把集合A中的元素叫原象，而 把集合B中与A中的元素相对应的元素叫象.所以，集合A叫原象 集，集合B叫象所在的集合(集合B中可以有些元素不是象).
(3)映射只要求“对于集合A中的任意一个元素x，在集合 B中都有唯一确定的元素y与之对应”，即对于A中的每一 个原象在B中都有象，至于B中的元素在A中是否有原象， 以及有原象时原象是否唯一等问题是不需要考虑的. (4)用映射刻划函数的定义可以这样叙述:设A，B 都是非2 2 x 0

答案
函数的概念：
设A，B是 非空 的 数集，如果按照某种确定的 对应关系 f，使
对于集合A 中的 任意一个数x，在集合 中B 都有 唯一的确数定f(x)和它对
应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作 ， x∈A. 其y中＝，f(xx)叫做 ，x的取值范围A叫自做变函量数的 ；与x的值相对应的y值
{x|a≤x<b} [a，b)
答案
思考2 若集合A＝{x|a<x<2a}＝∅，则实数a的取值范围是__a_≤__0___； 若已知区间(a,2a)，则实数a的取值范围是___a_>_0___．
答案
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题型探究
重点难点 个个击破
类型一 函数的概念 例1 判断下列对应是否为集合A到集合B的函数． (1)A＝R，B＝{x|x＞0}，f：x→y＝|x|；
(1)y1＝ x＋3 ，y2＝x－5； 解 两函数定义域不同，所以不相等；
解析答案
(2)y1＝ x＋1 x－1，y2＝ x＋1x－1. 解 y1＝ x＋1 x－1的定义域为{x|x≥1}， 而 y2＝ x＋1x－1的定义域为{x|x≥1 或 x≤－1}，定义域不同，所以 两函数不相等.
解析答案
类型三 “对应关系f ”的表现形式
叫做定义域 ，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函函数数值的
，值域是
集合B的子集．
值域
答案
思考2 用函数的上述定义可以轻松判断：A＝{0}，B＝{1}，f：0→1， 满足函数定义，其图象(0,1)自然是函数图象．试用新定义判断下列对 应是不是函数？ (1)f：求周长；A＝{三角形}，B＝R； 答案 不是，因为集合A不是数集．
(2) x 1 2 3 ； y321

【题后总结】待定系数法是求函数解析式的常用方法，若 已知函数类型，可用待定系数法求解，若f(x)是一次函数，可设 f(x) ＝ ax ＋ b(a≠0) ， 若 f(x) 是 二 次 函 数 ， 可 设 f(x) ＝ ax2 ＋ bx ＋ c(a≠0)，然后利用题目中的已知条件，列出方程组，进而求出待 定的系数．
【思路点拨】(1)用待定系数法求解析式．(2)求出定义域内 所有自变量的取值及对应的函数值，列出对应值表．(3)函数图 象是20个孤立的点．
解：(1)由题设条件知，当 x＝2 时，t＝100， 当 x＝14 时，t＝28 得方程组21a4＋ a＋b2＝ 1b41＝002， 8. 解此方程组得ab＝ ＝11， 96. 所以 t＝x＋19x6．又因为 x≤20，x 为正整数， 所以函数的定义域是{x|0＜x≤20，x∈N*}．
作函数图象的基本方法是描点法，描点法主要有三步：列 表、描点、连线．
作图象时一般应先确定函数的定义域，在定义域内化简函 数解析式，再列表并画出图象．在画图象的同时注意一些关键 点，如与坐标轴的交点、分段的区间端点、图象的顶点等．
图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托 整个图象．
作出下列函数的图象并求出其值域： (1)y＝2x＋1，x∈[0,2]；(2)y＝2x，x∈[2，＋∞)；(3)y＝x2
4．国内跨省市之间邮寄信函，每封信函的质量和对应邮资 如下表：
信函质量 (m/g)
0＜m≤20
20＜m ≤40
40＜m ≤60
60＜m ≤80
80＜m ≤100
邮资M/元 1．2 2．4 3．6 4．8 6．0
试用另外一种方法表示函数M＝f(m)．
解：由表格可得到函数的简图，从而得到表示函数M＝f(m) 的另一种方法，即图象法．

思考2：时间变量t与恩格尔系数r之间的对应 关系是否为函数？
知识探究（三）
思考1：从集合与对应的观点分析，上述三个 实例中变量之间的关系都可以怎样描述？
对于数集A中的每一个x，按照某种对 应关系f，在数集B中都有唯一确定的y 和它对应，记作f：A→B。
思考2：上述三个实例中变量之间的关系都是函数， 那么从集合与对应的观点分析，函数还可以怎样定 义？
这里的实数a与b都叫做相应区间的端点。
实数集R可以用区间表示为(-∞，+∞)，“∞”读 作“无穷大”。满足x≥ a，x>a ，x ≤b，x<b的 实数的集合分别表示为[a， +∞)、(a，+∞)、(-∞， b]、(-∞，b)。
注意： ①区间是一种表示连续性的数集 ②定义域、值域经常用区间表示 ③实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不 包括在区间内的端点。 试用区间表示下列实数集
• 思考：
• 当a为常数时，f(a)表示的是自变量
x=a时对应的函数值，是一个常数。
• 思考：f(x)与f(x-a)的区别与练习？
它们有同一个对应关系，但施加的对象 不同，一个是x，一个是x-a，若以 x为自 变量，它们是不同的函数.
自变量的取值范围A叫做函数的定义域； 函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域。
设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关 系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都 有唯一确定的数f(x)和它对应，
那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数， 记作 y=f(x)，x∈A。
其中，x叫做自变量，与x值相对应的y值叫做函数值。
解释定义
• ①A,B是非空的数集。 • ②对应关系f • 思考：“按照某种确定的对应关系 ”

换元法或配凑法求解析式
对于形如已知 f[g(x)]的解析式，求 f(x)的解析 式， 可采用配凑法或换元法： 配凑法是将 f[g(x)] 右端的代数式配凑成关于 g(x)的形式，进而求 出 f(x)的解析式； 换元法可令 g(x)＝t， 解出 x， 即用 t 表示 x， 然后代入 f[g(x)]中即可求得 f(t)， 从而求得 f(x)．
根据下列条件，求函数解析式． (1)已知 f(x)为一次函数，且 f[f(x)]＝9x＋4， 求 f(x)； (2)f(x )是二次函数， 且 f(2)＝－3， f(－2)＝－7， f(0)＝－3，求 f(x)．
例1
【 思 路 点 拨 】 → 代入、列方程组 → 得解析式
设出fx的解析式 → 求解待定系数
提示：y 不是 x 的函数，对于一个 x 值，y 的值 不唯一，如 x＝1 时，有 y＝± 1 与之对应，不符 合函数的定义． 2． 平行于 y 轴的直线与函数图象最多有几个交 点？ 提示：最多只有一个．
课堂互动讲练
考点突破 待定系数法求解析式 对于已知函数解析式的形式，先用含有字母 参数的形式设出，再根据其它条件求解待定 字母．
根据条件，求函数解析式． (1)已知 f( x＋1)＝x＋2 x，求 f(x)； 1 (2)f(x )－2f( )＝3x＋பைடு நூலகம்，求 f(x)． x
例2
【思路点拨】 把 x＋1 看作整体，换元 1 或配凑；把 x 与 看作两个变量进行互换． x
【解】 (1)法一：x＋ 2 x＝ ( x)2＋ 2 x ＋ 1 －1＝ ( x＋1)2－ 1， ∴ f( x＋ 1)＝ ( x＋1)2－ 1( x＋1≥1)， 即 f(x)＝ x2－1(x≥1)． 法二：令 t＝ x＋1，则 x＝ (t－1)2(t≥1)，代 入原式有 f(t)＝ (t－ 1)2＋ 2(t－ 1)＝ t2－ 2t＋ 1 ＋2t－ 2＝ t2－1. ∴ f(x)＝ x2－1(x≥1)．

问题情境：某人去上班，由于担心迟到，所以一开始就跑步 前进，等跑累了再走完余下的路程．可以明显地看出，这人 距离单位的距离是关于出发后的时间的函数，想一想，用怎 样的解析式表示这一函数关系呢？为解决这一问题，本节我 们学习分段函数．
研一研·问题探究、课堂更高效
探究点一 函数图象的作法 问题 作函数的图象通常分为哪几步？
答 通常分为三步，即列表、描点、连线．
例 1 画出函数 y＝|x|的图象．
小结 (1)画函数图象时首先要考虑函数的定义域．(2)要标出关键 点，如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等，要分清这些关键 点是实心还是虚心．(3)要掌握常见函数图象的特征．(4)函数图象 既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等．
答 一般地，设 A、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定 的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个元素 x，在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应，那么就称对应 f：A→B 为 从集合 A 到集合 B 的一个映射． 问题 4 函数与映射有怎样的关系？
答 映射是函数的推广，函数是一种特殊的映射．
∴α＝－4 或 α＝2.
练一练·当堂检测、目标达成落实处 2．下列集合 A 到集合 B 的对应中，构成映射的是 ( D )
解析 在 A、B 选项中，由于集合 A 中的元素 2 在集合 B 中 没有对应的元素，故构不成映射，在 C 选项中，集合 A 中的 元素 1 在集合 B 中的对应元素不唯一，故构不成映射，只有 选项 D 符合映射的定义，故选 D.
研一研·问题探究、课堂更高效
分析 2 该函数用列表法怎样表示？
答
里程x(公里) (0,5] (5,10] (10,15] (15,20]
票价y(元) 2

2．分式1x有意义的条件是 x≠0，无理式 x有意 义的条件是 x≥0，x0 有意义的条件是 x≠0.
1．函数的概念
(1)函数的定义 设A，B是非空的_数__集__，如果按照某种确定的对 应关系f，使对于集合A中的_任__意__一__个__数__x_，在集
合B中都有_唯__一__确__定__的__数__f_(x_)__和它对应，那么就 称_f：__A__→__B___为从集合A到集合B的一个函数，记 作_y_＝__f(_x_)_，__x_∈__A. 函数y＝f(x)中，x叫自变量，_x_的__取__值__范__围___叫函 数的定义域，与x的值相对应的y值叫做_函__数__值__， 函数值的集合_{_f(_A_)_|x_∈__A__}_叫做函数的值域．显 然，值域是集合B的_子__集__．
①明确求的量，如本例求的是x的范围，而不是m 的范围； ②明确是对哪个量进行的分类讨论，如本例是对 m进行分类，而不是对x分类； ③如果求的量与分类的量是同一个量，则结果取 并集，如在解|x－1|＋|2x＋1|≤5时，求的是x范围, 也是对x进行分类，因此最后是将各种分类结果取 并集； ④如果求的量与分类的量不是同一个量，如本例, 则最后既不取交集也不取并集． [注意] 分类讨论的问题最后需进行总的概括．
，即
x≤5
x≠2 x≠－1
∴原函数的定义域为(－∞，－1)∪(－1,2)∪
(2,5]
[题后感悟] 定义域的求法： (1)如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数 集R； (2)如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分 母不为0的实数的集合； (3)如果f(x)为偶次根式，那么函数的定义域是 使根号内的式子大于或等于0的实数的集合；
2．区间与无穷的概念 (1)区间定义及表示 设a，b是两个实数，而且a＜b.

THANK YOU
∴ f (x) x2 1(x 1)
例 3.作出下列各函数的图像；
(1)y＝－x＋1，x∈ Z ；
解：(1)定义域为 Z，所以 图像为离散的点， 如图
y
5 4 3 2 1
–3 –2 –1
1 23 4x
–1
–2
(2) y 2x2 4x 3,0 x 3;
解：定义域不是R，因此图 像不是完整的抛物线， 而是抛物线的一部分， –3 –2 –1 如图
(3)已知一次函数 y＝f(x)满足 f(f(x)) ＝9x＋4，求函数 f(x)的解析式；
解：（待定系数法） 设 f(x)＝kx＋b (k≠0)， (或叫消元法) 则，f(f(x))＝k[f(x)]＋b
＝k 2 x＋kb＋b＝9x＋4，
∴
k k
2
b
9 b
4
解的：bk
13或bk
3 2
∴
f (x) 3x 1 f (x) 3x 2
解： 法一:(配凑法) ∵ f (x 1) x2 (x 1)2 2(x 1) 1 ∴ f (x) x2 2x 1
法二:(换元法) 设 x－1＝t ，则 x＝t＋1，
∴ f (t) (t 1)2
∴ f (x) x2 2x 1
练：已知函数 f (x 1) x2 2x, 求 f (x) 的解析式
练：已知二次函数 f (x)满足 f (0) 1, f (1) 2, f (2) 5, 求f (x)的解析式。
(4)已知 2f(x)＋f(－x)＝3x＋2，求f(x)，
解：（解方程组法）由题意得
2 f (x) f (x) 3x 2
2 f (x) f (x) 3(x) 2
把 f(x)和f(－x)看成未知数，×2-

答案:y=kx+b,k≠0
y= ,k≠0
y=ax2+bx+c,a≠0
k x
(2)设出解析式后,如何求解析式? 提示:①可将已知条件代入解析式,列出含待定系数的方程或方 程组;②解方程或方程组,求出待定系数的值; ③将所求待定系数的值代回到原式,即得函数的解析式.
探究2：若函数f(x)满足对任意x≠0有f(x)+ 的x换为 1 是否仍然成立？
求f(x). (2)已知f( +1)=x+2 ，求f(x+1).
2x
x
x
【解题指南】1.观察f(2x)的形式，求出f(x)的解析式. 2.(1)由已知f(x)是二次函数，可设f(x)=ax2+bx+c(a≠0)求出 a,b,c即可. (2)将x+2 适当变形，用含 +1的式子表示，求出f(x)，再 求f(x+1). x
1 2 3 x － x 2. 2 2
(2)因为f( +1)=x+2 =( )2+2 +1－1
x
x
x
x
=( +1)2－1， 又因为 ≥0， +1≥1，所以f(x)=x2－1(x≥1). 由x+1≥1，得x≥0, 所以f(x+1)=(x+1)2-1=x2+2x(x≥0).
x
x
x
【规律总结】求函数解析式的常见类型及解法 (1)已知类型:函数类型已知,一般用待定系数法,但对于二次函数 问题要注意一般式:y=ax2+bx+c(a≠0), 顶点式:y=a(x-h)2+k(a≠0), 两根式:y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)的选择.