第一章第二节第二课时

1.2.2函数的表示方法
课前自主预习
温故知新
1．设A ，B 是非空的 ，如果 按照某种确定的 f ，使对于集合A 的 一个数x ，在集合B 中都有
确定的数f (x )和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数．
2．函数的三要素是 、 、
3．一次函数y ＝ax ＋b (a ≠0)的定义域是 ，值域也是 .二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的定义域是 .当a >0时，值域
为 ；当a <0时，值域是 ．
反比例函数y ＝k
x (k ≠0)定义域是 ，值域是
4．与y ＝|x |相等的函数是( ) A ．y ＝(x )2 B ．y ＝x 2 C ．y ＝⎩
⎨⎧
x (x >0)
－x (x <0)
D ．y ＝3
x 3
5．y ＝2x ＋1，x ∈N *，且2≤x ≤4，则函数的值域是( ) A ．(5,9) B ．[5,9] C ．{5,7,9}
D ．{5,6,7,8,9}
新课引入
某市空调公共汽车的票价按下列规则制定： (1)5千米以内，票价2元；
(2)5千米以上，每增加5千米，票价增加1元(不足5千米的按5千米计算)． 已知两个相邻的公共汽车站间相距约为10千米，如果沿途(包括起点站和终点站)有11个汽车站，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式．
自主预习
1．阅读教材回答下列问题：
(1)表示函数的方法，常用的有、、三种．
(2)把两个变量的函数关系，用一个来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称
(3)列出表格来表示两个变量的函数关系的方法叫
(4)利用函数图象来表示两个变量之间的函数关系的方法叫做
(5)下列都是生活中的实例，判断它们是否表示函数．若是，是怎样表示这种函数关系的？
①一辆汽车以60km/h的速度行驶，其行驶路程S(km)与时间t(h)的关系为
②下表是我国1990～2000年的国内生产总值表.
其中①是用，②是用，③是用表示函数关系的．2．直线x＝a与函数y＝f(x)的图象的交点个数为
；直线y＝b与函数y＝f(x)的图象的交点个数为
思路方法技巧
1.函数的三种表示方法
学法指导：列表法、图象法和解析法是从三个不同的角度刻画自变量与函数值的对应关系，同一个函数可以用不同的方法表示．在应用三种方法表示函数时要注意：
(1)解析法：必须注明函数的定义域；
(2)列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征；
(3)图象法：是否连线．
[例1]某商场新进了10台彩电，每台售价3 000元，试求售出台数x与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来．[分析]函数的定义域是{1,2,3，…，10}，值域是{3 000，6 000,9 000，…，30 000}，可直接列表、画图表示．分析题意得到表达y与x关系的解析式，注意定义域．
(1)如图所示，在边长为4的正方形ABCD边上有一动点M，沿折线BCD由点B向点D移动，设点M移动的路程为x，△ABM的周长为y，求函数y＝f(x)的表达式．
(2)某城市在某一年里各月份毛线的零售量(单位：百公斤)如表所示.
(3)下列图形能否确定y是x的函数？
2.与函数图象有关的问题
学法指导：(1)常见函数图象的特征：
①一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)是一条直线； ②y ＝k
x (k ≠0)是与坐标轴无限接近的双曲线；
③y ＝ax 2
＋bx ＋c (a ≠0)是顶点为(－b 2a ，4ac －b 2
4a )，对称轴为x ＝－b 2a 的抛物线．(2)作函数图象时应注意以下几点：
①在定义域内作图；
②图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象； ③要标出某些关键点，例如图象的顶点、端点与坐标轴的交点等．要分清这些关键点是实心点还是空心点．
[例2] 作出下列函数的图象并求出其值域．
(1) y ＝2x ＋1，x ∈[0,2]；(2)y ＝2
x ，x ∈[2，＋∞)；(3)y ＝x 2＋2x ，x ∈[－2,2]．
[分析] 列表⇒描点⇒用平滑曲线连成图象⇒观察
图象
求得值域.
作出下列函数的图象，并求值域： (1)y ＝1＋x (x ∈Z )x ∈{－2，－1,0,1,2,3}； (2)y ＝x 2－2x (x ∈[0,3))； (3)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧
x 2
－1，0≤x ≤22x －4，2<x ≤3.
[规律总结]
1.函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、
离散的点等．
2．画函数的图象时需注意函数的定义域．
3．一般用描点法画函数的图象，作图时要先找出关键“点”，再连线．4．常见函数图象的画法：(1)对于一次函数的图象，描出与坐标轴的交点，连线即得；(2)对于二次函数的图象，描出与坐标轴的交点、顶点，连续即得；(3)对于分段函数的图象，应在同一坐标系中将各段函数图象分别作出.
3.函数图象的变换
学法指导：函数图象的平移一般分为左右平移和上、下平移，由y＝f(x)的图象向左(a＞0)或向右(a＜0)平移|a|个单位可得到y＝f(x＋a)的图象，而向上(a ＞0)或向下(a＜0)平移|a|个单位可得y＝f(x)＋a的图象．
[例3]函数y＝1
x－2的图象可由y＝
1
x的图象经过怎样的变换得到？
函数y＝x2＋2x的图象上各点向________平移________个单位可以得到y＝x2－1的图象．
探索延拓创新
4.求函数的解析式
学法指导：求解析式这类问题抽象性较强，解题关键在于抓住函数对应法则f的本质．由函数f(x)的含义可知，在函数的定义域和对应法则f不变的条件下，自变量换字母，对函数本身并无影响，利用这一特征便可解决此类相关问题，常用的方法有
(1)代入法：如已知f(x)＝x2－1，求f(x＋x2)；
(2)待定系数法：已知f(x)的函数类型，要求f(x)的解析式时，可根据函数类型设其解析式，从而确定其系数即可．
[例4]已知f(x)是一次函数，且f[f(x)]＝4x＋3，求f(x)．
已知二次函数f(x)的图象过点A(0，－5)，B(5,0)，其对称轴为x＝2，求其解
析式．
[点评] 1.用待定系数法求解析式的步骤为： ①设出所求函数的解析式； ②根据已知条件，列出方程组； ③解方程组，求出待定系数； ④得出结论．
2．求二次函数解析式时，
(1)若已知对称轴或顶点坐标；常设配方式f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)； (2)若已知f (x )过三点，常设一般式f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)；
(3)若已知f (x )与x 轴两交点横坐标为x 1、x 2，常设分解式，f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)．
[例5] (1)已知f (x )＝x 2，求f (2x ＋1)； (2)已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，求f (x )．
(3)设函数f (x )满足f (x )＋2f (1
x )＝x (x ≠0)，求f (x )．
[分析] 我们前面指出，对应法则“f ”实际上是对“x ”计算的一种“程序”或“方法”．因此要把“2x ＋1”及“x ＋1”看成一个整体来求解．
(1)设f (x )＝
x －1x ＋1
，则f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
1x ＝( )
A.1－x 1＋x
B.1
x C ．1 D ．0 (2)设f (1x ＋1)＝1
x 2－1，则f (x )＝________.
(3)若对任意x ∈R ，都有f (x )－2f (－x )＝9x ＋2，则f (x )＝________.
基础巩固训练
1．以下形式中，不能表示“y 是x 的函数”的是( ) A.
B.
C．y＝x2
D．x2＋y2＝1
2．设甲、乙两地的距离为a(a>0)，小王骑自行车匀速从甲地到乙地用了20 min，在乙地休息10min后，他又匀速从乙地返回甲地用了30min，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为()
3．(2012～2013瓮安一中月考试题)函数f(x)与g(x)的对应关系如表
则g[f(－1)]的值为()
A．0 B．3
C．1 D．－1
4．下表表示y是x的函数，则函数的值域是()
C．(0,20] D．{2,3,4,5}
5．一旅社有100间相同的客房，经过一段时间的经营，发现每间客房每天的定价与住房率有如下关系：
A．100元B．90元
C．80元D．60元
5．一旅社有100间相同的客房，经过一段时间的经营，发现每间客房每天的定价与住房率有如下关系：
A．100元B．90元
C．80元D．60元
8．(2012～2013山东潍坊一中高一阶段性测试)求函数解析式：
(1)求一次函数f(x)，使得对每一个x都有f[f(x)]＝9x＋1；(2)已知f(x－2)＝x2－3x＋1求f(x)．。