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行列式的计算技巧和方法总结行列式是线性代数中的重要概念，广泛应用于数学、物理、工程等领域。
正确计算行列式有助于解决线性方程组、特征值等问题。
下面将总结行列式的计算技巧和方法。
一、行列式的定义和性质：行列式是一个数，是由方阵中元素按照一定规律排列所组成的。
设A为n阶方阵，行列式记作det(A)或，A，定义如下：det(A) = ，A， = a11*a22*...*ann - a11*a23*...*a(n-1)n +a12*a23*...*ann-1*n + ... + (-1)^(n-1)*a1n*a2(n-1)*...*ann 其中，a_ij表示A的第i行第j列的元素。
行列式具有以下性质:1. 若A = (a_ij)为n阶方阵，若将A的第i行和第j行互换位置，则det(A)变为-det(A)。
2. 若A = (a_ij)为n阶方阵，若A的其中一行的元素全为0，则det(A) = 0。
3. 若A = (a_ij)为n阶三角形矩阵，则det(A) = a11*a22*...*ann。
4. 若A = (a_ij)和B = (b_ij)为n阶方阵，则det(AB) = det(A)* det(B)。
5. 若A = (a_ij)为n阶可逆方阵，则det(A^(-1)) = 1/det(A)。
二、行列式计算的基本方法：1.二阶行列式：对于2阶方阵A = (a_ij)，有det(A) = a11*a22 - a12*a212.三阶行列式：对于3阶方阵A = (a_ij)，有det(A) = a11*a22*a33 +a12*a23*a31 + a13*a21*a32 - a13*a22*a31 - a12*a21*a33 -a11*a23*a323.高阶行列式：对于n阶方阵A，可以利用行列式按行展开的性质来计算。
选择其中一行（列）展开，计算每个元素乘以其代数余子式的和，即：det(A) = a1j*C1j + a2j*C2j + ... + anj*Cnj其中，Cij为A的代数余子式，表示去掉第i行第j列后所得子矩阵的行列式。
行列式的几种计算方法行列式是线性代数中非常重要的概念，它可以帮助我们理解向量空间的性质和线性变换的特征。
在实际应用中，计算行列式有多种方法，包括拉普拉斯展开、按行（列）展开、特征多项式等。
本文将详细介绍行列式的几种常见计算方法，并举例说明其应用。
拉普拉斯展开法是计算行列式最常用的方法之一。
在计算n阶行列式时，通过选取任意一行或者一列，我们可以将行列式展开为n个n-1阶的代数余子式的和。
具体步骤如下：以一个具体例子来说明，计算3阶行列式：|A| = |1 2 3||4 5 6||7 8 9|选择第一行展开，展开过程为：|A| = 1*|5 6| - 2*|4 6| + 3*|4 5|4*|8 9| 5*|7 9| 6*|7 8|= 1*(5*9-6*8) - 2*(4*9-6*7) + 3*(4*8-5*7)= 1*(45-48) - 2*(36-42) + 3*(32-35)= 1*(-3) - 2*(-6) + 3*(-3)= -3 + 12 - 9= 0行列式的值为0。
特征多项式是计算行列式的另一种方法。
如果A是一个n阶矩阵，那么它的特征多项式定义为p(λ) = |A-λI|其中I是单位矩阵，λ是一个标量。
行列式的值等于特征多项式在λ=0处的值p(0)。
特征多项式的计算可以借助行列式的展开法来进行，通过计算A-λI的行列式，展开得到一个n次多项式，然后求解该多项式在λ=0处的值即可得到行列式的值。
下面举一个具体的例子来说明特征多项式的计算方法。
考虑一个2阶矩阵A的特征多项式：A = |a b||c d|则特征多项式为p(λ) = |A-λI|= |a-λ b||c d-λ|展开得到p(λ) = (a-λ)(d-λ) - bc= λ^2 - (a+d)λ + (ad-bc)= λ^2 - tr(A)λ + det(A)其中tr(A)是A的迹，det(A)是A的行列式。
行列式的值等于特征多项式在λ=0处的值，即为det(A)。
本科生毕业论文(设计)题目: 行列式的计算技巧及应用学生姓名：谢芳学号: 201210010133专业班级：数学与应用数学12101班指导教师：颜亮完成时间： 2016 年 5 月目录摘要.。
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1 关键词.。
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1 0、前言。
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1 1、基础知识及预备引理.。
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2 1.1行列式的由来及定义。
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..2 1.2行列式的性质。
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3 1。
3拉普拉斯定理及范德蒙德行列式的定义....。
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4 2、行列式的计算方法。
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1定义法。
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..4 2.2利用行列式的性质（化三角型）计算.。
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5 2.3拆行(列）法...。
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4加边法（升阶法）。
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5范德蒙德行列式的应用。
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.7 3、n阶行列式的计算。
行列式的计算方法及应用行列式是线性代数中一个重要的概念，它是一个正方形矩阵的特殊的函数，用于描述线性方程组的解的唯一性、可解性以及一些几何性质。
本文将介绍行列式的计算方法及其应用。
一、行列式的计算方法1.二阶行列式的计算方法对于一个二阶的矩阵A=[[a,b],[c,d]]，其行列式的计算方法为：det(A) = ad - bc。
2.三阶行列式的计算方法对于一个三阶的矩阵A=[[a,b,c],[d,e,f],[g,h,i]]，其行列式的计算方法为：det(A) = aei + bfg + cdh - ceg - afh - bdi。
3.一般的行列式计算方法对于一个n阶的矩阵A，其行列式的计算方法可以通过展开定理进行计算。
展开定理的思想是通过将行列式展开为更小规模的行列式的和来计算。
假设A为n阶矩阵，其元素为a[i][j]，行列式记为det(A)，则行列式的计算方法为：det(A) = a[1][1] * A[1][1] + (-1)^(1+2) * a[1][2] * A[1][2] + ... + (-1)^(1+n) * a[1][n] * A[1][n]其中，A[1][k]为将矩阵A的第1行和第k列删去后的(n-1)阶矩阵，det(A)为其中的行列式。
二、行列式的应用1.线性方程组的解的唯一性和可解性判断对于一个线性方程组Ax=b，其中A为系数矩阵，x为未知数向量，b 为常数向量。
若A的行列式不为0，则方程组有唯一解；若A的行列式为0，则方程组可能有无穷多个解或无解。
2.矩阵的可逆性判断一个矩阵A为可逆矩阵的充分必要条件是其行列式不为0。
可逆矩阵在数值计算和理论推导中有着重要的应用，例如求解线性方程组的解、求逆矩阵以及解线性变换等。
3.几何性质的判断行列式可以用来判断空间中向量的线性相关性和共面性。
对于一个n 维空间中的n个向量，若这些向量的行列式为0，则说明这些向量线性相关，存在一些向量可以由其他向量线性表示；若行列式不为0，则说明这些向量线性无关，对应n维空间中的一个n维平行体。
行列式的几种计算方法7篇第1篇示例：行列式是线性代数中的一个重要概念，它是一个方阵中的一个数值，可以帮助我们判断矩阵的性质，计算行列式的值是线性代数中的基础技能之一。
下面我们将介绍几种行列式的计算方法以及其应用。
一、直接展开法计算行列式最基本的方法就是直接展开法。
以3阶行列式为例，一个3阶方阵的行列式可以表示为：\[\begin{vmatrix}a &b &c \\d &e &f \\g & h & i\end{vmatrix}\]通过公式展开，可以得到：\[\begin{aligned}\begin{vmatrix}a &b &c \\d &e &f \\g & h & i\end{vmatrix} & = aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh \\& = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)\end{aligned}\]这样就可以直接计算出行列式的值。
但是这种方法比较繁琐，不适用于高阶行列式的计算。
二、拉普拉斯展开法\[\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\\end{vmatrix}\]以第一行为例，可以按照以下公式展开：\[ \text{det}(A) = a_{11}C_{11} + a_{12}C_{12} + \cdots +a_{1n}C_{1n} \]C_{ij}表示元素a_{ij}的代数余子式，通过递归计算代数余子式，最终可以得到行列式的值。
行列式的计算方法及其应用行列式是线性代数中一种非常重要的概念，出现在许多领域中，如数学、物理、工程等。
它是一个方阵中各个元素的代数和，具有非常重要的几何和代数特征，因此也是线性代数学习的基础之一。
一、行列式的定义设有n阶行列式，写成如下形式：$$\Delta_n = \begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2n} \\\vdots &\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & a_{n3} &\cdots & a_{nn}\\\end{vmatrix}$$其中，$a_{ij}$代表矩阵中第i行第j列的元素。
行列式的定义是这样的：设$A$为$n$阶方阵，$a_{i,j}$是$A$的元素，那么行列式$\Delta(A)$定义为：$$\Delta(A) =\sum_{\sigma}{(-1)^\sigma\cdot{a_{1,{\sigma(1)}}}\cdot{a_{2,{\sigma(2)}}}\cdots{a_ {n,{\sigma(n)}}}}$$其中，$\sum_{\sigma}$代表对所有$n$个元素的所有排列求和，$\sigma$是一个排列，并且$\sigma(k)$表示k在$\sigma$中的位置。
二、行列式的计算方法计算行列式有三种方法：直接定义法、代数余子式法和高斯消元法。
直接定义法随着矩阵维度的增加，计算量呈指数级增长，因此较少使用。
代数余子式法和高斯消元法可以将计算行列式的时间复杂度降低到$O(n^3)$，被广泛应用于实际问题中。
1. 直接定义法直接定义法是按照定义计算行列式的方法。
行列式计算方法解析1.化三角形法此种方法是利用行列式的性质把给定的行列式表示为一个非零数与一个三角形行列式之积，所谓三角形行列式是位于对角线一侧的所有元素全部等于零的行列式。
三角形行列式的值容易求得，涉及主对角线的三角形行列式等于主对角线上元素之积，涉及次对角线的N 阶三角形行列式等于次对角线上元素之积且带符号。
例1计算N 阶行列式ab bb a b b b aD n=解()[]abb a bb b n a Dn1111-+=()[]ba b a b b b n a ---+=0011()()11n a n b a b -=+-⎡⎤⎣⎦-2.利用递推关系法所谓利用递推关系法，就是先建立同类型n 阶与n-1阶（或更低阶）行列式之间的关系——递推关系式，再利用递推关系求出原行列式的值。
例2 计算n 阶行列式n ab b ca b ccaD =，其中0,≠≠bc c b解 将n D 的第一列视为（a-c ）+c,0+c,……,0+c,据行列式的性质，得0000n a c c b b a c b b c b b c a b a b c a b cca ca ccaD -+-+==++()()11n n n a c c a bD D --∴=-+- (1)由b 与c 的对称性，不难得到()()11n n n a b b a c D D --=-+- (2)联立（1），(2）解之，得()()()1n nn b c b c a c a b D -⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦---例3 计算n 阶行列式00010001000000n a b ab a b ab a b a b ab a bD +++=++解 将n D 按第一行展开，得()11000000001n n ab a b a b ab a bab a bD D -+=+-++于是得到一个递推关系式 ()12n n n a b ab D D D --=+-，变形得()112n n n n b a b D D D D ----=- ，易知()()2312334n n n n n n b b b D D D D DD aa------=-=-()()()22212n n n b ab b a b a b D D aaa --⎡⎤==-==⎢⎥⎣⎦--++所以 1nn n b D D a -=+，据此关系式再递推，有()11222nn n n n n n bb b ba aa a D D D ----=++=++1122111n n n n n n n n b b a a a a b b a a b b D -----==++++=++++如果我们将 n D 的第一列元素看作a+b,1+0,……0+0,按第一列拆成两个行列式的和，那么可直接得到递推关系式1nn n b D D a -=+，同样可n D 的值。
行列式的几种计算方法行列式是线性代数中的重要知识点，它广泛应用于数学、物理等领域。
行列式的计算有多种方法，每种方法都有其特点和适用的场合。
下面我们就来介绍一下几种行列式的计算方法。
一、拉普拉斯展开法拉普拉斯展开法是一种矩阵求解行列式的方法，通过选取某一行或某一列的元素展开，将行列式转化为较小规模的行列式相乘的和的形式。
具体步骤如下：1. 选择任意一行或一列，假设选择第i行，i列的元素进行展开。
2. 对于第i行第j列的元素A[i,j]，计算其代数余子式M[i,j]。
这种方法的优点是可以将较大的行列式转化为多个规模较小的行列式相乘的形式，简化了计算的难度。
但是这种方法并不适合于计算较大规模的行列式，因为会产生大量的中间结果需要计算。
二、按行（列）展开法按行（列）展开法的计算比较直观，适合用于小规模行列式的计算。
但是对于较大规模的行列式，计算量会相当大，不够高效。
三、三角形式计算法1. 利用初等变换将方阵化为上三角形或下三角形形式。
2. 上三角形形式的行列式等于对角线元素的乘积。
比较适用于计算较大规模行列式，但是需要进行大量的初等变换操作，计算复杂度较高。
四、行列式性质法行列式性质法是一种基于行列式性质推导的计算方法，通过运用多项式代数的性质，将行列式转化为一些易于计算的形式。
行列式性质包括奇偶性、行列式的性质、对称性质等。
具体步骤如下：1. 利用行列式性质将行列式进行转化，使其具有更加易于计算的形式。
2. 依次计算每一项的值，得出行列式的结果。
行列式性质法适用于各种规模的行列式，但需要熟练掌握行列式的性质和多项式代数的运算规则。
行列式的计算有多种方法，每种方法都有其适用的场合。
选择合适的计算方法可以提高计算效率，简化计算流程。
在实际运用中，根据行列式的规模和具体情况选择合适的计算方法是非常重要的。
希望本文介绍的几种行列式的计算方法能够帮助大家更好地理解和运用行列式知识。
文献综述信息与计算科学行列式的计算方法和应用一． 前言部分（说明写作的目的，介绍有关概念、综述范围，扼要说明有关主题争论焦点）行列式的概念最初是伴随着方程组的求解而发展起来的。
行列式的应用早已超出了代数的范围，成为解析几何、数学分析、微分方程、概率统计等数学分支的基本工具，因此对许多人来说，掌握行列式的计算是重要的。
而对行列式进行计算不是唯一目的，我们还需要利用行列式去解决一些实际问题，使复杂问题简单化。
在了解行列式的概念、性质的基础上，讨论行列式的求解方法，其中包括化三角法，利用范德蒙行列式求解以及利用拉普拉斯定理的解法。
通过对行列式的求解方法的研究，探讨行列式在求解线性方程组中的应用。
二． 主题部分（阐明有关主题的历史背景、现状和发展方向，以及对这些问题的评述）我们知道,行列式的计算灵活多变，需要有较强的技巧。
当然，任何一个n 阶行列式都可以由它的定义去计算其值。
但由定义可知，n 阶行列式的展开式有!n 项，计算量很大，一般情况下不用此法，但如果行列式中有许多零元素，可考虑此法。
值的注意的是：在应用定义法求非零元素乘积项时，不一定从第1行开始，哪行非零元素最少就从哪行开始。
以下给出了行列式的概念及性质和行列式的计算方法包括：化三角法，利用范德蒙行列式求解行列式以及利用拉普拉斯定理的解法等等，涵盖了行列式解法的许多方面。
从这些解法中我们看到了计算行列式的巧妙之处。
2.1行列式的概念及性质2.1.1行列式的概念[9]n 级行列式nnn n nna a a a a a a a a (212222111211)等于所有取自不同行不同列的个元素的乘积n nj j j a a a ...2121的代数和，这里n j j j ...21是1,2，...，n 的一个排列，每一项都按下列规则带有符号：当n j j j ...21是偶排列时，带有正号；当n j j j ...21是奇排列时，带有负号。
这一定义可以写成()()nnnnj j j j j j j j j r nnn n nn a a a a a a a a a a a a ...1 (2)211212...1 (21)2222111211∑-=这里∑nj j j ...21表示对所有n 级排列的求和。
行列式的计算技巧与方法总结行列式是线性代数中的重要概念，广泛应用于各个领域，如线性方程组的求解、线性变换的判断等。
在实际应用中，计算行列式是一个必不可少的环节。
本文将对行列式的计算技巧和方法进行总结，以便读者能够更加轻松地解决行列式相关问题。
一、行列式的定义行列式是一个数。
行列式的定义通常有多种不同的形式，其中最常见的是按照矩阵的形式定义的。
对于一个n阶方阵A=(a_ij)，其行列式记作det(A)，可以通过以下方式计算：det(A) = a_11 * C_11 + a_12 * C_12 + ... + (-1)^(n+1) * a_1n * C_1n其中，C_ij是指元素a_ij的代数余子式。
二、行列式的计算方法1.二阶行列式的计算对于2阶方阵A=(a_11,a_12;a_21,a_22)，其行列式可以直接通过以下公式计算：det(A) = a_11 * a_22 - a_12 * a_212.三阶行列式的计算对于3阶方阵A=(a_11,a_12,a_13;a_21,a_22,a_23;a_31,a_32,a_33)，可以通过Sarrus法则来计算行列式：det(A) = a_11*a_22*a_33 + a_12*a_23*a_31 + a_13*a_21*a_32 -a_13*a_22*a_31 - a_12*a_21*a_33 - a_11*a_23*a_323.高阶行列式的计算对于n(n>3)阶方阵A，一般采用高斯消元法将矩阵转化为上三角矩阵，然后再计算行列式的值。
具体操作如下：a)对第一列进行第二行、第三行、..、第n行的倍加，使得第一列除了第一个元素外的其他元素都为0。
b)接着在第二列中对第三行、第四行、..、第n行的倍加，使得第二列除了第二个元素外的其他元素都为0。
c)重复以上步骤，直到将矩阵转化为上三角矩阵。
d)上三角矩阵的行列式等于主对角线上的元素相乘。
4.行列式的性质行列式具有以下性质，可以在计算中灵活运用：a)行互换或列互换，行列式的值不变，其符号变为相反数。
本科生毕业论文题目: 行列式的计算方法及应用专业代码: 070102作者姓名: 李延雪学号: **********单位: 2007 级 1 班****: ***2011年5 月20 日原创性声明本人郑重声明: 所提交的学位论文是本人在导师指导下, 独立进行研究取得的成果. 除文中已经注明引用的内容外, 论文中不含其他人已经发表或撰写过的研究成果, 也不包含为获得聊城大学或其他教育机构的学位证明书而使用过的材料. 对本文的研究做出重要贡献的个人和集体, 均已在文中以明确方式标明. 本人承担本声明的相应责任.学位论文作者签名: 日期指导教师签名: 日期目录前言 (1)1.行列式的定义及其表示 (1)1.1 行列式的定义 (1)1.2 行列式的表示 (3)2.行列式的性质 (4)3.行列式的计算方法 (6)3.1加边法 (6)3.2利用已知公式 (7)3.3数学归纳法 (10)3.4递推法 (11)3.5构造法 (12)3.6拆项法 (13)4.行列式的应用 (13)4.1行列式在证明微分中值定理中的应用 (13)4.2 行列式在求逆矩阵中的应用 (15)4.3行列式在多项式理论中的应用 (15)4.4 行列式在解析几何中的应用 (16)结语 (17)参考文献 (18)致谢 (19)摘要行列式是研究高等代数的一个重要工具.在对行列式的定义及其性质研究的基础上,总结了计算行列式的几种常见方法：加边法、构造法、递推法、拆项法、数学归纳法等.另外,归纳了二条线性行列式、“两岸”行列式、上（下）三角形行列式、二条线叉型行列式及箭型行列式几类特殊行列式的计算公式.利用行列式证明明微分中值定理；并通过一些具体的实例介绍了行列式在求逆矩阵、求解几何图形方程和计算图形面积体积等多个方面的实际应用.关键词：行列式；计算方法；行列式的应用AbstractDeterminant calculation is an important tool in Higher algebra. Studying the definition and properties of the determinant and summarizing several methods which can solve the determinant calculation，such as add edge method，method of construction, triangle recursive method, demolition of method, mathematical induction etc. At the same time two linear determinant, "cross-strait" determinants, the upper (lower) triangular determinant, two line fork determinants and arrow type determinant of several kinds of special formula of calculating the determinant were summarized. Using determinant proof differential mid-value theorem.And through some specific examples in inverse matrix introduce determinant in solving inverse matrix，geometry equation calculation ,graphics area volume and many other aspects of actual applications.Keywords: Determinant; Calculation method; Determinant application行列式的计算方法前 言行列式不仅是研究高等代数的一个重要工具,它也是线性代数理论中极其重要的组成部分.在高等代数中,行列式的求解是非常重要的,但是直接计算行列式往往是困难和繁琐的,特别当行列式的元素是字母时更加明显.根据这一情况,对行列式计算的常见方法进行了总结.计算行列式的常见方法有化三角形法,拆分法,降阶法,升阶法,待定系数法、数学归纳法,乘积法和加边法等.另外对行列式中存在的二条线性行列式、“两岸”行列式、上（下）三角形行列式、二条线叉型行列式及箭型行列式等特殊构造的行列式的公式进行了归纳.行列式的产生和最早的应用都是在解线性方程组中,现在的应用范围已拓展得较为广泛,成为数学、物理学以及工科许多课程的重要工具.对这些应用技巧进行探讨归纳,不仅有课程建设的现实意义,而且有深刻的理论意义.通过介绍一些具体的实例,说明行列式在证明明微分中值定理、求逆矩阵及矩阵特征值、求解线性方程组、求解几何图形方程和计算图形面积体积等多个方面中的实际应用.1.行列式的定义及其表示1.1行列式的定义]1[行列式有各种各样的定义方法,本文以排列为工具来定义行列式.先来考察二、三阶行列式的共同规律,然后利用这些规律去定义n 阶行列式.二阶行列式为22211211a a a a 21122211a a a a -= . 于是二阶行列式可以简写成∑-=2121,2,1)(22211211)1(j j j j t a a a a a a .其中 ∑21j j 表示所有二元排列求和.我们约定,在一个行列式中,横排叫做行,纵排叫做列,行列式中的数ij a 叫做行列式的元素,其中i 表示ij a 所在的行,叫做行标；j 表示ij a 所在的列,叫做列标.从二阶行列式中可以得到以下规律： （1） 它是2！=2项的代数和；（2） 每一项都是两个元素相乘,且这两个元素既位于不同的行又位于不同 的列；（3） 每一项的两个元素行标按自然顺序排列后,其所在的列标构成的全部 二元排列为12和21,前一个为偶排列,与其对应的项2211a a 取正号；后一个为奇排列,与其对应的项2112a a 取负号. 下面看三阶行列式333231232221131211a a a a a a a a a 322311332112312213322113312312332211a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++=.类似于二阶行列式,可以得到以下规律：（1）它是3！=6项的代数和；（2）每一项都是三个元素相乘,且这三个元素既位于不同的行又位于不同的列；（3）每一项的三个元素行标按自然顺序排列后,其所在的列标构成的全部三元排列为：123,231,312,321,213,132.前三个为偶排列,与其对应的项取正号,后三个为及排列,与其对应的项均取负号. 总之,三阶行列式可以写成∑-=321321321,3,2,1)(333231232221131211)1(j j j j j j j j j t a a a a a a a a a a a a .以上是二、三阶行列式的共同构造规律,它也是一般n 阶行列式的本质所在.定义1.1 称nnn n n n a a a a a a a a a D 212222111211=为一个n 阶行列式,它表示： （1）!n 项的代数和；（2）每一项是n 个元素相乘,且这n 个元素既位于D 中不同的行,又位于不同的列；（3）每一项的n 个元素行标按自然顺序排列后,其列排列为偶排列时该项取正号,为奇排列时该项取负号.这一定义可以简单的表示成∑-=nn j j j j n j j tnnn n nna a aa a a a a a a a a 2121,,2,1212222111211)1(其中∑nj j j 21表示对所有n 阶行列求和.1.2行列式的表示.矩阵A 的行列式记作A .绝对值和矩阵范数也使用这个记法,有可能和行列式的记法混淆.不过矩阵范数通常以双垂直线来表示,且可以使用下标.此外,矩阵的绝对值是没有定义的.因此,行列式经常使用垂直线记法（例如:克莱姆法则和子式）.例如,一个矩阵：khgf e dc b a A =矩阵行列式)det(A 也写作A 或明确的写作:khgf e dc b a A = 行列式即矩阵的方括号以细长的垂直线取代.n 阶行列式的表示：n j n j j t nnn na a a a a a a ,,2,1111121)1(-= , 其中)(21n j j j t 为n j j j 21的逆序数.2.行列式的性质为了有效地进行行列式的计算,有必要研究其性质,并由此得到实际可行的计算方法．性质2.1 设A 是n 阶矩阵,则A A T det det =,其中T A 是A 的转置矩阵. 今后称行列式T A det 为A det 的转置行列式,性质1说明行列式与它的转置行列式相等,具体地写出来,即nnn nn n nnn n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a 212221212111212222111211=．根据性质1,对于行列式中有关行的性质完全适用于列．性质2.2 交换行列式中任意两行(列),其值变号． 例如二阶行列式22211211a a a a 中,若交换其第1行与第二行,则得222112112211122112112221a a a a a a a a a a a a -=-= ．推论2.1 若行列式有两行(列)的对应元素相同,则该行列式等于零. 证明 设行列式A det 中第i 行与第k 行)(k i ≠的对应元素相同,现交换这两行得一新行列式,记作D , 根据性质2,A D det -=,但因这两行对应元素相同,交换后所得行列式与原行列式又相同,即A D det =．于是D D =-,故0=D ．性质2.3 用常数c 乘以行列式中某行（列）的每个元素所得到的行列式,等于用c 乘以该行列式．nnn n n n a a a a a a a a a D 212222111211=.证明 设行列式是nnn n n n a a a a a a a a a D 212222111211=.若用c 乘以D 的第1行,则成为行列式nnn n n n a a a a a a ca ca ca D2122221112111=.现按D 1的第一行展开得∑∑=====nj nj j j j j cD A a c A ca D 1111111,其中D 与1D 中第一行各元素的代数余子式是相同的.现设用c 乘以D 的第i 行,1>i .我们记交换D 的第1行与第i 行所得的行列式为D a a a a a a a a a a a a a a a a a a D nn n n n i i i nni i i nn i i i -==+++---,2,1,,12,11,1,12,11,1,12,11,1,22,21,2,2,1,2.现用c 乘以D 的第i 行,即得行列式nnn n nnin i i nnn n n n in i i nnn n ini i n n a a a a a a a a a a a a ca a a a a a a a a ca ca ca a a a ca ca ca a a a a a a211121122221212111211222212121212222111211-==cD D c cD =--=-=)(2.推论2.2 若行列式中有一行（列）的所有元素全是零,则该行列式等于零． 证明 在性质3中取0≠c 即可．推论2.3 若行列式某行（列）所有元素含有公因数c ,则可将该公因数c 提到行列式外面．此推论实际上就是性质3．推论2.4 若行列式有两行（列）的对应元素成比例,则该行列式等于零． 证明 只要把比例系数作为公因数提到行列式外面,就得到一个两行相同的行列式,所以行列式为零．3.行列式的计算方法在行列式的计算问题中,对于某些特殊的行列式可以直接利用行列式的定义计算. 对于一般的行列式,我们主要有下面两种计算思想：1) 利用行列式的性质进行行列式的初等变换,将其划为上(或下)三角形行列式,进而得到结果.2) 利用行列式按行(列)展开定理进行降阶和递推.在典型的计算过程中一般两种方法同时应用,先利用性质化出尽可能多的零元素,然后再利用行(列)展开定理降阶,化为低阶行列式进行计算.3.1 加边法利用行列式按行(列)展开的性质,把n 阶行列式通过加行(列)变成与之相等的1+n 阶行列式,利用行列式的性质把添加进去的行(列)的适当的倍数加到其它行(列),使其它行(列)出现更多为零的元素后再进行计算．添加的行与列一般有四种方式,分别是添加在：(1)首行首列、(2)首行末列、(3)末行首列、(4)末行末列．当然有时也添加在行列式的一般行与列的位置．例3.1.1 计算n 阶行列式n ns n s n n n ns s ns s x x x x x x x x x x x x x x x1122121222211111211111+-+-+-的值.解 按第1+n 行展开得到的是关于z 的多项式,而所求行列式的值是上述加边行列式展开式的s z 项的系数乘以11)1(+++-s n .注意 能够利用加边法的题目往往具有如下两种特征之一：（1）各行(列)有很多相同的元素,但是直接利用行列式的性质把一行(列)的适当的倍数加到其它行(列)的时候不容易变成三角形行列式,或者说出现的零的个数还不够多；（2）添加一行(列)后能够跟范德蒙行列式联系起来. 3.2 利用已知公式3.2.1 定义二条线性行列式的计算定义 3.2.1 nn n a b a b a b a D 1122111--=的行列式称为二线型行列式.其可按第一列（或最后一列）展开进行计算得出∏∏∏∏=-==-=--+-+-+-=-+=ni n i ni n i i n n in n i n i b c aD b c a D 1111112)2)(1(232211))1()1(()1(2.例 3.2.1 计算行列式01020101nn D -=和nn D 0102012-=的值.解 观察行列式01020101nn D -=和nn D 0102012-=可知它是二线型行列式,且由定义知其中),,2,1(n i a i =全为0.故代入公式可得出∏∏=-=++-=-+=ni n i n i n i n b c a D 111111!)1()1(.∏∏=-=----+--=-+-=ni n i n n i n n in n n b c aD 1112)2)(1(2)2)(1(2322!)1()1()1(2.类似的二条线型行列式还有=A ,=B ,=C 和=D （其中定义中给出的二线型行列式为1D =,2D =,在简记中实线处均为非零元素其它地方元素为零）,它们均可以按定义中的方法进行计算展开进行降阶,再利用三角或次三角型行列式总结出相应的计算公式. 3.2.2 “两岸”行列式的计算方法定义3.2.2 形如ax aaaa a a a x a a aaax D n ---= )(21nn a aaa a a aa a a a a a D =的行列式称为“两岸”行列式,其计算可化成箭型行列式,且值等于).)1(()]()1([111∏∑==---+=--+=ni i ni i n n n a a a a aD a x a n x D 或注 对于各行各列元素之和相等的行列式.可将第1,3,2-n 列(行)都加到第1列（行）（或第1,3,2-n 列（行）加到第n 列（行））,则第1（或n ）列(行)的元素相等,再进一步化为三角或次三角型行列式.3.2.3 上三角形（或下三角形）行列式的计算定义3.2.3 形如nnn n n a a a a a a D 00022211211=)000(21222111nnn n n a a a a a a D=或的行列式称为上三角形（或下三角形）行列式,其值为nn n a a a a D 332211=.3.2.4 二条线叉型行列式的计算定义3.2.4 形如nnn n n n nnn n d c d c d c b a b a b a D 1111111122----⨯=的行列式为二条线叉型行列式.例 3.2.2 计算二线型行列式dd c d c d c b a b a b a D nnn n n n nnn n 1111111122----⨯=的值.解 可将此行列式按照第一行展开,则0)1(00011111111121111111122----+----⨯--=n n n n nn nn n n n nn n d c d c b a b a b c d d c d c b a b a a D然后将此两个行列式分别按最后一行和第一行展开,则 )1(2)1(2122=--⨯-=n n n n n n n n D b c D d a D∏==----=---=ni i i i i n n n n n n n n b c d a d c b a b c d a b c d a 111111111)()())(( .3.2.5箭型行列式的计算 定义 3.2.5 形如,,,的行列式称为箭型（或爪型）行列式,可直接利用行列式性质将其一条边化为零,从而可根据三角形或次三角形的结果求（在简记中实线处均为非零元素其它地方元素为零）.例 3.2.3 计算行列式100101012001111n n D n n -=⨯的值.解 可给该行列式第)1,,2,1(-n i 行分别乘以i1-加到第n 行则知原行列式 )1211(!)1(2)1(nn D n n n n ----=-⨯ . 3.3 数学归纳法数学归纳法多用于证明明题．用数学归纳法计算n 阶行列式,依据行列式元素间规律来计算,此类型的题变化较多,相应的方法也较多.例3.3.1 计算1+n D 的值,其中nn a a a a D 0010*******12101=+ 解 当0=n 时,01a D =；当1=n 时,)(11011102---==a a a a a D ；当2=n 时,)]([2211021212103--+-=--=a a a a a a a a a a D ； 假设当k n =时,)]([112110211---++++-=k k k a a a a a a a D .那么当1+=k n 时,将2+k D 按最后一行展开得11213200000001111)1(+++++-=k k k k k D a a a a D 112130000000001000)1(++++-=k k k k D a a a a , 所以11212++++=k k k k D a a a a D)]}([1{112110121---++++-+-=k k k a a a a a a a a )]([1112110121-+--++++-=k k k a a a a a a a a .综上可得)]([12110211---++++-=n n n a a a a a a a D . 3.4 递推法利用行列式的性质,把某一行列式表示成具有较低阶相同结构行列式的关系式（称为递推关系式）,根据所得递推关系式及低阶某行列式的值便可递推得到所需要的结果（有时用数学归纳法证明明其正确性）,这种计算行列式值得方法叫做递推法.（1）若,1-=n n pD D 则11D p D n n -=.（2）若,0,2,21≠>+=--q n qD pD D n n n 我们可以设α、β是02=--q px x 的根,则p =+βα,q =-αβ.于是有)(211----=-n n n n D D D D βαβ （1）)(211----=-n n n n D D D D αβα （2） 若βα≠,则βααββα----=--)()(121121D D D D D n n n .注意 由（1）和（2）得：)(1221D D D D n n n βαβ-=---, )(1221D D D D n n n αβα-=---.若βα=,则（1）与（2）变为)(211----=-n n n n D D D D ααα,即 )(1221D D D D n n n ααα-=---, 于是 )(12321D D D D n n n ααα-=----,)(212222D D D D n n n ααα-+=--依次做下去得： 11D D n n -=α.3.5 构造法通过构造新的行列式计算原行列式. 例 3.5.1 计算循环行列式1121121111---=n n n n nn x x x x x x D.解 设 1121121111---=n nn n nx x x x x x V,令 121)(-+++=n n x a x a a x f ,则)()()()()()()()()(1212111221121n n n n n n n n n x f x x f x x f x x f x x f x x f x x f x f x f V D ---=V x f ni i ∏==1)(,因为0≠V ,故∏==ni i n x f D 1)(.3.6 拆项法这是计算行列式常用的方法.一般地,当行列式的一列(行)或一列(行)以上的元素能有规律地表示为两项或多项和的形式,就可以考虑用拆为和的方法来进行计算.例3.6.1 以),(),,(),,(233332332232222221311211x x x x M x x x x M x x x x M ------为顶点的三角形面积为D s =其中11121323233322222321212131x x x x x x x x x x x x D ------= ()()()()()()11111111121323222121332211------=x x x x x x x x x x x x .解 第一行为)1()1()1(11111121111)1)(1)(1(21332211321321232221321321------+----=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x D 23222132123132332111121))()()(1)(1)(1(21x x x x x x x x x x x x x x x +-------= )]1)(1)(1()[)()((21321321121323-------=x x x x x x x x x x x x . 四 、行列式的应用4.1 行列式在证明明微分中值定理中的应用 4.1.1 拉格朗日中值定理 设函数f 满足条件： （1）f 在闭区间],[b a 连续；（2）f 在开区间),(b a 内可导,则在),(b a 内至少存在一点ξ,使得ab a f b f f --=)()()('ξ.证明 我们可以构造行列式辅助型函数来证明明定理.设1)(1)(1)()(x f xb f ba f ax =φ因)(a f 在],[b a 上连续,在),(b a 内可导,所以)(X φ在],[b a 上连续,在),(b a 内可导,且0)()(==b a φφ,故由罗尔定理知,至少存在一点),(b a ∈ξ使得())(10)()(1)('11)(1)()('x f a f b f ab a f a f b f ba f a --==ξξφ 所以ab a f b f f --=)()()('ξ4.1.2柯西中值定理（1）函数f 与g 都在闭区间],[b a 连续； （2）f 与g 都在开区间),(b a 内可导； （3）'f 与'g 则在),(b a 内不同时为零；（4）)()(b g a g ≠,则在),(b a 内至少存在一点ξ,使得)()()()()(')('a g b g a f b f g f --=ξξ.证明 设1)()(1)()(1)()()('b f b g a f a g x f x g x =φ由于)(x φ是)(),(x g x f 的多项式函数,从而在上],[b a 上连续,在),(b a 内可导,利用行列式性质易见),()(b a φφ=故由罗尔定理知,至少存在一点),(b a ∈ξ,使得1)()(1)()(1)(')(')(',0)('b f b g a f a g x f x g x ==φξφ 由此可得)()()(')(')(')('b g a g a f b f g f --=ξξ. 4.2 行列式在求逆矩阵中的应用设)()(F M a A n m ij ∈=,A 则是非奇异矩阵的充分且必要条件是0≠A ,且当0≠A 时,A 的逆矩阵*11A AA =-其中*A 是A 的伴随矩阵. 例4.2.1 设)()(R M a A n n n ij ∈=⨯是正交矩阵,则⎩⎨⎧=-=-==.,,2,1,,1||,;1||,n j i A A A A a ij ijij 若若证明 由A 正交知道|A|= ±1.于是A '=A -1=|A|-1(adjA)．故由(2)易见ij a 与ijA 有上述关系．4.3行列式在多项式理论中的应用例4.3.1 证明明一个n 次多项式至多有n 个互异根.证明 设n n x a x a x a a x f ++++= 2210)(有1+n 个互异的零点121,,,+n x x x 则有11,0)(2210+≤≤=++++=n i x a x a x a a x f n i n i i i .即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++=++++=+++++++00122111022222201221110n n n n n n nn na x a x a x a a x a x a x a a x a x a x a 这个关于n a a a ,,,10 的齐次线性方程组的系数行列式0)(1111112122221211≠-=∏+≤≤≤++n i j j in n n nn nx xx x x x x x x x x因此0210=====n a a a a 这个矛盾表明至多有n 个互异根.例 4.3.2 设)(,),(),(121x f x f x f n - 是1-n 个复系数多项式,满足)()()(/112211n n n n n n x f x x xf x f x x ---++++++ .证明：0)1()1()1(121====-n f f f .证明 设)1)(()()()(11221---+++=+++n n n n n n x x x p x f x x xf x f 取ni n w ππ2sin 2cos+=分别12,,,-=n w w w x 代入,可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++--------.0)1()1()1(,0)1()1()1(,0)1()1()1(1)2)(1(2111)2(22211221n n n n n n n n f w f w f f wf w f f w wf f由此得到这个行列式关于)1(,),1(),1(121-n f f f 的齐次线性方程组的系数行列式0111)2)(1(1)2(222≠-----n n n n n w w w w w w.因此0)1()1()1(121====-n f f f .4.4 行列式在解析几何中的应用 4.4.1 在向量积、混合积中的应用 设{}k j i O ,,;为右手直角坐标系,k c j c i c k b j b i b k a j a i a 321321321,,++=++=++=γβα因为 j k i i j k k i j j i k i k j k j i -=⨯-=⨯-=⨯=⨯=⨯=⨯,,,,,所以 321321212131313232b b b a a a k j i k b b a aj b b a a i b b a a =+-=⨯βα()321321321321212313113232c c c b b b a a a c b b a a c b b a a c b b a a =+-=⋅⨯γβα 4.4.2 在面积、体积中的应用以k j b i b k j a i a 0,02121++=++=ηξ为邻边的平行四边形的面积为2121b b a a =⨯ηξ. 以k c j c i c k b j b i b k a j a i a 321321321,,++=++=++=γβα为相邻棱的平行六面体的体积为()321321321c c c b b b a a a =⋅⨯γβα. 4.4.3 在求解几何图形方程中的应用1)过不同两点()()222111,,,y x M y x M 的平面直线L 的方程为01112211=y x y x yx. 2)过不共线三点()()()333322221111,,,,,,,,z y x P z y x P z y x P 的平面π的方程为01111333222111=z y x z y x z y x z y x .行列式的应用是十分广泛的,本文只列举了行列式在数学中几个方面的应用,随着行列式理论的不断发展与完善,它必将应用到更加广泛的领域中.结语通过对行列式的计算方法的研究发现,不同的题目可能用到不同的计算方法,至于采用哪种方法进行计算要视具体的题目而定.每一种方法都各具特色,每一种方法都是从根本上解决行列式计算难的问题,简化了计算过程,避免了许多错误的出现.同样的题目有时也可以用不同的方法来计算,只要我们多观察行列式的特点就能找到适合的方法．特别需要注意的是有的行列式的计算不是单纯的一种方法就能够完成,有时需要用到两种或两种以上的方法.在对行列式定义及其方法了解透彻的基础上,可以将行列式灵活的运用在解决其它问题上.参考文献[1] 王文省,赵建立,于增海,王廷明.高等代数.山东大学出版社,2004.5.[2] 钱吉林.高等代数题解精粹[M].北京:中央民族大学出版社,2002．[3] 北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组.高等代数(第三版)[M].北京：高等教育出版社,2003.[4] 赵树原.线性代数(第三版)[M].北京:中国人民大学出版社,1998.[5] 金圣才.线性代数（理工类）考研真题与典型题详解[M].北京：中国石化出版社，2005：116-122.[6] 北京大学.高等代数[M].北京:高等教育出版社,1998.[7] 徐仲.线性代数典型题解集(第二版)[M].西安:西北工业大学出版社,2000．[8] 黎伯堂,刘桂良.高等代数解题技巧与方法.山东科学技术出版社,2002.[9] 同济大学数学系.线性代数[M].北京:高等教育出版社,2007.[10] 王品超.高等代数新方法(下册)[M].徐州:中国矿业出版社,2003．[11] 卢潮辉.从一题多解看行列式的计算[M].牡丹江教育学院学报,2010年第1期.[12] 钱吉林.线性代数概论[M].武汉:华中师范大学出版社,2000.[13] 彭玉芳,尹福源.线性代数.北京:高等教育出版社.[14] 张秦龄,王凤瑞,王廷桢.高等代数思考与训练[M].成都科技大学出版社,1991.[15] 赵培标.中值定理矢量形式及其推广[J].数学通报,1997,(11):31-32.致谢在孙守斌老师的精心指导和大力支持下,我顺利完成了毕业论文写作. 几个月来,孙老师不仅在学业上给我以精心指导,同时还在思想、生活上给我以无微不至的关怀,在此谨向孙老师致以诚挚的谢意和崇高的敬意.孙老师以其严谨求实的治学态度,高度的敬业精神,兢兢业业,孜孜以求的工作作风和大胆创新的进取精神对我产生了重要影响.他渊博的知识,开阔的视野和敏锐的思维给了我深深的启迪.同时,在此次毕业论文写作过程中我也学到了许多了关于行列式的相关知识,在分析问题并解决问题上有了很大的提高.在论文即将完成之际,我的心情无法平静,从开始进入课题到论文的顺利完成,有多少可敬的师长、同学、朋友给了我无言的帮助,在这里请接受我诚挚的谢意!。
