九年级数学中考复习-抛物线与存在性问题8

初中数学二次函数中的图形构建及存在性问题一、二次函数中有关面积的存在性问题例1（10潍坊）如图所示，抛物线与x 轴交于点()()1030A B -，、，两点，与y 轴交于点()03.C -，以AB 为直径作M ⊙，过抛物线上一点P 作M ⊙的切线PD ，切点为D ，并与M ⊙的切线AE 相交于点E ，连结DM 并延长交M ⊙于点N ，连结.AN AD 、 (1）求抛物线所对应的函数关系式及抛物线的顶点坐标； (2）若四边形EAMD 的面积为43，求直线PD 的函数关系式；(3）抛物线上是否存在点P ，使得四边形EAMD 的面积等于DAN △的面积？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由.答案：解：（1）因为抛物线与x 轴交于点()()1030A B -，、，两点，设抛物线的函数关系式为：()()13y a x x =+-，∵抛物线与y 轴交于点()03C -，， ∴()()30103a -=+-， ∴ 1.a =所以，抛物线的函数关系式为：223y x x =--，又()214y x =--，因此，抛物线的顶点坐标为()14-，．(2）连结EM ，∵EA ED 、是M ⊙，的两条切线， ∴EA ED EA AM ED MN =⊥⊥，，，∴EAM EDM △≌△ 又四边形EAMD 的面积为43，∴23EAM S =△，∴1232AM AE =·，又2AM =，∴2 3.AE =因此，点E 的坐标为()1123E -，或()2123.E --，当E 点在第二象限时，切点D 在第一象限. 在直角三角形EAM 中，23tan 3EA EMA AM ∠===， ∴60EMA ∠=°，∴60DMB ∠=° 过切点D 作DF AB ⊥，垂足为点F ，∴13MF DF ==， 因此，切点D 的坐标为()23，．设直线PD 的函数关系式为y kx b =+，将()()12323E D -，、，的坐标代入得 3223k b k b⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩解之，得3353k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以，直线PD 的函数关系式为353.33y x =-+当E 点在第三象限时，切点D 在第四象限.同理可求：切点D 的坐标为()23，-，直线PD 的函数关系式为353.y x =- 因此，直线PD 的函数关系式为35333y x =-+或353.33y x =-(3）若四边形EAMD 的面积等于DAN △的面积 又22EAM DAN AMD EAMD S S S S ==△△△四边形， ∴AMD EAM S S =△△∴E D 、两点到x 轴的距离相等，∵PD 与M ⊙相切，∴点D 与点E 在x 轴同侧， ∴切线PD 与x 轴平行，此时切线PD 的函数关系式为2y =或 2.y =-当2y =时，由223y x x =--得，1x =当2y =-时，由223y x x =--得，1x =故满足条件的点P 的位置有4个，分别是()()()1231112P P P -、、、 ()412.P -说明：本参考答案给出了一种解题方法，其它正确方法应参考标准给出相应分数.强化训练★1、（10）如图，抛物线y ＝ax 2＋c （a ＞0）经过梯形ABCD 的四个顶点，梯形的底AD 在x 轴上，其中A （－2,0），B （－1, －3）．(2）点M 为y 轴上任意一点，当点M 到A 、B 两点的距离之和为最小时，求此时点M的坐标；(3）在第（2）问的结论下，抛物线上的点P 使S △PAD ＝4S △ABM 成立，求点P 的坐标．答案：（1）、因为点A 、B 均在抛物线上，故点A 、B 的坐标适合抛物线方程∴403a c a c +=⎧⎨+=-⎩ 解之得：14a c =⎧⎨=-⎩；故24y x =-为所求(2）如图2，连接BD ，交y 轴于点M ，则点M 就是所求作的点设BD 的解析式为y kx b =+，则有203k b k b +=⎧⎨-+=-⎩，12k b =⎧⎨=-⎩，故BD 的解析式为2y x =-；令0,x =则2y =-，故(0,2)M -图2(3)、如图3，连接AM ，BC 交y 轴于点N ，由（2）知，OM=OA=OD=2，90AMB ∠=︒ 易知BN=MN=1，易求AM BM ==122ABMS=⨯=；设2(,4)P x x -， 依题意有：214422AD x -=⨯，即：2144422x ⨯-=⨯解之得：x =±，0x =，故 符合条件的P 点有三个：123((0,4)P P P --★2、．矩形OBCD 在如图所示的平面直角坐标系中，其中三个顶点分别为O (0，0)、B (0，3)、D (－2，0)，直线AB 交x 轴于点A (1，0)．(1)求直线AB 的解析式；(2)求过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式，并写出其顶点E 的坐标；(3)过点E 作x 轴的平行线EF 交AB 于点F ．将直线AB 沿轴向右平移2个单位，与x 轴交于点G ，与EF 交于点H ．请问过A 、B 、C 三点的抛物线上是否存在点P ，使得S △PAG ＝ 34S △PEH ．若存在，求点P二、二次函数中构建直角三角形与相似形的存在性问题例2 (）(12分) 如图，抛物线与x 轴交于A （－1，0）、B （3，0）两点，与y 轴交于点C（0，－3），设抛物线的顶点为D ．（1）求该抛物线的解析式与顶点D 的坐标；（2）以B 、C 、D 为顶点的三角形是直角三角形吗？为什么？（3）探究坐标轴上是否存在点P ，使得以P 、A 、C 为顶点的三角形与△BCD 相似？若存在，请指出符合条件的点P 的位置，并直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）设该抛物线的解析式为c bx ax y ++=2，由抛物线与y 轴交于点C （0，－3）,可知3-=c .即抛物线的解析式为32-+=bx ax y ． ………………………1分把A （－1，0）、B （3，0）代入, 得30,9330.a b a b --=⎧⎨+-=⎩解得2,1-==b a .∴ 抛物线的解析式为y = x 2－2x －3． ……………………………………………3分 ∴ 顶点D 的坐标为()4,1-. ……………………………………………………4分 说明：只要学生求对2,1-==b a ，不写“抛物线的解析式为y = x 2－2x －3”不扣分. （2）以B 、C 、D 为顶点的三角形是直角三角形. ……………………………5分理由如下：过点D 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为E 、F.在Rt △BOC 中，OB=3，OC=3，∴ 182=BC . (6)分在Rt △CDF 中，DF=1，CF=OF-OC=4-3=1，∴ 22=CD . (7)分在Rt △BDE 中，DE=4，BE=OB-OE=3-1=2，∴ 202=BD . (8)分∴ 222BD CD BC =+， 故△BCD 为直角三角形. …………………………9分 （3）连接AC ，可知Rt △COA ∽ Rt △BCD ，得符合条件的点为O （0，0）． ………10分过A 作AP 1⊥AC 交y 轴正半轴于P 1，可知Rt △CAP 1 ∽ Rt △COA ∽ Rt △BCD ， 求得符合条件的点为)31,0(1P ． …………………………………………11分 过C 作CP 2⊥AC 交x 轴正半轴于P 2，可知Rt △P 2CA ∽ Rt △COA ∽ Rt △BCD ， 求得符合条件的点为P 2（9，0）． …………………………………………12分 ∴符合条件的点有三个：O （0，0），)31,0(1P ，P 2（9，0）.三、二次函数中构建等腰三角形的存在性问题例3（10潼南）如图, 已知抛物线c bx x y ++=221与y 轴相交于C ，与x 轴相交于A 、B ，点A 的坐标为（2，0），点C 的坐标为（0，-1）. (1）求抛物线的解析式；(2）点E 是线段AC 上一动点，过点E 作DE ⊥x 轴于点D ，连结DC ，当△DCE 的面积最大时，求点D 的坐标；(3）在直线BC 上是否存在一点P ，使△ACP 为等腰三角形，若存在，求点P 的坐标，若不存在，说明理由.答案：解：（1）∵二次函数c bx x y ++=221的图像经过点A （2，0）C(0,－1) ∴⎩⎨⎧-==++122c c b解得： b =－21c =－1 ∴二次函数的解析式为121212--=x x y(2）设点D 的坐标为（m ，0） (0＜m ＜2） ∴ OD=m ∴AD=2-m 由△ADE ∽△AOC 得，OCDEAO AD =∴122DEm =- ∴DE=22m -∴△CDE 的面积=21×22m -×m =242m m +-=41)1(412+--m 当m =1时，△CDE 的面积最大 ∴点D 的坐标为（1，0）(3）存在 由(1)知：二次函数的解析式为121212--=x x y 设y=0则1212102--=x x 解得：x 1=2 x 2=－1 ∴点B 的坐标为（－1，0） C （0，－1）设直线BC 的解析式为：y =kx ＋b∴ ⎩⎨⎧-==+-1b b k 解得：k =-1 b =-1∴直线BC 的解析式为: y =－x －1在Rt △AOC 中，∠AOC=900 OA=2 OC=1 由勾股定理得：AC=5 ∵点B(－1,0) 点C （0，－1） ∴OB=OC ∠BCO=450ABCED xy o题图26①当以点C 为顶点且PC=AC=5时， 设P(k, －k －1)过点P 作PH⊥y 轴于H ∴∠HCP=∠BCO=450 CH=PH=∣k ∣ 在Rt △PCH 中k 2+k 2=()25 解得k 1=210， k 2=－210 ∴P 1（210，－1210-） P 2（－210，1210-） ②以A 为顶点，即AC=AP=5设P(k , －k －1)，过点P 作PG ⊥x 轴于GAG=∣2－k ∣ GP=∣－k －1∣ 在Rt △APG 中 AG 2＋PG 2=AP 2(2－k )2+(－k －1)2=5 解得：k 1=1,k 2=0(舍) ∴P 3(1, －2)③以P 为顶点，PC=AP 设P(k , －k －1) 过点P 作PQ ⊥y 轴于点Q PL ⊥x 轴于点L ，∴L(k ,0)∴△QPC 为等腰直角三角形， PQ=CQ=k 由勾股定理知CP=PA=2k ∴AL=∣k -2∣, PL=｜－k －1｜在Rt △PLA 中(2k)2=(k －2)2＋(k ＋1)2 解得：k =25∴P 4(25,－27) 综上所述： 存在四个点：P 1（210，－1210-） P 2（-210，1210-） P 3(1, －2) P 4(25,－27) 三、二次函数中构建四边形的存在性问题（一）二次函数中构建梯形的存在性问题例4 (10）如图，二次函数y = -x 2+ax +b 的图像与x 轴交于A (-21，0)、 B (2，0)两点，且与y 轴交于点C ；(1) 求该拋物线的解析式，并判断△ABC 的形状；(2) 在x 轴上方的拋物线上有一点D ，且以A 、C 、D 、B 四 点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出D 点的坐标； (3) 在此拋物线上是否存在点P ，使得以A 、C 、B 、P 四点为顶点的四边形是直角梯形？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，说明理由。

抛物线与存在性-5一、解答题（共30小题）1、（2008•济南）已知：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0），顶点C（1，﹣3），与x轴交于A，B两点，A（﹣1，0）．（1）求这条抛物线的解析式；（2）如图，以AB为直径作圆，与抛物线交于点D，与抛物线对称轴交于点E，依次连接A，D，B，E，点P为线段AB上一个动点（P与A，B两点不重合），过点P作PM⊥AE于M，PN⊥DB于N，请判断是否为定值若是，请求出此定值；若不是，请说明理由；（3）在（2）的条件下，若点S是线段EP上一点，过点S作FG⊥EP，FG分别与边AE，BE相交于点F，G（F与A，E不重合，G与E，B不重合），请判断是否成立．若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．2、（2008•昆明）如图，在直角坐标系中，以点M（3，0）为圆心，以6为半径的圆分别交x 轴的正半轴于点A，交x轴的负半轴交于点B，交y轴的正半轴于点C，过点C的直线交x轴的负半轴于点D（﹣9，0）（1）求A，C两点的坐标；（2）求证直线CD是⊙M的切线；（3）若抛物线y=x2+bx+c经过M，A两点，求此抛物线的解析式；（4）连接AC，若（3）中抛物线的对称轴分别与直线CD交于点E，与AC交于点F．如果点P是抛物线上的动点，是否存在这样的点P，使得S△PAM：S△CEF=：3，若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．（注意：本题中的结果均保留根号）3、（2008•临沂）如图，已知抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为D，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点M是抛物线上一点，以B，C，D，M为顶点的四边形是直角梯形，试求出点M的坐标．4、（2008•辽宁）如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣x﹣与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=ax2﹣x+c（a≠0）经过A，B，C三点．（1）求过A，B，C三点抛物线的解析式并求出顶点F的坐标；（2）在抛物线上是否存在点P，使△ABP为直角三角形，若存在，直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由；（3）试探究在直线AC上是否存在一点M，使得△MBF的周长最小，若存在，求出M点的坐标；若不存在，请说明理由．5、（2008•连云港）如图，现有两块全等的直角三角形纸板Ⅰ，Ⅱ，它们两直角边的长分别为1和2．将它们分别放置于平面直角坐标系中的△AOB，△COD处，直角边OB，OD在x轴上．一直尺从上方紧靠两纸板放置，让纸板Ⅰ沿直尺边缘平行移动．当纸板Ⅰ移动至△PEF处时，设PE，PF与OC分别交于点M，N，与x轴分别交于点G，H．（1）求直线AC所对应的函数关系式；（2）当点P是线段AC（端点除外）上的动点时，试探究：①点M到x轴的距离h与线段BH的长是否总相等？请说明理由；②两块纸板重叠部分（图中的阴影部分）的面积S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及S取最大值时点P的坐标；若不存在，请说明理由．6、（2008•茂名）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A（0，﹣4）、B（x1，0）、C（x2，0）三点，且x2﹣x1=5．（1）求b、c的值；（2）在抛物线上求一点D，使得四边形BDCE是以BC为对角线的菱形；（3）在抛物线上是否存在一点P，使得四边形BPOH是以OB为对角线的菱形？若存在，求出点P的坐标，并判断这个菱形是否为正方形；若不存在，请说明理由．7、（2008•南平）如图，平面直角坐标系中有一矩形纸片OABC，O为原点，点A，C分别在x轴，y轴上，点B坐标为（m，）（其中m＞0），在BC边上选取适当的点E和点F，将△OCE 沿OE翻折，得到△OGE；再将△ABF沿AF翻折，恰好使点B与点G重合，得到△AGF，且∠OGA=90度．（1）求m的值；（2）求过点O，G，A的抛物线的解析式和对称轴；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得△OPG是等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，直接答出所有满足条件的点P的坐标（不要求写出求解过程）．8、（2008•莆田）如图：抛物线经过A（﹣3，0）、B（0，4）、C（4，0）三点．（1）求抛物线的解析式．（2）已知AD=AB（D在线段AC上），有一动点P从点A沿线段AC以每秒1个单位长度的速度移动；同时另一个动点Q以某一速度从点B沿线段BC移动，经过t秒的移动，线段PQ被BD 垂直平分，求t的值；（3）在（2）的情况下，抛物线的对称轴上是否存在一点M，使MQ+MC有最小值？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．（注：抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=﹣）9、（2008•青岛）已知：如图①，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=4 cm，BC=3 cm，点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s；点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s；连接PQ．若设运动的时间为t（s）（0＜t＜2），解答下列问题：（1）当t为何值时，PQ∥BC；（2）设△AQP的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t，使线段PQ恰好把Rt△ACB的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由；（4）如图②，连接PC，并把△PQC沿QC翻折，得到四边形PQP′C，那么是否存在某一时刻t，使四边形PQP′C为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由．10、（2008•沈阳）如图所示，在平面直角坐标系中，矩形ABOC的边BO在x轴的负半轴上，边OC在y轴的正半轴上，且AB=1，OB=，矩形ABOC绕点O按顺时针方向旋转60°后得到矩形EFOD．点A的对应点为点E，点B的对应点为点F，点C的对应点为点D，抛物线y=ax2+bx+c过点A，E，D．（1）判断点E是否在y轴上，并说明理由；（2）求抛物线的函数表达式；（3）在x轴的上方是否存在点P，点Q，使以点O，B，P，Q为顶点的平行四边形的面积是矩形ABOC面积的2倍，且点P在抛物线上，若存在，请求出点P，点Q的坐标；若不存在，请说明理由．11、（2008•苏州）如图，抛物线y=a（x+1）（x﹣5）与x轴的交点为M，N．直线y=kx+b与x轴交于P（﹣2，0），与y轴交于C．若A，B两点在直线y=kx+b上，且AO=BO=，AO⊥BO．D 为线段MN的中点，OH为Rt△OPC斜边上的高．（1）OH的长度等于_________；k=_________，b=_________；（2）是否存在实数a，使得抛物线y=a（x+1）（x﹣5）上有一点E，满足以D，N，E为顶点的三角形与△AOB相似？若不存在，说明理由；若存在，求所有符合条件的抛物线的解析式，同时探索所求得的抛物线上是否还有符合条件的E点（简要说明理由）；并进一步探索对符合条件的每一个E点，直线NE与直线AB的交点G是否总满足PB•PG＜10，写出探索过程．12、（2008•十堰）已知抛物线y=﹣ax2+2ax+b与x轴的一个交点为A（﹣1，0），与y轴的正半轴交于点C．（1）直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；（2）当点C在以AB为直径的⊙P上时，求抛物线的解析式；（3）坐标平面内是否存在点M，使得以点M和（2）中抛物线上的三点A、B、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．13、（2008•乌兰察布）两个直角边为6的全等的等腰直角三角形Rt△AOB和Rt△CED，按如图一所示的位置放置，点O与E重合．（1）Rt△AOB固定不动，Rt△CED沿x轴以每秒2个单位长度的速度向右运动，当点E运动到与点B重合时停止，设运动x秒后，Rt△AOB和Rt△CED的重叠部分面积为y，求y与x之间的函数关系式；（2）当Rt△CED以（1）中的速度和方向运动，运动时间x=2秒时，Rt△CED运动到如图二所示的位置，若抛物线y=x2+bx+c过点A，G，求抛物线的解析式；（3）现有一动点P在（2）中的抛物线上运动，试问点P在运动过程中是否存在点P到x轴或y轴的距离为2的情况，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．14、（2008•西宁）如图，已知半径为1的⊙O1与x轴交于A，B两点，OM为⊙O1的切线，切点为M，圆心O1的坐标为（2，0），二次函数y=﹣x2+bx+c的图象经过A，B两点．（1）求二次函数的解析式；（2）求切线OM的函数解析式；（3）线段OM上存在一点P，使得以P，O，A为顶点的三角形与△OO1M相似．请问有几个符合条件的点P并分别求出它们的坐标．15、（2008•武汉）如图1，抛物线y=ax2﹣3ax+b经过A（﹣1，0），C（3，2）两点，与y轴交于点D，与x轴交于另一点B．（1）求此抛物线的解析式；（2）若直线y=kx﹣1（k≠0）将四边形ABCD面积二等分，求k的值；（3）如图2，过点E（1，﹣1）作EF⊥x轴于点F，将△AEF绕平面内某点旋转180°后得△MNQ （点M，N，Q分别与点A，E，F对应），使点M，N在抛物线上，求点M，N的坐标．16、（2008•乌鲁木齐）如图，在平面直角坐标系中，以点C（1，1）为圆心，2为半径作圆，交x轴于A，B两点，开口向下的抛物线经过点A，B，且其顶点P在⊙C上．（1）求∠ACB的大小；（2）写出A，B两点的坐标；（3）试确定此抛物线的解析式；（4）在该抛物线上是否存在一点D，使线段OP与CD互相平分？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．17、（2008•湘西州）已知抛物线y=﹣（x+2）2+k与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点B在x轴的正半轴上，C点在y轴的正半轴上，线段OB、OC的长（OB＜OC）是方程x2﹣10x+16=0的两个根．（1）求A、B、C三点的坐标；（2）在平面直角坐标系内画出抛物线的大致图象并标明顶点坐标；（3）连AC、BC，若点E是线段AB上的一个动点（与A、B不重合），过E作EF∥AC交BC于F，连CE，设AE=m，△CEF的面积为S，求S与m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；（4）在（3）的基础上说明S是否存在最大值，并求出此时点E的坐标，判断此时△BCE的形状；若不存在，请说明理由．18、（2008•湘潭）已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（5，0）、B（6，﹣6）和原点．（1）求抛物线的函数关系式；（2）若过点B的直线y=kx+b与抛物线交于点C（2，m），请求出△OBC的面积S的值；（3）过点C作平行于x轴的直线交y轴于点D，在抛物线对称轴右侧位于直线DC下方的抛物线上，任取一点P，过点P作直线PF平行于y轴交x轴于点F，交直线DC于点E．直线PF与直线DC及两坐标轴围成矩形OF图），是否存在点P，使得△OCD与△CPE相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．19、（2008•重庆）已知：如图，抛物线y=ax2﹣2ax+c（a≠0）与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A、B，点A的坐标为（4，0）．（1）求该抛物线的解析式；（2）点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE∥AC，交BC于点E，连接CQ．当△CQE的面积最大时，求点Q的坐标；（3）若平行于x轴的动直线l与该抛物线交于点P，与直线AC交于点F，点D的坐标为（2，0）．问：是否存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．20、（2009•长沙）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴相交于点C．连接AC、BC，A、C两点的坐标分别为A（﹣3，0）、C（0，），且当x=﹣4和x=2时二次函数的函数值y相等．（1）求实数a，b，c的值；（2）若点M、N同时从B点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA、BC边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．当运动时间为t秒时，连接MN，将△BMN沿MN 翻折，B点恰好落在AC边上的P处，求t的值及点P的坐标；（3）在（2）的条件下，二次函数图象的对称轴上是否存在点Q，使得以B，N，Q为项点的三角形与△ABC相似？如果存在，请求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．21、（2009•赤峰）如图，Rt△ABC的顶点坐标分别为A（0，），B（，），C（1，0），∠ABC=90°，BC与y轴的交点为D，D点坐标为（0，），以点D为顶点y轴为对称轴的抛物线过点B．（1）求该抛物线的解析式．（2）将△ABC沿AC折叠后得到点B的对应点B'，求证：四边形AOCB'是矩形，并判断点B'是否在（1）的抛物线上．（3）延长BA交抛物线于点E，在线段BE上取一点P，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点F，是否存在这样的点P，使四边形PADF是平行四边形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由．22、（2009•成都）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=a（x+1）2+c（a＞0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，其顶点为M，若直线MC的函数表达式为y=kx﹣3，与x轴的交点为N，且cos∠BCO=．（1）求此抛物线的函数表达式；（2）在此抛物线上是否存在异于点C的点P，使以N、P、C为顶点的三角形是以NC为一条直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）过点A作x轴的垂线，交直线MC于点Q．若将抛物线沿其对称轴上下平移，使抛物线与线段NQ总有公共点，则抛物线向上最多可平移多少个单位长度？向下最多可平移多少个单位长度？23、（2009•朝阳）如图①，点A′，B′的坐标分别为（2，0）和（0，﹣4），将△A′B′O绕点O按逆时针方向旋转90°后得△ABO，点A′的对应点是点A，点B′的对应点是点B．（1）写出A，B两点的坐标，并求出直线AB的解析式；（2）将△ABO沿着垂直于x轴的线段CD折叠，（点C在x轴上，点D在AB上，点D不与A，B重合）如图②，使点B落在x轴上，点B的对应点为点E．设点C的坐标为（x，0），△CDE 与△ABO重叠部分的面积为S．①试求出S与x之间的函数关系式（包括自变量x的取值范围）；②当x为何值时，S的面积最大，最大值是多少？③是否存在这样的点C，使得△ADE为直角三角形？若存在，直接写出点C的坐标；若不存在，请说明理由．24、（2009•定西）如图1，抛物线y=x2﹣2x+k与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．[图2、图3为解答备用图]（1）k=_________，点A的坐标为_________，点B的坐标为_________；（2）设抛物线y=x﹣2x+k的顶点为M，求四边形ABMC的面积；（3）在x轴下方的抛物线上是否存在一点D，使四边形ABDC的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；（4）在抛物线y=x2﹣2x+k上求点Q，使△BCQ是以BC为直角边的直角三角形．25、（2009•德城区）如图所示，已知抛物线y=x2﹣1与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．（1）求A、B、C三点的坐标；（2）过点A作AP∥CB交抛物线于点P，求四边形ACBP的面积；（3）在x轴上方的抛物线上是否存在一点M，过M作MG⊥x轴于点G，使以A、M、G三点为顶点的三角形与△PCA相似？若存在，请求出M点的坐标；否则，请说明理由．26、（2009•达州）如图，抛物线y=a（x+3）（x﹣1）与x轴相交于A、B两点（点A在点B右侧），过点A的直线交抛物线于另一点C，点C的坐标为（﹣2，6）．（1）求a的值及直线AC的函数关系式；（2）P是线段AC上一动点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点M，交x轴于点N．①求线段PM长度的最大值；②在抛物线上是否存在这样的点M，使得△CMP与△APN相似？如果存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标（不必写解答过程）；如果不存在，请说明理由．27、（2009•崇左）在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点A（0，2），点C（﹣1，0），如图所示：抛物线y=ax2+ax﹣2经过点B．（1）求点B的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．28、（2009•鄂州）如图所示，将矩形OABC沿AE折叠，使点O恰好落在BC上F处，以CF为边作正方形CFGH，延长BC至M，使CM=|CE﹣EO|，再以CM、CO为边作矩形CMNO．（1）试比较EO、EC的大小，并说明理由；（2）令m=，请问m是否为定值？若是，请求出m的值；若不是，请说明理由；（3）在（2）的条件下，若CO=1，CE=，Q为AE上一点且QF=，抛物线y=mx2+bx+c经过C、Q两点，请求出此抛物线的解析式；（4）在（3）的条件下，若抛物线y=mx2+bx+c与线段AB交于点P，试问在直线BC上是否存在点K，使得以P、B、K为顶点的三角形与△AEF相似？若存在，请求直线KP与y轴的交点T的坐标；若不存在，请说明理由．29、（2009•鄂尔多斯）已知：t1，t2是方程t2+2t﹣24=0的两个实数根，且t1＜t2，抛物线y=x2+bx+c 的图象经过点A（t1，0），B（0，t2）．（1）求这个抛物线的解析式；（2）设点P（x，y）是抛物线上一动点，且位于第三象限，四边形OPAQ是以OA为对角线的平行四边形，求平行四边形OPAQ的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）在（2）的条件下，当平行四边形OPAQ的面积为24时，是否存在这样的点P，使▱OPAQ 为正方形？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．30、（2009•海南）如图，已知抛物线经过坐标原点O和x轴上另一点E，顶点M的坐标为（2，4）；矩形ABCD的顶点A与点O重合，AD、AB分别在x轴、y轴上，且AD=2，AB=3．（1）求该抛物线所对应的函数关系式；（2）将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从如图所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动，同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动，设它们运动的时间为t秒（0≤t≤3），直线AB与该抛物线的交点为N（如图2所示）．①当t=时，判断点P是否在直线ME上，并说明理由；②设以P、N、C、D为顶点的多边形面积为S，试问S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．答案与评分标准一、解答题（共30小题）1、（2008•济南）已知：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0），顶点C（1，﹣3），与x轴交于A，B两点，A（﹣1，0）．（1）求这条抛物线的解析式；（2）如图，以AB为直径作圆，与抛物线交于点D，与抛物线对称轴交于点E，依次连接A，D，B，E，点P为线段AB上一个动点（P与A，B两点不重合），过点P作PM⊥AE于M，PN⊥DB于N，请判断是否为定值若是，请求出此定值；若不是，请说明理由；（3）在（2）的条件下，若点S是线段EP上一点，过点S作FG⊥EP，FG分别与边AE，BE相交于点F，G（F与A，E不重合，G与E，B不重合），请判断是否成立．若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．考点：二次函数综合题。

抛物线中的存在性问题复习1.平面直角坐标系中两点A 11(,y )x 、B 22(,y )x ，则线段AB 的中点坐标是 ，AB 长为 .2.已知直线111:=+l y k x b 与直线222:=+l y k x b 12(0)≠k k .若12⊥l l ，则 ；若1l ∥2l ，则 .例1：如图，抛物线223=-++y x x 与x 轴的交点为A 、C ，与y 轴交于点B ．在抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使△ABQ 是以AB 为底的等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q 点坐标；若不存在，请说明理由；变式1：上述（1）中若将“△ABQ 是以AB 为底的等腰三角形”改为“△ABQ 是等腰三角形”，其他条件不变，请直接写出Q 点坐标 。

变式2：点D 为抛物线322--=x x y 的顶点，连接BC ，点P 是直线BC 上一动点，是否存在点P ，使△PAD为等腰三角形，若存在，求出点P 的坐标，若不存在，说明理由.归纳方法：例2：如图，抛物线223=-++y x x 与x 轴的交点为A 、C ，与y 轴交于点B ．在抛物线对称轴上是否存在点P ，使△ABP 是直角三角形？若存在，求出符合条件的P 点坐标；若不存在，请说明理由．A B C O xyD变式3：点P 为抛物线322--=x x y 的对称轴上的一动点，是否存在点P ，使△PBC 为直角三角形，若存在，求出点P 的坐标，若不存在，说明理由.变式4：点M 在线段BC 上，过点M 作MN 平行于x 轴交抛物线322--=x x y 第三象限内于点N ，点R 在x 轴上，是否存在点R ，使△MNR 为等腰直角三角形，若存在，求出点R 坐标，若不存在，说明理由.归纳方法：例3：如图，抛物线223=-++y x x 与x 轴的交点为A 、C ，与y 轴交于点B ．点M 在抛物线上，点N 在x 轴上，若以 A 、B 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形，求出点M 的坐标．A B CO xy M NA BCO xy变式5：点D 为抛物线322--=x x y 的顶点，点M 是抛物线上一动点，点N 为直线BC 上一动点，是否存在以O 、D 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点M 坐标，若不存在，说明理由.变式6：点D 为抛物线322--=x x y 的顶点，连接BC 点P 是直线BC 上一动点，点Q 为坐标平面内一点，是否存在以A 、D 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形，若存在，求出点P 坐标，若不存在，说明理由.归纳方法： 三、巩固训练1、如图，P 是抛物线C ：y=2x 2-8x+8对称轴上的一个动点，直线x=k 平行于y 轴，分别与直线y=x 、抛物线C 交于点A 、B ．若△ABP 是以点A 或点B 为直角顶点的等腰直角三角形，则满足条件的k 的值为 .（第1题） （第2题）A BC O xy DA BCO xyD2、如图，抛物线y=ax 2+bx +c （a ≠0）与y 轴交于点C （0，4），与x 轴交于点A 和点B ，其中点A 的坐标为 （﹣2，0），抛物线的对称轴x=1与抛物线交于点D ，与直线BC 交于点E ．平行于DE 的一条动直线l 与直线BC 相交于点P ，与抛物线相交于点Q ，若以D 、E 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，则点P 的坐标为 ．3、已知，如图A （-1，0），B （3，0），C （0，-3），抛物线2=++y ax bx c 经过A 、B 、C 三点，点E 为x 轴上一个动点，过点B 作直线CE 的垂线，垂足为D ，交y 轴于N 点．已知点F 是抛物线2=++y ax bx c 上的一动点，点G 是坐标平面上的一动点，在点E 的移动过程中，是否存在以点B 、E 、F 、G 四点为顶点的四边形是正方形，若存在，直接写出E 点的坐标，若不存在，请说明理由．4、.如图：二次函数y=-x 2+ax+b 的图象与x 轴交于A （12-，0），B （2，0）两点，且与y 轴交于点C ． （1）求该抛物线的解析式，并判断△ABC 的形状；（2）抛物线上有一点D ，且A 、C 、D 、B 四点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出D 点的坐标；（3）在此抛物线上是否存在点P ，使得以A 、C 、B 、P 四点为顶点的四边形是直角梯形？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，说明理由．5. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =﹣x 2+bx +c ，经过A （0，﹣4），B （x 1，0），C （x 2，0）三点，且|x 2﹣x 1|=5．（1）求b ，c 的值；（2）在抛物线上求一点D ，使得四边形BDCE 是以BC 为对角线的菱形；（3）在抛物线上是否存在一点P ，使得四边形BPOH 是以OB 为对角线的菱形？若存在，求出点P 的坐标，判断这个菱形是否为正方形？若不存在，请说明理由．。

中考数学专题复习——存在性问题一、二次函数中相似三角形的存在性问题1.如图，把抛物线2=向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线2y x=-+.y x h k()所得抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，顶点为D.（1）写出h k、的值；（2）判断△ACD的形状，并说明理由；（3）在线段AC上是否存在点M，使△AOM∽△ABC？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.2.如图，抛物线经过A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原点O，顶点为C．（1）求抛物线的解析式；（2）若点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标；（3）P是抛物线上的第一象限内的动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P、M、A为顶点的三角形△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．二、二次函数中面积的存在性问题3.如图，抛物线()20y ax bx a >=+与双曲线ky x=相交于点A ，B ．已知点B 的坐标为（－2，－2）， 点A 在第一象限内，且tan ∠AOX ＝4．过点A 作直线AC ∥x 轴，交抛物线于另一点C ． （1）求双曲线和抛物线的解析式；（2）计算△ABC 的面积；（3）在抛物线上是否存在点D ，使△ABD 的面积等于△ABC 的面积．若存在，写出点D 的坐标； 若不存在，说明理由．4.如图，抛物线y ＝ax 2＋c （a ＞0）经过梯形ABCD 的四个顶点，梯形的底AD 在x 轴上，A （－2,0），B （－1, －3）． （1）求抛物线的解析式；（3分）（2）点M 为y 轴上任意一点，当点M 到A 、B 两点的距离之和为最小时，求此时点M 的坐标；（2分） （3）在第（2）问的结论下，抛物线上的点P 使S △PAD ＝4S △ABM 成立，求点P 的坐标．（4分）(4)在抛物线的BD 段上是否存在点Q 使三角形BDQ 的面积最大，若有，求出点Q 的坐标，若没有，说明理由。