浙江省2019年中考数学复习题 方法技巧专题(九)角的存在性问题 (新版)浙教版

1 方法技巧专题(九) 角的存在性问题

1.[2018·乐山] 如图F9-1,曲线C2是双曲线C1:y=(x>0)绕原点O逆时针旋转45°得到的图形,P是曲线C2上任意一点,点A在直线l:y=x上,且PA=PO,则△POA的面积等于 (

)

图F9-1

A. B.6 C.3 D.12

2.[2018·宿迁] 如图F9-2,在平面直角坐标系中,反比例函数y=(x>0)的图象与正比例函数y=kx,y=x(k>1)的图象分别交于点A,B.若∠AOB=45°,则△AOB的面积是 .

图F9-2

3.如图F9-3,在平面直角坐标系xOy中,点A(-1,0),B(0,2),点C在第一象限,∠ABC=135°,AC交y轴于点D,CD=3AD,反2 比例函数y=的图象经过点C,则k的值为 .

图F9-3

4.如图F9-4,点P是正方形ABCD内一点,点P到点A,B和D的距离分别为1,2,.△ADP沿点A旋转至△ABP',连结PP',并延长AP与BC相交于点Q.

(1)求证:△APP'是等腰直角三角形;

(2)求∠BPQ的大小;

(3)求CQ的长.

图F9-4

3

5.如图F9-5,抛物线y=ax2+bx-4a经过A(-1,0),C(0,4)两点,与x轴交于另一点B.

(1)求抛物线的解析式;

(2)已知点D(m,m+1)在第一象限的抛物线上,求点D关于直线BC对称的点的坐标;

(3)在(2)的条件下,连结BD,点P为抛物线上一点,且∠DBP=45°,求点P的坐标.

图F9-5

6.如图F9-6,在平面直角坐标系xOy中,顶点为M的抛物线是由抛物线y=x2-3向右平移一个单位后得到的,它与y轴负半轴交于点A,点B在该抛物线上,且横坐标为3.

(1)求点M,A,B的坐标;

(2)连结AB,AM,BM,求∠ABM的正切值; 4 (3)点P是顶点为M的抛物线上一点,且位于对称轴的右侧,设PO与x轴正半轴的夹角为α,当α=∠ABM时,求点P的坐标.

图F9-6

7.如图F9-7,抛物线y=-x2+bx+c与直线y=x+2交于C,D两点,其中点C在y轴上,点D的坐标为(3,).点P是y轴右侧的抛物线上一动点,过点P作PE⊥x轴于点E,交CD于点F.

(1)求抛物线的解析式;

(2)若存在点P,使∠PCF=45°,求点P的坐标.

图F9-7

5

8.[2018·莱芜] 如图F9-8,抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1,0),B(4,0),C(0,3)三点,D为直线BC上方抛物线上一动点,DE⊥BC于点E.

(1)求抛物线的函数表达式.

(2)如图①,求线段DE长度的最大值.

(3)如图②,设AB的中点为F,连结CD,CF,是否存在点D,使得△CDE中有一个角与∠CFO相等?若存在,求点D的横坐标;若不存在,请说明理由.

图F9-8

6 7

参考答案

1.B [解析] 如图,将点P绕点O顺时针旋转45°,得到点P的对应点P',

∵曲线C2是双曲线C1:y=(x>0)绕原点O逆时针旋转45°得到的图形,

∴点P'在双曲线y=上,且OP=OP',

过点P'作P'M⊥y轴于点M,过点P作PH⊥OA于点H.

∴△OP'M的面积=|k|=3.

∵PA=PO,∴OH=AH.

又∵点A在直线l:y=x上,

∴∠AOM=45°,而∠POP'=45°,

不妨设∠MOP'=α,

∴∠OP'M=90°-α,∠POA=45°+(45°-α)=90°-α,

∴∠POA=∠OP'M.

又∵∠PHO=∠P'MO=90°,OP=OP',

∴△OPH≌△P'OM(AAS),

∴△OPH的面积=△OP'M的面积=3.

又∵OH=AH,∴△OPA的面积为6.故选B.

8 2.2 [解析] 如图,过点O作OC⊥AB,垂足为C,过点A作AM⊥y轴,垂足为M,过点B作BN⊥x轴,垂足为N.

设点A的横坐标为a,则点A的纵坐标为.

∵点A在正比例函数y=kx的图象上,∴=ka,k=.∴OB所在直线的解析式为y=x.

令x=,得x=,此时y=a.∴点B的坐标为(,a).

∴OA=OB,∴∠AOC=∠BOC,△OAM≌△OBN.

∵∠AOB=45°,

∴∠AOC=∠AOM.

∴△OAM≌△OAC.

∴S△OAB=2S△OAM=2.

3.9

4.解:(1)证明:∵△ABP'是由△ADP顺时针旋转90°得到的,∴AP=AP',∠PAP'=90°,

∴ △APP'是等腰直角三角形.

(2)∵△APP'是等腰直角三角形,AP=1,

∴∠APP'=45°,PP'=.

又∵BP'=DP=,BP=2,

∴PP'2+BP2=BP'2,∴∠BPP'=90°. 9 ∵∠APP'=45°,

∴∠BPQ=180°-∠APP'-∠BPP'=45°.

(3)过点B作BE⊥AQ于点E,则△PBE为等腰直角三角形,

∴BE=PE,BE2+PE2=PB2,

∴BE=PE=2,∴AE=3,

∴AB==,则BC=.

∵∠BAQ=∠EAB,∠AEB=∠ABQ=90°,

∴△ABE∽△AQB,

∴= ,即 =,∴AQ=,

∴BQ==,

∴CQ=BC-BQ=.

5.解:(1)∵抛物线y=ax2+bx-4a经过A(-1,0),C(0,4)两点,

∴ 10 解得

∴抛物线的解析式为y=-x2+3x+4.

(2)∵点D(m,m+1)在抛物线上,

∴m+1=-m2+3m+4,即m2-2m-3=0,

∴m=-1或m=3.

∵点D在第一象限,∴点D的坐标为(3,4).

由(1)知OC=OB,∴∠CBA=45°.

如图①,设点D关于直线BC对称的点为点D'.∵C(0,4),

∴CD∥AB,且CD=3,

∴∠D'CB=∠DCB=45°,

∴点D'在y轴上,且CD'=CD=3,∴OD'=1,

∴D'(0,1),即点D关于直线BC对称的点的坐标为(0,1).

(3)如图②,过点P作PF⊥AB于点F,过点D作DE⊥BC于点E.由(1)有OB=OC=4,∴∠OBC=45°.

∵∠DBP=45°,∴∠CBD=∠PBA.

∵C(0,4),D(3,4),∴CD∥OB且CD=3,

∴∠DCE=∠CBO=45°,∴DE=CE=. 11 ∵OB=OC=4,∴BC=4,

∴BE=BC-CE=,

∴tan∠PBF=tan∠CBD==.

设PF=3t,则BF=5t,OF=5t-4,∴P(-5t+4,3t).

∵P点在抛物线上,

∴3t=-(-5t+4)2+3(-5t+4)+4,

∴t=0(舍去)或t=,∴P(-,).

6.解:(1)∵抛物线y=x2-3向右平移一个单位后得到的函数解析式为y=(x-1)2-3.∴顶点M(1,-3),令x=0,则y=(0-1)2-3=-2,∴点A(0,-2).

当x=3时,y=(3-1)2-3=4-3=1,

∴点B(3,1).

(2)如图,过点B作BE⊥y轴于点E,过点M作MF⊥y轴于点F,∵EB=EA=3,∴∠EAB=∠EBA=45°,

同理可求∠FAM=∠FMA=45°,

∴△ABE∽△AMF,∴==.

又∵∠BAM=180°-45°×2=90°.

∴tan∠ABM==.

(3)如图,过点P作PH⊥x轴于点H. 12 ∵y=(x-1)2-3=x2-2x-2,

∴设点P(x,x2-2x-2),

①点P在x轴上方时,=,

整理,得3x2-7x-6=0,

解得x1=-(舍去),x2=3,

∴点P的坐标为(3,1).

②点P在x轴下方时,=,

整理,得3x2-5x-6=0,

解得x1=(舍去),x2=.

当x=时,y=x2-2x-2=-,

∴点P的坐标为(,-).

综上所述,点P的坐标为(3,1)或(,-).

7.解:(1)由抛物线过点C(0,2),D(3,),可得 13 解得

故抛物线的解析式为y=-x2+x+2.

(2)设P(m,-m2+m+2).如图,当点P在CD上方且∠PCF=45°时,过点P作PM⊥CD于点M,过点C作CN⊥PF于点N,

则△PMF∽△CNF

,

∴===2,∴PM=CM=2MF=2CF.

∴PF=FM=CF=×CN=CN=m.

又∵PF=-m2+3m,∴-m2+3m=m.

解得m1=,m2=0(舍去),∴P(,).

当点P在CD下方且∠PCF=45°时,

同理可以求得另外一点为P(,).

8.[解析] (1)由抛物线经过A,B,C三点,用待定系数法可求函数表达式;(2)先求出直线BC的函数关系式,再过点D作DM14 ⊥x轴交BC于点M,设点D的坐标,表示出点M的坐标,利用相似三角形将线段DE的长转化为DM的长,得到一个二次函数表达式,再根据二次函数的性质求最值;(3)由∠CED=∠COF=90°,分两种情况求解:①∠DCE=∠CFO;②∠CDE=∠CFO.

解:(1)由题意,得解得

∴y=-x2+x+3.

(2)设直线BC的解析式为y=kx+m,则有解得∴y=-x+3.

设D(n,-n2+n+3) (0

如图①,过点D作DM⊥x轴交BC于点M,

∴M(n,-n+3).

∴DM=(-n2+n+3)-(-n+3)=-n2+3n.

∵∠DME=∠OCB,∠DEM=∠COB,∴△DEM∽△BOC,∴=.

∵OB=4,OC=3,∴BC=5,∴DE=DM.