九年级数学中考复习-抛物线与存在性问题8

抛物线与存在性-8

一、解答题（共30小题）

1、（2010?河源）如图，直角梯形OABC中，OC∥AB，C（0，3），B（4，1），以BC为直径的圆交x轴于E，D两点（D点在E点右方）．

（1）求点E，D的坐标；

（2）求过B，C，D三点的抛物线的函数关系式；

（3）过B，C，D三点的抛物线上是否存在点Q，使△BDQ是以BD为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q的坐标．

2、（2010?江汉区）如图，平面直角坐标系中，点A、B、C在x轴上，点D、E在y轴上，OA=OD=2，OC=OE=4，DB⊥DC，直线AD与经过B、E、C三点的抛物线交于F、G两点，与其对称轴交于M．点P为线段FG上一个动点（与F、G不重合），PQ∥y轴与抛物线交于点Q．

（1）求经过B、E、C三点的抛物线的解析式；

（2）是否存在点P，使得以P、Q、M为顶点的三角形与△AOD相似？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）若抛物线的顶点为N，连接QN，探究四边形PMNQ的形状：①能否成为菱形；②能否成为等腰梯形？若能，请直接写出点P的坐标；若不能，请说明理由．

3、（2010?吉林）矩形OBCD在如图所示的平面直角坐标系中，其中三个顶点分别是O（0，0），B（0，3），D（﹣2，0），直线AB交x轴于点A（1，0）．

（1）求直线AB的解析式；

（2）求过A、B、C三点的抛物线的解析式，并写出其顶点E的坐标；

（3）过点E作x轴的平行线EF交AB于点F，将直线AB沿x轴向右平移2个单位，与x轴交于点G，与EF交于点H，请问过A、B、C三点的抛物线上是否存在点P，是的S△PAG=

S△PEH，若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

4、（2010?昆明）在平面直角坐标系中，抛物线经过O（0，0）、A（4，0）、B（3，

）三点．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）以OA的中点M为圆心，OM长为半径作⊙M，在（1）中的抛物线上是否存在这样的点P，过点P作⊙M的切线l，且l与x轴的夹角为30°，若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．（注意：本题中的结果可保留根号）

5、（2010?荆门）已知：如图一次函数y=

x+1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B；二次函数y=

x2+bx+c的图象与一次函数y=

x+1的图象交于B、C两点，与x轴交于D、E两点且D点坐标为（1，0）．

（1）求二次函数的解析式；

（2）求四边形BDEC的面积S；

（3）在x轴上是否存在点P，使得△PBC是以P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出所有的点P，若不存在，请说明理由．

6、（2010?锦州）如图，抛物线与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，且x1＞x2，与y轴交于点C（0，4），其中x1，x2是方程x2﹣2x﹣8=0的两个根．

（1）求这条抛物线的解析式；

（2）点P是线段AB上的动点，过点P作PE∥AC，交BC于点E，连接CP，当△CPE的面积最大时，求点P的坐标；

（3）探究：若点Q是抛物线对称轴上的点，是否存在这样的点Q，使△QBC成为等腰三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

7、（2010?江西）如图，已知经过原点的抛物线y=﹣2x2+4x与x轴的另一交点为A，现将它向右平移m（m＞0）个单位，所得抛物线与x轴交于C、D两点，与原抛物线交于点P．

（1）求点A的坐标，并判断△PCA存在时它的形状（不要求说理）；

（2）在x轴上是否存在两条相等的线段，若存在，请一一找出，并写出它们的长度（可用含m的式子表示）；若不存在，请说明理由；

（3）设△CDP的面积为S，求S关于m的关系式．

8、（2010?江津区）如图，抛物线y=ax2+bx+1与x轴交于两点A（﹣1，0），B（1，0），与y轴交于点C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）过点B作BD∥CA抛物线交于点D，求四边形ACBD的面积；

（3）在x轴下方的抛物线上是否存在点M，过M作MN⊥x轴于点N，使以A、M、N为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，则求出点M的坐标；若不存

在，请说明理由．

9、（2010?丽水）△ABC中，∠A=∠B=30°，AB=2

，把△ABC放在平面直角坐标系中，使AB的中点位于坐标原点O（如图），△ABC可以绕点O作任意角度的旋转．

（1）当点B在第一象限，纵坐标是

时，求点B的横坐标；

（2）如果抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴经过点C，请你探究：

①当a=

，b=﹣

，c=﹣

时，A，B两点是否都在这条抛物线上？并说明理由；

②设b=﹣2am，是否存在这样的m的值，使A，B两点不可能同时在这条抛物线上？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．

10、（2010?龙岩）如图，抛物线交x轴于点A（﹣2，0），点B（4，0），交y轴于点C（0，﹣4）．

（1）求抛物线的解析式，并写出顶点D的坐标；

（2）若直线y=﹣x交抛物线于M，N两点，交抛物线的对称轴于点E，连接BC，EB，EC．试判断△EBC的形状，并加以证明；

（3）设P为直线MN上的动点，过P作PF∥ED交直线MN下方的抛物线于点F．问：在直线MN上是否存在点P，使得以P、E、D、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P及相应的点F的坐标；若不存在，请说明理由．

11、（2010?临沂）如图：二次函数y=﹣x2+ax+b的图象与x轴交于A（﹣

，0），B（2，0）两点，且与y轴交于点C．

（1）求该抛物线的解析式，并判断△ABC的形状；

（2）在x轴上方的抛物线上有一点D，且A、C、D、B四点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出D点的坐标；

（3）在此抛物线上是否存在点P，使得以A、C、B、P四点为顶点的四边形是直角梯形？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由．

12、（2010?茂名）如图，在直角坐标系xOy中，正方形OCBA的顶点A，C分别在y轴，x轴上，点B坐标为（6，6），抛物线y=ax2+bx+c经过点A，B两点，且3a﹣b=﹣1．

（1）求a，b，c的值；

（2）如果动点E，F同时分别从点A，点B出发，分别沿A→B，B→C运动，速度都是每秒1个单位长度，当点E到达终点B时，点E，F随之停止运动，设运动时间为t秒，△EBF的面积为S．

①试求出S与t之间的函数关系式，并求出S的最大值；

②当S取得最大值时，在抛物线上是否存在点R，使得以E，B，R，F为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出点R的坐标；如果不存在，请说明理由．

13、（2010?南宁）如图，把抛物线y=﹣x2（虚线部分）向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得出抛物线l1，抛物线l2与抛物线l1关于y轴对称．点A，O，B分别是抛物线l1l2与x轴的交点，D，C分别是抛物线l1，l2的顶点，线段CD交y轴于点E．

（1）分别写出抛物线l1与l2的解析式；

（2）设P使抛物线l1上与D，O两点不重合的任意一点，Q点是P点关于y轴的对称点，试判断以P，Q，C，D为顶点的四边形是什么特殊的四边形？请说明理由．

（3）在抛物线l1上是否存在点M，使得S△ABM=S四边形AOED，如果存在，求出M点的坐标；如果不存在，请说明理由．

14、（2010?綦江县）已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的图象经过点B（12，0）和C（0，﹣6），对称轴为x=2．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）点D在线段AB上且AD=AC，若动点P从A出发沿线段AB以每秒1个单位长度的速度匀速运动，同时另一动点Q以某一速度从C出发沿线段CB匀速运动，问是否存在某一时刻，使线段PQ被直线CD垂直平分？若存在，请求出此时的时间t（秒）和点Q的运动速度；若不存在，请说明理由；

（3）在（2）的结论下，直线x=1上是否存在点M，使△MPQ为等腰三角形？若存在，请求出所有点M的坐标；若不存在，请说明理由．

15、（2010?盘锦）如图所示，已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0），抛物线的对称轴x=2交x轴于点E．

（1）求交点A的坐标及抛物线的函数关系式；

（2）在平面直角坐标系xOy中是否存在点P，使点P与A，B，C三点构成一个平行四边形？若存在，请直接写出点P坐标：若不存在，请说明理由；

（3）连接CB交抛物线对称轴于点D，在抛物线上是否存在一点Q，使得直线CQ把四边形DEOC分成面积比为1：7的两部分？若存在，请求出点Q坐标；若不存在，请说明理由．

16、（2010?攀枝花）如图所示，已知直线y=

x与抛物线y=ax2+b（a≠0）交于A（﹣4，﹣2），B（6，3）两点．抛物线与y轴的交点为C．

（1）求这个抛物线的解析式；

（2）在抛物线上存在点M，是△MAB是以AB为底边的等腰三角形，求点M的坐标；

（3）在抛物线上是否存在点P使得△PAC的面积是△ABC面积的

，若存在，试求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．