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小学六年级奥数整数的裂项与拆分练习题
小学六年级奥数整数的裂项与拆分练习题
在整数中，有用2个以上的连续自然数的和来表达一个整数的方法.例如9：9=4+5，9=2+3+4，9有两个用2个以上连续自然数的和
来表达它的方法.
(1)请写出只有3种这样的表示方法的最小自然数.
(2)请写出只有6种这样的表示方法的最小自然数.
(2)有6种表示方法，于是奇数约数的'个数为6+1=7，最小为
729(1、3、9、27、81、243、729)，有连续的2，3、6、9、10、27
个数相加：
364+365;242+243+244;119+120+...+124;77+78+79+...+85;36+37+...+45;14+15+ (40)
解答：解：根据(1)知道，有3种表达方法，于是奇约数的个数
为3+1=4，对4分解质因数4=2×2，最小的15(1、3、5、15);
有连续的2、3、5个数相加;7+8;4+5+6;1+2+3+4+5;
根据(2)知道，有6种表示方法，于是奇数约数的个数为6+1=7，最小为729(1、3、9、27、81、243、729)，
有连续的2，3、6、9、10、27个数相加：
364+365;242+243+244;119+120+…+124;77+78+79+…+85;36+37+…+45;14+15+…+40。
第九讲整数的分拆例1 小兵和小军用玩具枪做打靶游戏，见下图所示.他们每人打了两发子弹.小兵共打中6环，小军共打中5环.又知没有哪两发子弹打到同一环带内，并且弹无虚发.你知道他俩打中的都是哪几环吗？解：已知小兵两发子弹打中6环，要求每次打中的环数，可将6分拆6=1+5=2+4；同理，要求小军每次打中的环数，可将5分拆5=1+4=2+3.由题意：没有哪两发子弹打到同一环带内并且弹无虚发，只可能是：小兵打中的是1环和5环，小军打中的是2环和3环.例2 某个外星人来到地球上，随身带有本星球上的硬币1分、2分、4分、8分各一枚，如果他想买7分钱的一件商品，他应如何付款？买9分、10分、13分、14分和15分的商品呢？他又将如何付款？解：这道题目的实质是要求把7、9、10、13、14、15各数按1、2、4、8进行分拆.7=1+2+49=1+810=2+813=1+4+814=2+4+815=1+2+4+8外星人可按以上方式付款.例3 有人以为8是个吉利数字，他们得到的东西的数量都能要够用“8”表示才好.现有200块糖要分发给一些人，请你帮助想一个吉利的分糖方案.解：可以这样想：因为200的个位数是0，又知只有5个8相加才能使和的个位数字为0，这就是说，可以把200分成5个数，每个数的个位数字都应是8.这样由8×5=40及200-40=160，可知再由两个8作十位数字可得80×2=160即可.最后得到下式：88+88+8+8+8=200.例4 试将100以内的完全平方数分拆成从1开始的一串奇数之和.解：1=1×1=12=1（特例）4=2×2=22=1+39=3×3=32=1+3+516=4×4=42=1+3+5+725=5×5=52=1+3+5+7+936=6×6=62=1+3+5+7+9+1149=7×7=72=1+3+5+7+9+11+1364=8×8=82=1+3+5+7+9+11+13+1581=9×9=92=1+3+5+7+9+11+13+15+17100=10×10=102=1+3+5+7+9+11+13+15+17+19.观察上述各式，可得出如下猜想：一个完全平方数可以写成从1开始的若干连续奇数之和，这个平方数就等于奇数个数的自乘积（平方）.检验：把11×11=121，和12×12=144，两个完全平方数分拆，看其是否符合上述猜想.121=1+3+5+7+9+11+13+15+17+19+21144=1+3+5+7+9+11+13+15+17+19+21+23结论:上述猜想对121和144两个完全平方数是正确的.例5 从1～9九个数中选取，将11写成两个不同的自然数之和，有多少种不同的写法？解：将1～9的九个自然数从小到大排成一列：1，2，3，4，5，6，7，8，9.分析先看最小的1和最大的9相加之和为10不符合要求.但用次大的2和最大的9相加，和为11符合要求，得11=2+9.逐个做下去，可得11=3+8，11=4+7，11=5+6.可见共有4种不同的写法.例6 将12分拆成三个不同的自然数相加之和，共有多少种不同的分拆方式，请把它们一一列出.解：可以做如下考虑：若将12分拆成三个不同的自然数之和，三个数中最小的数应为1，其次是2，那么第三个数就应是9得：12=1+2+9.下面进行变化，如从9中取1加到2上，又得12=1+3+8.继续按类似方法变化，可得下列各式：12=1+4+7=2+3+7，12=1+5+6=2+4+6.12=3+4+5.共有7种不同的分拆方式.例7 将21分拆成四个不同的自然数相加之和，但四个自然数只能从1～9中选取，问共有多少种不同的分拆方式，请你一一列出.解：也可以先从最大的数9考虑选取，其次选8，算一算21-（9+8）=4，所以接着只能选3和1.这样就可以得出第一个分拆式：21=9+8+3+1，以这个分拆式为基础按顺序进行调整，就可以得出所有的不同分拆方式：21=7+6+5+3}以7开头的分拆方式有1种∴共有11种不同的分拆方式.例8 从1～12这十二个自然数中选取，把26分拆成四个不同的自然数之和.26=8+7+6+5}以8开头的分拆方式共1种不同的分拆方式总数为：10+10+8+4+1=33种.总结：由例4明显看出，欲求出所有的不同的分拆方式，必须使分拆过程按一定的顺序进行.习题九1.把15分拆成不大于9的两个整数之和，有多少种不同的分拆方式，请一一列出.2.将15分拆成不大于9的三个不同的自然数之和有多少种不同分拆方式，请一一列出.3.将15分拆成三个不同的自然数相加之和，共有多少种不同的分拆方式，请一一列出.4.将15分拆成不大于9的四个不同的自然数之和，有多少种不同的分拆方式，请一一列出.5.将15分拆成四个不同的自然数之和，有多少种不同的分拆方式，请一一列出.6.把15个玻璃球分成数量不同的4堆，共有多少种不同的分法？（此题是美国小学数学奥林匹克试题）.7.七只箱子分别放有1个、2个、4个、8个、16个、32个、64个苹果.现在要从这七只箱子里取出87个苹果，但每只箱子内的苹果要么全部取走，要么不取，你看怎么取法？8.把100个馒头分装在七个盒里，要求每个盒里装的馒头的数目都带有6字，想想看，应该怎样分？9.把1000个鸡蛋放到五只筐子里，每只筐子里的鸡蛋数都由数字8组成，请你想一想该怎样分？10.美国硬币有1分、5分、10分和25分四种.现有10枚硬币价值是1元钱，其中有3枚25分的硬币.问余下的硬币有哪几种，每种各有多少枚？（此题是美国小学数学奥林匹克试题）.11.（1，1，8）是一个和为10的三元自然数组.如果不考虑数字排列的顺序，即把（1，1，8）与（1，8，1）及（8，1，1）看成是相同的三元自然组.那么和为10的自然数组共有多少个？习题九题答1.解：共有2种不同的分拆方式：15=9+615=8+72.解：共8种.3.解：共12种.4.解：共6种.15=9+3+2+115=8+4+2+115=7+5+2+1=7+4+3+115=6+5+3+1=6+4+3+25.解：同第4题答案.6.解：同第4题答案.7.解：可这样想：总数要87个，最先取数最多的一箱64个苹果，这样还差87-64=23个苹果；再取则不能取装有32个苹果的那箱，只能取装有16个的那箱，这样还差23-16=7个苹果；再取装有1个、2个、4个的三箱苹果，正好：87=64+16+4+2+1.8.解：从已有经验中可知6×6=36，这样就可以把每个盒里装6个馒头，共装6个盒，还有一个盒装100-36=64个馒头.64个这个数，刚好含有数字6，满足题目要求.即得100=64+6+6+6+6+6+6.9.解：仿例7解法，得下列分拆式：1000=888+88+8+8+8.10.解：由于有3枚25分的硬币，它们的价值是：25×3=75（分）.所以其余的7枚硬币的价值是：100-75=25（分）.将25分拆成7个数之和，（注意没有各数不同的限制）25=1+1+1+1+1+10+10.所以这7枚硬币是5枚1分，2枚10分.11.解：共8个.它们是（1，1，8），（1，2，7），（1，3，6），（1，4，5），（2，2，6），（2，3，5），（2，4，4），（3，3，4）.。
数字拆解练习拆解数字进行加减运算在数学学习中，数字拆解是一种常用的技巧，能够帮助我们更好地理解数字之间的关系，提高我们的计算能力。
拆解数字可以进行加法和减法运算，本文将介绍数字拆解的方法和应用。
一、数字拆解的方法数字拆解是将一个数字按照一定的规则进行分解的过程。
常见的拆解方法有以下几种：1. 数字位拆解法：将数字按照个位、十位、百位等单位进行拆解。
例如，对于数字123，可以拆解成100、20和3。
2. 数字和拆解法：将一个数字拆解成两个或多个数之和。
例如，对于数字15，可以拆解成10+5或者8+7。
3. 数字差拆解法：将一个数字拆解成两个或多个数之差。
例如，对于数字18，可以拆解成20-2或者25-7。
4. 数字因式拆解法：将一个数字拆解成若干个因数之积。
例如，对于数字24，可以拆解成2×2×2×3。
以上是常见的数字拆解方法，通过这些方法我们能够更灵活地操作数字，进行加法和减法运算。
二、数字拆解的应用数字拆解在数学运算中有着广泛的应用，特别是求解复杂问题时，数字拆解能够帮助我们简化计算过程，提高计算效率。
1. 加法运算：数字拆解可以简化加法运算的过程，特别是对于大的数字。
例如，对于两个数字的加法计算，我们可以先将这两个数字拆解成适当的数，再进行相加。
这样拆解后的数字通常会更小，计算起来更加方便。
2. 减法运算：数字拆解同样适用于减法运算。
通过拆解数字，我们可以将减法问题转化为加法问题，从而简化计算步骤。
例如，对于一个大的数字减去一个小的数字，我们可以拆解成相应的加法运算，再进行计算。
3. 复杂运算：在解决复杂的数学问题时，数字拆解同样发挥了重要的作用。
通过拆解数字，我们可以将复杂的计算过程分解成多个简单的步骤，逐步求解。
这种分解的过程不仅减少了计算的难度，还可以提高我们对数字之间关系的理解。
三、案例分析为了更好地理解数字拆解的应用，我们来看一个实际的案例。
假设我们需要计算两个较大的数字的和，例如789和516。
1.7数的拆分1.7.1整数的拆分整数的拆分，就是把一个自然数表示成为若干个自然数的和的形式，每一种表示方法，就是自然数的一个分拆。
整数的分拆是古老而又有趣的问题，其中最著名的是哥德巴赫猜想。
在国内外数学竞赛中，整数分拆的问题常常以各种形式出现，如，存在性问题、计数问题、最优化问题等。
例1 电视台要播放一部30集电视连续剧，若要求每天安排播出的集数互不相等，则该电视连续剧最多可以播几天？分析与解：由于希望播出的天数尽可能地多，所以，在每天播出的集数互不相等的条件下，每天播放的集数应尽可能地少。
我们知道，1+2+3+4+5+6+7=28。
如果各天播出的集数分别为1，2，3，4，5，6，7时，那么七天共可播出28集，还剩2集未播出。
由于已有过一天播出2集的情形，因此，这余下的2集不能再单独于一天播出，而只好把它们分到以前的日子，通过改动某一天或某二天播出的集数，来解决这个问题。
例如，各天播出的集数安排为1，2，3，4，5，7，8或1，2，3，4，5，6，9都可以。
所以最多可以播7天。
例2 有面值为1分、2分、5分的硬币各4枚，用它们去支付2角3分。
问：有多少种不同支付方法？分析与解：要付2角3分钱，最多只能使用4枚5分币。
因为全部1分和2分币都用上时，共值12分，所以最少要用3枚5分币。
当使用3枚5分币时，5×3=15，23-15=8，所以使用2分币最多4枚，最少2枚，可有23=15+（2+2+2+2），23=15+（2+2+2+1+1），23=15+（2+2+1+1+1+1），共3种支付方法。
当使用4枚5分币时，5×4=20，23-20=3，所以最多使用1枚2分币，或不使用，从而可有23=20+（2+1），23=20+（1+1+1），共2种支付方法。
总共有5种不同的支付方法。
例3 把37拆成若干个不同的质数之和，有多少种不同的拆法？将每一种拆法中所拆出的那些质数相乘，得到的乘积中，哪个最小？解：37=3+5+29=2+5+7+23=3+11+23 =2+3+13+19=5+13+19=7+11+19=2+5+11+19=7+13+17=2+5+13+17=2+7+11+17，共10种不同拆法，其中3×5×29=435最小。
整数的拆分2012.09.16 五年级例1、将一个整数分成若干个小于它的整数之和，这叫做拆分，比2114++=及314+=，但2114++=，1124++=与1214++=看做同一种拆分，请问：对于整数8有多少种不同的拆分方式？答案：20种。
例2、数字卡片“3”，“4”，“5”各10张，从中任意选出8张使它们的数字和是33，则其中最多有多少张卡片是“3”？答案：3。
例3、将17个乒乓球分成数量不同的4堆，数量最多的一堆至少有多少个球？ 答案：6个。
例4、试将70拆成11个不同的自然数的和，共有多少种不同的分法？ 答案：5种。
例5、（1）把12分拆成两个自然数的和，再求出这两个自然数的积，要使这个积最大，应该如何分拆？（2）把11分拆成两个自然数的和，再求出这两个自然数的积，要使这个积最大，应该如何分拆？答案：6612+=；6511+=。
*例6、把14分拆成若干个自然数的和，再求出这些数的积，要使得到的积最大，应该如何分拆？这个最大的积是多少？答案：2333314++++=，积为162。
练习1、将210拆成7个自然数的和，使这7个数从小到大排成一行后，相邻两个数的差都是5，第一个数与第六个数分别是几？答案：15；40。
练习2、将135个人分成若干个小组，要求任意两个组的人数都不同，则之多可以分成多少组？答案：15。
练习3、把19分成几个自然数（可以相同）的和，再求出这些数的乘积，并且要使得到的乘积尽可能大，最大乘积是多少？答案：972。
练习4、把1999分拆成两个自然数的和，当不考虑加数的顺序时，一共有多少种不同的分拆方法？求出这两个自然数的积，要使这个积最大，应将1999如何分拆？答案：999种。
分成1000999+时积最大。
第十讲拆数游戏【思维策略】按要求把一些数分解成几个数相加的形式，这不仅可以提高运算能力，更能促进你积极地去思考问题，分析问题，使你的头脑更聪明。
怎样才能找到全部答案，不出现差错呢？分析数的时候，一定要弄懂题中要求，使分析的过程按一定的顺序进行，如果要拆成规定的个数，可以按从大到小的顺序拆；如果没有规定个数，可以按从少到多的顺序拆。
只有这样，才能的找到符合题意的所有分拆方式。
【例题1】像15+51＝66这样十位数字和个位数字顺序颠倒的一对两位数相加，而和是66的两位数一共有多少对？思路导航：个位与十位两个数相加是6，即（）+（）＝6，不难得出这样的情况：1+5＝6，2+4＝6，如果是3+3＝6，则个位数与十位数相同，不合要求。
解：这样的两位数有两对：15+51＝66，24+42＝66。
练习11.十位数字与个位数字顺序颠倒的一对两位数相加，各是55，问这样的两位数有多少对？2.十位数字与个位数字顺序颠倒的一对两位数叫做倒序数，像这样的和是88的倒序数共有多少对？3.有这样一道算式，16+61＝77，把16和61这样的两个数叫做倒序数，像这样的和在100以内的倒序数有多少对？【例题2】五个连续自然数的和是40，这五个数按从小到大排列的顺序是怎样的？思路导航：五个连续自然数的和是40，应该先找到五个数中间的一个数，用40÷5＝8，8是中间数，比8小的两个数是6、7，比8大的两个数是9、10。
解：这五个连续自然数按从小到大的顺序排列是：6，7，8，9，10。
练习21.四个连续自然数的和是18，这四个数按从小到大排列的顺序是怎样的？2.小明用5天时间做了25道数学题，他每天都比前一天多做一道，这五天里，小明每天各做几道题？3.15个网球分成数量不同的4堆，数量最多的一堆至少有多少个球？【例题3】把10分拆成三个不同的数相加的形式（0除外），共有多少种不同的分拆方法？思路导航：分拆时，可以按从大到小顺序排列，由题意可知，所拆的三个数必须不同，因此最大数为7，最小数为1。
大班数学教案：9的分成教学目标：1. 理解数字9的分解概念。
2. 学会使用不同方法将数字9分解成各种不同的数。
3. 发展学生的数学思维和解决问题的能力。
教学准备：1. 数字卡片：1张9号卡片，5张1号卡片。
2. PowerPoint幻灯片或白板。
3. 笔记本和铅笔。
教学过程：Step 1：引入数字9的分解概念（10分钟）1. 利用数字卡片展示数字9，并鼓励学生说出9的相关事物和概念，如9只宠物狗、9只笔等。
2. 引导学生思考如何将9进行分解。
初始可以将数字卡片分为9和1两部分，然后问学生是否还有其他分解方法。
3. 让学生观察数字9的形状，并提问他们是否能够找到其他旋转或翻转的方法来分解9。
鼓励学生发散思维。
Step 2：使用加法进行分解（15分钟）1. 在幻灯片或白板上展示一个数学算式：9 = 5 + 4。
解释这个算式的意思，并让学生猜测答案。
2. 引导学生理解，数字9可以通过加法来进行分解为两个数。
然后，和学生一起讨论其他可能的分解方式，如9=3+6、9=7+2等。
3. 给出其他算式的例子，并鼓励学生组合不同的数字来分解9。
Step 3：使用减法进行分解（15分钟）1. 在幻灯片或白板上展示一个数学算式：9 = 10 - 1。
解释这个算式的意思，并让学生猜测答案。
2. 引导学生理解，数字9可以通过减法来进行分解为两个数。
然后，和学生一起讨论其他可能的分解方式，如9=8-1、9=9-0等。
3. 给出其他算式的例子，并鼓励学生组合不同的数字来分解9。
Step 4：使用乘法进行分解（15分钟）1. 在幻灯片或白板上展示一个数学算式：9 = 3 × 3。
解释这个算式的意思，并让学生猜测答案。
2. 引导学生理解，数字9可以通过乘法来进行分解为两个数。
然后，和学生一起讨论其他可能的分解方式，如9=1×9、9=2×4等。
3. 给出其他算式的例子，并鼓励学生组合不同的数字来分解9。
1.7数的拆分1.7.1整数的拆分整数的拆分，就是把一个自然数表示成为若干个自然数的和的形式，每一种表示方法，就是自然数的一个分拆。
整数的分拆是古老而又有趣的问题，其中最著名的是哥德巴赫猜想。
在国内外数学竞赛中，整数分拆的问题常常以各种形式出现，如，存在性问题、计数问题、最优化问题等。
例1 电视台要播放一部30集电视连续剧，若要求每天安排播出的集数互不相等，则该电视连续剧最多可以播几天？分析与解：由于希望播出的天数尽可能地多，所以，在每天播出的集数互不相等的条件下，每天播放的集数应尽可能地少。
我们知道，1+2+3+4+5+6+7=28。
如果各天播出的集数分别为1，2，3，4，5，6，7时，那么七天共可播出28集，还剩2集未播出。
由于已有过一天播出2集的情形，因此，这余下的2集不能再单独于一天播出，而只好把它们分到以前的日子，通过改动某一天或某二天播出的集数，来解决这个问题。
例如，各天播出的集数安排为1，2，3，4，5，7，8或1，2，3，4，5，6，9都可以。
所以最多可以播7天。
例2 有面值为1分、2分、5分的硬币各4枚，用它们去支付2角3分。
问：有多少种不同支付方法？分析与解：要付2角3分钱，最多只能使用4枚5分币。
因为全部1分和2分币都用上时，共值12分，所以最少要用3枚5分币。
当使用3枚5分币时，5×3=15，23-15=8，所以使用2分币最多4枚，最少2枚，可有23=15+（2+2+2+2），23=15+（2+2+2+1+1），23=15+（2+2+1+1+1+1），共3种支付方法。
当使用4枚5分币时，5×4=20，23-20=3，所以最多使用1枚2分币，或不使用，从而可有23=20+（2+1），23=20+（1+1+1），共2种支付方法。
总共有5种不同的支付方法。
例3 把37拆成若干个不同的质数之和，有多少种不同的拆法？将每一种拆法中所拆出的那些质数相乘，得到的乘积中，哪个最小？解：37=3+5+29=2+5+7+23=3+11+23 =2+3+13+19=5+13+19=7+11+19=2+5+11+19=7+13+17=2+5+13+17=2+7+11+17，共10种不同拆法，其中3×5×29=435最小。
说明：本题属于迄今尚无普遍处理办法的问题，只是硬凑。
比37小的最大质数是31，但37-31=6，6不能分拆为不同的质数之和，故不取；再下去比37小的质数是29，37-29=8，而8=3+5。
其余的分拆考虑与此类似。
例4 求满足下列条件的最小自然数：它既可以表示为9个连续自然数之和，又可以表示为10个连续自然数之和，还可以表示为11个连续自然数之和。
解：9个连续自然数之和是其中第5个数的9倍，10个连续自然数之和是其中第5个数和第6个数之和的5倍，11个连续自然数之和是其中第6个数的11倍。
这样，可以表示为9个、10个、11个连续自然数之和的数必是5，9和11的倍数，故最小的这样的数是［5，9，11］=495。
对495进行分拆可利用平均数，采取“以平均数为中心，向两边推进的方法”。
例如，495÷10=49.5，则10个连续的自然数为45，46，47，48，49，（49.5），50，51，52，53，54。
于是495=45+46+...+54。
同理可得495=51+52+...+59=40+41+ (50)例5 若干只同样的盒子排成一列，小聪把42个同样的小球放在这些盒子里然后外出，小明从每只盒子里取出一个小球，然后把这些小球再放到小球数最少的盒子里去，再把盒子重排了一下。
小聪回来，仔细查看，没有发现有人动过小球和盒子。
问：一共有多少只盒子？分析与解：设原来小球数最少的盒子里装有a只小球，现在增加到了b只，由于小明没有发现有人动过小球和盒子，这说明现在又有了一只装有a个小球的盒子，这只盒子里原来装有（a+1）个小球。
同理，现在另有一个盒子里装有（a+1）个小球，这只盒子里原来装有（a+2）个小球。
依此类推，原来还有一只盒子装有（a+3）个小球，（a+4）个小球等等，故原来那些盒子中装有的小球数是一些连续整数。
现在这个问题就变成了：将42分拆成若干个连续整数的和，一共有多少种分法，每一种分法有多少个加数？因为42=6×7，故可将42看成7个6的和，又（7+5）+（8+4）+（9+3）是6个6，从而42=3+4+5+6+7+8+9，一共有7个加数。
又因42=14×3，故可将42写成13+14+15，一共有3个加数。
又因42=21×2，故可将42写成9+10+11+12，一共有4个加数。
于是原题有三个解：一共有7只盒子、4只盒子或3只盒子。
例6 机器人从自然数1开始由小到大按如下规则进行染色：凡能表示为两个不同合数之和的自然数都染成红色，不符合上述要求的自然数染成黄色（比如23可表示为两个不同合数15和8之和，23要染红色；1不能表示为两个不同合数之和，1染黄色）。
问：被染成红色的数由小到大数下去，第2000个数是多少？请说明理由。
解：显然1要染黄色，2=1+1也要染黄色，3=1+2，4=1+3=2+2，5=1+4=2+3，6=1+5=2+4=3+3，7=1+6=2+5=3+4，8=1+7=2+6=3+5=4+4，9=1+8=2+7=3+6=4+5，11=1+10=2+9=3+8=4+7=5+6。
可见，1，2，3，4，5，6，7，8，9，11均应染黄色。
下面说明其它自然数n都要染红色。
（1）当n为大于等于10的偶数时，n=2k=4+2（k-2）。
由于n≥10，所以k≥5，k-2≥3，2（k-2）与4均为合数，且不相等。
也就是说，大于等于10的偶数均能表示为两个不同的合数之和，应染红色。
（1）当n 为大于等于13的奇数时，n=2k+1=9+2（k-4）。
由于n ≥13，所以k ≥6，k-4≥2，2（k-4）与9均为合数，且不相等。
也就是说，大于等于13的奇数均能表示为两个不同的合数之和，应染红色。
综上所述，除了1，2，3，4，5，6，7，8，9，11这10个数染黄色外，其余自然数均染红色，第k 个染为红色的数是第（k+10）个自然数（k ≥2）。
所以第2000个染为红色的数是2000+10=2010。
例7 把12分拆成两个自然数的和，再求出这两个自然数的积，要使这个积最大，应该如何分拆？分析与解：把12分拆成两个自然数的和，当不考虑加数的顺序时，有1+11，2+10，3+9，4+8，5+7，6+6六种方法。
它们的乘积分别是1×11=11，2×10=20，3×9=27，4×8=32，5×7=35，6×6=36。
显然，把12分拆成6+6时，有最大的积6×6=36。
例8 把11分拆成两个自然数的和，再求出这两个自然数的积，要使这个积最大，应该如何分拆？分析与解：把11分拆成两个自然数的和，当不考虑加数的顺序时，有1+10，2+9，3+8，4+7，5+6五种方法。
它们的乘积分别是1×10=10，2×9=18，3×8=24， 4×7=28，5×6=30。
显然，把11分拆成5+6时，有最大的积5×6=30。
说明：由上面的两个例子可以看出，在自然数n 的所有二项分拆中，当n 是偶数2m 时，以分成m+m 时乘积最大；当n 是奇数2m+1时，以分成m+（m+1）时乘积最大。
换句话说，把自然数S （S ＞1）分拆为两个自然数m 与n 的和，使其积mn 最大的条件是：m=n ，或m=n+1。
在具体分拆时，当S 为偶数时，;2S n m ==当S 为奇数时，m 、n 分别为2121-+S S 和。
例9 试把1999分拆为8个自然数的和，使其乘积最大。
分析：反复使用上述结论，可知要使分拆成的8个自然数的乘积最大，必须使这8个数中的任意两数相等或差数为1。
解：因为1999=8×249+7，由上述分析，拆法应是1个249，7个250，其乘积249×2507为最大。
说明：一般地，把自然数S=pq+r （0≤r ＜p ，p 与q 是自然数）分拆为p 个自然数的和，使其乘积M 为最大，则M 为q p-r ×（q+1）r 。
例10 把14分拆成若干个自然数的和，再求出这些数的积，要使得到的积最大，应该把14如何分拆？这个最大的乘积是多少？分析与解：我们先考虑分成哪些数时乘积才能尽可能地大。
首先，分成的数中不能有1，这是显然的。
其次，分成的数中不能有大于4的数，否则可以将这个数再分拆成2与另外一个数的和，这两个数的乘积一定比原数大，例如7就比它分拆成的2和5的乘积小。
再次，因为4=2×2，故我们可以只考虑将数分拆成2和3。
注意到2+2+2=6，2×2×2=8；3+3=6，3×3=9，因此分成的数中若有三个2，则不如换成两个3，换句话说，分成的数中至多只能有两个2，其余都是3。
根据上面的讨论，我们应该把14分拆成四个3与一个2之和，即14=3+3+3+3+2，这五数的积有最大值3×3×3×3×2=162。
说明：一般地，把自然数S （S ＞1）分拆为若干个自然数的和：S=a 1+a 2+…+a n ，则当a 1，a 2，…，a n 中至多有两个2，其余都是3时，其连乘积m=a 1a 2…a n 有最大值。
例11 把1993分拆成若干个互不相等的自然数的和，且使这些自然数的乘积最大，该乘积是多少？解：由于把1993分拆成若干个互不相等的自然数的和的分法只有有限种，因而一定存在一种分法，使得这些自然数的乘积最大。
若1作因数，则显然乘积不会最大。
把1993分拆成若干个互不相等的自然数的和，因数个数越多，乘积越大。
为了使因数个数尽可能地多，我们把1993分成2+3…+n 直到和大于等于1993。
若和比1993大1，则因数个数至少减少1个，为了使乘积最大，应去掉最小的2，并将最后一个数（最大）加上1。
若和比1993大k （k ≠1），则去掉等于k 的那个数，便可使乘积最大。
所以n=63。
因为2015-1993=22，所以应去掉22，把1993分成（2+3+...+21）+（23+24+...+63）这一形式时，这些数的乘积最大，其积为2×3×...×21×23×24× (63)例12 将1995表示为两个或两个以上连续自然数的和，共有多少种不同的方法？分析与解：为了解决这个问题，我们设1995可以表示为以a 为首项的k(k ＞1）个连续自然数之和。
