奥数知识点整数的拆分

小学奥数知识点趣味学习——整数的分拆整数的拆分，就是把一个自然数表示成为若干个自然数的和的形式，每一种表示方法，就是自然数的一个分拆。

整数的分拆是古老而又有趣的问题，其中最著名的是哥德巴赫猜想。

在国内外数学竞赛中，整数分拆的问题常常以各种形式出现，如，存在性问题、计数问题、最优化问题等。

例1.电视台要播放一部30集电视连续剧，若要求每天安排播出的集数互不相等，则该电视连续剧最多可以播几天？分析与解：由于希望播出的天数尽可能地多，所以，在每天播出的集数互不相等的条件下，每天播放的集数应尽可能地少。

我们知道，1+2+3+4+5+6+7=28。

如果各天播出的集数分别为1，2，3，4，5，6，7时，那么七天共可播出28集，还剩2集未播出。

由于已有过一天播出2集的情形，因此，这余下的2集不能再单独于一天播出，而只好把它们分到以前的日子，通过改动某一天或某二天播出的集数，来解决这个问题。

例如，各天播出的集数安排为1，2，3，4，5，7，8或1，2，3，4，5，6，9都可以。

所以最多可以播7天。

例2：有面值为1分、2分、5分的硬币各4枚，用它们去支付2角3分。

问：有多少种不同支付方法？分析与解：要付2角3分钱，最多只能使用4枚5分币。

因为全部1分和2分币都用上时，共值12分，所以最少要用3枚5分币。

当使用3枚5分币时，5×3=15，23-15=8，所以使用2分币最多4枚，最少2枚，可有23=15+（2+2+2+2），23=15+（2+2+2+1+1），23=15+（2+2+1+1+1+1），共3种支付方法。

当使用4枚5分币时，5×4=20，23-20=3，所以最多使用1枚2分币，或不使用，从而可有23=20+（2+1），23=20+（1+1+1），共2种支付方法。

总共有5种不同的支付方法。

例3：把37拆成若干个不同的质数之和，有多少种不同的拆法？将每一种拆法中所拆出的那些质数相乘，得到的乘积中，哪个最小？解：37=3+5+29=2+5+7+23=3+11+23=2+3+13+19=5+13+19=7+11+19=2+5+11+19=7+13+17=2+5+13+17=2+7+11+17，共10种不同拆法，其中3×5×29=435最小。

第五讲：整数的拆分一、不连续加数拆分例1将一根长144厘米的铁丝，做成长和宽都是整数的长方形，共有______种不同的做法？其中面积最大的是哪一种长方形？（1992年“我爱数学”邀请赛试题）讲析：做成的长方形，长与宽的和是144÷2=72（厘米）。

因为72=1+71=2+70=3+69=……=35+37=36+36，所以，一共有36种不同的做法。

比较以上每种长方形长与宽的积，可发现：当长与宽都是36厘米时，面积最大。

例2将1992表示成若干个自然数的和，如果要使这些数的乘积最大，这些自然数是______。

（1992年武汉市小学数学竞赛试题）讲析：若把一个整数拆分成几个自然数时，有大于4的数，则把大于4的这个数再分成一个2与另一个大于2的自然数之和，则这个2与大于2的这个数的乘积肯定比它大。

又如果拆分的数中含有1，则与“乘积最大”不符。

所以，要使加数之积最大，加数只能是2和3。

但是，若加数中含有3个2，则不如将它分成2个3。

因为2×2×2=8，而3×3=9。

所以，拆分出的自然数中，至多含有两个2，而其余都是3。

而1992÷3=664。

故，这些自然数是664个3。

例3把50分成4个自然数，使得第一个数乘以2等于第二个数除以2；第三个数加上2等于第四个数减去2，最多有______种分法。

（1990年《小学生报》小学数学竞赛试题）讲析：设50分成的4个自然数分别是a、b、c、d。

因为a×2=b÷2，则b=4a。

所以a、b之和必是5的倍数。

那么，a与b的和是5、10、15、20、25、30、35、40、45。

又因为c＋2=d-2，即d=c＋4。

所以c、d之和加上4之后，必是2的倍数。

则c、d可取的数组有：（40、10），（30、20），（20、30），（10、40）。

由于40÷5=8，40-8=32；（10-4）÷2=3，10-3＝7，得出符合条件的a、b、c、d一组为（8、32、3、7）。

第十五讲 整数分拆综合前续知识点：二年级第一讲；XX 模块第X 讲 后续知识点：X 年级第X 讲；XX 模块第X 讲把里面的人物换成相应红字标明的人物．好想吃啊！ 5和10打不开！6和9也打不开！3和12还打不开！呃呃呃……不行了！这个密码到底有多少种可能啊？密码：找出两个数，使得这两个数相加的和是15.密码：找出两个数，使得这两个数相加的和是15.和 和 3 12萱萱萱萱萱萱萱萱- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 整数分拆：把一个自然数表示成若干个自然数的和的形式．（0除外）在进行整数分拆时，要按一定的顺序，做到不重复、不遗漏．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 例题1（1）猴子小孙从山上采来10个桃子．如果小孙把这些桃子全部分给猴妈和猴爸，并且猴妈和猴爸都要分到桃子，那么小孙共有多少种不同的分法？（2）猪八戒拔了15根萝卜．如果猪八戒把这些萝卜分成2堆，那么共有多少种不同的分法？提示：分给2人与分成2堆有什么不一样？练习1小虎有9块积木，他要把这些积木分成2堆，一共有多少种不同的分法？- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 体会一下，“分给两个人”和“分成两堆”有什么区别呢？例如：（1）把5个苹果全部分给两个人，共有多少种不同的分法？经过分析可知两人分别有的苹果个数可以是“1、4”，也可以是“4、1”，这是两种不同的分法；而且还可以是“0、5”，可以有1个人没有得到．（2）把5个苹果分成两堆，共有多少种不同的分法？“分堆”的时候，如果出现“1、4”，同时也出现“4、1”，这是两种相同的分法，那么只能看成是一种，并且不可能出现“0、5”，即“分堆”时，每堆都不能为“0”．在“分几堆”的过程中，会出现一些限制的条件，这时，一定要注意审题，把题中重点词圈出来．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 例题2（1）甜甜有20块糖果．如果她要把这些糖果分成2堆，且每堆最少有2块糖果，那么一共有多少种不同的分法？（2）唐僧要把20个桃子全部分到2个相同的盘子中，且每个盘子中的桃子数量都不超过17个，那么唐僧一共有多少种不同的分法？提示：枚举过程中注意题目中的限制条件“最少”、“不超过”．练习2灰灰有16个小球，要把这些小球全部分到2个相同的盒子中，每个盒子中的小球都不超过12个，那么灰灰共有多少种不同的分法？例题3小糊涂在商店买回了一包巧克力，他数了数，一共有13块巧克力，现在他要把这些巧克力分成3堆，一共有多少种不同的分法？提示：分3堆时，可先固定1堆数量不变，把剩下的分2堆．练习3小兔子拔萝卜，它数了数，一共拔了11个萝卜．现在它要把这些萝卜分成3堆，一共有多少种不同的分法？例题4东东在小区的广场上发现了14只小鸟，这14只小鸟恰好凑成3堆，每堆至少有2只小鸟．请问：这3堆小鸟共有多少种不同的情况？提示：拆分过程中注意限制条件“至少”．练习4甜甜有15根棒棒糖，她要把这些棒棒糖分成3堆，且每堆至少有3根棒棒糖．甜甜一共有多少种不同的分法？例题5（1）一个海盗要把12枚金币分成3份，且每份的金币数不相同，那么这个海盗共有多少种不同的分法？（2）一个海盗要把12枚金币分3天全部花完，且每天花的金币数量都不少于3枚，那么这个海盗共有多少种不同的花法？提示：分成3份是“无区分”的，“分3天花完”是“有区分的”．例题6从1~12这十二个自然数中选取3个不同的数，使得这3个不同的数的和等于26．共有多少种不同的选取方法？提示：与选出的3个数的排列顺序有关吗？课堂内外中国传统字典《康熙字典》《康熙字典》，在清朝康熙年间由文华殿大学士兼户部尚书张玉书及经筵讲官、文渊阁大学士兼吏部尚书陈廷敬担任主编，参考明代的《字汇》、《正字通》两书而写，是一套成书于康熙五十五年（1716年）的详细汉语字典，重印至今不辍．《康熙字典》采用部首检字和笔画检字方法．可记歌诀：一二子中寻，三画问丑寅，四在卯辰巳，五午六未申，七酉八九戌，其余亥部存．或是“一二在子三丑寅，四卯辰巳五午寻，六在未申七在酉，八九在戌余亥存”．笔画检字用于难字查检，可依笔画检字表．如查“民”字，如果不知道其部首，可以查笔画检字表．“民”为5画，可以在5画中查到．“民”下注为“氏”部，再到“部首索引”中查到“氏”部．“氏”在“辰下”33页，再到“辰集下”氏部1画里查到“民”字．在“辰集下”34页中可以查到．作业1.把12块水果橡皮分成两堆，一共有多少种不同的分法？2.小象用一只平底锅煎了17块饼．现在它要把这些饼全部放到2个相同的盘子中，且每个盘子里的饼数都不超过15块，共有多少种不同的分法？3.聪聪有10个玻璃球，他要把这些玻璃球分成3堆，一共有多少种不同的分法？4.小松鼠采了16个松籽，它要把这些松籽分成3堆，每堆至少有3个松籽，一共有多少种不同的分法？5.刘老师准备了20个笔记本，要把这些笔记本分成3份，且每份的笔记本数量都不少于5本．那么，刘老师共有多少种不同的分法？第十五讲 整数分拆综合1.例题1答案：（1）9；（2）7详解：（1）把10个桃子分给猴爸猴妈，且都要分到，属于计次序的．按从小到大的顺序，即1019=+，1028=+，1037=+，1046=+，1055=+，1064=+，1073=+，1082=+，1091=+，共9种．（2）把15根萝卜分2堆，属于不计次序的，且每堆不能为“0”．按从小到大的顺序，即15114=+，15213=+，15312=+，15411=+，15510=+，1569=+，1578=+，共7种．2.例题2答案：（1）9；（2）8详解：（1）把20块糖果分成2堆，且每堆最少有2块，这属于不计次序的．按从小到大的顺序，即20218=+，20317=+，20416=+，20515=+，20614=+，20713=+，20812=+，20911=+，201010=+，共9种．（2）把20个桃子分到2个相同的盘子中，且每个盘子中的桃子数量都不超过17个．这属于不计次序的．按从大到小的顺序，即20173=+，20164=+，20155=+，20146=+，20137=+，20128=+，20119=+，201010=+，共8种． 3.例题3 答案：14详解：把13块巧克力分成3堆，这属于不计次序的，且每堆不能为“0”．按从小到大的顺序，即131111=++，131210=++，13139=++，13148=++，13157=++，13166=++，13229=++，13238=++，13247=++，13256=++，13337=++，13346=++，13355=++，13445=++，共14种．4.例题4 答案：10详解：把14只鸟分成3堆，每堆至少有2只小鸟，这属于不计次序的．按从小到大的顺序，即142210=++，14239=++，14248=++，14257=++，14266=++，14338=++，14347=++，14356=++，14446=++，14455=++，共10种．5.例题5答案：（1）7；（2）10详解：（1）把12枚金币分成3份，且每份的金币数不相同，每份不能为“0”，这属于不计次序的．按从小到大的顺序，即12129=++，12138=++，12147=++，12156=++，12237=++，12246=++，12345=++，共7种．（2）把12枚金币分3天花完，且每天花的金币数量都不少于3枚．这属于计次序的．按从小到大的顺序，即12336=++，12345=++，12354=++，12354=++，12435=++，12444=++，12453=++，12534=++，12543=++，12633=++，共10种．6.例题6 答案：8详解：2612113=++，2612104=++，261295=++，261286=++，2611105=++，261196=++，261187=++，261097=++．7.练习1 答案：4简答：把9块积木分成2堆，这属于不计次序的，且每堆不能为“0”．按从小到大的顺序，即918=+，927=+，936=+，945=+，共4种．8.练习2 答案：5简答：把16个小球分到2个相同的盒子中，且每个盒子中的小球数量都不超过12个．这属于不计次序的．按从大到小的顺序，即16412=+，16511=+，16610=+，1679=+，1688=+，共5种． 9.练习3 答案：10简答：把11个胡萝卜分成3堆，这属于不计次序的，且每堆不能为“0”．按从小到大的顺序，即11119=++，11128=++，11137=++，11146=++，11155=++，11227=++，11236=++，11245=++，11335=++，11344=++，共10种．10. 练习4答案：7简答：把15根棒棒糖分成3堆，每堆至少有3根棒棒糖，这里不需要考虑每次分的顺序．按从小到大的顺序，即15339=++，15348=++，15357=++，15366=++，15447=++，15456=++，15555=++，共7种．11. 作业1答案：6简答：把12块橡皮分成两堆，这属于计次序的．所以按照从小到大的顺序，有以下11种情况：12111=+，12210=+，1239=+，1248=+，1257=+，1266=+．12. 作业2答案：7简答：把17块饼分到2个相同的盘子中，这属于不计次序的，且每个盘子中的饼不超过15块．所以按照从大到小的顺序，有以下7种情况：17152=+，17143=+，17134=+，17125=+，17116=+，17107=+，1798=+． 13. 作业3答案：8简答：把10个玻璃球分3堆，这属于不计次序的，且任意一堆都不可为0．所以按照从小到大的顺序，有以下10种情况：10118=++，10127=++，10136=++，10145=++， 10226=++，10235=++，10244=++，10334=++．14. 作业4答案：8简答：把16个松籽分3堆，这属于不计次序的，且每堆至少有3个．所以按照从小到大的顺序，有以下8种情况：163310=++，16349=++，16358=++，16367=++，16448=++，16457=++，16466=++，16556=++． 15. 作业5答案：5简答：把20个笔记本分3份，这属于不计次序的，且每份不少于5本．所以按照从小到大的顺序，有以下5种情况：205510=++，20569=++，20578=++，20668=++，20677=++．。

小学奥数知识点趣味学习——整数的分拆整数分拆内容概述：1．一般的有，把一个整数表示成两个数相加，当两个数相近或相等的时候，乘积最大。

也就是把整数分拆成两个相等或者相差1的两个整数。

2．一般的有，把自然数m分成n个自然数的和，使其乘积最大，则先把m进行对n的带余除法，表示成m=np+r，则分成r个(p+1)，(n－r)个P。

3．把自然数S (S＞1)分拆为若干个自然数的和(没有给定是几个)，则分开的数当中最多有两个2，其他的都是3，这样它们的乘积最大。

4．把自然数分成若干个互不相等的整数，则先把它表示成2+3+4+5+…+n形式，当和等于原数则可以，若不然，比原数大多少除去等于它们差的那个自然数。

如果仅大于1，则除去2，再把最大的那个数加1。

5．若自然数N有k个大于1的奇约数，则N共有k种表示为两个或两个以上连续自然数之和的方法。

即当有m个奇约数表示的乘积，则有奇约数个奇约数。

6．共轭分拆．我们通过下面一个例子来说明共轭分拆：如：10=4+2+2+1+1，我们画出示意图，我们将其翻转(将图左上到右下的对角线翻转即得到)：，可以对应的写成5+3+l+1，也是等于10，即是10的另一种分拆方式。

我们把这两种有关联的分拆方式称为互为共轭分拆。

典型例题：1．写出13=1+3+4+5的共轭分拆。

【分析与解】画出示意图，翻转得到，对应写为4+3+3+2+1=13，即为13=1+3+4+5的共轭分拆。

2．电视台要播出一部30集电视连续剧，若要每天安排播出的集数互不相等。

则该电视连续剧最多可以播出几天?【分析与解】由于希望播出的天数尽可能地多，若要满足每天播出的集数互不相等的条件下，每天播出的集数应尽可能地少。

选择从1开始若干连续整数的和与30最接近(小于30)的情况为1+2+3+4+5+6+7=28，现在就可以播出7天，还剩下2集，由于已经有2集这种情况，就是把2集分配到7天当中又没有引起与其他的几天里播出的集数相同.于是只能选择从后加．即把30表示成：30=1+2+3+4+5+6+9或30=1+2+3+4+5+7+8即最多可以播出7天。

三年级奥数春季班第10讲整数的分拆之强化篇一、引言随着春季班的推进，我们来到了三年级奥数的第10讲——整数的分拆。

整数分拆是数学中一个有趣且实用的领域，通过学习这一讲，同学们将能够掌握整数分拆的基本概念和方法，并在实际问题中灵活运用。

二、整数分拆的概念与方法1.整数分拆的含义整数分拆，指的是将一个整数拆分成若干个正整数的和。

在数学中，整数分拆有着广泛的应用，如求解最值问题、优化问题等。

2.整数分拆的方法整数分拆的方法主要包括：质因数分解、同余分拆、最简分拆等。

这些方法在解决不同类型的问题时有所侧重，接下来我们将通过实例来了解。

三、整数分拆的强化篇1.强化分拆的定义与特点强化分拆，是指在常规整数分拆的基础上，对拆分后的整数进行进一步的优化。

强化分拆的特点如下：（1）强化分拆追求拆分方式的简洁性；（2）强化分拆注重运用数学原理，如数论、组合数学等；（3）强化分拆强调解题策略的多样性。

2.强化分拆的实例解析以下是一个利用强化分拆求解最值问题的实例：题目：已知正整数n，求n(n+1)(n+2)(n+3)的最小值。

解：通过强化分拆，可以将n(n+1)(n+2)(n+3)转化为(n^2+3n)(n^2+3n+2)。

进一步拆分为(n^2+3n)[(n+1)+(n+2)]，然后利用基本不等式，得到最小值为24。

四、整数分拆在奥数中的应用1.题目类型一：利用整数分拆求解问题例题：求解不等式|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|≥4。

解：将不等式转化为四个绝对值之和的形式，然后根据整数分拆的原理，讨论x的取值范围，求解得到x∈[-1,4]。

2.题目类型二：利用整数分拆优化问题例题：已知四个数a、b、c、d，求a^2+b^2+c^2+d^2的最小值。

解：利用整数分拆，将a、b、c、d分为两组，使得两组数的和相等。

然后根据平方差公式，将原式转化为一个关于和的形式，进一步求解得到最小值。

3.题目类型三：整数分拆与组合数的联系例题：求解组合数问题C(n,m)=n(n-1)(n-2)...(n-m+1)/m!的性质。

三年级奥数春季班第10讲整数的分拆之强化篇
（最新版）
目录
1.整数分拆的定义和意义
2.整数分拆的方法和技巧
3.整数分拆的实际应用和强化练习
正文
一、整数分拆的定义和意义
整数分拆是奥数中的一个重要概念，它指的是将一个整数拆分成若干个整数的和，这些整数可以是正数、负数或零。

整数分拆在数学问题中有着广泛的应用，它可以帮助我们简化问题，提高解题效率。

通过学习整数分拆，我们可以培养自己的逻辑思维能力和数学运算技巧。

二、整数分拆的方法和技巧
1.直接分拆法：根据题目要求，直接将整数拆分成若干个整数的和。

这种方法适用于较简单的问题，需要我们熟练掌握整数的加减法。

2.差分法：通过计算两个整数的差，然后逐步逼近目标整数。

这种方法适用于较难直接分拆的问题，需要我们具备较强的观察能力和计算能力。

3.代换法：将题目中的整数用变量表示，通过代数运算求解。

这种方法适用于含有较多未知数的问题，需要我们具备较强的代数运算能力。

4.构造法：通过构造特殊的数列或数组，找到整数的分拆方式。

这种方法适用于题目中存在一定规律性的问题，需要我们具备较强的创新思维和构造能力。

三、整数分拆的实际应用和强化练习
为了更好地掌握整数分拆的方法和技巧，我们需要进行大量的练习。

可以从简单的题目开始，逐步提高难度，巩固所学知识。

在实际应用中，我们要注意观察题目的特点，灵活运用各种方法，以求达到最佳的解题效果。

总之，整数分拆是奥数中一个重要的概念，通过学习整数分拆，我们可以提高自己的数学运算能力和解题技巧。

三年级奥数春季班第10讲整数的分拆整数的分拆是数学中一个重要的概念，也是三年级奥数春季班的一部分内容。

所谓整数的分拆，就是把一个整数表示为若干个正整数的和的形式。

首先，我们来看一个例子。

假设我们要把整数5分拆成若干个正整数的和。

从1开始，我们可以找到一组分拆方式：5=1+1+1+1+1。

这就是把整数5分拆成5个1的和。

同样，我们还可以找到其他的分拆方式，如：5=2+2+1或者5=3+1+1。

这里需要注意的是，分拆的方式可以有很多种，但是分拆的正整数的个数是有限的。

那么如何确定一个整数的所有分拆方式呢？我们可以利用递归的方法来求解。

假设n是一个正整数，我们要求n的所有分拆方式。

如果n等于1，那么分拆方式只有一种，即n=1。

如果n大于1，那么我们可以将n分拆成两部分。

第一部分是一个正整数i，i可以从1取到n-1。

第二部分是n-i。

例如，当n=5时，我们可以将5分拆成1和4、2和3等。

然后，我们可以递归地求解这两部分的所有分拆方式，最后将它们合并在一起，就得到了n的所有分拆方式。

这个方法可以表示为如下的递归公式：f(n)=f(n-1)+f(n-2)+...+f(1)其中f(n)表示n的分拆数。

接下来，我们来看一个具体的例子。

假设我们要求整数5的所有分拆方式。

根据递归公式，我们可以先求解f(1)、f(2)、f(3)、f(4)的值，然后将它们相加，即f(5)=f(4)+f(3)+f(2)+f(1)。

由于f(1)等于1，那么我们可以依次求解f(2)、f(3)、f(4)的值。

f(2)=f(1)+f(0)=1+1=2f(3)=f(2)+f(1)=2+1=3f(4)=f(3)+f(2)+f(1)=3+2+1=6所以，f(5)=f(4)+f(3)+f(2)+f(1)=6+3+2+1=12。

这就是整数5的所有分拆方式的个数。

通过上面的例子，我们可以看出，求解整数的分拆方式主要是利用了递归的思想。

递归的过程就是不断地将原问题转化为更小的子问题，直到子问题的规模足够小，可以直接求解。