解决平面向量问题五技巧

妙用等和线解决平面向量系数和、差、商、平方问题【题型归纳目录】题型一：x +y 问题(系数为1)题型二：mx +ny 问题(系数不为1)题型三：mx -ny 问题题型四：m x +ny 问题题型五：yx 问题题型六：x 2+y 2问题【方法技巧与总结】(1)平面向量共线定理已知OA =λOB +μOC ，若λ+μ=1，则A ,B ,C 三点共线；反之亦然。

(2)等和线平面内一组基底OA ,OB 及任一向量OP ，OP =λOA +μOB (λ,μ∈R )，若点P 在直线AB 上或者在平行于AB 的直线上，则λ+μ=k (定值)，反之也成立，我们把直线AB 以及与直线AB 平行的直线称为等和线。

①当等和线恰为直线AB 时，k =1；②当等和线在O 点和直线AB 之间时，k ∈(0,1)；③当直线AB 在点O 和等和线之间时，k ∈(1,+∞)；④当等和线过O 点时，k =0；⑤若两等和线关于O 点对称，则定值k 互为相反数；【典型例题】题型一：x +y 问题(系数为1)1(2024·山东滨州·统考一模)在△ABC 中，M 为BC 边上任意一点，N 为线段AM 上任意一点，若AN=λAB +μAC (λ，μ∈R )，则λ+μ的取值范围是()A.0,13 B.13,12C.[0,1]D.[1,2]【答案】C【解析】由题意，设AN =tAM，0≤t ≤1 ，当t =0时，AN =0 ，所以λAB +μAC =0 ，所以λ=μ=0，从而有λ+μ=0；当0<t ≤1时，因为AN =λAB +μAC(λ，μ∈R )，所以tAM =λAB +μAC ，即AM =λt AB +μt AC ，因为M 、B 、C 三点共线，所以λt +μt=1，即λ+μ=t ∈0,1 .综上，λ+μ的取值范围是[0,1].故选：C .2(2024·陕西西安·高一西北工业大学附属中学校考阶段练习)在ΔABC 中，M 为边BC 上的任意一点，点N 在线段AM 上，且满足AN =13NM ，若AN =λAB +μAC(λ,μ∈R )，则λ+μ的值为()A.14B.13C.1D.4【答案】A【解析】设BM =tBC ，将AN 用AB 、AC 表示出来，即可找到λ和μ的关系，从而求出λ+μ的值．设BM=tBC (0≤t ≤1)，AN =13NM ，所以AN =14AM =14(AB +BM )=14AB +14tBC =14AB+14t (AC -AB )=14-14t AB+14tAC ，又AN =λAB +μAC ，所以λ+μ=14-14t +14t =14．故选：A ．3(2024·重庆铜梁·高一统考期末)在△ABC 中，点D 是线段BC 上任意一点，点P 满足AD =3AP，若存在实数m 和n ，使得BP =mAB +nAC，则m +n =()A.23B.13C.-13D.-23【答案】D【解析】由题意，AD =λAB +1-λ AC ，且0<λ<1，而AD =3AP =3AB +BP ，所以3AB +3BP =λAB +1-λ AC ，即BP =λ-33AB +1-λ3AC ，由已知，m =λ-33,n =1-λ3,则m +n =-23，选项D 正确.故选：D题型二：mx +ny 问题(系数不为1)1(2024·山东潍坊·高一统考期末)已知O 是ΔABC 内一点，且OA +OB +OC =0，点M 在ΔOBC 内(不含边界)，若AM =λAB +μAC，则λ+2μ的取值范围是()A.1,52B.1,2C.23,1D.12,1【答案】B【解析】根据OA +OB +OC =0 可知O 为ΔABC 的重心；根据点M 在ΔOBC 内，判断出当M 与O 重合时，λ+2μ最小；当M 与C 重合时，λ+2μ的值最大，因不含边界，所以取开区间即可．因为O 是ΔABC 内一点，且OA +OB +OC =0所以O 为ΔABC 的重心M 在ΔOBC 内(不含边界)，且当M 与O 重合时，λ+2μ最小，此时AM =λAB +μAC =23×12AB +AC =13AB +13AC 所以λ=13,μ=13，即λ+2μ=1当M 与C 重合时，λ+2μ最大，此时AM =AC所以λ=0,μ=1，即λ+2μ=2因为M 在ΔOBC 内且不含边界所以取开区间，即λ+2μ∈1,2 所以选B2(2024·江苏南京·高一南京师大附中校考期末)在扇形OAB 中，∠AOB =60o，OA=1，C 为弧AB 上的一个动点，且OC =xOA +yOB．则x +4y 的取值范围为()A.[1,4)B.[1,4]C.[2,3)D.[2,3]【答案】B【解析】以O 为原点，OB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，令∠COB =θ，则θ∈0°,60° ，因为OA =1，则B 1,0 ，A 12,32,C cos θ,sin θ ，又OC =xOA +yOB ，则cos θ=x 2+y sin θ=32x ，则y =cos θ-13sin θx =23sin θ ，则x +3y =-233sin θ+4cos θ，又θ∈0°,60° ，易知f θ =-233sin θ+4cos θ为减函数，由单调性易得其值域为1,4 .故选：B .3(2024·辽宁沈阳·高三统考期末)如图，在扇形OAB 中，∠AOB =30°，C 为弧AB 上且与A ,B 不重合的一个动点，且OC =xOA +yOB，若μ=x +λy (λ>0)存在最大值，则λ的取值范围是()A.34,33B.33,32C.34,32D.32,233【答案】D 【解析】设射线OB 上存在为B ，使OB =1λOB，AB 交OC 于C ，由于OC =xOA +yOB =xOA +λy 1λOB=xOA +λyOB ，设OC =tOC ，OC =x OA+λy OB ，由A ,B ,C 三点共线可知x +λy =1，所以u =x +λy =tx +t ∙λy =1，则μ=OC OC存在最大值1，即在弧AB (不包括端点)上存在与AB平行的切线，所以λ∈32,233．故答案为32,233题型三：mx -ny 问题1(2024·上海徐汇·高二位育中学校考阶段练习)如图，OM ⎳AB ，点P 在由射线OM 、线段OB 及AB 的延长线组成的区域内(不含边界)运动，且OP =xOA +yOB ，当x =-12时，y 的取值范围是【答案】12,32【解析】如图，OM ⎳AB ，点P 在由射线OM ，线段OB 及AB 的延长线围成的区域内(不含边界)运动，且OP =xOA +yOB ，由向量加法的平行四边形法则，OP 为平行四边形的对角线，该四边形应是以OB 和OA 的反向延长线为两邻边，∴x 的取值范围是(-∞,0)；当x =-12时，要使P 点落在指定区域内，即P 点应落在DE 上，CD =12OB ，CE =32OB ，∴y 的取值范围是12，32 ．故答案为：12，322(2024·河南平顶山·高一统考期末)如图所示，点P 在由线段AB ，AC 的延长线及线段BC 围成的阴影区域内(不含边界)，则下列说法中正确的是．(填写所有正确说法的序号)①存在点P ，使得AP =12AB +2AC ；②存在点P ，使得AP =-12AB+2AC ；③存在点P ，使得AP =12AB -2AC；④存在点P ，使得AP =12AB +32AC．【答案】①④【解析】设AP =λAB +μAC,λ,μ∈R ，由图可知：λ>0,μ>0,且λ+μ>1，∴①④正确，故答案为：①④3(2024·高一课时练习)已知△ABC 中，CD =-35BC,EC =12AC ,AF =13AB ，若点P 为四边形AEDF 内一点(不含边界)且DP =-13DC+xDE ，则实数x 的取值范围为.【答案】12,43【解析】如图所示，在线段BD 上取一点G ，使得DG =-13DC，设DC =3a ，则DG =a ，BC =5a ，BG =a ；过点G 作GH ∥DE ，分别交DF ､AE 于K ､H ，连接FH ，则点K ､H 为临界点；GH ∥DE ，所以HE =13EC ，AH =23EC ，HG =43DE ，AH HC=12=AFFB ，所以FH ∥BC ；所以FH =13BC ，所以FH DG =KH KG，所以KG =35HK ，KG =38HG =12DE .所以实数x 的取值范围是12，43.故答案为：12，43 .题型四：m x +ny问题1(2024·江苏·高三专题练习)在△ABC 中，点O 是BC 的三等分点，OC =2OB，过点O 的直线分别交直线AB ,AC 于点E ,F ，且AB =mAE ，AC =nAF (m >0,n >0)，若1m +t n 的最小值为83，则正数t的值为【答案】2【解析】因为点O 是BC 的三等分点，OC =2OB则AO =AB +BO =AB +13BC =AB +13AC -13AB=23AB +13AC =2m 3AE +n 3AF ，又由点E ,O ,F 三点共线，所以AO =AE +EO =AE +λEF =AE +λAF -AE =1-λ AE +λAF，所以2m3=1-λn3=λ，可得2m 3+n3=1，所以1m +t n =2m 3+n 3 1m +t n =23+t 3 +2mt 3n +n 3m ≥23+t3 +22mt 3n ×n 3m=23+t 3 +22t 9，当且仅当2tm 2=n 2时，等号成立，即1m +t n 的最小值为23+t 3 +22t 9，则有23+t 3 +22t 9=83，即t +22t -6=0，所以t +32 t -2 =0，因为t >0，所以t =2，故答案为：2.2(2024·江苏盐城·高一统考期末)在△ABC 中，点O 是BC 的三等分点，OC =2OB，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于点E ，F ，且AB =mAE ，AC =nAF (m >0，n >0)，若1m +t 2nt >0 的最小值为3，则正数t 的值为.【答案】3-2【解析】∵在△ABC 中，点O 是BC 的三等分点，|OC |=2|OB |，∴AO =AB +BO =AB +13BC =AB +13(AC -AB )=23AB+13AC ，∵AB =mAE ，AC =nAF ，∴AO =23mAE +13nAF ，∵O ，E ，F 三点共线，∴23m +13n =1，∴1m +t 2n =1m +t 2n 23m +13n =23+n 3m +2mt 23n +t 23≥22t 29+t 23+23=t 23+232t +23，当且仅当n 3m =2mt 23n ，即2m 2t 2=n 2时取等号，∴1m +t 2n 的最小值为t 23+232t +23，即t 23+232t +23=3，∵t >0，∴t =3-2．故答案为：3-2．3(2024·山东菏泽·高一统考期末)在△ABC 中，点O 是线段BC 上的点，且满足OC =3OB，过点O 的直线分别交直线AB ,AC 于点E ,F ，且AB =mAE ，AC =nAF ，其中m >0且n >0，若1m +2n的最小值为.【答案】5+264【解析】依题意，作出图形如下，因为OC =3OB ，AB =mAE ，AC =nAF ，则BO =14BC ，所以AO =AB +BO =AB +14BC =AB +14AC -AB =34AB +14AC =3m 4AE +n 4AF ，因为E ,O ,F 三点共线，所以3m 4+n4=1，因为m >0，n >0，所以1m +2n =1m +2n 3m 4+n 4 =54+n 4m +6m 4n ≥54+2n 4m ⋅6m 4n =54+264，当且仅当n 4m =6m4n ，即n =6m =46-2 时取等号，所以1m +2n 的最小值为5+264.故答案为：5+264.题型五：yx问题1(2024·山西·高一统考期末)已知在△ABC 中，点D 满足BD =34BC，点E 在线段AD (不含端点A ，D )上移动，若AE =λAB +μAC ，则μλ=.【答案】3【解析】如图，由题意得存在实数m ，使得AE =mAD0<m <1 .又AD =AB +BD =AB +34BC =AB +34AC -AB =14AB+34AC ，所以AE =m 14AB +34AC =m 4AB +3m 4AC ，又∵AE =λAB +μAC ，且AB ,AC 不共线，故由平面向量的分解的唯一性得λ=m 4,μ=3m4.所以μλ=3.故答案为：3.2(2024·山东潍坊·高三开学考试)在△ABC 中，点D 满足BD =34BC，当点E 在射线AD (不含点A )上移动时，若AE =λAB +μAC ，则λ+1μ的最小值为．【答案】233/233【解析】由BD =34BC ，得AD -AB =34(AC -AB )，即AD =14AB +34AC，因为点E 在射线AD (不含点A )上移动，所以AE =tAD =t 4AB+3t 4AC ，又因为AE =λAB +μAC ，所以λ=t 4,μ=3t4(t >0)，则λ+1μ=t 4+43t ≥213=233(当且仅当t 4=43t ，即t =433时取等号)，所以λ+1μ的最小值为233.故答案为：233．3(2024·黑龙江哈尔滨·高三哈师大附中校考期末)在ΔABC 中，点D 满足BD =34BC，当E 点在线段AD (不包含端点)上移动时，若AE =λAB +μAC ，则λ+3μ的取值范围是A.233,+∞B.[2,+∞)C.174,+∞D.(2,+∞)【答案】C【解析】如图所示，△ABC 中，BD =34BC，∴AD =AB +BD =AB +34BC =AB +34(AC -AB )=14AB+34AC ，又点E 在线段AD (不含端点)上移动，设AE =kAD ，0<k <1，∴AE =k 4AB +3k 4AC ，又AE =λAB +μAC ，∴λ=k4μ=3k 4，∴λ+3μ=k 4+4k ．∵k 4+4k在(0，1)上单调递减，∴λ+3μ的取值范围为174，+∞ ，故选C ．题型六：x 2+y 2问题1(2024·江苏泰州·高一泰州中学阶段练习)在ΔABC 中，点D 满足BD =34BC，当点E 在射线AD (不含点A )上移动时，若AE =λAB +μAC，则(λ+1)2+μ2的取值范围为．【答案】(1,+∞)【解析】因为点E 在射线AD (不含点A )上，设AE =kAD , 0<k ，又BD =34BC ，所以AE =k (AB +AD )=k AB +34(AC -AB ) =k 4AB+3k 4AC ，所以λ=k4μ=3k4 ，t =(λ+1)2+μ2=k 4+12+916k 2=58k +252+910>1，故(λ+1)2+μ2的取值范围1,+∞ .2(2024·天津·高三校联考阶段练习)如图，在△ABC 中，BD =13BC，点E 在线段AD 上移动(不含端点)，若AE =λAB +μAC ，则λμ=，λ2-μ的最小值为.【答案】 2-116【解析】因为在△ABC 中，BD =13BC，所以AD =AB +BD =AB +13BC =AB +13(AC -AB )=23AB+13AC ,即AD =23AB +13AC .因为点E 在线段AD 上移动(不含端点)，所以设AE =xAD(0<x <1).所以AE =2x 3AB +x 3AC ，对比AE =λAB +μAC 可得λ=2x 3,μ=x 3.代入λ=2x 3,μ=x 3，得λμ=2x3x 3=2；代入λ=2x 3,μ=x 3可得λ2-μ=2x 3 2-x 3=4x 29-x 3(0<x <1)，根据二次函数性质知当x =--132×49=38时，λ2-μ min =49×382-13×38=-116.故答案为：2;-1163(2024·全国·高三专题练习)在△ABC 中，点D 满足BD =DC ，当E 点在线段AD 上移动时，若AE=λAB +μAC ，则t =(λ-1)2+μ2的最小值为.【答案】12【解析】BD =DC；∴D 为边BC 的中点，如图，则：AD =12(AB +AC )；∵E 在线段AD 上；∴设AE =kAD =k 2AB +k 2AC ，0≤k ≤1；又AE =λAB +μAC ；∴λ=k2μ=k2；即λ=μ，且0≤μ≤12；∴t =(μ-1)2+μ2=μ2-2μ+1+μ2=2μ-12 2+12；∴μ=12时，t 取最小值12．故答案为：12．4(2024·山东德州·高三统考期末)在△ABC 中，M 为边BC 上任意一点，N 为AM 的中点，且满足AN=λAB +μAC ，则λ2+μ2的最小值为.【答案】18/0.125【解析】由M 为边BC 上任意一点，则BM =γBC,0≤γ≤1 ，AN =12AM =12AB +BM =12AB +γBC =12AB+γ2AC -AB =1-γ2AB +γ2AC ，可得λ=1-γ2μ=γ2，则λ+μ=12，即λ=12-μ，由0≤γ≤1，可得0≤γ2≤12，则μ∈0,12 ，故λ2+μ2=12-μ2+μ2=2μ2-μ+14=2μ-14 2+18，当μ=14时，λ2+μ2取得最小值为18.故答案为：18.【过关测试】一、单选题1(2024·高三课时练习)在△ABC 中，M 为边BC 上任意一点，N 为AM 中点，AN =λAB +μAC，则λ+μ的值为()A.12B.13C.14D.1【答案】A【解析】由题可设BM =tBC ，则AM =AB +BM =AB +tBC =AB +t AC -AB =1-t AB +tAC ，∵N 为AM 中点，∴AN =12AM =121-t AB +12tAC,又AN =λAB +μAC ，∴λ=121-t ,μ=12t ，∴λ+μ=12.故选：A .2(2024·安徽六安·高一六安一中校考期末)如图所示，在△ABC 中，点D 是边BC 上任意一点，M 是线段AD 的中点，若存在实数λ和μ，使得BM =λAB +μAC，则λ+μ=()A.-1B.-12C.-2D.-32【答案】B【解析】如图所示，因为点D 在线段BC 上，所以存在t ∈R ，使得BD =tBC =t AC -AB，因为M 是线段AD 的中点，所以：BM =12BA +BD =12-AB +tAC -tAB =-12t +1 AB +12tAC ，又BM =λAB +μAC ，所以λ=-12t +1 ，μ=12t ，所以λ+μ=-12.故选：B .3(2024·重庆·高三重庆南开中学校考阶段练习)已知点O 为ΔABC 所在平面内一点，满足OA +OB+OC =0 ，M 为AB 中点，点P 在ΔAOC 内(不含边界)，若BP =xBM +yBC ，则x +y 的取值范围是()A.1,2B.23,2C.12,1D.13,32【答案】A 【解析】如图：∵OA +OB +OC =0 ，∴点O 是ΔABC 的重心，点N 是BC 的中点，BO =BC +CO =BC +23CM =BC +23BM -BC =13BC+23BM ，BN =12BC ，BA =2BM当点P 在ΔAOC 内(不含边界)，BP =BO +OP =BO +λOQ =BO +λOA +AQ ，0<λ<1=BO +λ23NA +μAC =BO +λ23BA -BN +μBC -BA ，0<μ<1=BO +λ232BM -12BC +μBC -2BM =13BC+23BM +43λBM -13λBC +λμBC -2λμBM =13-13λ+λμ BC +23+43λ-2λμ BM∴x +y =13-13λ+λμ+23+43λ-2λμ=1+λ-λμ=1+λ1-μ ，∵0<λ<1，0<μ<1，∴0<1-μ<1，0<λ1-μ <1，∴1<1+λ1-μ <2.故选：A4(2024·广东惠州·高一校联考阶段练习)在△ABC 中，点O 是线段BC 上的点，且满足|OC |=3|OB|，过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于点E 、F ，且AB =mAE ，AC =nAF ，其中m >0且n >0，若1m+tn的最小值为3，则正数t 的值为()A.2B.3C.83D.113【答案】B【解析】AO =AB +BO =AB +14BC =AB +14AC -AB =34AB+14AC =3m 4AE +n 4AF ，∵E 、O 、F 三点共线，∴3m 4+n4=1，∵m >0，n >0，t >0，∴1m +t n =1m +t n 3m 4+n 4 =34+n 4m +3mt 4n +t 4≥3+t 4+2n 4m ⋅3mt 4n =3+t 4+23t 4，当且仅当n 4m =3mt4n时取等号，∴3+t 4+23t 4=3⇒t +33 t -3 =0⇒t =3⇒t =3．故选：B ．5(2024·江西南昌·高三阶段练习)在△ABC 中，点O 是BC 的三等分点(靠近点B )，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同两点M ，N ，若AB =mAM ,AC =nAN ，m ,n 均为正数，则1m +1n的最小值为()A.2 B.1+23C.1+223D.1+233【答案】C【解析】由题意知AO =AB +13BC =AB +13AC -AB =23AB+13AC =2m 3AM +n 3AN ，由于M 、O 、N 三点共线，可知2m 3+n3=1，由于m ,n 均为正数，所以1m +1n =1m +1n 2m 3+n 3 =1+n 3m +2m 3n ≥1+229=1+223，当且仅当n 3m =2m3n ，即m =3(2-2)2,n =3(2-1)时取得等号，故选：C 二、多选题6(2024·江苏南京·高一南京市宁海中学校联考期末)在△ABC 中，点D 是线段BC 上任意一点，点M 是线段AD 的中点，若存在λ,μ∈R 使BM =λAB +μAC，则λ,μ的取值可能是()A.λ=-35,μ=110B.λ=1,μ=-32C.λ=-910,μ=25D.λ=-710,μ=35【答案】AC【解析】令BD =mBC 且m ∈[0,1]，而BM =12(BA +BD )=12(BA+mBC )，又BC =BA +AC ，则BM =12[BA +m (BA +AC )]=-1+m 2AB+m 2AC ，所以λ=-1+m2μ=m2，则λ∈-1,-12，μ∈0,12 且λ+μ=-12，故A 、C 满足，B 、D 不满足.故选：AC7(2024·浙江宁波·高一宁波市北仑中学校考期末)已知O 是△ABC 内一点，且OA +OB +OC =0，点M 在△OBC 内(不含边界)，若AM =λAB +μAC，则λ+2μ的值可能为()A.97B.117C.137D.157【答案】ABC【解析】因为O 是△ABC 内一点，且OA +OB +OC =0 所以O 为△ABC 的重心M 在△OBC 内(不含边界)，且当M 与O 重合时，λ+2μ最小，此时AM =λAB +μAC =23×12AB +AC =13AB +13AC 所以λ=13,μ=13，即λ+2μ=1当M 与C 重合时，λ+2μ最大，此时AM =AC所以λ=0,μ=1，即λ+2μ=2因为M 在△OBC 内且不含边界所以取开区间，即λ+2μ∈1,2 ，结合选项可知ABC 符合，D 不符合故选：ABC8(2024·重庆·高一校联考阶段练习)在ΔABC 中，点D 满足BD =DC，当点E 在线段AD 上(不含A 点)移动时，记AE =λAB +μAC，则()A.λ=2μB.λ=μC.14λ+μ的最小值为1D.4λ+μ的最小值为4【答案】BC【解析】∵BD =DC ，∴D 是BC 中点,则AD =12AB +AC,又点E 在线段AD 上,即A ,E ,D 三点共线,设AE =mAD 0<m ≤1 ,故AE =mAD =12m AB +AC ,λ=μ=12m .故B 对A 错.14λ+μ=14λ+λ≥214λ⋅λ=1,当且仅当14λ=λ时,即λ=12,故C 对.4λ+μ=4λ+λ在λ∈0,12上单调递减，当λ=12取最小值172，故D 错.故答案为：BC9(2024·湖北武汉·高三校联考期末)在△ABC 中，点D 满足BD =DC，当点E 在线段AD 上移动时，记AE =λAB +μAC ，则()A.λ=2μB.λ=μC.λ-2 2+μ2的最小值为2D.λ-2 2+μ2的最小值为52【答案】BD 【解析】由BD =DC 得AD =12AB +AC ，又点E 在线段AD 上移动，AE =kAD =12k AB +AC =12kAB+12kAC ,0≤k ≤1，∴λ=12k ,μ=12k ，故A 错误，B 正确；λ-2 2+μ2=12k -2 2+12k 2=12k 2-2k +4=12k -2 2+2，当k =1时，有最小值52，故C 错误，D 正确.故选：BD .三、填空题10(2024·全国·高三专题练习)如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆O ，P 为圆O 上任一点，若AP =xAB +yAC ，则2x +2y 的最大值为【答案】83【解析】作BC 的平行线与圆相交于点P ，与直线AB 相交于点E ，与直线AC 相交于点F ，设AP =λAE +μAF ，则λ+μ=1，等边三角形边长为2，则外接圆半径为233，当点P 为切点时, AE =AF =83，∵BC ⎳EF ，∴设AE AB =AF AC =k ，则k ∈0,43 ，当点P 为切点时, k 有最大值43,AE =kAB ，AF =kAC ，AP =λAE +μAF =λkAB +μkAC∴x =λk ，y =μk ，∴2x +2y =2λ+μ k =2k ≤83.即2x +2y 的最大值为83.故答案为：8311(2024·福建三明·高二三明一中校考开学考试)如图，在扇形OAB 中，∠AOB =π3，C 为弧AB 上的一个动点，若OC=xOA +yOB，则x +4y 的取值范围是.【答案】1,4【解析】如图所示，以O 为原点，OB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，则根据题意可知B (1,0)，A 12，32，设C (cos θ,sin θ)，0°≤θ≤60°．由OC =xOA +yOB ，得cos θ=y +12x sin θ=32x ，∴x =23sin θy =cos θ-sin θ3，∴x +4y =4cos θ-233sin θ，点C 在弧AB 上由B →A 运动，θ在0，π3 上逐渐变大，cos θ变小，sin θ逐渐变大，∴当θ=0°时x +4y 取得最大值4，当θ=60°时x +4y 取得最小值1．∴x +4y 的取值范围是[1，4]．故答案为：1,4 ．12(2024·四川绵阳·高一统考期末)在扇形OAB 中，∠AOB =60°，C 为弧AB 上的一动点，若OC=xOA +yOB ，则3x +y 的取值范围是．【答案】1,3【解析】以O 为原点，OA ,OB 分别为x ，y 轴正方向建立平面直角坐标系.则OA =1,0 ,OB =12,32 .不妨设OC =cos θ,sin θ ,0≤θ≤π3.因为OC =xOA +yOB，所以cos θ=x +12y sin θ=32y ，解得：x =cos θ-33sin θy =233sin θ，所以3x +y =3cos θ-33sin θ.因为y =cos θ在θ∈0,π3 上单调递减，y =-sin θ在θ∈0,π3上单调递减，所以3x +y =3cos θ-33sin θ在θ∈0,π3 上单调递减.所以当θ=0时3x +y =3最大；当θ=π3时3x +y =3cos π3-33sin π3=32-33⋅32=1最小.所以3x +y 的取值范围是1,3 .故答案为：1,3 .13(2024·全国·高三专题练习)在扇形OAB 中，OA =1，∠AOB =π3，C 为弧AB 上的一个动点，若OC =xOA +yOB ，则x +3y 的取值范围是.【答案】[1,3]【解析】如图所示，建立平面直角坐标系以O 为坐标原点，OA 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则A(1,0)，B 12,32，设∠AOC =θ，则C (cos θ,sin θ)0≤θ≤π3 ，由OC =xOA +yOB 得cos θ=x +12y ,sin θ=32y , 从而x =cos θ-13sin θ,y =23sin θ, 则x +3y =cos θ+533sin θ=283sin (θ+φ)，易知0<φ<π6，故y =f (θ)=cos θ+533sin θ=283sin (θ+φ)在0,π3上单调递增，∴y min =f (0)=1，y max =f π3 =cos π3+533sin π3=12+52=3.故x +3y ∈[1,3].故答案为：[1,3]14(2024·全国·高三专题练习)扇形OAB 中，∠AOB =120°，C 为AB 上的一个动点，且OC =xOA+yOB ，其中x ,y ∈R .(1)x +y 的取值范围为；(2)2x +y 的取值范围为.【答案】1,21,2213【解析】(1)解法一：(等和线)设OC 与AB 相交于点D ，OD =λOC =λxOA +λyOB，λx +λy =1，x +y =1λ=OC OD ∈[1,2].解法二：(坐标法)C (cos α,sin α)，α∈0,2π3，cos α=x -12y ，sin α=32y ，x =cos α+33sin α，y =233sin α，x +y =cos α+3sin α=2sin α+π6∈[1,2].解法三：设∠AOC =α∈0,2π3，OC ⋅OA =xOA ⋅OA +yOB ⋅OA ,OC ⋅OB =xOA ⋅OB +yOB ⋅OB , ，即cos α=x -12y cos (1200-α)=-12x +y∴x +y =2[cos α+cos (1200-α)]=cos α+3sin α=2sin α+π6∈[1,2].(2)解法一：(等和线)解法二：2x +y =2cos α+433sin α=2213sin (α+θ)∈1,2213，其中sin (α+θ)先增后减.15(2024·吉林·高一阶段练习)如图，在ΔABC 中，D ,E ,F 分别为BC ,CA ,AB 上的点，且CD =35BC ，EC =12AC ，AF =13AB .设P 为四边形AEDF 内一点(P 点不在边界上)，若DP =-13DC+λDE ，则实数λ的取值范围为【答案】12,43【解析】取BD 中点M ,过M 作MH ⎳DE 交DF ,AC 分别为G ,H ,如图：则由DP =-13DC+λDE =DM +λDE 可知,P 点在线段GH 上运动(不包括端点)当P 与G 重合时，根据DP =tDF =-89tDC +43tDE =-13DC +λDE ,可知λ=12，当P 与H 重合时,由P ,C ,E 共线可知-13+λ=1，即λ=43，结合图形可知λ∈12,43.16(2024·重庆万州·高一万州外国语学校天子湖校区校考期末)如图，在△ABC 中，BD =13BC，点E 在线段AD 上移动(不含端点)，若AE =λAB +μAC ，则λ2+1μ的取值范围是．【答案】103,+∞【解析】由题可知，BD =13BC ，设AE =mAD0<m <1 ，则AE =m AB +13BC =m AB +13BA +AC，所以AE =23mAB +13mAC ，而AE =λAB +μAC ，可得：λ=23m ,μ=13m ，所以λ2+1μ=m 3+3m0<m <1 ，设f m =m 3+3m0<m <1 ，由双钩函数性质可知，f x 在0,1 上单调递减，则f x >f 1 =13+3=103，所以λ2+1μ的取值范围是103,+∞ .故答案为：103,+∞ .四、解答题17(2024·高一课时练习)在学习向量三点共线定理时，我们知道当P 、A 、B 三点共线，O 为直线外一点，且OP =xOA +yOB 时，x +y =1(如图1)，小明同学提出了如下两个问题，请同学们帮助小明解答．(1)当x +y >1或x +y <1时，O 、P 两点的位置与AB 所在直线之间存在什么关系？写出你的结论，并说明理由；(2)如图2，射线OM ⎳AB ，点P 在由射线OM 、线段OA 及BA 的延长线围成的区域内(不含边界)运动，且OP =xOA +yOB ，求实数x 的取值范围，并求当x =12时，实数y 的取值范围．【解析】(1)若x +y >1，则O ，P 在直线AB 异侧；若x +y <1，则O ，P 在直线AB 同侧．理由如下：设x +y =t ，则由OP =xOA +yOB ，得：OP =xOA +(t -x )OB =xOA +1-x OB +t -1 OB ，则在直线AB 上有一点Q ，使得OQ =xOA +1-x OB ，如下图所示：则OP =OQ +t -1 OB ，即QP =t -1 OB ，∴当t >1时，则OB =t -1 OB 与OB 同向，且QP =OB ，由平面共线定理可得，O ，P 在直线AB 异侧；当t <1时，OB =t -1 OB 与OB 反向，如下图所示，且QP =OB ，由平面共线定理可得，O ，P 在直线AB 同侧．(2)射线OM ⎳AB ，点P 在由射线OM 、线段OA 及BA 的延长线围成的区域内(不含边界)运动如图所示，阴影部分为点P 的运动区域(不含边界)，由(1)可知，O ，P 在直线AB 同侧，由于OP =xOA +yOB ，则x +y <1．过点P 作PE ⎳OB 交射线OA 于E ，过点P 作PF ⎳OB 交射线BO 的延长线OB 于F ,由平行四边形法则可得OP =OE +OF ，又OE 与OA 方向相同，则OE =mOA ，且m >0，OF 与OB 方向相反，则OF =nOB ，且n <0，则OP =mOA +nOB =xOA +yOB ，故x =m >0,y =n <0，即实数x 的取值范围是(0,+∞)，当x =12时，此时E 为OA 中点，过E 作直线平行与OB 交AB 于M ，交射线OM 于M ，则点P 运动轨迹为线段EM (不含端点E ,M )，如下图：当点P 运动到E 时，OP =OE =12OA +0⋅OB ，此时y =0；当点P 运动到M 时，OP =OE +EM =12OA +M E =12OA +12BO =12OA -12OB ，此时y =-12；且由平面向量加法的平行四边形法则得y ∈-12,0 .18(2024·高一课时练习)如图，OM ⎳AB ，点P 在由射线OM ，线段OB 及AB 的延长线围成的区域内(不含边界)运动，且OP =xOA +yOB ．(1)求x 的取值范围；(2)当x =-12时，求y 的取值范围．【解析】(1)如图，作PE ⎳BA 交OB 于E ，则OP =OE +EP =mOB +nAB =-nOA +(m +n )OB ．由P 点的位置容易知道0<m <1，n >0．因此，x =-n <0，即x 的取值范围是(-∞,0)．(2)当x =-12时，y =m +n =m +12，所以此时y 的取值范围是12,32．19(2024·上海浦东新·高二华师大二附中校考阶段练习)小郭是一位热爱临睡前探究数学问题的同学，在学习向量三点共线定理时，我们知道当P 、A 、B 三点共线，O 为直线外一点，且OP =xOA +yOB 时，x +y =1(如图1)第二天，小郭提出了如下三个问题，请同学帮助小郭解答.(1)当x +y >1或x +y <1时，O 、P 两点的位置与AB 所在直线之间存在什么关系？写出你的结论，并说明理由(2)如图2，射线OM ∥AB ，点P 在由射线OM 、线段OA 及BA 的延长线围成的区域内(不含边界)运动，且OP =xOA +yOB ，求实数x 的取值范围，并求当x =12时，实数y 的取值范围.(3)过O 作AB 的平行线，延长AO 、BO ，将平面分成如图3所示的六个区域，且OP =xOA +yOB ，请分别写出点P 在每个区域内运动(不含边界)时，实数x ，y 应满足的条件.(不必证明)【解析】(1)若x +y >1，则O 、P 异侧，若x +y <1，则O 、P 同侧；理由如下：设x +y =t ，则由OP =xOA +yOB 得，OP =xOA +t -x OB =xOA -xOB +tOB =xBA +tOB ，当t >1时，tOB 与OB 同向，由平面向量加法的平行四边形法则可知，O 、P 异侧；当t <1时，tOB 与OB 反向，由平面向量加法的平行四边形法则可知，O 、P 同侧；(2)由图及平面向量基本定理可知，x >0，即实数x 的取值范围是0,+∞ ，当x =12时，由平面向量加法的平行四边形法则可知，y ∈-12,0 ；(3)Ⅰ：y <0x +y >0 ；Ⅱ：x >0y >0 ；Ⅲ：x <0x +y >0 ；Ⅳ：y >0x +y <0 ；Ⅴ：x <0y <0 ；Ⅵ：x >0x +y <0 ．。

掌握初中数学中的平面向量解题技巧平面向量是初中数学中的一个重要内容，解题技巧的掌握对于学生来说显得尤为关键。

在本文中，我们将分享一些帮助学生掌握初中数学中平面向量解题技巧的方法。

一、平面向量的定义和基本性质平面向量是一个有大小和方向的有序数对，通常表示为箭头。

在平面向量的研究中，我们需要关注以下几个关键概念：1. 向量的表示方法：向量可以使用坐标表示法、分解表示法或单位向量表示法进行表示。

每种表示方法都有其特定的应用场景和计算思路。

2. 向量的加法与减法：向量的加法与减法规律是平面向量的基本性质。

通过理解与运用这些规律，可以简化题目的计算过程。

3. 向量的数量乘法：向量的数量乘法包括正数乘法和零向量的乘法。

这些操作能够对向量的大小和方向产生影响，需要注意运算法则。

二、平面向量的应用领域平面向量解题技巧在初中数学中广泛应用于以下几个领域：1. 向量的平行与垂直关系：通过向量的点积和叉积，可以判断两个向量之间的平行关系或垂直关系。

这种技巧在解决几何问题时尤为常见。

2. 向量的共线与共面关系：通过向量的线性运算和共面性质，可以判断多个向量之间的共线关系或共面关系。

这种技巧在解决多个向量同时出现的问题时非常有效。

3. 向量的位移与坐标计算：通过向量的位移计算和坐标运算，可以求解物体在平面上的运动问题。

这种技巧在解决位移、速度和加速度等物理问题时被广泛应用。

三、平面向量解题技巧的实例分析为了更好地理解和应用平面向量解题技巧，以下是几个实际问题的解析：1. 平面向量的加法与减法：已知向量A和向量B的坐标分别为(A1,A2)和(B1,B2)，则向量A加向量B的结果为(A1+B1, A2+B2)。

根据这个规律，我们可以解决诸如平行四边形对角线相等问题等。

2. 平面向量垂直关系的判断：已知向量A的坐标为(A1, A2)，如果A1×A2=0，则向量A与坐标轴正方向垂直。

这个技巧常在解决两条线段是否垂直或平行的问题时使用。

高中数学必备技巧平面向量的共线与垂直性质高中数学必备技巧：平面向量的共线与垂直性质在高中数学学习中，平面向量是一个重要的概念，它能够帮助我们更好地理解空间中的几何问题。

平面向量不仅有方向和大小，还有一些特殊的性质，其中包括共线与垂直性质。

本文将重点介绍平面向量的共线与垂直性质，并提供一些解题技巧。

一、共线性质1. 定义：设有两个非零向量a和b，如果存在实数k，使得a=kb，那么我们称向量a和b共线。

2. 共线判定：有两种判定方式可以确定向量的共线性：a) 坐标判定法：设向量a的坐标表示为(a₁, a₂)，向量b的坐标表示为(b₁, b₂)，则向量a和b共线的充要条件是a₁/b₁ = a₂/b₂。

b) 分向量判定法：设向量a的两个分向量为a₁和a₂，向量b的两个分向量为b₁和b₂，则向量a和b共线的充要条件是a₁/b₁ =a₂/b₂。

3. 共线向量的性质：如果向量a和b共线，则存在实数k，使得a=k(b₁, b₂)。

这意味着共线的向量具有相同的方向（平行或反平行）。

解题技巧：a) 确定向量的坐标或分向量，并利用坐标判定法或分向量判定法来判断是否共线。

b) 如果两向量的坐标或分向量比例相等，则可直接判断它们共线。

二、垂直性质1. 定义：设有两个非零向量a和b，如果a·b = 0，即它们的数量积为零，那么我们称向量a和b垂直。

2. 垂直判定：有两种判定方式可以确定向量的垂直性：a) 坐标判定法：设向量a的坐标表示为(a₁, a₂)，向量b的坐标表示为(b₁, b₂)，则向量a和b垂直的充要条件是a₁b₁ + a₂b₂ = 0。

b) 分向量判定法：设向量a的两个分向量为a₁和a₂，向量b的两个分向量为b₁和b₂，则向量a和b垂直的充要条件是a₁b₁ +a₂b₂ = 0。

3. 垂直向量的性质：如果向量a和b垂直，则它们的夹角为90°。

具体而言，如果向量a的坐标表示为(a₁, a₂)，向量b的坐标表示为(b₁, b₂)，则向量a和b垂直的充要条件是a₁b₁ + a₂b₂ = 0。

平面向量做题技巧1. 嘿，平面向量做题的时候，要学会找关键信息呀！就像你在一堆玩具中找到你最喜欢的那个一样。

比如已知向量的模和夹角，那不是很明显要去用相关公式嘛！2. 哎呀，一定要记住向量的加减法法则哦，这可太重要啦！就好比搭积木，一块一块地往上加，或者把多余的拿走，不就清楚啦。

像那种给出几个向量让你合成的题，不就用这个嘛！3. 注意啦，向量的数量积可不能马虎！这就好像你和朋友之间的默契，要好好去感受和计算呀。

比如判断向量垂直，不就看数量积是不是零嘛！4. 嘿，在做题时别死脑筋呀，要灵活运用啊！就像跳舞要随着音乐节奏变换动作一样。

碰到复杂的向量问题，多想想有没有简便方法呀！5. 哇塞，对于那些和几何图形结合的题，要把图形看透呀！这就如同你了解一个人的性格一样重要。

比如在三角形里的向量问题，不就利用三角形的特点嘛！6. 记住哦，单位向量也有大用处呢！就好像一个小小的指南针能指引方向一样。

在一些问题里，利用单位向量来转化不就简单多啦！7. 千万别忘了向量共线的条件呀！这就好比走在同一条路上的伙伴。

看到相关条件，马上就想到共线的性质呀！8. 哎呀呀，平面向量做题技巧真的很关键呢！就像拥有一把万能钥匙能打开各种难题的门。

遇到困难别退缩，用对技巧呀！9. 注意那些隐含条件呀，别漏了它们！这就像宝藏藏在角落里，你得细心才能发现。

很多时候答案就在那些被忽略的地方呢！10. 真的，平面向量做题要多用心呀！就像对自己喜欢的事情一样充满热情。

用心去体会每一个技巧，你会发现做题越来越轻松啦！我的观点结论就是：掌握这些平面向量做题技巧，能让你在解题时更加得心应手，轻松应对各种难题，一定要好好运用哦！。

突破6.4 平面向量的应用一、学情分析高考对本部分的考查主要涉及平面向量的数量积和向量的线性运算，以运算求解和数形结合为主，重点掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算，能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系，掌握向量加法、减法、数乘的运算及其几何意义等，注重转化与化归思想的应用.1．平面向量的数量积一直是高考的一个热点，尤其是平面向量的数量积，主要考查平面向量的数量积的 运算、向量的几何意义、模与夹角、两向量的垂直等问题．题型一般以选择题、填空题为主.2．平面向量的基本定理及坐标表示是高考中的一个热点内容，尤其是用坐标表示的向量共线的条件是高 考考查的重点内容，一般是通过向量的坐标表示，将几何问题转化为代数问题来解决，多以选择题或填空题的形式呈现，有时也作为解答题中的条件，应用向量的平行或垂直关系进行转换．二、学法指导与考点梳理考点一 向量在平面几何中的应用 (1)用向量解决常见平面几何问题的技巧： 问题类型 所用知识 公式表示线平行、点共线等问题共线向量定理a ∥b ⇔a ＝λb ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0， 其中a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，b ≠0 垂直问题数量积的运算性质a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0，其中a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，且a ，b 为非零向量夹角问题数量积的定义cos θ＝a ·b|a ||b |(θ为向量a ，b 的夹角)，其中a ，b 为非零向量长度问题数量积的定义|a |＝a 2＝x 2＋y 2，其中a ＝(x ，y )，a 为非零向量平面几何问题――→设向量向量问题――→运算解决向量问题――→还原解决几何问题。

考点二 正弦定理和余弦定理1.在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 外接圆半径，则 定理 正弦定理余弦定理公式a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ；c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C常见 变形(1)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ；(2)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R ；(3)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ；(4)a sin B ＝b sin A ，b sin C ＝c sin B ，a sin C ＝c sin Acos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ；cos B ＝c 2＋a 2－b 22ac ；cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab2.S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝12(a ＋b ＋c )·r (r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R ，r .3.在△ABC 中，已知a ，b 和A 时，解的情况如下：A 为锐角A 为钝角或直角图形关系式 a ＝b sin A b sin A <a <b a ≥b a >b a ≤b 解的个数一解两解一解一解无解重难点题型突破1 平面向量在平面几何中的应用（奔驰定理）例1、（1）．（2022·四川西昌·高二期末（理））在平面上有ABC 及内一点O 满足关系式：0OBC OAC OAB S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=△△△即称为经典的“奔驰定理”，若ABC 的三边为a ，b ，c ，现有0a OA b OB c OC ⋅+⋅+⋅=则O 为ABC 的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心【答案】B 【解析】 【分析】利用三角形面积公式，推出点O 到三边距离相等。

平面向量几何法解题技巧平面向量几何法是高中数学中的一项重要内容，它可以解决各种几何问题，包括线的垂直、平行、中点、角平分线等等。

本文将介绍平面向量几何法的基本概念、解题技巧以及应用实例，希望对读者有所帮助。

一、平面向量的基本概念平面向量是代表平面上的一定方向和大小的量，由一个有向线段和箭头来表示。

它可以表示为一个有序数对(a,b)，其中a和b分别表示向量在x方向和y方向上的分量。

向量的大小表示为模长，一般用||AB||表示，其中AB 为向量的有向线段。

模长可以使用勾股定理计算：||AB||=√(a²+b²).向量的方向表示为方向角，它与x轴正方向的夹角记为α（0°≤α＜360°或0≤α＜2π），可以使用以下公式计算：α＝arctan(b/a) (a＞0)α＝π+arctan(b/a) (a＜0, b≥0)α＝-π+arctan(b/a) (a＜0, b＜0)α＝π/2 (a=0, b＞0)α＝-π/2 (a=0, b＜0)二、平面向量几何法的解题技巧1. 向量的加减两个向量的加法表示以一个向量为起点，以另一个向量为终点的有向线段，公式为：AB+BC=AC。

两个向量的减法则表示从一个向量的终点到另一个向量的起点的有向线段，例如：AC-AB=BC。

2. 向量的数量积向量的数量积是一个纯量（一个数），记作a·b，它定义为a和b的模长的乘积与它们夹角的余弦值的积，也就是a·b=||a||·||b||·cosα。

向量的数量积还可以用来求两个向量之间的夹角，公式为cosα=a·b/||a||·||b||。

3. 向量的叉积向量的叉积是一个向量，它表示的是由两个向量围成的平行四边形的面积和方向。

公式为：a×b=||a||·||b||·sinα·n，其中n为满足右手定则的单位向量，其方向与两个向量所在平面垂直，且a、b、n 组成一个右手系。

高中数学平面向量模长解题技巧引言：在高中数学中，平面向量是一个重要的概念，涉及到平面几何、解析几何以及物理等多个领域。

而平面向量的模长是其中一个基本的概念，它代表了向量的长度或大小。

本文将介绍一些高中数学中常见的平面向量模长解题技巧，帮助学生更好地理解和应用这一概念。

一、模长的定义和性质模长是平面向量的一个重要性质，它可以通过向量的坐标表示或几何方法求解。

对于一个平面向量$\vec{AB}$，其模长记作$|\vec{AB}|$或$AB$，表示向量的长度或大小。

模长的计算公式为：$$|\vec{AB}|=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$$其中$(x_A,y_A)$和$(x_B,y_B)$分别是向量起点$A$和终点$B$的坐标。

模长具有以下性质：1. 非负性：模长始终大于等于零，即$|\vec{AB}|\geq 0$。

2. 零向量的模长为零：对于零向量$\vec{0}$，其模长为$|\vec{0}|=0$。

3. 向量的模长与方向无关：向量的模长与其方向无关，只与向量的起点和终点有关。

二、模长解题技巧1. 利用坐标计算模长当向量的起点和终点的坐标已知时，可以直接利用模长的计算公式求解。

例如，已知向量$\vec{AB}$的起点$A(2,3)$和终点$B(5,7)$，求向量$\vec{AB}$的模长。

解答：根据模长的计算公式，可得：$$|\vec{AB}|=\sqrt{(5-2)^2+(7-3)^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$$因此，向量$\vec{AB}$的模长为5。

2. 利用几何性质计算模长在某些情况下，可以利用几何性质来计算向量的模长。

例如，已知三角形$ABC$的顶点$A(1,2)$、$B(4,6)$和$C(7,2)$，求向量$\vec{AB}$和$\vec{AC}$的模长。

解答：根据模长的定义，可以利用两点之间的距离公式求解。

首先计算向量$\vec{AB}$的模长：$$|\vec{AB}|=\sqrt{(4-1)^2+(6-2)^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$$然后计算向量$\vec{AC}$的模长：$$|\vec{AC}|=\sqrt{(7-1)^2+(2-2)^2}=\sqrt{36}=6$$因此，向量$\vec{AB}$的模长为5，向量$\vec{AC}$的模长为6。

高考平面向量题型归纳总结在高考数学考试中，平面向量是一个常见的考点，也是学生普遍认为较为困难的部分之一。

平面向量题型包括向量的加减、数量积、向量方向等。

本文将对高考平面向量题型进行归纳总结，帮助学生更好地掌握此类题型。

一、向量的加减1. 向量的加法向量的加法满足交换律和结合律，即a + b = b + a，(a + b) + c = a + (b + c)。

在解题过程中，可以利用向量的平移性质，将向量平移至同一起点，再连接终点得到新的向量。

2. 向量的减法向量的减法可以转化为加法进行处理，即a - b = a + (-b)。

其中，-b表示b的反向量，即方向相反的向量，模长相等。

二、数量积数量积又称为内积或点积，记作a·b。

1. 定义对于两个向量a(x₁, y₁)和b(x₂, y₂)，它们的数量积a·b = x₁x₂ +y₁y₂。

另外，数量积还可以表示为向量模长和夹角的乘积，即a·b =|a| · |b| · cosθ，其中θ为a与b的夹角。

2. 性质(1) 交换律：a·b = b·a(2) 分配律：a·(b + c) = a·b + a·c(3) 结合律：k(a·b) = (ka)·b = a·(kb)，其中k为实数(4) 若a·b = 0，则a与b垂直或其中一个为零向量(5) 若a·b > 0，则夹角θ为锐角；若a·b < 0，则夹角θ为钝角。

三、向量方向向量的方向可以用两种方式来表示：1. 向量的方向角：向量a(x, y)的方向角为与x轴正方向之间的夹角α，其中-π < α ≤ π。

2. 方向余弦：向量a(x, y)的方向余弦为与x轴的夹角的余弦值cosα，与y轴的夹角的余弦值cosβ。

在解决平面向量题型时，可以利用这两种方式来确定向量的方向。

初中数学解题技巧迅速解决复杂的平面向量题目平面向量作为初中数学中的重要内容之一，在解题过程中可能会遇到一些较为复杂的题目。

本文将介绍一些解题技巧，帮助同学们快速解决这些复杂的平面向量题目。

一、快速计算向量的模和方向在解决平面向量题目时，经常需要计算向量的模和方向。

为了方便计算，我们可以使用平面向量的坐标表示法。

假设有一个向量AB，设点A的坐标为(A₁, A₂)，点B的坐标为(B₁, B₂)，则向量AB的坐标表示为(B₁ - A₁, B₂ - A₂)。

通过坐标表示法，我们可以快速计算向量的模和方向。

向量的模可以通过使用勾股定理计算得到，即向量的模为√((B₁ -A₁)² + (B₂ - A₂)²)。

向量的方向可以通过使用反正切函数计算得到，即向量的方向为arctan((B₂ - A₂) / (B₁ - A₁))。

二、夹角的计算在解决平面向量题目时，有时需要计算向量之间的夹角。

我们可以使用向量的点积来计算夹角。

设有两个向量A和B，它们的夹角记为θ，则有cosθ = (A·B) / (|A|·|B|)。

通过这个公式，可以快速计算出向量之间的夹角。

三、向量共线与共面判断在解决平面向量题目时，有时需要判断向量是否共线或共面。

可以通过计算向量的比值来判断。

1. 共线判断：如果向量A与向量B共线，那么它们的对应坐标之间的比值应该相等。

即 (B₁/A₁) = (B₂/A₂) = k。

如果向量A与向量B共线，那么我们可以通过求两个坐标之间的比值，判断出它们是否共线。

2. 共面判断：如果向量A、B和向量C共面，那么向量A与向量B的叉积与向量A与向量C的叉积应该平行。

即A×B = λ(A×C)，其中λ是一个实数。

通过判断两个向量的叉积是否平行，我们可以判断出它们是否共面。

四、平面向量的运算在解决平面向量题目时，有时需要进行向量的运算。

以下是一些常见的向量运算规则：1. 向量的加法：设有向量A和向量B，它们的和记为A + B。

平面向量求解技巧平面向量是解决平面几何问题的重要工具之一。

在应用平面向量求解问题时，以下技巧或方法可以帮助我们更快速、准确地解决问题。

1. 确定坐标系：在解决平面向量问题时，通常需要确定一个相应的坐标系。

常用的坐标系有直角坐标系和极坐标系。

选择合适的坐标系可以简化问题，并使计算更加方便。

2. 表示向量：向量是带有方向的量，可以使用一个有序的数对来表示。

在直角坐标系中，一个向量可以表示为(x, x)，其中x和x分别表示该向量在x轴和x轴上的分量。

在极坐标系中，一个向量可以表示为(x, x)，其中x表示向量的长度，x表示向量与正半轴的夹角。

3. 向量的加法：向量的加法满足平行四边形法则，即将两个向量的起点放在一起，然后将它们的箭头相连接，连接后的向量为原向量的和。

在直角坐标系中，向量的加法可以通过将两个向量的对应分量相加得到。

4. 向量的减法：向量的减法可以看作是向量的加法的逆运算。

即，将被减向量进行取负操作，再将该向量与减向量进行加法运算。

在直角坐标系中，向量的减法可以通过将减向量的对应分量取负，然后与被减向量的对应分量相加得到。

5. 向量的数量乘法：向量的数量乘法是将一个向量的长度与一个标量相乘，得到一个新的向量。

数量乘法会改变向量的大小，但不会改变向量的方向。

6. 向量的点乘：向量的点乘也称为内积或数量积。

点乘的结果是一个标量，不带有方向。

点乘可以用来求解两个向量的夹角、判断两个向量是否垂直等。

7. 向量的叉乘：向量的叉乘也称为外积或向量积。

叉乘的结果是一个新的向量，方向垂直于原始向量组成的平面，并遵循右手定则。

向量的叉乘可以用来求解平行四边形的面积、判断三个向量的共面性等。

8. 解决几何问题：应用平面向量求解平面几何问题时，我们通常可以将几何问题抽象为向量问题。

通过将几何问题转化为向量问题，我们可以利用向量的性质和计算方法快速求解。

9. 利用向量运算化简问题：在求解平面向量问题时，可以利用向量运算的性质化简问题。