高考数学真题专题五 平面向量第十四讲 向量的应用

专题五 平面向量第十四讲 向量的应用答案部分1．A 【解析】以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立如图的平面直角坐标系，因为在平面四边形ABCD 中，1AB AD ==，120BAD ∠=︒， 所以(0,0)A ，(1,0)B，1(,22D -，设(1,)C m ,(,)E x y ，所以3(,2DC m =，1(2AD =- ，因为AD CD ⊥，所以31(,(022m ⋅-=，即31()022m ⨯-+=，解得m，即(1C ， 因为E 在CD上，所以2y CE CD k k =，2112=+，即2x =-， 因为(,)AE x y = ，(1,)BE x y =-，所以2222(,)(1,)2)2AE BE x y x y x x y y ⋅=⋅-=-+=-++246y =-+，令2()46f y y =-+，y ∈．因为函数2()46f y y =-+在[28上单调递减，在[8上单调递增，所以2min 21()4(68816f y =⨯-+=． 所以⋅uu u r uu r AE BE 的最小值为2116，故选A ．2．A 【解析】解法一 设O 为坐标原点，OA = a ，(,)OB x y ==b ，=(1,0)e ，由2430-⋅+=b e b 得22430x y x +-+=，即22(2)1x y -+=，所以点B 的轨迹是以(2,0)C 为圆心，l 为半径的圆．因为a 与e 的夹角为3π，所以不妨令点A在射线y (0x >)上，如图，数形结合可知min ||||||1CA CB -=-a b ．故选A ．解法二 由2430-⋅+=b e b 得2243()(3)0-⋅+=-⋅-=b e b e b e b e ．设OB = b ，OE = e ，3OF = e ，所以EB -= b e ，3FB - b e =，所以0EB FB ⋅=，取EF 的中点为C ．则B 在以C 为圆心，EF 为直径的圆上，如图．设OA = a ，作射线OA ，使得3AOE π∠=，所以|||(2)(2)|-=-+-≥a b a e e b|(2)||(2)|||||1CA BC ---=-a e eb ．故选A ．3．A 【解析】如图建立直角坐标系，则(0,1)A ，(0,0)B ，(2,1)D ，(,)P x y 所以圆的方程为224(2)5x y -+=， 所以(,1)AP x y =- ，(0,1)AB =- ，(2,0)AD =，由AP AB AD λμ=+，得21x y μλ=⎧⎨-=-⎩，所以λμ+=12xy -+，设12x z y =-+，即102xy z -+-=， 点(,)P x y 在圆上，所以圆心到直线102xy z -+-=的距离小于半径，，解得13z ≤≤，所以z 的最大值为3， 即λμ+的最大值为3，选A ．4．B 【解析】如图，以BC 为x 轴，BC 的垂直平分线DA 为y 轴，D 为坐标原点建立平面直角坐标系，则 ()A ，(1,0)B -，(1,0)C ，设(,)P x y ，所以()P A y =-- ，(1,)PB x y =--- ，(1,)PC x y =-- ，所以 (2,2)P B P C x y +=-- ，22()22)22(PA PB PC x y y x y ⋅+=-=+-23322--≥，当(0,2P 时，所求的最小值为32-，故选B ．5．C 【解析】如图所示，四边形ABCE 是正方形，F 为正方形的对角线的交点，易得AO AF <，而90AFB ∠= ，∴AOB ∠与COD ∠为钝角，AOD ∠与BOC ∠为锐角．根据题意12()I I OA OB OB OC OB OA OC OB CA -=⋅-⋅=⋅-=⋅=||||cos 0OB CA AOB ∠<，∴12I I <，同理23I I >．做AG BD ⊥于G ，又AB AD =．∴OB BG GD OD <=<，而OA AF FC OC <=<，∴||||||||OA OB OC OD ⋅<⋅，而cos cos 0AOB COD ∠=∠<， ∴OA OB OC OD ⋅>⋅，即13I I >，∴312I I I <<，选C ．6．B 【解析】由2DA DB DC === 知,D 为ABC ∆的外心．由DA DB ⋅ =DB DC ⋅=DC DA ⋅知D为ABC ∆的内心，所以ABC ∆为正三角形，易知其边长为取AC 的中点E ，因为M 是PC 的中点，所以1122EM AP ==， 所以max 17||||22BM BE =+= ，则2max 49||4BM = ．故选B ．7．D 【解析】由菱形ABCD 的边长为a ，60ABC ∠=可知18060120BAD ∠=-=，2223()()cos1202BD CD AD AB AB AB AD AB a a a a ⋅=-⋅-=-⋅+=-⋅+= ．8．A 【解析】由题意得111333=+=+=+-AD AC CD AC BC AC AC AB1433=-+AB AC ．9．A 【解析】以题意，以点A 为坐标原点，以AB 所在的直线为x 轴，AC 所在的直线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，所以点(1,4)P ，1(,0)B t，(0,)C t ，所以11(1,4)(1,4)(1)(1)4(4)PB PC t t t t⋅=----=-⨯--⨯-=1174t t --1713-=≤（当且仅当14t t =，即12t =时取等号）， 所以PB PC ⋅的最大值为13．故选A ．10．C 【解析】311,443AM AB AD NM CM CN AD AB =+=-=-+，所以11(43)(43)412AM NM AB AD AB AD ⋅=+⋅-2211(169)(1636916)94848AB AD =-=⨯-⨯= ，选C ． 11．B 【解析】由题意得，AC 为圆的直径，故可设),(n m A ，),(n m C --，),(y x B ，∴(6,)PA PB PC x y ++=- ，而491237)6(22≤-=+-x y x ，∴PA PB PC ++的最大值为7，故选B ．12．A 【解析】设(1,0),(0,1)a b == ，则(cos ,sin )OP θθ= ，OQ =，所以曲线C 是单位元，区域Ω为圆环（如图）∵||2OQ =，∴13r R <<<．13．C 【解析】 因为120BAD? ，所以cos1202AB ADAB AD ?鬃=-.因为BE BC l =，所以AE AB AD l =+ ，AF AB AD m =+.因为1AE AF? ，所以()()1AB AD AB ADl m +?=，即3222l m l m +-=① 同理可得23l m l m --=- ②，①+②得56l m +=.14．B 【解析】如图，设,AB b AC c == ，则1,2,0b c b c ==∙=，CB又(1)BQ BA AQ b c λ=+=-+- ，CP CA AP c b λ=+=-+，由2-=∙得22[(1)]()(1)4(1)2b c c b c b λλλλλλ-+-∙-+=--=--=- ，即32,23==λλ，选B. 15．A 【解析】 【方法一】设34(10cos ,10sin )cos ,sin 55OP θθθθ=⇒==则33(10cos(),10sin())(44OQ ππθθ=++=- ． 【方法二】将向量(6,8)OP = 按逆时针旋转32π后，可知Q 点落在第三象限，则可排除B 、D ，代入A ，由向量的夹角公式可得cos 2QOP ∠=-，∴34QOP π∠=．16．C 【解析】首先观察集合113{|},1,,0,,1,,2,2222nn Z ⎧⎫∈=⋅⋅⋅--⋅⋅⋅⎨⎬⎩⎭，从而分析a b和b a 的范围如下：因为(0,)4πθ∈，∴cos 12θ<<， 而||cos ||θ⋅==⋅ b a b b a a a a ，且||||0>…a b ，可得||0cos 1||θ<<b a ， 又∵∈ b a {|}2∈nn Z 中，∴||1cos ||2θ=b a ， 从而||1||2cos θ=b a ，∴2||cos 2cos ||θθ⋅===⋅ a b a a b b b b ， 所以12<< a b ．且a b 也在集合{|}2∈nn Z 中，故有32=a b ． 17．D 【解析】根据已知得(,0)(0,0)[(1,0)(0,0)]c λ-=-，即(,0)(1,0)c λ=，从而得c λ=；(,0)(0,0)[(1,0)(0,0)]d μ-=-，即(,0)(1,0)d μ=，得d μ=，根据112λμ+=，得112c d +=．线段AB 的方程是0y =，[0,1]x ∈．若C 是线段AB 的中点，则12c =，代入112c d +=，得10d=． 此等式不可能成立，故选项A 的说法不成立；同理选项B 的说法也不成立； 若,C D 同时在线段AB 上，则01c <≤，01d <≤， 此时11c ≥，11d≥，112c d +≥，若等号成立，则只能1c d ==，根据定义，,C D 是两个不同的点，故矛盾，故选项C 的说法也不正确，若,C D 同时在线段AB 的延长线上，若1c >，1d >，则112c d+<， 与112c d +=矛盾，若0,0c d <<，则11c d +是负值，与112c d+=矛盾， 若1c >，0d <，则11c <，10d <，此时111c d +<，与112c d+=矛盾，故选项D 的说法是正确的．18．3-【解析】设(0,)E t ，(0,2)±F t ，所以(1,)(2,2)⋅=⋅-±AE BF t t222(2)22(1)3=-+±=±-=±-t t t t t ，当1=±t 时，AE BF ⋅取得最小值3-．19．[-【解析】设(,)P x y ，由20PA PB ⋅≤，得250x y -+≤，x如图由250x y -+≤可知，P 在 MN上， 由2225050x y x y -+=⎧⎨+=⎩，解得(1,7)M ，(5,5)N --， 所以P 点横坐标的取值范围为[-．20．311【解析】032cos603AB AC ⋅=⨯⨯= ，1233AD AB AC =+ ,则12212()()34934333333AD AE AB AC AC AB λλλ⋅=+-=⨯+⨯-⨯-⨯=- ，311λ=．21．12【解析】由题意令(1,0)=e ，(cos ,sin )αα=a，(2cos ,2sin )ββ=b ，则由||||+…ae be 可得|cos |2|cos |αβ+… ①，令sin 2sin m αβ+= ②22①+②得24[|cos cos |sin sin ]1m αβαβ++…对一切实数,αβ恒成立，所以4[|cos cos |sin sin ]1αβαβ+…．故12(cos cos sin sin )2[|cos cos |sin sin ]2αβαβαβαβ⋅=++剟a b ．故最大值为12． 22．12 16- 【解析】由1111()3232MN MC CN AC CB AC AB AC =+=+=+-1126AB AC xAB y AC =-=+．所以12x =，16y =-． 23．2918 【解析】 因为19DF DC λ=，12DC AB = ， 119199918CF DF DC DC DC DC AB λλλλλ--=-=-== ，AE AB BE AB BC λ=+=+ ，19191818AF AB BC CF AB BC AB AB BC λλλλ-+=++=++=+ ，()1918AE AF AB BC AB BC λλλ +⎛⎫⋅=+⋅+ ⎪⎝⎭22191911818AB BC AB BC λλλλλλ++⎛⎫=+++⋅ ⎪⎝⎭ 19199421cos1201818λλλλλ++=⨯++⨯⨯⨯︒2117172992181818λλ=++≥=当且仅当2192λλ=即23λ=时的最小值为2918． BA24．1(1)(1)(cos ,sin cos )(cos ,sin 66666k k k k k k k a a πππππ+++⋅=+⋅+(1)cos )6k π+2(1)2cos sincos cos sin 66666k k k k πππππππ+++=++=++1(21)cos26k π+，因此111012k k k a a +=⋅==∑ 25．2【解析】因为120BAD?，菱形的边长为2，所以2AB AD?-.因为113AE AFAB AD AD AB λ骣骣鼢珑?+?鼢珑鼢珑桫桫，由1AE AF? ，所以4412(1)133λλ+-+=，解得2λ=． 26．1(,)D x y ，由||1CD =，得22(3)1x y -+=，向量OA OB OD ++(1,x y =-，故||OA OB OC ++=的最大值为圆22(3)1x y -+=上的动点到点(1,距离的最大值，其最大值为圆22(3)1x y -+=的圆心(3,0)到点(1,的距离加上圆的半径，11=+27．2【解析】以A 为坐标原点，AB ，AD 所在的直线分别为x ，y 轴建立直角坐标系，则B，E ，(0,2)D，C ．设(,2)F x (0≤x ≤2)，由1AB AF x ⋅=⇒= ，∴(1,2)F ，AE BF=()1,2⋅(1-2,2)=2．28．(2sin 2,1cos 2)--【解析】如图过P 作x 轴的垂线，垂足为E ，过C 作y 轴的垂线，垂足为A ，根据题意可知圆滚动了2个单位的弧长，BAC E∴2PCD ∠=，可知22PCB π∠=-，此时点P 的坐标为2cos(2)2sin 2,2P x π=--=-1sin(2)1cos 2,2P y π=+-=-另解1：根据题意可知滚动制圆心为（2,1）时的圆的参数方程为⎩⎨⎧+=+=θθsin 1cos 2y x ，且223,2-==∠πθPCD ，则点P 的坐标为⎪⎩⎪⎨⎧-=-+=-=-+=2cos 1)223sin(12sin 2)223cos(2ππy x ，即)2cos 1,2sin 2(--=.29．14-【解析】根据已知得1()2AD AB AC =+ ，23BE AC AB =- ，所以AD BE ⋅= 1()2AB AC +⋅ （23AC AB - ）=1211(1)2334AB AC --⋅=- ．30．【解析】(1)∵⊥m n ，∴0⋅=m n，故022x x -=，∴tan 1x =． （2）∵m 与n 的夹角为3π，∴122cos ,112x x-⋅<>===⨯m n m n |m ||n |， 故1sin()42x π-=，又(0,)2x π∈，∴(,)444x πππ-∈-，46x ππ-=，即512x π=． 故x 的值为512π．31．【解析】（Ⅰ）已知()sin2cos2f x m x n x =⋅=+a b ，)(x f 过点)2,32(),3,12(-ππ，∴()sin cos 1266f m n πππ=+= 234cos 34sin )32(-=+=πππn m f∴121222m n ⎧+=⎪⎪⎨⎪--=-⎪⎩解得⎩⎨⎧==13n m（Ⅱ）由（Ⅰ）知)62sin(22cos 2sin 3)(π+=+=x x x x f由题意知()()2sin(22)6g x f x x πϕϕ=+=++设()y g x =的图象上符合题意的最高点为0(,2)x由题意知2011x +=．所以00x =，即到点(0,3)的距离为1的最高点为(0,2)．将其代入()y g x =得sin 216πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 又∵0ϕπ<<，所以6πϕ=，因此()2sin 22cos 22g x x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭由222,k x k k Z πππ-+≤≤∈， 得z k k x k ∈≤≤+-,2πππ∴()f x 的单调增区间为[,],2k k k πππ-+∈Z ．32．【解析】（Ⅰ）∵1cos ,3,cos 233acB b BA BC ca B ==⋅=== ， 且222-cos 2a c b B ac+=，∴c 6,5a a c =+=，∵a c >，∴解得3,2a c ==．所以3,2a c ==．（Ⅱ）∵1cos 3B =，∴sin 3B =，∵3,3,2a b c ===， 222-c 7cos 29a bC ab +==，sin C =∴23cos(-)cos cos sin sin 27B C B C B C =+=，故23cos(-)27B C =． 33．【解析】（1）-a b ＝(cos cos ,sin sin )αβαβ--，2||-a b ＝22(cos cos )(sin sin )αβαβ-+-＝22(cos cos sin sin )2αβαβ-⋅+⋅=．所以，cos cos sin sin 0αβαβ⋅+⋅=，所以，b a ⊥．（2）⎩⎨⎧=+=+②1sin sin ①0cos cos βαβα，①2＋②2得：1cos()2αβ-=-．所以，αβ-＝π32，α＝π32＋β， 带入②得：sin (π32＋β)＋sin β＝23cos β＋12sin β＝sin (3π＋β)＝1，所以，3π＋β＝2π．所以，α＝65π，β＝6π．34．【解析】由题意，抛物线E 的焦点为(0,)2p F ，直线1l 的方程为12py k x =+．由1222p y k x x py⎧=+⎪⎨⎪=⎩得22120x pk x p --=．设A ，B 两点的坐标分别为11(,)A x y ，22(,)B x y ，则1x 、2x 是上述方程的两个实数根．从而1212x x pk +=，212121()2y y k x x p pk p +=++=+．所以点M 的坐标为211(,)2ppk pk +，211(,)FM pk pk = ． 同理可得点N 的坐标为222(,)2p pk pk +，222(,)FN pk pk = ．于是2221212()FM FN p k k k k ⋅=+ ．由题设，有k 1＋k 2＝2，k 1>0，k 2>0，k 1≠k 2， 所以212120()12k k k k +<<=． 故222(11)2FM FN p p ⋅<+=．(2)【解析】由抛物线的定义得1||2p FA y =+，2||2pFB y =+， 所以2121||22AB y y p pk p =++=+，从而圆M 的半径211r pk p =+．故圆M 的方程为22222111()()()2p x pk y pk pk p -+--=+． 化简得22221132(21)04x y pk x p k y p +--+-=． 同理可得圆N 的方程为22222232(21)04x y pk x p k y p +--+-=． 于是圆M ，圆N 的公共弦所在直线l 的方程为222121()()0k k x k k y -+-=．又k 2－k 1≠0，k 1＋k 2＝2，则l 的方程为x ＋2y ＝0. 因为p >0，所以点M 到直线l 的距离222117[2()]p k d ++===故当114k =-时，d．8p =．故所求的抛物线E 的方程为216x y =． 35．【解析】（I）由2222)(sin )4sin ax x x =+=，222(cos )(sin )1b x x =+=，及2,4sin 1a b x ==得又1[0,],sin 22x x π∈=从而，所以6x π=.（II）2()cos sin f x a b x x x =⋅⋅+1112cos 2sin(2)2262x x x π-+=-+. 当[0.]sin 2- 1.326x x πππ=∈时，（）取最大值所以3().2f x 的最大值为 36．【解析】（1）由(2,1)MA x y =--- ，(2,1)MB x y =--，MA MB += ()(,)(0,2)2OM OA OB x y y ⋅+=⋅= ，=22y +．化简得曲线C 的方程：24x y =．（2）假设存在点(0,)(0)P t t >满足条件，则直线PA 的方程是12t y x t -=+，PB 的方程是12ty x t -=+． 曲线C 在Q 处的切线l 的方程是20024x x y x =-，它与y 轴的交点为2(0,)4x F - 由于022x -<<，因此0112x -<<． ①当10t -<<时，11122t --<<-，存在0(2,2)x ∈-，使得0122x t -=．即l 与直线PA平行，故当10t -<<时不符合题意． ②1t -…时，011,22x t --< (01122)x t ->…，所以l 与直线,PA PB 一定相交． 分别联立方程组0201224t y x t x x y x -⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得,D E 的横坐标分别是20042(1)D x t x x t +=+-，20042(1)E x t x x t +=+-，则202204(1)(1)E D x tx x t x t +-=--- 又204x FP t =--，有220220(4)1128(1)PDE E D x t t S FP x x t x ∆+-=⋅⋅-=⋅--，又2200414(1)242QABx x S ∆-=⋅⋅-=， 于是22200220(4)(1)41(4)QAB PDEx x t S S t x t ∆∆⎡⎤---⎣⎦=⋅-+=422200422004(1)4(1)41816x t x t t x tx t⎡⎤-+-+-⎣⎦⋅-++， 对任意0(2,2)x ∈-，要使QAB PDE S S ∆∆为常数，即只需t 满足2224(1)84(1)16t tt t⎧---=⎨-=⎩，解得1t =-，此时2QAB PDES S ∆∆=，故存在1t =-，使得QAB ∆与PDE ∆的面积之比是常数2．37．【解析】由λ=知Q ，M ，P 三点在同一条垂直于x 轴的直线上，故可设 .)1(),(),,(),,(),,(2020220y x y x y y x x x M y x Q y x P λλλ-+=-=-则则 ①再设),1,1().(,),,(010111y x y y x x y x B --=--=λλ即由解得⎩⎨⎧-+=-+=.)1(,)1(011λλλλy y x x ②将①式代入②式，消去0y ，得⎩⎨⎧-+-+=-+=.)1()1(,)1(2211λλλλλλy x y x x ③ 又点B 在抛物线2x y =上，所以211x y =，再将③式代入211x y =，得.012),1(,0.0)1()1()1(2,)1(2)1()1()1(,))1(()1()1(22222222=--+>=+-+-+++-+=-+-+-+=-+-+y x y x x x y x x y x 得两边同除以因λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ故所求点P 的轨迹方程为.12-=x y38．【解析】（1）（方法一）由题设知(3,5),(1,1)AB AC ==-，则(2,6),(4,4).AB AC AB AC +=-=所以|||AB AC AB AC +=-=故所求的两条对角线的长分别为．（方法二）设该平行四边形的第四个顶点为D ，两条对角线的交点为E ，则:E 为B 、C 的中点，E （0，1）又E （0，1）为A 、D 的中点，所以D （1，4）故所求的两条对角线的长分别为BC =AD =；（2）由题设知：OC =(－2,－1)，(32,5)AB tOC t t -=++．由(OC t AB -)·OC =0，得：(32,5)(2,1)0t t ++⋅--=， 从而511,t =-所以115t =-． 或者：2· AB OC tOC = ，(3,5),AB =2115||AB OC t OC ⋅==- ．。

专题五 平面向量 第十四讲 向量的应用 2019 2019年 1.（2019全国Ⅰ文8）已知非零向量a ，b 满足a =2b ，且（a –b ）⊥b ，则a 与b 的夹角为A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π62.（2019全国Ⅱ文3）已知向量a =(2，3)，b =(3，2)，则|a –b |=A ．2B ．2C ．52D ．503. （2019全国Ⅲ13）已知向量(2,2),(8,6)==-a b ，则cos ,<>=a b ___________.4.（2019北京文9）已知向量a =（–4，3），b =（6，m ），且⊥a b ，则m =__________．5.（2019天津文14）在四边形ABCD 中，AD BC ∥，23AB = ，5AD = ，30A ∠=︒ ，点E 在线段CB 的延长线上，且AE BE =，则BD AE ⋅=__________.6.（2019江苏12）如图，在ABC △中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，AD 与CE交于点O .若6AB AC AO EC ⋅=⋅，则AB AC的值是 .7.（2019浙江17）已知正方形ABCD 的边长为1，当每个(1,2,3,4,5,6)i i λ=取遍1±时， 123456||AB BC CD DA AC BD λλλλλλ+++++的最小值是________，最大值是_______.2010-2018一、选择题1．(2018浙江)已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为3π，向量b 满足2430-⋅+=b e b ，则||-a b 的最小值是A1 B1 C ．2 D．2 2．（2017浙江）如图，已知平面四边形ABCD ，AB BC ⊥，2AB BC AD ===，3CD =，AC 与BD 交于点O ，记1I OA OB =⋅，2·I OB OC ＝，3·I OC OD ＝，则 OAB CDA ．1I <2I <3IB ．1I <3I <2IC ．3I < 1I <2ID ．2I <1I <3I3．（2016年四川）已知正三角形ABC 的边长为32，平面ABC 内的动点P ，M 满足||1AP =,PM MC =，则2||BM 的最大值是A ．443 B ．449 C ．43637+ D ．433237+ 4．（2015广东）在平面直角坐标系x y O 中，已知四边形ΑΒCD 是平行四边形，()1,2ΑΒ=-，()2,1ΑD =，则ΑD ΑC ⋅=A ．5B ．4C ．3D ．25．（2015湖南）已知点,,A B C 在圆221x y +=上运动，且AB ⊥BC ，若点P 的坐标为(2,0)，则||PA PB PC ++的最大值为A ．6B ．7C ．8D ．96．（2014安徽）在平面直角坐标系xOy 中，已知向量,,1,0,a b a b a b ==⋅=点Q 满足2()OQ a b =+．曲线{|cos sin ,02}C P OP a b θθθπ==+≤≤，区域{|0||,}P r PQ R r R Ω=<≤≤<．若C ⋂Ω为两段分离的曲线，则A ．13r R <<<B ．13r R <<≤C ．13r R ≤<<D ．13r R <<<7．（2014天津）已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD ，点,E F 分别在边,BC DC 上，BE BC ，DF DC .若1AE AF ，23CE CF ，则A ．12B ．23C ．56D ．7128．（2012天津）在△ABC 中，90A ∠=，AB =1，设点P ，Q 满足AP AB λ=，(1)AQ AC λ=-，R λ∈．若2BQ CP ⋅=-，则λ=A ．13B ．23C ．43 D ．29．(2012安徽)在平面直角坐标系中，(0,0),(6,8)O P ，将向量OP 绕点O 按逆时针旋转34π 后得向量OQ ，则点Q 的坐标是A ．(-B ．(-C ．(2)--D ．(2)-10．（2012广东）对任意两个非零的平面向量α和β，定义αβαβββ⋅=⋅．若平面向量,a b 满足||||0>a b ，a 与b 的夹角(0,)4πθ∈，且a b 和b a 都在集合{|}2∈n n Z 中，则a b =A ．12B ．1C ．32D ．5211．(2011山东) 设1A ，2A ，3A ，4A 是平面直角坐标系中两两不同的四点，若1312A A A A λ=(λ∈R )，1412A A A A μ=(μ∈R )，且112λμ+=，则称3A ，4A 调和分割1A ，2A ，已知点(,0)C c ，(,0)D d ，(,c d ∈R )调和分割 点(0,0)A ，(1,0)B ，则下面说法正确的是A ．C 可能是线段AB 的中点B ．D 可能是线段AB 的中点C ．C ，D 可能同时在线段AB 上D ．C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上二、填空题12．(2018上海)在平面直角坐标系中，已知点(10)A -，，(2,0)B ，E ，F 是y 轴上的两个动点，且||2EF =，则AE BF ⋅的最小值为______．13．（2017北京）已知点P 在圆22=1x y +上，点A 的坐标为(2,0)-，O 为原点，则AO AP ⋅的最大值为_______．14．（2017浙江）已知向量a ，b 满足||1=a ，||2=b ，则||||++-a b a b 的最小值是 ，最大值是 ．15．（2017江苏）在平面直角坐标系xOy 中，(12,0)A -，(0,6)B ，点P 在圆O ：2250x y +=上，若20PA PB ⋅≤，则点P 的横坐标的取值范围是 ．16．（2016年浙江）已知向量,a b ，||1=a ，||2=b ，若对任意单位向量e ，均有 ||||6+ae be ，则⋅a b 的最大值是 ．17．（2015山东）过点P 作圆221x y +=的两条切线，切点分别为,A B ，则PA PB ⋅= ．18．（2015江苏）已知向量(2,1)=a ，(1,2)=-b ，若(9,8)m n +=-a b （,m n ∈R ），则m n -的值为______．19．（2015天津）在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，2AB =，1BC =，60ABC ∠=，点E 和点F 分别在线段BC 和DC 上，且23BE BC =，16DF DC =则AE AF ⋅的值为________．20．（2015安徽）ABC ∆是边长为2的等边三角形，已知向量a 、b 满足2AB =a ，2AC =+a b ，则下列结论中正确的是 ．（写出所有正确结论得编号） ①a 为单位向量；②b 为单位向量；③⊥a b ；④BC ∥b ；⑤(4)BC +⊥a b ．21．（2014天津）已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD ∠=︒，点E ，F 分别在边BC 、DC 上，3BC BE =，DC DF λ=．若1AE AF ⋅=，则λ的值为________．22．（2014湖南）在平面直角坐标系中，O 为原点，(1,0),(0,3),(3,0),A B C -动点D 满足||1CD =，则||OA OB OD ++的最大值是23．（2012江苏）如图，在矩形ABCD 中，22AB BC ==，，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若2AB AF =，则AE BF 的值是 ．24．（2012山东）如图，在平面直角坐标系xoy 中，一单位圆的圆心的初始位置在()1,0，此时圆上一点P 的位置在()0,0，圆在x 轴上沿正向滚动。

林老师网络编辑整理 林老师网络编辑整理 专题五 平面向量 第十四讲 向量的应用 2019年 1.（2019江苏12）如图，在ABC△中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点O.若6ABACAOECuuuruuuruuuruuur，则ABAC的值是 .

2.（2019浙江17）已知正方形ABCD的边长为1，当每个(1,2,3,4,5,6)ii取遍1时，123456||ABBCCDDAACBDuuuruuuruuuruuuruuuruuur的最小值是________，最大值是

_______. 3.（2019天津理14）在四边形ABCD中，,23,5,30ADBCABADA∥，点E在线段CB的延长线上，且AEBE，则BDAEuuuruuur .

2010-2018年 一、选择题 1．(2018天津)如图，在平面四边形ABCD中，ABBC，ADCD，120BAD， 1ABAD． 若点E为边CD上的动点，则uuuruurAEBE的最小值为

A．2116 B．32 C．2516 D．3

ED

C

BA 林老师网络编辑整理 林老师网络编辑整理 2．(2018浙江)已知a，b，e是平面向量，e是单位向量．若非零向量a与e的夹角为3，向量b满足2430beb，则||ab的最小值是 A．31 B．31 C．2 D．23 3．（2017新课标Ⅲ）在矩形ABCD中，1AB，2AD，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若APABADuuuruuuruuur，则的最大值为 A．3 B．22 C．5 D．2 4．（2017新课标Ⅱ）已知ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则()PAPBPCuuuruuuruuur的最小值是

A．2 B．32 C．43 D．1 5．（2017浙江）如图，已知平面四边形ABCD，ABBC，2ABBCAD，3CD，AC与BD交于点O，记1IOAOBuuuruuur，2·IOBOCuuuruuur＝，3·IOCODuuuruuur＝，则

专题五平面向量第十四讲向量的应用2019 年1.（2019 江苏12）如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE=2EA，AD 与CE交于点O .若AB ⋅AC = 6 A O ⋅EC ，则AB的值是.AC2.（2019 浙江17）已知正方形ABCD 的边长为1，当每个λi (i =1, 2, 3, 4, 5, 6) 取遍±1时，| λ1 AB +λ2 BC +λ3 CD +λ4 DA +λ5 AC +λ6 BD | 的最小值是，最大值是.3.（2019 天津理14）在四边形ABCD 中，AD ∥BC, AB = 2 3,AD = 5,∠A = 30︒，点E 在线段CB 的延长线上，且AE =BE ，则BD ⋅AE = .2010-2018 年一、选择题1．(2018 天津)如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，∠BAD = 120︒，AB =AD = 1 ．若点E 为边CD 上的动点，则AE ⋅BE 的最小值为21 3A．B．16 2C．25D．316E 3 3 2 OCDBA2．(2018 浙江)已知a ， b ， e 是平面向量， e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为 π，3向量b 满足b 2- 4e ⋅ b + 3 = 0 ，则| a - b |的最小值是A ． -1B ． +1C ．2D ． 2 -3．（2017 新课标Ⅲ）在矩形 ABCD 中，AB = 1，AD = 2 ，动点 P 在以点C 为圆心且与 BD相切的圆上．若 AP = λ AB + μ AD ，则λ + μ 的最大值为A ．3B ． 2C ．D ．24．（2017 新课标Ⅱ）已知∆ABC 是边长为 2 的等边三角形， P 为平面 ABC 内一点，则PA ⋅ (PB + PC ) 的最小值是A ． -2B ． - 32 C ． - 43D ． -15．（2017 浙江）如图，已知平面四边形 ABCD ，AB ⊥ BC ，AB = BC = AD = 2 ，CD = 3 ，u u u r u u u ru u u r u u u rDABCA ． I 1 < I 2 < I 3B ． I 1 < I 3 < I 2C ． I 3 < uuur I 1 < I 2 uuuru u u r D ． I 2 < I 1 < I 36．（2016 四川）在平面内，定点 A ，B ，C ，D 满足 DA = DB = DC ， DA ⋅ DB =3537 + 6 3 1 uuurDB ⋅ DC = DC ⋅ DA = - 2，动点 P ，M 满足 AP =1， PM = MC ，则 BM 2 的最大值是A ．43 4B ．49 C ．D ．4447．(2015 山东)已知菱形 ABCD 的边长为a ， ∠ABC = 60o，则 BD ⋅ CD ＝A ． - 3a22 B ． - 3a24 C ． 3a24 D ． 3a228．（2015 新课标）设 D 为∆ABC 所在平面内一点， BC = 3CD ，则uuurA ． AD = - 1 uuur AB + 4 u u u r ACuuur B ． AD = 1 uuur AB - 4 u u u rAC3 33 3 uuur C ． AD =4 uuur AB + 1 u u u r ACuuur D ． AD = 4 uuur AB - 1 u u u r AC3 33 39．（2015 福建）已知 AB ⊥ AC ， uuur AB = ， tu u u rAC = t ，若点 P 是∆ABC 所在平面内一uuur 点，且 = AB + 4 AC ，则 PB ⋅ PC 的最大值等于 AP u u u r u u u rAB ACA ．13B ．15C ．19D ．21u u u r u u u r10．（2015 四川）设四边形 ABCD 为平行四边形， AB = 6 ， AD = 4 ．若点 M , N 满足BM = 3MC ， DN = 2NC ，则 AM ⋅ NM =A ．20B ．15C ．9D ．611．（2015 湖南）已知点 A , B , C 在圆 x 2+ y 2= 1上运动，且 AB ⊥ BC ．若点 P 的坐标为u u u r u u u r u u u r(2, 0) ，则 PA + PB + PC 的最大值为A ．6B ．7C ．8D ．912．（2014 安徽）在平面直角坐标系 xOy 中，已知向量a , b ，| a |=| b |= 1， a ⋅ b = 0 ，点Q满足OQ = 2(a + b ) ．曲线C = {P | OP = a cos θ + b s in θ , 0 ≤θ ≤ 2π} ，区域Ω = {P | 0 < r ≤| PQ |≤ R , r < R }．若C I Ω 为两段分离的曲线，则A ．1 < r < R < 3B ．1 < r < 3≤ R C ． r ≤ 1 < R < 3 D ．1 < r < 3 < R37 + 2 33上， BE = λBC ， DF =u u u r u u u r- 2，则 λ+ μ = 3 1 2 5 7A ．B ．C ．D ．2361214．（2012 天津）在△ABC 中，∠ A =90°，AB =1，设点P ，Q 满足 AP = λ AB ，AQ = (1- λ) AC ，λ ∈ R ．若 BQ ⋅ CP = -2 ，则λ =A ． 13B ． 23C ． 43D ．215．(2012 安徽)在平面直角坐标系中，O (0, 0), P (6,8) ，将向量OP 绕点 O 按逆时针旋转3π4后得向量OQ ，则点Q 的坐标是A ． (-7 2, - 2)B ． (-7 2, 2)C ． (-4 6, -2)D ． (-4 6, 2)α ⋅ β 16．（2012 广东）对任意两个非零的平面向量 α 和 β，定义α o β =β ⋅ β．若平面向量a , b满足| a |…| b |> 0 ， a 与b 的夹角θ ∈则a o b = π (0, ) 4，且a o b 和b o a 都在集合 n { | n 2 ∈ Z } 中，A ． 12B ．1C ． 32 D ． 5217．（2011 山东）设 A 1 ， A 2 ， A 3 ， A 4 是平面直角坐标系中两两不同的四点，若 A A = λ A A ( λ ∈ R )， A A = μ A A ( μ ∈ R )，且 1 + 1= 2 ，则1 31 21 41 2λ μ称 A 3 ， A 4 调和分割 A 1 ， A 2 ，已知点C (c , 0) ， D (d , 0) ，( c , d ∈ R )调和分割点 A (0, 0) ， B (1, 0) ，则下面说法正确的是 A ． C 可能是线段 AB 的中点 B ． D 可能是线段 AB 的中点 C ． C ， D 可能同时在线段 AB 上 D ． C ， D 不可能同时在线段 AB 的延长线上二、填空题18．(2018 上海)在平面直角坐标系中，已知点 A (-1，0) ， B (2, 0) ， E ， F 是 y 轴上的两个6 ∑ 动点，且| EF |= 2 ，则 AE ⋅ BF 的最小值为 ．19．（2017 江苏）在平面直角坐标系 xOy 中，A (-12, 0) ，B (0, 6) ，点 P 在圆O ：x 2+ y 2= 50上，若 PA ⋅ PB ≤ 20 ，则点 P 的横坐标的取值范围是．20．（2017 天津）在△ABC 中，∠A = 60︒ ， AB = 3 ， AC = 2 ．若 BD = 2DC ，AE = λ AC - AB (λ ∈ R ) ，且 AD ⋅ AE = -4 ，则λ 的值为 ．21．（2016 年浙江）已知向量a , b ，| a |= 1， | b |= 2 ，若对任意单位向量e ，均有| ae | + | be |… ，则a ⋅ b 的最大值是．u u u u r u u u u r u u u r u u u r 22．(2015 北京)在△ABC 中，点 M ， N 满足 AM = 2MC ， BN = NC ．u u u u ru u u ru u u r若 MN = x AB + y AC ，则 x = ； y = ．23．（2015 天津）在等腰梯形 ABCD 中,已知 AB ∥ DC , AB = 2 , BC = 1, ∠ABC = 60o．动点 E 和 F 分别在线段 BC 和 DC 上，且 BE = λ BCuuur = 1 u uu r ，则 AE ⋅ AF 的最小值为．24．（2015 江苏）设向量a k ，DF DC9λ= (cos k π , sin k π + cos k π) (k = 0,1, 2,⋅⋅⋅,12) ， 则 12(a 6 6 6 k =0⋅ a k +1)的值为 ．25．（2014 天津）已知菱形ABCD 的边长为2 ， ∠BAD = 120︒ ，点 E ， F 分别在边 BC 、DC 上， BC = 3BE ， DC = λ D F ．若 AE ⋅ AF = 1，则λ 的值为．26．（2014 湖南）在平面直角坐标系中， O 为原点， A (-1, 0), B (0, 3), C (3, 0), 动点 D 满足| CD |= 1 ，则| OA + OB + OD | 的最大值是．27．（2012 江苏）如图，在矩形 ABCD 中， AB = 2 ，BC = 2 ，点 E 为 BC 的中点，点 F 在边CD 上，若 AB g AF = 2 ，则 AE g BF 的值是．k⎫2⎛ ⎫28．（2012 山东）如图，在平面直角坐标系 xoy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点 P 的位置在(0,0)，圆在 x 轴上沿正向滚动。

专题五 平面向量第十四讲 向量的应用一、选择题1．(2018浙江)已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为3π，向量b 满足2430-⋅+=b e b ，则||-a b 的最小值是A1B 31C ．2D ．232．（2017浙江）如图，已知平面四边形ABCD ，AB BC ⊥，2AB BC AD ===，3CD =，AC 与BD 交于点O ，记1I OA OB =⋅，2·I OB OC ＝，3·I OC OD ＝，则OABCDA ．1I <2I <3IB ．1I <3I <2IC ．3I < 1I <2ID ．2I <1I <3I3．（2016年四川）已知正三角形ABC 的边长为32，平面ABC 内的动点P ，M 满足||1AP =,PM MC =，则2||BM 的最大值是A ．443 B ．449 C ．43637+ D ．433237+4．（2015广东）在平面直角坐标系x y O 中，已知四边形ΑΒCD 是平行四边形，()1,2ΑΒ=-，()2,1ΑD =，则ΑD ΑC ⋅=A ．5B ．4C ．3D ．25．（2015湖南）已知点,,A B C 在圆221x y +=上运动，且AB ⊥BC ，若点P 的坐标为(2,0)，则||PA PB PC ++的最大值为A ．6B ．7C ．8D ．96．（2014安徽）在平面直角坐标系xOy 中，已知向量,,1,0,a b a b a b ==⋅=点Q 满足2()OQ a b =+．曲线{|cos sin ,02}C P OP a b θθθπ==+≤≤，区域{|0||,}P r PQ R r R Ω=<≤≤<．若C ⋂Ω为两段分离的曲线，则A ．13r R <<<B ．13r R <<≤C ．13r R ≤<<D ．13r R <<< 7．（2014天津）已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD?，点,E F 分别在边,BC DC 上，BE BC l =，DF DC m =.若1AE AF ?，23CE CF ?-，则+=l m A ．12 B ．23 C ．56 D ．7128．（2012天津）在△ABC 中，90A ∠=，AB =1，设点P ，Q 满足AP AB λ=，(1)AQ AC λ=-，R λ∈．若2B Q C P ⋅=-，则λ=A ．13B ．23C ．43D ．29．(2012安徽)在平面直角坐标系中，(0,0),(6,8)O P ，将向量OP 绕点O 按逆时针旋转34π后得向量OQ ，则点Q 的坐标是A ．(72,2)--B ．(72,2)-C ．(46,2)--D ．(46,2)- 10．（2012广东）对任意两个非零的平面向量α和β，定义αβαβββ⋅=⋅．若平面向量,a b 满足||||0>…a b ，a 与b 的夹角(0,)4πθ∈，且a b 和b a 都在集合{|}2∈nn Z 中，则a b =A ．12B ．1C ．32D ．5211．(2011山东) 设1A ，2A ，3A ，4A 是平面直角坐标系中两两不同的四点，若1312A A A A λ=(λ∈R )，1412A A A A μ=(μ∈R )，且112λμ+=，则称3A ，4A 调和分割1A ，2A ，已知点(,0)C c ，(,0)D d ，(,c d ∈R )调和分割 点(0,0)A ，(1,0)B ，则下面说法正确的是 A ．C 可能是线段AB 的中点 B ．D 可能是线段AB 的中点 C ．C ，D 可能同时在线段AB 上D ．C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上二、填空题12．(2018上海)在平面直角坐标系中，已知点(10)A -，，(2,0)B ，E ，F 是y 轴上的两个动点，且||2EF =，则AE BF ⋅的最小值为______．13．（2017北京）已知点P 在圆22=1x y +上，点A 的坐标为(2,0)-，O 为原点，则AO AP ⋅的最大值为_______． 14．（2017浙江）已知向量a ，b 满足||1=a ，||2=b ，则||||++-a b a b 的最小值是 ，最大值是 ． 15．（2017江苏）在平面直角坐标系xOy 中，(12,0)A -，(0,6)B ，点P 在圆O ：2250x y +=上，若20PA PB ⋅≤，则点P 的横坐标的取值范围是 ．16．（2016年浙江）已知向量,a b ，||1=a ，||2=b ，若对任意单位向量e ，均有||||6+…ae be ，则⋅a b 的最大值是 ．17．（2015山东）过点(13)P 作圆221x y +=的两条切线，切点分别为,A B ，则PA PB ⋅= ．18．（2015江苏）已知向量(2,1)=a ，(1,2)=-b ，若(9,8)m n +=-a b （,m n ∈R ），则m n -的值为______．19．（2015天津）在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，2AB =，1BC =，60ABC ∠=，点E 和点F 分别在线段BC 和DC 上，且23BE BC =，16DF DC =则AE AF ⋅的值为________． 20．（2015安徽）ABC ∆是边长为2的等边三角形，已知向量a 、b 满足2AB =a ，2AC =+a b ，则下列结论中正确的是 ．（写出所有正确结论得编号）①a 为单位向量；②b 为单位向量；③⊥a b ；④BC ∥b ；⑤(4)BC +⊥a b ．21．（2014天津）已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD ∠=︒，点E ，F 分别在边BC 、DC 上，3BC BE =，DC DF λ=．若1AE AF ⋅=，则λ的值为________．22．（2014湖南）在平面直角坐标系中，O 为原点，(1,0),3),(3,0),A B C -动点D 满足||1CD =，则||OA OB OD ++的最大值是23．（2012江苏）如图，在矩形ABCD 中，2AB BC =，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若2AB AF =，则AE BF 的值是 ．24．（2012山东）如图，在平面直角坐标系xoy 中，一单位圆的圆心的初始位置在()1,0，此时圆上一点P 的位置在()0,0，圆在x 轴上沿正向滚动。

专题五 平面向量第十四讲 向量的应用答案部分2019年1.解析 设()2AD AB A AO C λλ==+，1()(1)3AO AE EO AE EC AE AC AE AE AC AB AC μμμμμμ-=+=+=+-=-+=+，所以1232λμλμ-⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得1214λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以11()24AO AD AB AC ==+，13EC AC AE AB AC =-=-+， 221131266()()()43233AO EC AB AC AB AC AB AB AC AC ⋅=⨯+⨯-+=-+⋅+=221322AB AB AC AC -+⋅+， 因为221322AB AC AB AB AC AC ⋅=-+⋅+，所以221322AB AC =，所以223AB AC=，所以ABAC=. 2.解析：正方形ABCD 的边长为1，可得AB AD AC +=，BD AD AB =-，0AB AD ⋅=，123456||AB BC CD DA AC BD λλλλλλ+++++12345566||AB AD AB AD AB AD AD AB λλλλλλλλ=+--+++- 13562456|()()|AB AD λλλλλλλλ=-+-+-++ =由于(1,2,3,4,5,6)i i λ=2，3，4，5，取遍1±，可得13560λλλλ-+-=，24560λλλλ-++=，可取5613241,1,1,1λλλλλλ=====-=，可得所求最小值为0；由13564λλλλ-+-=，24564λλλλ-++=，可取2456131,1,1,1,1,λλλλλλ==-====-可得所求最大值为3.解析 因为AB BE =，//AD BC ，30A ∠=，所以在等腰三角形ABE 中，120BEA ∠=， 又AB =，所以25BE AD =-. 因为AE AB BE =+，所以25AE AB AD =-. 又BD BA AD AB AD =+=-+， 所以()22272555BD AE AB AD AB AD AB AB AD AD ⎛⎫⋅=-+⋅-=-+⋅-= ⎪⎝⎭2272cos 55AB AB AD A AD -+⋅-=7212525155-+⨯⨯-⨯=-. 2010-2018年1．A 【解析】以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立如图的平面直角坐标系，因为在平面四边形ABCD 中，1AB AD ==，120BAD ∠=︒， 所以(0,0)A ，(1,0)B，1(,22D -，设(1,)C m ,(,)E x y ， 所以3(,22DC m =-，1(,)22AD =-， 因为AD CD ⊥，所以31(,(022m ⋅-=，即31()022m ⨯-=，解得m =C ， 因为E 在CD上，所以2y ≤CE CD k k =，2112=+，即2x =-， 因为(,)AE x y =，(1,)BE x y =-，所以2222(,)(1,)2)2AE BE x y x y x x y y ⋅=⋅-=-+=--++246y =-+，令2()46f y y =-+，2y ∈．因为函数2()46f y y =-+在上单调递减，在上单调递增，所以2min 21()4616f y =⨯-+=． 所以⋅uu u r uur AE BE 的最小值为2116，故选A ．2．A 【解析】解法一 设O 为坐标原点，OA =a ，(,)OB x y ==b ，=(1,0)e ，由2430-⋅+=b e b 得22430x y x +-+=，即22(2)1x y -+=，所以点B 的轨迹是以(2,0)C 为圆心，l 为半径的圆．因为a 与e 的夹角为3π，所以不妨令点A在射线y =(0x >)上，如图，数形结合可知min ||||||31CA CB -=-=-a b ．故选A ．解法二 由2430-⋅+=b e b 得2243()(3)0-⋅+=-⋅-=b e b e b e b e ．设OB =b ，OE =e ，3OF =e ，所以EB -=b e ，3FB -b e =，所以0EB FB ⋅=，取EF 的中点为C ．则B 在以C 为圆心，EF 为直径的圆上，如图．设OA =a ，作射线OA ，使得3AOE π∠=，所以|||(2)(2)|-=-+-≥a b a e e b|(2)||(2)|||||31CA BC ---=-≥a e e b ．故选A ．3．A 【解析】如图建立直角坐标系，则(0,1)A ，(0,0)B ，(2,1)D ，(,)P x y 所以圆的方程为224(2)5x y -+=， 所以(,1)AP x y =-，(0,1)AB =-，(2,0)AD =， 由AP AB AD λμ=+，得21x y μλ=⎧⎨-=-⎩，所以λμ+=12xy -+，设12x z y =-+，即102xy z -+-=， 点(,)P x y 在圆上，所以圆心到直线102xy z -+-=的距离小于半径，≤，解得13z ≤≤，所以z 的最大值为3， 即λμ+的最大值为3，选A ．4．B 【解析】如图，以BC 为x 轴，BC 的垂直平分线DA 为y 轴，D 为坐标原点建立平面直角坐标系，则()A ，(1,0)B -，(1,0)C ，设(,)P x y ，所以()P A y =--，(1,)PB x y =---，(1,)PC x y =--，所以 (2,2)P B P C x y +=--，22()22)22(PA PB PC x y y x y ⋅+=-=+-233222--≥，当P 时，所求的最小值为32-，故选B ． 5．C 【解析】如图所示，四边形ABCE 是正方形，F 为正方形的对角线的交点，易得AO AF <，而90AFB ∠=，∴AOB ∠与COD ∠为钝角，AOD ∠与BOC ∠为锐角．根据题意12()I I OA OB OB OC OB OA OC OB CA -=⋅-⋅=⋅-=⋅=||||cos 0OB CA AOB ∠<，∴12I I <，同理23I I >．做AG BD ⊥于G ，又AB AD =．∴OB BG GD OD <=<，而OA AF FC OC <=<，∴||||||||OA OB OC OD ⋅<⋅，而cos cos 0AOB COD ∠=∠<， ∴OA OB OC OD ⋅>⋅，即13I I >， ∴312I I I <<，选C ．6．B 【解析】由2DA DB DC ===知,D 为ABC ∆的外心．由DA DB ⋅=DB DC ⋅=DC DA ⋅ 知D为ABC ∆的内心，所以ABC ∆为正三角形，易知其边长为 取AC 的中点E ，因为M 是PC 的中点，所以1122EM AP ==， 所以max 17||||22BM BE =+=，则2max49||4BM =．故选B ． 7．D 【解析】由菱形ABCD 的边长为a ，60ABC ∠=可知18060120BAD ∠=-=，2223()()cos1202BD CD AD AB AB AB AD AB a a a a ⋅=-⋅-=-⋅+=-⋅+=．8．A 【解析】由题意得111333=+=+=+-AD AC CD AC BC AC AC AB1433=-+AB AC ．9．A 【解析】以题意，以点A为坐标原点，以AB 所在的直线为x 轴，AC 所在的直线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，所以点(1,4)P ，1(,0)B t，(0,)C t ，所以11(1,4)(1,4)(1)(1)4(4)PB PC t t t t⋅=----=-⨯--⨯-=1174t t --1713-=≤（当且仅当14t t =，即12t =时取等号）， 所以PB PC ⋅的最大值为13．故选A ．10．C 【解析】311,443AM AB AD NM CM CN AD AB =+=-=-+，所以 11(43)(43)412AM NM AB AD AB AD ⋅=+⋅-2211(169)(1636916)94848AB AD =-=⨯-⨯=，选C ． 11．B 【解析】由题意得，AC 为圆的直径，故可设),(n m A ，),(n m C --，),(y x B ，∴(6,)PA PB PC x y ++=-，而491237)6(22≤-=+-x y x ，∴PA PB PC ++的最大值为7，故选B ．12．A 【解析】设(1,0),(0,1)a b ==，则(cos ,sin )OP θθ=，(2,OQ =，所以曲线C 是单位元，区域Ω为圆环（如图）∵||2OQ =，∴13r R <<<． 13．C 【解析】 因为120BAD?，所以cos1202AB AD AB AD ?鬃=-.因为BE BC l =，所以AE AB AD l =+，AF AB AD m =+. 因为1AE AF?，所以()()1AB AD AB AD l m +?=，即3222l m l m +-=① 同理可得23l m l m --=- ②，①+②得56l m +=. 14．B 【解析】如图，设,AB b AC c == ，则1,2,0b c b c ==∙=，CB又(1)BQ BA AQ b c λ=+=-+-，CP CA AP c b λ=+=-+，由2-=∙CP BQ 得22[(1)]()(1)4(1)2b c c b c b λλλλλλ-+-∙-+=--=--=-，即32,23==λλ，选B. 15．A 【解析】 【方法一】设34(10cos ,10sin )cos ,sin 55OP θθθθ=⇒==则33(10cos(),10sin())(44OQ ππθθ=++=-． 【方法二】将向量(6,8)OP =按逆时针旋转32π后，可知Q 点落在第三象限，则可排除B 、D ，代入A ，由向量的夹角公式可得cos QOP ∠=34QOP π∠=． 16．C 【解析】首先观察集合113{|},1,,0,,1,,2,2222nn Z ⎧⎫∈=⋅⋅⋅--⋅⋅⋅⎨⎬⎩⎭，从而分析a b和b a 的范围如下：因为(0,)4πθ∈，∴cos 12θ<<， 而||cos ||θ⋅==⋅b a b b a a a a ，且||||0>…a b ，可得||0cos 1||θ<<b a ， 又∵∈b a {|}2∈nn Z 中，∴||1cos ||2θ=b a ， 从而||1||2cos θ=b a ，∴2||cos 2cos ||θθ⋅===⋅a b a a b b b b ， 所以12<<a b ．且a b 也在集合{|}2∈nn Z 中，故有32=a b ． 17．D 【解析】根据已知得(,0)(0,0)[(1,0)(0,0)]c λ-=-，即(,0)(1,0)c λ=，从而得c λ=；(,0)(0,0)[(1,0)(0,0)]d μ-=-，即(,0)(1,0)d μ=，得d μ=，根据112λμ+=，得112c d+=．线段AB 的方程是0y =，[0,1]x ∈．若C 是线段AB 的中点，则12c =，代入112c d +=，得10d=． 此等式不可能成立，故选项A 的说法不成立；同理选项B 的说法也不成立； 若,C D 同时在线段AB 上，则01c <≤，01d <≤， 此时11c ≥，11d≥，112c d +≥，若等号成立，则只能1c d ==，根据定义，,C D 是两个不同的点，故矛盾，故选项C 的说法也不正确，若,C D 同时在线段AB 的延长线上，若1c >，1d >，则112c d+<， 与112c d +=矛盾，若0,0c d <<，则11c d +是负值，与112c d+=矛盾， 若1c >，0d <，则11c <，10d <，此时111c d +<，与112c d+=矛盾，故选项D 的说法是正确的．18．3-【解析】设(0,)E t ，(0,2)±F t ，所以(1,)(2,2)⋅=⋅-±AE BF t t222(2)22(1)3=-+±=±-=±-t t t t t ，当1=±t 时，AE BF ⋅取得最小值3-．19．[-【解析】设(,)P x y ，由20PA PB ⋅≤，得250x y -+≤，x如图由250x y -+≤可知，P 在MN 上，由2225050x y x y -+=⎧⎨+=⎩，解得(1,7)M ，(5,5)N --， 所以P 点横坐标的取值范围为[-．20．311【解析】032cos603AB AC ⋅=⨯⨯=，1233AD AB AC =+,则12212()()34934333333AD AE AB AC AC AB λλλ⋅=+-=⨯+⨯-⨯-⨯=-，311λ=．21．12【解析】由题意令(1,0)=e ，(cos ,sin )αα=a ，(2cos ,2sin )ββ=b ，则由||||+…ae be 可得|cos |2|cos |αβ+…①，令sin 2sin m αβ+= ②22①+②得24[|cos cos |sin sin ]1m αβαβ++…对一切实数,αβ恒成立，所以4[|cos cos |sin sin ]1αβαβ+…．故12(cos cos sin sin )2[|cos cos |sin sin ]2αβαβαβαβ⋅=++剟a b ． 故最大值为12． 22．12 16- 【解析】由1111()3232MN MC CN AC CB AC AB AC =+=+=+-1126AB AC xAB y AC =-=+．所以12x =，16y =-． 23．2918 【解析】 因为19DF DC λ=，12DC AB =，119199918CF DF DC DC DC DC AB λλλλλ--=-=-==，AE AB BE AB BC λ=+=+，19191818AF AB BC CF AB BC AB AB BC λλλλ-+=++=++=+， ()1918AE AF AB BC AB BC λλλ+⎛⎫⋅=+⋅+ ⎪⎝⎭22191911818AB BC AB BC λλλλλλ++⎛⎫=+++⋅ ⎪⎝⎭ 19199421cos1201818λλλλλ++=⨯++⨯⨯⨯︒2117172992181818λλ=++≥=当且仅当2192λλ=即23λ=时的最小值为2918． BA24．1(1)(1)(cos,sin cos )(cos ,sin 66666k k k k k k k a a πππππ+++⋅=+⋅+(1)cos )6k π+2(1)2cos sincos cos sin 66666k k k k πππππππ+++=+++1(21)cos26k π+，因此11103312k k k a a +=⋅==∑ 25．2【解析】因为120BAD?，菱形的边长为2，所以2AB AD?-.因为113AE AFAB AD AD AB λ骣骣鼢珑?+?鼢珑鼢珑桫桫，由1AE AF?，所以4412(1)133λλ+-+=，解得2λ=． 26．1+(,)D x y ，由||1CD =，得22(3)1x y -+=，向量OA OB OD ++(1,x y =-+，故||(OA OB OC x ++=的最大值为圆22(3)1x y -+=上的动点到点(1,距离的最大值，其最大值为圆22(3)1x y -+=的圆心(3,0)到点(1,的距离加上圆的半径，11=27．2【解析】以A 为坐标原点，AB ，AD所在的直线分别为x ，y 轴建立直角坐标系，则B ，E ，(0,2)D ，2)C ．设(,2)F x (0≤x ≤2)， 由21AB AF x ⋅=⇒=，∴(1,2)F ，AE BF =()1,2⋅(1-2,2)=2．28．(2sin 2,1cos 2)--【解析】如图过P 作x 轴的垂线，垂足为E ，过C 作y 轴的垂线，垂足为A ，根据题意可知圆滚动了2个单位的弧长，BAC E∴2PCD ∠=，可知22PCB π∠=-，此时点P 的坐标为2cos(2)2sin 2,2P x π=--=-1sin(2)1cos 2,2P y π=+-=-另解1：根据题意可知滚动制圆心为（2,1）时的圆的参数方程为⎩⎨⎧+=+=θθsin 1cos 2y x ，且223,2-==∠πθPCD ，则点P 的坐标为⎪⎩⎪⎨⎧-=-+=-=-+=2cos 1)223sin(12sin 2)223cos(2ππy x ， 即)2cos 1,2sin 2(--=OP . 29．14-【解析】根据已知得1()2AD AB AC =+，23BE AC AB =-，所以AD BE ⋅=1()2AB AC +⋅（23AC AB -）=1211(1)2334AB AC --⋅=-．30．【解析】(1)∵⊥m n ，∴0⋅=m n0x x -=，∴tan 1x =． （2）∵m 与n 的夹角为3π，∴122cos ,112x x⋅<>===⨯m n m n |m ||n |， 故1sin()42x π-=，又(0,)2x π∈，∴(,)444x πππ-∈-，46x ππ-=，即512x π=． 故x 的值为512π．31．【解析】（Ⅰ）已知()sin2cos2f x m x n x =⋅=+a b ，)(x f 过点)2,32(),3,12(-ππ，∴()sin cos 1266f m n πππ=+=234cos 34sin )32(-=+=πππn m f∴122122m n ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩解得⎩⎨⎧==13n m（Ⅱ）由（Ⅰ）知)62sin(22cos 2sin 3)(π+=+=x x x x f由题意知()()2sin(22)6g x f x x πϕϕ=+=++设()y g x =的图象上符合题意的最高点为0(,2)x由题意知2011x +=．所以00x =，即到点(0,3)的距离为1的最高点为(0,2)．将其代入()y g x =得sin 216πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 又∵0ϕπ<<，所以6πϕ=，因此()2sin 22cos 22g x x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭由222,k x k k Z πππ-+≤≤∈， 得z k k x k ∈≤≤+-,2πππ∴()f x 的单调增区间为[,],2k k k πππ-+∈Z ．32．【解析】（Ⅰ）∵1cos ,3,cos 233acB b BA BC ca B ==⋅===， 且222-cos 2a c b B ac+=，∴c 6,5a a c =+=，∵a c >，∴解得3,2a c ==．所以3,2a c ==．（Ⅱ）∵1cos 3B =，∴sin 3B =，∵3,3,2a b c ===，222-c 7cos 29a b C ab +==，sin C =，∴23cos(-)cos cos sin sin 27B C B C B C =+=，故23cos(-)27B C =． 33．【解析】（1）-a b ＝(cos cos ,sin sin )αβαβ--，2||-a b ＝22(cos cos )(sin sin )αβαβ-+-＝22(cos cos sin sin )2αβαβ-⋅+⋅=．所以，cos cos sin sin 0αβαβ⋅+⋅=，所以，b a ⊥．（2）⎩⎨⎧=+=+②1sin sin ①0cos cos βαβα，①2＋②2得：1cos()2αβ-=-．所以，αβ-＝π32，α＝π32＋β，带入②得：sin (π32＋β)＋sin β＝23cos β＋12sin β＝sin (3π＋β)＝1， 所以，3π＋β＝2π．所以，α＝65π，β＝6π．34．【解析】由题意，抛物线E 的焦点为(0,)2p F ，直线1l 的方程为12py k x =+．由1222p y k x x py⎧=+⎪⎨⎪=⎩得22120x pk x p --=．设A ，B 两点的坐标分别为11(,)A x y ，22(,)B x y ， 则1x 、2x 是上述方程的两个实数根．从而1212x x pk +=，212121()2y y k x x p pk p +=++=+．所以点M 的坐标为211(,)2ppk pk +，211(,)FM pk pk =． 同理可得点N 的坐标为222(,)2p pk pk +，222(,)FN pk pk =． 于是2221212()FM FN p k k k k ⋅=+．由题设，有k 1＋k 2＝2，k 1>0，k 2>0，k 1≠k 2， 所以212120()12k k k k +<<=． 故222(11)2FM FN p p ⋅<+=．(2)【解析】由抛物线的定义得1||2p FA y =+，2||2p FB y =+， 所以2121||22AB y y p pk p =++=+， 从而圆M 的半径211r pk p =+．故圆M 的方程为22222111()()()2p x pk y pk pk p -+--=+．化简得22221132(21)04x y pk x p k y p +--+-=． 同理可得圆N 的方程为22222232(21)04x y pk x p k y p +--+-=． 于是圆M ，圆N 的公共弦所在直线l 的方程为222121()()0k k x k k y -+-=．又k 2－k 1≠0，k 1＋k 2＝2，则l 的方程为x ＋2y ＝0. 因为p >0，所以点M 到直线l 的距离222117[2()]p k d ++===故当114k =-时，d．，解得8p =．故所求的抛物线E 的方程为216x y =． 35．【解析】（I）由2222)(sin )4sin ax x x =+=，222(cos )(sin )1b x x =+=，及2,4sin 1a b x ==得又1[0,],sin 22x x π∈=从而，所以6x π=.（II）2()cos sin f x a b x x x =⋅=⋅+1112cos 2sin(2)2262x x x π-+=-+. 当[0.]sin 2- 1.326x x πππ=∈时，（）取最大值所以3().2f x 的最大值为 36．【解析】（1）由(2,1)MA x y =---，(2,1)MB x y =--，(MA MB +=-()(,)(0,2)2OM OA OBx y y ⋅+=⋅=，=22y +． 化简得曲线C 的方程：24x y =．（2）假设存在点(0,)(0)P t t >满足条件，则直线PA 的方程是12t y x t -=+，PB 的方程是12ty x t -=+．曲线C 在Q 处的切线l 的方程是20024x x y x =-，它与y 轴的交点为2(0,)4x F - 由于022x -<<，因此0112x -<<． ①当10t -<<时，11122t --<<-，存在0(2,2)x ∈-，使得0122x t -=．即l 与直线PA 平行，故当10t -<<时不符合题意． ②1t -…时，011,22x t --< (01122)x t ->…，所以l 与直线,PA PB 一定相交． 分别联立方程组0201224t y x t x x y x -⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得,D E 的横坐标分别是 20042(1)D x t x x t +=+-，20042(1)E x t x x t +=+-，则202204(1)(1)E D x tx x t x t +-=--- 又204x FP t =--，有220220(4)1128(1)PDE E D x t t S FP x x t x ∆+-=⋅⋅-=⋅--， 又2200414(1)242QABx x S ∆-=⋅⋅-=， 于是22200220(4)(1)41(4)QAB PDEx x t S S t x t ∆∆⎡⎤---⎣⎦=⋅-+=422200422004(1)4(1)41816x t x t t x tx t⎡⎤-+-+-⎣⎦⋅-++， 对任意0(2,2)x ∈-，要使QAB PDES S ∆∆为常数，即只需t 满足2224(1)84(1)16t tt t⎧---=⎨-=⎩，解得1t =-，此时2QAB PDES S ∆∆=，故存在1t =-，使得QAB ∆与PDE ∆的面积之比是常数2．37．【解析】由λ=知Q ，M ，P 三点在同一条垂直于x 轴的直线上，故可设 .)1(),(),,(),,(),,(2020220y x y x y y x x x M y x Q y x P λλλ-+=-=-则则 ①再设),1,1().(,),,(010111y x y y x x QA BQ y x B --=--=λλ即由解得⎩⎨⎧-+=-+=.)1(,)1(011λλλλy y x x ②将①式代入②式，消去0y ，得⎩⎨⎧-+-+=-+=.)1()1(,)1(2211λλλλλλy x y x x ③ 又点B 在抛物线2x y =上，所以211x y =，再将③式代入211x y =，得.012),1(,0.0)1()1()1(2,)1(2)1()1()1(,))1(()1()1(22222222=--+>=+-+-+++-+=-+-+-+=-+-+y x y x x x y x x y x 得两边同除以因λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ故所求点P 的轨迹方程为.12-=x y38．【解析】（1）（方法一）由题设知(3,5),(1,1)AB AC ==-，则(2,6),(4,4).AB AC AB AC +=-=所以||210,||4 2.AB AC AB AC +=-=故所求的两条对角线的长分别为．（方法二）设该平行四边形的第四个顶点为D ，两条对角线的交点为E ，则: E 为B 、C 的中点，E （0，1）又E （0，1）为A 、D 的中点，所以D （1，4）故所求的两条对角线的长分别为BC =、AD = （2）由题设知：OC =(－2,－1)，(32,5)AB tOC t t -=++．由(OC t AB -)·OC =0，得：(32,5)(2,1)0t t ++⋅--=， 从而511,t =-所以115t =-． 或者：2· AB OC tOC =，(3,5),AB =2115||AB OC t OC ⋅==-．古今中外有学问的人，有成就的人，总是十分注意积累的。