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2019-2020 年高三上学期月考（六）（理）数学试题含答案一、选择题：本大题共12 个小题 , 每小题 5 分 , 共 60 分 . 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数z22i ，则下列结论中正确的是（）1iA．的虚部为i B．z2C．2为纯虚数D．z1 iz z2. 已知条件p :x m x m30 ；条件q : x23x40 ．若 p 是 q 的必要不充分条件，则实数 m 的取值范围是（）A．, 71,B．,7 1,C．7,1D．7,13. 已知sin cos30,，则 cos 2的值为（），且2A．15B．1C．15D．1 4444 4. 执行如图所示的程序框图，如果输入n 6 ， m 4 ，则输出的p 等于（）A．60B． 240C． 300D． 3605.用1，2，， 9 这九个数字组成无重复数字的三位数，记为abc ，其中 a ，b， c 三个数字之积能被 10 整除的三位数共有（）A．96个B．132 个C．168 个D． 180个6. 已知某三棱锥的三视图如图所示，则此三棱锥的外接球的体积为（）4B 33C．3． 3A．．2D327. 已知函数f x sin x（0 ，0 ，）在一个周期内的图象如图所2示，则 f（）4A．1B．1C． 1D．1 228. 某公司近六年投入某种产品的年宣传费x （单位：万元）和年销售量y （单位：万件）之间的样本数据如下表所示：则当年宣传费为15 万元时，年销售量的预报值为（）A．45万件B． 48万件C．50万件D ． 55万件ny bx a bx i y i n x yay bx中，n， ．参考公式：在回归直线方程 ?i 1x i 2 n x 2i 110. 如图，边长为 2 的正方形 CD 的顶点， 分别在两条互相垂直的射线 ，Q 上滑动，则 CD 的最大值为（）A ． 2B． 4C． 6D． 811. 设双曲线x 2y 2 1（ a0 ， b 0）的两条渐近线分别为l 1 ， l 2 ，左焦点为 F ．若点 Fa 2b 2关于直线 l 1 的对称点 在 l 2 上，在双曲线的离心率为（ ）A ． 2B． 3C． 2D．312. 对于区间a, b 上的函数 fx ，若存在 x 0a, b ，使得 f x 0b f x dx 成立，则称ax 0 为函数 fx 在区间 a,b 上的一个“积分点” ．那么函数 fxcos 2x在区间60,上的“积分点”为（）2A ．B． 4C ．D．56312第Ⅱ卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 在C 中，角 ， ， C 所对的边长分别为 a ， b ， c ，若 sin2sin，且a b 3c ，则角 C 的大小为．14. 已知x ，y 满足约束条件x y1x y12x y2，若目标函数z ax by （ a0 ， b0）的最大值为1，则11的最小值为．3a b15. 设直线l : x 2 y m0 与椭圆 C :2x y21相交于，两点，为椭圆C 的左顶4点，若的重心在y 轴右侧，则m 的取值范围是．16. 如图，记棱长为1的正方体为C1，以 C1各个面的中心为顶点的正八面体为C2，以 C2各面的中心为顶点的正方体为C3，以 C3各个面的中心为顶点的正八面体为C4，，以此类推．则正方体C9的棱长为．三、解答题（本大题共 6 小题，共70 分 . 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ）17.（本小题满分 12 分）设数列x n的前 n 项和为 S n，若存在非零常数p ，使对任意 n都有S2 np 成立，则称S n数列x n为“和比数列” ．（ 1）若数列a是首项为 2 ，公比为 4 的等比数列，判断数列log2a是否为“和比数列” ；n n（ 2）设数列b n是首项为 2 ，且各项互不相等的等差数列，若数列b n是“和比数列” ，求数列b n的通项公式．18.（本小题满分 12 分）某工厂有 120 名工人，其年龄都在20 60 岁之间，各年龄段人数按20,30 ， 30,40 ，40,50 ， 50,60 分成四组，其频率分布直方图如下图所示．工厂为了开发新产品，引进了新的生产设备，要求每个工人都要参加、两项培训，培训结束后进行结业考试．已知各年龄段两项培训结业考试成绩优秀的人数如下表所示．假设两项培训是相互独立的，结业考试也互不影响．40 的样本，求四个年龄段应分别抽取的（ 1）若用分层抽样法从全厂工人中抽取一个容量为人数；（ 2）根据频率分布直方图，估计全厂工人的平均年龄；（ 3）随机从年龄段20,30和40,50中各抽取1人，设这两人、两项培训结业考试中成绩都优秀的人数为，求的分布列和数学期望．19.（本小题满分 12 分）如图，在四棱柱CD 1 1C1D1中，1底面CD ，各侧棱长和底边长都为 2 ，D 60，为侧棱 1 的延长线上一点，且1 1．（ 1）求二面角D1C的大小；（ 2）设点F在线段D1上，若 1 F//面C，求D1F: F的值．20.（本小题满分 12 分）如图 1，已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在 y 轴正半轴上，准线与 y 轴的交点为．过点作圆 C : x221的两条切线，两切点分别为D，G，且 DG 4 2 y 2．3（ 1）求抛物线的标准方程；（ 2）如图2 ，过抛物线的焦点 F 任作两条互相垂直的直线l1，l2，分别交抛物线于， Q 两点和，两点，，分别为线段Q 和的中点，求面积的最小值．21.（本小题满分 12 分）已知函数 f x x2 2 a x aln x，其中 a 为常数且 a 0．（ 1）若曲线y f x 与直线y a相切，求 a 的值；2（ 2）设x1，x2为两个不相等的正数，若 f x1 f x2，证明： x1 x2 a ．请考生在第22、 23、 24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 解答时请写清题号 .22.（本小题满分 10 分）选修 4-1 ：几何证明选讲如图，在的内接四边形CD 中，D C ，过点 C 作的切线，交的延长线于点．（ 1）证明：C C D ；（ 2）若4，C3， CD1，求C的长．23.（本小题满分 10 分）选修 4-4 ：坐标系与参数方程x 2cos在平面直角坐标系x y 中，曲线 C 的参数方程为（为参数）．以原点为极y 3 sin点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．（ 1）求曲线C的极坐标方程；（ 2）若直线l的极坐标方程为cos3，求直线l被曲线C所截得的线段长．6 224.（本小题满分 10 分）选修 4-5 ：不等式选讲已知函数 f x x 1x2m，其中 m 为常数．（ 1）当m7时，求不等式f x0的解集；2a， b ，c满足 a b c m ，若函数f x的最小值为 2 ，证明：（）设实数a22b2c210 ．湖南师大附中2016 届高三月考试卷（六）数学（理科）答案1． C【解析】由已知，z 2 1ii 2i1i ，则 z 的虚部为1， z 2 ，z22i 为纯虚1i1数， z 1 i ，选C．2.B【解析】设集合x x m或 x m3 ， Q x 4 x1．因为 p 是 q 的必要不充分条件，则 Q 是的真子集，所以m34或 m1，即 m7或 m1，选B．3.Acos2cossincossin 15，选 A．44.D【解析】第 1次运行到判断框时， k 1， p 3 ；第 2 次运行到判断框时， k 2 ， p 12 ；第 3 次运行到判断框时， k3 ， p 60 ；第4 次运行到判断框时， k 4 ， p 360 ，此时 km ，终止循环．所以输出p360 ，选 D ．5.B【解析】据题意，三个数字中有一个数是5，另两个数至少有一个偶数．第一类，分别从1，3，7，9和2， 4 ， 6 ， 8 中各选一个数，连同1 1 35 组成三位数，有 C 4C 4 3 96 个；第二类，从 2，4，6，8中任选两个数，连同 5 组成三位数，有 2 3C 4 3 36 个，所以符合条件的三位数共有 96 36 132 个，选 B ．6.C【解析】因为正视图、侧视图和俯视图都是边长为1的正方形，将三棱锥CD 按如图所示放在正方体中，则其外接球的直径等于正方体的对角线长．因为正方体的对角线长为3 ，3则外接球半径为3，其体积 V 4 3 3 ，选 C ．23 2 27.A【解析】由图知，2，且35 12 3 ，则周期，所以2 ．因为464f2，则 212，从而3．所以 f x2sin2x，故1223f2sin51，选 A ．468.C66【解析】由样本数据得，x 5， y30 ，x i y i1000 ，x i 2200 ，则i 1i 11000 6 5 302 ，a30 25 20，所以回归直线方程为?2x 20．当x 15b6 25y200 时， y 50 ，选 C ．9.D【解析】令 f f x1 0 ，得 f f x1．设 f x t ，则 f t 1．由图知，方程 f t1有两解 ， ，且t 11 ， 21．从而方程f xt 1 有两解，方程f xt 2t 1 t 2k 0 t也有两解．所以方程f f x 1 0 有 4 个解，选 D ．10.D【解析】取 的中点 ，设向量与D 的夹角为，则CDCDDCCDD4 2D4 4cos4 ．所以当0 时，CD8，选 D ．max11.A【解析】不妨设 l: ybx ， l 2: ybx ，点 Fc,0 ，x 0 , bx 0 ．因为 F l ，则1 aaa 1bx 0 bx 0 c bx 0a 2a 2x 0 c ．因为 F 的中点在 l上，则 x 0 c a1 ，即 b x 02 ,12abx 0 b x 0c，即 x 0c．所以 b 2 ca 2 cc ，即 b 23a 2 ．所以 e1 b 22 ， 2aa 222 2a 2选 A ．12.B【解析】因为2cos 2xdx1sin 2x26261sin7sin1，则2662f x 0cos 2x 01．因为 x 00, ，则 2x 0 6, 7 ，所以6226 62x 02，选 B ．，即 x 063413. 60【解析】由 sin2sin ，得 a 2b ．又 a b 3c ，则 3b3c ，即 c3b ．所以a 2b 2c 24b 2 b 23b 21 60 ．cosC2ab4b 2，故 C214. 9【解析】作可行域，得当x 3， y 4 时，目标函数 z ax by 取得最大值．由已知，3a 4b1，则 11 1 1 3a 4b 54 b 3 a5 24 b3 a 9 ，当且仅3ab 3a b3a b3a b1 1时取等号，所以 1 1 9 ．当 a， b3a b96min15. 2,2 2【解析】将 x 2 ym 代入椭圆方程， 得 2 y24 y 2 4 ，即 8 y24my m 2 4 0．由m16m 2 32 m 240 ，得 m 28，即 22 m 2 2 ．设点x 1, y 1 ，x 2 , y 2 ，则 y 1 y 2mx2 yy2m m ．因为的重心在 y 轴右侧，点，从而 x222112,0 ，则 x 1x 2 2 0 ，所以 m 2 0 ，即 m2 ．综上， m 的取值范围是 2,2 2 ．16. 18【解析】设正多面体C n （ n）的棱长为 a n ，则 a 11．因为正八面体 C 2 由两个同底的C 1 的棱长， 则 a 222 正四棱锥组成， 公共底面是正方形， 其对角线长为正方体a 1．因2 2 为正方体 C3 的各顶点是正八面体2 1 2 a 21 C2 各个面的中心，则 a3 2a 23．同理，3 23a42a3221a1， a3， a5，， a2n 1是首2， a5a49，．由此猜想，数列631的等比数列，所以141 ．1，公比a9338117. 【解析】（ 1）由已知，a n 2 4n 122n1， log 2 a n2n1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（ 2 分）数列 log 2a n的前 n 和 S n，S n 12n1n n2，2S2n24n2．⋯⋯⋯⋯⋯⋯（ 4 分）2n所以S2n 4 ，故数列log2 a n是“和比数列” ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（ 5 分）S n（ 2）数列b的公差 d （ d0 ），前nn n 1和n，n2n d ，n24n 2n2n12n2n12 n2d822n 1 d2n4n d ，所以．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2n n 14nn2n d 1 d2（8 分）因 b n8 2 2n1 dp 恒成立．是“和比数列” ，存在非零常数p ，使n 1 d4即 8 2 2n 1 d p 4 n 1 d，即 p 4 dn p 2 4 d 0 恒成立．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（10 分）所以p4d0．因 d0， p 4 ， d 4 ．p24d0所以数列b n的通公式是 b n2 4 n14n 2 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（12分）18. 【解析】（ 1）由率分布直方可知，年段20,30，30,40， 40,50， 50,60 的人数的率分0.3 ， 0.35 ， 0.2 ， 0.15 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（ 1 分）因 400.312，400.3514， 400.28， 400.15 6 ，所以年段20,30，30,40 ， 40,50 ， 50,60 抽取的人数分12 ， 14 ， 8 ， 6 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（ 3 分）（ 2）因 各年 的中点 分25 ，35 ， 45 ，55 ， 的 率分 0.3 ，0.35 ，0.2 ，0.15 ，x25 0.3 35 0.35 45 0.2 55 0.15 37 ．由此估 全厂工人的平均年 37⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（6 分）（ 3）因 年 段20,30 的工人数 120 0.3 36 ，从 年 段任取 1 人，由表知，此人培 考 成 秀的概率27 3， 培 考 成 秀的概率164 36436，9所以、两 培 考 成 都 秀的概率3 4 17 分）4 9．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（3因 年 段40,50 的工人数 120 0.224 ，从 年 段任取 1人，由表知，此人培考 成 秀的概率16 2，9 3 24 3 培 考 成 秀的概率，所以2 3 1 248、两 培 考 成 都 秀的概率38 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（ 8 分）4由 ，的可能取0，1， 2．其中11 1 11 ，34211 11111 5 ， 21 1 1 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（103434123 4 12分）所以 的分布列是1 2 1 5 121212⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（11 分）期望1 15 17212．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（ 12 分）1212 1219. 【解析】（ 1）取 C 的中点，D 1 ，．因 D 1D D ， D 1DCD ， D CD ，D 1 CD 1 ，所以 D 1C ．同理C ，所以D 1二面角D 1C的平面角．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（2 分）由已知，D 是 2 的正三角形， D 1 ．在 Rt DD1中， DD12， D 1 D 2DD 12 5 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（3分）在 Rt中， 3 ，2210 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（ 4 分）1D1，在 Rt D11中，1D1 2，11，D11D1212 5 ．⋯⋯⋯⋯⋯（5 分）然，D12D12 2 ，D1等腰直角三角形，所以D145 ，故二面角D1C的大小45．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（ 6 分）（ 2）分以，x ，y，点与平面CD 垂直的直z 建立空直角坐系，3,0,0 ，0,1,3，D0,1,0，D10, 1,2 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（8分）n x, y, z平面n03x0．C 的法向量，，即y3z0n0取 z1，n0, 3,1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（9 分）D1F D1，1F1D1D1FDD1D D 13,1,00,2,13,21, ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（10 分）因1F// 面C，1F n ，即1F n0，所以 3 210，解得3．⋯⋯⋯（ 11 分）53D1所以 D1F，故 D1F: F3: 2 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（12 分）520. 【解析】（ 1）由称性知，DG y ， DG 与 y 的交点22，D．3CD ， Rt C D 中，CD1，C221．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（ 1 分）CD D3因 DC 的切， CD D C C 2．由射影定理，得CD ，C 3 ．⋯⋯⋯⋯（3分）因心 C 的坐0,2， C 2，所以 1 ，即p1，得 p 2 ．2所以抛物的准方程 x2 4 y ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（ 5 分）（ 2）直l1的斜率k，因l1焦点F 0,1，直 l1的方程y kx1．代入x24y ，得x24kx40 ．点x1, y1， Q x2 , y2， x1x2 4k ．因段 Q 的中点，点2k, 2k 21⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（ 7 分）因 l1 l 2，直 l 2的方程y 1x 1．同理可得点2,221．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯k k k（8 分）直的方程y2k21x 2k，即 y k1x 3 ，然定点22k22kk22kkD0,3 ．⋯⋯⋯⋯（10分）的面 S ，与y 的交点，S S S1 3 x x3 k12k3 2 k 11取等号．所以的面的最小6 ，当且当kk6．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（12 分）21. 【解析】（ 1）f x2xa2x2 2 a x a2x a x 12 ax x x（ x）．⋯⋯⋯（ 1 分）因 a0 ，由 f x0 ，得 x a． fx 在 0,a内 减，在a , 内222增，所以 xa x的唯一极 点．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（2 分）f2a 相切， faa ，即 a 2a 2 aa lnaa ．因 曲 yf x 与直 y222242 2因 a0 ，a1 ln a0 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（ 3 分）42 2h aa 1 ln a， h a1 1 0 ，所以 h a 在 0,内 增．4 2 24 a因 h 20 ，所以 a 2．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（5 分）（ 2） 法一：不妨0 x 1 x 2 ，因 fx 1 f x 2，x 12 2 a x 1 a ln x 1 x 222 a x 2 a ln x 2 ，即a x2 ln xxln xx 2 2x2 x 2 2x ，所以211211ax 2 2xx 2 2x．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（7 分）2211x 2 ln x 2 x 1ln x 1从而所 不等式化x 1 x 2x 22 2x 2 x 12 2x 1 ．x 2 ln x 2 x 1 ln x 1因 x2 ln xxln xx 2 xln x 2 ln x0 ， 不等式再化211 11x x x2 ln x xx 2 2x x2 2x ，即 xx2 ln x ln x2 x2 x，1221221112112 x 2 x 1x 22 x 2 1 即ln x 2 ln x 1 ，即 lnx 1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（ 9 分）x 1 x 2 x 1x 2 1x 1令x2t （ t 1）， 只要 ln t2 t 1 ，即 ln t2 t1 0 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（10t 1t 1x 1分）2 t 1 1 4t 2 1g t ln t0 ， g tt2t t2 t1t 1 1．当t 1 ， g t 0 ，g t 在 1, 内 增， 所以 g tg 1 0 ，故原不等式成立． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ （ 12分）法二： 不妨 0x 1x 2 ，因 f x 1f x 2 ， f x在 0,a内 减， 在 a,22内 增，x 1a x 2 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（ 6 分）2aa要x 1x 2a ，即 x 2a x 1 ．因 x 2，ax 1 ， 只要 f x 2f a x 1 ，2 2即 fx 1 f a x 1 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（ 7 分）g xf x f a x， 只要 当 0xa ， g x 0 ．2因 gxf xf a2x a x 12 a x a a x 1xxa x，x 1 x a 1 1 1 2x 22xaa ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（10 分）x a x2x axxax xa当 0xa， gx0 ，从而 g x 在 0,a内 减．22所以 gxga fa a 0 ，故原不等式成立．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（12 分）2 2 f222. 【解析】（ 1）因 DC ， 劣弧 DC ，所以CDC ．因 C 是的切 ，CC ，从而C CD ．⋯（ 3 分）因C是四 形CD的一个外角，CDC ．所以C180CC180CDDCCD ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（5 分）（ 2）由（ 1）知，CCD ，CC D ，C ∽ CD，所以C ．CCD因 C 3 ， CD 1，C 2CD 9 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（8 分）因4 ，5 ．由切割 定理， C245 ，所以 C 3 5 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（10 分）x 2cos，得x2y21．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（ 2 分）23. 【解析】（ 1）由3 sin 消去参数y43将 x cos， y sin代入，得2 cos22sin21，即4332 cos2 4 2 sin212 ，即23sin 212 ，所以曲 C 的极坐方程是2312．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（ 5 分）sin 2（ 2）由cos3，得3cos sin3．62所以直 l 的直角坐方程3x y3，即 y 3 x1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（ 6 分）x1t2（ t 参数）．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯然，直 l 点1,0，斜角 60，其参数方程y 3 t2（7 分）代入 x2y223 t21，得31t412 ，即 5t 24t120 ．方程的两根t，43221 t2，t1t2412t2t124t1t2164816， t1t2， t1t2255．555故直 l 被曲 C 所截得的段16．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（10 分）52x6, x124. 【解析】（ 1）当m7 ， f x x 1x274, 2 x 1 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 x 8, x2（3 分）由 f xx1x2，即 x 3 或 x 4 ．0 ，得6或2x82x00所以不等式 f x 0 的解集, 43,．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（ 5 分）（ 2）因x 1 x 2x 1x 2 3 ，当且当x 1 x 2 0 ，即 2 x1取等号，f x min 3 m．由已知，3m 2 ， m 5 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（7 分）解法一：由 a b c 5 ， a c 5 b ，a c 2a2c2 5 b222，222a22b2 c22b25b25 10b5b 5 b12010．222⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（ 10 分）解法二：由， a b c 5 ，据柯西不等式，有 a22b2c21121a b c ，2即5a22b2c225 ，所以 a22b2c210 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（10 分）2。
2020届高三月考理科数学试题（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）．1．设集合}2)1(log |{2<+=x x A ，{}162x B y y ==-，则()A B =I R ð（ ）A. ()0,3B. []0,4C. [)3,4D. ()1,3-2. 已知复数15i z a =-在复平面上对应的点在直线520x y +=上，复数152iz z +=（i 是虚数单位），则2017z =（ ）A ．1B ．1-C ．i -D ．i3. 若tan 2α=，则22cos 23sin 2sin ααα+-的值为（ ）A ．25 B ．25- C ．5 D ．54. 在[][]4,6,2,4x y ∈∈内随机取出两个数，则这两个数满足30x y -->的概率为（ ）A ．14 B ．18 C ．110 D ．1165. 若圆2212160x y x +-+=与直线y kx =交于不同的两点，则实数k 的取值范围为（ ）A ．(3,3)-B ．(5,5)C ．55(D ．33( 6. 70年代中期，美国各所名牌大学校园内，人们都像发疯一般，夜以继日，废寝忘食地玩一个数学游戏.这个游戏十分简单：任意写出一个自然数N ，并且按照以下的规律进行变换：如果是个奇数，则下一步变成31N +；如果是个偶数，则下一步变成2N.不单单是学生，甚至连教师、研究员、教授与学究都纷纷加入.为什么这个游戏的魅力经久不衰？因为人们发现，无论N 是怎样一个数字，最终都无法逃脱回到谷底1.准确地说，是无法逃出落入底部的421--循环，永远也逃不出这样的宿命.这就是著名的“冰雹猜想”.按照这种运算，自然数27经过十步运算得到的数为 ( ) A ．142B ．71C ．214D ．1077. 在ABC △中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2223323sin a b c bc A =+-，则C 的值为（ ） A ．3π B ．6π C ．4π D ．32π8．某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为203，则图中x 的值为（ ）A ．3B ．1 C.2 D ．529. 运行如下程序框图，如果输入的[]0,5t ∈，则输出S 属于（ ）A ．[)4,10-B ．[]5,2-C ．[]4,3-D ．[]2,5-10.已知向量3OA =u u u r ，2OB =u u u r ，OC mOA nOB =+u u u r u u u r u u u r ，若OA u u u r 与OB uuu r 的夹角为60°，且OC AB⊥u u u r u u u r ，则实数m n的值为（ ） A. 16 B. 14C. 6D. 411．如图，在四边形ABCD 中，2AB BC ==，90ABC ∠=︒，DA DC =.现沿对角线AC折起，使得平面DAC ⊥平面ABC ，且三棱锥D ABC -的体积为43，此时点A ，B ，C ，D 在同一个球面上，则该球的体积是（ ）A ．92π B ．823π C ．272π D ．12π 开始输入t2?t ≥24S t t =- 5S t =输出S 结束是否12.已知函数()2ln f x ax x x =--存在极值，若这些极值的和大于5ln 2+，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(),4-∞B ．()4,+∞C ．(),2-∞D ．()2,+∞ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 若()()62701271x a x a a x a x a x +-=+++⋅⋅⋅+，其中()πsin cos d a x x x =-⎰，则0126a a a a +++⋯+的值为 .14. 已知函数()1,022,0xx f x x x ⎧⎛⎫<⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪-≥⎩错误!未找到引用源。
长沙市一中21届高三月考试卷(六)数学时量：120分钟满分：150分一､单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.)1. 已知全集U =R 集合A x y⎧==⎨⎩∣，{1}B yy ==∣，那么()UA B =（ ）A. ∅B. ()0,1C. (),0-∞D. (),1-∞【答案】C2. 设复数z 满足(1)4i z i +⋅=，则z =（ ） A. 1 B. 2C.D.【答案】D3. 两个具有线性相关关系的变量的一组数据()11,x y ，()22,x y ，…(),n n x y ，下列说法错误的是（ ） A. 相关系数r 越接近1，变量,x y 相关性越强B. 落在回归直线方程上的样本点越多，回归直线方程拟合效果越好C. 相关指数2R 越小，残差平方和越大，即模型的拟合效果越差D. 若x 表示女大学生的身高，y 表示体重则20.64R ≈表示女大学生的身高解释了64%的体重变化 【答案】B4. 汉朝张苍等人辑撰的《九章算术》卷第三“衰分”中有一题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺.问日织几何？术曰：置一､二､四､八､十六为列衰，副并为法以五尺乘未并者，各自为实.实如法得一尺.”意思是“今有一女子很会织布，每天加倍增长，5天共织布5尺，问每日各织多少布？算法：取1，2，4，8，16为分配比率，取众比率之和为除数，以5尺乘各自比率为各自的被除数，以除数去除被除数，便可得出每一天织布的尺寸数”.若改进技术后，该女子6天织布9尺，用此法计算可得该女子第5天织布尺寸为（ ） A.167尺 B.4531尺 C.327尺 D.57尺 【答案】A5. 已知定义在R 上的函数3()f x x x =+，a f =，()log 3b f π=，1))c f =，则,,a b c 的大小关系是（ ） A. a b c << B. b c a <<C. c b a <<D. b a c <<【答案】C6. 在中国传统佳节元宵节中赏花灯是常见的活动.某单位拟举办庆祝元宵的活动，购买了A ，B ，C 三种类型的花灯，其中A 种花灯4个，B 种花灯5个，C 种花灯1个，现从中随机抽取4个花灯，则A ，B ，C 三种花灯各至少被抽取一个的情况种数为（ ） A. 30 B. 70C. 40D. 84【答案】B7. 已知函数()tan 2f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，若函数()()sin g x f x x =+在区间[]3,m -(,)m k k π=∈Z 上至少有4个零点，则m 的最小值为（ ） A. 2π B. 3πC. 4πD. 5π【答案】B8. 在三棱锥A BCD -中，60BAC BDC ∠=∠=︒，二面角A BC D --的余弦值为13-，当三棱锥A BCD - ） A. 5π B. 6πC. 7πD. 8π【答案】B二､多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.)9. 设x ，y 为实数满足14x ≤≤，02y <≤，则下列结论错误的是（ ） A. 16x y <+≤ B. 12x y <-≤C. 08xy <≤D. 2xy≥【答案】BD10. 已知向量()1,0m =，11,22n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（ ） A. ||2||m n =B. ()// m n n -C. ()m n n -⊥D. m 与n的夹角为4π 【答案】ACD11. 如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是棱1CC 上一动点(与C .1C 不重合)，点E 为点C 在平面11AB CD 上的正投影，点P 在平面11AB C D 上的正投影为点Q ，点Q 在直线CD 上的正投影为点F ，下列结论中正确的是（ ）A. BC ⊥平面PQFB. CE 与BD 所成角为30C. 线段PE 长度的取值范围是12,22⎡⎢⎣⎭D. 存在点P 使得//PF 平面11AB C D 【答案】ACD12. 已知直线2y x =-+分别与函数xy e =和ln y x =的图象交于点()()1122,,,A x y B x y ，则下列结论正确的是( ) A. 122x x +=B. 122x x e e e +>C. 1221ln ln 0x x x x +<D. 12ex x >【答案】ABC三､填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13. A 、B 、C 、D 四个人围成一圈，A 确定好自己的位置后，B 、C 、D 三人随机站到其他三个位置上，则C 与D 不相邻的概率为__________. 【答案】1314. 若2020220200122020(12)(2)(2)(2)x a a x a x a x +=+++++⋅⋅⋅++，x ∈R ，则22020122020222a a a ⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅=___________.【答案】202013-15. 已知点P 是双曲线221412x y -=上的动点，1F ，2F 分别为双曲线的左，右焦点，O 为坐标原点.若点M是12F PF ∠的角平分线上的一点，且1F M MP ⊥，则||OM =__________. 【答案】216. 已知32cos 263a m ππα⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，32cos 263m ππββ⎛⎫⎛⎫-+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中m ∈R ，则cos()αβ+=____________.【答案】12四､解答题(本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.)17. 已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2A C =. （1）若A ∠为钝角，求a c的取值范围；（2）若1b =，3c =，求ABC 的面积. 【答案】（1）2)；（2218. 在①424S S =，221n n a a =+；②14n n a a n ++=；③0n a >，()241n n S a =+.从这三个条件中任选一个填入下面的横线上并解答.已知数列{}n a 是等差数列其前n 项和为n S ，*n ∈N ，若_________.(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.)（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）对任意的*m ∈N ，将{}n a 中落入区间()22,2mm内项的个数记为{}mb ，求数列{}mb 的通项公式和数列{}m b 的前m 项和m T .【答案】条件选择见解析；（1）21n a n =-；（2）21122m m m b --=-，21112233m m m T +=⨯-+. 19. 如图，在多面体ABCDP 中，ABC 是边长为4的等边三角形，PA AC =，22BD CD ==，PA ⊥平面ABC ，点E 为BC 的中点，平面BDC ⊥平面ABC.（1）求证：//DE 平面PAC ；（2）T 为线段BC 上靠近点C 的四等分点，求直线BD 与平面ADT 所成的角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（236. 20. 在圆224x y +=上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足，32DM DP =.当点P 在圆上运动时，点M 的轨迹为曲线E. （1）求曲线E 的方程；（2）过点()1,0Q -的两条相互垂直的直线分别交曲线E 于A ，B 和C ､D ，求四边形ABCD 面积的取值范围.【答案】（1）22143x y +=；（2）288649S ≤≤. 21. 定向越野起源于欧洲，是一种借助地图､指南针，在一个划定的区域内，通过对地形地貌的判断.设计合理路线到达各个目标点位，最后到达终点的运动.湖南青奠定向体育发展有限公司为了推广定向活动，对学生群体进行定向越野的介绍和培训，并对初步了解了定向活动的学生是否会参加定向越野活动进行调查.随机抽取了200位中小学生进行调查，得到如下数据：准备参加定向越野的小学生有80人，不准备参加定向越野的小学生有40人，准备参加定向越野的中学生有40人.（1）完成下列22⨯列联表，并根据列联表判断是否有97.5%的把握认为这200位参与调查的中小学生是否准备参加定向越野与中学生､小学生年龄有关.准备参加定向越野不准备参加定向越野合计（2）为了储备定向后备力量，备战全国赛，提高会员定向水平，俱乐部将小学生会员分组进行比赛.两人一组，每周进行一轮比赛，每小组两人每人跑两张地图(跑一张地图视为一次)，达到教练设定的成绩标准的次数之和不少于3次称为“优秀小组”.小超与小红同一小组，小超､小红达到教练设定的成绩标准的概率分别为1p ，2p ，且1243p p +=，理论上至少要进行多少轮比赛，才能使得小超､小红小组在比赛中获得“优秀小组”次数的期望值达到16次？并求此时1p ，2p 的值.附：22()()()()()n ad bc K a b a c c d b d -=++++，n a b c d =+++【答案】（1）列联表答案见解析，有97.5%的把握认为这200位参与调查者是否准备参加定向越野与年龄有关；（2）理论上至少要进行27轮游戏，123p =，223p =.22. 已知函数2()xf x x e -=，1()(0)h x x x x=->. （1）求证：方程)(()f x h x =有唯一零点0x ，且0(1,2)x ∈； （2）设函数211()[()()]|()()|22g x h x f x h x f x cx =+---.若函数()g x 为增函数，求实数c 的取值范围. 【答案】（1）证明见解析；（2）31,2e ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.。
2020届高三数学第六次月考试题文一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A＝{x|(x＋1)(x－2)≤0}，集合B为整数集，则A∩B＝()A．{－1,0} B．{0,1} C．{－2，－1,0,1} D．{－1,0,1,2}2．已知非零向量a，b满足=2，且（a–b）b，则a与b 的夹角为A．B．C．D．3．若，则（）A．B． C． D．4. 设复数z满足，则（）A． B． C． D．5．设函数f（x）=cosx+bsinx（b为常数），则“b=0”是“f（x）为偶函数”的A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．命题“，使得”的否定形式是（）.A.，使得B.，使得C.，使得D.，使得7．在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCD－A1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为( )A. B．1－C. D．1－8．设a>0为常数，动点M(x，y)(y≠0)分别与两定点F1(－a,0)，F2(a,0)的连线的斜率之积为定值λ，若点M的轨迹是离心率为的双曲线，则λ的值为( )A．2 B．－2C．3 D.已知，，，则 ()A．a>b>cB．b>c>aC．c>b>a D．b>a>c10．在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．甲：我的成绩比乙高．乙：丙的成绩比我和甲的都高．丙：我的成绩比乙高．成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为 ( )A．甲、乙、丙B．乙、甲、丙C．丙、乙、甲D．甲、丙、乙11.如图所示，点从点出发，按逆时针方向沿边长为的正三角形运动一周，为的中心，设点走过的路程为，的面积为（当、、三点共线时，记面积为0），则函数的图像大致为（）12．函数的导函数，对，都有成立，若，则满足不等式的的范围是（）A． B． C．D．第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题：本大题共4小题，每小题 5分，共20分。
答案第1页，总11页2020届高三月考 数学（理科）试题测试时间：120分钟 卷面总分：150分注意事项：1、答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选择其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设,a R i ∈为虚数单位.若复数2(1)z a a i =-++是纯虚数，则复数3a ii-在复面上对应的点的坐标为（ ） 3, 2A.（-）32-B.（，-）3,1-C.（）31--D.（， ）2．已知集合(){}(){}2222log 4,3200A x y x B x x mx m m ==-=-+<>，若B A ⊆，则实数m 的取值范围为（ ）A ．()4+∞，B ．[)4+∞，C ．()2+∞，D ．[)2+∞，3．已知()31sin ,cos ,,43αββαβ+==为锐角，则sin α的值为（ ） ABCD4．《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为31．5尺，前九个节气日影长之和为85．5尺，则立夏日影长为（ ） A ．1．5尺B ．2．5尺C ．3．5尺D ．4．5尺5．已知函数2,2()24x x f x x -+≤⎧=<≤，则定积分41()f x dx ⎰的值为( ) A ．948π+ B ．144π+ C ．12π+ D ．324π+6．已知cos()4πα+=sin 2α的值为（ ） A ．13 B ．23C ．13-D ．23-7．若定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x +2)=f (x )且x ∈[0,1]时，f (x )=x ，则方程5()log f x x =的零点个数是（ ）A ．5个B ． 6个C ．7个D ．8个8．已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若4FP FQ =u u u r u u u r ，则QF =（ ）A ．52B ．2C ．32D ．1 9．已知函数32()31f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x <，则a 的取值范围是( )A ．()2,+∞B ．()1,+∞C ．(),2-∞- D ．(),1-∞-10．设函数f (x )＝sin(2x ＋π4)9[0,]8x π∈，若方程f (x )＝a 恰好有三个根，分别为x 1，x 2，x 3(x 1＜x 2＜x 3)，则x 1＋2x 2＋x 3的值为( )A ．π B.3π4 C.3π2 D.7π411．已知函数2()1(0)xf x x e x =+-<与())ln(2a x x x g ++=图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是（ ）A.)1,(e-∞ B.),(e -∞ C.(,1)-∞ D. 12. 设△A n B n C n 的三边长分别为a n ,b n ,c n ，△A n B n C n 的面积为S n ，n =1,2,3,…若b 1＞c 1，b 1＋c 1＝2a 1，a n ＋1＝a n ，b n ＋1＝c n ＋a n 2，c n ＋1＝b n ＋a n2，则( )A ．{S n }为递减数列B .{S n }为递增数列C.{S 2n －1}为递增数列，{S 2n }为递减数列D.{S 2n －1}为递减数列，{S 2n }为递增数列 二、填空题：本题共4小题，每小题5分。
2020届湘赣粤⾼三（6⽉）⼤联考理科数学本试卷共4⻚。
全卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：1．答题前，考⽣务必将⾃⼰的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每⼩题答案后，⽤铅笔把答题卡上对应题⽬的答案标号涂⿊。
如需改动，⽤橡⽪擦⼲净后，再选涂其他答案标号。
回答⾮选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上⽆效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡⼀并交回。
⼀、选择题：本题共12⼩题，每⼩题5分，共60分．在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的．1．设集合M={x|x2-x-2＞0}，集合N={x|），则M∩N=A．{x|x＞2}B．{x|x＞1}C．（x|x＞2或x＜－1）D．{x|x＞1或x＜－1}2．设i为虚数单位，复数，则=A．B．C．2D．3．2019年12⽉12⽇我国出现了新型冠状病毒所感染的肺炎，新型冠状病毒的传染性极强．下图是2020年1⽉26号到2⽉17号全国/湖北/⾮湖北新增新型冠状病毒感染确诊病例对⽐图，根据图象下列判断错误的是A．该时段⾮湖北新增感染确诊病例⽐湖北少B．全国新增感染确诊病例平均数先增后减C．2.12全国新增感染确诊病例明显增加，主要是由湖北引起的D．2.12全国新增感染确诊病例数突然猛增，不会影响该段时期全国新增病例数的中位数4．已知是R上的奇函数，满⾜，且当x∈[－2，0）时，，则=A．B．C．D．5．若的展开式所有系数之和为－3，则此展开式中不含下列哪⼀项A．x项B．x2项C．x3项D．x6项6．已知数列的前n项和为，a 2=4，（n∈N*），则数列的通项公式为A．a n=2n（n∈N*）B．a n=2n（n∈N*）C．a n=n+2（n∈N*）D．a n=n2（n∈N*）7．已知向量a=（m，2），b=（，1），若向量a在向量b⽅向上的投影为－2，则向量a与向量b的夹⻆是A．30°B．60°C．120°D．150°8．由实数组成的等⽐数列的前n项和为．则“a 1＞0”是“S11＞S10”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件9．骰⼦，古代中国⺠间娱乐⽤来投掷的博具，早在战国时期就有．最常⻅的骰⼦是正六⾯体，也有正⼗四⾯体、球形⼗⼋⾯体等形制的骰⼦，如图是满城汉墓出⼟的铜茕，它是⼀个球形⼗⼋⾯体骰⼦，有⼗六⾯刻着⼀⾄⼗六数字，另两⾯刻“骄”和“酒来”，其中“骄”表示最⼤数⼗七，“酒来”表示最⼩数零，每投⼀次，出现任何⼀个数字都是等可能的。
浏阳市一中2020届高三第六次月考试题理科数学考试时量：120分钟 试卷满分：150分一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．设集合{}{}22|log (2),|320A x y x B x x x ==-=-+<，则A C B =A ．(,1)-∞B ．(,1]-∞C ．(2,)+∞D ．[2,)+∞2. 设i 为虚数单位，若()2a iz a R i-=∈+是纯虚数，则a = A ．12 B ． 12- C ．1 D ．1- 3. 已知某超市2019年12个月的收入与支出数据的折线图如图所示：根据该折线图可知，下列说法错误的是A ．该超市2019年的12个月中的7月份的收益最高B ．该超市2019年的12个月中的4月份的收益最低C ．该超市2019年1~6月份的总收益低于2019年7~12月份的总收益D ．该超市2019年7~12月份的总收益比2019年1~6月份的总收益增长了90万元 4．已知3sin()322πα-=-，则2020cos()3πα+= A ．23B ．23-C ．12D ．12-5. 已知12121ln ,2x x e -==，3x 满足33ln x e x -=，则A ．123x x x <<B ．132x x x <<C ．213x x x <<D ．312x x x <<6. 函数2()1sin 1xf x x e ⎛⎫=-⎪+⎝⎭图象的大致形状是A B C D7.公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在阿基里斯前面1000米处开始与阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍.当比赛开始后，若阿基里斯跑了1000米，此时乌龟便领先他100米，当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟先他10米，当阿基里斯跑完下一个10米时，乌龟先他1米，……所以，阿基里斯永远追不上乌龟.按照这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为210-米时，乌龟爬行的总距离为A ．410190-米B ．5101900-米C ．510990-米D ．4109900-米8.已知函数()2sin()(0,0),()2,()082f x x f f ππωϕωϕπ=+><<==，且()f x 在(0,)π上单调.则下列说法正确的是 A ．12ω=B ．62()8f π--=C ．函数()f x 在[,]2ππ--上单调递增 D ．函数()f x 的图象关于点3(,0)4π对称 9.在AOB ∆中，OA a OB b ==u u u r r u u u r r ，，满足||2a b a b ⋅=-=r r r r，则AOB ∆的面积的最大值为3 B. 2C. 23210．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>，12,F F 分别为其左、右焦点，O 为坐标原点，若点2F 关于渐近线的对称点恰好落在以1F 为圆心，1OF 为半径的圆上，则C 的离心率是 A 2B 3C ．2D ．311. 在正方体1111ABCD A B C D -中，P ，Q 分别为1AD ，1B C 上的动点，且满足1AP B Q =，则下列4个命题中： ①存在P ，Q某一位置，使AB PQ ∥； ②BPQ V 的面积为定值；③当0PA >时，直线1PB 与直线AQ 一定异面；④无论P ，Q 运动到何位置，均有BC PQ ⊥. 其中所有正确命题的序号是A. ①②④B. ①③④C. ①③D. ②④12．若函数12()2log (0)x x f x e x a a -=+->在区间(0,2)内有两个不同的零点，则实数a的取值范围是A. 22,2)eB. (0,2]C. 222,2)e + D. 3424(2,2)e +二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分． 把答案填在答题卡中的横线上）13．若25(ax x的展开式中5x 的系数为80-，则实数a =__ __． 14．在菱形ABCD 中，060DAB ∠=，将这个菱形沿对角线BD 折起，使得平面DAB ⊥平 面BDC ，若此时三棱锥A BCD -的外接球的表面积为5π，则AB 的长为 ． 15.已知数列{}n a 满足11a =，135n n a a n ++=+，*n N ∈，则(1)21n a -= ， (2)2111(1)i i ni i a a +=+-=∑ .16．如图，衡阳市有相交于点O 的一条东西走向的公路l 与一条南北走向的公路m ，有一商城A 的部分边界是椭圆的四分之一，这两条公路为椭圆的对称轴，椭圆的长半轴长为2，短半轴长为1(单位:千米). 根据市民建议，欲新建一条公路PQ ，点,P Q 分别在公路,l m 上，且要求PQ 与椭圆形商城A 相切，当公路PQ 长最短时，OQ 的长为________千米.lm QO三、解答题（本大题共6小题，共70分． 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） （一）必考题：60分．17．(本小题满分12分) 已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且tan (sin 2cos )cos 2222A C A Ca b a +=． （1）求角B 的值；（2）若△ABC 的面积为33D 为边AC 的中点，求线段BD 长的最小值．18．(本小题满分12分) 已知正方形ABCD ，E ，F 分别为AB ，CD 的中点，将△ADE 沿DE 折起，使△ACD 为等边三角形，如图所示，记二面角A-DE-C 的大小为(0)θθπ<<. （1）证明：点A 在平面BCDE 内的射影G 在直线EF 上； （2）求角θ的正弦值.C BEFE19．(本小题满分12分) 如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的长轴12A A 长为4，过椭圆的右焦点为F作斜率为(0)k k ¹的直线交椭圆于B ，C 两点，直线12,BA BA 的斜率之积为34-. （1）求椭圆C 的方程；（2）已知直线:4l x =，直线11,A B A C 分别与l 相交于,M N 两点，设E 为线段MN 的中点，求证：BC EF ^20．(本小题满分12分)已知函数()e sin )(2()2xf x x a R ax π=--∈+．（1）当1a =时，求函数()f x 在区间[,]ππ-上的值域； （2）对于任意120x x π<<<，都有2121()()22x x f x f x a e e π->---，求实数a 的取值范围.21. (本小题满分12分) 随着科学技术的飞速发展，网络也已经逐渐融入了人们的日常生活，网购作为一种新的消费方式，因其具有快捷、商品种类齐全、性价比高等优势而深受广大消费者认可.某网购公司统计了近五年在本公司网购的人数，得到如下的相关数据(其中“x =1”表示2015年，“x =2”表示2016年，依次类推； y 表示人数)：x 1 2 3 4 5 y (万人)2050100150180(1)试根据表中的数据，求出y 关于x 的线性回归方程，并预测到哪一年该公司的网购人数能超过300万人； (2)该公司为了吸引网购者，特别推出“玩网络游戏，送免费购物券”活动，网购者可根据抛掷骰子的结果，操控微型遥控车在方格图上行进. 若遥控车最终停在“胜利大本营”，则网购者可获得免费购物券500元；若遥控车OMNlCA 2A 1EyxFB最终停在“失败大本营”，则网购者可获得免费购物券200元. 已知骰子出现奇数与偶数的概率都是12，方格图上标有第0格、第1格、第2格、…、第20格。
遥控车开始在第0格，网购者每抛掷一次骰子，遥控车向前移动一次。
若掷出奇数，遥控车向前移动一格（从k 到1k +）若掷出偶数遥控车向前移动两格（从k 到2k +），直到遥控车移到第19格胜利大本营）或第20格（失败大本营）时，游戏结束。
设遥控车移到第(119)n n ≤≤格的概率为n P ，试证明{}1n n P P --是等比数列，并求网购者参与游戏一次获得免费购物券金额的期望值。
附：在线性回归方程ˆˆˆybx a =+中，1221ˆˆˆ,ni ii nii x y nxyb ay b x xnx ==-==--∑∑.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22. (本小题满分10分) [选修4－4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，点13P （，），直线l 的参数方程为132x ty t=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程2sin 16cos 0ρθθ-=，直线l 与曲线C 交于A 、B 两点．（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）求11PA PB+的值．23. (本小题满分10分) [选修4－5：不等式选讲] 已知函数()1(1)f x x m x m m=-++>． （1）当2m =时，求不等式()3f x >的解集；； （2）证明：1()3(1)f x m m +≥-．参考答案考试时量：120分钟 试卷满分：150分一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 BADDACBCACBD二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分． 把答案填在答题卡中的横线上） 13． __ -2 __． 14． 3 ．15. (1)21n a -= 32n - ， (2)2111(1)i i ni i a a +=+-=∑ 293322n n--. 16． _3_三、解答题（本大题共6小题，共70分． 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） （一）必考题：60分．17．(本小题满分12分) 已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且tan (sin 2cos )cos 2222A C A Ca b a +=． （1）求角B 的值；（2）若△ABC 的面积为33D 为边AC 的中点，求线段BD 长的最小值． 【详解】(1)由tan(sin 2cos )cos 2222A C A C a b a +=，得sin (sin 2cos )cos cos 22222A C A A C a b a +=， 即(coscos sin sin )2sin cos 222222A C A C A A a b -=，即cos sin 2A C a b A +=. 由正弦定理得sin cossin sin 2A C A B A +=，因0,sin 0,sin 02BA A π<<≠≠， 所以cossin 2A C A +=，则cos sin 2sin cos 222B B BB ==， 所以1cos(0)2222B B π=<<， 所以23B π=，即23B π=. (2)由△ABC 的面积为331sin 332ac B =12ac =. 因为D 为边AC 的中点，所以1()2BD BA BC u u u r u u u r u u u r =+，所以2221(2)4BD BA BC BA BC u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rg =++，即222111(2cos )(2)3444BD c a ac B ac ac ac u u u r =++≥-==，当且仅当23a c ==3BD u u u r≥BD 318．(本小题满分12分) 已知正方形ABCD ，E ，F 分别为AB ，CD 的中点，将△ADE 沿DE 折起，使△ACD 为等边三角形，如图所示，记二面角A-DE-C 的大小为(0)θθπ<<. （1）证明：点A 在平面BCDE 内的射影G 在直线EF 上； （2）求角θ的正弦值.C BCEFEF【详解】(1)证明：过点A 作AG⊥平面BCDE ，垂足为G ，连接GC ，GD. 因为△ACD 为等边三角形，所以AC=AD ，所以点G 在CD 的垂直平分线上. 又因为EF 是CD 的垂直平线，所以点A 在平面BCDE 内的射影G 在直线EF 上. 另证：过点A 作AG⊥EF，再证AG⊥CD，从而证得AG⊥平面BCDE ，即点A 在平面BCDE 内的射影G 在直线EF 上(2) 解：以G 为坐标原点，GA 所在直线为z 轴，GF 所在直线为y 轴，过点G 作平行于DC 的直线为x 轴建立空间直角坐标系.设正方形ABCD 的边长为2a ，连接AF ， 则3 a ，AE= a ，EF=2 a .所以333(0,0,0),),(,,0),(,,0),(0,,0)222aG A C a a D a a E -- 设平面ADE 的一个法向量为m =(x ，y ，z)，则3302220m AD ax ay az m DE ax ay ìïï=+-=ïïíïïï=+=ïîu u u r g u u u r g ， 取y=1，得m =3(2,1,3--，又平面DEC 的一个法向量n =(0，0，1) 所以1cos 4m n m n q==g ，即15sin q=19．(本小题满分12分) 如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的长轴12A A 长为4，过椭圆的右焦点为F作斜率为(0)k k ¹的直线交椭圆于B ，C 两点，直线12,BA BA 的斜率之积为34-. （1）求椭圆C 的方程；（2）已知直线:4l x =，直线11,A B A C 分别与l 相交于,M N 两点，设E 为线段MN 的中点，求证：BC EF ^ 【详解】(1)设1122(,),(,)B x y C x y ，因点B 在椭圆上，所以2211221x y a b +=，故2222112()b y a x a=-又12(,0),(,0)A a A a -， 所以12212211,BA BA y y b k k x a x a a ==-+-g g ，即223,4b a =因124,A A = 所以2a =，所以3b =所以椭圆C 的方程为22143x y +=. (2)设直线BC 的方程为(1)y k x =-，由22(1)143y k x x y ì=-ïïïíï+=ïïî，得2222(43)84120k x k x k +-+-=， Gyz xAE CBFOMN lCA 2A 1EyxFB则221212228412,4343k k x x x x k k -+==++g . 直线1A B 的方程为11(2)2y y x x =++，令4x =，得1162M y y x =+； 同理2262N y y x =+； 所以12121212121263()1233()2222()4M N E y y y y kx x k x x k y x x x x x x k+++-==+==-+++++， 即点3(4,)E k -，又(1,0)F ，所以313EF BC k k k k -==-g g ，所以BC EF ^.20．(本小题满分12分)已知函数()e sin )(2()2x f x x a R ax π=--∈+．（1）当1a =时，求函数()f x 在区间[,]ππ-上的值域；（2）对于任意120x x π<<<，都有2121()()22x x f x f x a e e π->---，求实数a 的取值范围. 【详解】(1) 当1a =时，()e sin 2(2)x f x x x π=--+，则()e sin c 1(os )2x f x x x x π'=+--+令()sin cos 12g x x x x π++=--，则()1cos sin 12)4g x x x x π'=+-=-.当x ππ-≤≤时，53444x πππ-≤-≤当()0g x '≤时，2sin()42x π-≥，得3444x πππ≤-≤，解得2x ππ≤≤ 当()0g x '≥时，2sin()42x π-≤，得5444x πππ-≤-≤，解得2x ππ-≤≤ 所以()g x 在,2ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故()()02g x g π≤=即()0f x '≤，()f x 在[],ππ-上单调递减，所以minmax (4)(34)()(),()(),22e ef x f f x f ππππππ--+===-=-所以函数()f x 在区间[,]ππ-上的值域为(4)(34),22e e ππππ-⎡⎤-+-⎢⎥⎣⎦.(2)因为120x x π<<<，故2121()()22x x f x f x a e e π->---可化为2121()(2)()(2)22x x f x a e f x a e ππ--->---即函数()()(2)(sin )2x x G x f x a e e ax x a π=---=+-在区间(0,)π上为增函数，所以当[]0,x π∈时，()(sin cos )0xG x e ax x x '=++≥即sin cos 0ax x x ++≥恒成立. ①当0x =时，a R ∈；②当0x π<≤时，sin cos x xa x+-≤， 令sin cos ()x x h x x +=，则2(1)cos (1)sin ()x x x xh x x --+'=.当01x <≤时，(1)cos 0,(1)sin 0,()0x x x x h x '-<+>∴<，当12x π≤≤时，()0h x '<，当2x ππ<≤时，()0h x '<. 所以()h x 在[]0,π上单调递减，故min 1()()h x h ππ==-，所以1a π≥.综上，实数a 的取值范围是1[,)π+∞.21. (本小题满分12分) 随着科学技术的飞速发展，网络也已经逐渐融入了人们的日常生活，网购作为一种新的消费方式，因其具有快捷、商品种类齐全、性价比高等优势而深受广大消费者认可.某网购公司统计了近五年在本公司网购的人数，得到如下的相关数据(其中“x =1”表示2015年，“x =2”表示2016年，依次类推；y 表示人数)：x 1 2 3 4 5 y (万人)2050100150180(1)试根据表中的数据，求出y 关于x 的线性回归方程，并预测到哪一年该公司的网购人数能超过300万人； (2)该公司为了吸引网购者，特别推出“玩网络游戏，送免费购物券”活动，网购者可根据抛掷骰子的结果，操控微型遥控车在方格图上行进. 若遥控车最终停在“胜利大本营”，则网购者可获得免费购物券500元；若遥控车最终停在“失败大本营”，则网购者可获得免费购物券200元. 已知骰子出现奇数与偶数的概率都是12，方格图上标有第0格、第1格、第2格、…、第20格。
