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2020.6.8制做
①二重积分概念、性质与对称性 ①微分方程的概念②一阶微分方程的求解
②二重积分计算 ③二阶可降阶微分方程的求解④高阶现行微分方程求解
①多元函数微分学的基本概念②多元函数微分法则 ③多元函数的极值与最值问题的理论
高
概念①不定积分 ②定积分③变现积分与反常积分
④一元函数积分的计算
主要公式
③凹凸性与拐点的概念和判断；④渐进性⑥做函数图像
①极限与最值②单调性与极值的判断⑤最值和取值范围问题。
二、极限与连续 三、一元函数微分学的概念与计算 四、一元函数微分学几何应十、多元函数微分学
九、积分等式与积分不等八、一元函数积分学的几六、零点问题、微分不等五、中值定理 十一、二重积分 七、一元函数积分学的概念与计算 一、高等数学常用基础知识 函数概念
函数4种特性 常用基础知识 数列极限概念
性质与定理 函数的连续与间断 函数极限概念 性质与定理 题型？种 导数与微分的概念 内容精讲；例题精解；主要公式 零点问题
导数与微分的计算 微分不等式 题型？种 十二、常微分方程。
定积分及其应⽤定积分的概念与性质定积分问题实例曲边梯形的⾯积把区间分为n 份在闭区间内插⼊n-1个分点将区间分为n 份⼩区间记各个⼩区间⻓度为ΔXi近似替代在每个⼩区间内任意取⼀点，以该点函数值为⾼，⼩区间⻓度为宽的窄矩形⾯积近似替代第i 个曲边梯形⾯积求和取极限确保把整个闭区间分的⾜够细（注意：分割份数⾜够多不能保证误差⼀定变⼩，必须要分的够细）每个⼩区间区间⻓度⾜够⼩n →∞记λ= ΔXi 中最⼤值当λ→0刻画了区间的⽆限细分过程得结果曲边梯形⾯积A= λ→0时对∑（上标n ，下标i=1）f （ζ i ）ΔXi 求极限单位产品的可变成本变化的总成本问题定积分定义条件：函数在闭区间内有界具体步骤：同曲边梯形⾯积求法记法：f （x ）在闭区间［a ，b ］上的定积分（简称积分），记作∫（上b 下a ）f （x ）dx其中a 为积分下限，b 为积分上限按照区间形式时规定了a 与b 的⼤⼩关系，但是实际上积分上限不⼀定⼤于积分下限关于可积：f （x ）在闭区间上定积分存在，说明f ；x ）在闭区间可积在闭区间上连续则可积在闭区间有界且只有有限个间断点则可积注意定积分的⼤⼩只与被积函数和积分区间有关，与积分变量使⽤的符号⽆关（⽤x ⽤t 都⼀样）但若积分变量与函数中变量形式［如f （t ）与x]不对应，则将函数看成常数处理∑上n 下i=1表示从1起⼀共到n （右端点）；∑上n-1下i=0表示从o 起⼀共到n-1（左端点）已知f(x)在闭区间定积分存在，则积分值与积分区间划分、取点都⽆关，可以进⾏特殊分割与特殊取点将区间闭区间n 等分，即有f[a+（b-a ）i/n]（b-a ）/n将闭区间特殊取值为［0,1］应⽤：⽤定积分表示和式极限从原式中提1/n 出来并在此基础上对原式变形定积分⼏何意义在闭区间上f （x ）⼤于等于0表示曲边梯形⾯积⼩于等于0表示曲边梯形⾯积的负值有正有负表示各部分⾯积的代数和定积分性质积分上限等于积分下限时，定积分=0积分下限⼤于积分上限时，定积分等于积分上下限颠倒后定积分的相反数函数和差的定积分等于它们定积分的和差被积函数的常数因⼦可以提到积分号外⾯积分区间具有可加性（⽆论a ，b ，c 相对位置如何总是成⽴）被积函数相同时，若积分区间满⾜⼦⺟区间关系可以直接⽤积分区间相减在闭区间上函数恒等于1，其定积分等于闭区间⻓度引申：不等于1等于其他常数同理函数在闭区间上⼤于等于0，其定积分⼤于等于0推论在闭区间上⼀个函数⼤于等于另⼀个函数，则其定积分也⼤于另⼀个函数的定积分⼀个函数定积分的绝对值⼩于等于｜该函数｜的定积分M ，m 分别是函数在闭区间上的最⼤值和最⼩值，则m （b-a ）⼩于等于该函数定积分⼩于等于M （b-a ）其中a ⼩于b如果函数在闭区间连续，则在积分区间上⾄少存在⼀点ζ 使函数在积分区间上的定积分等于f （ζ ）（b-a ）⼏何：⾯积近似推论：f （ζ ）=定积分/b-a 为函数在闭区间上的平均值⼏何：f （ζ ）可看作是图中曲边梯形的平均⾼度求定积分⽅法定义法：和式极限⼏何法：函数的图像⽜顿莱布尼茨公式法：找原函数微积分基本公式积分上限函数（变上限积分函数）定义条件：函数在闭区间上连续记法性质定理1函数在闭区间连续，则它的积分上限函数在闭区间可导且导数为f （x ）→即将积分上限直接代⼊f （对于变上限积分函数我们只知道求导）证明过程类举特殊的变上限积分上限还可以是关于积分变量的⼀个函数f[v(x)]v‘(x)变下限与变上限函数结果为相反数（变下限，先负号）⼀般特殊变限⼀般情况积分上下限都是关于积分变量的函数先将积分区间分为只变上限与只变下限的形式积分区间的可加性再按照特殊变上下限的⽅法进⾏原函数存在定理积分上限函数是f （x ）在闭区间上的⼀个原函数⼏何意义表示[a ，x]上曲边梯形⾯积应⽤常与“0/0”型求极限使⽤洛必达法则结合能⽤洛必达先⽤洛必达∫下0上x xf （t ）dt=x ∫下0上x f （t ）dt⼀定要看清题⽬要求（如求导的变量是否是x ，不是x 才能把x 当作常数提出来）与分段函数利⽤积分区间的可加性拆积分区间与分段函数分段区间对应⽜顿莱布尼茨公式内容如果函数F （x ）是连续函数f （x ）在闭区间上的⼀个原函数，则它的定积分等于F （b ）-F （a ）证明积分上限函数和f （x ）的原函数只相差⼀个常数（都是它的原函数）函数在闭区间连续则它的积分上限函数是它在此闭区间上的⼀个原函数再令x=a 得c=__再令x=b 并将c=__代⼊并把积分变量换成x 表明⼀个连续函数在闭区间上的定积分等于它的任⼀原函数在闭区间上的增量适⽤条件被积函数在积分区间上是连续的被积函数在积分区间上是分段连续且有界时把积分区间分为若⼲个⼦区间，使得被积函数在每个⼦区间上均连续定积分的换元积分法和分部积分法定积分的换元积分法定理函数f （x ）在[a,b]连续，函数x= φ（t ）满⾜φ（α）=a ，φ(β）=bφ（t ）在[α, β]（或两者调换顺序）上具有连续导数，且φ（t ）值域属于[a,b]复合函数内层函数值域为外层函数的定义域则可把x= φ（t ）直接代⼊（必要时换限）定积分换元公式使⽤注意正⽤为第⼆换元，逆⽤为凑微分换元必换限，凑微分不换限换元得出含新元函数不必再换为原元，只要把新元的积分上下限分别代⼊新元函数相减即可⼏个结论f （x ）在关于原点对称的区间内连续该函数为奇函数则函数在该区间内的的定积分等于0该函数为偶函数则函数在该区间内的的定积分等于2倍函数在区间（该区间左/右端点与0）内的定积分证明⽅法积分区间可加性令x=-t 后代⼊最后结果⽤x 代替t 表示积分变量即可f （x ）在[0,1]上连续f （sinx ）在[0, π/2]上的定积分=f （cosx ）在[0, π/2]上的定积分f （sinx ）表示函数由sinx 构成直接⽤cosx 替换sinx记sinx 的n 次⽅在[0, π/2]上的定积分结论（分奇偶）xf （sinx ）在[0, π]上的定积分= π/2乘f （sinx ）在[0, π]上的定积分只需要判断x 所乘后⾯的那个函数可以写成f （sinx ）的形式就可以⽤此结论后⾯那个函数并不是⾮要全部换成sinx 的形式，谁好算保留谁的形式设f （x ）是周期为T 的周期函数f （x ）在[a,a+T]上的定积分=f （x ）在[0,T]上的定积分=f （x ）在[-T/2,T/2]上的定积分f （x ）在[a,a+nT]上的定积分等于n 倍f （x ）在[0,T]上的定积分等于f （x ）在[0,nT]上的定积分保证积分区间是T/nT 即可定积分的分部积分法同不定积分中分部积分法⼀致，只是需要带上积分区间定积分的应⽤定积分的元素法选取积分变量并明确变量范围近似得定积分平⾯图形的⾯积表示图形某⼀特征的形式不同时需要分类讨论（分积分变量在不同区间）善于⽤⼏何意义解题如根号下a ⽅-x ⽅极坐标系下的⾯积计算扇形的⾯积公式1/2 αr 平⽅1/2lr求体积求交⾯⽤什么切就把什么代进去。
大一下高数知识点思维导图大一下学期高等数学是大部分理工科学生需要学习的一门重要课程。
为了更好地复习和掌握高数的知识点，下面将以思维导图的形式，系统地总结大一下学期高等数学的重点知识点。
1. 函数与极限在函数与极限这一部分，我们需要掌握函数的定义和性质，如增减性、奇偶性、周期性等。
同时，也要了解极限的定义、性质和计算方法，例如极限存在准则、夹逼定理等。
除此之外，还要熟练掌握一些常见函数的极限，如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等的极限运算。
2. 导数与微分导数与微分是高等数学的重要基础知识，需要掌握导数的定义、性质和计算方法。
特别是常见函数的导数，如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等的导数计算。
此外，还需了解一阶导数与二阶导数的关系、隐函数的求导、高阶导数等相关内容。
3. 微分中值定理与应用在微分中值定理与应用部分，掌握拉格朗日中值定理、柯西中值定理以及罗尔定理，并能灵活运用这些中值定理解决实际问题。
此外，还需了解泰勒展开式的概念和计算方法，以及利用泰勒展开逼近函数值的相关知识。
4. 不定积分与定积分不定积分与定积分是高等数学的核心内容之一，需要掌握不定积分的定义、性质和基本的计算方法。
特别是基本的不定积分公式、换元积分法和分部积分法的运用。
对于定积分，要熟悉定积分的定义、性质和基本的计算方法，掌握定积分的几何意义和物理应用，如求面积、求弧长、求体积等。
5. 微分方程微分方程是高等数学的重要应用部分，需要掌握常微分方程的基本概念、分类和一阶微分方程的解法。
特别是常见的一阶线性微分方程、二阶线性齐次微分方程和二阶线性非齐次微分方程的解法。
此外，还需了解高阶微分方程和常系数线性微分方程的解法。
总结起来，大一下学期高等数学的重点知识点可以归纳为函数与极限、导数与微分、微分中值定理与应用、不定积分与定积分以及微分方程。
通过对这些知识点的系统学习和复习，能够帮助我们更好地掌握高数的基础知识，为后续学习打下坚实的基础。
高等数学a1思维导图第一章
高等数学a1的第一章主要讲的是集合的概念。
集合是一组有相
同特点或共同性质的事物的统称，它是数学研究中非常重要的知识点。
集合由不同元素构成，它们构成了某些特定的结构。
集合几何定义，是指将一组有共同特点的元素看作一个整体，形
成一个集合。
例如，将一组字符看作一个字符串。
集合的概念在其他
学科中也有用，比如组合，统计，数论等等，它们可以分为有序集合、无序集合和有穷集合。
图论研究中也有另一种称为子集的概念。
子集是指集合A中包含
在集合B中的所有元素，它们具有集合A特定的性质，是集合A的一
个子集。
必要性原理也常常用在集合论中，它指出集合A和集合B之间可
能存在一定的依赖关系，如果集合A包含某个元素，则集合B也必定
包含该元素。
本章的内容为我们提供了更深刻的理解集合的概念，帮助我们更
好地应用这种思维方式，更有效地解决问题，从而更好地推动数学的
发展。
