2018-2019年上海市大同中学高三下三模教师版

上海市大同中学2018届高三三模数学试题第Ⅰ卷一、填空题 1.复数12i2i-+的虚部为 ． 2.二项式4x ⎛⎝的展开式中常数项为 ． 3.甲、乙两个袋子中均装有红、白两种颜色的小球，这些小球除颜色外完全相同，其中甲袋装有4个红球、2个白球，乙袋装有1个红球、5个白球.现分别从甲、乙两袋中各随机抽取1个球，则取出的两球颜色不同的概率为 ．（用分数作答） 4.过点()6,3M-且和双曲线2222x y -=有相同的渐近线的双曲线方程为 ．5.已知实数x 、y 满足1210x x y x y m ≥⎧⎪-+≤⎨⎪+≤⎩，若此不等式组所表示的平面区域形状为三角形，则m 的取值范围为 ．6.设圆锥底面圆周上两点A 、B 间的距离为2，圆锥顶点到直线ABAB 和圆锥的轴的距离为1，则该圆锥的体积为 ． 7.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若对于任意的正整数k ，均有()lim k n k n a S S →∞=-成立，则公比q = ． 8.三棱锥D ABC -及其三视图中的主视图和左视图如图所示，则棱BD 的长为 ．9.将函数()sin2y x ϕ=+的图象向左平移π4个单位后得到得到函数图象关于点4π,03⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称，那么ϕ的最小值为 ．10.已知不等式20ln 0m m n n ⎛⎫⎛⎫-≥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对任意正整数n 恒成立，则实数m 取值范围是 ．11.若[]0,πα∈，ππ,44β⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，λ∈R，满足：3πcos 202ααλ⎛⎫---= ⎪⎝⎭，34sin cos 0βββλ++=，则cos 2αβ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为 ．12.如图直角梯形ABCD 中，2ABBC ==，1CD =，//AB CD ，AD AB ⊥.点P 是直角梯形区域内任意一点，0PA PB ≤.点P 所在区域的面积是 ．二、选择题13.已知,a b R ∈，下列四个条件中，使“a b >”成立的必要而不充分的条件是（ ） A ．1ab >- B ．1a b >+ C. a b > D ．22a b >14. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足190S >，200S <，则11S a 、22S a 、33S a 、…、1919S a 中最大项为（ ） A ．88S a B ．99S a C. 1010S a D ．1111Sa15.平面α外有两条直线m 和n ，如果m 和n 在平面α内的摄影分别是1m 和1n ，给出下列四个命题：①11m n m n ⊥⇒⊥；②11m n m n ⊥⇒⊥；③1m 与1n 相交⇒m 与n 相交或重合；④1m 与1n 平行⇒m 与n 平行或重合；其中不正确的命题个数是（ ） A ．1 B ．2 C. 3 D ．4 16.如图，正ABC 的中心位于点()0,1G，()0,2A ，动点P 从A 点出发沿ABC的边界按逆时针方向运动，设旋转的角度()02AGP x x π∠=≤≤，向量OP 在()1,0a =方向的投影为y （O 为坐标原点），则y 关于x 的函数()y f x =的图像是（ ）三、解答题 17. 如图，四棱锥SABCD -的底面是边长为1的菱形，60DAB ∠=︒，SD 垂直于底面ABCD ，SB =（1）求四棱锥SABCD -的体积；（2）设棱SA 的中点为M ，求异面直线DM 与SB 所成角的大小.18. 函数2x y=和3y x =的图像的示意图如图所示，设两函数的图像交于点()11,A x y ，()22,B x y ，且12x x <.（1）设曲线1C ，2C 分别对应函数()y f x =和()y g x =，请指出图中曲线1C ，2C 对应的函数解析式，若不等式()()0kf g x g x ⎡⎤-<⎣⎦对任意()0,1x ∈恒成立，求k 的取值范围； （2）若[]1,1x a a ∈+，[]2,1x b b ∈+，且a 、b {}1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12∈，求a 、b 的值.19.已知1m >，直线l ：202m x my --=，椭圆C ：2221x y m+=，1F 、2F 分别为椭圆C 的左、右焦点.（1）当直线l 过右焦点2F 时，求直线l 的方程；（2）设直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，12AF F ∆、12BF F ∆的重心分别为G 、H .若原点O 在以线段GH 为直径的圆上，求实数m 的值.20.如图一块长方形区域ABCD ，2AD =，1AB =，在边AD 的中点O 处有一个可转动的探照灯，其照射角EOF ∠始终为4π，设AOE α∠=，探照灯照射在长方形ABCD 内部区域的面积为S .（1）当π02α≤≤时，求S 关于α的函数关系式； （2）当π04α≤≤时，求S 的最大值； （3）若探照灯每9分钟旋转“一个来回”（OE 自OA 转到OC ，再回到OA ，称“一个来回”，忽略OE 在OA 及OC 处所用的时间），且转动的角速度大小一定，设AB 边上有一点G ，且π6∠=AOG ，求点G 在“一个来回”中被照到的时间. 21.设函数()()23232k k f x x k x k =-++⋅，∈x R .（1）若()10f ≤，求实数k 的取值范围；（2）若k 为正整数，设()0f x ≤的解集为[]212,k k a a -，求1234a a a a +++及数列{}n a的前2n 项和2n S ；（3）对于（2）中的数列{}n a ，设()2121nn n nb a a --=，求数列{}n b 的前n 项和n T 的最大值.【参考答案】一、填空题1. 1-2. 4-3. 1118 4.221189x y -=5.2m > 6.π37. 12 8.9.π6 10. []4,5 11. 2 12. π34+ 二、选择题13. A 14. C 15. D 16. C 三、解答题17.（1）证明：连结BD ，SD⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴ABCD 为边长为1的菱形，且60DAB ∠=︒，∴ 1BD AB ==，SB =∴ SD =，AC =∴12ABCD S BD AC =⨯⨯=，∴ 13S ABCD V -==（2）解法一：取AB 中点E ，连结ME 、DE ，∴//ME SB 且122ME SB ==， ∴ EMD ∠为异面直线DM 与SB 所成的角，又∵ 在Rt SDA 中，SA =，∴ 122DM SA ==，同时，2DE =， ∴ DME ∆为等边三角形，∴ 3DME π∠=，即异面直线DM 与SB 所成的角的大小为3π.解法二：如图以D 为原点，建立空间直角坐标系，其中DxDC ⊥，设Dx 与AB 交于点E，则2DE =， ∴1,,022A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，又(S ，∴1,,442M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，即1,42DM =-⎝⎭ ，∵1,02B ⎫⎪⎝⎭，∴1,2SB =⎝ ， ∴ cos ,DM SB DM SB DM SB=⋅1112-⨯==-， 即异面直线DM 与SB 所成的角的大小为3π.18. 解：（1）1C 对应的函数为()3f x x =，2C 对应的函数为()2x g x =，()()3022x xkf g x g x k ⎡⎤-<⇔⋅<⎣⎦，则4x k -<对任意()0,1x ∈恒成立，14,14x -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以14k ≤；（2）令()()()32x x g x f x x ϕ=-=-，则1x ，2x 为函数()x ϕ的零点，由于()110ϕ=>，()240ϕ=-<，()939290ϕ=-<，()103102100ϕ=->， 则方程()()()x f x g x ϕ=-的两个零点()11,2x ∈，()29,10x ∈，因此整数1a=，9b =.19. 解：（1）因为l ：202m x my --=经过)2F22m =， 得22m=，又因为1m >，所以m =故直线l的方程为10x -=；（2）设()11,Ax y ，()22,B x y ，由222221m x my x y m ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去x 得222104m y my ++-=，则由22281804m m m ⎛⎫∆=--=-+> ⎪⎝⎭，知28m <，且有122my y +=-，212182m y y ⋅=-， 由于()1,0F c -，()2,0F c ，可知11,33x y G ⎛⎫⎪⎝⎭，22,33x y H ⎛⎫⎪⎝⎭， 由题意可知0OG OH =，12120x x y y +=，而221212121222m m x x y y my my y y ⎛⎫⎛⎫+=+++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()221182m m ⎛⎫=+-⎪⎝⎭， 所以21082m -=，24m =，满足0∆>，又因为1m >，所以2m =. 20. 解：（1）当π04α≤≤时，E 在AB 上，F 在BC 上11π1tan tan 224αα⎛⎫=--- ⎪⎝⎭S ， 当π04α<<时，E 、F 都在AB 上，1113π2tan tan 4αα⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+⎛⎫⎢⎥- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦S ； （2）当π04α≤≤时，1121tan 2tan S αα⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭， 由于[]tan 0,1α∈，所以当tan 1α=时，max 2S =（3）在“一个来回”中，OE 共转动了3π3π242⨯=， 其中点G 被照到时，OE 共转动了ππ263⨯=， 点G 被照到的时间为π3π9232⎛⎫=⨯÷= ⎪⎝⎭t 分钟.21. 解：（1）∵ ()10f ≤即()132320k k k k -++⋅<，∴()()13120k k --≤即()()31210k k --≤，310210k k -≤⎧⇒⎨-≥⎩或310210k k -≥⎧⎨-≤⎩∴ 103k ≤≤；（2）由()0f x ≤即()()320k x k x --≤的解集为[]212,k k a a -，∴ 2122123232kk k kk k a a k a a k --⎧+=+⎨⋅=⋅⎩， ∴ 1k =时，1123125a a +=⋅+=，2k =时，23432210a a +=⋅+=，∴123451015a a a a +++=+=，212342n n S a a a a a =+++++ ()()()1234212n n a a a a a a -=++++++ ()()()1231232232n n =⋅++⋅+++⋅+ ()()12312222n n =++++++ ()()2121213332221222nn n n nn +-+=⋅+=+-+-； （3）12nn T b b b =+++ ，2n ≥时，()11132nn n n nT T b n --==-⋅， n 为奇数时，10n n T T --<，即32T T <，54T T <，76T T <，…，1n n T T -<，…， n 为偶数时，10n n T T -->，即21T T >，43T T >，65T T >，…，1n n T T ->…，∴n T 的最大值必为{}n T 的偶数项，故当n 为偶数时（4n ≥）时，21n n n n T T b b ---=+()11131232n n n n -=-+-⨯⨯()10312nn n n +=-<-⨯，∴ n 为偶数时，{}n T 为递减数列，∴ ()22max 111323228n T T ==-+=-⋅⋅⋅.。

大同中学高三月考数学试卷2020.03一. 填空题1. 已知全集{|||2}U x x =<，集合2{|log 1}P x x =<，则U P = (2,0]- 2. 若复数i 1i z =+（i 为虚数单位），则z z ⋅= 12 3. 已知012a b =，则直线0ax by c ++=的倾斜角为 1arctan 2π- 4. 已知向量(1,3)a =，(sin ,cos )b αα=，若a ∥b ，则tan()4πα+= 25. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若33a =，131036S S -=，则数列{}n a 的公差为 16. 已知函数()f x =[1,9]x ∈，2()()()g x f x f x =⋅的反函数是1()g x -，则1()g x -的定义域为7. 若函数()log (a f x x x =是偶函数，则a = 28. 现有高一学生两人，高二学生两人，高三学生一人，将这五人排成一行，要求同一年级 的学生不能相邻，则不同的排法总数为 489. 某8个数据的平均数为5，方差为3，加入一新数据5，此时这9个数据的方差为83 10. 已知正项等比数列{}n a 中，3123a a a =，42563a =，用{}x 表示实数x 的小数部分，如 {1.5}0.5=，{2.4}0.4=，记{}n nb a =，则数列{}n b 的前15项的和15S 为 511. 在△ABC 中，设角A 、B 、C 对应的边分别为a 、b 、c ，记△ABC 的面积为S ，且22242a b c =+，则2S a 的最大值为 12. 已知点(0,2)P ，椭圆221168x y +=上两点11(,)A x y 、22(,)B x y 满足AP PB λ=（λ∈R ），则1122|2312||2312|x y x y +-++-的最大值为 18+二. 选择题13. 设α、β、γ是三个不重合的平面，l 是直线，给出下列命题：① 若αβ⊥，βγ⊥，则αγ⊥；② 若l 上两点到α的距离相等，则l ∥α； ③ 若l α⊥，l ∥β，则αβ⊥；④ 若α∥β，l β⊄，且l ∥α，则l ∥β； 其中正确的命题是（ D ）A. ①②B. ②③C. ②④D. ③④14. 算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具，为我国古代数学的发展做出了很大贡献，在算筹计数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字，如图：表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空，如图：如果把5根算筹以适当的方式全部放入下面的表格中，那么可以表示的三位数的个数为（ B ）A. 46B. 44C. 42D. 4015. 如图，正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是AB 、BC的中点，过点1D 、E 、F 的截面将正方体分割成两个部分，记这两个部分的体积分别为1V 、2V （12V V <），则12:V V =（ C ） A. 23 B. 35 C. 2547 D. 274616. 已知抛物线22y px =（0p >），为其焦点F ，l 为其准线，过F 任作一条直线交抛物线于A 、B 两点，1A 、1B 分别为A 、B 在l 上的射影，M 为11A B 的中点，给出下列命题： ① 11A F B F ⊥；② AM BM ⊥；③ 1A F ∥BM ；④ 1A F 与AM 的交点在y 轴上；⑤ 1AB 与1A B 交于原点；其中真命题的个数为（ D ）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个三. 解答题17. 如图，OA 、OB 是两条互相垂直的笔直公路，半径2OA km =的扇形AOB 是某地的一名胜古迹区域，当地政府为了缓解该古迹周围的交通压力，欲在圆弧AB 上新增一个入口P （点P 不与A 、B 重合），并新建两条都与圆弧AB 相切的笔直公路MB 、MN ，切点分别是B 、P ，当新建的两条公路总长最小时，投资费用最低，设POA θ∠=，公路MB 、MN 的总长为()f θ.（1）求()f θ关于θ的函数关系式，并写出函数的定义域；（2）当θ为何值时，投资费用最低？并求出()f θ的最小值.（1）()2tan 4tan()42f πθθθ=+-，(0,)2πθ∈； （2）当6πθ=时，投资费用最低，min ()23f θ=.18. 如图所示，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，且PA ⊥平面ABCD ，60ABC ∠=︒，E 是BC 的中点，F 是PC 上的点.（1）求证：平面AEF ⊥平面PAD ；（2）若M 是PD 的中点，当AB AP =时，是否存在点F ，使直线EM 与平面AEF 所成 角的正弦值为15？若存在，请求出PF PC 的值，若不存在，请说明理由. （1）证明略；（2）存在，12PF PC =或45.19. 已知椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>）的左、右焦点分别为1(1,0)F -、2(1,0)F ，且椭 圆上存在一点P ，满足172PF =，122cos 3F F P ∠=. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知分别A 、B 是椭圆C 的左、右顶点，过1F 的直线交椭圆C 于M 、N 两点，记直线AM 、BN 的交点为T ，是否存在一条定直线l ，使点T 恒在直线l 上？（1）2211615x y +=；（2）存在，16x =-.20. 已知函数2||()2x x P f x x x x M ∈⎧=⎨-+∈⎩，其中P 、M 是非空数集且P M =∅，设 (){|(),}f P y y f x x P ==∈，(){|(),}f M y y f x x M ==∈. （1）若(,0)P =-∞，[0,4]M =，求()()f P f M ；（2）是否存在实数3a >-，使得[3,]P M a =-，且()()[3,23]f P f M a =--？若存在，求出所有满足条件的a ，若不存在，说明理由；（3）若P M =R 且0M ∈，1P ∈，()f x 单调递增，求集合P 、M .21. 设数列{}n a 满足10a =，311n n a ca c +=+-，*n ∈N ，其中c 为实数.（1）证明：[0,1]n a ∈对任意*n ∈N 成立的充分必要条件是[0,1]c ∈；（2）设103c <<，证明：11(3)n n a c -≥-，*n ∈N ； （3）设103c <<，证明：222122113n a a a n c ++⋅⋅⋅+>+--，*n ∈N .。

大同区高中2018-2019学年高三下学期第三次月考试卷数学一、选择题1． 有下列四个命题：①“若a 2+b 2=0，则a ，b 全为0”的逆否命题； ②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若“q ≤1”，则x 2+2x+q=0有实根”的逆否命题；④“矩形的对角线相等”的逆命题． 其中真命题为（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．③④2． 已知函数f （x ）=a x +b （a ＞0且a ≠1）的定义域和值域都是[﹣1，0]，则a+b=（ ） A．﹣ B．﹣ C．﹣ D．﹣或﹣3． 若某算法框图如图所示，则输出的结果为（ ）A ．7B ．15C ．31D ．634． 设()f x 是偶函数，且在(0,)+∞上是增函数，又(5)0f =，则使()0f x >的的取值范围是（ ） A ．50x -<<或5x > B ．5x <-或5x > C ．55x -<< D ．5x <-或05x << 5． 在等比数列{a n }中，已知a 1=3，公比q=2，则a 2和a 8的等比中项为（ ） A ．48B ．±48C ．96D ．±966． 若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示，则这个棱柱的体积为（ ）A． B． C． D ．67． 如图，该程序运行后输出的结果为（ ）班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数__________________________________________________________________________________________________________________A．7 B．15 C．31 D．638．设全集U={1，2，3，4，5}，集合A={2，3，4}，B={2，5}，则B∪（∁U A）=（）A．{5} B．{1，2，5} C．{1，2，3，4，5} D．∅9．在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，点P在线段AD′上运动，则异面直线CP与BA′所成的角θ的取值范围是（）A．0＜B．0 C．0D．010．在△ABC中，sinB+sin（A﹣B）=sinC是sinA=的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．既不充分也非必要条件11．已知数列{a n}是等比数列前n项和是S n，若a2=2，a3=﹣4，则S5等于（）A．8 B．﹣8 C．11 D．﹣1112．一个空间几何体的三视图如图所示，其中正视图为等腰直角三角形，侧视图与俯视图为正方形，则该几何体的体积为（）A．64 B．32 C．643D．323二、填空题13．（文科）与直线10x +-=垂直的直线的倾斜角为___________．14．设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1=﹣1， =S n ．则数列{a n }的通项公式a n = ．15．已知函数()ln a f x x x =+，(0,3]x ∈，其图象上任意一点00(,)P x y 处的切线的斜率12k ≤恒 成立，则实数的取值范围是 ．16．（若集合A ⊊{2，3，7}，且A 中至多有1个奇数，则这样的集合共有 个．17．如图，函数f （x ）的图象为折线 AC B ，则不等式f （x ）≥log 2（x+1）的解集是 ．18．若函数f （x ）=x 2﹣（2a ﹣1）x+a+1是区间（1，2）上的单调函数，则实数a 的取值范围是 ．三、解答题19．设函数f （x ）=x 2e x ． （1）求f （x ）的单调区间；（2）若当x ∈[﹣2，2]时，不等式f （x ）＞m 恒成立，求实数m 的取值范围．20．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．再以原点为极点，以x正半轴为极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系xOy有相同的长度单位．在该极坐标系中圆C的方程为ρ=4sinθ．（1）求圆C的直角坐标方程；（2）设圆C与直线l交于点A、B，若点M的坐标为（﹣2，1），求|MA|+|MB|的值．21．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ（sinθ+cosθ）=1，曲线C2的参数方程为（θ为参数）．（Ⅰ）求曲线C1的直角坐标方程与曲线C2的普通方程；（Ⅱ）试判断曲线C1与C2是否存在两个交点？若存在，求出两交点间的距离；若不存在，说明理由．22．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=a n﹣，数列{b n}中，b1=1，点P（b n，b n+1）在直线x﹣y+2=0上．（1）求数列{a n}，{b n}的通项a n和b n；（2）设c n=a n•b n，求数列{c n}的前n项和T n．23．在平面直角坐标系中，已知M（﹣a，0），N（a，0），其中a∈R，若直线l上有且只有一点P，使得|PM|+|PN|=10，则称直线l为“黄金直线”，点P为“黄金点”．由此定义可判断以下说法中正确的是①当a=7时，坐标平面内不存在黄金直线； ②当a=5时，坐标平面内有无数条黄金直线；③当a=3时，黄金点的轨迹是个椭圆；④当a=0时，坐标平面内有且只有1条黄金直线．24．已知数列{a n }是等比数列，首项a 1=1，公比q ＞0，且2a 1，a 1+a 2+2a 3，a 1+2a 2成等差数列． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式（Ⅱ）若数列{b n }满足a n+1=（），T n 为数列{b n }的前n 项和，求T n ．25．.已知定义域为R 的函数f （x ）=是奇函数．（1）求a 的值；（2）判断f （x ）在（﹣∞，+∞）上的单调性．（直接写出答案，不用证明）；（3）若对于任意t ∈R ，不等式f （t 2﹣2t ）+f （2t 2﹣k ）＜0恒成立，求k 的取值范围．26．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程以坐标原点为极点，以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为方程为r =（],0[πθ∈），直线l 的参数方程为2t cos 2sin x y t aaì=+ïí=+ïî（t 为参数）．（I ）点D 在曲线C 上，且曲线C 在点D 处的切线与直线+2=0x y +垂直，求点D 的直角坐标和曲线C 的参数方程；（II ）设直线l 与曲线C 有两个不同的交点，求直线l 的斜率的取值范围．大同区高中2018-2019学年高三下学期第三次月考试卷数学（参考答案）一、选择题1．【答案】B【解析】解：①由于“若a2+b2=0，则a，b全为0”是真命题，因此其逆否命题是真命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题为“不全等的三角形的面积不相等”，不正确；③若x2+2x+q=0有实根，则△=4﹣4q≥0，解得q≤1，因此“若“q≤1”，则x2+2x+q=0有实根”的逆否命题是真命题；④“矩形的对角线相等”的逆命题为“对角线相等的四边形是矩形”，是假命题．综上可得：真命题为：①③．故选：B．【点评】本题考查了命题之间的关系及其真假判定方法，考查了推理能力，属于基础题．2．【答案】B【解析】解：当a＞1时，f（x）单调递增，有f（﹣1）=+b=﹣1，f（0）=1+b=0，无解；当0＜a＜1时，f（x）单调递减，有f（﹣1）==0，f（0）=1+b=﹣1，解得a=，b=﹣2；所以a+b==﹣；故选：B3．【答案】D【解析】解：模拟执行算法框图，可得A=1，B=1满足条件A≤5，B=3，A=2满足条件A≤5，B=7，A=3满足条件A≤5，B=15，A=4满足条件A≤5，B=31，A=5满足条件A≤5，B=63，A=6不满足条件A≤5，退出循环，输出B的值为63．故选：D．【点评】本题主要考查了程序框图和算法，正确得到每次循环A，B的值是解题的关键，属于基础题．4．【答案】B考点：函数的奇偶性与单调性．【思路点晴】本题主要考查函数的单调性、函数的奇偶性，数形结合的数学思想方法.由于函数是偶函数，所以定义域关于原点对称，图象关于y 轴对称，单调性在y 轴两侧相反，即在0x >时单调递增，当0x <时，函数单调递减.结合(5)0f =和对称性，可知(5)0f ±=，再结合函数的单调性，结合图象就可以求得最后的解集.1 5． 【答案】B【解析】解：∵在等比数列{a n }中，a 1=3，公比q=2， ∴a 2=3×2=6，=384，∴a2和a 8的等比中项为=±48．故选：B ．6． 【答案】B【解析】解：此几何体为一个三棱柱，棱柱的高是4，底面正三角形的高是，设底面边长为a ，则，∴a=6，故三棱柱体积．故选B【点评】本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，本题求的是本棱柱的体积．三视图的投影规则是：“主视、俯视 长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视 宽相等”．三视图是新课标的新增内容，在以后的高考中有加强的可能．7． 【答案】如图，该程序运行后输出的结果为（ ） D【解析】解：因为A=1，s=1判断框内的条件1≤5成立，执行s=2×1+1=3，i=1+1=2； 判断框内的条件2≤5成立，执行s=2×3+1=7，i=2+1=3； 判断框内的条件3≤5成立，执行s=2×7+1=15，i=3+1=4； 判断框内的条件4≤5成立，执行s=2×15+1=31，i=4+1=5； 判断框内的条件5≤5成立，执行s=2×31+1=63，i=5+1=6；此时6＞5，判断框内的条件不成立，应执行否路径输出63，所以输入的m 值应是5． 故答案为5．【点评】本题考查了程序框图中的当型循环结构，当型循环是先判断后执行，满足条件进入循环，不满足条件，算法结束．8． 【答案】B【解析】解：∵C U A={1，5}∴B∪（∁U A）={2，5}∪{1，5}={1，2，5}．故选B．9．【答案】D【解析】解：∵A1B∥D1C，∴CP与A1B成角可化为CP与D1C成角．∵△AD1C是正三角形可知当P与A重合时成角为，∵P不能与D1重合因为此时D1C与A1B平行而不是异面直线，∴0＜θ≤．故选：D．10．【答案】A【解析】解：∵sinB+sin（A﹣B）=sinC=sin（A+B），∴sinB+sinAcosB﹣cosAsinB=sinAcosB+cosAsinB，∴sinB=2cosAsinB，∵sinB≠0，∴cosA=，∴A=，∴sinA=，当sinA=，∴A=或A=，故在△ABC中，sinB+sin（A﹣B）=sinC是sinA=的充分非必要条件，故选：A11．【答案】D【解析】解：设{a n}是等比数列的公比为q，因为a2=2，a3=﹣4，所以q===﹣2，所以a 1=﹣1， 根据S 5==﹣11．故选：D ．【点评】本题主要考查学生运用等比数列的前n 项的求和公式的能力，本题较易，属于基础题．12．【答案】B 【解析】试题分析：由题意可知三视图复原的几何体是一个放倒的三棱柱，三棱柱的底面是直角边长为的等腰直角三角形，高为的三棱柱, 所以几何体的体积为:1444322⨯⨯⨯=，故选B. 考点：1、几何体的三视图；2、棱柱的体积公式.【方法点睛】本题主要考查利几何体的三视图、棱柱的体积公式，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力及抽象思维能力的最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，解题时不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.二、填空题13．【答案】3π 【解析】3π. 考点：直线方程与倾斜角．14．【答案】 ．【解析】解：S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1=﹣1， =S n ，∴S n+1﹣S n =S n+1S n ，∴=﹣1，=﹣1，∴{}是首项为﹣1，公差为﹣1的等差数列，∴=﹣1+（n ﹣1）×（﹣1）=﹣n ．∴S n =﹣，n=1时，a 1=S 1=﹣1，n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=﹣+=．∴a n =．故答案为：．15．【答案】21≥a 【解析】试题分析：'21()a f x x x =-，因为(0,3]x ∈，其图象上任意一点00(,)P x y 处的切线的斜率12k ≤恒成立，2112a x x ∴-≤，(0,3]x ∈，x x a +-≥∴221，(0,3]x ∈恒成立，由2111,222x x a -+≤∴≥．1考点：导数的几何意义；不等式恒成立问题．【易错点睛】本题主要考查了导数的几何意义；不等式恒成立问题等知识点求函数的切线方程的注意事项：（1）首先应判断所给点是不是切点，如果不是，要先设出切点． （2）切点既在原函数的图象上也在切线上，可将切点代入两者的函数解析式建立方程组．（3）在切点处的导数值就是切线的斜率，这是求切线方程最重要的条件．16．【答案】 6【解析】解：集合A 为{2，3，7}的真子集有7个，奇数3、7都包含的有{3，7}，则符合条件的有7﹣1=6个．故答案为：6【点评】本题考查集合的子集问题，属基础知识的考查．17．【答案】 （﹣1，1] ．【解析】解：在同一坐标系中画出函数f （x ）和函数y=log 2（x+1）的图象，如图所示：由图可得不等式f （x ）≥log 2（x+1）的解集是：（﹣1，1]，． 故答案为：（﹣1，1]18．【答案】{a|或}．【解析】解：∵二次函数f（x）=x2﹣（2a﹣1）x+a+1 的对称轴为x=a﹣，f（x）=x2﹣（2a﹣1）x+a+1是区间（1，2）上的单调函数，∴区间（1，2）在对称轴的左侧或者右侧，∴a﹣≥2，或a﹣≤1，∴a≥，或a≤，故答案为：{a|a≥，或a≤}．【点评】本题考查二次函数的性质，体现了分类讨论的数学思想．三、解答题19．【答案】【解析】解：（1）…令∴f（x）的单增区间为（﹣∞，﹣2）和（0，+∞）；单减区间为（﹣2，0）．…（2）令∴x=0和x=﹣2，…∴∴f（x）∈[0，2e2]…∴m＜0…20．【答案】【解析】解：（1）方程ρ=4sinθ的两边同时乘以ρ，得ρ2=4ρsinθ，将极坐标与直角坐标互化公式代入上式，整理得圆C的直角坐标方程为x2+y2﹣4y=0．（2）由消去t，得直线l的普通方程为y=x+3，因为点M（﹣2，1）在直线l上，可设l的标准参数方程为，代入圆C的方程中，得．设A，B对应的参数分别为t1，t2，由韦达定理，得＞0，t1t2=1＞0，于是|MA|+|MB|=|t1|+|t2|=，即|MA|+|MB|=．【点评】1．极坐标方程化直角坐标方程，一般通过两边同时平方，两边同时乘以ρ等方式，构造或凑配ρ2，ρcosθ，ρsinθ，再利用互化公式转化．常见互化公式有ρ2=x2+y2，ρcosθ=x，ρsinθ=y，（x≠0）等．2.参数方程化普通方程，关键是消参，常见消参方式有：代入法，两式相加、减，两式相乘、除，方程两边同时平方等．3.运用参数方程解题时，应熟练参数方程中各量的含义，即过定点M0（x0，y0），且倾斜角为α的直线的参数方程为，参数t表示以M0为起点，直线上任意一点M为终点的向量的数量，即当沿直线向上时，t=；当沿直线向下时，t=﹣．21．【答案】【解析】解：（Ⅰ）由曲线C1的极坐标方程为ρ（sinθ+cosθ）=1，可得它的直角坐标方程为x+y=1，根据曲线C2的参数方程为（θ为参数），可得它的普通方程为+y2=1．（Ⅱ）把曲线C1与C2是联立方程组，化简可得5x2﹣8x=0，显然△=64＞0，故曲线C1与C2是相交于两个点．解方程组求得，或，可得这2个交点的坐标分别为（0，1）、（，﹣）．【点评】本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程，把参数方程化为普通方程的方法，求两条曲线的交点，属于基础题．22．【答案】【解析】解：（1）∵S n=a n﹣，∴当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=a n﹣﹣，即a n=3a n﹣1，．∵a1=S1=﹣，∴a1=3．∴数列{a n}是等比数列，∴a n=3n．∵点P（b n，b n+1）在直线x﹣y+2=0上，∴b n+1﹣b n=2，即数列{b n}是等差数列，又b1=1，∴b n=2n﹣1．（2）∵c n=a n•b n=（2n﹣1）•3n，∵T n=1×3+3×32+5×33+…+（2n﹣3）3n﹣1+（2n﹣1）3n，∴3T n=1×32+3×33+5×34+…+（2n﹣3）3n+（2n﹣1）3n+1，两式相减得：﹣2T n=3+2×（32+33+34+…+3n）﹣（2n﹣1）3n+1，=﹣6﹣2（n﹣1）3n+1，∴T n=3+（n﹣1）3n+1．23．【答案】①②③【解析】解：①当a=7时，|PM|+|PN|≥|MN|=14＞10，因此坐标平面内不存在黄金直线；②当a=5时，|PM|+|PN|=10=|MN|，因此线段MN上的点都满足上式，因此坐标平面内有无数条黄金直线，正确；③当a=3时，|PM|+|PN|=10＞6=|MN|，黄金点的轨迹是个椭圆，正确；④当a=0时，点M与N重合为（0，0），|PM|+|PN|=10=2|PM|，点P在以原点为圆心、5为半径的圆上，因此坐标平面内有且无数条黄金直线．故答案为：①②③．【点评】本题考查了新定义“黄金直线”、“黄金点”、椭圆的定义、圆的定义等基础知识，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．24．【答案】【解析】解：（I）∵2a1，a1+a2+2a3，a1+2a2成等差数列．∴2（a1+a2+2a3）=2a1+a1+2a2．∴2（1+q+2q2）=3+2q，化为4q2=1，公比q＞0，解得q=．∴a n=．（II）∵数列{b n}满足a n+1=（），∴=，∴b n=n，∴b n=n•2n﹣1．∴数列{b n}的前n项和T n=1+2×2+3×22+…+n•2n﹣1．2T n=2+2×22+…+（n﹣1）•2n﹣1+n•2n，∴﹣T n=1+2+22+…+2n﹣1﹣n•2n=﹣n•2n，∴T n=（n﹣1）•2n+1．25．【答案】【解析】解：（1）因为f （x ）为R 上的奇函数所以f （0）=0即=0，∴a=1 …（2）f （x ）==﹣1+，在（﹣∞，+∞）上单调递减…（3）f （t 2﹣2t ）+f （2t 2﹣k ）＜0⇔f （t 2﹣2t ）＜﹣f （2t 2﹣k ）=f （﹣2t 2+k ），又f （x ）=在（﹣∞，+∞）上单调递减，∴t 2﹣2t ＞﹣2t 2+k ，即3t 2﹣2t ﹣k ＞0恒成立，∴△=4+12k ＜0，∴k ＜﹣．…（利用分离参数也可）．26．【答案】【解析】【命题意图】本题考查圆的参数方程和极坐标方程、直线参数方程、直线和圆位置关系等基础知识，意在考查数形结合思想、转化思想和基本运算能力．（Ⅱ）设直线l ：2)2(+-=x k y 与半圆)0(222≥=+y y x 相切时21|22|2=+-kk0142=+-∴k k ，32-=∴k ，32+=k （舍去）设点)0,2(-B ，2ABk ==-， 故直线l 的斜率的取值范围为]22,32(--.。

复兴中学高三模拟数学试卷一、填空题1.已知全集U ={1，2，3，4，5}，A ={1，3}，则=U A ð_____{2，4，5}2.已知复数z 满足1iz i =+（i 为虚数单位），则z = ..3.251()x x+的展开式中，4x 的系数为 。

（用数字作答）10.4.设数列{}n a （n ∈*N ）是等差数列，若2a 和2018a 是方程24830x x -+=的两根，则数列{}n a 的前2019项的和2019S =________20195.将圆锥的侧面展开后得到一个半径为2的半圆，则此圆锥的体积为6.若抛物线22(0)y px p =>的焦点与双曲线221610x y -=的右焦点重合，则实数的值是 .87.如图，长方体1111ABCD A B C D -的边长11AB AA == ，AD = ，它的外接球是球O ，则A ，1A 这两点的球面距离等于_________．3π由题意，1R OA ===，所以13AOA π∠=，所以3l R πα==。

8.若命题“对任意[,]34x ππ∈-，tan x m <恒成立”是假命题，则实数m 的取值范围是_______1m ∴≤ 9.某工厂对一批产品进行抽样检测，根据抽样检测后得产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图如图所示，已知产品净重的范围是区间[96,106)，样本中净重在区间[96,100)的产品个数是24，则样本中净重在区间[100,104)的产品个数是________4410.把一颗骰子掷两次，第一次出现的点数记为a ，第二次出现的点数记为b ，则方程组322ax by x y +=⎧⎨+=⎩无解的概率是________112把一颗骰子掷两次，第一次出现的点数记为a ，第二次出现的点数记为b ，用(),a b 表示基本事件，则所有的基本事件数为2636=，若方程组322ax by x y +=⎧⎨+=⎩无解，则直线3ax by +=与直线22x y +=平行，可得2b a =，则事件“方程组322ax by x y +=⎧⎨+=⎩无解”包含的基本事件有：()1,2、()2,4、()3,6，共3种，因此，事件“方程组322ax by x y +=⎧⎨+=⎩无解”的概率为313612=，故答案为：112. 11.已知函数()()||f x x a x =-存在反函数，则实数a =________0 由于函数()()f x x a x =-⋅存在反函数，则函数()y f x =单调函数.①当0a >时，()()22,0,0ax x x f x x a x x ax x ⎧-<=-⋅=⎨-≥⎩，当0x >时，函数()y f x =在区间0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，此时，函数()y f x =在()0,∞+上不单调，不合乎题意；①当0a =时，()22,0,0x x f x x x x x ⎧-<=⋅=⎨≥⎩，可知函数()y f x =在(),0-∞和[)0,+∞上均增函数，且在0x =处连续，所以，函数()y f x =在R 上单调递增，合乎题意；①当0a <时，()()22,0,0ax x x f x x a x x ax x ⎧-<=-⋅=⎨-≥⎩，当0x <时，函数()y f x =在,2a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在,02a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减， 此时，函数()y f x =在(),0-∞上不单调，不合乎题意.12.已知221log 2()220xx f x x xx ⎧≤≤⎪=⎨⎪--≤⎩，若1111a b -≤≤⎧⎨-≤≤⎩，且方程2[()]()0f x af x b -+=有5个不同根，则5________35) 作出函数()y f x =的图象如下图所示：设()t f x =，则方程()()20f x af x b -+=⎡⎤⎣⎦有5个不同根转化二次方程20t at b -+=的两根101t <<，20t <，构造函数()2g t t at b =-+，可得不等式()()0010g g ⎧<⎪⎨>⎪⎩，即010b a b <⎧⎨-+>⎩，结合1111a b -≤≤⎧⎨-≤≤⎩，作出图形如下图所示，不等式组1111a b -≤≤⎧⎨-≤≤⎩表示的平面区域为边长为2的正方形ABCD ，不等式组0101111b a b a b <⎧⎪-+>⎪⎨-≤≤⎪⎪-≤≤⎩表示的区域为下图中的阴影部分（不包括a 轴）， 215a b -+(),a b 到直线210a b -+=的距离，当点(),a b 与点()1,0E 21210135555a b -+⨯-+==， 215a b -+取值范围是35⎡⎢⎣⎭，二、选择题13.“1arcsin 3α=”是“1sin 3α=”的（ A ）条件 A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充分必要D. 非充分非必要14.已知直线l 平行于平面α，平面β垂直于平面α，则以下关于直线l 与平面β的位置关系的表述，正确的是（ D ） A. l 与β不平行 B. l 与β不相交C. l 不在平面β上D. l 在β上，与β平行，与β相交都有可能15.已知函数()2sin(2)6f x x π=+，把函数图象沿轴向左平移个单位，得到函数的图象，关于函数，下列说法正确的是( )A. 在[,]42ππ上是增函数 B. 其图象关于直线4x π=-对称C. 函数是奇函数 D. 当[0,]3x π∈时，函数的值域是[1,2]-16.在平面上，12AB AB ⊥u u u u r u u u u r ，12||||1OB OB ==u u u u r u u u u r ，12AP AB AB =+u u u r u u u u r u u u u r，若1||2OP <u u u r ，则||OA u u r 的取值范围是（ C ） A. 5] B. 57] C. 7(2] D.5(2] 根据条件知A 、1B 、2B 、P 构成一个矩形，以点A 为坐标原点建立如下图所示的平面直角坐标系，设1AB a =，2AB b =，设点O 的坐标为(),x y ，则点P 的坐标为(),a b ，22OA x y =+uu r 121OB OB ==uuu r uuu r 得()()222211x a y x y b ⎧-+=⎪⎨+-=⎪⎩， 又12OP <uu u r ，得()()2214x a y b -+-<，可得221114x y -+-<，2274x y ∴+>，又()221x a y -+=，知21y ≤，同理可得21x ≤，得222x y +≤，的OA <≤uu r ，三、解答题17.已知下图是四面体ABCD 及其三视图，E 是AB 的中点，F 是CD 的中点.（1）求四面体ABCD 的体积； （2）求EF 与平面ABC 所成的角；【解】（1）由三视图可知，四面体ABCD 是直三棱锥，且底面BCD ∆是以BDC ∠为直角的直角三角形，2BD CD ==，则BCD ∆的面积为2112222BCD S BD CD ∆=⋅=⨯=，由三视图可知，AD ⊥底面BCD ，且1AD =， 因此，四面体ABCD 的体积为11221333BCD V S AD ∆=⋅=⨯⨯=； （2）E Q 是AB 的中点，F 为CD 的中点，E ∴到平面BCD 的距离为1122AD =，111221222BCF BCD S S ∆∆==⨯⨯⨯=， 11111132326E BCFBCF V S AD -∆∴=⋅=⨯⨯=，由勾股定理AB AC ==BC =ABC∆∴BC =12ABC S ∆∴=⨯=122BCE ABC S S ∆∆∴==，设点F 到平面ABC 的距离为h ，则13F BCE BCE V S h -∆=⋅=，又E BCF F BCE V V --=，16∴=，解得h =， 连接DE，则122DE AB ==，32EF ∴==， 设EF 与平面ABC 所成的角为θ，则sin h EF θ==EF ∴与平面ABC所成的角为. 18.在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c . （1）若a 、b 、c 成等比数列，且3cos 5B =，求cot cot A C +的值； （2）若A 、B 、C 成等差数列，且2b =，求ABC ∆的周长l 的最大值.【解】（1）3cos 5B =Q，4sin 5B ∴===，a Q 、b 、c 成等比数列，2b ac ∴=，由正弦定理得2sin sin sin B A C =，()22sin cos cos sin cos cos sin sin cot cot sin sin sin sin sin sin A C A C C A C A BA C A C A CB B++∴+=+=== 15sin 4B ==； （2）2b =Q ，A 、B 、C 成等差数列，可得2B A C B π=+=-，即3B π=，sin B =，由正弦定理sin sin sin a b c A B C ====，即a A =，3c C =， 23A C π+=Q ，23C A π∴=-， ABC ∆∴的周长为)sin sin 23l a b c A C =++=++2sin sin 23A A π⎤⎛⎫=+-+ ⎪⎥⎝⎭⎣⎦1sin sin 22A A A ⎫=++⎪⎪⎝⎭3sin 22A A ⎫=+⎪⎪⎝⎭1sin cos 2322A A ⎫=++⎪⎪⎭4sin 26A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， 203A π<<Q ，5666A πππ∴<+<，则1sin 126A π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，所以，46l <≤， 当且仅当3A B C π===时，ABC ∆的周长取到最大值6. 19.已知函数()lg(1)f x x =+．(1) 若0(12)()1f x f x <--<，求x 的取值范围；(2) 若()g x 是以2为周期的偶函数，且当01x ≤≤时，有()()g x f x =，求函数()y g x =([1,2])x ∈的反函数． 【解】（1）由22010x x ->⎧⎨+>⎩，得11x -<<.由()()220lg 22lg 1lg11x x x x -<--+=<+得221101xx -<<+. 因为10x +>，所以1221010x x x +<-<+，2133x -<<.由112133x x -<<⎧⎪⎨-<<⎪⎩得2133x -<<. （2）当[]1,2x ∈ 时，[]20,1x -∈ ，因此()()()()()222lg 3y g x g x g x f x x ==-=-=-=-. 由单调性可得[]0,lg2y ∈.因为310y x =-，所以所求反函数是310xy =-，[]0,lg2x ∈.20.已知抛物线2:2G y px =（0p >），点()2,0M 在G 的焦点F 的右侧，且M 到G 的准线的距离是M 到F 距离的3倍，经过点M 的直线与抛物线G 交于不同的A 、B 两点，直线OA 与直线2x =-交于点P ，经过点B 且与直线OA 垂直的直线l 交x 轴于点Q . （1）求抛物线G 的方程和F 的坐标；（2）判断直线PQ 与直线AB 的位置关系，并说明理由；（3）椭圆22143x y +=的两焦点为1F 、2F ，在椭圆22143x y +=外的抛物线G 上取一点E ，若1EF 、2EF 的斜率分别为1k 、2k ，求121k k 的取值范围.【解】（1）由于点M 在抛物线G 的焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭的右侧，所以，22p <，由于M 到G 的准线的距离是M 到F 距离的3倍，即23222p p ⎛⎫+=⨯- ⎪⎝⎭，解得2p =， 因此，抛物线G 的方程为24y x =，其焦点F 的坐标为()1,0； （2）//PQ AB ，理由如下：设()11,A x y ，()22,B x y :2AB x my =+，联立224x my y x=+⎧⎨=⎩，得2480y my --=，121248y y my y +=⎧⎨=-⎩，()21212416y y x x ==；11:y OA y x x =，令2x =-得1122,y P x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， ()1221:x BQ y y x x y --=-，令0y =得14,0Q x ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 当0m =时，直线AB 斜率不存在，此时(2,P --，()2,0Q -，直线PQ 斜率也不存在；当0m ≠时，11111222PQ AB y y k k x my m====-+-，则//PQ AB ； （3）设点()00,E x y ，则001200,11y y k k x x ==+-，220002120001111144x x x k k y x x ⎛⎫--===- ⎪⎝⎭因为点E 在椭圆外，所以22200001,443x y y x +>=，即2004143x x +>，即200316120x x +->，00x >Q ，解得023x >，由于函数1y x x =-在2,+3⎛⎫∞ ⎪⎝⎭上单调递增，则01201111235443224x k k x ⎛⎫⎛⎫=->-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 1215,24k k ⎛⎫∴∈-+∞ ⎪⎝⎭. 21.数列{21}n -的前n 项1，3，7，⋅⋅⋅，21n -（*n ∈N ）组成集合{1,3,7,,21}nn A =⋅⋅⋅-，从集合n A 中任取k （1,2,3,,k n =⋅⋅⋅）个数，其所有可能的k 个数的乘积的和为k T （若只取一个数，规定乘积为此数本身），记12n n S T T T =++⋅⋅⋅+.例如：当1n =时，1{1}A =，11T =，11S =；2n =时，2{1,3}A =，113T =+，213T =⨯，213137S =++⨯=.（1）当3n =时，求1T ，2T ，3T ，3S 的值；（2）证明：n k =时集合k A 的m T 与1n k =+时集合k 1A +的m T （为以示区别，用m T '表示）有关系式11(21)k m m m T T T +-'=-+（*,m k ∈N ，2m k ≤≤）； （3）试求n S （用n 表示）.【解】（1）当3n =时，3{1,3,7}A =，113711T =++=，213173731T =⨯+⨯+⨯=，313721T =⨯⨯=，363S =（2）证明：当1n k =+时，集合k 1A +有1k +个元素，比n=k 时的集合k A 多了一个元素：1121k k a ++=-.①对应的m T '包含两个部分：若m T '中不含1k a +，则m T '中的任何一项恰好为n=k 时集合k A 的对应的m T 中的一项.若m T '中含1k a +的任何一项，除了1k a +，其余的1m -个数均来自集合k A ，这1m -个数的乘积恰好为集合k A 所对应的1m T -中的一项. ①有关系式()1121k m m m T T T '+-=-+（3）解：由111211S ==-=，32721S ==-，636321S ==-，猜想(1)221n n nS +=-.下面证明：（i ）易知1n =时成立. （ii ）假设n=k 时，(1)221k k n kS S +==-，则1n k =+时，11231k k S T T T T ++=+++⋯+'1'1''1''1''1121321[(21)][(21)][(21)][(21)](21)k k k k k k k k T T T T T T T T +++++-=+-++-++-++-+⋅-L（其中i T '，1i =，2，…，k ，为n=k 时可能的k 个数的乘积的和为k T ，()()()()111231232121k k k k T T T T T T T T ''''++''''=+++⋯++-+-+++⋯+()()()(1)11112212122121k k k k k k k k S S +++++⎛⎫=+-+-=-+- ⎪⎝⎭(1)(2)221k k ++=-，即1n k =+时，(1)(2)2121k k k S +++=-也成立，综合（i ）（ii ）知对*n ∈N ，(1)221n n n S +=-成立.①(1)221n n nS +=-.。

2018-2019学年上海省上海市黄浦区大同中学高三下学期英语第三次模拟考试试卷(时间120分钟，满分140分，共10页)I. Listening Comprehension (25%)Section ADirections: In Section A, you will hear ten short conversations between two speakers. At the end of each conversation, a question will be asked about what was said. The conversations and the questions will be spoken only once. After you hear a conversation and the question about it, read the four possible answers on your paper, and decide which one is the best answer to the question you have heard.1. A. At a drug store. B. At a laundry. C. At a tailor shop. D. At a cinema.2. A. He will hand his work over to the woman. B. He enjoys doing his work.C. He feels tired of his work.D. He will finish his work soon.3. A. Cleaning the ceiling. B. Tidying the desk.C. Dusting the bulb.D. Fixing the light.4. A.￡100. B.￡200. C.￡600. D.￡700.5. A. Anxious. B. Confident. C. Unconcerned. D. Curious.6. A. Alcohol kept the man awake. B. The man should take some exercise.C. The bed is uncomfortable to sleep on.D. The light was disturbing.7. A. He does not like the shirt. B. The shirt might not fit.C. The shirt is not worth the money.D. He is going to lose weight.8. A. Explain the reason for the cancellation. B. Offer a full refund.C. Book another flight for tonight.D. Provide accommodation.9. A. A new hotel. B. TV interviews. C. A news agency. D. Job opportunities.10. A. Prof. Smith comes from Greece.B. The man couldn’t understand Greek at all.C. Prof. Smith will talk about the problem again.D. The man didn’t follow the professor’s explanation.Section BDirections: In Section B, you will hear several longer conversation(s) and short passage(s), and you will be asked several questions on each of the conversation(s) and the passage(s). The conversation(s) and passage(s) will be read twice, but the questions will be spoken only once. When you hear a question, read the four possible answers on your paper and decide which one would be the best answer to the question you have heard.Questions 11 through 13 are based on the following talk.11. A. Britain. B. Spain. C. France. D. America.12. A. It is famous for the treasures discovered there.B. The Fountain of Youth was found there in 1513.C. The English took it over in 1821.D. It has survived many sufferings.13. A. The history of an ancient city. B. The rise and fall of Florida’s rulers.C. Sightseeing in a coastal city.D. Natural disaster in St. Augustine.Questions 14 through 16 are based on the following passage.14. A. London’s transport system. B. Cowan’s way of management.C. A lost property office.D. The items that most people lose.15. A. The largest proportion of them are keys.B. Most of the unclaimed items are worthless.C. One fifth of them are claimed in three months.D. Cowan’s team collects over 300,000 items each year.16. A. The lost ones are out of style. B. They can buy another pair instead.C. They forget where they lost them.D. The claiming policy is too complex.Questions 17 through 20 are based on the following conversation.17. A. Visiting the man’s home. B. Decorating a house.C. Viewing a house.D. Consulting about the home loan.18. A. The wine storage area. B. The relaxing colors of the wall.C. The floor covering.D. The window screen.19. A. Fairly generous. B. Quite ridiculous.C. Very acceptable.D. A bit low.20. A. The woman is qualified to apply for a loan.B. The woman needn’t get a loan from the bank.C. The man thinks the market is promising.D. The man suggests the woman pay the full asking price.II. Grammar and Vocabulary (20%)Section A (10%)Directions: After reading the passage below, fill in the blanks to make the passage coherent and grammatically correct. For the blanks with a given word, fill in each blank with the proper form of the given word; for the other blanks, use one word that best fits each blank.Kazuo Ishiguro has a number of strings to his bow, or rather his guitar. (21) ________ 62-year-old is world famous as a writer of fiction, but his early dream was to be a great singer and songwriter.His friend and former publisher Robert McCrum recalls him (22) ________ (turn) up at the publishing house Faber and Faber with a bunch of his stories in one hand and a guitar over his shoulder. It was his stories that earned him the great honor.As his name indicates, Ishiguro comes from a Japanese background, although he came to Britain from Japan at the age of 5 and is a British citizen who writes in English. He (23) ________ (educate) at the University of East Anglia, a school that has become known for training writers.Ishiguro’s writing is highly restrained. His characters are often r eluctant to express themselves, (24) ________ in a kind of code. This certainly gives his writing a quality in common with that of Jane Austen, an author to (25) ________ he is often compared. The best example of this is his novel The Remains of the Day, (26) ________ (adapt) later into a successful film withthe same name.The central character of the book is a butler called Stevens. He is an extremely loyal servant to an English lord, and is a character who some might call repressed(压抑的). He is not willing to confess his feelings to anyone (27) ________ ________ he misses out on affection and love.The story is told by Stevens, and his style is as polite and unrevealing as his behavior. Of course, we (28) ________ ________ read between the lines to u ncover the “real” story, which isn’t quite the one the butler is tellin g. Stevens finds it a challenge (29) ________ (communicate), and communication is often a theme in Ishiguro’s novels.In this author’s sense of the world, there is a gap between our fee lings and our ability to communicate (30) ________. The Nobel Committee emphasized this theme when it talked about Ishiguro’s work. The writer has, the committee claimed, “in novels of great emotional force ... uncovered the abyss(深渊) beneath our illusory(虚幻的) sense of connection with the world”.【答案】21. The 22. turning 23. was educated 24. except 25. whom 26. adapted27. so that 28. have to 29. to communicate 30 them【重难点词汇解析】1. turn up: (出其不意的)出现或者露面2. a bunch of: 一捆，一束3. restrained: adj. 有节制的，有限制的4. code: n. 行为准则或规范5. be adapted into...: 被改编成6. misses out on: 措失（本不该失去的东西）7. unrevealing: adj. 未透露出的8. butler: n. 男管家，仆役长【试题解析】21. 填The。

2018-2019学年上海大同中学高三三模第Ⅰ卷（共60分）一、填空题（每题5分，满分60分，将答案填在答题纸上）1.复数的虚部为__________．【答案】-1【解析】【分析】首先化简所给的复数，然后确定其虚部即可.【详解】由复数的运算法则有：，则复数的虚部为.【点睛】本题主要考查复数的运算法则及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2.二项式的展开式中常数项为__________．【答案】-4【解析】【分析】首先写出二项式展开式的通项公式，然后确定其常数项即可.【详解】由二项式展开式的通项公式可知二项式展开式的通项公式为：，令可得：，则展开式的常数项为：.【点睛】(1)二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．(2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解．3.甲、乙两个袋子中均装有红、白两种颜色的小球，这些小球除颜色外完全相同，其中甲袋装有4个红球、2个白球，乙袋装有1个红球、5个白球.现分别从甲、乙两袋中各随机抽取1个球，则取出的两球颜色不同的概率为__________．（用分数作答）【答案】【解析】【分析】由题意结合题意和概率加法公式整理计算即可求得最终结果.【详解】由题意可知，甲袋取出红球，乙袋取出白球的概率，甲袋取出白球，乙袋取出红球的概率，据此可得取出的两球颜色不同的概率.【点睛】本题主要考查古典概型计算公式，概率的加法公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4.过点且和双曲线有相同的渐近线的双曲线方程为__________．【答案】【解析】【分析】结合题意设出双曲线方程，结合双曲线所过的点利用待定系数法确定双曲线的方程即可. 【详解】设双曲线方程为：，双曲线过点，则：，故双曲线方程为：，即.【点睛】求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法．具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a，b，c，e及渐近线之间的关系，求出a，b的值．如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为，再由条件求出λ的值即可.5.已知实数、满足，若此不等式组所表示的平面区域形状为三角形，则的取值范围为__________．【答案】【解析】【分析】首先确定所表示的平面区域，然后结合点与直线的位置关系整理计算即可求得最终结果.【详解】如图所示，所表示的平面区域为图中的阴影区域，易知直线与的交点坐标为，不等式组所表示的平面区域形状为三角形，则点位于直线下方，据此有：，即的取值范围为.【点睛】本题主要考查不等式组表示平面区域的表示方法及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6.设圆锥底面圆周上两点、间的距离为2，圆锥顶点到直线的距离为，和圆锥的轴的距离为1，则该圆锥的体积为__________．【答案】【解析】【分析】由题意分别确定圆锥的高和底面半径，然后求解其体积即可.【详解】由题意可知，圆锥的底面半径，圆锥的高，则圆锥的体积：.【点睛】本题主要考查圆锥的空间结构及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7.等比数列的前项和为，若对于任意的正整数，均有成立，则公比__________．【答案】【解析】【分析】由题意结合等比数列前n项和公式和极限的运算公式整理计算即可求得最终结果.【详解】很明显数列的公比，且，结合题意和等比数列前n项和公式有：，即：，整理可得：，据此有：，则.【点睛】本题主要考查等比数列前n项和公式，极限的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8.三棱锥及其三视图中的主视图和左视图如图所示，则棱的长为__________．【答案】【解析】【分析】由题意结合空间几何体的几何特征首先求解BC的长度，然后确定BD的长度即可.【详解】由题意结合三视图可知，。

上海市大同中学2018-2019学年上学期高三期中数学模拟题 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1． 已知数列{}n a 的首项为11a =，且满足11122n n n a a +=+，则此数列的第4项是（ ） A ．1 B ．12 C. 34 D ．582． “3<-b a ”是“圆056222=++-+a y x y x 关于直线b x y 2+=成轴对称图形”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【命题意图】本题考查圆的一般方程、圆的几何性质、常用逻辑等知识，有一定的综合性，突出化归能力的考查，属于中等难度．3． 已知全集为R ，且集合}2)1(log |{2<+=x x A ，}012|{>--=x x x B ，则=)(B C A R （ ） A ．)1,1(- B ．]1,1(- C ．]2,1( D ．]2,1[【命题意图】本题考查集合的交集、补集运算，同时也考查了简单对数不等式、分式不等式的解法及数形结合的思想方法，属于容易题.4． 执行如图所示的程序，若输入的3x =，则输出的所有x 的值的和为（ ） A ．243 B ．363 C ．729 D ．1092【命题意图】本题考查程序框图的识别和运算，意在考查识图能力、简单的计算能力．5．《九章算术》是我国古代的数学巨著，其卷第五“商功”有如下的问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈。

问积几何？”意思为：“今有底面为矩形的屋脊形状的多面体（如图）”，下底面宽AD＝3丈，长AB＝4丈，上棱EF＝2丈，EF∥平面ABCD.EF与平面ABCD的距离为1丈，问它的体积是（）A．4立方丈B．5立方丈C．6立方丈D．8立方丈6． 已知22(0)()|log |(0)x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，则方程[()]2f f x =的根的个数是（ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个7． 已知1cos()62πα-=，则cos cos()3παα+-=（ ）A ．12B ．12± C．2 D．2±8． 设函数的集合，平面上点的集合，则在同一直角坐标系中，P 中函数的图象恰好经过Q 中两个点的函数的个数是 A4 B6 C8 D109． 已知,A B 是球O 的球面上两点，60AOB ∠=︒，C 为该球面上的动点，若三棱锥O ABC -体积的最大值为O 的体积为（ ）A ．81πB ．128πC ．144πD ．288π【命题意图】本题考查棱锥、球的体积、球的性质，意在考查空间想象能力、逻辑推理能力、方程思想、运算求解能力．10．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．64B ．72C ．80D ．112【命题意图】本题考查三视图与空间几何体的体积等基础知识，意在考查空间想象能力与运算求解能力. 11．已知抛物线24y x =的焦点为F ，(1,0)A -，点P 是抛物线上的动点，则当||||PF PA 的值最小时，PAF ∆的 面积为（ ）B.2C.D. 4【命题意图】本题考查抛物线的概念与几何性质，考查学生逻辑推理能力和基本运算能力. 12．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A ．16163π-B ．32163π-C ．1683π-D ．3283π-【命题意图】本题考查三视图、圆柱与棱锥的体积计算，意在考查识图能力、转化能力、空间想象能力．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）13．若x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≤02x －y ＋2≥0x ＋y －2≤0，z ＝3x ＋y ＋m 的最小值为1，则m ＝________．14．在ABC ∆中，已知sin :sin :sin 3:5:7A B C =，则此三角形的最大内角的度数等 于__________.15．已知过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点2F 的直线交双曲线于,A B 两点，连结11,AF BF ，若1||||AB BF =，且190ABF ∠=︒，则双曲线的离心率为（ ）A．5- BC．6- D【命题意图】本题考查双曲线定义与几何性质，意要考查逻辑思维能力、运算求解能力，以及考查数形结合思想、方程思想、转化思想．16．平面内两定点M （0，一2）和N （0,2），动点P （x ，y ）满足，动点P 的轨迹为曲线E ，给出以下命题： ①∃m ，使曲线E 过坐标原点； ②对∀m ，曲线E 与x 轴有三个交点；③曲线E 只关于y 轴对称，但不关于x 轴对称；④若P 、M 、N 三点不共线，则△ PMN 周长的最小值为＋4;⑤曲线E 上与M,N 不共线的任意一点G 关于原点对称的另外一点为H ，则四边形GMHN 的面积不大于m 。

上海市大同中学2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1． 已知的终边过点()2,3，则7tan 4πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭等于（ ） A ．15- B ．15C ．-5D ．52． 已知数列{}n a 的各项均为正数，12a =，114n n n na a a a ++-=+，若数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和为5，则n =（ ）A ．35B ． 36C ．120D ．1213． 已知集合},052|{2Z x x x x M ∈<+=，},0{a N =，若∅≠N M ，则=a （ ）A ．1-B ．C ．1-或D ．1-或2- 4．10y -+=的倾斜角为（ ）A ．150B ．120C ．60 D ．30 5． 已知集合{2,1,1,2,4}A =--，2{|log ||1,}B y y x x A ==-∈，则A B =（ ）A ．{2,1,1}--B ．{1,1,2}-C ．{1,1}-D ．{2,1}--【命题意图】本题考查集合的交集运算，意在考查计算能力．6． 设集合{|12}A x x =<<，{|}B x x a =<，若A B ⊆，则的取值范围是（ ） A ．{|2}a a ≤ B ．{|1}a a ≤ C ．{|1}a a ≥ D ．{|2}a a ≥7． 已知空间四边形ABCD ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，且4AC =，6BD =，则（ ） A ．15MN << B ．210MN << C ．15MN ≤≤ D ．25MN << 8． 如果点P （sin θcos θ，2cos θ）位于第二象限，那么角θ所在象限是（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限9． 在△ABC 中，a 2=b 2+c 2+bc ，则A 等于（ ） A ．120° B ．60° C ．45° D ．30°10．已知变量与正相关，且由观测数据算得样本平均数，，则由该观测的数据算得的线性回归方程可能是( ) ABC D11．已知双曲线和离心率为4sinπ的椭圆有相同的焦点21F F 、，P 是两曲线的一个公共点，若 21cos 21=∠PF F ，则双曲线的离心率等于（ ） A ． B ．25 C ．26 D ．2712．在复平面内，复数1zi+所对应的点为(2,1)-，i 是虚数单位，则z =（ ）A ．3i --B ．3i -+C ．3i -D ．3i + 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）13．圆上的点（2，1）关于直线x+y=0的对称点仍在圆上，且圆与直线x ﹣y+1=0相交所得的弦长为，则圆的方程为 ． 14．函数的最小值为_________.15．给出下列命题：①存在实数α，使②函数是偶函数③是函数的一条对称轴方程④若α、β是第一象限的角，且α＜β，则sin α＜sin β其中正确命题的序号是 ．16．在空间直角坐标系中，设)1,3(，m A ，)1,1,1(-B ，且22||=AB ，则=m . 三、解答题（本大共6小题，共70分。

2018-2019学年上海市黄浦区大同中学高三（下）3月月考数学试卷试题数：21.满分：01.（填空题.3分）已知集合U=R.集合M={y|y=2x .x∈R}.集合N={x|y=lg （3-x ）}.则（∁U M ）∩N=___ ．2.（填空题.3分）已知幂函数f （x ）过点 (2，√2) .则f （x ）的反函数为f -1（x ）=___ ．3.（填空题.3分）直线 {x =1+ty =1−2t(t ∈R ) 的倾斜角是___ ．（用反三角表示） 4.（填空题.3分）行列式 |42k−354−11−2| 中第2行第1列元素的代数余子式的值为-10.则k=___ ．5.（填空题.3分）等差数列{a n }中.已知a 1=-12.S 13=0.使得a n ＞0的最小正整数n 为___ ．6.（填空题.3分）若x.y 满足 {x −y ≥0x +y ≤2y ≥0 .则目标函数z=x+2y 的最大值为___ ．7.（填空题.3分）已知无穷数列{a n }前n 项和 S n =13a n −1 .则数列{a n }的各项和为___ 8.（填空题.3分）已知正实数x.y 满足xy+2x+y=4.则x+y 的最小值为___ ．9.（填空题.3分）某中学的汪老师在教室进行第二轮复习时布置了两道填空题.他预测同学第一题正确的概率为0.8.两题全对的概率为0.6.则汪老师预测第二题正确的概率为___ ． 10.（填空题.3分）设抛物线y 2=x 的焦点为F.点M 在抛物线上.线段MF 的延长线与直线 x =−14 交于点N.则 1|MF|+1|NF| 的值为___ ．11.（填空题.3分）函数 f (x )=2sin (2ωx +π6)(ω＞0) 图象上有两点A （s.t ）.B （s+2π.t ）（-2＜t ＜2）.若对任意s∈R .线段AB 与函数图象都有五个不同交点.若f （x ）在[x 1.x 2]和[x 3.x 4]上单调递增.在[x 2.x 3]上单调递减.且 x 4−x 3=x 2−x 1=23(x 3−x 2) .则x 1的所有可能值是___ 12.（填空题.3分）在实数集R 中.我们定义的大小关系“＞”为全体实数排了一个“序”．类似的.我们在平面向量集D= {a ⃗|a ⃗=(x ，y)，x ∈R ，y ∈R} 上也可以定义一个称为“序”的关系.记为“＞”．定义如下：对于任意两个向量 a 1⃗⃗⃗⃗⃗=(x 1，y 1)，a 2⃗⃗⃗⃗⃗=(x 2，y 2) . a 1⃗⃗⃗⃗⃗＞a 2⃗⃗⃗⃗⃗ 当且仅当“x 1＞x 2”或“x 1=x 2且y 1＞y 2”．按上述定义的关系“＞”.给出如下四个命题：① 若 e 1⃗⃗⃗⃗=(1，0)，e 2⃗⃗⃗⃗ =（0.1）. 0⃗⃗=(0，0) 则 e 1⃗⃗⃗⃗＞e 2⃗⃗⃗⃗ ＞ 0⃗⃗ ； ② 若 a 1⃗⃗⃗⃗⃗＞a 2⃗⃗⃗⃗⃗，a 2⃗⃗⃗⃗⃗＞a 3⃗⃗⃗⃗⃗ .则 a 1⃗⃗⃗⃗⃗＞a 3⃗⃗⃗⃗⃗ ；③ 若 a 1⃗⃗⃗⃗⃗＞a 2⃗⃗⃗⃗⃗ .则对于任意 a ⃗∈D . a 1⃗⃗⃗⃗⃗+a ⃗＞a 2⃗⃗⃗⃗⃗ + a⃗ ； ④ 对于任意向量 a ⃗＞0⃗⃗ . 0⃗⃗=(0，0) .若 a 1⃗⃗⃗⃗⃗＞a 2⃗⃗⃗⃗⃗ .则 a ⃗•a 1⃗⃗⃗⃗⃗＞a ⃗•a 2⃗⃗⃗⃗⃗ ． 其中真命题的序号为___ ．13.（单选题.3分）已知a.b 是实数.则“a+b ＞5”是“ {a ＞2b ＞3 ”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件14.（单选题.3分）如果若干个函数的图象经过平移后能够重合.则这些函数为“互为生成”函数.给出下列函数.其中与f （x ）=sinx+cosx 构成“互为生成”函数的为（ ） A.f 1（x ）=sinxB.f 2（x ）= √2 sinx +√2C. f 3(x )=√2(sinx +cosx )D. f 4(x )=√2cos x2(sin x2+cos x2)15.（单选题.3分）如图.右边几何体的正视图和侧视图可能正确的是（ ）A.B.C.D.16.（单选题.3分）已知满足条件x2+y2≤1的点（x.y）构成的平面区域面积为S1.满足条件[x]2+[y]2≤1的点（x.y）构成的平面区域的面积为S2.其中[x].[y]分别表示不大于x.y的最大整数.例如[0.4]=0.[1.6]=1.则.S1与S2的关系是（）A.S1＜S2B.S1=S2C.S1＞S2D.S1+S2=π+317.（问答题.0分）如图.圆柱的轴截面ABCD为正方形.O'、O分别为上、下底面的圆心.E为上底面圆周上一点.已知∠DO'E=60°.圆柱侧面积等于64π．（1）求圆柱的体积；（2）求异面直线BE与DO所成角θ的大小．18.（问答题.0分）已知向量a⃗=(sinx，cosx)，b⃗⃗=(6sinx+cosx，7sinx−2cosx) .设函数f(x)=a⃗•b⃗⃗．（1）求函数f（x）在x∈[0.2π]的单调递增区间；（2）在∠A为锐角的△ABC中.A.B.C的对边分别为a.b.c.若f（A）=6.且△ABC的面积为3. b+ c=2+3√2 .求a的值．19.（问答题.0分）如图.A.B.C三地有直道相通.AB=5千米.AC=3千米.BC=4千米．现甲、乙两警员同时从A地出发匀速前往B地.经过t小时.他们之间的距离为f（t）（单位：千米）．甲的路线是AB.速度为5千米/小时.乙的路线是ACB.速度为8千米/小时．乙到达B地后原地等待．设t=t 1时乙到达C 地． （1）求t 1与f （t 1）的值；（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米．当t 1≤t≤1时.求f （t ）的表达式.并判断f （t ）在[t 1.1]上的最大值是否超过3？说明理由．20.（问答题.0分）如图.在平面直角坐标系xOy 中．椭圆C ： x 22 +y 2=1的右焦点为F.直线为l ：x=2（1）求到点F 和直线l 的距离相等的点G 的轨迹方程．（2）过点F 作直线交椭圆C 于点A.B.又直线OA 交l 于点T.若 OT ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .求线段AB 的长； （3）已知点M 的坐标为（x 0.y 0）.x 0≠0.直线OM 交直线x 0x2+y 0y=1于点N.且和椭圆C 的一个交点为点P.是否存在实数λ.使得 OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2=λOM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ？.若存在.求出实数λ；若不存在.请说明理由．21.（问答题.0分）若数列各项均非零.且存在常数k.对任意n∈N *.a n+12=a n a n+2+k 恒成立.则成这样的数列为“类等比数列”.例如等比数列一定为类等比数列.则：（1）各项均非零的等差数列是否可能为“类等比数列”？若可能.请举例；若不能.说明理由； （2）已知数列{a n }为“类等比数列”.且a 1=a.a 2=b.是否存在常数λ.使得a n +a n+2=λa n+1恒成立？ （3）已知数列{a n }为“类等比数列”.且a 1=a.a 2=b.k=a 2+b 2.求S 1+S 2+…+S 2019．2018-2019学年上海市黄浦区大同中学高三（下）3月月考数学试卷参考答案与试题解析试题数：21.满分：01.（填空题.3分）已知集合U=R.集合M={y|y=2x.x∈R}.集合N={x|y=lg（3-x）}.则（∁U M）∩N=___ ．【正确答案】：[1]（-∞.0]【解析】：求出集合的等价条件.根据集合的基本运算进行求解即可．【解答】：解：M={y|y=2x.x∈R}={y|y＞0}.N={x|y=lg（3-x）}={x|3-x＞0}={x|x＜3}则∁U M={y|y≤0}．则（∁U M）∩N={y|y≤0}．故答案为：（-∞.0]【点评】：本题主要考查集合的基本运算.求出集合的等价条件是解决本题的关键．2.（填空题.3分）已知幂函数f（x）过点(2，√2) .则f（x）的反函数为f-1（x）=___ ．【正确答案】：[1]x2（x≥0）【解析】：设幂函数f（x）=xα.（α为常数）．由于幂函数f（x）过点(2，√2) .代入解得α= 1.可得f（x）= √x .由y= √x解得x=y2.把x与y互换即可得出反函数．2【解答】：解：设幂函数f（x）=xα.（α为常数）．∵幂函数f（x）过点(2，√2) .．∴ √2=2α .解得α=12∴f（x）= √x .由y= √x解得x=y2.把x与y互换可得y=x2．∴f（x）的反函数为f-1（x）=x2（x≥0）．故答案为：x2（x≥0）．【点评】：本题考查了反函数的求法、幂函数的定义.属于基础题．3.（填空题.3分）直线 {x =1+ty =1−2t (t ∈R ) 的倾斜角是___ ．（用反三角表示） 【正确答案】：[1]π-arctan2【解析】：根据直线的参数方程写出直线普通方程.易得其斜率.从而求得倾斜角．【解答】：解：由直线 {x =1+ty =1−2t (t ∈R ) 得到该直线普通方程为：2x+y-3=0． 故k=-2．所以其倾斜角为：π-arctan2． 故答案为：π-arctan2．【点评】：本题主要考查了直线的参数方程.直线的倾斜角.属于基础题．4.（填空题.3分）行列式 |42k−354−11−2| 中第2行第1列元素的代数余子式的值为-10.则k=___ ．【正确答案】：[1]-14【解析】：根据余子式的定义可知.在行列式中划去第2行第1列后所余下的2阶行列式带上符号（-1）i+j 为M 21.求出其表达式列出关于k 的方程解之即可．【解答】：解：由题意得M 21=（-1）3 |2k1−2| =2×2+1×k=-10 解得：k=-14． 故答案为：-14．【点评】：此题考查学生掌握三阶行列式的余子式的定义.会进行矩阵的运算.是一道基础题． 5.（填空题.3分）等差数列{a n }中.已知a 1=-12.S 13=0.使得a n ＞0的最小正整数n 为___ ． 【正确答案】：[1]8【解析】：由等差数列的性质和求和公式可得S 13=13a 7=0.可得a 7=0.进而可得等差数列{a n }的前6项为负数.第7项为0.从第8项开始为正数.可得答案．【解答】：解：由等差数列的性质和求和公式可得S 13=13(a 1+a 13)2 = 13×2a 72=13a 7=0. ∴可得a 7=0.又a 1=-12.∴等差数列{a n }的前6项为负数.第7项为0.从第8项开始为正数. ∴使得a n ＞0的最小正整数n 为：8. 故答案为：8．【点评】：本题考查等差数列的求和公式和等差数列的性质.属基础题． 6.（填空题.3分）若x.y 满足 {x −y ≥0x +y ≤2y ≥0 .则目标函数z=x+2y 的最大值为___ ．【正确答案】：[1]3【解析】：作出不等式对应的平面区域.利用线性规划的知识.通过平移即可求z 的最大值．【解答】：解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=x+2y 得y=- 12 x+ 12 z. 平移直线y=- 12 x+ 12 z.由图象可知当直线y=- 12 x+ 12 z 经过点B 时. 直线y=- 12 x+ 12 z 的截距最大. 此时z 最大．由 {x −y =0x +y =2 .解得 {x =1y =1 .即B （1.1）.代入目标函数z=x+2y 得z=2×1+1=3 故答案为：3．【点评】：本题主要考查线性规划的应用.利用图象平行求得目标函数的最大值和最小值.利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法．7.（填空题.3分）已知无穷数列{a n }前n 项和 S n =13a n −1 .则数列{a n }的各项和为___ 【正确答案】：[1]-1【解析】：若想求数列的前N 项和.则应先求数列的通项公式a n .由已知条件 S n =13a n −1 .结合a n =S n -S n-1可得递推公式 a n =−12a n−1 .因为是求无穷递缩等比数列的所有项的和.故由公式S= x→∞S n =a11−q =−1 即得【解答】：解：由S n=13a n−1可得：（n≥2）S n−1=13a n−1−1 .两式相减得并化简：a n=−12a n−1（n≥2）.又a1=13a1−1⇒a1=−32.所以无穷数列{a n}是等比数列.且公比为- 12. 即无穷数列{a n}为递缩等比数列.所以所有项的和S=x→∞S n=a11−q=−1故答案是-1【点评】：本题主要借助数列前N项和与项的关系.考查了数列的递推公式和无穷递缩等比数列所有项和公式.并检测了学生对求极限知识的掌握.属于一个比较综合的问题．8.（填空题.3分）已知正实数x.y满足xy+2x+y=4.则x+y的最小值为___ ．【正确答案】：[1] 2√6−3【解析】：变形利用基本不等式即可得出．【解答】：解：∵正实数x.y满足xy+2x+y=4.∴ y=4−2xx+1（0＜x＜2）．∴x+y=x+ 4−2xx+1 = x+6−(2+2x)x+1=（x+1）+ 6x+1-3 ≥2√(x+1)•6x+1-3= 2√6 -3.当且仅当x+1= 6x+1时.即x= √6−1时取等号．∴x+y的最小值为2√6−3．故答案为：2√6−3．【点评】：本题考查了基本不等式的性质.属于基础题．9.（填空题.3分）某中学的汪老师在教室进行第二轮复习时布置了两道填空题.他预测同学第一题正确的概率为0.8.两题全对的概率为0.6.则汪老师预测第二题正确的概率为___ ．【正确答案】：[1]0.75【解析】：由题意利用相互独立事件的概率乘法公式.求得结果．【解答】：解：他预测同学第一题正确的概率为0.8.两题全对的概率为0.6.设他预测第二题正确的概率为P.则0.8×P=0.6.∴P=0.75.故答案为：0.75．【点评】：本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式的应用.属于基础题．10.（填空题.3分）设抛物线y 2=x 的焦点为F.点M 在抛物线上.线段MF 的延长线与直线 x =−14 交于点N.则 1|MF|+1|NF| 的值为___ ． 【正确答案】：[1]2【解析】：由题意可得.F （ 14 .0）.准线方程为 x=- 14．过点M 作MH 垂直于准线.垂足为H.准线与x 轴的交点为K.由抛物线的定义可得.|MF|=|MH|.|FK|= 12. 根据△NFK∽△NMH 可得 |FN||MH| = |NF||NF|+|MF| .化简求得 1|MF|+1|NF| 的值．【解答】：解：由题意可得.F （ 14 .0）.准线方程为 x=- 14．过点M 作MH 垂直于准线.垂足为H.准线与x 轴的交点为K.则由抛物线的定义可得.|MF|=|MH|.|FK|= 12.且△NFK∽△NMH ．∴ |FN||MH| = |NF||NF|+|MF| .∴ 12|MF| = |NF||NF|+|MF| .即 12|MF| = |NF||NF|+|MF| .∴2|MF|•|NF|=|NF|+|MF|.两边同时除以|MF|•|NF|可得 1|MF|+1|NF| =2. 故答案为：2．【点评】：本题主要考查抛物线的定义、标准方程.以及简单性质的应用.属于中档题． 11.（填空题.3分）函数 f (x )=2sin (2ωx +π6)(ω＞0) 图象上有两点A （s.t ）.B （s+2π.t ）（-2＜t ＜2）.若对任意s∈R .线段AB 与函数图象都有五个不同交点.若f （x ）在[x 1.x 2]和[x 3.x 4]上单调递增.在[x 2.x 3]上单调递减.且 x 4−x 3=x 2−x 1=23(x 3−x 2) .则x 1的所有可能值是___ 【正确答案】：[1] −π6+kπ，k ∈Z【解析】：根据条件求出函数的周期.以及函数的解析式.结合函数的单调性.判断x1=x2- π3.利用函数的最值进行求解即可．【解答】：解：由于|AB|=2π且线段AB与函数图象都有五个不同交点.则2T=2× 2π2ω=2π.即ω=1.则f（x）=2sin（2x+ π6）.由题意得x3-x2= T2 = π2.则x4−x3=x2−x1=23(x3−x2) = 23×π2= π3.即x1=x2- π3.∵若f（x）在[x1.x2]和[x3.x4]上单调递增.在[x2.x3]上单调递减.∴f（x）在x2处取得最大值.即f（x2）=2sin（2x2+ π6）=2.即sin（2x2+ π6）=1.则2x2+ π6=2kπ+ π2.得x2=kπ+ π6.则x1=x2- π3=kπ+ π6- π3=kπ- π6.k∈Z.故答案为：x1=kπ- π6.k∈Z．【点评】：本题主要考查三角函数的图象和性质.求出函数的解析式是解决本题的关键.综合性较强.有一定的难度．12.（填空题.3分）在实数集R中.我们定义的大小关系“＞”为全体实数排了一个“序”．类似的.我们在平面向量集D= {a⃗|a⃗=(x，y)，x∈R，y∈R}上也可以定义一个称为“序”的关系.记为“＞”．定义如下：对于任意两个向量a1⃗⃗⃗⃗⃗=(x1，y1)，a2⃗⃗⃗⃗⃗=(x2，y2) . a1⃗⃗⃗⃗⃗＞a2⃗⃗⃗⃗⃗当且仅当“x1＞x2”或“x1=x2且y1＞y2”．按上述定义的关系“＞”.给出如下四个命题：① 若e1⃗⃗⃗⃗=(1，0)，e2⃗⃗⃗⃗ =（0.1）. 0⃗⃗=(0，0)则e1⃗⃗⃗⃗＞e2⃗⃗⃗⃗＞0⃗⃗；② 若a1⃗⃗⃗⃗⃗＞a2⃗⃗⃗⃗⃗，a2⃗⃗⃗⃗⃗＞a3⃗⃗⃗⃗⃗ .则a1⃗⃗⃗⃗⃗＞a3⃗⃗⃗⃗⃗；③ 若a1⃗⃗⃗⃗⃗＞a2⃗⃗⃗⃗⃗ .则对于任意a⃗∈D . a1⃗⃗⃗⃗⃗+a⃗＞a2⃗⃗⃗⃗⃗ + a⃗；④ 对于任意向量a⃗＞0⃗⃗ . 0⃗⃗=(0，0) .若a1⃗⃗⃗⃗⃗＞a2⃗⃗⃗⃗⃗ .则a⃗•a1⃗⃗⃗⃗⃗＞a⃗•a2⃗⃗⃗⃗⃗．其中真命题的序号为___ ．【正确答案】：[1] ① ② ③【解析】：根据已知中任意两个向量a1⃗⃗⃗⃗⃗ =（x1.y1）. a2⃗⃗⃗⃗⃗ =（x2.y2）. a1⃗⃗⃗⃗⃗＞a2⃗⃗⃗⃗⃗“x1＞x2”或“x1=x2且y1＞y2”.逐一判断四个结论的真假.可得答案【解答】：解：∵任意两个向量a1⃗⃗⃗⃗⃗ =（x1.y1）. a2⃗⃗⃗⃗⃗ =（x2.y2）. a1⃗⃗⃗⃗⃗＞a2⃗⃗⃗⃗⃗⇔“x1＞x2”或“x1=x2且y1＞y2”∵若e1⃗⃗⃗⃗ =（1.0）. e2⃗⃗⃗⃗ =（0.1）. 0 =（0.0）.则e1⃗⃗⃗⃗ ＞e2⃗⃗⃗⃗＞0 .故① 正确；设a1⃗⃗⃗⃗⃗ =（x1.y1）. a2⃗⃗⃗⃗⃗ =（x2.y2）. a3⃗⃗⃗⃗⃗ =（x3.y3）.由a1⃗⃗⃗⃗⃗＞a2⃗⃗⃗⃗⃗ .得“x1＞x2”或“x1=x2且y1＞y2”由a2⃗⃗⃗⃗⃗＞a3⃗⃗⃗⃗⃗ .得“x2＞x3”或“x2=x3且y2＞y3”若“x1＞x2＞x3”.则a1⃗⃗⃗⃗⃗＞a3⃗⃗⃗⃗⃗；若“x1＞x2”.且“x2=x3且y2＞y3”.则“x1＞x3”.所以a1⃗⃗⃗⃗⃗＞a3⃗⃗⃗⃗⃗ .若“x1=x2且y1＞y2”且“x2＞x3”.则x1＞x3.所以a1⃗⃗⃗⃗⃗＞a3⃗⃗⃗⃗⃗ .若“x1=x2且y1＞y2”且“x2=x3且y2＞y3”.则x1=x3且y1＞y3.所以a1⃗⃗⃗⃗⃗＞a3⃗⃗⃗⃗⃗ .综上所述.若a1⃗⃗⃗⃗⃗＞a2⃗⃗⃗⃗⃗ . a2⃗⃗⃗⃗⃗＞a3⃗⃗⃗⃗⃗ .则a1⃗⃗⃗⃗⃗＞a3⃗⃗⃗⃗⃗ .所以② 正确设a1⃗⃗⃗⃗⃗ =（x1.y1）. a2⃗⃗⃗⃗⃗ =（x2.y2）. a⃗ =（x.y）.则a1⃗⃗⃗⃗⃗ + a⃗ =（x1+x.y1+y）. a2⃗⃗⃗⃗⃗ + a⃗ =（x2+x.y2+y）.由a1⃗⃗⃗⃗⃗＞a2⃗⃗⃗⃗⃗ .得“x1＞x2”或“x1=x2且y1＞y2”若x1＞x2.则x1+x＞x2+x.所以a1⃗⃗⃗⃗⃗ + a⃗＞a2⃗⃗⃗⃗⃗ + a⃗；若x1＞x2”或“x1=x2且y1＞y2.则x1+x=x2+x且y1+y＞y2+y.所以a1⃗⃗⃗⃗⃗ + a⃗＞a2⃗⃗⃗⃗⃗ + a⃗；综上所述.若a1⃗⃗⃗⃗⃗＞a2⃗⃗⃗⃗⃗ .则对于任意a⃗∈D. a1⃗⃗⃗⃗⃗ + a⃗＞a2⃗⃗⃗⃗⃗ + a⃗；所以③ 正确（4）设a1⃗⃗⃗⃗⃗ =（x1.y1）. a2⃗⃗⃗⃗⃗ =（x2.y2）. a⃗ =（x.y）.由a⃗＞0 .得“x＞0”或“x=0且y＞0”由a1⃗⃗⃗⃗⃗＞a2⃗⃗⃗⃗⃗ .得“x1＞x2”或“x1=x2且y1＞y2”若“x=0且y＞0”且“x1＞x2且y1＜y2”.则“xx1=xx2且yy1＜yy2”.所以a⃗• a1⃗⃗⃗⃗⃗＞a⃗• a2⃗⃗⃗⃗⃗不成立．所以 ④ 不正确综上所述. ① ② ③ 正确. 故答案为： ① ② ③【点评】：本题以命题的真假判断为载体.考查了新定义“》”．正确理解新定义“》”的实质.是解答的关键．13.（单选题.3分）已知a.b 是实数.则“a+b ＞5”是“ {a ＞2b ＞3 ”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 【正确答案】：B【解析】：由“ {a ＞2b ＞3 ”可得“a+b ＞5”.反之不成立.可举反例.即可判断出．【解答】：解：由“ {a ＞2b ＞3”可得“a+b ＞5”.反之不成立.例如：a=1.b=6． 因此：则“a+b ＞5”是“ {a ＞2b ＞3 ”的必要不充分条件．故选：B ．【点评】：本题考查了简易逻辑的判定方法.考查了推理能力.属于基础题．14.（单选题.3分）如果若干个函数的图象经过平移后能够重合.则这些函数为“互为生成”函数.给出下列函数.其中与f （x ）=sinx+cosx 构成“互为生成”函数的为（ ） A.f 1（x ）=sinxB.f 2（x ）= √2 sinx +√2C. f 3(x )=√2(sinx +cosx )D. f 4(x )=√2cos x2(sin x2+cos x2) 【正确答案】：B【解析】：由题意利用新定义.三角恒等变换.化简函数的解析式.再根据三角函数的平移变换规律.得出结论．【解答】：解：∵f（x）=sinx+cosx= √2 sin（x+ π4）.故与f（x）构成“互为生成”函数为 y= √2 sin（x+φ）+k的形式.其中.k、φ∈R．显然.f1（x）=sinx 不满足.故排除A．∵f2（x）= √2 sinx+ √2不满足.B满足条件；∵f3（x）= √2（sinx+cosx）=2sin（x+ π4）.显然.也不满足；∵f4（x）= √2 cos x2（sin x2+cos x2）= √22sinx+ √2• 1+cosx2=sin（x+ π4）+ √22.显然不满足条件.故D不满足．故选：B．【点评】：本题主要考查新定义.三角恒等变换.三角函数的平移问题.属于基础题．15.（单选题.3分）如图.右边几何体的正视图和侧视图可能正确的是（）A.B.C.D.【正确答案】：A【解析】：通过简单几何体的三视图的画法法则.直接判断四个选项的正误.即可推出结论．【解答】：解：正视图中.几何体的外轮廓为矩形.但上底面和前侧面的顶点在正视力中应在上底面的中间.故排除BC侧视图中.几何体的外轮廓为矩形.但上底面和右侧面的顶点在正视力中应在上底面的中间.故排除D故选：A．【点评】：本题考查三视图的画出法则.要注意各视图中棱的端点（几何体顶点）的位置.注意排除法.在选择题中的应用.有时起到事半功倍的效果．16.（单选题.3分）已知满足条件x2+y2≤1的点（x.y）构成的平面区域面积为S1.满足条件[x]2+[y]2≤1的点（x.y）构成的平面区域的面积为S2.其中[x].[y]分别表示不大于x.y的最大整数.例如[0.4]=0.[1.6]=1.则.S1与S2的关系是（）A.S1＜S2B.S1=S2C.S1＞S2D.S1+S2=π+3【正确答案】：A【解析】：先把满足条件x2+y2≤1的点（x.y）构成的平面区域.满足条件[x]2+[y]2≤1的点（x.y）构成的平面区域表达出来.然后看二者的区域的面积.再求S1与S2的关系．【解答】：解：满足条件x2+y2≤1的点（x.y）构成的平面区域为一个圆；其面积为：π当0≤x＜1.0≤y＜1时.满足条件[x]2+[y]2≤1；当0≤x＜1.1≤y＜2时.满足条件[x]2+[y]2≤1；当0≤x＜1.-1≤y＜0时.满足条件[x]2+[y]2≤1；当-1≤x＜0.0≤y＜1时.满足条件[x]2+[y]2≤1；当0≤y＜1.1≤x＜2时.满足条件[x]2+[y]2≤1；∴满足条件[x]2+[y]2≤1的点（x.y）构成的平面区域是五个边长为1的正方形.其面积为：5综上得：S1与S2的关系是S1＜S2.故选：A．【点评】：本题类似线性规划.处理两个不等式的形式中.第二个难度较大.[x]2+[y]2≤1的平面区域不易理解17.（问答题.0分）如图.圆柱的轴截面ABCD为正方形.O'、O分别为上、下底面的圆心.E为上底面圆周上一点.已知∠DO'E=60°.圆柱侧面积等于64π．（1）求圆柱的体积；（2）求异面直线BE与DO所成角θ的大小．【正确答案】：【解析】：（1）由题设条件可设圆柱的底面半径为r.则圆柱的高为2r.根据圆柱侧面积等于64π建立方程求出底面半径r.即可求得圆柱的高.进一步求体积即可；（2）连接O′B.可证得角O′BE两异面直线所成的角.在三角形中求之即可．【解答】：解：（1）设圆柱的底面半径为r.由题意.得2πr×2r=64π.解得：r=4.∴V=πr2×2r=128π；（2）连接O′B.由于O′B || DO.∴∠EBO′即为BE与DO所成角θ.过点E作圆柱的母线交下底面于点F.连接FB.FO.由圆柱的性质.得△EFB为直角三角形.四边形EO′OF为矩形.BO′=DO=4 √5 . 由∠DO′E=60°.由等角定理.得∠AOF=60°.∴∠BOF=120°.可解得BF=4 √3 .在Rt△EFB中.BE= √EF2+BF2 = 4√7．由余弦定理.cosθ= BE 2+O′B2−O′E22BE×O′B= 112+80−162×4√7×4√5= 11√3570．∴θ=arccos 11√3570．即异面直线BE与DO所成角θ的大小为arccos 11√3570．【点评】：本题考查圆柱的体积公式以及异面直线所成角的求法.考查空间想象能力与思维能力.是中档题．18.（问答题.0分）已知向量a⃗=(sinx，cosx)，b⃗⃗=(6sinx+cosx，7sinx−2cosx) .设函数f(x)=a⃗•b⃗⃗．（1）求函数f（x）在x∈[0.2π]的单调递增区间；（2）在∠A为锐角的△ABC中.A.B.C的对边分别为a.b.c.若f（A）=6.且△ABC的面积为3. b+ c=2+3√2 .求a的值．【正确答案】：【解析】：（1）利用和差公式、倍角公式可得：f（x）=4 √2 sin（2x- π4）+2．即可得出单调区间．（2）f（A）=6.可得4 √2 sin（2A- π4）+2=6．化为：sin（2A- π4）= √22.解得A．由△ABC的面积为3.解得：bc．再利用余弦定理即可得出．【解答】：解：（1）f（x）=sinx（6sinx+cosx）+cosx（7sinx-2cosx）=6sin2x+8sinxcosx-2cos2x=3（1-cos2x）+4sin2x-（1+cos2x）=4sin2x-4cos2x+2=4 √2 sin（2x- π4）+2．由2kπ- π2≤2x- π4≤2kπ+ π2.解得：kπ- π8≤x≤kπ+ 3π8.k∈Z．∴[0.2π]∩[kπ- π8 . 3π8+kπ]（k∈Z）=[0. 3π8]∪[ 7π8. 11π8]∪[ 15π8.2π]．（2）f（A）=6.∴4 √2 sin（2A- π4）+2=6．化为：sin（2A- π4）= √22.∴2A- π4 = π4或3π4.解得A= π4.或π2（舍去）．A= π4 .由△ABC的面积为3.∴ 12bcsin π4=3.化为：bc=6 √2．又b+c=2+3 √2 .∴a2=b2+c2-2bccosA=（b+c）2-2bc-2bc× √22=10．∴a= √10．【点评】：本题考查了和差公式、倍角公式、余弦定理、三角形面积计算公式、正弦函数的图象与性质.考查了推理能力与计算能力.属于中档题．19.（问答题.0分）如图.A.B.C三地有直道相通.AB=5千米.AC=3千米.BC=4千米．现甲、乙两警员同时从A地出发匀速前往B地.经过t小时.他们之间的距离为f（t）（单位：千米）．甲的路线是AB.速度为5千米/小时.乙的路线是ACB.速度为8千米/小时．乙到达B地后原地等待．设t=t1时乙到达C地．（1）求t1与f（t1）的值；（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米．当t1≤t≤1时.求f（t）的表达式.并判断f （t）在[t1.1]上的最大值是否超过3？说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）由题意可得t 1=AC v 乙 = 38h.由余弦定理可得f （t 1）=PC=√AC 2+AP 2−2AC •AP •cosA .代值计算可得；（2）当t 1≤t≤ 78 时.由已知数据和余弦定理可得f （t ）=PQ= √25t 2−42t +18 .当 78 ＜t≤1时.f （t ）=PB=5-5t.综合可得当 38 ＜t≤1时.f （t ）∈[0. 3√418].可得结论．【解答】：解：（1）由题意可得t 1= AC v 乙= 38 h.设此时甲运动到点P.则AP=v 甲t 1=5× 38 = 158 千米. ∴f （t 1）=PC= √AC 2+AP 2−2AC •AP •cosA= √32+(158)2−2×3×158×35 = 3√418 千米；（2）当t 1≤t≤ 78时.乙在CB 上的Q 点.设甲在P 点. ∴QB=AC+CB -8t=7-8t.PB=AB-AP=5-5t. ∴f （t ）=PQ= √QB 2+PB 2−2QB •PB •cosB = √(7−8t )2+(5−5t )2−2(7−8t )(5−5t )0.8 = √25t 2−42t +18 .当 78 ＜t≤1时.乙在B 点不动.设此时甲在点P. ∴f （t ）=PB=AB-AP=5-5t∴f （t ）= {√25t 2−42t +18，38≤t ≤785−5t ，78＜t ≤1 ∴当 38 ＜t≤1时.f （t ）∈[0. 3√418]. 故f （t ）的最大值没有超过3千米．【点评】：本题考查解三角形的实际应用.涉及余弦定理和分段函数.属中档题．20.（问答题.0分）如图.在平面直角坐标系xOy 中．椭圆C ： x 22 +y 2=1的右焦点为F.直线为l ：x=2（1）求到点F 和直线l 的距离相等的点G 的轨迹方程．（2）过点F 作直线交椭圆C 于点A.B.又直线OA 交l 于点T.若 OT ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .求线段AB 的长； （3）已知点M 的坐标为（x 0.y 0）.x 0≠0.直线OM 交直线x 0x2+y 0y=1于点N.且和椭圆C 的一个交点为点P.是否存在实数λ.使得 OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2=λOM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ？.若存在.求出实数λ；若不存在.请说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）设G （x.y ）.由点G 到点F 和直线l 的距离相等.列出方程.能求出点G 的轨迹方程．（2）由题意得x A =x F =c=1.将x A =1代入 x 22+y 2 =1.能求出AB ．（3）假设存在实数λ满足题意.由已知得OM ： y =y0x 0x .x 0x 2+y 0y =1 .椭圆C ： x 22+y 2=1 .分别联立方程组.能推导出存在实数λ=1.使得 OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2=λOM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ．【解答】：解：（1）∵椭圆C ： x 22 +y 2=1的右焦点为F.直线为l ：x=2.∴F （1.0）. 设G （x.y ）.∵点G 到点F 和直线l 的距离相等. ∴ √(x −1)2+y 2 =|x-2|. 整理.得y 2=-2x+3．∴点G 的轨迹方程为y 2=-2x+3．（2）∵过点F 作直线交椭圆C 于点A.B.又直线OA 交l 于点T. OT ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . ∴AB⊥x 轴.由题意得x A =x F =c=1. ∴将x A =1代入x 22+y 2 =1.解得|y A |= √22.∴AB= √2 ．（3）假设存在实数λ满足题意. 由已知得OM ： y =y0x 0x . ① .x 0x 2+y 0y =1 . ② .椭圆C ： x 22+y 2=1 . ③由 ① ② .得 x N =2x 0x02+2y 02 . y N =2y 0x02+2y 02 .由 ① ③ .得 x P 2=2x 02x 02+2y 02 . y P 2=2y 02x 02+2y 02 . ∴ OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2=x P 2+y P 2 = 2x 02x 02+2y 02+2y 02x 02+2y 02 = 2(x 02+y 02)x 02+2y 02 . OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 0x N +y 0y N = 2x 02x 02+2y 02+2y 02x 02+2y 02 = 2(x 02+y 02)x 02+2y 02 ． ∴存在实数λ=1.使得 OP⃗⃗⃗⃗⃗⃗2=λOM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ．【点评】：本题考查点的轨迹方程的求法.考查线段长的求法.考查满足条件的实数是否存在的判断与求法.是中档题.解题时要认真审题.注意椭圆性质的合理运用．21.（问答题.0分）若数列各项均非零.且存在常数k.对任意n∈N *.a n+12=a n a n+2+k 恒成立.则成这样的数列为“类等比数列”.例如等比数列一定为类等比数列.则：（1）各项均非零的等差数列是否可能为“类等比数列”？若可能.请举例；若不能.说明理由；（2）已知数列{a n }为“类等比数列”.且a 1=a.a 2=b.是否存在常数λ.使得a n +a n+2=λa n+1恒成立？（3）已知数列{a n }为“类等比数列”.且a 1=a.a 2=b.k=a 2+b 2.求S 1+S 2+…+S 2019．【正确答案】：【解析】：（1）设这个各项均非零的等差数列为{b n }.b n =dn+b （d 、b 为常数）.利用“类等比数列”的定义.可得k=d 2为常数.即可得出结论；（2）存在常数 λ=a 2+b 2−k ab .使得a n +a n+2=λa n+1恒成立.再进行证明即可；（3）{a 2n-1}和{a 2n }均是公比为-1的等比数列.于是可求S n 的通项公式.再利用周期性求解即可．【解答】：解：（1）设这个各项均非零的等差数列为{b n }.b n =dn+b （d 、b 为常数）. ∵b n+12=b n b n+2+k.∴[d （n+1）+b]2=（dn+b ）[d （n+2）+b]+k.化简得k=d 2为常数. ∴各项均非零的等差数列为“类等比数列”．（2）存在常数 λ=a 2+b 2−k ab .使得a n +a n+2=λa n+1恒成立．证明如下：∵a n+12=a n a n+2+k.∴a n 2=a n-1a n+1+k （n≥2.n∈N *）.∴a n+12-a n 2=a n a n+2-a n-1a n+1.即a n+12+a n-1a n+1=a n a n+2+a n 2.∵a n ≠0.∴等式两边同除以a n a n+1.得a n +a n+2a n+1=a n−1+a n+1a n . ∴ a n +a n+2a n+1=a n−1+a n+1a n = a n−2+a n a n−1=⋯=a 1+a 3a 2 .即当n∈N *时.都有 a n +a n+2=a 1+a 3a 2a n+1 ．∵a 1=a.a 2=b.a n+12=a n a n+2+k.∴ a 3=b 2−k a .∴ a 1+a 3a 2=a+b 2−k a b =a 2+b 2−k ab . ∴对任意n∈N *都有a n +a n+2=λa n+1.此时 λ=a 2+b 2−k ab． （3）由题意可知.a 22=a 1a 3+k=a 1a 3+a 12+a 22.∴a 1（a 1+a 3）=0.∵a 1≠0.∴a 1+a 3=0.∴ a n +a n+2a n+1=a n−1+a n+1a n = a n−2+a n a n−1=⋯=a 1+a 3a 2 =0.即a n +a n+2=0.∴{a 2n-1}和{a 2n }均是公比为-1的等比数列.∴ a n ={a (−1)n−12，n 为奇数b (−1)n 2−1，n 为偶数. ∴ S n ={ 0，n =4k a ，n =4k −3a +b ，n =4k −2b ，n =4k −1 （k∈N *）.故S 1+S 2+…+S 2019=[0+a+（a+b ）+b]×504+a+（a+b ）+b=1010（a+b ）．【点评】：本题考查数列的新定义问题.深刻理解新定义的概念.并结合平时所学是解题的关键.综合性很强.考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力.属于难题．。