2019-2020年上海市大同中学高三下数学3月月考卷解析版

大同中学高三月考数学试卷

2020.03

一. 填空题

1. 已知全集{|||2}U x x =<，集合2{|log 1}P x x =<，则

U P = (2,0]- 2. 若复数i 1i z =

+（i 为虚数单位），则z z ⋅= 12 3. 已知012a b =，则直线0ax by c ++=的倾斜角为 1arctan 2

π- 4. 已知向量(1,3)a =，(sin ,cos )b αα=，若a ∥b ，则tan()4π

α+= 2

5. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若33a =，131036S S -=，则数列{}n a 的公差为 1

6. 已知函数()f x =[1,9]x ∈，2()()()g x f x f x =⋅的反函数是1()g x -，则1()g x -的

定义域为

7. 若函数()log (a f x x x =是偶函数，则a = 2

8. 现有高一学生两人，高二学生两人，高三学生一人，将这五人排成一行，要求同一年级 的学生不能相邻，则不同的排法总数为 48

9. 某8个数据的平均数为5，方差为3，加入一新数据5，此时这9个数据的方差为

83 10. 已知正项等比数列{}n a 中，3123a a a =，42563

a =，用{}x 表示实数x 的小数部分，如 {1.5}0.5=，{2.4}0.4=，记{}n n

b a =，则数列{}n b 的前15项的和15S 为 5

11. 在△ABC 中，设角A 、B 、C 对应的边分别为a 、b 、c ，记△ABC 的面积为S ，且

22242a b c =+，则

2

S a 的最大值为 12. 已知点(0,2)P ，椭圆22

1168x y +=上两点11(,)A x y 、22(,)B x y 满足AP PB λ=（λ∈R ），

则1122|2312||2312|x y x y +-++-的最大值为 18+

二. 选择题

13. 设α、β、γ是三个不重合的平面，l 是直线，给出下列命题：

① 若αβ⊥，βγ⊥，则αγ⊥；② 若l 上两点到α的距离相等，则l ∥α； ③ 若l α⊥，l ∥β，则αβ⊥；④ 若α∥β，l β⊄，且l ∥α，则l ∥β； 其中正确的命题是（ D ）

A. ①②

B. ②③

C. ②④

D. ③④

14. 算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具，为我国古代数学的发展做出了很大贡献，在算筹计数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字，如图：

表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空，如图：

如果把5根算筹以适当的方式全部放入下面的表格中，那么可以表示的三位数的个数为（ B ）

A. 46

B. 44

C. 42

D. 40

15. 如图，正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是AB 、BC

的中点，过点1D 、E 、F 的截面将正方体分割成两个部分，记这

两个部分的体积分别为1V 、2V （12V V <），则12:V V =（ C ） A. 23 B. 35 C. 2547 D. 2746

16. 已知抛物线22y px =（0p >），为其焦点F ，l 为其准线，过F 任作一条直线交抛物线于A 、B 两点，1A 、1B 分别为A 、B 在l 上的射影，M 为11A B 的中点，给出下列命题： ① 11A F B F ⊥；② AM BM ⊥；③ 1A F ∥BM ；

④ 1A F 与AM 的交点在y 轴上；⑤ 1AB 与1A B 交于原点；

其中真命题的个数为（ D ）

A. 2个

B. 3个

C. 4个

D. 5个

三. 解答题

17. 如图，OA 、OB 是两条互相垂直的笔直公路，半径2OA km =的扇形AOB 是某地的一名胜古迹区域，当地政府为了缓解该古迹周围的交通压力，欲在圆弧AB 上新增一个入口P （点P 不与A 、B 重合），并新建两条都与圆弧AB 相切的笔直公路MB 、MN ，切点分别是B 、P ，当新建的两条公路总长最小时，投资费用最低，设POA θ∠=，公路MB 、MN 的总长为()f θ.

（1）求()f θ关于θ的函数关系式，并写出函数的定义域；

（2）当θ为何值时，投资费用最低？并求出()f θ的最小值.

（1）()2tan 4tan(

)42f πθθθ=+-，(0,)2πθ∈； （2）当6πθ=

时，投资费用最低，min ()23f θ=.

18. 如图所示，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，且PA ⊥平面ABCD ，60ABC ∠=︒，E 是BC 的中点，F 是PC 上的点.

（1）求证：平面AEF ⊥平面PAD ；

（2）若M 是PD 的中点，当AB AP =时，是否存在点F ，使直线EM 与平面AEF 所成 角的正弦值为15？若存在，请求出PF PC 的值，若不存在，请说明理由. （1）证明略；（2）存在，

12PF PC =或45.

19. 已知椭圆22

22:1x y C a b

+=（0a b >>）的左、右焦点分别为1(1,0)F -、2(1,0)F ，且椭 圆上存在一点P ，满足172

PF =，122cos 3F F P ∠=. （1）求椭圆C 的标准方程；

（2）已知分别A 、B 是椭圆C 的左、右顶点，过1F 的直线交椭圆C 于M 、N 两点，记直线AM 、BN 的交点为T ，是否存在一条定直线l ，使点T 恒在直线l 上？

（1）22

11615

x y +=；（2）存在，16x =-.