最新中山大学高等代数汇总

高等代数知识点总结笔记一、集合论基础1. 集合的定义和表示2. 集合的运算：交集、并集、补集、差集3. 集合的基本性质：幂集、空集、自然数集、整数集等4. 集合的关系：子集、相等集、包含关系5. 集合的基本运算律：结合律、交换律、分配律二、映射和函数1. 映射的定义和表示2. 映射的类型：单射、满射、双射3. 函数的定义和性质4. 函数的运算：复合函数、反函数5. 函数的极限、连续性6. 函数的导数、几何意义三、向量空间1. 向量和向量空间的定义2. 向量的线性运算：加法、数乘、点积、叉积3. 向量空间的性质：线性相关、线性无关、维数、基和坐标4. 线性变换和矩阵运算5. 特征值和特征向量四、矩阵与行列式1. 矩阵的定义和基本性质：零矩阵、单位矩阵、方阵2. 矩阵的运算：加法、数乘、矩阵乘法、转置、逆矩阵3. 行列式的定义和性质：行列式的展开法则、克拉默法则4. 线性方程组的解法：克拉默法则、矩阵消元法、逆矩阵法五、线性方程组1. 线性方程组的定义和分类2. 线性方程组的解法：高斯消元法、矩阵法、逆矩阵法3. 线性方程组的特解和通解：齐次线性方程组、非齐次线性方程组4. 线性方程组的解的性质：解的唯一性、解空间六、特征值和特征向量1. 特征值和特征向量的定义和性质2. 矩阵的对角化和相似矩阵3. 特征值和特征向量的应用：矩阵的对角化、变换矩阵4. 矩阵的谱定理和矩阵的相似对角化5. 实对称矩阵和正定矩阵的性质七、多项式与代数方程1. 多项式的定义和性质：零次多项式、一次多项式、多项式的加减乘除2. 代数方程的解法：一元一次方程、一元二次方程、高次方程3. 代数方程的根与系数的关系：韦达定理、牛顿定理、斯图姆定理4. 代数方程的不可约性和可解性八、群、环、域1. 代数结构的定义和性质2. 群的定义和性质：群的封闭性、结合律、单位元、逆元3. 环的定义和性质：交换环、整环、域4. 域的定义和性质：有限域、无限域、极大理想以上就是高等代数的一些基本知识点总结，希望对大家有所帮助。

Laplace定理
分块三角矩阵的行列式
Cauchy-Binet 公式
Vandermonde 行列式
定义
性质
*
*
分块三角形行列式
Laplace定理 (按第i1,...,ik行展开)
Cauchy-Binet公式 设U是m×n矩阵, V是n×m矩阵, m≥n, 则
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重要结论： 带余除法定理 对于任意多项式f(x)和非零多项式g(x)，有唯一的q(x)和r(x)使得 f(x)=g(x)q(x)+r(x)，r(x)=0或degr(x)<degg(x). 最大公因式的存在和表示定理 任意两个不全为0的多项式都有最大公因式，且对于任意的最大公因式d(x)都有u(x)和v(x)使得 d(x)=f(x)u(x)+g(x)v(x) 互素 f(x)和g(x)互素有u(x)和v(x)使得 f(x)u(x)+g(x)v(x)=1.
向量组等价：
S和T等价，即S,T可以互相表示 S,T的极大无关组等价 S,T的秩数相等，且其中之一可由另一表示
对于向量组S，T，下列条件等价
线性相关与线性表示： 1,...,r线性相关当且仅当其中之一可由其余的线性表示 若,1,...,r线性相关,而1,...,r线性无关,则可由1,...,r线性表示,且表法唯一
A,B等价有可逆矩阵P,Q使得A=PBQ 每个秩数为r的矩阵都等价于
矩阵等价
*
可逆矩阵vs列满秩矩阵
对于n阶矩阵A,下列条件等价 A是可逆矩阵 |A|0 秩A=n 有B使得AB=I或BA=I A是有限个初等矩阵之积 A(行或列)等价于I A的列(行)向量组线性无关 方程组Ax=0没有非零解 对任意b,Ax=b总有解 对某个b,Ax=b有唯一解 A是可消去的(即由AB=AC或BA=CA恒可得B=C) 对于m×r矩阵G,下列条件等价 G是列满秩矩阵, G有一个r阶的非零子式 秩G=列数 G有左逆,即有K使得KG=I 有矩阵H使得(G, H)可逆 G行等价于 G的列向量组线性无关 方程组Gx=0没有非零解 对任意b,若Gx=b有解则唯一 对某个b,Gx=b有唯一解 G是左可消去的(即由GB=GC恒可得B=C)

大学高等代数知识点总结高等代数的基础知识包括群论、环论和域论。

群论是研究群的代数结构及其性质的分支学科。

群是一个集合，配上一个二元运算，并满足封闭性、结合律、单位元存在性和逆元存在性等性质。

环论是研究环的代数结构及其性质的学科，环是一个集合，配上两个二元运算，并满足加法封闭性、加法交换律、乘法封闭性、乘法结合律和分配律等性质。

域论是研究域的代数结构及其性质的学科，域是一个集合，配上两个二元运算，并满足加法和乘法的交换性、加法和乘法的结合性、零元和单位元的存在性以及乘法可逆性等性质。

接下来，我们将从群论、环论和域论的角度分别介绍高等代数的重要知识点。

1. 群论群的定义：群是一个集合G，配上一个二元运算*，并满足以下性质：封闭性：对任意的a、b∈G，都有a*b∈G。

结合律：对任意的a、b、c∈G，都有(a*b)*c=a*(b*c)。

单位元存在性：存在一个元素e∈G，对任意的a∈G，都有a*e=e*a=a。

逆元存在性：对任意的a∈G，存在一个元素b∈G，使得a*b=b*a=e。

群的性质：群的性质包括阿贝尔群、循环群、子群、同态映射、正规子群等概念，这些性质对于研究群的结构及其性质非常重要。

2. 环论环的定义：环是一个集合R，配上两个二元运算+和*，并满足以下性质：加法封闭性：对任意的a、b∈R，都有a+b∈R。

加法交换律：对任意的a、b∈R，都有a+b=b+a。

加法结合律：对任意的a、b、c∈R，都有(a+b)+c=a+(b+c)。

乘法封闭性：对任意的a、b∈R，都有a*b∈R。

乘法结合律：对任意的a、b、c∈R，都有(a*b)*c=a*(b*c)。

分配律：对任意的a、b、c∈R，都有a*(b+c)=a*b+a*c和(b+c)*a=b*a+c*a。

环的性质：环的性质包括交换环、整环、域、子环、理想、同态映射等概念，这些性质对于研究环的结构及其性质非常重要。

3. 域论域的定义：域是一个集合F，配上两个二元运算+和*，并满足以下性质：加法和乘法的交换性：对任意的a、b∈F，都有a+b=b+a和a*b=b*a。

高等代数课本笔记及其例题详解第一章 多项式1.1 数域定义1.1（数域）：设P 是由一些复数组成的集合，其中包括0与1. 如果P 中任意两个数（这两个数也可以相同）的和、差、积、商（除数不为零）仍然是P 中的数，那么P 就称为一个数域.即：设{}C x x P ∈=，P b a ∈∀,，其中0≠a 且P ∈0,1都有P abab b a b a ∈-+,,,，称P为一个数域. （注：Z 表示全体整数；R 表示全体实数；C 表示全体复数；Q 表示全体有理数；N 表示全体自然数；）例题1. 设(){}Q b a b a Q ∈+=,22证明：()2Q 是一个数域. 证明：1）()22000,2011Q ∈+=+=（其中：Q ∈1,0）2）Q d c b a ∈∀,,,有()()()2222Q d b c a d c b a ∈+++=+++（其中： Q d b c a ∈++,）；()()()2222Q d b c a d c b a ∈-+-=+-+（其中：Q d b c a ∈--,）； ()()()()()22222Q bc ad bd ac d c b a ∈+++=++（其中：Q bc ad bd ac ∈++,2）； 若02≠+b a ，有()22222222222Q b a bcad b a bd ac b a d c ∈--+--=++（其中：Q b a bc ad b a bd ac ∈----22222,22，且0222≠-b a ）. 2Q ∴是一个数域.例题2. 证明：()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧==∈∈++++++=+m j n i Z b a N n m b b b a a a P j i mm n n ,,0;,,0,,,1010 πππππ是一个数域.证明：1) ()πππππP m n ∈++++++=0010011 , ()πππππP mn∈++++++=0000000 2) 显然该集合的和、差、积封闭；若商不封闭，得()πππππππππP d d d c c c b b b a a a tt ss m m n n ∈++++++≠+++++ 101101010,0,得 ()πππππππππππππππππP a a a b b b d d d c c c b b b a a a d d d c c c n n mm t t s s m n n t t s s ∉++++++⋅++++++=++++++++++++ 1010101010101010,这与该集合的积封闭的结论矛盾，故()πP是一个数域.注：最小的数域为有理数域，任何数域都包含有理数域.1.2 一元多项式定义 1.2.1（一元多项式） 设n 是一非负整数. 形式表达式011a x a x a n n n n +++-- ,其中∈n a a a ,,,10 数域P ,称为系数在数域P 中的一元多项式，或者简称为数域P 上的一元多项式. （注：i i x a 称为i 次项; i a 称为i 次项的系数. ）定义1.2.2 （多项式相等）如果在多项式()x f 与()x g 中，除去系数为零的项外，同次项的系数全相等，那么()x f 与()x g 就称为相等，记为()()x g x f =. 系数全为零的多项式称为零多项式，记为0. （注：若0≠n a ，则n n x a 称为多项式的首项；n a 称为首项系数; n 称为多项式的次数，记为()()x f ∂; 零多项式是唯一不定义次数的多项式. ） 性质1.2.1 ()()()()()()()()x g x f x g x f ∂∂≤±∂,max .性质1.2.2 ()()()()()()()x g x f x g x f ∂+∂=⋅∂（其中()0≠x f 且()0≠x g ）. 运算规律：1. 加法交换律：()()()()x f x g x g x f +=+.2. 加法结合律：()()()()()()()()x h x g x f x h x g x f ++=++.3. 乘法交换律：()()()()x f x g x g x f =.4. 乘法结合律：()()()()()()()()x h x g x f x h x g x f =.5. 乘法对加法的分配律：()()()()()()()()x h x f x g x f x h x g x f +=+.6. 乘法消去律：如果()()()()x h x f x g x f =且()0≠x f ，那么()()x h x g =.定义1.2.3 （一元多项式环）所有系数在数域P 中的一元多项式的全体，称为数域P 上的一元多项式环，记为[]x P ，P 称为[]x P 的系数域.1.3 整除的概念性质1.3.1 （带余除法）对于[]x P 中任意两个多项式()x f 与()x g ，其中()0≠x g ，一定有[]x P 中的多项式()()x r x q ,存在，使()()()()x r x g x q x f +=成立，其中()()()()x g x r ∂<∂或者()0=x r ，并且这样的()()x r x q ,是唯一决定的. （注：()x q 通常称为()x g 除()x f 的商；()x r 称为()x g 除()x f 的余式）定义1.3.1（整除）数域P 上的多项式()x g 称为整除()x f ，如果有数域P 上的多项式()x h 使等式()()()x h x g x f =成立. 我们用“()()x f x g ”表示()x g 整除()x f ，用“()x g ()x f ”表示()x g 不能整除()x f .（注：当()()x f x g 时，()x g 就称为()x f 的因式；()x f 称为()x g 的倍式.）定理1.3.1 对于数域P 上的任意两个多项式()()x g x f ,，其中()0≠x g ，()()x f x g 的充分必要条件是()x g 除()x f 的余式为零. 整除性的常用的性质：1. 如果()()x g x f ，()()x f x g ，那么()()x cg x f =，其中0≠c .2. 如果()()x g x f ，()()x h x g ，那么()()x h x f （整除的传递性）.3. 如果()()x g x f i ，r i ,,2,1 =，那么()()()()()()()x g x u x g x u x g x u x f r r +++ 2211其中()x u i 是数域P 上的任意的多项式.（注：()()()()()()x g x u x g x u x g x u r r +++ 2211称为多项式()()()x g x g x g r ,,,21 的一个组合.） 注：两个多项式之间的整除关系不因为系数域的扩大而改变.1.4 最大公因式定义 1.4.1（最大公因式）设()()x g x f ,是[]x P 中两个多项式. []x P 中多项式()x d 称为()()x g x f ,的一个最大公因式，如果它满足下面两个条件：1）()x d 是()()x g x f ,的公因式；2）()()x g x f ,的公因式全是()x d 的因式.（注：两个零多项式的最大公因式就是0） 引理1.4.1 如果有等式()()()()x r x g x q x f +=成立，那么()()x g x f ,和()()x r x g ,有相同的公因式.定理 1.4.1 对于[]x P 中任意两个多项式()()x g x f ,，在[]x P 中存在一个最大公因式()x d ，且()x d 可以表成()()x g x f ,的一个组合，即有[]x P 中多项式()()x v x u ,使()()()()()x g x v x f x u x d +=.（注：两个多项式的最大公因式在可以相差一个非零常数倍的意义下是唯一确定的；()()()x g x f ,表示首项系数为1的公因式.） 辗转相除法：例题3. 设()343234---+=x x x x x f ，()3210323-++=x x x x g 求()()()x g x f ,，并求()()x v x u ,使()()()()()()()x g x v x f x u x g x f +=,. 解：即：()()()()()()131092595913112x r x q x g x x x x g x f +=⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=310925952---x x即：()()()()()()22793109259595272212x r x q x r x x x x x g +=++⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=. ()()()327981108153109259521 +⎪⎭⎫⎝⎛--=---=x x x x x r()()()3,+=∴x x g x f .将（1）代入（2）式可得：()()35251532+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎭⎫⎝⎛-x x g x x x f x ()()525,1532x x x v x x u +-=-=∴就有()()()()()()()x g x f x g x v x f x u ,=+.定义1.4.2（互素）[]x P 中两个多项式()()x g x f ,称为互素（也称互质）的，如果()()()1,=x g x f .定理 1.4.2 []x P 中两个多项式()()x g x f ,称为互素的充要条件是有[]x P 中的多项式()()x v x u ,使()()()()1=+x g x v x f x u .定理1.4.3 如果()()()1,=x g x f ，且()()()x h x g x f ，那么()()x h x f .推论1.4.3.1 如果()()x g x f 1，()()x g x f 2，且()()()1,21=x f x f ，那么()()()x g x f x f 21.推广：定义1.4.3 ()x d 称为()()()()2,,,21≥s x f x f x f s 的一个最大公因式，如果()x d 具有下面的性质：2) ()()s i x f x d i ,,2,1, =；3) 如果()()s i x f x i ,,2,1, =ϕ，那么()()x d x ϕ.（注：符号()()()()x f x f x f s ,,,21 表示首项系数为1的最大公因式.）性质1.4.1()()()()()()()()()()x f x f x f x f x f x f x f s s s ,,,,,,,21121 =-性质1.4.2 ()()()()()()()()()()x f x f x f x f x u x f x u x f x u s s s ,,,212211 =+++，其中 ()()()[]x P x u x u x u s ∈,,,21 .性质1.4.3 ()()()()()()()[],,,,1,,,2121x P x u x u x u x f x f x f s s ∈∃⇔=()()()()()()1:2211=+++x f x u x f x u x f x u st s s .1.5 因式分解定理定义1.5.1（不可约多项式） 数域P 上次数的多项式()x p 称为域上的不可约多项式，如果它不能表示成数域P 上的两个次数比()x p 的次数低的多项式的乘积（注：一个多项式是否是不可约是依赖于系数域的）.性质1.5.1 ()x p 在数域[]x P 是不可约多项式，()[]x P x f ∈∀，()()x p x f 当且仅当()0≠=c x f 或()()x cp x f =.即：对于()[]x P x f ∈∀，有()()x f x p 或者()()()1,=x f x p . 定理1.5.1 如果()x p 是不可约多项式，那么对于任意的两个多项式()()x g x f ,，由()()()x g x f x p 一定推出()()x f x p 或者()()x g x p .定理1.5.2（定理1.5.1的推广） 如果()x p 是不可约多项式，若()()()(),21x f x f x f x p s 则()()()(){}x f x f x f x f s i ,,,21 ∈∃使得()()x f x p i .定理1.5.3（因式分解及唯一性定理）数域P 上每一个次数1≥的多项式()x f 都可以唯一地分解成数域P 上一些不可约多项式的乘积.所谓唯一性是说，如果有两个分解式()()()()()()()x q x q x q x p x p x p x f s s 2121==，那么必有t s =，并且适当排列因式的次序后有()()s i x q c x p i i i ,,2,1, ==，其中()s i c i ,,2,1 =是一些非零常数.（注：()()()()x p x p x cp x f s r s r r 2121=的分解称为标准分解式；已知两个多项式()()x g x f ,的标准分解式，那么()x f 与()x g 的最大公因式()x d 就是那些同时在与的标准式中出现的不可约多项式方幂的乘积，所带的方幂的指数等于它在()x f 与()x g 中所带的方幂中的较小的一个.）1.6 重因式定义1.6.1（k 重因式）不可约多项式()x p 称为多项式()x f 的k 重因式，如果()()x f x p k ，而()x p k 1+ ()x f .（注：0=k 时，()x p 不是()x f 的因式；1=k 时，()x p 是()x f 的单因式；1≥k 时，()x p 是()x f 的重因式.）定义1.6.2（微商）设有多项式()0111a x a x a x a x f n n n n ++++=-- .我们规定它的微商（也称导数）是()()1211'1a x n a nx a x f n n n n ++-+=--- . 性质1.6.1 ：1）()()()()()x g x f x g x f '''+=+2）()()()x cf x cf ''=，3）()()()()()()()x g x f x g x f x g x f '''+=，4）()()()()()x f x f m x f m m '1'-=.定义1.6.3（高阶微商）微商()x f '称为()x f 的一阶微商；()x f '的微商()x f ''称为的二阶()x f 微商；等等.()x f 的k 阶微商记为()()x f k .（注：()()n x f =∂ο，则()()c x f n =，()()01=+x f n .）定理1.6.1 如果不可约多项式()x p 是()x f 的k 重因式()1≥k ，那么它是微商()x f '的1-k 重因式.推论1.6.1.1 如果不可约多项式()x p 是()x f 的k 重因式()1≥k ，那么()x p 是()()()()x f x f x f k 1''',,,- 的因式，但不是()()x f k 的因式.推论1.6.1.2 不可约多项式()x p 是()x f 的重因式的充分必要条件为()x p 是()x f 与()x f ' 的公因式.推论 1.6.1.3 多项式()x f 没有重因式的充分必要条件是()x f 与()x f '互素.（注：辗转相除法可用于求解重因式；()()()()x f x f x f ',是一个没有重因式的多项式与()x f 有完全相同的不可约因式.）1.7 多项式函数定义1.7.1（多项式函数）设()()10111 a x a x a x a x f n n n n ++++=--是[]x P 中的多项式，α是P 中的数，在()1中用α代x 所得的数0111a a a a n n n n ++++--ααα 称为()x f 当α=x 时的值，记为()αf .这样一来，多项式就定义了一个数域上的函数.定理1.7.1（余数定理）用一次多项式α-x 去除多项式()x f ，所得的余式是一个常数，这个常数等于函数值()αf .（注：其中()0=αf 时，α=x 是()x f 的一个根或者零点.） 推论1.7.1.1 α是()x f 的根的充分必要条件是()()x f x α-.定义1.7.2（重根）α称为()x f 的重根，如果()α-x 是()x f 的k 重因式.当1=k 时，α称为单根；当1>k 时，α称为重根.定理1.7.2 []x P 中n 次多项式()0≥n 在数域P 中的根不可能多于n 个，重根按重数计算. 定理1.7.3 如果多项式()()x g x f ,的次数都不超过n ，而它们对1+n 个不同的数121,,,+n ααα 有相同的值，即()()1,,2,1,+==n i g f i i αα，那么()()x g x f =.1.8 复系数与实系数多项式的因式分解定理1.8.1（代数基本定理）每个次数1≥的复系数多项式在复数域中有一根（即：复数域上所有次数大于1的多项式全是可约的.）.定理1.8.2（复系数多项式的分解定理）每个次数1≥的复系数多项式在复数域上都可以唯一地分解成一次因式的乘积.（复系数多项式的标准分解式：()()()()s ls lln x x x a x f ααα---= 2121，其中C s ∈≠≠≠ααα 21，+∈Z l l l s ,,,21 ）定理1.8.3 如果α是实系数多项式()x f 的复根，那么α的共轭数α也是()x f 的根. 定理1.8.4（实系数多项式因式分解定理）每个次数1≥的实系数多项式在实数域上都可以唯一地分解成一次因式与二次不可约因式的乘积（即是说：实数域上只含有一次不可约多项式和含二次共轭复根不可约多项式）.1.9 有理系数多项式定理 1.9.1 每个次数1≥的有理系数多项式都能唯一地分解成不可约的有理系数多项式的乘积.定义1.9.1（本原多项式）如果一个非零的整系数多项式()011b x b x b x g n n n n +++=-- 的系数01,,,b b b n n -没有异于的公因子，也就是说，它们是互素的，它就称为一个本原多项式.（任意一个非零的有理系数多项式()x f 都可以表示成一个有理数r 与一个本原多项式()x g 的乘积：()()x rg x f =）定理1.9.2（高斯（Gauss ）引理）两个本原多项式的乘积还是本原多项式.定理1.9.3 如果一非零的整系数多项式能够分解成两个次数较低的有理系数多项式的乘积，那么它一定能分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积.推论1.9.3.1 设()()x g x f ,是整系数多项式，且()x g 是本原的. 如果()()()x h x g x f =，其中()x h 是有理系数多项式，那么()x h 一定是整系数的.定理1.9.4 设()011a x a x a x f n n n n +++=-- 是一个整系数多项式，而sr 是它的一个有理根，其中s r ,互素，那么必有n a s ，0a r .特别地，如果()x f 的首项系数1=n a ，那么()x f 的有理根都是整根，而且是0a 的因子. 例题4. 求方程032234=-+-x x x 的有理根. 解：令()32234-+-=x x x x f 得：24=a 的因子为：2,1±±30=a 的因子为：1±，3± ()x f ∴的有理根可能为：21±，23±，1±，2±.判别根的方法一：0321≠-=⎪⎭⎫⎝⎛-f （不为()x f 的根，舍弃）；0221≠-=⎪⎭⎫⎝⎛f （不为()x f 的根，舍弃）； ()021≠-=-f （不为()x f 的根，舍弃）； ()01=f （为()x f 的根）； 021523≠=⎪⎭⎫ ⎝⎛-f （不为()x f 的根，舍弃）； 042723≠=⎪⎭⎫ ⎝⎛f （不为()x f 的根，舍弃）；()0332≠=-f （不为()x f 的根，舍弃）； ()0252≠=f （不为()x f 的根，舍弃）； 1∴为032234=-+-x x x 方程的有理根.方法二：即2-=x 不是方程032234=-+-x x x 的根.…………经带余除法计算可得：1=x 为032234=-+-x x x 方程的有理根.方法三：21 22002-即21=x 不是方程032234=-+-x x x 的根. …………经综合除法计算可得：1=x 为032234=-+-x x x 方程的有理根.定理1.9.5（艾森斯坦（Eisenstein ）判别法）设()011a x a x a x f n n n n +++=-- 是一个整系数多项式.如果有一个素数p ，使得1. p n a ；2. 021,,,a a a p n n --；3. 2p 0a .那么()x f 在有理数域上不可约的.例题5.证明()153+-=x x x f 在有理数域上不可约. 证明：依题意可得()x f 的有理根可能为：1±.又()31-=f ,()51-=-f 都不为零1±=∴x 都不是()x f 的有理根，即()x f 在有理数域上不可约的.1.10 多元多项式定义1.10.1（n 元多项式）设P 是一个数域，n x x x ,,,21 是n 个文字. 形式为n k nk k x x ax 2121的式子，其中P a ∈，n k k k ,,,21 是非负整数，称为一个单项式. 由以上一些单项式的和∑nnn k k k k nk k k k k x x x a,,,21212121 就称为n 元多项式，或者简称多项式.（注：若两个单项式中相同文字的幂全一样，那么它们就称为同类项.）定义1.10.2（元多项式环）所有系数在数域P 中的n 元多项式的全体，称为数域P 上的n元多项式环，记为[]n x x x P ,,21.（注：n k k k +++ 21称为单项式n k nk k x x ax 2121的次数；系数不为零的单项式的最高次数就称为这个多项式的次数.多元多项式的排列顺序方法：字典排列法；）定理1.10.1 当()0,,,21≠n x x x f ，()0,,,21≠n x x x g 时，乘积()()n n x x x g x x x f ,,,,,,2121 的首项等于()n x x x f ,,,21 的首项与()n x x x g ,,,21 的首项的乘积.推论1.10.1.1 如果,,,2,1,0m i f i =≠那么m f f f 21的首项等于每个i f 的首项的乘积. 推论1.10.1.2 如果()()0,,,,0,,,2121≠≠n n x x x g x x x f ，那么()()0,,,,,,2121≠n n x x x g x x x f .（两个齐次多项式的乘积是齐次多项式，乘积的次数等于因子的次数的和.）1.11 对称多项式定理1.11.1（一元多项式根与系数的关系）设()n n n a x a x x f +++=- 11是[]x P 中的一个多项式.如果()x f 在数域P 中有个根n ααα,,,21 ，那么就可以分解成()()()()n x x x x f ααα---= 21.将其展开即得根与系数的关系如下：()()()⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=-=-+++=+++=-∑-n n n k k k k i in n n a i a a a j i αααααααααααααααα 211312122111121，的乘积之和个不同的所有可能的. 定义1.11.1（对称多项式）n 元多项式()n x x x f ,,,21 ，如果对于任意的n j i j i ≤≤≤1,,，都有()()n i j n j i x x x x f x x x x f ,,,,,,,,,,,,11 =，那么这个多项式称为对称多项式. 定理1.11.2 对于任意一个n 元对称多项式都有一个n 元多项式()n y y y ,,,21 ϕ，使得()()n n x x x f σσσϕ,,,,,,2121 =.（其中⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++=----n n nn n n n n n n x x x xx x x x x x x x x x x x x x x x x x 21322211211131212211σσσσ称为n 元初等对称多项式.）例题6. 把三元对称多项式333231x x x ++表为321,,σσσ的多项式. 解：令()333231321,,x x x x x x f ++=得首项为：31x 对应的有序数对()0,0,3，()()332133323131333231321,,x x x x x x x x x x x x f ++-++=-++=∴σ()132123223132222132122163g x x x x x x x x x x x x x x x =-+++++-=得首项：2213x x 对应的有序数对()0,1,2.()()32123223132222132122132123223132222132122121133633x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x g +++++++-+++++-=+σσ23213g x x x =-=对应数对()1,1,1又0332=+σg ()3213132133,,σσσσ+-=∴x x x f .课后习题1. 用()x g 除()x f ，求商()x q 与余式()x r ：1）()1323---=x x x x f ，()1232+-=x x x g ； 解：()9113-=∴x x q ，()99+-=x r . 2）()524+-=x x x f ，()22+-=x x x g解：()12-+=∴x x x q ，()75+-=x x r . 3）()1434--=x x x f ，()132--=x x x g 解：()1032++=∴x x x q ，()929+=x x r . 4）()13235-+-=x x x x f ，()233+-=x x x g . 解：()x g233+-x x22+x()22+=∴x x q ，()562-+=x x x r . 5）()x x x x f 85235--=，()3+=x x g 解：带余除法：()109391362234+-+-=∴x x x x x q ，()()3327-=-=f x r . 6）()x x x x f --=23，()i x x g 21+-=. 解：综合除法：i 21-1 i 2- i 25-- i 89+-()i x r 89+-=∴，()i ix x x q 2522---=. 2. m ，p ，q 适合什么条件时，有 1）q px x mx x ++-+321 解：方法一：带余除法：12-+mx xm x -即：()()m q x p m x r ++++=12，又q px x mx x ++-+321()0=∴x r 可得⎩⎨⎧-==++q m p m 012. 2）q px x mx x ++++2421. 解：方法二：待定系数法：设商为：()c bx x x q ++=2，又由q px x mx x ++++2421可得：()()q px x x q mx x ++=++2421即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+=++=+q c b m c p m b c b m 010.()⎩⎨⎧=-=+-∴0112q m p m q . 3. 把()x f 表成0x x -的方幂和，即表成()() +-+-+22010x x c x x c c 的形式：1）()5x x f =，10=x ；解：辗转相除法：即：()()()111234+++++-=x x x x x x f .即：()()()()[]()()()1154321154321123223+-++++-=+++++--=x x x x x x x x x x x f()()()()[]()()()()()11511063111510631122322+-+-+++-=+-++++--=∴x x x x x x x x x x x f()()()()[])()()()()115110110411151101041123423+-+-+-++-=+-+-+++--=x x x x x x x x x x x f ()()()()()1151101101512345+-+-+-+-+-=x x x x x ()()()()()()1151101101512345+-+-+-+-+-=∴x x x x x x f .2）()3224+-=x x x f ，20-=x 解：综合除法：2-2-2- 2-14a = 38a =-()()()()()11124122181234+---+---=∴x x x x x f . 3）()()i xx i ix x x f ++-+-+=7312234，i x -=0. 解：综合除法：i - i - i - i -即：()()()()()()i i x i x i i x i i x x f 57512234+++-++-+-+=. 4. 求()x f 与()x g 的最大公因式：1）()143234---+=x x x x x f ，()123--+=x x x x g 解：带余除法：即：1322即：()()()1434121322+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+----=x x x x x g又：()()1121322++-=---x x x x()()()1,+=∴x x g xf .2）()1434+-=x x x f ，()1323+-=x x x g . 解：带余除法：即：()()()2312+--=x x x g x f .即：()()13213232-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-=xx x x g .即：41942729132232-⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-x x x .()()()1,=∴x g x f .3）()11024+-=x x x f ，()124624234+++-=x x x x x g . 解：即：()()x x f x g 242423-=即：()()12232124241624223++-⎪⎭⎫ ⎝⎛--++-=x x x x x x x f .即：()93292889323241223241624223++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++-=++-x x x x x x x .即：12192426328827932928812232+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++-x x x x . ()()()1,=∴x g x f .5. 求()x u ，()x v 使()()()()()()():,x g x f x g x v x f x u =+1）()242234---+=x x x x x f ，()22234---+=x x x x x g . 解：()13即：()()()221223 -++-=x x x x x g()()32223 x x x x -=- ()()()2,2-=∴x x g x f将（1）代入（2）得：()()()()2212-=+++-x x g x x f x即：取()1--=x x u ，()2+=x x v 可得：()()()()()()()x g x f x g x v x f x u ,=+.2）()951624234++--=x x x x x f ,()45223+--=x x x x g 解：即：()()622--=x x x g x f 即：()()()213139362 +-⎪⎭⎫⎝⎛+-+--=x x x x x g()()()39619362 ++-=+--x x x x()()()1,-=∴x x g x f ，将（1）式代（2）式得：()()()()1322311312-=--+--x x g x x x f x .即：取()()131--=x x u ，()()322312--=x x x v 就有：()()()()()()()x g x f x g x v x f x u ,=+. 3）()144234++--=x x x x x f ，()12--=x x x g 解：即：1232 -+-=x x x g x f()()()()2312 ++-=x x x g()()()1,=∴x g x f将（1）式代入（2）式得：()()13233123=--+++-x g x x x x f x 即取()()131+-=x x u ，()()233123--+=x x x x v 就有：()()()()()()()x g x f x g x v x f x u ,=+. 6. 设()()u x x t x x f 22123++++=，()u tx x x g ++=3的最大公因式是一个二次多项式，t ，u 的值. 解：又()()u x x t x x f 22123++++=，()u tx x x g ++=3的最大公因式是一个二次多项式()()u tx x u x t x t +++-++∴3221.即()()()()[]()c x u x t x t u tx x t ++-++=+++21123即：()()()()⎪⎩⎪⎨⎧+=+=-+=++-u t cu t t t c u t c t 112012解得：⎩⎨⎧=-=04u t ，或⎪⎩⎪⎨⎧=+=02321u i t ，或⎪⎩⎪⎨⎧=-=0231u i t ，或⎪⎩⎪⎨⎧--=+-=i u i t 11721121，或⎪⎩⎪⎨⎧+-=--=i u i t 1172111. 7. 证明：如果()()x f x d ，()()x g x d ，且()x d 为()x f 与()x g 的一个组合，那么()x d 是()x f 与()x g 的一个最大公因式.证明：()x d 为()x f 与()x g 的一个组合即：()()()()()x d x g x v x f x u =+.又()()x f x d ，()()x g x d ，即()x d 是()x f 与()x g 的一个公因式.()()x f x h ∀，且()()x g x h 则()()x d x h ()x d ∴是()x f 与()x g 的一个最大公因式.8. 证明：()()()()()()()()()x h x g x f x h x g x h x f ,,=，（()x h 的首项系数为1）. 证明：()()()()x f x g x f , ，()()()()x g x g x f ,()()()()()()x h x f x h x g x f ,∴，()()()()()()x h x g x h x g x f ,. 即：()()()()x h x g x f ,是()()x h x f 与()()x h x g 的一个公因式. 又()()()()()()()()()x g x f x g x v x f x u st x v x u ,:,=+∃. 则()()()()()()()()()()x h x g x f x h x g x v x h x f x u ,=+()()()x h x f x c ∀，()()()x h x g x c 有()()()()()x h x g x f x c ,. 即()()()()x h x g x f ,是()()x h x f 与()()x h x g 的一个最大公因式. 又()x h 的首项系数为1.()()()()()()()()()x h x g x f x h x g x h x f ,,=∴.9. 如果()x f ，()x g 不全为零，证明：()()()()()()()()1,,,=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x g x f x g x g x f x f .证明：()()()()x f x g x f , ,()()()()x g x g x f ,且()x f ，()x g 不全为零.()()()0,≠∴x g x f ，又()x u ∃，()x v ()()()()()()()x g x f x g x v x f x u st ,:=+()()()()()()()()()()1,,=+∴x g x f x g x v x g x f x f x u .即：()()()()()()()()1,,,=⎪⎪⎭⎫⎝⎛x g x f x g x g x f x f 成立. 10.证明：如果()x f ，()x g 不全为零，且()()()()()()()x g x f x g x v x f x u ,=+，那么()()()1,=x v x u .证明：()()()()x f x g x f , ,()()()()x g x g x f ,且()x f ，()x g 不全为零.且()()()()()()()x g x f x g x v x f x u ,=+()()()0,≠∴x g x f ()()()()()()()()()()1,,=+∴x g x f x g x v x g x f x f x u ()()()1,=x v x u .11.证明：如果()()()1,=x g x f ，()()()1,=x h x f ，那么()()()()1,=x h x g x f . 证明：()()()1,=x g x f ，()()()1,=x h x f .()x u 1∃∴，()x v 1，()x u 2，()x v 2使得：()()()()()1111 =+x g x v x f x u ()()()()()2122 =+x h x v x f x u . 由（1）式与（2）式相乘可得：()()()()()()()()()()()()()()()121212121=+++x h x g x v x v x f x g x u x v x h x v x u x f x u x u即()()()()1,=x h x g x f .12. 设()x f 1， ，()x f m ，()x g 1， ，()x g n 都是多项式，而且()()()1,=x g x f ji()n j m i ,,1;,,1 ==.求证：()()()()()1,11=x g x g x f x f nm.证明：由11题可得：()()()1,=x g x f ，()()()1,=x h x f ()()()()1,=⇒x h x g x f 又()()()1,=x g x f j i （其中m i ,,1 =；n j ,,1 =）可得，对于i 取m ,,2,1 中的任何一个固定值有：()()()()1,1=x g x g x f n i . 再将()()x g x g n 1看作一个整体可得：()()()()()1,11=x g x g x f x f n m . 13. 证明：如果()()()1,=x g x f ，那么()()()()()1,=+x g x f x g x f . 证明：()()()1,=x g x f 故有：()()()()1=+x g x v x f x u .即：()()()()()()()()()()()()()()()()1=++-=+-+x g x f x v x f x v x u x g x v x f x v x f x v x f x u()()()()1,=+∴x f x g x f ；同理可得：()()()()1,=+x g x f x g()()()()()1,=+∴x g x f x g x f .14. 求下列多项式的公共根：()12223+++=x x x x f ，()12234++++=x x x x x g . 解：()()()212+-=∴x x x f x g 即：()()()112+++=x x x x f()()()1,2++=∴x x x g x f 令：012=++x x 解得：2311i x +-=；2312ix --=. 即：()x f 与()x g 的公共根为：2311i x +-=和2312ix --=.（提示：公共根出现在多项式的公因式中.）15. 判别下列多项式有无重因式： 1）()842752345-+-+-=x x x x x x f解：()()()x x x x x x x x f 1524421205'2234+-=+-+-=又()()()1284275232345++-=-+-+-=x x x x x x x x x f即：()()()()22',-=x x f x f ()x f ∴有三重因式：2-x2）()34424--+=x x x x f解：()124484'33-+=x x x f即：()()()1',=x f x f ()x f ∴没有重因式. 16.求t 值使()1323-+-=tx x x x f 有重根.解：依题意可得：待定系数法：当有()x f 重根时，可得重根为有理根时，此时只能取重根为：1±=α.当重根为：1=α 1可得：3=t .当3=t 时，()()3231133-=-+-=x x x x x f 此时1=x 是()x f 的三重根；当重根为：1-=α1-解得：5-=t ，当5-=t 时，()()()141153223--+=---=x x x x x x x f 与1-=x 为重根矛盾，舍去.设重根为二重时得()⎪⎭⎫⎝⎛+-=+-=323163'22t x x t x x x f()()()()()()()()()12,''131,'',+=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=x x f x f x x f x f x f x f 即得：021'=⎪⎭⎫⎝⎛-f .解得：415-=t . 17.求多项式q px x ++3有重根的条件.解：()()()()()()()()132,'3','3,',23≠⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+++=q px x f x f x f x f p x q px x x f x f 得： ()x f q px'32+即得：027423=+q p . 18.如果()11242++-Bx Ax x ，求A ，B .解：依题意可由综合除法可得：1 1A A 2B A +3 B A 24+由()11242++-Bx Ax x 可得：⎩⎨⎧=+=++02401B A B A 解得：⎩⎨⎧-==21B A .19.证明：!!212n x x x n++++ 不能有重根.证明：令()!!212n x x x x f n ++++= 得：()()!1!21'12-++++=-n x x x x f n反证法：设()x f 的重根为α得：()()⎩⎨⎧==0'0ααf f 即：()()0'=-ααf f 0!=∴n nα得：0=α 又()010≠=f 矛盾.∴!!212n x x x n++++ 不能有重根.20.如果a 是()x f '''的一个k 重根，证明a 是()()()[]()()a f x f a f x f ax x g +-+-=''2的一个3+k 重根.证明：依题意可得：()()()[]()()0''2=+-+-=a f a f a f a f aa a g ()()()[]()()0'''22'''=--++=a f a f aa a f a f a g()()()()()a f a f aa a f a f a g '''''22''2''''--++=又()0'''=a f ()0''=∴a g()()()()02'''21'''4=-+-=a f a a a f a g又a 是()x f '''的一个k 重根a ∴是()x g '''的一个k 重根. 又()()()()0''''''====a g a g a g a g∴a 是()()()[]()()a f x f a f x f ax x g +-+-=''2的一个3+k 重根. 21.证明：0x 是()x f 的k 重根的充分必要条件是()()()()0'0100====-x f x f x f k ，而()()00≠x f k证明： 0x 是()x f 的k 重根()()x f x x k0-∴即()x g ∃，使得：()()()x g x x x f k0-=，其中0x x -不整除()x g()()()()()x g x x x g x x k x f kk ''010-+-=∴-可得：()()x f x x k '10--()0'0=∴x f同理由此类推可得到：()()()()0'0100====-x f x f x f k 若()()00=x f k 得：()()()x f x x k 0-()()x f x x s k s10+--⇒其中k s ≤，即()()x f x x k 10+-这与0x 是()x f 的k 重根矛盾.()()00≠∴x f k反之显然成立.∴0x 是()x f 的k 重根的充分必要条件是()()()()0'0100====-x f x f x f k ，而()()00≠x f k .22.举例说明断语“如果a 是()x f '的m 重根，那么a 是()x f 的1+m 重根”是不对的. 解：例如：()()111111+-=+m a x x f 则()()()ma x m x f -+=1'a 是()x f '的m 重根，但a 不是()x f 的1+m 重根.23. 证明：如果()()n x f x 1-，那么()()n n x f x 1-. 证明：令：n x y =得：()()y f x 1-即()()011==f f n ∴()()y f y 1-即()()n n x f x 1-.24. 证明：如果()()()323121x xf x f x x +++，那么()()x f x 11-，()()x f x 21-证明：.令：012=++x x 解得：2311i x +-=，2312ix --= 又()()()323121x xf x f x x +++即：()()()32311x f x f x x +-，()()()32312x f x f x x +-()()()()⎩⎨⎧=+=+∴0032223213121311x f x x f x f x x f 即：()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--+=+-+0123110123112121f i f f i f 又0323112311≠-=--+-i i i即该方程程组只有唯一零解：()()⎩⎨⎧==010121f f∴()()x f x 11-，()()x f x 21-.25. 求多项式1-n x 在复数域范围内和在实数范围内的因式分解. 解：在复数域上分解：()()()111----=-n n x x x x εε 其中ni n ππε2sin 2cos +=. 在实数范围内因式分解：当n 为奇数：()()[]()[]⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++-++--=-+---111112222222212x x x x x x x x n n n n nεεεεεε 其中：n i i n i πεε2cos2=+-为一个实数，21,,2,1-=n i . 当n 为偶数时：()()()[]()[]⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++-++--+=-+---1111112222222212x x x x x x x x x n n n n nεεεεεε 26. 求下列多项式的有理根： 1）1415623-+-x x x解：令()1415623-+-=x x x x f 则()x f 的有理根可能为：1±，2±，7±，14±.由综合除法计算得：1即：()41-=f同理：()361-=-f ，()762-=-f ，()02=f ，()7567-=-f ，()1407=f ，()414414-=-f()176414=f∴1415623-+-x x x 多项式的有理根为：2.2）157424---x x x解：令()157424---=x x x x f 则的有理根可能为：41±，21±，1± 将根挨个代入原式得：641114154174144124-=--⨯-⎪⎭⎫⎝⎛-⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛-f同理：6417141-=⎪⎭⎫ ⎝⎛f ，021=⎪⎭⎫ ⎝⎛-f ，521-=⎪⎭⎫⎝⎛f ，()11=-f ，()91-=f∴157424---x x x 多项式的有理根为：21-.3）3111462345----+x x x x x解：令()3111462345----+=x x x x x x f 则()x f 的有理根可能为：1±，3±由带余除法计算得：即：()01=-f 同理：()321-=f ，()963-=-f ，()03=f .∴3111462345----+x x x x x 多项式的有理根为：1-，3. 27. 下列多项式在有理数域上是否可约？ 1）12+x解：不可约；理由如下：依题意可得令()12+=x x f 则()x f 的有理根可能为：1± 又()()0211≠=-=f f 即1±不为()x f 的有理根∴多项式12+x 在有理数域上是不可约的.（二次有理多项式在有理数域上可约的话必有有理根）2）2128234++-x x x解：不可约；理由如下： 取素数2=p 得： （1）p 41a =.（2）38a p =-，212a p =，10a p =，02a p = （3）42=p 02a =由艾森斯坦判别法可得：多项式2128234++-x x x 是不可约的. 3）136++x x解：不可约；理由如下：令()136++=x x x f ，1+=y x 得：原多项式39182115623456++++++=y y y y y y 这时只要取3=p 可由艾森斯坦判别法得出：39182115623456++++++y y y y y y 不可约；∴136++x x 不可约.4）1++px x p ，p 为奇素数；解：令1+=y x 作转化，再由艾森斯坦判别法判别不可约； 5）144++kx x ，k 为整数. 解：同4），不可约：。