最新中山大学高等代数汇总

2005中山大学高等代

数

2005年 二、高等代数（70分）

1 （15分）由三个函数1，cos t ，sin t 生成的实线性空间记为V ，求线性变换:,()

()3T V V f t f t π

→+的迹、行列式和特征多项式。

2 （15分）设A 是秩为n 的m n ⨯实矩阵，b 为m 维向量，若n 维向量x 满足T T A Ax A b =，证明对一切不等于x 的n 维向量y ，有||||

b Ax b Ay -<-。（注. ||x =

3 （15分）设010...0001...0............000...1100...0A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，复矩阵0121101221031230...............................n n n n n n a a a a a a a a B a a a a a a a a ------⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦

， （1）A 是否相似于对角矩阵？

（2）求B 的行列式。

4 （15分）证明实线性空间的线性变换必有1维或2维的不变子空间。

5 （10分）证明正定矩阵的最大元素位于对角线上。