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高等代数

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目 录

第 1 章 行列式 ·························· 1

§1.1 二阶与三阶行列式 ····················· 1

§1.2 排列及其逆序数 ······················ 3

§1.3 n 阶行列式的定义 ····················· 4

§1.4 对换 ··························· 6

§1.5 行列式的性质 ······················· 8

§1.6 行列式按行(列)展开 ···················· 14

§1.7 Matlab 在行列式计算中的应用 ················ 22

习题 1 ······················································································· 22

第 2 章 矩阵 ··························· 26

§2.1 矩阵的概念 ························ 26

§2.2 矩阵的关系和运算 ····················· 31

§2.3 伴随矩阵和逆矩阵 ····················· 39

§2.4 矩阵的分块法 ······················· 45

§2.5 矩阵的初等变换和初等矩阵 ················· 52

§2.6 矩阵的秩 ························· 59

§2.7 Matlab 在矩阵运算与初等变换中的应用 ············ 63

习题 2 ······················································································· 66

第 3 章 线性方程组 ························ 72

§3.1 Cramer 法则 ······················· 72

§3.2 一般线性方程组的解 ···················· 74

§3.3 Matlab 在解线性方程组中的应用 ··············· 85

习题 3 ······················································································· 86

·1· 高 等 代 数

第 4 章 向量组的线性相关性 ···················· 89

§4.1 向量组及其线性组合 ···················· 89

§4.2 向量组的线性相关性 ···················· 92

§4.3 向量组的秩 ························ 97

§4.4 线性方程组解的结构 ··················· 100

§4.5 Matlab 在向量组线性相关性中的应用 ············ 106

习题 4 ······················································································ 107

第 5 章 线性空间与线性变换 ··················· 111

§5.1 数环、数域与映射 ···················· 111

§5.2 线性空间及其性质 ···················· 115

§5.3 基、维数与坐标 ····················· 118

§5.4 基变换与坐标变换 ···················· 120

§5.5 线性变换 ························ 123

§5.6 线性变换的矩阵表示 ··················· 127

§5.7 欧氏空间 ························ 132

§5.8 Matlab 在线性空间和线性变换中的应用 ··········· 141

习题 5 ······················································································ 144

第 6 章 相似矩阵及二次型 ···················· 150

§6.1 方阵的特征值与特征向量 ················· 150

§6.2 相似矩阵 ························ 155

§6.3 实对称矩阵的相似矩阵 ·················· 158

§6.4 二次型及其标准形 ···················· 161

§6.5 化二次型为标准形 ···················· 163

§6.6 正定二次型 ······················· 169

§6.7 Matlab 在相似矩阵和二次型中的应用 ············ 172

习题 6 ······················································································ 175

第 7 章 多项式 ························· 179

§7.1 一元多项式的定义和运算 ················· 179

§7.2 多项式的整除性 ····················· 182

§7.3 多项式的最大公因式和互素 ················ 186

§7.4 多项式的分解 ······················ 191

·2· 高 等 代 数

§7.5 多项式的重因式 ····················· 194

§7.6 多项式函数多项式的根 ·················· 197

§7.7 复数域和实数域上的多项式 ················ 200

§7.8 有理数域上的多项式 ··················· 202

§7.9 Matlab 在多项式中的应用 ················· 208

习题 7 ······················································································ 211

习题答案与选解 ························· 215

参考文献 ···························· 243

·3·

第 1 章 行 列 式

行列式是基于解线性方程组的需要建立起来的. 作为一个重要工具，行列式在数学和其他学科中都有广泛的应用. 本章主要介绍n 阶行列式的定义、性质及其计算.

§1.1 二阶与三阶行列式

1.1.1 二阶行列式

定义 1.1 把 4 个数排成两横排两竖列构成数表

a11

a21 a12

a22 (1.1)

表达式a11a22  a12 a21 称为由数表(1.1)确定的二阶行列式(two order determinant)，

记为

a11

a21

即 a12

a22 (1.2)

a11 a12  a a  a a

a21 a22 11 22 12 21

其中横排称为行(row)，竖排称为列(column). 数 aij ( i  1, 2 ； j  1, 2 ) 称为行列式(1.2)的元素或元(entry)，元素 aij 的第一个下标i 称为行标，表明元素 aij 位于第i

行，第二个下标 j 称为列标，表明元素aij 位于第 j 列.

例 1.1 计算二阶行列式

D  1 2

3 4

解 D  1 4  2  3  2

·1· 高

等

代

数

例

1.2

解方程

解 方程左端的行列式为

x  2

4

1  0

x  3

方程化为

解得 x  1 或 x  2 .

1.1.2 三阶行列式 D  (x  2 )(x  3)  (1)  4  x2  x  2

x2  x  2  0

定义 1.2 把 9 个数排成三行三列构成数表

a11

a21

a31 a12

a22

a32 a13

a23

a33

(1.3)

表达式 a11a22 a33  a12 a23a31  a13 a21a32  a11a23a32  a12 a21a33  a13a22 a31 称为由数表(1.3)

确定的三阶行列式(three order determinant)，记为

a11

a21

a31 a12

a22

a32 a13

a23

a33

 a11a22 a33  a12 a23 a31  a13a21a32  a11a23a32  a12 a21a33  a13a22 a31 (1.4)

三阶行列式中的 6 项可以借助图 1.1 来记忆，如图 1.1 所示，实线上三元素的乘积前加正号，虚线上三元素的乘积前加负号.

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

() ()

图 1.1

·2·

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高等代数简介

高等代数简介

高等代数简介

一、高等代数的教学目的及重要性

代数学是以代数结构作为研究对象的一门学科。所谓代数结构, 就是指带有一个或多个代数运算并且满足一定运算规则的非空集合。高等代数是代数学的基础部分,是高等学校数学学院的学生的一门专业基础课程，它既是中学代数的继续和提高，也是数学各分支的基础和工具。高等代数这门课程概念多, 理论性强, 内容抽象, 充分体现了数学的严密逻辑性、高度抽象性、广泛应用性等特征。通过该课程的学习, 可逐渐培养和训练学生的抽象思维能力、逻辑推理能力和空间想象能力，提高学生的数学素质。随着科学技术的进步, 特别是计算机技术的迅速发展与普及,代数学在信息科学、计算机科学和物理学等许多领域都有着非常广泛的应用。高等代数作为数学学院各专业的重要基础课,学习的好坏, 直接关系到多门后续课程的学习, 同时又关系到学生以后从事科学与技术研究的基本功。

二、高等代数简要发展史

代数学是一门古老的数学学科，最简单的代数运算—正整数和有理数的算术运算及这些运算的代数性质在古代就知道了，17-18世纪“代数学”被理解为在代数符合上进行运算的科学，即对由字母组成的公式的“恒等”变换、解代数方程等，到18世纪中叶，代数学或多或少地相当于现在的“初等代数”。18世纪和19世纪的代数学处理的主要内容是多项式。历史上，首要的问题是求解一个未知数的代数方程即求解下述类型的方程

1010nnnaxaxa

其目的是推导出由方程的系数经加、减、乘、除及开方所构成的公式来表示方程的根。事实上，人们很早就已经知道了一元一次和一元二次方程的求解方法。16世纪意大利数学家发现了解三次方程和四次方程的求解公式。这就很自然地促使数学家们继续努力寻求五次及五次以上的高次方程的求解公式。遗憾的是这个问题虽然耗费了许多数学家大量的时间和精力，但一直持续了长达三个多世纪都没有解决。同时，这个时期对于任意复系数代数方程的复根的存在性就成为数学家的主要兴趣，在18世纪和19世纪交替的时候，德国数学家高斯证明了代数方程有解存在的基本定理即代数基本定理。到了19 世纪初, 挪威青年数学家阿贝尔证明了五次或五次以上的方程一般不能用根式求解, 即这些方程的根不能用方程的系数通过加、减、乘、除、乘方、开方这些代数运算表示出来。19 世纪初30年代，法国一位青年数学家伽罗华对代数方程使用根式求解的可能性给出了一个一般性的判别法，使高次代数方程求解问题得到彻底解决。到19世纪中叶和后半世纪，伽罗华的研究成果的重要意义愈来愈为人们所认识。他在数学史上做出的贡献, 不仅是解决了几个世纪以来一直没有解决的高次方程的代数解的问题,更重要的是他所引入的思想，大大推动了对于群、域以及其它一些代数体系的研究，开辟了代数学的一个崭新的天地, 直接影响了代数学研究方法的变革，促进了代数学的进一步发展。

高等代数

高等代数

中国科学院大学

2013年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题

科目名称：高等代数

考生须知：

1．本试卷满分为150分，全部考试时间总计180分钟。

2．所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上一律无效。

1．(15分) 求下面1n阶行列式的值

01211232234112211nnnnnnnnssssssssxDssssxssssx

其中，12kkkknsxxx。

2．(15分) 假设矩阵A与B没有公共的特征根，()fx是矩阵A的特征多项式，证明以下结论：

1) 矩阵()fB可逆；

2) 矩阵方程AXXB只有零解。

3．(15分)设 ,1,ijijnAa是斜对称方阵，即,11,,1,2,,ijnjniaaijn，证明：若A可逆，则其逆阵也是斜对称方阵。

4．(20分) 设二次曲面2222224xayzbxyxzyz可以经由正交变换

xyPz

化成椭圆柱面方程2244，试求,ab和正交矩阵P。

科目名称：高等代数 第1页 共2页

5．(15分) 假设3阶实方阵A满足：2AE，E是单位方阵，AE。证明 2()1TrA，其中()TrA表示矩阵A的迹。

6．(15分) 设A为n阶半正定实矩阵。证明：|A+2013E|≥2013n，等号成立当且仅当A=0。其中，E是单位矩阵。

7. (15分) 证明：任何一个实方阵均可表示成两个对称矩阵的乘积，其中至少有一个矩阵可逆。

8．(15分) 设A是一个33正交矩阵，证明 A可以写成CR，其中 C对应于3R中的旋转变换，R对应于3R的恒等变换或对应于3R中的镜面反射变换，其中R表示实数域。

9．(10分)设V是数域F上的有限维向量空间，是V上的线性变换。证明

V能够分解成两个子空间的之和 VUW，其中，,UW满足：对任意uU，存在正整数k使得()0ku；对任意wW，存在mvV，使得()mmwv对所有的正整数m。

高等代数Ⅱ

高等代数Ⅱ

高等代数Ⅱ

一、 说明

（一）课程性质

高等代数是高等师范院校数学与应用数学专业的一门重要核心课程，也是理科各学科的一门重要基础课，它是中学代数的继续和提高，它的思想和方法已经渗透到数学的各个领域。高等代数的全部内容分两大部分，多项式理论和线性代数理论。其中线性代数理论显得十分重要，不仅在自然科学的各个分支有着重要应用，而且在社会科学领域中也有着广泛的应用。目前在师范院校，除了文学专业和外语专业外，其它所有专业都开设了线性代数课程，值得一提的是，在体育专业和政治专业也开设了线性代数课程，而且大家一致认为十分必要。

（二）教学目的

通过高等代数的学习，学生掌握其基本理论和方法，主要是从特殊到一般,从具体到抽象的思想方法，这和中学代数思想方法有着很大的不同。掌握了高等代数的基本知识和思想方法，必然会提高学生分析问题和解决问题的能力，对数学专业后继课程的学习至关重要，教师必须清楚地认识到这一点，教学目的不能偏离这个方向。

（三）教学内容

高等代数课程的主要内容有：向量空间、线性变换、欧氏空间。

（四）教学时数

90学时

（五）教学方式

课堂讲授

二、 本文

第六章 向量空间

教学要点：

向量空间的由来、子空间、向量的线性相关性、基数维数、向量的坐标、向量空间的同构、线性方程组的解空间。

教学时数：

26学时。

教学内容：

第一节 定义及例子（2学时）

主要介绍向量空间的定义，并给出大量的例子，因为这是高等代数中第一个比较抽象且难理解的概念。

第二节 子空间（2学时）

主要介绍向量的子空间、交子空间和子空间及子空间的判定定理。

第三节 向量的线性相关性（6学时） 主要介绍向量的线性组合、线性相关、线性无关、极大线性无关组、向量组的等价、向量组的秩。

第四节 基和维数（4学时）

主要介绍向量的基、维数、向量空间的维数公式、余子空间。

第五节 坐标（4学时）

高等代数中的群论 基本概念与运算规律

高等代数中的群论 基本概念与运算规律

高等代数中的群论 基本概念与运算规律

在高等代数中，群论是一个重要的数学分支，它研究的是集合与运算之间的关系。群论的基本概念和运算规律对于理解和应用代数学知识具有重要意义。本文将介绍群论的基本概念和运算规律，以帮助读者更好地理解这一领域的内容。

一、群的定义与性质

群是代数结构的一种形式，它由一个集合G和一个二元运算*组成。如果满足以下条件，那么G就是一个群：

1. 封闭性：对于任意的a、b∈G， a * b也属于G。

2. 结合律：对于任意的a、b、c∈G，(a * b) * c = a * (b * c)。

3. 单位元：存在一个元素e∈G，使得对于任意的a∈G，a * e = e *

a = a。

4. 逆元：对于任意的a∈G，存在一个元素b∈G，使得a * b = b * a

= e。

以上四个条件是群的基本性质，可以看出群中的运算是封闭的、结合的，并且存在单位元和逆元。

二、群的例子

1. 整数集：整数集（Z，+）构成一个群，其中+表示整数的加法运算。单位元为0，任意整数a的逆元为-a。 2. 实数集：实数集（R，+）构成一个群，其中+表示实数的加法运算。单位元为0，任意实数a的逆元为-a。

3. 矩阵集合：矩阵集合（M，*）构成一个群，其中*表示矩阵的乘法运算。单位元为单位矩阵，任意可逆矩阵A的逆元为A的逆矩阵。

三、群的运算规律

1. 结合律：群的运算满足结合律，即对于任意的a、b、c∈G，(a *

b) * c = a * (b * c)。

2. 唯一性：群的单位元是唯一的，即不存在两个不同的单位元。

3. 逆元唯一性：群的每个元素都有唯一的逆元，即不存在两个不同的逆元。

4. 交换律：如果群的运算满足交换律，即对于任意的a、b∈G，a *

b = b * a，则称该群为交换群或可交换群。

以上运算规律是群论中的基本性质，对于研究和解决问题具有很大的帮助。

四、子群和同态

在群论中，子群和同态是两个重要的概念。