高等代数

- 1 -

教 案

2003 ~~

2004 学年 第

1 学期

院（系、所、部） 数学科学学院

教 研 室 代数教研室

课 程 名 称 高等代数I

授 课 对 象 数学04

授 课 教 师 汪立民

职 称 职 务 教授

教 材 名 称 高等代数（第四版）

2004年 3月 10日 - 2 -

《高等代数》课程教案

授课题目（教学章、节或主题）：第一章

基本概念

1．1 集合 1·2 映射 授课类型 理论课

授课时间 第一周 第1-2 节

教学目的、要求：

加深对集合和映射概念抽象性的理解,使学生认识到这两个概念对现代数学的重要性

教学内容（包括基本内容、重点、难点）：

基本内容：

1 集合的概念、集合的运算、文氏图、笛卡尔集

2 映射、单映射、满映射、双射的概念及例子

3 双射的一个等价条件的定理

通过本讲的学习，掌握基本概念, 了解第一（第二）数学归纳法的理论依据，会用第一（第二）数学归纳法。

重点：基本概念

难点：双射的一个等价条件的定理

教学过程设计：讲授、练习

思考题、讨论题、作业：

作业：P15：5,6,8,9

参考资料：1张禾瑞，郝鈵新编，《高等代数（第四版）》，高等教育出版社，2001．

2 张贤科，许甫华，清华大学出版社，2000年1月

《高等代数》课程教案 - 3 - 授课题目（教学章、节或主题）：第一章 基本概念

1·3 数学归纳法 授课类型 理论课

授课时间 第一周 第3-4 节

教学目的、要求：

了解以最小数原理给出第一（第二）数学归纳法

教学内容（包括基本内容、重点、难点）：

- 1 - 高等代数的发展历程和内容

高等代数是数学中的一个分支，它是研究抽象代数系统的一门学科，也是现代数学中的重要组成部分。高等代数的发展历程和内容与人类文明的发展和数学领域的进展密不可分，本文将对高等代数的发展历程和内容进行探讨。

一、高等代数的起源和发展历程

高等代数的起源可以追溯到古代数学，例如古希腊的欧几里得几何和毕达哥拉斯学派的数论。但是，高等代数真正的奠基人是法国数学家维达，他在18世纪提出了代数方程的理论，开创了代数学的新纪元。此后，高等代数在欧洲迅速发展，德国数学家高斯、法国数学家拉格朗日、英国数学家哈密顿等人的贡献不可忽视。

19世纪中期，高等代数得到了进一步的发展，主要是由于德国数学家克莱因、约旦、诺伯特等人的贡献。他们创立了群论、环论、域论等代数学分支，将代数学从数论、几何学中解放出来，使代数学成为一门独立的学科。

20世纪初，高等代数的发展进入了新的阶段，主要是由于俄国数学家柯西、勒贝格、李亚普诺夫等人的贡献。他们在代数学中引入了拓扑学、微分几何学等现代数学分支，使代数学与其他数学分支相互融合，形成了一门更加丰富多彩的学科。

二、高等代数的内容

高等代数的内容非常广泛，包括群论、环论、域论、线性代数、范畴论等多个分支，下面分别进行介绍。 - 2 - 1.群论

群论是代数学的重要分支，它研究的是代数结构中的群。群是一种有限或无限的代数结构，它满足封闭性、结合律、单位元素和逆元素等性质。群论的研究对象包括群的性质、群的分类、群的表示等。

2.环论

环论是代数学的另一个重要分支，它研究的是代数结构中的环。环是一种有限或无限的代数结构，它满足封闭性、结合律、分配律等性质。环论的研究对象包括环的性质、环的分类、环的表示等。

3.域论

域论是代数学的另一个重要分支，它研究的是代数结构中的域。域是一种有限或无限的代数结构，它满足封闭性、结合律、分配律、存在乘法逆元素等性质。域论的研究对象包括域的性质、域的分类、域的表示等。

第一学期第一次课

第一章 代数学的经典课题

§1 若干准备知识

1.1.1 代数系统的概念

一个集合，如果在它里面存在一种或若干种代数运算，这些运算满足一定的运算法则，

则称这样的一个体系为一个代数系统。

1.1.2 数域的定义 定义（数域） 设K

是某些复数所组成的集合。如果K中至少包含两个不同的复数，且K

对

复数的加、减、乘、除四则运算是封闭的，即对K

内任意两个数a

、b

（a

可以等于b

），

必有baKabKKbab∈≠∈/0时，，且当，∈±

为一个数域。 ，则称K

例1.1 典型的数域举例： 复数域C；实数域R；有理数域Q；Gauss数域：Q (i) = {i

|∈Q}，其中i =ba+

ba

,1−

。 命题 任意数域K都包括有理数域Q。

证明 设K

为任意一个数域。由定义可知，存在一个元素0≠∈aKa，且

。于是

K

aa

Kaa∈=∈−=10，

。

进而Z, ∈∀m

0>

Km∈+……++=111

。

最后，Z，∈∀nm,

0>K

nm

∈，K

nm

nm

∈−=−0

。这就证明了Q⊆K

。证毕。

1.1.3 集合的运算，集合的映射（像与原像、单射、满射、双射）的概念

定义(集合的交、并、差) 设是集合，与SAB

的公共元素所组成的集合成为与AB

的

交集，记作BA∩

；把和B中的元素合并在一起组成的集合成为与AAB

的并集，记做

BA∪

；从集合中去掉属于AB

的那些元素之后剩下的元素组成的集合成为与B的差集，

记做。 A

BA\

定义（集合的映射） 设、AB

为集合。如果存在法则，使得中任意元素在法则

下对应fAa

fB

中唯一确定的元素（记做），则称是到)(affAB

的一个映射，记为

).(,:

afaBAf

a→

如果Bbaf∈=)(

，则称为在下的像，a

称为在下的原像。的所有元素

在下的像构成的bafbfA

fB

的子集称为A

在下的像，记做，即f)A(f{}

AafAf∈a=|)()(

。 若都有 则称为单射。若 ,'Aaa∈≠∀),'()(afaf≠f,Bb∈∀

都存在，使得

高等代数与高中数学的联系与区别

高等代数与高中数学（尤其是其中的代数部分）之间存在着紧密的联系和显著的区别。以下是对二者关系的一个简要概括：

联系：

1. 基础概念的延续：高等代数是建立在高中数学基础上的，许多基本概念如线性方程组、矩阵、行列式、向量、群论等，在高中数学中都有初步的介绍。例如，中学阶段会学习到一元和二元一次方程组的解法，这是高等代数中线性方程组理论的基础。

2. 函数和数列的深化：高中数学涉及函数的基本性质、运算及其图像表示，以及数列的概念、极限和递推公式等内容。在高等代数中，这些内容将进一步拓展，包括但不限于多项式函数的更深层次分析、线性空间中的函数和序列，以及迭代方法等。

3. 几何直观到抽象结构：解析几何在高中数学中有详细阐述，这为高等代数中的坐标变换、向量空间和线性映射提供了直观背景。在高等代数中，这些几何概念被抽象化为更一般的代数结构。

4. 问题解决策略：中学代数训练了逻辑推理能力和问题解决技巧，这些技能对于理解高等代数中的复杂概念和证明过程至关重要。

区别：

1. 抽象程度加深：高等代数相较于高中数学更为抽象，它不再局限于具体的数值计算或几何图形的研究，而是研究更一般化的代数结构和系统，比如群、环、域、模等。

2. 理论体系完备：高等代数构建了一套完整的理论框架，包括集合论基础、线性代数、群论、环论和域论等，而高中数学主要关注具体操作和应用。

3. 深度和广度提升：高等代数不仅对已有的概念进行深入探讨，还引入了许多新的概念和定理，并且运用公理化方法构建整个数学分支。比如，矩阵论在高中仅限于初等操作和简单性质，而在高等代数中则涉及到特征值、特征向量、相似变换等丰富内容。

4. 证明与推理强化：高等代数更加注重数学证明和严密的逻辑推理，要求学生具备较强的逻辑思维能力及形式化表达能力，而高中数学虽然也会涉及一些简单的证明，但通常不会像高等代数那样强调严谨性和抽象性。

综上所述，高等代数是在高中数学的基础上进一步发展的，它更加强调抽象思考、理论体系的构建以及严格的逻辑推理，旨在培养学生的高级数学思维和解决问题的能力。