2.1 二次函数导学案

第1课时 二次函数的概念【学习目标】1．经历探索，分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法描述变量之间的数量关系；2．探索并归纳二次函数的定义；3．能够表示简单变量之间的二次函数关系。

【学习重点】掌握二次函数的概念并能利用概念解答相关的题型。

【课时类型】概念课 【学习过程】 一、学习准备1．函数的定义：在某个变化过程中，有两个变量x 和y ，如果给定一个x 值，相应地就确定了一个y 值，那么我们称 是 的函数，其中 是自变量， 是因变量。

2．一次函数的关系式为y= (其中k 、b 是常数，且k≠0)；正比例函数的关系式为y ＝ (其中k 是 的常数)；反比例函数的关系式为y= (k 是 的常数)。

二、解读教材——数学知识源于生活1．用16m 长的篱笆围成长方形圈养小兔，圈的面积y(㎡)与长方形的长x(m)之间的函数关系式为 。

分析：在这个问题中，可设长方形生物园的长为x 米，则宽为 米，如果将面积记为y 平方米，那么y 与x 之间的函数关系式为y = ，整理为y = . 2.n 支球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛．写出比赛的场次数m 与球队数n 之间的关系式_______________________．猜想出二次函数的定义及一般形式吗？一般地，形如y ＝ax 2+bx+c(a ，b ，c 是常数，a≠0)的函数叫做x 的二次函数。

它就是二次函数的一般形式，理解并熟记几遍。

例1 下列函数中，哪些是二次函数？ (1)2321x y +-= (2)112+=x y(3)x y 222+=(4)251t t s ++= (5)22)3(x x y -+= (6)210r s π=即时练习：下列函数中，哪些是二次函数？ (1)2x y = (2)252132+-=x x y(4)1132--=）（x y (5)cax y -=2(6)12+=x s 三、挖掘教材6．对二次函数定义的深刻理解及运用例2 若函数1232++=+-kx x y k k是二次函数，求k 的值。

第二章二次函数2.1 二次函数学习目标：1．理解、掌握二次函数的概念和一般形式；(重点)2．会利用二次函数的概念解决问题；(重点)3．列二次函数表达式解决实际问题．(难点)一、复习回顾1.下列函数中哪些是一次函数？为什么？(x 是自变量)(4) y = kx + 1；(5) y2 = x；(6) y = 2x + 1.一、要点探究知识点一：二次函数的定义问题1 某果园有100棵橙子树，平均每棵树结600个橙子，现准备多种一些树，以提高产量.但是树种多了，那么树之间的距离和每棵树接收的阳光就会减少.根据经验，估计每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子.(1) 问题中有那些变量？其中哪些是自变量？哪些是因变量？(2) 假设果园增种x 棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树？这时平均每棵树结多少个橙子？(3) 如果果园橙子的总产量为y 个，那么请你写出y 与x之间的关系式.做一做银行的储蓄利率是随时间变化的，也就是说，利率是一个变量.在我国，利率的调整是由中国人民银行根据国民经济发展的情况而决定的.设人民币一年定期储蓄的年利率是x，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存.如果存款额是100 元，那么请你写出两年后的本息和y (元)的表达式.想一想(1) 两数的和是20，设其中一个数是x，你能写出这两数之积y 的表达式吗?(2) 已知矩形的周长为40 cm，它的面积可能是100 cm2吗? 可能是75 cm2吗? 还可能是多少? 你能表示这个矩形的面积与其一边长的关系吗?自主学习合作探究合作探究问题1~3 中函数关系式有什么共同点?同学们，以小组的形式讨论，并由每组代表总结.知识要点二次函数的定义：一般地，若两个自变量x，y 之间的对应关系可以表示成y = ax²+ bx + c( a，b，c 是常数，a≠0)的形式，则称y 是x 的二次函数.a为二次项系数，ax2叫做二次项；b为一次项系数，bx 叫做一次项；c为常数项.同学们，可以自己举出具体的二次函数吗？典例精析例1 下列函数中哪些是二次函数? 为什么? (x 是自变量)① y = (x + 3)² − x²；① y = 3 − 2x²；① y = x2；① y = 1x2；① y = x² + x³ + 25；① y = ax2 + bx + c.方法总结判断一个函数是否为二次函数的步骤：合作探究链接中考1.(西湖区月考) 已知( m 为常数)，根据下列条件求m 的值：(1) y 是x 的一次函数；(2) y 是x 的二次函数；知识点二：二次函数的自变量取值范围问题：上述问题中的三个函数的自变量的取值范围是什么？① y = -5x² + 100x + 60000 ② y = 100x2 + 200x + 100③y = -x2 + 20x总结：二次函数的自变量的取值范围是所有实数，但在实际问题中，它的自变量的取值范围会有一些限制.知识点三：列二次函数关系式例3 一个正方形的边长是12 cm，若从中挖去一个长为2x cm，宽为(x + 1) cm的小长方形．剩余部分的面积为y cm2. 写出y与x之间的函数关系式，并指出y 是x 的什么函数？二、课堂小结1. (武汉)下列函数中，是二次函数的是( )2. 已知函数y = 3x2m-1－5① 当m =＿＿时，y 是关于x 的一次函数；① 当m =＿＿时，y 是关于x 的二次函数.3. 矩形的周长为16 cm，它的一边长为x cm，面积为y cm2.求(1) y 与x 之间的函数解析式及自变量x 的取值范围；(2) 当x = 3 时矩形的面积.参考答案一、创设情境，导入新知1.答案：(1) 是；(2)不是，是反比例函数；(3)不是，x 最高次数是二次；(4)不一定是，缺少k ≠0 的条件；(5) 不是，函数是每个唯一的x 都有唯一对应的y 值；(6)是.二、小组合作，探究概念和性质知识点一：二次函数的定义问题1：答案：(2) 果园共有(100 + x)棵树，平均每棵树结(600 - 5x)个橙子.y = (100 + x)(600 - 5x)= -5x² + 100x + 60000.当堂检测做一做答：y = 100x2 + 200x + 100.想一想(1) y = x(20 - x) = -x2 + 20x(2) 设矩形的其中一边长为x，面积为S.S = x(20 - x) = -x2 + 20x当S = 100 时，-x2 + 20x = 100. 解得x = 10.当S = 75 时，-x2 + 20x = 75. 解得x1 = 5，x2 = 15.典例精析答案：①不是，y = 6x + 9 ；②是；③是；④不是，等式右边是分式；⑤不是，x 的最高次数是 3 ；⑥不一定是，缺少a ≠0 的条件.链接中考1.解：(1) 由题意得∴m = 1.(2)y 是x 的二次函数，只须m2- m≠0.① m≠1 且m≠0.例3解：由题意得y＝122－2x(x+1)，又①x+1<2x≤12，①1<x≤6，即y＝－2x2－2x＋144(1<x≤6)，① y 是x 的二次函数.当堂检测1.A2.① 1 ②3 23.解：(1) y＝(8－x)x＝－x2＋8x (0＜x＜8)；(2) 当x＝3 时，y＝－32＋8×3＝15 (cm2 ).。

22.1.1二次函数学习目标：1）从实际情景中让学生经历探索分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，经一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系。

2）理解二次函数的概念，掌握二次函数的形式。

学习重点：二次函数的概念和解析式。

学习难点：用数学的方法去描述变量之间的数量关系。

1）学习过程一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.目前，我们已经学习了哪种类型的函数？问题一正方体的六个面是全等的正方形，设正方体的棱长为a，表面积为S，则S与a之间有什么关系？问题二n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛。

比赛的场次数m与球队数有什么关系？问题三某工厂一种产品现在的年产量是20吨，计划今后两年增加产量。

如果每一年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后，这种产品的产量y与x之间的关系应怎样表示？观察这三个式子你发现了什么？等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是22)归纳小结一般地，形如�=ax2+푏 +�(a、b、c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数。

二次函数的特殊形式：1)当b＝0时，y＝ax2＋c2)当c＝0时，y＝ax2＋bx3)当b＝0，c＝0时，y＝ax23)自我测试（基础）1．一台机器原价100万元，若每年的折旧率是x，两年后这台机器约为y万元，则y与x 的函数关系式为（）A．y＝100（1﹣x）B．y＝100﹣x2C．y＝100（1+x）2D．y＝100（1﹣x）2【详解】解：根据题意知y＝100（1﹣x）2，故选：D．2．线段AB=5．动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿线段AB运动至点B，以线段AP为边作正方形APCD，线段PB长为半径作圆．设点的运动时间为t，正方形APCD周长为y，⊙B的面积为S，则y与t，S与t满足的函数关系分别是（）A．正比例函数关系，一次函数关系B．一次函数关系，正比例函数关系C．正比例函数关系，二次函数关系D．反比例函数关系，二次函数关系【详解】解：依题意：AP=t，BP=5-t,故y=4t，S=（5-t）2故选择：C3．下列函数表达式中，一定为二次函数的是（）A．y＝2x﹣5B．y＝ax2+bx+c C．h＝t22D．y＝x2+1x【详解】解：A.是一次函数，故此选项错误；B.当a≠0时，是二次函数，故此选项错误；C.是二次函数，故此选项正确；D.含有分式，不是二次函数，故此选项错误；故选：C．4．对于y=ax2+bx+c，有以下四种说法，其中正确的是（）A．当b=0时，二次函数是y=ax2+c B．当c=0时，二次函数是y=ax2+bxC．当a=0时，一次函数是y=bx+c D．以上说法都不对【详解】A.当b=0，a≠0时．二次函数是y=ax2+c，故此选项错误；B.当c=0，a≠0时，二次函数是y=ax2+bx，故此选项错误；C.当a=0，b≠0时．一次函数是y=bx+c，故此选项错误；D.以上说法都不对，故此选项正确．故选D．5．设a，b，c分别是二次函数y＝﹣x2＋3的二次项系数、一次项系数、常数项，则（）A．a＝﹣1，b＝3，c＝0B．a＝﹣1，b＝0，c＝3C．a＝﹣1，b＝3，c＝3D．a＝1，b＝0，c＝3【详解】解：二次函数y＝﹣x2+3的二次项系数是a＝﹣1，一次项系数是b＝0，常数项是c＝3；故选：B．6．y=mx m2+1是二次函数，则m的值是（）A．m≠0B．m＝±1C．m＝1D．m＝﹣1【详解】解：∵y=mx m2+1是二次函数，∴m≠0且m2+1=2，解得：m＝±1．故选：B．7．已知函数y=m−2x m2−2+2x−7是二次函数，则m的值为（）A．±2B．2C．-2D．m为全体实数【详解】解：∵函数y=m−2x m2−2+2x−7是二次函数∴m-2≠0，m2−2=2，解得：m=-2．故选：C．4）巩固练习（提高）8．一个二次函数y=(k−1)x k2−3k+4+2x−1．（1）求k的值．（2）求当x=3时，y的值？【详解】解：（1）依题意有k2−3k+4=2k−1≠0，解得：k=2，∴k的值为2；（2）把k=2代入函数解析式中得：y=x2+2x−1，当x=3时，y=14，∴y的值为14．5）本节课的收获、体会及存在问题。

22.1.1 二次函数一、知识链接：1.若在一个变化过程中有两个变量x 和y ，如果对于x 的每一个值，y 都有唯一的值与它对应，那么就说y 是x 的______，x 叫做__________.2.形如_____________y =的函数是一次函数，当____=0时，它是_______函数.二、自主学习：1.正方体的棱长为x (米)，表面积为y (米²)，则写出表面积y (米²)关于棱长x (米)的关系式___________________________.2.n 个球队参加比赛，每两个队之间进行一场比赛.写出比赛的场次数m 与球队数n 之间的关系式_______________________，即_________________________.3.某种产品现在的年产量是20t ，计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x 倍，那么两年后这种产品的产量y 将随计划所定的x 的值而确定，写出产量y 关于x 的关系式_____________________，即___________________.4.观察上述函数关系有什么共同之处？____________________________________________________________________.5.归纳：一般地，形如______________________，（,,_____a b c a 是常数，且） 的函数，叫做二次函数.其中,x 是自变量，a 是___________，b 是___________，c 是___________．三、合作交流：（1）二次项系数a 为什么不能等于0？答：_______________________________________________________________.（2）一次项系数b 和常数项c 可以为0吗？答：______________________________________________________________.【归纳总结】二次函数的一般形式为_________________________________；必须满足：①自变量的最高次数为____；②二次项系数__________.四、跟踪练习：1.观察：22236;35;200400200;2;y x y x y x x y x x ==-+=++=-①②③④22213;(1)y x y x x x=-+=+-⑤⑥.这六个式子中二次函数有_______________. 2.已知2(1)31m m y m x x -=+-+ 是二次函数，则m 的值为_________________．3.已知二次函数2135y x x =-+，则其二次项系数a ，一次项系数b ，常数项c分别是（ ）.1,3,5A a b c ==-= .1,3,5B a b c === .5,3,1C a b c === .5,3,1D a b c ==-=4.若物体运动的路段s (米)与时间t (秒)之间的关系为252s t t =+，则当t ＝4秒时，该物体所经过的路程s 为________.5.二次函数23y x bx =-++.当x ＝2时,y ＝3,则这个二次函数解析__________.6.如图，矩形绿地的长、宽各增加x m ，写出扩充后的 绿地的面积y 与x 的关系式________________________.五、能力提升：已知22(4)231m m y m x x x -=-+--.(1)当m 为何值时，它是y 关于x 的一次函数；(2)当m 为何值时，它是y 关于x 的二次函数.。

22.1.1《二次函数》导学案班级姓名小组第一段--自学质疑（第1课时）【环节一】自主学习——明确目标自学教材(12分钟)1.目标导学在预习的过程中，明确本节的学习内容与目标，注意任务的要求和时间的分配，重在理解，积极参与自主探究，提高学习效率.2. 教材自学（时间：4分钟）独立认真预习课本P28-P29页的内容，弄清：（1）根据课本给出的实际问题得到相关的函数关系式.（2）二次函数的概念及二次项系数、一次项系数和常数项.（3）二次函数中a,b.c有怎样的要求？当a=0时，这个函数是二次函数吗？3.资源助学（时间：4分钟）观看微课《二次函数的基本概念》(或其它资源：课件、文本资料等)，弄清：（1）二次函数及其有关概念.（2）根据二次函数的有关概念解决一些简单问题.4.合作互学（时间：4分钟）组内结对检测互查以下问题：二次函数的定义：形如___________ 的函数叫做二次函数．自变量x取值范围为__________．【环节二】自学检测---在线测学质疑思学（5分钟）1.在线测学（时间： 3分钟）先独立完成导学案上的自学检测题，然后在线上提交客观题的答案,对照正确答案,对错题进行反思.1. 某工厂一种产品的年产量是20件，如果每一年都比上一年的产品增加x 倍，两年后产品y 与x 的函数关系是（ ）A. y=20（1﹣x ）²B. y=20+2xC. y=20（1+x ）²D. y=20+20x ²+20x2.有一根长60cm 的铁丝，用它围成一个矩形，写出矩形面积S （cm 2）与它的一边长x （cm ）之间的函数关系式为（ ）A. S=60xB. S=x （60﹣x ）C. S=x （30﹣x ）D. S=30x3. 如图，一边靠学校院墙，其它三边用40米长的篱笆围成一个矩形花圃，设矩形ABCD 的边AB=x 米，面积为S 平方米，则下面关系式正确的是（ ）A. S=x （40﹣x ）B. S=x （40﹣2x ）C. S=x （10﹣x ）D. S=10（2x ﹣20）4. n 个球队进行单循环比赛（参加比赛的任何一只球队都与其他所有的球队各赛一场），总的比赛场数为y ，则有（ ）A. y=2nB. y=n ²C. y=n （n ﹣1）D. y=21n(n-1) 5.下列函数中哪些是y 关于x 的二次函数？（1）22x y = (2) 22y x a =+ (3) 212y x x=-（4）y = （5）2(1)3y x =--（6）322y x x =- （7）22(2)y x x =-- （8）2y ax x =-2.总结反思（时间：2分钟）典例解析:（时间：13分钟）例1、已知函数y=(m2-4)x2+(m2-3m+2)x-m-1(1)当m为何值时，y是x的二次函数？(2)当m为何值时，y是x的一次函数？例2、某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为40只，且每日产出的产品全部售出．已知生产x只玩具熊猫的成本k(元)，售价每只p(元)，且k，p与x的关系式分别为:k=500+30x，p=170-2x（1）若每日获得的利润为y元，试写出y与x之间的函数关系式。

二次函数的图象和性质 22.1.1 二次函数2.抛物线y ＝x 2＋1，y ＝x 2－1与抛物线y ＝x 2的关系：抛物线y ＝x 2抛物线y ＝x 2＋1；抛物线y ＝x 2 抛物线y ＝x 2－1.y ＝ax 2 y ＝ax 2＋k （k ＞0）. y ＝ax 2 y ＝ax 2－k （k ＞0）.口诀：上加下减.归纳.抛物线y ＝a （x －h ）2的性质：在平面直角坐标系中，一次函数y ＝－x －1和二次函数y ＝－32()x －12的图象大致是（ ）1.二次函数y ＝3（x ＋4）2的图象是 ，开口 ，对称轴是直线 ，当x ＝ 时，y 有最 值是 .2.将抛物线y ＝m （x ＋n ）2向左平移2个单位长度后，得到抛物线y ＝－4（x －4）2，则m ＝ ， n ＝ .5. 将抛物线y=3x 2向左平移2个单位，得到抛物线的解析式是 ；向上平移2个单位，所得图象的解析式为 .7.将二次函数y ＝3（x －4）2的图象沿x 轴对折后得到的图象的函数解析式是什么？将二次函数y ＝3（x －4）2的图象二次函数y ＝a(x-h)2＋k 的图象和性质2.试说明：分别通过怎样平移，可以由抛物线y ＝21x 2得到抛物线y ＝21（x ＋2）2＋2和抛物线y ＝21（x －2）2－3？如果要得到抛物线y ＝21（x ＋2）2－6，那么应该将抛物线y ＝21x 2作怎样的平移？解：将抛物线y ＝21x 2先向______平移______个单位，再向______平移______个单位得到抛物线y ＝21（x ＋2）2＋2将抛物线y ＝21x 2先向______平移______个单位，再向______平移______个单位得到抛物线y ＝21（x －2）2－3将抛物线y ＝21x 2先向______平移______个单位，再向______平移______个单位得到抛物线y ＝21（x ＋2）2－6。

1.抛物线y ＝a （x －h ）2＋k 的性质：1.抛物线y ＝12（x －1）2＋1的开口方向是 ，顶点坐标是 ，对称轴是直线.当x 时，函数值y 随x 值的增大而增大；当x 时，函数值y 随x 值的增大而减小； 当x ＝ 时，函数取得最 值为 . 2.填表：1.若点A （2，－1）在抛物线y ＝a （x ＋1）2＋3上，则a 的值是 .2.如果二次函数y ＝a （x －h ）2＋k 的图象的对称轴为直线x ＝－1，那么h ＝ ；如果它的顶点坐标为（－1，－3），那么k 的值为 .3.将二次函数y ＝x 2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度后，所得函数的解析式是（ ） A .y ＝（x ＋1）2－2 B .y ＝（x －1）2－2 C .y ＝（x ＋1）2＋2 D .y ＝（x －1）2＋24.若二次函数y ＝（x －m ）2－1，当x ≤1时，y 随x 的增大而减小，则m 的取值范围是（ ） A .m ＝1 B .m>1 C .m ≥1 D .m ≤1二次函数y ＝ax2＋bx ＋c 的图象和性质：把二次函数y ＝－2x 2－4x ＋1化为顶点式为 ，所以抛物线y ＝－2x 2－4x ＋1的对称轴是直线 ，顶点坐标是 ，当 时，y 的值随x 值的增大而减小.2.把二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 化为的顶点式解析式，并指出它的对称轴和顶点坐标。

课题22.1 二次函数（1）导学目标知识点：1、从实际情景中让学生经历探索分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系。

2、理解二次函数的概念，掌握二次函数的一般形式；3、通过解决实际问题的过程总结建立数学模型的方法，培养与他人交流的意识和提取合理见解的能力。

课时：1课时导学方法：实验、整理、分析、归纳法导学过程：一、课前导学1、填表一次函数正比例函数表达式图形形状2、探究（1）．正方体六个面是全等的正方形，设正方形棱长为x ，表面积为y ，则y 关于x 的关系式为是什么？①（2）．多边形的对角线数d 与边数n 有什么关系？②n边形有个顶点，从一个顶点出发，连接与这点不相邻的各顶点，可作条对角线。

因此，n边形的对角线总数d = 。

（3）．某工厂一种产品现在年产量是20件，计划今后两年增加产量，如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的关系应怎样表示？这种产品的原产量是20件，一年后的产量是件，再经过一年后的产量是件，即两年后的产量为。

③二、合作探究探究：函数①②③有什么共同特点？你能举例说明吗？一般地，形如的函数，叫做二次函数其中，是自变量，a为，b为，c为，做一做：1、下列函数中，哪些是二次函数？分别说出二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项。

(1)(2) (3) (4))1(xxy-=(5))1)(1()1(2-+--=xxxy(6) 23712y x x=+-－2、函数2y ax bx c=++，当a、b、c满足什么条件时，(1)它是二次函数? (2)它是一次函数？(3)它是正比例函数？三、展示点评学习知识最好的途径就是自我发现四、课堂检测1.下列函数中,哪些是二次函数?(1)y=3x-1 ; (2)y=3x 2+2; (3)y=3x 3+2x 2; (4)y=2x 2-2x+1; (5)y=x 2-x(1+x); (6)y=x -2+x.2.写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数(1)、长方形的长是宽的2倍，写出长方形的周长C 与宽a 之间的函数关系 ， 是 的 函数。

2.1 二次函数学习目标1、能够表示简单变量之间的二次函数关系2、能够利用尝试求值的方法解决实际问题，如猜测增种多少棵橙子树可以使橙子的总产量最多的问题3、体验数形之间的联系，逐步学习利用数形结合的思想分析问题和解决问题.提高解决实际问题的能力.一、【学前提示】提示1：函数定义:在某个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定一个x值，相应地就确定了一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量.提示2：一次函数形式为y=ax+b形式的函数.其中a、b为常数，且a≠0.一次函数在直角平面坐标系中图象为一条直线.提示3：正比例函数是一次函数的特殊形式.形式为y=ax.其中a为常数，且a≠0.在直角平面坐标系中图象为一条过原点的直线.提示4：反比例函数形如 y＝k／x(k为常数且k≠0) 的函数，叫做反比例函数.自变量x的取值范围是不等于0的一切实数.反比例函数的图像为双曲线.如图，上面给出了k分别为正和负（2和-2）时的函数图像.当K＞0时，反比例函数图象经过一，三象限，是减函数当K＜0时，反比例函数图象经过二，四象限，是增函数提示5：二次函数的定义：形如cbxaxy++=2（a≠0，a，b，c为常数）的函数为二次函数.二、【方法点拨】点拨1：本节的重点是：表示简单变量之间的二次函数关系.点拨2：本节的难点是利用尝试求值的方法解决实际问题.点拨3：一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的函数叫做x的二次函数.注意：（1）关于x的代数式一定是整式,a,b,c为常数，且a≠0.（2 ）等式的右边最高次数为2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项.点拨4：银行的储蓄利率是随时间的变化而变化的.也就是说，利率是一个变量．在我国利率的调整是由中国人民银行根据国民经济发展的情况而决定的． 本金：存入银行的钱叫做本金.利息：取款时银行多付的钱叫做利息. 利率：；利息与本金的百分比叫做利率.利息计算公式利息＝本金×利率×时间三、【思路拓展】步骤1：迁移导入：1. 已知函数y m x m =-+-()3328是一次函数，求其解析式. 分析： 利用定义求一次函数y kx b =+解析式时，要保证k ≠0.如本例中应保证m -≠30解：由一次函数定义知m m 28130-=-≠⎧⎨⎩∴=±≠⎧⎨⎩m m 33 ∴=-m 3，故一次函数的解析式为y x =-+33 步骤2：本节课知识巩固1、下列各关系式中，属于二次函数的是(x 为自变量)A.y =81x 2B.y =12-xC.y =21xD.y =a 2x分析：本题考查的是二次函数的定义，一般地，形如y=ax ²+bx+c(a,b,c 是常数,a ≠ 0)的函数叫做x 的二次函数.注意： 关于x 的代数式一定是整式,a,b,c 为常数，且a ≠0.（2 ）等式的右边最高次数为2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项. 所以答案是A.2.函数y =ax 2+bx +c (a ，b ，c 是常数)是二次函数的条件是A.a ≠0，b ≠0，c ≠0B.a <0，b ≠0，c ≠0C.a >0，b ≠0，c ≠0D.a ≠0分析：一般地，形如y=ax ²+bx+c(a,b,c 是常数,a ≠ 0)的函数叫做x 的二次函数.注意： 关于x 的代数式一定是整式,a,b,c 为常数，且a ≠0.（2 ）等式的右边最高次数为2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项.所以答案是D.3．下列函数中，不是二次函数的是（） A ．y=2x 2＋2x B ．y=－x 2+x 3+1C ．y=－x 2+x1+1 D ．y=3－x(2－x) 分析：选项C 中含有x1,所以C 不是二次函数.答案是：C师生互动 共解难题一、【实例讲解】例1某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子.（1）问题中有那些变量？其中哪些是自变量？哪些是因变量？（2）假设果园增种x 棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树？这时平均每棵树结多少个橙子？（3）如果果园橙子的总产量为y 个，那么请你写出y 与x 之间的关系式. （4）种多少棵橙子树，可以使果园橙子的总产量最多？分析：一定要分析好题意，根据实际情况，当果园的种的橙子树多的时候，每颗的产量也相应的减少.设果园共有（100+x ）棵树，这时表示出每棵树能结多少个橙子，然后算出总的产量从而得到解析式；第四个问题由下表可以得到从左到右依次填，60480，60495，60500，60495，60480，可以猜测当x 逐渐增大时，y 也逐渐增大．当x 取10时，y 取最大值．x 大于10时，y 的值反而减小，因此当增种10棵橙子树时，橙子的总产量最多．解：（1）变量有果园里面的橙子树的棵数，和果园的总产量. （2）果园共有（100+x ）棵树，平均每棵树结（600-5x ）个橙子（3）因此果园橙子的总产量：Y=(100+x)(600-5x)=-5x ²+100x+60000 （4）从左到右依次填，60480，60495，60500，60495，60480，可以猜测当x 逐渐增大时，y 也逐渐增大．当x 取10时，y 取最大例2 (1)对于二次函数y=x 2的图象上两点P （x,y ）、Q （m,n ）：如果x ＜m ＜0,则y n; 如果0＜x ＜m,则y n; 如果是仅有x ＜m ，则能确定y 、n 的大小吗？(2)、对于二次函数y=-x 2的图象上两点P （x,y ）、Q （m,n ）： 如果x ＜m ＜0,则y n; 如果0＜x ＜m,则y n;分析：根据函数y=x 2的增减性：当a>0时,在对称轴的左侧,y 随着x 的增大而减小；在对称轴右侧,y 随着x 的增大而增大.当x=0时函数y 的值最小.当a<0时，在对称轴的左侧,y 随着x 的增大而增大；在对称轴的右侧,y 随着x 增大而减小,当x=0时,函数y 的值最大.所以答案是：(1) y > n ， y < n; (2) y < n ，y > n ， 二、【学会总结】总结1：总结2：二次函数y=ax 2的性质1.抛物线y=ax 2的顶点是原点,对称轴是y 轴.2.当a>0时，抛物线y=ax 2在x 轴的上方(除顶点外),它的开口向上,并且向上无限伸展； 当a<0时,抛物线y=ax 2在x 轴的下方(除顶点外),它的开口向下,并且向下无限伸展. 3.当a>0时,在对称轴的左侧,y 随着x 的增大而减小；在对称轴右侧,y 随着x 的增大而增大.当x=0时函数y 的值最小.当a<0时，在对称轴的左侧,y 随着x 的增大而增大；在对称轴的右侧,y 随着x 增大而减小,当x=0时,函数y 的值最大.积累运用 学会创新1.下列不是二次函数的是（ ）当x=0时,最大值为0.当x=0时,最小值为0最值在对称轴的左侧,y 随着x 的增大而增大. 在对称轴的右侧, y 随着x 的增大而减在对称轴的左侧,y 随着x 的增大而减小. 在对称轴的右侧, y 随着x的增大而增大.增减性向下向上开口方向 在x 轴的下方( 除顶点外) 在x 轴的上方(除顶点外) 位置 y 轴y 轴对称轴 （0，0） （0，0） 顶点坐标 y= -x 2y=x 2抛物线A ．y=3x 2＋4 B ．y=－31x 2C ．y=52 xD ．y=（x ＋1）（x －2）2.函数y=（m 2-1）·xm2+2m-1是二次函数，m 的值是（ ）A ．m= -3或1B ．m=+1或-1C ．m= -3D ．m=33、.若函数y =(k 2－4)x 2+(k +2)x +3是二次函数，则k ______.4.二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)中，当b =0，c ≠0时，函数表达式为______；当b ≠0，c =0时，函数表达式为______；当b =c =0时，函数表达式为______.5.在边长为6 cm 的正方形中间剪去一个边长为x cm(x <6)的小正方形，剩下的四方框形的面积为y ，y 与x 之间的函数关系是______.6.小立存入银行人民币500元，年利率为x %，两年到期，本息和为y 元(不含利息税)，y 与x 之间的函数关系是_______，若年利率为6%，两年到期的本利共______元.7．下列函数不属二次函数的是A.y =(x －1)(x +2)B.y =21(x +1)2C.y =2(x +3)2－2x 2D.y =1－3x 2拓展尝新 突破自我8．已知函数y =(m 2－m )x 2+(m －1)x +m +1. (1)若这个函数是一次函数，求m 的值;(2)若这个函数是二次函数，则m 的值应怎样？9．如图，一块草地是长80 m 、宽60 m 的矩形，欲在中间修筑两条互相垂直 的宽为x m 的小路，这时草坪面积为y m 2.求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值 范围.10.正方形的边长为1 cm ，假设边长增加x cm 时，正方形的面积增加y cm 2.(1)请写出y 与x 之间的关系表达式;(2)当正方形边长分别增加1 cm ，3 cm ，2 cm 时，正方形的面积增加多少？参考答案积累运用学会创新1、分析：因为选项C中含有5所以C不是二次函数；故答案是C.2x，2、分析：由题意得m2-1≠0，所以m≠1或m≠-1,由 m2+2m-1=2得m=-3或1故，本题答案是C.3、分析：由题意得k2－4≠0，所以答案是k≠2，k≠-24、y=ax2+c y=ax2+bx y=ax25、大正方形的面积为36，剪掉的部分是x2所以y=36 -x2 (x<6)6、分析：设人民币一年定期储蓄的年利率是x，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存．如果存款额是500元，那么请你写出两年后的本息和y(元)的表达式(不考虑利息税)：y=500（1+x）2=500x2+1000 x+500.所以本题答案是：y=500x2+1000 x+500 、561.87、分析：选项C经过化简以后不含有二次项了，所以答案是C.拓展尝新突破自我8、分析：要是一次函数则使二次项系数等于零，一项系数不能等于零，要使函数是二次函数，则使二次项系数不能等于零就行了.解：(1)∵m2－m=0，∴m=0或m=1.∵m－1≠0，∴当m=0时，这个函数是一次函数.(2)∵m2－m≠0，∴m1=0，m2=1.则当m1≠0，m2≠1时，这个函数是二次函数.9.分析：可以用割补法，草坪的面积可以看成个长方形，这个长方形的长是(80－x)m，,宽是(60－x)m;所以本题的答案是：解：y=(80－x)(60－x)=x2－140x+4800(0≤x＜60).10、解：(1)y=(x+1)2－1,∴y=x2+2x.(2)当x=1时，y=3;当x=3时，y=3+23当x=2时，y=8.。

第一节 二次函数【学习目标】1.探索并归纳二次函数的定义.2.能够表示简单变量之间的二次函数关系.【学习重点】1.经历探索二次函数关系的过程,获得用二次函数表示变量之间关系的体验.2.能够表示简单变量之间的二次函数.【学习过程】模块一 预习反馈一、知识回顾1、 函数的定义：在某个变化过程中，有两个变量x 和y ，如果对于x 的每一个可取的值，都有唯一一个y 值与它对应，那么称____为_____的函数。

2、我们已经学习过的函数有：________________________________________.二、自主学习看书P29—p30后，解答下列问题：1.某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子。

现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结4个橙子。

(1)问题中的变量是_______________,其中自变量是_______.因变量是_________(2)假设果园增种x 棵橙子树，那么果园共有________________棵树,平均每棵树结________________个橙子.(3)如果果园橙子的总产量为y 个，那么y 与x 之间的关系___________________.2、两数的和是30，设其中一个数是x ，则这两数之积y=____________________.3、已知矩形的周长为40cm ，设其中一边长xcm ，则矩形面积S=_______________. 1.定义：一般地,形如c bx ax y ++=2 (a,b,c 是常数,a ≠ 0)的函数叫做x的 。

2.二次函数的识别：已知函数c bx ax y ++=2 (a,b,c 是常数，a ≠ 0)。

（1）当a 时，是二次函数。

（2）当a ,b 时，是一次函数。

（3）当a ,b ，c 时,是正比例函数。

3.c bx ax y ++=2 (a,b,c 是常数,a ≠0)的几种不同表示形式:(1)2ax y = (a____0,b____0,c____0,) (2)c ax y +=2 (a____0,b____0,c____0).(3)bx ax y +=2(a____0,b____0,c____0).(4)c bx ax y ++=2(a___0,b__0,c___0)实践练习： 下列函数中哪些是二次函数：_______________________________(1)()1152+-=x y (2) 252132+--=x x y (3) ()223x x y -+= (4) xx y -=21 (5) x x y -=3 (6) 28r y π= 探究1、某商场将进价为40元的某种服装按50元售出时，每天可以售出300套．据市场调查发现，这种服装每提高1元售价，销量就减少5套，如果商场将售价定为x ，每天销售利润y .(1)请你得出每天销售利润y 与售价x 的函数表达式．解：销售利润=_______x________.由题意可知：每件服装的利润是__________每天的销售量是________________,函数关系式为:_________________________探究2、已知函数12)2(22-++=-x x m y m是关于x 的二次函数，求m 的值．解:模块三 小结反思讲一下你本节课学习了哪些新知识？用到了什么方法或数学思想？1.知识：（1）定义：一般地,形如_______________________(a,b,c 是常数,a ≠0)的函数叫做x 的二次函数.（2）不同表示形式:①y=ax ² --------- (a____0,b____0,c____0,).②y=ax ²+c ------ (a____0,b____0,c____0).③y=ax ²+bx ---- (a____0,b____0,c____0).④y=ax ²+bx+c — (a____0,b____0,c____0).2.方法：类比学习法模块四 形成提升1、下列函数中是二次函数的有__________________________.①y=x ＋x 1；②y=3（x －1）2＋2；③y=（x ＋3）2－2x 2；④y=21x＋x ． 2、用一根长为8m 的木条,做一个长方形的窗框,若宽为xm,则该窗户的面积y(m 2)与x(m)之间的函数关系式为 .3、当m 时， x m x y m )1(12++=+是关于x 的二次函数．4、已知二次函数224y x x =--，（1）当x=2时，求函数值；（2）当y=-1时，求x 的值.5、已知二次函数23y ax bx =+-过点（2,4），求代数式8a+4b+1的值。

课题22.1.1 二次函数课时 1课时 课型 新授课学习目标1. 了解二次函数的有关概念．2. 会确定二次函数关系式中各项的系数。

3. 确定实际问题中二次函数的关系式。

重点 理解二次函数的意义，能列出实际问题中二次函数解析式 难点 能列出实际问题中二次函数解析式 导学流程【旧知回顾】------不练不讲1.若在一个变化过程中有两个变量x 和y ，如果对于x 的每一个值， y 都有唯一的值与它对应，那么就说y 是x 的 ，x 叫做 。

2. 形如___________y =0)k ≠（的函数是一次函数，当______0=时，它是 函数；形如0)k ≠（的函数是反比例函数。

【自主预习】------不议不讲一、探究新知1．用16m 长的篱笆围成长方形圈养小兔，圈的面积y(㎡)与长方形的长x(m)之间的函数关系 式为 。

分析：在这个问题中，可设长方形生物园的长为x 米，则宽为 米，如果将面积记为y 平方米，那么y 与x 之间的函数关系式为y = ，整理为y = .2.n 支球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛．写出比赛的场次数m 与球队数n 之间的关系式_______________________．3.用一根长为40cm 的铁丝围成一个半径为r 的扇形，求扇形的面积S 与它的半径r 之间的函数关系式是 。

4.观察上述函数函数关系有哪些共同之处？。

二、总结归纳：一般地，形如 ，（,,a b c a 是常数，且 ）的函数为二次函数。

其中x 是自变量，a 是__________，b 是___________，c 是_____________． 三、合作交流：（1）二次项系数a 为什么不等于0？答： 。

（2）一次项系数b 和常数项c 可以为0吗？答： . 【当堂检测】1．观察：①26y x =；②235y x =-+；③y ＝200x 2＋400x ＋200；④32y x x =-；⑤213y x x=-+；⑥()221y x x =+-．这六个式子中二次函数有 。

二次函数学习目标1。

通过看例题会总结二次函数的定义.2.能够表示简单变量之间的二次函数关系。

学习重点：1.经历探索二次函数关系的过程，获得用二次函数表示变量之间关系的体验.2。

能够表示简单变量之间的二次函数.学习过程一、自主学习：由实际问题探索二次函数关系某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子,现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子．(1）问题中有哪些变量？其中哪些是自变量？哪些是因变量?（2)假设果园增种x棵橙子树，那么这时平均每棵树结多少个橙子?(3）如果果园橙子的总产量为y个，那么请你写出y与x之间的关系式．二。

归纳总结1.二次函数的定义：_____________________________________。

2.形如c+=2(caxy+bx,为常数的）函数ba,当a____________时是二次函数.当a ____________,b __________时是一次函数.当a ____________，b __________，c __________时是正比例函数。

三、解析与交流例1。

函数()12222-++=-x x m y m 是二次函数，则=m ．例2。

下列函数中是二次函数的有（ )①x x y 1+=；②()2132+-=x y ；③()2223x x y -+=；④x xy +=21． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个例3。

正方形的边长是5，若边长增加x ,面积增加y ，求y 与x 之间的函数表达式．例 4.某商场将进价为40元的某种服装按50元售出时，每天可以售出300套．据市场调查发现，这种服装每提高1元售价，销量就减少5套，如果商场将售价定为x ，请你得出每天销售利润y 与售价的函数表达式．四、交流展示1。

谈谈自己判断二次函数的方法。