北师大版九年级下册数学[锐角三角函数—知识点整理及重点题型梳理]

初中数学九年级锐角三角函数知识点总结28锐角三角函数一、知识框架本文介绍了锐角三角函数的知识点和概念总结，包括特殊值的三角函数、互余角的三角函数间的关系、同角三角函数间的关系以及三角函数值的变化情况。

二、知识点、概念总结1.锐角三角函数的定义：在锐角三角形中，对于角A，其对边、邻边、斜边分别为a、b、c，则有：sinA=a/c，cosA=b/c，tanA=a/b，cotA=b/a2.特殊值的三角函数：对于30°、45°、60°这几个特殊角度，其三角函数值为：3.互余角的三角函数间的关系：对于角度α和其互余角90°-α，有以下关系：sin(90°-α)=cosα，cos(90°-α)=sinα，tan(90°-α)=cotα，cot(90°-α)=tanα4.同角三角函数间的关系：平方关系：sin²α+cos²α=1，tan²α+1=sec²α，cot²α+1=csc²α积的关系：sinα=tanα·cosα，cosα=cotα·sinα，tanα=sinα·secα，cotα=cosα·cscα，secα=tanα·cscα，cscα=secα·cotα倒数关系：tanα·cotα=1，sinα·cscα=1，cosα·secα=15.三角函数值：1）特殊角三角函数值2）0°～90°的任意角的三角函数值，可以查三角函数表。

3）锐角三角函数值的变化情况：i）锐角三角函数值都是正值ii）当角度在0°～90°间变化时，正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小），余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大），正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小），余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）iii）当角度在0°≤∠A≤90°间变化时，0≤sinα≤1，1≥cosA≥0，tanA>0，cotA>0。

第一章直角三角形的边角关系九年级下册第1节锐角三角函数一、锐角三角函数锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数。

如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°【说明】①三角函数表示的是两边的比值，所以它只是一个数值，没有单位。

②当用一个大写字母表示角时，其三角函数中角的符号省略，如sin A，cos B，tan C；当用一个希腊字母表示角时，其三角函数中角的符号省略，如sinα，cosβ，tanθ；当用三个大写字母表示角时，其三角函数中角的符号不能省略，如sin∠ABC，cos∠DEF，tan∠GHI；当用一个阿拉伯数字表示角时，其三角函数中角的符号不能省略，如sin∠1，cos∠2，tan∠3。

③如果要表示三角函数的倍数与乘方，应分别表示为2 sin A，3cos B，4tan C，sin2A，cos3B，tan4C；2 sin30°，3cos30°，4tan30°，sin230°，cos330°，tan430°。

二、坡度1、坡度的概念如图所示，我们把坡面的铅直高度h和水平宽度l的比值叫做坡度（或坡比），通常用字母i表示。

【说明】坡面的坡度实际上就是坡角的正切值，即i＝tanα＝hl2、三角函数与坡面的陡峭程度（1）tan A的值越大，坡面越陡。

（2）sin A的值越大，坡面越陡。

（3）cos A的值越小，坡面越陡。

三、锐角三角函数的增减性（0°~90°）1、正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；2、余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；3、正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）。

四、同角三角函数的关系1、互余关系：sinA ＝cos(90°－A) cosA ＝sin(90°－A)2、平方关系：s in 2A ＋cos 2A ＝13、弦切关系：tan A ＝sin cos AA4、倒数关系：tan A ·tan(90°－A)＝1第2节 30°，45°，60°角的三角函数值一、探索30°，45°，60°角的三角函数值求30°角的三角函数值，关键根据“直角三角形中30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半”，可设30°的锐角的对边为a ，则斜边为2a ，由勾股定理可求得30°3a ，因此可以求出30°的锐角的各个三角函数值：sin30°＝2a a ＝12 cos30°3a3 tan30°3a 33也可以求出60°的锐角的各个三角函数值：sin60°3a ＝3 cos60°＝2a a ＝12tan60°3a 3求45°角的三角函数值，关键根据“有一个角是45°的直角三角形是等腰直角三角形”，可设一条直角边为a ，则另一条直角边也为a 2a ，因此可以求出45°的锐角的各个三角函数值：sin45°2a 22 cos45°2a 2 tan45°＝aa ＝1二、熟记特殊角的三角函数值第3节三角函数的计算一、用计算器求任意锐角的三角函数值1、求整数度数的锐角的三角函数值首先使计算器的面板上出现DEG，然后再按sin cos tan这三个键之一，再从高位向低位按出表示度数的整数，再按键＝，就可以在显示屏上得到答案。

图1 新北师大版九年级数学下册知识点总结第一章 直角三角形边的关系一．锐角三角函数 1.正切：定义：在Rt△ABC 中，锐角∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切．．，记作tanA ， 即的邻边的对边A A A ∠∠=tan ;①tanA 是一个完整的符号，它表示∠A 的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”； ②tanA 没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A 的对边与邻边的比； ③tanA 不表示“tan”乘以“A”；④初中阶段，我们只学习直角三角形中，∠A 是锐角的正切；⑤tanA 的值越大，梯子越陡，∠A 越大；∠A 越大，梯子越陡，tanA 的值越大。

2.正弦．．： 定义：在Rt△ABC 中，锐角∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即斜边的对边A A ∠=sin ;3.余弦：定义：在Rt△ABC 中，锐角∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即斜边的邻边A A ∠=cos ; 锐角A 的正弦、余弦和正切都是∠A 的三角函数当锐角A 变化时，相应的正弦、余弦和正切之也随之变化。

二．特殊角的三角函数值30 º45 º 60 º sin α21 22 23 h i=h:lBC三．三角函数的计算1. 仰角:当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角．．2. 俯角：当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角．．3.规律：利用特殊角的三角函数值表，可以看出，(1)当角度在0°～90°间变化时，正弦值、正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)；余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)。

(2)0≤sin α≤1，0≤cos α≤1。

4.坡度：如图2，坡面与水平面的夹角叫做坡角坡角的正切称为坡度．．．．．．．．．．． (或坡比．．)。

用字母i 表示，即A lhi tan ==5.方位角：从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角．．．。

锐角三角函数知识点总结一、引言锐角三角函数是数学中的基础知识点，它在解决与直角三角形相关的问题中扮演着重要角色。

本文将总结锐角三角函数的基本概念、性质和公式，以及它们在实际问题中的应用。

二、基本概念1. 锐角：角度小于90度的角。

2. 直角三角形：一个角为90度的三角形。

3. 边的命名：- 对边（Opposite side）：锐角所对的边。

- 邻边（Adjacent side）：锐角旁边的边，但不包括斜边。

- 斜边（Hypotenuse）：直角三角形中最长的边，对直角的两边进行闭合。

4. 锐角三角函数：- 正弦（Sine, sin）：锐角的对边与斜边的比值。

- 余弦（Cosine, cos）：锐角的邻边与斜边的比值。

- 正切（Tangent, tan）：锐角的对边与邻边的比值。

三、基本公式1. 定义公式：- sin(θ) = 对边 / 斜边- cos(θ) = 邻边 / 斜边- tan(θ) = 对边 / 邻边2. 互余关系：- sin(90° - θ) = cos(θ)- cos(90° - θ) = sin(θ)- tan(90° - θ) = cot(θ)3. 基本恒等式：- sin²(θ) + cos²(θ) = 1- 1 + tan²(θ) = sec²(θ)- 1 + cot²(θ) = csc²(θ)4. 特殊角的三角函数值：- sin(30°) = 1/2, cos(30°) = √3/2, tan(30°) = √3/3 - sin(45°) = √2/2, cos(45°) = √2/2, tan(45°) = 1- sin(60°) = √3/2, cos(60°) = 1/2, tan(60°) = √3四、应用1. 解直角三角形问题：- 利用三角函数求解边长。

北师大版数学中考总复习重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习中考总复习：锐角三角函数综合复习—知识讲解（提高）【考纲要求】1.理解锐角三角函数的定义、性质及应用，特殊角三角函数值的求法，运用锐角三角函数解决与直角三角形有关的实际问题.题型有选择题、填空题、解答题，多以中、低档题出现；2.命题的热点为根据题中给出的信息构建图形，建立数学模型，然后用解直角三角形的知识解决问题.【知识网络】【考点梳理】考点一、锐角三角函数的概念如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 所对的边BC 记为a ，叫做∠A 的对边，也叫做∠B 的邻边，∠B 所对的边AC 记为b ，叫做∠B 的对边，也是∠A 的邻边，直角C 所对的边AB 记为c ，叫做斜边．锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即sin A aA c ∠==的对边斜边；锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即cos A bA c∠==的邻边斜边；B Ca b c锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即tanA a AA b∠==∠的对边的邻边.同理sinB bBc∠==的对边斜边；cosB aBc∠==的邻边斜边；tanB bBB a∠==∠的对边的邻边．要点诠释：(1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化．(2)sinA，cosA，tanA分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成，，，不能理解成sin与∠A，cos与∠A，tan与∠A的乘积．书写时习惯上省略∠A的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠AEF)，其正切应写成“tan∠AEF”，不能写成“tanAEF”；另外，、、常写成、、．(3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在．(4)由锐角三角函数的定义知：当角度在0°＜∠A＜90°之间变化时，，，tanA＞0．考点二、特殊角的三角函数值利用三角函数的定义，可求出0°、30°、45°、60°、90°角的各三角函数值，归纳如下：要点诠释：(1)通过该表可以方便地知道0°、30°、45°、60°、90°角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，则锐角．(2)仔细研究表中数值的规律会发现：sin0︒、、、、sin90︒的值依次为0、、、、1，而cos0︒、、、、cos90 的值的顺序正好相反，、、的值依次增大，其变化规律可以总结为：当角度在0°＜∠A＜90°之间变化时，①正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而增大(或减小)②余弦值随锐角度数的增大(或减小)而减小(或增大)．考点三、锐角三角函数之间的关系如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°．(1)互余关系：，；(2)平方关系：；(3)倒数关系：或；(4)商数关系：．要点诠释：锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的计算中，计算时巧用这些关系式可使运算简便．考点四、解直角三角形在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形.在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角.设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有：①三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理).②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°.③边角之间的关系：，，，，，.④，h为斜边上的高.要点诠释：(1)直角三角形中有一个元素为定值(直角为90°)，是已知的值.(2)这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包括其他关系(如不等关系).(3)对这些式子的理解和记忆要结合图形，可以更加清楚、直观地理解.考点五、解直角三角形的常见类型及解法已知条件解法步骤Rt△ABC 两边两直角边(a，b)由求∠A，∠B=90°－∠A，斜边，一直角边(如c，a)由求∠A，∠B=90°－∠A，一边一角一直角边和一锐角锐角、邻边(如∠A，b)∠B=90°－∠A，，锐角、对边(如∠A，a)∠B=90°－∠A，，斜边、锐角(如c，∠A)∠B=90°－∠A，，要点诠释：1．在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行计算.2．若题中无特殊说明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知条件中至少有一个条件为边.考点六、解直角三角形的应用解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键.解这类问题的一般过程是：(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型.(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题.(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形.(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解.拓展：在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念：(1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示.坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则，如图，坡度通常写成=∶的形式.(2)仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图.(3)方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°.(4)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°.要点诠释：1．解直角三角形实际是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长或角的大小，最好画出它的示意图.2．非直接解直角三角形的问题，要观察图形特点，恰当引辅助线，使其转化为直角三角形或矩形来解.例如：3．解直角三角形的应用题时，首先弄清题意(关键弄清其中名词术语的意义)，然后正确画出示意图，进而根据条件选择合适的方法求解.考点七、解直角三角形相关的知识如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，(1)三边之间的关系：222a b c +=； (2)两锐角之间的关系：∠A+∠B ＝90°； (3)边与角之间的关系：sin cos a A B c ==，cos cos a A B c ==，cos sin b A B c==，1tan tan a A b B==． (4) 如图，若直角三角形ABC 中，CD ⊥AB 于点D ，设CD ＝h ，AD ＝q ，DB ＝p ，则由△CBD ∽△ABC ，得a 2＝pc ；由△CAD ∽△BAC ，得b 2＝qc ；由△ACD ∽△CBD ，得h 2＝pq ；由△ACD ∽△ABC 或由△ABC 面积，得ab ＝ch ．(5)如图所示，若CD 是直角三角形ABC 中斜边上的中线，则①CD ＝AD ＝BD ＝12AB ； ②点D 是Rt △ABC 的外心，外接圆半径R ＝12AB ． (6)如图所示，若r 是直角三角形ABC 的内切圆半径，则2a b c abr a b c+-==++． 直角三角形的面积： ①如图所示，111sin 222ABC S ab ch ac B ===△．（h 为斜边上的高）②如图所示，1()2ABC S r a b c =++△．【典型例题】类型一、锐角三角函数的概念与性质1．(1)如图所示，在△ABC 中，若∠C ＝90°，∠B ＝50°，AB ＝10，则BC 的长为( )．A ．10·tan50°B ．10·cos50°C ．10·sin50°D ．10sin 50°(2)如图所示，在△ABC 中，∠C ＝90°，sinA ＝35，求cosA+tanB 的值．(3)如图所示的半圆中，AD是直径，且AD＝3，AC＝2，则sinB的值等于________．【思路点拨】(1)在直角三角形中，根据锐角三角函数的定义，可以用某个锐角的三角函数值和一条边表示其他边．(2)直角三角形中，某个内角的三角函数值即为该三角形中两边之比．知道某个锐角的三角函数值就知道了该角的大小，可以用比例系数k表示各边．(3)要求sinB的值，可以将∠B转化到一个直角三角形中．【答案与解析】(1)选B．(2)在△ABC，∠C＝90°，3sin5 BCAAB==．设BC＝3k，则AB＝5k(k＞0)．由勾股定理可得AC＝4k，∴4432 cos tan5315k kA Bk k+=+=．(3)由已知，AD是半圆的直径，连接CD，可得∠ACD＝90°∠B＝∠D，所以sinB＝sinD＝23 ACAD=．【总结升华】已知一个角的某个三角函数值，求同角或余角的其他三角函数值时，常用的方法是：利用定义，根据三角函数值，用比例系数表示三角形的边长；(2)题求cosA时，还可以直接利用同角三角函数之间的关系式sin2 A+cos2 A＝1，读者可自己尝试完成．举一反三：【变式】（2015•乐山）如图，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则cosA的值为（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】过B 点作BD⊥AC，如图， 由勾股定理得， AB==， AD==2 cosA===，故选：D ．类型二、特殊角的三角函数值2．解答下列各题： (1)化简求值：tan 60tan 45sin 45sin 30sin 60cos30cos 45--++°°°°°°°；(2)在△ABC 中，∠C ＝9012sin cos A A -【思路点拨】第(2)题可以先利用关系式sin 2 A+cos 2A ＝1对根号内的式子进行变形，配成完全平方的形式． 【答案与解析】解 (1)tan 60tan 45sin 45sin 30sin 60cos30cos 45--++°°°°°°°311331112233--=+=-++13-23=(2)∵12sin cos A A -22sin cos 2sin cos A A A A =+- 2(sin cos )|sin cos |A A A A =-=-，∴12sin cos A A -cos sin (045)sin cos (4590)A A A A A A -<⎧=⎨-<<⎩°≤°°°． 【总结升华】由第(2)题可得到今后常用的一个关系式：1±2sin αcos α=(sin α±cos α)2． 例如，若设sin α+cos α＝t ，则21sin cos (1)2t αα=-． 举一反三： 【变式】若3sin 22α=，cos sin βα=，(2α，β为锐角)，求2tan()3β的值. 【答案】∵3sin 22α，且2α为锐角， ∴2α＝60°，α＝30°． ∴12cos sin 22βα===， ∴β＝45°． ∴23tan()tan 3033β==°．3．（2015春•凉州区校级月考）如图，在锐角△ABC 中，AB=15，BC=14，S △ABC =84，求：（1）tanC 的值；（2）sinA 的值．CBA【思路点拨】（1）过A 作AD ⊥BC 于点D ，利用面积公式求出高AD 的长，从而求出BD 、CD 、AC 的长，此时再求tanC 的值就不那么难了．（2）同理作AC 边上的高，利用面积公式求出高的长，从而求出sinA 的值．。

初三（下）重点知识点汇总第1课锐角三角函数1．锐角三角函数的定义在Rt△ABC中，∠C=90°．（1）正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的______，记作sinA．即sinA=∠A的对边斜边=ac．（2）余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的______，记作cosA．即cosA=∠A的邻边斜边=bc．（3）正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的______，记作tanA．即tanA=∠A的对边∠A的邻边=ab．（4）三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数．2．锐角三角函数的增减性（1）锐角三角函数值都是___值．（2）当角度在0°～90°间变化时，①正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；③正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）．（3）当角度在0°≤∠A≤90°间变化时，0≤sinA≤1，0≤cosA≤1．当角度在0°＜∠A＜90°间变化时，tanA＞0．3．互余两角三角函数的关系在直角三角形中，∠A+∠B=90°时，正余弦之间的关系为：（1）一个角的正弦值等于这个角的余角的______值，即sinA=（90°﹣∠A）；（2）一个角的余弦值等于这个角的余角的______值，即cosA=sin（90°﹣∠A）；也可以理解成若∠A+∠B=90°，那么sinA=cosB或sinB=cosA．参考答案：1.（1）正弦；（2）余弦；（3）正切2.（1）正3.（1）余弦正弦第2课特殊角的三角函数值1．特殊角的三角函数值特指___、_____、_____角的各种三角函数值．sin30°=；cos30°=；tan30°=；sin45°=；cos45°=；tan45°=1；sin60°=；cos60°=；tan60°=；2．特殊角的三角函数值的应用（1）应用中熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐_______，余弦逐渐_______，正切逐渐_______；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记．（2）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．参考答案：1. 30°、45°、60°2.（1）增大减小增大第2课解直角三角形（1）1．解直角三角形（1）解直角三角形的定义在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．（2）解直角三角形要用到的关系①锐角直角的关系：∠A+∠B=90°；②三边之间的关系：__________；③边角之间的关系：sinA=∠A的对边：斜边=a：c，cosA=∠A的邻边：斜边=b：c，tanA=∠A的对边：邻边=a：b．（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）2．特殊角的三角函数值特指___、_____、_____角的各种三角函数值．sin30°=；cos30°=；tan30°=；sin45°=；cos45°=；tan45°=1；sin60°=；cos60°=；tan60°=；参考答案：1.（2）a2+b2=c22. 30°、45°、60°第3课解直角三角形（2）1．解直角三角形的应用（1）通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问．如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度．（2）解直角三角形的一般过程是：①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．2．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做_____，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i=1：m的形式．（2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i=h/l=tanα．（3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题．应用领域：①测量领域；②航空领域③航海领域：④工程领域等．3．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（1）概念：仰角是_____的视线与水平线的夹角；俯角是_____向下看的视线与水平线的夹角．（2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．4．解直角三角形的应用-方向角问题（1）在辨别方向角问题中：一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数．（2）在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角．参考答案：2.（1）坡比3.（1）向上看向下看第4课二次函数1．二次函数的定义（1）二次函数的定义：一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为_____，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．（2）二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是__________，对实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义．2．二次函数的性质二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是______________，对称轴直线____________，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：①当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向____，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x=﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．②当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向____，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x=﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．③抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y=ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．3．根据实际问题列二次函数关系式根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据_______的取值范围来确定．①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是二次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题．②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式．参考答案：1.（1）整式；（2）全体实数2.（﹣，）x=﹣①上；②下3.自变量第5课二次函数的图像1．二次函数的图象（1）二次函数y=ax2（a≠0）的图象的画法：①_______：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表．②_______：在平面直角坐标系中描出表中的各点．③_______：用平滑的曲线按顺序连接各点．④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y=ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧．（2）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y=ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．2．二次函数图象与系数的关系二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）①二次项系数a决定抛物线的______和_______．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大，开口就越___．②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③．常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）．④抛物线与x轴交点个数．△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．3．二次函数图象与几何变换由于抛物线平移后的形状____，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．参考答案：1.（1）①列表；②描点；③连线；2.①开口方向大小小3.不变第6课二次函数解析式的判定1．二次函数解析式的三种常见形式二次函数的解析式有三种常见形式：①_________：y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）；②_________：y=a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标；③_________：y=a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）；2．待定系数法求二次函数解析式用待定系数法求二次函数的解析式．在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择________，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为________来求解；当已知抛物线与x 轴有两个交点时，可选择设其解析式为_______来求解．参考答案：1.①一般式；②顶点式；③交点式2. 一般式 顶点式 交点式第7课 用函数观点看一元二次函数1．二次函数与一元二次方程的关系如果抛物线与x 轴有公共点，公共点的横坐标是，那么当时，函数的值是0，因此______就是方程ax bx c 20++=的一个根。

九年级下册第一章 直角三角形的边角关系【知识要点】一、锐角三角函数：正切：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切．．，记作tanA ，即b A atan =; 正弦．．：．在Rt △ABC 中，锐角∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即ca sin =A ; 余弦：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即cA bcos =; 余切：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记作cotA ，即cA b cot =; 注：（1）sinA,cosA,tanA, 是在直角三角形中定义的,∠A 是锐角(注意数形结合,构造直角三角形). （2）sinA,cosA,tanA, 是一个完整的符号,表示∠A,习惯省去“∠”号； （3）sinA,cosA,tanA,是一个比值.注意比的顺序,且sinA,cosA,tanA,均﹥0,无单位. （4）sinA,cosA,tanA, 的大小只与∠A 的大小有关,而与直角三角形的边长无关. （5）角相等,则其三角函数值相等；两锐角的三角函数值相等,则这两个锐角相等. 1、三角函数和角的关系tanA 的值越大，梯子越陡，∠A 越大；∠A 越大，梯子越陡，tanA 的值越大。

sinA 的值越大，梯子越陡，∠A 越大；∠A 越大，梯子越陡，sinA 的值越大。

cosA 的值越小，梯子越陡，∠A 越大；∠A 越大，梯子越陡，cosA 的值越大。

2、三角函数之间的关系 （1）互为余角的函数之间的关系0º 30 º 45 º 60 º 90 º若∠A 为锐角，则①)90cos(sin A A ∠-︒=；)90sin(cos A A ∠-︒=②)90cot(tan A A ∠-︒=；)90tan(cot A A ∠-︒=（2）同角的三角函数的关系 1)平方关系：sinA 2＋cosA 2＝1 2)倒数关系：tanA ·cotA ＝13)商的关系：tanA ＝A o A s c sin ，cotA ＝A Asin cos二、解直角三角形：※在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和二个锐角。

锐角三角函数知识点总结与复习1、勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方;2、如下图,在Rt △ABC 中,∠C 为直角, 则∠A 的锐角三角函数为∠A 可换成∠B ：3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值;4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余切值等于它的余角的正切值;5、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值重要A 90B 90∠-︒=∠︒=∠+∠得由B A邻边A90B 90∠-︒=∠︒=∠+∠得由B A直角三角形中 的边角关系解直角三角形当0°≤α≤90°时,sin α随α的增大而增大,cos α随α的增大而减小; 7、正切、余切的增减性：当0°<α<90°时,tan α随α的增大而增大,cot α随α的增大而减小;一、知识性专题专题1：锐角三角函数的定义例 1 在Rt △ABC 中,∠ACB ＝90°,BC ＝1,AB ＝2,则下列结论正确的是 A ．sin A B ．tan A ＝12C ．cos BD ．tan B 分析 sin A ＝BC AB ＝12,tan A ＝BC AC ,cos B ＝BCAB ＝12．故选D.例2 在△ABC 中,∠C ＝90°,cos A ＝35,则tan A 等于 ； 分析 在Rt △ABC 中,设AC ＝3k ,AB ＝5k ,则BC ＝4k ,由定义可知tan A ＝4433BC k AC k ==． 分析 在Rt △ABC 中,BC =3,∴sin A ＝35BC AB =．故填35．例312·哈尔滨在Rt △ABC 中,∠C=900,AC=4,AB=5,则sinB 的值是 ； 解析本题考查了锐角三角函数的意义．解题思路：在直角三角形中,锐角的正弦等于对边比邻边,故sinB=54. 例42012内江如图4所示,△ABC 的顶点是正方形网格的格点,则sinA 的值为 ；解析欲求sinA,需先寻找∠A 所在的直角三角形,而图形中∠A 所在的△ABC 并不是直角三角形,所以需要作高．观察格点图形发现连接CD 如下图所示,恰好可证得CD ⊥AB,于是有图4图4sinA ＝CD AC ＝210＝55．例5 2012宁波,Rt △ABC,∠C=900,AB=6,cosB=错误!,则BC 的长为 ；解析cosB=错误!=错误!,又∵AB=6∴BC=4例62012贵州铜仁如图,定义：在直角三角形ABC 中,锐角α的邻边与对边的比叫做角α的余切,记作ctan α, 即ctan α=BCAC=的对边角的邻边角αα,根据上述角的余切定义,解下列问题：1ctan30◦= ；2如图,已知tanA=43,其中∠A 为锐角,试求ctanA 的值．分析1可先设最小边长为一个特殊数这样做是为了计算方便,然后在计算出其它边长,根据余切定义进而求出ctan30◦;2由tanA=43,为了计算方便,可以设BC=3 AC=4根据余切定义就可以求出ctanA 的值．解析1设BC=1, ∵α=30◦∴AB=2∴由勾股定理得：AC=3ctan30◦=BCAC=32 ∵tanA=43∴设BC=3 AC=4∴ctanA =BC AC =34例72012山东滨州把△ABC 三边的长度都扩大为原来的3倍,则锐角A 的正弦函数值 A ．不变B ．缩小为原来的13C ．扩大为原来的3倍D ．不能确定 解析因为△ABC 三边的长度都扩大为原来的3倍所得的三角形与原三角形相似,所以锐角A 的大小没改变,所以锐角A 的正弦函数值也不变．答案选A ．例82012湖南观察下列等式 ①sin30°= cos60°=②sin45°=cos=45°=③sin60°= cos30°=根据上述规律,计算sin 2a+sin 290°﹣a= ．解析：根据①②③可得出规律,即sin 2a+sin 290°﹣a=1,继而可得出答案． 答案：解：由题意得,sin 230°+sin 290°﹣30°=1；sin 245°+sin 290°﹣45°=1； sin 260°+sin 290°﹣60°=1；故可得sin 2a+sin 290°﹣a=1．故答案为：1．点评：此题考查了互余两角的三角函数的关系,属于规律型题目,注意根据题意总结,另外sin 2a+sin 290°﹣a=1是个恒等式,同学们可以记住并直接运用．例9 2012山东德州为了测量被池塘隔开的A ,B 两点之间的距离,根据实际情况,作出如下图形,其中AB BE ⊥,EF BE ⊥,AF 交BE 于D ,C 在BD 上．有四位同学分别测量出以下四组数据：22题图①BC ,∠ACB ； ②CD ,∠ACB ,∠ADB ；③EF ,DE ,BD ；④DE ,DC ,BC ．能根据所测数据,求出A ,B 间距离的有哪 组解析对于①,可由公式AB=BC ×tan ∠ACB 求出A 、B 两点间的距离；对于②,可设AB 的长为x,则BC=x tan ACB ∠,BD=xtan ADB ∠,BD-BC=CD,可解出AB ．对于③,易知△DEF ∽△DBA,则DE BDEF AB=,可求出AB 的长；对于④无法求得,故有①、②、③三组点评此题考查解直角三角形和三角形相似的性质与判定．在直角三角形中至少要有已知一边和一角才能求出其他未知元素；判定两三角形相似的方法有：AA,SAS,SSS,两直角三角形相似的判定还有HL ． 例102012江苏泰州18如图,在边长相同的小正方形组成的网格中,点A 、B 、C 、D 都在这些小正方形的顶点上,AB 、CD 相交于点P,则tan ∠APD 的值是 ．解析 要求tan ∠APD 的值,只要将∠APD 放在直角三角形中,故过B 作CD 的垂线,然后利用勾股定理计算出线段的长度,最后利用正切的定义计算出结果即可． 答案作BM ⊥CD,DN ⊥AB 垂足分别为M 、N,则2,易得：10,设PM=x,则PD=22-x,由△DNP ∽△BMP,得：PN DN PM BM =,即10102PN x =,∴PN=55x,由DN 2+PN 2=PD 2,得：110+15x 2=22-x 2,解得：x 1=24,x 2=2舍去,∴tan ∠APD=2224BM PM ==2．例11. 2011江苏苏州如图,在四边形ABCD 中,E 、F 分別是AB 、AD 的中点,若EF=2,BC=5,CD=3,则tanC 等ABCDEFF于 ．分析：根据三角形的中位线定理即可求得BD 的长,然后根据勾股定理的逆定理即可证得△BCD 是直角三角形,然后根据正切函数的定义即可求解．解答：解：连接BD ．∵E 、F 分別是AB 、AD 的中点．∴BD=2EF=4∵BC=5,CD=3∴△BCD是直角三角形．∴tanC= 43例122011山东日照在Rt△ABC 中,∠C=90°,把∠A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切,记作cotA=ab．则下列关系式中不成立的是A ．tanA•cotA=1B ．sinA=tanA•cosAC ．cosA=cotA•sinAD ．tan 2A+cot 2A=1解答：解：根据锐角三角函数的定义,得 A 、tanA•c otA=a b b a ⋅=1,关系式成立；B 、sinA=c a ,tanA•cosA=cac b b a =⋅,关系式成立； C 、cosA=,cotA•sinA=c b a b c a =⋅,关系式成立；D 、tan 2A+cot 2A=b a 2+ab 2≠1,关系式不成立．故选D ．点评：本题考查了同角三角函数的关系．1平方关系：sin 2A+cos 2A=1 2正余弦与正切之间的关系积的关系：一个角的正切值等于这个角的正弦与余弦的比,即tanA=BAcos sin 或sinA=tanA•cosA．3正切之间的关系：tanA•tanB=1． 例132011•贵港如图所示,在△ABC 中,∠C=90°,AD 是BC 边上的中线,BD=4,AD=2,则tan∠CAD 的值是 ．解答：解：∵AD 是BC边上的中线,BD=4,∴CD=BD=4,在Rt△ACD中,AC===2,∴tan∠CAD===2．故选A ．例142011烟台如果△ABC 中,sin A =cos B 2,则下列最确切的结论是 A. △ABC 是直角三角形 B. △ABC 是等腰三角形C. △ABC 是等腰直角三角形D. △ABC 是锐角三角形 解：∵sinA=cosB=22,∴∠A =∠B =45°,∴△ABC 是等腰直角三角形．故选C ． 例152011四川如图所示,在数轴上点A 所表示的数x 的范围是A 、330sin 602sin x ︒︒<< B 、3cos302x ︒︒<<cos45C 、3tan 302x ︒︒<<tan45D 、3cot 4502x ︒︒<<cot3 解答：故选D ．同步练习12011甘肃如图,A 、B 、C 三点在正方形网格线的交点处,若将△ACB 绕着点A 逆时针旋转得到△AC ’B ’,则tanB ’的值为 ．解答：解：过C 点作CD ⊥AB ,垂足为D ．根据旋转性质可知,∠B′=∠B ．在Rt△BCD 中,tanB= CD ：BD =13,∴tan B′=tan B = 13． 2 2011甘肃兰州点M －sin60°,cos60°关于x 轴对称的点的坐标是 ． 解：∵sin60°=32,cos60°= 12,∴点M －32,12．∵点P m ,n 关于x 轴对称点的坐标P′m ,-n ,∴M 关于x 轴的对称点的坐标是－32,－12．故选B ． 32011广东已知：45°＜A ＜90°,则下列各式成立的是A 、sinA =cosAB 、sinA ＞cosAC 、sinA ＞tanAD 、sinA ＜cosA解答：解：∵45°＜A ＜90°,∴根据sin 45°=cos 45°,sinA 随角度的增大而增大,cosA 随角度的增大而减小,当∠A ＞45°时,sinA ＞cosA ,故选：B ．4、2011•宜昌教学用直角三角板,边AC=30cm,∠C=90°,tan∠BAC=33,则边BC 的长为 ．cm解：在直角三角形ABC 中,根据三角函数定义可知：tan ∠BAC=BCAC,又AC=30cm,tan ∠3则BC=ACtan 33cm ．故选C ． 5、 2011福建莆田如图,在矩形ABCD 中,点E 在AB 边上,沿CE 折叠矩形ABCD ,使点B 落在AD 边上的点F 处,若AB =4,BC=5,则tan ∠AFE 的值为 ．ABCC ’ B ’解答：解：∵四边形ABCD 是矩形,∴∠A =∠B =∠D =90°,CD =AB =4,AD =BC =5,由题意得：∠EFC =∠B =90°,CF =BC =5,∴∠AFE +∠DFC =90°,∠DFC +∠FCD =90°, ∴∠DCF =∠AFE ,∵在Rt △DCF 中,CF =5,CD =4,∴DF =3,∴tan ∠AFE =tan ∠DCF =DFDC =34 ．6、2012连云港小明在学习“锐角三角函数”中发现,将如图所示的矩形纸片ABCD 沿过点B的直线折叠,使点A 落在BC 上的点E 处,还原后,再沿过点E 的直线折叠,使点A 落在BC 上的点F 处,这样就可以求出°的角的正切值是 ．EC DA BF答案设AB=x,则BE=x,在直角三角形ABE 中,用勾股定理求出AE=EF=2x,于是2在直角三角形ABF 中,tan ∠FAB=21)BF xAB x=2°.选B; 7、2012福州如图15,已知△ABC,AB=AC=1,∠A=36°,∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D,则AD 的长是 ,cosA 的值是 .结果保留根号解析：由已知条件,可知△BDC 、△ADB 是等腰三角形,且DA=DB=BC,可证△BDC ∽△ABC,则有BC DC AC BC =,设BC=x,则DC=1-x,因此21,101x xx x x -=+-=即,解方程得, 125151x x ---==,舍去,即AD=512；又cosA=512451512AB AD===--⨯答案：5151,24 8、2012南京如图,将45°的∠AOB 按下面的方式放置在一把刻度尺上：顶点O 与尺下沿的端点重合,OA 与尺下沿重合.OB 与尺上沿的交点B 在尺上的读书恰为2厘米,若按相同的方式将37°的∠AOC 放置在该刻度尺上,则OC 与尺上沿的交点C 在尺上的读数为 厘米.结果精确到厘米,参考数据sin370≈,cos370≈,tan370≈C B AO4321解析：由于∠AOB=45°,B 点读书为2厘米,则直尺的宽为2厘米,解直角三角形得点C 的读数为2÷tan370≈2÷≈厘米.答案：9、2012·湖南张家界黄岩岛是我国南海上的一个岛屿,其平面图如图甲所示,小明据此构造出该岛的一个数学模型如图乙所示,其中∠A=∠D=90°,AB=BC=15千米,CD=23千米,请据此解答如下问题：1 求该岛的周长和面积结果保留整数,参考数据2≈ 73.13≈45.26≈ 2 求∠ACD 的余弦值.解答1结AC,∵AB=BC=15千米,∠B=90°,∴∠BAC=∠ACB=45°,AC=152千米. 又∵∠D=90°, ∴AD=2222)23()215(-=-CD AC =123千米∴周长=AB+BC+CD+DA=30+32+123=30++≈55千米. 面积=S △ABC +S △ADC =21×15×15+21×123×32=2225+186≈157平方千米. 2cos ∠ACD=5121523==AC CD . 10、2012甘肃兰州在建筑楼梯时,设计者要考虑楼梯的安全程度;如图1,虚线为楼梯的倾斜度,斜度线与地面的夹角为倾角θ,一般情况下,倾角越小,楼梯的安全程度越高；如图2,设计者为了提高楼梯的安全程度,要把楼梯的倾角1θ减至2θ,这样楼梯占用地板的长度由d 1增加到d 2 ,已知d 1=4米,140θ∠=,236θ∠=,楼梯占用地板的长度增加了多少米 计算结果精确到米;参考数据：tan40°=,tan36°=AC解析：根据在Rt△ACB中,AB=d1tanθ1=4tan40°,在Rt△ADB中,AB=d2tanθ2=d2tan36°,即可得出d2的值,进而求出楼梯占用地板增加的长度．解：由题意可知可得,∠ACB=∠θ1,∠ADB=∠θ2在Rt△ACB中,AB=d1tanθ1=4tan40°,在Rt△ADB中,AB=d2tanθ2=d2tan36°,得4tan40°=d2tan36°,∴d2=4tan40tan36≈,∴d2-d1==≈,答：楼梯占用地板的长度增加了米．11、2012贵州为促进我市经济的快速发展,加快道路建设,某高速公路建设工程中需修隧道AB,如图,在山外一点C测得BC距离为200m,∠CAB=54°,∠CBA=30°,求隧道AB的长．参考数据：sin54°≈,cos54°≈,tan54°≈,≈,精确到个位解析：首先过点C作CD⊥AB于D,然后在Rt△BCD中,利用三角函数的知识,求得BD,CD的长,继而在Rt△ACD 利用∠CAB的正切求得AD的长,继而求得答案．答案：解：过点C作CD⊥AB于D∵BC=200m,∠CBA=30°,∴在Rt△BCD中,CD=BC=100m,BD=BC•cos30°=200×=100≈173m,∵∠CAB=54°,在Rt△ACD中,AD=≈≈74m,∴AB=AD+BD=173+74=247m．答：隧道AB的长为247m．12、2011新疆建设兵团如图,在△ABC中,∠A＝90°．1用尺规作图的方法,作出△ABC绕点A逆时针旋转45°后的图形△AB1C1保留作图痕迹；2若AB＝3,BC＝5,求tan∠AB1C1．第22题图d2解答：解：1作∠CAB 的平分线,在平分线上截取AB 1＝AB ,作C 1A ⊥AB 1,在AC 1上截取AC 1＝AC ,如图所示即是所求．2∵AB ＝3,BC ＝5,∴AC ＝4,∴AB 1＝3,AC 1＝4,tan∠AB 1C 1＝错误!＝错误!． 专题2 特殊角的三角函数值例12012,湖北孝感计算：cos 245°+tan30°·sin60°=________．答案1例22012陕西计算：(02cos 45-38+1-2=︒　．解析原式2=2-322+1=-52+12⨯⨯答案-52+1 例32012广安计算：---)32(218cos45o +13- ； 解析：1182()cos 4533---︒+=322212323+-+21 例4 计算|－3|＋2cos 45310． 解：原式＝3＋22－122． 例5 计算－12⎛⎫- ⎪⎝⎭9＋－12007－cos 60°．解：原式＝12＋3＋－1－12＝3－1＝2． 例6 计算|2＋cos 60°－tan 30°08 21十＋221． 例7 计算312-⎛⎫ ⎪⎝⎭－π－0－|1－tan 60°|32-.解：原式＝8－13132＝10. 例82012呼和浩特计算：11|122sin 45--+︒解析三角函数、绝对值、乘方答案11|12sin 45--+︒11)2211232=-+=+=例92011天水计算：si n 230°+tan 44°tan 46°+si n 260°= ． 分析：根据特殊角的三角函数值计算．tanA •tan 90°﹣A =1． 解答：解：原式=14+1+34=2．故答案为2． 例102011•莱芜若a=3﹣tan60°,则196)121(2-+-÷--a a a a = ;33-解答：解：a=3﹣tan60°=3﹣3,∴原式=23-a 1-a 121）（⨯---a a =31-a =33313331-=-=--故答案为：33-． 练习1、2011浙江计算：|－1|5－π0+4cos45°. 解原式=1－122练习2、2011浙江衢州1计算：|﹣2|﹣3﹣π0+2c os45°；解答：解：1原式=2122-+⨯,=1 练习3、计算：20110＋8－2sin45°；原式＝1＋22－2＝1＋2；练习3、观察下列各式：①sin 59°＞sin 28°；②0＜cos α＜1α是锐角；③tan 30°＋tan 60°＝tan 90°；④tan 44°＜1．其中成立的有A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 练习3、C 提示：sin 59°＞sin 28°成立,0＜cos α＜1α是锐角成立,tan 30°＋tan 60tan 90°,tan 44°＜tan 45°,即tan 44°＜1．练习4、计算2sin 30°－tan 60°＋tan 45°＝ ．练习5、如图28－146所示,在△ABC 中,∠A ＝30°,tan B ＝13,BC 10则AB 的长为 ． 练习6、当x ＝sin 60°时,代数式2242x x x -+·22244x x x x +-+＋42xx-的值是 ．练习7、已知cos 59°24′≈,则sin 30°36′≈ ．练习8、若∠A ,∠B 互余,且tan A －tan B ＝2,则tan 2A ＋tan 2B ＝ ．练习9、如图28－147所示,在菱形ABCD 中,AE ⊥BC 于E ,EC ＝1,cos B＝513,则这个菱形的面积是 . 10．已知正方形ABCD 的边长为1,若将线段BD 绕着点B 旋转后,点D落在DC 延长线上的点D ′处,则∠BAD ′的正弦值为 . 11．如图28－148所示,若将四根木条钉成的矩形木框变为平行四边形ABCD 的形状,并使其面积为矩形面积的一半,则这个平行四边形的一个最小内角等于 ．12．在△ABC 中,∠B ＝30°,tan C ＝2,AB ＝2,则BC ＝ ．13．设θ为锐角,且x 2＋3x ＋2sin θ＝05．则θ＝ ． 14．如图28－149所示,在△ABC 中,∠C ＝90°,点D 在BC 边上,BD ＝4,AD ＝BC ,cos ∠ADC ＝35． 1求DC 的长；2求sin B 的值．练习4、23 提示：2sin 30°－tan 60°＋tan 45°＝2×1231＝23 练习5、33提示：过点C 作CD ⊥AB ,垂足为D ,在Rt △BDC 中,tan B ＝13．∴13CD BD =,∴BD ＝3CD ,∵BC 10∴CD 2＋3CD 210,∴CD ＝1,BD ＝3．在Rt △ADC 中,tan A ＝CDAD,∴AD 3∴AB ＝AD ＋BD ＝33 练习632242x x x -+·22244x x x x +-+＋42xx-＝2x ,∴原式＝2sin 603练习7、提示：sin 30°36′＝cos 59°24′．练习8、6提示：∵∠A ,∠B 互余,∴tan A ·tan B ＝1,tan 2A ＋tan 2B ＝tan A －tan B 2＋2tan A ·tan B ＝22＋2＝6． 练习9、3916提示：∵cos B ＝513,设BE ＝5x ,则AB ＝13x ,∴AE 22AB BE -12x ．∵AB ＝BC ＝BE ＋CE ,∴13x ＝5x ＋1,∴x ＝18,则AE ＝12x ＝12×18＝32,BC ＝5x ＋1＝5×18＋1＝138,∴S ＝32×138＝3916．10．5提示:如图28－155所示,根据题意得DD ′＝2DC ,设正方形的边长为x ,则AD ＝x ,DD ′＝2x ．∵∠ADD ′＝90°,根据勾股定理得AD 22AD DD '+5x ．∵AD ＝x ,∴sin ∠AD ′D ＝ADAD '＝555x x=.∵AB ∥DD ′,∴∠BAD ′＝∠AD ′D ,∴sin ∠BAD ′＝55．11．30°提示：如图28＝156所示,∵S ABCD＝12S 矩形BEFC ,且BC ＝BC 底相同, ∴GC ＝12FC ．∵CF ＝DC ,∴GC ＝12DC ,12CG DC =．∵∠DGC ＝90°,sin 30°＝12,∴∠CDG ＝30°,即这个平行四边形的一个最小内角为30°． 12．12＋3 13．30°提示：x 1·x 2＝2sin θ,x 1＋x 2＝－3,则x 1－x 22＝x 1＋x 22－4x 1x 2＝9－8sin θ＝52,∴sin θ＝12,∴θ＝30°． 14．解：1∵cos ∠ADC ＝35,∴设CD ＝3x ,则AD ＝5x ,AC ＝4x ,∴BC ＝AD ＝5x ．∵BD ＝BC－CD ,∴5x －3x ＝4,∴x ＝2,∴CD ＝3x ＝6． 2∵AC ＝4x ＝8,BC ＝5x ＝10,∴AB ＝2222810241AC BC +=+=,∴sin B ＝844141241AC AB ==． ★ 专题三：题型一俯角与仰角仰角：视线在水平线上方的角；★ 俯角：视线在水平线下方的角;仰角铅垂线水平线视线视线俯角例1、2012湖北襄阳在一次数学活动中,李明利用一根拴有小锤的细线和一个半圆形量角器制作了一个测角仪,去测量学校内一座假山的高度CD ．如图5,已知李明距假山的水平距离BD 为12m,他的眼睛距地面的高度为,李明的视线经过量角器零刻度线OA 和假山的最高点C,此时,铅垂线OE 经过量角器的60°刻度线,则假山的高度为 m ．解析如下图,过点A 作AF⊥CD 于F,则AF ＝BD ＝12m,FD ＝AB ＝．再由OE∥CF 可知∠C＝∠AOE＝60°．所以,在Rt△ACF 中,CF ＝tan 60AF＝43,那么CD ＝CF ＋FD ＝43＋m ．例2、2012珠海如图,水渠边有一棵大木瓜树,树干DO 不计粗细上有两个木瓜A 、B 不计大A O BE D CF图5 CDA BO E小,树干垂直于地面,量得AB=2米,在水渠的对面与O 处于同一水平面的C 处测得木瓜A 的仰角为45°、木瓜B 的仰角为30°.求C 处到树干DO 的距离CO.结果精确到1米参考数据：41.12,73.13≈≈第16题图D BA OC解析如图,根据题意,得∠COD ＝90°, ∠ACO ＝45°, ∠BCO ＝30°, AB ＝2,求CO.设CO 为x 米, 根据AO ＝CO,列方程,解得即可.答案解:设CO 为x 米在Rt △BCO 中,tan30°＝BO CO ,则BO ＝33x 在Rt △ACO 中,AO ＝CO,得方程33x ＋2＝x 解得x ≈5.答: CO 长大约是5米. 例3、2012江苏盐城如图所示,当小华站立在镜子EF 前A 处时,他看自己的脚在镜中的像的俯角为450 ：如果小华向后退米到B 处,这时他看自己的脚在镜中的像的俯角为300.求小华的眼睛到地面的距离;结果精确到米,参考数据：3≈.答案设AC=BD=x,在Rt △ACA 1中,∠AA 1C=450,∴AA 1=x,在Rt △DBB 1中,BB 1=tan30x=3x ,又∵12BB 1-12AA 1=12,即12×3x -12x=12,解得：x=312+≈米． 例4、2012山西如图,为了开发利用海洋资源,某勘测飞机预测量一岛屿两端A ．B 的距离,飞机在距海平面垂直高度为100米的点C 处测得端点A 的俯角为60°,然后沿着平行于AB 的方向水平飞行了500米,在点D 测得端点B 的俯角为45°,求岛屿两端A ．B 的距离结果精确到米,参考数据：解析解：过点A 作AE⊥CD 于点E,过点B 作BF⊥CD 于点F,∵AB∥CD,∴∠AEF=∠EFB=∠ABF=90°,∴四边形ABFE 为矩形．第24题图∴AB=EF,AE=BF．由题意可知：AE=BF=100米,CD=500米．…2分 在Rt△AEC 中,∠C=60°,AE=100米．∴CE===米． …4分在Rt△BFD中,∠BDF=45°,BF=100． ∴DF===100米．…6分∴AB=EF=CD+DF﹣CE=500+100﹣≈600﹣×≈600﹣≈米． …8分答：岛屿两端A ．B 的距离为米．例5、2012呼和浩特22如图,线段AB 、DC 分别表示甲、乙两建筑物的高;某初三课外兴趣活动小组为了测量两建筑物的高,用自制测角仪在B 处测得D 点的仰角为α,在A 处测得D 点的仰角为β;已知甲、乙两建筑物之间的距离BC 为m ;请你通过计算用含α、β、m 的式子分别表示出甲、乙两建筑物的高度;答案解：过点A 作AM ⊥CD 于M在Rt △BCD 中,tan α=CD BC ∴CD =BC ·tan α=m tan α在Rt △AMD 中,tan β=DMAM∴DM =AM ·tan β=m tan β∴AB =CD –DM =mtan α–tan β例6、2012湖北随州,20在一次暑假旅游中,小亮在仙岛湖的游船上A 处,测得湖西岸的山峰太婆尖C 处和湖东岸的山峰老君岭D 处的仰角都是45°,游船向东航行100米后B 处,测得太婆尖、老君岭的高度为多少米3 1.732 ,结果精确到米;解析：设太婆尖高h 1米,老君岭高h 2米;可分别在直角三角形中利用正切值表示出水平线段的长度,再利用移动距离为AB=100米,可建立关于h 1、h 2的方程组,解这个方程组求得两山峰高度;答案：设太婆尖高h 1米,老君岭高h 2米,依题意,有FE第20题图60304545D (老君岭)C （太婆尖）BAβα乙甲ADB M C⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-10060tan 45tan 10045tan 30tan 2211h h h h 1376.136)1732.1(50)13(5045tan 60tan 1001≈=+=+=-=h 米33110030tan 45tan 1002-=-=h 2376.236)732.13(50)33(50)13(350≈=+=+=+=米答：太婆尖高度为137米,老君岭高度为237米;题型二方位角问题1、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角,叫做方位角;如图3,OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：45°、135°、225°;2、指北或指南方向线与目标方向 线所成的小于90°的水平角,叫做方向角;如图4：OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：北偏东30°东北方向,南偏东45°东南方向,南偏西60°西南方向,北偏西60°西北方向;例1、2011山东省潍坊轮船从B 处以每小时海里的速度沿男偏东30°方向匀速航行,在B 处观测灯塔A 位于南偏东75°方向上,轮船航行半小时到达C 处,在观测灯塔A 北偏东60°方向上,则C 处与灯塔A 的距离是 ．海里解答： BC=50×=25海里；根据方位角知识得,∠BCD=30°,=75°－30°；CB=∠BCD+∠ACD=30°+60°=90°；∠A=∠CBD=45°所以CA=CB 所以CB=25海里例2、2012年四川德阳某时刻海上点P 处有一客轮,测得灯塔A 位于客轮P 的北偏东30°方向,且相距20海里.客轮以60海里/小时的速度沿北偏西60°方向航行32小时到达B 处,那么tan ∠ABP=A.21 C.55 D.552解析如图6所示,根据题意可知∠APB=90°．且AP=20, PB=60×23=40. 所以tan ∠ABP=201402PA PB ==例3、2012连云港已知B 港口位于A 观测点北偏东°方向,且其到A 观测点正北方向的距离BD 的长为16km;一艘货轮从B 港口以40km/h 的速度沿如图所示的BC 方向航行,15min 后到达C 处;现测得C 处位于Ａ观测点北偏东°方向;求此时货轮与A 观测点之间的距离AC 的长精确到.25东北CBDCBH解析过点B 作AC 的垂线,把所求线段AC 换为两线段的差;利用Rt △ABH 和Rt △BCH 求线段AH 、CH 的长,利用AH －CH 确定AC 的长; 答案BC=40×1560=10.在Rt△ADB 中,sin ∠DAB=DB AB , °≈;所以AB=DAB DB ∠sin ≈1.60.8=20.如图,过点B 作BH⊥AC,交AC 的延长线于H;在Rt△AHB 中,∠BAH=∠DAC －∠DAB=°―37°=°,tan∠BAH=BH AH ,=BH AH,AH =＋CH 2=AB 2,BH 2+2BH 2=2025所以AH=85,在Rt△AHB 中, BH 2＋CH 2=BC 2,CH=2108025-=所以第22题图APCB °°AC=AH―CH=85―25＝65≈.例4、2012四川攀枝花如图6,我渔政310船在南海海面上沿正东方向匀速航行,在A地观测到我渔船C在东北方向上的我国某传统渔场．若渔政310船航向不变,航行半小时后到达B 处,此时观测到我渔船C在北偏东30°方向上．问渔政310船再航行多久,离我渔船C的距离最近假设我渔船C捕鱼时移动距离忽略不计,结果不取近似值．答案作CD⊥AB于D,设BD=x,∵∠BCD=30°,∴CD=3x,因为∠CAD=45°,∴AD=CD3,AB3–x,依据题意3x–x=,x 31+,31+小时,离渔船C的距离最近;例5、2012山东东营如图某天上午9时,向阳号轮船位于A处,观测到某港口城市P位于轮船的北偏西°,轮船以21海里/时的速度向正北方向行驶,下午2时该船到达B处,这时观测到城市P位于该船的南偏西°方向,求此时轮船所处位置B 与城市P的距离参考数据：°≈35,°≈34,°≈1213,°≈125解析过点P作PC⊥AB,构造直角三角形,设PC=x海里,用含有x的式子表示AC,BC的值,从而求出x的值,再根据三角函数值求出BP的值即可解答．答案过点P作PC⊥AB,垂足为C,设PC=x海里．在Rt△APC中,∵tan∠A=PCAC,∴AC=5tan67.512PC x=︒．在Rt△PCB中,∵tan∠B=PCBC,∴BC=4tan36.93x x=︒．∵AC＋BC=AB=21×5,∴54215123x x+=⨯,解得60x=.∵sinPCBPB∠=,∴60560100sin sin36.93PCPBB===⨯=∠︒海里．∴向阳号轮船所处位置B与城市P的距离为100海里．例6、2012山东省青岛如图,某校教学楼AB的后面有一建筑物CD,当光线与地面的夹角是22°时,教学楼在建筑物的墙上留下高2米的影子CE ；而当光线与地面夹角是45°时,教学楼顶A 在地面上的影子F 与墙角C 有13米的距离B 、F 、C 在一条直线上 ⑴求教学楼AB 的高度；⑵学校要在A 、E 之间挂一些彩旗,请你求出A 、E 之间的距离结果保留整数.参考数据：sin22°≈错误!,cos22°≈错误!,tan22°≈错误! 答案解：⑴过点E 作EM ⊥AB,垂足为M.设AB 为x.Rt △ABF 中,∠AFB=45°,∴BF=AB=x,∴BC=BF+FC=x+13在Rt △AEM 中,∠AEM=22°,AM=AB-BM=AB-CE=x-2,∴tan22°= 错误!, 错误!=错误!,x=12.即教学楼的高12m.⑵由1可得ME=BC=x+13=12+13=25.在Rt △AME 中,cos22°= 错误!, ∴ＡＥ＝ 错误!≈ 错误!≈２７．即ＡＥ之间的距离约为２７ｍ．题型三、坡比是垂直高度与水平距离的比值,即是坡角的正切值应用举例： 坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度坡比;用字母i 表示,即hi l=;坡度一般写成1:m 的形式,如1:5i =等;把坡面与水平面的夹角记作α叫做坡角,那么tan hi lα==;例1、2012广安如图2,某水库堤坝横断面迎水坡AB 的坡比是1：3,堤坝高BC=50m,则迎水坡面AB 的长度是 ．m解：tan∠BAC=13,∠BAC=30°,sin∠BAC=12, sin∠BAC=BC AB ,AB=2BC=100m例2、小强在教学楼的点P 处观察对面的办公大楼．为了测量点P 到对面办公大楼上部AD的距离,小强测得办公大楼顶部点A 的仰角为45°,测得办公大楼底部点B 的俯角为60°,已知办公大楼高46米,CD ＝10米．求点P 到AD 的距离用含根号的式子表示．图2:i h l=hlαABCDPN M解析连结PA 、PB ,过点P 作PM ⊥AD 于点M ；延长BC ,交PM 于点N则∠APM =45°,∠BPM =60°,NM =10米………1分设PM =x 米 在Rt △PMA 中,AM =PM ×tan ∠APM =x tan 45°＝x 米…3分在Rt △PNB 中,BN =PN ×tan ∠BPM =x －10tan 60°＝x －103米…5分 由AM +BN =46米,得x +x －103 ＝46……6分解得,4610313x +=+ ,∴点P 到AD 的距离为4610313++米．结果分母有理化为()1838-米也可……8分答案4610313++结果分母有理化为()1838-米也可例3、2012湖北如图,某公园入口处原有三级台阶,每级台阶高为18cm,深为30cm,为方便残疾人士,拟将台阶改为斜坡,设台阶的起点为A ,斜坡的起始点为C ,现设计斜坡BC 的坡度1:5i =,则AC 的长度是 cm ．解析如图,过点B 作BD ⊥AC 于D,依题意可求得AD ＝60cm,BD ＝54cm ；由斜坡 BC 的坡度i ＝1：5,求得CD ＝270cm,故AC ＝CD －AD ＝270－60＝210cm ．例4、2012浙江省绍兴,19如图1,某超市从一楼到二楼的电梯AB 的长为米,按坡角∠BAC 为32°.1求一楼与二楼之间的高度BC 精确到米；2电梯每级的水平级宽均是米,如图2.小明跨上电梯时,该电梯以每少上升2级的高度运行,10秒后他上升了多少米精确到米 备用数据：sin 32°=,cos 32°=,tan 32°=.解析1在Rt△ABC 中,已知∠B AC=32°,斜边AB 的长为米,根据锐角三角函数的定义即可求得第20题图MPDCBA第12题A BC3018一楼与二楼之间的高度BC ．2先计算1级电梯的高,再根据10秒钟电梯上升了20级可计算10秒后他上升的高度．答案解：1∵sin ∠BAC =ABBC ,∴BC =AB ×sin32°=×≈米. 2∵tan32°= 级高级宽,∴级高=级宽×tan32°=×=,∵10秒钟电梯上升了20级,∴小明上升的高度为：20×米. 例5、2012浙江丽水,19学校校园内有一小山坡,经测量,坡角∠ABC=30°,斜坡AB 长为12米.为方便学生行走,决定开挖小山坡,使斜坡BD 的坡比是1:3即为CD 与BC 的长度之比,A,D 两点处于同一铅垂线上,求开挖后小山坡下降的高度AD.解析：∴AD=AC-CD=6-23.答：开挖后小山坡下降的高度AD 为6-23米.例6、2012深圳小明想测一棵树的高度,他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上,如图3,此时测得地面上的影长为8米,坡面上的影长为4米,已知斜坡的坡角为30,同一时刻,一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米,则树的高度为 ．米解答：如图3—1,根据坡角易求树的下半部分的高为2米,树的上半部分所在直角三角形的水平距离为(+823米,由两个直接三角形相似易求树的上半部分高度为(43米,知树的高度为()63米,选择A例72012江苏泰州24如图,一居民楼底部B 与山脚P 位于同一水平线上,小李在P 处测得居民楼顶A 的仰角为60°,然后他从P 处沿坡角为45°的山坡上走到C 处,这时,PC=30m,点C 与点A 在同一水平线上,A 、B 、P 、C 在同一平面内．1求居民楼AB 的高度；2求C 、A 之间的距离．精确到,参考数据：2≈,3≈,6≈60° CA B 45°图330°21图3-1第24题图解析过C作BP的垂线,垂足为G,利用特殊Rt△PCG和Rt△ABP中的边角关系,我们容易计算出CG即AB的长,最后用AC=BP+PG,就是C、A之间的距离．答案1过C作BP的垂线,垂足为G,在Rt△PCG中,CG=PCsin450=30×2所以=m2PG= PCcos450=30×2=所以C、A之间的距离例82012四川水务部门为加强防汛工作,决定对某水库大坝进行加固,大坝的横截面是梯形ABCD．如图9所示,已知迎水坡面AB的长为16米,∠B＝60°,背水坡面CD的长为,加固后大坝的横截面为梯形ABED,CE的长为8米．1已知需加固的大坝长为150米,求需要填土石方多少立方米2求加固后大坝背水坡面DE的坡度．解析1求出横截面△DCE的面积,然后乘以坝堤长度即可得出体积．可以分别过点A,D 作BC边上的高将问题转化为解直角三角形问题．2求大坝背水坡面DE的坡度就是求坡面DE上一点到BE的铅直高度与它到点E的水平宽度的比,这一点通常取梯形的顶点．答案解：1过点A作AG⊥BC于G,过点D作DH⊥BC于H,∴AG＝DH．在Rt△ABG中,AG＝sin60°·AB×16＝∴DH＝S△DCE＝12·DH·CE＝12×8＝∴需要填土石方150＝3．2在Rt△DHC中,HC24,∴HE＝HC＋CE＝24＋8＝32．∴加固后大坝背水坡面DE的坡度＝DHHE．AB CD图9E例9 2012江苏苏州如图,已知斜坡AB 长60米,坡角即∠BAC 为30°,BC⊥AC,现计划在斜坡中点D 处挖去部分坡体用阴影表示修建一个平行于水平线CA 的平台DE 和一条新的斜坡BE ．请讲下面2小题的结果都精确到米,参考数据：≈．1若修建的斜坡BE 的坡角即∠BEF 不大于45°,则平台DE 的长最多为 米；2一座建筑物GH 距离坡角A 点27米远即AG=27米,小明在D 点测得建筑物顶部H 的仰角即∠HDM 为30°．点B 、C 、A 、G 、H 在同一个平面内,点C 、A 、G 在同一条直线上,且HG⊥CG,问建筑物GH 高为多少米解答： 解：1∵修建的斜坡BE 的坡角即∠BEF 不大于45°,∴∠BEF 最大为45°当∠BEF=45°时,EF 最短,此时ED 最长,∵∠DAC=∠BDF=30°,AD=BD=30,∴BF=EF=BD=15,DF=15,故：DE=DF ﹣EF=15﹣1≈；2过点D 作DP⊥AC,垂足为P ．在Rt△DPA中,DP=AD=×30=15,PA=AD•cos30°=×30=15． 在矩形DPGM 中,MG=DP=15,DM=PG=15+27,在Rt△DMH 中,HM=DM•tan30°=×15+27=15+9． GH=HM+MG=15+15+9≈．答：建筑物GH 高为米．A B C DE GH。

九年级数学中，锐角三角函数是一个重要的知识点。

锐角三角函数是指对于锐角的正弦、余弦和正切函数。

下面我将对锐角三角函数的基本概念、性质和应用进行总结。

一、基本概念1.弧度和角度：角度是常用的角度度量单位，弧度是角度的另一种度量单位。

1个弧度对应360°/2π≈57.3°。

角度和弧度之间的关系式：弧度=角度×π/180°。

2.锐角：指角度小于90°的角。

3. 三角函数：对于一个锐角A，定义其正弦(sin A)为对边与斜边的比值，余弦(cos A)为邻边与斜边的比值，正切(tan A)为对边与邻边的比值。

二、性质1.正弦函数的性质：（1）对于锐角A，0 < A < 90°，sin A > 0；（2）sin A = sin (180° - A) = sin (A + 360°)；（3）sin (90° - A) = cos A；（4）sin A ≠ 0，当且仅当A是锐角。

2.余弦函数的性质：（1）对于锐角A，0 < A < 90°，cos A > 0；（2）cos A = cos (180° - A) = cos (360° + A)；（3）cos (90° - A) = sin A；（4）cos A ≠ 0，当且仅当A是锐角。

3.正切函数的性质：（1）对于锐角A，0 < A < 90°，tan A > 0；（2）tan A = tan (180° + A)；（3）tan (90° - A) = 1/tan A；（4）tan A ≠ 0，当且仅当A是锐角。

4.三角函数的关系：（1）sin^2 A + cos^2 A = 1；（2）tan A = sin A / cos A。

三、应用1.解三角形：利用已知角的正弦、余弦和正切的值，可以求解未知边长或角度的三角形问题。

锐角三角函数知识点总结1、勾股定理：直角三角形两直角边 a 、b的平方和等于斜边 c 的平方。

a 2b2 c 22、如下图，在Rt △ABC中，∠ C为直角，则∠ A 的锐角三角函数为 ( ∠A 可换成∠ B)：定义表达式取值范围关系正sin A A的对边sin Aa 0 sin A 1 sin A cosB弦斜边c( ∠ A 为锐角 )cos A sin B余cos A A的邻边cos A b 0 cos A 1 sin 2 A cos2 A 1 弦斜边 c ( ∠ A 为锐角 )正的对边a tan A 0 tan A cot Btan A A tan A cot A tan B切A的邻边 b ( ∠ A 为锐角 )1tan A ( 倒数 )余cot A A的邻边cot Ab cot A 0 cot Atan A cot A 1切A的对边 a ( ∠ A 为锐角 )3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。

B sin A cosB 由 A B 90 sin A cos(90 A)对cos A sin B 得 B 90 A cos A sin(90 A) 斜边 c a边bA C邻边4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。

tan A cot B 由 A B 90 tan A cot(90 A)cot A tan B 得 B 90 A cot A tan(90 A)5、 0°、 30°、 45°、 60°、 90°特殊角的三角函数值( 重要 )三角函数0°30°45°60°90°sin 0 1 2 312 2 2cos 1 3 2 1 02 2 2tan 0 3 1 3 -3cot - 3 1 3 036、正弦、余弦的增减性：当 0°≤≤ 90°时，sin随的增大而增大，cos随的增大而减小。

北师大版初三数学知识点初三下册数学知识点总结一、锐角三角函数正弦等于对边比斜边余弦等于邻边比斜边正切等于对边比邻边余切等于邻边比对边正割等于斜边比邻边二、三角函数的计算幂级数c0+c1x+c2x2+...+cnxn+...=∑cnxn(n=0..∞)c0+c1(x-a)+c2(x-a)2+...+cn(x-a)n+...=∑cn(x-a)n(n=0..∞)它们的各项都是正整数幂的幂函数,其中c0,c1,c2,...及a都是常数,这种级数称为幂级数.泰勒展开式(幂级数展开法)f(x)=f(a)+f'(a)/1!.(x-a)+f''(a)/2!.(x-a)2+...f(n)(a)/n!.(x-a)n+...三、解直角三角形1.直角三角形两个锐角互余。

2.直角三角形的三条高交点在一个顶点上。

3.勾股定理：两直角边平方和等于斜边平方四、利用三角函数测高1、解直角三角形的应用(1)通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问.如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度.(2)解直角三角形的一般过程是：①将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题).②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案.初三数学学习方法概念课要重视教学过程，要积极体验知识产生、发展的过程，要把知识的来龙去脉搞清楚，认识知识发生的过程，理解公式、定理、法则的推导过程，改变死记硬背的方法，这样我们就能从知识形成、发展过程当中，理解到学会它的乐趣;在解决问题的过程中，体会到成功的喜悦。

习题课要掌握“听一遍不如看一遍，看一遍不如做一遍，做一遍不如讲一遍，讲一遍不如辩一辩”的诀窍。

除了听老师讲，看老师做以外，要自己多做习题，而且要把自己的体会主动、大胆地讲给大家听，遇到问题要和同学、老师辩一辩，坚持真理，改正错误。

锐角三角函数知识解读一、重点知识在Rt△ABC中，如果锐角A确定，那么∠A的对边与斜边的比，邻边与斜边之比也就确定．正弦定义：∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA,即:sinA=A ∠的对边斜边余弦定义：∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦,记作cosA，即：cosA=A∠的邻边斜边正切定义：∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切,记作tanA，即：tanA=的临边角的对边角AA 锐角∠A的正弦、余斜、正切，统称为锐角∠A的三角函数，这些函数值都是正实数，而且0〈sinA〈1，0〈cosA〈1．定义拓展:sin2A+cos2A=1；tanA·cotA=1．二、典型例题例1 下图是两个不同商场的自动扶梯，依据图形数据探讨下列问题：（1）哪一个自动扶梯陡？为什么？(2）甲、乙两个自动扶梯的倾斜程度是通过什么数学公式计算的?(3）如图（甲)，当Rt△ABC中的锐角∠ABC确定时，∠ABC•的对边与邻边的比便随之确定，此时其他边之间的比确定吗？思路点拨：问题（1）的解决方法是通过计算∠ABC和∠DEF的正切值来比较,tan∠斜边∠A的邻边∠A的对边BAABC>tan∠DEF,因此,甲梯较乙梯陡．这道题复习了正切的概念．问题（2）实际上是在问题（1）的基础上进一步明确倾斜程度是正切定义来确定的，即斜面的铅直高度与水平宽度的比．问题(3），在锐角∠ABC的三角函数概念中，如图甲∠ABC是自变量，其取值范围是0°〈∠ABC〈90°，三个比值是因变量,当∠ABC确定时，三个比值分别唯一确定，当∠ABC变化时，三个比值也分别有唯一确定的值与之对应．解:思路1：甲梯中，sin∠ABC===乙梯中,sin∠．由于sin∠ABC〉sin∠DEF，因此，甲梯较乙校更陡．规律：sinA的值越大，梯子越陡．思路2：甲梯中，cos∠ABC=5=；乙梯中，cos∠DEF=710．由于cos∠ABC〈cos∠DEF，因此甲梯较乙梯更陡．规律：cosA的值越小，梯子越陡．点评：从理论上来讲，正弦和余弦都可以用来刻画梯子的倾斜程度，但是，一般情况下还是使用正切最好．例2 如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=200，sinA=0.6,求BC的长．思路点拨：可以从sinA=0。