理论力学授课教案

大小 : F ' ( X ) 2 ( Y ) 2 ' R F Rx X Y ' F Ry Y 方向 : tan X 其中为FR与x轴所夹锐角，所在
象限由Σ X、Σ Y符号确定，并画在简化中心O上。 ④求主矩： o ⑤简化结果讨论
o '
c. 若
F
' R
0,
o
d
M
用线在距简化中心O为
F
' R
FR
处。
o d. ，则该力系为平衡力系。 3．平面力系的平衡条件和平衡方程 平面力系平衡的充分必要条件是该力系的主矢和对作用面内任意一点的主矩同时为零。其 解析表达式有三种形式，称为平衡方程。 1）基本形式
0,
M
0
X 0 Y 0 M (F ) 0 0
① 本章讲述概念较多，要讲清这些概念的定义，并理解其意义。例如： 属于力的：力系、等效力系、合力、分力、平衡力系、主动力、约束反力、作用力、反作 用力、内力、外力等。 属于物体的：变形体、弹性体、刚体、自由体、非自由体等。 属于数学的：代数量、矢量（向量） 、单位矢量、定位矢量、滑动矢量等。 ② 静力学公理是最普遍、最基本的客观规律，是静力学基础，要讲透。并使学生深入理 解和熟记这五条公理与四个推论。 ③ 多举例题讲清楚约束反力的确定方法和受力图的正确画法。 ④ 鼓励使用多媒体教学，学生可以在理论力学精品课程网上观看电教片及相关课件。如 《力学在机械工程中的应用》 《力学在土木工程中的应用》 《约束及物体的受力分析》等。
《理论力学》教案 使用教材： 《理论力学》 (哈工大主编) 第一篇 静力学 第一章 静力学 一、目的要求 1．深入地理解力、刚体、平衡和约束等重要概念。 2．静力学公理（或力的基本性质）是静力学的理论基础，要求深入理解。 3．明确和掌握约束的基本特征及约束反力的画法。 4．熟练而正确地对单个物体与物体系统进行受力分析，画出受力图。 5．掌握力多边形法则及平面汇交力系合成与平衡的几何条件。 二、基本内容 1．重要概念 1）平衡：物体机械运动的一种特殊状态。在静力学中，若物体相对于地面保持静止或作 匀速直线平动，则称物体处于平衡。 2）刚体：在力作用下不变形的物体。刚体是静力学中的理想化力学模型。 3）约束：对非自由体的运动所加的限制条件。在刚体静力学中指限制研究对象运动的物 体。约束对非自由体施加的力称为约束反力。约束反力的方向总是与约束所能阻碍的物体的运 动或运动趋势的方向相反。 4）力：物体之间的相互机械作用。其作用效果可使物体的运动状态发生改变和使物体产 生变形。前者称为力的运动效应或外效应，后者称为力的变形效应或内效应，理论力学只研究 力的外效应。力对物体作用的效应取决于力的大小、方向、作用点这三个要素，且满足平行四 边形法则，故力是定位矢量。 5）力的分类： 集中力、分布力 主动力、约束反力 6）力系：同时作用于物体上的一群力称为力系。按其作用线所在的位置，力系可以分为 平面力系和空间力系，按其作用线的相互关系，力系分为共线力系、平行力系、汇交力系和任 意力系等等。 7）等效力系：分别作用于同一刚体上的两组力系，如果它们对该刚体的作用效果完全相 同，则此两组力系互为等效力系。 8）平衡力系：若物体在某力系作用下保持平衡，则称此力系为平衡力系。 9）力的合成与分解：若力系与一个力FR等效，则力FR称为力系的合力，而力系中的各力称 为合力FR的分力。力系用其合力FR代替，称为力的合成；反之，一个力FR用其分力代替，称为力 的分解。 2．静力学公理及其推论 公理1：二力平衡条件 指出了作用于刚体上最简单力系的平衡条件。对刚体而言，这个条件既必要又充分，但对 非刚体而言，这个条件并不充分。 公理2：加减平衡力系公理 此公理是研究力系等效变换的依据，同样也只适用于刚体而不适用于变形体。 推论1：力的可传性 表明作用于刚体上的力是滑动矢量。
Fi 0
X 0 Y 0 2）平面汇交力系：
3）平面力偶系：
m
i
0
( F i // y 轴 )
4）平面平行力系： 4．平面力系平衡方程的应用 应用平衡方程式求解平衡问题的方法称为解析法。它是求解平衡问题的主要方法。这种解 题方法包含以下步骤： ①根据求解的问题，恰当的选取研究对象：所谓研究对象，是指为了解决问题而选择的分 析主体。选取研究对象的原则是，要使所取物体上既包含已知条件，又包含待求的未知量。 ②对选取的研究对象进行受力分析，正确地画出受力图：在正确画出研究对象受力图的基 础上，应注意适当地运用简单力系的平衡条件如二力平衡、三力平衡汇交定理、力偶等效定理 等确定未知反力的方位，以简化求解过程。 ③建立平衡方程式， 求解未知量： 为顺利地建立平衡方程式求解未知量， 应注意如下几点： (a)根据所研究的力系选择平衡方程式的类别（如汇交力系、平行力系、任意力系等）和 形式（如基本式、二矩式、三矩式等等） 。 (b)建立投影方程时，投影轴的选取原则上是任意的，并非一定取水平或铅垂方向，应根 据具体问题从解题方便入手去考虑。 c)建立力矩方程时，矩心的选取也应从解题方便的角度加以考虑。 d)求解未知量。由于所列平衡方程一般是一组线性方程组，这说明一个静力学题经过上述 力学分析后将归结于一个线性方程组的求解问题。从理论上讲，只要所建立的平衡方程组具有 完整的定解条件（独立方程个数和未知量个数相等） ，则求解并不困难，若要解的方程组相互联 立，则计算（指手算）耗时费力。为免去这种麻烦，就要求在列平衡方程式时要运用一些技巧， 尽可能做到每个方程只含有一个（或较少）的未知量，以便手算求解。 三、重点和难点 重点：力在坐标轴上的投影、合力投影定理、平面汇交力系的平衡条件及求解平衡问题的 解析法、力对点之矩的计算、力偶矩的概念、平面力偶性质和力偶等效条件。平面
第二章 平面力系 一、目的要求 1．能正确地将力沿坐标轴分解和求力在坐标轴上的投影，对合力投影定理及力对点之矩 应有清晰的理解，并能熟练地计算。 2．深入理解力偶和力偶矩的概念，明确平面力偶的性质和平面力偶的等效条件。 3．掌握平面任意力系向一点简化的方法，会应用解析法求主矢和主矩，熟知平面任意力 系简化的结果。 4．深入理解平面力系的平衡条件及平衡方程的三种形式。 5．能熟练地计算在平面任意力系作用下物体和物体系统的平衡问题。 6．正确理解静定与静不定的概念，会判断物体系统是否静定。 二、基本内容 1．基本概念 1）力在坐标轴上的投影为 X=Fcos 式中为力F与x轴间的夹角，投影值为代数量。 力沿坐标轴分解满足力的平行四边形法则，其分力大小为 F sin F sin
FR '

n
Fi
i 1

n
i 1
X i Yj
i 1
n
主 矩 ： 平 面 力 系 中 各 力 对 于 任 选 简 化 中 心 之 矩 的 代 数 和 ， 即
M
o


n
M o ( Fi )
i 1
(x Y
i i 1
n
iwenku.baidu.com
yi X i )
一个力系的主矢与简化中心的选取无关；一般情况下，主矩与简化中心的选取有关。 10）静定和静不定问题 2．平面力系的简化 步骤如下： ①选取简化中心O：题目指定点或自选点（一般选在多个力交点上） ②建立直角坐标系Oxy ③求主矢：
F
'
M
M o (F )
0
逆正顺负，画在图中
o a. 若 R ：平面力系与一力偶等效，此力偶为平面力系的合力偶，其力偶 矩用主矩Mo度量，这时主矩与简化中心的选择无关。
0,
M
b. 若
F R 0,
'
M
M
o
0
0
：平面力系等效于作用线过简化中心的一个合力FR，且有FR=FR。 ：平面力系简化结果为一合力FR，其大小、方向与主矢相同，作
公理3：力的平行四边形法则 给出了最简单的力系的简化规律，也是较复杂力系简化的基础。另外，它也给出了将一个 力分解为两个力的依据。 推论2：三力平衡条件 给出了三个不平行的共面力构成平衡力系的必要条件。当刚体受不平行的三力作用处于平 衡时，常利用这个关系确定未知力的作用线方位 推论3：力的三角形法则——用几何法求两个共点力的合力 推论4：作用和反作用定律 揭示了物体之间相互作用力的定量关系，它是分析物体间受力关系时必须遵循的原则，也 为研究多个物体组成的物体系统问题提供了基础。 公理5：刚化原理 阐明了变形体抽象为刚体模型的条件，并指出刚体平衡的必要和充分条件只是 变形体平衡的必要条件。 3．工程中常见的约束类型及其反力的画法。 1）光滑接触面：其约束反力沿接触点的公法线，指向被约束物体。 2）光滑圆柱、铰链和颈轴承：其约束反力位于垂直于销钉轴线的平面内，经过轴心，通 常用过轴心的两个大小未知的正交分力表示。 3）固定铰支座：其约束反力与光滑圆柱铰链相同。 4）活动铰支座：与光滑接触面类似。其约束反力垂直于光滑支承面。 5）光滑球铰链：其约束反力过球心，通常用空间的三个正交分力表示。 6）止推轴承：其约束反力常用空间的三个正交分力表示。 7）二力体：所受两个约束反力必沿两力作用点连线且等值、反向。 8）柔软不可伸长的绳索：其约束反力为沿柔索方向的一个拉力，该力背离被约束物体。 9）固定端约束：其约束反力在平面情况下，通常用两正交分力和一个力偶表示；在空间 情况下，通常用空间的三个正交分力和空间的三个正交分力偶表示。 4．受力分析及画受力图 正确地进行物体的受力分析并画其受力图，是分析、解决力学问题的基础。画受力图时必 须注意以下几点： ① 明确研究对象。根据求解需要，可以取单个物体为研究对象，也可以取由几个物体组 成的系统为研究对象。不同的研究对象的受力图是不同的。 ② 正确确定研究对象受力的数目。由于力是物体间相互的机械作用，因此，对每一个力 都应明确它是哪一个施力物体施加给研究对象的，决不能凭空产生。同时，也不可漏掉某个力。 一般可先画主动力，再画约束反力。凡是研究对象与外界接触的地方，都一定存在约束反力。 ③ 正确画出约束反力。一个物体往往同时受到几个约束的作用，这时应分别根据每个约 束本身的特性来确定其约束反力的方向，而不能凭主观臆测。 ④ 当分析两物体间相互作用时，应遵循作用、反作用关系。若作用力的方向一经假定， 则反作用力的方向应与之相反。当画整个系统的受力图时，由于内力成对出现，组成平衡力系。 因此不必画出，只需画出全部外力。 三、重点和难点 重点：1.力、刚体、平衡和约束等概念。 2.静力学公理及其推论。 3.柔性约束、光滑支承面约束、光滑铰链约束的特征及其反力的画法。 4.单个物体及物体系统的受力分析。 难点：光滑铰链的约束特征（尤其是销钉连接二个以上的构件即复合铰） ，物体系统的受 力分析，平面汇交力系（多个力）合成与平衡的几何法。 四、教学建议 1．教学提示
Fx sin( ) Fy sin( )
因此，在直角坐标系下有X=Fx 2）平面力的解析表达式为
Y=Fy
F=Xi+Yj
3）合力投影定理：合力在某一轴上的投影等于各分力在同一轴上投影的代数和。如
FRx=Σ X，FRy=Σ Y。
4）平面内的力对点O之矩是代数量，记为Mo(F)
M o ( F ) Fh 2 ABO
其中F为力的大小，h为力臂，ABO为力矢AB与矩心O组成三角形的面积。一般以逆时针转 向为正，反之为负。 力矩的解析表达式为：
M o ( F ) xY yX M ( F ) M ( F ) (x Y - y X )
o i i i i i 5）合力矩定理： o R 6）力偶和力偶矩： 力偶是由等值、反向、不共线的两个平行力组成的特殊力系。力偶没有合力，也不能用一 个力来平衡。 力偶对物体的作用效应决定于力偶矩M的大小和转向，即
2）二矩式
X 0 M A (F ) 0 M (F ) 0 B
附加条件为：A、B两点连线不垂直于x轴
3）三矩式
M M M
A B C
(F ) 0 (F ) 0 (F ) 0
附加条件为：A、B、C三点不共线
特殊力系的平衡方程 1）共线力系：
M=±Fd
式中正负号表示力偶的转向，一般以逆时针转向为正，反之为负。 力偶在任一轴上的投影等于零，它对平面内任一点的矩等于力偶矩，力偶矩与矩心的位置 无关。 7）同平面内力偶的等效定理：在同平面内的两个力偶，如果力偶矩相等，则彼此等效。 力偶矩是力偶作用效果的唯一度量。 8）力线平移定理 9）主矢和主矩 主矢：平面力系各力的矢量和，即