理论力学教案--运动学

第六章 点的运动学

第一、二节 矢量法 直角坐标法

重点：点的曲线运动的直角坐标法，点的运动方程、点的速度和加速度在直角坐标轴上的投影 难点：点的曲线运动的直角坐标法 一、运动学引言

运动学是研究物体运动的几何性质的科学。也就是从几何学方面来研究物体的机械运动。运动学的内容包括：运动方程、轨迹、速度和加速度。

学习运动学的意义：首先是为学习动力学打下必要的基础。其次运动学本身也有独立的应用。 由于物体运动的描述是相对的。将观察者所在的物体称为参考体，固结于参考体上的坐标系称为参考坐标系。只有明确参考系来分析物体的运动才有意义。 时间概念要明确：瞬时和时间间隔。 运动学所研究的力学模型为：点和刚体。 二、点的运动学

本章将介绍研究点的运动的三种方法，即：矢径法、直角坐标法和自然法。

点运动时，在空间所占的位置随时间连续变化而形成的曲线，称为点的运动轨迹。点的运动可按轨迹形状分为直线运动和曲线运动。当轨迹为圆时称为圆周运动。 表示点的位置随时间变化的规律的数学方程称为点的运动方程。

本章研究的内容为点的运动方程、轨迹、速度和加速度，以及它们之间的关系。 三﹑矢量法

1、点的运动方程

如图，动点M 沿其轨迹运动，在瞬时t ，M 点在图示位置。 由参考点O 向动点M 作一矢量 r =OM ，则称 r

为矢径。 于是动点矢径形式的运动方程为

显然，矢径的矢端曲线就是点运动的轨迹。

用矢径法描述点的运动有简洁、直观的优点。

2、点的速度

)

(t r r )

()(t r t t r r M M

如图，动点M 在时间间隔 △t 内的位移为

则 表示动点在时间间隔△t 内运动的平均快慢和方向，称

为点的平均速度。

当 △t →0时，平均速度的极限矢量称为动点在t 瞬时的速度。即

即：点的速度等于它的矢径对时间的一阶导数。方向沿轨迹的切线方向。

3、点的加速度

如图，动点M 在时间间隔△t 内速度矢量的改变量为 v v v

则t v a

表示动点的速度在时间间隔△t 内的平均变化率，称为平均加速度。

当△t →0时，平均加速度的极限矢量称为动点在t 瞬时的加速度。即

r v dt

v d t v a a t t

00lim lim

即：点的加速度等于它的速度对时间的一阶导数，也等于它的矢径对时间的二阶导数。 四、直角坐标法 1、点的运动方程

A

t r v

r dt

r d t r v v t t

00lim lim

如图，在参考体上建立直角坐标系。则 )(1t f x )(2t f y )(3t f z 这就是直角坐标形式的点的运动方程。

由运动方程消去时间t 可得两个柱面方程：

0),(1 y x F 0),(2 z y F

这两个柱面方程的交线就是点的运动轨迹，上式称为动点的轨迹方程。 2

、点的速度在直角坐标轴上的投影

由图可知，动点的矢径为 将上式两边对时间求导，可得 将动点的速度表示为解析形式，则有

比较上述两式，可得速度在各坐标轴上的投影

x dt dx v x

y dt dy v y z dt

dz

v z 这就是用直角坐标法表示的点的速度。即：点的速度在直角坐标轴上的投影，等于点的对应坐标对时间的一阶导数。

3、点的速度在直角坐标轴上的投影 若已知速度的投影，则速度的大小为 2

22z

y x v

k

z j y i x r k

dt

dz j dt dy i dt dx dt r d v

k v j v i v v z y x

其方向余弦为

v z k v v y j v v x

i v ),cos(),cos(),cos(

4、点的加速度在直角坐标轴上的投影 由于加速度是速度对时间的一阶导数，则

k dt

dv j dt dv i dt dv k dt z d j dt y d i dt x d a z y x 222222

将动点的加速度表示为解析形式，则有 k a j a i a a z y x

比较上述两式，可得加速度在各坐标轴上的投影

x dt x d dt dv a x x 22 y dt y d dt dv a y y 22 z dt

z

d dt dv a z z 22

这就是用直角坐标法表示的点的加速度。即：点的加速度在直角坐标轴上的投影等于该点速度在对应坐标轴上的投影对时间的一阶导数，也等于该点对应的坐标对时间的二阶导数。 若已知加速度的投影，则加速度的大小为

2

22222z y x a a a a z y x 其方向余弦为

a z k a a y j a a x i a ),cos(),cos(),cos(

例1、杆AB 绕A 点转动时，带动套在半径为R 的固定大圆环上的小护环M 运动，已知t （ 为常数）。求小环M 的运动方程、速度和加速度。

解：建立如图所示的直角坐标。则

2cos 2sin R y R x

即

t R y t

R x 2cos 2sin

即为小环M 的运动方程。

t R x

v x 2cos 2 t R y v y 2sin 2 故M 点的速度大小为 R v v v y x 22

2

其方向余弦为 2cos ),cos(

v

v i v x

2sin ),cos( v v j v y

x t R v a x x 2

242sin 4

y t R v a y y 2242cos 4

故M 点的加速度大小为 22

24 R a a a y x

且有 r j y i x j y i x a 22224)(444

加速度的方向如图。