理论力学教案--运动学
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理论力学—点的运动学
r v t
O
二.点的速度
⒈ 平均速度
⒉ t 时刻的速度 r dr v lim r t 0 t dt
1.1 矢量法
三.加速度
速度矢端 曲线---速度端图
v ⒈ 平均加速度 a t
*
a
⒉ t 时刻的加速度
v dv d r a lim r 2 t 0 t dt dt
v y r sin t
2 2
v v
2
x
v
2
y
cos( v, i )
vx t MB sin sin v 2 2 MD v t BD cos( v, j ) y cos cos v 2 2 MD
t r (1 cos t ) sin t 2r sin 2
大小
a a x a
2Leabharlann 2ya2
z
方向
d x d y d z dt 2 dt 2 dt 2
2 2 2
2
2
2
ay ax az cos(ai ) , cos(aj ) , cos(ak ) a a a
解：由点M的运动方程，得
8 cos 4t , ax 32 sin 4t vx x x
8 sin 4t , a y 32 cos 4t vy y y 0 vz j 4, a z
z
2 2 2 2 从而 v vx vy vz2 80m s , a ax ay az2 32m s 2
α
at v M
故在这瞬时飞机的总加速度 a 的大小和方向为
O
二.点的速度
⒈ 平均速度
⒉ t 时刻的速度 r dr v lim r t 0 t dt
1.1 矢量法
三.加速度
速度矢端 曲线---速度端图
v ⒈ 平均加速度 a t
*
a
⒉ t 时刻的加速度
v dv d r a lim r 2 t 0 t dt dt
v y r sin t
2 2
v v
2
x
v
2
y
cos( v, i )
vx t MB sin sin v 2 2 MD v t BD cos( v, j ) y cos cos v 2 2 MD
t r (1 cos t ) sin t 2r sin 2
大小
a a x a
2Leabharlann 2ya2
z
方向
d x d y d z dt 2 dt 2 dt 2
2 2 2
2
2
2
ay ax az cos(ai ) , cos(aj ) , cos(ak ) a a a
解：由点M的运动方程，得
8 cos 4t , ax 32 sin 4t vx x x
8 sin 4t , a y 32 cos 4t vy y y 0 vz j 4, a z
z
2 2 2 2 从而 v vx vy vz2 80m s , a ax ay az2 32m s 2
α
at v M
故在这瞬时飞机的总加速度 a 的大小和方向为
理论力学-5-运动学基础
ds ＝v ＝s dt
dv at s dt
an
v
2
a a a
2 τ
2 n
5.1 点的运动学
自然轴系
自然轴系
当运动轨迹为空间曲线时，弧坐标系中所得 到的结论同样成立，只需将弧坐标系扩展为自然 轴系。
5.1 点的运动学
自然轴系P－TNB
B(副法线) N(主法线)
0
dτ n d
5.1 点的运动学
τ vτ av
τ
弧坐标法
τ ?
ds ＝v ＝s dt
dτ dτ d ds dt d ds dt
dτ n d
d 1 曲率 ds
a at an at τ an n
速度方向的变化率 法向加速度
xA OC CM R
M
即
CM v0t R R
v0t x OC AM sin v t R sin 0 R 于是M点的运动方程为： vt y AC AM cos R R cos 0 R
5.1 点的运动学
v0t x OC AM sin v t R sin 0 R vt y AC AM cos R R cos 0 R
切线方向的单位矢量为t ，则有 r ds lim τ ＝v ＝ s t 0 s dt t指向弧坐标s增加的方向。 动点的速度为
τ v vτ s
速度方向
速度大小
5.1 点的运动学
弧坐标法
加速度
dτ dτ d ds dt d ds dt dτ d 1 ds 曲率 ? ＝v ＝s ds d dt τ
大连理工大学理论力学第9课
2 a at2 an 0.308m s 2
求：a|t=0，a|t=2min。
注：两种情况下的加速度方向？
例题5
求：点运动轨迹的曲率半径ρ
已知：点的运动方程为x=2sin 4t m，y=2cos 4t m，z=4t m。
解：由点M的运动方程，得
v x x 8 cos 4 t , a x x 32 sin 4 t
v y (l a ) cos t
a x v x x l a 2 cos t a y v y y l a 2 sin t
a a a
2 x 2 y 2 4 sin 2 t l a 4 cos 2 t (l a） 2
例题4 已知：R=800m=常数，at=常数，v|t=0= v0=0，
v|t=2min= 54km/h。 解：列车作曲线加速运动，取弧坐标如图。 由at=常数，v0=0，有v=att v 15m s at = 0.125m s 2 t 120s 2 a a 0.125m s t 0, a 0 ① t n ② t 2min 120s v 2 (15m s) 2 an = 0.281m s 2 R 800m
0 0 t t
t
2
dt 4r (1 cos
t
2
)
(0 t 2 )
y
M O
φO
1
O1
C
x
v x x r 1 cos t , 例题6 已得：
2 x 2 y
v y y r sin t
t v v v 2 r sin （0 t 2 ) 2
加速度
求：a|t=0，a|t=2min。
注：两种情况下的加速度方向？
例题5
求：点运动轨迹的曲率半径ρ
已知：点的运动方程为x=2sin 4t m，y=2cos 4t m，z=4t m。
解：由点M的运动方程，得
v x x 8 cos 4 t , a x x 32 sin 4 t
v y (l a ) cos t
a x v x x l a 2 cos t a y v y y l a 2 sin t
a a a
2 x 2 y 2 4 sin 2 t l a 4 cos 2 t (l a） 2
例题4 已知：R=800m=常数，at=常数，v|t=0= v0=0，
v|t=2min= 54km/h。 解：列车作曲线加速运动，取弧坐标如图。 由at=常数，v0=0，有v=att v 15m s at = 0.125m s 2 t 120s 2 a a 0.125m s t 0, a 0 ① t n ② t 2min 120s v 2 (15m s) 2 an = 0.281m s 2 R 800m
0 0 t t
t
2
dt 4r (1 cos
t
2
)
(0 t 2 )
y
M O
φO
1
O1
C
x
v x x r 1 cos t , 例题6 已得：
2 x 2 y
v y y r sin t
t v v v 2 r sin （0 t 2 ) 2
加速度
理论力学教案-运动学
论力学--运动学运动学研究点和刚体运动的几何规律，即运动方程、轨迹、速度、加速度或角速度、角加速度等运动特征量。
第六章 点的运动学点的运动学是研究一般物体运动的基础，又具体独立的应用意义。
描述点的运动有矢径法、直角坐标法、自然法三种方法。
§6.1 矢量法一．矢量法表示点的运动方程设动点M 在空间作曲线运动，在参考坐标系上任取 某确定的点O 为坐标原点，则动点的位置可用原点至动 点的矢径r 表示。
当动点M 运动时，矢径r 的大小和方 向一般也随时间而改变，并且是时间的单值连续函数， 即)(t r r =上式称为用矢量表示的点的运动方程。
动点M 在运动过程中，其矢径r 的末端在空间 描绘出的曲线，称为动点M 的运动轨迹。
也称为矢径r 的矢端曲线。
二．矢量法表示点的速度)()(t t t r r r -+=∆∆平均速度tt t t t ∆∆∆∆)()(r r r υ-+== 瞬时速度dtd t t t rr υυ===→→∆∆∆∆00limlim 三．矢量法表示点的加速度 )()(t t t υυυ-+=∆∆ 平均加速度tt t t t ∆∆∆∆)()(υυυa -+==瞬时加速度2200lim lim dt d dt d t t t rυυa a ====→→∆∆∆∆结论：动点的速度等于它的矢径r 对时间的一阶导数，其加速度等于动点的速度对时间的一阶导数，也等于动点的矢径r 对时间的二阶导数。
§6.2 直角坐标法一．直角坐标表示动点的运动方程由于k j i r z y x ++=，当动点在轨迹上运动时，r 随时间而变化，则动点M 的坐标值x ，y 和z 随时间 而变化。
即⎪⎩⎪⎨⎧===)()()(321t f z t f y t f x消去方程中的参数t ，则得到动点运动的轨迹。
二．直角坐标表示动点的运动速度由于动点M 的矢径可表示为 k j i r z y x ++=，所以动点M 的速度可表示为 k j i r υdtdzdt dy dt dx dt d ++==将动点M 的速度写成投影形式，即k j i υz y x υυυ++=比较以上两式，可得dt dx x =υ，dt dy y =υ，dtdz z =υ 三．直角坐标表示动点运动的加速度动点M 的速度可表示为k j i r υdtdz dt dy dt dx dt d ++==，其加速度可表示为 k j i υa 222222dtzd dt y d dt x d dt d ++==将动点M 的加速度写成投影形式，即k j i a z y x a a a ++=比较以上两式，可得 22dt x d a x =，22dt y d a y =，22dt z d a z =结论：动点的速度在各坐标轴上的投影等于各对应的坐标对时间的一阶导数，动点的加速度在各坐标轴上的投影等于各对应的坐标对时间的二阶导数。
理论力学教案设计
理论力学教案设计一、教学目标通过本堂课的教学，学生将能够：1.理解基本力学概念和定律；2.掌握力的概念、单位和计算方法；3.熟悉运动学和动力学的基本原理；4.能够运用理论力学知识解决简单的物理问题。
二、教学内容1. 力的概念和力的计算•什么是力？•力的单位和计算方法•力的合成与分解2. 运动学•位移、速度、加速度的定义和计算•直线运动和曲线运动的分析方法•运动图像的绘制和解析3. 动力学•牛顿三定律的内容和应用•动量和冲量的概念及其计算•动量守恒定律的应用4. 机械能和功•动能和势能的定义和计算•机械能守恒定律的应用•功的定义和计算方法1.力的概念和力的计算方法；2.牛顿三定律的内容和应用；3.动量和冲量的概念及其计算方法；4.机械能守恒定律的应用。
四、教学方法1.讲解与演示相结合：通过讲解理论知识，并结合真实生活中的例子进行演示，帮助学生更好地理解概念和原理。
2.提问与讨论：在课堂中频繁提问学生，引导学生进行讨论和思考，激发学生的学习兴趣和思维能力。
3.实践与实验：组织学生进行实践活动和小实验，让他们亲自动手操作，体验理论力学知识的应用和验证。
1. 导入（5分钟）通过提问，让学生回顾上一堂课的内容，引导他们思考力的概念和作用，并激发学生的学习兴趣。
2. 知识讲解（30分钟）2.1 力的概念和力的计算•讲解力的定义，引导学生理解力的本质和作用；•介绍力的单位和计算方法；•讲解力的合成与分解，帮助学生掌握力的合成和分解原理。
2.2 运动学•介绍位移、速度、加速度等运动学基本概念；•讲解直线运动和曲线运动的分析方法；•演示运动图像的绘制和解析，帮助学生掌握运动的可视化表示方法。
2.3 动力学•讲解牛顿三定律的内容和应用，与学生分享一些实际应用案例；•介绍动量和冲量的概念，并演示计算方法；•讲解动量守恒定律的应用，如弹性碰撞等。
2.4 机械能和功•介绍动能和势能的定义和计算方法；•讲解机械能守恒定律的应用，如重力运动等；•引导学生理解功的概念和计算方法。
理论力学——运动学
v2
n
加速度a的大小：
a
aτ + a n
2
2
dv 2 v 2 2 ( ) ( ) dt
加速度和主法线所夹的锐角的正切：
tan
aτ an
4、直角坐标于自然坐标之间的关系：
ds 2 dx 2 dy 2 dz 2 v ( ) ( ) ( ) ( ) dt dt dt dt
2
2
九、刚体的基本运动
1、刚体的平动
（1）刚体平动的定义 刚体运动时，若其上任一直线始终保持与它的初始
位置平行，则称刚体作平行移动，简称为平动或移动 。 (2) 平动刚体的运动特点
刚体平动时，其上各点的轨迹形状相同；同一瞬时，
各点的速度相同，加速度也相同。
刚体平动判别：P169题三图，P176题五图，题七图
点加的速度
i + y j + z k vx
a vx i + v y j + vz k xi + yj + zk
ax v x x ay v y y az v z z
3、自然法
用自然法描述的运动方程：
s பைடு நூலகம் f (t )
a 2 a x a y a z a an
1
2
2
2
2
2
a 2 a v2
2
5、匀速、匀变速公式
（1）
aτ＝常数，
v v0 aτ t
（ 2）v=常数，
1 2 s s0 v0t aτ t 2 2 v 2 v0 2a ( s s0 )
平面运动。
07-理论力学-第二部分运动学第七章点的合成运动
下面举例说明以上各概念。 1515
运动学/点的合成运动
动 点： AB杆上的A点 动 系： 凸轮 定 系： 地面 绝对运动： 直线 相对运动：曲线（圆弧） 牵连运动： 直线平移
1616
运动学/点的合成运动
动 点：A(在AB杆上) 动 系：偏心轮C 定 系： 地面 绝对运动：直线 相对运动：圆周（C） 牵连运动： 定轴转动
22
运动学/点的合成运动
另一方面，在实际问题中，不仅要在固联在地面上 的参考系上还要在相对于地面运动着的参考系上观察和 研究物体的运动。下面先看几个例子。
33
运动学/点的合成运动
44
55
本章将用点的合成运动的方法来研究这类问题。 66
第七章 点的合成运动
§7-1 §7-2 §7-3
§7-4
r 2
r 2
r2
l2
r2
l 2（
） 3030
运动学/点的合成运动
例4 圆盘凸轮机构
已知：OC＝e ，R 3e ，（匀角速度），图示瞬时， OCCA，且O，A，B三点共线。求：从动杆AB的速度。
解：选取动点：AB 上的A点
动系：圆盘
绝对运动：直线 相对运动：圆周
由
定系：基座 va
牵连运动：定轴 ve vr
▼动点相对动系、定系必须 有运动，不能和动系在同一 物体上。
▼以上可归结为一点、两系 、三运动。
2020
运动学/点的合成运动
四、 运动方程及坐标变换 可以利用坐标变换来建立绝对、
相对和牵连运动之间的关系。
以二维问题为例。设定系 ，
动系
。动点M，如图所示。
（1）绝对运动方程： x x(t), y y(t)
大小 ? OA
运动学/点的合成运动
动 点： AB杆上的A点 动 系： 凸轮 定 系： 地面 绝对运动： 直线 相对运动：曲线（圆弧） 牵连运动： 直线平移
1616
运动学/点的合成运动
动 点：A(在AB杆上) 动 系：偏心轮C 定 系： 地面 绝对运动：直线 相对运动：圆周（C） 牵连运动： 定轴转动
22
运动学/点的合成运动
另一方面，在实际问题中，不仅要在固联在地面上 的参考系上还要在相对于地面运动着的参考系上观察和 研究物体的运动。下面先看几个例子。
33
运动学/点的合成运动
44
55
本章将用点的合成运动的方法来研究这类问题。 66
第七章 点的合成运动
§7-1 §7-2 §7-3
§7-4
r 2
r 2
r2
l2
r2
l 2（
） 3030
运动学/点的合成运动
例4 圆盘凸轮机构
已知：OC＝e ，R 3e ，（匀角速度），图示瞬时， OCCA，且O，A，B三点共线。求：从动杆AB的速度。
解：选取动点：AB 上的A点
动系：圆盘
绝对运动：直线 相对运动：圆周
由
定系：基座 va
牵连运动：定轴 ve vr
▼动点相对动系、定系必须 有运动，不能和动系在同一 物体上。
▼以上可归结为一点、两系 、三运动。
2020
运动学/点的合成运动
四、 运动方程及坐标变换 可以利用坐标变换来建立绝对、
相对和牵连运动之间的关系。
以二维问题为例。设定系 ，
动系
。动点M，如图所示。
（1）绝对运动方程： x x(t), y y(t)
大小 ? OA
理论力学教学教案课件
理论力学教学教案课件第一章：引言1.1 课程介绍解释理论力学的基本概念和重要性。
强调理论力学在工程和物理领域中的应用。
1.2 力学的基本量度和单位介绍力学中的基本量度，如长度、质量和时间。
解释国际单位制（SI）及其在力学中的应用。
1.3 牛顿运动定律阐述牛顿运动定律的基本原理。
解释第一定律（惯性定律）、第二定律（加速度定律）和第三定律（作用与反作用定律）。
第二章：运动学2.1 运动学基本概念介绍位移、速度和加速度的概念。
解释直线运动和曲线运动的区别。
2.2 速度和加速度的计算教授如何计算速度和加速度。
提供速度和加速度的计算示例。
2.3 运动学方程推导和解释运动学方程。
展示如何使用运动学方程解决实际问题。
第三章：动力学3.1 牛顿第二定律深入探讨牛顿第二定律的内容。
解释力、质量和加速度之间的关系。
3.2 合力和分力介绍合力和分力的概念。
教授如何计算合力和分力。
3.3 牛顿第三定律解释牛顿第三定律的含义和应用。
提供实际例子来展示牛顿第三定律的作用。
第四章：能量守恒定律4.1 能量守恒定律的原理阐述能量守恒定律的基本原理。
解释能量的转换和守恒过程。
4.2 动能和势能介绍动能和势能的概念。
教授如何计算动能和势能。
4.3 能量守恒定律的应用展示如何应用能量守恒定律解决实际问题。
提供能量守恒定律的应用示例。
第五章：碰撞和爆炸5.1 碰撞的基本概念介绍碰撞的定义和特点。
解释弹性碰撞和完全非弹性碰撞的区别。
5.2 碰撞的计算教授如何计算碰撞中的速度和动量。
提供碰撞计算的示例。
5.3 爆炸和冲击波解释爆炸和冲击波的基本概念。
探讨爆炸和冲击波在力学中的应用。
第六章：刚体运动学6.1 刚体的平动介绍刚体平动的基本概念。
解释刚体平动的位移、速度和加速度。
6.2 刚体的转动阐述刚体转动的基本概念。
介绍刚体转动的角位移、角速度和角加速度。
6.3 刚体运动的合成教授如何合成刚体的平动和转动。
提供刚体运动合成的示例。
第七章：刚体动力学7.1 刚体的牛顿运动定律深入探讨刚体牛顿运动定律的内容。
理论力学第六版教学设计
理论力学第六版教学设计1. 课程目标本课程旨在为学生提供理论力学的基础知识，包括运动学、动力学、静力学、静力平衡和动力平衡等内容。
课程的目标是帮助学生理解和运用这些概念，解决实际物理问题，并培养他们的逻辑思维和数学能力。
2. 教学大纲第1章运动学基础•运动学基本概念•质点运动学•刚体运动学第2章动力学基础•动力学基本概念•粒子动力学•刚体动力学第3章系统的静力学分析•力的合成与分解•牛顿定律•非惯性系下牛顿定律第4章系统的静力平衡分析•物体的稳定平衡条件•平衡静力学原理第5章系统的动力学分析•动力平衡方程•运动定律•质心运动定理第6章系统的动力平衡分析•动量和动量矩•动量定理•能量和功3. 教学方法本课程采取板书讲解和课堂互动相结合的教学方法，注重理论与实践相结合，强化学生对公式和引理的理解和使用。
在课堂上，老师将通过提问、示例、讨论和演示等方式，帮助学生深入理解知识，掌握解决实际问题的方法。
同时，老师还将鼓励学生组织小组讨论和思考，以促进交流和合作。
4. 考核方式本课程的考核方式主要包括期末考试、作业和课堂表现。
其中，期末考试占50%的成绩，作业占30%的成绩，课堂表现占20%的成绩。
作业包括课后练习、实验报告和小组项目，旨在锻炼学生的解决问题和表达能力。
课堂表现包括出勤率、积极性、参与度和贡献度等，旨在鼓励学生参与课堂互动和学习。
5. 实验室教学本课程将安排多个实验项目，旨在帮助学生掌握实验方法和数据处理技能，加深对理论知识的理解。
实验内容主要涉及刚体运动、动量守恒和能量守恒等方面。
在实验室教学中，老师将强调实验的方法和步骤，帮助学生理解实验现象和数据分析方法。
同时，老师还将鼓励学生团队合作，提升团队协作和创新能力。
6. 参考资料•普通物理学（第三卷）力学（第六版），郭硕鸿著•理论力学，郭良定著•理论力学（第二版），曹全生等著7. 总结本教学设计旨在帮助学生系统掌握理论力学的基础知识，应用数学方法解决实际问题。
哈工大理论力学教案 第9章
解:1, AB作平面运动 作平面运动
基点: 基点: A
2,
vB = vA + vBA ? √ √
大 ? vA 小 方 √ 向
vB = vA cot
vA vBA = sin
vBA vA ωAB = = l l sin
如图所示平面机构中, 例9-2 如图所示平面机构中,AB=BD= DE= l=300mm.在图示位置时,BD‖AE,杆AB的角速度为 .在图示位置时, , 的角速度为 ω=5rad/s. . 此瞬时杆DE的角速度和杆 中点C的速度 的角速度和杆BD中点 的速度. 求:此瞬时杆 的角速度和杆 中点 的速度.
解:1, AB作平面运动 作平面运动 2, vB = vA + vBA
大 ? ωr ? 小 方 √ 向
= 60
基点: 基点:A
√
√
vB = vA cos 30 = 2 3ωr 3
= 0
vB = 0
= 90
vB = vA = ωr, vBA = 0
如图所示的行星轮系中,大齿轮Ⅰ固定, 例9-4 如图所示的行星轮系中,大齿轮Ⅰ固定,半 径为r 行星齿轮Ⅱ沿轮Ⅰ只滚而不滑动,半径为r 径为 1 ,行星齿轮Ⅱ沿轮Ⅰ只滚而不滑动,半径为 2. 系杆OA角速度为 系杆 角速度为 ωO . 的角速度ω 及其上B, 两点的速度. 求:轮Ⅱ的角速度 Ⅱ及其上 ,C 两点的速度.
解:1 , BD作平面运动 作平面运动
2, vD = vB + vDB 大 ? ωl 小 方 √ 向 √ ? √
基点: 基点:B
vD = vDB = vB =ωl
vD vB ωDE = = = ω = 5rad s DE l vDB vB ωBD = = = ω = 5rad s BD l
运动学教案模板
运动学教案模板教案名称：运动学教案一、教学目标1. 知识目标：学生能够掌握运动学的基本概念和运动规律，理解速度、加速度等概念。
2. 能力目标：学生能够运用运动学知识分析和解决实际问题，提高动手能力和逻辑思维能力。
3. 情感目标：培养学生对科学知识的兴趣，激发学生学习物理的热情。
二、教学重点和难点1. 教学重点：速度、加速度的概念及其计算方法。
2. 教学难点：如何运用运动学知识解决实际问题。
三、教学过程1. 导入：通过一个简单的例子引出速度的概念，让学生了解物体在单位时间内的位移量。
2. 概念讲解：介绍速度和加速度的定义及计算方法，引导学生理解速度和加速度的物理意义。
3. 计算练习：设计一些速度、加速度的计算练习题，让学生掌握计算方法。
4. 案例分析：通过一些实际案例，让学生运用所学知识分析和解决问题，提高学生的动手能力和逻辑思维能力。
5. 拓展应用：引导学生思考速度和加速度在日常生活中的应用，如交通工具的设计、运动员的训练等。
6. 归纳总结：总结本节课的重点知识，强化学生对速度、加速度概念的理解。
四、教学方法1. 示范法：通过示范计算速度、加速度的方法，帮助学生理解和掌握知识。
2. 实践法：设计一些实际问题，让学生动手解决，提高学生的动手能力和实际应用能力。
3. 合作学习法：组织学生分组合作，共同解决问题，培养学生的团队合作精神。
五、教学工具1. 教学PPT：用于呈现速度、加速度的概念和计算方法。
2. 实验器材：如计时器、测距仪等，用于实验测量和计算。
六、教学评价1. 课堂练习：布置一些课堂练习题，检验学生对速度、加速度的掌握程度。
2. 实际应用题：设计一些实际应用题，考查学生运用所学知识解决问题的能力。
3. 课堂表现：评价学生在课堂上的表现，包括思维活跃度、合作能力等。
七、教学反思通过教学实践，不断总结经验，改进教学方法，提高教学质量。
同时，及时关注学生的学习情况，调整教学策略，使教学目标更好地实现。
08-理论力学-第二部分运动学第八章刚体的平面运动
形S在该瞬时的位置也就确定了。
88
运动学/刚体的平面运动
四、平面运动的分解 ——平移和转动
当图形Ｓ上Ａ点不动时，则
刚体作定轴转动 。
当图形Ｓ上 角不变时，
则刚体作平移。
故刚体平面运动可以看成是 平移和转动的合成运动。
例如：车轮的平面运动可以看成: 车轮随同车厢的平移 和相对车厢的转动的合成。
99
2121
如图示平面图形，某瞬时速度瞬心为P点， 该瞬时平面图形内任一点B速度大小
vB vP vBP vBP
B
大小：vB BP
方向：BP，指向与 转向相一致。
vB
S
vA
C
vC
同理:vA=ω·AP, vC=ω·CP
由此可见，只要已知图形在某一瞬时的速度瞬心 位置和角速度 ，就可求出该瞬时图形上各点的速度。
的平面Ⅱ内的运动。
66
运动学/刚体的平面运动
二、平面运动的简化 刚体的平面运动可以简化为
平面图形S在其自身平面内的运动。 即在研究平面运动时，不需考虑 刚体的形状和尺寸，只需研究平 面图形的运动，确定平面图形上 各点的速度和加速度。
三、平面运动方程 为了确定代表平面运动刚体的
平面图形的位置，我们只需确定平 面图形内任意一条线段的位置。
vBA
s
B
vB vA
A
vA
方向： AB, 指向与 转向一致。
即：平面图形上任一点的速度等于基点的速度与该点随
平面图形绕基点转动的速度的矢量和。 ——基点法
基点法是求解平面图形内一点速度的基本方法。 1414
运动学/刚体的平面运动
二、速度投影法
由于A, B点是任意的，因此
山东大学《理论力学》教案第8章 点的合成运动
第8章 点的合成运动一、目的要求1．深刻理解三种运动、三种速度和三种加速度的定义、运动的合成与分解以及运动相对性的概念。
2．对具体问题能够恰当地选择动点、动系和定系进行运动轨迹、速度和加速度分析，能正确计算科氏加速度的大小并确定它的方向。
3．会推导速度合成定理、牵连运动为平动时点的加速度合成定理，理解并掌握牵连运动为转动时点的加速度合成定理。
并能熟练地应用上述三个定理。
二、基本内容1．基本概念点的合成运动的概念；绝对运动、相对运动、牵连运动，以及由此引出的绝对速度、相对速度、牵连速度和绝对加速度、相对加速度、牵连加速度、科氏加速度的概念；点的速度合成定理和加速度合成定理。
2．基本公式速度合成定理：r e a v v v +=加速度合成定理：r e a a a a +=（牵连运动为平动）c r e a a a a a ++=（牵连运动为转动）r c v a ⨯=ω2三、重点和难点1．重点（1）动点和动系的选择；（2）运动的合成与分解；（3）速度合成定理和加速度合成定理的应用和计算。
2．难点（1）动点和动系的选择；（2）加速度合成定理的运用与计算；（3）牵连速度、牵连加速度及科氏加速度的概念。
四、教学建议1．教学提示（1）讲清动点、动系的选取原则，通过举例归纳常见机构动点、动系的选取方法。
（2）强化牵连点的概念，熟练掌握牵连速度、牵连加速度的计算。
（3）举例阐明速度合成定理的应用和解题步骤（多用几何法）。
（4）讲清如何用解析法求解加速度合成问题，强调科氏加速度产生的原因与计算（多用投影法）。
本章是运动学重点，也是难点，要求多举例，熟练掌握。
2．例题速度分析可按六种类型举例，即有一个指定动点、有一个运动连接点，有一个固定不变的接触点，没有一个固定不变的接触点，两个互不关联的物体，双动系；在进行加速度分析时，重点是前4类，特别是要注意科氏加速度的分析。
3.建议学时课内（7学时）课外（10.5学时）4．作业布置习题：8-4，8-8，8-10，8-13，6-15，8-17，8-18，8-19，8-21，8-24，8-25，8-27。
理论力学教案
教学重点
理论力学的内容和研究方法。
教学难点
掌握理论力学的研究方法。
教学方式及手段
采用启发式教学，通过提问，引导学生思考，让学生回答问题。
多媒体授课，必要时辅以板书。
布置课外作业。
课外作业
复习回顾矢量代数。
教学后记
理论力学中有很多矢量代数运算，因此在第一节课应帮助学生一起回顾矢量代数，包括矢量代数基本运算：点积、叉乘、混量代数后，理论力学中相关的推导可以简略，让学生自学。
公理2：二力平衡条件
此公理指出了作用于刚体上最简单力系的平衡条件。
公理3：加减平衡力系公理
此公理是研究力系等效变换的依据。
推论1：力的可传性：表明作用于刚体上的力是滑动矢量。
推论2：三力平衡汇交条件：给出了三个不平行的共面力构成平衡力系的必要条件。当刚体受不平行的三力作用处于平衡时，常利用这个关系确定未知力的作用线方位
9）固定端约束：其约束反力在平面情况下，通常用两正交分力和一个力偶表示；在空间情况下，通常用空间的三个正交分力和空间的三个正交分力偶表示。
教学重点
约束类型及约束反力。
教学难点
明确和掌握约束的基本特征及约束反力的画法
教学方式及手段
采用启发式教学，通过提问，引导学生思考，让学生回答问题。
多媒体授课，必要时辅以板书。
3)正确画出约束反力。一个物体往往同时受到几个约束的作用，这时应分别根据每个约束本身的特性来确定其约束反力的方向，而不能凭主观臆测。
4)当分析两物体间相互作用时，应遵循作用、反作用关系。若作用力的方向一经假定，则反作用力的方向应与之相反。当画整个系统的受力图时，由于内力成对出现，组成平衡力系。因此不必画出，只需画出全部外力。
章节目名称
理论力学的内容和研究方法。
教学难点
掌握理论力学的研究方法。
教学方式及手段
采用启发式教学，通过提问，引导学生思考，让学生回答问题。
多媒体授课，必要时辅以板书。
布置课外作业。
课外作业
复习回顾矢量代数。
教学后记
理论力学中有很多矢量代数运算，因此在第一节课应帮助学生一起回顾矢量代数，包括矢量代数基本运算：点积、叉乘、混量代数后，理论力学中相关的推导可以简略，让学生自学。
公理2：二力平衡条件
此公理指出了作用于刚体上最简单力系的平衡条件。
公理3：加减平衡力系公理
此公理是研究力系等效变换的依据。
推论1：力的可传性：表明作用于刚体上的力是滑动矢量。
推论2：三力平衡汇交条件：给出了三个不平行的共面力构成平衡力系的必要条件。当刚体受不平行的三力作用处于平衡时，常利用这个关系确定未知力的作用线方位
9）固定端约束：其约束反力在平面情况下，通常用两正交分力和一个力偶表示；在空间情况下，通常用空间的三个正交分力和空间的三个正交分力偶表示。
教学重点
约束类型及约束反力。
教学难点
明确和掌握约束的基本特征及约束反力的画法
教学方式及手段
采用启发式教学，通过提问，引导学生思考，让学生回答问题。
多媒体授课，必要时辅以板书。
3)正确画出约束反力。一个物体往往同时受到几个约束的作用，这时应分别根据每个约束本身的特性来确定其约束反力的方向，而不能凭主观臆测。
4)当分析两物体间相互作用时，应遵循作用、反作用关系。若作用力的方向一经假定，则反作用力的方向应与之相反。当画整个系统的受力图时，由于内力成对出现，组成平衡力系。因此不必画出，只需画出全部外力。
章节目名称
理论力学教案设计
设计理论力学的教案需要考虑到内容的系统性、逻辑性和学生的实际学习需求。
以下是一个简单的理论力学教案设计参考：
教学目标：
-理解牛顿力学的基本原理和应用
-掌握运动学、动力学等基本概念和定律
-能够解决简单的力学问题
课时安排：
-第一课时：引言
-介绍力学的概念和分类
-阐述物体的运动状态和描述方法
-第二至第三课时：运动学基础
-讲解位移、速度、加速度等概念
-引入匀变速直线运动和曲线运动的描述方法
-第四至第五课时：动力学基础
-讲解质点的受力分析和牛顿三定律
-引入力的合成与分解、平衡条件等内容
-第六至第七课时：运动学与动力学综合
-结合运动学和动力学知识，讲解简谐振动、圆周运动等内容-引入力的功和能量守恒原理
教学方法：
-讲授结合实例：通过生活中的例子引导学生理解力学概念
-案例分析：设计力学问题，让学生运用所学知识解决实际问题
-实验演示：进行相关实验演示，加深学生对理论的认识
课堂互动：
-提问互动：鼓励学生在课堂上提问和回答问题，促进思维碰撞
-小组讨论：组织学生小组讨论，共同解决问题，培养团队合作精神-思维导图：引导学生用思维导图整理和归纳知识点
课后作业：
-习题练习：布置相关力学习题，巩固所学知识
-实践应用：设计实践性任务，让学生将理论运用到实际问题中
-复习总结：要求学生每节课后总结所学内容，形成学习笔记
这只是一个简单的教案设计框架，具体教学内容和方法可根据实际情况和学生水平做出调整和完善。
理论力学教案
理论力学教案完整版第一章引言1.1 课程简介理论力学的定义课程目标与意义适用对象与先修课程要求1.2 理论力学的研究方法静力学、运动学和动力学的区分矢量与标量的概念单位制与坐标系的使用1.3 物理量的测量与误差分析测量方法与工具误差的概念与分类误差减小与处理方法第二章静力学2.1 力的概念与基本定理力的定义与分类矢量运算规则平衡条件与平衡方程2.2 平面力系与空间力系平面力系的合成与分解空间力系的合成与分解力矩与力偶的概念2.3 摩擦力与弹簧力摩擦力的定义与类型弹簧的弹性模型与胡克定律摩擦力与弹簧力的计算方法第三章运动学3.1 描述运动的参数位置、位移与路程速度与加速度时间与时刻的概念3.2 直线运动匀速直线运动与匀变速直线运动直线运动的图像与方程相对运动与参考系的选择3.3 曲线运动圆周运动抛物线运动曲线运动的条件与特点第四章动力学4.1 牛顿运动定律第一定律：惯性定律第二定律：加速度定律第三定律：作用与反作用定律4.2 动量定理与动量守恒动量的定义与计算动量定理与冲量概念动量守恒定律的应用4.3 动能定理与能量守恒动能的定义与计算动能定理与外力做功能量守恒定律的应用第五章碰撞与爆炸5.1 碰撞的基本概念碰撞的定义与分类碰撞的三大要素：碰撞速度、碰撞角与碰撞系数碰撞过程中的动量守恒与能量守恒5.2 弹性碰撞与非弹性碰撞弹性碰撞的特点与计算非弹性碰撞的特点与计算完全非弹性碰撞的近似处理方法5.3 爆炸现象的分析爆炸的定义与分类爆炸波与冲击波的概念爆炸过程中的能量释放与传递第六章刚体运动学6.1 刚体的平动与转动刚体的定义与特性平动与转动的描述刚体运动的叠加原理6.2 刚体运动的合成与分解刚体运动的合成与分解原理刚体运动的坐标表示法刚体运动的图像表示法6.3 刚体的速度与加速度刚体速度与加速度的概念刚体速度与加速度的计算刚体运动的动力学分析第七章刚体动力学7.1 刚体动力学的基本定律牛顿第二定律在刚体动力学中的应用刚体运动的动量定理刚体运动的动能定理7.2 刚体的转动动力学转动惯量的概念与计算转动动力学的基本方程刚体转动的稳定性与失稳刚体动力学在机械结构分析中的应用刚体动力学在技术中的应用刚体动力学在车辆动力学中的应用第八章流体力学基础8.1 流体的概念与特性流体的定义与分类流体的物理性质：密度、粘度与表面张力流体流动的两种状态：层流与湍流8.2 流体流动的描述流速与流量流体流动的连续性方程流体流动的伯努利方程8.3 流体阻力与流体动力流体阻力的定义与计算流体动力的概念与计算流体流动的优化与控制第九章弹性力学基础9.1 弹性变形与弹性模量弹性变形的基本概念弹性模量的定义与分类弹性变形的数学描述弹性力学的基本方程：应变与应力弹性力学的边界条件弹性力学的解法与数值方法9.3 弹性力学的应用弹性力学在材料力学中的应用弹性力学在结构力学中的应用弹性力学在生物力学中的应用10.1 理论力学的主要概念与原理理解各个章节之间的联系与衔接强调理论力学在工程与应用科学中的重要性10.2 理论力学的应用领域理论力学在机械工程中的应用理论力学在航空航天领域的应用理论力学在生物医学工程中的应用10.3 展望未来：理论力学的挑战与发展现代力学研究的新方向跨学科研究与交叉学科的发展理论力学在可持续发展与绿色能源中的应用重点和难点解析重点环节一：静力学平衡条件的理解和应用静力学平衡条件是理论力学的基础，理解平衡条件的推导和应用是解决实际问题的前提。
清华大学理论力学课件-李俊峰-1-点的运动学
y
A l
sin )i (b cos ) j v (a
abl
( sin i cos j ) v l r l (cos i sin j )
r
O
M
l
B
x
vr 0
M点的速度垂直于其矢径！
2017/10/29 9
第2节 直角坐标描述法
d r lτ vA v lτ lv n dt
q v v
A
lτ
y
vA
( qτ ln)v
v
rv
O
27
q
M
x
r n
vA
2017/10/29
第4节 极坐标描述法
点P沿着平面曲线运动，其在任意时刻的位 Nhomakorabea可以用极坐标表示为：
(t ), (t )
P
矢量端图
r (t )
O
运动方程 位 移 速 度
r r (t )
r r (t t ) r (t ) v lim r dr r t 0 t dt 2 v d v d r a lim 2 r t 0 t dt dt
4
加速度
2017/10/29
当M点与地面接触时，即 2kπ
v0
— M点在该瞬时速度为零！ 为什么？
当M点位于最高点时，即 (2k 1)π
i v 2 R
2017/10/29 15
第2节 直角坐标描述法
任意边缘点速度讨论
2
(1 cos ) i ( R sin ) j v R
M
A l
sin )i (b cos ) j v (a
abl
( sin i cos j ) v l r l (cos i sin j )
r
O
M
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x
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M点的速度垂直于其矢径！
2017/10/29 9
第2节 直角坐标描述法
d r lτ vA v lτ lv n dt
q v v
A
lτ
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vA
( qτ ln)v
v
rv
O
27
q
M
x
r n
vA
2017/10/29
第4节 极坐标描述法
点P沿着平面曲线运动，其在任意时刻的位 Nhomakorabea可以用极坐标表示为：
(t ), (t )
P
矢量端图
r (t )
O
运动方程 位 移 速 度
r r (t )
r r (t t ) r (t ) v lim r dr r t 0 t dt 2 v d v d r a lim 2 r t 0 t dt dt
4
加速度
2017/10/29
当M点与地面接触时，即 2kπ
v0
— M点在该瞬时速度为零！ 为什么？
当M点位于最高点时，即 (2k 1)π
i v 2 R
2017/10/29 15
第2节 直角坐标描述法
任意边缘点速度讨论
2
(1 cos ) i ( R sin ) j v R
M
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第六章 点的运动学第一、二节 矢量法 直角坐标法重点：点的曲线运动的直角坐标法，点的运动方程、点的速度和加速度在直角坐标轴上的投影 难点：点的曲线运动的直角坐标法 一、运动学引言运动学是研究物体运动的几何性质的科学。
也就是从几何学方面来研究物体的机械运动。
运动学的内容包括：运动方程、轨迹、速度和加速度。
学习运动学的意义：首先是为学习动力学打下必要的基础。
其次运动学本身也有独立的应用。
由于物体运动的描述是相对的。
将观察者所在的物体称为参考体，固结于参考体上的坐标系称为参考坐标系。
只有明确参考系来分析物体的运动才有意义。
时间概念要明确：瞬时和时间间隔。
运动学所研究的力学模型为：点和刚体。
二、点的运动学本章将介绍研究点的运动的三种方法，即：矢径法、直角坐标法和自然法。
点运动时，在空间所占的位置随时间连续变化而形成的曲线，称为点的运动轨迹。
点的运动可按轨迹形状分为直线运动和曲线运动。
当轨迹为圆时称为圆周运动。
表示点的位置随时间变化的规律的数学方程称为点的运动方程。
本章研究的内容为点的运动方程、轨迹、速度和加速度，以及它们之间的关系。
三﹑矢量法1、点的运动方程如图，动点M 沿其轨迹运动，在瞬时t ，M 点在图示位置。
由参考点O 向动点M 作一矢量 r =OM ，则称 r为矢径。
于是动点矢径形式的运动方程为显然，矢径的矢端曲线就是点运动的轨迹。
用矢径法描述点的运动有简洁、直观的优点。
2、点的速度)(t r r )()(t r t t r r M M如图，动点M 在时间间隔 △t 内的位移为则 表示动点在时间间隔△t 内运动的平均快慢和方向，称为点的平均速度。
当 △t →0时，平均速度的极限矢量称为动点在t 瞬时的速度。
即即：点的速度等于它的矢径对时间的一阶导数。
方向沿轨迹的切线方向。
3、点的加速度如图，动点M 在时间间隔△t 内速度矢量的改变量为 v v v则t v a表示动点的速度在时间间隔△t 内的平均变化率，称为平均加速度。
当△t →0时，平均加速度的极限矢量称为动点在t 瞬时的加速度。
即r v dtv d t v a a t t00lim lim即：点的加速度等于它的速度对时间的一阶导数，也等于它的矢径对时间的二阶导数。
四、直角坐标法 1、点的运动方程At r vr dtr d t r v v t t00lim lim如图，在参考体上建立直角坐标系。
则 )(1t f x )(2t f y )(3t f z 这就是直角坐标形式的点的运动方程。
由运动方程消去时间t 可得两个柱面方程：0),(1 y x F 0),(2 z y F这两个柱面方程的交线就是点的运动轨迹，上式称为动点的轨迹方程。
2、点的速度在直角坐标轴上的投影由图可知，动点的矢径为 将上式两边对时间求导，可得 将动点的速度表示为解析形式，则有比较上述两式，可得速度在各坐标轴上的投影x dt dx v xy dt dy v y z dtdzv z 这就是用直角坐标法表示的点的速度。
即：点的速度在直角坐标轴上的投影，等于点的对应坐标对时间的一阶导数。
3、点的速度在直角坐标轴上的投影 若已知速度的投影，则速度的大小为 222zy x vkz j y i x r kdtdz j dt dy i dt dx dt r d vk v j v i v v z y x其方向余弦为v z k v v y j v v xi v ),cos(),cos(),cos(4、点的加速度在直角坐标轴上的投影 由于加速度是速度对时间的一阶导数，则k dtdv j dt dv i dt dv k dt z d j dt y d i dt x d a z y x 222222将动点的加速度表示为解析形式，则有 k a j a i a a z y x比较上述两式，可得加速度在各坐标轴上的投影x dt x d dt dv a x x 22 y dt y d dt dv a y y 22 z dtzd dt dv a z z 22这就是用直角坐标法表示的点的加速度。
即：点的加速度在直角坐标轴上的投影等于该点速度在对应坐标轴上的投影对时间的一阶导数，也等于该点对应的坐标对时间的二阶导数。
若已知加速度的投影，则加速度的大小为222222z y x a a a a z y x 其方向余弦为a z k a a y j a a x i a ),cos(),cos(),cos(例1、杆AB 绕A 点转动时，带动套在半径为R 的固定大圆环上的小护环M 运动，已知t （ 为常数）。
求小环M 的运动方程、速度和加速度。
解：建立如图所示的直角坐标。
则2cos 2sin R y R x即t R y tR x 2cos 2sin即为小环M 的运动方程。
t R xv x 2cos 2 t R y v y 2sin 2 故M 点的速度大小为 R v v v y x 222其方向余弦为 2cos ),cos(vv i v x2sin ),cos( v v j v yx t R v a x x 2242sin 4y t R v a y y 2242cos 4故M 点的加速度大小为 2224 R a a a y x且有 r j y i x j y i x a 22224)(444加速度的方向如图。
例2、半径为R 的圆轮在地上沿直线匀速滚动，已知轮心的速度为C v 试求轮缘上一点M 的运动方程﹑轨迹﹑速度和加速度（演示图轮在地面上纯滚动）解：建立直角坐标如图，0 t 时M 点位于O 点M 点的运动方程： sin R OP x 其中vt OP ，t Rv c即tR vR R y t R v R t v x C C C cos sin 轨迹为摆线（可演示轮子运动时，M 点的轨迹画出来） 速度：t R v v v xv C C C x cos t Rvv yv C C y sin 2sin 22sin 222C C C yx v t R v v v v v 2cos ,cos v v y v y 可知 PM v（如图） 当n 2 ,2,1,0 n 时， 即M 点接触地时 0 v加速度：t Rv R v x a CC x sint R v R v y a C C y cos 2R v a a a C yx 222 cos cos ,cos t Rv y a C即M 点的加速度大小为常量，方向恒指向轮心C本章介绍研究动点运动的三种方法，即矢径法、直角坐标法和自然法。
点运动时，在空间所占的位置随时间连续变化而形成一条曲线，这条曲线成为点的运动轨迹。
点的运动可按轨迹形状分为直线运动和曲线运动。
当轨迹为圆时称为圆周运动。
点作运动就是点的位置随时间变化。
表示点的位置随时间变化规律的数学方程称为点的运动方程，本章研究的内容为点的运动方程、轨迹、速度和加速度，以及它们之间的关系。
第三节 自然法重点：点的曲线运动的自然法，点沿已知轨迹的运动方程，点的切向加速度和法向加速度。
难点：矢量求导及自然轴系的概念。
自然坐标法 1、运动方程前提：点的轨迹已知显示火车沿轨迹行驶的一段动画弧坐标的建立：在轨迹上确定O 点，规定“+”，“-”M 点位置确定：弧坐标S设动点M 的运动轨迹如图。
当动点运动时，弧坐标随时间t 连续变化，且为时间t 的单值连续函数，即)(t f s这就是自然坐标形式的点的运动方程。
2、曲率和曲率半径图示空间曲线， 表明曲线在弧长M M s 内弯曲的程度。
(sk称为M M s 的平均曲率。
当M ′点趋近于M 点时，平均曲率的极限值就是曲线在M 点的曲率，即sk s 0limM 点曲率的倒数称为曲线在M 点的曲率半径，即s k 0lim 1 3、自然轴系如图。
由三个方向的单位矢量构成的坐标系称为自然轴系。
且三个单位矢量满足右手法则，即n b自然轴系不是固定的坐标系。
4、用自然法表示点的速度由点的速度的矢径法 dsrd dt ds ds ds dt r d dt r d v由于ds r d v t sdt ds t 0lim ，所以 dtds v v 即：动点沿已知轨迹的速度的代数值等于弧坐标s 对时间的一阶导数，速度的方向沿着轨迹的切线方向，当dtds 为正时指向与相同，反之，与 相反。
)()5、用自然法表示点的加速度由点的加速度的矢径法 dtd vdt dv v dt d dt v d a)( 由于n v dt d， 所以 n v dt dv a 2 上式表明加速度矢量a 是由两个分矢量组成：分矢量dtdv a的方向永远沿轨迹的切线方向，称为切向加速度，它表明速度代数值随时间的变化率；分矢量 n v a n2的方向永远沿主法线的方向，称为法向加速度，它表明速度方向随时间的变化率。
加速度在三个自然轴上的投影为s dtsd dt dv a 22 2v a n 0 b a全加速度位于密切面内，其大小为22222)()(v dt dv a a a n方向余弦为 a a a),cos(aa n a n ),cos( 例1、在曲柄摇杆机构中，曲柄OA 与水平线夹角的变化规律为24t，设cm O O OA 101 ，cm B O 241 ，求M 点的运动方程和s t 1 时M 点的速度和加速度（演示图中机构的运动可将B 点的轨迹画出来）解法1 自然坐标法B 点的运动方程 s 2324t B B D速度 t s v 6加速度 6 s a23243622222t t sa n4时s t 1 6 v 6 a 232n a 解法2 直角坐标法（坐标建立如图）O jB 点的运动方程：218cos 242cos24cos t B O x B218sin24sin t B O y B速度：t t x v B Bx28sin6t t y v BBy28cos 6 加速度：22228cos 238sin 6t t t x a BBx22228sin 238cos6t t t y a B By s t 1 时 8sin6Bx v 8cos 6Byv j i v8cos 68sin 68cos 238sin 62Bxa 8sin 238cos 62By a j a i a a Bx Bx例2、杆AB 绕A 点转动时，带动套在半径为R 的固定大圆环上的小护环M 运动，已知t （ 为常数）。
求小环M 的运动方程、速度和加速度。
解：建立如图所示的自然坐标。
则点的自然坐标形式的运动方程为t R R s 2)2(速度为 R dtdsv 2加速度为 0 dtdva 2224)2( R R R v a n 例3、一点作平面曲线运动，其速度在x 轴上的投影始终为一常数C 。
试证明在此情形下，点的加速度的大小为C v a 3。