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小学四年级奥数讲义专题一圆形
圆形是一种常见的几何形状，也是数学中的重要概念。
在四年
级奥数研究中，学生将研究有关圆形的基本知识和应用。
本讲义将
介绍圆形的定义、性质和常见应用。
1. 圆形的定义
圆形是一个平面上所有点与中心点的距离相等的封闭曲线。
其中，中心点到圆上任何一点的距离称为半径。
圆形的周长称为圆周，表示为C，面积称为圆面积，表示为A。
2. 圆形的性质
- 圆形的直径是穿过中心并且两个端点都在圆上的线段。
直径
的长度是半径长度的两倍。
- 圆形的半径相等，即圆中任意两个半径之间的长度相等。
- 圆形的周长等于直径与π的乘积，即C = πd（其中d表示直径）。
- 圆形的面积等于半径与半径与π的乘积，即A = πr²（其中r 表示半径）。
3. 圆形的应用
圆形广泛应用于日常生活和工程领域中。
以下是一些常见的圆形应用：
- 在建筑设计中，圆形常用于设计圆顶、圆窗等。
- 在工程领域，圆形用于设计轮胎、齿轮、轴承等。
- 在地理学中，圆形用于表示地球的形状。
- 在运动场地设计中，圆形用于设计田径场、篮球场等。
结论
圆形是一种常见且重要的几何形状，具有特定的性质和应用。
通过学习圆形的定义、性质和应用，四年级学生可以更好地理解和应用这一概念，提高数学素养。
第一章圆（讲义）➢知识点睛1.圆的基本概念及性质：在同一平面内，到定点的距离等于一个固定长度的所有的点构成的图形叫做圆。
这个定点叫做圆的圆心。
连接圆心和圆上的任意一点的线段叫做半径，字母表示为r。
通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径，字母表示为d。
直径所在的直线是圆的对称轴。
2.圆的周长与面积:圆的一周长度称为圆的周长，圆的周长与它的直径长度之比称为圆周率，记为π。
因此圆的周长C=rπ=。
圆的内部区域面积称dπ2为圆的面积，圆的面积S=2πr。
3.两个大小不同的同心圆之间的部分称为圆环。
设大圆半径为R，小圆半径为r，则圆环面积S=()2222-=-。
R r R rπππ➢精讲精练经典例题1圆与扇形相关概念：（1）圆中心的一点叫做，一般用字母表示。
（2）连接圆心和圆上任意一点的线段，叫做，用字母表示。
（3）通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做，用字母表示。
直径长度是半径长度的倍。
（4）决定圆的大小；决定圆的位置；圆有条对称轴。
（5）图中涂色部分是一个。
圆上A、B两点之间的部分叫做。
顶点在圆心，两条半径组成的∠AOB，叫做。
（6）圆的周长式：；圆的面积公式：。
经典例题2（1）图中圆的周长是多少？圆的面积是多少？（单位：厘米，π取3.14）（2）下图的周长及面积分别是多少？(π取3.14，单位：米)经典例题3计算下图涂色部分的面积。
（π取3.14）经典例题4如图，有五个同心圆的半径分别是1、2、3、4、5，求图中阴影部分的面积。
（π取3.14）经典例题5如图是圆环的一半，面积是28.26平方厘米，那么图形的周长是多少？（π取3.14）【参考答案】经典例题1：（1）圆心，O（2）半径，r（3）直径，d ，2（4）半径，圆心，无数（5）扇形，弧AB ，圆心角（6）C =π2πd r ，S =2πr经典例题2：（1）周长：94.2cm ，面积：706.52cm（2）周长：40.56米，面积：105.12平方米经典例题3：84.78经典例题4：47.1经典例题5：24.84。
圆的综合复习【重难点】圆是我们研究曲线图形的开始，在观中、操作中体会圆的特征及培养空间观念。
一、圆的简单认识引：1、哪种方式更公平？站在此圆外投标2、车轮为什么是圆的呢？圆心到圆上的任意一点距离相等，圆在滚动时，圆心在一条直线上，这样的车轮滚动时才平稳。
3、井盖为什么是圆的？圆形的井盖边缘到圆心的距离处处相等，无论井盖怎样旋转，都不会掉到井中。
方形的一边要比其对角线短，一旦井盖翻转，就有可能掉入其中；还有为了节省材料、美观等。
4、水桶为什么一般都是圆的？【知识点】1、圆中心的一点叫圆心,用O 表示。
连接圆心和圆上任意一点的线段叫半径,常用r 表示。
通过圆心并且两端都在圆上的线段叫直径,常用d 表示。
圆心决定圆的位置,半径决定圆的大小。
2、一个圆有无数条半径，无数条直径。
同圆中所有的半径都相等，所有的直径也都相等，在同圆或等圆中，直径是半径的 2 倍，字母关系式为 d = 2 r （或半径是直径的一半，字母关系式为r =1d ）。
23、圆规两脚尖所叉开的距离为圆的半径。
在圆内最长的线段是直径。
将一张圆形纸片至少对折2次，就能确定圆心的位置。
4、圆是轴对称图形,任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴。
圆有无数条对称轴。
5、圆心相同的两个圆（同心圆），半径不一定相等；半径相等的两个圆（等圆），圆心不一定相同。
只有当两个圆的圆心相同、半径相等时，它们才叫同圆。
二、圆的周长（用 C 来表示）1、围成员的曲线的长度就是圆的周长。
2、测量圆周长的方法：1）以圆上某点开始，圆片向右滚动一周，量它的长度，即圆片滚动一周的长度即为圆的周长；2）用绳子绕圆一周，再测量绳子的长度。
3、任何圆的周长除以它的直径的商是一个固定的数,我们把它叫做圆周率, 用字母π 表示，计算时通常取3.14，圆周率不随圆的大小而变化，即π 是一个固定值。
4、圆的周长公式：C=πd 或C=2πr圆周率π = 圆的周长÷圆的直径= 圆的周长圆的直径三、圆的面积（用S 来表示）圆所占平面的大小就是圆的面积。
圆的方程专题讲义一、知识梳理圆的定义与方程注意：1确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤：(1)根据题意，选择标准方程或一般方程．(2)根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组．(3)解出a，b，r或D，E，F代入标准方程或一般方程．2．点与圆的位置关系点和圆的位置关系有三种．已知圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)(1)点在圆上：(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；(2)点在圆外：(x0－a)2＋(y0－b)2>r2；(3)点在圆内：(x0－a)2＋(y0－b)2<r2.二、基础检测题组一：思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．()(2)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以AB为直径的圆的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.()(3)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.( )(4)方程x2＋2ax＋y2＝0一定表示圆．()(5)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F＞0.()(6)方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝t2(t∈R)表示圆心为(a，b)，半径为t的圆．()题组二：教材改编2．以点(3，－1)为圆心，并且与直线3x＋4y＝0相切的圆的方程是()A ．(x －3)2＋(y ＋1)2＝1B ．(x －3)2＋(y －1)2＝1C ．(x ＋3)2＋(y －1)2＝1D ．(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝13．圆C 的圆心在x 轴上，并且过点A (－1,1)和B (1,3)，则圆C 的方程为_______．题组三：易错自纠4．若方程x 2＋y 2＋mx －2y ＋3＝0表示圆，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)B ．(－∞，－22)∪(22，＋∞)C ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－23)∪(23，＋∞)5．若点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4的内部，则实数a 的取值范围是( )A ．－1<a <1B ．0<a <1C ．a >1或a <－1D ．a ＝±46．若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是( )A ．(x －2)2＋(y －1)2＝1B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1C ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1D ．(x －3)2＋(y －1)2＝1三、典型例题题型一：圆的方典例 (1)过点A (4,1)的圆C 与直线x －y －1＝0相切于点B (2，1)，则圆C 的方程为__________．(2)已知圆C 经过P (－2,4)，Q (3，－1)两点，且在x 轴上截得的弦长等于6，则圆C 的方程为______________． 思维升华：(1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程．(2)待定系数法①若已知条件与圆心(a ，b )和半径r 有关，则设圆的标准方程，求出a ，b ，r 的值；②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D ，E ，F 的方程组，进而求出D ，E ，F 的值．跟踪训练 一个圆与y 轴相切，圆心在直线x －3y ＝0上，且在直线y ＝x 上截得的弦长为27，则该圆的方程为______________________．题型二：与圆有关的最值问题典例 已知点(x ，y )在圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝1上，求x ＋y 的最大值和最小值．引申探究1．在本例的条件下，求y x的最大值和最小值． 2．在本例的条件下，求x 2＋y 2＋2x －4y ＋5的最大值和最小值．思维升华：与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解．(2)与圆上点(x ，y )有关代数式的最值的常见类型及解法．①形如u ＝y －b x －a型的最值问题，可转化为过点(a ，b )和点(x ，y )的直线的斜率的最值问题；②形如t ＝ax ＋by 型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；③形如(x －a )2＋(y －b )2型的最值问题，可转化为动点到定点(a ，b )的距离的平方的最值问题．跟踪训练：已知点P (x ，y )在圆C ：x 2＋y 2－6x －6y ＋14＝0上．(1)求y x的最大值和最小值； (2)求x ＋y 的最大值与最小值．题型三：与圆有关的轨迹问题典例已知圆x 2＋y 2＝4上一定点A (2,0)，B (1,1)为圆内一点，P ，Q 为圆上的动点．(1)求线段AP 中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ ＝90°，求线段PQ 中点的轨迹方程．思维升华：求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程．(3)几何法：利用圆的几何性质列方程．(4)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．跟踪训练 已知Rt △ABC 的斜边为AB ，且A (－1,0)，B (3,0)．求：(1)直角顶点C 的轨迹方程；(2)直角边BC 的中点M 的轨迹方程．注意：利用几何性质巧设方程求半径典例 在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的交点都在圆C 上，求圆C 的方程．四、反馈练习1．已知点A (－4，－5)，B (6，－1)，则以线段AB 为直径的圆的方程为( )A ．(x ＋1)2＋(y －3)2＝29B ．(x －1)2＋(y ＋3)2＝29C ．(x ＋1)2＋(y －3)2＝116D ．(x －1)2＋(y ＋3)2＝1162．圆心在y 轴上，且过点(3,1)的圆与x 轴相切，则该圆的方程是( )A ．x 2＋y 2＋10y ＝0B ．x 2＋y 2－10y ＝0C ．x 2＋y 2＋10x ＝0D ．x 2＋y 2－10x ＝0 3．圆(x －2)2＋y 2＝4关于直线y ＝33x 对称的圆的方程是( ) A ．(x －3)2＋(y －1)2＝4B ．(x －2)2＋(y －2)2＝4C ．x 2＋(y －2)2＝4D ．(x －1)2＋(y －3)2＝44．若a ∈}431,0,2{ ，则方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示的圆的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 5．圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0上的点到直线x －y ＝2的距离的最大值是( )A ．1＋ 2B ．2C．1＋22D．2＋226．点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是()A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4 D．(x＋2)2＋(y－1)2＝17．已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．8．若圆C经过坐标原点与点(4,0)，且与直线y＝1相切，则圆C的方程是__________________．9．已知圆C：x2＋y2＋kx＋2y＝－k2，当圆C的面积取最大值时，圆心C的坐标为__________．10．已知点M(1,0)是圆C：x2＋y2－4x－2y＝0内的一点，那么过点M的最短弦所在直线的方程是__________．11．在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得的线段长为22，在y轴上截得的线段长为2 3. (1)求圆心P的轨迹方程；(2)若P点到直线y＝x的距离为22，求圆P的方程．12．已知M为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q(－2,3)．(1)求|MQ|的最大值和最小值；(2)若M(m，n)，求n－3m＋2的最大值和最小值．13．已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，设点P是圆C上的动点．记d＝|PB|2＋|P A|2，其中A(0,1)，B(0，－1)，则d的最大值为________．14．已知圆C截y轴所得的弦长为2，圆心C到直线l：x－2y＝0的距离为55，且圆C被x轴分成的两段弧长之比为3∶1，则圆C的方程为_________________．。
圆目录圆的定义及相关概念垂经定理及其推论圆周角与圆心角圆心角、弧、弦、弦心距关系定理圆内接四边形会用切线, 能证切线切线长定理三角形的内切圆了解弦切角与圆幂定理（选学）圆与圆的位置关系圆的有关计算一．圆的定义及相关概念【考点速览】考点1：圆的对称性：圆既是轴对称图形又是中心对称图形。
经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。
圆心是它的对称中心。
考点2：确定圆的条件；圆心和半径①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；②不在同一条直线上的三点确定一个圆；考点3：弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。
经过圆心的弦叫做直径。
直径是圆中最大的弦。
弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距。
弧：圆上任意两点间的部分叫做弧。
弧分为半圆，优弧、劣弧三种。
（请务必注意区分等弧，等弦，等圆的概念）弓形：弦与它所对应的弧所构成的封闭图形。
弓高：弓形中弦的中点与弧的中点的连线段。
（请务必注意在圆中一条弦将圆分割为两个弓形，对应两个弓高）固定的已经不能再固定的方法：求弦心距，弦长，弓高，半径时通常要做弦心距，并连接圆心和弦的一个端点，得到直角三角形。
如下图：考点4：三角形的外接圆：锐角三角形的外心在 ，直角三角形的外心在 ,钝角三角形的外心在 。
考点5点和圆的位置关系 设圆的半径为r ，点到圆心的距离为d ， 则点与圆的位置关系有三种。
①点在圆外⇔d ＞r ；②点在圆上⇔d=r ；③点在圆内⇔ d ＜r ；【典型例题】例1 在⊿ABC 中，∠ACB =90°,AC =2,BC =4，CM 是AB 边上的中线，以点C 为圆心，以5为半径作圆，试确定A,B,M 三点分别与⊙C 有怎样的位置关系，并说明你的理由。
例2．已知，如图，CD 是直径，︒=∠84EOD ，AE 交⊙O 于B ，且AB=OC ，求∠A 的度数。
M A B C DOEBC例3 ⊙O 平面内一点P 和⊙O 上一点的距离最小为3cm ，最大为8cm ，则这圆的半径是_________cm 。
圆知识回顾：1、圆的半径_______，所以圆心三角形是一个_______三角形2、直径d与半径r的关系：_______3、直径所对圆周角等于_____；90°的圆周角所对的弦是______4、圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的_____所对的弧_____、所对的弦_____、所对的弦心距_____5、圆周角定理：1、在同圆或等圆中，相等的_____所对的弧_____、所对的弦_____、所对的弦心距_____2、同弧所对圆周角是圆心角的_________垂径定理：一条直线，只要具备下列5条中的2条作为条件，就可以推出其他三条结论。
称为：知二推三1、经过圆心2、垂直于弦3、平分弦（不是直径）4、平分弦所对的优弧5、平分弦所对的劣弧圆的常见辅助线：1、____________________________________2、____________________________________3、____________________________________例1、如图，已知三角形ABC的边AB是⊙O的切线，切点为B。
AC经过圆心O并与圆相交于点D、C，过C作直线CE⊥AB，交AB的延长线于点E（1）求证：CB平分∠ACE（2）若BE=3，CE=4，求⊙O的半径2，AC=CD=12例2、⊙O是四边形ABCD的外接圆，OB⊥AC，OB与AC相交于点H，BC=10（1）求⊙O半径（2）求AD的长（3）若E为弦CD上的一个动点，过点E作EF//AC，EG//AD，EF与AD相交于点F，EG与AC相交于点G。
试问四边形AGEF的面积是否存在最大值？若存在，求出最大面积；若不存在，请说明理由知识回顾：圆内接四边形对角________切线的判定：①____________________ 、②____________________切线定理：圆的切线______于过其切点的半径切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，________________________________________________ 三角形的内接圆圆心，是这个三角形三条_________________的交点三角形的外接圆圆心，是这个三角形三条_________________的交点圆的周长：____________ 圆的面积：____________弧长公式：____________ 扇形面积：____________圆柱侧面积：____________ 圆锥侧面积：____________圆柱体积：____________ 圆锥体积：____________点与圆的位置关系（d是点到圆心距离，r是圆的半径）：1、点在圆内⇔ ____________2、点在圆上⇔ ____________3、点在圆外⇔ ____________直线与圆的位置关系（d是直线到圆心距离，r是圆的半径）：1、相交⇔ ____________2、相切⇔ ____________3、相离⇔ ____________圆与圆的位置关系（d是两圆的圆心距离，R、r分别是两圆的半径）：1、外离⇔ ____________2、外切⇔ ____________3、相交⇔ ____________4、内切⇔ ____________5、内含⇔ ____________1、若⊙O的半径为6cm，PO＝8cm，则点P的位置是（）A．在⊙O外B．在⊙O上C．在⊙O内D．不能确定2、如图，△ABC为直角三角形，∠C=90°，AC=6，BC=8，以点C为圆心，以CA为半径作⊙C，则△ABC斜边的中点D与⊙C的位置关系是（）A．点D在⊙C上B．点D在⊙C内C．点D在⊙C外D．不能确定3、已知圆锥的侧面积为16πcm2，圆锥的母线长8cm，则其底面半径为cm．4、圆锥的底面半径是1，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角的度数是．5、如图，△ABC的周长为8，⊙O与BC相切于点D，与AC的延长线相切于点E，与AB的延长线相切于点F，则AF的长为．6、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，且△ABC的三边都与⊙O相切，则AO＝．7、⊙O是△ABC的内切圆，∠C=90°，AB=10，⊙O的内接正六边形DGHIJK的边长为2．则△ABC的面积是（）A．24B．48C．20D．188、如图，已知⊙P的半径为2，圆心P在抛物线y＝x2﹣2上运动，当⊙P与x轴相切时，圆心P的坐标为．9、如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，过点D作AD的垂线交AB于点E．（1）请画出△ADE的外接圆⊙O（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）求证：BC是⊙O的切线；（3）过点D作DF⊥AE于点F，延长DF交⊙O于点G，若DG=8，EF=2．求⊙O的半径．10、如图，已知：AB为⊙O直径，PQ与⊙O交于点C，AD⊥PQ于点D，且AC为∠DAB的平分线，BE⊥PQ于点E．（1）求证：PQ与⊙O相切；（2）求证：点C是DE的中点．11、如图，圆C过原点并与坐标轴分别交于A、D两点，已知点B为圆C圆周上一动点，且∠ABO=30°，点D的坐标为（0，2 ）（1）直接写出圆心C 的坐标；（2）当△BOD为等边三角形时，求点B的坐标；（3）若以点B为圆心、r为半径作圆B，当圆B与两个坐标轴同时相切时，求点B的坐标．12、如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，AD交边BC于点D．O为边AB上一点，⊙O经过点A、D 并且交AB于另一点E（1）作出⊙O并标出点E（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）的条件下，①证明：直线BC是⊙O的切线②若⊙O与AC交于点F，且AE＝26，CD＝12，求AF的长。
《圆》讲义一、圆的定义在平面几何中，圆是一个非常重要的图形。
圆可以被定义为平面上到一个定点的距离等于定长的所有点组成的图形。
这个定点称为圆心，定长称为圆的半径。
我们可以想象一下，如果用一根绳子的一端固定在一个点上，另一端绑着一支笔，然后让笔绕着这个固定点旋转一周，那么笔尖所画出的轨迹就是一个圆。
圆是一种非常完美和对称的图形。
无论从哪个角度观察，它的形状都保持不变。
这种对称性使得圆在数学和实际生活中都有广泛的应用。
二、圆的基本元素1、圆心圆心是圆的中心位置，决定了圆的位置。
通常用字母 O 表示。
2、半径半径是连接圆心和圆上任意一点的线段。
它决定了圆的大小。
用字母 r 表示。
3、直径通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。
直径是半径的两倍，用字母 d 表示，即 d ＝ 2r 。
4、弧圆上任意两点间的部分叫做弧。
弧分为优弧和劣弧。
大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧。
5、弦连接圆上任意两点的线段叫做弦。
直径是圆中最长的弦。
6、圆心角顶点在圆心的角叫做圆心角。
7、圆周角顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。
三、圆的性质1、圆的对称性圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条通过圆心的直线。
圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。
2、垂径定理垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弧。
例如，在圆 O 中，直径 AB 垂直于弦 CD ，则 CE ＝ DE ，弧 AC ＝弧 AD ，弧 BC ＝弧 BD 。
3、弧、弦、圆心角的关系在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
4、圆周角定理在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。
四、圆的周长和面积1、圆的周长圆的周长是指绕圆一周的长度。
圆的周长公式为 C ＝2πr 或 C ＝πd ，其中π是圆周率，约等于 314 。
例如，如果一个圆的半径是 5 厘米，那么它的周长就是 2×314×5 ＝314 厘米。
《圆》培优讲义（一）一、圆的基本概念例：思考：车轮为什么是圆的？否则：试想，如果车轮是方的或者是椭圆的，坐车的人会有什么感觉？例：如图：AB、CB 为⊙O的两条弦，试说出图中的所有弧。
COBA例：判断对错1、长度相等的两条弧是等弧。
2、一条弦把圆分成两条弧，这两条弧不可能是等弧。
3、两个半圆是等弧。
4、半径相等的弧是等弧。
5、半径相等的两个半圆是等弧。
6、分别在两个等圆上的两条弧是等弧。
例：下列说法错误的是A、直径相等的两个圆是等圆。
B、圆中最大的弦是通过圆心的弦。
C、同圆中，优弧和劣弧的和等于一个整圆。
D、直径是圆中最长的弦。
例：AB 为圆O 的直径，点C 在圆O 上，OD//BC。
求证：OD 是AC 的垂直平分线ADOC B例：圆O 的半径为5，弦AB//CD，且AB=6，CD=8，求以两平行弦为底的梯形的面积。
对应练习：1. 设AB＝3 厘米，画图说明具有下列性质的点的集合是怎样的图形：（1）和点 A 的距离等于2 厘米的点的集合；（2）和点 B 的距离等于2 厘米的点的集合；（3）和点 A、B 的距离都等于2 厘米的点的集合；（4）和点 A、B 的距离都小于2 厘米的点的集合B2. 在下面的矩形中，如果 OA、OB、OC、OD 的中点分别为E、F、G、H。
求证：E、F、G、H4 个点在同一个圆上。
二、圆的轴对称性例 1. 如图，已知在⊙O中，弦AB 的长为8 厘米，圆心O 到AB 的距离为3 厘米，求⊙O的半径。
EAO变式 1：如上图，若以 O 为圆心再画一个圆交弦 AB 于C，D，则AC 与BD 间可能存在什么关系?A C E D BO （1）A C D BO（2）变式 2：如下图，若将 AB 向下平移，当移到过圆心时，结论 AC＝BD 还成立吗?变式 4：如图，设 AO ＝BO ，求证 AC ＝BD 。
变式 5：如图，设 OC ＝OD ，求证 AC ＝BD 。
结论： 得出解决这类题的关键在于利用垂径定理，由圆心 O 引弦 AB 的垂线。
圆的讲义知识点一：圆的相关概念1、圆的定义在一个个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。
2、圆的几何表示以点O为圆心的圆记作“⊙O”，读作“圆O”弦、弧等与圆有关的定义（1）弦连接圆上任意两点的线段叫做弦。
（如图中的AB）（2）直径经过圆心的弦叫做直径。
（如途中的CD）直径等于半径的2倍。
（3）半圆圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。
（4）弧、优弧、劣弧圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。
弧用符号“⌒”表示，以A，B为端点的弧记作“”，读作“圆弧AB”或“弧AB”。
大于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母表示）；小于半圆的弧叫做劣弧（多用两个字母表示）知识点二、垂径定理及其推论垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
垂径定理及其推论可概括为：过圆心垂直于弦直径平分弦知二推三平分弦所对的优弧平分弦所对的劣弧圆的对称性1、圆的轴对称性圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。
2、圆的中心对称性圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。
知识点三、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理1、圆心角顶点在圆心的角叫做圆心角。
2、弦心距从圆心到弦的距离叫做弦心距。
3、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦想等，所对的弦的弦心距相等。
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
圆周角定理及其推论1、圆周角顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。
九年级上册圆专题讲义知识点一、圆的相关概念1、圆的定义在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径.2、圆的几何表示以点O为圆心的圆记作“⊙O”，读作“圆O”知识点二、弦、弧等与圆有关的定义（1）弦连接圆上任意两点的线段叫做弦.（如图中的AB）（2）直径经过圆心的弦叫做直径（如图中的CD），半径相等，直径等于半径的2倍.（3）弧、优弧、劣弧圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.弧用符号“⌒”表示，以A，B为端点的弧记作“”，读作“圆弧AB”或“弧AB”.大于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母表示）；小于半圆的弧叫做劣弧（多用两个字母表示）. （4）半圆圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆.（5）等圆能够重合的两个圆叫做等圆.（6）等弧在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧.1知识点三、垂径定理及其推论垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.垂径定理及其推论可概括为：过圆心垂直于弦平分弦知二推三平分弦所对的优弧平分弦所对的劣弧例1.圆的半径为5cm，圆心到弦AB的距离为4cm，则AB=______cm练习1.如图1，CD为⊙O的直径，AB⊥CD于E，DE=8cm，CE=2cm，则AB=______cm（图1）（图2）（图3）练习2.如图2，⊙O的半径OC为6cm，弦AB垂直平分OC，则AB=______cm，∠AOB=______ 练习3.如图3，P为⊙O的弦AB上的点，PA=6，PB=2，⊙O的半径为5，则OP=______练习4.今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何．(选自《九章算术》卷第九“句股”中的第九题，1尺=10寸)．此问题的实质就是解决下面的问题：“如图，OC是⊙O的半径，弦AB⊥OC于点D，CD=1，AB=10，求直径”23CC 中考链接：（2007昆明，13 ，3分）如图，AB 是⊙O 的弦，OC 是⊙O 的半径，OC ⊥AB 于点D ，AB=16cm ，OD=6cm ，那么⊙O 的半径是________cm（2009昆明，22节选 ，8分）如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在AB 的延长线上，CD 切⊙O 于点D ，过点D 作DF ⊥AB 于点E ，交⊙O 于点F ，已知OE ＝1cm ，DF ＝4cm ．求⊙O 的半径知识点四、圆的对称性1、圆的轴对称性圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴.2、圆的中心对称性圆是以圆心为对称中心的中心对称图形.知识点五、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理1、圆心角顶点在圆心的角叫做圆心角.2、弦心距从圆心到弦的距离叫做弦心距.3、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦想等，所对的弦的弦心距相等.推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.知识点六、圆周角定理及其推论1、圆周角顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角.2、圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。
与圆有关的证明及计算1．已知，如图，直线MN交⊙O于A，B两点，AC是直径，AD平分∠CAM交⊙O于D，过D作DE⊥MN于E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若DE=6cm，AE=3cm，求⊙O的半径．2．如图，在△ABC，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点CBF=∠CAB．ACF在的延长线上，且∠（1）求证：直线BF是⊙O的切线；CBF=，求BC和BF的长．（2）若AB=5，sin∠3．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD，垂足为E，DA平分∠BDE．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）若∠DBC=30°，DE=1cm，求BD的长．是的中点，过点D作是⊙O的直径，DO4．如图，已知△ABC内接于⊙，AC．ECA的延长线、F直线BC的垂线，分别交CB、的切线；）求证：EF是⊙O（1，求⊙O的半径．EF=8（2）若，EC=65．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB与点E，点P在⊙O上，∠1=∠C，（1）求证：CB∥PD；P=，求⊙Osin∠的直径．，（2）若BC=36．如图，直线EF交⊙O于A、B两点，AC是⊙O直径，DE是⊙O的切线，且DE⊥EF，垂足为E．（1）求证：AD平分∠CAE；（2）若DE=4cm，AE=2cm，求⊙O的半径．7．如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作半圆⊙O交AC与点D，点E为BC的中点，连接DE．（1）求证：DE是半圆⊙O的切线．（2）若∠BAC=30°，DE=2，求AD的长．8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径作⊙O交AB于点D点，连接CD．（1）求证：∠A=∠BCD；（2）若M为线段BC上一点，试问当点M在什么位置时，直线DM与⊙O相切？并说明理由．9．如图，已知AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD切⊙O于点D，过点B作BE垂直于PD，交PD的延长线于点C，连接AD并延长，交BE于点E．（1）求证：AB=BE；cosB=，求⊙O半径的长．，）若（2PA=210．如图AB是⊙O的直径，PA，PC与⊙O分别相切于点A，C，PC交AB的延长线于点D，DE⊥PO交PO的延长线于点E．（1）求证：∠EPD=∠EDO；PDA=，求OE的长．PC=6，tan∠（2）若圆的动态探究题11．如图，⊙O半径为4cm，其内接正六边形ABCDEF，点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1cm/s速度沿AF，DC向中点F，G运动．连接PB，QE，设运动时间为t（s）．（1）求证：四边形PEQB为平行四边形；（2）填空：①当t=s时，四边形PBQE为菱形；②当t=s时，四边形PBQE为矩形．12．如图，AB为⊙O的直径，点C为AB延长线上一点，动点P从点A出发沿AC方向以lcm/s的速度运动，同时动点Q从点C出发以相同的速度沿CA方向运动，当两点相遇时停止运动，过点P作AB的垂线，分别交⊙O于点M和点N，已知⊙O的半径为l，设运动时间为t秒．（1）若AC=5，则当t=时，四边形AMQN为菱形；当t=时，NQ与⊙O相切；为正方形？请说明理AMQN的值，使四边形t的长为多少时，存在AC）当2（．由，并求出此时t的值．13．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=60°，以边上AC上一点O为圆心，OA为半径作⊙O，⊙O恰好经过边BC的中点D，并与边AC相交于另一点F．（1）求证：BD是⊙O的切线；是半圆上一动点，连接AE、AD、DE．，（2）若BC=2E填空：的长度是时，四边形ABDE①当是菱形；的长度是时，△ADE②当是直角三角形．14．如图，点A，B，C分别是⊙O上的点，且∠B=60°，CD是⊙O的直径，P 是CD延长线上的一点，且AP=AC．（1）求证：AP是⊙O的切线；（2）若AC=3，填空：①当的长为时，以A，C，B，D为顶点的四边形为矩形；②当的长为时，△ABC的面积最大，最大面积为．15．四边形ABCD的对角线交于点E，且AE=EC，BE=ED，以AB为直径的半圆过点E，圆心为O．（1）利用图1，求证：四边形ABCD是菱形．（2）如图2，若CD的延长线与半圆相切于点F，且直径AB=8．的面积为．②ABD的长．①△16．在圆O中，AC是圆的弦，AB是圆的直径，AB=6，∠ABC=30°，过点C作圆的切线交BA的延长线于点P，连接BC．（1）求证：△PAC∽△PCB；（2）点Q在半圆ADB上运动，填空：①当AQ=时，四边形AQBC的面积最大；②当AQ=时，△ABC与△ABQ全等．17．如图，AB是⊙O的直径，点P是弦AC上一动点（不与A，C重合），过点交于点F，交过点C的切线于点，垂足为E，射线EPD．ABP作PE⊥；1（）求证：DC=DP，，∠CAB=30°AB=12cm（2）若直径：DC=cmOA①当E是半径中点时，切线长为顶点的四边形是菱形．A②当AE=cm时，以，O，C，F18．如图，⊙O的直径AB=4，点C为⊙O上的一个动点，连接OC，过点A作⊙O的切线，与BC的延长线交于点D，点E为AD的中点，连接CE．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）填空：①当CE=时，四边形AOCE为正方形；②当CE=时，△CDE为等边三角形．19．如图，△ABC是半径为2的⊙O的内接三角形，连接OA、OB，点D、E、F、G分别是CA、OA、OB、CB的中点．（1）试判断四边形DEFG的形状，并说明理由；（2）填空：①若AB=3，当CA=CB时，四边形DEFG的面积是；②若AB=2，当∠CAB的度数为时，四边形DEFG是正方形．20．如图，在△ABC中，AB=AC，点O为边AB的中点，OD⊥BC于点D，AM⊥BC于点M，以点O为圆心，线段OD为半径的圆与AM相切于点N．（1）求证：AN=BD；（2）填空：点P是⊙O上的一个动点，①若AB=4，连结OC，则PC的最大值是；②当∠BOP=时，以O，D，B，P为顶点四边形是平行四边形．1．已知，如图，直线MN交⊙O于A，B两点，AC是直径，AD平分∠CAM交⊙O于D，过D作DE⊥MN于E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若DE=6cm，AE=3cm，求⊙O的半径．【解答】（1）证明：连接OD．∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA．∵∠OAD=∠DAE，∴∠ODA=∠DAE．∴DO∥MN．∵DE⊥MN，∴∠ODE=∠DEM=90°．即OD⊥DE．∵D在⊙O上，OD为⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线．（2）解：∵∠AED=90°，DE=6，AE=3，∴．．连接CD∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC=∠AED=90°．∵∠CAD=∠DAE，∴△ACD∽△ADE．∴．．∴则AC=15（cm）．∴⊙O的半径是7.5cm．2．如图，在△ABC，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点CBF=∠CAB在AC的延长线上，且∠．F（1）求证：直线BF是⊙O的切线；CBF=，求BC和，AB=5sin∠BF的长．（2）若【解答】（1）证明：连接AE，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB=90°，∴∠1+∠2=90°．∵AB=AC，1=∠∴∠CAB．CBF=∠CAB，∵∠∴∠1=∠CBF∴∠CBF+∠2=90°即∠ABF=90°∵AB是⊙O的直径，∴直线BF是⊙O的切线．（2）解：过点C作CG⊥AB于G．CBF=，∠1=∠CBF，∵sin∠，∠1=∴sin∵在Rt△AEB中，∠AEB=90°，AB=5，1=，∴BE=AB?sin∠∵AB=AC，∠AEB=90°，BC=2BE=2，∴AE=中，由勾股定理得在Rt△ABE，=22==，cos2=∠=，==sin∴∠在Rt△CBG中，可求得GC=4，GB=2，∴AG=3，∵GC∥BF，∴△AGC∽△ABF，∴=∴BF=3．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD，垂足为E，DA 平分∠BDE．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）若∠DBC=30°，DE=1cm，求BD的长．【解答】（1）证明：连接OA，∵DA平分∠BDE，∴∠BDA=∠EDA．∵OA=OD，∴∠ODA=∠OAD，∴∠OAD=∠EDA，∴OA∥CE．∵AE⊥CE，∴AE⊥OA．∴AE是⊙O的切线．（2）解：∵BD是直径，∴∠BCD=∠BAD=90°．∵∠DBC=30°，∠BDC=60°，∴∠BDE=120°．∵DA平分∠BDE，∴∠BDA=∠EDA=60°．∴∠ABD=∠EAD=30°．∵在Rt△AED中，∠AED=90°，∠EAD=30°，∴AD=2DE．∵在Rt△ABD中，∠BAD=90°，∠ABD=30°，∴BD=2AD=4DE．∵DE的长是1cm，∴BD的长是4cm．是的中点，过点DD作O，AC是⊙O的直径，ABC4．如图，已知△内接于⊙．FCACB、的延长线E、直线BC的垂线，分别交的切线；O（1）求证：EF是⊙的半径．，EC=6，求⊙O2（）若EF=8【解答】（1）证明：连接OD交于AB于点G．是的中点，OD为半径，∵D∴AG=BG．∵AO=OC，∴OG是△ABC的中位线．∴OG∥BC，即OD∥CE．又∵CE⊥EF，∴OD⊥EF，∴EF是⊙O的切线．（2）解：在Rt△CEF中，CE=6，EF=8，∴CF=10．设半径OC=OD=r，则OF=10﹣r，∵OD∥CE，∴△FOD∽△FCE，∴，=，∴r=，∴的半径为．即：⊙O5．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB与点E，点P在⊙O上，∠1=∠C，；（1）求证：CB∥PD的直径．Osin2（）若BC=3，∠，求⊙P=P（∠1）证明：∵∠C=【解答】C∠又∵∠1=P1=∴∠∠∴CB∥PD；（2）解：连接AC∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°又∵CD⊥AB，=∴，∴∠P=∠CAB，P=，又∵sin∠CAB=，sin∠∴=，即又知，BC=3，∴AB=5，∴直径为5．6．如图，直线EF交⊙O于A、B两点，AC是⊙O直径，DE是⊙O的切线，且DE⊥EF，垂足为E．（1）求证：AD平分∠CAE；（2）若DE=4cm，AE=2cm，求⊙O的半径．【解答】（1）证明：连接OD，∵OD=OA，∴∠ODA=∠OAD，∵DE是⊙O的切线，∴∠ODE=90°，OD⊥DE，又∵DE⊥EF，∴OD∥EF，∴∠ODA=∠DAE，∴∠DAE=∠OAD，∴AD平分∠CAE；（2）解：连接CD，∵AC是⊙O直径，∴∠ADC=90°，在Rt△ADE中，DE=4cm，AE=2cm，AD=cm∴根据勾股定理得：，由（1）知：∠DAE=∠OAD，∠AED=∠ADC=90°，∴△ADC∽△AED，，即∴，∴AC=10，∴⊙O的半径是5．7．如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作半圆⊙O交AC与点D，点E为BC的中点，连接DE．（1）求证：DE是半圆⊙O的切线．（2）若∠BAC=30°，DE=2，求AD的长．【解答】（1）证明：连接OD，OE，BD，∵AB为圆O的直径，∴∠ADB=∠BDC=90°，在Rt△BDC中，E为斜边BC的中点，∴DE=BE，在△OBE和△ODE中，，∴△OBE≌△ODE（SSS），∴∠ODE=∠ABC=90°，则DE为圆O的切线；（2）在Rt△ABC中，∠BAC=30°，BC=AC∴，∵BC=2DE=4，∴AC=8，又∵∠C=60°，DE=CE，∴△DEC为等边三角形，即DC=DE=2，则AD=AC﹣DC=6．8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径作⊙O交AB于点D点，连接CD．（1）求证：∠A=∠BCD；（2）若M为线段BC上一点，试问当点M在什么位置时，直线DM与⊙O相切？并说明理由．【解答】（1）证明：∵AC为直径，∴∠ADC=90°，∴∠A+∠DCA=90°，∵∠ACB=90°，∴∠DCB+∠ACD=90°，∴∠DCB=∠A；（2）当MC=MD（或点M是BC的中点）时，直线DM与⊙O相切；解：连接DO，∵DO=CO，∴∠1=∠2，∵DM=CM，∴∠4=∠3，∵∠2+∠4=90°，∴∠1+∠3=90°，∴直线DM与⊙O相切，故当MC=MD（或点M是BC的中点）时，直线DM与⊙O相切．9．如图，已知AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD切⊙O于点D，过点B作BE垂直于PD，交PD的延长线于点C，连接AD并延长，交BE于点E．（1）求证：AB=BE；cosB=，求⊙O半径的长．2）若PA=2，（【解答】（1）证明：连接OD，∵PD切⊙O于点D，∴OD⊥PD，∵BE⊥PC，∴OD∥BE，∴∠ADO=∠E，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ADO，∴∠OAD=∠E，∴AB=BE；（2）解：由（1）知，OD∥BE，∴∠POD=∠B，POD=cosB=，cos∠∴=，POD=POD中，cos∠在Rt△∵OD=OA，PO=PA+OA=2+OA，∴，，OA=3∴．=3∴⊙O半径10．如图AB是⊙O的直径，PA，PC与⊙O分别相切于点A，C，PC交AB的延长线于点D，DE⊥PO交PO的延长线于点E．（1）求证：∠EPD=∠EDO；PDA=，求OEtan∠的长．PC=6（2）若，【解答】（1）证明：PA，PC与⊙O分别相切于点A，C，∴∠APO=∠EPD且PA⊥AO，∴∠PAO=90°，∵∠AOP=∠EOD，∠PAO=∠E=90°，∴∠APO=∠EDO，∴∠EPD=∠EDO；（2）解：连接OC，∴PA=PC=6，PDA=，tan∠∵∴在Rt△PAD中，AD=8，PD=10，∴CD=4，PDA=，tan∠∵∴在Rt△OCD中，OC=OA=3，OD=5，∵∠EPD=∠ODE，∴△DEP∽△OED，==2∴，=∴DE=2OE22222，，即+DE5OE=OD=5在Rt△OED中，OEOE=．∴11．如图，⊙O半径为4cm，其内接正六边形ABCDEF，点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1cm/s速度沿AF，DC向中点F，G运动．连接PB，QE，设运动时间为t（s）．（1）求证：四边形PEQB为平行四边形；（2）填空：①当t=2s时，四边形PBQE为菱形；②当t=0或4s时，四边形PBQE为矩形．【解答】（1）证明：∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，∴AB=BC=CD=DE=EF=FA，∠A=∠ABC=∠C=∠D=∠DEF∠F，∵点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1cm/s速度，运动时间为t（s），∴AP=DQ=t，则PF=QC=4﹣t，在△ABP和△DEQ中∴△ABP≌△DEQ（SAS）∴BP=EQ，同理可证，PE=QB，∴四边形PEQB是平行四边形．（2）解：①当四边形PBQE为菱形时，PB=PE=EQ=QB，∴△ABP≌△DEQ≌△PFE≌△QCB，∴AP=PF=DQ=QC，即t=4﹣t，得t=2，故答案为：2；②当t=0时，∠EPF=∠PEF=30°，∴∠BPE=120°﹣30°=90°，∴此时四边形PBQE为矩形；当t=4时，∠ABP=∠APB=30°，∴∠BPE=120°﹣30°=90°，∴此时四边形PBQE为矩形．故答案为：0或4．出发沿A从点P延长线上一点，动点AB为C的直径，点O为⊙AB．如图，12．AC方向以lcm/s的速度运动，同时动点Q从点C出发以相同的速度沿CA方向运动，当两点相遇时停止运动，过点P作AB的垂线，分别交⊙O于点M和点N，已知⊙O的半径为l，设运动时间为t秒．t=时，NQ与⊙t=时，四边形AMQN为菱形；当AC=5（1）若，则当O相切；为正方形？请说明理的长为多少时，存在t的值，使四边形AMQNAC（2）当的值．由，并求出此时t【解答】解：（1）AP=t，CQ=t，则PQ=5﹣2t，∵NM⊥AB，∴PM=PN，t=，解得；t=5﹣2t∴当PA=PQ时，四边形AMQN为菱形，即当∠ONQ=90°时，NQ与⊙O相切，如图，OP=t﹣1，OQ=AC﹣OA﹣QC=5﹣1﹣t=4﹣t，∵∠NOP=∠QON，∴Rt△ONP∽Rt△OQN，==，∴，即2=t+5=0，解得，故舍去），≤1t≤2.5整理得t﹣5t（t，=12t=时，NQ与⊙O相切；即当，；故答案为（2）当AC的长为3时，存在t=1，使四边形AMQN为正方形．理由如下：∵四边形AMQN为正方形．∴∠MAN=90°，∴MN为⊙O的直径，而∠MQN=90°，∴点Q在⊙O上，∴AQ为直径，∴点P在圆心，∴MN=AQ=2，AP=1，∴t=AP=1，CQ=t=1，∴AC=AQ+CQ=2+1=3．13．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=60°，以边上AC上一点O为圆心，OA为半径作⊙O，⊙O恰好经过边BC的中点D，并与边AC相交于另一点F．（1）求证：BD是⊙O的切线；是半圆上一动点，连接AE、AD、2（）若DEBC=2，E．填空：是菱形；的长度是①当π时，四边形ABDE是直角三角形．时，△或的长度是②当ππADE【解答】（1）证明：连接OD，如图，∵∠BAC=90°，点D为BC的中点，∴DB=DA=DC，∵∠B=60°，∴△ABD为等边三角形，∴∠DAB=∠ADB=60°，∠DAC=∠C=30°，而OA=OD，∴∠ODA=∠OAD=30°，∴∠ODB=60°+30°=90°，∴OD⊥BC，∴BD是⊙O的切线；（2）解：①∵△ABD为等边三角形，AB=BD=AD=CD=，∴OD=中，△ODCCD=1，在Rt当DE∥AB时，DE⊥AC，∴AD=AE，∵∠ADE=∠BAD=60°，∴△ADE为等边三角形，∴AD=AE=DE，∠ADE=60°，∴∠AOE=2∠ADE=120°，∴AB=BD=DE=AE，∴四边形ABDE为菱形，=π=；此时的长度时，此点F重合，时，AE为直径点E与∠度的长②当ADE=90°==π；时的长度AOE=2∠ADE=60°，此径，当∠DAE=90°时DE为直，∠，=π=是直角三角形．π的长度为或所以当π时，△ADE；π或故答案为ππ．14．如图，点A，B，C分别是⊙O上的点，且∠B=60°，CD是⊙O的直径，P 是．AP=ACCD延长线上的一点，且的切线；O）求证：AP是⊙（1，填空：AC=3（2）若为顶点的四边形为矩形；，DB时，以A，C，①当π的长为．的面积最大，最大面积为π时，△ABC②当的长为．OA【解答】（1）证明：连接，B=60°∵∠，AOC=2∠B=120°∴∠，又∵OA=OC，∠CAO=30°∴∠ACP=，AOP=60°∴∠，AP=AC∵，P=∠ACP=30°∴∠，∴∠OAP=90°，OA∴⊥AP的切线，AP∴是⊙O（2）①连接AD，∵∠ADC=∠B=60°，CD是直径，∴∠DAC=90°，∵AC=3，OC=，CD=2AD=，，∴是矩形，此时ADBC．当AB=是直径时，四边形=π②∵∠B=60°，∴当BA=BC时，△ABC的面积最大，此时△ABC是等边三角形，2=×3=π，S．∴==ABC△15．四边形ABCD的对角线交于点E，且AE=EC，BE=ED，以AB为直径的半圆过点E，圆心为O．（1）利用图1，求证：四边形ABCD是菱形．（2）如图2，若CD的延长线与半圆相切于点F，且直径AB=8．①△ABD的面积为16．的长π②．【解答】解：（1）∵AE=EC，BE=ED，∴四边形ABCD是平行四边形．∵AB为直径，且过点E，∴∠AEB=90°，即AC⊥BD．∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是菱形．（2）①连结OF．∵CD的延长线与半圆相切于点F，∴OF⊥CF．∵FC∥AB，∴OF即为△ABD中AB边上的高．OF=×8××4=16，∴SAB=ABD△∵点O是AB中点，点E是BD的中点，=S=4∴S．ABDOBE△△②过点D作DH⊥AB于点H．∵AB∥CD，OF⊥CF，∴FO⊥AB，∴∠F=∠FOB=∠DHO=90°．∴四边形OHDF为矩形，即DH=OF=4．=，sin∠DAB=∵在Rt△DAH中，．∴∠DAH=30°中点，BD，OE分别为AB，∵点，∴OE∥AD，EOB=∠DAH=30°∴∠．==π的长度∴，π16故答案为：．16．在圆O中，AC是圆的弦，AB是圆的直径，AB=6，∠ABC=30°，过点C作圆的切线交BA的延长线于点P，连接BC．（1）求证：△PAC∽△PCB；（2）点Q在半圆ADB上运动，填空：AQ=3时，四边形①当AQBC的面积最大；AQ=3②当ABQ全等．或3时，△ABC与△【解答】（1）证明：如图1所示，连接OC．∵PC是圆O的切线，OC是半径，∴OC⊥PC，∴∠PCO=90°∴∠PCA+∠ACO=90°，∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴∠B+∠CAB=90°，∵OC=OA，∴∠OAC=∠OCA，∴∠B+∠OCA=90°，∴∠PCA=∠B，又∵∠P=∠P，∴△PAC∽△PCB；（2）解：①当点Q运动到OQ⊥AB时，四边形AQBC的面积最大；如图2所示：连接AQ、BQ，∵OA=OB，OQ⊥AB，∴OQ=BQ，∵AB是直径，∴∠AQB=90°，∴△ABQ是等腰直角三角形，AB=3AQ=∴，3故答案为：；②如图3所示：∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=3，∴BC=AC=AB=3，分两种情况：时，AQ=AC=3a．当，中，△ABQ在Rt△ABC和Rt）；HL∴△ABC≌△ABQ（；AQ=BC=3时，同理△ABCBAQ≌△b．当3或全等．时，△ABC与△ABQ综上所述：当AQ=3重合），过点C，A上一动点（不与AC是弦P的直径，点O是⊙AB．如图，17．．DC的切线于点交于点F，交过点作PPE⊥AB，垂足为E，射线EP；（1）求证：DC=DP，CAB=30°AB=12cm，∠（2）若直径DC=中点时，切线长4cm：①当E是半径OA②当AE=3cm时，以A，O，C，F为顶点的四边形是菱形．【解答】解：（1）连接OC．∵CD是⊙O的切线，∴∠OCD=90°，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∵PE⊥AB，∴∠PEA=90°，∴∠OAC+∠APE=90°，∠OCA+∠PCD=90°，∴∠APE=∠PCD，∵∠APE=∠CPD，∴∠PCD=∠CPD，∴DC=DP．（2）①连接BC，∵AB是直径，∴∠ACB=90°∵∠A=30°，AB=12，∵AC=AB?cos30°=6，AE=OA=3中，∵，在Rt△APE =2，÷cos30°∴AP=AE，AP=4∴PC=AC﹣∵∠APE=∠DPC=60°，DP=DC，∴△DPC是等边三角形，DC=4∴，4．故答案为②当AE=EO时，四边形AOCF是菱形．理由：连接AF、OF．∵AE=EO，FE⊥OA，∴FA=FO=OA，∴△AFO是等边三角形，∴∠FAO=60°，∵∠CAB=30°，∴∠FAC=30°，∠FOC=2∠FAC=60°，∴△FOC是等边三角形，∴CF=CO=OA=AF，∴四边形AOCF是菱形，∴AE=3cm时，四边形AECF是菱形．故答案为3．18．如图，⊙O的直径AB=4，点C为⊙O上的一个动点，连接OC，过点A作⊙O的切线，与BC的延长线交于点D，点E为AD的中点，连接CE．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）填空：①当CE=2时，四边形AOCE为正方形；CE=时，△CDE为等边三角形．②当【解答】（1）证明：连接AC、OE，如图（1），∵AB为直径，∴∠ACB=90°，∴△ACD为直角三角形，又∵E为AD的中点，∴EA=EC，在△OCE和△OAE中，，∴△OCE≌△OAE（SSS），∴∠OCE=∠OAE=90°，∴CE⊥OC，∴CE是⊙O的切线；（2）解：①C在线段BD的中点时，四边形AOCE为正方形．理由如下：当C为边BD的中点，而E为AD的中点，∴CE为△BAD的中位线，CE=AB=OA，∥AB，CE∴∴四边形OAEC为平行四边形，∵∠OAE=90°，∴平行四边形OCEA是矩形，又∵OA=OC，∴矩形OCEA是正方形，∴CE=OA=2，故答案为：2；②连接AC，如图（2），∵△CDE为等边三角形，∴∠D=60°，∠ABD=30°，CE=CD，AC=AB=2ABC中，，在Rt△D=，tan∠ACD在Rt△中，∵，CD=∴==，∴CE=故答案为：．19．如图，△ABC是半径为2的⊙O的内接三角形，连接OA、OB，点D、E、F、G分别是CA、OA、OB、CB的中点．（1）试判断四边形DEFG的形状，并说明理由；（2）填空：的面积是；时，四边形，当①若AB=3CA=CBDEFG②若AB=2，当∠CAB的度数为75°或15°时，四边形DEFG是正方形．【解答】解：（1）四边形DEFG是平行四边形．∵点D、E、F、G分别是CA、OA、OB、CB的中点，EF=AB，∥AB，∥AB，ABDG=，EF∴DG∴DG∥EF，DG=EF，∴四边形DEFG是平行四边形；（2）①连接OC．∵CA=CB，=，∴∴DG⊥OC，∵AD=DC，AE=EO，AB=EF=OC=1，同理，∴DE∥OC，DE=∴DE⊥DG，∴四边形DEFG是矩形，=．DEFG的面积∴四边形故答案为；②当C是优弧AB的中点时，四边形DEFG是正方形，此时∠CAB=75°，当C是劣弧AB的中点时，四边形DEFG是正方形，此时∠CAB=15°，故答案为75°或15°．⊥，AM⊥BC于点D的中点，ABC中，AB=AC，点O为边ABOD．如图，在△20．相切于点N为圆心，线段OD为半径的圆与AMBC于点M，以点O；）求证：AN=BD（1上的一个动点，O是⊙2）填空：点P（的最大值是2，连结OC，则PC+；①若AB=4②当∠BOP=45°或135°时，以O，D，B，P为顶点四边形是平行四边形．【解答】（1）证明：如图1中，连接ON．∵AM是⊙O的切线，∴ON⊥AM，∵OD⊥BC，AM⊥BC，∴∠ODM=∠ONM=∠DMN=90°，∴四边形ODMN是矩形，∵OD=ON，∴四边形ODMN是正方形，∴OD=ON=DM=MN，∵OA=OB，OD∥AM，ON∥BM，∴BD=DM，AN=MN，∴BD=AN；（2）①如图2中，连接OC、PC．∵PC≤OC+OP，∴当点P在CO的延长线时，P、O、C共线时，PC的值最大，最大值为OC+OP．由（1）可知，BM=AM，∠AMB=90°，∴∠B=45°，∵AB=AC=4，OP=OD=BD=DM=，BM=AM=MC=2ABC∴△是等腰直角三角形，，=2OC=，∴OA=2，；+2∴PC的最大值为②如图3中，由题意以O，D，B，P为顶点四边形是平行四边形当OB为对角线时，OP∥BD，可得∠BOP=∠ABC=45°，当OB为边时，OP′∥BC，可得∠BOP′=180°﹣∠ABC=135°．为顶点四边形是平行四边P，B，D，O时，以135°或POB=45°综上所述，当∠．形；。
