与圆有关专题综合的讲义(五)

题型五--圆的相关证明与计算（复习讲义）【考点总结|典例分析】考点01圆的有关概念1．与圆有关的概念和性质（1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．（2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦．（3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧．（4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．（5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角．（6）弦心距：圆心到弦的距离．考点02垂径定理及其推论1．垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合，解题时往往需要添加辅助线，一般过圆心作弦的垂线，构造直角三角形．2．推论（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．考点03圆心角、弧、弦的关系1．定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．圆心角、弧和弦之间的等量关系必须在同圆等式中才成立．2．推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．考点04圆周角定理及其推论1．定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．2．推论（1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．（2）直径所对的圆周角是直角．考点05与圆有关的位置关系1．点与圆的位置关系设点到圆心的距离为d．(1)d<r⇔点在⊙O内；(2)d=r⇔点在⊙O上；(3)d>r ⇔点在⊙O 外．判断点与圆之间的位置关系，将该点的圆心距与半径作比较即可．2．直线和圆的位置关系位置关系相离相切相交图形公共点个数0个1个2个数量关系d>r d=r d<r考点06切线的性质与判定1．切线的性质（1）切线与圆只有一个公共点．（2）切线到圆心的距离等于圆的半径．（3）切线垂直于经过切点的半径．利用切线的性质解决问题时，通常连过切点的半径，利用直角三角形的性质来解决问题．2．切线的判定（1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）．（2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线．（3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．切线判定常用的证明方法：①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径．考点07三角形与圆1.三角形外接圆外心是三角形三条垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等．2．三角形的内切圆内心是三角形三条角平分线的交点，它到三角形的三条边的距离相等．1.如图，点,,,,A B C D E 在O 上，,42AB CD AOB =∠=︒，则CED ∠=（）A．48︒B．24︒C．22︒D．21︒2.如图，A，B，C 是半径为1的⊙O 上的三个点，若，∠CAB＝30°，则∠ABC 的度数为（）A．95°B．100°C．105°D．110°3.如图，AB 是⊙O 的直径，AC，BC 是⊙O 的弦，若20A ∠=︒，则B Ð的度数为（）A．70°B．90°C．40°D．60°4.如图，Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，AC =3BC =．点P 为ABC ∆内一点，且满足22PA PC +2AC =．当PB 的长度最小时，ACP ∆的面积是（）A．3B．C．4D．25.如图，已知在⊙O 中， AB BCCD ＝＝，OC 与AD 相交于点E．求证：（1）AD∥BC（2）四边形BCDE 为菱形．6.如图，A，B 是O 上两点，且AB OA =，连接OB 并延长到点C，使BC OB =，连接AC．（1）求证：AC 是O 的切线．（2）点D，E 分别是AC，OA 的中点，DE 所在直线交O 于点F，G，4OA =，求GF 的长．7.如图，Rt ABC 中，90ABC ∠=︒，以点C 为圆心，CB 为半径作C ，D 为C 上一点，连接AD 、CD ，AB AD =，AC 平分BAD ∠．（1）求证：AD 是C 的切线；（2）延长AD 、BC 相交于点E，若2EDC ABC S S = ，求tan BAC ∠的值．8.如图，在O 中，AB 是直径，弦CD AB ⊥，垂足为H ，E 为 BC上一点，F 为弦DC 延长线上一点，连接FE 并延长交直径AB 的延长线于点G ，连接AE 交CD 于点P ，若FE FP =．（1）求证：FE 是O 的切线；（2）若O 的半径为8，3sin 5F =，求BG 的长．9.如图，ABC 是O 的内接三角形，AC 是O 的直径，点D 是 BC的中点，//DE BC 交AC 的延长线于点E ．（1）求证：直线DE 与O 相切；（2）若O 的直径是10，45A ∠=︒，求CE 的长．10.如图，已知点C 是以AB 为直径的圆上一点，D 是AB 延长线上一点，过点D 作BD 的垂线交AC 的延长线于点E ，连结CD ，且CD ED =．（1）求证：CD 是O 的切线；（2）若tan 2DCE ∠=，1BD =，求O 的半径．11.如图，AB 是⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，连接AC，CE⊥AB 于点E，D 是直径AB 延长线上一点，且∠BCE＝∠BCD．（1）求证：CD 是⊙O 的切线；（2）若AD＝8，BE CE=12，求CD的长．12.如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，AB＝10，AC＝6，连结OC，弦AD分别交OC，BC于点E，F，其中点E是AD的中点．（1）求证：∠CAD＝∠CBA．（2）求OE的长．13.如图，⊙O的半径OA＝6，过点A作⊙O的切线AP，且AP＝8，连接PO并延长，与⊙O 交于点B、D，过点B作BC∥OA，并与⊙O交于点C，连接AC、CD．（1）求证：DC∥AP；（2）求AC的长．=CD =DB ，连接AD，过点D作14.如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的两个点，ACDE⊥AC交AC的延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线．（2）若直径AB＝6，求AD的长．15.如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆O上不同于A，B的两点，AD＝BC，AC与BD相交于点F．BE是半圆O所在圆的切线，与AC的延长线相交于点E．（1）求证：△CBA≌△DAB；（2）若BE＝BF，求证：AC平分∠DAB．16.如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD与过C点的直线互相垂直，垂足为D，AC 平分∠DAB．（1）求证：DC为⊙O的切线．（2）若AD＝3，DC=3，求⊙O的半径．17.如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E．（1）求证：DE⊥AC；（2）若⊙O的半径为5，BC＝16，求DE的长．。

（尖子生题库）专题05圆的面积的解题技巧六年级数学思维拓展拔高讲义（通用版）在解答圆的组合图形面积或求阴影部分面积时，除了正确运用圆的面积公式外，还可以巧妙地运用“重叠”“转化”“拼接”“对称”“割补结合"等技巧化繁为简、化不规则为规则进行解答。

一．选择题（共20小题）1．人民公园里有一个半径是6米的圆形花坛，花坛周围有一条1米宽的环形小路。

这条小路的占地面积是（）平方米。

A．3.14B．37.68C．40.82D．153.862．下面四句话中，正确的是（）①圆有无数条对称轴。

②所有的半径都相等。

③周长相等的两个圆，它们的面积也一定相等。

④甲圆的半径是乙圆半径的2倍，甲圆的周长也是乙圆周长的2倍。

A．①②④B．①③④C．①②③D．②③④3．（如图）已知大正方形的面积是4cm2。

那么圆的面积是（）cm2。

妙招演练妙招总结424．一个半圆形的周长是25.7cm ，这个半圆形的面积是（ ）cm 2。

A ．314B ．78.5C ．39.25D ．31.45．下列说法中，正确的是（ ）①把5米长的绳子平均分成8份，每份是1米的58。

②在同一个圆中，半圆的周长等于圆周长的一半。

③水结成冰时，体积膨胀110，冰化成水后，体积就减少110。

④树木的成活率、上班的出勤率和小麦的出粉率都不可能超过100%。

A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④6．把一个圆平均分成32份，剪开后拼成一个近似的长方形，关于这个过程，下面说法正确的是（ ）A ．剪拼前后周长和面积都没变B ．剪拼前后周长不变，面积变了C ．剪拼前后周长变了，面积没变D ．剪拼前后周长和面积都变了7．长度相等的三根铁丝，分别做成一个长方形、正方形和圆，（ ）面积最大。

A ．长方形B ．正方形C ．圆8．研究圆的面积时，可以把圆平均分成32份，64份，128份……，平均分的份数越多，转化后的图形越接近长方形。

下列说法错误的是（ ）A ．长方形的长相当于圆周长的一半B ．长方形的宽相当于圆的半径C ．长方形的周长等于圆的周长D ．长方形的面积等于圆的面积9．把一张圆形纸对折3次后得到的图形的面积是原来圆面积的（ ）349810．下面是推导圆的面积的方法，哪种推导过程中有错误信息（）A．B．C．D．11．如图，沿半径20m的半圆形草坪外围铺一条4m宽的小路，小路的面积是多少平方米？列式正确的是（）A．3.14×42÷2B．3.14×（20+4﹣20）2÷2C．3.14×（20+4）2÷2﹣3.14×202÷212．游乐园要建一座圆形旋转木马，直径是8m，并在它的周围修建一条2m宽的小路，这条小路的面积是（）m2。

圆的方程讲义一、圆的标准方程：1.以点),(b a C 为圆心，r 为半径的圆的标准方程为 特别的，圆心在原点，半径为r 的圆的标准方程为 注：特殊位置的圆的方程（1）圆心在原点（2）圆心在x 轴上（3）圆心在y 轴上（4）圆过原点（5）与x 轴相切的圆（6）与y 轴相切的圆2.点与圆的位置关系：已知点),(00y x M 和圆C ：)0()()(222>=-+-r r b y a x ，点M 到圆心C 的距离为d ，则（1）点M 在圆上⇔ ⇔（2）点M 在圆内⇔ ⇔（3）点M 在圆外⇔ ⇔3.典型例题例1.ABC ∆的三个顶点)8,2(),3,7(),1,5(--C B A ，求它的外接圆的方程例2.已知圆心为C 的圆经过点)1,1(A 和)2,2(-B ，且圆心C 在直线 l ：01=+-y x 上，求圆心为C 的圆的标准方程例 3.已知两点),(),,(2211y x B y x A ，求证：以AB 为直径的圆的方程为0))(())((2121=--+--y y y y x x x x二、圆的一般方程1.对于方程022=++++F Ey Dx y x（1）当0422>-+F E D 时，方程表示（2）当0422=-+F E D 时，方程表示（3）当0422<-+F E D 时，方程表示2.圆的一般方程：方程 叫做圆的一般方程，其圆心为 ，半径为注圆的一般方程的系数特点：（1）22,y x 项的系数（2）无xy 的项（3）3.点与圆的位置关系：已知点),(00y x M 和圆C ：022=++++F Ey Dx y x ，则（1）点M 在圆上⇔（2）点M 在圆内⇔（3）点M 在圆外⇔例1.若方程01222222=-+++++a a ay ax y x 表示圆，求a 的取值范围变式：若原点在圆01222222=-+++++a a ay ax y x 外，求a 的取值范围例2.求过三点)2,4(),1,1(),0,,0(B A O 的圆的方程，并求出这个圆的半径长和圆心坐标.三、直线与圆的位置关系1.平面几何中，直线与圆有三种位置关系：（1）直线与圆相交，有 个公共点；（2）直线与圆相切，有 个公共点；（3）直线与圆相离，有 个公共点．2.直线与圆的位置关系的判定：已知直线l ：0=++C By Ax ，圆C ：)0()()(222>=-+-r r b y a x（1）方法1：（几何法）设圆心C 到直线l 的距离（弦心距）为22b a C bB aA d +++=，则 ① ⇔直线与圆相交② ⇔直线与圆相切③ ⇔直线与圆相离（2）方法2：（代数法）联立直线l 与圆C 的方程0)()(02222=++⇒⎩⎨⎧=-+-=++t qx px r b y a x C By Ax ① ⇔直线与圆相交② ⇔直线与圆相切③ ⇔直线与圆相离例1.如图，已知直线l ：063=-+y x 和圆心为C 的圆04222=--+y y x ，判断直线l 与圆C 的位置关系例2.直线m x y +-=33与圆122=+y x 在第一象限内有两个交点，求实数m 的取值范围3.弦长公式：设直线l ：b kx y +=与圆C ：)0()()(222>=-+-r r b y a x 相交于B A ,两点，则弦长AB 的求法有：（1）几何法：由弦心距d ，半弦长2L ，圆的半径r 满足勾股定理222)2(r L d =+=⇒L （2）代数法：（弦长公式）=AB == =例3.已知直线l ：012=--y x 与圆C ：01222=--+y y x 交于B A ,，求弦长AB例4.过点)3,3(--M 的直线l 被圆C ：021422=-++y y x 所截得的弦长为54，求直线l 的方程变式1：过点)3,3(--M 的直线l 被圆C ：021422=-++y y x 所截得的弦长为8，求直线l 的方程变式2：过点)0,3(P 直线l 被圆C ：0122822=+--+y x y x 截得的弦长为4，求直线l 的方程4.弦的中点（中点弦）问题：例5.过点)0,4(P 的直线l 与圆C ：422=+y x 交于B A ,两点，求弦AB 的中点Q 的轨迹方程例6.直线kx y =与圆0104622=+--+y x y x 相交于B A ,，求弦AB 的中点P 的轨迹方程5.以弦为直径的圆过定点问题例7.已知圆0622=+-++m y x y x 与直线032=-+y x 交于Q P ,两点，且以PQ 为直径的圆过原点，求m 的值四、圆的切线问题1.求过圆上一点的圆的切线方程例8.求过点)3,1(P 的圆O ：422=+y x 的切线l 的方程例9.证明：过圆222r y x =+上一点),(00y x P 的圆的切线方程为：200r y y x x =+注：常见的与圆的切线有关的结论（1）过圆222r y x =+上一点),(00y x P 的圆的切线方程为（2）过圆222)()(r b y a x =-+-上一点),(00y x P 的圆的切线方程为（3）过圆022=++++F Ey Dx y x 上一点),(00y x P 的圆的切线方程为（4）过二次曲线（包括圆、椭圆、双曲线、抛物线）022=++++F Ey Dx Cy Ax 上一点),(00y x P 的圆的切线方程为2.求过圆外一点的圆的切线方程例10.求过点)3,4(-A 的圆1)1()3(22=-+-y x 的切线l 的方程练习：求过点)4,3(A 的圆1)1()2(22=-+-y x 的切线l 方程3.求切线长例11.过圆C ：1)2()2(22=-+-y x 外一点)2,0(P 作圆C 的切线PT ，T 为切点，求切线PT 的长注：圆的切线长公式：（1）设点),(00y x P 是圆222)()(r b y a x =-+-外任意一点，过点P 作圆的切线PT ，T 为切点，则切线长=PT（2）设点),(00y x P 是圆022=++++F Ey Dx y x 外任意一点，过点P 作圆的切线PT ，T 为切点，则切线长=PT例12.已知圆C ：1)1()2(22=-+-y x ，在直线l ：01243=--y x 上求一点P ，过点P 作圆C 的切线，使得切线段最短4.切点弦例13.设点),(00y x P 是圆222)()(r b y a x =-+-外任意一点，过点P 作圆的切线，切点为B A ,，则切点弦AB 所在直线方程为注：圆的切点弦所在直线方程（1）设点),(00y x P 是圆222)()(r b y a x =-+-外任意一点，过点P 作圆的切线，切点为B A ,，则切点弦AB 所在直线方程为（2）设点),(00y x P 是圆022=++++F Ey Dx y x 外任意一点，过点P 作圆的切线，切点为B A ,，则切点弦AB 所在直线方程为五、圆和圆的位置关系1.圆和圆的位置关系：（1）圆和圆相离，有 个公共点（2）圆和圆外切，有 个公共点（3）圆和圆相交，有 个公共点（4）圆和圆内切，有 个公共点（5）圆和圆内含，有 个公共点2.圆和圆的五种位置关系的判定（1）几何法：设两圆21,C C 的半径分别为21,r r ，圆心距为d ，则①圆和圆相离⇔②圆和圆外切⇔③圆和圆相交⇔④圆和圆内切⇔⑤圆和圆内含⇔（2）代数法：联立两圆的方程①圆和圆相离⇔②圆和圆外切⇔③圆和圆相交⇔注：用代数法判断出两圆相切后，若要进一步区分是外切还是内切，则还要判断小圆圆心是在大圆内还是在大圆外，若在大圆内，则两圆 ，若在大圆外，则两圆 ， 类似可以区分外离与内含例14.已知圆1C ：088222=-+++y x y x 和圆2C ：024422=---+y x y x ，试判断圆1C 与圆2C 的位置关系例15.设圆1C ：088222=-+++y x y x 和圆2C ：024422=---+y x y x 相交于B A ,两点，求（1）两圆的公共弦AB 所在的直线方程（2）求两圆的公共弦AB 的长3.两圆的公切线条数（1）当两圆外离时，有 条公切线， 条外公切线， 条内公切线（2）当两圆外切时，有 条公切线， 条外公切线， 条内公切线（3）当两圆相交时，有 条公切线（4）当两圆内切时，有 条公切线（5）当两圆内含时，有 条公切线例16.（1）圆1C ：122=+y x 与圆1C ：1)3(22=-+y x 有 条公切线（2）点)1,0(A 和)5,4(B 到直线l 的距离分别为1和2，则符合条件的直线l 有 条4.两圆公切线的求法例17.已知圆1O ：096222=++++y x y x ，2O ：012622=++-+y x y x ，求两圆的公切线方程。

圆的方程专题讲义一、知识梳理圆的定义与方程注意：1确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤：(1)根据题意，选择标准方程或一般方程．(2)根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组．(3)解出a，b，r或D，E，F代入标准方程或一般方程．2．点与圆的位置关系点和圆的位置关系有三种．已知圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)(1)点在圆上：(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；(2)点在圆外：(x0－a)2＋(y0－b)2>r2；(3)点在圆内：(x0－a)2＋(y0－b)2<r2.二、基础检测题组一：思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．()(2)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以AB为直径的圆的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.()(3)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.( )(4)方程x2＋2ax＋y2＝0一定表示圆．()(5)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F＞0.()(6)方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝t2(t∈R)表示圆心为(a，b)，半径为t的圆．()题组二：教材改编2．以点(3，－1)为圆心，并且与直线3x＋4y＝0相切的圆的方程是()A ．(x －3)2＋(y ＋1)2＝1B ．(x －3)2＋(y －1)2＝1C ．(x ＋3)2＋(y －1)2＝1D ．(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝13．圆C 的圆心在x 轴上，并且过点A (－1,1)和B (1,3)，则圆C 的方程为_______．题组三：易错自纠4．若方程x 2＋y 2＋mx －2y ＋3＝0表示圆，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)B ．(－∞，－22)∪(22，＋∞)C ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－23)∪(23，＋∞)5．若点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4的内部，则实数a 的取值范围是( )A ．－1<a <1B ．0<a <1C ．a >1或a <－1D ．a ＝±46．若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是( )A ．(x －2)2＋(y －1)2＝1B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1C ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1D ．(x －3)2＋(y －1)2＝1三、典型例题题型一：圆的方典例 (1)过点A (4,1)的圆C 与直线x －y －1＝0相切于点B (2，1)，则圆C 的方程为__________．(2)已知圆C 经过P (－2,4)，Q (3，－1)两点，且在x 轴上截得的弦长等于6，则圆C 的方程为______________． 思维升华：(1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程．(2)待定系数法①若已知条件与圆心(a ，b )和半径r 有关，则设圆的标准方程，求出a ，b ，r 的值；②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D ，E ，F 的方程组，进而求出D ，E ，F 的值．跟踪训练 一个圆与y 轴相切，圆心在直线x －3y ＝0上，且在直线y ＝x 上截得的弦长为27，则该圆的方程为______________________．题型二：与圆有关的最值问题典例 已知点(x ，y )在圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝1上，求x ＋y 的最大值和最小值．引申探究1．在本例的条件下，求y x的最大值和最小值． 2．在本例的条件下，求x 2＋y 2＋2x －4y ＋5的最大值和最小值．思维升华：与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解．(2)与圆上点(x ，y )有关代数式的最值的常见类型及解法．①形如u ＝y －b x －a型的最值问题，可转化为过点(a ，b )和点(x ，y )的直线的斜率的最值问题；②形如t ＝ax ＋by 型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；③形如(x －a )2＋(y －b )2型的最值问题，可转化为动点到定点(a ，b )的距离的平方的最值问题．跟踪训练：已知点P (x ，y )在圆C ：x 2＋y 2－6x －6y ＋14＝0上．(1)求y x的最大值和最小值； (2)求x ＋y 的最大值与最小值．题型三：与圆有关的轨迹问题典例已知圆x 2＋y 2＝4上一定点A (2,0)，B (1,1)为圆内一点，P ，Q 为圆上的动点．(1)求线段AP 中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ ＝90°，求线段PQ 中点的轨迹方程．思维升华：求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程．(3)几何法：利用圆的几何性质列方程．(4)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．跟踪训练 已知Rt △ABC 的斜边为AB ，且A (－1,0)，B (3,0)．求：(1)直角顶点C 的轨迹方程；(2)直角边BC 的中点M 的轨迹方程．注意：利用几何性质巧设方程求半径典例 在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的交点都在圆C 上，求圆C 的方程．四、反馈练习1．已知点A (－4，－5)，B (6，－1)，则以线段AB 为直径的圆的方程为( )A ．(x ＋1)2＋(y －3)2＝29B ．(x －1)2＋(y ＋3)2＝29C ．(x ＋1)2＋(y －3)2＝116D ．(x －1)2＋(y ＋3)2＝1162．圆心在y 轴上，且过点(3,1)的圆与x 轴相切，则该圆的方程是( )A ．x 2＋y 2＋10y ＝0B ．x 2＋y 2－10y ＝0C ．x 2＋y 2＋10x ＝0D ．x 2＋y 2－10x ＝0 3．圆(x －2)2＋y 2＝4关于直线y ＝33x 对称的圆的方程是( ) A ．(x －3)2＋(y －1)2＝4B ．(x －2)2＋(y －2)2＝4C ．x 2＋(y －2)2＝4D ．(x －1)2＋(y －3)2＝44．若a ∈}431,0,2{ ，则方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示的圆的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 5．圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0上的点到直线x －y ＝2的距离的最大值是( )A ．1＋ 2B ．2C．1＋22D．2＋226．点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是()A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4 D．(x＋2)2＋(y－1)2＝17．已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．8．若圆C经过坐标原点与点(4,0)，且与直线y＝1相切，则圆C的方程是__________________．9．已知圆C：x2＋y2＋kx＋2y＝－k2，当圆C的面积取最大值时，圆心C的坐标为__________．10．已知点M(1,0)是圆C：x2＋y2－4x－2y＝0内的一点，那么过点M的最短弦所在直线的方程是__________．11．在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得的线段长为22，在y轴上截得的线段长为2 3. (1)求圆心P的轨迹方程；(2)若P点到直线y＝x的距离为22，求圆P的方程．12．已知M为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q(－2,3)．(1)求|MQ|的最大值和最小值；(2)若M(m，n)，求n－3m＋2的最大值和最小值．13．已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，设点P是圆C上的动点．记d＝|PB|2＋|P A|2，其中A(0,1)，B(0，－1)，则d的最大值为________．14．已知圆C截y轴所得的弦长为2，圆心C到直线l：x－2y＝0的距离为55，且圆C被x轴分成的两段弧长之比为3∶1，则圆C的方程为_________________．。

人教版六年级数学上册期末复习重难点知识点第五单元圆同学们，经过一个学期的学习，你一定进步了吧！今天，让我们共同回顾一下本学期的知识吧，并且通过完成这些练习，看看自己在哪些方面做得还真不错，以便继续发扬；哪些方面存在不足，需要在今后的学习中注意赶上。

每个人的成功都要经历无数次历练，无论成功还是失败对我们都十分重要。

加油！知识点一：圆的认识1.连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径。

2.通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。

3.一个圆有无数条半径，无数条直径。

4.圆是轴对称图形，它有无数条对称轴，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴。

5.同一圆内，所有的半径都相等，所有的直径都相等，直径的长度是半径长度的2倍。

把圆沿任意一条直径对折，两边可以重合。

6.圆心确定了，圆的中心位置就确定了。

半径决定了圆的大小。

7.画圆的方法：定好圆心；确定半径的长度；画圆的时候注意线条的流畅。

知识点二：圆的周长1.其实，早就有人研究了周长与直径的关系，发现任意一个圆的周长与它的直径的比值是一个固定的数，我们把它叫做圆周率，用字母π表示。

它是一个无限不循环小数，π=3.1415926535……但在实际应用中常常只取它的近似值，例如π≈3.14。

2.围成圆的曲线的长是圆的周长。

3.圆的周长=直径×圆周率。

4.C=πd 或C=2πr 。

知识点三：圆的面积1.圆的面积公式是由长方形的面积公式推导出来的。

2.圆的面积 S=πr ²。

知识点四：圆的面积公式的应用已知圆的直径求圆的面积时，可以根据公式S=π(2d )²直接求解。

知识点五：圆环的面积S 环=πR 2−πr 2S 环=π（R 2−r 2）知识点六：不规则图形的面积1.外方内圆的图形称为圆外切正方形。

2.外圆内方的图形称为圆内接正方形。

3. 知识点七：扇形1.圆上A 、B 两点之间的部分叫做弧，读作“弧AB ”。

2.一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。

与圆有关的概念——专题培优、能力提升复习讲义中考考点梳理1、圆的定义在一个个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。

2、弦连接圆上任意两点的线段叫做弦。

（如图中的AB）3.直径经过圆心的弦叫做直径（如图中的CD）；直径等于半径的2倍。

4.半圆圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。

5.弧、优弧、劣弧圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。

弧用符号“⌒”表示，以A，B为端点的弧记作“”，读作“圆弧AB”或“弧AB”。

大于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母表示）；小于半圆的弧叫做劣弧（多用两个字母表示）5、垂径定理及其推论垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。

推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。

（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

6、圆的对称性1、圆的轴对称性圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。

2、圆的中心对称性圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。

7、弦心距从圆心到弦的距离叫做弦心距。

中考典例精选考点典例一、★★★垂径定理【例1】如图所示，⊙O 的半径为13，弦AB 的长度是24，AB ON ⊥，垂足为N ，则=ON （ ）A.5B.7C.9D. 11【答案】A.【解析】考点：垂径定理；勾股定理.【点睛】根据“两条辅助线（半径和边心距），一个直角三角形，两个定理（垂径定理、勾股定理）”解决即可。

【举一反三】如图，在⊙O 中，弦AB=6，圆心O 到AB 的距离OC=2，则⊙O 的半径长为 ． N OBA【答案】13．【解析】试题分析：已知弦AB=6，圆心O到AB的距离OC为2，根据垂径定理可得AC=BC=3，∠ACO=90°，由勾股定理可求得OA=13．考点：垂径定理；勾股定理.考点典例二、求边心距【例2】小颖同学在手工制作中，把一个边长为12cm的等边三角形纸片贴到一个圆形的纸片上，若三角形的三个顶点恰好都在这个圆上，则圆的半径为（）A．23cm B．43cm C．63cm D．83cm【答案】B．【解析】考点：三角形的外接圆与外心；等边三角形的性质．【点睛】作出几何图形，再由外接圆半径、边心距和边长的一半组成的三角形中，已知外接圆半径和特殊角，可求得边心距．考查了等边三角形的性质．注意：等边三角形的外接圆和内切圆是同心圆，圆心到顶点的距离等于外接圆半径，边心距等于内切圆半径．【举一反三】 如图，半径为5的⊙A 中，弦BC ，ED 所对的圆心角分别是∠BAC ，∠EAD. 已知DE=6，∠BAC+∠EAD=180°，则弦BC 的弦心距等于( )A. 241B. 234 C. 4 D. 3 【答案】D ．考点：1.圆周角定理；2.全等三角形的判定和性质；3.垂径定理；4.三角形中位线定理.【分析】如答图，过点A 作AH ⊥BC 于H ，作直径CF ，连接BF ，考点典例三、最短路线问题【例3】如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN=30°，点B为劣弧AN的中点．点P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为（）A． B．1 C． 2 D． 2【答案】A.【解析】作点B关于MN的对称点B′，连接OA、OB、OB′、AB′，则AB′与MN的交点即为PA+PB的最小时的点，PA+PB的最小值=AB′，∵∠AMN=30°，∴∠AON=2∠AMN=2×30°=60°，∵点B为劣弧AN的中点，∴∠BON=12∠AON=12×60°=30°，由对称性，∠B′ON=∠BON=30°，∴∠AOB′=∠AON+∠B′ON=60°+30°=90°，∴△AOB′是等腰直角三角形，∴AB′=2OA=2×1=2，即PA+PB的最小值=2．故选A．【点睛】本题考查了轴对称确定最短路线问题，在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍的性质，作辅助线并得到△AOB′是等腰直角三角形是解题的关键．【举一反三】如图，在△ABC 中，AB =10，AC =8，BC =6，以边AB 的中点O 为圆心，作半圆与AC 相切，点P ，Q 分别是边BC 和半圆上的动点，连接PQ ，则PQ 长的最大值与最小值的和是（ ）A ． 6B ． 1132C ． 9D ．332 【答案】C ．【解析】考点：切线的性质；最值问题． 课后能力提升自测小练习一．选择题1．若正六边形的半径长为4，则它的边长等于（ ）A ．4B ．2C ．23D ．43【答案】A ．【解析】考点：正多边形和圆．2. 如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CAB=40°，则∠ABD与∠AOD分别等于（）A．40°，80°B．50°，100°C．50°，80°D．40°，100°【答案】B．【解析】试题分析：∵CD⊥AB，∴∠AEC=90°，∵∠CAB=40°，∴∠C=50°，∴∠ABD=∠C=50°，∵OB=OD，∴∠ABD=∠ODB=50°，∴∠AOD=∠ABD+∠ODB=100°，故选B．考点：圆周角定理；垂径定理．3.已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB=8cm，则AC的长为（）A. 25cmB. 45cmC. 25cm或45cmD.523cm或43cm【答案】C．【解析】考点：1.垂径定理；2.勾股定理；3.分类思想的应用．4.已知⊙O的面积为2π，则其内接正三角形的面积为【】A．33B．36C．332D．362【答案】C．【解析】5. 如图，MN是⊙O的直径，点A是半圆上的三等分点，点B是劣弧AN的中点，点P是直径MN上一动点．若MN=22，则PA+PB的最小值是（）A．22 B．2 C．1 D．2【答案】D.【解析】作点A关于MN的对称点A′，连接A′B，交MN于点P，连接OA′，OA，OB，PA，AA′．∵点A与A′关于MN对称，点A是半圆上的一个三等分点，∴∠A′ON=∠AON=60°，PA=PA′，∵点B是弧AN的中点，∴∠BON=30°，∴∠A′OB=∠A′ON+∠BON=90°，又∵OA=OA′=2，∴A′B=2．∴PA+PB=PA′+PB=A′B=2．故选D ．二．填空题6. 如图，已知⊙O 的半径为6cm ，弦AB 的长为8cm ，P 是AB 延长线上一点，BP =2cm ，则tan ∠OPA 的值是 ．【答案】53． 【解析】考点：垂径定理；解直角三角形．7. 如图，⊙O 的直径CD =20cm ，AB 是⊙O 的弦，AB ⊥CD ，垂足为M ，若OM =6cm ，则AB 的长为 cm ．【答案】16．【解析】试题分析：连接OA ，∵⊙O 的直径CD =20cm ，∴OA =10cm ，在Rt △OAM 中，由勾股定理得：A M =22106 =8cm ，∴由垂径定理得：A B =2AM =16cm ．故答案为：16．考点：垂径定理．8.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC=5cm，CD=6cm，则OE= cm．【答案】4.【解析】考点：1.垂径定理；2.勾股定理．9.如图， AB为⊙O的直径，CD⊥AB，若AB=10，CD=8，则圆心O到弦CD的距离为．【答案】3.【解析】连接OC，由AB=10得出OC的长，再根据垂径定理求出CE的长，根据勾股定理求出OE即可．试题解析：连接OC，∵AB 为⊙O 的直径，AB=10， ∴OC=5，∵CD⊥AB，CD=8，∴CE=4， ∴OE=2222543OC CE -=-=．考点：1.垂径定理；2.勾股定理．10.如图，AB 为⊙O 的直径，CD⊥AB，若AB=10，CD=8，则圆心O 到弦CD 的距离为 ．【答案】3.【解析】考点：1.垂径定理；2.勾股定理．11.⊙O的半径为2，弦BC=2，点A是⊙O上一点，且AB=AC，直线AO与BC交于点D，则AD的长为．【答案】1或3【解析】试题分析：如图所示：∵⊙O的半径为2，弦BC=23，点A是⊙O上一点，且AB=AC，∴AD⊥BC，∴BD=BC=3，在Rt△OBD中，∵BD2+OD2=OB2，即（3）2+OD2=22，解得OD=1，∴当如图1所示时，AD=OA﹣OD=2﹣1=1；当如图2所示时，AD=OA+OD=2+1=3．故答案为：1或3．考点：1、垂径定理；2、勾股定理．。

单元复习指南人教版六年级上册数学单元复习精编讲义第五单元圆单元知识要点认识圆，学会用圆规画圆，掌握圆的半径、直径之间的关系。

能用直尺和圆规设计一些和圆有关的图案。

通过实际操作，理解圆周率的实际意义，掌握圆的周长和面积的计算公式，并能运用圆的周长和面积的计算公式解决一些简单的实际问题。

认识圆环和扇形，理解圆心角的定义，掌握圆环和扇形的基本特征并能计算圆环的面积并能解决外圆内方、外方内圆中间部分的面积问题。

知识点归纳总结例1推导圆面积计算公式时，我们是把圆剪拼成一个近似的长方形，若圆的半径是r，长方形的长近似于（），宽近似于（）。

因为长方形的面积=长×宽，所以圆的面积=（）×（）=（）。

如果用S表示圆的面积，那么圆面积计算公式是（）。

【分析】将圆平均分成若干个完全相同的小扇形，可以把这些扇形近似的看做是三角形，那么把它们拼成如图一个近似的长方形，由此可得长方形的长相当于圆周长的一半，宽相当于圆的半径，由此即可推理得出圆的面积公式，据此解答。

【解答】πr r πr r πr2 S=πr2例2用一张正方形纸片剪成一个最大的圆，若正方形的周长是40cm。

剪成的圆的面积是（）cm2。

【分析】剪成的圆的直径和正方形的边长相等。

据此，先根据正方形的周长求出它的边长，再结合圆的面积公式求出圆的面积。

直径：40÷4=10（厘米）面积：3.14×（10÷2）2=78.5（平方厘米）所以，剪成的圆的面积是78.5平方厘米。

【解答】78.5例3为美化学校校园，学校在周长是18.84米的圆形花坛外围铺一条2米宽的环形小路。

这条环形小路的面积是（）平方米。

A.28.26B.50.24C.25.12D.37.68【分析】内圆半径：18.84÷2÷3.14=3（米）内圆面积：3.14×32=28.26（平方米）外圆面积：3.14×（3＋2）2=3.14×25=78.5（平方米）环形小路面积：78.5－28.26=50.24（平方米）【解答】B例4下面这些图形中，（）图的角是圆心角。

第五讲 圆周运动【知能准备】1．直线运动中，速度等于 的比值，公式是 。

2．曲线运动中，质点在某一点的速度方向是 ，曲线运动中速度的方向时刻在变，所以曲线运动是 。

3．在数学中，可以用“弧度”来表示角的大小，它等于 的比值。

【同步导学】1．描述圆周运动的物理量 (1) 线速度①定义：质点沿圆周运动通过的弧长Δl 与所需时间Δt 的比值叫做线速度。

②物理意义：描述质点沿圆周运动的快慢． ③大小：tl v ∆∆=（m/s ）如果Δt 取得很小，v 就为瞬时线速度，此时Δl 的方向就与半径垂直，即沿该点的切线方向。

④方向：质点在圆周上某点的线速度方向沿圆周上该点的切线方向。

(2) 角速度①定义：在圆周运动中，连接运动质点和圆心的半径转过的角度Δθ与所用时间Δt 的比值，就是质点运动的角速度。

②物理意义：描述质点绕圆心转动的快慢．③大小：t ∆∆=θω （单位为弧度/秒，符号是rad ／s ）(3) 周期T ，频率f 和转速n做圆周运动的物体运动一周所用的时间叫周期，用T 表示，单位为秒(s)。

做圆周运动物体在1秒内沿圆周绕圆心转过的圈数叫做频率，用f 表示，单位为赫兹（Hz ）。

做圆周运动物体在单位时间内沿圆周绕圆心转过的圈数叫做转速，用n 表示，单位为转每秒（r /s ）或转每分(r /min )。

显然，当单位时间取1 s 时，f = n 。

例1 如图所示，静止在地球上的物体都要随地球一起转动，下列说法正确的是（ ）A ．它们的运动周期都是相同的B ．它们的线速度都是相同的C ．它们的线速度大小都是相同的D ．它们的角速度是不同的解析 地球绕自转轴转动时，所有地球上各点的周期及角速度都是相同的，地球表面物体做圆周运动的平面是物体所在纬度线平面，其圆心分布在整条自转轴上。

不同纬度处物体做圆周运动的半径是不同的，只有同一纬度处的物体转动半径相等，线速度的大小才相等，但即使物体的线速度大小相同，方向也各不相同。

期末知识大串讲人教版数学六年级上册期末章节考点复习讲义第五单元圆知识点01：圆的认识1. 圆是轴对称图形，直径所在的直线是圆的对称轴。

2. 一个圆有无数条半径，有无数条直径。

圆有无数条对称轴。

3. 在同圆或等圆中，所有的半径都相等，所有的直径都相等。

4. 在同圆或等圆中，r=d 或d=2r 。

知识点02：圆的周长及圆周率的意义1.测量圆的周长的方法：绕绳法和滚动法。

2.圆的周长除以直径的商是一个固定的数。

我们把它叫做圆周率，用字母π表示。

3.圆的周长的计算公式：C=πd ，C=2πr知识点03：圆的面积公式的推导及应用1.圆的面积计算公式是 ：S ＝πr ²2.求圆的面积，要根据圆的面积计算公式来求。

3.圆环面积的计算方法：S ＝πR2－πr ²或S ＝π(R －r)²。

4.“外方内圆”图形中，圆的直径等于正方形的边长。

如果圆的半径为r ，那么正方形和圆之间部分的面积为0.86r ²。

5.“外圆内方”图形中，这个正方形的对角线等于圆的直径。

如果圆的半径为r ，那么圆和正方形之间部分的面积为1.14r ²。

知识点04：扇形的认识1.一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形；2.顶点在圆心的角叫做圆心角；3.扇形的大小和半径的长短、圆心角的大小有关。

考点01：圆的认识1．（2018秋•朝阳区校级期中）圆的周长是直径的（ ）倍A ．3.14B ．3.1415926C ．3D ．π【思路引导】根据圆的周长公式，求出周长和直径的关系。

12【完整解答】解：C＝πd＝π所以圆的周长是直径的π倍。

故选：D。

2．（2015秋•龙泉驿区校级期中）在一个长10cm，宽5cm的长方形中画一个最大的圆，它的半径是（）cm．A．10 B．5 C．2.5 D．1.5【思路引导】根据题意可知：在这个长方形中画一个最大的圆，这个圆的直径等于长方形的宽，根据同圆中直径是半径的2倍，半径是直径的，根据一个数乘分数的意义，用乘法解答．【完整解答】解：5×（厘米），答：它的半径是2.5厘米．故选：C。

圆的认识知识集结知识元圆的认识知识讲解知识点：圆的基本特征1.圆是由曲线围成的．2.圆上的任意一点到圆的中心点的距离都相等．知识点：认识圆的各部分名称1认识圆心画圆时，圆规带有针尖的脚所在的点叫圆心，通常用字母“O”表示，如下图：2认识半径圆心到圆上任意一点的距离叫半径，通常用字母“r”表示，如上图中的线段OC．3认识直径通过圆心，并且两端都在圆上的线段叫直径，通常用字母“d”表示，如上图中的线段BC．4半径与直径的关系在同圆中半径是直径的一半．知识点：圆的对称性1.轴对称图形如果一个图形沿着一条直线对折后两边完全重合，这样的图形叫轴对称图形．对称轴是一条直线，所以直径所在的直线是圆的对称轴．2.中心对称图形（了解）在平面内，一个图形绕着某个点旋转180度，如果旋转前后的图形完全重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心．圆的圆心是它的对称中心．知识点：圆的画法1.手指画圆法以拇指为固定点，食指与拇指间的距离不变，将纸旋转一周，就画成了一个圆．2.实物画圆法把圆形物体（如硬币，象棋等）放在纸上固定不动，用笔沿实物边缘描一周，就画成一个圆．3.系绳画圆法用一个图钉、一根线和一支笔画圆．用图钉将线的一端固定在一点上，用笔将线拉直并绕这个固定点旋转一周，就画成了一个圆．4.圆规画圆法（1）把圆规的两脚分开，定好两脚间的距离；（2）把带有针尖的一只脚固定在一点上；（3）把带有铅笔的一只脚绕这个固定点旋转一周，就画成了一个圆．知识点：圆的图案设计通过欣赏所绘制的图案，体会圆在图案设计中的作用和圆的对称性；由此感受图案的美，感受数学与生活的密切联系，会用圆设计简单图案．1欣赏图案，明确图案是由大小不同的圆组成．2.用圆规和直尺画简单图案．3利用平移，旋转设计简单图案．例题精讲圆的认识例1.'等圆的半径都相等（）．'【答案】正确【解析】题干解析:例2.'两端都在圆上的线段叫直径（）．'【答案】错误【解析】题干解析:需要加上“通过圆心”这个条件．例3.连接圆心和圆上任意一点的线段，叫做（），用字母（）表示【答案】半径r【解析】题干解析:圆的周长知识讲解知识点：圆周长的认识及圆周长公式的熟悉1.圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长.2.圆周率：圆的周长总是直径的3倍多一些，这个比值是一个固定的数.我们把圆的周长和直径的比值叫做圆周率，用字母π表示.圆周率是一个无限不循环小数.注：计算时，经常取 3.14.世界上第一个把圆周率的值精确到7位小数的人是我国的数学家祖冲之.3.圆的周长公式：π×直径或圆周长=π×半径×2.用字母表示为：或.知识点：根据周长，求圆的半径与直径圆的直径公式：圆的半径公式：例题精讲圆的周长例1.两个圆的周长不同，是因为_______.A．圆心的位置B．圆周率C．直径长度D．圆周长【答案】C【解析】题干解析:例2.圆周率π的值_______A．等于3.14B．大于3.14C．小于3.14【答案】B【解析】题干解析:例3.一个圆形花坛的半径是15米，小红骑一辆车轮外直径为50厘米的自行车绕花坛一周，车轮要转动多少周？【答案】60周.【解析】题干解析:花园的半径为15米=1500厘米，车轮的半径为厘米，半径的比为，周长比也为60:1，所以车轮要转动60周.例4.下图为一个操场的平面图，求这个操场的周长是多少米？【答案】261.32米.【解析】题干解析:半圆的周长为米，再加上两条长，就是阴影部分的周长米.圆的面积知识讲解知识点：圆面积的意义与计算1．圆面积定义圆的面积：圆所占平面的大小叫做圆的面积。