中考数学专题训练---圆的综合的综合题分类含答案
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一、圆的综合真题与模拟题分类汇编(难题易错题)
1.如图,⊙O的半径为6cm,经过⊙O上一点C作⊙O的切线交半径OA的延长于点B,作∠ACO的平分线交⊙O于点D,交OA于点F,延长DA交BC于点E.
(1)求证:AC∥OD;
(2)如果DE⊥BC,求AC的长度.
【答案】(1)证明见解析;(2)2π.
【解析】
试题分析:(1)由OC=OD,CD平分∠ACO,易证得∠ACD=∠ODC,即可证得AC∥OD;(2)BC切⊙O于点C,DE⊥BC,易证得平行四边形ADOC是菱形,继而可证得△AOC是等边三角形,则可得:∠AOC=60°,继而求得弧AC的长度.
试题解析:(1)证明:∵OC=OD,∴∠OCD=∠ODC.∵CD平分∠ACO,
∴∠OCD=∠ACD,∴∠ACD=∠ODC,∴AC∥OD;
(2)∵BC切⊙O于点C,∴BC⊥OC.∵DE⊥BC,∴OC∥DE.∵AC∥OD,∴四边形ADOC 是平行四边形.∵OC=OD,∴平行四边形ADOC是菱形,∴OC=AC=OA,∴△AOC是等边三
角形,∴∠AOC=60°,∴弧AC的长度=606
180
π⨯
=2π.
点睛:本题考查了切线的性质、等腰三角形的判定与性质、菱形的判定与性质以及弧长公式.此题难度适中,注意掌握数形结合思想的应用.
2.不用圆规、三角板,只用没有刻度的直尺,用连线的方法在图1、2中分别过圆外一点A作出直径BC所在射线的垂线.
【答案】画图见解析.
【解析】
【分析】根据直角所对的圆周角是直角,构造直角三角形,利用直角三角形性质可画出垂线;或结合圆的轴对称性质也可以求出垂线.
【详解】解:画图如下:
【点睛】本题考核知识点:作垂线.解题关键点:结合圆的性质和直角三角形性质求出垂线.
3.已知:如图,在矩形ABCD中,点O在对角线BD上,以OD的长为半径的⊙O与AD,BD分别交于点E、点F,且∠ABE=∠DBC.
(1)判断直线BE与⊙O的位置关系,并证明你的结论;
(2)若sin∠ABE=
3
3
,CD=2,求⊙O的半径.
【答案】(1)直线BE与⊙O相切,证明见解析;(2)⊙O的半径为3
.
【解析】
分析:(1)连接OE,根据矩形的性质,可证∠BEO=90°,即可得出直线BE与⊙O相切;(2)连接EF,先根据已知条件得出BD的值,再在△BEO中,利用勾股定理推知BE的长,设出⊙O的半径为r,利用切线的性质,用勾股定理列出等式解之即可得出r的值.详解:(1)直线BE与⊙O相切.理由如下:
连接OE,在矩形ABCD中,AD∥BC,∴∠ADB=∠DBC.
∵OD=OE,∴∠OED=∠ODE.
又∵∠ABE=∠DBC,∴∠ABE=∠OED,
∵矩形ABDC,∠A=90°,∴∠ABE+∠AEB=90°,
∴∠OED+∠AEB=90°,∴∠BEO=90°,∴直线BE与⊙O相切;
(2)连接EF ,方法1:
∵四边形ABCD 是矩形,CD =2,∴∠A =∠C =90°,AB =CD =2. ∵∠ABE =∠DBC ,∴sin ∠CBD =33
sin ABE ∠=, ∴23DC
BD sin CBD
∠=
=,
在Rt △AEB 中,∵CD =2,∴22BC =.
∵tan ∠CBD =tan ∠ABE ,∴
2222
DC AE AE
AE BC AB ,,=∴=∴=, 由勾股定理求得6BE =
.
在Rt △BEO 中,∠BEO =90°,EO 2+EB 2=OB 2.
设⊙O 的半径为r ,则222
623r r +=-()()
,∴r =3
, 方法2:∵DF 是⊙O 的直径,∴∠DEF =90°. ∵四边形ABCD 是矩形,∴∠A =∠C =90°,AB =CD =2. ∵∠ABE =∠DBC ,∴sin ∠CBD =3
3
sin ABE ∠=. 设3DC x BD x ==
,,则2BC x =.
∵CD =2,∴22BC =. ∵tan ∠CBD =tan ∠ABE ,∴2222
DC AE AE
AE BC AB ,,=∴=∴=, ∴E 为AD 中点.
∵DF 为直径,∠FED =90°,∴EF ∥AB ,∴132DF BD =
=,∴⊙O 的半径为3
.
点睛:本题综合考查了切线的性质、勾股定理以及三角函数的应用等知识点,具有较强的综合性,有一定的难度.
4.如图1
O ,的直径12AB P =,是弦BC 上一动点(与点B C ,不重合)30ABC ,∠=,过点P 作PD OP ⊥交O 于点D .
()1如图2,当//PD AB 时,求PD 的长;
()2如图3,当DC AC =时,延长AB 至点E ,使12
BE AB =,连接DE .
①求证:DE 是O 的切线;
②求PC 的长.
【答案】(1)26;(2)333-①见解析,②. 【解析】
分析:()1根据题意首先得出半径长,再利用锐角三角函数关系得出OP PD ,的长;
()2①首先得出
OBD 是等边三角形,进而得出ODE OFB 90∠∠==,求出答案即
可;
②首先求出CF 的长,进而利用直角三角形的性质得出PF 的长,进而得出答案.
详解:()1如图2,连接OD ,
//OP PD PD AB ⊥,,
90POB ∴∠=,
O 的直径12AB =,
6OB OD ∴==,
在Rt POB 中,30ABC ∠=,
3
tan30623OP OB ∴=⋅== 在Rt POD 中,
22226(23)26PD OD OP =-=-=;
()2①证明:如图3,连接OD ,交CB 于点F ,连接BD ,