湖南娄底市湘中名校14-15学年高二上学期期末考试数学(理)试题 (Word版含答案)

2014-2015学年湖南省七校联考高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将正确选项的代号填入答题卡相应的答题栏内）1．（5分）不等式＞1的解集是（）A．（﹣∞，0）B．（1，+∞）C．（0，+∞）D．（0，1）2．（5分）已知等差数列{a n}满足a2+a8=4，a3+a11=8，则它的前11项之和等于（）A．22B．33C．44D．663．（5分）已知函数f（x）=x2﹣2ax+b，则“1＜a＜2”是“f（1）＜f（3）”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）已知空间向量=（1，1，0），=（﹣1，0，2），则与向量+方向相反的单位向量的坐标是（）A．（0，1，2）B．（0，﹣1，﹣2）C．D．5．（5分）下列有关命题的说法正确的是（）A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”B．“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件C．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题D．命题“∃x∈R使得x2+x+1＜0”的否定是“∀x∈R均有x2+x+1＜0”6．（5分）如图，阴影部分（含边界）所表示的平面区域对应的约束条件是（）A．B．C．D．7．（5分）若数列{a n}满足a1=1，a2=2，a n a n﹣2=a n﹣1（n≥3），则a2014的值为（）A．2B．C．1D．220148．（5分）设F1，F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|：|PF2|=4：3，则△PF1F2的面积为（）A．4B．C．D．69．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为线段BC1上的动点，则下列判断错误的是（）A．DB1⊥平面ACD1B．BC1∥平面ACD1C．BC1⊥DB1D．三棱锥P﹣ACD1的体积与P点位置有关10．（5分）一批物资随17辆货车从甲地以v km/h（100≤v≤120）的速度匀速运达乙地．已知甲、乙两地间相距600km，为保证安全，要求两辆货车的间距不得小于（）2km（货车长度忽略不计），那么这批货物全部运达乙地最快需要的时间是（）A．4小时B．9.8小时C．10小时D．10.5小时二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，请将答案填入答题卡相应相应的答题栏内）11．（5分）若“x∈[﹣1，6]或x∈{x|x＜﹣2或x≥9}”是假命题，则x的取值范围是．（最后结果用区间表示）12．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2+b2=3c2，则cosC最小值为．13．（5分）若数列{a n}满足：a1=1，且对任意的正整数m，n都有a m+n=a m+a n+2mn，则数列{a n}的通项公式a n=．14．（5分）已知x＞0，y＞0，且，若x+2y＞m2+2m恒成立，则实数m 的取值范围是．15．（5分）设点P是双曲线与圆x2+y2=a2+b2在第一象限的交点，其中F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，且|PF1|=2|PF2|，则双曲线的离心率为．三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并将答案填入答题卡相应的答题栏内）16．（12分）在△ABC中，BC=，AC=3，sinC=2sinA．（Ⅰ）求AB的值．（Ⅱ）求sin2A的值．17．（12分）设命题P：m2﹣4m+3＜0，命题q：方程+=1表示的曲线是双曲线，若“p∨q”为真，“p∧q”为假，求实数m的取值范围．18．（12分）已知等差数列{a n}的首项a1=1，公差d＞0，且第二项，第五项，第十四项分别是等比数列{b n}的第二项，第三项，第四项．（1）求数列{a n}与{b n}的通项公式；（2）设数列{c n}满足对任意的自然数n均有++…+=a n成立，求+1 c1+c2+c3+…+c2014的值．19．（12分）在三棱锥S﹣ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=，M，N分别为AB，SB的中点．（Ⅰ）证明：AC⊥SB；（Ⅱ）求二面角N﹣CM﹣B的余弦值．20．（13分）某企业为扩大生产规模，今年年初新购置了一条高性能的生产线，该生产线在使用过程中的设备维修、燃料和动力等消耗的费用（称为设备的低劣化值）会逐年增加，第一年设备低劣化值是4万元，从第二年到第七年，每年设备低劣化值均比上年增加2万元，从第八年开始，每年设备低劣化值比上年增加25%．（1）设第n年该生产线设备低劣化值为a n，求a n的表达式；（2）若该生产线前n年设备低劣化平均值为A n，当A n达到或超过12万元时，则当年需要更新生产线，试判断第几年需要更新该生产线，并说明理由．21．（14分）已知椭圆经过点，且两焦点与短轴的两个端点的连线构成一正方形．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l与椭圆C交于A，B两点，若线段AB的垂直平分线经过点，求△AOB（O为原点）面积的最大值．2014-2015学年湖南省七校联考高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将正确选项的代号填入答题卡相应的答题栏内）1．（5分）不等式＞1的解集是（）A．（﹣∞，0）B．（1，+∞）C．（0，+∞）D．（0，1）【解答】解：不等式等价为﹣1=＞0，即x﹣1＞0，解得x＞1，故不等式的解集为（1，+∞），故选：B．2．（5分）已知等差数列{a n}满足a2+a8=4，a3+a11=8，则它的前11项之和等于（）A．22B．33C．44D．66【解答】解：∵等差数列{a n}满足a2+a8=4，a3+a11=8，∴2a5=a2+a8=4，2a7=a3+a11=8，∴a5=2，a7=4，∴2a6=a5+a7=6，解得a6=3，∴数列的前11项之和S11===11a6=33故选：B．3．（5分）已知函数f（x）=x2﹣2ax+b，则“1＜a＜2”是“f（1）＜f（3）”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：函数的对称轴为x=a，若1＜a＜2，则0＜a﹣1＜1，1＜3﹣a＜2，即3到对称轴的距离大于1到对称轴的距离，则f（1）＜f（3）成立，即充分性成立，若a=0，则函数f（x）在[0，+∞）上为增函数，满足f（1）＜f（3），但1＜a＜2不成立，即必要性不成立，则“1＜a＜2”是“f（1）＜f（3）”的充分不必要条件，故选：A．4．（5分）已知空间向量=（1，1，0），=（﹣1，0，2），则与向量+方向相反的单位向量的坐标是（）A．（0，1，2）B．（0，﹣1，﹣2）C．D．【解答】解：∵空间向量=（1，1，0），=（﹣1，0，2），∴+=（0，1，2），|+|=∴与向量+方向相反的单位向量的坐标是﹣（0，1，2）=故选：D．5．（5分）下列有关命题的说法正确的是（）A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”B．“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件C．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题D．命题“∃x∈R使得x2+x+1＜0”的否定是“∀x∈R均有x2+x+1＜0”【解答】解：A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2≠1，则x≠1”，因此不正确；B．由x2﹣5x﹣6=0解得x=﹣1或6，因此“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的充分不必要条件，不正确；C．命题“若x=y，则sinx=siny”为真命题，其逆否命题为真命题，正确；D．命题“∃x∈R使得x2+x+1＜0”的否定是“∀x∈R，均有x2+x+1≥0”，因此不正确．综上可得：只有C正确．故选：C．6．（5分）如图，阴影部分（含边界）所表示的平面区域对应的约束条件是（）A．B．C．D．【解答】解：由图知，一边界过（0，1），（﹣1，0）两点，故其直线方程为x﹣y+1=0另一边界直线过（0，2），（﹣2，0）两点，故其直线方程为x﹣y+2=0由不等式与区域的对应关系知区域应满足x﹣y+1≤0与x﹣y+2≥0，且x≤0，y ≥0．故区域对应的不等式组为．故选：A．7．（5分）若数列{a n}满足a1=1，a2=2，a n a n﹣2=a n﹣1（n≥3），则a2014的值为（）A．2B．C．1D．22014【解答】解：数列{a n}满足：a1=1，a2=2，利用a n a n﹣2=a n﹣1（n≥3且n∈N），则：a3=2，a4==1，a5==，a6==，a7==1，a8==2，…1，2，2，1，，，1，2，2，1，，，1，2，…所以：数列的周期为：62014=335×6+4所以：a2014=a4=1故选：C．8．（5分）设F1，F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|：|PF2|=4：3，则△PF1F2的面积为（）A．4B．C．D．6【解答】解：∵|PF1|：|PF2|=4：3，∴可设|PF1|=4k，|PF2|=3k，由题意可知3k+4k=7，∴k=1，∴|PF1|=4，|PF2|=3，∵|F1F2|=5，∴△PF1F2是直角三角形，其面积===6．故选：D．9．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为线段BC1上的动点，则下列判断错误的是（）A．DB1⊥平面ACD1B．BC1∥平面ACD1C．BC1⊥DB1D．三棱锥P﹣ACD1的体积与P点位置有关【解答】解：连接BD，则BD⊥AC，∵BB1⊥面ABCD，∴DB1⊥AC，连接A1D，则A1D⊥AD1，∵A1B1⊥面ADD1A1，∴DB1⊥AD1，∴DB1⊥平面ACD1，故A正确；∵BC1∥AD1，BC1⊄面ACD1，AD1⊂ACD1，∴BC 1∥平面ACD1，故B正确；∵DB1⊥平面ACD1，AD1⊂平面ACD1，∴DB1⊥AD1，∵BC1∥AD1，∴BC1⊥DB1，故C正确；∵BC1∥平面ACD1，P为线段BC1上的动点，∴三棱锥P﹣ACD1的体积为定值，与P点位置无关，故D错误．故选：D．10．（5分）一批物资随17辆货车从甲地以v km/h（100≤v≤120）的速度匀速运达乙地．已知甲、乙两地间相距600km，为保证安全，要求两辆货车的间距不得小于（）2km（货车长度忽略不计），那么这批货物全部运达乙地最快需要的时间是（）A．4小时B．9.8小时C．10小时D．10.5小时【解答】解：设这批物资全部运到B市用的时间为y小时，因为不计货车的身长，所以设列车为一个点，可知最前的点与最后的点之间距离最小值为16×（）2千米时，时间最快．则y==+在[100，120]上单调递减，∴v=120千米/小时，时间y min=9.8小时，故选：B．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，请将答案填入答题卡相应相应的答题栏内）11．（5分）若“x∈[﹣1，6]或x∈{x|x＜﹣2或x≥9}”是假命题，则x的取值范围是[﹣2，﹣1）∪（6，9）．（最后结果用区间表示）【解答】解：∵“x∈[﹣1，6]或x∈{x|x＜﹣2或x≥9}”是假命题，∴“x∉[﹣1，6]且x∉{x|x＜﹣2或x≥9}”是真命题，∴x∈[﹣2，﹣1）∪（6，9）．故答案为：[﹣2，﹣1）∪（6，9）．12．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2+b2=3c2，则cosC最小值为．【解答】解：在△ABC中，由余弦定理得：a2+b2=c2+2abcosC，①又a2+b2=3c2，∴c2=（a2+b2）代入①式有：a2+b2=（a2+b2）+2abcosC，∴cosC=≥=（当且仅当a=b时取“=”）．∴cosC最小值为．故答案为：．13．（5分）若数列{a n}满足：a1=1，且对任意的正整数m，n都有a m+n=a m+a n+2mn，则数列{a n}的通项公式a n=n2．【解答】解：∵数列{a n}满足：a1=1，且对任意的正整数m，n都有a m+n=a m+a n+2mn，=a1+a n+2n=1+a n+2n，∴令m=1，得a n+1﹣a n=2n+1∴a n+1用叠加法，得：a n=a1+（a2﹣a1）+…+（a n﹣a n﹣1）=1+3+5…+（2n﹣1）==n2．故答案为：n2．14．（5分）已知x＞0，y＞0，且，若x+2y＞m2+2m恒成立，则实数m 的取值范围是﹣4＜m＜2．【解答】解：∵，∴x+2y=（x+2y）=4++≥4+2=8∵x+2y＞m2+2m恒成立，∴m2+2m＜8，求得﹣4＜m＜2故答案为：﹣4＜m＜2．15．（5分）设点P是双曲线与圆x2+y2=a2+b2在第一象限的交点，其中F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，且|PF1|=2|PF2|，则双曲线的离心率为．【解答】解：∵点P是双曲线与圆x2+y2=a2+b2在第一象限的交点∴点P到原点的距离|PO|==c，∠F1PF2=90°，∵|PF1|=2|PF2|，∴|PF1|﹣|PF2|=|PF2|=2a，∴|PF1|=4a，|PF2|=2a，∴16a2+4a2=4c2，∴5a2=c2，∴e=故答案为：三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并将答案填入答题卡相应的答题栏内）16．（12分）在△ABC中，BC=，AC=3，sinC=2sinA．（Ⅰ）求AB的值．（Ⅱ）求sin2A的值．【解答】解：（Ⅰ）由正弦定理可得，sinC=2sinA，即为AB=2BC=2；（Ⅱ）由余弦定理可得，cosA===，即有sinA==，则有sin2A=2sinAcosA=2×=．17．（12分）设命题P：m2﹣4m+3＜0，命题q：方程+=1表示的曲线是双曲线，若“p∨q”为真，“p∧q”为假，求实数m的取值范围．【解答】解：命题P：m2﹣4m+3＜0，解得1＜m＜3．命题q：方程+=1表示的曲线是双曲线，则m（m﹣2）＜0，解得0＜m＜2．∵“p∨q”为真，“p∧q”为假，∴p与q必然一真一假．∴或，解得2≤m＜3或0＜m≤1．∴实数m的取值范围为2≤m＜3或0＜m≤1．18．（12分）已知等差数列{a n}的首项a1=1，公差d＞0，且第二项，第五项，第十四项分别是等比数列{b n}的第二项，第三项，第四项．（1）求数列{a n}与{b n}的通项公式；成立，求（2）设数列{c n}满足对任意的自然数n均有++…+=a n+1c1+c2+c3+…+c2014的值．【解答】解：（1）由题意得（a1+d）（a1+13d）=（a1+4d）2，（d＞0）∵a1=1，∴d=2，∴a n=2n﹣1，∵b2=a2=1+2=3，b3=a5=1+8=9，∴，∴b1=1，q=3，∴b n=3n﹣1．（2）∵++…+=a n，+1∴当n=1时，c1=a2×b1=3×1=3，﹣a n=2（n+1）﹣2n=2，当n≥2时，=a n+1∴c n=2b n=2•3n﹣1，∴c1+c2+c3+…+c2014=3+2（3+32+33+ (32013)=3+2×=3+32014﹣3=32014．19．（12分）在三棱锥S﹣ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=，M，N分别为AB，SB的中点．（Ⅰ）证明：AC⊥SB；（Ⅱ）求二面角N﹣CM﹣B的余弦值．【解答】解法一：几何法证明：（Ⅰ）取AC中点D，连结SD，BD．∵SA=SC，AB=BC∴AC⊥SD且AC⊥BD，…（2分）又∵SD∩BD=D，SD，BD⊂平面SBD∴AC⊥平面SBD，又∵SB⊂平面SBD，∴AC⊥SB；（Ⅱ）∵AC⊥平面SBD，AC⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面SBD，过N作NE⊥BD于E，则NE⊥平面ABC，过E作EF⊥CM于F，连结NF，则NF ⊥CM．∴∠NFE为二面角N﹣CM﹣B的平面角．…（6分）∵平面ABC⊥平面SAC，SD⊥AC∴SD⊥平面ABC．又∵NE⊥平面ABC，∴NE∥SD．∵SN=NB，∴NE=SD===，且ED=EB．在正△ABC中，由平面几何知识可求得EF=MB=，在Rt△NEF中，tan∠NFE==2∴cos∠NFE=∴二面角N﹣CM﹣B的余弦值为．…（9分）解法二：（Ⅰ）取AC中点O，连结OS、OB．∵SA=SC，AB=BC，∴AC⊥SO且AC⊥BO．∵平面SAC⊥平面ABC，平面SAC∩平面ABC=AC∴SO⊥面ABC，∴SO⊥BO．如图所示建立空间直角坐标系O﹣xyz．…（2分）则A（2，0，0），B（0，2，0），C（﹣2，0，0），S（0，0，2），M（1，，0），N（0，，）．∴=（﹣4，0，0），=（0，2，2），∵•=（﹣4，0，0）•（0，2，2）=0，…（3分）∴AC⊥SB．…（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）得=（3，，0），=（﹣1，0，）．设=（x，y，z）为平面CMN的一个法向量，，即，取z=1，则=（，﹣，1）…（6分）又=（0，0，2）为平面ABC的一个法向量，∴cos＜，＞==．…（8分）∴二面角N﹣CM﹣B的余弦值为．…（9分）20．（13分）某企业为扩大生产规模，今年年初新购置了一条高性能的生产线，该生产线在使用过程中的设备维修、燃料和动力等消耗的费用（称为设备的低劣化值）会逐年增加，第一年设备低劣化值是4万元，从第二年到第七年，每年设备低劣化值均比上年增加2万元，从第八年开始，每年设备低劣化值比上年增加25%．（1）设第n年该生产线设备低劣化值为a n，求a n的表达式；（2）若该生产线前n年设备低劣化平均值为A n，当A n达到或超过12万元时，则当年需要更新生产线，试判断第几年需要更新该生产线，并说明理由．【解答】解：（1）当n≤7时，数列{a n}是首项为4，公差为2的等差数列，a n=4+2（n﹣1）=2n+2；当n≥8时，数列{a n}是首项为a7，公比为的等比数列，又a7=16，∴a n=16×（）n﹣7∴a n的表达式为a n=；（II）设S n表示数列{a n}的前n项和，由等差及等比数列的求和公式得当1≤n≤7时，S n=4n+n（n﹣1）=n2+3n…（8分）当n≥8时，由S7=70，S n=S7+16×=80×（）n﹣7﹣10．A n=，当1≤n≤7时，{A n}为增数列，当n≥8时，∵A n﹣A n=＞0，{A n}也为增数列，+1又∵A7=10＜12，A8=11.25＜12，A9≈12.78＞12，则第9年初需要更新该生产线．21．（14分）已知椭圆经过点，且两焦点与短轴的两个端点的连线构成一正方形．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l与椭圆C交于A，B两点，若线段AB的垂直平分线经过点，求△AOB（O为原点）面积的最大值．【解答】解：（1）∵椭圆的两焦点与短轴的两个端点的连线构成正方形，∴，∴，…（2分）又∵椭圆经过点，代入可得b2=1，∴故所求椭圆方程为．…（4分）（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），∵AB的垂直平分线通过点，显然直线AB有斜率，当直线AB的斜率为0时，则AB的垂直平分线为y轴，此时x 1=﹣x2，y1=y2∴，∵，∴取得最大值为，…（7分）∴，当且仅当|x1|=1时，S△AOB当直线AB的斜率不为0时，则设AB的方程为y=kx+t∴，代入得到（2k2+1）x2+4ktx+2t2﹣2=0…（8分）当△=8（2k2﹣t2+1）＞0，即2k2+1＞t2①方程有两个不同的解又，…（10分）∴，又，化简得到2k2+1=2t②代入①，得到0＜t＜2…（11分）又原点到直线的距离为∴考虑到2k 2+1=2t 且0＜t ＜2化简得到…（13分）∵0＜t ＜2，∴当t=1时，即时，S △AOB 取得最大值．综上，△AOB 面积的最大值为．…（14分）赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值 （1）函数的单调性②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则yxo[()]y f g x =为减．（2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤；（2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。

湖南省娄底市湘中名校2014-2015学年高二数学上学期期末考试试题文一、选择题（每小题4分，本大题共40分）1、若()34i x yi i +=+,,x y R ∈,则复数x yi +的模是 （ ） A ．2B ．3C ．4D ．52、下列命题中的假命题．．．是（ ） A. ,ln 0x R x ∃∈= B. ,sin cos 1x R x x ∃∈+= C. 3,0x R x ∀∈> D. ,30x x R ∀∈> 3、以下是解决数学问题的思维过程的流程图：在此流程图中，①、②两条流程线与“推理与证明”中的思维方法匹配正确的是( ) A ．①—综合法，②—分析法 B ．①—分析法，②—综合法 C ．①—综合法，②—反证法 D ．①—分析法，②—反证法4、由3,11==d a 确定的等差数列{}n a ，当268=n a 时，序号n 等于（ ）A ．80B ．100C ．90D ．885、函数a x x x x f -++=43)(23的极值点的个数是( )A ．2B ．1C ．0D ．由a 决定6、在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若∠A=30°，1==b a ,则=∆ABC S （ ）A.43 B.23 C. 41 D.427、若变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+012y x y x ,则y x z +=2的最大值和最小值分别为（ ）A ．4和3B ．4和2C ．3和2D ．2和08、双曲线14416922=-y x 的离心率等于（ ） A.35 B.45 C. 43 D. 359、在一个2×2列联表中，由其数据计算得到K 2的观测值k ＝13.097，则其两个变量间有关系的可能性为( )A ．99.9%B ．95%C ．90%D ．0 附表：10、△ABC 的两个顶点为A(-3,0)，B(3,0)，△ABC 周长为16，则顶点C 的轨迹方程为( )A ．1162522=+y x (y ≠0) B. 1162522=+x y (y ≠0) C. 191622=+y x (y ≠0) D. 191622=+x y (y ≠0)二、填空题（每小题4分，本大题共20分）11、不等式0232≤+-x x 的解集是 .12、把1,3,6,10,15,21这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正三角形，则第七个三角形数是 .13、2014年一轮又一轮的寒潮席卷全国．某商场为了了解某品牌羽绒服的月销售量y (件)与月平均气温x (℃)之间 的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气由表中数据算出线性回归方程y ＝bx ＋a 中的b ≈－2.气象部门预测下个月的平均气温约为6℃，据此估计，该商场下个月羽绒服的销售量约为________件． 14、椭圆的一个顶点与两个焦点构成等腰直角三角形，则离心率e=________． 15、在△ABC 中，tan A 是以－1为第三项，7为第七项的等差数列的公差，tan B 是以91为第三项，3为第六项的等比数列的公比，则=∠C ________.三、解答题（本大题共60分，解答题需写出主要的计算过程或证明步骤）16、（本小题满分8分）要制作一个容积为16立方米，高为1米的无盖长方体容器，已知容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，问如何设计才能使该容器的总造价最低，最低总造价是多少元？17、（本小题满分9分）设命题:p 方程1122=-+a y a x 表示双曲线，命题:q 函数1)32()(2+-+=x a x x f 有两个不同的零点，如果“q p ∨”为真，且“q p ∧”为假，求a 的取值范围．18、（本小题满分10分）在△ABC 中，,,a b c 分别是角A,B,C 的对边．（１）求证：BCA b c a 222222sin sin sin +=+； （２）已知B A c b 2,1,3===,求a 的值．19、（本小题满分10分）（1）已知数列{}n a 中，2,111+==+n n a a a ，求数列{}n a 的前n 项和； （2）已知n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，且公比1≠q ,582,,a a a 成等差数列，求证：693,,S S S成等差数列．20、（本小题满分11分）已知函数()ln afx xx=-，其中aR∈，且曲线()y f x=在点()1,(1)f 处的切线垂直于直线y x=．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求函数()f x的单调区间和极值．21、（本小题满分12分）如图，设F为抛物线)0(22>=ppxy的焦点，P是抛物线上一定点，其坐为)0),(≠xyx（ ,Q为线段OF的垂直平分线上一点，且点Q到抛物线的准线l的距离为23．（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ)过点P任作两条斜率均存在的直线PA、PB,分别与抛物线交于点A、B，如图示，若直线AB的斜率为定值2y-,求证：直线PA、PB的倾斜角互补．2014-2015学年上学期湘中名校高二期末考试试卷文科数学参考答案三、解答题16．解：由已知可得底面面积为16=S平方米，设底面长为x米，宽为y米，总造价为z元，2分则320)20101210122016++=⨯⨯+⨯⨯+⨯=y x y x z （,4分因为16=⋅y x ，所以82=≥+xy y x ，当且仅当4==y x 时取“=”，6分所以应把此容器底面设计成边长为4米的正方形，才能使该容器的总造价最低，最低总造价为480320820=+⨯元。

可能用到的相对原子质量：Cu-64 H-1 O-16第I 卷（选择题）一、选择题（每小题3分，共54分）1.下列溶液一定呈酸性的是A ．pH ＜7的溶液B ．c(H +)＞c(OH —) 的溶液C ．pH ＞7的溶液D ．c(H +)＜c(OH —) 的溶液2.下列说法正确的是A ．放热反应一定能自发进行，吸热反应一定不能自发进行B ．化学反应的反应热不仅与体系的始态和终态有关，也与反应的途径有关C ．催化剂不仅能加快反应速率，也能增大反应物的转化率D ．升高温度，能提高活化分子百分数，不能提高反应所需的活化能3.下列关于原电池、电解池的叙述中正确的是A ．发生氧化反应的电极分别为负极和阴极B ．阴离子分别向负极和阴极迁移C ．电子流向分别由负极直接流向正极、阴极直接流向阳极D ．若都有一个电极质量减轻，应分别为负极和阳极4.已知在某密闭容器中发生反应 4NH 3＋5O 2=4NO ＋6H 2O ，若反应速率分别用υ(NH 3)、 υ(O 2)、υ(NO)、υ(H 2O)表示，则下列关系正确的是A ．54υ(NH 3) =υ(O 2) B ．65υ(O 2) =υ(H 2O) C ．32υ(NH 3) =υ(H 2O) D ．54υ(O 2) =υ(NO) 5.下列说法中，正确的是A ．某离子被沉淀完全是指该离子在溶液中的浓度变为0B ．某物质的溶解性为难溶，则该物质的溶解度为0C ．一般来说，溶解度小的难溶物容易转化为溶解度大的难溶物D ．沉淀的生成、溶解和转化其实质都是沉淀发生了溶解平衡的移动6.已知反应 ①22C(s)O (g)2CO(g)H 221kJ /mol +=∆=-②稀溶液中，2H (aq)OH (aq)H O(1)H 57.3kJ /mol +-+=∆=-,下列结论正确的是A ．碳的燃烧热△ H 为110.5kJ/molB ．2molC(s) 和1molO 2(g)的能量比2molCO(g)的能量高221kJC ．0.5 molH 2SO 4(浓)与1 molNaOH 溶液混合，产生57.3kJ 热量D ．稀醋酸与稀NaOH 溶液反应生成1 mol 水，放出57.3kJ 热量7.铅蓄电池的电池反应为 Pb(s)＋PbO 2(s)＋2H 2SO 4(aq) 2PbSO 4(s)＋2H 2O(l)，下列说法错误．．的是 A ．放电时覆盖PbO 2的电极为正极，发生还原反应B ．放电时电解质溶液中的H ＋向正极移动C ．充电时阴极的电极反应为 PbSO 4(s) ＋ 2e －=Pb(s) ＋ SO 42－(aq)D ．充电时电解质溶液的pH 逐渐增大8. 有一支50mL 的酸式滴定管，其中盛有溶液，液面恰好在30 mL 处，把管中的溶液全部放出，承接在量筒中溶液的体积是A ．等于30mLB ．等于20mLC ．大于20mLD ．大于30mL9.一定温度下，氯化银在水中存在溶解平衡 AgCl （s ）Ag ＋（aq ）＋Cl －（aq ），若把AgCl分别放入 ①100mL 水中；②50mL0.1mol/L NaCl 溶液中；③10mL0.1mol/LAgNO 3溶液中；④20mL0.1mol /L MgCl 2溶液中。

一、选择题：(本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

) 1、在△ABC 中，若030,6,90===B a C ，则b c -等于 （ ） A 1 B 1- C 32 D 32-2、由11a =，3d =确定的等差数列{}n a ，当298n a =时则n 等于 （ ）A ．99B ．100C ． 96D ．1013、“m>0”是“方程23x +2y m=1表示椭圆”的 ( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件4、已知(1,1,0)a =，(1,0,2)b =-，且ka b +与2a b -互相垂直，则k 的值是 （ ） A ．1 B ．15 C ．35 D ．755、下列命题为真命题的是 ( )A.椭圆的离心率大于1；B.双曲线22221x y m n-=-的焦点在x 轴上；C.,a b R ∀∈，2a b +≥ D.7sin cos 5x R x x ∃∈+=，. 6、 满足线性约束条件23,23,0,0,x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎨⎪≥≥⎩的目标函数z x y =+的最大值是 （ ）A 1. B32. C 2. D 3. 7、一艘海轮从A 处出发，以每小时40海里的速度沿东偏南50°方向直线航行，30分钟后到达B 处.在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是东偏南20°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东间的距离是 （ ）A.B.C.D. 8、如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，点M 为侧棱AA 1上 一动点，已知△BCM面积的最大值是M ―BC ―A的最大值是3π,则该三棱柱的体积等于 （ ）A..B.C.D. 9、已知点F 1、F 2分别是椭圆22x k +＋21y k +＝1(k ＞－1)的左、右焦点，弦AB 过点F 1，若△ABF 2的周长为8，则椭圆的离心率为 （ ）A.12 B ．14 C．4D ．34 10、设函数f (x )在R 上可导，其导函数为()f x '，且函数y ＝(1－x )()f x '的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是 ( ) A ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1) B ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (1) C ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (－2) D ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2)二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分.请把答案填在答题卷对应题号后的横线上.11、在等比数列{}n a 中0n a >且564718a a a a +=则13log a +32log a +…+103log a =____12、设a ＞0为常数，若对任意正实数x ，y 不等式1()()9ax y x y++≥恒成立，则a 的最 小值为_____________13、若函数2()2ln f x x x =-在其定义域内的一个子区间(1,1)k k -+内不是单调函数，则实数k 的取值范围是 _____________ 14、由直线2y x =-，13y x =-和曲线y =__________ 15、已知ABC ∆三顶点均在双曲线22124x y -=上，三边AB 、BC 、AC 所在的直线的斜率均存在且均不为0，其和为-1；又AB 、BC 、AC 的中点分别为M 、N 、P ，O 为坐标原点，直线AB C A 1B 1C 1MOM 、ON 、OP 的斜率分别为1k ，2k ，3k 且均不为0，则123111k k k ++=______ 三、解答题:本大题共6小题，共60分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分10分)在锐角ABC ∆中，a b c ，，分别为A B C ∠∠∠，，2.csinA ＝ (1)确定C ∠的大小； (2)若c ，ABC ∆a b ＋的值．17.(本小题满分10分)如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AC ⊥BC ，AC ＝BC ＝CC 1，M 、N 分别是A 1B 、B 1C 1的中点.（Ⅰ）求证：MN ⊥平面A 1BC ；（Ⅱ）求直线BC 1和平面A 1BC 所成角的大小.18.(本小题满分10分)设数列{}n a 的各项都为正数，其前n 项和为n S ，已知对任意*N n ∈，n S 是2n a 和n a 的等差中项．（Ⅰ）证明数列{}n a 为等差数列，并求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）证明211121<+++nS S S ；19.(本小题满分10分)某地需要修建一条大型输油管道通过120公里宽的沙漠地带，该段输油管道两端的输油站已建好，余下工程只需要在该段两端已建好的输油站之间铺设输油管道和等距离修建增压站（又称泵站）.经预算，修建一个增压站的工程费用为432万元，铺设距离为x 公里的相邻两增压站之间的输油管道费用为3x x +万元.设余下工程的总费用为y 万元. （Ⅰ）试将y 表示成关于x 的函数；（Ⅱ）需要修建多少个增压站才能使y 最小？20.(本小题满分10分)如图，抛物线的顶点O 在坐标原点，焦点在y 轴负半轴上，过点M (0，－2)作直线lB A 1 B 1C 1 NA C M与抛物线相交于A ，B 两点，且满足(4,12)OA OB +=--. （Ⅰ）求直线l 和抛物线的方程；（Ⅱ）当抛物线上一动点P 从点A 到B 运动时，求△ABP 面积的最大值．21．(本小题满分10分)己知2()ln f x x ax bx =--．(Ⅰ)若1a =-，函数()f x 在其定义域内是增函数，求b 的取值范围； (Ⅱ)当1,1a b ==-时，证明函数()f x 只有一个零点；(Ⅲ)若()f x 的图象与x 轴交于1212(,0),(,0)()A x B x x x <两点，AB 中点为0(,0)C x ，求证：0()0f x '<．2014-2015学年上学期湘中名校高二期末联考理科数学参考答案16：【解】 (1)由3a ＝2c sin A 及正弦定理，得a c ＝2sin A 3＝sin Asin C ，∵sin A ≠0，∴sin C ＝32. ∴△ABC 是锐角三角形，∴∠C ＝π3. (2)∵c ＝7，∠C ＝π3.由面积公式得 12ab sin π3＝332，即ab ＝6. ①由余弦定理，得 a 2＋b 2－2ab cos π3＝7，即a 2＋b 2－ab ＝7 . ②由②变形得(a ＋b )2＝25，故a ＋b ＝5.17：【解】解法一：（Ⅰ）由已知BC ⊥AC ，BC ⊥CC 1，所以BC ⊥平面ACC 1A 1.连结AC 1，则BC ⊥AC 1. 由已知，侧面ACC 1A 1是正方形，所以A 1C ⊥AC 1. 又1BCAC C =，所以AC 1⊥平面A 1BC. 因为侧面ABB 1A 1是正方形，M 是A 1B 的中点，连结AB 1，则点M 是AB 1的中点.又点N 是B 1C 1的中点，则MN 是△AB 1C 1的中位线，所以MN ∥AC 1. 故MN ⊥平面A 1BC.（5分）（Ⅱ）因为AC 1⊥平面A 1BC ，设AC 1与A 1C 相交于点D ，连结BD ，则∠C 1BD 为直线BC 1和平面A 1BC 所成角. 设AC ＝BC ＝CC 1＝a ，则1C D =，1BC . 在Rt △BDC 1中，sin ∠C 1BD ＝1112C D BC =， 所以∠C 1BD ＝30º，故直线BC 1和平面A 1BC 所成的角为30º. 解法二：（Ⅰ）据题意CA 、CB 、CC 1两两垂直，以C 为原点，CA 、CB 、CC 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，如图. 设AC ＝BC ＝CC 1＝a ，则11(0,,0),(0,,),(,0,0),(0,0,0),(0,0,)B a B a a A a C C a ， 1(,0,)A a a ，(,,),(0,,)2222a a a a M N a . BA 1B 1C 1 NA CM D18【解】（Ⅰ）由已知，n n n a a S +=22，且0n a >. 当1=n 时，12112a a a +=，解得11=a .当2≥n 时，有12112---+=n n n a a S .于是1212122----+-=-n n n n n n a a a a S S ，即12122---+-=n n n n n a a a a a . 于是1212--+=-n n n n a a a a ，即111))((---+=-+n n n n n n a a a a a a .因为01>+-n n a a ，所以)2(11≥=--n a a n n .故数列{}n a 是首项为1，公差为1的等差数列，且n a n =. （5分）（Ⅱ）因为n a n =，则)111(2)1(2+-=+=n n n n S n . 所以=+++nS S S 111212(2)111(2)]111()3121()211[(<+-=+-++-+-n n n （1019:【解】（I ）设需要修建k 个增压站，则(1)120k x +=，即1201k x =-. ( 1分）所以33212012051840432(1)()432(1)()120312y k k x x x x x xxx=+++=⨯-++=+-.因为x 表示相邻两增压站之间的距离，则0＜x ≤120. 故y 与x 的函数关系是251840120312(0120)y x x x=+-<≤. （5分） （II ）设251840()120312(0120)f x x x x=+-<≤，则32251840240()240(216)f x x x x x'=-+=-. 由'()0f x >，得3216x >，又0＜x ≤120，则6120x <≤.所以()f x 在区间(6,120]内为增函数，在区间[0,6)内为减函数. 所以当6x =时，()f x 取最小值，此时12012011196k x=-=-=.故需要修建19个增压站才能使y 最小. (10分) 20:【解】（Ⅰ）据题意可设直线l 的方程为2y kx =-，抛物线方程为22(0)x py p =->.由222y kx x py=-⎧⎨=-⎩得，2240x pkx p +-=.设点1122(,),(,)A x y B x y ，则()21212122,424x x pk y y k x x pk +=-+=+-=--.所以()()21212,2,24OA OB x x y y pk pk +=++=---.因为(4,12)OA OB +=--，所以2242412pk pk -=-⎧⎨--=-⎩，解得12p k =⎧⎨=⎩. 故直线l 的方程为22y x =-，抛物线方程为22.x y =- （5分）（Ⅱ）解法一：据题意，当抛物线过点P 的切线与l 平行时，△APB 面积最大. 设点00(,)P x y ，因为y x '=-，由0022x x -=⇒=-，200122y x =-=-，所以(2,2).P --此时，点P 到直线l的距离d ===由2222y x x y=-⎧⎨=-⎩，得2440x x +-=.所以||AB ==故△AB P面积的最大值为11||22AB d ⋅⋅=⋅= （10分） 解法二：由2222y x x y=-⎧⎨=-⎩得，2440x x +-=.所以||AB ==设点21(,)2P t t-(22t --<-+，点P 到直线l 的距离d .则22d t ==--<-+，当2t =-时，dmax=5，此时点(2,2)P --. 故△AB P面积的最大值为11||22AB d ⋅⋅=⋅= （10分）21:【解析】(Ⅰ)依题意：2()ln f x x x bx =+-(Ⅲ)由已知得2111122222()ln 0,()ln 0,f x x ax bx f x x ax bx =--==--=⇒21112222ln ln x ax bx x ax bx =+=+两式相减，得11121212121222ln()()()ln ()[()],x xa x x x xb x x x x a x x b x x =+-+-⇒=-++ 由1()2f x ax b x'=--及0122x x x =+，得 10012012121221221()2[()]ln x f x ax b a x x b x x x x x x x x '=--=-++=-++- 11212111212212222(1)2()11[ln ][ln ](1)x x x x x x x x x x x x x x x x --=-=--+-+ 令12x t x =，2222(1)()ln (01),()0,1(1)t t t t t t t t t ϕϕ--'=-<<=-<++()t ϕ∴在(0,1)上递减，()(1)0t ϕϕ∴>=∵12x x <， ∴0()0f x '<． …10分。